6.3 Intensität einer Welle

6.3 Intensität einer Welle
Die durch eine Welle transportierte Energie pro Zeit und Fläche nennt man
die Intensität einer Welle. Sie entspricht also einer Leistung pro Fläche.
Bsp.: Mechanische Welle (Wellenmaschine, Seilwelle, schwingende Saite)
→ kein Transport v. Materie, aber Transport v. Energie in Ausbreitungsrichtung
Die Energie des Teilchens der Masse ∆m am Ort x0 zur Zeit t0
∆E pot =
1 2 1
kA0 = ∆mω 2 A02
2
2
mit
ω=
k
∆m
entspricht der kinetische Energie bei Nulldurchgang nach Zeit T/4:
∆E kin =
1
∆mω 2 A02
2
Durch Wellenbewegung wird Energie mit Geschwindigkeit c an Nachbarn
weitergegeben. Energiestrom ( = Leistung ):
∆E ∆E ∆V
∆x
=
⋅
= w⋅ F
= w⋅ F ⋅c
∆t ∆V ∆t
∆t
mit der Energiedichte w = ∆E/∆V, F = Querschnittsfläche eines Volumenelements
Energiestrom/Fläche = Energiestromdichte = Leistung/Fläche =: Intensität
∆E
= w ⋅ c =: I
F ⋅ ∆t
Bsp: mechanische Welle von oben
w=
∆E 1 ∆m 2 2 1
=
ω A0 = ρ ⋅ ω 2 A02
2
∆V 2 ∆V
→
I=
1
1
1
ρ ⋅ ω 2 A02 ⋅ c = ω 2 A02 ⋅ ρ c =: ω 2 A02 ⋅ Z
2
2
2
Z = ρc heißt Wellenwiderstand
PhI+II
Hoeppe
- 87 -
AKUSTIK:
Angabe der Intensität über die Lautstärke L:
⎛ I ⎞
L := 10 ⋅ lg⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ dB (Dezibel)
⎝ I0 ⎠
Bezugsschallintensität I0 = 10-12 Watt/m2
( Hörschwelle bei 1 kHz)
oder bzgl. der Schalldruckamplitude p ~ I½ , bzw. I = p²/(ρc)
⎛ p⎞
L := 20 ⋅ lg⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ dB (Dezibel)
⎝ p0 ⎠
Bezugsschalldruck p0 = 2·10-5 Pa = 20 µPa
Wellenwiderstand:
Longitudinalwellen in FK + Flüssigkeiten:
E
c FK =
c fl . =
ρ
K
ρ
=
1
ρ ⋅κ *
Elastizitätsmodul E, Kompressionsmodul K, Kompressibilität κ*
ZH2O = ρH2O · cH2O ≅ 1,4·106 kg · m-2 · s-1
Longitudinalwellen in Gasen:
c=
K
ρ
=
κ p
= κ RT
ρ
κ = Isentropenexponent; cLuft ≅ 332 m/s
( = Adiabatenexponent )
ZLUFT = ρLuft·cLuft ≅ 428 kg m-2s-1
OPTIK / E.M.-Wellen:
Vakuum:
I = w⋅c =
Vakuumwellenwiderstand
Z 0 :=
1
1 ε0 2
E ⋅ Z0
ε 0 E 2 ⋅ c =:
2
2 µ0
µ0
= 377 Ohm
ε0
In Materie: Z ~ n ⋅ Z 0 = ε r µ r ⋅ Z 0
PhI+II
Hoeppe
- 88 -
6.4 Wellenausbreitung und Intensität
A) Verteilung der Intensität im Raum
(Bsp.: E.M.-Welle im Vakuum)
Ebene Welle:
r r
r
A(r , t ) = A0 cos(k ⋅ r − ω t )
→
I = I 0 ~ A2 = const
Intensität bleibt erhalten.
I
A
r
r
I (r ) = 02
A(r , t ) = 0 cos(k ⋅ r − ω t ) →
r
r
Energie bzw. Intensität verteilt sich auf Kugeloberflächen ~ 4πr2 .
(gilt auch für „Halbkugeln“ wie z.B. Glühbirne)
Kugelwelle:
B) Dämpfung bei Ausbreitung in Medium
Sind die verbundenen schwingenden Komponenten gedämpft,
so wird auch die Welle längs ihrer Ausbreitungsrichtung gedämpft,
d.h. Ihre Amplitude und ihre Intensität nimmt ab.
Dämpfung = Energieverlust pro Wegstrecke dx: dI ( x) = − I ( x) ⋅ α ⋅ dx
α: materialspezifischer Dämpfungsparameter (Extinktionsfaktor)
dI ( x)
= −α dx
I ( x)
Integration →
I ( x ) = I 0 ⋅ e −α x
⎛ I ( x) ⎞
⎟⎟ = −α x
ln⎜⎜
⎝ I0 ⎠
Optik: Lambert-Beersches Gesetz
oder wegen I ~ A 2 gilt für die Amplitude: A( x) = A0 ⋅ e
Längsgedämpfte ebene Welle:
PhI+II
Hoeppe
→
− 12 α x
→
r r
− 12 α r
r
A(r , t ) = A0 ⋅ e
⋅ cos(k ⋅ r − ω t )
- 89 -
6.5 Überlagerung von Wellen - Dopplereffekt
Für (lineare harmonische) Wellen gilt das Superpositionsprinzip:
Treffen Wellen aufeinander, so addieren sich lokal Ihre
Amplituden, die Ausbreitung beider Wellen bleibt unverändert
Doppelreffekt:
A) Tatütata:
Quelle bewegt sich mit Geschwindigkeit v auf im Medium ruhenden Beobachter zu.
→ Wellenlänge wird um v⋅T verkürzt
Quelle in Ruhe:
Quelle bewegt:
x ' = λ ' = c ⋅ T − v ⋅ T = (c − v ) ⋅ T = ( c − v ) ⋅
x = λ = c ⋅T
→ T=
λ
→
c
⎛ v⎞
λ ' = λ ⋅ ⎜1 − ⎟
⎝ c⎠
λ
c
⎛ v⎞
bzw. f ' = f ⋅ ⎜1 − ⎟
⎝ c⎠
−1
Überschallknall entspricht „Bugwelle“ für v ≥ c.
Winkel α des Mach’schen Kegels: sinα = c/v =: 1/M (Mach)
v=c:
v>c:
(vgl. auch Kiel- bzw. Bugwelle eines Schiffs bei Wasserwellen)
PhI+II
Hoeppe
- 90 -
B) Tatatatü:
Beobachter bewegt sich mit Geschwindigkeit v auf im Medium ruhende Quelle zu.
→ Wellenlänge bleibt erhalten, c erscheint um v vergrößert, (T entspr. verkleinert):
c' = c + v
f '=
→
c'
λ
=
c+v
λ
=
c+v
c+v
⎛ v⎞
= f⋅
= f ⋅ ⎜1 + ⎟
−1
c⋅ f
c
⎝ c⎠
C) beide bewegt:
Beobachter bewegt sich relativ zum Medium mit Geschwindigkeit vB auf Quelle zu,
Quelle bewegt sich relativ zum Medium mit vQ auf Beobachter zu:
→
f '= f ⋅
1+
1−
vB
c
vQ
c
D) Dopplereffekt bei Licht:
Licht (E.M.-Welle) breitet auch im Vakkuum aus, es existiert kein ‚Lichtäther’.
