pn-Übergang
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pn-Übergang Vorbereitung: Informieren Sie sich an Hand der Unterlagen in der Vorbereitungsmappe über das Bändermodell, die Dotierung, den pn-Übergang und seine Strom-Spannungskennlinie, einschließlich der Zenerdioden. Zeichnen Sie schematisch den Bandverlauf analog Fig. 8 oben der Vorbereitungsunterlagen, aber für eine angelegte Spannung, einmal in Sperrrichtung und einmal in Durchlassrichtung. Was passiert in diesem Fall mit dem Fermi-Niveau? Berechnen Sie die Kapazität eines symmetrischen pn-Übergangs in Abhängigkeit von der Sperrspannung in Ergänzung zur Formel (34) der Vorbereitungsunterlagen. Bringen Sie zum Versuch einen USB-Stick oder eine Diskette mit. Aufgaben: 1. Messen Sie punktweise die Strom-Spannungskennlinie eines Se-Gleichrichters, einer Ge-Diode und einer Si-Diode. Als Stromquelle dient der verstärkte Ausgang der LabView-PC-Karte im Computer (LabView-Programm „pn-Übergang“). Gemessen wird mit Multimetern. Achten Sie dabei auf strom- bzw. spannungsrichtige Messung. Zum Schutz der Dioden ist ein Vorwiderstand von 220 Ohm zwischen Spannungsquelle und Diode zu schalten. Folgende Grenzwerte dürfen nicht überschritten werden: I Se-Gleichrichter* Ge-Diode Si-Diode Durchlass max = 50 mA 15 mA 50 mA U Sperr max = 10 V 10 V 10 V * befindet sich in der Brückenschaltung Tragen Sie die Kennlinien in linearem Maßstab auf, die Durchlasskennlinien auch logarithmisch (log(I) gegen U). Diskutieren Sie Abweichungen von der erwarteten Kennlinie gemäß Formel (31) der Vorbereitung. Diskutieren Sie den Fortschritt der Technologie von Se über Ge zu Si. Hinweis: Der Se-Gleichrichter ist ein eher historisch wichtiges Bauelement und folgendermaßen aufgebaut: An der Grenze zwischen Se und dem SnCd Kontakt bildet sich eine dünne CdSeSchicht. Der pn-Übergang ist somit ein Halbleiter-Heteroübergang zwischen dem pleitenden Se und dem n-leitenden CdSe. 1 2. Messen Sie nach Rücksprache mit dem Betreuer die Durchlass-, Sperr- und Durchbruchskennlinien von drei Zenerdioden (ZD 39; ZD 62; ZD 82). Die Zenerdioden befinden sich in einem Kupferblock, der geheizt werden kann. Messen Sie die Kennlinien bei Raumtemperatur, 40°C, 60°C, 80°C und 100°C. Benutzen Sie dabei den eingebauten Vorwiderstand von 220 Ω, um die DiodenStröme auf 50 mA zu begrenzen. Zeitabstand: 20 ms. Daten sind abspeicherbar. Hinweise zur Temperaturmessung: Y-Achse mit rechter Maustaste anklicken und „Autoscale“ aktivieren. Bei „Raumtemperatur“ aktuelle Raumtemperatur eingeben. Während der Strom-Spannungsmessung stoppt die Temperaturmessung. Der heizbare Kupferblock wird mit dem Netzgerät über die gelben Bananenbuchsen gespeist. Plotten Sie die Kennlinien für alle drei Z-Dioden. Plotten Sie für einen festen Durchbruchstrom die Durchbruchspannung als Funktion der Temperatur, UDB(T), und bestimmen Sie die jeweiligen Temperaturkoeffizienten dUDB /dT in mV/K. Diskutieren Sie die Temperaturabhängigkeit der Durchbruchskennlinien. 3. Zenerdioden dienen zur Spannungsstabilisierung. Messen Sie die Kennlinien Uout = f(Uin) für 10 unterschiedliche Lastwiderstände im Bereich Uin = 0 ..15 V für die beiden Schaltungen zur Spannungsstabilisierung. Plotten Sie die Kennlinienschar für jede Schaltung. Plotten Sie die Ausgangsspannung als Funktion des Lastwiderstands für eine Eingangsspannung von Uin = 10 V. Diskutieren Sie die Unterschiede in der Wirkungsweise der beiden Schaltungen. 4. Messen Sie die Kapazität des Se-Gleichrichters in einer Brückenschaltung in Abhängigkeit von der Sperrspannung. Der Se-Gleichrichter wird Grund seiner großen Fläche (A = 130 mm2) verwendet, da die Sperrschichtkapazität hierdurch groß ist und sich in der Brückenschaltung gut messen lässt. Zum Aufbau kurze Kabel verwenden. Erklären Sie die Wirkungsweise der Brückenschaltung. Warum ist der Vorwiderstand zwischen Sperrspannungsquelle und Se-Gleichrichter hier hochohmig gewählt? Eliminieren Sie durch eine geeignete Auftragung die Kapazität der Schaltung aus den gemessenen Daten (C gegen 1/Wurzel(Usperr)). Bestimmen Sie dann aus Cdiode = f(Usperr) den Wert von Udiff und die Dotierkonzentration unter der Annahme eines symmetrischen pn-Übergangs und vollständiger Ionisation der Donatoren und Akzeptoren (εHL = 6.6). Wählen Sie dazu wieder eine geschickte Auftragung. Wo ist die Sperrschichtkapazität sinnvoll einsetzbar, wo ist sie eher störend? 5. Wie würden Sie eine Si-Diode aufbauen, die - eine möglichst große Durchbruchspannung in Sperrrichtung hat? - eine möglichst kleine Sperrschichtkapazität hat? - eine möglichst große Sperrschichtkapazität hat? - Wie könnte man erreichen, dass die Sperrschichtkapazität nicht wurzelförmig mit zunehmender Sperrspannung abnimmt, sondern linear? 