pδv

Inhaltsverzeichnis
AVORBEMERKUNGEN.............................................................................................. 1
BMECHANIK STARRER KÖRPER............................................................................. 3
1 Kinematik................................................................................................................................3
1.1Zeit..................................................................................................................................... 3
1.2Länge..................................................................................................................................4
1.3Winkel................................................................................................................................ 6
1.4Geschwindigkeit und Beschleunigung............................................................................... 6
2 Dynamik................................................................................................................................ 16
2.1 Newtonsche Axiome...................................................................................................... 16
2.2 Kraftgesetze....................................................................................................................20
2.3 Anwendungen der Newtonschen Axiome......................................................................20
2.4 Scheinkräfte....................................................................................................................23
2.5 Reibung.......................................................................................................................... 27
3 Arbeit und Energie...............................................................................................................29
3.1 Arbeit............................................................................................................................. 29
3.2 Energie und Energiesatz.................................................................................................31
3.3 Energie, Potential und Kraft...........................................................................................33
3.4 Leistung..........................................................................................................................35
4 Teilchensysteme und Impulserhaltung.............................................................................. 36
4.1 Der Massenmittelpunkt.................................................................................................. 36
4.2 Bewegung des Massenmittelpunktes............................................................................. 37
4.3 Impulserhaltung..............................................................................................................39
4.4 Schwerpunktsystem........................................................................................................40
4.5 Kinetische Energie eines Systems von Teilchen............................................................40
5 Anwendung von Impuls- und Energiesatz: Stöße.............................................................41
5.1 Elastischer Stoß, eindimensional................................................................................... 41
5.2 Inelastischer Stoß, eindimensional.................................................................................43
5.3 Stöße in drei Dimensionen............................................................................................. 44
5.4 Kraftstoß.........................................................................................................................45
5.5 Systeme mit veränderlicher Masse.................................................................................46
6 Drehbewegungen..................................................................................................................49
6.1 Drehmoment, Trägheitsmoment und Winkelbeschleunigung........................................49
6.2 Kinetische Energie der Drehbewegung..........................................................................50
6.3 Berechnung von Trägheitsmomenten.............................................................................51
6.4 Richtungsabhängigkeit des Trägheitsmoments..............................................................52
6.5 Der Steinersche Satz ("Parallelachsen-Theorem").........................................................54
6.6 Der Drehimpuls..............................................................................................................55
6.7 Bahndrehimpuls und Eigendrehimpuls.......................................................................... 57
6.8 Hauptträgheitsachsen..................................................................................................... 58
6.9 Dynamisches Ungleichgewicht...................................................................................... 59
6.10 Das Trägheitsmoment als Tensor.................................................................................60
Physik I, PD K. Thonke
6.11 Anwendung des Drehimpulssatzes: Kreisel.................................................................62
7 Schwingungen.......................................................................................................................67
7.1 Harmonische Schwingungen..........................................................................................67
7.2 Energiebilanz bei harmonischen Schwingungen............................................................69
7.3 Pendel.............................................................................................................................71
7.4 Gedämpfte Schwingungen............................................................................................. 74
7.5 Erzwungene Schwingungen........................................................................................... 79
7.6 Gekoppelte Pendel......................................................................................................... 83
C MECHANIK DEFORMIERBARER FESTER KÖRPER......................................... 87
1 Spannung / Dehnung / Scherung........................................................................................ 87
1.1 Grobeinteilung der Materiezustände:............................................................................. 87
1.2 Spannung und Dehnung................................................................................................. 87
1.3 Allseitiger Zug/Druck ("hydrostat. Druck"; wie in Flüssigkeiten).................................89
1.4 Scherung.........................................................................................................................89
1.5 Zusammenhang zwischen den elastischen Konstanten..................................................91
2 Anwendungsbeispiele: Biegung und Torsion.................................................................... 91
2.1 Biegung eines Balkens --- nicht in Vorlesung behandelt ----.........................................91
2.2 Torsion eines zylindrischen Stabes --- in Vorlesung behandelt ----...............................94
D MECHANIK DER FLÜSSIGKEITEN UND GASE................................................. 95
1 Hydro- und Aerostatik.........................................................................................................95
1.1 Flüssigkeiten und Gase unter Druck.............................................................................. 95
1.2 Schweredruck in Flüssigkeiten...................................................................................... 95
1.3 Schweredruck in Gasen..................................................................................................97
1.4 Auftrieb, Archimedisches Prinzip..................................................................................98
2 Fluiddynamik .................................................................................................................... 100
2.1 Kontinuitätsgleichung.................................................................................................. 100
2.2 Bernoullische Gleichung.............................................................................................. 101
2.3 Anwendungsbeispiele.................................................................................................. 103
2.4 Viskose Strömung........................................................................................................ 105
2.5 Beispiele für viskose Strömung................................................................................... 106
2.6 Laminare und turbulente Strömungen..........................................................................108
E WELLEN............................................................................................................. 109
1 Einzelne Wellenberge........................................................................................................ 109
1.1 Allgemeine Eigenschaften............................................................................................109
1.2 "Mikroskopische" Betrachtung, einfache Modellsysteme........................................... 109
1.3 Wellenberge, fortschreitende Wellen...........................................................................110
1.4 Superposition von Wellen............................................................................................112
1.5 Ausbreitungsgeschwindigkeit von Wellen...................................................................112
2 Harmonische Wellen..........................................................................................................113
2.1 Grundlegende Beschreibung........................................................................................ 113
2.2 Energieübertragung...................................................................................................... 114
2.3 Überlagerung und Interferenz harmonischer Wellen................................................... 115
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
Gruppengeschwindigkeit..............................................................................................116
Dopplereffekt............................................................................................................... 117
Stehende Wellen.......................................................................................................... 118
Überlagerung stehender Wellen................................................................................... 119
Die Wellengleichung....................................................................................................121
Das Modell der linearen Kette..................................................................................... 122
Physik I, PD K. Thonke
Stichwortverzeichnis
Abkling
-Koeffizient
-Konstante
Aktionsprinzip
Amplitude
Anfangsbedingungen
aperiodischer Grenzfall
Arbeit
BeschleunigungsHubSpannArchimedisches Prinzip
Ausbreitungsgeschwindigkeit
Auslenkung
longitudinale
transversale
azimutal
Bernoullische Gleichung
Verallgemeinerte
Bewegungsgleichung
gekoppelte
Bezugssystem
linear beschleunigtes
rotierendes
Boyle-Mariottesches Gesetz
compliance
Coriolis
-beschleunigung
-kraft
Deviationsmomente
Dispersion
Dispersionsrelation
Dopplereffekt
Drehimpuls
BahnEigenGesamtDruck
statischer
Stau
hydrostatischer
Durchfluß-Viskosimeter
E-Modul
Elastizitätsmodul
Energie
Energiedichte
Energiestromdichte
Fourierzerlegung
freie Achsen
Frequenz
KreisFundamentalschwingung
Galilei-Transformation
Geschwindigkeit
mittlerere
Momentan
relativGleitreibungszahl
Gruppengeschwindigkeit
Gruppenphase
Gütefaktor Q
Haftreibungszahl
Hagen-Poiseuille-Gesetz
Hauptträgheitsachse
Hauptträgheitsmomente
Höhenformel
barometrische
Hookesches Gesetz
74
75
16
68
84
76
29
31
30
30
99
112
110
110
26
102
102
67, 74
83
23
24
97
88
26
26
60
110, 117
123
117
57
57
57
102
102
89
107
88
88
31
89
114
112
59, 61
69
69
84, 85
11
8
8
11
27
116, 123
116
76
27
107
53, 58
60
98
67, 88, 90
Inertialsystem
Inertialsysteme
Interferenz
destruktive
konstruktive
Joule
Kompressibilität
Komprimierbarkeit
Kontinuitätsgleichung
Kraft
Coriolis
dissipative
konservativ
konservative
Kreisel
Gangpolkegel
Nutationskegel
Rastpolkegel
schlichter Lauf
Kreisfrequenz
kritische Dämpfung
Leistung
lineare Kette
logarithmisches Dekrement
Machscher Kegel
Momentanbeschleunigung
Momentangeschwindigkeit
Nutation
Nutationsbewegung
Oszillator
harmonischer
Paradoxon
hydrostatisches
hydrodynamisches
Pascalsches Prinzip
Pendel
ballistisches
mathematisches
physikalisches
Torsions
Periode
Phase
Phasen
-Sprung
-Geschwindigkeit
Phasengeschwindigkeit
Phasenkonstante
Polarisation
Prandtlsches Staurohr
Präzession
Prinzip
Archimedisches
Querkontraktion
Querkontraktionszahl
Raketengleichung
Reaktionsprinzip
Rechte-Hand-Regel
Reibungskraft
GleitHaftRollResonanz
Resonanzfrequenz
Reynoldszahl
Schallgeschwindigkeit
Scherung
Schubkraft
Schubmodul
23
23
115
115
29
95
95
100
24
33
32
32, 33
64
63
64
63
114
76
35
109, 122
76
117
8
8
63
63
83
96
104
96
43
71
72
73
68
68
110
111
114, 123
68
110
103
64
98
88
88
46
16
14, 15
27
27
28
118
81
108
113
90
46
90
Schweredruck
schwingenden Saite
Schwingung
gedämpfte
Schwingungs
-bauch
-knoten
Spannungsenergie
Staudruck
Stoß
elastischer
inelastischer
Stromlinien
Strömung
laminare
Strömungwiderstand
Superpositionsprinzip
Symmetrieachse
symmetrische Matrix
System
konservativ
Torsionsfederwaage
Torsionsmodul
Tragfläche
Trägheitsellipsoid
Trägheitskraft
Trägheitsprinzip
Trägheitstensor
Transformation
95, 102
109
74
119
119
89
101
41
43
100
100
105
112
58
61
33
49
90
104
61
23
16
60
GalileiTransportgröße
Überlagerung
Vektoren
axiale
polare
Venturi-Rohr
Verlustfaktor
viskos
Viskosität
Volumenänderung
relative
Volumenstrom
Weg-Zeit-Funktion
Wellenfläche
Wellenfunktion
Wellenfunktionen
Wellengleichung
Wellenlänge
Wellenstoß
Wellenvektor
Wellenzahl
Widerstandsbeiwert
Young's modulus
Zentrifugalkraft
Zentrifugalmomente
Zentripetalbeschleunigung
Zustandsgröße
11
31
119
15
15
103
76
100
105
89
100
3
109
115, 119, 121
121
121
113
109
113
113
107
88
24
60
24
31
Physik I, PD K. Thonke
Experimentalphysik I für Ingenieure
A Vorbemerkungen
Hauptziel: Erforschung und Verstehen der grundlegenden Naturgesetze der unbelebten Welt.
Verbesserung des Verständnisses führte meist zu Verringerung und Vereinfachung
der Grundgesetze und Theorien (innere Zusammenhänge werden klarer →
weniger isolierte phänomenologische Gesetze nötig.
Die Suche nach grundlegenden Bestandteilen der Materie führt auf Elementarteilchen wie
Protonen, Elektronen, Neutronen, Photonen (oder eine Stufe weiter: Quarks und Leptonen).
Die Untersuchung dieser Elementarteilchen und deren Wechselwirkungen gehört zu den
wesentlichen Forschungsfeldern der Physiker. Bisher wurde vier grundlegende
Wechselwirkungen gefunden.
Typ
Gravitation
hängt zusammen mit
Masse
relative Stärke
Reichweite
10-38
lang
Schwache
Wechselwirkung
Elektromagnetische
Wechselwirkung
Starke
Wechselwirkungen
Elementarteilchen
10-13
kurz (≈ 10-15 m)
Elektrische Ladungen
10-2
lang
Kernteilchen (Quarks)
1
kurz (≈ 10-15 m)
(nach Orear, Tab. 1-1)
Die Quantenchromodynamik stellt eine Verbindung zwischen den letzten drei Wechselwirkungen her; die Gravitation ist bisher nicht in einer vereinheitlichten Theorie zu erfassen.
Wie "funktioniert" Physik? → eine Art geschlossener Regelkreis:
Experimentelle
Beobachtung
(Überprüfung)
Abstraktion, Neu- oder
Umformulieren von Gesetzen
Voraussagen für
neue Situationen
Physikalische Gesetze sollen möglichst einfach sein.
Tritt zwischen bisheriger Modellvorstellung und Experiment ein Widerspruch auf, muß das
Gesetz umformuliert werden → neue Theorie.
Die Theorien können zum Teil unanschaulich sein (wie z.B. Quantenmechanik) oder als
abstrus (d.h. der Anschauung zuwiderlaufend, wie z.B. die Relativitätstheorie) erscheinen;
solange sie bisherige Experimente richtig erklären und zukünftige richtig voraussagen,
müssen sie als gültig angesehen werden - bis ein Widerspruch auftaucht oder jemand eine
noch einfachere, elegantere Formulierung findet.
1
Physik I, PD K. Thonke
2 Hauptbereiche:
getrennt durch Wirkung = Energie × Zeit, h = Plancksches Wirkungsquantum
Wirkung ≥ h
Mikrophysik
- nur mittelbar erfahrbar
- unzerlegbare Teile (Quanten)
- diskontinuierliche, unstetige Abläufe
↓
Quantenphysik
- unanschaulich, abstrakt
- statistische Aussagen
- Unschärferelation
Wirkung >> h
Makrophysik
- unmittelbar erfahrbar
- zerlegbare Teile
- kontinuierliche, stetige Abläufe
↓
klassische Physik
- anschaulich
- streng deterministisch
- genaue Messungen
Physikalische Größen und Einheiten
Physikalische Gesetze beinhalten
physikalische Größen
+
mathematische Beziehungen zwischen
diesen Größen, d.h. Gleichungen
Physikalische Größen werden definiert durch Meßverfahren und Einheit (z. B. kg, m).
Die Festlegung der Einheit ist grundsätzlich beliebig. Wichtig ist die Brauchbarkeit der
Definition (+ Akzeptanz).
Zwischen den Größen bestehen Zusammenhänge (z. B. Geschwindigkeit = Länge/Zeit).
→ Es ist nur ein bestimmter Satz von Basisgrößen nötig.
Die Auswahl ist im Prinzip willkürlich möglich; entscheidend ist, welche Größen mit der
besten Genauigkeit bestimmt werden können.
Durch internationale Übereinkunft wurden die folgenden Basiseinheiten ausgewählt und
werden von dem 1875 in Sèvres bei Paris gegründeten "Internationalen Büro für Maß und
Gewicht" überwacht:
Größe
Name
Einheitenzeichen
Länge
Meter
M
→M
Masse
Kilogramm
Kg
→K
Zeit
Sekunde
S
→S
elektrische Stromstärke
Ampère
A
→A
thermodyn. Temperatur
Kelvin
K
Stoffmenge
Mol
Mol
Lichtstärke
Candela
Cd
Dies ist das "SI" ("Système Internationale d'Unités) oder MKSA-System.
-System
In Deutschland zuständig: Physikalisch-Technische Bundesanstalt in Braunschweig, betreibt.
u.a. den Zeitsender für Funkuhren „DCF 77“.
Im WWW:  http://www.ptb.de/
2
Mechanik starrer Körper
B Mechanik starrer Körper
1
Kinematik
Die Kinematik beschäftigt sich mit der Bewegung von Körpern, ohne auf die Ursache der
Bewegung (Kräfte, Stöße) und Eigenschaften der Körper (Masse, Trägheitsmoment)
einzugehen.
 
Beschreibung gibt eine Weg-Zeit-Funktion r = r ( t ) an.

→ Definition der Grundgrößen Länge s und Zeit t wird benötigt.
Vektoren zur Beschreibung des Ortes (der Länge) im Dreidimensionalen.
1.1
Zeit
Zur Definition hauptsächlich periodische Vorgänge, z. B.
a) Rotation der Erde
2π+δ
1 Sonnentag = 24h = Zeit, in der sich die Erde relativ zu
Sonne 1x gedreht hat (δ ≈ 1°)
δ
→ Fixstern
2π
1 Sterntag = 1 siderischer Tag (lat.: sidus, „Gestirn“)
= 23h 56min 4,10s = Zeit, in der sich die Erde relativ zu
Fixsternhimmel 1x gedreht hat
1 Jahr = 365,25 Sonnentage = 366,25 Sterntage
Die Erdrotation ist nicht absolut konstant:
- jahreszeitliche Schwankungen durch teilweises Schmelzen der Polkappen
- allmähliches Verlangsamen durch Gezeitenreibung (in 100 Jahren ca. 1,5 msec)
Abb. 1.4: Schwankungen der Rotationsgeschwindigkeit der Erde (nach Halliday/Resnick,
Physik)
3
Physik I, PD K. Thonke
daher besser geeignet:
b) Mikroskopische Vorgänge: Frequenz eines atomaren Übergangs
1967 wurde (in Übereinstimmung mit der astronomischen Definition) festgelegt:
1 s ist das 9 192 631 770-fache der Periodendauer der dem Übergang zwischen den beiden
Hyperfeinstrukturniveaus des Grundzustands des Atoms 133Cs entsprechenden Strahlung.
Anders ausgedrückt: Der Übergang am Cs-Atom besitzt eine Frequenz von ν = 9,192631770
GHz.
Tabelle: (nach Paus, Tab. 1.1)
relative Ganggenauigkeiten ∆t/t verschiedener Zeitmeßinstrumente
Pendeluhr
Quarz-Armbanduhr
temperatur-stabilisierte Pendeluhr
temperatur-stabilisierte Quarzuhr
Wasserstoff-Atomuhr
Cs-Atomuhr
10-5
10-6 (einige s per anno)
10-8
10-10
10-12
10-13 ... 10-15
Messen mit nicht-periodischen Vorgängen:
- Sanduhr, Wasseruhr
- Radioaktive Vorgänge
→ Flußvorgänge
→ quasikontinuierlich
c) 14C-Altersbestimmung
Durch Höhenstrahlung bildet sich aus 14N → 14C, wird in lebende Materie eingebaut in
Gleichgewichtskonzentration. 14C zerfällt nach Absterben mit T1/2 = 5570 a wieder zu 14N. Aus
aktueller relativer Konzentration 12C / 14C kann Länge des Abklingvorganges ermittelt werden
→ Bestimmung bis ca. 10 ⋅ T1/2 ≈ 50 000 a möglich
(Versuch dazu: Thorium-Zerfall (K6))
1.2
Länge
Einheit: 1 m
ursprünglich (Konvention von 1899): "Urmeter" aus Pt-Ir-Legierung, zu messen bei 0 °C
≈
1
⋅ 1 Erdquadrant
10.000.000
( d. h. Umfang Erde ≈ 40.000 km)
Genauigkeit: 10-6
später (1960): Bezug auf 86Kr-Wellenlänge ("Kryptonorange") (5d5 → 2p10) im Vakuum:
1 m = 1.650.763,73 ⋅ λ (86Kr)
Messung mit Interferometer ( Versuch mit cm-Wellen und Michelson-Interferometer)
Genauigkeit: 4 ⋅ 10-9 (d.h. 1 mm für Strecke Ulm ↔ Berlin)
jetzt (seit 1974): Wegen großer Genauigkeit bei Zeitmessung werden jetzt Zeit und Länge
über Lichtgeschwindigkeit verknüpft
Lichtgeschwindigkeit c ≡ 299.792.458 m/s (≡ : Definition, Festlegung)
→ damit jetzt gültige Definition für 1 m:
1 m ist die Strecke, die Licht im Vakuum in der Zeit 1/299.792.458 sec zurücklegt
damit ist Genauigkeit von Längenmessungen = Genauigkeit von Zeitmessungen
(im Prinzip: Einheit Meter verzichtbar, Entfernungen könnten in "Nanolichtsekunden" 1 nLs
= 29,979 cm ausgedrückt werden)
4
Kinematik
Das internationale Einheitensystem (SI)
Die SI-Basiseinheiten
Basisgröße
Name
Länge
Meter
Einheiten Definition
zeichen
m
Das Meter ist die Länge der Strecke, die
Licht im Vakuum während der Dauer von
1/299.792.458 Sekunden durchläuft (17.
CGPM 1983)
Masse
Kilogramm
kg
Das Kilogramm ist die Masse des Internationalen Kilogrammprototyps (1. CGPM 1889)
Zeit
Sekunde
s
Elektrische
Stromstärke
Ampère
A
Die Sekunde ist das 9192631770-fache der
Periodendauer der dem Übergang zwischen
den beiden Hyperfeinstrukturniveaus des
Grundzustandes von Atomen des Nuklids
133
Cs entsprechenden Strahlung (13. CGPM
1967)
Das Ampère ist die Stärke eines konstanten
elektrischen Stromes, der, durch zwei
parallele, geradlinige, unendlich lange und
im Vakuum im Abstand von 1 Meter
voneinander angeordnete Leiter von
vernachlässigbar kleinem, kreisförmigem
Querschnitt fließend, zwischen diesen
Leitern je 1 m Leiterlänge die Kraft 2 × 10-7
N hervorrufen würde (9. CGPM 1948)
Das Kelvin ist der 273,16te Teil der thermodynamischen Temperatur des Tripelpunktes
des Wassers (13. CGPM 1967)
Das Mol ist die Stoffmenge eines Systems,
das aus ebensoviel Einzelteilchen besteht,
wie Atome in 0,012 kg des
Kohlenstoffnuklids 12C enthalten sind.
Hierbei müssen die Einzelteile spezifiziert
sein und können Atome, Moleküle, Ionen,
Elektronen sowie andere Teilchen oder
Gruppen solcher Teilchen genau angegebener
Zusammensetzung sein (14. CGPM 1971)
Die Candela ist die Lichtstärke in einer
bestimmten Richtung einer Strahlungsquelle,
welche monochromatische Strahlung der
Frequenz 540 × 1012 Hertz aussendet, und
deren Strahlstärke in dieser Richtung 1/683
W durch Steradiant beträgt (16. CGPM
1979)
Thermodynamisch Kelvin
e Temperatur
K
Stoffmenge
Mol
mol
Lichtstärke
Candela
cd
5
Physik I, PD K. Thonke
1.3
Winkel
Ein Winkel ist keine echte Maßeinheit, sondern ein Relativwert bezogen auf Vollkreis oder
Vollkugel.
a)
ebener Winkel
- im Gradmaß: 1 Grad = 1° = 1/360 des Vollkreises
- oder im Bogenmaß: α ≡
b
r
"Einheit": 1 Radiant = 1 rad =
(1)
α
r
1m
1m
b
360°
= 57,3°
2π
Für kleine Winkel ist sin α ≈ α  wird häufig als Näherung verwendet !!!
Umrechnung: 1 rad ^=
b) Raumwinkel
in Analogie zum ebenen Winkel:
Raumwinkel Ω ≡
Kalottenfläche A
Kalottenfl äche A A
= 2
Radius 2
r
(2)
"Einheit": 1 Steradiant = 1 sr
4πr 2
Gesamtraumwinkel = 2 = 4π
r
1.4
Geschwindigkeit und Beschleunigung
Idealisierung: Beschreibung des bewegten Körpers als "Massenpunkt"
→ keine Rotation, Deformation
Im allgemeinen:
Zur Beschreibung des Aufenthaltsortes als

Funktion der Zeit muß r (t ) = Ortsvektor
als Funktion der Zeit angegeben werden.
Dieser hat 3 Komponenten:

r ( t ) = { x ( t ) , y( t ) , z ( t ) }
(3)
z

r ( t)
z(t)
y(t)
y
x(t)
x
6
bzw. Betrag und Richtung

r ( t ) = r ( t ) ⋅ r̂ ( t )
(4)

r(t) = r Dimension, Länge, Einheit m;
r̂ ( t ) : Einheitsvektor, zeigt nur Richtungen
an, keine Einheit
Kinematik
Einfache Spezialfälle:
1.4.1
Geradlinige Bewegung

Ortsvektor ändert nur Betrag: r = r ( t ) , aber nicht die Richtung: r̂ = const.. In Zeit t wird Weg
s zurückgelegt.
zurückgelegter Weg
Die (Bahn-)Geschwindigkeit ist definiert als Quotient
verstriche ne Zeit
s
m
v ≡ ; Einheit :
(5)
t
s
a)
gleichförmige Bewegung: v = v0 = const.
→ s(t) = v0 ⋅ t
(Weg wächst linear)
v(t)
s(t)
s(t)
v0
Steigung = v0
t
t
Fläche = s(t)
b) Geschwindigkeit wächst linear mit Zeit (oder nimmt linear ab) → gleichmäßig
beschleunigte Bewegung
Definition: Beschleunigung ≡
a≡
∆v
m
; Einheit = 2
∆t
s
Geschwindigkeitsände rung
Zeitinterv all
(6)
t
t
Weg-Zeit-Gesetz der gleichmäßig beschleunigten Bewegung: s( t ) =
Versuche:
-
1 2
at
2
(7)
Fallversuch a = g = 9,81 m/s2 (M24)
Fall Feder / Metallstück in Luft / in Vakuum (M19)
Kugeln an Schnur: Abstände äquidistant / quadratisch zunehmend (M142)
Fall in Glyzerin (M16)
7
Physik I, PD K. Thonke
c)
allgemeinste geradlinige Bewegung (noch 1-dimensional!)
Beschleunigung ist zeitlich veränderlich: a = a(t)
definiert ist:
v( t ) ≡ lim
∆t → 0
analog:
Momentangeschwindigkeit (als Grenzwert)
∆s ds( t )
=
= s( t ) = Steigung der Weg-Zeit-Kurve
∆t
dt
(8)
Momentanbeschleunigung
Δv dv( t )
d 2s ( t )
=
= v ( t ) =
= s( t ) ≈ "Krümmung" der Weg-Zeit-Kurve
Δt →0 Δt
dt
dt 2
a ( t ) ≡ lim
(9)
Umkehrung:
1. Integration der Momentanbeschleunigung → Momentangeschwindigkeit
2. Integration der Momentanbeschleunigung = 1. Integration der Momentangeschwindigkeit
→ Weg-Zeit-Funktion
∫ ∫ sdtdt = ∫ sdt = s( t )
(10)
Momentangeschwindigkeit unterscheiden von mittlerer Geschwindigkeit!!
Versuche: - Luftkissenbahn: v=const; a=const.
Bsp.: (nach Paus, S. 13)
Auto fährt 1. Hälfte einer 90 km-Strecke mit v1 = 90 km/h, 2. Hälfte mit v2 = 30 km/h
Frage: mittlere Geschwindigkeit?
Lösung: Weg-Zeit-Funktion:
s(t)
50 km
∆s2
45 km
∆s = 90 km
∆s1
t(h)
0
0,5
1,5
1
2
∆t2
∆t1
∆t
mittlere Geschwindigkeit: =
hier: v =
90km
= 45 km/h
2h
zurückgelegter Weg
Zeitintervall
!
≠
v1 + v 2
= 60km/h
2
Momentangeschwindigkeiten sind v1, v2
8
v=
∆s
∆t
Kinematik
1.4.2
Überlagerte Bewegung (→ zweidimensionale Bewegung)
Allg. Fall: Ortsvektor ändert sich nach Betrag und Richtung
Zur Berechnung der Geschwindigkeit muß daher die Produktregel angewendet werden:

dr ( t ) d
dr ( t )
dr̂ ( t )

v( t ) =
= { r ( t ) ⋅ r̂ ( t )} =
⋅ r̂ ( t ) + r ( t ) ⋅
(11)
dt
dt
dt
dt
In Komponentenschreibweise:
 x( t ) 



r ( t ) =  y( t )  = x ( t ) ⋅ x̂ + y( t ) ⋅ ŷ + z( t ) ⋅ ẑ
 z( t ) 


 v x ( t )   x ( t ) 
 a x ( t )   x ( t ) 

 

 






v( t ) = r ( t ) =  v y ( t )  =  y ( t ) 
a ( t ) = r( t ) =  a y ( t )  =  y ( t ) 

 

 


 v z ( t )   z ( t ) 
 a z ( t )   z( t) 
(12)
Der Geschwindigkeitsvektor im 2D-/3D-Fall
Teilchen bewegen sich auf beliebiger Bahn (in x/y-Ebene gezeichnet)
y
Zeit
t1
t2
Ortsvektor

r1

r2
  
Verschiebevektor ∆r = r2 − r1 gehört zu
Zeitintervall ∆t = t2 - t1
∆ r''

r1
Vektor der mittleren Geschwindigkeit

 Δr
v =
Δt

Δ
Betrag r ≤ Δs = tatsächlich durchlaufener Weg

∆r
∆s
∆ r'

r2
immer kleinere Zeitintervalle ∆t betrachten



Δ r d r 
=
=r
→ Vektor der Momentangeschwindigkeit v = ∆tlim
→0 Δt
dt
(13)
= Grenzwert des Vektors der mittleren Geschwindigkeit für ∆t gegen 0.
Graphisch: Tangente an Bahnkurve
Für Bestimmung der Ableitung in Gleichung (13) muß der Ortsvektor in Komponenten
zerlegt werden:
  
Δ r = r2 − r1 = ( x 2 − x 1 ) x̂ + ( y 2 − y1 ) ŷ + ( z 2 − z1 ) ẑ


Δr
Δx ⋅ x̂ + Δy ⋅ ŷ + Δz ⋅ ẑ
dy
dz
 Δx x̂ Δyŷ Δzẑ  dx
v = lim
= lim
= lim 
+
+
x̂ +
ŷ + ẑ (14)
=
Δt → 0 Δt
Δt →0
Δt
→
0
Δt
Δt
Δt  dt
dt
dt
 Δt
Beschleunigung: analog
9
Physik I, PD K. Thonke
Beispiel: Schiefer Wurf
Idealisierung: keine Luftreibung
Startgeschwindigkeit:
y
 v 0x 


v 0 = 

 v 0y 
−
Koordinatensystem so gewählt:
−
x-Richtung: gleichförmige Bewegung
x(t) = v0x ⋅ t
(15)
−
vy∆t
y-Richtung: gleichförmig beschleunigte
Bewegung
y(t) = y0 + v0y ⋅ t - ½ gt2
(16)
v0
g
2
g
( 3∆t ) 2
2
( 2∆ t ) 2
g
( ∆t ) 2
2
y0
vx∆t
x
 v 0x ⋅ t




→ r( t) = 
1 2
 y 0 + v 0y ⋅ t − gt 
2


(17)
Bahnkurve: y(x) durch Eliminieren der Zeit t
t=
aus (15):
x( t )
v 0x
y( t ) = y 0 + v 0y ⋅
in (16):
x( t ) 1 x 2 ( t )
− g 2
v 0x 2 v 0x
v 0y
g
y = y0 +
⋅ x − 2 ⋅ x2
v 0x
2v 0x
→ Parabelgleichung
(18)
Kurvendiskussion:
- Wurfweite xw aus Bed. y = 0 → quadratische Gleichung
g 2 v 0y
xw −
⋅ x w − y0 = 0
2
2v 0x
v 0x
x −
2
w
2v 0x v 0y
x w1/2 =
x w1/2 =
g
2
2v 0x
⋅ xw −
⋅ y0 = 0
g
v 0x v 0y
g
(
2
2
2
1 4v ox v 0y 8v 0x
±
+
⋅ y0
2
g2
g
v 0x
2
v 0y ± v 0y
+ 2g ⋅ y 0
g
(19)
)
Lösung mit "-√" ist sinnlos (wäre Auftreffen links); tritt auf, da nur y(x) betrachtet wird, aber
nicht der zeitliche Ablauf!
2v 0x v 0y
Spezialfall: y0 = 0 → x w =
g
v0x, v0y über Winkelbeziehung ausgedrückt:
10
Kinematik
v0x = v⋅cos ϑ; v0y = v⋅sin ϑ
→
xw =
2v 2
⋅ cosϑ ⋅ sin ϑ
g
Versuche:
-
Fallversuch 2 Kugeln Vertikal/Horizontal (M53)
„Affenschuß“ (M176)
Eisenbahn & Kanone (M174)
1.4.3
Relativgeschwindigkeit
(Motivation: Vektoraddition)
Die Geschwindigkeit eines Körpers wird manchmal relativ zu einem Koordinatensystem
gemessen, das sich seinerseits relativ zu einem anderen Koordinatensystem bewegt (→ letzten
Endes unsere Situation auf der Erdoberfläche!), z. B. eine Person auf einem rollenden
Eisenbahnwagen

Person: Geschwindigkeit v PW relativ zu
Wagen

Eisenbahnwagen: Geschwindigkeit vWE
relativ zur Erde

v PW

v WE
von oben:
v
y
PW
v
VPE
WE
VPW
VWE
Geschwindigkeit relativ zur Erde:
x
Man addiert Vektoren
- graphisch, indem man den Anfang des einen
Vektors an das Ende des anderen Vektors setzt
- analytisch, indem man die
Vektorkomponenten addiert
 v PE, x   v WE,x + v PW,x 

 


v PE =  v PE, y  =  v WE, y + v PW, y 

 

0  0

Diese lineare Addition der Geschwindigkeiten (=Galilei-Transformation) gilt nur für
Geschwindigkeiten, die deutlich kleiner als die Lichtgeschwindigkeit sind!
11
Physik I, PD K. Thonke
1.4.4
Kreisbewegung
Koordinatenystem in Mittelpunkt der Bewegung gelegt

r ( t ) = r0 ⋅ r̂ ( t )
→
(nur der Einheitsvektor ändert die Richtung!)
const.
Zweckmäßig: Winkelkoordinate ϕ(t) einführen (relativ zur x-Achse); ϕ im Bogenmaß
Definition: Winkelgeschwindigkeit
y

r (t)
ω≡
x
dϕ ( t )
= ϕ ( t )
dt
(20a)
Winkelbeschleunigung
α≡
dω( t ) d 2ϕ ( t )
=
= ϕ( t )
dt
dt 2
(20b)
→ soweit alles analog zu linearer Bewegung
a) gleichförmige Kreisbewegung
1. Betrachtung: geometrisch


Zeit t: Ortsvektor r , Geschwindigkeit v


t + ∆t = t': Ortsvektor r , Geschwindigkeit v

 Δv
Beschleunigung = ? a =
Δt
  
Änderung der Geschwindigkeit Δv = v'− v :
P
.

r
c
ϑ
P'

r'

v'
s
ϑ

v

∆v

v
.

v'


v' so verschieben, daß Ursprung mit dem von v
zusammenfällt!
Wegen der Ähnlichkeit der Dreiecke gilt für kleine θ:
Δv s v ⋅ Δt
≈ =
v r
r
2
Δv v
→
≈
Δt
r
für Grenzübergang ∆t → 0 gilt dann exakt:
Δv v 2
(= Betrag der Beschleunigung)
a = lim
=
Δt →0 Δt
r

Richtung der Beschleunigung: zum Kreiszentrum, d.h. ⊥ auf v
a = Radial- oder Zentripetalbeschleunigung ("auf das Zentrum gerichtet")
Ist die Dimension von a richtig?
12
 v 2  ( m/s ) 2 m
= 2 → wie lineare Beschleunigung
 =
m
s
 r 
(21)
Kinematik
2. Betrachtung: vektoriell

v = const. = Bahngeschwindigkeit
ϕ 2π
= 2πν (T = Umlaufzeit, ν = Frequenz)
ω = const. = =
t
T
2π ⋅ r
= rω
damit Bahngeschwindigkeit v = Umfang/Umlaufzeit v =
T
Komponentenzerlegung (2dimensional)
 x( t ) 

 = x ( t ) ⋅ x̂ + y( t ) ⋅ ŷ
r ( t ) = 
 y( t ) 
(22)
y
= r0 ⋅ cos ϕ( t ) ⋅ x̂ + r0 ⋅ sin ϕ( t ) ⋅ ŷ
= r0 { x̂ ⋅ cos ωt + ŷ ⋅ sin ωt}
= r0 ⋅ r̂ ( t )
r0: Betrag;
r̂ ( t ) : Richtung (Einheitsvektor,
hat Länge = 1)
Hier steckt die Zeitabhängigkeit
ausschließlich drin!
y(t)
= r sinϕ(t)
r(t)
ϕ(t)=ωt
x
x(t) = r cos ϕ(t)
Bahngeschwindigkeit: 1. Differentiation



dr ( t ) d

v( t ) =
= ( r0 ⋅ r̂ ( t ) ) = r
x̂sin ( ωt ) + ŷcos( ωt )
0 ⋅ ω −
  (da r0 = const.)
dt
dt

Betrag 
Richtung


v = ω ⋅ r0
r̂ ⊥ r̂
(23)
Bahnbeschleunigung: 2. Differentiation



dv ( t )

a( t ) =
= r0 ⋅ ω 2 ⋅ − xˆ cos( ωt ) − yˆ sin ( ωt ) 
 
dt

Richtung
Betrag 

a = ω 2 ⋅ r0 = ω ⋅ v
mit v = ω⋅r folgt: a =
r̂ = −r̂
2
v
r0
.

r

dr
dt
(24)

d2 r
dt 2
13
Physik I, PD K. Thonke
b) Vektorielle Erfassung der (gleichförmigen) Drehbewegung
Frage: Gilt die volle Analogie?
lineare Bewegung

Verschiebung r

Geschwindigkeit v = r
  
Beschleunigung a = v = r
Kreisbewegung

Winkel ϕ ???