(vgl. hierzu Experiment von Michelson u. Morley.) Entscheidend für den Dopplereffekt
ist daher nur die Relativgeschwindigkeit (v ≅ vQ - vB für v << c) von Quelle und
Beobachter.
→
f '= f ⋅
v
c
v
1−
c
1+
Meist gilt v << c und damit:
⎛ v⎞
f ' ≅ f ⋅ ⎜1 + ⎟
⎝ c⎠
Anwendung/Relevanz:
- Linienverbreiterung in Spektroskopie
- Verschiebung ganzer Spektren →
- Astronomie: Geschwindigkeitsmessungen und Entfernungsbestimmungen durch
Messung der ‚Rotverschiebung’ z = ∆λ/λ.
(Stichworte: Dopplerverbreiterung, Fluchtgeschwindigkeit, Expandierendes
Universum, Hubble-Konstante, Quasare)
Anmerkung:
In allen Formeln zum Dopplereffekt wurde die Geschwindigkeit positiv für aufeinanderzu bewegte
Objekte betrachtet, entfernen sie sich voneinander ist lediglich v durch -v zu ersetzen.
PhI+II
Hoeppe
- 91 -
6.6 Reflexion von Wellen
Trifft eine Welle auf ein Medium mit anderem
Wellenwiderstand Z2, wird sie teilweise reflektiert
Aus der Stetigkeit der Amplituden an der Grenzfläche ( A0 + Ar = Atr ) und der
Energieerhaltung ( I0 = Ir + Itr ) folgt die Amplitude der reflektierten Welle Ar
und der transmittierten Welle Atr:
Ar = A0 ⋅
Z0 − Z2
Z0 + Z2
Atr = A0 ⋅
2Z 0
Z0 + Z2
Für Z2 > Z0 wird Ar negativ,
die reflektierte Welle erfährt einen Phasensprung um π.
Für die Intensitäten gilt:
2
Ir ⎛ Z0 − Z2 ⎞
⎟ =: R
=⎜
I 0 ⎜⎝ Z 0 + Z 2 ⎟⎠
Reflexionsfaktor
4Z 0 Z 2
I tr
=
=: 1 − R
I 0 (Z 0 + Z 2 )2
Transmissionsfaktor (Energieerhaltung!)
Diese Gesetzmäßigkeit gilt allgemein für Transversal- und Longitudinalwellen.
Speziell in der Optik gilt wegen Z ~ n Z0 bei Übergang von Medium 1 nach 2:
⎛ n − n2
I
R = r = ⎜⎜ 1
I 0 ⎝ n1 + n 2
PhI+II
Hoeppe
⎞
⎟⎟
⎠
2
- 92 -
6.7 Stehende Wellen
Stehende Wellen entstehen durch (mehrfache) Überlagerung von
Wellen mit ihren reflektierten Wellenzügen. Sie verhalten sich
wie eine Schwingung und können auch als solche beschrieben werden:
Wellen sind ‚laufende Schwingungen’, stehende Wellen sind Schwingungen.
Stehende Welle durch Reflexion an dichteren Medien:
Die reflektierte Welle erfährt einen Phasensprung um π, an der Grenzfläche
zwischen den Medien entsteht ein ‚Schwingungsknoten’.
Stehende Welle durch Reflexion an dünneren Medien:
Die reflektierte Welle erfährt keinen Phasensprung, an der Grenzfläche
zwischen den Medien entsteht ein ‚Schwingungsbauch’.
Bei gegebener Frequenz ist Wellenlänge mit c des Mediums festgelegt.
Eine stehende Welle ist möglich für:
L = n⋅
PhI+II
Hoeppe
λ
2
n = 1, 2, 3, ...
Resonanzbedingung
- 93 -
umgekehrt:
Für gegebenes L und c tritt Resonanz nur für bestimmte Frequenzen fi = c/λi auf:
L = 1⋅
λ1
L = 2⋅
λ2
L = 3⋅
...
L = n⋅
2
2
λ3
2
λn
2
→
f1 =
c
λ1
→
f2 =
→
f3 =
→
fn =
=
c
λ2
c
λ3
c
λn
c
2L
Grundschwingung
= 2⋅
c
2L
1. Oberschwingung
= 3⋅
c
2L
2. Oberschwingung
= n⋅
c
2L
n-1. Oberschwingung
Bsp.: Schwingende Saiten bei Musikinstrumenten
Stehende Welle durch Reflexion an dünnerem bzw. dichterem Medium:
Eine stehende Welle ist hier möglich für („links Knoten - rechts Bauch“):
L=
1
λ
⎛1 1⎞
⎛2 1⎞
⎛n 1⎞
λ , ⎜ + ⎟λ , ⎜ + ⎟λ ,.... , ⎜ + ⎟λ = (2n − 1)
4
4
⎝2 4⎠
⎝2 4⎠
⎝2 4⎠
λn =
4L
→
2n − 1
fn =
c
λn
= (2n − 1)
c
4L
n = 1, 2, 3, ...
n = 1, 2, 3, ...
Bsp: Mechanische Schwingung einer Stabantenne am Auto, Pfeife, Flöte
PhI+II
Hoeppe
- 94 -
Mathematische Beschreibung bei Reflexion am dichteren Medium:
A(x,t) = Ahin + Arück = A0cos(kx-ωt) + A0cos(kx+ωt + π)
cos(α + π ) = − cos(α )
→
A(x,t) = Ahin + Arück = A0cos(kx-ωt) - A0cos(kx+ωt)
cos(α ± β ) = cos(α ) cos( β ) m sin(α ) sin( β )
→
A(x,t) = Ahin + Arück = A0[ { cos(kx)cos(ωt) + sin(kx)sin(ωt) } { cos(kx)cos(ωt) - sin(kx)sin(ωt) } ] →
A(x,t) = 2A0 sin(kx)sin(ωt)
→ in Raum und Zeit periodisch,
→ aber nicht mehr fortschreitend !
→ für kx = nπ immer Amplitude von 0: “Knoten“
→ für kx = nπ + ½π maximale, mit sin(ωt) varierende Amplitude: “Bäuche“
→ Orte der Knoten und Bäuche im Raum fest: „stehende Welle“
AKUSTIK:
Maximale Amplitude der (lokalen) Schwingungen entspricht Schallschnelle,
Orte mit maximaler „Schalldruckamplitude“ bzw. zeitlich max. Druckschwankung
sind um λ/4 verschoben! Bei stehenden Wellen werden dadurch Knoten und Bäuche
vertauscht !
OPTIK / E.M.-Wellen:
Anpassung, d.h. Minimierung von Reflexion, erreichbar durch
- λ/4 Schichten (Entspiegeln)
- λ/4 Trafo’s („Transformation von Wellenwiderständen auf Bezugsebene“)
Problem: Anpassung nur „schmalbandig“ möglich, d.h. nur für kleinen Bereich von
Wellenlängen bzw. Frequenzen.
