Elektrostatische Felder

Teil II
Elektrostatische Felder
1
Inhaltsverzeichnis
II
Elektrostatische Felder
1
1 Vektorrechnung
5
1.1
Vektoren und Vektorfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.2
Einfache Rechenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.3
Normierung und Einheitsvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.4
Das Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2 Gradient und Wegintegral
13
2.1
Skalarfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.2
Partielle Ableitungen und Gradienten . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.3
Kurven im Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.4
Wegintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.5
Radialfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
3 Mehrdimensionale Integrale
25
3.1
Einführung mehrdimensionaler Integrale . . . . . . . . . . . . . .
25
3.2
Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
3.2.1
Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
3.2.2
Zylinderkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
3.2.3
Kugelkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
Integrale bei nichtkartesischen Koordinaten . . . . . . . . . . . .
32
3.3
3
3.4
Flächen im R
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
3.5
Ungerichtete Flächenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
3.6
Integration über gerichteten Flächen . . . . . . . . . . . . . . . .
37
3
4
INHALTSVERZEICHNIS
Kapitel 1
Vektorrechnung
1.1
Vektoren und Vektorfelder
Skalare sind Größen, die durch Angabe einer Maßzahl vollständig beschrieben
sind. Skalare Größen sind z.B. Masse und Temperatur.
Vektoren sind Größen, die durch Angabe einer Maßzahl und einer Richtung
vollständig beschrieben sind. Vektorielle Größen sind z.B. Kraft und Geschwindigkeit.
Sie werden durch Pfeile dargestellt, wobei die Pfeilspitze
die Richtung und die Pfeillänge die Maßzahl (den Betrag)
~a 1
angibt.
Der Betrag eines Vektors ~a wird durch a oder |~a| gekennzeichnet.
Ortsvektoren ~r(P ) geben die Verschiebung vom Koordinatenursprung O in
einen Punkt P an. Der Nullvektor ~0 ist der Vektor mit der Länge Null.
~r(P )
1
Ortvektoren kennzeichnen die Lage von Punkten im
Raum. Der Betrag r(P ) = |~r(P )| gibt die Entfernung
vom Punkt P zum Koordinatenursprung an.
P
O
Die Darstellung von Vektoren erfolgt mit Hilfe sogenannter Basisvektoren.
Im kartesischen Koordinatensystem der Ebene werden die Ortsvektoren
~ex vom Punkt (1, 0) und ~ey vom Punkt (0, 1) verwendet.
y 6
ay
1
~ey 6
3
~a
~ex 1
ax x
Zeigt ein Vektorpfeil ax Einheiten nach rechts und
ay Einheiten nach oben, so schreibt man
ax
.
~a = ax~ex + ay~ey oder auch ~a =
ay
Ist ax negativ, so zeigt der Vektorpfeil |ax | Einheiten nach links. Ist ay negativ,
so zeigt der Vektorpfeil |ay | Einheiten nach unten.
5
6
KAPITEL 1. VEKTORRECHNUNG
Die reellen Zahlen ax und ay nennt man Koordinaten oder Komponenten von
~a. Ist ~a der Ortsvektor von einem Punkt P , so ist P = (ax , ay ) im kartesischen
Koordinatensystem.
Die Länge des Vektors ~a (d.h. der Betrag) kann mit dem Satz von Pythagoras
berechnet werden. Es gilt
q
a = |~a| = a2x + a2y .
ax
stets die Koordinaten
Es ist zu beachten, dass Darstellungen der Form
ay
von Vektoren im kartesischen Koordinatensystem angeben. Zum Beispiel ist
1
0
0
~ex = 1·~ex +0·~ey =
, ~ex = 0·~ex +1·~ey =
und ~0 = 0·~ex +0·~ey =
.
0
1
0
Zeigt ein Vektor ~r von einem Punkt A = (ax , ay ) zu einem Punkt B = (bx , by ),
so ist
−−→
b x − ax
.
~r = AB =
b y − ay
Beispiel 1.1.1. Der von A = (3, 1) nach B = (1, 3) gerichtete Pfeil geht 2
Einheiten nach links und 2 Einheiten nach oben. Also ist
y 6
−−→
−2
B
AB = −2~ex + 2~ey =
.
3
2
I
Mit Hilfe der Punktkoordinaten erhält man
das gleiche Ergebnis
A
1
−−→
1−3
−2
AB =
=
.
3−1
2
1
3
x
−−→
Aufgabe 1.1.1. Geben Sie den Vektor AB als Spaltenvektor an für die Punkte
a) A = (−1, 2), B = (1, 5),
c) A = (0, 2), B = (1, −3),
b) A = (3, 2), B = (0, 0),
d) A = (5, 2), B = (−2, 2) .
Im 3-dimensionalen kartesischen Koordinatensystem werden die Ortsvektoren ~ex vom Punkt (1, 0, 0), ~ey vom Punkt (0, 1, 0) und ~ez vom Punkt
(0, 0, 1) als Basisvektoren verwendet.
z
Zeigt ein Vektorpfeil ax , ay bzw.
az Einheiten in Richtung der entsprechenden Achse, so schreibt
man
6
az
3
~a = ax~ex + ay ~ey + az ~ez
~a
ay
ax
x
oder auch
y


ax
~a =  ay  .
az
7
1.1. VEKTOREN UND VEKTORFELDER
Die Länge bzw. der Betrag eines Vektors ~a = ax~ex + ay ~ey + az ~ez kann wieder
mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden. Es gilt
q
a = |~a| = a2x + a2y + a2z .
Zeigt ein Vektor von einem Punkt A = (ax , ay , az ) zu einem Punkt B =
(bx , by , bz ), so ist


b x − ax
−−→
~r = AB =  by − ay  .
b z − az
Beispiel 1.1.2. Wir betrachten den Ortvektor ~r(P ) des Punktes P = (1, 3, 4).
Dieser Vektor zeigt vom Koordinatenursprung O auf den Punkt P . Also entsprechen die Koordinaten des Vektors denjenigen des Punktes, d.h.
 
1
−−→
~r(P ) = OP =  3  .
4
√
√
Die Länge des Vektors ist r = 12 + 32 + 42 = 26.
Aufgabe 1.1.2. Bestimmen Sie jeweils den Betrag der Vektoren




2
−2
~a =  −11  , ~b =  7 
und ~c = 2~ex − ~ey − 2~ez .
10
2
~
Beispiel
1.1.3. Wir wissen, dass auf ein geladenes Teilchen eine Kraft F =
k + 2N
der Stärke F = 2N wirkt. Wir wollen den Parameter k bestimmen.
k
Hierfür vergleichen wir das Quadrat F 2 der Beträge. Es gilt
(k + 2N )2 + k 2 = 4N 2
⇒
2k 2 + 4N · k = 0
⇒
k = 0 oder k = −2N.
Die wirkende Kraft ist also F~ = 2N · ~ex oder F~ = −2N · ~ey .


2k
Aufgabe 1.1.3. Auf ein geladenes Teilchen wirkt eine Kraft F~ =  6k .
−3k
Wie groß ist der Parameter k, wenn der Betrag dieser Kraft F = 21N beträgt?
Angenommen, wir haben eine positive Punktladung im Koordinatenursprung
gegeben. Dann wirkt auf eine Probeladung q eine Kraft F~ . Die Richtung und der
Betrag dieser Kraft hängen vom Punkt P ab, in welchem sich diese Probeladung
befindet. Jedem Punkt des Raumes P ist also ein Kraftvektor F~ (P ) zugeordnet.
Wird durch eine Vorschrift (Funktion) jedem Punkt des Raumes ein Vektor
zugeordnet, so spricht man von einem Vektorfeld.
Typische Vektorfelder in der Elektrotechnik sind u.a. das elektrische Feld und
das Magnetfeld.
Graphisch dargestellt werden solche Felder zum Beispiel, indem man an beliebig
ausgewählte Punkte des Raumes den zugeordneten Vektor anträgt. Es werden
meist Rasterpunkte gewählt.
8
KAPITEL 1. VEKTORRECHNUNG
Beispiel 1.1.4. Wir betrachten das Vektorfeld
F~ (x, y) =
I
K
Y
I
y
6
1
*
0.5x
.
0.5y
In der Skizze sind an die Punkte
(k, l) mit k, l ∈ {−2, −1, 0, 1, 2} die
zugeordneten Vektoren angetragen.
Zum Beispiel sind denPunkten
1
(2, 0) der Vektor
,
0 0.5
(1, 1) der Vektor
und
0.5
−1
(−2, 1) der Vektor
0.5
zugeordnet.
-x
1
R
j
U
R
Beispiel 1.1.5. Wir betrachten nun das Vektorfeld
F~ (x, y) =
−0.5y
.
0.5x
Jedem Punkt der x − y Ebene wird also ein Vektor wie folgt zugeordnet:
?
?
-
R
U
R
j
In der Skizze sind an die Punkte
(k, l) mit k, l ∈ {−2, −1, 0, 1, 2} die
zugeordneten Vektoren angetragen.
I
K
1 I
y
6
Y
6
1
-
Zum Beispiel sind nun den Punkten
0
(2, 0) der Vektor
,
1
−0.5
(1, 1) der Vektor
und
0.5 −0.5
(−2, 1) der Vektor
−1
zugeordnet.
6
*
-x
Aufgabe 1.1.4. Welche Vektoren sind im Beispiel 1.1.4 und im Beispiel 1.1.5
den Punkten (0, 2), (−1, 1), (0, −1) und (−1, −2) zugeordnet?
Aufgabe 1.1.5. Untersuchen Sie die Vektorfelder
F~1 (x, y) =
1
1
und
F~2 (x, y) =
x
.
0
Welche Vektoren werden den Punkten (−1, 1), (0, 1), (1, 1) und (2, 1) zugeordnet? Stellen Sie beide Vektorfelder graphisch dar.
9
1.2. EINFACHE RECHENOPERATIONEN
1.2
Einfache Rechenoperationen
Einfache Rechenoperationen von Vektoren in der Ebene sind wie folgt gegeben.
bx
ax ~
zwei Vektoren und sei λ ∈ R eine reelle Zahl.
,b=
Seien ~a =
by
ay
Addition: Vektoren werden addiert, indem ihre Koordinaten addiert
werden:
ax + b x
bx
ax
.
:=
+
~a + ~b =
ay + b y
by
ay
Subtraktion: Vektoren werden subtrahiert, indem ihre Koordinaten
subtrahiert werden:
ax − b x
bx
ax
.
:=
−
~a − ~b =
ay − b y
by
ay
Multiplikation mit reellen Zahlen: Vektoren werden mit einer reellen Zahl (Skalar) multipliziert, indem ihre Koordinaten mit dieser Zahl
multipliziert werden:
λ · ax
.
λ · ~a = ~a · λ :=
λ · ay
Geometrisch lassen sich Addition und Subtraktion mit der sogenannten Parallelogrammregel erklären.
Die Summe und die Differenz von Vektoren ~a und ~b entsprechen den gerichteten
Diagonalen in dem durch ~a und ~b errichteten Parallelogramm.
*
~b
~b
~a − ~b
~a + ~b
s
~a
~a
Im 3-dimensionalen Raum sind Addition, Subtraktion und S-Multiplikation analog zu den Operationen in der Ebene definiert. Sind ~a, ~b zwei Vektoren und ist
λ ∈ R eine reelle Zahl so gilt