2 Fortgeschrittenen-Praktikum (FP oder PIII): Institut für Angewandte Physik Versuch: pn Übergang Vorbemerkung: Mehrere der Versuche im FP des Instituts für Angewandte Physik zielen auf das Verständnis verschiedener Effekte und Phänomene aus dem Bereich Halbleiterphysik in Übereinstimmung mit der Hauptarbeitsrichtung des Instituts und der Anwendung in der Industrie, wie z.B. die Versuche pn-Übergang, Solarzelle, Halleffekt, Lumineszenzspektroskopie, Photoleitfähigkeit oder Halbleiterspektroskopie. Die Mehrzahl der Studierenden führt die Versuche zum FP im 5. oder 6. Semester durch. Das ist im Hinblick auf die Dauer des Studiums sinnvoll, hat aber das Problem, dass die Festkörperphysik (Physik V) oft erst im gleichen Semester gehört wird, sodass insbesondere zu Beginn dieses Semesters noch kaum Festkörperkenntnisse vorliegen. Dieses Problem sollen die nachfolgenden Ausführungen beheben. Der Aufbau ist folgendermaßen: Die zur Vorbereitung dienenden Informationen zu den Halbleiterphysik-Versuchen sind modular aufgebaut. Zunächst werden Grundlagen des Bändermodells eingeführt. Diese sind für alle oben genannten Versuche identisch. Dann folgen weiterführende Abschnitte, die für die jeweiligen Versuche spezifisch sind, z.B. pn Übergang und Zenereffekt für den Versuch „pn-Übergang“, elektrische Leitfähigkeit und Halleffekt für den Versuch Halleffekt oder optische Eigenschaften und Excitonen für den Versuch Halbleiterspektroskopie. Die Kenntnis der hier dargestellten Grundlagen ist Voraussetzung für die sinnvolle Durchführung des Versuchs und wird in der Besprechung vor Versuchsbeginn mit dem Assistenten überprüft. Der Text der Vorbereitung soll selbst verfasst sein, kurz auf die Grundlagen und auf die zu Beginn des Aufgabenblattes gestellten Fragen eingehen. Es ist nicht nötig, den ganzen Text aus der Vorbereitungsmappe abzuschreiben oder zu kopieren. Es ist verboten, Vorbereitungstexte „alter Meister“ aus dem Netz auszudrucken, da der Lerneffekt dieses Verfahrens Null ist und die Texte im Netz erfahrungsgemäß mit Fehlern behaftet sind. Da die hier angegebenen Darstellungen sehr elementar und knapp sind und i.a. ohne Beweise erfolgen, sondern mit dem Ziel, den Sinn und Zweck der Versuche nachvollziehen zu können, ersetzen sie nicht die Teilnahme an der Vorlesung Physik V und eine intensive weitere Beschäftigung mit der Festkörperphysik. Weiterführende Literatur zu den Versuchen ist am Ende der Aufgabenblätter angegeben und entweder mit beigeheftet oder in der Fakultätsbibliothek verfügbar. 1. Kristallstruktur Wir betrachten, soweit nicht anders vermerkt, kristalline Festkörper, die sich durch eine räumlich periodische Anordnung der Atome auszeichnen. Die (primitive) Einheitszelle wird r aufgespannt durch drei nicht koplanare Basisvektoren a i. Eine Translation, die den Kristall in sich selbst überführt, lässt sich schreiben als r R= 3 ∑n i i =1 r ai mit ni=0, ±1, ±2,… (1) Die ari spannen ein abstraktes Punktgitter im Ortsraum auf, das sog. Kristallgitter. Die Kristallstruktur besteht aus diesem abstrakten Punktgitter und der sog. Basis, die angibt, an welchen Plätzen in der Einheitszelle die einzelnen Atome sitzen. Es können unterschiedliche 3 Kristallstrukturen für das gleiche Punktgitter auftreten, so haben z.B. Diamant, Zinkblende oder Kochsalz ein kubisch flächenzentriertes Punktgitter, aber durchaus unterschiedliche Kristallstrukturen. Neben dem abstrakten Punktgitter im Ortsraum definiert man ein Punktgitter im reziproken r Raum, das sog. reziproke Gitter, aufgespannt durch die Vektoren b i mit r b1 = 2π ar 2 × ar 3 und zyklisch VEZ r sodass gilt: ari ⋅ b j = 2πδij . (2) (3) r Dabei ist VEZ das Volumen der Einheitszelle im Ortsraum. Ein Translationsvektor G im reziproken Gitter schreibt sich somit r 3 r G = ∑ hi bi mit hi=0,±1,±2,… (4) i =1 Man definiert im reziproken Gitter sogenannte Brillouin Zonen (BZ). Die erste Zone besteht aus allen Punkten des reziproken Raumes, die dem Ursprung (dem sog. Γ-Punkt) näher liegen r als allen anderen Punkten G . Für eine einfache kubische Kristallstruktur mit der Gitterkonstante a erstreckt sich die erste BZ in alle drei Richtungen des reziproken Raumes von − π a ≤ ki ≤ π a i=x,y,z (5) 2. Die Zustände der Elektronen im Festkörper 2.1 Das Potentialtopfmodell Die einfachste Vorstellung des Elektronensystems in einem Festkörper ist das Sommerfeldoder Potentialtopfmodell. Hier geht man davon aus, dass der Kristall einen Potentialtopf mit einer Tiefe - V0 darstellt, dessen Zustände ( bei T = 0K ) bis zur Fermienergie EF aufgefüllt sind. Fig. 1: Das Potentialtopfmodell für einfache Metalle Der Abstand von EF zum Vakuum-Niveau ist die Austrittsarbeit der Elektronen Ø. 4 Mit diesem Modell lassen sich einige Eigenschaften einfacher Metalle erklären, wie ihre spezifische Wärme, ihre elektrische Leitfähigkeit oder ihr Paramagnetismus. In diesem Modell ist aber die Existenz von Halbleitern oder Isolatoren nicht erklärbar. Dazu bedarf es des nachfolgend erläuterten Bändermodells. 