PhI+II
Hoeppe
- 95 -
PhI_M2
Hoeppe, 2007
- 96 -
6.8 Interferenz
Als Interferenz bezeichnet man die Überlagerung von
Wellen gleicher Frequenz und fester Phasenbeziehung.
(Stichwort: Kohärenz)
Konstruktive Interferenz:
→ Verstärkung
Überlagerung bei gleicher Phase
Destruktive Interferenz:
→ Auslöschung
Überlagerung bei Phasenunterschied von π,
bzw. Gangunterschied von λ/2
Räumliche Interferenzmuster ergeben sich bei Überlagerung
von kohärentem Licht unterschiedlicher Ausbreitungsrichtung:
→ Interferenz von Wasserwellen
→ Interferometer (Michelson, Fabry-Perot, Laser, ...)
→ Genaueste Messungen von Weglängen in der Größenordnung von λ
→ Planparallele Schichten, Entspiegelung von Gläsern
→ Vielfachreflexion bzw. Vielstrahlinterferenz, Fabry-Perot Interferometer
→ Beugung an Spalt und Gitter
PhI
Hoeppe, 2008
- 97 -
6.9 Beugung
Unter Beugung versteht man die Ablenkung von Wellen, d.h. die Änderung
ihrer Ausbreitungsrichtung soweit sie nicht durch Brechung bedingt ist.
Erklärung: Huygens’sches Prinzip:
Jeder Punkt einer Wellenfront ist Ausgangspunkt
einer neuen kugelförmigen Elementarwelle
Ebene Welle
6.9.1
Kante
Spalt
Beugung am Spalt
Vereinfachte Darstellung:
Betrachte jeweils 2 Elementarwellen, welche Spalt in halbem Spaltabstand b/2 in
gleicher Richtung verlassen und destruktiv interferieren (→ Minima).
∆=
b
λ
⋅ sin α = n ⋅
2
2
→ Minima für:
sin α = n ⋅
λ
b
mit n = 1, 2, 3, ..
Die Lage der Maxima lässt sich nicht im vereinfachten Bild erklären, sie liegen
aber zwangsläufig zwischen den Minima:
→ Maxima für:
sin α ≅ (2n − 1) ⋅
λ
2b
mit n = 1, 2, 3, ..
und α = 0
PhI
Hoeppe, 2008
- 98 -
Intensitätsverteilung ergibt sich aus Integration über alle Teilstrahlen /
Elementarwellen des Spalts in einer Richtung:
I SPALT
λ = 0,5 µm
⎛ sin x ⎞
= I0 ⎜
⎟
⎝ x ⎠
2
mit
x=
π ⋅b
sin α
λ
b = 0,1 µm
1
I Spalt ( α )
0.5
0
1
0.5
0
0.5
1
0.5
1
0.5
1
0.5
1
sin( α )
λ = 0,5 µm
b = 0,5 µm
1
I Spalt ( α )
0.5
0
1
0.5
0
sin( α )
λ = 0,5 µm
b = 1 µm
1
I Spalt ( α )
0.5
0
1
0.5
0
sin( α )
λ = 0,5 µm
b = 2 µm
1
I Spalt ( α )
0.5
0
1
0.5
0
sin( α )
PhI
Hoeppe, 2008
- 99 -
6.9.2
Beugung am Doppelspalt
Vereinfachte Darstellung:
Betrachte Elementarwellen, welche Spalte im Abstand d in gleicher Richtung
verlassen und konstruktiv interferieren (→ Maxima). Die Spalte seien zunächst
sehr klein gegen die Wellenlänge:
∆ = d ⋅ sin α = n ⋅ λ
→ Maxima für:
sin α = n ⋅
λ
d
mit n = 0, 1, 2, 3, ..
Die Lage der Minima ergibt sich entsprechend für einen Gangunterschied von
einer halben Wellenlänge:
∆ = d ⋅ sin α =
1 3 5
λ , λ , λ , ... → Minima für:
2 2 2
sin α = (2n + 1) ⋅
λ
2⋅d
mit n = 0, 1, 2, 3, ..
Die Intensitätsverteilung ergibt sich aus der phasengerechten Summation beider
Teilstrahlen, d.h. der Elementarwellen der Spalte in einer Richtung:
Doppelspalt-Interferenzfunktion:
I DS − IF = I 0 cos 2 ( y )
mit
y=
π ⋅d
sin α
λ
Bei Berücksichtigung der endlichen Spaltbreite ergibt sich das Gesamtbeugungsbild
aus der Überlagerung (Multiplikation) der Doppelspalt-Interferenzfunktion mit
der Beugungsfunktion des Spaltes:
⎛ sin x
⎞
I DS = I Spalt ⋅ I DS − IF = I 0 ⎜
⋅ cos y ⎟
⎝ x
⎠
PhI
Hoeppe, 2008
2
mit
x=
π ⋅b
sin α ,
λ
y=
π ⋅d
sin α
λ
- 100 -
Beugungsfunktion des Doppelspalts für λ = 0,5 [µm]:
b = 0,1 ; d = 1
1.2
1
Spalt( α )
Doppelspalt( α )
Spalt( α ) . Doppelspalt( α )
0
0.5
0
1
0.5
b = 0,1 ; d = 3
0
0.5
sin( α )
1
1
1
1
Spalt( α )
Doppelspalt( α )
Spalt( α ) . Doppelspalt( α )
0.5
0
1
0.5
0
0.5
1
0.5
1
0.5
1
sin( α )
b = 1 ; d = 3
1
Spalt( α )
Doppelspalt( α )
Spalt( α ) . Doppelspalt( α )
0.5
0
1
0.5
0
sin( α )
b = 2 ; d = 10
1
Spalt( α )
Doppelspalt( α )
Spalt( α ) . Doppelspalt( α )
0.5
0
1
0.5
0
sin( α )
PhI
Hoeppe, 2008
- 101 -
6.9.3
Beugung am Gitter
Vereinfachte Darstellung:
Betrachte Elementarwellen, welche Spalte im Abstand d in gleicher Richtung
verlassen und konstruktiv interferieren (→ Maxima). Die Spalte seien zunächst
sehr klein gegen die Wellenlänge. (Prinzipiell wie Doppelspalt, jedoch durch die
Vielstrahlinterferenz deutlichere Maxima.)
∆ = d ⋅ sin α = n ⋅ λ
→ Maxima für:
sin α = n ⋅
λ
d
mit n = 0, 1, 2, 3, ..
Die Minima sind - zwischen weiteren Nebenmaxima - zwischen den Maxima verteilt.