Winkelgeschwindigkeit ω = ϕ
 
Winkelbeschleunigung ω = ϕ
dp

ω
.
.

v
r


Antwort: Nein! Nicht für r → ϕ !!!

Im Prinzip könnte ein Drehwinkel-Vektor ϕ so eingeführt werden:
Richtung : Richtung der Drehachse mit Rechte-Hand-Regel
Länge: Größe des Drehwinkels
Aber:
Vektoren müssen kommutativ sein (d. h. bei Hintereinander-Ausführen muß
Reihenfolge egal sein); dies trifft für endliche, d h. makroskopische Drehungen nicht zu!
π
2
π
2
π
2
π
2
Die Reihenfolge endlicher Drehungen ist nicht vertauschbar!
 


ϕ1 + ϕ 2 ≠ ϕ 2 + ϕ1
Dagegen: für infinitesimal kleine Winkel ist die Vertauschbarkeit erfüllt:
14
Kinematik

dϕ 3
dϕ1
0
P''

d ϕ2
dϕ2
P''

dr2

dr3

r
P

dr1

Hier kann mit infinitesimalen Wegelementen dri ausgeführte Verschiebung von P → P''' auch

durch infinitesimale Drehungen dϕ i beschrieben werden:





dϕ 3 = dϕ1 + dϕ 2 = dϕ 2 + dϕ1



dϕ 3 dϕ1 dϕ 2



=
+
Damit gilt auch:
oder ω 3 = ω1 + ω 2
dt
dt
dt
Da Winkelgeschwindigkeiten über differentielle Größen definiert sind, sind diese als
Vektoren schreibbar!
Diese Sorte Vektoren heißt "axiale Vektoren"
→ enthalten Drehachsen + Drehsinn (nach Rechte-Hand-Regel) + Betrag (z. B. aus
Winkelgeschwindigkeit)
sonstige, übliche Vektoren: "polare Vektoren" (z. B. Verschiebung, elektrisches Feld)
→ enthalten Richtung + Betrag (z. B. Feldstärke)
Zurück zur Situation bei der gleichförmigen Kreisbewegung:
(Rechte-Hand-Regel!)


Bahnbeschleunigung a ↓↑ r
  
v = ω× r
(25)

 
v = ω⋅r
mit vektorieller Multiplikation (Kreuzprodukt!)
werden Betrag und Richtung der Radialbeschleunigung erfaßt:
     
a = ω× v = ω×(ω× r)
(26)
nach Entwicklungssatz:
        
siehe Bronstein : a × b × c = b ⋅ ( a ⋅ c ) − c ⋅ a ⋅ b
        

ω × ( ω × r ) = ω ⋅ (
ω
⋅
r ) − r ⋅ (
ω
⋅
ω ) = −ω 2 ⋅ r
(
(
= 0,da

ω⊥ r
)
r
( ))
= ω2
(27)



d.h. a ↑↓ r , Betrag = ω 2 ⋅ r
15
Physik I, PD K. Thonke
2
Dynamik
Bisher:
Kinematik:
Jetzt:
Dynamik:
  
Beschreibung der Bewegung mit r ( t ) , v( t ) , a ( t )
"geometrische Diskussion", keine Frage nach Ursache der Bewegung
Frage nach Ursache der Bewegung (Kräfte, Drehmomente)
und Eigenschaften der bewegten Körper (Masse, Trägheitsmoment)
Hier: Bereich der klassischen Mechanik: v << c, Massen + Längen >> Atom
sonst: Relativitätstheorie, Quantenmechanik
Zentrales Problem der klassischen Mechanik:
vorgegeben: - Massenpunkt mit bekannter Masse (Ladung/magn. Moment)
- Anfangs-Lage und -Geschwindigkeit, Kräfte
gesucht:
- Bewegungsgesetz
Weg zur Lösung aufgezeigt durch Isaac Newton (1642 - 1727)
durch drei Axiome + Gravitationsgesetz
("Philosophiae Naturalis Principia Mathematica" (1686))
nach Vorarbeiten von Galileo Galilei (1564 - 1642)
Vorgehen nach heutigem Verständnis der klassischen Mechanik:
(1) Für Beschreibung der Einflüsse, die Bewegung verursachen, führt man das Konzept der

Kraft F ein. Jeder Umgebung entspricht ein bestimmtes Kraftgesetz.
(2) Jedem Körper wird eine skalare Größe → Masse zugeordnet, um unterschiedliche
Beschleunigungen der Körper bei gleichen Einflüssen (= Kräften) zu erfassen.
(3) Die Bewegungsgleichung stellt Zusammenhang zwischen Kraft, Masse und
Beschleunigung her. Lösen dieser Gleichung → Bewegungsgesetz
Die Begriffe Kraft und Masse müssen gemeinsam eingeführt werden!!!
2.1
Newtonsche Axiome

I. Ein Körper bleibt in Ruhe oder bewegt sich mit v = const., wenn keine resultierende
äußere Kraft auf ihn einwirkt:



F = ∑ Fi = 0
→ v = const. "Trägheitsprinzip"
(1)
i
II. Die Beschleunigung eines Körpers ist umgekehrt proportional zu seiner Masse, direkt
proportional zur resultierenden Kraft


 F

oder F = m ⋅ a
"Aktionsprinzip"
(2)
a=
m
III. Kräfte treten immer paarweise zwischen Körpern A, B auf


FAB = − FBA "Reaktionsprinzip"
16
(3)
Dynamik
• Zum I. Axiom
Vor Galilei:
Es herrschte die Auffassung vor, daß es eines Einflusses bedurfte, um die Bewegung eines
Körpers aufrecht zu erhalten. (Man stelle sich einen Eselskarren mit Holzrädern auf einem
holprigen Steinweg vor!) Erst die Verbesserung der Experimente, d. h. die Verminderung der
Reibung, machte den Weg frei zu neuen Erkenntnissen.
→ Idealisierung:
Wenn es keine Reibung gäbe, würde sich jeder Körper nach dem Anstoßen geradlinig mit

konstanter Geschwindigkeit weiterbewegen. Eine äußere Kraft ist notwendig, um v zu
ändern, aber nicht zum Aufrechterhalten der Bewegung.
Newtons 1. Axiom unterscheidet nicht zwischen ruhendem und gleichförmig bewegtem
Körper
→ Frage des Koordinatensystems, des Bezugssystems, relativ zu dem wir unsere Orts-/
Geschwindigkeitsangaben machen
Bsp.: Ein Buch liege reibungsfrei auf einem Tisch in einem Eisenbahnwaggon
2 Koordinationssysteme:
- s' (x', y') sei an Waggon festgemacht; Buch sei in diesem Koordinatenystem in Ruhe
- s (x, y) sei an Schienen festgemacht; in diesem System bewegen sich Buch und Waggon

mit Geschwindigkeit v
→ gemäß 1. Newtonschem Axiom
- bleibt das Buch in System s' in Ruhe

- bewegt sich das Buch im System s mit konstanter Geschwindigkeit v
Das 1. Newtonsche Axiom wäre nicht gültig in einem Bezugssystem, das entlang den

Schienen mit konstanter Beschleunigung a bewegt wird: hier würde das Buch wie von

Geisterhand beschleunigt erscheinen (mit − a ).
→ 1. Newtonsches Axiom macht also eine Aussage über Bezugssysteme! Im allgemeinen
hängt die Beschleunigung eines Körpers von dem System ab, in dem sie gemessen wird.
Wirken auf einen Körper keine Kräfte, so gibt es eine "Klasse von Bezugssystemen", in denen
der Körper keine Beschleunigung aufweist. In diesen gilt das 1. Newtonsche Axiom (= Trägheitspinzip); diese Systeme heißen Inertialsysteme (lat.: inertia = Trägheit).
Jedes Bezugssystem, das sich relativ zu einem Inertialsystem mit konstanter Geschwindigkeit
bewegt, ist selbst ein Inertialsystem.
17
Physik I, PD K. Thonke
Ein Bezugssystem, das mit der Erdoberfläche verbunden ist, ist genau genommen kein
Inertialsystem! Wegen der Drehung der Erde um die eigene Achse und um die Sonne erfährt
jeder Körper eine Zentripetalbeschleunigung von ≈ 0,01 m/s² → wird vernachlässigt.
• Zum II. Axiom

Ist Beschleunigung a = 0 , so ist der Körper "frei von äußeren Einflüssen".

Ist a ≠ 0 → Umgebung wirkt auf den Körper ein.
Zum quantitativen Erfassen dieser Einwirkung wird die physikalische Größe "Kraft" einge
führt: (vektorielle Größe, da a ein Vektor ist!)
 
F~a
Kräfte können also dadurch verglichen werden, daß die Beschleunigung bestimmt wird, die
ein gegebener Körper (reibungsfrei gelagert!) erfährt. Praktisch kann man die Kraft auch
(gleichzeitig) mit einer Federwaage bestimmen: Körper P sei reibungsfrei gelagert
a
Ruhezustand:
v = a = 0, Feder hat Länge l
F
Ziehen an Feder:
a > 0, Feder hat Länge l + ∆l
Hängen wir jetzt an die Feder verschiedene Körper (immer reibungsfrei!) an, so werden wir
bei gleicher Federdehnung (also gleicher Kraft) verschiedene Beschleunigungen a messen. Es
gibt also für jeden Körper eine Proportionalitätskonstante m zwischen Kraft und
Beschleunigung:



F = m1 ⋅ a 1 = m 2 ⋅ a 2 = ... für verschiedene Körper

Ziehen wir jetzt mit einer anderen Kraft F ' (d. h. mit anderer Federauslenkung l + ∆l), so
finden wir



F' = m1 ⋅ a 1 ' = m 2 ⋅ a 2 ' = ...
mit denselben Faktoren m1, m2, ...!

Also hängen die mi nur von der Natur des jeweiligen Körpers ab, aber nicht von F .
Diese jedem Körper zugeordnete skalare Größe mi ist seine Masse.
Damit lautet die Newtonsche Bewegungsgleichung


F = m⋅a
(Schafft Zusammenhang zwischen den dynamischen Größen Kraft, Masse und kinematischer

Größe a .)
Das Verhältnis von Massen ist durch den Vergleich ihrer Beschleunigung bei gleicher angewandter Kraft F gegeben:
m1 a 2
=
m2 a 1
Nochmals: Man kann Kraft und Masse nur zusammen als physikalische Einheiten einführen!
18
Dynamik
Als Basiseinheit im SI-System wurde (letztlich willkürlich!) für die Masse die Einheit 1 kg
eingeführt (neben m und s die dritte fundamentale Einheit).
Sie wird durch einen Referenz-Körper aus der Legierung PtIr, aufbewahrt in Sèvres bei Paris,
verkörpert. Er entspricht ziemlich genau der ursprünglich beabsichtigten Festlegung 1 kg = 1
dm³ reinen Wassers bei 3,98 °C, 1 atm (Genauigkeit: 10-5).
Für die Kraft ergibt sich damit als abgeleitete SI-Einheit:
1 Newton = die Kraft, die benötigt wird, um einen Körper der Masse 1 kg mit 1 m/s² zu
beschleunigen:
kg m
1N =1 2
(4)
s
Die körperspezifische Proportionalitätskonstante Masse m tritt nicht nur bei Beschleunigung
auf ("träge Masse"), sondern nochmals bei Gravitations-Wechselwirkung ("schwere Masse").
Experimentell ist kein Unterschied nachweisbar!
Aus der Gravitation stammt auch die im Alltag gebräuchliche Einheit für Kraft
1 kp = Kraft, mit der Masse 1 kg an Erdoberfläche angezogen wird
keine SI-Einheit !!!
Gewichtskraft G = m ⋅ g
mit g = 9,81 m/s²
1 kp = 1 kg ⋅ 9,81 m/s² = 9,81 kgm/s² = 9,81 N
• Zum III. Axiom

F'

G

F

G '
Kräfte treten immer in Paaren auf.
Wenn auf den Körper A eine Kraft einwirkt, dann muß es
einen weiteren Körper B geben, der diese Kraft ausübt.
Umgekehrt wirkt dann auf B die entgegengesetzte Kraft.
Kraft und Gegenkraft wirken auf verschiedene Körper.
Bsp.: Klotz auf Tisch

Der Klotz wird von der Erde mit G angezogen, zieht

seinerseits die Erde mit G ' an.
 
Der Klotz drückt auf den Tisch mit F ' = G , der Tisch übt

die Kraft F auf den Klotz aus.
Genauer betrachtet ("mikroskopisch"):
- der Tisch biegt sich leicht durch → Deformation → Rückstellkraft, "Kontaktkraft"
- der Fußboden wird unter den Tischfüßen leicht eingedrückt → dito
Versuch:
„Fischerstechen“ (M141)
19
Physik I, PD K. Thonke
2.2
Kraftgesetze
Um die Wechselwirkung eines Körpers mit seiner Umgebung darzustellen, sind zusätzlich zu
den Newtonschen Axiomen Kraftgesetze nötig:

F = Funktion der Teilcheneigenschaften und Umgebung
Die Anzahl der Umgebungen eines beschleunigten bewegten Körpers ist sehr groß;
einige Beispiele (später ausführlich!):
• F=m⋅g
• F = -D ⋅ x
(Rückstellkraft Feder)
• F=µ⋅m⋅g
(Reibungskraft)
• F = γ⋅
• F=
m 1m 2
r2
1 q1 ⋅ q 2
4πε 0 r 2
(Gravitations-Wechselwirkung)
(elektrostatische Wechselwirkung)
2.3
Anwendungen der Newtonschen Axiome
zur Lösung von Bewegungsproblemen
Zwei Möglichkeiten:

- alle Kräfte sind bekannt → berechne a



a ist bekannt → berechne F = ∑ Fi
i
zusätzlich sind meist Randbedingungen zu erfüllen (also z. B. Bewegung entlang Schiene, auf
Ebene, etc.)
 
Statisches Gleichgewicht (GG) ( a = v = 0 )


Nach I. Axiom muß dann gelten: F = ∑ Fi = 0
2.3.1
i
Bsp.: Körper an Feder

F = −G
Körper auf Ebene


F2 = − F1
Versuch: "Magdeburger Halbkugeln" MF-025→ Showeffekt, statt 2 × 8 Pferden hätten 1 × 8
Pferde + 1 Wand genügt!
20
Dynamik
Versuch M28 (Kräftegleichgewicht):
  
GG, wenn F1 + F2 + F3 = 0
viele GG-Situationen können realisiert werden!
Spezialfall: α+β = 90°
  
Wie muß F1 , F2 , F3 sein für diese Konstellation?


Dann muß sein: F1 ⊥ F2
y
.

F1

 F2
−F3
α β
.
x

F3
Dies kann man so zeigen:
Kräfte-Gleichgewicht quadriert: (vekoriell)
 

( F1 + F2 ) 2 = ( − F3 ) 2
ausmultipliziert:
   
 
2
F1 ⋅ F1 + F2 ⋅ F2 + 2
⋅
F
⋅
F
=
F
1
2
3


= 0,wenn

F1 ⊥ F2
→ also gilt hier der Satz von Pythagoras: F32 = F12 + F22
→ mithin bilden die Kräfte ein rechtwinkliges Dreieck!
in Vektor-Komponentenschreibweise:
 − sin α 
 sin β 
0 
x
 + F2 
 = F3   in   − Koord .
F1 
 cos α 
 cos β 
 − 1
 y
-F1 sin α + F2 sin β = 0
→
Horizontalkräfte heben sich auf
F1 cos α + F2 cos β = -F3
→
Vertikalkräfte heben sich auf
Anwendungen:
allg. "Fachwerkkonstruktionen" (z. B. Strommast)
"Seilkonstruktionen"
2.3.2
Dynamisches Gleichgewicht
In Kräftebilanz tritt jetzt die "Trägheitskraft" mit auf:

∑F
i
i

Summe der
von außen an greifenden Kräfte
=

m
⋅a

Trägheitsk
raft

Ftr
(5)
21
Physik I, PD K. Thonke

a
Beispiele:
a) Fallbewegung



Ftr = − m ⋅ a = −m ⋅ g


G = m⋅g

G
b) Mann auf Waage in Fahrstuhl

Fahrstuhl werde nach oben beschleunigt mit a
Mann ist relativ zu Fahrstuhl in Ruhe

 
→ auch für ihn ist x = a → beschleunigende Kraft FN
wirkt auf ihn



 
FN = G + m ⋅ a = m ⋅ ( g + a )
(6)
c) Experiment
Luftkissenbahn
M4
Ftr,W = mW a
mW

FN
FN = "Normal"-Kraft

FZug
mW g
.

FZug
mG
Ftr,G = mG a
F = mG g
Kräfte:
mG ⋅ g = (mG + mW)⋅ a
FN - mW ⋅ g = 0
FZug = mW ⋅ a
→ a=
mG
⋅g
mG + m W
FZug =
(7a)
m W ⋅ mG
⋅g
mG + m W
(7b)
Ausführung: mW + mG = const. halten, Zeitdauer der Beschleunigung = 1 s oder 2 s = const.
Hilfreich: zur Kontrolle Grenzfälle betrachten
• mG = 0
→
a = 0, FZug = 0
• mW = 0
→
a = g, FZug = 0 (freier Fall)
max. Zugkraft im Seil, wenn mG = mW!
(+ Dimensions-Überprüfung!)
22
Dynamik
2.4
Scheinkräfte
Newtonsche Axiome gelten nur in Inertialsystemen.
Was ändert sich bei Beschreibung in beschleunigtem System?
Es gilt nicht mehr F = m ⋅ a mit a gemessen im beschleunigten System!
Scheinkräfte müssen eingeführt werden!
Scheinkräfte - hängen ab von Beschleunigung aB des Bezugssystems
- werden nicht wirklich übertragen; nur Hilfsgröße
- erscheinen aber dem Beobachter im Nicht-Inertialsystem real
a) Linear beschleunigtes System

Bsp. (nach Tipler): Ein Ball fällt in einem Waggon, der aus der Ruhelage heraus mit a
beschleunigt wird (Bild unten links)
Für einen Beobachter im Waggon wirkt "unerklärliche Scheinkraft" auf alle Körper, die diese

Körper mit - a beschleunigen (unerklärlich, wenn seine eigene Masse = 0 ist und er deshalb
diese Kraft nicht spürt oder bei Beobachtung über eine im Waggon installierte Kamera)


→ Trägheitskraft Ftr = −ma
Ähnliches System: Eine Lampe ist an der Decke des gleichmäßig beschleunigten Waggons
aufgehängt:
23
Physik I, PD K. Thonke
(b)
Beobachterin
b) Rotierendes Bezugssystem
aus Kinematik (Glg. 21): jeder Punkt erfährt Zentripetalbeschleunigung

a
m

z
v2
r
(Glg. 1-21)
Stein auf Scheibe:
• Für ruhenden Beobachter:

Seilkraft Z verursacht Zentripetalbeschleunigung:


(8)
Z = m⋅a
•
Für mitbewegten Beobachter:

Stein ist in Ruhe: a '= 0
mv 2
Scheinkraft
(9)
= mω2 r = "Zentrifugalkraft"
r
muß eingeführt werden, um Zugkraft der Schnur
auszugleichen
Zentrifugalkraft: Scheinkraft, die nur in rotierenden Bezugssystemen vorkommt!
Experiment: Zentripetalkraft messen (M37)


Damit im rotierenden Bezugssystem F = m ⋅ a gilt, muß noch eine zweite Scheinkraft, die

Corioliskraft, eingeführt werden! Diese wirkt orthogonal zu v' (im rotierenden Bezugssystem)
24
Dynamik
Bsp.: (nach Tipler, Abb. 5.18)
vorher
vorher
nachher
(a)
nachher
(b)
Intertialsystem:
Ball bewegt sich geradlinig,
verpaßt den Fänger
rotierendes System:
Fänger ist in Ruhe,
Ball wird nach rechts abgelenkt durch
die "Corioliskraft"
Inertialsystem (Beobachter steht
außen): all bewegt sich geradlinig,
verpaßt Fänger
Rotierendes System (Beobachter steht mit
auf Scheibe): Fänger ist in Ruhe, Ball wird
nach rechts abgelenkt durch „Corioliskraft“
Bsp.: Folie Wolkenbilder Nord-/Südhalbkugel
N
Tiefdruckgebiet
O
W
Winde, die in Tiefdruckgebiet
strömen, werden abgelenkt:
- auf der Nordhalbkugel nach rechts
- auf der Südhalbkugel nach links
Material:
- Wetterkarte M158
- Wetterfilm
S
25
Physik I, PD K. Thonke
genauere Betrachtung des BallBeispiels:
sruh = Bahn im Inertialsystem
srot = Bahn im rotierenden System
P
R

v
srot
∆s
∆ϕ
sruh
P'
ω = const.
Ball erreicht Rand des Drehtisches
nach Zeit ∆t = R/v (Geschwindigkeit
des Balles, gemessen im rotierenden
Bezugssystem)
Wegstück ∆s = R ⋅ ∆ϕ = R ⋅ ω ⋅ ∆t =
vBall ⋅ ω ⋅ (∆t)2
(10)
für rotierenden Beobachter tritt azimutale Beschleunigung ac auf; für diese gilt das Weg-ZeitGesetz
1
∆s = ac ⋅ ( ∆t ) 2
(11)
2
Vergleich (10) ↔ (11) liefert für ac:
Coriolisbeschleunigung:

 
 
Betrag: a c = 2vω wenn v ⊥ ω ; vektoriell: a c = 2[ v × ω]
(12)

 
Corioliskraft: Fc = 2mv × ω
 
Für genaue (d. h. vektorielle) Beschreibung muß Wegelement dr , dr ' in beiden Systemen
betrachtet werden (siehe Paus S. 118/119).
 
 2 
a' = a + 2
( v'×
ω) + ω
⋅r



→
(13)


a
ac
–
–
–
ZF


Ist v nicht radial, ist auch a c nicht rein azimutal!
Corioliskraft tritt nur für (im ruhenden System) bewegte Körper auf!
Dagegen: Zenrifugalkraft tritt auch für im ruhenden System unbewegte Körper auf!
Versuche:
- Pistolenschuß auf Drehstuhl ( M107)
- Tennisball auf Drehtisch (M007)
- Laufende Schnur auf rotierendem Rad (M152)
26
Dynamik
2.5
Reibung
"glatter" Körper ruht bzw. bewegt sich auf
"glatter", ebener Fläche: mikroskopisches Bild
bei genügender Vergrößerung:
An Berührungsfläche entstehen lokale Bindungen, die beim Verschieben abgerissen und neu
gebildet werden; ständiges lokales Aufschmelzen und Erstarren
a) Haftreibung
Beim Versuch, den Körper zu verschieben, muß Kraft gesteigert werden bis zu einem
bestimmten Betrag FH = Haftreibungskraft, damit sich der Körper in Bewegung setzt.
FH hängt ab von
- Beschaffenheit der Berührungsflächen
- Andruckkraft (hier = Gewicht) des Körpers
F
Experimentell kann man dies durch den
phänomenologischen Zusammenhang
ausdrücken:
FH
G
FH,max = µH ⋅ FN
mit µH = Haftreibungszahl,
FN = Normalkraft (14)
Anmerkung:
• µH kann sehr groß werden für atomar glatte Flächen, also z. B. für im UHV gespaltene
Kristalle; Unterschied oxidiert/nicht-oxidiert bei Al-Fläche
• FH hängt nicht von Fläche ab!
• experimentelle Bestimmung: z. B. durch
Neigen einer schiefen Ebene, bis Körper
rutscht
μH =
FH
FH G ⋅ sinα
=
= tanα
FN G ⋅ cosα
Versuch: Bestimmung des Haftreibungskoeffizienten
(M49)
FN
G
α
-FH
b) Gleitreibung
Ist Haftreibung überwunden, kann Körper mit v = const. bewegt werden durch Kraft FG < FH.
Auch für diese gilt empirisch:
Gleitreibungskraft FG = µG ⋅ FN mit µG = Gleitreibungszahl
(15)
Versuch: Bestimmung des Gleitreibungskoeffizienten (M22)
Experimentell findet man:
• µG < µH (wichtig beim Autofahren/Abbremsen eines Fahrzeugs sowie bei Kurvenfahrt!)
• µG ist in gewissem Geschwindigkeitsbereich unabhängig von v (meist für cm/sec. < v <
m/sec)
27
Physik I, PD K. Thonke
• µG hängt von Struktur der Berührungsfläche, aber nicht von deren Betrag ab
c) Rollreibung
Reifen rolle mit konstanter Geschwindigkeit über horizontale Straße. Auch hier ist (geringe)
Kraft nötig, um die Bewegung aufrecht zu erhalten:
- Berührungsfläche muß ständig voneinander getrennt werden
- Reifen und Unterlage werden etwas deformiert → "Bergaufrollen"
wird beschrieben durch
FR = µR ⋅ FN
Anmerkung:
• µR hängt von Oberfläche ab
• µR hängt vom Radius r des Rades ab (je kleiner r, desto größer µR!).
1
näherungsweise: µ R ~
r
• typ. Werte: 0,01 ... 0,02 für Gummireifen auf Beton
0,001 ... 0,002 für Stahlräder auf Stahlschienen
28
(16)
Arbeit und Energie
3
Arbeit und Energie
3.1
Arbeit
 
Physikalische Definition: Arbeit = Kraft ⋅ Weg
(1)
W = F⋅ x
(W für "work")
 
F ⋅ x : Produkt aus Kraft und Verschiebung in Richtung dieser Kraft (Skalarprodukt zweier
Vektoren)
Anmerkung:
• Unterschied zu allg. Sprachgebrauch: keine Arbeit ist z. B.
- der erfolglose Versuch, eine Kiste hochzuheben oder zu verschieben
- das Hochhalten eines Gewichtes auf konstanter Höhe (→ Seil könnte angebunden
werden)
 
• Arbeit kann auch negativ werden, wenn F , x entgegengerichtet sind
SI-Einheit: Joule (J)
1J=1N⋅m
einfacher Fall:

Bewegung auf Ebene; F = const., α = const.
→ W = Fx ⋅ ∆x = F ⋅ cos α ⋅ ∆x
Fx
F
K
W = Fx ⋅ ∆x
α Fy
Fx
x
x1
komplizierter Fall:


F ändert sich in Betrag oder Richtung relativ zu ∆x
→ Wegstrecke muß in viele kleine Teilstücke zerlegt
werden; aufsummieren:

 
 

W = F1 ⋅ Δx 1 + F2 ⋅ Δx 2 + ... = ∑ Fi ⋅ Δx i = ∑ ΔWi bzw.
i
x
x2
(2)
F
i

im Grenzfall ∆xi → 0 :

∆x
(1)
(2)
  
W = ∫ F( x ) ⋅ dx
(2)
(1)
"Linienintegral": stets wird nur die

Kraftkomponente Fx dx betrachtet
Fx
x1
x2
x
29
Physik I, PD K. Thonke
Beispiele:
a) Hubarbeit
x=h
  h
Wh = ∫ F ⋅ dx = ∫ m ⋅ g ⋅ dx = m ⋅ g ⋅ h
x=h
x =0
(3)
0
Wäre auch gleich, wenn Weg komplizierter gewesen
wäre:

F
x
h
0


G = m ⋅g
 
Nur Wegelementanteil dx F zählt
→ Integral hat gleiches Ergebnis, da F = const.

F
0
F

ds⊥

d s||
G
m⋅g

ds
WH
x =h
∫
x =0
 
F ⋅ ds = F ⋅
h
∫ ds
||
= F⋅ h = m ⋅g ⋅ h
h
x
=0
s
addieren
sich zu h
(=Fläche in F(s)-Diagramm)
b) Spannarbeit
Feder mit Federkonstante k soll linearem Kraftgesetz gehorchen, aus Ruhelage um Strecke x0
gedehnt werden:
FF
F
0

 

FF ( x) = −k ⋅ x = − F ( x )
x0
   x0
1
WSpann = ∫ F ( x ) ⋅ dx = ∫ k ⋅ x ⋅ dx = kx02
2
0
0
c) Beschleunigungsarbeit
30
x
0
x0
x
(4)
Arbeit und Energie

Körper mit Masse m wird durch Anwendung einer konstanten Kraft F aus Ruhezustand (t=0,
x=0, v=0) heraus auf Geschwindigkeit v0 (zum Zeitpunkt t0, nach Weg x0) beschleunigt:


a

Ftr
F
m
x


dv

F = ma = m
dt
x0
 
WB = ∫ F ⋅ dx =
x =0

v0
 
 dv
∫ F ⋅ vdt = m v∫=0 v dt dt
t =0
t0
(5)
v
v0
0
 
1
1 2 
= m ∫ vdv = m  v  = mv 02
 2  v=0 2
v =0
Beschleunigungs-Arbeit hängt nur von erreichter Geschwindigkeit v0 ab, nicht von a oder t0!
→ Kraft hätte sich auch während der Beschleunigung ändern können.
d) Körper bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit auf Kreisbahn

ds

Fz
Verrichtet die beschleunigende
Zentripetalkraft Arbeit an ihm?


Nein, denn Fz ⊥ d s → W = 0
3.2
Energie und Energiesatz
In den Beispielen 3.1 a) - c) wurde am mechanischen System Arbeit verrichtet; diese ist als
Energie "E" im System gespeichert. Umgekehrt kann jetzt das mechanische System Arbeit
verrichten (an einem weiteren System).
Arbeit und Energie haben die gleiche physikalische Einheit: 1 J = 1 Nm
Energie: Zustandsgröße des Systems
Arbeit: Transportgröße (das, was übergeben wird)
In den Fällen a) und b) erhält das System "potentielle Energie" Ep:
a) Lageenergie
Ep = m ⋅ g ⋅ h
1
E p = k ⋅x 20
b) Spannenergie
2
Im Fall c) wird durch die Zufuhr von Beschleunigungsarbeit die "kinetische Energie" Ekin =
Bewegungsenergie des Systems verändert:
1
E kin = mv 2
c) kin. Energie
2
31
Physik I, PD K. Thonke
Energiesatz der Mechanik:
Durch Zufuhr von Arbeit (∆W > 0) wird die Energie eines Systems vergrößert.
Umgekehrt:
Durch Abfuhr von Arbeit (∆W < 0) wird die Energie eines Systems verringert.
Differentielle Formulierung: dE = dW
Die mechanische Gesamtenergie ist die Summe aus potentieller und kinetischer Energie
E(ges) = Ekin + Epot
(6)
Der Energiesatz ist kein neues, unabhängiges Gesetz der Mechanik, sondern
- definiert Begriffe Arbeit und Energie
- leitet Zusammenhang zwischen ihnen aus 2. Newtonschem Axiom her
Ist Zu- oder Abfuhr von Arbeit nicht möglich, nennt man das System "abgeschlossen".
Dann gilt der Energieerhaltungssatz der Mechanik:
E = Ekin + Epot = const.
(7)
• Erfahrungssatz, nicht beweisbar!
• einer der fundamentalen Sätze der Mechanik
(- man muß Energie und ihre Transportform, die Arbeit, als mengenhafte Größe akzeptieren)
• mechanisches System ist dann abgeschlossen, wenn nur konservative (d. h. die mechanische Energie erhaltende) Kräfte auftreten (z. B. Gravitation, Federkraft)
Eine Kraft heißt konservativ, wenn die gesamte Arbeit entlang einem beliebigen, geschlossenen Weg = 0 ist.
Versuch: Energieerhaltung (M93); Autorennen auf 3 Bahnen (M55)
32
Arbeit und Energie
oder alternativ:
Die von einer konservativen Kraft am Massepunkt
verrichtete Arbeit ist unabhängig vom speziellen Weg,
auf dem sich der Massepunkt von einem Ort „1“ zum
anderen Ort „2“ bewegt.
Weg A
y
Weg B
.
1
• nicht-konservative Kräfte = dissipative Kräfte (=
mechanische Energie verrichtende Kräfte) sind z. B.
Reibung, Verformung: wandeln mechanische Energie
in Wärme um → können nur in generalisiertem
Energieerhaltungssatz korrekt berücksichtigt werden
3.3
.
2
Weg C
0
x
Energie, Potential und Kraft
System, das potentielle Energie besitzt, kann Arbeit verrichten:
-dEp = Fds
(2 )
( 2)
 
 
integriert: − ∆E p = ∫ Fds ; wenn F d s : −∆E p = ∫ Fds
(1 )
(8)
(9)
(1 )
(8) umgeschrieben:
F=−
dE p
ds
(10)
Die am System angreifende Kraft ist das negative Differential (die negative Ableitung) der
potentiellen Energie (="Potential")
genauer:
 
F , ds sind Vektoren, daher muß auch die Ableitung dreidimensional sein!

 ∂E ∂E ∂E 
F = − p , p , p  = −gradE p = −∇E p
 ∂x ∂y ∂z 
(11)
Beachten Sie die Schreibweise (gewöhnungsbedürftig) !
∂E p
:
partielle Ableitung nach x, etc.
∂x
- grad Ep: "Gradient" → zeigt in Richtung der stärksten Änderung,
Vektor: Länge = Betrag der Änderung/Länge
-∇Ep:
"nabla-Operator"
"System wird in die Richtung getrieben, in der die potentielle Energie am schnellsten abnimmt"
Gilt nur in konservativen Systemen!
Für die Komponenten der Kraft gilt also:
∂E
Fx = − p etc.
∂x
(12)
33
Physik I, PD K. Thonke
Wieder die Beispiele:
a) Lageenergie: E p = mgh → Fh = −
dE p
dh
= −mg
(13)
dE
1 2
kx → F = − p = −kx
2
dx
d. h. Federkraft wirkt jeweils in - x-Richtung
b) Spannenergie: E p =
(14)
F(x)
Ep(x)
x
x
Steigung = - k
Damit ist auch die Klassifizierung von Gleichgewichtslagen möglich:
E
- stabiles Gleichgewicht: Epot = min.!
nur rücktreibende Kräfte für x ≠ x0
x
- labiles Gleichgewicht: Epot = max.!
nur wegtreibende Kräfte für x ≠x0
-
indifferentes Gleichgewicht:
∂E pot
=0→ F=0
∂x
E
x
E
x
Versuch + Video: Paul-Falle (AT62)
34
Arbeit und Energie
3.4
Leistung
Leistung
=
pro Zeiteinheit verrichtete Arbeit
= "Geschwindigkeit der Energieübertragung"
P=
dW 
=W
dt
(15)
dW
: Skalar
dt
Nm kgm 2 J
Einheit: Watt = W =
=
=
3
s
s
s
früher: 1 PS = 75 kp ⋅ m = 0,735 kW
P: Skalar;

 
Teilchen habe Momentangeschwindigkeit v , Verschiebung in Zeitintervall dt ist d s = vdt .