2.2 Das Bändermodell Das Auftreten von Energiebändern, die von sog. verbotenen Zonen oder Energielücken getrennt sind (englisch „gap“), in denen keine stationären, propagierenden Elektronenzustände existieren (Fig.2), lässt sich verstehen ausgehend von freien Elektronen und von den Orbitalen der Atome, aus denen der Kristall aufgebaut ist. Die zugehörigen Methoden der Bandstrukturrechnung sind bekannt unter Namen wie NFE (nearly free r r electrons), OPW (orthogonalized plane waves), APW (augmented plane waves) und k ⋅ p r r (nach dem Produkt aus Wellenvektor k und Impulsoperator p ) bzw. LCAO (linear combination of atomic orbitals) oder tight binding approach. Wir beginnen mit freien Elektronen. Wenn sich diese über einem konstanten Potential V0 bewegen, haben sie (nichtrelativistisch) die Energiedispersion r r h 2k 2 (6) E ( k ) = E0 + 2me mit ebenen Wellen als Eigenfunktionen r 1 ikrrr e . Ψkr (r ) = Ω (7) r Dabei sind 1/ Ω der Normierungsfaktor und k der Wellenvektor mit k = 2π / λ Siehe die gestrichelte Linie in Fig. 2a. Fig. 2: Entwicklung des reduzierten Zonenschemas (b), ausgehend von freien Elektronen in einem schwachen periodischen Potential (a) oder von Atomorbitalen (d, c). h Die ebene Welle ist gleichzeitig Eigenfunktion des Impulsoperators grad mit dem i r Impulseigenwert hk . Dies entspricht dem Modell unter 2.1. 5 Wir betrachten jetzt ein schwaches periodisches Potential längs der x-Achse (Fig. 3) und lassen eine ebene Welle auf dieses Potential auftreffen. Fig. 3: Ein schwaches eindimensionales periodisches Aufenthaltswahrscheinlichkeit der beiden Lösungen Potential V(x) und die Dann wird an jedem Potential die ebene Welle etwas gestreut. Die Streuwellen interferieren für einen allgemeinen Wert von kx weitgehend destruktiv, d.h. für ein solches k werden Eigenenergie und Eigenfunktion (6) und (7) nicht wesentlich verändert. Es gibt aber bestimmte kx-Werte, für die sich die rückgestreuten Wellen konstruktiv überlagern. Diese sind für unser Beispiel gegeben durch nλ = 2 a (8) oder kx = n ⋅ π a mit n= ±1, ±2… . (9) Das sind gerade die Grenzen der 1 und der höheren BZ in einem einfach kubischen Gitter (5). r Der reziproke Raum ist also der Raum, in dem die k -Vektoren aufgetragen werden. Die Überlagerung der einfallenden mit der rücklaufenden Welle führt zu einer stehenden Welle. Diese hat für gleiches λ bzw. k zwei Lösungen, die sin kxx und die cos kxx Lösung. Bei r h 2k 2 ist die potentielle Energie der Zustände mit großer gleicher kinetischer Energie 2m Aufenthaltswahrscheinlichkeit im Bereich der Potentialminima kleiner als die der anderen Lösung. Deshalb bilden sich an den Rändern der Brillouin Zonen zwei Lösungen unterschiedlicher Gesamtenergie und damit Energielücken aus (durchgezogene Linie in Fig. 2a). Da sich ein Wellenpaket, aufgebaut aus stehenden Wellen, auch nicht bewegt und damit die Gruppen Geschwindigkeit vg null wird, d.h. vg = 1 ∂E ⋅ =0 h ∂k x , (10) muss die Dispersionskurve mit waagrechter Tangente auf den Zonenrand zulaufen. 6 Geht man statt von freien Elektronen von Atomorbitalen aus, so hat man zunächst bei großem Abstand zwischen den Atomen die scharf definierten δ-förmigen Energieterme (Fig. 2d). Mit abnehmendem Abstand fangen die Atomorbitale an zu überlappen. Diese Wechselwirkung führt zu einer Aufspaltung in Bänder (Fig.2c). Die Bandbreite wächst mit weiter abnehmendem Abstand, da dann die beteiligten Wellenfunktionen zunehmend überlappen. Die genauere Untersuchung ergibt das sog. (Ewald-)Bloch Theorem: In einem periodischen Potential sind die Wellenfunktionen der Elektronen sog. Blochwellen r 1 ikrrr r r Ψkr (r ) = e u k (r ) , Ω (11) r r r dabei ist u kr (r + R) = u kr (r ) , d.h. gitterperiodisch. (12) r In u kr (r ) steckt die Information über die durch chemische Bindung und Wechselwirkung veränderten Atomorbitale, während die Exponentialfunktion den Charakter der ebenen Welle repräsentiert. In der Blochwelle sind somit beide obigen Ansätze vereint. Für die Energieeigenwerte gilt: r r r E (k ) = E (k + G ) . (13) Das erlaubt einerseits, die Dispersion von Fig. 2a periodisch fortzusetzen oder alle Äste mit r geeigneten Vektoren G des reziproken Gitters in die erste Brillouin Zone zu schieben. Das liefert das sog. reduzierte Zonenschema von Fig. 2b, das man offenbar sowohl von dem Ansatz nach Fig. 2a als auch 2d erreicht. r Das Bändermodell lässt sich im k oder reziproken Raum darstellen oder im Ortsraum. (Fig. 4) r Fig. 4: Darstellung der Bandstruktur im k - und im Ortsraum. Je nach Problemstellung wählt man die eine oder andere Darstellung. Wir besetzen nun für T=0K die Zustände gemäß Fermi-Dirac Statistik mit den im Kristall vorhandenen Elektronen. Dieser Auffüllprozess kann so ausgehen, dass man eine Reihe vollständig gefüllter Bänder erhält und darüber ein (oder mehrere) teilweise gefüllte Bänder. Solche Substanzen sind Metalle. Sie haben für T ⇒ 0 eine endliche (oder bei Supraleitern eine unendliche) elektrische Leitfähigkeit und EF liegt im dem Band. Grund: In einem teilweise besetzten Band kann ein Elektron unter beliebig kleiner Energiezufuhr an der Grenze zwischen besetzten und unbesetzten Zuständen von einem Ort an einen anderen Ort 7 transportiert werden. Da das Band im Sommerfeldmodell immer nur teilweise besetzt ist, lassen sich damit, wie schon erwähnt, nur Metalle beschreiben. Gibt es nach Auffüllen aller Zustände bei T=0 nur vollständig gefüllte Bänder, dann eine Energielücke und darüber vollständig leere Bänder, so hat das Material für T ⇒ 0 die elektrische Leitfähigkeit σ=0, da vollständig leere Bänder trivialerweise nicht zur elektrischen Leitfähigkeit beitragen können, vollständig besetzte ebenfalls nicht aufgrund des Pauliprinzips. Die öfters und auch in manchen Lehrbüchern vertretene Auffassung, dass Elektronen in Leitungsband frei beweglich sind, Elektronen in Valenzbändern dagegen fest an die Atome