Looping - PD Dr. rer. nat. habil. Gert Hillebrandt

LOOPING
S
Der Looping ohne Reibung
Ein Eiswürfel der Masse m, im Folgenden kurz Körper
genannt, startet im Punkt S und rutscht die tangentiale Ebene
hinunter und danach durch den vertikalen Looping. Reibung
bleibt außen vor, so dass nur konservative Kräfte vorliegen.
Betrachten wir typische Fragen.
H
r
h0
T
a) Zeichnen Sie im höchsten Punkt H und im tiefsten Punkt
T des Loopings alle Kräfte mit ihren Bezeichnungen ein,
welche an dem Körper angreifen. Benennen Sie diese und
geben Sie die jeweilige Ursache dieser Kraft an.
FG
FN
FG = mg
2
Erinnerung:
r
Die Ursachen der Kräfte sind zum einen die Gravitation
FG und zum anderen die Zwangskraft FN (Bedingung der
Bahn). Die Zentripetalkraft in H und T ist FZ = FN + FG .
Fz = m vr
FZ = FN ,T + FG
FZ = FN , H − FG
FN
vT > vH
FG
b) Geben Sie eine kurze Begründung, weshalb der Körper den Looping aus der Höhe h0 = 2r
selbst ohne irgendwelche Reibungsverluste nicht durchrollen kann. Was geschieht in diesem
Fall?
Gemäß Energiesatz wäre die kinetische Energie in H gleich groß wie in S, also 0 J. Der
Körper wäre also in H nicht mehr in Bewegung, auch nicht in einer Kreisbewegung. Es ist
somit auch keine Zentripetalkraft vorhanden, jedoch wirkt die Gewichtskraft vertikal nach
unten. Also fällt der Körper von der Schiene nach unten.
Allerdings fällt der Körper vor dem Erreichen des höchsten Punktes von der Schiene, da
schon vorher die Normalkraft null wird.
c) Wie groß muss die Geschwindigkeit im höchsten Punkt H mindestens sein, damit der
Looping nicht verlassen wird?
Aus FZ ≥ FG folgt v ≥ gr .
d) Der Startpunkt S wird so gewählt, dass der Körper die Looping-Schiene auch im höchsten
Punkt H noch deutlich berührt ( FN > 0 N ). Aus welcher Höhe h0 muss der Körper aus der
Ruhe folglich starten? (Tipp: Energieerhaltung)
E pot + Ekin = mgh0 ⇔ mgh + 12 mv 2 = mgh0 ⇔ g ⋅ 2r + 12 gr < gh0 ⇔ 4r + r < 2h0
h= 2 r
v 2 > gr
c)
Die Starthöhe h0 ist folglich mit 52 r < h0 anzunehmen. Für 52 r = h0 ist FN = 0 N in H.