Kraft F wirke auf Teilchen:
   
(16)
dW = F ⋅ d s = F ⋅ v ⋅ dt
→P=
dW  
= F⋅ v
dt
(17)
35
Physik I, PD K. Thonke
4
Teilchensysteme und Impulserhaltung
4.1
Der Massenmittelpunkt
Kinematik: Bewegung eines Massenpunktes wird betrachtet
bei ausgedehnten Körpern: System von Punktteilchen; für jeden Punkt Newtonsche Axiome
oder ersatzweise:
Für jedes System kann Massenmittelpunkt = Schwerpunkt
gefunden werden, der sich so bewegt, als ob alle Masse in ihm
konzentriert wäre.
Bewegung zusammensetzen aus
- Bewegung des Massenmittelpunktes
- Bewegung der Teilsysteme relativ zum Massenmittelpunkt
a) Einfachster Fall:
2 Teilchen
Schwerpunktkoordinate xs durch gewichtetes Mittel:
mges ⋅ xs = m1x1 + m2x2
= m1 + m2
→ xs =
m 1x 1 + m 2 x 2
m1 + m2
(1)
d
m1
S
m2
x1
xs
x2
x
b) Verallgemeinerung auf viele Teilchen, dreidimensional

m  
rs = ∑  i  ⋅ ri ; Gesamt - Masse M = ∑ m j
i  M 
j
(2)
oder infinitesimal formuliert:
1 


rs = ∫ r dm dm: Massenelement am Ort r
(3)
M
Bedeutung des Massenmittelpunktes verdeutlicht am
Beispiel a): m1, m2 seien durch masselose Stangen
verbunden zu Gesamtkörper, Aufhängung im
Schwerpunkt: gesamte potentielle Energie
Epot = m1g ⋅ y1 + m2g ⋅y2
(4)
z

r
y
x
y
y2
m2
s
1
( m 1x 1 + m 2 x 2 )
M
1
y s = ( m1 y1 + m 2 y 2 )
M
xs =
y1
→ ys ⋅ M = m1y1 + m2y2
x1
x2
x
(5)
in (4):
Epot = g ⋅ ys ⋅ M
→ d. h. bei Aufhängung in Schwerpunkt ist ges. Epot unabhängig von der Lage der
Einzelmassen! → Körper immer im statischen Gleichgewicht
36
dm
Teilchensysteme und Impulserhaltung
Versuche: Schwerpunktsbestimmung (M45), „Bierwette“ (M137)
Experimentelle Ermittlung von Schwerpunkt: 2 Versuche
• Körper in mehreren Punkten aufhängen, jeweils Lot fällen, Schnittpunkt
der Lotlinien = Schwerpunkt
• Besenstiel: waagerecht auf Fingern balancieren; Finger
zusammenschieben, treffen sich unter Schwerpunkt
Lot
• "Bierwette": Gabel + Löffel + Streichholz auf Bierflasche: Schwerpunkt kann auch
außerhalb des Körpers liegen!
4.2
Bewegung des Massenmittelpunktes
Es gilt ((2)umformuliert):


d
M ⋅ rs = ∑ m i ri
dt
i


d rs
d ri
= ∑ mi
→M
dt
dt
i


oder M ⋅ v s = ∑ m i v i
i
d
dt


→ M ⋅ a s = ∑ mia i
(6)
(7)
(8)
(9)
i
jetzt auf Teilchen i das 2. Newtonsche Axiom anwenden
 
m i a i = Fi = Kraft auf i-tes Teilchen
(10)

Kräfte Fi lassen sich in interne Kräfte (= Wechselwirkung mit anderen Teilchen des Systems)
und externe Kräfte (= Einwirkungen von außen) unterteilen.


 
Fi = m i ⋅ a i = Fi,int + Fi,ext
(11)
in (9) eingesetzt:



M ⋅ a s = ∑ Fi,int + ∑ Fi,ext
i
(12)
i
Nach 3. Newtonschem Axiom gibt es zu jeder internen Kraft  →  eine gleich große,
entgegengesetzt gerichtete Kraft  ← 

F
∑
i,int = 0
→
(13)
i
also bleibt:



M ⋅ a s = ∑ Fi,ext = Fext
i
II. Newtonsches Axiom für ein System von Teilchen
(14)

resultierende äußere Kraft auf System Fex
= Gesamtmasse ⋅ Beschleunigung des Massenmittelpunktes
37
Physik I, PD K. Thonke
gleiche Form wie 2. Newtonsches Axiom für Teilchen mit Masse M, das sich im Massenmittelpunkt befindet:
Der Massenmittelpunkt eines Systems bewegt sich unter dem Einfluß der resultierenden
äußeren Kraft wie ein Teilchen mit der Masse M = Σmi.
Hiermit kann also für ein beliebiges System die Bewegung des Massenmittelpunktes
beschrieben werden!
→ (nachträgliche) Rechtfertigung, warum auch Bewegung eines komplizierten Systems bisher
mit einfachen Gesetzen beschrieben werden konnte.
Individuelle Bewegung der Teilchen kann immer noch sehr kompliziert sein.
Versuche:
• "fliegendes Schnitzel": Schwerpunkt fliegt auf Parabelbahn (M155)
• 2 Massen reibungsfrei auf Luftkissentisch (M65)
Zu letztem Beispiel: 2 gleiche Massen m
• 1. Fall: Massen seien
 nicht verbunden, Kraft werde nur auf 1 "Teilchen" angewandt. Auch
F
hier gilt noch a s = ang !
2m
Aber: Einzelmassen bewegen sich sehr unterschiedlich!
• 2. Fall: Massen seien verbunden
→ Federkräfte heben sich auf, auch hier gilt wieder

Fang

as =
2m
weiteres Beispiel: Rakete zerberste in Luft im höchsten Punkt in zwei gleiche Teile, der
hintere stürze senkrecht herab (kein Luftwiderstand)
→ Schwerpunkt S läuft auf Parabelbahn!
S
a
b
38
a
S
b
Teilchensysteme und Impulserhaltung
4.3
Impulserhaltung


(Linearer) Impuls ist definiert als: p ≡ m ⋅ v
Einheit


p : Vektor; :m Skalar; v : Vektor
(15)
kgm
s
"Maß für die Schwierigkeit, das Teilchen in den Ruhezustand zu überführen."
Beispiel: schweres/leichtes Fahrzeug mit gleicher Geschwindigkeit
→ schweres Fahrzeug ist schwerer in Stillstand zu bringen!
damit II. Newtonsches Axiom:



dp d ( mv )
dv
 
=
=m⋅
= m⋅a = F
dt
dt
dt



(16)
gilt,wenn m unabhängig von Zeit
 dp
F
→ =
dt
(17)
→ allgemeinere Formulierung des 2. Newtonschen Axioms
(schon ursprünglich von Newton verwendet)




Gesamtimpuls p ges eines Systems: p ges = ∑ m i v i = ∑ p i
i
i
mit Gleichung (8):


"Schwerpunktsatz" p ges = M ⋅ v s
d
dt
(18)



dp ges
dv

(19)
= M ⋅ s = M ⋅ a s = Fext
dt
dt

Ist Fext = 0, folgt Gesetz der Impulserhaltung:
Wirkt auf ein System keine äußere resultierende Kraft, dann bleibt der Gesamtimpuls des
Systems erhalten.
• Vielseitiger anwendbar als Gesetz von Erhaltung der mechanischen Energie.
• Gilt auch, wenn innere Kräfte nicht konservativ sind.
• Insbesondere auch bei Stößen anwendbar.
Versuch auf Luftkissenbahn (M138):
Zwei Wagen werden durch Feder auseinandergedrückt, aber zunächst mit Faden
zusammengehalten; der Faden wird durchgeschnitten → nur innere Kräfte treten auf
→ der Gesamtimpuls des Systems wird nicht geändert

vor Durchschneiden des Fadens: p ges = 0
 

P1
P2
nachher: p1 + p 2 = p ges = 0
m1
m2
v1
m




= 2 (20)
→ p1 = − p 2 → m1v1 = −m 2 v 2 →
v2
m1
39
Physik I, PD K. Thonke
4.4
Schwerpunktsystem
= Koordinatensystem, dessen Ursprung im Schwerpunkt des Teilchensystems "festgemacht"
ist

- bewegt sich relativ zu ursprünglichem Koordinatensystem mit v s


- in diesem ist Gesamtimpuls p ges = M ⋅ v s = 0
z. B.
ursprüngliches
System
SchwerpunktSystem
m1
m2
s

v1

vs

v2
m2
m1
s

u1

u2

 
u1 = v1 − v s



u 2 = v2 − vs
neue Geschwindigkeiten:
1



mit v s = ( m1v1 + m 2 v 2 )
M
(siehe Gleichung (8))
4.5
Kinetische Energie eines Systems von Teilchen
Ekin , ges = Ekin , s + Ekin , rel


Anteil der
Schwerp.-Bew.
Anteil der Re lativbewegung
1
1
Mvs2 + ∑ mi ui2
2
i 2
=
Beweis:
1
1
 
2
Im ursprünglichen System ist E kin = ∑ m i v i = ∑ m i ( vi ⋅ v i )
i 2
i 2
1




E kin = ∑ m i ( v s + u i ) ⋅ ( v s + u i )
i 2
mit (21):
1 
1 


= ∑ m i v 2s + ∑ m i u 2i + v s ⋅ ∑ m i u i
i 2
i 2
i

v s kann herausgezogen werden, da für alle Teilchen gleich
mit

∑m u
i
i
i
= Gesamtimpuls im Schwerpunktsystem = 0! q.e.d.
Anwendung: z. B. kinetische Energie eines rollenden Balles
1
= Mv 2s + Rotationsenergie
2
40
(21)
(22)
Anwendung von Impuls- und Energiesatz: Stöße
5
Anwendung von Impuls- und Energiesatz: Stöße
Stoß: Zwei Körper bewegen sich aufeinander zu / wechselwirken / entfernen sich wieder
Geschwindigkeit nach Stoß ≠ Geschwindigkeit vor Stoß
gesamte Energien:
a) elastischer Stoß: Ekin,vor = Ekin,nach
b) inelastischer Stoß: Ekin,vor > Ekin,nach → nicht-konservative Kräfte sind aufgetreten bei Stoß,
aber kinetische Energie des Massenmittelpunktes bleibt auch beim inelastischen Stoß
konstant!
c) Spezialfall: vollständig inelastischer Stoß: beide Körper bewegen sich nach Stoß mit
gleicher Geschwindigkeit weiter
-
In der Praxis sind Stöße weder vollkommen elastisch noch vollkommen inelastisch.
Meist geht ein Teil der Energie durch Verformung verloren.
Impulssatz gilt immer,
Energiesatz nur in Fall a)
Stöße können zentral/dezentral erfolgen
nicht behandelt wird hier: Rotation der stoßenden Körper; nur idealisierte Massenpunkte
5.1
Elastischer Stoß, eindimensional
(= zentrischer elastischer Stoß → Koordinatensystem kann immer passend gelegt werden)
Körper bewegen sich linear entlang einer Dimension, reibungsfrei!
Es gilt:
• Impulssatz:
m1v1a + m2v2a = m1v1e + m2v2e
Anfang
m1
(1)
v1a
m2
v1a
Index: a: Anfang;
e: Ende
•
Energiesatz:
1
1
1
1
m1 v1a2 + m 2 v 22a = m1v 1e2 + m 2 v 22e
2
2
2
2
(2)
Ende
m1
v1e
m2
v2e
(quadratische Gleichung → zwei Lösungen)
Umordnen:
(1) →
m1(v1a - v1e) = m2(v2e - v2a)
(3)
(2) →
(4)
m1(v1a2 - v1e2) = m2(v2e2 - v2a2)
(4):(3) →v1a + v1e = v2a + v2e
oder v1a – v2a = v2e - v1e
∆v
vor
(5)
(6)
nach Stoß (Geschwindigkeit 2. Körper relativ zu 1. Körper)
41
Physik I, PD K. Thonke
d. h. Geschwindigkeitsdifferenz vor Stoß = Differenz nach Stoß.
Damit auch Geschwindigkeiten nach Stoß berechenbar:
aus (5):
in (3):
v2e = v1a + v1e - v2a
m1v1e = -m2(v1a + v1e - 2v2a) + m1v1a
v1e(m1 + m2) = v1a(m1 - m2) + 2m2 ⋅ v2a
v 1e =
bzw. analog: v 2e =
Spezialfälle:
a) m1 = m2; v2a = 0
m1 − m 2
2m 2
v 1a +
v 2a
m1 + m 2
m1 + m 2
(7)
2m 1
m − m1
⋅ v1a + 2
⋅ v 2a
m1 + m 2
m1 + m 2
→ v1e = 0, v2e = v1a
b) m1 = 2m2; v2a = 0 → v1e =
c) 2m1 = m2; v2a = 0 →
(8)
"Energie- und Impulstausch"
1
4
v1a , v 2e = v1a schwerer Körper stößt auf ruhenden
3
3
leichten → beide bewegen sich vorwärts
1
2
v1e = − v1a , v 2e = v1a leichterer stoßender Körper wird
3
3
rückwärts gestoßen
d) m1 << m2; v2a = 0 (≈ Stoß gegen Wand)
→ v1e = - v1a; v2e ≈ 0
Reflektion
Übertragbarkeit der kinetischen Energie von Körper (1) auf Körper (2): ist v2a = 0:
2
 m − m2 
 m − m2 
1
1
 = E1a ⋅  1

E1e = m1v1e2 = m 1v1a2 ⋅  1
2
2
 m1 + m 2 
 m1 + m2 
2
(9)
2
 2m 1 
1
1
4m1 m 2
 = E1a ⋅
E 2e = m 2 v 22e = m 2 v1a2 ⋅ 
2
2
( m1 + m 2 ) 2
 m1 + m2 
"Energieübertragungsfaktor" y =E2e/E1a
E 2e
4m1m 2
4x
m
=
=
mit x = 1
2
2
E1a ( m 1 + m 2 )
m2
(1 + x )
→ nur bei ungefähr gleich schweren Teilchen
kann viel Energie übertragen werden
→ wichtig bei Kernphysik, aber auch bei
Sputtern/Ionenätzen!
Versuche:
- Elast. Stoß auf Luftkissenbahn (M205)
- Springbälle (M121)
- Kugelspiel (M27)
- Stoß mit großen Kugeln an Hörsaaldecke
(M79)
42
1.2
1.0
0.8
y = E2e/E1e
y=
(10)
0.6
0.4
0.2
0.0
10 -2
10 -1
100
x = m 1/m2
10 1
10 2
5_1_2.m ac by K. Th.
Anwendung von Impuls- und Energiesatz: Stöße
5.2
Inelastischer Stoß, eindimensional
(„zentrischer inelastischer Stoß“)
nach Stoß: v1e = v2e = vs (Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes)
(11)
Bsp.: Kugel wird in Holzklotz geschossen
(Anfang)
mit Impulssatz:
(m1 + m2)vs = m1v1a + m2v2a
(12)
Energiesatz gilt nicht mehr! (→ Verformungsarbeit)
m1
m2
v1a +
v
aus (12): v s =
(13)
m1 + m 2
m1 + m 2 2a
restliche kinetische Energie:
1
1 ( m 1v1a + m 2 v 2a ) 2
E e = ( m 1 + m 2 ) ⋅ v 2s =
2
2
m1 + m 2
Spezialfall: v2a = 0
Grenzfälle:
•
→ Ee =
(14)
m1
⋅ E 1a
m1 + m2
m1 >> m2 → Ee ≈ E1a, vs ≈ v1a
"Lastwagen trifft auf Schnake → Energie und Geschw. bleibt ≈ erhalten"
•
m1 << m2 → Ee → 0, vs ≈ 0
"Auto fährt gegen Wand"; alle kinetische Energie in Wärme umgewandelt
Anmerkung:
Vollkommen inelastischer Stoß kann z. B. zur Messung der Geschwindigkeit einer Kugel
benutzt werden.
Entweder
-
siehe Skizze oben: vs messen
 Luftpistolenschuß auf Gleiter (M207)
oder m2 an Draht als "ballistisches Pendel" aufhängen,
Ausschlag messen
43
Physik I, PD K. Thonke
5.3
Stöße in drei Dimensionen
("dezentraler Stoß")
Impulssatz in Vektorform anschreiben!
a) vollkommen inelastischer Stoß
Bsp.: Unfall an Kreuzung

kgkm
PL = 120.000
⋅ yˆ
Lastwagen:
h

kgkm
⋅ xˆ
Personenwagen: PP = 72.000
h

PL

Pges
1200 kg
Pkw
60 km/h
ϑ
40 km/h
3000 kg

PP
Lkw
Geschwindigkeit
unmittelbar nach Stoß:

Pges

vs =
M ges
 17,1 
72.000 km
120.000 km

vs =
⋅ x̂ +
⋅ ŷ = 
 km/h
4.200 h
4.200 h
 28,6 
Winkel ϑ:
120.000 10
tan ϑ =
=
72.000
6
→ ϑ = 59°
b) vollkommen elastischer Stoß
v1e
v1a
"Stoßparameter"
= seitlicher
Versatz
b
v2a = 0
v2e
y
x
- wichtig in Atom- und Kernphysik, aber auch in Halbleiterphysik
→ Störstellenstreuung
-
44




Impulssatz: Pges = m1 v1a = m1 v1e + m 2 v 2e

Koordinatensystem so wählen, daß Pges x̂ ; dann
(15)
Pges,x = m1v1a = m1v1e ⋅ cos ϑ1 + m2v2e ⋅ cos ϑ2
(16a)
Pges,y = 0 = m1v1e ⋅ sin ϑ1 + m2v2e ⋅ sin ϑ2
(16b)
Anwendung von Impuls- und Energiesatz: Stöße
-
Energiesatz:
1
1
1
2
m 1v1a
= m 1 v1e2 + m 2 v 22e
2
2
2
(17)
noch 4 Unbekannte: v1e, v2e, ϑ1, ϑ2
→ weitere Beziehung muß über Stoßparameter b gebildet werden!
für b = 0 → zentraler Stoß (s.o.)
Weitere Diskussion für Spezialfall: m1 = m2 = m, v2a = 0
aus Energiesatz:
1
1
1
mv1a2 = mv 1e2 + mv 22e
2
2
2
v12a = v12e + v 22e → Pythagoras!

bilden rechtwinkliges Dreieck mit v1a als Hypotenuse.
→
  
v1a , v1e , v 2e
Halbkreis
.

v1 e
ϑ

v2 e

v1a
(18)
Winkel ϑ immer noch abhängig von Stoßparameter b
(und φ1, φ2)
Versuch: Stoß zweier gleicher Kugeln (M39)
5.4
Kraftstoß
Bisher keine Aussage über zeitlichen Verlauf der Kraft bei Stoßvorgang.
Könnte typ. so aussehen:
F
∆t meist kurz (ms)
Fmax meist groß
Definition Kraftstoß:
 te 
S = ∫ Fdt = Fläche unter Kurve F(t)
ta
ta
∆t
S, F: Vektoren!
te
(19) t
mit II. Newtonschem Axiom:
 dp
F=
ist Kraftstoß = gesamte Änderung des Impulses während dt!
dt
te 
 te 
dp
 

S = ∫ Fdt = ∫ dt = p e − p a = Δ p
dt
ta
ta
Kraftstoß = Impulsübertragung
kgm
Einheit: N ⋅ s =
s
F
(20)
<F>
ta
te
t
45
Physik I, PD K. Thonke
Damit Interpretation des Impulses p = mv einer bewegten Masse m:
• Impuls p → Kraft F, die man zum Abbremsen 1 sec lang anwenden muß bzw.
• Impuls p → Zeitdauer ∆t, über die man Kraft F = 1N anwenden muß .
zeitliches Mittel der Kraft:
t



1 e
F ≡
F
dt
F
⋅
∆
t
=
F
gleiche
Flächen:
∫ dt
Δt t∫a
(21)
Versuch: Kraftstoß auf Luftkissenbahn mit Kraftaufnehmer (M204)
5.5
Systeme mit veränderlicher Masse
Wichtig bei
Düsenantrieb, Rakete
Förderband, das be-/entladen wird



dp d
dv
 dm 
= ( m ⋅ v) =
⋅v+m⋅
II. Newtonsches Axiom: Fext =
(Produktregel!)
dt dt
dt
dt
(22)
Problem: Welches sind "externe" Kräfte?
Welche Teile gehören zum abgeschlossenen System?
1. Beispiel: Rakete (nach Tipler, S. 210)
Zeitpunkt: t
v
v+∆ v
t+∆ t
uaus = Relativgeschwindigkeit, mit der
Gase relativ zu Rakete nach
m-∆ m
hinten ausgestoßen werden;
>0
m
Abgase
Impuls: pa = m⋅v
∆m
pe = (m - ∆m)(v+∆v) + ∆m (v - uaus)
(Gesamtsystem: Rakete und Gase)
= mv + m∆v - v∆m - ∆m ∆v + v ∆m - uaus ∆m
≈ 0 für kleines ∆t
≈ mv + m∆v – uaus ∆m
Δp
ext ⋅ Δt
 = p e − p a = m ⋅ Δv − u aus Δm = F


Impuls−
änderung
→ m⋅
Kraftstoß
Δv
Δm
= u aus ⋅
+ Fext
Δt
Δt
m⋅
: ∆t
∆t → 0
dv
dm
= u aus ⋅
+ Fext "Raketengleichung"
dt
dt
Fsch = "Schubkraft" bzw. "Schub" z.B. Gewichtskraft
46
(23)
Anwendung von Impuls- und Energiesatz: Stöße
 1
in Erdnähe: Fext = - m⋅g;  ⋅  (Für Abheben muß Schub > mg sein!)
 m
u
dv
dm
= −g + aus ⋅
dt
m dt
→ dv = −gdt + u aus ⋅
ve
für g = const.:
⋅ dt
dm
m
te
me
dm
m
ma
∫ dv = − ∫ gdt + u ∫
aus
va
( dm/dt > 0)
0
v e − v a = −gt e + u aus ln
te = End-Zeitpunkt, zu dem der
Treibstoff vollständig verbrannt ist
me
ma
(24)
Änderung der Raketengeschwindigkeit im konstanten Gravitationsfeld
Betrachtungen hier gelten für Bereich kleiner Geschwindigkeiten;
für v ≤ c weitere Komplikationen → Relativitätstheorie
Versuche: Rakete an Seil; PET-Flaschen-Rakete M147
Einschub: Ionenstrahl-Triebwerk
-
-
1
2
3
-
∅ = 30 cm
Eingebaut z.B. in Raumsonde "Deep Space 1", gestartet 24. Oktober 1998.
Entwickelt seit ca. 40 Jahren (1959); u.a. an der Universität Gießen/Prof. Horst Löb.
Ursprungsidee: ≈ 1925, Hermann Oberth
Grundidee: Ionen mit sehr hoher Geschwindigkeit (≥ Mach 100, d.h. > 100.000 km/h) aus
Triebwerk schießen (zum Vergleich: Mach 10…15 für konventionelle Triebwerke)
3 Vorteile:
→ weniger Masse für Schub nötig
→ weniger Startgewicht
→ geringere Kosten (≈ 20.000 $/kg)
→ höhere Endgeschwindigkeit erreichbar (kann max. = Geschwindigkeit der ausgestoßenen Ionen bzw. Gase werden)
→ lange Lebensdauer → wichtig für Nachrichtensatelliten
"Treibstoff": Xenon (82 kg)
Prozeß:
– Xe+ beschleunigen in elektrischen Feld zwischen 2 Gittern
(→ hohe Spannung nötig, 1,28 kV)
– nach Austritt: Xe+ neutralisieren mit e- (sonst lädt sich Sonde auf)
– Leistung: ≈ nur 3 PS; aber: kann über lange Laufzeit (15 Monate)
hohe Endgeschwindigkeit erreichen (13.000 km/h)
– Schub: 90 mN max. (Gewicht von 2 Blatt Papier!),
verbraucht 2,5 kW elektrische Leistung
– Warum Xe? → chemisch inertes Gas
Infos zu Deep Space 1: http://nmp.jpl.nasa.gov/  Deep Space 1
47
Physik I, PD K. Thonke
Wie funktioniert ein Ionentriebwerk? Artikel in Scienceticker
(http://www.scienceticker.info/specials/mondmission2.shtml)
Seite der ESA (http://www.esa.int/export/esaCP/SEMPPG0P4HD_Germany_0.html) zu
Ionentriebwerk: SEPP-Einheit (Solar Electric Primary Propulsion) 82 kg, Xe, Teilchen
werden ausgestoßen mit einer Geschwindigkeit von 16 000 km/h, der dabei erzeugte
Schub beträgt 70 mN.
2. Beispiel: Förderband
Aus einem Trichter rinnt Sand mit
konstanter Rate dm/dt auf das Band,

das mit konstanter Geschwindigkeit v
läuft. Mit welcher Kraft muß das
Förderband betrieben werden?
Wie muß der Motor dimensioniert
werden?
→ Kraft hängt ausschließlich von veränderlicher Masse ab!




 ⋅v+ m
Fext = p = m
⋅ v

(25)
=0

 dm
→ Fext = v ⋅
dt
(26)
Leistung des Antriebsmotors:
 d s   dm 2
P = Fext ⋅ = Fext ⋅ v =
⋅v
dt
dt
Energiebetrachtung: in Zeit ∆t ist
1

ΔW = P ⋅ Δt = Δm ⋅ v 2 = 2 ⋅  ⋅ Δm ⋅ v 2 
2

 

= E kin des Sandes
Beachte:
Das Doppelte der kinetischen Energie des Sandes muß aufgewandt werden!
Der Rest geht verloren bei den inelastischen Stößen Sand ↔ Band!
Versuch: Kugel auf Gleiter fallen lassen (M202)
48
(27)
(28)
Drehbewegungen
6
Drehbewegungen
6.1
Drehmoment, Trägheitsmoment und Winkelbeschleunigung

Kraft Fi greift an einem Masseteilchen mi eines beliebig geformten Körpers an, der in 0
drehbar gelagert ist.
A
Def.: Drehmoment = Kraft × wirksamer Hebelarm
Mi ≡ Fi ⋅ ri⊥ = Fi ⋅ ri ⋅ sin ϕ
bzw. vektoriell

 
M i ≡ ri × Fi
Fi
ϕ
"Wirkungslinie"
0
(1)
Einheit: Nm
Messung mit Torsionsfederwaage: (analog Federwaage für lineare Kräfte)
Winkelausschlag ϕ ist Maß für Drehmoment
(→ Drehmomentschlüssel)
ϕ
Drehmoment ist neue physikalische Größe, nicht
immer über Kraft und Hebelarm angebbar: wie z. B.
bei Antriebsachse, bei der ganzer Querschnitt ein
Drehmoment überträgt.
Versuche: Drehmomentscheibe M71,
Kräftepaare an Drehmomentmesser M11
Wie ist der Zusammenhang zwischen Drehmoment
und Winkelbeschleunigung?
Nach 2. Newtonschem Axiom ist die tangentiale Beschleunigung
ait = α ⋅ ri (α = Winkelbeschleunigung)
Fi ϕ
Die Tangentialkraft ist
Fit = mi ⋅ ait = mi ⋅ ri ⋅ αi

Fir
| ⋅ ri
Fit
ri Fit = m i ⋅ ri 2 ⋅ α i

Mi
über alle Teilchen summiert: (α ist für alle gleich!)
∑ M i = α∑ mi ri2
i 
i





result. Drehmoment
F

ri
0
(2)
Trägheits moment J
Trägheitsmoment
J ≡ ∑ m i ri2
i
(3)
"Maß für Widerstand, den ein Körper einer Änderung seiner Drehbewegung entgegensetzt"
Hängt von Massenverteilung relativ zur Drehachse ab
damit:
M = J ⋅α
(4)
entspricht formal der Beziehung F = m ⋅ a für lineare Bewegung
49
Physik I, PD K. Thonke
Beispiel für Trägheitsmoment (nach Tipler, S. 232, 8.3)
Drehachse 1
m
m
Stäbe seien masselos, 4 Teilchen mit Masse m für Drehachse 1:
J = 4 ⋅ ma²
b geht nicht ein!
für Drehachse 2:
2b
J = 2 ⋅ (2a)² ⋅ m = 8 ⋅ m ⋅ a²
m
m
2a
(→ Trägheitsmoment muß immer bzgl. eindeutig definierter Achse
angegeben werden!)
Drehachse 2
6.2
Kinetische Energie der Drehbewegung
Rotierendes Objekt dreht sich um kleinen Winkel dϕi ;
für i-tes Teilchen gilt:
ds i
mi
ri
Weg dsi = ridϕ
Arbeit: dWi = Fit ⋅ dsi = Fit ⋅ ridϕ = Midϕ
dϕ
↑
Tangentialkomponente der Kraft auf i-tes Teilchen
allgemein:
dW = Mdϕ
(5)
(analog zu: dW = Fds für lineare Bewegung)
Leistung P =
dW 
dϕ
=W =M⋅
= M ⋅ ω (für M = const.)
dt
dt
(6)
(analog zu P = F ⋅ v)
ges. Arbeit = Änderung von Ekin (wenn sich Epot nicht ändert und kein Energieverlust auftritt)
1
1
1
E kin = ∑ m i v 2i = ∑ m i ( ri ω) 2 = ∑ m i ri2ω2
2 i
i 2
i 2
E kin =
1
J ⋅ ω2
2
(analog zu: E kin =
50
(7)
1 2
mv )
2
Drehbewegungen
6.3
Berechnung von Trägheitsmomenten
Bei kontinuierlicher Massenverteilung muß Σ → ∫ übergehen
allgemein:
J = ∫r2dm (r = Abstand Massenelement dm von Drehachse)
(8)
J = ∫r2ρ(r)dV
oder
mit Dichte ρ( r ) =
(9)
dm ( r )
; Einheit: kg/m3
dV
hier: nur Körper mit homogener Dichte werden betrachtet: ρ(r) = ρ = const..
In kartesischen Koord. ist meist ein 3fach-Integral zu lösen:
J = ρ ∫ ∫ ∫ r ( x, y, z ) dxdydz

2
(x)(y)(z)
(10)
dV
Beispiele:
a) Ring dreht sich um Achse durch Mittelpunkt
senkrecht zu Ringebene; Masse = M
J = ∫r2dm = R2∫dm = M ⋅ R2
(11)
R
b) Stab (dünn!)
Achse gehe durch Ende ⊥ zu Quader
Gesamtmasse = M; Ausdehnung z sei klein
dm =
M
⋅ dx
l
l
Trägheitsmoment bzgl. y-Achse
l
l
l
M
M  x3 
1
2
J y = ∫ x dm = ∫ x ⋅ dx =
  = M⋅l
l
l  3  0 3
0
0
2
(12)
2
für z-Achse:
Jz = Jy
c) Scheibe
Drehachse ⊥ Scheibe, durch Mitte
Fläche A = πR2; Gesamtmasse = M
Massenelement dm = Ring mit Radius r, Dicke dr
dm =
M
⋅ 2π
rdr


A Flä
che
dr
r
R
des Rings
R
M
2πM  r 4 
1
2 πrdr =
= MR2
→ J = ∫ r dm = ∫ r
2  
A
πR  4  0 2
0
2
R
2
(13)
vgl. mit Beispiel a)!
51
Physik I, PD K. Thonke
d) Zylinder
homogen, Drehung um Längsachse
→ Schichtung von Scheiben mit Masse mi
1
und jeweiligem J i = m i R 2
2
→ J ges
1
R2
= ∑ mi R 2 =
2 i
2
R
mi
1
∑i mi = 2 MR 2
(14)
wie in c)! Muß so sein, denn dort ging Dicke der Scheibe nicht ein!
e) Kugel
homogen, Drehachse durch Mittelpunkt
→ Schichtung von Scheiben mit variablem Radius
r( h ) = R 2 − h 2
r ( h) =
Masse einer Scheibe (mit ρ =
dm = ρ ⋅ dV =
M
)
V
dh
(
R 2 − h2
h
)
M
M
π[ r ( h ) ] 2 ⋅ dh = π R 2 − h 2 dh
V
V
R
obere Hälfte der Kugel:
R
J1 / 2 =
1
∫2
0
(
)(
)
M
⋅ π R 2 − h 2 ⋅ R 2 − h 2 ⋅ dh

V  

2
r( h )
dm
J ges = 2 ⋅ J 1/2 =
Mπ 8
M 2
4
2
⋅ ⋅ R 5 = ⋅ ⋅ R 2 πR 3 = MR 2
V 15
V 5
3  5

(15)
V
6.4
Richtungsabhängigkeit des Trägheitsmoments
Für die Angabe von Trägheitsmomenten muß immer die Drehachse mit angegeben werden,
auch wenn Drehachse durch den Schwerpunkt S geht.
→ richtungsabhängige Größe
Zur Verdeutlichung wird Quader betrachtet mit den
z
Kantenlängen a, b, c
bei Drehung um z-Achse:
a
eine Scheibe der Dicke dz wird von oben betrachtet
c
y
Integration über 1 Oktant des Gesamt-Quaders;
für Jges mal 8 nehmen:
b
x
c/2 b/2 a /2
J = 8ρ
∫ ∫ ∫ (x
0
c
J = 8ρ ⋅ ⋅
2
52
b /2 3
∫
0
a/2
x
2
 + xy  dy
 3
 0
0
0
2
+ y 2 ) dx dy dz
Drehbewegungen
J = 4ρ ⋅ c ⋅
b/2
∫
0
3

 a + a y 2  dy
 3⋅ 8 2 


a
y
b/2
 a2
1 3
J = 4ρ ⋅ c ⋅ a ⋅  y ⋅
+
y 
 3 ⋅ 8 2 ⋅ 3  0
r
(
 ba 2 b 3  1
 = ρ ⋅ a ⋅ b ⋅ c a 2 + b2
J = 4 ⋅ ρ ⋅ c ⋅ a 
+




 6 ⋅ 8 6 ⋅ 8  12
M
Jz =
(
1
M a 2 + b2
12
)
)
b
dm
r2 = x2 + y 2
x
dm = ρ ⋅ dx dy dz
(16)
Anmerkung: Höhe c geht nicht ein!
analog: bei Drehung um x-Achse: (b vertauscht Rolle mit c)
1
J x = M b2 + c 2
12
(
)
analog: bei Drehung um y-Achse:
1
J y = M a 2 + c2
12
(
)
also: Für Quader gibt es eine Drehachse, für die das Trägheitsmoment Jmin minimal ist (diese
Achse steht senkrecht auf der kürzesten Flächendiagonale d = a 2 + b 2 ), und eine
Drehachse mit dem größten Trägheitsmoment Jmax (Achse ⊥ größte Diagonale).
Für alle anderen Richtungen der Drehachse muß das Drehmoment dazwischenliegen:
Jmin ≤ J ≤ Jmax
Für die 3. Achse, die senkrecht zu den Drehachsen für Jmin und Jmax ist, nimmt das Trägheitsmoment einen Sattelwert an.
Diese Gesetzmäßigkeit gilt auch für beliebig geformte Körper!
Diese 3 ausgezeichneten Achsen sind die Hauptträgheitsachsen des Körpers.
Bei einfachen Körpern wie Quader etc. fallen die Hauptträgheitsachsen mit den
Symmetrieachsen zusammen!
53
Physik I, PD K. Thonke
6.5
Der Steinersche Satz ("Parallelachsen-Theorem")
Verknüpfung des Trägheitsmoments JS bei Drehung durch
Achse A
Massenmittelpunkt mit Trägheitsmoment J bei Drehung
ω
d
durch andere, parallele Achsen.
vs
Der Abstand der Achsen sei d.
s
Satz von Steiner: J = JS + Md2
(17)
Beweis über kinetische Energie:
dϕ
E kin =
1 2
mv s + E kin,rel = E kin, s + E kin, rel
2 

(18)
Beweg. des
Massenmittel punktes
Für ganzen Körper ist ω =
Damit: E kin,rel =
dϕ
= const . ; auch bei Drehung um Achse A!
dt
1
J S ω2
2
Geschwindigkeit des Schwerpunkts vS = ω ⋅ d
→ E kin,S =
E kin =
1
1
mv S2 = mω 2 d 2
2
2
(
)
1
1
1
1
mω2 d 2 + J S ω 2 = ω2 md 2 + J S = ω 2 ⋅ J





2
2
2
2
=J
(19)
→ es genügt zunächst, das Trägheitsmoment für Drehungen um Schwerpunkt zu berechnen
Beispiel für Anwendung:
Zylinder rolle auf Unterlage, d.h. er dreht sich um momentane Achse an Oberfläche:
1
3
MR 2 + MR 2 = MR 2
2
2
1
3
kinetische Energie: E kin = Jω 2 = MR 2ω 2
2
4
dito, Zerlegung in Schwerpunkt + Relativbewegung:
1
1
1
1
3
E kin = Mv 2S + J S ω2 = Mω 2 R 2 + MR 2 ω 2 = MR 2ω 2
2
2
2
4
4
J=
Versuche:
- abrollender Hohlzylinder/Vollzylinder (M52)
- Torsionspendel zur Ermittlung von
Trägheitsmomenten (M38)
54
(20)
ω
R
momentane
Drehachse
Drehbewegungen
6.6
Der Drehimpuls

Analog zu linearem Impuls kann Drehimpuls L eingeführt werden:
Beispiel a):
(Punktförmiges) Teilchen mit Masse m bewegt sich auf


L
Kreisbahn mit Radius r, Winkelgeschwindigkeit ω

ω

r
m
Definition:
Drehimpuls bezüglich Kreismittelpunkt (Bezugspunkt muß
angegeben werden!) = Produkt aus linearem Impuls p = mv
und Radius r.

v

p
Genauer: vektorielle Definition:
  


L ≡ r × p (Rechte-Hand-Regel für L und ω !)
 