 





ax
bx
ax ± b x
λ · ax
~a ±~b =  ay  ±  by  :=  ay ± by  und λ·~a = ~a ·λ :=  λ · ay  .
az
bz
az ± b z
λ · az
2
−1
Aufgabe 1.2.1. Gegeben seien die Vektoren ~a =
, ~b =
und ~c =
−1
3
0
−~ey =
. Berechnen Sie die Vektoren
−1
~s1 = 3~a + 2~b − 2~c,
~s2 = (~b − ~a) + (2~c − ~b)
und
~s3 = 4(~a + 3~c) − 2~b.
10
KAPITEL 1. VEKTORRECHNUNG
Anwendung haben die Addition, Subtraktion und Multiplikation mit reellen
Zahlen zum Beispiel bei der Berechnung von elektrischen Feldern.
Beispiel 1.2.1. Eine Punktladung Q erzeugt in der Ebene ein elektrisches Feld
mit der elektrischen Feldstärke
~ = Q · ~r
E
4πǫ r3
(Coulombsches Gesetz)
in einem Punkt P , wobei ~r der Vektor von der Ladung Q zum Punkt P ist. Die
Konstante ist ǫ = 8.854 · 10−12 As(V m)−1 .
Es seien zwei Punktladungen Q1 = Q2 = 1nC in den Punkten A1 = (7cm, 1cm)
und A2 = (0cm, 2cm) gegeben. Wir wollen die elektrische Feldstärke bei P =
(3cm, −2cm) bestimmen.
~ 1 in P . Der Vektor
Wir betrachten die durch die Ladung Q1 erzeugte Feldstärke E
~r ist dann
−−→
3cm − 7cm
−4cm
~r = A1 P =
=
mit dem Betrag r = 5cm.
−2cm − 1cm
−3cm
Wir erhalten mit dem Coulombschen Gesetz somit
~1
E
=
=
≈
−4cm
1nC
~r
Q
−3cm
=
·
·
4πǫ r3
4π · 8.854 · 10−12 As(V m)−1
(5cm)3
−4
−4
107
10−9 As
−3
−3 V
·
=
·
−12
−1
3
−2
2
4π · 8.854 · 10 As(V m)
(5) · (10 m)
4π · 8.854 (5)3 m
−4 V
−2880 V
720 ·
=
.
−3 m
−2160 m
~ 2 in P . Der
Wir betrachten nun die durch die Ladung Q2 erzeugte Feldstärke E
Vektor ~r ist nun
−−→
3cm − 0cm
3cm
~r = A2 P =
=
mit dem Betrag r = 5cm.
−2cm − 2cm
−4cm
Analog zur obiger Rechnung erhalten wir
~ 2 ≈ 720 · 3 V = 2160 V .
E
−2880 m
−4 m
Die beiden Vektorfelder überlagen sich nun. Es gilt für die Gesamtfeldstärke
−2880 V
2160 V
−720 V
~
~
~
E = E1 + E2 =
+
=
.
−2160 m
−2880 m
−5040 m
Aufgabe 1.2.2. Berechnen Sie die elektrische Feldstärke
a) im Koordinatenursprung ,
b) in P = (7cm, 2cm),
wenn die Punktladungen aus Beispiel 1.2.1 gegeben sind.
1.3. NORMIERUNG UND EINHEITSVEKTOREN
1.3
11
Normierung und Einheitsvektoren
Wenn ein Vektor den Betrag 1 hat, so bezeichnet man ihn als Einheitsvektor.
Teilt man einen (von ~0 verschiedene) Vektor ~r durch seinen Betrag r, so erhält
man einen Einheitsvektor
1
~r 0 := · ~r.
r
Es ist also |~r 0 | = 1. Man bezeichnet diese Operation als Normierung des
Vektors.
Beispiel 1.3.1. Eine Punktladung Q erzeugt in der Ebene ein elektrisches Feld
mit der elektrischen Feldstärke
~ = Q · ~r
E
(Coulombsches Gesetz)
4πǫ r3
in einem Punkt P , wobei ~r der Vektor von der Ladung Q zum Punkt P ist. Man
findet aber auch die Formel
0
~ = Q · ~r .
E
2
4πǫ r
Wenn wir ~r 0 = ~rr hier einsetzen, erhalten wir wieder die erste Formel. Beide
Formeln sind also korrekt.
~ 1 aus Beispiel 1.2.1 im Punkt P = (3cm, −2cm).
Wir betrachten das Feld E
Dann wissen wir, dass
−−→
−4cm
~r = A1 P =
ist mit dem Betrag r = 5cm.
−3cm
Der zugehörige normierte Vektor ist also
−4cm
−0.8
1
0
=
.
~r =
5cm −3cm
−0.6
Aufgabe 1.3.1. Normieren Sie die folgenden Vektoren:
−−→
a) ~r = AB mit A = (−1, −1) und B = (2, 4),
−−→
b) ~r = AB mit A = (−5, 0, 4) und B = (5, 2, −7).
1.4
Das Skalarprodukt
Eine weitere wichtige Rechenoperation ist das Skalarprodukt. Dabei wird aus
zwei Vektoren eine skalare Größe berechnet.
bx
ax ~
zwei Vektoren. Dann heißt die reelle Zahl
,b=
Seien ~a =
by
ay
~a · ~b := ax · bx + ay · by
Skalarprodukt der Vektoren ~a und ~b.
Für Vektoren im 3-dimensionalen Raum ist das Skalarprodukt definiert durch
~a · ~b := ax · bx + ay · by + az · bz .
12
KAPITEL 1. VEKTORRECHNUNG
Mit dem Skalarprodukt kann der Winkel ϕ zwischen
zwei Vektoren ~a und ~b berechnet werden. Es gilt:
~a · ~b = |~a| · |~b| · cos(ϕ)
bzw.
cos(ϕ) =
~a · ~b
.
|~a| · |~b|
3
ϕ
~b
- ~a
Zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren ~a und ~b stehen also genau dann
senkrecht aufeinander, wenn cos(ϕ) = 0 und somit ~a · ~b = 0 gilt.
An der Definition des Skalarproduktes sieht man außerdem, dass für Vektoren
~a, ~b, ~c und λ ∈ R folgende Umformungen gelten:
1. ~a · ~a = a2 ,
2. ~a · ~b = ~b · ~a,
3. (~a + ~b) · ~c = ~a · ~c + ~b · ~c,
4. (λ · ~a) · ~b = λ · (~a · ~b).
Beispiel 1.4.1. Gegeben seien die Vektoren ~a = 2~ex − 5~ey + ~ez und ~b = 4~ex +
~ey − 3~ez . Dann ist
~a · ~b = 2 · 4 − 5 · 1 + 1 · (−3) = 0,
d.h. die beiden Vektoren sind senkrecht zueinander.
Dieses Ergebnis können wir nun bei der folgenden Umformung nutzen. Es gilt
(~a + 2~b)~a + (~a − ~b)~b = ~|{z}
a · ~a +2 ~|{z}
b · ~a + |{z}
~a · ~b − ~|{z}
b · ~b = a2 − b2 = 30 − 26 = 4.
=a2
=0
=0
=b2
Aufgabe 1.4.1. Gegeben seien Vektoren
2
−3
−2
~a =
, ~b =
und ~c =
.
1
1
−6
Berechnen Sie
1. die Winkel zwischen den Vektoren,
2. den Vektor ~v = (~a ·~b)·~c −2(~b·~c)·~a und den Wert w = (~a +3~b)·~c +(2~a −~b)·~c.
−→
~ mit ~r = −
Aufgabe 1.4.2. Welche Arbeit W = q · ~r · E
AB benötigt man, um ein
Teilchen mit q = 20nC von A = (−1cm, 0cm, 0cm) nach B = (1cm, 3cm, 0cm)
~ =
zu schieben, wenn in jedem Punkt des Raumes ein elektrisches Feld mit E
kV
(~ex + ~ey ) m anliegt?
Kapitel 2
Gradient und Wegintegral
2.1
Skalarfelder
Bei Skalarfeldern wird jedem Punkt im Rn (n = 2, 3) eine reelle Zahl zugeordnet. Dies sind also Funktionen f : R2 → R bzw. f : R3 → R. Zum Beispiel kann
jedem Punkt auf der Erdoberfläche seine Höhe über dem Meeresspiegel zugeordnet werden. In der Elektrotechnik ist zum Beispiel jedem Punkt im Raum
ein elektrisches Potential zugeordnet.
Für n = 2 können Skalarfelder durch Flächen z = f (x, y) im 3-dimensionalen
kartesischen Koordinatensystem dargestellt werden. Das Zeichnen und Auswerten derartiger Graphiken ist jedoch sehr kompliziert. Deshalb werden Skalarfelder häufig mit Hilfe von Höhenlinien dargestellt. Man wählt hierfür Werte
