2. Kinematik punktförmiger Körper x x x ∆ = − ( ) x t ( ) () () dx t vt xt dt

1
2. Kinematik punktförmiger Körper
2
Beschleunigung:
Körper werden als Massenpunkte idealisiert
a (t ) =
2.1 Bewegung im 1-dimensionalen Raum
t:
Konvention:
dv(t )
= vɺ(t ) = ɺɺ
x(t )
dt
Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit
(bzw. zweite Ableitung der Ortskurve)
Zeit [s]
x (,y,z) : Ort [m]
v:
Geschwindigkeit [m/s]
a:
Beschleunigung
[m/s2]
s:
zurückgelegter Weg [m]
( ∆x = x2 − x1 )
Beispiel:
x(t)
Geschwindigkeit:
Steigung der Ortskurve
∆x
Ort
∆t
t
Ortskurve (beschreibt Bewegung):
x(t )
v(t)
beliebige Funktion der
Zeit
t
Geschwindigkeit
Geschwindigkeit:
v(t ) =
dx(t )
= xɺ (t )
dt
Ableitung der Ortskurve nach der Zeit
a(t)
Beschleunigung
t
3
Einfachster Fall: konstante Geschwindigkeit
v=
hier ist
und mit t0 = 0 :
Umgeformt:
4
Beispiel:
konstante Beschleunigung (gleichförmig
beschleunigte Bewegung), mit t0 = 0s :
dx ∆x x1 − x0
=
=
dt ∆t t1 − t0
t
v(t ) = v0 + ∫ adt = v0 + at
s
v=
t
s = vt
0
t
x(t ) = x0 + ∫ v(t )dt
0
Genauer: die Umkehrung der Ableitung ist die Integration
Geschwindigkeit
v=
t
= x0 + ∫ ( v0 + at ) dt
dx
dt
0
1
= x0 + v0t + at 2
2
t
⇒
x(t ) = x0 + ∫ v(t )dt
t0
Beschleunigung
a=
dv
dt
v0 hier negativ
t
⇒
x(t)
x0
v(t ) = v0 + ∫ a (t )dt
t0
t
5
Beschreibung des freien Falls
2.2 Der freie Fall
Meßergebnis:
a(t)
Integral =
Fläche unter der Kurve!
t1
Beschleunigung:
in der Nähe der Erdoberfläche wirkt auf alle Körper
die gleiche Beschleunigug a = g
(wenn die Luftreibung vernachlässigt werden kann,
d.h. im Vakuum oder bei kleinen Geschwindigkeiten)
− gt1
a=-g
Mit x0 = 0 und v0 = 0 :
v(t)
t1
Geschwindigkeit:
g = 9.81 m/s2
1
− gt12
2
t
Diese beträgt (im Mittel)
Erdschwerebeschleunigung
(der Wert variiert groß- und kleinräumig; an den Polen
beträgt er etwa 9.83 m/s2, am Äquator etwa 9.78 m/s2 )
Konvention: die Höhe wird mit z bezeichnet, mit positiver
Richtung nach oben; dann hat a ein negatives Vorzeichen
t
v = ∫ (-g)dt = − gt
t
0
z(t)
Ort:
t
t
0
0
t1
z = ∫ v(t)dt = ∫ (-gt)dt
a = -g = -9.81 m/s2
Tabelle
(setzen
g = 10 m/s2)
t2
= −g
2
t
v = -gt
z = - g t2/2
0.1 s
-1 m/s
-0.05 m
0.2 s
-2 m/s
-0.2 m
0.4 s
-4 m/s
- 0.8 m
0.6 s
-6 m/s
-1.8 m
0.8 s
-8 m/s
-3.2 m
1s
-10 m/s
-5 m
t
6
7
Allgemein: freier Fall mit Anfangsbedingungen
8
Zusammenhang:
(Anfangsbedingungen sind die frei wählbaren anfänglichen
Werte der Lösungsfunktionen einer Differentialgleichung;
hier sind es Startort z0 und Startgeschwindigkeit v0)
v =
1
z (t ) = z0 + v0t − gt 2
2
d
r
dt