gebunden seien, ist falsch. Dann dürfte es nämlich auch keine Löcher- oder pLeitung geben (siehe unten). Hier gleich ein Hinweis zur Nomenklatur: alle bei T=0 vollständig besetzten Bänder heißen Valenzbänder, alle teilweise besetzten oder leeren Bänder heißen Leitungsbänder. Beträgt die Lücke Eg zwischen dem höchsten gefüllten Valenzband (VB) und dem niedrigsten leeren Leitungsband (LB) 0 < Eg ≤ 4eV , (14) so handelt es sich um einen Halbleiter (HL) und für E g ≥ 4eV (15) um einen Isolator. Die Grenze zwischen HL und Isolator ist fließend. So ist Diamant mit Eg≈5.5eV noch ein typischer Halbleiter. Die HL selbst werden noch eingeteilt in schmallückige HL (narrow gap semiconductors) für 0 < E g ≤ 0,5eV , (16) in „normale“ HL für 0,5eV ≤ E g ≤ 2eV (17) und in breitlückige HL (wide gap semiconductors) E g > 2eV , (18) die besonders in den letzten Jahren wieder von verstärktem wissenschaftlichen Interesse sind. Berühren sich VB und LB, d.h. ist Eg=0, so spricht man von Halbmetallen. 8 Fig. 5: Typische Bandstruktur von Halbleitern mit tetraedrischer Koordination mit Details (nach O. Madelung) In Fig. 5 ist eine typische Bandstruktur von kubischen Halbleitern mit tetraedrischer Koordination dargestellt. Die Komplexität der Bandstruktur rührt neben dem periodischen Potential im Wesentlichen von der Rückfaltung der parabolischen Dispersion nach (13) in die erste BZ her. Es sind einige Details gezeigt. Liegen die globalen Extrema von VB und LB beim gleichen r r k -Vektor in der 1 BZ (meist aber nicht immer bei k = 0 ), so spricht man von einem direkten HL oder einem HL mit direkter Lücke, da der optische Übergang zwischen den Bandextrema r direkt mit einem Photon ( k ≈ 0 ) möglich ist (z.B. GaAs). Liegen die Extrema bei r unterschiedlichen k -Werten, so ist der HL „indirekt“, da zusätzlich zu dem Photon noch ein r Phonon zur (Quasi-)Impuls oder ħ k -Erhaltung nötig ist (z.B. Si oder Ge). 3. Dotierung, Elektronen und Löcher Wir verlassen nun den Fall T=0 und überlegen, wie man eine endliche Anzahl von Elektronen im LB oder von unbesetzten Zuständen im VB erzeugen kann, wie also im HL eine endliche Leitfähigkeit erzeugt werden kann. Dazu führen wir zunächst den Begriff des Lochs ein. Ein vollbesetztes VB enthält ca. 1023 Elektronen/cm3. Entfernen wir daraus ein Elektron, so können wir entweder die (1023-1) verbleibenden Elektronen betrachten oder den einen unbesetzten Platz. Letzteres ist offensichtlich einfacher und führt zum Konzept der Defektelektronen oder Löcher. Ein Loch ist ein unbesetzter Zustand in einem ansonsten fast vollständig gefüllten Band. Elektrische Ladung, Spin und Impuls sind entgegengesetzt zu denen des fehlenden Elektrons, da diese Werte für ein gefülltes Band insgesamt Null sind. Das Loch hat somit eine positive Ladung und trägt zum Stromtransport bei (Löcherleitung). Zusammenfassend können wir folgendes festhalten: Elektronen und Löcher im (HL-) Kristall sind sog. Quasiteilchen, die nur im Kristall existieren. Sie sind charakterisiert durchrihre r r Dispersionsrelation E( k ) durch ihren Quasiimpuls hk . Quasiimpuls deshalb, weil hk nur r modulo der bi erhalten ist und weil Blochwellen keine Eigenfunktionen des Impulsoperators 9 sind. Dennoch gilt z.B. in Streuprozessen im Kristall ein Erhaltungssatz für die Summe aller r r hk i ± G . Weiter werden Elektronen und Löcher durch ihre effektiven Massen charakterisiert. Die effektive Masse wird durch folgende Überlegung eingeführt: Für Transporteigenschaften bildet man durch die Überlagerung von Bloch-Wellen Wellenpakete. Diese bewegen sich mit ihrer Gruppengeschwindigkeit. ( ) vg = 1 ∂E ∂ω = h ∂k ∂k (19) r r Siehe auch (10). Eine äußere Kraft (z.B. äußeres E oder B -Feld) ändert v g gemäß ∂v g 1 ∂ 2 E 1 ∂ 2 E ∂k 1 ∂ 2 E ∂hk = = = . a= ∂t h ∂k∂t h ∂k 2 ∂t h 2 ∂k 2 ∂t Dabei ist a die Beschleunigung, die Impulsänderung Vergleich mit 1 a= F m (20) r ∂hk gibt die Kraft F . ∂t (21) führt zum Konzept der effektiven Masse von Elektronen und Löchern, mit der sie auf eine äußere Kraft reagieren und die gegeben ist durch r r 1 1 ∂ 2 E (k ) 1 ∂ 2 E (k ) = = 2 . (22) me , h h 2 ∂k 2 h ∂k i ∂k j Die allgemeinere Schreibweise in (22) zeigt, dass es sich um eine Tensorgröße handeln kann. Die effektiven Massen sind also umso kleiner, je größer die Bandkrümmung ist. Das ist ein sehr sinnvolles Konzept, denn wir hatten weiter oben festgestellt, dass die Breite der Bänder und damit ihre Krümmung umso größer wird, je größer der Überlapp benachbarter Wellenfunktionen ist. Andererseits kann sich ein Elektron oder Loch umso leichter durch den Kristall bewegen, je größer dieser Überlapp ist. Wir betrachten noch einmal Fig. 4 a). In kubischen Halbleitern findet man oft, dass das Valenzband bei k=0 durch die Spin-Bahn Wechselwirkung ΔSO in zwei Teilbänder aufgespalten ist. Das obere ist bei k=0 vierfach 3 entartet (J=L+S= h ) und spaltet für k ≠0 in zwei je zweifach entartete Bänder auf. Da diese 2 unterschiedliche Krümmung besitzen, werden sie als schweres und leichtes Lochband (hh und lh) bezeichnet. Das Spin-Bahn abgespaltene Band (J=L+S= ½ ) ist nur zweifach entartet. In einachsigen Kristallen wie GaN, ZnO, CdS, CdSe,… ist die vierfache Entartung des oberen Bandes