e) Geben Sie die Kräfte in T an, die auf den Schienen lasten, wenn die Masse des Körpers 1kg,
der Radius des Loopings 10m und die Höhe h0 = 30 m beträgt.
Die Tangentialgeschwindigkeit in T beträgt für h = 0 m nach der Energieerhaltung
2
2 gh
v 2 = 2 gh0 und damit die Zentripetalkraft FZ = m vr = m r 0 = 6mg . Die Normalkraft in T
beträgt FN ,T = FZ + FG = 6mg + mg = 7 mg , also FN ,T = 7 ⋅1kg ⋅ 9,81 m2 = 68, 67 N .
s
PD Dr. rer. nat. habil. Gert Hillebrandt
1
LOOPING
Berechnung der Ablösung für den Übergang in den Schiefen Wurf
S
H
FN
r
ϕ
h
FN
FGn
FZ
FG
h = r + r sin ϕ
FRes
FGt
FG
T
Die Zerlegung der lokalen Gravitationsbeschleunigung g in die Normal- und Tangentialkomponente zeigt
eine negative Beschleunigung auf den Körper, da er aufsteigt. Die Tangente und Normale im
„Auflagepunkt“ des Körpers kann daher als bewegtes Koordinatensystem betrachtet werden. Die
Normalkraft ist eine Zwangskraft, die durch die Unterlage ausgeübt wird.
Der Körper starte nun in einer Höhe r < h0 < 52 r . Er wird die Loopingbahn verlassen, wenn
FN = 0 N . Berechnen wir die zugehörige Höhe. Dazu wird die dritte Raumkoordinate null
gesetzt. Es seien FRe s = FN + FG = ma und FZ = prF ( FRe s ) = ma z . Dann sind
N
0
cos ϕ
2 cos ϕ
FZ = −m vr 
 , 0 < ϕ < π2 , FG = −mg   und FGn = −mg sin ϕ 
,
 sin ϕ 
1
 sin ϕ 
also
2 cos ϕ
+ mg sin ϕ cos ϕ = −m ( v2 − g sin ϕ )cos ϕ .
FN = FZ − FGn = −m vr 
r
 sin ϕ 
 sin ϕ 
 sin ϕ 
2
Die Normalkraft ist folglich genau dann null, wenn vr = g sin ϕ ⇔ v 2 = gr sin ϕ . Der
Energiesatz zeigt, dass v 2 = 2 g (h0 − h) . Folglich ist r sin ϕ = 2 (h0 − h) und mit h = r + r sin ϕ
(h )
r sin ϕ = 2 (h0 − r − r sin ϕ ) ⇔ 3r sin ϕ = 2 ( h0 − r ) ⇔ sin ϕ = 23 r0 −1 , r ≤ h0 ≤ 52 r . Somit kann
der Winkel ϕ mittels
(h )
ϕ = sin −1 23 r0 −1 , r ≤ h0 ≤ 52 r
berechnet werden. Die Grenzfälle h0 = r liefern ϕ = 0 und h0 = 2, 5r entsprechend ϕ = π2 .
Allgemein finden wir die Ablösehöhe und die zugehörige Geschwindigkeit
h = r + 23 (h0 − r )
v = 23 g (h0 − r ) .
− sin ϕ
Dies ist die Anfangsgeschwindigkeit eines schiefen Wurfes in Richtung 
 , wobei
 cos ϕ 