aus dem Wertebereich aus und bestimmt alle Punkte, denen einer der Werte
zugewiesen wird. Solche Linien kennt man meist aus Wanderkarten oder als
Isobarenlinien in meteorologischen Karten.
Beispiel 2.1.1. Sei f (x, y) = z = 1 − x − y. Dann ist x + y + z = 1, d.h. die
Funktion beschreibt eine Ebene im R3 . Die Höhenlinien sind in der x-y–Ebene
gegeben durch x + y = 1 − c. Beim Zeichnen dieser Höhenlinien kann man z.B.
die Werte c ∈ N wählen.
Beispiel 2.1.2. Es sei nun f (x, y) = z = x2 +y 2 . Dann gilt für den Definitionsund Wertebereich der Funktion
D(f ) = R2
und
W (f ) = [0, ∞).
Weiter ist
f (0, y) = y 2
und
f (x, 0) = x2 ,
d.h. der Funktionswert steigt quadratisch, wenn eine der Variablen auf Null
fixiert wird.
Für die Berechnung der Höhenlinien betrachten wir alle Punkte (x, y) mit konstantem Wert f (x, y) = c ≥ 0. Für√diese Punkte gilt x2 + y 2 = c, d.h. sie liegen
auf einem Kreis mit Radius r = c. Alle Höhenlinien sind also konzentrische
Kreise mit Mittelpunkt (0, 0).
13
14
KAPITEL 2. GRADIENT UND WEGINTEGRAL
z
6
y
6
z = x2 + y 2
-x
-y
x
Höhenlinien für c ∈ {1, 2, 3, 4}
p
Beispiel 2.1.3. Wir betrachten nun die Funktion f (x, y) = z = 1 − x2 − y 2 .
Diese Funktion ist definiert für alle Punkte im Einheitskreis, d.h. der Definitionsbereich ist
D(f ) = {(x, y) : x2 + y 2 ≤ 1}.
Die Funktionswerte liegen alle im Intervall [0, 1]. Durch Umformen erhalten wir
nun:
x2 + y 2 + z 2 = 1.
Der Graph der Funktion ist somit ein Teil einer Kugeloberfläche. Wegen 0 ≤
z ≤ 1 entsprechen die Punkte (x, y, f (x, y)) der oberen Hälfte der Einheitskugel.
2
Für die Höhenlinien mit f (x, y) = c gilt offensichtlich die Gleichung x√
+ y2 =
2
1−c . Sie entsprechen somit Kreisen um den Nullpunkt mit Radius r = 1 − c2 .
z
6
y
6
z=
p
1 − x2 − y 2
-x
-y
x
Höhenlinien für c ∈ {0, 0.25, 0.50, 0.75}
Skalare Felder, deren Höhenlinien Kreise bzw. Kugeloberflächen um den Nullpunkt sind, nennt man radialsymmetrisch. Sie sind Funktionen f (r), wobei r
der Abstand zum Koordinatenursprung ist.
1
x2 +y 2
Beispiel 2.1.4. Es sei das Skalarfeld F (x, y) = z = √
gegeben. Diese
Funktion ist definiert für alle Paare (x, y) ∈ R2 \{(0, 0)}. Weiter gilt f (0, y) =
1/|y| und f (x, 0) = 1/|x|. Die Werte der Funktion sind somit im Intervall
(0, ∞). Die Höhenlinien sind erneut Kreise um den Nullpunkt
x2 + y 2 = 1/c2
mit Radius r = 1/c. Das Skalarfeld ist somit radialsymmetrisch mit F (x, y) =
1/r. Wenn man nun die Höhenlinien im R3 abträgt, erhält man folgendes Bild:
15
2.2. PARTIELLE ABLEITUNGEN UND GRADIENTEN
z
6
Im Bild sind die Höhenlinien angegeben für
3
5
1 1 1
, , , 1, , 2, , 3 .
c∈
9 4 2
2
2
-y
x
Beispiel 2.1.5. Wir betrachten die Funktion f (x, y) = x · y. Wir suchen eine Beschreibung der Höhenlinien und eine graphische Darstellung des Graphen
(x, y, f (x, y)).
Die Höhenlinien sind gegeben durch c = x · y mit c ∈ R. Mittels eine Fallunterscheidung erkennt man, dass die Höhenlinien für c = 0 ein Paar von Geraden
und für c 6= 0 Hyperbeln sind.
c = 0:
c 6= 0:
x = 0 (y-Achse) oder y = 0 (x-Achse)
y = xc (Hyperbeln)
Um die 3 dimensionale Graphik zu verstehen, betrachten wir die Funktion entlang der Geraden y = x und y = −x.
Für x = y gilt f (x, y) = x2 , d.h. wir haben eine nach oben geöffnete Parabel.
Für x = −y gilt f (x, y) = −x2 , d.h. wir haben eine nach unten geöffnete Parabel.
Somit ist (x, y, f (x, y)) eine Sattelfläche.
z
6
c
c
c
c
c
=
=
=
=
=
-y
2
1
0
−1
−2
Nx
Aufgabe 2.1.1. Bestimmen und skizzieren Sie den Definitionsbereich der folgenden Funktionen:
p
p
z = y + 2x, z = (x2 − 1)(4 − y 2 ), z = ln(x − y)/(x + y).
Aufgabe 2.1.2. Skizzieren Sie die Höhenlinien von folgenden Funktionen:
p
z = x2 − 2x + y 2 , z = 2x + 4y, z = y − x2 .
2.2
Partielle Ableitungen und Gradienten
Der Ableitungsbegriff ermöglicht Aussagen über Funktionswertänderungen. Wir
haben nun jedoch mehrere Variablen. Wie kann nun also der Ableitungsbegriff
16
KAPITEL 2. GRADIENT UND WEGINTEGRAL
verallgemeinert werden? Wir betrachten zunächst folgendes Beispiel (vgl. Beispiel 2.1.2).
Beispiel 2.2.1. Es sei das Skalarfeld
f (x, y) =
1 2
(x + y 2 )
4
gegeben. Das zugehörige Bild ist ein Paraboloid (siehe Beispiel 2.1.2).
Wird y als Konstante betrachtet und f nach x abgeleitet, so erhalten wir die
sogenannte partielle Ableitung nach x:
f (x + h, y) − f (x, y)
∂f
:= lim
= x/2.
h→0
∂x
h
Diese Ableitung gibt die Änderung des Funktionswertes in Richtung der x-Achse
an.
Wird x als Konstante betrachtet und f nach y abgeleitet, so erhalten wir die
sogenannte partielle Ableitung nach y:
f (x, y + h) − f (x, y)
∂f
:= lim
= y/2.
h→0
∂y
h
Diese Ableitung gibt die Änderung des Funktionswertes in Richtung der y-Achse
an.
Der Vektor aus beiden partiellen Ableitungen
grad f (x, y) =
∂f ∂x
∂f
∂y
x/2
=
y/2
wird als Gradient von f im Punkt (x, y) bezeichnet. Er gibt die Richtung des
steilsten Anstiegs des Funktionswertes an. Sein Betrag ist ein Maß für die Stärke
des Anstiegs.
y
6
I
- x
R
Für c ∈ {1, 2, 3, 4}.
?
In der Skizze sind die Gradienten
in √
den Punkten
(0, ±2), (±2, 0) und
√
(± 2, ± 2) angegeben. Es ist z.B.
1
grad f (2, 0) =
,
0
0
grad f (0, 2) =
und
1
√ √
1 1
.
grad f ( 2, 2) = √
2 1
2.2. PARTIELLE ABLEITUNGEN UND GRADIENTEN
17
Es sei ein skalares Feld f (x1 , . . . , xn ) gegeben. Wenn man bzgl. xi ableitet
und alle anderen Variablen als Konstanten behandelt, spricht man von einer
partiellen Ableitung von f nach xi und schreibt
∂f
(x1 , . . . , xn ) .
∂xi
Der Vektor der partiellen Ableitungen in einem Punkt wird als Gradient bezeichnet:
 ∂f