→ L || ω in dem oben skizzierten Fall
(21)
in Beispiel a: alles senkrecht aufeinander, daher einfach
L = m ⋅ v ⋅ r = m ⋅ (r ⋅ ω) ⋅ r = mr2ω = J ⋅ ω
hier: J = Trägheitsmoment für Drehung um eine Achse durch Mittelpunkt, die ⊥
Bewegungsebene ist
Beispiel b):
(Punkt-)Teilchen mit Masse m bewegt sich mit

Geschwindigkeit v entlang einer Geraden an Koor.Ursprung 0 vorbei im Abstand r⊥:
  
L = r × p → L z = r ⋅ m ⋅ v ⋅ sinϕ = m ⋅ v ⋅ r⊥
y

v
m

r
ϕ
r⊥
→ Teilchen besitzt bzgl. 0 einen Drehimpuls, obwohl es
sich auf gerader Bahn bewegt!
0
Ist v = const. → auch L = const.

L ist in Zeichenebene hinein gerichtet!
x
Beispiel c):
ω

ri
vi
mi
Rotierende Scheibe
→ aufsummieren über alle Teilchen-Drehimpulse:
L = ∑ Li = ∑ m i v i ri = ∑ m i ri2 ω
i
i


2
L = ω∑ m i ri = J ⋅ ω

i

i
(22)
55
Physik I, PD K. Thonke

Momentstoß S M
 dp
F
Für Drehbewegungen kann das II. Newtonsche Axiom in einer zu =
analogen Form
dt
geschrieben werden:

 dL
(differentielle Formulierung)
(23)
M=
dt

M = resultierendes äußeres Drehmoment
bzw.



S M = ∫ Mdt = ∆L (integrale Formulierung)
(24)
"Momentstoß"; Einheit: N ⋅ m ⋅ s
"Die Änderung des Drehimpulses ist gleich dem resultierenden Drehmoment, das auf das
System einwirkt."
Für starren Körper: J = const.
→ M=
d ( Jω )
dω
=J⋅
= J ⋅α (α: Winkelbeschleunigung)
dt
dt
Wirkt kein äußeres Drehmoment auf das System, dann ist



dL
=0
→ L = konst. (für M = 0 )
dt
(25)
(26)
"Ist ein System gegen die Einwirkung äußerer Drehmomente abgeschlossen, kann sich sein
Drehimpuls nicht ändern."
Dies ist der Drehimpulssatz, der 3. fundamentale Erhaltungssatz der Mechanik!
Anmerkung: Gilt sogar im Mikrokosmos der Atom- und Kernphysik, in dem die Newtonschen
Gesetze nicht gelten!
ω1
J1
ω2 > ω1
Beispiel für Anwendung: Pirouette einer Eisläuferin
- steht auf Kufe → geringes Drehmoment von außen
(idealisiert: M = 0)
- Arme zunächst ausgestreckt → J groß
- Arme werden angezogen → J wird kleiner: J2 < J1
damit: L = J ⋅ ω = const.: ω2 > ω1
J2<J1
ω 2 J1
=
ω1 J 2
Versuche: Drehstuhl + Hanteln, Drehstuhl + Rad (M63)
Unruhe einer mechanischen Uhr Drehschwingung des Gehäuses (M9)
56
Drehbewegungen
6.7
Bahndrehimpuls und Eigendrehimpuls
Bei endlich ausgedehnten Körpern:
Eigendrehimpuls

LE = Drehimpuls, der auf Achse durch Schwerpunkt bezogen ist


LE = J S ω Trägheitsmoment bzgl. dieser Achse durch Schwerpunkt

(gilt nur, wenn ω in Hauptträgheitsachse!)
Bahndrehimpuls

 
LB = rS × p Ortsvektor des Schwerpunkts
Gesamtdrehimpuls = Bahndrehimpuls + Eigendrehimpuls



Lges = LB + LE (Vektorsumme!)
(27a)
(27b)
(28)
Erweiterung unseres Beispiels b) aus Kap. 6.6:

LE
m

vs

r
rotierender
Körper fliegt vorbei

 
LB = r × p


LE = J S ⋅ ω

LB
abschließende Bemerkung zu diesem Kapitel:
Drehimpuls hat fundamentale Bedeutung:
Grundbausteine der Materie (Proton, Neutron, Elektron) haben Eigendrehimpuls, der
quantisiert ist:


h
Le = n ⋅ = n ⋅
; n ∈ IN, h = 6,62 ⋅ 10 −34 Js
2
2 ⋅ 2π
Quantisierung wie bei
- Ladung
- Energie von Photonen
57
Physik I, PD K. Thonke
6.8
Hauptträgheitsachsen

Wie sich schon in der Zerlegung des ges. Drehimpulses Lges in Bahn- und Eigendrehimpuls


andeutet, muß im allgemeinen die Richtung von Lges und ω nicht zusammenfallen!
 
Hierzu nochmals 3 Beispiele:
ω,
L
1) Teilchen auf Kreisbahn:
bzgl. Kreismittelpunkt
0 ist
  


L = r × p = J ⋅ω
v
 
→ Lω
0

r
m

ω
2) Teilchen auf Kreisbahn:
bzgl. Punkt 0' auf z-Achse ist
  
L' = r × p

nicht ω !

v
m
3) Zwei identische Teilchen auf gleicher Kreisbahn,
gegenüberliegend
 


bzgl. 0' ist L1 + L2 = Lges jetzt wieder ω !

L'

r'
.
0'
Hier verläuft Drehachse durch Massenmittelpunkt des 2Körper-Systems;
Massenverteilung ist symmetrisch zu dieser Achse
1 eine solche Achse heißt Symmetrieachse oder
Hauptträgheitsachse
also generalisiert:
Für ein beliebiges Teilchensystem, das sich um eine
 
Hauptträgheitsachse dreht, ist L || ω :


(29)
L = J ⋅ω



ω1 = ω2 = ω
m2
m1

v2

Lges

L1
58

L2
0'
Drehbewegungen
6.9
Dynamisches Ungleichgewicht
Konzept der freien Achsen:
Dreht sich ein Körper um eine seiner Hauptträgheitsachsen, wirkt aufgrund der Symmetrie der
Massenverteilung kein äußeres Drehmoment

→ Betrag und Richtung von L bleiben konstant
→ solche Drehachsen müssen nicht im Raum fixiert werden, damit sich eine stabile Drehbewegung ergibt.
Versuch M43:
Rotation durch Motorantrieb:
Holzscheibe, Kette, Kegel
→ Rotation um Achse des größten
Trägheitsmoments stellt sich ein
Scheibe,
Stab
Kette
Quader
Drehung um andere als freie Achse:
ω
→
v1
m
→
r1
ϑ
r ⋅ sinϑ
→
Lges
→
r2
m
→
v2
Hantel, 2 gleiche Massen m, Drehachse durch
Schwerpunkt, verkippt sich um 7 gegen
Symmetrieachse



L1 = r1 × mv1
 ⊥ Stab, hier gerade in Zeichenebene




L2 = r2 × mv2 = L1
 ⊥ Stab, hier gerade in Zeichenebene

 
Lges = L1 + L2
r1 = r2 = r
 ⊥ Stab, hier gerade in Zeichenebene
 
∠ Lges ,ω = ( 90°− ϑ)
v1 = v2
= ω ⋅ r ⋅ sinϑ

Bei Rotation dreht sich auch Drehimpulsvektor! L
(
)
= const. für 1 = const., aber Richtung ändert sich;

Spitze von L beschreibt Kreis

1 daher muß auch Moment M wirken

M wird über die Lager ausgeübt, die die Richtung
der Achse erzwingen!
→ Abrieb, Lagerbelastung
→ dynamisches Ungleichgewicht (unterscheide: statisch ist hier alles im Gleichgewicht)
dL
~ ω2 → Moment nimmt schnell mit w zu
dt
(Versuch M80)
dynamisches Ungleichgewicht kann durch Hinzufügen von Ausgleichsmassen beseitigt
werden → "Auswuchten"
59
Physik I, PD K. Thonke
6.10 Das Trägheitsmoment als Tensor
Wir hatten gesehen:
• im Spezialfall der Drehung um Hauptträgheitsachse:

  
L = J ⋅ ω , L || ω
• im allg. Fall:


L nicht || ω
Um in diesem allg. Fall (d. h. für beliebig geformten Körper, der sich um beliebige Achse


durch seinen Schwerpunkt dreht) den Zusammenhang zwischen den Vektoren L und ω
korrekt zu beschreiben, muß eine geeignete mathematische Darstellung gefunden werden!


Aus ω muß durch eine passende Drehung + Längenänderung L berechnet werden.


Im allgemeinsten Fall hängt jede Komponente von L von jeder Komponente von ω ab! Man
braucht also 3 x 3 Zahlen, um die Verknüpfung herzustellen.
Diese hier benötigte allgemeinste Koordinatentransformation bzw. Abbildung (Drehung +
Längenänderung, aber keine Translation, da beide Vektoren denselben Ursprung haben) wird
vermittelt durch eine Matrixdarstellung:
Lx = Jxx ωx
- Jxy ωy - Jxz ωz
Ly = -Jyx ωx
+ Jyy ωy - Jyz ωz
(30)
Lz = -Jzx ωx - Jzy ωy + Jzz ωz
(neg. Vorzeichen: spezielle Konvention für diesen Fall!)
Dies kann in Kurzform geschrieben werden mit Kenntnis der Rechenregel für Produkt aus
Matrix und Vektor (jedes i. Glied der 1.Zeile der Matrix mit dem i. Glied des Spaltenvektors

ω multiplizert ergibt als Summe Lx usw.):
 L x   J xx
  
 L y  =  − J yx
  − J
 L z   zx


L = J ⋅ω
oder kurz:

(andere Schreibweise: J , J )
− J xy
J yy
− J zy
− J xz   ω x 
  
− J yz  ⋅  ω y 
J zz   ω z 
(31)
(32)
Die 3 x 3 Zahlenwerte Jxx ... Jzz bilden den Trägheitstensor.
Für bekannte Massenverteilung und Lage der Drehachse durch seinen Schwerpunkt können
die Komponenten von J ermittelt werden.
Trägheitsmomente bzgl. x/y/z-Achse
∫( y
= ∫(z
= ∫(x
)
)dm
)dm
J xx =
2
+ z 2 dm
J yy
2
+ x2
2
+ y2
J zz
Jxy = Jyx =
∫ xydm ;
Jxz = Jzx =
1 bekannt; "Hauptträgheitsmomente"
(bei geeigneter Wahl des
Koordinatensystems)
(33a)
∫ xzdm ;
(33b)
Jyz = Jzy =
"Deviationsmomente" bzw. "Zentrifugalmomente"
→ verantwortlich für Drehmomente auf Lager
60
∫ yzdm
Drehbewegungen
kinetische Energie:
1
bisher: Erot = Jω 2
2
1   1 

Erot = ω ⋅ L = ω ⋅ J ⋅ ω
2
2


"ω mal dem Anteil von L , der || ω ist"
1
1 
(analog: lineare Bewegung: Ekin = mv2 = v ⋅ p
2
2
jetzt für beliebigen Fall:
(34)
Mathematik lehrt: "Jede symmetrische Matrix läßt sich auf Hauptachsen transformieren."
→ d.h. in einem speziellen Koordinaten-System nimmt J die einfache Gestalt an:
 J1 0 0 


J =  0 J2 0 
(35)
0 0 J 
3

→ Diese Achsen sind die "freien Achsen" (Kapitel 6.9)


dann gilt: L = J ⋅ ω = J 1ω1 ⋅ xˆ + J 2ω 2 ⋅ yˆ + J 3ω 3 ⋅ zˆ


im allgemeinen ist aber immer noch J1 ≠ J2 ≠J3 → L nicht || ω !!
Geometrische Darstellung des Trägheitstensors:
Die Rotationsenergie sieht im Hauptachsensystem so aus:
 J1 0 0   ω1 

  
1
 1
E rot = ω ⋅ J ⋅ ω = ( ω1 , ω2 , ω3 ) ⋅  0 J 2 0  ⋅  ω2 
2
2
 0 0 J  ω 
3  3


1
1  ω12
ω22
ω23
2
2
2
= J 1ω1 + J 2 ω2 + J 3ω3 = 
2 +
2 +
2 1/ J
2
1
/
J
1 / J3
1
2

(
⇒ 2 E rot =
)
(1 /
ω 12
J1
+
) (1 /
2
(
ω 22
J2
+
) (1 /
2
) (
ω 32
J3
)
) (
)


2

2
(36)
→ dies ist eine Ellipsoidformel für Erot = const.!
Jetzt kann man noch durch Erot dividieren und erhalt eine Gleichung von der Form
x2 x2 x2
1 = 12 + 22 + 23
a
b
c
Die Fläche konstanter Rotationsenergie im Hauptachsensystem ist in normierter Darstellung
also ein Ellipsoid mit den Halbachsen
a=
1
J1
,b =
1
J2
,c =
1
J3
(37)

Trägt man für jede Richtung der Winkelgeschwindigkeit ω die reziproke Wurzel des
zugehörigen Trägheitsmoments als Radiusvektor auf, so ergibt das Trägheitsellipsoid.
61
Physik I, PD K. Thonke
A
1
J2
1
0
1

ω
JA
J1
In 3 Dim.:
A = Durchstoßpunkt Drehachse
Abstand 0A = 1 J A

Man erhält also für eine beliebige Richtung der Drechachse ω das zugehörige
Trägheitsmoment JA, indem man die Länge der Strecke von O bis zum Durchstoßpunkt A
ermittelt, quadriert und invertiert.
6.11 Anwendung des Drehimpulssatzes: Kreisel
Definition:
Kreisel sind punktförmig gelagerte, um eine Achse durch ihren Schwerpunkt drehbare Körper.
Im folgende sollen nur symmetrische Kreisel betrachtet werden, d.h. Kreisel, für die das
Trägheitsellipsoid rotationssymmetrisch ist:
Jz ¹ (Jx = Jy )
3 wichtige Achsen:
- Figurenachse z

- momentane Drehachse ω
Im Schwerpunkt gelagerter Kreisel (aus
Paus, Physik)
62
Kreisel mit kardanischer Aufhängung
(aus Paus, Physik)
Drehbewegungen
6.11.1
Nutation des symmetrischen momentenfreien Kreisels
 

Einfachster Fall: Keine äußeren Momente, d. h. L = M = 0 → L = const. , insbesondere soll
kein Moment der Schwerkraft wirken
→ Lagerung des Kreisels im Schwerpunkt oder kardanische Aufhängung.
 
Einfachster Fall: alle drei Achsen ( zˆ , ω , L ) sind parallel
→ schlichter Lauf des Kreisels, Kreisel ”steht” im Raum
Durch einen kurzen Stoß gegen die Figurenachse des schlicht laufenden Kreisels können die
drei Achsen getrennt werden:
→ Nutationsbewegung , Figurenachse läuft auf Kegelmantel (= ”Nutationskegel”)
da aber i. allg. Jxx ≠ Jzz :


→ ω ist nicht L und auch nicht parallel zur zAchse!


Nach dem Stoß ist wieder M = 0 → L = const.
→ raumfeste, dem Betrag nach konstante


Drehimpulsachse L ges ≠ ω .
Körper dreht sich aber um momentane Drehachse



ω ges = ω x + ω z

→ ω ges , ẑ drehen sich beide auf Kegelmänteln

um L ges
Für uns sichtbar: Figurenachse ẑ , die auf
Nutationskegel läuft.
Figurenachse
Hätte man diesen Versuch mit einer Kugel oder
einem Würfel gemacht, wäre Jxx = Jyy = Jzz, und
 
es wäre immer noch ω L ;
Dre raumf
him este
puls
ach
mo
se
Dr men
eh tan
ach e
se
(siehe Bild rechts aus Paus, Physik)

 

Zunächst ist L z = J z ω z ; L, ω liegen in
der z-Achse .

Dann erfolgt Stoß ∫ Fdt in negativer yRichtung gegen die Figurenachse,
 was

einem Momentenstoß SM = ∫ Mdt in xRichtung entspricht (Kreisel sei in
Kugelgelenk in seinem Mittelpunkt
gelagert)
→ da x-Achse ebenfalls Hauptträgheitsachse ist → ebenfalls ωx || Lx;
Jetzt neu hinzugekommen in Bewegung:
Winkelgeschwindigkeit ωx und




Drehimpuls Lx = S M = ∫ Mdt = J xxω x



ω ges = ω x + ω z
Vektoraddition liefert: 


Lges = J xxω x + J zz ω z
Nu
tati
ons
keg
el
Ras
t
k e g p o lel
Gangpolkegel
63
Physik I, PD K. Thonke

1 
 1   1
Ebenfalls zeitlich konstant: Rotationsenergie Erot = ω ⋅ J ⋅ ω = ω ⋅ L = ω || ⋅ L = const .
2
2
2

→ bei L ges = const. kann auch nur ω || =const. sein; ω ⊥ muß ständig Richtung ändern!
 
Aus Poinsot-Konstruktion: zˆ , ω , L liegen ständig in einer Ebene.

Rastpolkegel: auf diesem läuft momentane Drehachse ω
Gangpolkegel: mit Figurenachse fest verbunden; auf diesem ”rollt der Rastpolkegel ab”
6.11.2
Präzession des symmetrischen Kreisels, auf den ein äußeres Drehmoment wirkt
Jetzt wird der Kreisel nicht mehr im Schwerpunkt gelagert, d. h. die Gewichtskraft übt ein
 
Moment auf den Kreisel aus. Der Drehimpuls muß sich somit nach L = M ständig ändern.
hier:


dL d J
dω
dωˆ
Ma =
=
⋅ ω ⋅ ωˆ + J ⋅ ωˆ ⋅
+ J ⋅ω ⋅
dt 
dt
dt
dt
 
 

(1)
( 2)
(3)
J = const. → (1) = 0
ω = const. → (2) = 0

also nur (3) ≠ 0 → ω ändert Richtung
Beispiel: Fahrradkreisel
Figurenachse ||ẑ , an x-Achse aufgehängt

Drehmoment durch Gewicht M a = −r ⋅ m ⋅ g ⋅ yˆ , zeigt in − ŷ -Richtung
Experimenteller Befund: Kreiselkörper rotiert langsam um Aufhängeachse,
fällt nicht herunter wie nicht-rotierender Körper
→ "Präzessionsbewegung"
x

dωˆ
M a = J ⋅ω ⋅
bewirkt eine
dt
Richtungsänderung der Winkelgeschwin
digkeit ||M a !

Präzessionsfrequenz ω p in (y,z)-Ebene:
dϕ dωˆ M a M a
=
=
=
dt
dt
L
Jω



bzw. vektoriell: M a = ωp × L
ωp
Ma
r
y
ωp =
L
F = mg
allg. bei nicht in Schwerpunkt gelagerten
Kreiseln:
Überlagerungen von Nutation und Präzession → Nickbewegungen
64
dω
dt
ω
z
Drehbewegungen
6.11.3 Beispiele zur Kreiselbewegung
1. Fahrradfahren
Durch leichtes Kippen des Fahrrades wirkt ein Moment der Gewichtskraft auf das Rad. Das
Vorderrad präzediert dann um eine senkrechte Achse, d. h. es dreht sich seitlich.
ωp
von vorne:
von oben:
M
M
M
ω ,L
ω ,L
d L || M
F
L
r
F
2. Diskus
Durch den Drehimpuls wird die Lage des Diskus stabilisiert. Durch die Tragflächenwirkung
fliegt er viel weiter als z. B. eine Kugel gleicher Masse und Anfangsgeschwindigkeit.
3. Bierdeckel
Drehmoment der anströmenden Luft verursacht Präzession Bierdeckel kippt seitlich. Dieser
Effekt spielt beim Diskus keine große Rolle, da der Drehimpuls wegen des größeren
Trägheitsmoments viel größer ist.
4. Präzession der Erde
65
Physik I, PD K. Thonke

Erde ist durch Zentrifugalkraft abgeplattet. Sie hat einen Drehimpuls L , der 23,5° gegen die
Ebene der Ekliptik geneigt ist. Anziehung der Sonne übt wegen F1 < F2 ein Drehmoment aus,
das "versucht", die Erdachse aufzurichten Ausweichen der Drehimpulsachse senkrecht zur
Kraft Erdachse läuft auf Präzessionskegel (1 Umlauf in 26.000 Jahren).
5. Atomare Kreisel


Atome besitzen Drehimpuls L und damit verknüpft ein magnetisches Moment µ . Letzteres
"versucht" sich parallel zu äußeren Magnetfeldern auszurichten. Der "atomare Kreisel"
reagiert auf dieses Moment des äußeren Magnetfeldes mit einer Präzession um die
Magnetfeldlinien.
Magnetfeld
L
S
N
m
66
Schwingungen
7
Schwingungen
• entstehen, wenn ein System aus stabiler Gleichgewichts-Lage ausgelenkt wird
• Voraussetzung: elastische Bindungen der Körper untereinander

• nur lokales Verhalten x(t) wird betrachtet ↔ Wellen: x( r , t ) = globales Ereignis
Beispiele:
• schaukelndes Boot auf Wasser
• Uhrenpendel
• Klaviersaite
• Schallwellen (→ Wellen)
• elektrischer Schwingkreis
im allg. Schwingungsform recht kompliziert:
z. B. Gitarrensaite
q
Koord. q als Funktion der Zeit:
0
t
einfachster Spezialfall:
7.1
Harmonische Schwingungen
Ergeben sich, wenn bei Auslenkung des Systems die Rückstellkraft proportional zur
Auslenkung ist (meist erfüllt für kleine Auslenkungen).
Fx = - k ⋅ x "Hookesches Gesetz"
↑
Kraft wirkt der Auslenkung entgegen
x
x=0
a=
x
(1)
mit Newton II:
d2x
Fx = −kx = m ⋅ a = m 2
dt
d2x
k
= − ⋅x
2
dt
m
(2)
Beschleunigung ∼ Auslenkung, entgegengesetzt
= Bedingung für harmonische Schwingung
Glg. (2) ist die sog. "Bewegungsgleichung" des Systems. Es ist eine lineare Differentialgleichung (DGL) 2.Ordnung (homogen).
67
Physik I, PD K. Thonke
Welches x(t) ist eine Lösung?
a) experimentelle Bestimmung (Versuch SW33)
Kosinus- bzw. Sinuskurve
b) mathematisch (→ siehe Mathematik-Vorlesung: DGL)
Man kann Glg. (2) so lesen: Für die Lösungsfunktion muß die 2. Ableitung f" = konst. ⋅ f sein!
Dies ist erfüllbar mit einer Kosinus- bzw. Sinuskurve:
x(t) = A ⋅ cos (ωt + ϕ)
(3a)
dx
= −ω ⋅ A ⋅ sin ( ωt + ϕ)
dt
= v( t )
(3b)
d2x
= a( t )
(3c)
dt
2
= −ω2 ⋅ A ⋅ cos( ωt + ϕ)
in (2) eingesetzt:
 k
− ω 2 A ⋅ cos( ωt + ϕ ) =  −  ⋅ Acos( ωt + ϕ )
 m
k
m
(4)
→ Mit Ansatz (3a) ist Glg. (2) lösbar!
Größen:
Amplitude A =
größte Auslenkung aus Gleichgewichtslage
Phase (ωt + ϕ) = Argument der
Kosinusfunktion
Phasenkonstante ϕ: willkürlich, hängt von
der (willkürlichen) Wahl des Zeitpunktes t0
ab
Ist Phase (ωt + ϕ) um 2π weiter
(Bogenmaß!), wiederholt sich alles. Das
zugehörige Zeitintervall T ist die Periode
oder Schwingungsdauer:
ω ⋅ T = 2π →
68
T=
2π
[s]
ω
(5)
Auslenkung x(t)
k
; ω=
m
Beschleunigung a(t) Geschwindigkeit v(t)
→ ω2 =
0
5
10
15
0
5
10
15
0
5
10
15
Phase ω*t
schw ingung.mac
Schwingungen
Frequenz ν =
1
1 
= Kehrwert der Schwingungsdauer;   bzw. Hertz (Hz)
T
s
Kreisfrequenz ω = 2πν =
2π  1 
 Bogenmaß 
;   oder 

T s
 Zeit
(6)
Wichtig:
• Schwingungsdauer T =
2π
m
= 2π
hängt nicht von maximaler Auslenkung A ab!
ω
k
• T~ m
• T~
1
k
Zusammenhang mit Kreisbewegung
Teilchen läuft auf Kreisbahn um 0 mit konst.
Geschwindigkeit v, Radius A um.
v
Winkelgeschwindigkeit ω =
A
Winkel mit x-Achse: ϑ = ωt + ϕ , wobei ϕ = ϑ ( t = 0)
y
v
A
0
ϑ
x
x-Komponente des Teilchenortes
= Projektion auf x-Achse
x( t ) = A ⋅ cos ϑ = A ⋅ cos( ωt + ϕ )
x = A * c o sϑ
(7)
→ formal identisch mit Glg. (3a)
d.h.:
Die Projektion der Kreisbewegung eines Teilchens mit konstanter
Winkelgeschwindigkeit auf eine Achse ist eine harmonische Schwingung!
(Versuch SW20)
7.2
Energiebilanz bei harmonischen Schwingungen
1
potentielle Energie in Feder: E pot = kx 2
2
Ekin =
kin. Energie in Masse:
(
)
1 2
mv
2
1 2
kx + mv 2
2
für max. Auslenkung x = A ist v = 0 →
1
E ges = kA2
2
E ges = E pot + E kin =
(8)
(9)
(10)
(11)
Die Gesamtenergie einer harmonischen Schwingung ist dem Quadrat der Amplitude
proportional.
69
Physik I, PD K. Thonke
2
→ Verweis auf E-Dynamik: Eges ∼ Fel , B2
Epot
1/2 kx 2
Eges= 1/2 kA2
Ekin
E pot
-A
x
A
Zum Test: x(t), v(t) in Glg. (10) einsetzen:
1
2
2
E ges ( t ) = E pot ( t ) + E kin ( t ) = kx ( t ) + mv( t )
2
1 2
2
2
2
mit (3a), (3b) → = A kcos ( ωt + ϕ ) + mω sin ( ωt + ϕ )
2
1
k


= A 2  k cos 2 ( ωt + ϕ) + m ⋅ sin 2 ( ωt + ϕ) 
(4) →
2
m


1
= A 2 k = const.
2
(
)
[
]
|sin2 α + cos2 α = 1
Anmerkung:
• Epot ist max., wenn Ekin = min. und umgekehrt
1
• Mittelwerte: E pot = E kin = E ges
2
Was ändert sich bei senkrechter Aufhängung der Masse an Feder?
Auslenkung y0 = mg/k aus Ruhelage; mit Koord.-Transformation y' = y - y0 ergeben sich
dieselben Gleichungen. → Übungsaufgabe
70
(12)
Schwingungen
7.3
Pendel
a) Mathematisches Pendel (= Fadenpendel)
Nur bei kleinen Auslenkungen harmonische Schwingungen!
Idealisierung: Punktförmige Masse m an masselosem
Faden der Länge l
ϕ
l
s=l⋅ϕ
s
m
ϕ
m*g*sinϕ
Tangentialbeschleunigung:
m*g*cosϕ
Newton II:
− m ⋅ g ⋅ sin ϕ = m ⋅
m*g
d2s
dt 2
d2s
s
= − g ⋅ sin ϕ = − g ⋅ sin
2
l
dt
für s << l gilt: sin ϕ ≈ ϕ; d.h. sin
d 2s
dt 2
|: m
(13)
(14)
s s
≈
l l
d 2s
g
damit: 2 = − s
dt
l
Diese Gleichung ist formal wieder identisch mit Glg. (2)!
→ also wieder Ansatz s(t) = A ⋅ cos(ωt + ϕ0)
g
2
in Glg. (15): → ω =
l
2π
l
= 2π
Periodendauer: T =
ω
g
(15)
(16)
(17)
(18)
Anmerkung:
• m geht nicht ein!
• Periodendauer allein von l / g bestimmt
• bei bekanntem l kann Erdbeschleunigung g bestimmt werden
Versuch M14: Schwingungsdauer eines math. Pendels als Fkt. der Länge / der Auslenkung.
Bei größeren Amplituden: Periodendauer wird geringfügig länger! Unterschied zu Theorie:
Hier wurde rücktreibende Kraft als ~ϕ genähert, exakt nimmt sie aber mit sin(ϕ) zu
→ für große Auslenkungen ist im Experiment die rücktreibende Kraft kleiner als in der
Theorie
→ größere Periodendauer
71
Physik I, PD K. Thonke
b) Physikalisches Pendel
Starrer, ausgedehnter Körper wird nicht in Schwerpunkt
aufgehängt → schwingt um Gleichgewichtslage
"physikalisches Pendel"
A
ϕ
Drehmoment m ⋅ g ⋅ d ⋅ sin(ϕ) wirkt Auslenkung
entgegen
α = Winkelbeschleunigung; J = Trägheitsmoment bzgl.
Aufhängepunkt
d
d*sinϕ
s
Es gilt:
m*g
M = J ⋅α = J ⋅
(20)
d 2ϕ
mgd
=−
⋅ sin ϕ
2
J
dt
(21)
wie gehabt: Ansatz ϕ(t) = A ⋅ cos(ωt + ϕ0)
mgd
2π
J
;T =
= 2π
J
ω
mgd
(19)
d 2ϕ
− m ⋅ g ⋅ d ⋅ sin ϕ = J ⋅ 2
dt
wieder gilt für kleine Auslenkungen: sin ϕ ≈ ϕ
d 2ϕ
mgd
=−
ϕ
2
J
dt
ω=
d 2ϕ
dt 2
(22)
(23)
(24)
Amerkung:
• Für flachen Körper kann mit der letzten Glg. das Trägheitsmoment exp. bestimmt werde.
• Bei allen Pendeln gilt: Bei großen Auslenkungen ist Schwingung immer noch periodisch,
aber nicht mehr harmonisch! Schwingungsdauer hängt dann geringfügig von Amplitude ab.
J
= l µ = reduzierte Pendellänge
•
m⋅d
= Länge eines mathematischen Pendels mit gleichem ω
72
Schwingungen
c) Torsionspendel
Draht (oder Feder) wird verdrillt ("tordiert")
Im Idealfall tritt Drehmoment ∼ ϕ auf:
M=-D⋅ϕ
(25)
(D = Torsionskonstante "Winkelrichtgröße")
ϕ
Bewegungsgleichung: M = − Dϕ = J ⋅
d 2ϕ
D
= − ⋅ϕ
2
J
dt
d 2ϕ
dt 2
(26)
(27)
(hier ist keine Näherung für kleine Winkel erforderlich!)
wieder: ϕ(t) = A ⋅ cos(ωt + ϕ0)
→ω=
D
J
T = 2π
(28)
J
D
(29)
Anmerkung:
Bei bekanntem D kann aus Schwingungsdauer T das Trägheitsmoment J ermittelt werden.
73
Physik I, PD K. Thonke
7.4
Gedämpfte Schwingungen
Reale schwingende Systeme: durch Reibung wird immer Energie entzogen
→ Amplitude nimmt ab
→ "gedämpfte Schwingung" bzw. "gedämpfter Oszillator"
(trifft insbesondere auch auf elektrische LC-Schwingkreise zu!)
Versuch:
- gedämpfte Schwingung auf Luftkissenbahn (M 103)
- durch Flüssigkeit gedämpftes Federpendel (SW 36)
1.0
e-βt
0.5
x(t)
m = k = 1.
--> ω0 = 1.
b = 0.1
--> β = 0.05
--> ω = 0.99875
φ = 0.
0.0
-0.5
-1.0
-βt
y = e *cos(ωt+φ)
0
20
40
60
Zeit t (s)
80
100
gedaempf.mac von K.Th.
→ bei schwacher Dämpfung exponentiell abnehmende Einhüllende
→ Energieverlust ist jeweils proportional zu aktuell vorhandener Energie
Meist kann Reibungskraft gut beschrieben werden mit


FR = −b ⋅ v
(30)
- wirkt Geschwindigkeit v entgegen
- proportional zu v
- b: Maß der Dämpfung, [b] = kg/s
→ Bewegungsgleichung (2) muß um diesen Term erweitert werden
dx
d 2x
− kx − b − m 2 = 0
: ( - m)
dt
dt
k
b
x + x + x = 0
m
m
(31)
- wieder homogene lineare DGL 2. Ordnung, aber jetzt taucht auch erste Ableitung auf!
Das experimentelle Ergebnis legt diesen Ansatz nahe:
x( t ) = A ⋅ e − βt cos( ωt + ϕ ) ; β = „Abklingkoeffizient“
74
(32)
Schwingungen
{
x ( t ) = A ⋅ − βe −βt ⋅ cos( ωt + ϕ ) − e −βt ⋅ ω ⋅ sin ( ωt + ϕ )
= −Ae
−βt
{βcos( ωt + ϕ ) + ωsin ( ωt + ϕ )}
{
}
(33)
x( t ) = Aββ−βt {βcos( ωt + ϕ ) + ωsin ( ωt + ϕ )} − Ae −βt − ωβsin ( ωt + ϕ ) + ω 2 cos( ωt + ϕ )
= Ae
−βt
{cos( ωt + ϕ ) ⋅ [+ β
2
]
}
− ω + sin ( ωt + ϕ ) ⋅ [ 2ωω]
2
}
(34)
in (31) eingesetzt, | :A ⋅ e-βt
{[
]
}
k
b
cos( ωt + ϕ ) − {βcos( ωt + ϕ ) + ωsin ( ωt + ϕ )} + β 2 − ω 2 cos( ωt + ϕ ) + 2ωωβsi( ωt + ϕ ) = 0
m
m












k
bβ
bω




cos( ωt + ϕ )  −
+ β 2 − ω 2  = sin ( ωt + ϕ ) 
− 2ωω
(35)
m 
m
m








!
!



