arcsin

Klassen WI09abct
FrSe 10
ungr
MLAN2 Geometrie
Serie 7
Aufgabe 1
Lösen Sie die folgenden Gleichungen:
a) sin (2x) = tan (x)
b) sin (2x) = cos ( x2 )
c) sin (2x) − 2 sin (x) = tan (x)
d) sin (3x) − 3 sin (x) = 2
Aufgabe 2
a) Drücken Sie den arcsin (x) durch den arctan (...) aus.
b) Gegeben ist sin (φ) = x. Gesucht ist cos (φ) dieses Winkels, ohne den Winkel φ zu bestimmen!
c) Drücken Sie den cot−1 (x) durch den arcsin (...) aus.
d) Gegeben ist tan (φ) = x. Gesucht ist sin (φ) dieses Winkels, ohne den Winkel φ zu bestimmen!
Aufgabe 3
Gesucht ist eine Parameterdarstellung der Geraden g, die durch P (1, 0, 3) geht und senkrecht steht zu


 
1
2
h : ⃗r =  0  + µ  −1 
2
3
und l = l(A, B), wobei A(1, 8, 2) und B(−1, 2, 0).
Aufgabe 4


−2
Ein Lichtstrahl s aus der Lichtquelle Q(1, 2, 3) mit der Richtung m
⃗ =  −1  wird an der Ebene
2
E : 2x + y + z = 1 reflektiert.
Bestimmen Sie eine Parameterdarstellung des reflektierten Lichtstrahls s′ .
1
serie7_MLAN2_geom.tex
Aufgabe 5
Lösen Sie die folgenden Gleichungen resp. Ungleichungen:
a) 3 sin (α + 30◦ ) + cos (α − 30◦ ) = 1
b) 3 sin (α + 30◦ ) + cos (α − 30◦ ) ≥ 1
c) sin (x + 1) + sin (x + 2) = sin (x + 3)
Aufgabe 6
Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung
3 · sin (x) − 4 · cos (x) =
2
7
5
serie7_MLAN2_geom.tex
MLAN2 Geometrie
Lösungen Serie 7
Lösung 1
a) Aus sin (x) = 0: x = kπ oder aus cos2 (x) = 12 . x =
π
4
b) Aus cos ( x2 ) = 0: x = (2k + 1)π, aus sin ( x2 ) = 12 : x =
aus
sin ( x2 )
=
√
−1+ 5
:
4
√
x=2
und schliesslich
aus sin ( x2 ) =
√
−1− 5
:
4
arcsin ( −1+4 5 )
√
x = 2 arcsin ( −1−4
5
+ kπ, k ∈ Z.
π
3
+ k 4π oder x =
+ k 4π oder x = 2 (π −
5π
3
+ k 4π,
√
arcsin ( −1+4 5 ))
) + k 4π oder x = 2 (−π − arcsin ( −1−4
√
5
+ k 4π
)) + k 4π,
wobei für alle Fälle k ∈ Z.
√
1− 3
2 :
√
x = ± arccos ( 1−2 3 ) + k 2π, k ∈ Z.
(
)
1
1
1
−π − arcsin (− √
+ k 2π, k ∈ Z.
d) Aus sin (x) = − √
3 : x = arcsin (− √
3 ) + k 2π oder x =
3 )
2
2
2
c) Aus sin (x) = 0: x = k π und aus cos (x) =
Lösung 2
a) Rechtwinkliges Dreieck mit der Hypothenuse 1 und den Katheten x und
also
(
)
x
arcsin (x) = arctan √1−x
2
√
1 − x2 , (Pythagoras);
√
1 − x2 , dasselbe Dreick, wie in a).
√
c) Rechtwinkliges Dreieck mit der Hypothenuse 1 + x2 und den Katheten x und 1, (Pythagoras);
also
(
)
b) cos (φ) =
cot−1 (x) = arcsin
d) sin (φ) =
√ x
,
1+x2
√ 1
1+x2
dasselbe Dreieck, wie in c).
Lösung 3




1
1
g : ⃗r =  0  + ν  0 
3
−1
3
serie7_MLAN2_geom.tex
Lösung 4
s′ geht durch die Punkte
Punkt Q.



−3
s′ : ⃗r =  0  + ν 
7
S = s ∩ E = (−3, 0, 7) und Q′ (−3, 0, 1) = an der Ebene E gespiegelter

0
0 
6
Lösung 5
√
√ 3 cos (α) = √2
sin (α) + 33+
, tan φ =
3+1
3 3+1
2
α = arcsin ( 3√3+1 cos (φ)) − φ
√
3+
√ 3
3 3+1
=⇒ φ = 0.6522 und
a) α = −22.51◦ + k · 360◦ oder α = 127.77◦ + k · 360◦ , k ∈ Z,
Symmetrie der Sinus-Funktion bei
π
2
b) −22.51◦ + k · 360◦ ≤ α ≤ 127.77◦ + k · 360◦ , k ∈ Z,
oberhalb bzw. unterhalb der in a) gerechneten Grenzen.
c) tan (x) =
− sin (1)−sin (2)+sin (3)
cos (1)+cos (2)−cos (3) ,
also x = −0.9653 + k π, k ∈ Z.
Lösung 6
Methode des Hilfswinkels:
7
sin (x) − 43 · cos (x) = 15
, tan (φ) = − 43 ⇒ φ = −0.9273
7
7
sin (x + φ) = 15 · cos (φ) ⇒ x = arctan ( 15
· cos (φ)) − φ und somit x = 1.2111 + k 2π, k ∈ Z oder
7
x = π − arctan ( 15 · cos (φ)) − φ = 3.7851 + k 2π k ∈ Z (Symmetrie der Sinus-Funktion).
4
serie7_MLAN2_geom.tex