∂x1 (x1 , . . . , xn )
.
...
grad f (x1 , . . . , xn ) = 
∂f
∂xn (x1 , . . . , xn )
Man kann für jeden Punkt des Raumes einen Gradienten berechnen (falls die
partiellen Ableitungen existieren). Die Gradienten eines skalaren Feldes bilden
somit ein Vektorfeld.
Bekannt ist: Wenn Φ(x, y, z) ein elektrostatisches Potential ist, dann ist das
~
zugehörige elektrostatische Feld E(x,
y, z) = −grad Φ(x, y, z).
Der Gradient gibt in jedem Punkt die Richtung an, in welcher der Funktionswert von f am stärksten ansteigt. Der Betrag des Gradienten ist ein Maß für
die Stärke des Anstiegs.
Aufgabe 2.2.1. Berechnen Sie die Gradienten für folgende Funktionen.
1. f (x, y) = −x − y + 1
2. f (x, y) = x2 y − exy
3. f (x, y, z) = ex + y 3 − x · z
4. f (x, y, z) = sin(2x + 1) · y
p
5. f (x, y) = 1 − (x2 + y 2 )
1
x2 +y 2
6. f (x, y) = √
Aufgabe 2.2.2. Das Potentialfeld einer Punktladung im Koordinatenursprung
der Ebene ist
1
Q
p
.
Φ(x, y) =
4πǫ x2 + y 2
~
Zeigen Sie E(x,
y) = −grad Φ(x, y).
Die Gradienten eines Skalarfeldes bilden ein Vektorfeld. Umgekehrt, entspricht
jedes Vektorfeld den Gradienten eines Skalarfeldes? Wir betrachten zwei Beispiele.
4xy 3
Beispiel 2.2.2. Sei ein Vektorfeld F~ (x, y) =
gegeben.
6x2 y 2
Existiert ein skalares Feld Φ : R2 → R, sodass F~ der Gradient von Φ ist?
Angenommen, dies ist der Fall. Dann gilt für die Funktion Φ folgendes:
18
KAPITEL 2. GRADIENT UND WEGINTEGRAL
∂Φ
= 4xy 3
∂x
∂Φ
= 6x2 y 2
∂y
→ Φ(x, y) =
ˆ
4xy 3 dx = 2x2 y 3 + c1 (y),
→ Φ(x, y) =
ˆ
6x2 y 2 dy = 2x2 y 3 + c2 (x).
Wir vergleichen die beiden Funktionen, wobei c1 (y) bzw. c2 (x) Funktionen von
y bzw. x sind. Sie stimmen überein für c1 (y) = c2 (x) = c mit c ∈ R beliebig.
Also ist Φ(x, y) = 2x2 y 3 + c die gesuchte Funktion.
−y
Beispiel 2.2.3. Sei F~ (x, y) =
(siehe auch Beispiel 1.1.5).
x
Es ist ein Skalarfeld Φ gesucht mit F~ = grad Φ. Existiert Φ, dann gilt:
ˆ
∂Φ
= −y → Φ(x, y) = −y dx = −xy + c1 (y),
∂x
ˆ
∂Φ
= x → Φ(x, y) = x dy = xy + c2 (x).
∂y
Diese Funktionen stimmen für kein c1 (y) und c2 (x) überein, da diese Funktionen
keine gemischten Terme enthalten.
Es existiert also kein Skalarfeld Φ mit F~ = grad Φ.
Wenn für ein Vektorfeld F~ eine skalare Funktion Φ mit F~ = grad Φ existiert,
dann bezeichnet man F~ als Gradientenfeld oder konservatives Vektorfeld.
1 + 2y
~
Aufgabe 2.2.3. Sei F (x, y) =
. Ist F~ ein Gradientenfeld?
2x + 3y 2
2.3
Kurven im Raum
Man kann die Bahnkurve von Teilchen beschreiben,
indem man jedem Zeitpunkt t eines Intervalls [tA , tB ]
den Ortvektor desjenigen Punktes zuordnet, an welchem sich das Teilchen befindet
~r(tA )
~r(t)
t −→ ~r(t).
Kurven bzw. Wege im Raum können als Funktion von Ortsvektoren