=0


 =0 

(
)
b
b
− 2β = 0 → β =
2m
m
2. Klammer:
(36)
b
t
also: exponentieller Vorfaktor ist e − 2 m ⋅t = e −τ mit
τ=
2m
1
"Abklingkonstante" = Zeit, nach der Amplitude auf abgefallen ist
b
e
1. Klammer:
(37)
k
b
− β
k
m m
; mit ω 02 =
für ungedämpftes System ( siehe Glg. 4)

m
2
ω2 = β 2 +
= ω0
ω 2 = ω 02 + β 2 − β ⋅
(36) →
→
ω 2 = ω 20 +
b
b

= ω 02 + β  β − 
m
m

b  −b
b2
2

 = ω0 −
2m  2m 
4m 2
 b 
ω = ω 02 − 

 2m 
2
(38)
→ Frequenz wird gegenüber dem ungedämpften Fall abgesenkt!
Zusammengefaßt: Lösung der Bewegungsgleichung = DGL (31) ist also
x( t ) = A ⋅ e −t / τ cos( ωt + ϕ )
mit τ =
2m
 b 
, ω = ω 02 − 

b
 2m 
(39)
2
75
Physik I, PD K. Thonke
Entwicklung der Energie: jeweils am Periodenanfang ist die Auslenkung maximal, alle
Energie ist potentielle Energie: E ges (t = n ⋅ T ) = E pot , n ∈ Ν
für Periode n: t = t n = n ⋅ T
Eges
t = nT
=
1
1
k ⋅ x ( t ) 2 = k ⋅ A2e − 2 nT / τ
2
2
(40)
für Periode n + 1: t = t n + T
Eges
t = ( n +1)T
=
1 2 −2 nT /τ − 2 T / τ
kA e
⋅e
2
(41)
→ Energie nimmt pro Periode um den Faktor e −2T / τ ab (vgl.: Amplitude um e −T / τ !)
 x( t ) 
T
 = β ⋅ T
= "logarithmisches Dekrement" = ln 
τ
 x( t + T ) 
= Logarithmus des Amplituden-Verhältnisses zweier aufeinanderfolgender
Schwingungen
Die Dämpfung kann auch durch den Verlustfaktor d beschrieben werden:
d=
2β
=
ω0
b
mk
(42)
Der Kehrwert dieses Verlustfaktors ist der Gütefaktor Q = 1/d. Im Fall schwacher Dämpfung
ergibt sich aus dem Gütefaktor der relative Energieverlust pro Periode:
Q = 2π
E
ΔE
mit E = Gesamtenergie, ∆E = Energieverlust pro Periode
(43)
kleiner Energieverlust → große Güte
Beweis für diesen Zusammenhang: mit Glg. (40), (41) ist
Q = 2π
E( t i )
1
= 2π
E( t i ) − E( t i + T )
1 − e − 2T/τ
(44)
im Fall schwacher Dämpfung: e-T/τ << 1;
Q ≈ 2π
1
τ ⋅ ω ω ⋅ τ ω0 ⋅ τ ω0 ⋅ m
≈ 2π τ = π
=
≈
=
=
2T
2T
1 − (1 − τ )
2π
2
2
b
typ. Werte für Q:
• mechanisches Pendel
• Saite
• angeregtes Atom-Hüllen-e• angeregter Atomkern (57Fe)
102
103
107
3 × 1012
Spezialfall: Q = ½: "aperiodischer Grenzfall", "kritische Dämpfung"
τ=
76
1
ω0
mk 1
=
b
d
(45)
Schwingungen
In diesem Fall ist nach Glg. (37), (39):
2
2m
1
 b 
2
2
τ=
=
; ω = ω02 − 
 = ω 0 − ω0 = 0
b
ω0
 2m 
→
x ( t ) = A ⋅ e − t/τ = A ⋅ e − ω0 ⋅t
→ exponentielles Abklingen!
(46)
• System schwingt gerade nicht mehr
• System kehrt am schnellsten in Ruhelage zurück
→ optimale Einstellung für Stoßdämpfer, Zeiger von Meßinstrumenten, etc.
y = e -βt*cos(ωt+φ)
1.0
m = k = 1. --> ω 0 = 1.
φ = 0.
0.8
aperiodischer Grenzfall:
b = 2.0
--> β = 1.0
--> ω = 0.0000
x(t)
0.6
0.4
b = 2.0
krit. Daempfung
0.2
b = 4.0 ("Kriechfall")
0.0
b = 1.0 (unterkrit. Daempfung)
-0.2
0
2
4
6
8
Zeit t (s)
10
aperiod.mac von K.Th.
Was passiert bei noch stärkerer Dämpfung?
Nach Glg. (39) wird ω imaginär!
andere Möglichkeit: in Glg. (31) kin. Term x vernachlässigen!
→
k
b
⋅ x + ⋅ x ≈ 0
m
m
Ansatz:
x(t) = A ⋅ e-t/τ →
(47)
x = −
A −t / τ
⋅e
τ
(48)
1
k ⋅ A ⋅ e−t / τ − b ⋅ A ⋅ e−t / τ ≈ 0
τ
→
→
k−
b
b
≈ 0 →τ =
τ
k
x( t ) = A ⋅ e
−
(49)
t ⋅k
b
Näherungslösung: wieder exponentielles Abklingen, aber mit Zeitkonstante
(50)
b
1
>
k ω0
77
Physik I, PD K. Thonke
Beispiel für Auswirkung der Dämpfung: Auto fährt über Bodenwelle


 aperiodischer Grenzfall: optimal schnelle Rückkehr zu neuer GG-Position
→ Straßenkontakt wird schnell wiederhergestellt

78
Überdämpft: Straßenkontakt geht verloren für unnötig lange Zeit
Schwingungen
7.5
Erzwungene Schwingungen
Jetzt soll schwingungsfähiges System nicht nur einmal aus Ruhelage ausgelenkt werden,
sondern periodisch mit cos-förmiger Kraft F = F0 ⋅ cos ωt angetrieben werden.
Versuch: Pohl’sches Pendel (SW21)
F0⋅cos(ωt)
Nach Einschwingvorgang wird m mit gleicher
Frequenz ω schwingen, mit der externe Kraft
einwirkt.
m
Aber:
• Amplitude der Auslenkung hängt von ω ab
• Phasenverschiebung zwischen Kraft und Schwingung hängt von ω ab
Bewegungsgleichung jetzt:
mx + bx + kx = F0 ⋅ cosωo
(51)
bzw. mit Lsg. (4) des frei schwingenden Oszillators: ω 02 =
k
→ k = mω 02
m
mx + bx + mω02 x = F0 ⋅ cosωo
(52)
Nach Einschwingvorgang, der exponentiell abklingen wird, stellt sich eine stationäre Lösung
ein:
x ( t ) = A ⋅ cos( ωt − δ ) mit A = A( ω ) , δ = δ( ω )
(53)
Ableitungen:
x ( t ) = −A ⋅ ω ⋅ sin ( ωt − δ )
x( t ) = −A ⋅ ω2 ⋅ cos( ωt − δ )
in (52) eingesetzt:
( ωt − δ ) + mω02 Acos( ωt − δ ) = F0cos( ωt )
− mAω 2 cos( ωt − δ ) − bAωAωs
Terme sortieren:
{
}
cos( ωt − δ ) − mAω2 + mAω02 − bAω ⋅ sin ( ωt − δ ) = F0 ⋅ cos ωt
(54)
nach Formelsammlung ist:
cos ( ωt − δ ) = cos ( ωt ) cos ( δ ) + sin ( ωt ) sin ( δ )
sin ( ωt − δ ) = sin ( ωt ) cos ( δ ) − cos ( ωt ) sin ( δ )
also:
{
(
sinωi{sinδ( mA ) ( ω
)
}
cosωo cosδ( mA ) ω02 − ω 2 + sinδ( bAω) − F0 +
2
0
)
}
− ω − cosδ( bAω ) = 0
2
(55)
(56)
Um Glg. (56) für beliebige Zeiten zu erfüllen, müssen beide { } = 0 sein!
79
Physik I, PD K. Thonke
2. { }: tanδ =
b
ω
⋅ 2
= Phase δ als Funktion von ω (ist unabhängig von A, F0!)
m ω0 − ω2
{(
)
}
1. { }: A ⋅ ω 02 − ω 2 ⋅ m ⋅ cosδ + b ⋅ ω ⋅ sinδ = F0
(57)
(58)
cos δ, sin δ aus tan δ berechnen:
1
cosδ =
; sinδ =
1 + tan 2 δ
tanδ
1 + tan 2 δ




 2

1
ω0 − ω 2 ⋅ m + b ⋅ ω ⋅ tan δ = F0
→ A⋅



1 + tan 2 δ  

b⋅ω
 =

 tan δ

(
)
{
(59)
(60)
}
bω
1 + tan 2 δ = F0 ⋅ 1 + tan 2 δ
tan δ
Fo ⋅ tan δ
F0
A=
=
bω
bω ⋅ 1 + tan 2 δ
bω +
tan 2 δ
A⋅
A=
F0
(
b 2 ω 2 + m 2 ω 02 − ω 2
)
(61)
2
Die Amplitude der erzwungenen Schwingung hängt ab von:
-
F0 (linear)
b, ω, ω0 (kompliziert)
Diskussion der Formeln für A, δ:
Übergang auf neue Variable x = ω/ω0 (dimensionslose Frequenz)
(57) → tanδ =
b
x
⋅
m ⋅ ω0 1 − x 2
 b
x 
δ = arctan 
⋅
2
 m ⋅ ω0 1 − x 
(61) → A =
F0
(
ω0 b 2 x 2 + ω02 m 2 1 − x 2
)
2
F0
A=
2
ω0 m
80
(62)
(
b 2
x + ω02 1 − x 2
2
m
)
2
(63)
Schwingungen
Erzwungene Schwingung
10
b/(mω 0) =
Amplitude (F0/(mω0)
8
0.1
0.2
0.4
1.0
2.0
4.0
6
4
2
0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
1.5
2.0
ω/ω 0
3.5
b/(mω 0) =
3.0
0.1
0.2
0.4
1.0
2.0
4.0
Phase δ
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
0.0
0.5
1.0
ω/ω 0
Amplitude und Phasenverschiebung als Funktion der Frequenz in normierter Darstellung.
Amplitude hat Maximum, wenn:
(
)
dA
b2
b2
b2
2
= 0 → 2 ⋅ 2 x + ω 02 2 1 − x 2 ⋅ ( − 2 x ) = 0 →
=
1
−
x
→
x
=
±
1
−
dx
m
2 m2 ω 02
2m2 ω 02
also: ω res = ω 02 −
b2
→ "Resonanzfrequenz" ωres ≤ ω0
2m 2
(64)
je größer Dämpfung b, um so kleiner ωres
Fälle:
81
Physik I, PD K. Thonke
 Schwache Dämpfung:
b
<< 1
mω0
Maximum von A ist ≈ bei ω0, starke Resonanzüberhöhung;
für kleine ω < ω0 ist Oszillator in Phase mit Anregung,
bei Resonanzfrequenz ist δ = π 2 ,
für ω > ω0 ist δ = π.
→ Phasensprung relativ abrupt bei ω0.

Starke Dämpfung:
b
≤ 2
mω0
Maximum von A etwas unterhalb von ω0,
weicher Phasenübergang von δ = 0 auf δ = π

Kritische Dämpfung:
b
= 2
mω0
Keine Resonanzüberhöhung mehr; A nimmt kontinuierlich mit ω ab

Überkritische Dämpfung:
b
> 2
mω0
Oszillator kann auch langsamen Anregungen ω << ω0 nicht mehr folgen,
A < 1 für alle ω,
δ ≈ π 2 über weiten Bereich
Versuche: SW90, SW21, SW74
82
Schwingungen
7.6
Gekoppelte Pendel
Zunächst Experiment: 2 gleiche Pendel gekoppelt (SW63, SW50)
Beobachtung: Wird zunächst nur 1. Pendel ausgelenkt und 2. bleibt in Ruhe, dann wird die
Energie periodisch von 1. Pendel auf 2. und wieder zurück übertragen
Berechnung: Für kleine Pendelauslenkungen kann wieder alles linearisiert werden (s. Kapitel
8.3); System ist dann dieser Situation äquivalent:
k
m
0
k´
m
x1
0
k
x2
2 gleiche Massen seien reibungsfrei gelagert, mit Federn D an Wand befestigt,
werden durch Feder D' gekoppelt
gekoppelte Bewegungsgleichungen:
mx1 + kx1 + k ' ( x1 − x 2 ) = 0
(65a)
mx2 + kx 2 + k ' ( x2 − x1 ) = 0

 
ungedämpfte, ungekoppelteharmon.
Oszillatoren
(65b)
Kopplung
gesucht: x1(t), x2(t) so, daß beide Gleichungen gleichzeitig erfüllt werden
Lösung:
Differenz und Summe der Gleichungen (65) bilden,
Summen- und Differenzkoordinaten einführen:
1
q1 = x1 + x 2 (= 2 ⋅ Schwerpkt .! ) x1 = 2 ( q1 + q 2 )

q 2 = x1 − x 2
 x 2 = 1 ( q1 − q 2 )
2
(66)
(65a) + (65b):
m( x1 + x2 ) + k ( x1 + x2 ) = 0
(65a) - (65b):
m( x1 − x2 ) + k ( x1 − x 2 ) + 2k ' ( x1 − x2 ) = 0
mit (66):
mq1 + kq1 = 0
(68a)
mq2 + ( k + 2k ') q 2 = 0
(68b)
(67)
→ jetzt 2 entkoppelte Differentialgleichungen!
beide formal gleich wie einfacher, ungedämpfter, harmonischer Oszillator! (siehe 7 .1)
also Lösungen:
q1 ( t ) = A ⋅ cos( ω1t + α ) mit ω1 =
k
m
(69a)
83
Physik I, PD K. Thonke
q 2 ( t ) = B ⋅ cos( ω 2 t + β ) mit ω 2 =
mit (66):
k + 2k '
k'
= ω1 ⋅ 1+ 2
m
k
(69b)
x1 ( t ) =
A
B
cos( ω1 t + α ) + cos ( ω 2 t + β )
2
2
(70a)
x2 ( t ) =
A
B
cos( ω1t + α ) − cos( ω 2t + β )
2
2
(70b)
Die Konstanten A, B sowie α, β müssen über die Anfangsbedingungen festgelegt werden!
Diskussion der Lösungen:
Hier: Beschränkung auf solche Startsituationen, bei denen Anfangsgeschwindigkeit jeweils
= 0 ist:
x1 = x 2 = 0 → q1 = q 2 = 0
(71)
q1 = −ω1 ⋅ A ⋅ sin ( ω1t + α ) für t = 0: q = −ω ⋅ A ⋅ sin α → α = 0
1
1
!
q 2 = −ω 2 ⋅ B ⋅ sin ( ω 2 t + β )
!
β =0
(72)
a) beide Körper werden gleichsinnig gleich weit ausgelenkt:
x1 ( t = 0) = x 2 ( t = 0 ) = x 0
→
→ A = 2 x0 , B = 0
q 2 ( t ) = x1 ( t ) − x2 ( t ) ≡ 0


x1 ( t ) = x 2 ( t ) = x0 ⋅ cos ( ω1t ) 
(73)
(74)
→ beide Pendel schwingen gleichsinnig mit ungestörter Frequenz ω1;
„Kopplung nicht vorhanden“
→ "erste Fundamentalschwingung" mit ω1
b) Körper werden gegensinnig gleich weit ausgelenkt:
x1 ( t = 0) = − x 0 , x 2 ( t = 0 ) = + x0
→ q1 ( 0) = 0 = A, q 2 ( 0 ) = −2 x0 = B
x1 ( t ) = − x0 ⋅ cos( ω 2 t ) 

x 2 ( t ) = + x0 ⋅ cos( ω 2 t ) 
(75)
(76)
→ beide Pendel schwingen gegensinnig mit höherer Frequenz ω2 > ω1,
Kopplungsfeder maximal gedehnt
→ "zweite Fundamentalschwingung" mit ω2
c) nur ein Körper wird ausgelenkt, der andere in Ruhelage festgehalten:
x1 ( t = 0 ) = x 0 , x 2 ( t = 0 ) = 0 → A = x 0 , B = x 0
→ x1 ( t ) =
x2 ( t ) =
x0
{ cos(ω1t ) + cos(ω 2t )} → symmetr.
2
x0
{ cos ( ω1t ) − cos ( ω 2 t )} → antisymmetr.
2
→ Überlagerung der beiden Fundamentalschwingungen
84
(77)
(78)
Schwingungen
Allgemein gilt (hier nicht bewiesen):
Jede beliebige Schwingungsform der gekoppelten Schwinger kann als Linearkombination der
Fundamentalschwingungen dargestellt werden.
Lösungen umschreiben mit Winkelbeziehung cos α + cos β = 2 cos
α +β
α−β
⋅ cos
etc.
2
2
 ω +ω2 
 ω − ω2  
x1 ( t ) = x 0 ⋅ cos  1
t  ⋅ cos 1
t 
2
2 


 
(79)




  ω1 + ω 2 
 ω1 − ω2 
x 2 ( t ) = − x 0 sin 
t  ⋅ sin 
t 
2
2



 
 
1
1


Summenfrequ .
Differenzfrequ.

2
2

½ Summen- bzw. ½ Differenzfrequenz werden miteinander multipliziert
ω1 + ω 2
= Mittenfrequenz der Fundamentalschwingungen
2
Schwebung:
x1(t)=cos((ω1+ω2)/2*t)*cos((ω1-ω2)/2*t)
x2(t)=sin((ω1+ω2)/2*t)*sin((ω1-ω2)/2*t)
1.0
0.5
)t (1 x
0.0
0
2
4
6
8 Zeit t
-0.5
cos((ω1-ω2)/2*t)
-1.0
1.0
0.5
)t (2 x
0.0
0
2
4
6
8 Zeit t
-0.5
-1.0
sin((ω1-ω2)/2*t)
schweb.mac von K.Th.
k'
m
•
je härter die Kopplung, um so größer die Differenzfrequenz ω1 − ω 2 ~
•
2 ursprünglich gleiche Oszillatoren "verstimmen" sich gegenseitig durch Kopplung
→ Zusammenhang mit 2 gekoppelten Parallelschwingkreisen
85
Physik I, PD K. Thonke
Versuche:
-
Schwebungen mit 2 Stimmgabeln (SW100)
-
Schwebungen von Tönen (SW035)
Weiterer Versuch: Wilberforce-Pendel
Kopplung einer Lateral- und Torsionsschwingung
- so abstimmen, daß
k
k'
=
m
J
→ Energie wird periodisch übertragen zwischen
Längs- und Rotationsschwingung
86
ω1
m,k
m (J), k´
ω2
Mechanik deformierbarer fester Körper
C Mechanik deformierbarer fester Körper
1
Spannung / Dehnung / Scherung
1.1
Grobeinteilung der Materiezustände:
Feste Körper (FK): bestimmte Gestalt, bestimmtes Volumen, die sich unter Einfluß von
Kräften ändern (reversibel bis zu gewisser Grenze)
"Formelastizität"
Flüssigkeiten (Fl.):
bestimmtes Volumen, unbestimmte Form, Volumen durch Druck änderbar → "Volumenelastizität"
Gase (G):
füllen jeglichen zur Verfügung stehenden Raum aus; kein Eigenvolumen, keine bestimmte Form
Volumen stark variierbar → kompressibler
Grenzen z. T. nicht scharf (z. B. Gletscher fließen)
FK + Fl. → haben Oberfläche
Fl. + G → Strömungsphänomene
im folgenden i.w. Beschränkung auf isotrope Körper
- keine Vorzugsrichtung der inneren Struktur bzw. der physischen
Eigenschaften
z. B. Guß aus Mikrokristalliten
im Unterschied dazu: anisotrope Körper:
z. B. Kristalle, Polymerfasern
1.2
Spannung und Dehnung
Spannung ≡
Kraft
F N

; σ = ;  2 = 1 Pascal
Fläche
A m

(1)
Kraft F
Fläche A
z. B. Zug an Stab: A = Querschnittsfläche
∆l
l
Dehnung = relative Längenänderung; ε =
∆l
;
l
(2)
87
Physik I, PD K. Thonke
Experimentell findet man diesen
Zusammenhang:
σ
A
2
B
3
(z. B. Metallstab; Versuch M23:
Kupferdraht dehnen)
C
Reißpunkt
Elastizitätsgrenze
Proportionalitätsgrenze
1
ε
bzw. E =
Bereiche:

ε << 1: Dehnung hängt linear von
Spannung ab:
1
⋅ σ "Hookesches Gesetz"
E
(skalare Form)
(3)
ε∼σ, ε =
σ F/A
"Elastizitätsmodul", "E-Modul", "Young's modulus"
=
ε ∆l / l
(4)
N
Dimension:  2 
m 
typ. Wert für Metalle: E ≈ 100 GN/m2 = 1011 N/m2
 bei weiterer Dehnung: Spannung folgt nicht mehr linear, Vorgang ist aber noch reversibel
 Stab "fließt"; irreversibel (molekulare Umordnung)
für Metalle typ. Zugfestigkeit: 100 ... 500 MN/m2 = 1 ... 5 ⋅ 108 N/m2
Anwendung:
Dehnungsmeßstreifen; wird auf zu messenden Körper geklebt
R
R = ρ⋅
l
A
Wenn komprimierende statt dehnende Kräfte angewendet werden:
"Druckspannung" statt Zugspannung
E meist gleich bei Druck/Zug; für einige Materialien wie
d'
Knochen, Beton, etc. aber Abweichungen!
1 = "Dehnungsgröße", "compliance"
E
l
l'
Unter Zugspannung tritt gleichzeitig mit Längenzunahme
eine Dickenabnahme auf:
∆d
Querkontraktion
, proportional zu Längenänderung:
d
∆d / d
µ=
= Poissonsche Zahl = "Querkontraktionszahl"
∆l / l
(5)
d' = d - ∆d
l' = l + ∆l
d
88
Versuch M114: Querkontraktion Gummivierkant
Spannung / Dehnung / Scherung
Die Volumenänderung ist damit:
dV = (d - ∆d)2 ⋅ (l + ∆l) - d2l
= (d2 - 2∆d⋅d + ∆d2) ⋅ (l + ∆l) - d2l
≈ - 2(∆d)⋅l⋅d + d2(∆l) (Produkte ∆d⋅∆l vernachlässigt)
relative Volumenänderung:
∆V ∆V ∆l
∆d ∆l
= 2 =
−2
= (1 − 2µ ) = ε (1 − 2µ )
V
l
d
l
d l
1 − 2µ
=
⋅σ
E
(6)
(7)
- für µ = 0,5 ist V = const.
- µ ist Material-abh.; typ. 0,2 < µ < 0,5
Versuch: Querkontraktion eines Gummistabes M149
Energiebetrachtung: (für Proportionalbereich)
Spannungsenergie = Deformationsarbeit
l+ ∆l
ε
dl
∆W = ∫ F⊥ dl = ∫ σ ⋅ 
A ⋅ l ⋅ = V ∫σdε
l
V

l
0
(8)
dε
mit Hook (3):
ε
∆W = V ⋅ E ⋅ ∫ εdε = V ⋅ E ⋅
0
ε2
2
(9)
- elastische Energie, die in gesamtem Körper gespeichert ist
Energiedichte ρ elast =
∆W 1 2
= Eε
V
2
zum Vergleich: bei Feder W =
1.3
(10)
1 2
kx
2
Allseitiger Zug/Druck ("hydrostat. Druck"; wie in Flüssigkeiten)
Im elastischen Bereich gilt: Volumenänderung ∼ Druck p = -σ
∆V
= −κ ⋅ p
V
(11)
- κ = Kompressibilität; K = 1/ κ = Kompressionsmodul
im allg. ist κ selbst vom Druck abhängig: κ = κ ( p)
1 dV
→ differentielle Definition: κ ( p ) = − V ⋅ dp
p
1.4
(12)
Scherung
Wenn Kraft an Körper nicht normal, sondern tangential angreift: Scherung
89
Physik I, PD K. Thonke
Fläche A
∆x
Ft
l
ϑ
-Ft
Tangentialspannung: τ ≡
Ft
= Scherspannung
A
(13)
bewirkt Verformung der rechtwinkligen Querschnittsfläche zu Parallelogramm
Scherung γ ≡
∆x
= tan ϑ
l
(14)
für kleine Schubspannungen gilt wieder ein linearer Zusammenhang
Schubmodul, Torsionsmodul G ≡
τ Ft / A Ft / A
=
=
γ
∆x / l
tan ϑ
Hookesches Gesetz der Torsionsspannung
1
= β "Schubgröße" ;
[ G] = N2
G
m
- typische Werte für Metalle: 30 ... 150 ⋅ 109 N/m2
für kleine Scherwinkel: tan ϑ ≈ ϑ → γ ≈ ϑ
90
(15)
Spannung / Dehnung / Scherung
1.5
Zusammenhang zwischen den elastischen Konstanten
Die vier elastischen Konstanten E, G, µ, x können nicht unabhängig sein, denn für
homogenen, isotropen Körper ist Spannungszustand durch nur zwei Größen beschreibbar
→ es muß zwei Relationen geben. Durch Betrachtung der Situationen bei allseitigem Zug σ
an Würfel bzw. genauer Analyse der Scherung (siehe z.B. Paus „Physik“, S. 175) findet man:
2
E = 3 K (1 − 2 µ )
(16)
E = 2G (1 + µ )
(17)
Anwendungsbeispiele: Biegung und Torsion
2.1
Biegung eines Balkens --- nicht in Vorlesung behandelt ---Oberseite
gedehnt
s´ > s
y
y
s'
Dehnungen,
Kräfte dF(y)
R
neutrale
Faser n
s
l
y=0
x
ymax =Auslenkung
Detail
Unterseite
gestaucht
s´ < s
Krümmungsradius
(nicht überall gleich!)
Strahlensatz:
s' R + y
=
s
R
Dehnung: ε =
(18)
∆ s s '− s y
=
=
s
s
R
zugehörige Spannung: σ = E ⋅ ε →
(19)
σ ( y) = E ⋅
y
R
(20)
für y > 0 : Zug
für y < 0 : Druck
Jede Kraft dF trägt zur Biegung des Balkens bei mit dem Drehmoment
dM = y ⋅ dF = y ⋅ σ(y) ⋅ dA; dA = Querschnitt an der Stelle y
(21)
Gesamtes Biegemoment = Σ aller Teilmomente:
M = ∫ dM = ∫ ydF = ∫ yσ( y) dA =
E 2
y dA
R ∫
Flächen −
trägheits−
moment J A
(22)
91
Physik I, PD K. Thonke
1
R
2
Flächenträgheitsmoment: J A = ∫ y dA ; [JA] = m4
(23)
Flächenträgheitsmoment JA ist nur formal-math. gleich mit Massenträgheitsmoment, hat
aber mit diesem nichts zu tun! Es macht eine Aussage über die Form des
Biegemoment: M = E ⋅ J A ⋅
y
h
JA =
1 3
dh
12
R
JA =
1
πR 4
4
d
Balkenquerschnitts.
R
h
H
r
d/2
JA =
D
JA =
(
1
DH3 − dh 3
12
)
(
π 4
R −r4
4
)
Um den Balken zu verbiegen, muß am freien Ende eine Kraft F (nach unten) ausgeübt
werden, welche das Drehmoment erzeugt, das dem Drehmoment der Spannungen das
Gleichgewicht hält.
Krümmung ist ∼ zu diesem Moment: M = F ⋅ (l - x)
1
M
F
=
⋅ ( l − x)
(23) → =
R EJ A EJ A
Die Krümmung K =
K=
1
y' '
=±
R
1+ y'2
(
1
einer ebenen Kurve ist nach Formelsammlung:
R
)
3/ 2
Für kleine Verbiegungen ist y'2 << 1 und damit
y''=
92
1
F
=
(l − x)
R EJ A
Anwendungsbeispiele: Biegung und Torsion
2 × integrieren:
y=
F
EJ A
 lx 2 x 3 

−  "Biegelinie" (der neutralen Faser)
6
 2
damit wird die Auslenkung ymax am Balkenende:
F l3
y max =
⋅
EJ A 3
(24)
(25)
- ymax ∼ F (Kraft geht linear ein!)
∼ l3 (Balkenlänge geht kubisch ein!)
93
Physik I, PD K. Thonke
2.2
Torsion eines zylindrischen Stabes --- in Vorlesung behandelt ---l
R
M
γ
ϕ
∆s
Stab wird verdrillt = tordiert; Winkel ϕ
für kleines Volumenelement: Scherung
R
dA
- an Manteloberfläche: Scherung mit Winkel γM
- am Stabende: ∆SM = R ⋅ ϕ = l ⋅ γM
- im Stabinneren: ∆S = r ⋅ ϕ = l ⋅ γ
r
(26)
dr
Stab wird in Hohlzylinder unterteilt mit Dicke dr, Fläche dA.
Auf diese wirkt Teilmoment dM, Schubkraft Ft:
(15)
dM = r ⋅ Ft = r ⋅ τ ⋅ dA = r ⋅ G ⋅ γ ⋅ dA
(27)
Gesamtdrehmoment:
(26)
M = ∫ dM = ∫ r ⋅ G ⋅ γ ⋅ dA = G ⋅
ϕ 2
r dA
l ∫
(28)
ϕ


Torsionsdr
ehmoment
:
M
=
G
⋅
J
'
⋅
A


l


Torsions − Flächenträ gheitsmoment : J ' A = ∫ r 2 dA


( ≠ J A !)




(29)
ϕ ∼ M → Torsionsfeder, lineares Verhalten, ∼ Schubmodul G
R
J 'A =
1
πR 4
2
J 'A =
π 4
R − r4
2
Vollzylinder
R
r
(
Versuch: M3
94
)
Hohlzylinder
Mechanik der Flüssigkeiten und Gase
D Mechanik der Flüssigkeiten und Gase
Bei Gasen soll es hier nicht um thermodynamische Eigenschaften gehen, sondern wie bei
Flüssigkeiten um
• Druck
• Viskosität
• Strömung
1
Hydro- und Aerostatik
1.1
Flüssigkeiten und Gase unter Druck
Bei Flüssigkeiten und Gasen: keine Scherspannung, da keine Formelastizität
Schubmodul G = 0
An Oberfläche ist im Gleichgewichtszustand (auch im dynamischen Gleichgewicht)
Tangentialkraft F|| = 0
wegen freier Verschiebbarkeit der Moleküle
Druck P ≡
[ p] =
F ( Normal −) Kraft
=
A
Fläche
N
= 1 Pascal ;
m2
(1)
nicht-SI: 1 atm = 101,325 kPa
Druck bewirkt Kompression, d.h. Volumenänderung ∆V:
P
∆V / V
1
∆V / V
1 dV
bzw. Kompressibilität κ = = −
K
P
V dp
Kompressionsmodul K = −
(2)
(3)
- κ ist für Flüssigkeiten typ. 1000 × κ (Festkörper)
bei Gasen: hohe Komprimierbarkeit
für praktische Rechnungen können Flüssigkeiten meist als inkompressibel behandelt werden
Versuch: Becherschuß MF2
1.2
Schweredruck in Flüssigkeiten
Druck nimmt in Gewässern mit Tiefe zu, Luftdruck nimmt mit Höhe ab → Folge des
Eigengewichtes.
Bei Flüssigkeiten: Dichte überall ≈ gleich (bis auf temperaturbedingte Differenzen) → Druck
nimmt linear zu
Betrachtet wird eine Wassersäule mit Höhe h, Querschnitt A:
→ Druck p an Unterseite muß > p0 an Oberseite sein, um Gewichtskraft G = m ⋅ g
auszugleichen
G = m ⋅ g;
95
Physik I, PD K. Thonke
P0
m=ρ⋅V
A
(4)
m
Masse
mit Dichte ρ ≡ =
V Volumen
G=ρ⋅V⋅g=ρ⋅A⋅h⋅g
Es muß gelten: p ⋅ A = p0 ⋅ A + G
→ p = p 0 + ρ ⋅ g ⋅ h (ρ = const.)
(5)
(6)
h
mg
→ lineare Zunahme mit h
→ in gleicher Tiefe herrscht gleicher Druck
Auch bei Vergrößern von p0 (z. B. mit Kolben) ist der
Druckanstieg überall gleich → "Pascalsches Prinzip".
P
- Anwendung: hydraulischer Lift (Versuch MF-008)
A1
F1
F2 = F1 ⋅
F2
A2
A2
A1
(7)
- Konsequenz: "hydrostatisches Paradoxon" (Versuch MF9)
Dieser Teil wird durch die
senkrechte Komponente
der Wandkraft getragen
Der Druck am Boden hängt nur von der Tiefe ab, nicht von der Form der Flüssigkeitssäule!
96
Hydro- und Aerostatik
- weitere Anwendung: Flüssigkeitsmanometer
2 Bauformen:
a) offenes
b) geschlossenes
Patm.
evakuiert: p = 0
P
Pat
h
h
Meßobjekt
p - pat = ρ ⋅ g ⋅ h
p - pat: mißt Druckdifferenz
(z. B. Reifenüberdruck) "atm"
"psi" = pounds per square-inch
h: ablesen
1.3
pat = ρ ⋅ g ⋅ h
pat: mißt Absolutdruck
nicht-SI: 1 bar = 100 kPa
h: ablesen, z. B. 1 mm Quecksilbersäule
entspr. 1 Torr
Schweredruck in Gasen
Experimentell findet man bei konstanter Temperatur den Zusammenhang
p ∼ρ
Druck ∼ Dichte
m
→ p = const. ⋅ ρ = const. ⋅ → p ⋅ V = const . ⋅ m
V
p ⋅ V = const. Boyle-Mariottesches Gesetz
(8)
(9)
1 dV
V dp
dV d  const . 
1
V
1  V 1
=

 = − 2 ⋅ const . = −
(8) →
→ κ = − ⋅  −  =
dp dp  p 
p
V  p p
p
Damit wird die Kompressibilität κ = −
Kompressibilität ~ 1/Druck
h
dh
h
(10)
p(h)
Jetzt Ableitung der Druckverteilung als
Funktion der Höhe:
Gleichung (6) für Flüssigkeiten gilt jetzt nur
für infinitesimal dünne Schichten, d. h.:
dp = - ρ ⋅ g ⋅ dh
(-): h nimmt nach oben zu!
ρ: innerhalb Schicht konstant
ρ 0, p 0
(11)
mit (8): ρ ∼ p, am Erdboden sei p = p0, ρ = ρ0
97
Physik I, PD K. Thonke
ρ
p
p( h )
= 0 bzw. umgeformt: ρ( h ) = 0 p( h )
ρ ( h) ρ 0
p0
→
(12)
→ in (11) einsetzen:
dp = − ρ 0 ⋅
p( h )
∫
p0
p( h )
⋅ g ⋅ dh | : p(h),
p0
∫
h
dp
ρ ⋅g
= − 0 ∫ dh
p( h )
p0 0
 p( h ) 
ρ ⋅g
 = − 0 ⋅ h
ln
p0
 p0 
p( h) = p0 ⋅ e
ρ 
−  0  ⋅g ⋅h
 p0 
"barometrische Höhenformel"
(13)
25
(1/8 atm, 22.14 km)
Höhe h (km)
20
Temp. = const.
15
→ Schweredruck ändert sich
exponentiell mit der Höhe (z.
Vgl. bei Flüssigkeiten: linear)
(1/4 atm, 11.07 km)
10
(1/2 atm, 5.54 km)
5
0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Druck p (atm)
1.4
Auftrieb, Archimedisches Prinzip
Körper an Federwaage wird in Wasser gehängt
→ Federwaage zeigt geringeres Gewicht G' < m ⋅ g = G an
G' = G - FA; FA = Auftriebskraft
G'
Fo
0
hO
(14)
FA wird verursacht durch die Druckdifferenz zwischen Ober- und
Unterseite des Körpers



FA = FU − FO ; FA = FU + FO
FU = A ⋅ p(hU) = A ⋅ ρ ⋅ g ⋅ hU
FO = A ⋅ p(hO) = A ⋅ ρ ⋅ g ⋅ hO
(15)
- Seitenkräfte heben sich auf
hU
G
FU
FA = FU − FO = A ⋅ ρ ⋅ g ⋅ hU − hO = ρ ⋅ g ⋅ 
A
⋅∆
h = ρ ⋅ g ⋅ V (16)
V
FA = g ⋅ ρ ⋅ V = g ⋅ m Fl = G Fl
mit mFl = Masse der verdrängten Flüssigkeitsmenge
Auftriebskraft eines Körpers = Gewicht der verdrängten Flüssigkeitsmenge
98
(17)
Hydro- und Aerostatik
→ "Archimedisches Prinzip"
Kraft auf beliebig geformten Körper ist gleich!
Überlegung:
K
Statt Körper K werde gleich geformtes Gebilde aus Flüssigkeit
betrachtet.
Dieses "schwebt" im Gleichgewicht in konstanter Höhe. Also:
Gewichtskraft G, die auf dieses Gebilde wirkt, muß durch Summe der
Kräfte der Umgebung kompensiert werden
→ Auftrieb = Gewicht
Fälle:
ρKörper > ρFl → G' > 0 → Körper sinkt
ρKörper < ρFl → G' < 0 → Körper schwimmt, Eintauchen bis G = FA
Versuch: Auftrieb MF32
99
Physik I, PD K. Thonke
2
Fluiddynamik
(für Flüssigkeiten: Hydrodynamik bzw. für Gase: Aerodynamik)
Freie Verschiebbarkeit der Moleküle in Gasen und Flüssigkeiten
→ Strömungen treten auf
Strömungen können sehr kompliziert sein,
siehe z. B. aufsteigende Rauchwolken:
mathematisch sehr schwierig zu behandeln!
Turbulenzen,
Wirbel
Hier Beschränkung auf
• laminare, stationäre Strömungen
• inkompressible Flüssigkeiten: ρ = const.
(gilt auch noch in guter Näherung für Gase,
wenn v << Schallgeschwindigkeit)
• reibungsfreie Strömung (nicht viskos)
laminare
Strömung
Zwei Beschreibungsmethoden:
1. Lagrange: Zeitliche Bahn der Massenelemente ∆m wird verfolgt → math. schwierig



1. Euler: Vektoren der Strömungsgeschwindigkeit v an jedem Ort P wird verfolgt; v ( P ) =
"Geschwindigkeitsfeld" (analog zu Feldlinien in E-Dynamik!) → math. einfacher, wird
hier verwendet
Stationäre Strömung:

v( r ) zeitlich konstant nach Betrag und Richtung;

v( r ) kann durch "Stromlinien" dargestellt werden:

Tangenten = Richtung von v

Dichte der Linien = v
v2
v1
Laminare Strömung:
Stromlinien kreuzen sich nicht
2.1
Kontinuitätsgleichung
A2
A1
v2
v1
Flüssigkeit fließe in Rohr mit veränderlichem
Querschnitt (bzw. in Stromlinienfeld
mit variabler Stromliniendichte)
ist ρ = const. (inkompressible Flüssigkeit),
muß pro Zeitintervall ∆t an jeder
Leitungsstelle gleich viel durchfließen:
v1 ⋅ A1 ⋅ ∆t = v2 ⋅ A2 ⋅ ∆t
| :∆t
v1 ⋅ A1 = v2 ⋅ A2 = vi ⋅ Ai
v 1 * ∆t
v 2 * ∆t
(analog: in E-Dynamik für Ladungen)
100
(1)
[ ]
m
v1 ⋅ A1 = Volumenstrom V , V =
s