ẋ(t)
= r˙ (t) =  v̇(t) 
ż(t)
(jede Komponente des Ortsvektors wird nach der
Zeit abgeleitet)
2.3 Bewegung im dreidimesionalen Raum
z
Kinematische Größen sind Vektoren
Ort

z0

x
r =  y 
z
a =
Ortsvektor
r
y0
y
d
v
dt

 

v̇x (t)
ẍ(t)
= v˙ (t) =  v̇y (t) = ÿ(t) 
z̈(t)
v̇z (t)
Analog zum eindimensionalen Fall gilt auch:
x0
t
Geschwindigkeit


vx

vy 
v =
vz
x
r (t ) = r0 + ∫ v (t )dt
t0
t
v (t ) = v0 + ∫ a (t )dt
t0
Beschleunigung

ax
a =  ay 
az

Für die konstante Beschleunigung ist also
1
r (t ) = r0 + v0t + at 2
2
9
10
z
Bahnkurve:
2.4 Der „schiefe Wurf“
beide Achsen
Ortskoordinaten!
v0
(freier Fall mit Anfangsgeschwindigkeit)
z0
Vektorielle Darstellung der Erdbeschleunigung:

0
a = g =  0 
−g
Genauer:
(konstante Beschleunigung in negativer z-Richtung)
die Anfangsgeschwindigkeit hat einen
Betrag v0 und einen Winkel α zur
x-Achse (zur Erdoberfläche)
v0
vz

v0 cos α

0
v0 = 
v0 sin α

Allgemeine Bewegung:
r(t) = r0 + v0 t + 12 g t2
 
 


0
v0,x t
x0

0
=  y0  +  v0,y t  + 
1 2
z0
v0,z t
− 2 gt
α



x(t)
x0 + v0,x t
 y(t)  = 

y0
z(t)
z0 + v0,z t − 12 gt2
vx
Berechnen der Bahnkurve (hier mit z0 = 0):
z
Es ist
Das Koordinatensystem sei so gewählt, dass vy = 0 gilt:

x
x0

l
A = l cos α
h = l sin α
∆z
h
Zeit, um A zurückzulegen:
α
x
A
„Ziel“
tA =
A l cos α
l
=
=
vx v0 cos α v0
11
Höhe bei t = tA :
1
l 1 l 
z (t A ) = vz0t A − gt A2 = v0 sin α − g  
v0 2  v0 
2
1 l
z (t A ) = h − g 2
2 v0
⇒
2
12
Bestimmung des Zeitpunkts des Auftreffens auf dem
Boden (z=0):
1
vz0t − gt 2 = 0
2
Lösungen:
2
∆z ist unabhängig
vom Winkel α !
oder
∆z
Ein anfänglich auf einen Punkt gerichteter Wurf verfehlt
diesen in senkrechter Richtung um die Strecke, die ein
frei fallendes Objekt (ohne Anfangsgeschwindigkeit) in
derselben Zeit zurücklegt!
Umgeformt:
l = vx0t = vx0vz0
2
2
= v02 cos α sin α
g
g
v02
= sin 2α
g
l
vz0 = v0 sin α
1
z (t ) = vz0t − gt 2
2
(beschreibt die
gesuchte Lösung)
2vz0
t=
g
z
0
x
Bewegung in z-Richtung:
1
vz0 − gt = 0
2
(am Anfang ist das
Objekt bei z=0)
In x-Richtung zurückgelegter Weg zu diesem
Zeitpunkt:
Frage: welcher Winkel führt bei gegebener
Geschwindigkeit zum weitesten Wurf?
v = v0 cos α
t =0
Diese wird maximal für α = 45 Grad ( π/4 )
α
x
⇒
lmax
v02
=
g
Maximale Weite
des schiefen Wurfs
auf einer Ebene
13
14
Zeitabhängigkeit der Koordinaten: harmonische Oszillation
Zahlenbeispiele:
Weitsprung, v0=10m/s
⇒
Motorrad, v0=50m/s (180 km/h)
⇒
l max= 10 m
x(t)
Periode τ
lmax = 250 m
es gilt:
τ/2
t
τ
2.6 Kreisbewegung
r
y
Wir betrachten eine
Kreisbewegung in der
xy-Ebene. Hier gilt:
r = r0
ϕ
⇒
ω=
y(t)
τ/2
τ
ωτ = 2π
2π
τ=
ω
2π
τ
Kreisfrequenz
t
x = r0 cos ϕ
x
y = r0 sin ϕ
Der Winkel ist zeitabhängig:
ϕ = ϕ (t )
Bei gleichförmiger Bewegung:
Merke: „normale“ Frequenz
⇒
ϕ = ωt
f =
1
τ
ω = 2πf
Kreisfrequenz
Damit wird der Ortsvektor:

r0 cos ωt
r(t) =  r0 sin ωt 
0

Allgemein gilt:
ω (t ) =
d
ϕ (t )
dt
Winkelgeschwindigkeit
15
Geschwindigkeit und Beschleunigung bei der Kreisbewegung
v (t )
r (t )
16
b) für den Betrag des Vektors gilt:
Wir betrachten eine Kreisbewegung in
der xy-Ebene
Ort:
Geschwindigkeit
v = vx2 + v y2 + vz2


r0 cos(ωt)
r(t) =  r0 sin(ωt) 
0
= r02ω 2 sin 2 (ωt ) + r02ω 2 cos 2 (ωt )

 

r0 cos(ωt)
−r0 ω sin(ωt)
d 
r0 sin(ωt)  =  r0 ω cos(ωt) 
v (t) =
dt
0
0
= r02ω 2 = r0ω
Der Betrag der Geschwindigkeit bleibt konstant!
(für konstantes ω)
Es ist also
Eigenschaften der Geschwindigkeit
v = r0ω
Beschleunigung
a) Es gilt

 

r0 cos(ωt)
−r0 ω sin(ωt)



r0 ω cos(ωt)
r0 sin(ωt) 
v (t) · r(t) =
·
0
0
= r0 ω 2 (− cos(ωt) sin(ωt) + cos(ωt) sin(ωt))
=0
Das Skalarprodukt ist immer Null, d.h. der GeschwindigkeitsVektor steht immer senkrecht auf dem Ortsvektor!
(daher verändert sich die Länge des Ortsvektors nicht)

 

−r0 ω sin(ωt)
−r0 ω 2 cos(ωt)
d 
r0 ω cos(ωt)  =  r0 ω 2 sin(ωt) 
a(t) =
dt
0
0
⇒
a(t) = −ω 2r(t)
Der Beschleunigungsvektor zeigt zum Zentrum der
Kreisbahn!
Für seinen Betrag gilt:
a = r0ω 2
17
2.7. Vektorielle Beschreibung der Kreisbewegung
z
⌢
n
Beschleunigung:
a = vɺ = ( − rɺ × ω ) + ( − r × ωɺ )
Richtung der Drehachse:
(Einheitsvektor mit Länge 1)
⌢
ω = ωn
Bahngeschwindigkeit:
r⊥
r (t )
α
18
= (−v × ω ) = ω × v
v = r⊥ω = ω r sin α
y
Es gilt:
v⊥r
⌢
v⊥n
x
Dies entspricht den Gegebenheiten bei einem
Kreuzprodukt. Mit der Definition
⌢
ω = ωn
läßt sich also schreiben:
v = −r × ω = ω × r
Einsetzen der obigen Formel für die Geschwindigkeit:
a = ω × (ω × r ) = ( ω ⋅ r )ω − (ω ⋅ ω ) r
 1 
= (ω ⋅ r )ω − ω 2 r = ω 2  2 (ω ⋅ r )ω − r 
ω

 ω ω 
= ω2  ( ⋅r ) − r 
ω
 ω

ω
r⊥
r
r + r⊥
r
r
⇒
Bahngeschwindigkeit bei einer Drehung um eine
Drehachse
durch den Ursprung, beschrieben
ω
durch
.
= 0, da der Vektor
konstant ist
a = −ω 2 r⊥
Der Beschleunigungsvektor zeigt zum Zentrum
der Kreisbahn!