Lösungen

1
Prof. Dr. Matthias Gerdts
Dr. Sven-Joachim Kimmerle
Wintertrimester 2014
Mathematik 1 + 2
Übung 2
1) (Gleichungen mit Wurzeln)
Bestimmen Sie alle Lösungen der folgenden Gleichungen. Beachten Sie dabei, dass das
Quadrieren von Gleichungen i. A. keine äquivalente Umformung ist.
a)
b)
√
√
x−1+
x−1−
√
√
x+2=5
x+2=5
Lösung:
a) Quadrieren liefert die Gleichung
√
√
=⇒ 2x + 1 + 2 x − 1 x + 2 = 25
√
⇐⇒
√
x − 1 x + 2 = 12 − x.
Nochmaliges Quadrieren ergibt
=⇒ x2 + x − 2 = 144 − 24x + x2
⇐⇒
25x = 146
⇐⇒
x=
146
.
25
Eine Probe zeigt das 146/25 tatsächlich eine Lösung (die einzige) der Ausgangsgleichung ist.
b) Rechnung analog zu a):
√
√
=⇒ 2x + 1 − 2 x − 1 x + 2 = 25
√
√
− x − 1 x + 2 = 12 − x
⇐⇒
=⇒ x2 + x − 2 = 144 − 24x + x2
⇐⇒
x = 146/25
Die Probe funktioniert nicht. Keine Lösung.
2) (Polynomdivision mit Rest)
Gegeben sei die rationale Funktion
p(x) =
x3 − 3x2 − 5x + 1
.
x2 + 2x − 1
Führen Sie zuerst eine Polynomdivision mit Rest durch.
Untersuchen Sie p auf Polstellen (mit/ohne Vorzeichenwechsel ?) und auf asymptotisches
Verhalten für x → ±∞.
Lösung:
2
Nach der 1. Division bleibt der Rest −5x2 − 4x + 1, nach der zweiten 6x − 4 und man
erhält p(x) = x − 5 Rest 6x − 4.
Man hat
x3 − 3x2 − 5x + 1
6x − 4
√ ,
√ =x−5+
2
x + 2x − 1
x+1− 2 x+1+ 2
√
√
Polstellen befinden sich bei x = −1+ 2 und x = −1− 2, es findet jeweils ein VZW. statt
(von - nach + und von + nach -).
Für x → ±∞ geht p gegen ±∞ und nähert sich asymptotisch der Geraden g(x) = x − 5
an.
3) (Additionstheoreme)
Zeigen Sie die folgenden Formeln:
a)
cos
5π
− 2x
2
= sin(2x)
b)
cos(3γ) = 4 cos3 γ − 3 cos γ
c)
tan(α ± β) =
tan α ± tan β
,
1 ∓ tan α tan β
wobei −π/2 < α, β, α ± β < π/2.
Lösung:
π
5π
π
a) cos
− 2x = cos 2π + − 2x = cos
− 2x = sin 2x.
2
2
2
b) cos(3γ) = cos(γ + 2γ) = cos γ cos(2γ) − sin γ sin(2γ)
Wir benutzen cos(2γ) = cos2 γ −sin2 γ = 2 cos2 γ −1 (letzteres wegen sin2 γ +cos2 γ =
1) und sin(2γ) = 2 sin γ cos γ:
cos(3γ) = cos γ (2 cos2 γ − 1) − 2 sin2 γ cos γ = cos γ (4 cos2 γ − 3)
c)
tan(α ± β) =
=
sin(α ± β)
sin α cos β ± cos α sin β
=
cos(α ± β)
cos α cos β ∓ sin α sin β
tan α cos β ± sin β
tan α ± tan β
=
cos β ∓ tan α sin β
1 ∓ tan α tan β
4) (Kettenlinie)
Die Form eines zwischen zwei gleich hohen Masten aufgehängten Seiles wird durch die
Kettenlinie y(x) = a cosh(x/a) beschrieben. In der Mitte zwischen den Masten gilt x = 0
und die Seilhöhe beträgt 80 m. Zudem sind die Masten 150 m voneinander entfernt. Wie
hoch sind die Masten?