Kontinuitätsgleichung
V = const.
3
(2)
Fluiddynamik
2.2
Bernoullische Gleichung
(= "Energiesatz für Flüssigkeiten")
A1
=
in geradem Rohr (d.h. A = const.):
inkompressible, reibungsfreie
Flüssigkeit
v1 = v2, V1 = V2
A2
 , v1
V
1
p1
Zur Aufrechterhaltung der Strömung ist in
Rohr mit konstantem Querschnitt keine
Druckdifferenz erforderlich: p1 = p2, ∆p = 0
(analog 1. Newtonsches Axiom!)
 , v2
V
2
p2
jetzt: Verengungsstelle in Rohr wird genauer betrachtet:
Fläche A1
∆x
p1
∆m
A2
p2
v1
v2
∆x2
∆x1
pL
pR
nach Newton:
A ⋅ (pR - pL) = ∆m ⋅ a
− A ⋅ ∆p = ( ρ ⋅ A ⋅ ∆x ) ⋅
nach Kontinuitätsgleichung (2) muß gelten:
v 2 A1 → v > v
2
1
=
v1 A 2
In Verengungsstelle muß
die Flüssigkeit
beschleunigt werden
→ hierzu muß es eine
Druckdifferenz
∆p = pR - pL zwischen
rechter und linker Seite
geben!
(3)
∆v
∆t
:A
-∆p = ρ ⋅ v ⋅ ∆v
→ Druckabnahme ∆p entspricht Geschwindigkeitszunahme ∆v
(4)
Übergang von endlichen Differenzen zu infinitesimalen, Integration:
(2)
(2)
(1)
(1)
− ∫ dp = ρ ⋅ ∫ vdv
p1 − p 2 =
(
1
ρ ⋅ v 22 − v12
2
(5)
)
1
1
p1 + ρv12 = p 2 + ρv 22
2
2
(6)
1 2
ρv1 die Dimension eines Druckes haben
2
→ dies ist der sog. Staudruck
offensichtlich muß
101
Physik I, PD K. Thonke
Gleichung (6) ist die Bernoullische Gleichung:
1
p + ρv 2 = p ges = const.
2
(7)
statischer Druck + Staudruck = Gesamtdruck
Diese Gleichung kann noch verallgemeinert werden:
Kommt zu Druck noch Schweredruck hinzu, wird dieser beim statischen Druck additiv
berücksichtigt:
1
Verallgemeinerte Bernoullische Gleichung: p ges = p + ρgh + ρv 2
2
(8)
Zusammenhang mit Energie:
Gleichung (8) mit dem Volumenelement ∆V multipliziert ergibt:
ΔV ⋅ p ges = ΔVpstat + ΔV ⋅
Δm
1
Δm 2
⋅ g ⋅ h + ΔV ⋅
⋅v
ΔV
2
ΔV
1
ΔV ⋅ p ges = ΔVp stat + Δm ⋅ g ⋅ h + Δm ⋅ v 2

 2


  


E pot+
Edruck +
Eges =
E
(9)
kin
Interpretation:
Den Flüssigkeitsteilchen kann nicht direkt Energie zugeführt werden → ihre Energie muß =
1 2
const. sein → also kann nur pot. Energie (p ⋅ ∆V , ρ ⋅ g ⋅ h ⋅ ∆V) in kin. Energie ( ρv ∆V )
2
umgewandelt werden und umgekehrt.
Druckverhältnisse in Rohrverengung: (noch: ideal reibungsfrei + inkompressible Flüssigkeit)
Druck werde durch angesetzt Manometerröhrchen gemessen
p2 < p1, da v2 > v1
Pges
Pstau
P1
P3 =P1
P2
v2
v1
∆V
∆V
v3 = v1
∆V
Gesamtdruck meßbar mit umgekröpftem Manometer: dort ist am Eingang v = 0 → p = pges
Im Idealfall: p3 = p1; im Experiment unerreichbar!
Versuch: MF3
102
Fluiddynamik
2.3
Anwendungsbeispiele
Bernoulli-Gleichung ist für quantitative Berechnungen nicht geeignet wegen zu starker Idealisierung, aber qualitativ können viele Effekte erklärt werden.
a) Flüssigkeit strömt aus Gefäß aus
ρ⋅g⋅h =
1 2
ρv → v = 2gh
2
h
(10)
v
Die Ausströmgeschwindigkeit ist so, als ob das Tröpfchen die
Strecke h frei durchfallen hätten
b) Venturi-Rohr: Messung von Volumenströmen
aus (8):
Δp = p1 − p 2 =
(
1
ρ v 22 − v12
2
)
(11)
v2
v1
aus Kontinuitäts-Gleichung (2):
A
V = A 1 v1 = A 2 v 2 → v 2 = 1 v1
A2
2∆ p
A1
⋅
2
ρ
→
(12)
 A1 

 − 1
 A2 
Volumenstrom meßbar über Druckdifferenz
Versuch: MF23
V =
Pi < P0 = Luftdruck
c) Zerstäuber
An Diffusionsöffnung ist stat. Druck pi < p0
1
pi + ρ L v 2 = p0
2
für Funktion muß p0 - pi > ρF g h sein
Luft
(ρL )
(13)
P0
h
ρF
d) Prandtl'sches Staurohr
stromlinienförmiger Körper, 2 Meßöffnungen
1 in Strömungsrichtung: Pges
2 ⊥ Strömungsrichtung: Pstat
2
1
∆h
Versuch: MF16
Pstau
Differentialmanometer mißt
1
Pstau = Pges - Pstat = ρv 2
2
→ Geschwindigkeitsmessung möglich
103
Physik I, PD K. Thonke
e) Tragfläche
FA
Pu > P0 → "Auftriebskraft" FA
kleiner Querschnitt
Versuch: MF4
vext
Pext
größerer Querschnitt
→ vu < v ext , → Pu > Pext
f) hydrodynamisches Paradoxon
Luft strömt durch Rohr, zwischen Platten aus
 dort entsteht Unterdruck
 die untere Platte wird angezogen!
Versuch: MF26
104
P
v 0 > v ext
0 < P ext
Fluiddynamik
2.4
Viskose Strömung
(noch: laminar)
P1 > P 2
Reale Strömung durch Rohr:
Druckdifferenz ist für Strömung nötig → es
v
existiert Strömungwiderstand
zwei Anteile:
- Wandung bremst anliegende
Flüssigkeitsschicht
- benachbarte Flüssigkeitsschichten mit ungleicher Geschwindigkeit bremsen sich gegenseitig
"Zähigkeit" = "Viskosität" ist Folge der Wechselwirkung zwischen Flüssigkeitsteilchen
Strömungsgeschwindigkeit über Durchmesser der Röhre
hinweg nicht konstant:
- am Rand: v = 0
- in Mitte: max.
r
Druckabfall ∆p = p1 - p2 ist proportional zu Volumenstrom (bei
laminarer Strömung)
∆p = p1 − p 2 = V ⋅ R
mit R = Strömungswiderstand
0
v
(14)
R = R (Rohrlänge, Durchmesser, Viskosität)
Für Definition der Viskosität wird Strömung zwischen zwei parallelen Platten mit Fläche A
betrachtet:
• Flüssigkeit denkt man sich aus Schichten zusammengesetzt
• an oberer Platte wird mit Kraft F (= const.) horizontal gezogen, Geschwindigkeit v0 =
const. solle sich einstellen
• untere Platte: v = 0
• oberste Flüssigkeitsschicht: v = v0
• unterste Flüssigkeitsschicht: v = 0
• dazwischen: v nimmt linear zu
F
z
v0
Experimentell zeigt sich, daß
F ∼ v ; F∼ A ; F ~
1
z
v=0
v⋅A
F
dv
bzw. τ R = = η ⋅
τR = Reibungs-Schubspannung
z
A
dz
N ⋅s
Prop.-Konst. η = Viskosität [η ] = 2 = Pa ⋅ s = 10 Poise = 10 P
m
"Newtons Gesetz der inneren Reibung"
typ. Werte für η: [mPa ⋅ s]
also: F = η
Wasser:
Luft:
Motoröl:
Glyzerin:
(15)
1,0 @ 20 °C
0,65 @ 60 °C
0,018 @ 20 °C
200 @ 30 °C
1410 @ 20 °C
10.000 @ 0 °C
→ Viskosität ist stark temperaturabhängig!
(z. B. Motoröl: Temperaturabhängigkeit kompensieren durch Zusatz von Polymeren mit
gegenläufigem Temperatur-Koeffizienten)
Versuch: Glasplattenstapel + Honig (MF10)
105
Physik I, PD K. Thonke
2.5
Beispiele für viskose Strömung
2.5.1
Laminare Strömung durch ein Rohr
v(R) = 0
v(0) = max
r
P2
P1
2r
x
v
R
l
(Anm.: Koordinatensystem so wählen, daß es der Symmetrie des Problems angepaßt ist)
jetzt Flüssigkeit in Zylinder-Röhren zerlegen mit Durchmesser 2r, Fläche πr2

treibende Kraft: Fa = πr 2 ⋅ ∆p ⋅ x̂ ; ∆p = p 2 − p1

dv
Reibungskraft: FR = η2πrl ⋅ ⋅ x̂ ; 2πrl = Mantelfläche des Zylinders;
dr

dv
<0!
FR ↑↓ x̂ da
dr


dv
dv
FR + Fa = 0 ⇒ πr 2 ⋅ ∆p + η2 πrl ⋅ = 0 ⇒ r∆p + 2ηl = 0
dr
dr
Δp
⋅ rdr
→ − dv =
2lη
v( r )
106
(17)
(18)
r
Δp 1
− ∫ dv =
⋅ ⋅ rdr
l 2η ∫0
v max
→ v max − v( r ) =
(16)
Δp 1 r 2
⋅ ⋅
l 2η 2
(19)
(20)
Fluiddynamik
Randbedingung: v(R) = 0 → v max =
(
Δp R 2
⋅
l 4η
(21)
)
Δp 1
⋅
R2 − r2
l 4η
→ parabolisches Geschwindigkeitsprofil
damit: v( r ) =
(22)
- mittlere Geschwindigkeit:
1
1
∆p 1
v = ∫ v( r )dA =
v( r ) 2πrdr =
⋅ ⋅R2
2 ∫
A
πR
l 8η
(=
1
v max )
2
 = A ⋅ v = πR 2 ⋅ v
- Volumenstromstärke: V
 = ∆p ⋅ π ⋅ R 4
V
Gesetz von Hagen-Poiseuille
l 8η
(23)
(24)
beachten:
 ~ R4
• V
(Radius geht extrem ein in Durchflußmenge!)
Δp
 ~
• V
(Durchflußmenge proportional zu Druckabfall pro Länge)
l
 ~1
• V
(Durchflußmenge umgekehrt proportional zu Zähigkeit)
η
Ist R, ∆p, l bekannt, kann η bestimmt werden → Durchfluß-Viskosimeter
- Reibungskraft:
FR = A ⋅ ∆p = πR2 ⋅ ∆p
8ηη
mit (23): FR = π ⋅ R 2 ⋅ 2 ⋅ v = 8ππη⋅ v
R
also: FR = k R ⋅ v
(25)
(26)
mit kR = Widerstandsbeiwert (des Rohres) k = 8 πηl
Versuch: Durchflussmenge durch Kapillaren messen (MF33)
2.5.2
Laminar umströmte Kugel
Strömungsbild zwar symmetrisch, aber sehr
kompliziert!
Hier keine Rechnung, nur Ergebnis:
Kraft auf umströmte Kugel FR = k k ⋅ v
mit Widerstandsbeiwert kk = 6 πηr
- v gemessen weit ab von Kugel
- FR ∼ Kugelradius r
(27)
In Gasen und Flüssigkeiten stellt sich konst. Sinkgeschwindigkeit ein:
2 r 2g
v sink =
ρ Kugel − ρ Flüssigk.
9 η
→ liefert Methode zur Messung von η; Versuch: Kugelfall in Glyzerin (MF42)
(
)
(28)
107
Physik I, PD K. Thonke
2.6
Laminare und turbulente Strömungen
Experiment:
niedere Geschwindigkeit: laminare
Strömung
hohe Geschwindigkeit:
Wirbel bilden sich
→ "turbulente" Strömung
ab krit. Geschwindigkeit vkrit.
Wasser,
langsam
Tinte
Wasser,
schnell
Versuch: (MF21)
wichtig für Strömungsverhältnisse:
Verhältnis kinetische
Energie/Reibungsarbeit
Tinte
ρ⋅v⋅d
(29)
η
ρ = Dichte, v = Geschwindigkeit, d = "charakteristische Dimension" (z.B. Kugeldurchmesser),
η = Zähigkeit
• Re klein:
Reibungsarbeit > kin. Energie → laminare Strömung
• Rekrit:
Turbulenz setzt ein
• Re groß: Re → ∞ (für η → 0 wie im Idealfall reibungsfreier Strömung)
Typ. Wert für Wasserströmung in glatten Rohren: Rekrit ≈ 2500
Als Charakterisierungsmaß wird die Reynoldszahl Re verwendet: Re =
Mit steigender Reynoldszahl bildet eine laminare Strömung Wirbel aus, die zunächst
regelmäßig, dann chaotisch auftreten. Schließlich findet man vollentwickelte Turbulenz.
(Bild von Inst. für Plasmaphysik, Univ. Kiel)
ρ
In turbulenter Strömung ist Widerstandskraft FW = C W ⋅ ⋅ A ⋅ v2
2
A = Querschnittsfläche
ρ = Dichte des strömenden Mediums
v = Geschwindigkeit
CW = Widerstandswert; Kugel: 0.13, Scheibe: 1.1, Auto: 0.2 … 0.5
~ v2 : proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit!
108
(30)
Wellen
E Wellen
1
Einzelne Wellenberge
1.1
Allgemeine Eigenschaften
Beobachtbar als periodische, sich ausbreitende Auslenkungen
- auf Seilen, Federn, Saiten (1-dimensionale Gebilde)
- auf Flüssigkeitsoberflächen (2-dimensionale Gebilde)
- als Schallwellen, elektromagn. Wellen (3-dimensionale Gebilde) in Luft, Festkörpern
kein Massetransport, Teilchen bleiben im Mittel am Ort
aber: Energie-, Impulstransport
Grundlegende Phänomene in allen Fällen gleich (auch bei elektromagn. Wellen, bei denen
Materie keine Rolle spielt).
Bei mechanischen Wellen: elastisches Medium nötig
Grenzfälle:
- einmaliger Wellenstoß → Kapitel 1
- harmonische Wellen als einfachster Fall einer periodischen Welle: cos-förmige
Auslenkung → Kapitel 2
- stehende Wellen (z. B. Klaviersaite)
- fortschreitende Wellen (z. B. Wasserwellen)
weitere Begriffe:
bei 2- und 3-dimensionalen (periodischen) Wellen:
- Punkte gleicher Phase bilden Wellenfläche
z. B. bei punktförmiger Anregung: Kugelwellen
bei ebener Anregung: ebene Wellen
1.2
"Mikroskopische" Betrachtung, einfache Modellsysteme
Für Schwingungsausbreitung in Festkörpern kann als einfachstes Modell die
• lineare Kette von durch Federn gekoppelten Massepunkten betrachtet werden:
D
m D
m D
m D
m D
m D
D: WW der Atome untereinander will GG-Abstand wiederherstellen; analog auch
zwischen Molekülen in Gasen (→ Schallwellen).
D kann auch Torsionsfeder sein → Pendelkette wie in Versuch
geht man zu einer kontinuierlichen Massenverteilung über, kommt man zum Modell der
• schwingenden Saite, gespanntes Seil, lange Spiralfeder
109
Physik I, PD K. Thonke
Je nach Art der WW gibt es rückstellende Kräfte
•
nur bei longitudinaler Auslenkung wie in Gasen, Flüssigkeiten (keine Formelastizität →
keine Scherspannung)
•
auch bei transversaler Auslenkung (Formelastizität, Schubmodul G > 0)
x
z
y
→ Polarisation: für Richtung der Querauslenkung 2 Möglichkeiten
•
nur bei transversaler "Auslenkung": elektromagn. Wellen
1.3
Wellenberge, fortschreitende Wellen
• einseitig eingespanntes Seil
Seil werde kurz seitlich ausgelenkt
"Wellenberg" wandert auf Seil mit
konstanter Geschwindigkeit v entlang
v hängt ab von
- Seilspannung
- Massenbelegung (Masse pro Länge)
evtl. allmähliche Verbreiterung durch
Dispersion (siehe später; unterschiedliche
Frequenzen bewegen sich unterschiedlich schnell fort)
evtl. Abnahme der Amplitude (Energieverlust durch Reibung)
an fest eingespanntem Ende: Welle wird reflektiert und invertiert → Phasensprung um 180°
(Seil überträgt transversalen Impuls auf Wand, mit Actio
= Reactio wird dieser an Seil zurückgegeben)
• anderer Fall: "loses Ende"
wenn Wellenberg an Seilende ankommt, wird Ring
nach oben beschleunigt, dort wird Auslenkung max.
(Energie kann nicht entweichen), Welle läuft
reflektiert, aber nicht invertiert zurück
→ kein Phasensprung
(vgl.: Reflektion elektromagn. Welle an Medium mit
größerem / kleinerem ε)
110
Einzelne Wellenberge
Erweiterung: dünnes leichtes Seil sei an dickeres, schweres Seil geknüpft →
Ausbreitungsgeschwindigkeit ändert sich: "Pulskompression"
(→ auch bei Licht in Glasfasern möglich)
reflektierte Teilwelle
math. Beschreibung für Transversalwelle auf Seil: (keine Dispersion, keine Reibung)
Zeit t = 0: Welle habe irgendeine Form;
danach zur Zeit t > 0:
y(x,t = 0) = f(x)
t = 0:
y
y
y(x,t=0)=f(x)
0
y'
vt
x
y'(x')=f(x')
0
x
x'
nach Zeit t sieht Welle in verschobenem Koordinatensystem (x', y') gleich aus:
y(x,t = 0) = y(x',t' > 0)
y' = y

 Transformationsgleichungen
x' = x − vt (bzw. x = x'+vt)
(1)
in ursprünglichem Koordinatensystem kann also Welle zeitabhängig so beschrieben werden:
f(x',t) = f(x,t = 0)
y(x,t) = f(x - vt) für in +x-Richtung laufende Welle
bzw. y(x,t) = f(x + vt) für in -x-Richtung laufende Welle
(2)
Anmerkung zur Bedeutung von f(x - vt): Die Auslenkung könnte also z. B. heißen
f = ∑ sinK ( x − vt ) + ∑ a i ( x − vt ) + ...
i
K
i
aber nicht: f = x² - vt² → nur "verschobene" Koordinate x' = (x - vt) darf eingehen
Für einen Punkt mit konstanter Phase ist also: x - vt = const.
Die zeitliche Ableitung hiervon:
v Ph =
(3)
d
( 3) → dx − v = 0
dt
dt
dx
= Phasengeschwindigkeit der Welle
dt
(4)
(also z. B. die Geschwindigkeit, mit der sich das Maximum des Wellenberges weiterbewegt)
111
Physik I, PD K. Thonke
1.4
Superposition von Wellen
Erfahrungstatsache: Mehrere Wellen können sich durchqueren, ohne sich gegenseitig in ihrer
Ausbreitung zu stören: z. B.
- Schallwellen: mehrere Instrumente gleichzeitig hörbar und ortbar
- Seilwellen
- elektromagn. Wellen: mehrere Sender stören sich gegenseitig nicht, mit Resonator
(= Schwingkreis) kann einer herausgefiltert werden
gilt aber nur, wenn Medium sich linear verhält, d. h. Rückstellkräfte ∼ Auslenkung
(Nichtlinearitäten führen zu "Verzerrungen", "Mischfrequenzen", "Oberwellen",
"Intermodulationsverzerrungen", "Übersprechen", etc.)
Superpositionsprinzip bildet Grundlage für Fourierzerlegung:
beliebige Wellenform kann durch Überlagerung von einfachen harmonischen Wellen
beschrieben werden (J. Fourier, 1786 - 1830, franz. Mathematiker)
1.5
Ausbreitungsgeschwindigkeit von Wellen
Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Anregung hängt nur von Eigenschaften des Mediums ab,
z. B. bei Saite:
- Spannung σ = F/A
- Massenbelegung µ = Masse/Länge bzw. Massendichte ρ = Masse/Volumen
nicht von Anregung
Aus Newtonschen Gesetzen läßt sich die Ausbreitungsgeschwindigkeit ableiten. Hierzu wird
ein (kleiner) Wellenberg betrachtet; die Seilspannung soll sich durch ihn nicht ändern.
kleines Segment ∆s wird in mitbewegtem
∆s
Koordinatensystem betrachtet:
→ Wellenberg steht still,
Saite bewegt sich mit v nach links
Masse des Segments ∆s bewegt sich mit
Geschwindigkeit v auf Kreisbahn mit
Radius r
v2
→ Zentripetalbeschleunigung: a Z =
r
Links und rechts greift jeweils Seilkraft F
an; Horizontalkomponenten heben sich
auf, Vertikalkomponenten zeigen auf M
hin → resultierende radiale Kraft
∑F
r
r
M
F
ϑ 
1 
= 2 F ⋅ sin   ≈ 2 F  ϑ  = Fϑ
2
2 
Masse des Segments:
m = µ ⋅ ∆s = µ ⋅ r ⋅ ϑ bzw.
ϑ
m = ρ ⋅ A ⋅ ∆s = ρ ⋅ A ⋅ r ⋅ϑ
F
(5)
(6)
mit Fr = m ⋅ az:
F ⋅ ϑ = μ ⋅ r ⋅ϑ ⋅
112
v2
v2 1
= ρ ⋅ A ⋅ r ⋅ϑ ⋅
⋅
r
r ϑ
(7)
Einzelne Wellenberge
→ v=
F
=
µ
σ
ρ
mit σ = F/A
(8)
= Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Störung auf einer Saite
→ keine Koordinaten-abhängigen Größen mehr, gilt auch im ortsfesten Koordinatensystem
Versuch: Welle auf Fahrradkette (SW81)
analog gilt in Gasen (longitudinale Wellen!): Schallgeschwindigkeit c s = v Gph,l =
•
K
ρ
mit K = Kompressionsmodul, ρ = Dichte
Versuch: Messung der Schallgeschwindigkeit (SW64)
E
ρ
FK
analog gilt in Festkörpern (longitudinale Wellen!): Phasengeschwindigkeit v ph,l =
•
mit E = Elastizitätsmodul, ρ = Dichte
2
Harmonische Wellen
2.1
Grundlegende Beschreibung
Ende einer Saite werde sinusförmig
auf- und abbewegt
A
0.5
y
→ sinusförmige Welle =
"harmonische Welle"
breitet sich aus
λ
1.0
0.0
0
2
-0.5
4
6
8
kx
-1.0
Auslenkung y(x) wiederholt sich nach Wellenlänge λ.
Jeder Punkt bewegt sich mit Frequenz ν der antreibenden Kraft.
Bei harmonischer Welle: während Schwingungsdauer T = 1/ν läuft Welle um λ weiter
→ Ausbreitungsgeschwindigkeit v =
λ
= ν⋅λ
T
(9)
Momentaufnahme: nur räumliche Beschreibung
Auslenkung y(x) = A ⋅ sin(kx)
mit
(10)
A = Amplitude
k = Wellenzahl, Wellenvektor
Schreitet man um x = λ weiter, muß sich als Argument der Sinunsfunktion ein um 2π höherer
Wert ergeben:
also: k ⋅ λ = 2π
2π
[k] = m-1, cm-1
(11)
λ
= 2π ⋅ Zahl der Wellen, die in 1 m bzw. 1 cm hineinpassen, "räumliche Wiederholfrequenz"
k=
113
Physik I, PD K. Thonke
Zeitliche und räumliche Entwicklung:
y( x, t ) = A ⋅ sin[ k ⋅ ( x − vt ) ] = A ⋅ sin ( kx − kvt )
y ( x , t ) = A ⋅ sin (
kx
−ω
t)



" Phase"
1-dimensionale harmonische Welle
mit Kreisfrequenz ω = k ⋅ v = 2πν =
bzw. v Ph =
(12)
2π
T
ω
Phasengeschwindigkeit
k
(13)
(12) umgeschrieben:
  x t 
y ( x , t ) = A ⋅ sin 2π  − 
  λ T 
(14)
Hier wird deutlich: Was die Schwingungsdauer T für die Zeitabhängigkeit, ist die
Wellenlänge λ für die Ortsabhängigkeit.
2.2
Energieübertragung
Gedankenexperiment: Gewicht hängt am Seil,
Wellenberg wird angeregt
→ kann Gewicht anheben
→ Energie wird übertragen
m
Massenelement aus Saite oder Seil wird betrachtet:
dieses schwingt mit Amplitude A, Kreisfrequenz ω
Situation analog zu der eines an Feder D schwingenden
Massenstücks m.
∆m
Dort gilt: D = m ⋅ ω²;
Energie = ½ DA²
1
1
analog: ΔE = Δmω2 A 2 = μω 2 A 2 ⋅ Δx
2
2
∆x
(15)
Mit ∆x = v ⋅ ∆t wird in Zeit ∆t die Energie übertragen: ∆E =
Übertragene Leistung: p =
- p ∼ A²
- p ∼ ω²
-p∼v
1
µω 2 A2 ⋅ v ⋅ ∆t
2
dE 1 2 2
= μω A ⋅ v = Intensität = Energiestromdichte
dt 2
Intensität ∼ Amplitude zum Quadrat
Bei Kugelwelle: Gesamtleistung aufintegriert über Kugelschale muß = const. sein
Kugelfläche ∼ r²
1
1
→ p( r ) ~ 2 → A( r ) ~  Signalamplitude des Senders nimmt mit (1/Abstand) ab!
r
r
114
(16)
Harmonische Wellen
1
Signal (z.B. E-Feld) wird beschrieben durch "Wellenfunktion" ϕ ( r , t ) = ϕ 0 ⋅ ⋅ sin ( ω t − k r )
r
2.3
Überlagerung und Interferenz harmonischer Wellen
Zwei Wellen mit gleicher Amplitude A, Frequenz ω, aber verschoben in Phase um δ sollen
sich überlagern:
y1 = A ⋅ sin(kx - ωt)
y2 = A ⋅ sin(kx - ωt + δ)
(17)
für t = 0:
y1 = A*sin(kx)
y2 = A*sin(kx+δ)
1.0
y
0.5
0.0
0
2
4
-0.5
6
8
kx
-1.0
δ
Bestimmter Ort herausgegriffen:
2. Welle erreicht gleiche Auslenkung wie 1. wenn ω⋅ ∆t = δ
Bestimmter Zeitpunkt herausgegriffen:
Phasendifferenz zweier um ∆x entfernten Punkte ist
k ⋅ ∆x = δ
(18)
Spezialfälle:
2
δ = 0, 2π, 4π, ... → konstruktive Interferenz
y1 + y2 = 2 ⋅ A ⋅ sin(kx - ωt)
y1, y2
yges = y1 + y2
1
y/A
•
0
0
2
4
6
8
kx
-1
-2
•
δ = π, 3π, ... → destruktive Interferenz
yges = y1 + y2 = 0
y1
1.0
y/A
0.5
0.0
0
2
4
•
allgemein: mit
-1.0
6
8
kx
-0.5
y2
 α −β
α + β:
sin α + sin β = 2 cos
 ⋅ sin 

 2 
 2 
δ
δ

y = y1 + y 2 = 2 A cos ⋅ sin  kx − ωt + 
2
2

(19)
→ wieder harmonische Welle mit gleicher Frequenz ω, gleiche Wellenzahl k
115
Physik I, PD K. Thonke
Phase gegenüber ursprünglicher Welle um δ/2 verschoben
δ
Amplitude A' = 2A ⋅ cos
2
2.4
Gruppengeschwindigkeit
Zwei Wellen mit gleicher Amplitude, aber ungleicher Frequenz sollen überlagert werden:
y = A ⋅ sin(ω1t - k1x) + A ⋅ sin(ω2t - k2x)
(20)
neue Variable einführen:
mittlere Kreisfrequenz ω =
mittlere Wellenzahl k =
1
( ω1 + ω 2 ) ; Differenzfrequenz ∆ω = ω1 - ω2
2
1
( k1 + k 2 ) ;
2
Wellenzahldifferenz ∆k = k1 - k2
Damit:
∆k 
 ∆ω
(ω t −
y = 2 A ⋅ cos
t−
x  ⋅ sin
kx)
2 2 ebene
 
Welle

(21)
langsam veränderliche
Amplitude
→ Bild wie bei Schwebung zweier Pendel:
Periodendauer einer Gruppe:
2π
Tgr =
∆ω
Schwebungs
gruppe
2
Wellenlänge einer Gruppe:
2π
λ gr =
∆k
Man verfolgt nun Gruppe mit
konstanter Gruppenphase:
ϕ gr =
y/A
1
0
-1
-2
λgr
Δω
Δk
⋅t −
⋅ x = const.
2
2
superpos4.mac by K. Th.
(22)
Für diese ist die Gruppengeschwindigkeit (Glg. (22) nach der Zeit abgeleitet):
v gr =
dx Δω
dω
=
→
dt Δk
dk
(23)
Dies ist die Geschwindigkeit, mit der sich eine Wellengruppe fortbewegt oder allgemein:
Geschwindigkeit, mit der eine Modulation einer harmonischen Welle und damit eine
Information übertragen werden kann.
ω
Unterschied zu Phasengeschwindigkeit? v Ph =
(siehe Glg. 13)
k
vgr ist nur dann = vPh, wenn ω ∼ k!
→ Näheres bei Licht-Dispersion
→ Modellexp. rotierende Spiralen, koaxial: Steigung → Wellenlänge, Drehzahl → Frequenz
116
Harmonische Wellen
Teilwellen laufen stets nach außen, trotzdem können Kreiswellen-Schwebungsgruppen nach
innen oder nach außen laufen: vPh > 0; vgr kann ≥ oder ≤ 0 sein!
Im Falle vPh ≠ vgr: Dispersion, Wellenberge werden "zerstreut" = "dispergiert"
2.5
Dopplereffekt
Bewegt sich Schallquelle oder Empfänger, wird veränderte Frequenz wahrgenommen.
Bei Schall: Frequenzänderung unterschiedlich, je nachdem ob sich Quelle oder Empfänger
relativ zu Übertragungsmedium (= Luft) bewegt;
Geschwindigkeit der Quelle = vq, Frequenz = ν0, Schallgeschwindigkeit = cs
a) bewegte Quelle
VQ < CS
Fall i) vq < cs
Wellenfronten vorn weiter zusammengeschoben,
hinten weiter entfernt
während Schwingungsdauer T = 1/ν0 rückt Quelle um
vq ⋅ T näher
'
→ λ = λ 0 − vq ⋅T = λ 0 − vq ⋅
Q
B
1
λ
= λ0 − vq ⋅ 0
ν0
cs
 vq 
λ' = λ0 1 − 
cs 

(24)
Empfänger registriert zugehörige verschobene Frequenz
ν' =
cs
c /λ
ν0
= s 0 =
> ν0
'
λ 1 − vq / cs 1 − vq / cs
(25)
VQ > CS
α
VQ = CS
1
Q
B
Q
2
B
VQ*∆t
Fall ii) vq= cs → "Schallmauer"
Fall iii)
vq > cs → Machscher Kegel
b) Empfänger bewegt sich auf Quelle zu
mit Geschwindigkeit vB
Wellenbild verschieden von Fall a) !!
für vB = 0 passieren den Empfänger n 0 =
Wellenkämme in Zeit ∆t
für vB > 0 passieren den Empfänger ∆n =
VB
c s ⋅ ∆t
λ0
B
Q
v B ⋅ ∆t
λ0
zusätzliche Wellenkämme in Zeit ∆t
117
Physik I, PD K. Thonke
'
→ ν =
 v 
n 0 + Δn 1
c  v 
=
⋅ (cs + v B ) = s 1 + B  = ν 0 1 + B  > ν 0
Δt
λ0
λ0 
cs 
cs 

c) Quelle und Empfänger bewegen sich aufeinander zu
1 + vB / cs
ν' =
⋅ ν0
1− vq / cs
d) Dopplereffekt bei Lichtwellen (≠ Dopplereffekt bei Schall)
kein materielles Übertragungsmedium!
→ nur Relativgeschwindigkeit v Quelle ↔ Empfänger geht ein
Behandlung in Relativitätstheorie;
1+ v / c
Ergebnis: ν = ν 0 ⋅
Bewegung aufeinander zu ("Blauverschiebung")
1− v / c
1− v / c
Bewegung voneinander weg ("Rotverschiebung")
ν = ν0 ⋅
1+ v / c
(26)
(27)
(28)
(29)
2.6
Stehende Wellen
Wenn Wellenausbreitungsgebiet räumlich eingegrenzt
→ an allen Rändern treten Reflexionen auf
→ mehrfache Überlagerung der Wellen
Bei bestimmten Frequenzen bilden sich stationäre Schwingungsmuster aus
→ stehende Wellen (Versuch: stehende Ultraschall-Wellen SW95)
a) beidseitig fest eingespannte Saite
stehendes Wellenfeld für Resonanzfrequenzen der Saite:
Eigenfrequenzen νn so, daß Mehrfaches der halben Wellenlänge in Gesamtlänge hineinpaßt:
L = n⋅
λn
; n∈N
2
λn =
2L
; n∈N
n
(30)
mit v = ν ⋅ λ: (= Ausbreitungsgeschwindigkeit)
νn =
v
v
=
⋅n ; n ∈ N
λ n 2L
(31)
n = 1: "Grundschwingung"; n > 1: "Obertöne"
n = Zahl der Schwingungsbäuche
n + 1 = Zahl der Schwingungsknoten
mit der Kenntnis der Ausbreitungsgeschwindigkeit aus Glg. (8):
n
σ
νn =
⋅
2L ρ
Resonanz: Saite bildet gedämpftes schwingungsfähiges System, wenn Frequenz einer
Zwangsanregung zu Eigenfrequenz paßt  max. Amplitude ergibt sich
b) Saite mit nur einem fest eingespannten Ende
118
(32)
Harmonische Wellen
Auch hier sind stehende Wellen möglich
am losen Ende: immer Schwingungsbauch
am festen Ende: immer Schwingungsknoten
Grundschwingung: L =
höhere: L =
λ
4
3 5
λ, λ,...
4 4
λ
; n = 1,3,5...
4
v
νn = n⋅
= n ⋅ν 1 ; n = 1,3,5...
4L
L = n⋅
(33)
Wellenfunktion stehender Wellen:
nach rechts laufende Welle yR überlagert sich mit nach links laufender Welle yL:
y R = A ⋅ sin ( kx − ωt )
y L = A ⋅ sin ( kx + ωt )
mit k =
2π
, ω = 2πν
λ
(34)
Σ der Wellenfunktionen:
y ( x, t ) = y R + y L = A[ sin ( kx − ωt ) + sin ( kx + ωt ) ]
(35)
Mit Additionstheorem:
α − β  α + β 
sin α + sin β = 2 ⋅ cos
 sin 