 − 2 hr0 −1 
3

h

 .
ϕ = sin −1 23 r0 −1 , r ≤ h0 ≤ 52 r , also v0 = 23 g (h0 − r ) 
2


4 h0
 1− 9 r −1 
(
)
(
)
(
)
Ein realer Looping muss natürlich zwei Eigenschaften an den Übergangsstellen erfüllen. Die
Tangente und die Krümmung müssen übereinstimmen, damit sich Geschwindigkeit und
Beschleunigung nicht schlagartig ändern, es sei denn, es ist erwünscht. Die Anforderungen
an Tangente und Krümmung sind erfüllt, wenn die ersten beiden Ableitungen
übereinstimmen.
2
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LOOPING
Berechnung mit reiner Rotation einer Kugel
Rollt eine Kugel mit Radius rK ≪ r - ohne zu gleiten und zu reiben - mit FN ≠ 0 N durch den
Looping, so erhalten wir die Mindeststarthöhe 2, 7r < h0 , denn
E pot + Ekin + Erot = mgh0
mgh + 12 mv 2 + 12 J ω 2 = mgh0
mgh + 12 mv 2 + 12 J2 v 2 = mgh0 ∧ J = 52 mrK2
rK
7 mv 2 = mgh
mgh + 10
0
7 gr < gh ⇔ 2, 7 r < h .
⇔ g ⋅ 2r + 10
0
0
h= 2 r
v 2 > gr
c)
Für das Quadrat der Geschwindigkeit folgt v 2 = 10
g h − h) . Startet nun die Kugel aus der
7 ( 0
Höhe h0 < 2, 7 r , so errechnet sich der Winkel ϕ , die Höhe h und die Geschwindigkeit v für
FN = 0 N wie folgt.
Mit v 2 = gr sin ϕ und h = r + r sin ϕ folgt aus
gr sin ϕ = 10 g (h0 − r − r sin ϕ ) ⇔
7
17 r sin ϕ = 10 (h − r ) ⇔
7
7 0
h
sin ϕ = 10 r0 − 1
17
(
der Winkel
)
(
)
h
ϕ = sin −1 10 r0 −1 ,
17
die Höhe
(
h = r + 10 (h0 − r ) = 10 h0 + 7 r
17
17
10
)
sowie die Geschwindigkeit
v = 10 g (h0 − r ) .
17
Solange keine Reibung angenommen wird, ist die Lösung immer mit dem Energieerhaltungssatz
möglich. In diesem Fall werden nur konservative Kräfte betrachtet. Mit Reibung (Dissipation) ist
es schwerer, da ein längerer Weg auch mehr Entropie liefert.
Definition
Eine Kraft heißt konservativ, wenn die Bewegung eines Körpers zwischen zwei Punkten A und B
unabhängig von dem Weg zwischen A und B ist. Da die Kraft eine Pfaffsche Form ψF ist, folgt
auch, dass dies äquivalent ist zu ∫ ψF = 0 oder
d ψF = 0 auf einem einfach zusammen-
hängenden Gebiet G . In diesem Fall existiert eine Funktion α mit d α = ψF . α heißt das zu ψF
gehörige Potential.
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3
LOOPING
Der Looping mit Reibung
In diesem Fall soll eine Reibung des Eiswürfels, kurz Körper, berücksichtigt werden.
S
FN
FR
h0
H
FGt
FGn
δ
hB
FR
FGn
r
FZ
π −δ
2
FZ
FG
FN
FGn
FZ
FN
FN
ϕ
r
T
B
FGt
FG
FN
FR
FGt
h = r + r sin ϕ
FRes
FR
FGt
FG
FGn
FG
FG
Der Reibungskoeffizient sei µ . In diesem seien alle weiteren „Verlustfaktoren“ wie Luftreibung,
Schallabgabe etc. berücksichtigt. Die Reibungsenergie ist auf dem Geradenstück der Länge ℓ SB
einfach zu berechnen, da sich die Kräfte nicht ändern. Für die Höhe im Looping wird der
Zusammenhang sin ( π2 − δ ) = cos δ berücksichtigt. Der Winkel ϕ = 0 beginnt im Tiefpunkt.
Die Beschleunigung des Körpers ma ergibt sich aus
FN + FR + FG = ma ,
wobei FR = µ FN , mit
0 −1
µ = µ 
.
1
0 
Aus dieser Darstellung werden die Tangential- und Zentralbeschleunigung, also aT und aZ
entnommen. Dazu bieten sich die orthonormalen Einheitsvektoren gebildet aus den
Kreiskoordinaten an.
 sin δ 
− cos δ 

 und 

cos δ 
 sin δ 
Der Energieerhaltungssatz lautet
E pot + Ekin + ER = mgh0 ,
wobei h0 die Starthöhe ist.
1. Schiefe Ebene von S bis B
Zunächst zu den Kräften. Es gilt
 sin δ   sin δ 
− cos δ
0
FN = mg cos δ 
 , FR = µFN = mg cos δ µ 
 = µmg cos δ 
 sowie FG = mg  



cos δ
cos δ
 sin δ 
−1
und somit
 sin δ 
− cos δ 
0
− cos δ 
aT = a = g cos δ 
+ µ g cos δ 
+ g   = g (µ cos δ − sin δ )
.


cos δ 
 sin δ 
−1
 sin δ 
Insbesondere ist aT = 0 m2 ⇔ δ = tan −1 µ. Der Körper muss einen Impuls in S bekommen.
s
4
PD Dr. rer. nat. habil. Gert Hillebrandt
LOOPING
Die Reibungskraft ist längs des Weges (schiefe Ebene) SB konstant. Die Reibungsenergie
− cos δ 
berechnet sich folglich mit s = ℓ SB 
 zu
 sin δ 
− cos δ 
− cos δ 
ER = FR i s = µmg cos δ 
iℓ SB 
 = µmg ℓ SB cos δ .