x(t)
x(t)
~r(t) =
bzw. ~r(t) =  y(t) 
y(t)
z(t)
:
~r(tB )
mit einer Variablen t ∈ [tA , tB ] beschrieben werden. Dabei geben ~r(tA ) den
Aufpunkt und ~r(tB ) den Endpunkt der Kurve an.
Ein Weg heißt geschlossen, wenn ~r(tA ) = ~r(tB ) gilt (tA 6= tB ).
19
2.4. WEGINTEGRALE
Beispiel 2.3.1. Wir betrachten die Kurve
x(t)
−1
2
~r(t) =
=
+t
y(t)
0
1
für t ∈ R.
Dies ist die parametrische Form einer Geraden mit Parameter t. Betrachtet man
dies als Funktion, dann wird jedem reellwertigen t ein Vektor mit x-Komponente
x(t) = −1 + 2t und y-Komponente y(t) = t zugewiesen.
Die Kurve ~r(t) mit der Variable t ∈ [0, 1] entspricht der Strecke von P = (−1, 0)
nach Q = (1, 1).
Aufgabe 2.3.1. Geben Sie jeweils die Strecke P Q als Kurve/Weg an:
a) P = (2, 4), Q = (−1, 2)
b) P = (−1, 2), Q = (0, 0) .
Beispiel 2.3.2. Die Funktion
x(t)
2 · cos(t)
~r(t) =
=
y(t)
2 · sin(t)
für t ∈ [0, 2π]
ordnet jedem Winkel t einen Punkt auf dem Kreis mit Radius r = 2 zu. Dies
kann man auch wie folgt verstehen:
x(t)2 + y(t)2 = 4 cos2 (t) + 4 sin2 (t) = 4.
Dies ist die Mittelpunktsgleichung von einem Kreis mit Radius 2.
Aufgabe 2.3.2. Geben Sie einen Weg von P = (1, 0) nach Q = (0, 1) an,
welcher einem Viertelkreis entspricht.
Beispiel 2.3.3. Wir betrachten die Kurve
x(t)
2 · cos(t)
~r(t) =
=
y(t)
1 · sin(t)
für t ∈ [0, 2π].
Im Vergleich zum Beispiel 2.3.2 ist nun der y-Wert nur halb so groß. Somit
beschreibt die angegebene Kurve eine Ellipse. Dies kann man auch wie folgt
verstehen:
x(t)2 /4 + y(t)2 /1 = cos2 (t) + sin2 (t) = 1.
Dies ist die Mittelpunktsgleichung von einer Ellipse mit den Halbachsen a = 2
und b = 1.
Aufgabe 2.3.3. Skizzieren Sie die Kurve
x(t)
t
~r(t) =
= 2
y(t)
t
2.4
für t ∈ [−2, 2].
Wegintegrale
In einem ebenen Kraftfeld F~ (x, y) soll ein Massepunkt von Punkt A entlang
einer Kurve ~r(t) (t ∈ [tA , tB ]) in einen Punkt B verschoben werden.
20
KAPITEL 2. GRADIENT UND WEGINTEGRAL
Wir unterteilen die Kurve, indem wir Teilintervalle [t, t + △t] von [tA , tB ] betrachten. Wir nehmen an, dass die wirkende Kraft in den zugehörigen Kurvenpunkten konstant F~ (x(t), y(t)) ist.
Dann gilt für die Arbeit auf diesem kleinen Wegstück
△W ≈ F~ (x(t), y(t)) · (~r(t + △t) − ~r(t)) ≈ F~ (x(t), y(t)) ·
Dabei ist
~r(t) 7
(~r(t + △t) − ~r(t))
· △t.
△t
x(t + △t) − x(t)
~r(t + △t) − ~r(t) =
.
y(t + △t) − y(t)
j F~ Beim Übergang △t → 0 erhalten wir somit
~r(t + △t) − ~r(t)
ẋ(t)
lim
=
.
:N
△t→0
△t
ẏ(t)
~r(t + △t)
Dabei kennzeichnet der Punkt die Ableitung nach t. Die
Skizze zeigt:
Es sei ~r(t) eine ebene Kurve. Dann gibt der Vektor
˙~r(t) := ẋ(t)
ẏ(t)
einen Tangentialvektor an die Kurve im Punkt P = (x(t), y(t)) an. Er entspricht einem Geschwindigkeitsvektor.
Im 3-dimensionalen Raum gilt dies analog.
Wir erhalten beim Grenzübergang für kleine Wegstücke
Fx (x(t), y(t))
ẋ(t)
dW =
·
dt.
Fy (x(t), y(t))
ẏ(t)
Insgesamt ist also
ˆ
ˆ
W = dW =
tB
tA
ˆ tB
Fx (x(t), y(t))
ẋ(t)
F~ (~r(t)) · ~r˙ (t)dt.
·
dt =
Fy (x(t), y(t))
ẏ(t)
tA
~ := ~r˙ (t)dt. Dann ist W =
Häufig verwendet man die Variable s mit ds
Es gilt hierbei:
~ = |~r˙ (t)|dt
ds := |ds|
ˆ
ˆ tB
|~r˙ (t)|dt
s := ds =
´
~
F~ · ds.
...Länge eines Wegstückes,
...Gesamtlänge der Kurve.
tA
Ein Integral der Form
W =
ˆ
~ =
F~ · ds
ˆ
F~ (t) · ~r˙ (t) dt
bezeichnet man als Linienintegral, Kurvenintegral oder auch Wegintegral.
21
2.4. WEGINTEGRALE
Beispiel 2.4.1. (Ohne Verwendung von Einheiten.)
Es sei ein Kraftfeld F~ (x, y) = (1+2y)~ex +(2x+3y 2 )~ey gegeben. Wir wollen einen
Massepunkt von A = (0, 1) nach B = (2, 3) entlang einer Geraden schieben.
1. Als erstes müssen wir die Kurve angeben. Eine Möglichkeit hierfür ist
0
2
2t
~
~
~r(t) = OA + tAB =
+t
=
,
t ∈ [0, 1].
1
2
2t + 1
2. Wir bestimmen die Ableitung (den Tangentialvektor) des Weges:
2t
2
˙~r(t) = d
=
.
dt 2t + 1
2
3. Wir setzen x(t) = 2t und y(t) = 2t + 1 ins Kraftfeld ein. Es ist dann
1 + 2y
1 + 2(2t + 1)
3 + 4t
~
F (t) =
=
=
.
2x + 3y 2
2(2t) + 3(2t + 1)2
12t2 + 16t + 3
4. Wir bilden das Skalarprodukt F~ · ~r˙ (t)
3 + 4t
2
˙
~
F · ~r(t) =
·
= 12 + 40t + 24t2 .
12t2 + 16t + 3
2
5. Wir berechnen das Integral
1
ˆ 1
2
2
3
W =
(12 + 40t + 24t )dt = 12t + 20t + 8t = 40.
0
0
In der Elektrotechnik wird häufig die Spannung UAB zwischen zwei Punkten A
und B berechnet:
ˆ
~
~ ds.
UAB = Φ(A) − Φ(B) = E
Die erste Gleichung verwendet man, wenn das Potentialfeld bekannt ist. Sonst
wird die Spannung mit dem Integral berechnet.
~ = −grad Φ gilt hier die Besonderheit, dass die Kurve
Wegen der Eigenschaft E
von A nach B beliebig gewählt werden kann.
x
~
Beispiel 2.4.2. Es sei E(x, y) =
(ohne Einheiten). Wir wollen die Spany
nung UAB zwischen den Punkten A = (2, 0) und B = (0, 4) aus dem E-Feld
ermitteln.
Als Kurve von A nach B wählen wir die Strecke AB. Dann ist
2
0
2
2 − 2t
~r(t) =
+t
−
=
,
t ∈ [0, 1].
0
4
0
4t
~ Also ist
Wir berechnen die Ableitung ~r˙ (t) der Kurve und ersetzen x und y in E.
x(t) = 2 − 2t
y(t) = 4t
→ ẋ(t) = −2
→ ẏ(t) = 4
Ex = x = 2 − 2t
Ey = y = 4t.
22
KAPITEL 2. GRADIENT UND WEGINTEGRAL
Wir erhalten somit
1
ˆ 1 ˆ 1
2 − 2t
−2
2
UAB =
·
dt =
[−4 + 20t]dt = −4t + 10t = 6.
4t
4
0
0
0
Probe: UAB = Φ(A) − Φ(B) = −2 − (−8) = 6.
Wir haben in beiden Beispielen die gleichen Rechenschritte ausgeführt.
´
~ entlang einer Kurve von A nach B erhält man wie folgt:
Das Integrals F~ ds
1. Es ist die (evtl. frei gewählte) Kurve ~r(t) mit t ∈ [tA , tB ] anzugeben.
2. Es wird die Ableitung ~r˙ (t) berechnet.
3. Wir setzen die Werte von x(t) und y(t) (bzw. z(t)) ins Feld F~ ein.
4. Wir bilden das Skalarprodukt F~ ·~r˙(t) mit den Vektoren aus den Schritten
2. und 3.
5. Das
wird ins Integral eingesetzt und
ˆ tB
ˆ Skalarprodukt
~ :=
(F~ · ~r˙ (t))dt berechnet.
F~ ds
tA
Beispiel 2.4.3. Wir betrachten nochmals die Werte aus Beispiel 2.4.2. Als
Kurve wählen wir nun jedoch den zusammengesetzten Weg aus dem Kreisbogen
AC und der Strecke CB mit C = (0, 2). Der Kreisbogen AC wird beschrieben
durch
π
x(t)
2 cos(t)
~r(t) =
=
,
t ∈ [0, ].
y(t)
2 sin(t)
2
Also gilt:
x(t) = 2 cos(t)
y(t) = 2 sin(t)
UAC =
ˆ
π/2
0
→ ẋ(t) = −2 sin(t)
→ ẏ(t) = 2 cos(t)
Ex = x = 2 cos(t)
Ey = y = 2 sin(t).
ˆ π/2
2 cos(t)
−2 sin(t)
·
dt =
[0]dt = 0.
2 sin(t)
2 cos(t)
0
Die Strecke CB wird beschrieben durch
0
0
0
0
~r(t) =
+t
−
=
,
2
4
2
2 + 2t
t ∈ [0, 1].
Also gilt:
x(t) = 0
y(t) = 2 + 2t
UCB =
ˆ
0
1
→ ẋ(t) = 0
→ ẏ(t) = 2
Ex = x = 0
Ey = y = 2 + 2t.
1
ˆ 1
2
0
·
dt =
[4 + 4t]dt = 4t + 2t2 = 6.
2 + 2t
2
0
0
Es gilt also UAB = UAC + UCB = 6.
23
2.5. RADIALFELDER
x
und zwei Punkte A =
ey
(0, 0) und B = (2, 4). Berechnen Sie, welche Arbeit W verrichtet werden muss,
wenn
Aufgabe 2.4.1. Gegeben sei ein Kraftfeld F~ =
a) ein Massepunkt auf der Strecke AB verschoben wird,
t
b) ein Massepunkt auf der Parabel ~r(t) =
von A nach B verschoben
t2
wird. Wie sind die Intervallgrenzen tA , tB zu wählen?
2.5
Radialfelder
Abschließend sollen noch Linienintegrale von Radialfeldern angesprochen werden.
Ein Vektorfeld F~ heißt Radialfeld, wenn es die Form
F~ (~r) = F (r) · ~r 0
mit ~r 0 = ~r/r
hat, d.h. die Richtung in jedem Punkt P entspricht dem normierten Ortvektor
und der Betrag hängt nur vom Abstand zum Nullpunkt ab.
Die Feldstärke einer Punktladung im Koordinatenursprung
0
~ = Q · ~r
E
4πǫ r2
ist solch ein Radialfeld mit Betragsfunktion E(r) =
Q
.
4πǫr2
Für Radialfelder F~ (~r) = F (r) · ~r 0 und Wege von A nach B gilt
B
ˆ
A
~ =
F~ · ds
ˆ
rB
F (r) dr ,
rA
wobei rA bzw. rB die Abstände von A, B zum Koordinatenursprung sind.
Beispiel 2.5.1. Es sei eine Punktladung Q = 1nC im Koordinatenursprung
gegeben. Es sei ǫ = 8, 854 · 10−12 VAs
m . Gesucht ist die Spannung zwischen den
Punkten A = (1mm, 1mm) und B = (6mm, 8mm).
Wir berechnen zuerst die Integralgrenzen
p
p
√
rA = (1mm)2 + (1mm)2 = 2mm, rB = (8mm)2 + (6mm)2 = 10mm.
Die Betragsfunktion der Feldstärke ist E(r) = k/r2 mit
k=
Wir erhalten
ˆ
UAB =
rB
rA
E(r)dr =
ˆ
rB
rA
Q
≈ 0.89877 V m .
4πǫ
r
k
−k B
1
1
≈ 545.65V.
dr
=
−
=
k
r2
r rA
rA
rB
24
KAPITEL 2. GRADIENT UND WEGINTEGRAL
Mit der Formel UAB = Φ(A)−Φ(B) und Φ =
Q
4πǫr
würde man dasselbe erhalten.
~ = 20V · ~r 0 gegeben. Berechnen Sie die
Aufgabe 2.5.1. Es sei das Radialfeld E
r
Spannung UAB zwischen den Punkten A = (1mm, 0mm) und B = (3mm, 4mm).
Kapitel 3
Mehrdimensionale Integrale
Bisher wurden nur Integrale mit einer Integrationsvariablen betrachtet. Zur Berechnung von Ladungen bei gegebener Ladungsdichte oder des elektrischen Flusses muss jedoch über einem Volumen oder einer Fläche integriert werden.
3.1
Einführung mehrdimensionaler Integrale
Wir untersuchen zunächst folgendes Problem mit 2 Variablen.
Beispiel 3.1.1. Es sei ein rechteckiger Pool mit 20m Breite und 10m Länge
gegeben.
Wenn wir die Wasserfläche in kartesischen Koordinaten darstellen, ist die Wassertiefe als Funktion
t(x, y) = 1 +
x2
x3
−
100 3000
y 6
10m
(in Metern)
20m
x
Lösung: Bei konstanter Wassertiefe wäre einfach das Volumen eines Quaders
zu berechnen. Wir verwenden nun folgenden Trick:
gegeben. Wieviel Wasser ist im Schwimmbecken?
Wir unterteilen die Fläche in kleine Rechtecke Rij mit Flächeninhalt dAij = dxi · dyj
und nehmen an, dass die Tiefe im gesamten Rechteck Rij der Tiefe t(xi , yj ) in einem Punkt (xi , yj ) ∈ Rij entspricht.
y 6
. (x , y )
i
j
j
Rij
x
i
P P
P
Wir erhalten näherungsweise V ≈ (i,j) t(xi , yj )dAij = i j t(xi , yj )dxi dyj .
Je kleiner die Intervalle dxi , dyj und somit auch die Rechtecke Rij werden,
desto besser ist die Näherung. Somit ist
XX
X
t(xi , yj ) dxi dyj .
t(xi , yj )dAij = lim lim
V = lim
|dAij |→0
(i,j)
dxi →0 dyj →0
25
xi
yj
26
KAPITEL 3. MEHRDIMENSIONALE INTEGRALE
Um den Grenzwert zu berechnen, stellen wie die Formel um. Es gilt