 2   2 
α = kx − ωt , β = kx + ωt
1
1
→ kx = ( α + β ) ; ωt = ( α − β )
2
2
→
y(x,t) = 2A ⋅ cos(ωt) ⋅ sin(kx)
(36)
Randbedingung: y(x,t) = 0 für x = 0, x = L für Fall a)
→ für x = 0 immer erfüllt mit sin-Welle
→ für x = L legt dies den möglichen Wellenzahlen eine Beschränkung auf!
sin (k⋅L) = 0 → (k⋅L) = n ⋅ π, n ∈ N
in Wellenlängen ausgedrückt:
λ
2π
⋅ L = n ⋅ π oder n ⋅ n = L
λn
2
damit:
y n ( x, t ) = A ⋅ cos ω n t ⋅ sin k n x
(37)
(38)
mit k n =
n
⋅ π,
L
ω n = 2 πν n
(39)
2.7
Überlagerung stehender Wellen
Im allgemeinen:
Die Bewegung eines schwingenden Systems wie einer Saite ist nicht mit einer einzigen
Schwingung beschreibbar
→ Überlagerung von Grundschwingung und Oberwellen nötig
119
Physik I, PD K. Thonke
y ( x, t ) = ∑ An cos( ω n t + δ n ) ⋅ sin k n x
n
An: Amplitude der n-ten Oberwelle
δn: Phasenverschiebung der n-ten Oberwelle
z. B. für dreieckförmig ausgelenkte Saite
→ "Fourierzerlegung":
Jede beliebige Wellenform kann durch Überlagerung von reinen Sinus- und CosinusSchwingungen dargestellt werden.
(gilt auch für 3-dimensionale Schwingungen)
Überlagerung von Sinusschwingungen zu einer Sägezahnschwingung.
Untere Hälfte: die in Amplitude mit 1/ν abnehmenden Teilwellen.
Obere Hälfte: die resultierende Summe
(Bild aus Halliday/Resnick, Physik)
120
(40)
Harmonische Wellen
2.8
Die Wellengleichung
Wellenfunktion y(x,t) = Lösung einer Differentialgleichung, die als Wellengleichung
bezeichnet wird
→ kann aus Newtonscher Bewegungsgleichung hergeleitet werden
Massensegment aus Saite betrachten:
Auslenkung sei klein
→ ϑ1, ϑ2 klein
∆x
F2
ϑ2
Masse = µ ⋅ ∆x
∂2y
∂t 2
partielle Ableitung, d.h. es wird nach t
abgeleitet, dabei das 2. Argument x
festgehalten
y
Beschleunigung = y =
ϑ1
F1
resultierende Kraft - Vertikalkomponente:
ΣF = F ⋅ sin ϑ2 - F ⋅ sin ϑ1
(41)
für kleine ϑ: sin ϑ ≈ tan ϑ
→ ΣF = F(sin ϑ2 - sin ϑ1) ≈ F(tan ϑ2 - tan ϑ1)
∂y
=S
tan ϑi = Steigung der Kurve =
∂x
also: ΣF = F(S2 - S1) = F ⋅ ∆S (∆S = Abweichung der Steigungen links/rechts)
(42)
nach Newton:
F⋅
F ⋅ ∆S = µ ⋅ ∆x ⋅
∂ 2y
∂t 2
(43)
∆S
∂ 2y
=µ⋅ 2
∆x
∂t
∂y
, Kettenregel:
∂x
∆S ∂S ∂ ∂y ∂ 2 y
lim
=
=
=
∆x →0 ∆x
∂x ∂x ∂x ∂x 2
Grenzübergang: ∆x → 0 mit S =
∂ 2y μ ∂ 2y
= ⋅
∂x 2 F ∂t 2
-
Wellengleichung für gespannte Saite
(44)
gültig für kleine Auslenkungen
stellt Zusammenhang her zwischen 2. Ableitung nach Ort (= Krümmung) und 2.
Ableitung nach Zeit (= Beschleunigung)
Funktionen, die die Wellengleichung lösen, sind die Wellenfunktionen
Test mit y = sin (x - vt)
∂y
∂ 2y
= cos( x − vt ) ,
= −sin ( x − vt )
∂x
∂x 2
∂y
∂ 2y
= − v ⋅ cos( x − vt ) ,
= − v 2sin ( x − vt )
2
∂t
∂t
(45)
121
Physik I, PD K. Thonke
in (44):
− sin ( x − vt ) = −
v2 =
→
F
→v=
µ
µ 2
⋅ v ⋅ sin ( x − vt )
F
F
µ
(46)
also:
Ansatz (45) löst die Wellengleichung, wobei sich für die zunächst unbekannte Ausbreitungsgeschwindigkeit v die Bedingung (46) ergibt.
2.9
Das Modell der linearen Kette
→ einfachstes Modell für Kristall
Nummerierung:
n-1
D

sn−1
a
n+1
n

sn
n+2

sn+1
Koord.:
x
(n-1)a
na
(n+1)a
∞ viele Massenpunkte m sind durch gleiche Federn D elastisch gekoppelt.
Ruhe-Abstand jeweils = a ("Gitterkonstante") (→ dann sind Federn entspannt)

S n = Auslenkung des n-ten Körpers aus Ruhelage
hier: longitudinale Auslenkungen werden betrachtet; für transversale im Prinzip alles gleich!
Bewegungsgleichung für n-ten Körper:
WW mit Nachbarn links und rechts muß berücksichtigt werden



 
m ⋅ Sn = D Sn +1 − S n − D S n − Sn −1
 
vektoriell:
(
WW mit rechtem
Nachbarn
)
(
)
WW mit linkem
Nachbarn
(47)
→ WW = Federkonstante D ⋅ Differenz der Auslenkungen
skalar: m ⋅ Sn = D( S n +1 + S n −1 − 2S n )
(48)
Problem: ∞ viele, miteinander gekoppelte Differentialgleichungen!
Aus Exp.: Ansatz mit harmonischer Welle bietet sich an:
S = A ⋅ sin (ωt - kx)
(49)
S ist nur dort definiert, wo tatsächlich Massenpunkte m sitzen!
→ also nur für Stellen x = n ⋅ a, n ∈ N
(49) genauer: Sn = A ⋅ sin (ωt - k ⋅ n ⋅ a)
(50)
d2
Ableitung 2 : S = −ω 2 ⋅ A ⋅ sin ( ωt − kna )
dt
(51)
122
Harmonische Wellen
Auslenkungsdifferenzen: Sn+1 + Sn-1 -2Sn =
 









= Asin  ω
t
−
kna
−
ka
+
sin
ω
t
−
kna
+
ka
−
2
sin
ω
t
−
kna








 




 
−
β
+
β
α


α


α

= A{ 2 ⋅ sin α cos β
− 2 ⋅ sin α }
= 2 ⋅ A ⋅ sin α { cos β − 1}
= 2 ⋅ A ⋅ sin (ωt − kna ){ cos( ka ) − 1}
in (48) eingesetzt:
−ω 2mA ⋅ sin ( ωt − kna ) = D ⋅ 2 A ⋅ sin ( ωt − kna ){ cos( ka ) − 1}
(52)
A ⋅ sin ( ωt − kna ) fällt raus → Ansatz ergibt wirkliche Lösung
übrig bleibt Bedingung für ω(k):
2D
( 1 − cos ka ) = 4 D ⋅ sin 2  ka 
m
m
 2
ω2 =
→ω= 2⋅
(53)
2D
 ka 
⋅ sin  
m
 2
(54)
2D
= ω 0 = Frequenz, wenn Nachbarn
m
festgehalten würden
→ m wird durch 2 Federn D festgehalten
1.5
sqrt(2)
1.0
aufgetragen:
0
ω/ ω
"Dispersionsrelation":
Abhängigkeit der Frequenz von Wellenzahl k
(bzw. inverser Wellenlänge)
0.5
hier ~ linear
0.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
k/(π/a)
λ = ∞ .... 2a
ω dω
=
= const.
k dk
Phasengeschwindigkeit = Gruppengeschwindigkeit (= Schallgeschwindigkeit)
- bei kleinem k: ω ~ k,
bei k →
π
:
a
ω
dω
> 0, aber
= 0!
k
dk
Phasengeschwindigkeit > 0, aber Gruppengeschwindigkeit = 0!
→ Welle kann sich nicht ausbreiten
Wie sieht bei k max =
π
die Schwingung aus?
a
123
Physik I, PD K. Thonke
k=
π 2π
2π
=
→λ=
→ λ = 2a
a
λ
k
→ kürzeste realisierbare Wellenlänge, aufeinanderfolgende Atome schwingen gegenphasig!
(Welle mit noch größerem k (d. h. kürzerem λ) wäre nicht mehr sinnvoll!)
1.0
0.5
s
0.0
0
1
2
3
4
5
x/a
-0.5
-1.0
Experiment: Dispersion von Biegewellen auf Stahlband (SW73)
Ein ungewöhnlicher Fall: Hohe Frequenzen laufen hier schneller  hohe Töne von Impuls
kommen zuerst an!
124
Optik
Experimentalphysik I für Ingenieure
F Optik
1
Grundlegendes
1.1
Licht
Korpuskeltheorie (Newton)
↔
Wellentheorie (Huygens, Hooke)
Young, Fresnel
Fresnel (1788 - 1827): geradlinige Ausbreitung beruht auf den sehr kurzen Wellenlängen
Foucault (1850): c in Wasser kleiner als in Luft → Teilchentheorie widerlegt
Maxwell (1860): Theorie des Elektromagnetismus
Hertz (1887): exp. Bestätigung der Maxwell-Theorie
aber: bei WW Licht mit Materie (wie photoelektr. Effekt) ist wieder der Teilchencharakter
wichtig → Photonen, Quantisierung E = h ⋅ ν
Welle-Teilchen-Dualismus
Für λ < Größe von Öffnungen und Hindernissen in Strahlengang
→ geradlinige Ausbreitung reicht zur Beschreibung
→ "geometrische Optik"
1.2
Lichtgeschwindigkeit
Experimentelle Bestimmung:
- 1875 Ole Römer, astronomische Messungen; Umlaufzeit des Jupitermondes Io
(Umlaufzeit Jupiter groß)
B
Jupiter
Erde
A
C
Io
Sonne
Umlaufzeit Io:
τ = 42,5 h
D
ist Erde auf Weg A → B → C
wird τ länger,
ist Erde auf Weg C → D → A
wird τ kürzer
→ Effekt der endlichen Laufzeit des Lichtes und der Relativbewegung der Erde
Ergebnis Römer: c = 2,3 ⋅ 108 m/sec (im Web: siehe z.B. fsg-marbach)
- 1849 Arnaud Fizeau, nichtastronomische Messung (Zahnrad-Zerhacker)
verbessert durch Foucault
- 1880 – 1930 verbessert durch Michelson
1
Physik I, PD K. Thonke
- seit 1983 Lichtgeschwindigkeit im SI-System festgelegt auf
c = 299.792.458 m/s (im Vakuum)
also c ≈ 3 ⋅ 108 m/s
Definition [m] wurde über Einheit [s], c vorgenommen.
Zusammenhang mit elektromagnetischen Naturkonstanten:
1
ω
= = Phasengeschwindigkeit (siehe E-Dyn.)
ε 0 ⋅ µ0 k
c=
Hintergrund: Elektromagnetische Wellen sind Lösung der Maxwell-Gleichung (im Vakuum)
1
ε 0 ⋅ ε r ⋅ µ0 ⋅ µr
in Materie: c =
2π
= 2πν~ "räumliche Wiederholfrequenz" ⋅ 2π
λ
k=
2π
= 2πν "zeitliche Wiederholfrequenz" ⋅ 2π
τ
mit τ = Periodendauer, λ = Wellenlänge
ω=
 
Elektromagnetische Wellen sind transversal polarisiert, d. h. immer E , H ⊥ Ausbreitungsrichtung (→ Unterschied zu Schallwelle!)
1.3
Licht als "Teilchen"
Quantenphysik beschreibt Licht als quantisierte "Energiepakete"
elektromagn. Strahlung → "Photonen"
E = h ⋅ν = ω
(1)
mit h = 6,626 ⋅ 10-34 Jsec
eVµm
bzw. h = 1,24
λ
(1 eV = Energie, die ein Elektron hat nach Durchlaufen einer Potentialdifferenz von 1V)
Leistung = Zahl der Photonen/Zeit ⋅ Energie pro Photon
p=
N
⋅ hν
t
(2)
Spektralbereiche
Sichtbar: (VIS) λ =
E≈
400 nm ... 700 nm
blau
rot
3 eV ... 1.8 eV
grün: ≈ 500 nm ≈ 2,5 eV; ν ≈ 1015 Hz
λ > 800 nm:
λ < 400 nm:
2
NIR = nahes Infrarot
MIR = mittleres Infrarot
FIR = fernes Infrarot
UV = ultraviolett
Optik
1.4
Das Huygenssche Prinzip, Wellenfeldkonstruktion
Wellenoptik: Konstruktion von Wellenfeldern, die durch WW Licht ↔ Objekte (Blenden,
Spalte, Grenzflächen) entstehen.
Im Prinzip: Wellen-Gleichung mit Randbedingung lösen → zu kompliziert
einfacher: ungestörte Superposition + Huygens-Prinzip
•
Prinzip der ungestörten Superposition:
aufeinandertreffende, sich durchdringende Wellen überlagern sich ungestört:
ψges = ψ1 + ψ2 + ...
- gilt nicht in gewissen Medien bei hohen Intensitäten → nichtlineare Optik
•
Huygens-Fresnelsches Prinzip:
Jeder Punkt einer bestehenden Wellenfront ist Ausgangspunkt einer neuen kugelförmigen
Elementarwelle mit gleichem (ν, λ) wie primäre Welle. Die Überlagerung aller Elementarwellen ergibt die resultierende Welle.
- für Überlagerung Amplitude + Phase berücksichtigen!
Beispiele für Konstruktion: (nach Tipler)
Huygenssche Konstruktion:
Ausbreitung einer
a) ebenen Welle
b) kugelförmigen Welle
2
Strahlenoptik
Für große Objekte d >> λ:
phänomenologische Beschreibung der
Lichtausbreitung mit einfachen "geometrischen"
Gesetzen möglich → "Strahlenoptik"
Ausbreitung beschrieben durch
Wellenfront-Normale = Propagationsrichtung →
geradlinig
a)
b)
Vorsicht: in Medium evtl. falsch: Ausbreitung nicht kolinear mit Energieströmung
Eng begrenztes Bündel → ≈ parallele, gerade Wellenfronten → "Strahlen"
Für kleine Objekte d ≤ λ:
Wellennatur des Lichtes tritt hervor (z. B. Beugung am Spalt!)
2.1
Reflexion
Trifft Licht auf eine (ebene) Grenzfläche zwischen 2 Medien mit verschiedenen optischen
Eigenschaften, dann wird Teil des Lichtes
- reflektiert
- transmittiert
3
Physik I, PD K. Thonke
I0
z. B. Licht trifft auf Glasplatte
IR
α
.
α
IT
.
Mit Huygens-Konstruktion (siehe Bild oben, nach Paus/Physik) kann gezeigt werden:
"Reflexionsgesetz" α = α'
(3)
Einfallswinkel = Ausfallswinkel
Bei senkrechtem Lichteinfall auf Grenzfläche gilt:
Intensität des reflektierten Strahls IR / Intensität des einfallenden Strahls I0:
I R  n1 − n 2 

=
I 0  n1 + n2 
2
n1, n2 = Brechzahl der beiden Medien
(4)
(ableitbar aus Maxwell-Gleichung + Randbedingung)
z. B. Luft/Glas-Grenzfläche: n1 = 1, n2 = 1,5
I
1
=
→
→ nur 4 % werden reflektiert
I 0 25
Reflexion an ebener Fläche
→ "reguläre Reflexion" → Spiegelbild
Konstruktion Spiegelbild:
Reflexion an rauher Fläche: "diffuse
Reflexion", Streuung"
P
Spiegel
(Bilder nach Tipler, Physik)
P'
physikalischer Mechanismus der Reflexion:
Atome des reflektierten Mediums absorbieren Licht, strahlen es mit gleicher Frequenz wieder
in alle Richtungen ab
→ Huygens-Konstruktion beschreibt Überlagerung dieser Wellen
4
Optik
2.2
Brechung
Anteil des Lichtes, der eindringt bzw. reflektiert wird, hängt in komplizierter Weise ab von
- Einfallswinkel α
 
- Orientierung des E, H -Feldes (Polarisation)
- Lichtgeschwindigkeit in den beteiligten Medien:
Brechzahl n =
c
cm
=
Lichtgeschw. im Vakuum
Lichtgeschw. im Medium
(5)
Mit Huygens folgt für ebene Welle:
(nach Paus, Fig.50.6):
e
Medium 1:
α1
n1
B
D
A
α2
n1
Medium 2:
n2>n1
C
α1
n2
"gebrochener Strahl"
α2 α < α
2
1
a
in Zeit ∆t läuft Welle
- in Medium 2 die Strecke AC
- in Medium 1 die Strecke BD
im Medium 2: ∆t =
AC
AC
AD
= n2 ⋅
= n2 ⋅
⋅ sin α 2
c2
c
c
im Medium 1: ∆t =
BD
BD
AD
= n1 ⋅
= n1 ⋅
⋅ sin α1
c1
c
c
→ n1 ⋅ sin α1 = n2 ⋅ sin α 2
(6)
„Snelliussches Brechungsgesetz“
- Medium mit größerem Brechungsindex heißt "optisch dichter"
- dort erfolgt Brechung des Lichtstrahls zum Lot hin
- dort ist Wellenlänge λ um Faktor n kleiner als im Vakuum
5
Physik I, PD K. Thonke
Lichtquelle sei im optisch dichteren Medium:
n1
α1
αK
n2 > n1
α2
zunehmender Winkel α1 → zunehmender Anteil wird reflektiert
abnehmender Anteil wird transmittiert
Versuche: O68, O73
Für bestimmten Winkel α2 wird α1 = 90° → Totalreflexion
kritische Winkel αk: α1 = 90° → sin α1 = 1
mit (6):
sin α k =
n1
n2
(7)
Bsp.: Für typische Glassorte sei n = 1,5; Glas grenze an Luft (n = 1)
→ sin α k =
1
→ α k = 42°
1,5
45°
- dies bedeutet für den Strahlengang in
einem Prisma:
45°
- wird in Glasfaser ausgenutzt:
- Spiegelung an heißer Luftschicht auf Straße:
bei allmählicher Änderung des Brechungsindex: "Lichtstrahl wird verbogen"
6
Optik
- über Bestimmung des Winkels der Totalreflexion kann Brechungsindex bestimmt werden:
"Refraktometer"
typ. Werte für n:
Material
Luft
H20
CaF2
NaCl
Quarzglas (SiO2)
Diamant
Silizium
n
1,000277
1,333
1,434
1,544
1,458
2,4
≈ 3,5
7
Physik I, PD K. Thonke
2.3
Dispersion
Brechungsindex (und damit Lichtgeschwindigkeit) hängt für die meisten Stoffe im sichtbaren
Bereich von λ ab:
n
typ.: n nimmt mit λ ab!
→ rotes Licht wird weniger gebrochen als
1,7
blaues
1,6
1,5
3.0
Amplitude (F 0/(mω0)
Flintglas
Quarzglas
b/(mω0 ) =
2.5
2.0
0.4
1.5
400
violett
1.0
500
600
700
rot
λ (nm)
0.5
0.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
3.5
3.0
Phase φ
2.5
mikroskopische Erklärung:
Lichtwelle zwingt Atome (d.h. Kerne +
Elektronen) zu erzwungenen Schwingungen;
jedes Atom ist el. Dipol; sendet wieder Licht
mit gleicher Frequenz aus.
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
0.0
0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
1.0
1.5
2.0
n (ω) ~ d2φ/d2ω2
20
Dipol verhält sich wie der in Mechanik
betrachtete gedämpfte Oszillator
10
0
-10
-20
ω/ω 0
über breiten Bereich betrachtet:
für NaCl
bei λ ca. 30µm können
Ionenschwingungen (= „optische
Phononen“) angeregt werden.
n
4
3
VIS
2
1
0,1
8
1
10
100
λ(µm)
Optik
2.4
Das Prisma
gesucht:
δ = totale Strahlablenkung
Scheitelwinkel
γ
mit Brechungsgesetz (6) :
(Luft: n = 1)
sin α 1 = n ⋅ sin β1
sin α 2 = n ⋅ sin β2
α1
(8)
C
.
β1
A
β2
γ
Geometrie:
δ = ( α 1 − β1 ) + ( α 2 − β 2 )
= ( α 1 + α 2 ) − ( β1 + β 2 )
.
δ
D
B
α2
(9)
Dreieck ABD:
γ = Außenwinkel → γ = β1 + β2
b (Basis)
(8) für kleine Winkel αi: αi ≈ n ⋅ βi
→ α1 + α2 ≈ n ⋅ (β1 + β2) = n ⋅ γ
δ ≈ ( n − 1) ⋅ γ
damit (9): Strahlablenkung
exakte Rechnung liefert:
(10)
(
δ = δ( α1 ) = α1 − γ + arcsin sin γ n 2 − sin 2 α1 − cos γ ⋅ sin α1
)
(11)
hier: δ hängt von Einfallswinkel α1 ab!
δ wird minimal, wenn der Strahl symmetrisch durch das Prisma läuft!
Ablenkwinkel durch Prisma
50
48
Ablenkwinkel delta
- Glg. (11) kann zur Bestimmung von n
verwendet werden
- ist n = n(λ) - liegt also Dispersion vor kann das Prisma zur Spektralzerlegung
von Licht verwendet werden
→ dispersives Element in
Monochromator, zur
Wellenlängenselektion in Lasern
dn
⋅b
spektrale Auflösung ist dabei ~
dλ
n = 1.5
0
γ= 60
46
44
42
40
38
Versuche: Spektrum von Bogenlampe (O11)
und Spektrum von Quecksilberlampe (AT9)
36
30
40
50
60
70
80
Einfallswinkel α1
9
Physik I, PD K. Thonke
3
Geometrische Optik
3.1
Ebene Spiegel
Beobachter sieht im Spiegel ein virtuelles Bild.
virtuell: keine Strahlen gehen wirklich von P' aus
P
P' = Bildpunkt
Spiegel
2D-Spiegelbild: seitenverkehrt
P'
3D-Spiegelbild:
z dreht Richtung um!
y'
x'
→ aus rechtshändigem Koordinatensystem wird
linkshändiges
z'
y
x
z
Gegenstand
Spiegelbild
3.2
Parabolspiegel
Im Querschnitt: Parabel; rotationssymmetrisch
Eigenschaft Parabel:
Tangente T und Normale N
sind Winkelhalbierende für
den Winkel 2α zwischen
dem Brennpunkt-Radiusvektor R und dem Durchmesser D, der durch den
Berührungspunkt P geht.
y
Tangente
T
P(xp,yp)
β
Brennpunkt
F
αα
β = 90° - α
Normale
"Durchmesser"
D
N d = achsparalleler Strahl
BrennpunktradiusVektor R
Achse
x
→ Durch Reflektion wird achsparalleler Lichtstrahl nach Brennpunkt F gespiegelt.
10
Optik
Mathematische Grundbeziehungen:
Parabelgleichung
y2 = 2px (nach rechts geöffnete Parabel)
→ y = ± 2 px
→
(12)
(13)
dy
2px
y
=±
=
dx
2x
2x
(14)
2
 x P   a 2 p 
Punkt P auf Parabel: P =   = 

 y P   a

Lage des Brennpunktes: xF = P/2
Krümmungsradius im Scheitel: p
Anwendung:
- Scheinwerfer, Lampenreflektor, Satellitenantenne
P
2
→ divergenter Lichtstrahl
d<f =
bei exakter Justage:
punktförmiger Quelle
→ paralleler Lichtstrahl
-
in ebener Ausführung: Kollektor für Hocheffizienz-Solarzellen
- wellenlängen-unabhängige Abbildungsoptik mit außeraxialen Paraboloiden
Bildgröße
B f2
=
=
Gegenstandsgröße G f1
(15)
Saubere Abbildung nur für Punkte, die nicht
zu weit von optischer Achse entfernt sind!
Versuch: Streichholz über Parabolspiegel mit
Halogenlampe anzünden (O13)
11
Physik I, PD K. Thonke
3.3
Lichtbrechung an kugelförmigen Oberflächen
Licht geht von Punkt P aus, trifft auf kugelförmigen Körper mit n2 > n1.
A
θ1
P
l
α
θ2
β
n1
P'
C Mittelpkt.
r
g
γ
b
n2>n1
Snellius: n1 ⋅ sin θ1 = n2 ⋅ sin θ2
Beschränkung auf achsnahe Strahlen: sin θ ≈ θ
A
Geometrie:
C
P
 θ1 = α + β
 β = θ2 + γ ≈
A
C
(16)
n1
⋅ θ1 + γ
n2
P'
n2 β ≈ n1 (α + β) + n2 γ
(16) in (17); |⋅ n2:
n1 α + n2 γ ≈ β (n2 - n1)
für achsnahe Strahlen: α ≈
damit:
(18) |:l 
(17)
(18)
l
l
l
; β≈ ; γ ≈
g
r
b
n1 n2 n2 − n1
+
=
g b
r
(19)
→ achsnahe Strahlen treffen sich in Punkt P'; dort entsteht ein reelles Bild von P
Abbildungsmaßstab:
Snellius:
n1 sin θ1 = n2 sin θ2
Geometrie:
tan θ1 =
G
B
; tan θ 2 = −
g
b
achsnahe Strahlen: tan θ ≈ sin θ
→ n1 ⋅
12
G
B
= n2 ⋅ −
g
b
B
Optik
Abbildungsmaßstab: V =
3.4
B n1 b
= ⋅
G n2 g
(20)
Dünne Linsen
3.4.1
Bikonvexlinsen
Sehr dünne Linse, Brechzahl n,
Krümmungsradien r1, r2, Brechung
an jeder Oberfläche wird getrennt
betrachtet
Licht wird an 1. Oberfläche
gebrochen; Lichtstrahlen laufen so
weiter, als kämen sie von virtuellem
Bildpunkt P1' (hier b1 < 0).
mit (19):
1 n n −1
+ =
g b1
r1
n0=1
n >1
g
P'1
b
P
P'
b1
g2
(21)
Licht wird an zweiter Oberfläche wieder gebrochen; P1' ist jetzt virtueller Gegenstand.
Bei dünner Linse: |g2| ≈ |b1|
in hier gezeichnetem Fall: g2 ≈ -b1
wieder (19):
n
1 1− n
+ =
−b1 b
r2
(22)
(21) + (22):
1 1
+ = ( n − 1)
g b
 1 1
⋅ − 
 r1 r2 
(23)
Gleichung verknüpft Gegenstandsweite, Bildweite, Brechungsindex, Krümmungsradien r1, r2.
Jetzt Brennweite f einführen:
f = Bildweite für parallel einfallende Strahlen, also für g → ∞
mit (23):
 1 1
1
= ( n − 1) ⋅  −  "Linsenmacher-Formel"
f
 r1 r2 
(24)
→ beschreibt Eigenschaften einer dünnen Linse
1
wird auch als "Brechkraft" oder "Brechwert" bezeichnet:
f
z. B. Brechkraft von 5 Dioptrien (5 dpt) heißt
1
 1
= 5  → f = 0,2 m = 20 cm
 m
f
13
Physik I, PD K. Thonke
 1
Brechkraft umso größer, je größer Krümmung  ~  der beiden Oberflächen. Jede Linse hat
 r
zwei Brennpunkte, die symmetrisch links und rechts der Linsenebene liegen (auch bei
ungleichem r1, r2 in der Näherung der dünnen Linse!)
mit (24) wird aus (23):
1 1 1
+ = "Abbildungsgleichung", "Linsengleichung"
g b f
(25)
Betrachtung der Wellenfronten:
Die bisher beschriebene Linse mit zwei nach außen gewölbten Flächen nennt man BikonvexLinse.
Paralleles Licht wird in Brennpunkt vereinigt → "Sammellinse"
Bildkonstruktion:
ausgezeichnete Strahlen:
 Mittelpunktstrahl (bei dünner Linse Durchgang ohne Versatz)
 achsparalleler Strahl geht durch Brennpunkt
 Brennstrahl wird zum Parallelstrahl
Letztendlich vereinigen sich alle Strahlen, die durch die Linse hindurchgehen, zum Bildpunkt;
für diese 3 herausgegriffen Strahlen ist aber der Strahlengang besonders leicht zeichenbar
(→ Fangfrage: Was passiert, wenn Gegenstand > Linsendurchmesser?)
Aus Strahlensatz mit 0 als Zentrum folgt:
Vergrößerung V =
14
B b
=
G g
(26)
Optik
Strahlensatz mit Spitze von G als Zentrum:
f g−f
=
b
g
1 1 1!
 1
 ⋅  → + = = (25)
b g f
 f
→ die geometrische Konstruktion erfüllt die Linsengleichung
Was passiert, wenn |g| < |f|?
3
Beobachter sieht virtuelles Bild
B → Lupe (siehe später)
2
1
B
F1
G
F2
allg. Fälle:
1)
2)
3)
4)
5)
g > 2f
g = 2f
f < g < 2f
g=f
g<f
3.4.2
→
→
→
→
→
verkleinertes, umgekehrtes, reelles Bild
1:1-Abbildung, umgekehrtes, reelles Bild
vergrößertes, umgekehrtes, reelles Bild
Bild "im Unendlichen"
vergrößertes, aufrechtes, virtuelles Bild
f < b < 2f
b = 2f
b > 2f
b→∞
b<0
Bikonkavlinse
Strahlengang
Wellenfront
Gleichungen (24) , (25) behalten Gültigkeit!
Krümmungsradien r1, r2 sind jetzt aber negativ zu rechnen
→ auch f wird negativ! → virtuelles Bild entsteht (aufrecht)
15
Physik I, PD K. Thonke
Bildkonstruktion:
→ Beobachter sieht aufrechtes, virtuelles Bild B (verkleinert)
3.4.3
Linsenformen
Linsenmacherformel (24) erlaubt
verschiedene Formen für gleiche
Fokallänge f:
SammelLinsen
Sammellinsen: in Mitte dicker als am
Rand
Aber: Unterschiede in Abbildungsfehlern!
Zerstreuungslinsen: in Mitte dünner als
am Rand
bikonvex
Fresnelsche Stufenlinse
für großflächige Linsen,
materialsparend
(z. B. in Tageslichtprojektoren)
16
konkav-konvex
(z.B. Brille)
ZerstreuungsLinsen
bikonkav
Sonderform: Fresnelsche Stufenlinse
plankonvex
plankonkav
konkav-konvex
Optik
3.4.4
Linsensysteme
Mehrere dünne Linsen hintereinander, z. B. zur Korrektur von Abbildungsfehlern
B
g
b
B wird Bildpunkt von A → b = f2, g = f1
(25) liefert als Brennweite für das Gesamt-Linsensystem
1 1 1 1 1 
 = + = +  "Addition der Brechkräfte"
 f g b f1 f2 
3.5
(27)
Dicke Linsen
d
H1
H2
G
F2
F1
f1
g
f2
b
Strahlversatz in Linse kann nicht mehr vernachlässigt werden. Anstelle der Mittelebene
werden 2 Hauptebenen zur Konstruktion des Strahlengangs verwendet:
Zu jedem Brennpunkt gehört eine zugehörige Hauptebene (≠ Mittelebene). Strahl durch
Brennpunkt läuft jeweils ab zugehöriger Hauptebene horizontal weiter; Mittelpunktstrahl:
Parallelversatz. Bei unsymmetrischen Linsen (r1 ≠ r2) wird f1 ≠ f2.
Experimentelle Ermittlung der Hauptebenen:
- Lichtstrahl || Achse durch Linse schicken, austretenden Strahl rückwärts verlängern
→ Schnittpunkt = Lage der Hauptebenen
bei symmetrischer Bikonvex-Linse (r1 = r2):
17
Physik I, PD K. Thonke
d
von nächstem Scheitelpunkt,
2n
z. B. n = 1,5 → Hauptebenen liegen auf je 1/3 der Dicke.
Jede Hauptebene hat Abstand
Modifizierte Linsenmacher-Formel für Linse mit Dicke d:
 1 1 n −1 d 
1

= ( n − 1) − −
⋅

f
r
r
n
r
r
 1
2
1 2
für dünne Linsen:
18
d
→0
r1 ⋅ r2
(28)
→ wieder Gleichung (24)
Optik
4
Optische Instrumente
4.1
Die Lupe
Einfachstes optisches Instrument: nur Sammellinse
Funktion: Gegenstand kann näher an Auge gebracht werden und ist trotzdem scharf zu sehen
→ G erscheint unter größerem Sehwinkel ε
ohne Lupe:
mit Lupe:
G
ε0
B
S
0
= deutliche Sichtweite
ε0 =
G
s0
Gegenstand befinde sich in Brennweite
Für Lupe unmittelbar an Auge: ε ≈
G
f
Brennweite Lupe f < s0
→ virtuelles Bild im Unendlichen
→ Auge akkomodiert (entspannt) auf ∞
Vergrößerung = Winkelvergrößerung
ε s0
Sehwinkel mit Instru ment
Vl =
=
=
ε0 f
Sehwinkel ohne Instr ument
(29)
unterscheiden:
Abbildungsmaßstab V =
Vergrößerung VL =
b B
=
→ eindeutig festgelegt
g G
ε
→ Vereinbarungssache, da s0 nicht allgemeingültig!
ε0
• Gegenstand kann noch etwas dichter als f an die Lupe herangeschoben werden (solange
Auge die Strahlen noch fokussieren kann, d.h. virtuelles Bild darf nicht dichter als Nahpunkt an Auge heranrücken) → ε kann weiter gesteigert werden; VL' wird max. VL + 1
• Einsatz von Lupen auch in Mikroskopen und Teleskopen als Okulare zur vergrößerten
Betrachtung des von anderem Linsensystem erzeugten Bildes (gutes Okular: komplettes
Linsensystem, korrigiert)
19
Physik I, PD K. Thonke
4.2
Das Mikroskop
(Sehwinkel für nahe Gegenstände vergrößern)
max. Vergrößerung mit Lupe: VL ≈ 10
höhere Vergrößerung → Mikroskop
vereinfachtes Schema:
B
Objektiv erzeugt reelles, vergrößertes (invertiertes) Zwischenbild B (g > fob)
Lateralvergrößerung VOB =
mit
mit
B
t
= tan β =
G
fob
(30)
t = "Tubuslänge" = Abstand der Brennpunkte von Okular und Objektiv
Okular (als Lupe) wird das Zwischenbild B betrachtet; so eingestellt, daß Auge auf ∞
akkomodiert
(29) → Winkelvergrößerung VL =
s0
fok
→ Gesamtvergrößerung Mikroskop: VM = VOB ⋅ VL =
t s0
⋅
fob fok
reales Mikroskop: Objektiv und Okular sind Linsensysteme
typ. max. Werte: t ≈ 200 mm
s0 ≡ 250 mm
fob ≈
4 mm
fok ≈ 30 mm
Problem:
Vergrößerung VM ↑ → Lichtmenge ↓
→ intensive Beleuchtung erforderlich (→ Mikroskopkondensor)
Versuch: Mikroskop (O81)
20
→ VM ≈ 420 (bis zu ≈ 1000 erreichbar)
(31)
Optik
4.3
Das Teleskop (Fernrohr)
Sehwinkel für entfernte Gegenstände soll vergrößert werden. Auch hier im Prinzip 2 Linsen:
Objektiv und Okular
Schema für "astronomisches Fernrohr", bestehend aus 2 Sammellinsen
B1
Objektiv erzeugt umgekehrtes, reelles Bild B1,
da Gegenstandsweite g → ∞, wird Bildweite b = fob
Mit Okular als Lupe wird dieses Bild betrachtet (Bild steht auf dem Kopf!)
Anordnung so, daß B1 im Brennpunkt von Okular ist: Linsenabstand = fob + fok
Vergrößerung des Teleskops VT =
B
fok
−B
ε obj ≈ tan εobj =
fobj
ε ok ≈ tan ε ok =
VT =
ε ol
ε obj
− fobj
fok
(32)
→ fobj möglichst groß wählen → um genügend Licht einzusammeln, muß auch ∅ des
Objektives groß sein (erfaßter Raumwinkel ist maßgebend!)
Wegen Schwierigkeit, große Linsen fehlerfrei herzustellen → Spiegelteleskop
weitere Bauformen:
• Galileisches Fernrohr: Okular = Zerstreuungslinse
→ kürzere Bauweise (Okular schon vor Brennpunkt von Objektiv!)
→ Bild steht jetzt aufrecht
• Keplersches oder terrestrisches Fernrohr:
aufrechtes Bild durch 3. Sammellinse
Zwischenlinse ZL macht 1:1 Bildumkehr → aber große Länge
21
Physik I, PD K. Thonke
• Prismenfernglas:
2 Dachkantprismen (4 × Totalreflektion) bewirken Bildumkehr und Faltung des
Strahlenganges
→ kurze Bauweise
Versuch: terrestrisches Fernrohr (O65)
4.4
Die Kamera
veränderliche
Blende
Objektiv: f fest (typ. 50 mm) oder
variabel ("Zoom")
Abstand zu Film wird verändert
Lichtmenge auf Film wird reguliert
durch
~ Auge
typ.
45°
Film
Objektiv
(Linsensystem)
- Belichtungszeit
- Blendenöffnen
Filmgröße: Kleinbild 24 × 36 mm²
→ erfaßter Winkelbereich typ. 45
° für f = 50 mm; nimmt ab für
Verschluß
größeres f
Blende: a) regelt Lichtmenge
b) bestimmt Tiefenschärfe
zu a):
ges. Lichtmenge ∼ Fläche der Öffnung ∼ (Durchmesser = D)²
2
1