Typischerweise sind nur die Maxima deutlich sichtbar und aufgrund der Vielstrahlinterferenz an N Spalten sehr ausgeprägt. Die Gesamtbeugungsfunktion ergibt sich
wieder aus der Überlagerung von Gitter- und Spaltbeugung:
I = I SPALT ⋅ I Gitter
⎛ sin x ⎞
= I0 ⎜
⎟
⎝ x ⎠
2
⎛ sin( N ⋅ y ) ⎞
⎟⎟
⋅ ⎜⎜
⎝ N ⋅ sin( y ) ⎠
2
π ⋅b
sin α
λ
π ⋅d
y=
sin α
λ
x=
Stichworte:
→ Dispersives Element, Gitterspektrometer, Spetrallinien
→ Raumgitter, Röntgenbeugung, Gitterkonstanten, Strukturanalyse
PhI
Hoeppe, 2008
- 102 -
Gitterbeugungsfunktionen für λ = 0,5 µm und verschiedene Gitterparameter:
b = 1 µm
d = 5 µm
1
Spalt( α )
Gitter( α )
N=3
Spalt( α ) . Gitter( α )
0.5
0
1
0.5
0
0.5
1
0.5
1
0.5
1
0.5
1
sin( α )
b = 0,2 µm
d = 2 µm
1
Spalt( α )
Gitter( α )
N=3
Spalt( α ) . Gitter( α )
0.5
0
1
0.5
0
sin( α )
b = 0,2 µm
1
d = 2 µm
Spalt( α )
Gitter( α )
N=6
Spalt( α ) . Gitter( α )
0.5
0
1
0.5
0
sin( α )
b = 0,2 µm
1
Spalt( α )
d = 2 µm
N = 20
Gitter( α )
Spalt( α ) . Gitter( α )
0.5
0
1
0.5
0
sin( α )
PhI
Hoeppe, 2008
- 103 -
6.9.4
Auflösungsvermögen optischer Geräte
A) Mikroskop (Theorie nach Abbe)
Annahme:
Licht zweier nah beieinanderliegender Gegenstandspunkte
Abstand d ≥ λ ist zwangsweise kohärent.
Man betrachtet daher diese Bildpunkte wie die beiden Spalte eines Doppelspaltes→
Abbe:
2 Punkte sind auflösbar, falls mindestens das 1 Minimum des
Doppelspaltbeugungsbildes in das Objektiv des Mikroskops fällt,
d.h. d⋅sinα = 1⋅λ .
Für ein unendlich großes Objektiv wird max. Beugungswinkel 90° und damit
gilt als absolute Grenze (unabhängig von der Art des Mikroskops) dmin ≅ λ .
B) Fernrohr
Annahme:
Licht zweier weit (voneinander) entfernter Gegenstandspunkte,
z.B. zweier Sterne, ist sicher inkohärent.
Die beugende Struktur ist hier die Apertur A des Fernrohres, welches zwei
unabhängige Beugungsscheibchen (vereinfacht: entsprechend Spalt) erzeugt.
Kleinster auflösbarer Winkelabstand αmin , unter welchem die zwei Objekte
(ohne Optik) erscheinen:
α min =
λ
A
C) Spektrales Auflösungsvermögen
Betrifft Trennvermögen bzgl. den unterschiedlichen Wellenlängen eines Spektrums.
Rayleighkriterium:
Zwei „Farben“ sind gerade noch als getrennte Linien erkennbar, wenn
ihr Abstand größer ist als ihre spektrale Halbwertslinienbreite.
Bsp.: Das Auflösungsvermögen AV eines optischen Gitters ist AVG = n · N,
wobei n die verwendete Ordnung und N die Zahl der verwendeten bzw.
der beleuchtetet Spalte beschreibt.
PhI
Hoeppe, 2008
- 104 -
6.10
Brechung
Fällt eine Welle (nicht senkrecht) auf ein Medium mit anderem
Wellenwiderstand (bzw. Brechungsindex), ändert sich ihre Ausbreitungsrichtung.
Man spricht hier von Brechung.
A) Snelliussches Brechungsgesetz
Betrachte ebene Welle, welche schräg auf die Grenzfläche zwischen zwei
Medien fällt. (Die Grenzfläche sei eben für Bereiche ≥ λ .)
Die Frequenz der Welle ändert sich nicht. Aufgrund der verschiedenen
Ausbreitungsgeschwindigkeiten aber die Wellenlängen entsprechend
f =
c
λ
= const =
c1
λ1
=
c2
λ2
Betrachte zwei Teilstrahlen, welche mit dem Gangunterschied λ1 die Grenzfläche
im Abstand x erreichen. Nach dem Huygensschen Prinzip überlagern sich die
Teilwellen mit dem Gangunterschied λ2 im Medium 2 konstruktiv zu einer neuen
Wellenfront, so dass gilt:
λ1
sin α 1
λ
c ⋅f
c
= x = 1 = 1
= 1
sin α 2 λ 2
λ2 c2 ⋅ f c2
x
In der Optik gilt mit
ci =
sin α 1 λ1 c1 n 2
=
=
=
= n12
sin α 2 λ 2 c 2 n1
PhI
Hoeppe, 2008
1
ε i ⋅ µi
=
1
ε 0ε r i ⋅ µ 0 µ r i
=
c0
ε r i ⋅0 µ r i
=
c0
ni
ni Brechungsindizes; nij Brechzahl
- 105 -
B) Doppelbrechung
Bei anisotropen Medien hängt die Brechzahl von der Schwingungsrichtung
der Welle (Polarisation) ab. (In der Optik wird die Polarisation durch die
Schwingungsrichtung des E-Feldes definiert.) Dadurch werden die Anteile
unterschiedlicher Polarisation (Teilstrahlen) i.A. unterschiedlich gebrochen.
Man spricht von Doppelbrechung.
(klass. Bsp.: Doppelbrechung von Licht an Kalkspat oder Quarz Einkristallen)
C) Totalreflexion (hier: Optik)
Betrachte das Snelliussche Brechungsgesetz für den Übergang vom optisch
dichteren Medium ins optisch dünnere, also für n1 > n2: Das Licht wird jetzt
„vom Lot weg“ gebrochen. Wird der Einfallswinkel α1 größer, so wird bei einem
Winkel α1 = αgrenz der Austrittswinkel α2 = 90° und das Licht kann nicht mehr in
das Medium 2 übergehen. Es wird zwangsläufig vollständig (total) reflektiert.
Entsprechend Snellius gilt hier:
sin α grenz
sin 90°
= sin α grenz =
n2
= n12
n1
(Anwendung: Refraktometer / Abbe-Refraktometer, vgl. Übungen)
Anmerkung:
Der Grad der Reflexion ist auch von der Polarisation des Lichtes und den
entsprechenden Eintrittswinkeln abhängig (vgl. Doppelbrechung). Dies ergibt sich
aus der Anwendung der Stetigkeitsbedingung (vgl. 4.6) für das elektrische Feld an
der Grenzfläche, welche nur für die tangential zur Grenzfläche liegende
Komponente gilt. Daher ändern sich die Anteile der Polarisationen für das
reflektierte Licht mit dem Winkel; für eine bestimmten Winkel, den sog.
Brewsterwinkel αBrewster = arctan(n2/n1), ist das reflektierte Licht sogar vollständig
polarisiert.
PhI
Hoeppe, 2008
- 106 -
6.11
Dispersion
Die Brechung von Wellen an Grenzflächen ist nicht nur von der Polarisation und
dem Eintrittswinkel abhängig, sondern auch wesentlich von der Wellenlänge bzw.
der Frequenz der Welle.
Ursache hierfür ist die frequenzabhängige Wechselwirkung der Welle mit der
Materie des Mediums, wodurch die Phasengeschwindigkeit der Welle i.A. eine
Funktion der Frequenz wird.