ˆ 10
X
X
X
t(xi , y)dy
dxi
t(xi , yj )dyj  = lim
dxi  lim
V = lim
dxi →0
=
ˆ
20
x=0
dyj →0
xi
ˆ
dxi →0
yj
y=0
xi
10
t(x, y)dy dx.
y=0
Also erhalten wir für das Beispiel
10
ˆ 20 ˆ 20 ˆ 10 x2
x2
x3 x3 y 1+
1+
dy dx =
dx
V =
−
−
100 3000
100 3000 0
x=0
y=0
x=0
20
ˆ 20 x2
x3
x3 x4
10 +
=
dx = 10x +
−
−
10 300
30 1200 0
x=0
= 200 + 8000/30 − 16000/1200 = 1000/3,
d.h. im Pool befinden sich ≈ 333m3 Wasser.
Was lernen wir aus dem Beispiel?
2
Wenn eine Fläche A und eine stetige
P Funktion t : R → R gegeben sind, dann
kann der Grenzwert lim|dAij |→0 (i,j) t(xi , yj ) dAij auch wie folgt geschrieben
werden:
¨
ˆ
t(x, y) dx dy .
t(x, y)dA oder auch
A
A
Ist die Fläche ein Rechteck A = [a1 , b1 ] × [a2 , b2 ], dann ist
ˆ
t(x, y)dA =
ˆ
b1
x=a1
A
ˆ
b2
t(x, y) dy dx =
ˆ
b2
y=a2
y=a2
ˆ
b1
t(x, y) dx dy.
x=a1
Die Teilstücke bei der Grenzwertberechnung können eine beliebige Form haben.
Wichtig ist nur, dass ihr Durchmesser immer kleiner
˜ wird. Analog gilt dies
auch im 3-dimensionalen Raum. Integrale der Form
werden verwendet um
hervorzuheben, dass es 2 Variable gibt.
Wenn ein KörperˆK gegeben ist und eine Funktion
t : R3 → R, dann bezeich˚
net das Integral
t(x, y, z)dV oder auch
t(x, y, z)dV den Grenzwert
K
ˆ
K
t(x, y, z) dV =
K
lim
|dVi |→0
X
f (xi , yi , zi ) dVi ,
i
wobei mit dVi die Volumen der einzelnen Volumenelemente Ki bezeichnet, in
die K zerlegt ist, und (xi , yi , zi ) ∈ Ki gilt.
Wenn der Körper ein Quader Q = [a1 , b1 ] × [a2 , b2 ] × [a3 , b3 ] ist, dann gilt
! !
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
b3
b2
b1
f (x, y, z)dx dy dz.
f (x, y, z)dV =
Q
a3
a2
a1
Die Reihenfolge der Variablen kann dabei beliebig gewählt werden.
27
3.2. KOORDINATENSYSTEME
Aufgabe 3.1.1. Berechnen Sie das Volumen in Beispiel 3.1.1, wenn die Tiefe
gegeben ist durch
a)
t(x, y) = 4 − x2 /200 − y 2 /100,
b)
Aufgabe 3.1.2. Berechnen Sie die Integrale
ˆ 1/2 ˆ 1 ˆ 2
a)
dz dy dx,
b)
x=−1/2
y=−1
ˆ
z=0
1
x=0
t(x, y) = 2 − e
ˆ
2
y=−1
ˆ
1
−(x+y)
10
.
e−z dz dy dx .
z=0
Aufgabe 3.1.3. Berechnen Sie die folgenden Integrale
ˆ π ˆ π
ˆ 1 ˆ π/3 ˆ e
1
a)
sin(x) sin(y) dy dx
b)
ex · sin(y) · dz dy dx.
z
x=0 y=0
x=0 y=0
z=1
3.2
Koordinatensysteme
Bisher haben wir stets mit dem kartesischen Koordinatensystem gearbeitet. Die
Arbeit mit einem geeigneten Koordinatensystem kann die Berechnung von Integralen jedoch sehr vereinfachen. Aus diesem Grund soll nun zunächst die Darstellung von Punkten und Vektoren in den wichtigsten nichtkartesischen Koordinatensystemen untersucht werden.
3.2.1
Polarkoordinaten
Polarkoordinaten von Punkten
Punkte in der Ebene beschreibt man meist mit kartesischen Koordinaten oder
Polarkoordinaten.
Polarkoordinaten: (r,ϕ)
Kartesische Koordinaten: (x,y)
y
y
y
6
6
P
P
r
O
x
-
ϕ
x
r≥0
0 ≤ ϕ ≤ 2π
-
O
x
r ... Abstand von P zum Koordinatenursprung O
−−→
ϕ ... Winkel zwischen positiver x-Achse und Ortsvektor ~r = OP
Die Umrechnung zwischen kartesischen und Polarkoordinaten ist wie folgt:
p
x = r cos(ϕ),
r = x2 + y 2 ,
y = r sin(ϕ),
tan(ϕ) = y/x .
Beispiel 3.2.1. Gegeben seien die Punkte P = (x, y) = (−3, 3) und Q =
(r, ϕ) = (2, π/3). Wir wollen die Punkte in Polar- bzw. kartesischen Koordinaten
angeben.
28
KAPITEL 3. MEHRDIMENSIONALE INTEGRALE
Für Punkt P gilt r =
p
x2 + y 2 =
√
18 und tan(ϕ) = −1, d.h. ϕ =
α
sin(α)
cos(α)
Zur Berechnung von sin()
und cos() Werten verwenden wir folgende Tabelle:
0
0
1
π/6
√1/2
3/2
√π/4
√2/2
2/2
3π
4
= 135◦ .
√π/3
3/2
1/2
π/2
1
0
Für Punkt Q gilt somit
x =
y
r cos(ϕ) = 2 cos(π/3) = 2 · 1/2 = 1 und
√
√
r sin(ϕ) = 2 sin(π/3) = 2 · 3/2 = 3.
=
Darstellung von Vektoren
Der Ortsvektor ~r(P ) eines Punktes in Polarkoordinaten ist durch die Umrechnung gegeben:
r cos(ϕ)
~r(P ) =
.
r sin(ϕ)
Wählen wir t = r oder t = ϕ als Variable, so erhalten wir spezielle Kurven in
der Ebene – die Koordinatenlinien:
r ≥ 0,
ϕ = konst: Vom Koordinatenursprung ausgehende Strahlen.
r = konst, ϕ ∈ [0, 2π]: Konzentrische Kreise um den Koordinatenursprung.
Die normierten Tangentialvektoren ~er , ~eϕ zu den Koordinatenlinien erhält
man durch Ableiten und Normieren:
1 d r cos(ϕ)
cos(ϕ)
− sin(ϕ)
d r cos(ϕ)
=
=
= ~er ,
= ~eϕ .
dr r sin(ϕ)
r dϕ r sin(ϕ)
sin(ϕ)
cos(ϕ)
Sie bilden die Basisvektoren in Polarkoordinaten.
Vektoren in einem Punkt P = (r, ϕ) können in der Form
~a = ar ~er + aϕ~eϕ
angegeben werden. Dies ist hilfreich bei der Angabe von Vektorfeldern.
y
Es ist zu beachten, dass die Basisvektoren
cos(ϕ)
− sin(ϕ)
~er =
, ~eϕ =
sin(ϕ)
cos(ϕ)
6
~eϕ
]
r
ϕ
~er
3
vom Punkt P abhängen. Sie sind aber
stets orthogonal zueinander, denn es ist
~er · ~eϕ = 0.
x
−−→
Beispiel 3.2.2. Für alle Ortsvektoren gilt OP = ~r(P ) = r · ~er , d.h. der Basisvektor ~er entspricht dem normierten Ortsvektor ~r 0 = ~er .
29
3.2. KOORDINATENSYSTEME
−0.5y
0.5x
untersucht. Dieses Vektorfeld hat in Polarkoordinaten folgende Darstellung
−0.5y
−0.5r sin(ϕ)
− sin(ϕ)
~
F (r, ϕ) =
=
= 0.5r ·
= 0.5r · ~eϕ .
0.5x
0.5r cos(ϕ)
cos(ϕ)
Beispiel 3.2.3. In Beispiel 1.1.5 haben wir das Vektorfeld F~ (x, y) =
Aufgabe 3.2.1. Geben Sie das Vektorfeld F~ (r, ϕ) = r ·~er +r ·~eϕ in kartesischen
Koordinaten an.
3.2.2
Zylinderkoordinaten
Zylinderkoordinaten von Punkten
Wir untersuchen nun Zylinderkoordinaten (ρ, ϕ, z) von Punkten im R3 . Dabei
ist
z
6
ρ der Abstand von P zur z-Achse,
ϕ der Winkel zwischen positiver x-Achse
−−→
und Ortsvektor OP ′ , wobei P ′ die Projektion von P in die x-y–Ebene ist,
P
ϕ
x
z die von den kartesischen Koordinaten
bekannte z-Komponente.
y
ρ
P′
Dabei ist ρ ≥ 0 und 0 ≤ ϕ ≤ 2π und z ∈ R.
Die Umrechnung zwischen Zylinder- und kartesischen Koordinaten lautet:
p
x = ρ cos(ϕ),
ρ = x2 + y 2 ,
y = ρ sin(ϕ),
tan(ϕ) = xy ,
z = z,
z = z.
Aufgabe 3.2.2. Geben Sie die Punkte A = (2, 3, 5) und B = (−1, −4, 2) in
Zylinderkoordinaten an.
Darstellung von Vektoren
Der Ortsvektor ~r(P ) eines Punktes in Zylinderkoordinaten ist durch die Umrechnung gegeben:


ρ cos(ϕ)
~r(P ) =  ρ sin(ϕ)  .
z
Wählen wir t = ρ, t = ϕ oder t = z als Variable, so erhalten wir spezielle Kurven
– die Koordinatenlinien:
ρ ≥ 0,
ϕ = konst, z = konst:
ρ = konst, ϕ ∈ [0, 2π], z = konst:
ρ = konst, ϕ = konst, z ∈ R:
Strahlen senkrecht zur z-Achse,
Kreise um die z-Achse,
senkrechte Linie parallel zur z-Achse.
30
KAPITEL 3. MEHRDIMENSIONALE INTEGRALE


2 cos(ϕ)
Beispiel 3.2.4. Die Kurve ~r(ϕ) =  2 sin(ϕ)  mit ϕ ∈ [0, 2π] entspricht
3
einem zur z-Achse konzentrischen Kreis mit Radius ρ = 2 in der Höhe z = 3.
Die normierten Tangentialvektoren ~eρ , ~eϕ und ~ez zu den Koordinatenlinien
erhält man durch Ableiten und Normieren dieser Kurven:




 
cos(ϕ)
− sin(ϕ)
0
~eρ =  sin(ϕ)  , ~eϕ =  cos(ϕ)  , ~ez =  0  .
0
0
1
Sie bilden die Basisvektoren in Zylinderkoordinaten.
Aufgabe 3.2.3. Zeigen Sie, dass diese Basisvektoren zueinander orthogonal
sind.
z
6
Vektoren in einem Punkt P = (ρ, ϕ, z)
können in der Form
~ez
6 ~eϕ
P
q ~eρ
ϕ
~a = aρ~eρ + aϕ~eϕ + az ~ez
y
ρ
x
3.2.3
angegeben werden. Dies ist hilfreich bei der
Angabe von Vektorfeldern.
Es ist zu beachten, dass die Basisvektoren
unterschiedlich sind für verschiedene Bezugspunkte.
Kugelkoordinaten
Kugelkoordinaten von Punkten
Wir untersuchen nun Kugelkoordinaten (r, θ, ϕ) von Punkten im R3 . Dabei ist
z
im Vergleich zu Zylinderkoordinaten ρ =
r sin(θ) und z = r cos(θ).
Es ist
6
r der Abstand von P zum Koordinatenursprung,
P
r
θ
ϕ
x
ρ
y
θ der Winkel zwischen positiver z-Achse
−−→
und Vektor OP ,
ϕ der von den Zylinderkoordinaten bekannte Winkel.
Es ist r ≥ 0 und 0 ≤ θ ≤ π und 0 ≤ ϕ ≤ 2π.
31
3.2. KOORDINATENSYSTEME
Die Umrechnung zwischen Kugel- und kartesischen Koordinaten ist:
p
x = r sin(θ) cos(ϕ),
r = x2 + y 2 + z 2 ,
z
y = r sin(θ) sin(ϕ),
cos(θ) = p
2
x + y2 + z 2
z = r cos(θ),
tan(ϕ) = xy .
Beispiel 3.2.5. Es sei ein Punkt Q = (r, θ, ϕ) = (4, π4 , π3 ) in Kugelkoordinaten
gegeben. Wir wollen Q mit kartesischen Koordinaten und Zylinderkoordinaten
darstellen. Wir müssen somit x, y, z und ρ bestimmen. Mit den Umrechnungsformeln erhalten wir
√
√
√
x = r sin(θ) cos(ϕ) = 2, y = r sin(θ) sin(ϕ) = 6, z = r cos(θ) = 2 2
√
und
sin(θ) = 2 2. In kartesischen Koordinaten ist also
√ Q = (x,
√ y, z) =
√ ρ√= r√
( 2, 6, 2 2). In Zylinderkoordinaten ist Q = (ρ, ϕ, z) = (2 2, π/3, 2 2).
Aufgabe 3.2.4. Stellen Sie die Punkte
π
P = (ρ, ϕ, z) = (2, − , 1), Q = (x, y, z) = (−1, 1, 1)
6
in den jeweils anderen Koordinatensystemen dar.
Darstellung von Vektoren
Der Ortsvektor ~r(P ) eines Punktes in Kugelkoordinaten ist durch die Umrechnung gegeben:


r sin(θ) cos(ϕ)
~r(P ) =  r sin(θ) sin(ϕ)  .
r cos(θ)
Wählen wir t = r, t = θ oder t = ϕ als Variable, so erhalten wir spezielle Kurven
– die Koordinatenlinien:
r ≥ 0,
θ = konst, ϕ = konst: Strahl radial zum Koordinatenursprung,
r = konst, θ ∈ [0, π], ϕ = konst: Längenkreis,
ρ = konst, θ = konst, ϕ ∈ [0, π]: Breitenkreis mit Radius r sin(θ).
Die normierten Tangentialvektoren ~er , ~eθ und ~eϕ zu den Koordinatenlinien
erhält man durch Ableiten und Normieren dieser Kurven. Sie entsprechen den
Basisvektoren in Kugelkoordinaten.
Beispiel 3.2.6. Wir betrachten die Kurve


r sin(θ) cos(ϕ)
~r(θ) =  r sin(θ) sin(ϕ) 
r cos(θ)
mit θ ∈ [0, π].
Die Werte r und ϕ seien konstant. Wir leiten die Kurve nach θ ab und normieren:

 



r sin(θ) cos(ϕ)
r cos(θ) cos(ϕ)
cos(θ) cos(ϕ)
d 
r sin(θ) sin(ϕ)  =  r cos(θ) sin(ϕ)  ⇒ ~eθ =  cos(θ) sin(ϕ)  .
dθ
r cos(θ)
−r sin(θ)
− sin(θ)
32
KAPITEL 3. MEHRDIMENSIONALE INTEGRALE
Die Basisvektoren in Kugelkoordinaten sind




sin(θ) cos(ϕ)
cos(θ) cos(ϕ)
~er =  sin(θ) sin(ϕ)  , ~eθ =  cos(θ) sin(ϕ)  ,
cos(θ)
− sin(θ)
Sie sind ortsabhängig und zueinander orthogonal.


− sin(ϕ)
~eϕ =  cos(ϕ)  .
0
Aufgabe 3.2.5. Berechnen Sie die Basisvektoren ~er und ~eϕ aus den Koordinatenlinien. (Verwenden Sie beim Normieren die Beziehung sin2 (α)+cos2 (α) = 1.)
z
6
~eϕ ~er
3
P7
r
θ
ϕ
U
~eθ
ρ
y
x
Vektoren in einem Punkt P = (ρ, ϕ, z)
können in der Form
~a = aρ~eρ + aϕ~eϕ + az ~ez
angegeben werden. Dies ist hilfreich bei der
Angabe von Vektorfeldern.
Bei Kugelkoordinaten entspricht der normierte Ortvektor ~r 0 eines Punktes dem
Basisvektor ~er in diesem Punkt.
Beispiel 3.2.7. Das Vektorfeld F~ = √
1
x2 +y 2
ten die Darstellung