 sin δ 
 sin δ 
Mit
ℓ SB sin δ = h0 − hB
ER = mgµ (h0 − hB ) cot δ .
folgt
Die
Energie
und
damit
die
Geschwindigkeit in B kann jetzt berechnet werden. Sie beträgt
E pot ,B + Ekin ,B + ER ,B = mgh0
mghB + 12 mvB2 + mg (h0 − hB ) µ cot δ = mgh0
1 v 2 + g (h − h ) µ cot δ = g (h − h )
0
0
B
B
2 B
vB2 = 2 g (h0 − hB )(1− µ cot δ )
Durch Einsetzen von hB = r − r sin ( π2 − δ ) = r − r cos δ folgt endlich die Eintrittsgeschwindigkeit in den Looping
vB2 = 2 g (h0 − r + r cos δ )(1− µ cot δ ) .
Insbesondere gilt nun schlagartig
v2
v2
(h
)
FZ = m rB mit rB = 2 g r0 −1 + cos δ (1− µ cot δ ) .
Damit lautet die Beschleunigung in B:
a = aZ + aT
(v
2
= rB + g cos δ
(v
2
= rB + g cos δ
(
 sin δ 
0
sin δ  v
)cos
+ ( r + g cos δ )µ 
+ g  


δ 
cos δ 
−1
2
B






sin δ 
v
− cos δ −
 sin δ −
− cos δ 
)cos
(
)
+
µ
+
g
cos
δ
g
cos
δ
g
sin
δ
r
 sin δ 
cos δ 
 sin δ 
δ 
2
B
)
(
 sin δ 
 sin δ 
v2
vB2

= rB + g cos δ 
−
g
cos
δ
+
µ
r + g cos δ
cos δ 
cos δ 
((
)
v2  sin δ 
vB2
= rB 
+
µ
r + g cos δ − g sin δ
cos δ 
 g sin δ − cos δ 
)−sincosδδ−

 sin δ 
)−sincosδδ
2. Looping zwischen B und T
Die Tangentialbeschleunigung at lautet jetzt
((
)
Ab
dem
Punkt B gilt
beim


(δ − ξ )
, 0 ≤ ξ ≤ δ < π .
)− cos
2
sin (δ − ξ )
2
at = µ vr + g cos (δ − ξ ) − g sin (δ − ξ )
Eintritt in den
Looping
mit
hB = r − r cos δ
und
vB = 2 g (h0 − r + r cos δ )(1− µ cot δ ) der Energieerhaltungssatz
2
E pot + Ekin + ER = mghB + 12 mvB2 .
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5
LOOPING
Mit
sin (δ − ξ)
−cos (δ − ξ )
 0  und FGt = FG − FGn = mg sin (δ − ξ )

FG = mg   , FGn = mg cos(δ −ξ)
 sin (δ − ξ ) ,
−1
cos(δ −ξ)
wobei 0 ≤ ξ ≤ δ folgt
ma = FN + FR + FG
= FZ − FGn + µ FN + FG
= FZ + µ FZ − µ FGn + FGt
2  sin (δ − ξ )
 + µm v2 + g sin (δ − ξ ) + g cos (δ − ξ )
= m vr 

r
cos (δ − ξ )




(δ − ξ )
.
)− cos
sin (δ − ξ )
(
− cos (δ − ξ )
2
 . Folglich ist mit der Reibungsenergie
Also gilt FR = µ FN = m ( vr + g cos (δ − ξ ))
 sin (δ − ξ )
ER = FR ⋅ bξ = µ FN ⋅ bξ = µm ( vr + g cos (δ − ξ )) r ξ
2
und der Höhe
h = r − r cos (δ − ξ )
der
Energieerhaltungssatz
E pot + Ekin + ER = mghB + 12 mvB2
mgh + 12 mv 2 + (µm vr + µmg cos (δ − ξ )) r ξ = mghB + 12 mvB2
2 gh + v 2 (1 + 2µξ ) + 2µ gr ξ cos (δ − ξ ) = 2 ghB + vB2
2
v 2 (1 + 2µξ ) + 2 g ( r − r cos (δ − ξ )) + 2µ gr ξ cos (δ − ξ ) = 2 g (r − r cos δ )
+2 g (h0 − r + r cos δ )(1− µ cot δ )
v 2 (1 + 2µξ ) + 2 gr (µξ −1) cos (δ − ξ ) = −2 gr cos δ
+2 g (h0 − r + r cos δ )(1− µ cot δ )
Für h = 0 m und ξ = δ folgt mit ER = FR ⋅ bδ = µ FN = µm ( vr + g ) rδ die Energiegleichung
2
vT2 (1 + 2µδ ) + 2 gr (µδ −1) = −2 gr cos δ + 2 g (h0 − r + r cos δ )(1− µ cot δ )
vT2 (1 + 2µδ ) = 2 gh0 − 2µ g (h0 − r ) cot δ − 2µ grδ
vT2 (1 + 2µδ ) = 2 gh0 (1− µ cot δ ) + 2µ gr (cot δ − δ )
vT2 = 2 g
h0 (1− µ cot δ ) + µr (cot δ − δ )
1 + 2µδ
Aufgrund der Reibung muss die Tangentialbeschleunigung at spätestens jetzt in diesem Intervall
vor T verschwinden. Aus der Tangentialbeschleunigung
((
)