3
Lösung:
Bestimme Parameter a:
80 = a · cosh
0
e0 + e0
= a · cosh 0 = a ·
= a.
a
2
Somit gilt a = 80. Nun werten wir die Funktion y(x) an den Masten aus, d.h. aus Symmetriegründen reicht es x = 75 einzusetzen:
y(x) = 80 cosh
75
x
= 80 cosh
= 80 · cosh 0.9375 ≈ 118
80
80
Die Masten sind also ca. 118m hoch.
5) (Komplexe Zahlen (in kartesischen Koordinaten), siehe Übung 1, Aufg. 10)
Gegeben seien die komplexen Zahlen z1 = 1 + i, z2 = 2 + i, z3 = 3 + 4i, z4 = 4 − 3i, z5 = i.
Geben Sie die folgenden komplexen Zahlen in kartesischer Darstellung an und berechnen
Sie deren Betrag.
1) z1 + z3 , 2) z1 z2 , 3) z1 /z2 , 4) z4 /z3 , 5) −z52 .
Lösung:
√
√
42 + 52 = 41
√
√
2) z1 z2 = (1 + i)(2 + i) = 2 + i + 2i + i2 = 1 + 3i und |z1 z2 | = 12 + 32 = 10
q
q z1 (1+i)(2−i)
3
2
1
3 2
1 2
=
3) zz12 = 1+i
=
+
i
und
+
=
=
2+i
5
5
z2
5
5
5
(2+i)(2−i)
q
z4 (4−3i)(3−4i)
−25i
4) z4 /z3 = 4−3i
02 + (−1)2 = 1
3+4i = (3+4i)(3−4i) = 25 = −i und z3 =
1) z1 + z3 = 1 + i + 3 + 4i = 4 + 5i
und
|z1 + z3 | =
5) −z52 = −i2 = 1 und |z52 | = 1.
6) (Komplexe Zahlen in Polarkoordinaten)
Gegeben seien widerum die komplexen Zahlen z1 = 1 + i, z2 = 2 + i, z3 = 3 + 4i, z4 =
4 − 3i, z5 = i.
Geben Sie die folgenden komplexen Zahlen in Polardarstellung an. Interpretieren Sie das
Ergebnis grafisch.
1) z1 , 2) z4 /z3 , 3) z5 , 4) z1 z5 .
Lösung:
In Polarkoordinaten schreiben wir eine komplexe Zahl in der Form r(cos(θ) + i sin(θ)) =
r eiθ , wobei r der Betrag und θ = Arg(z) das Argument der komplexen Zahl ist.
√
√
1) Es gilt |z1 | = 12 + 12 = 2. Durch Arg(z1 ) = arctan( 11 ) =
Zeichnung in der komplexen Ebene stellt man fest, dass θ = π/4.
z1 =
√
2(cos(π/4) + i sin(π/4)) =
√
2 eiπ/4 .
π
4
oder z.B. eine
4
2) Es gilt |z4 /z3 | = 1. Durch Arg(z4 /z3 ) =
Ebene stellt man fest, dass θ = 3π/2.
3π
2
oder z.B. eine Zeichung in der komplexen
z4 /z3 = 1(cos(−π/2) + i sin(−π/2)) = cos(π/2) − i sin(π/2) = e3iπ/2 = e−iπ/2 .
√
3) Es gilt |z5 | = 02 + 12 = 1. Durch Arg(z5 ) = π/2 oder z.B. eine Zeichnung in der
komplexen Ebene stellt man fest, dass θ = π/2.
z5 = 1 · eiπ/2 = eiπ/2 .
√
√
4) Es gilt |z1 z5 | = |z1 ||z5 | = 2 · 1 = 2 und θ = θ(z1 ) + θ(z5 ) = π/4 + π/2 = 3/4π.
Oder durch direkte Mulitplikation der beiden komplexen Zahlen erhält man
√
z1 z5 = z1 · z5 = 2e3iπ/4 .
Für die graphische Interpretation siehe beiliegende Skizze.
Bemerkung: Bei einer Addition werden komplexe Zahlen wie Vektoren addiert (später in
der Vorlesung), bei einer Multiplikation/Division die Beträge multipliziert/dividiert und
die Winkel addiert/subtrahiert.