• keine (oder lineare) Dispersion liegt vor, wenn gilt
c = f ⋅λ =
ω
k
mit
= const
dc
=0
dλ
bzw. v g ≡
dω
=c
dk
d.h. c ist konstant; z.B. Licht/E.M. Welle in Vakuum
• normale Dispersion liegt vor, wenn gilt
c = f ⋅ λ( f ) =
ω (k )
k
≠ const ,
mit
dc
>0
dλ
bzw. v g ≡
dω
<c
dk
d.h. die Ausbreitungsgeschwindigkeit c wird mit der
Wellenlänge größer; z.B. sichtbares Licht in Materie
• anomale Dispersion liegt vor, wenn gilt
c = f ⋅ λ( f ) =
ω (k )
k
≠ const ,
mit
dc
<0
dλ
bzw. v g ≡
dω
>c
dk
d.h. c wird mit der Wellenlänge kleiner;
z.B. fernes UV-Licht in Materie, Mikrowellen in Hohleiter
Anwendung: Prismenspektralapparat, Regenbogen
Anmerkung: In der Nachrichtentechnik werden Signale mit Hilfe verschiedener
Frequenzen übertragen, breiten sich diese in Folge einer Dispersion unterschiedlich
schnell aus, kann es zu einem Signalverlust kommen. Der Schwerpunkt eines Wellenpaketes,
welches aus verschiedenen Frequenzen besteht, breitet sich mit der sog.
Gruppengeschwindigkeit vg = dω/dk aus.
PhI
Hoeppe, 2008
- 107 -
7
7.1
7.1.1
Optik
Strahlenoptik
Fermat’sches Prinzip
A) Optische Weglänge
Durch die Einführung der optischen Weglänge
∆=n·s
wird die geringere Phasengeschwindigkeit c’ in einem Medium auf ein
scheinbar vergrößerte Weglänge abgebildet. n bezeichnet hier den Brechungsindex
im Medium und s die jeweilige geometrische Weglänge.
B) Fermat’sches Prinzip
Ein Lichtstrahl, der von Punkt A nach B gelangt, verläuft auf dem
Weg mit der kürzesten optischen Weglänge, d.h. ∆ → Min.
Bsp:
Optische Weglänge in Medium 1:
Optische Weglänge in Medium 2:
2
∆1 = n1 · sAX ; sAX = a2 + x2
2
∆2 = n2 · sXB ; sXB = b2 + (c-x)2
Gesamte Optische Weglänge: ∆(x) = ... → Min. , d.h.
daraus folgt
n1 ⋅
x
s AX
= n2 ⋅
c−x
s XB
und mit sin α 1 =
!
d
∆ ( x) = 0
dx
x
s AX
bzw.
sin α 2 =
c−x
s XB
unmittelbar das Snelliussche Brechungsgesetz: n1 ⋅ sin α 1 = n 2 ⋅ sin α 2
PhI
Hoeppe, 2008
- 108 -
7.1.2
Optische Linsen
Linsen dienen der gezielten Lichtbrechung durch gekrümmte Oberflächen.
Der Strahlengang berechnet sich durch die lokale Anwendung des Snelliusschen
Brechungsgesetzes (vgl. „Linsen.exe“):
A) Linsenformen:
Bikonvex, Plankonvex, Bikonkav, Plankonkav, konvex-konkav
B) Hauptebenen:
Zur Vereinfachung der Beschreibung des Strahlenganges einer Linse
werden sog. Hauptebenen eingeführt. Die Brennweite f entspricht dem Abstand
Hauptebene Fokus, an welchem parallel einfallende Strahlen zusammenlaufen.
Bei Konkavlinsen wird die Brennweite negativ angegeben, sie entspricht dem
Abstand zum virtuellen Fokus (→ virtuelles Bild).
Bei dicken Linsen oder Linsensystemen sind i.A. zwei Hauptebenen nötig, um das
Abbildungsverhalten richtig zu beschreiben. Für asymmetrische Linsen bzw.
Linsensysteme liegen diese in ungleicher Entfernung vom Linsenmittelpunkt.
(Stichwort: „Dicke Linse“)
PhI
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- 109 -
C) Brechwert, Linsenmacherformel:
D=
1
f
nennt man Brechtwert (Brechkraft) einer Linse.
Einheit: Dioptrie, 1 dptr = 1 m-1
Für eine Sphärische Linse mit den Krümmungsradien r1 und r2 gilt näherungsweise
die Linsenmacherformel:
D=
⎛1 1⎞
1
= (n − 1) ⋅ ⎜⎜ + ⎟⎟
f
⎝ r1 r2 ⎠
D) Linsenfehler:
- Sphärische Aberration
Sphärische Linsen fokussieren nur für große Krümmungsradien
bzw. achsnahe Strahlen hinreichend gut. (vgl. „Linsen.exe“)
- Astigmatismus
uneinheitliche Krümmungsradien in der zur opt. Achse senkrechten Ebene
(zylindrische Verformung) führen zu verschiedenen Brennweiten bzw. zu
einer ‚Brennlinie’ statt einem Brennpunkt.
- Chromatische Aberration
Infolge der Dispersion des Linsenmaterials hat die Linse für Licht
verschiedener Wellenlänge verschiedene Brennpunkte.
Abhilfe schaffen komplexe Linsensysteme mit Linsen
aus verschiedenen Materialien bzw. Brechzahlen.
Hohlspiegel zeigen diesen Fehler nicht. Daher werden insbesondere bei Spektral-
apparaten eher Hohlspiegel als Linsen verwendet. Zudem zeigen diese neben der
fehlenden Dispersion auch keine Absorption, d.h. das Licht (insbesondere UV-Licht)
wird nicht gedämpft. Überhaupt werden häufig Spiegel statt Linsen verwendet, wenn
die verfügbaren Intensitäten schwach sind: Linsen mit Durchmessern größer als z.B.
einen Meter sind teuer. schwer und damit mechanisch instabil.
In der Astronomie findet man daher eigentlich eher Spiegelteleskope.
PhI
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- 110 -
7.1.3
Bildkonstruktion
A) Abbildungsgesetz
Die Abbildung eines Gegenstandspunktes (Pfeilspitze) lässt sich mit Hilfe der
Hauptebene und zwei Strahlen einfach konstruieren:
1. Der Parallelstrahl wird an H durch F’ gebrochen.
2. Umgekehrt wird der Fokusstrahl and der Hauptebene zu einem Parallelstrahl
hinter der Linse gebrochen.
( 3. Häufig auch betrachtet: der Mittelpunktsstrahl wird nicht gebrochen)
Durch betrachten von tanϕ (Strahlensätze) folgt das Abbildungsgesetz
B b
=
G g
und nach etwas Umformung die Linsen-Abbildungsformel:
1 1 1
= +
f b g
B) Linsensysteme
Die Brechkraft (direkt) hintereinandergeschalteter Linsen addiert sich:
D = D1 + D2
→
1
1
1
= +
f
f1 f 2
(Bei Konkavlinsen ist das negative Vorzeichen von f zu beachten!)
