Die Zahl π

Die Zahl
31415926535897932384626433832795
02884197169399375105820974944592307
816406286208998628034825342117067982
1480865132823066470938446095505822317
25359
40812
848111
7450
284102
7019385
211
05559
644622
94895
493038
19644
288109
75665
933446
128475
648233
786783
1652712
0190914
5648566
9234603
4861045
4326648
2133936
072
6024914
1273724
5870
066063155
881748815209209
6282925409
17153643678925
903600113
305305488204
665213
841469519
Definition von
Eine unendliche Geschichte
mit Hilfe des Kreises
Die Geschichte von
Das Verhältnis von Durchmesser und Umfang eines
Kreises ist immer konstant . Die deshalb auch als
Kreiszahl bezeichnete Konstante, tritt in verschiedenen
Verhältnisgleichungen auf.
U
Archimedes von Syrakus (287 – 212 v. Chr.)
Umfang
Durchmesse r
Kreis
d
Zeitalter der Geometrie
Er stellte in seinem Werk „Über Kreismessung“ fest, dass das Verhältnis von Fläche eines Kreises zum Quadrat des Radius gleich
dem Verhältnis seines Umfangs zum Durchmesser ist. Dazu konstruierte er reguläre Polygone, die den Kreis umschreiben bzw.
einbeschreiben. Dabei kam er auf diese Näherung:
Fläche
Radius 2
1
3 10
71
3 17
3 Volumen
4 Radius 3
Kugel
François Viète (1540-1603)
Beweis der Formel von Viète
Viète berechnete den Flächeninhalt der in einen Kreis einbeschriebenen regelmäßigen Polygone
durch iterative Anwendung von Halbwinkeltheoremen der Cosinusfunktion und erhielt damit
ein unendliches Produkt zur Berechnung von .
Es sei An die Fläche eines regelmäßigen n-Eckes, dessen Eckpunkte auf einem Einheitskreis liegen.
Durch Berechnung der Dreiecksflächen erhalten wir An n sin
cos
n
n
Betrachten wir nun das Verhältnis von A2 zu A2
n 1
A2
2n
n 1
A2
1
sin
2n
2 sin
2 sin
n 1
A2
cos
2n
2 sin
A2
cos
1
n
n
2
2
n
2n
2n 1
1
1
cos
2n
lim A2
n
1
n 2
2n
2n
1
cos
2n
2n
2n
2
2
2
1
1
cos
cos
2 2 cos
2
2
4
8
2
2 2 cos
4
2
2000 v. Chr.
1800 v. Chr.
250 v. Chr.
130
264
480
499
1429
1609
1699
1706
1794
1844
1853
1874
2n
p
1
22n
n
16
8
2
2
2
2
1 3 5 (2 n 1)
2 4 6 2n
2 2 4 4 6 6
1 3 3 5 5 7
2
2n 2n
(2 n 1) (2n 1)
William Viscount Brouncker (1620 - 1684)
Durch Umstellen der Formel von Wallis erhielt Brouncker einen Kettenbruch für . Man kann jeder Zahl einen gewöhnlichen
Kettenbruch zuordnen. Um diesen zu erhalten schreiben wir die Zahl als Summe einer ganzen Zahl und einer Zahl kleiner als 1.
Nun wird der Kehrwert der zweiten Zahl genauso zerlegt, usw.
2
4
Historische Rekorde der Berechnung von
Babylonier
Ägypter
Archimedes
Hon Han Shu
Liu Hui
Tsu Chung Chih
Aryabhata
Al-Kashi
Van Ceulen
Sharp
Machin
Vega
Strassnitzky & Dahse
Rutherford
Shanks
2
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Münze bei einer geraden Anzahl von Würfen gleich oft auf Kopf und Zahl fällt ist p (wie
angegeben). Die Lösung dieses Ausdrucks für unendliches n fand Wallis noch vor der Einführung der Infinitesimalrechnung.
2
2
2
2
John Wallis (1616 - 1703)
1
2
2 2 cos
2
2
Zeitalter der Analysis
1
1
cos
cos
2
2
2
2
cos
2
2
2n
cos
n
2
n
2
1
cos n
2
Wenn wir die Anzahl der Ecken des Polygons erhöhen, näher sich die Fäche An der Kreisfläche an.
AKreis
2
2
2
exakte Stellen
1
1
3
1
5
6
4
14
34
71
100
140
200
440
527
3.125 (3 + 1/8)
3.16045 ([16/9]²)
3.14185
3.1622 ( 10)
3.14159
3.14159292 (355/113)
3.14156
707 berechnete Stellen
12
32
52
2
2
1
Leonhard Euler (1707 - 1783)
Euler war einer der bedeutensten Mathematiker des 18ten Jahrhunderts. Obwohl er meistens mit der Zahl e identifiziert wird,
stellte er auch einige Formeln für die Berechnung der Zahl auf. Eine der bekanntesten Formeln verbindet fünf Basisgrößen und
drei Recharten mit einander e i 1 0 . Er war ebenfalls in der Lage die Summe der reziproken Quadrate zu lösen, an der sich
schon viele Mathematiker versucht hatten.
k 1
1
k2
1
1
1
4
1
9
1
16
2
1
4
6
6
1 x 2 dx
1
p2
1
2
0
p prim
Isaac Newton (1643 - 1727)
Unter anderem entwickelte Newton ein iteratives Verfahren zur Berechnung des Kehrwertes 1x langer Zahlen, das zum Beispiel in
der Berechnung von verwendet werden kann. Er selbst berechnete über die Reihenentwicklung von arcsinx auf 15 Stellen,
von denen 13 korrekt waren.