 ≈  1
Bildhelligkeit ∼ 

 
 Bildweite 
f
Licht
Flä che
2
(wg. Energieerhaltung!)
2
 D
→ Bildhelligkeit ∼   , →erforderliche Belichtungszeit ~
f
f 
 
D
2
D = "relative Öffnung" des Objektivs
f
z. B. 1 : 3.5; Kehrwert
f
="Blendenzahl" (hier. 3.5)
D
Blendeneinstellungen so gestaffelt, daß sich Belichtungszeit jeweils um Faktor 2 ändert
→ D ändert sich um Faktor 2
zu b): zwei verschieden weit entfernte Punkte P1, P2 sollen abgebildet werden
22
(33)
(34)
(35)
Optik
Film
große Blende:
P1
P2
P 2'
P1 '
von beiden Punkten
Fleck mit ∅1
∅1
kleine Blende:
Film
∅2 < ∅1
P1
P2
P1'
P 2'
auf Film entsteht kleinerer
Fleck ∅2 < ∅1
4.5
Das Auge
4.5.1
Aufbau
∅ ≈ 25 mm
von vorn:
• Hornhaut
• vordere Augenkammer, gefüllt mit Augenflüssigkeit
• Augenlinse, verstellbar in Krümmung mit Ziliarmuskel
• Iris (wirkt als Blende); läßt Pupillenloch frei
• Glaskörper
• Netzhaut: Stäbchen, lichtempfindlich, für Dämmerungs- und Nachtsehen
Zapfen, farbempfindlich, für Tagsehen
wesentliche Lichtbrechung erfolgt an
Hornhaut; Linse dient nur zum
Scharfstellen
System Hornhaut + Linse:
Ziliarmuskel
Netzhaut
Glaskörper
Sehnerv
fmax ≈ 2,5 cm → Abbildung ∞ entfernter
Gegenstände, Ziliarmuskel entspannt
Hornhaut
(Cornea)
Linse
Pupille
Iris
fmin: altersabhängig, legt "Nahpunkt" fest, Ziliarmuskel gespannt
Brennweitenänderung = "Akkomodation"
23
Physik I, PD K. Thonke
Abstand Nahpunkt ↔ Auge = deutliche Sichtweite
Kinder: 10 cm
mittl. Alter: 20 ... 30 cm
höheres Alter: steigt auf ≥ 100 cm → Lesebrille
Standardisierung: deutliche
Sichtweite s0 = 25 cm
Auf Netzhaut entsteht umgekehrtes Bild
Im gelben Fleck höchste Dichte von Sehzellen → Fleck des schärfsten Sehens
Blinder Fleck: "Anschlußstelle" des Sehnervs
einfachste optische Näherung:
n ≈ 1,3 ... 1,4 (alles ≈ Wasser!)
Was passiert, wenn das Auge im Wasser ist?
→n (Wasser) ≈ n (Hornhaut) → kaum Brechung
→ Bild wird unscharf
Abhilfe: ebene Taucherbrille, Luft dazwischen
4.5.2
Aufbau der Netzhaut / Spektrale Empfindlichkeit
Für das Farbsehen sind die Zäpfchen in der Netzhaut zuständig. Deren Empfindlichkeit ist
aber geringer als die der Stäbchen  Daher ist die Farbwahrnehmung nur korrekt bei
ausreichender Helligkeit.
Die Stäbchen sprechen schon auf geringere Lichtmengen an und sind daher für die Sicht in der
Dämmerung wichtig, erlauben aber keine Farbunterscheidung.
Links: Querschnitt durch Netzhaut
24
Rechts: normierte spektrale Empfindlichkeitskurven
Optik
4.5.3
Sehfehler
• weitsichtig:
nur entfernte Gegenstände werden scharf gesehen,
nahe Gegenstände werden hinter Netzhaut fokussiert
P'
P
Ursachen:
- Krümmung der Linse zu klein
- altersbedingt: Elastizität geht verloren
- Augapfel zu kurz
• kurzsichtig:
Korrektur: Sammellinse
nur nahe Gegenstände werden scharf gesehen,
entfernte Gegenstände nur verschwommen
Ursachen:
- Krümmung der Linse zu groß
- Augapfel zu lang
Korrektur: Zerstreuungslinse
• Astigmatismus: Hornhaut ist elliptisch verzerrt
Korrektur: Linse mit gegenläufiger Verzerrung
Sehwinkel:
Scheinbare Größe eines Gegenstandes wird
beschrieben durch Bildgröße B auf Netzhaut
oder analog durch Sehwinkel ε
Sehwinkel ε =
B
2,5cm
(36)
G
ε
ε
B
g
b~
~ 2,5 cm
also: Bildgröße ∼ Sehwinkel
Geometrie: tan ε =
→ε≈
G
; für kleine ε ist tan ε ≈ ε
g
G
g
also Bildgröße B ≈ 2,5 cm ⋅
(37)
G
g
(38)
25
Physik I, PD K. Thonke
4.6
Projektionsapparat („Beamer“) bzw. Diaprojektor
Mit einer Lampe wird das LCD-Display (bzw. das Dia) möglichst intensiv ausgeleuchtet.
Hierzu wird das Licht von einer Lampe entweder über eine Spiegeloptik (einen EllipsoidSpiegel) oder eine Linsenoptik (den „Kondensor“) auf das abzubildende Objekt geschickt.
Eine Projektionsoptik bildet dann dieses Objekt stark vergrößert auf die weit entfernte
Leinwand ab.
Lampe
LCD oder Dia
(im 2. Brennpunkt)
Ellipsoid-Reflektor
als Kondensor
(im 1. Ellipsen-Brennpunkt)
26
Projektionslinse
Leinwand
Optik
5
Abbildungsfehler
5.1
Sphärische Aberration
Bisher stets vorausgesetzt in Ableitungen: Strahlen sollen achsnah auf Linsen treffen.
Bei achsfernen Strahlen: F verschiebt sich
bei sphärischem Spiegel analog
Korrektur:
- Ausblenden von Randstrahlen
→ Lichtverlust
– Kugelform der Oberfläche modifizieren
→ "Aplanat"
5.2
Koma
Bei schiefem Lichteinfall ergibt sich aufgrund der sphärischen Aberration kein scharfes,
punktförmiges Bild, sondern ein asymmetrischer heller Punkt mit „Kometen-Schweif“.
Der Strahlengang sieht im Querschnitt so aus (Bild aus Bergmann/Schäfer, Optik):
5.3
Astigmatismus
(stigma, griech.: Punkt; Astigmatismus = Punktlosigkeit)
Tritt auf bei schräg einfallenden divergenten oder
konvergenten Lichtbüscheln oder bei unterschiedlichen Krümmungsradien der Linse in 2 zueinander
senkrechten Richtungen (→ Augenfehler)
→ Punkt wird in 2 ⊥ stehende Striche abgebildet in
verschiedener Entfernung von Linse
Extremfall: Zylinderlinse
(Bild aus Paus, Physik)
27
Physik I, PD K. Thonke
5.4
Verzeichnung
Linsenfehler lassen sich zwar durch Abblenden verringern, hierbei können aber neue
Abbildungsfehler entstehen.
Abbildung eines Kreuzgitters:
Blende hinter Linse → kissenförmig Verzeichnung
Blende vor Linse → tonnenförmige Verzeichnung
Zur Erklärung:
Das Bild vom Fußpunkt G1 des Pfeils entsteht jeweils im Bildpunkt B1. In dieser Entfernung
befindet sich der Schirm S. Das Bild der achsferneren Pfeilspitze G2 entsteht dichter an der
Linse L im Punkt B2. Auf dem Schirm gibt es statt eines scharfen Bildpunktes einen Zerstreuungskreis um den Punkt M (Gerade durch Linsenmitte) mit dem Durchmesser Z_Z'.
Fall a): Die Blende steht hinter der Linse
→ aus den achsfernen Strahlen werden die ausgeblendet, die um die durchgezogenen
Linie mit Endpunkt M' gehen
→ der hellste Fleck wandert weiter nach außen → „Kissen“
Fall b): Die Blende steht vor der Linse
→ aus den achsfernen Strahlen werden die ausgeblendet, die um die durchgezogenen
Linie mit Endpunkt M' gehen
→ der hellste Fleck wandert weiter nach innen → „Tonne“
28
Optik
(Bild aus Bergmann/Schäfer, Optik)
Abhilfe: Statt Einzellinse → 2 Linsen, Blende dazwischen
Versuch: O58
5.5
Chromatische Aberration
Dispersion des Linsenmaterials
→ Fokallänge wird wellenlängenabhängig: f(blau) < f(rot)
Korrektur: Linsensysteme aus verschiedenen Gläsern: "Achromat"
29
Physik I, PD K. Thonke
F OPTIK....................................................................................................................... 1
1 Grundlegendes........................................................................................................................1
1.1 Licht................................................................................................................................ 1
1.2 Lichtgeschwindigkeit...................................................................................................... 1
1.3 Licht als "Teilchen".........................................................................................................2
1.4 Das Huygenssche Prinzip, Wellenfeldkonstruktion........................................................ 3
2 Strahlenoptik.......................................................................................................................... 3
2.1 Reflexion......................................................................................................................... 3
2.2 Brechung......................................................................................................................... 5
2.3 Dispersion........................................................................................................................8
2.4 Das Prisma.......................................................................................................................9
3 Geometrische Optik............................................................................................................. 10
3.1 Ebene Spiegel................................................................................................................ 10
3.2 Parabolspiegel............................................................................................................... 10
3.3 Lichtbrechung an kugelförmigen Oberflächen..............................................................12
3.4 Dünne Linsen................................................................................................................ 13
3.5 Dicke Linsen..................................................................................................................17
4 Optische Instrumente...........................................................................................................19
4.1 Die Lupe........................................................................................................................ 19
4.2 Das Mikroskop.............................................................................................................. 20
4.3 Das Teleskop (Fernrohr)............................................................................................... 21
4.4 Die Kamera................................................................................................................... 22
4.5 Das Auge....................................................................................................................... 23
4.6 Projektionsapparat („Beamer“) bzw. Diaprojektor....................................................... 26
5 Abbildungsfehler..................................................................................................................27
5.1 Sphärische Aberration................................................................................................... 27
5.2 Koma............................................................................................................................. 27
5.3 Astigmatismus ..............................................................................................................27
5.4 Verzeichnung................................................................................................................ 28
5.5 Chromatische Aberration.............................................................................................. 29
6 Stichwort-Verzeichnis..........................................................................................................31
30
Optik
6
Stichwort-Verzeichnis
Fernrohr
terrestrisches
Abbildungsgleichung
Astigmatismus
Bild
reell
virtuell
Brechkraft
Brechung
Dioptrie
Dispersion
Fernrohr
astronomisches
Galileisches
Hauptebene
21
14
27
12, 15
10, 15, 16
13
5
13
8
21
21
21
17
Huygens-Fresnelsches Prinzip
Kurzsichtigkeit
Lichtgeschwindigkeit
Linsenmacher-Formel
Lupe
Mikroskop
Netzhaut
Okular
Parabolspiegel
Photonen
Prisma
Snelliussches Brechungsgesetz
Spektralbereiche
Totalreflexion
Weitsichtigkeit
3
25
2
13, 18
19
20
24
19
10
1
9
5
2
6
25
31
Gravitation & Planetenbewegung
G
Gravitation und Planetenbewegung
1 Das Newtonsche Gravitationsgesetz
Moderne Formulierung des Gravitationsgesetzes:
F12 = F21 = γ
m1m2
"law of gravity"
r2
(1)
Erstmals veröffentlicht von Isaac Newton ("Philosophiae Naturalis Principia Mathematica",
1687)
Überlegung:
• Erde zieht Körper mit F = mg an. Nach Actio = Reactio sollten dann diese Körper auch die
Erde anziehen → F ∼ m1 ⋅ m2
• Annahme: F ~
1
,n=?
rn
• Vergleich der Anziehung, die ein Körper auf der Erde erfährt, und der Anziehung, die der
Mond durch die Erde erfährt:
FK = m Kg ~
M Em K
rKEn
FM = m M ⋅ a ~
g = 9,81 m/s², rKE = RE (Erdradius)
M E ⋅ mM
rME n
rME = rM (Bahnradius des Mondes)
(Zentripetal-)Beschleunigung a, die der Mond an seiner Umlaufbahn erfährt, erhält man
aus dem Bahnradius rM ≈ 60 Erdradien und der Umlaufzeit (≈ 28 Tage)
→ a = ω2 ⋅ r = 2,6 ⋅ 10-3 m/s²
n
! r n
 60RE 
9,81
g
n
ME
=
=
3773
=
=
 = 60 → n = 2
−
3
n
a 2,6 ⋅ 10
rKE
 RE 
• Für die Newtonsche Gravitationskonstante gilt heute:
γ = 6,672 ⋅ 10−11
Nm 2
kg2
(2)
(Newton konnte diese Konstante nur sehr ungenau abschätzen)
experimentelle Bestimmung: (V: M5 Gravitationswaage ) nach Cavendish (1797)
Sind γ und g bekannt, kann aus (1) die Masse der Erde bestimmt werden:
ME =
g 2
RE = 5,98 ⋅ 1024 kg
γ
Zum Vergleich: Coulomb-Wechselwirkung
F=
q ⋅q
1
⋅ 1 2 2
4πε 0
r


Vm
≈ 9 ⋅ 10 9
As
1
Physik I, PD K. Thonke
Für zwei gegensinnige Ladungen von 1 Coulomb ergibt sich bei r = 1 m eine Kraft:
 VAs

FC ≈ 1010 
= N
 m

Dagegen Gravitation: 2 × 1 kg in 1 m Abstand: FG ≈ 10-10 N
→ Gravitations-Wechselwirkung ist um viele Größenordnungen (≈ 20) schwächer als
Coulomb-Wechselwirkung; schwächste aller 4 Fundamentalkräfte, bisher nicht in
vereinheitlichter Theorie einbeziehbar.
2 Gravitationsfeldstärke

Schwerkraft vektoriell geschrieben: Ist immer entgegengesetzt zum Abstandsvektor r der
 
M
beiden Massen: FG ( r ) = −γ ⋅ 2 ⋅ m ⋅ r
(3)
r

M = Erdmasse, r = Abstand der Masse m vom Erdmittelpunkt
Konzept des Kraftfeldes:
Durch schweren Körper (wie Erde) wird in Umgebung
ein Feld erzeugt (das Kraftfeld), mit dem der
Probekörper m wechselwirkt.
Man definiert: Gravitationsfeldstärke =
Kraft
[= Beschleunigung]

Masse des Probekorpers


F
M
Aus (3): a( r ) =
= − γ ⋅ 2 ⋅ r
m
r
(4)
3 Potentielle Energie, Gravitationspotential
An Erdoberfläche: Epot = m ⋅ g ⋅ h
(5)
Nullpunkt willkürlich auf h = 0 = Erdoberfläche festgelegt
 
andererseits: W = ∫ Fdr
(6)
Kraft (und damit W) divergiert für r → 0, daher wird als Ausgangspunkt der Integration
r → ∞ gewählt, wo F → 0 geht.
Körper m wird also aus der Entfernung ∞ auf endliche Entfernung r0 gebracht:
r0
r0
 
1
W = ∫ Fdr = γ ⋅ m ⋅ M ∫ 2 dr = γ ⋅ m ⋅ M
r
∞
∞
W ( r0 ) = −γ ⋅
m⋅M
r0
→ Es wird also die Arbeit W(r0) gewonnen!
(man hat der Anziehung nachgegeben.)
2
r
0
 1
⋅ − 
 r ∞

F

dr
(7)

r
Gravitation & Planetenbewegung
→ Also ist die potentielle Energie in Schwerefeld:
Epot ( r ) = −γ ⋅
m⋅ M
r
(8)
Die potentielle Energie, die ein „Einheitskörper“, d.h. ein solcher mit der Masse m = 1kg im
Schwerefeld hat, wird als Gravitationspotential bezeichnet:
Φ ( r ) = −γ ⋅
M
r
(9)
An Erdoberfläche ist r = RE, für Vergleich mit (5) um diese Stelle entwickeln:
dE p ( r )
dr
=γ ⋅
r = RE
M
⋅m
RE2
(10)
Vergleich mit Ableitung von (5) nach h: →
1
0
dE pot
dh
!
=g=
γ ⋅M
RE2
(11)
Epot
h
0
1
2
3
4
5
r/RE
-1
-2
Steigung = m*g
-3
-4
Anmerkung:
Mit dem Gravitationsgesetz führt man eine neue (schwere) Masse als Eigenschaft aller
Körper ein, die als Proportionalitätskonstante in der Massenanziehung auftritt. Daß diese mit
der durch F = m⋅a eingeführten (trägen) Masse identisch ist (Proportionalitätskonstante
zwischen Kraft und Beschleunigung), ist zunächst nicht klar. Man konnte aber mit sehr hoher
Meßgenauigkeit nachweisen, daß träge und schwere Masse einander proportional sind
("Äquivalenzprinzip"). Durch geeignete Wahl von γ setzt man dann beide Massen gleich.
Aufgrund des Äquivalenzprinzips kann man Gravitation als Trägheitskraft beschreiben →
Allgemeine Relativitätstheorie.
3
Physik I, PD K. Thonke
4 Das Zweikörperproblem, Formulierung der Kepler-Gesetze
Frage: Wie bewegen sich zwei Massenpunkte in ihrem gegenseitigen Gravitationsfeld?
z
 
ma = F
 
m1m 2 r2 − r1


→ m1r1 = γ
,
r
r 2 

er
 
m1 m2 r2 − r1


m2 r2 = −γ
r
r2
 
r = r2 − r1

r2
(12)
m2
 
r2 − r1
y
   
2 Bewegungsgleichungen, in beiden taucht r1 , r2 , r1 , r2 auf,
jeweils 3 Koordinaten
⇒ 6 gekoppelte Differentialgleichungen

r1
x
m1
das ist generalisiert betrachtet das Zweikörperproblem
(da beim Coulombgesetz ebenfalls F ∼ 1/r² auftritt, ist dies auch für die Atomphysik von
Bedeutung)
Vereinfachung:
Es gelte für die Massen m und M der Körper M >> m (z. B. Masse der Sonne = 333434 ×
Masse der Erde)
→ Körper mit größerer Masse kann als ruhend betrachtet werden.
Kepler-Problem: Wie bewegt sich eine Masse m im Gravitationsfeld einer ruhenden Masse M
mit M >> m?
Die Antwort liefern die drei Keplerschen Gesetze der Planetenbewegung (I/II: 1609, III:
1618):
1. Die Planeten bewegen sich auf elliptischen Bahnen, in deren einem Brennpunkt die Sonne
steht.
2. Der von der Sonne gezogene Fahrstrahl überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.
3. Die Quadrate der Umlaufzeiten der Planeten verhalten sich wie die dritten Potenzen der
großen Halbachsen ihrer Umlaufbahnen. (T²/R³ = const.)
Kepler-Gesetze sind alle ableitbar aus Energiesatz und Drehimpulserhaltung.
Zum 1. Gesetz: Bahn der Erde ≈ kreisförmig: 147,1 ⋅ 106 km ≤ R ≤ 152,1 ⋅ 106 km
"Periphel"
mittlere Entfernung Erde ↔ Sonne = 149,6 Mio. km
= "1 astronomische Einheit"
= 1 AE
4
"Aphel"
Gravitation & Planetenbewegung
y
P(x,y)
b
F1
ϕ'
r'
ϕ
r
F2
a
P
x
d
Ellipse = Menge aller Punkte, deren Entfernung von zwei festen Punkten (F1, F2) eine
konstante Summe bildet, nämlich PF1 + PF2 = 2a
Gleichungen:
x2 y 2
+
=1
a2 b2
r2 =
r' =
b2
a2 − b2
,
ε
=
numerische Exzentrizitat
1 − ε 2 cos 2 ϕ
a
(13)
p
b2
, p=
1 - εcosϕ '
a
Ellipse für ε < 1; Hyperbel für ε > 1; Parabel für ε =1
5 Zum 2. Gesetz, der allgemeine Flächensatz
Das 2. Kepler-Gesetz ist eine Folge davon, daß die Gravitation eine "Zentralkraft" ist. D. h.
die Gerade des am Körper m angreifenden Kraftvektors geht immer durch den gleichen Punkt
(im Fall der Planetenbewegung die Sonne).

 
→ Es können keine Drehmomente auftreten → M = L = 0 → L = const. !
Flächensatz:
m

r
Für gleiche ∆t werden gleiche Flächen dA
überstrichen.
 
dr = vdt
dA
Beweis: Bahndrehimpuls umgeschrieben


 
dA

 dr
L = r × mv = m ⋅ r ×
= 2m ⋅
= const.
dt
dt
(14)
5
Physik I, PD K. Thonke
 
 
 
da r × dr = r ⋅ dr ⋅ sin( r , dr ) = Parallelogrammfläche von r , dr aufgespannt = 2 × dA
oder anders geschrieben: r × r = const .
Man nennt auch
dA 1  
= r × r = cF = Flächengeschwindigkeit
dt
2
(15)
Versuch: M73 Flächensatz mit Pendel + Stroboskop
6 Zum 1. Gesetz, Ableitung der
Bahngleichung
Problem: Berechnung der Bahn r = r(ϕ)
(oder y = y(x))
Erfolgt über trickreiche Integration des
Energiesatzes und Drehimpulssatzes.
Schon Newton zeigte, daß Ellipsenbahnen mit
Gravitationsgesetz verträglich sind.
y

r
ϕ
Erde
x
Sonne
In 2-dim. "Polarkoordinaten" (r,ϕ) (z = 0
gewählt):
 x
 cos ϕ  

r ( x, y ) =   = r 
 = r ( r , ϕ )
 y
 sin ϕ 
(16)
umgekehrte Umrechnung: x = r ⋅ cos(ϕ ); y = r ⋅ sin(ϕ )
 cos ϕ  − sin ϕ ⋅ ϕ 
 
v = r = r
 + r

 sin ϕ   cos ϕ ⋅ ϕ 
(17)
1  
r × r = cF ; Koordinaten-System wird so gewählt, daß z = 0 ist
2
     
a × b = c, c⊥a , b hier || z !
Flächensatz:
Nur die z-Komponente ist ≠0! cz = axby - aybx
Ergebnis des Kreuzprodukts:




0−0

1
dA
0−0
= const . =
= cF


2
dt




 r cos ϕ  r sin ϕ + r ϕ cos ϕ  − r sin ϕ  r cos ϕ − r ϕ sin ϕ  





(
)
→ 2cF = r 2ϕ cos2 ϕ + sin 2 ϕ = r 2 ϕ = const .
(18)
→ dies ist der Flächensatz in Polarkoordinaten ausgedrückt! → Drehimpulssatz ausgewertet!
Nun andererseits der Energiesatz: zunächst v² berechnen:





v 2 = r 2 cos 2 ϕ + sin 2 ϕ + r 2ϕ 2 cos 2 ϕ + sin 2 ϕ + 2rrϕ  − cos ϕ sin ϕ + cos ϕ sin ϕ  = r 2 + r 2ϕ 2















1
1
0


(
6
)
(
)
Gravitation & Planetenbewegung
damit:
E ges = E kin + E pot =
(
)
1 2
1
Mm
mv + E pot = m r 2 + r 2ϕ 2 − γ
= const .
2
2
r
(19)
d. h. wir haben zwei gekoppelte Differentialgleichungen (18), (19) für die Zeitabhängigkeit
der Funktionen r(t) und ϕ(t).
Zur Beschreibung der Bahnkurve r(ϕ) kann Zeitabhängigkeit zunächst mit Hilfe von Glg. (18)
eliminiert werden:
dr dr dϕ dr 
=
=
ϕ
dt d ϕ dt dϕ 
dr 2c F
 → r =
dϕ r 2
2c
r 2ϕ = 2cF → ϕ = 2F 

r
r =
(20)
2
2
 2c dr 
 + 4c F 2 − 2γM = 2 E
in (19) →  F 2

r(ϕ )
m
r( ϕ )
 r ( ϕ ) dϕ 
(21)
Diese DGL für r(ϕ) muß nun gelöst werden! Ist nur mit Integrationstricks möglich (siehe z.B.
Budó, „Theoret. Mechanik“).
p
1 − ε cos ϕ
→ dies ist die gesuchte Bahngleichung in Polarkoord. für r(ϕ)!
Lösen der Gleichung liefert r (ϕ ) =
2
(22)
2
4c
4c F 2 E
+1 ,
mit p = F , ε =
γM
γ 2M 2 m
d. i. Ellipse für ε < 1
(23)
(Beweis durch Einsetzen möglich)
Anmerkung:
Für ε = 1 erhält man eine Parabel und für ε > 1 eine Hyperbel. Sei v0 die Anfangsgeschwindigkeit und r0 der Anfangsabstand des bewegten Massenpunktes, folgt aus dem Energiesatz:
1
mM 1
mM
mv 2 − γ
= mv 20 − γ
= E ges
2
r
2
r0
v 20 =
(24)
2E ges
2M
+γ ⋅
m
r0
ε < 1→
2
4cF 2 Eges
< 0 → Eges < 0 → v 0 <
γ 2M 2 m
2γM
r0
d. h. um eine Ellipse zu erhalten, muß die Anfangsgeschwindigkeit v0 kleiner als
(25)
2 γM
r0
sein!
bei Eges = 0 → Parabelbahn,
bei Eges > 0: Hyperbelbahn → Satellit/Komet verläßt Anziehungsbereich der Sonne
→ zugehörige v0** = 43,64 km/s nennt man "zweite Fluchtgeschwindigkeit".
7
Physik I, PD K. Thonke
Gilt übertragen für Satelliten, der in die Umlaufbahn um die Erde geschossen wird, genauso!
mit r = Erdradius, ME = Erdmasse ist v0* = 11,2 km/s "erste Fluchtgeschwindigkeit"
(26)
andererseits: Soll ein Satellit um die Erde kreisen können, muß im Grenzfall r = R E gerade die
m ⋅ ME
mv 20 !
Zentripetalkraft FZP =
sein:
= Anziehungskraft Fan = γ ⋅
R2E
R
→ v0 = γ
ME
= 7,9 km/s
RE
(27)
Mindestgeschwindigkeit, damit der Satellit nicht auf die Erde stürzt.
Satellit soll von hohem Berg horizontal abgeschossen werden:

v0
Hyperbel
v0 > 11,2 km/s
Erde
Parabel
v0 = 11,2 km/s
Kreis v 0 = 7,9 km/s
Ellipse
7,9 km/s < v 0 < 11,2 km/s
→ Schon in Newton's "Principia" von 1687 so dargestellt!
In Praxis: Wegen Erdatmosphäre muß Satellit mindestens 200 km hoch fliegen
→ R = RE + 200 km = (6370 + 200) km; mit v0 = 7,9 km/s → T ≈ 1,5 h
geostationäre Satelliten: T = 1 Tag
aus 3. Keplerschem Gesetz: rg = 3 γM
T2
≈ 42.300 km
4π 2
hg = (42.300 - 6370) km = 35.900 km
Laufzeit Funksignal hin- und zurück ≈ 0,3 s
8
Gravitation & Planetenbewegung
7 Zum 3. Gesetz, Zeitabhängigkeit der Bewegung
dA
1
= c F = r 2 ϕ . Für einen Umlauf ergibt sich somit durch
Nach dem Flächensatz (15) gilt
dt
2
Integration von 0 bis T:
π
T
=
ab
oder
πab
=
c
⋅
T

F
cF
Flache

der
Ellipse
2
2
b 2 ( 23) 4cF
4c F
Es gilt für die Ellipse p =
=
→b =
a
a
γM
γM
4π 2
γM

für alle P laneten
des Sonnensystems
gleich
(28)
Dies ist das 3. Kepler-Gesetz.
(29)
2
π
4c F
a3
→T =
a
a = 2π
cF
γM
γM
oder
T12 T22
d. h. für 2 Planeten gilt: 3 = 3
a1 a2
T2
=
a3
8 Gravitationsfeld einer Kugelschale und einer Vollkugel
(→ ein Beweggrund Newtons zur Entwicklung der Integralrechnung)
"Kugelschalentheoreme":
I. Das Gravitationsfeld einer Kugelschale ist außerhalb so, wie wenn gesamte Masse
in Kugelmittelpunkt vereinigt wäre.
II. Eine homogene Kugelschale übt auf ein Teilchen innerhalb dieser Schale keine
Gesamtgravitationskraft aus.
Beweise:
zu II.:
m2
m0
m1
r2
r1
Pkt.-Masse m0 sei in Kugelschale;
gleicher Öffnungswinkel werde links/rechts
aufgespannt.
Dann ist
m2 ~ r22
m1 ~ r12
m2 r22
=
m1 r12
bzw.
m2 m1
= 2
r22
r1
m
da Anziehungskraft ~ 2 → Kräfte heben sich auf!
r
9
Physik I, PD K. Thonke
zu I.: über Integration
Berechnung des Gravitationspotentials einer
Vollkugel in Kugelkoordinaten
Kugel sei in Koordinatenursprung O,
Berechnung für Ort auf z-Achse in Abstand d.
Geometrie:
Abstand d von "Testmasse" m0 ist
h = R · sin θ
e = R · cos θ
s2 = h2 + (d-e)2
= R2 sin2θ + d2 + R2 cos2θ - 2dR cosθ
R
= R2 + d2 – 2dR cos θ (= Kosinussatz)
θ
(30)
Gravitationspotential für Massenelement dm:
dm
mit
s
dΦ = −γ
dm = ρ(r)dV;
dV = r2 · sin θ dθ dφ dr
R
insges.: Φ = −γ
2π
(31)
π
∫ ∫ ∫
r =0 ϕ =0 θ =0
•
r 2 ρ (r ) sin θ dθ dϕ dr
(32)
r 2 + d 2 − 2dr cos θ
zunächst Integration über θ:
 −1 1
Zwischenschritt: Wurzel in Nenner ableiten liefert d
= −2dr sin θ ⋅   ⋅
dθ
 2 
(33)
also kann man das Integral über θ anschreiben als:
π
∫
θ =0
sin θ dθ
1
=+
dr
r 2 + d 2 − 2dr cos θ
[
]
π
r + d − 2dr cosθ
2
2
(34)
θ =0


1  2
 1
2
2
2
{r + d − r − d }
=
+ d + 2dr − r + d − 2dr  =
 r





dr 
dr

( r +d ) 2
( r −d ) 2

Fallunterscheidung für 2. Wurzel nötig! Diese liefert Betrag von (R-d)!
für d > R =
1
2
⋅ {R + d − d + R} =
dR
d
(für d < R: =
2
)
R
•
10
Integration über φ liefert Faktor 2π
(35)
Gravitation & Planetenbewegung
•
Integration über r: für massive Kugel ist ρ(r) = const
Φ=
R
− 4πγ
d
∫
ρ r 2 dr = − γ ⋅ 4π
r=0
Endergebnis: Φ = −
R3
γ⋅M
ρ=
3
d
γ⋅M
d
(36)
also dasselbe Gravitationspotential wie eine punktförmige Masse M im Abstand d !!! (q.e.d.)
Für Berechnung des Gravitationspotentials einer Kugelschale kann man entweder die
Differenz zweier massiver Kugeln mit leicht unterschiedlichen Radien betrachten, oder die
Dichte ρ(r) als δ-Funktion einführen. In jedem Fall kommt wieder das Potential aus Glg .36
heraus.
Formale Rechnung:
R
M
M
→ Φ = − 4πγ ⋅
δ ( r − R )r 2 dr
(
)
ρ (r ) =
⋅
δ
r
−
R
2
∫
2
d
4
π
R
4πR
r =0
γM
γM
Φ = − 2 ⋅ R2 = −
dR
d
9 Gravitationsfeld für Teilchen innerhalb homogener Kugel:
•Kugel
R
außerhalb r trägt nichts bei!
•Kugel
innerhalb so, als ob Teilmasse mt innerhalb 0
konzentriert wäre.
m0
r
0
Teilmasse innerhalb
= mt
3
r
mt =   ⋅ M ges
R
m0 ⋅ mt
r2
(38)
⋅r
(39)
Kraft auf m0: F ( r ) = − γ ⋅
F( r ) = − γ ⋅
m 0 ⋅ M ges
R3
(37)
F
Also: F nimmt linear zu (wie bei
Feder) !!!
R
D
r
− γ
m0 ⋅ M
R3
−γ
⋅r
m0 ⋅ M
1
⋅r~ 2
r3
r
linear
11
Physik I, PD K. Thonke
10 Das Äquivalenzprinizp
(Grundlage der Allg. Relativitätstheorie)
g
g
Planet
Person in beschleunigtem Bezugssystem ( (a=g) beobachtet gleiche Fallbewegung /gleiches
Gewicht wie Person in ruhendem Bezugssystem unter Einfluß eines Gravitationsfeldes
⇒ Unterschied ist experimentell nicht ermittelbar!
"Ein homogenes Gravitationsfeld ist zu einem gleichmäßigen beschleunigten Bezugssystem
völlig äquivalent"
⇒ "Äquivalenzprinzip"
Annahme von Einstein, daß dieses Prinzip nicht nur in Mechanik, sondern in gesamter Physik
gilt!
Experimentell überprüfbare Schlußfolgerung: Ablenkung von Licht in Gravitationsfeld
Gedankenexperiment: Licht trete in beschleunigtes Raumgebiet ein (Vertikalbewegung stark
übertrieben gezeichnet)
t 1 t 2 t3 t4
t1
t2
t3
Im Inertialsystem
12
t4
Im beschleunigten
Bezugssystem
Gravitation & Planetenbewegung
Lt. Äquivalenzprinzip muß dasselbe im Gravitationsfeld passieren!
Licht wird wie massenbehafteter Körper durch Gravitation abgelenkt
scheinbare
Sternposition
wahre
Sternposition
Dies kann nur bei einer Sonnenfinsternis beobachtet
werden!
Sonne
Erde
Quasar (= Radioquelle)
MG1131 + 0456
Emission eines Quasars, der Radiowellen
emittiert und direkt hinter einem schweren
Objekt liegt, erscheint als Ring!
„Gravitationslinseneffekt“
"Gravitationslinseneffekt"
Erde
Abbildung 1. Falschfarbendarstellung des Ringes, der
durch den Gravitationslinseneffekt aus der Strahlung
eines Quasars (MG1131+0456) erzeugt wird.
Ein Lichtstrahl wird auch durch die Erde beim Vorbeiflug an ihrer Oberfläche mit g=9.81m/s 2
abgelenkt
aber: die Vorbeiflugzeit ist sehr kurz! für Δs = 3000 km ist Δt = 10 msec
⇒ Ablenkung Δћ = ½ g(Δt)2 ≈ 5 · 10-4 m = 0,5 mm
13
Physik I, PD K. Thonke
"Krümmung des Raums"
Unter dem Einfluß eines Gravitationsfeldes verlaufen parallele,
geradlinige Bewegungen anders als im gravitationsfreien
Raum!
z.B. 2 Äpfel fallen aus großer Höhe auf die Erde
→ Falllinien treffen sich in z
→ interpretierbar als Wirkung der Gravitationskraft
z
oder alternativ:
Wirkung der Raumkrümmung in Erdnähe
Inhaltsverzeichnis
G
GRAVITATION UND PLANETENBEWEGUNG................................................... 1
1 Das Newtonsche Gravitationsgesetz................................................................................... 1
2 Gravitationsfeldstärke.........................................................................................................2
3 Potentielle Energie, Gravitationspotential.........................................................................2
4 Das Zweikörperproblem, Formulierung der Kepler-Gesetze..........................................4
5 Zum 2. Gesetz, der allgemeine Flächensatz....................................................................... 5
6 Zum 1. Gesetz, Ableitung der Bahngleichung................................................................... 6
7 Zum 3. Gesetz, Zeitabhängigkeit der Bewegung...............................................................9
8 Gravitationsfeld einer Kugelschale und einer Vollkugel................................................. 9
9 Gravitationsfeld für Teilchen innerhalb homogener Kugel:......................................... 11
10 Das Äquivalenzprinizp.................................................................................................... 12
Stichwortverzeichnis
Äquivalenzprinzip
3
astronomische Einheit
Cavendish 1
Flächengeschwindigkeit
Flächensatz 5
geostationär 8
Gravitationsfeldstärke 2
Gravitationsgesetz
1
Gravitationspotential 3
Gravitationswaage
1
14
4
6
Kepler-Gesetze
4
Kraft
Trägheits
3
Masse
schwere
3
träge
3
Newtonsche Gravitationskonstante
potentielle Energie
3
Zweikörperproblem 4
1
Gravitation & Planetenbewegung
15