durch das hexagonale Kristallfeld schon bei k=0 aufgehoben. Man hat daher bei k=0 drei zweifach entartete Valenzbänder, die von oben nach unten üblicherweise als A, B und C Valenzband bezeichnet werden. Für tiefe Atomorbitale (z.B. 1s) geht der Überlapp gegen Null und die effektive Masse gegen ∞. Für solche (und nur für solche) Elektronen kann man sagen, dass sie fest an ein Atom gebunden sind. Die Effekte, die uns im Folgenden interessieren, spielen sich ganz überwiegend im Maximum des obersten VB und im Minimum des tiefsten LB ab. In diesen Bereichen ist die Dispersion parabolisch und damit die effektive Masse konstant. Dies führt zur effektiven Massen 10 Näherung, in der Elektronen und Löcher als freie Teilchen mit Ladung ±e, Quasiimpuls r hk und konstanter effektiver Masse me,h betrachtet werden. Elektronen und Löcher sind Einteilchenzustände oder die Lösungen des N±1 Teilchenproblems in folgendem Sinne: Bringt man in einen Kristall mit einem mit N Elektronen voll besetzten Valenzband ein weiteres (das N+1. Teilchen), so stehen für dieses gerade die LB Zustände zur Verfügung. Entfernt man ein Elektron (N-1 Teilchen), so kommt dieses gerade aus den VB Zuständen. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, in einem Halbleiter Elektronen und/oder Löcher zu erzeugen. - Thermische Anregung. Bei endlicher Temperatur wird ein geringer Teil der Elektronen thermisch von VB ins LB angeregt und lässt dort Löcher zurück. Es gilt damit für die Elektronen- und Löcherkonzentration n und p n = p = ni(T). (23) Dabei ist ni(T) die sogenannte intrinsische Elektronenkonzentration. In typischen HL ist ni bei Raumtemperatur (RT) sehr klein, wie eine Betrachtung des Boltzmannfaktors zeigt. In diesem Fall liegt das Fermi-Niveau oder chemische Potential der Elektronen etwa in der Mitte der Bandlücke. Die Begriffe Fermienergie EF oder (Elektro-) chemisches Potential μ werden in der HL-Physik i.a. synonym gebraucht. EF gibt die Energie, bei der die Besetzungswahrscheinlichkeit den Wert 0.5 hat, unabhängig davon, ob bei dieser Energie Zustände existieren oder nicht. Im Allgemeinen liegt EF im HL in der Energielücke. - Dotierung. Im thermischen Gleichgewicht kann die Konzentration einer Ladungsträgersorte zu Lasten der anderen stark durch Dotierung erhöht werden. Unter Dotierung versteht man den gezielten Einbau von Fremdatomen. Donatoren (z.B. Gruppe V Elemente in Si) haben ein lokalisiertes und schwach gebundenes Elektron, das bei RT thermisch leicht ins LB angeregt werden kann gemäß (24) D0 ↔ D+ + e , während Akzeptoren einen unbesetzten Zustand knapp über dem VB anbieten, der aus diesem ein Elektron aufnehmen bzw. ein Loch ins VB abgeben kann gemäß A0 ↔ A − + h . (25) Im thermodynamischen Gleichgewicht gilt stets n ⋅ p = ni (T ) , 2 (26) d.h. man kann entweder n oder p erhöhen (sog. Majoritätsladungsträger) zu Lasten der anderen Ladungsträgersorte (Minoritätsladungsträger). Dotierung mit Donatoren und Akzeptoren führt über Elektron-Loch Rekombitation zur Kompensation. - Optische Anregung oder Ladungsträgerinjektion. Die Ladungsträgerkonzentration kann auch durch optische Anregung erhöht werden (→ Photoleitfähigkeit, Solarzelle) oder durch Injektion in einen pn Übergang (→ Gleichrichter, Solarzelle, 11 Lumineszenz). In diesen Fällen entfernt man sich vom thermodynamischen Gleichgewicht und (26) gilt nicht mehr. Fig. 6: Die schematische Ladungsträgerverteilung in einem n oder p dotierten HL In Fig. 6 zeigen wir schematisch die Ladungsträgerverteilung in einem n und in einen p dotierten HL. Das Fermi-Niveau (oder chemische Potential) liegt bei tiefen Temperaturen zwischen dem Band und dem Dotier-Niveau und bewegt sich mit zunehmender Temperatur in Richtung Mitte der Bandlücke. (Siehe Fig. 7) Fig. 7: Die Lage des Fermi-Niveaus in Abhängigkeit von T für einen unterschiedlich stark n oder p dotierten Si-Kristall. Beachte die leichte Abnahme der Bandlücke mit zunehmender Temperatur. Nach Schaumberg, Halbleiter. Die Lage von EF ist festgelegt durch die absolute Temperatur des HL und die Elektronenkonzentration z.B. in LB gemäß 12 ∞ n = ∫ D( E ) f FD , B ( E , E F , T )dE , (27) Eg dabei sind D(E) die Zustandsdichte und f die Besetzungswahrscheinlichkeit. Für Elektronen gilt f = f FD = 1 e ( E − E F ) / k BT +1 . (28) Soweit EF in der Bandlücke liegt, lässt sich (28) für die Verteilung der Ladungsträger in den Bändern durch die Boltzmannstatistik ersetzen. f B = e − ( E − E F ) / k BT (29) Die Löcherkonzentration ist dann gegeben durch 0 p = ∫ D( E )(1 − f FD , B ( E , E F , T ))dE , (30) −∞ wobei im thermodynamischen Gleichgewicht EF für Elektronen, Löcher und die Besetzung der Dotier-Niveau in der Lücke das Gleiche ist. Der Energienullpunkt wurde in (27-29) abweichend von Fig. 7 an die Oberkante des Valenzbandes gelegt. 