(δ − ξ )
, 0 ≤ ξ ≤ δ < π
)− cos
2
sin (δ − ξ )
2
at = µ vr + g cos (δ − ξ ) − g sin (δ − ξ )
folgt
(
)
2
µ vr + g cos (δ − ξ ) − g sin (δ − ξ ) = 0 ⇔ µv 2 = gr sin (δ − ξ ) − µ gr cos (δ − ξ ) , 0 ≤ ξ ≤ δ < π2 .
6
PD Dr. rer. nat. habil. Gert Hillebrandt
LOOPING
Mit der Zentripetalbeschleunigung
( 0 −1 + cos δ )(1− µ cot δ )− cos δ −(µξ −1) cos (δ − ξ )
v2
= 2g r
r
1 + 2µξ
h
folgt endlich
2gµ
(( hr −1+ cos δ )(1− µ cot δ)− cos δ −(µξ −1) cos (δ − ξ)) = (1 + 2µξ)( g sin (δ − ξ)− µg cos (δ − ξ))
h
2µ (( r −1 + cos δ )(1− µ cot δ ) − cos δ ) = (1 + 2µξ )(sin (δ − ξ ) − µ cos (δ − ξ ))
0
0
+2µ (µξ −1) cos (δ − ξ )
2µ
(( hr −1)(1− µ cot δ)− µ sin δ ) = (1 + 2µξ)sin (δ − ξ) + µ (2µξ − 3) cos (δ − ξ)
0
Diese letzte nichtlineare Gleichung muss für ξ gelöst werden. Insbesondere bestätigen noch
einmal die letzten Gleichungen für µ = 0 (keine Reibung vorhanden), dass vT2 = 2 gh0 und
vB2 = 2 g (h0 − r + r cos δ )(1− µ cot δ ) .
3. Looping zwischen T und H
Der Körper startet nun mit der Geschwindigkeit vT , um den Looping zu erklimmen. Mit
 0  sin ϕ 
−cos ϕ
FG = mg   , FGn = mg cos ϕ 
 und FGt = FG − FGn = mg sin ϕ 
 , wobei 0 ≤ ϕ ≤ π
−1
cos ϕ
 sin ϕ
folgt
ma = FN + FR + FG
= FZ − FGn + µ FN + FG
= FZ + µ FZ − µ FGn + FGt
2  sin ϕ 
 µm v2 + g sin ϕ + g cos ϕ
= m vr 
+
r
cos ϕ
(
Also gilt