PhI
Hoeppe, 2008
- 111 -
Offen bleibt jedoch die Frage der Bildkonstruktion, da bei der zweiten Linse
der Fokusstrahl nicht mehr konstruiert werden kann:
Da die Brechkraft der Linsen sich addiert (vgl. o.), sollte eine Konstruktion mit
der Brennweite f möglich sein, jedoch muss hier auch der Abstand der beiden
Einzellinsen berücksichtigt werden!
C) Hauptebenen (Dicke Linsen)
Durch Einführung von zwei Hauptebenen (für obiges Linsensystem ca. im
Abstand der beiden Linsen an den Orten H1 und H2) und der Gesamtbrennweite f
konstruiert sich die Abbildung wie folgt:
1. Der Parallelstrahl wird an der zweiten Hauptebene H’ durch F’ gebrochen.
2. Umgekehrt wird der Fokusstrahl durch F an H zu einem Parallelstrahl.
Auch für dicke Linsen müssen für eine gute Beschreibung der Abbildung zwei
Hauptebenen H und H’ und i.A. auch zwei Brennweiten f und f’ verwendet werden.
Obige Darstellung ist etwas vereinfacht:
Für ein Linsensystem aus zwei verschiedenen Linsen oder eine asymmetrische
dicke Linsen liegen die Hauptebenen H und H’ asymmetrisch im Linsenkörper oder
sogar außerhalb von ihm. Die Brennweiten f und f’ links bzw. rechts der Linse sind
jedoch betragsmäßig gleich, falls die Linse an Medien gleicher Brechzahl grenzt.
PhI
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- 112 -
7.1.4
Optische Geräte
A) Sehwinkel
Der Sehwinkel für einen ohne Hilfsmittel betrachteten Gegenstand ist abhängig
von der Größe und der Entfernung des Objektes. Für einen (kleinen) Gegenstand
wird als Bezugsgröße der Sehwinkel ε0 definiert, der sich bei Betrachtung des
Gegenstandes aus der Bezugssehweite (deutliche Sehweite) von 25 cm ergibt:
B) Vergrößerung
Durch Einbringen eines optischen Geräts in den Strahlengang wird der Sehwinkel,
also der Winkel unter dem das Bild eines Gegenstandes erscheint, vergrößert.
Als Vergrößerung V bezeichnet man das Verhältnis der Winkel ε/ε0 .
V ≡
ε
ε0
Wenn der Sehwinkel sehr klein ist gilt mit ε0 ≅ tan ε0 und ε ≅ tan ε auch V ≅ B/G.
C) Lupe
Ein Lupe wird betrieben mit g ≤ f, wobei das Bild mit einem entspannten Auge
betrachtet wird, d.h. Starhlen eines Bildpunktes fallen parallel in das Auge. Man
erhält ein virtuelles (hier aufrechtes) Bild mit einer Vergrößerung V von:
V =
PhI
Hoeppe, 2008
ε
G/g G/ f
≅
≅
ε 0 G / s0 G / s0
→
V LUPE =
s0
f
( in praxi V ≤ 10 )
- 113 -
D) Mikroskop
Das Mikroskop besteht aus einem Linsensystem mit mindestens 2 Konvexlinsen.
Das vom Objektiv erzeugte Zwischenbild B wird mit dem Okular wie mit einer
Lupe betrachtet:
- Lateralvergrößerung durch Objektiv:
- Vergrößerung durch Okular ~ Lupe:
→ Gesamtvergrößerung:
VMik =
B b b
= ≅
G g
f
s
Vok ≅ 0 ≅ 10
f ok
b s0
b
⋅
≅ ⋅ 10
f f ok
f
( z.B.: f ≅ 3mm; b ≅ 300mm → VMik ≅ 1000 ; Stärke Vergrößerungen
machen aus wellenoptischen Gründen keinen Sinn, vgl. 4.9.4)
E) Fernrohr
Hier sog. astronomisches Fernrohr: Aufbau vergleichbar mit Mikroskop, jedoch
sind hier die einfallenden Strahlen praktisch parallel, d.h. g → ∞. Das Zwischenbild
erscheint daher direkt hinter dem Brennpunkt des Objektivs, womit fobj und fok
praktisch zusammenfallen:
Mit tan ε 0 ≅ ε 0 ≅
B
B
und tan ε ≅ ε ≅
gilt:
f ok
f obj
V Fern =
f obj
f ok
(s.a.: Keplersches - oder Galileisches Fernrohr)
PhI
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- 114 -
7.2
Quantennatur des Lichts
Newtons Teilchenhypothese des Lichts ist ungeeignet zur Beschreibung
der Ausbreitung des Lichts. Zur Erklärung von z.B. Beugung und Interferenz
muss das Wellenmodell verwendet werden.
Es zeigt sich jedoch, dass zur Beschreibung von Wechselwirkungen des Lichts
mit Materie (Absorption und Emission) wieder ein Teilchencharakter des Lichts
angenommen werden muss (→ Lichtquanten, Photonen)
7.2.1
Photoeffekt
Fällt (monochromatisches) Licht auf eine (elektrisch leitende) Kathode in einer
Vakuumröhre, so können durch das Licht Elektronen ausgelöst werden. Die über die
Anode abfließenden Elektronen können als elektrischer Strom gemessen werden:
Dieser Strom nimmt mit der Lichtintensität zu, kann aber unabhängig von der
Lichtintensität I durch Anlegen einer Gegenspannung U0 zum versiegen gebracht
werden! Man beobachtet, dass die jeweilig anzulegende Spannung U0 eine lineare
Funktion der Frequenz f des eingestrahlten Lichts ist:
U 0 = U 0 ( f ) = const ⋅ f − ∆U
∆U = const ⋅ f grenz
Auch ohne Anlegen einer Gegenspannung, also für U0 = 0 , wird erst ab f ≥ fgrenz
ein Photostrom beobachtet. ∆U ist weder von der Frequenz noch von der
Intensität des Lichts abhängig sondern nur abhängig von den verwendeten
Materialien im Versuchsaufbau.
PhI
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- 115 -
Erklärung (Einstein, 1905):
Licht kann seine Energie nur in ‚Portionen’ abgeben, wobei eine
‚Energieportion’ E = h⋅f ein Lichtquant bzw. ein Photon definiert.
h ist das sog. Planck’sche Wirkungsquantum: h = 6,626⋅ 10-34 J⋅s
Interpretiert man ∆U⋅e als Austrittsarbeit ∆WA, welche geleistet werden
muss, um die Elektronen aus der Kathode zu lösen, ergibt sich:
U ⋅ e + ∆U ⋅ e = U ⋅ e + ∆W A = const ⋅ f ≡ h ⋅ f = E PHOTON
Es fließt demnach nur ein Strom, wenn die Energie der eingestrahlten Photonen
größer ist als ∆WA, und die ausgelösten Elektronen noch eine positive kinetische
Energie Ekin = h⋅f - ∆WA erhalten.