4. Der pn Übergang Bringen wir nun einen n-und einen p-dotierten Halbleiter in Kontakt, so wird Teilchenaustausch möglich, d.h. es diffundieren auf Grund des Konzentrationsgradienten Elektronen aus dem n-HL in das p-Gebiet und rekombinieren dort mit Löchern und umgekehrt. Dadurch entsteht eine an Ladungsträgern verarmte Zone. Da die ionisierten Donatoren und Akzeptoren (D+ und A-) zurückbleiben, entsteht eine elektrische Dipolschicht, in der ein elektrisches Feld herrscht. Dieses elektrische Feld erzeugt eine Potentialstufe der Höhe Udiff, die die Diffusionsströme der Majoritätsträger (d.h. der Elektronen vom n- ins pGebiet und der Löcher vom p- ins n-Gebiet) reduziert, da nur noch Ladungsträger diffundieren können, deren thermische Energie kBT ausreicht, um Udiff zu überwinden. Das Fermi-Niveau stellt sich bei Teilchenaustausch im thermodynamischen Gleichgewicht räumlich konstant ein. Alle oben angesprochenen Größen sind in Fig. 8 schematisch dargestellt. 13 Fig. 8: Die Bandverbiegung in einem pn-Übergang (a), die Raumladungen ρ (b), die elektrische Feldstärke Ex (c), das elektrostatische Potential φ (d) und die Ladungsträgerkonzentrationen in der Verarmungszone ohne angelegte Spannung in log. und inearer Darstellung (e,f). Die Diffusionsströme heißen auch Rekombinationsströme, da die jeweiligen Majoritätsladungsträger (z.B. die Elektronen im n-Gebiet), die auf die andere Seite diffundieren, dort schnell mit den vielen Ladungsträgern der anderen Sorte (in diesem Beispiel Löcher im p-Gebiet) rekombinieren. Die sog. Diffusions- (oder Rekombinations-)ströme der Majoritätsträger addieren sich. Beide Diffusionsströme werden jeweils für sich kompensiert durch die Feld- (Drift- oder Generations-)ströme, die von den Minoritätsträgern herrühren, die in das elektrische Feld der Verarmungszone diffundieren und dort beschleunigt werden, oder die thermisch in der Verarmungszone durch Band-Band Anregung erzeugt werden. Die Feldströme sind auch bekannt unter dem Namen Driftströme oder Generationsströme, da die vom elektrischen Feld des pn-Übergangs abgezogenen Minoritätsträger durch thermische Generation von Elektron-Loch Paaren wieder nachgeliefert werden müssen. Der Zusammenhang der Fig. 8(b) bis (d) folgt aus den Gleichungen r r div E = ρ / εε 0 und E = − grad Φ. 14 Fig. 8 (e) zeigt die Abnahme der Majoritätsladungsträgerkonzentrationen im pn-Übergang in logarithmischem Maßstab. Der symmetrische Kurvenverlauf entspricht der Beziehung np = ni2 in der Verarmungszone. An einer Stelle wird n = p = ni erreicht. In Fig. 8f sind die Ladungsträgerkonzentrationen schematisch in linearem Maßstab aufgetragen. Der Begriff (Ladungsträger-)Verarmungszone für den pn-Übergangsbereich wird hier besonders augenfällig. Legt man nun eine Spannung in Durchlassrichtung an (−Pol an n-Gebiet, +Pol an p-Gebiet), werden Elektronen und Löcher in die Verarmungszone getrieben. Diese wird dadurch schmäler und niederohmiger, die Diode leitet besser. Die Potentialstufe von Fig. 8a wird um die angelegte Spannung erniedrigt, die Diffusionsströme wachsen näherungsweise exponentiell (Boltzmannstatistik), die Feldströme bleiben näherungsweise konstant. Legt man eine Spannung in Sperrrichtung an (+Pol an n-Gebiet, −Pol an p-Gebiet), werden noch mehr Elektronen aus der Verarmungszone abgezogen, die dadurch breiter und noch hochohmiger wird. Die Diode sperrt. Die Potentialstufe wird um die angelegte Sperrspannung erhöht, die Diffusionsströme nehmen exponentiell ab, die Feldströme bleiben näherungsweise konstant. Damit ergibt sich in diesem Modell eine Strom- und Spannungskennlinie I = I S (e eU / k BT − 1) . (31) Siehe Fig. 9. IS ist der Sättigungssperrstrom. Dieser wird umso kleiner, je größer die Bandlücke des Halbleiters ist. Für hohe Durchlassspannungen wird der Widerstand der Verarmungszone so klein, dass die exponentielle Kennlinie nach (31) in einen linearen Verlauf übergeht, der durch die Ohmischen Widerstände der n- und p-Gebiete bestimmt ist. Eine ähnliche Kennlinie wie (31) erhält man auch an manchen HL-Metallkontakten. Das sind die sog. Schottky-Dioden. Legt man eine Spannung an den pn-Übergang, so befindet er sich nicht mehr im thermodynamischen Gleichgewicht. Die Verteilungen für Elektronen und Löcher in der Verarmungszone können nicht mehr mit einem gemeinsamen Fermi-Niveau für beide Ladungsträgersorten beschrieben werden, sondern man führt Quasi-Fermi-Niveaus EFe , h , jeweils für Elektronen und Löcher ein, die die Verteilung der Ladungsträger in den jeweiligen Bändern beschreiben. Wird der pn-Übergang in Durchlassrichtung gepolt, liegen die QuasiFermi-Niveaus in der Verarmungszone näher an den jeweiligen Bändern als im thermodynamischen Gleichgewicht, bei Polung in Sperrrichtung sind sie weiter davon entfernt. Der energetische Abstand der Quasi-Fermi-Niveaus wird als chemisches Potential des Elektron-Loch Paarsystems bezeichnet, d.h. μ eh = EFe − EFh . Im thermodynamischen Gleichgewicht ist μeh=0. 5. Zenerdioden Alle Dioden zeigen bei hinreichend hoher Sperrspannung ein Durchbruchverhalten wie in Fig. 9 dargestellt. 15 Fig. 9: Diodenkennlinie mit Durchbruch Während die meisten Dioden bei Erreichen der Durchbruchspannung sehr schnell (thermisch) zerstört werden, sind Zener (Z-) Dioden so ausgeführt, dass der Z-Durchbruch bis zu Strömen im (zehn) mA Bereich reversibel durchfahren werden kann. Dazu muss der Durchbruch auf der ganzen Fläche des pn-Übergangs gleichmäßig erfolgen und für eine gute Wärmeabfuhr über das Gehäuse gesorgt sein. Für den Zenerdurchbruch sind im Wesentlichen zwei Effekte verantwortlich. Für sehr hoch dotierte pn-Übergänge ist die Verarmungszone dünn und die elektrische Feldstärke groß. Durch Anlegen einer Sperrspannung wird die Breite der Tunnelbarriere weiter verringert. Siehe Fig. 10a. Fig. 10: Z-Durchbruch durch Tunneln (schematisch) (a) und durch Stoßionisation (schematisch) (b). 