ϕ
.
)− cos
sin ϕ
− cos ϕ
2
FR = µ FN = m ( vr + g cos ϕ )
 . Folglich ist mit der Reibungsenergie
 sin ϕ
ER = FR ⋅ bϕ = µ FN ⋅ bϕ = µm ( vr + g cos ϕ ) rϕ und der Höhe h = r − r cos ϕ der Energie2
erhaltungssatz
mgh + 12 mv 2 + µm ( vr + g cos ϕ ) rϕ = 12 mvT2 ,
2
wobei
vT2 = 2 g
h0 (1− µ cot δ ) + µr (cot δ − δ )
.
1 + 2µδ
Nach kürzen der Masse
2 gh + v 2 + 2µ ( vr + g cos ϕ ) rϕ = vT2 .
2
Nun können folgende Fragen beantwortet werden.
PD Dr. rer. nat. habil. Gert Hillebrandt
7
LOOPING
Aus welcher Höhe muss der Körper starten, damit er den höchsten Punkt H ohne herunter zu
fallen durchrutscht? Im höchsten Punkt H muss natürlich v 2 ≥ gr gelten. Außerdem ist ϕ = π.
Einsetzen liefert
2 gh + v 2 + 2µ ( vr + g cos ϕ ) rϕ = 2 g
h0 (1− µ cot δ ) + µr (cot δ − δ )
1 + 2µδ
2 g ⋅ 2r + gr + 2µ ( g − g ) r π = 2 g
h0 (1− µ cot δ ) + µr (cot δ − δ )
1 + 2µδ
2
2,5r (1 + 2µδ ) − µr (cot δ − δ ) = h0 (1− µ cot δ )
h0 = r
2,5 + µ (6δ − cot δ )
1− µ cot δ
Der Eiswürfel muss nun aus der Höhe
h0 = r
2,5 + µ (6δ − cot δ )
1− µ cot δ
starten, damit er im Looping bleibt.
Auch die Frage: „In welcher Höhe geht der Eiswürfel in den Schiefen Wurf über, wenn er
unterhalb der gerade errechneten Höhe startet?“ kann nun beantwortet werden. Wir bleiben
allgemeiner!
2
Natürlich müssen FN = m ( vr + g cos ϕ ) = 0 ⇔ v 2 = −gr cos ϕ, π2 < ϕ < π und h = r (1− cos ϕ)
sein. Mit Hilfe des Energieerhaltungssatz
mgh + 12 mv 2 + µm ( vr + g cos ϕ ) rϕ = mg
2
h0 (1− µ cot δ ) + µr (cot δ − δ )
1 + 2µδ
folgt
2 gr (1− cos ϕ) − gr cos ϕ = 2 g
h0 (1− µ cot δ ) + µr (cot δ − δ )
1 + 2µδ
cos ϕ = 23 − 23
h0(1− µ cot δ )+µr(cot δ − δ )
(1 + 2µδ )r
und damit der Winkel

h (1− µ cot δ )+µr(cot δ − δ )
ϕ = cos−1  23 − 23 0
.

(1 + 2µδ )r

Die Höhe ist mit h = r (1− cos ϕ) folglich
h0(1 − µ cot δ )+µr(cot δ − δ ) 1
2 h0 −µrδ +µ cot δ(r − h0 ) .
=
LE
−
1+2µδ
1+2µδ
3
3
3
h = 1 LE− 2
3
Bleibt nur noch die Geschwindigkeit v 2 = −gr cos ϕ . Sie beträgt
8
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LOOPING
 h (1− µ cot δ )+µr(cot δ − δ ) 
v = 23 g  0
− r  .
1+2µδ


− cos ϕ
Auch in diesem Fall beginnt ein schiefer Wurf in Richtung 
.
 sin ϕ
Rollende Kugel
Im Fall einer Kugel beginnen Sie mit
7 mv 2 + E = mgh .
mgh + 10
R
0
Folgen Sie den Schritten des Eiswürfels.
Realer Looping
Ein realer Looping sollte folgende Anforderungen an den Übergängen erfüllen.
1. Links- und rechtsseitige Ableitungen (Tangenten) und
2. die Krümmungen
stimmen überein.
1
Der Krümmungsradius r ( x) wird durch
(1 + ( f ′( x)) )
2 3
r ( x) =
f ′′( x)
beschrieben, wobei f eine beliebige Funktion ist. Dies wird in der Analysisvorlesung oder in
einer Übung dazu gezeigt.
Warum werden bei einem Parabelstück immer der Scheitelpunkt und der Fußpunkt (unterster
Punkt des Loopings) als Übergang gewählt?
Abschließende Bemerkung
Zum besseren Verständnis wird neben dem Energieerhaltungssatz gleichzeitig dessen
Energiestrom (Leistung) betrachtet.
E pot + Ekin + ER = E0
und
Eɺ pot + Eɺ kin + Eɺ R = 0
Hierbei wird ersichtlich, dass gleichzeitig die Energie von der potentiellen Energie zur
kinetischen und dissipativen Energie strömt, denn in beiden erscheint v 2 . Deshalb kann in
diesem relativ einfachen Fall auf ein Integral verzichtet werden. Beim Aufstieg in dem Looping
nimmt die potentielle Energie zu und die kinetische Energie ab.
Eɺ pot + Eɺ kin + Eɺ R = 0
1
https://de.wikipedia.org/wiki/Kr%C3%BCmmungskreis
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