Anwendungen des Photoeffekts:
- Lichtintensitätsmessung
Photozelle wie oben abgebildet wird bei pos. angelegter Spannung U
in Sättigung betrieben. Der Photostrom ist dann proportional zur
Lichtintensität, d.h. zur Zahl einfallender Photonen (Bsp.: Geigerzähler)
- Sekundärelektronenvervielfacher
(→ Photomultiplier) Über die Erzeugung von Photonen durch einzelne schnelle
Elektronen, werden wiederum in einer Hochspannungsanordnung mittels des
Photoeffekts viele Elektronen ausgelöst und damit zu leicht messbaren
Stromstößen. (s.a. REM)
- Halbleiterbauteile wie z.B. Solarzelle ( innerer Photoeffekt )
Durch Absorption eines Photons wird ein Atom bzw. Molekül ionisiert. Das freie
Elektron verlässt aber das Material nicht, sondern bleibt als Ladungsträger
in dem Festkörper erhalten (Anhebung ins Leitungsband).
So wird die Leitfähigkeit bzw. der elektr. Widerstand des Halbleiters abhängig
von der Lichtintensität (→ Photosensoren).
Werden bei geeigneter Kombination von Halbleitern die vom Licht erzeugten
Ladungen getrennt, kann die Lichtenergie in elektrischen Strom umgewandelt
werden.
PhI
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- 116 -
7.2.2
Teilchen-Welle Dualismus; Materiewellen
A) Elektronenstreuexperiment von G.P. Thomson (1892-1975) 1927 :
Thomson beschoss eine Graphitfolie mit in einer Vakuumröhre beschleunigten
Elektronen. Das beobachtete Interferenzbild am Schirm kann nur durch
Welleneigenschaften der Elektronen erklärt werden.
bereits zuvor:
B) De Broglie (1892-1987) Wellenlänge von Teilchen 1924 :
Teilchen haben entsprechend ihres Impulses p (d.h. ihrer Masse und kinetischen
Energie) eine Wellenlänge
h
λ deBroglie =
p
und breiten sich wie Wellen aus.
Für im E-Feld beschleunigte Elektronen gilt mit E kin
λe =
−
h
=
p
p2
1
2
= me v =
=U ⋅e:
2
2 ⋅ me
h
2 ⋅ me ⋅ U ⋅ e
Streuexperimente wie das von Thomson lassen sich so erklären. Es zeigt sich
letztlich, das ein Teilchen nicht durch eine Welle allein sondern durch ein
Wellenpaket beschrieben werden muss. Die Teilchengeschwindigkeit entspricht
der Gruppengeschwindigkeit dieses Wellenpaketes und nicht der (größeren)
Phasengeschwindigkeit.
In Folge der Dispersion laufen diese Wellenpakete „mit der Zeit auseinander“, wodurch der
Ort eines Teilchens immer unbestimmter wird. Hier zeigen sich
bereits die begrifflichen Schwierigkeiten der ‚Wellenmechanik’ bzw. der Quantentheorie
(→Unschärferelation, Messprozess).
PhI
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- 117 -
8.
8.1
8.1.1
Aufbau der Materie
Atomphysik
Atommodelle
A) Spektrallinien
Licht wird von Materie / Atomen i.A. nicht als kontinuierliches Spektrum,
sondern insbesondere von Gasen als Linienspektrum emittiert.
Balmer (1825-1898) fand 1885 empirisch, dass das Linienspektrum des
Wasserstoff darstellbar ist als:
f =
1 ⎞
⎛ 1
= Rf ⎜ 2 − 2 ⎟
λ
n ⎠
⎝m
c
Rf = 3,288·1015 Hz, Rydbergfrequenz
Neben den chemischen Eigenschaften der Atome, musste ein gutes Modell
für den Aufbau eines Atoms auch die Spektrallinien erklären können.
B) Atommodell von J.J. Thomson (1856-1940) 1904:
Spektrallinien ?
Streuversuch von Rutherford?
C) Streuversuch von Rutherford (1871-1937) 1911:
Beschuss einer dünnen Goldfolie
mit Teilchen (He2+-Kernen):
Die meisten Teilchen werden kaum
oder gar nicht abgelenkt
Winkelverteilung der Streustrahlung war theoretisch nur
erklärbar mit der Annahme von
„harten“ schweren Kernen mit
Durchmessern von ca. 10-15 m,
also viel kleiner als Atom mit ca. 10-10 m!
PhI
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- 118 -
D) Rutherford / Bohrsches (1885-1962) Atommodell 1916:
Fe =
1 e 2 ! me v 2
=
= Fz
4πε 0 r 2
r
E pot = −
1 e2
4πε 0 r
;
Ekin =
1
me v 2
2
→ Gesamtenergie
Eges = Ekin + E pot = −
1 e2
8πε 0 r
Strahlung?
Forderung Bohr: Stabile Bahn nur für
!
Wirkung = ∫ pdq = n ⋅ h
→
rn =
bzw.
r
l = n⋅h
n 2ε 0 h 2
=: n 2 r0
π mee 2
En = −
n = 1, 2, 3, ..
1 me e 4
1
=: − 2 E A
2
2
n 8ε 0 h
n
n: Energie / Hauptquantenzahl ( Energien bzgl. l entartet)
Das Spektrum des H-Atoms:
En = −
1 me e 4
1
1
= − 2 2,18010 ⋅ 10 −18 J = − 2 13,6 eV
2
2
n 8ε 0 h
n
n
Emission / Absorption:
hf i ,k = hω i ,k = ∆Ei ,k = Ei − E k = 13,6 eV ⋅
1
1
− 2
2
i
k
i, k = 1, 2, 3 ..
→
f i ,k =
∆E i , k
h
=
13,6 eV 1
1
⋅ 2 − 2
h
i
k
Die Balmer Serie entspricht Übergängen von
angeregten Zuständen mit n = 3, 4, 5, .. auf den
Zustand n = 2. Später beobachtet:
→ n = 1: Lyman-Serie (UV)
→ n = 3: Paschen-Serie (IR)
→ n = 4: Bracket-Serie (IR)
→ n = 5: Pfund-Serie (IR)
PhI
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- 119 -
Definitionsgemäß ist die Energie eines freien Elektrons positiv, die eines
gebundenen Elektrons negativ (→Bindungsenergie). Ein angeregter Zustand
entspricht einer höheren Energie (n > 1) bzw. geringeren Bindungsenergie. Für die
Ionisation aus dem Grundzustand, also dem Übergang n = 1 → n = ∞, wird folglich die
Energie entsprechend n = 1 also 13,6 eV = 2,18·10-18 J für das H-Atom benötigt.
Was für die Emission von Licht gilt, gilt auch für die Absorption: Dies erklärt u.a.
das ‚reverse’ Absorptionsspektrum des Sonnenlichts hervorgerufen durch
vergleichsweise kühlere Gase in den äußeren Schichten der Sonne(n).
(→ Fraunhoferlinien)
E) Ergänzungen des Bohrschen Modells durch Sommerfeld (1868-1951)
- Berücksichtigung der Mitbewegung des Kerns (reduzierte Masse des e-)
- Zulassen von Ellipsenbahnen (vgl. Planeten) + relativistische Masse des e→ Aufhebung der l – Entartung (d.h. Energien auch von l abhängig)
→ weitere Quantenzahl l = 0, 1, .. n-1
→ Erklärung der Feinstruktur,
z.B. gelbe „Natrium D-Linie“ bei ~ 590 nm ↔ 589,59 nm + 589,00 nm
Alle klassischen Atommodelle versagen bei größeren bzw. komplizierteren Atomen,
neben den Spektrallinien können u.a. die magnetischen Eigenschaften nicht erklärt
werden.