7) (Gleichungen mit komplexwertigen Lösungen)
Lösen Sie die folgenden Gleichungen in C!
a) z 2 + 8z + 25 = 0,
b) z 2 + 5 = 0,
c) z 3 + 2z − 3 = 0,
d) z 4 − 13z 2 + 36 = 0
Lösung:
a) Man geht wie bei reellen quadratischen Gleichungen vor, die Diskriminante ist 82 −
4 · 25 = −36 = (6i)2 , daher
z=
−8 ± 6i
= −4 ± 3i.
2
√
b) z = ± 5 i
c) 1 ist eine Wurzel (die man z.B. durch Ausprobieren finden kann), daher faktorisiert
die Gleichung zu z 3 + 2z − 3 = (z − 1)(z 2 + z + 3).
Wir bestimmen die Wurzeln des Polynoms z 2 +z +3: Die Diskriminante ist 12 −4·3 =
√
−11 = (i 11)2 .
Also gibt es insgesamt drei Wurzeln für z 3 + 2z − 3 = 0:
√
−1 ± i 11
z = 1 oder
.
2
d) Rein reelles Problem. Man substituiere zuerst z 2 = s und erhält s = 9 oder s = 4
und schließlich für die vier Lösungen z = ±2, ±3.
8) (Komplexes Wurzelziehen)
Finden Sie alle z ∈ C, für die gilt
5
a)
√
3
1
z =− +
i,
2
2
3
b)
5
5
z = 32 cos( π) + i sin( π) .
4
4
5
Lösung:
Die Gleichung z n = w (z, w ∈ C) mit w = rn (cos(ψ) + sin(ψ)i) (r ∈ R, ψ ∈ [0, 2π)) hat
die Lösungen
zk = r(cos(ψ/n + 2πk/n) + sin(ψ/n + 2πk/n)i), k ∈ {0, 1, ..., n − 1}
Man hat zn = z0 , zn+1 = z1 usw. wegen der 2π-Periodizität von sin und cos.
a) Hier transformiert
man die rechte Seite zuerst in Polarkoordinaten.
√
3
1
3
z = − 2 + 2 i = cos( 32 π) + sin( 23 π)i, also r = 1, ψ = 23 π
2
2
z0 = cos( π) + sin( π)i
9
9
8
8
z1 = cos( π) + sin( π)i
9
9
z2 = cos(
14
14
π) + sin( π)i
9
9
Man kann überprüfen, dass z03 = w, z13 = w und z23 = w.
b) z 5 = 32 cos( 45 π) + i sin( 54 π) , also r = 2, ψ = 54 π
1
1
z0 = 2 cos( π) + i sin( π)
4
4
z1
z2
z3
z4
13
13
= 2 cos( π) + i sin( π)
20
20
21
21
= 2 cos( π) + i sin( π)
20
20
29
29
= 2 cos( π) + i sin( π)
20
20
37
37
= 2 cos( π) + i sin( π)
20
20
Für eine grafische Illustration der komplexen Wurzeln in a) und b) siehe die beiliegende
Skizze.
6
9) (Linearfaktoren)
Bestimmen Sie sämtliche reellen bzw. komplexen Nullstellen des Polynomns
f (z) = 2z 3 + 4z 2 + 42z − 116
und stellen Sie f (z) jeweils in Produktform dar.
Tipp: Es gilt f (1) = −68 und f (3) = 216. Versuchen Sie die erste Nullstelle im Intervall
(1, 3) durch Ausprobieren zu finden.
Lösung:
Man findet f (2) = 0, also z = 2 ist Nullstelle.
Durch Polynomdivision erhält man das Polynom 2z 2 + 8z + 58. Dieses hat die komplexen
Nullstellen −2 ± 5i.
Nachdem Fundamentalsatz der Algebra hat ein Polynom 3. Grades 3 komplexe Nullstellen,
somit sind wir fertig.
Reell: f (z) = (z − 2) · 2(z 2 + 4z + 29)
Komplex: f (z) = (z − 2) · 2(z + 2 − 5i)(z + 2 + 5i).
Besprechung in den Übungen von Freitag, 17.10.2014 bis Donnerstag, 23.10.2014
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