16 Wenn die Barriere hinreichend dünn wird, können Elektronen aus den fast voll besetzten VB ins fast leere LB tunneln. Dieser Tunnelstrom addiert sich zu dem Sperrstrom IS in (31) und wächst exponentiell mit abnehmender Breite der Tunnelbarriere, d.h. mit zunehmender Sperrspannung. Da in den meisten HL die Bandlücke mit zunehmender Temperatur abnimmt, sinkt in diesem Fall die Zenerspannung mit zunehmender Temperatur. Bei schwächer dotierten pn-Übergängen bleibt die Barriere so breit, dass Tunneln keine Rolle spielt. Hier kann ein Z-Durchbruch durch Stoß-Ionisation auftreten (der sog. Lawinendurchbruch). Siehe Fig. 10b. Ein Minoritätsladungsträger (in Fig. 10b ein Elektron aus dem p-Gebiet) kann bei hinreichend großer freier Wegstrecke im elektrischen Feld der Verarmungszone so stark beschleunigt werden, dass er durch Stoßionisation ein Elektronen-Loch Paar erzeugt. Diese zusätzlichen Ladungsträger in der Verarmungszone können ihrerseits wieder weitere Elektronen-Loch Paare erzeugen usw. Dies führt zum sog. Lawinendurchbruch. Da die freie Flugstrecke der Ladungsträger zwischen zwei Stößen mit zunehmender Temperatur i.a. abnimmt, steigt hier die Zenerspannung mit zunehmender Temperatur. Durch die unterschiedlichen TAbhängigkeiten lassen sich beide Effekte unterscheiden. 5.1. Spannungsstabilisierung mit Z-Diode: Einfache Schaltung Der Vorwiderstand und die in Sperrrichtung betriebene Z-Diode bilden einen Spannungsteiler: Die Ausgangsspannung Ua entspricht dem Spannungsabfall über der ZDiode, UZ, die im Durchbruchsgebiet annähernd konstant ist, UZ → UZ,0 (Zenerspannung). Sei der Lastwiderstand RL groß, d.h. der Ausgangsstrom Ia klein, und damit der Spannungsteiler im Punkt A unbelastet. Für Eingangsspannungen Ue < UZ,0 fällt Ue weitgehend über der Z-Diode ab (großer Sperrwiderstand der Diode): Die Ausgangsspannung steigt linear mit der Eingangsspannung Ua ~ Ue. Für Eingangsspannungen Ue > UZ,0 (+UV) befindet sich die Z-Diode im Durchbruch und es fällt nur noch die Zenerspannung UZ,0 über ihr ab, unabhängig vom durchfließenden Strom. Der Rest der Eingangsspannung fällt über den Vorwiderstand RV ab. Damit gilt: Ua = UZ,0, d.h. die Ausgangsspannung bleibt unabhängig von der Eingangsspannung Ue auf UZ,0 stabilisiert. Ist der Lastwiderstand RL nicht groß im Vergleich zum Widerstand RZ der Diode, so bricht der RV/RZ -Spannungsteiler ein. Die Spannung im Punkt A wird dann zunehmend durch die Spannungsteiler RV / RL bestimmt, da der Eingangsstrom mehr über die Last abfließt als über die Z-Diode. Eine Stabilisierung setzt erst ein, wenn der Eingangsstrom und damit der 17 Ausgangsstrom Ia so hoch wird, dass der Spannungsabfall über RL die Zenerspannung UZ,0 erreicht. 5.2. Spannungsstabilisierung mit Z-Diode und Transistor Eine gute Spannungsstabilisierung auch für kleinere Lastwiderstände wird mit einem Transistor „längs“ zur Z-Diode erreicht. Der Transistor befindet sich dabei in Kollektorschaltung. Er fungiert dann als Impedanzwandler mit niederohmigem Ausgang und mit (differentiell) hochohmigem Eingang. Ein Impedanzwandler überträgt die Eingangsspannung unverstärkt, kann aber hohe Ausgangsströme liefern. An den hochohmigen Basis-Emitter-Eingang des Transistors wird die Ausgangsspannung der Z-Diode UZ gelegt. Am Verzweigungspunkt A wird dann ein nur kleiner Strom in Richtung zur Last, d.h. parallel zur Z-Diode, entnommen. Nun ist der Emitterstrom = Transistor-Ausgangsstrom um die Stromverstärkung β größer als der Basisstrom = Transistor-Eingangsstrom. β beträgt etwa 100. Änderungen des Ausgangsstroms durch Änderungen von RL schlagen daher nur mit 1/β ≈ 1/100 auf den Transistor-Eingangsstrom durch. Der am Verzweigungspunkt A entnommene Strom ist also nicht nur klein, er hängt auch nur geringfügig vom Lastwiderstand RL ab. Die Spannung im Punkt A wird daher praktisch unabhängig vom Lastwiderstand. Der notwendige Ausgangsstrom (Laststrom) = Emitterstrom wird vom Transistor zum allergrößten Teil über seinen Kollektoranschluss „gezogen“, nur ein Anteil 1/β stammt vom Basis-Anschluss. Die Spannungsverstärkung der Kollektorschaltung ist nahezu 1. Die EmitterAusgangsspannung ist gleich der Basis-Eingangsspannung minus den Spannungsabfall über die Basis-Emitter-Strecke für Durchlasspolung, UBE ≈ 0,7 V (Silizium-Transistor). Die Eingangsspannung wird also unabhängig vom Ausgangsstrom auf den Ausgang übertragen. Da am Eingang die hochstabile Z-Dioden-Spannung anliegt, ist auch die TransistorAusgangsspannung hochstabil: UA = UZ,0 -UBE. Der Widerstand RE dient der Gleichspannungs-Gegenkopplung (Reduktion des Einflusses einer thermisch bedingten Änderung von UBE) und der Stabilisierung der Ausgangsspannung bei offenem Ausgang. 