F) Quantenmechanisches Atommodell
Die Schrödingergleichung der Quantentheorie ‚liefert’ für gebundene
Teilchen (z.B. e- im Atom) immer Lösungen/erlaubte Zustände mit diskreten
Energien (→ Quantisierung). Alle beobachteten Spektrallinien, von Atomen (und
auch Molekülen) können erklärt werden. Die Beschreibung von Materie als Wellen
führt letztlich nur zu Aufenthaltswahrscheinlichkeiten im Raum (→ Orbitale)
anstelle eines genau definierten Ortes der betrachteten Elektronen.
Sehr stark vereinfacht:
e- als stehende Welle im Potential des Atomkerns. Es sind nur Wellenlängen und
damit Zustände erlaubt, für die sich „konstruktive Interferenz“ ergibt, d.h. der
Umfang der Elektronenbahn muss ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge sein:
PhI
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- 120 -
Aus der relativistischen Theorie des Elektrons von Dirac (1902-1984) 1928 folgt
neben n und l eine weitere Quantenzahl s, welche den Spin = Eigendrehimpuls des
Elektrons beschreibt. Die Struktur des Periodensystems der Elemente spiegelt
sich in den Quantenzahlen n, l und s sowie der Ausrichtung der Drehimpulse im
Raum gekennzeichnet durch ml und ms wieder.
8.2
8.2.1
Kernphysik
Aufbau von Atomkernen
Atomhülle: Elektronen eAtomkern: Nukleonen:
- Protonen p+
- Neutronen n
me = 9,1095 ⋅10-31 kg
re ≅ 2,8 fm
mp = 1,6726 ⋅10-27 kg
mn = 1,6748 ⋅10-27 kg
rp ≅ 1,2 fm
rn ≅ 1,2 fm
Allgemeine Bezeichnung verschiedener Atomkerne, Nuklide:
A
Z
XN
Z
N
A
Protonenzahl = Ordnungszahl (= Elektronenzahl)
Neutronenzahl
= Z + N Nukleonenzahl = Massenzahl
Isotope = Nuklide eines chem. Elements
Bsp.: H → 1H (Wasserstoff), 2H (Deuterium), 3H (Tritium)
Angabe der Massenzahl A mit Zeichen für chem. Element eindeutig.
Ausführlich:
1
1
H0
2
1
H1
3
1
H2
Massenzahl M (= Ar relative Atommasse) im Periodensystem der chem. Elemente ist
gewichteter Mittelwert entsprechend der natürlichen Häufigkeit. Bsp: Kohlenstoff:
M(C) = 98,90 % ⋅ M(12C) + 1,10% ⋅ M(13C) + 0,00% ⋅ M(14C) = 12,0107 [ u bzw. g/mol]
8.2.2
Radioaktiver Zerfall
Beobachtung: Atomkerne sind i.A. instabil, d.h. sie zerfallen
in andere Nuklide unter Abgabe von Strahlung
→ Natürliche Radioaktivität:
α - Strahlung: He-Kerne 4He2+
β - Strahlung: Elektronen eγ - Strahlung: Photonen hoher Energie (MeV)
→ Künstliche Radioaktivität:
Positronenstrahlung e+ , Protonenstrahlung p , Neutronenstrahlung n
PhI
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- 121 -
A) Zerfallsgesetz
Ein (instabiler) Kern zerfalle mit Wahrscheinlichkeit λ, d.h. er habe eine mittlere
Lebensdauer τ = 1/λ. Messbar nur für große Zahl N von Kernen →
Aktivität einer Stoffmenge/Probe:
N (t ) = N 0 ⋅ e
= N0 ⋅ e
20
−
t
N [ 10
−λ ⋅t
]
dN = −λ ⋅ N ⋅ dt →
A:= λ⋅N
τ
Becquerel : 1 Bq =
32
28
24
20
16
12
8
4
0
1 Ereignis
s
T½ = 20
0
20
40
60
80
100
Zeit
Nach der Zeit t = T½ = τ⋅ln2 ist die Hälfte der Kerne zerfallen.
B) Zerfallsarten
α - Zerfall ( vorwiegend bei schweren Kernen )
A
Z
K
α
⎯
⎯→
A− 4
Z −2
K ∗ + 24He 2 +
β - Zerfall ( Neutron → Proton + Elektron )
A
Z
K
β
⎯⎯→
K ∗ + e−
A
Z +1
γ - Zerfall ( eigentlich Folgereaktion )
A
Z
K∗
γ
⎯
⎯→
K +γ
A
Z
Bsp.:
PhI
Hoeppe, 2008
- 122 -
8.3
Kernenergie und Massendefekt
Die freiwerdenden Energien beim Kernzerfall, Kernspaltung oder Kernfusion
entspricht freiwerdender Bindungsenergie. Diese sind bei Atomkernen so groß,
dass sie sich entsprechend E = mc² in einem messbaren Massendefekt äußern.
Bsp.: Sauerstoff ist (letztlich aus Wasserstoff) durch Kernfusionsreaktionen im
Inneren von Sternen entstanden. Die dabei freigewordene Energie ’fehlt’ dem
Sauerstoffkern, weshalb er leichter ’als erwartet’ ist:
16
O besteht aus
8 Protonen
8 Neutronen
8 Elektronen
Summe:
8 x mp =
8 x mn =
8 x me =
8 x 1,67262 ⋅10-27 kg
8 x 1,67482 ⋅10-27 kg
8 x 0,00091 ⋅10-27 kg
26,7868 ⋅10-27 kg
Die Masse von 16O ist jedoch 16,1313 u = 26,6395 ⋅10-27 kg, d.h. kleiner!
Entscheidend ist die Summe der Bindungsenergien bzw. Massendefekte aller
beteiligten Nukleonen. Betrachtet man den Massendefekt pro Nukleon, lässt sich
leicht ablesen durch welche Prozesse Energie frei werden kann:
Massendefekt / Nukleon [ MeV ]
0
-1
-2
-3
Kernfusion
-4
Energiegewinn durch Kernspaltung
-5
-6
-7
-8
-9
-10
0
50
100
150
200
250
Nukleonenzahl = Massenzahl A
In obiger (schematischer) Darstellung lässt sich auch zeigen:
- Die leichten Elemente bis ~ 56Fe entstehen unter Energiegewinn
durch Kernfusion in Sternen.
( Anwendung: Fusionsreaktor, Wasserstoffbombe )
- Die schwereren Elemente entstehen unter Energieverbrauch wahrscheinlich
hauptsächlich während Supernova-Explosionen. (Eine Fusion von sehr vielen Nukleonen
zu einem schweren Kern wäre denkbar, ist aber viel zu unwahrscheinlich.)
Umgekehrt wird durch Kernspaltung (in mittelschwere Nuklide) Energie frei.
( Anwendung: Atomkraftwerke, Atombombe )
PhI
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- 123 -