Beweis der Irrationalität
nach Ivan Niven (1947)
Angenommen
arcsin x
a
, ein Quotient zweier natürlicher Zahlen.
b
Wir definieren zunächst die Funktionen
x n (a bx ) n
f ( x)
n!
F ( x ) f ( x) f ( 2 ) ( x)
f ( 4) ( x)
( 1) n f (2 n ) ( x)
f (i ) ( ) 0
i 1
1 x3
2 3
1 3 x5
2 4 5
1 3 (2 p 1) x 2 p 1
2 4 (2 p) 2 p 1
arcsin
1
2
6
James Gregory (1638 - 1675)
Es gilt für die ersten Ableitungen
f ( i ) (0 )
x
Im Jahre 1671 stellte Gregory eine Formel auf, die den Radius r eines Kreises, den Kreisbogen a und den zugehörigen Tangens t
in Beziehung setzt. Daraus lässt sich direkt die Reihenentwicklung für die Unkehrung der Tangensfunktion ablesen. Diese Reihe
ist mehrere hundert Jahre lang die Berechnungsgrundlage für geblieben.
n 1
Ab der n-ten Ableitung entstehen durch Anwenden der Produktregel Summanden, die an den
Stellen 0 und nicht wegfallen. Diese Terme sind aber ganze Zahlen, da mit dem Produkt der
abgeleiteten Exponenten (insgesamt n!) multipliziert wurde.
Die Ableitung des folgenden Ausdrucks
d
F ' ( x) sin x F ( x) cos x F ' ' ( x) sin x F ( x) sin x f ( x) sin x
dx
t3
3r 2
a t
t5
5r 4
t7
7r 6
arctan x
x
x3
3
x5
5
x7
7
arctan1
4
führt zu
f ( x) sin x dx
F ' ( x) sin x F ( x) cos x 0
John Machin (1680 - 1752)
F ( ) F (0)
0
Der Integrant kann im Intervall 0,
Die Berechnungsformel von arctan(1) konvergiert langsam, weshalb man sehr viele Reihenglieder
berechnen muss. Eine bessere Konvergenz erhält man durch Verknüpfen mehrerer Reihen mit
kleineren Argumenten, wodurch Machin 1706 als erster 100 Stellen von berechnete.
abgeschätzt werden durch
n n
a
0 f ( x) sin x
n!
und damit bei wachsendem n beliebig klein werden. Dies führt zu einem Widerspruch, denn die
Fläche unter dieser Funktion ist immer eine ganze Zahl.
Unsere Annahme
4
2 arctan
1
1
arctan
3
7
a
war demnach falsch.
b
Die Jagd nach Stellen
Miyoshi und Kanada
Bailey
Kanada und Tamura
Chudnovskys
Takahasi und Kanada
Kanada
Chudnovskys
Kanada
Kanada
Kanada
1981
Januar 1986
November 1986
August 1991
Juni 1995
Oktober 1995
1996
Juli 1997
April 1999
Dezember 2002
2.000.036
29.360.111
1.073.741.799
2.260.000.000
3.221.225.466
6.442.450.938
8.000.000.000
51.539.600.000
68.719.470.000
1.241.100.000.000
Yasumasa Kanada ist seit einigen Jahren der einzige Rekordhalter bei der Berechnung von immer
mehr Stellen der Zahl . Von den letzten 25 Weltrekorden sind nicht weniger als 15 mit seinem
Namen verbunden. Er arbeitet an der Universität von Tokio und leitet dort ein Laboratorium,
Kanada Lab. Er beschäftigt sich mit „High Performance Computing“ und verwendet für seine
Rekorde zum Beispiel einen Computer mit 128 Prozessoren.
Es gibt sogar Algorithmen um einzelne Stellen von zu berechnen, ohne die vorherigen kennen zu
müssen. Mit dem erst 1995 vorgestellten „BBP-Verfahren“ hat der 17 Jahre alte Colin Percival die
10billionste hexadezimale Stelle von als A berechnet. Dazu verwendete er die Rechenleistung
von 126 Computern über das Internet.
Kurioses rund um
Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg
Die Formel von Madhava-Gregory-Leibnitz konvergiert sehr schlecht, so benötigt man
für 100 genaue Stellen etwa 10100 Folgenglieder. Sie besitzt aber die bemerkenswerte
Eigenschaft, dass nach einer falschen Stelle einige richtige folgen.
1 1 1
1
1
k 1
4 1
1
3 5 7
2k 1
2k 1
k 1
Plakatgestaltung von
Ralf Ehlert
Markus Durzinsky
Proseminar 2003
Besondere Zahlen
Prof. Bräsel
500.000
500.000
4 1
1
3
1
5
1
7
1
999 999
= 3.141590653589793240462643383269502884197
= 3.141592653589793238462643383279502884197
Der Ausdruck e 163 scheint sehr kompliziert zu seien, da er die transzendenten Zahlen
e und sowie die Wurzel einer Primzahl enthält. Tatsächlich liegt der Wert allerdings
nahe bei einer ganzen Zahl.
163
e
262 537 412 640 768 743,99999 99999 992
Noch spektakulärer ist dieser Ausdruck:
3
e
163
744
640 319,99999 99999 99999 99999 99993
Quellen
•
•
•
•
•
•
•
- Algorithmen, Computer, Arithmetik; Arndt, Haenel; Springer Verlag
Berlin Heidelberg New York; 2. überarb. erw. Auflage 2000
- die Story; Jean-Paul Delahaye; Birkhäuser Verlag Basel; 1999
www.pi314.at
www.pi314.de
www.piworld.de
http://www.cecm.sfu.ca/pi/pi.html
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