18 6. Die Randschichtdicken des pn-Übergangs in Schottky-Näherung Wir fragen nach der Dicke der Verarmungsrandschichten im n- und p-Gebiet, die sich bei gegebenem Halbleiter und gegebener Dotierung am pn-Übergang einstellen. Durch Dotierung und Halbleiter vorgegeben ist die Differenz der Ferminiveaus tief im n- und p-Gebiet und damit die Höhe der Potentialstufe Udiff . Dieser Stufe muss das elektrische Potential Φ(x) entlang des Übergangs genügen. Eine analytische Lösung der Poisson-Gleichung ρ ( x) ∂ 2Φ( x) =− 2 ε HLε 0 ∂x ρ ( x ) = Ladungsdichte, ε HL = Dieelektrititätszahl des Halbleiters ist im Fall der sogenannten Schottky-Näherung möglich, die folgende Annahmen macht: (i) die „Fermi-Aufweichung“ der Ladungsträgerdichte am Übergang vom verarmten zum nichtverarmten Bereich wird durch eine Stufe ersetzt, (ii) der Beitrag der freien Ladungsträger zum Potential ist vernachlässigbar, (iii) die Akzeptoren und Donatoren sind vollständig ionisiert. Mit diesen Annahmen wird die Raumladungsdichte stufenartig mit Stufenhöhen gegeben durch die Dotierkonzentrationen NA und ND und Stufengrenzen entsprechend den Randschichtdicken dp und dn . ⎧ 0 ⎪ ⎪ ρ ( x) = ⎨ − e N A ⎪ eN D ⎪⎩ 0 x ≤ −d p − dp ≤ x ≤ 0 0 ≤ x ≤ dn ( dp ist eine positive Zahl) dn ≤ x Die stückweise konstante Raumladungsdichte ρ (x ) lässt sich sofort integrieren. Für das n-Gebiet folgt die Poisson-Gleichung ∂ 2Φ n ( x) eN D =− 2 ε HLε 0 ∂x mit dem Integral ∂ Φ n ( x) eN D =− x + K1 ∂x ε HLε 0 und der Integrationskonstanten K1. Diese folgt aus der Randbedingung, dass das elektrische ∂ Φ n ( x) Feld E n ( x ) ≡ − am Rand bei x = dn verschwinden muss, zu ∂x K1 = eN D ε HLε 0 dn , d.h. ∂ Φ n ( x) eN D eN D =− x+ d ∂x ε HLε 0 ε HLε 0 n 19 mit dem elektrischen Feld En ( x ) = eN D ε HLε 0 (x − dn ) . Die zweite Integration liefert Φ n ( x) = − eN D 2 eN D x + d x + K2 . 2ε HLε 0 ε HLε 0 n Wir wählen den Nullpunkt von Φ n (x ) bei x = 0 , so dass die Integrationskonstante K 2 verschwindet. Das gesuchte Potential lautet dann Φ n ( x) = − eN D 2 eN D x + d x 2ε HLε 0 ε HLε 0 n eN D 2 dn . 2ε HLε 0 Das Potential am Rand bei x = d n ist: Φ n ( x = d n ) = Damit lässt sich Φ n (x ) ausdrücken als Φ n ( x) = − eN D ( x − d n )2 + Φ n ( x = d n ) . 2ε HLε 0 Das Potential entspricht also einer nach unten geöffneten Parabel, die um x = d n nach rechts verschobenen ist sowie um Φ n ( x = d n ) nach oben. Die analoge Rechnung für das p-Gebiet liefert mit der gleichen Randbedingung verschwindenden E-Felds bei x = −d p und mit Stetigkeit bei x = 0 Φ p ( x) = eN A 2ε HLε 0 und das Randpotential Φ p ( x = −d p ) = − x2 + eN A 2ε HLε 0 eN A ε HLε 0 dp x d 2p . Φ p (x ) lässt sich ausdrücken als Φ p ( x) = eN A 2ε HLε 0 ( x + d p ) 2 + Φ p ( x = −d p ) und entspricht damit einer nach oben geöffneten, um d p nach links verschobenenen Parabel. 20 Die Differenz der Randpotentiale von n- und p-Gebiet entspricht der Potentialstufe U diff : U diff = Φ n ( x = d n ) − Φ p ( x = −d p ) = eN D 2 eN A 2 dn + dp. 2ε HLε 0 2ε HLε 0 Die Forderung nach Stetigkeit des E-Felds bei x = 0 , d.h. E n ( x ) eN D ε HLε 0 dn = eN A ε HLε 0 x =0 = E p ( x) (32) x =0 , führt auf: dp. (33) Diese Bedingung ist identisch mit der Forderung nach insgesamter Ladungsneutralität. Mit Hilfe von (33) lässt sich (32) nach den Randschichtdicken d n und d p auflösen 2ε U diff dn = e dp = 2ε U diff e NA , N D (N D + N A ) ND . N A(N D + N A ) Liegt eine äußere Spannung U am pn-Übergang an, so fällt diese zusätzlich zum inneren Potential Udiff über den pn-Übergang ab: Φn − Φp = Udiff − U. Das Vorzeichen von U entspricht dabei einem positiven Spannungswert in Flussrichtung und einem negativen Spannungswert in Sperrrichtung. Udiff in (32) ist also durch Udiff − U zu ersetzen. Damit werden dn und dp abhängig von der äußeren Spannung. Es folgt: dn = dp = 2ε (U diff − U ) e 2ε (U diff − U ) e 21 NA N D (N D + N A) ND N A(N D + N A) 7. Die Kapazität der Sperrschicht Die hochohmige, aber geladene Verarmungszone zwischen den n- und p-dotierten Bereichen entspricht einem Plattenkondensator mit einem Dielektrikum εHL. Das Feld ist allerdings nicht homogen, so dass die Formel C = εA/d nicht gültig ist. Die Kapazität C muss daher berechnet werden. Benutzen wir die Definition: C= Q U Kondensator , so ist Q die Ladung einer “Platte”, also z.B. die der n-Verarmungszone U Kondensator die gesamte über den pn-Übergang abfallende (innere und äußere) Spannung Udiff − US ( = Udiff + |US| für Sperrrichtung). Die Ladung Q ergibt sich aus der Dichte der Raumladung und dem (spannungsabhängigen!) Volumen der betrachteten Verarmungszone, d.h. der Querschnittsfläche A des pn-Übergangs und der Dicke dn oder dp der Verarmungszone. Die Kapazität kann alternativ aus der Änderung der Ladung mit der äußeren Spannung berechnet werden: d QGes C= dU Dann ist QGes die gesamte, im pn-Übergang gespeicherte Raumladung und U die äußere Spannung. Im Fall der Schottky-Näherung (dn und dp siehe vorige Seite) und im Fall eines symmetrischen pn-Übergangs, d.h. ND = NA, ist die Berechnung von C unschwierig. Das Resultat besitzt die Form 1 C (U ) = B U diff − U , mit B = B (N D , ε ) und U = äußere Spannung. Beachtet man, dass U für Sperrspannungen negativ ist, erhält man für die Sperrrichtung C (U S ) = B 1 U diff + U S , (34) 1 über U S liefert somit die Dotierkonzentration N D aus der Steigung C2 1 B 2 und die Diffusionsspannung U diff aus dem y-Achsenabschnitt U diff B 2 . Die Auftragung von 22