x
 y  besitzt in Kugelkoordinaz


x
1
 y = q 1
F~ = p
~er .
· r~er =
2
2
sin(θ)
x +y
r2 sin2 (θ)
z
1
Alle Vektoren dieses Feldes sind zum oder weg vom Koordinatenursprung gerich1
tet. Es ist aber kein Radialfeld, weil der Vorfaktor sin(θ)
nicht nur vom Abstand
r abhängt.
Wir interessieren uns nun für die Berechnung von Flächen und Volumen mit
Hilfe von Polar-, Zylinder- und Kugelkoordinaten.
3.3
Integrale bei nichtkartesischen Koordinaten
Häufig vereinfacht sich die Berechnung von Flächen- bzw. Volumenintegralen,
wenn man Polar- bzw. Zylinder- oder Kugelkoordinaten verwendet. Dabei ist
jedoch zu beachten, dass die Flächenelemente dA und Volumenelemente dV
keine kleinen Rechtecke oder Würfel mehr sind.
Bei der Verwendung von Polarkoordinaten wird folgende Zerlegung des Kreises
der Integralberechnung zugrunde gelegt:
33
3.3. INTEGRALE BEI NICHTKARTESISCHEN KOORDINATEN
y
Die Zerlegung wird mit Hilfe des Winkels ϕ und des Radius r beschrieben.
Die Flächenelemente haben also die folgende Form:
6
dϕ
r
x
dr
Wir bestimmen nun den Inhalt dieser
Flächenelemente.
Bekanntlich ist der Kreisinhalt π · r2 . Wenn nur ein Sektor mit Winkel dϕ
2
gegeben ist, dann ist der Inhalt dϕ
2 r . Tatsächlich erhalten wir für den Vollkreis
o
dϕ = 2π = 360 wieder den korrekten Flächeninhalt.
Somit besitzt das angegebene Flächenelement den Inhalt
dA
=
=
2
2
dr
dr
dϕ
dϕ
r+
r−
−
2
2
2
2
2
(dr)
dϕ 2
(dr)2
dϕ
2
r + r dr +
−
r − r dr +
= r · dϕ · dr.
2
4
2
4
Beispiel 3.3.1. Es sei ein elektrischer Leiter gegeben mit kreisförmigem Querschnitt und Radius R = 1mm.
y
6
Die Stromdichte sei (in kartesischen Koordinaten)
J(x, y) = 1
A
A
− (x2 + y 2 )
.
2
mm
mm4
x
Wie hoch ist die Stromstärke?
Lösung:
Der Radius ist im Intervall [0mm, 1mm]. Der Winkel ϕ variiert zwischen 0 und
2π. Wegen
1A
(x2 + y 2 )A
1A
r2 A
J(x, y) =
−
=
−
2
4
2
mm
mm
mm
mm4
gilt nun
I
ˆ 1mm ˆ 2π
r2 A
r2 A
1A
A
−
)dA =
dr
−
)r dϕ
(
=
(
mm2
mm4
mm2
mm4
0
0
0
0
1mm
ˆ 1mm
1A
r2 A
r4 A
r2 A
π
=
2π(
−
)r
dr
=
2π(
−
)
= A.
2
4
2
4
mm
mm
2mm
4mm 0
2
0
ˆ
1mm
ˆ
2π
Die Stromstärke beträgt also ≈ 1.57 Ampere.
34
KAPITEL 3. MEHRDIMENSIONALE INTEGRALE
In der Ebene sind die Flächenelemente wie folgt:
• Kartesische Koordinaten: dA = dx · dy ,
• Polarkoordinaten:
dA = r · dr · dϕ .
Aufgabe 3.3.1. Berechnen Sie den Flächeninhalt eines Kreises mit dem Radius
R = 1/π mittels Polarkoordinaten.
Die Berechnung von Volumenintegralen mit Zylinder- und Kugelkoordinaten
˚
˚
f (ρ, ϕ, z)dV
bzw.
f (r, θ, ϕ)dV
ist
˝ analog zur Berechnung von Volumenintegralen mit kartesischen Koordinaten
f (x, y, z)dV . Es ist hier jedoch zu beachten, wie die Volumenelemente dV
berechnet werden.
Die Volumenelemente lauten wie folgt:
• Kartesische Koordinaten:
dV = dx · dy · dz ,
• Zylinderkoordinaten:
dV = ρ · dρ · dϕ · dz .
• Kugelkoordinaten:
dV = r2 sin(θ) · dr · dθ · dϕ
Beispiel 3.3.2. Wir berechnen das Kugelvolumen für eine Kugel mit Radius
R. Dann ist r ∈ [0, R], θ ∈ [0, π], ϕ ∈ [0, 2π]. Wir erhalten
V
=
˚
dV =
=
ˆ
ˆ
=
2π
2π
R
r=0
V
R
r=0
=
ˆ
ˆ
π
ˆ
π
θ=0
2π
ˆ
r2 sin(θ) dϕ dθ dr
ϕ=0
[r2 sin(θ)ϕ]2π
ϕ=0 dθ dr =
θ=0
R
2
r=0
ˆ R
r [− cos(θ)]πθ=0 dr = 2π
r2 [2] dr = 4π
r=0
ˆ
R
r=0
ˆ
ˆ
R
r=0
R
ˆ
π
2π r2 sin(θ) dθ dr
θ=0
r2 [− cos(π) + cos(0)] dr
r=0
r2 dr =
4π 3
4π 3 R
[r ]0 =
R
3
3
Beispiel 3.3.3. Es sei eine geladene Kreisscheibe in der x-y-Ebene gegeben mit
Radius R und konstanter Flächenladungsdichte σ. Gesucht ist die z-Komponente
des E-Feldes entlang der z-Achse.
Man kann die Ladung
dQ = σdA in einem Flächenelement dA an einer Stelle
p
(x, y, z) mit ρ = x2 + y 2 und z = 0 als Punktladung betrachten. Der Beitrag
zur z-Komponente des E-Feldes ist dann
dEz (0, 0, z) =
dQ
z
z
σ
=
dA.
p
p
3
4πǫ ρ2 + z 2
4πǫ ρ2 + z 2 3
Wir müssen nun die Werte dEz (0, 0, z) aufaddieren. Da sie durch Punktladungen in der x-y–Ebene erzeugt werden, bedeutet dies, dass wir über der Kreisscheibe integrieren müssen. Hierfür können wir Polarkoordinaten ϕ ∈ [0, 2π],
ρ ∈ [0, R] verwenden. Das Flächenelement ist dA = ρ dρ dϕ.
3.4. FLÄCHEN IM R3
35
Durch Integrieren erhalten wir also:
Ez (0, 0, z) =
=
=
R
2π
zρ
p
3 dϕ dρ
ρ=0 ϕ=0
ρ2 + z 2
#R
"
ˆ
−z
σ
zρ
2πσ R
p
dρ =
p
4πǫ ρ=0 ρ2 + z 2 3
2ǫ
ρ2 + z 2 ρ=0
σ
z
σ z
−z
z
√
+
=
−√
2ǫ
|z|
2ǫ |z|
R2 + z 2
R2 + z 2
σ
4πǫ
ˆ
ˆ
Aufgrund der Achsensymmetrie sind auf der z-Achse die x- und y- Komponenten
der Feldstärke Null. Somit folgt
~ 0, z) = σ z − √ z
~ez .
E(0,
2ǫ |z|
R2 + z 2
Aufgabe 3.3.2. Berechnen Sie das Volumen eines Kugelausschnitts mit Winkel
θ ∈ [0, π/4] und Radius R mittels Kugelkoordinaten (siehe Skizze).
z
6
45◦
3.4
Flächen im R3
Eine Fläche im R3 kann man durch einen Ortsvektor beschreiben, der von zwei
Parametern u, v abhängt. Die Koordinaten x, y und z der Flächenpunkte sind
also Funktionen dieser Parameter:


x(u, v)
~r(u, v) =  y(u, v)  = x(u, v) ~ex + y(u, v) ~ey + z(u, v) ~ez .
z(u, v)
Die Parameter u, v ∈ R heißen Flächenparameter.
Beispiel 3.4.1 (Ebene). Ein bekanntes Beispiel für eine derartige Darstellung
einer Fläche ist die Parameterdarstellung von Ebenen
~r(u, v) = ~r(P0 ) + u~a + v~b
mit
u, v ∈ R .
Dabei ist ~r(P0 ) der Ortsvektor eines Punktes der Ebene. Die Vektoren ~a und ~b
sind die Richtungsvektoren. Sie müssen linear unabhängig sein, d.h. |~a × ~b| 6= 0.
Aufgabe 3.4.1. Geben Sie die Ebene durch die Punkte A = (0, 0, 1), B =
(1, 1, 4) und C = (0, 1, 2) in Parameterform an.
36
KAPITEL 3. MEHRDIMENSIONALE INTEGRALE
Zylindermantel und Kugeloberfäche sind ebenfalls Flächen im R3 , welche in Anwendungen häufig benötigt werden. Bei der Darstellung dieser Flächen benutzt
man Zylinder- bzw. Kugelkoordinaten.
Beispiel 3.4.2 (Zylindermantel). Beim Zylindermantel (symm. zur z-Achse)
ist der Abstand ρ zur z-Achse konstant. Wir können ϕ und z (siehe Zylinderkoordinaten) als Parameter verwenden (d.h. u = ϕ, v = z):

 

x(ϕ, z)
ρ cos(ϕ)
~r(ϕ, z) =  y(ϕ, z)  =  ρ sin(ϕ)  mit ϕ ∈ [0, 2π], z ∈ R.
z(ϕ, z)
z
Beispiel 3.4.3 (Kugeloberfläche). Die Kugeloberfläche ist bei Kugelkoordinaten
dadurch gekennzeichnet, dass der Radius r konstant ist. Wir können die Winkel
θ und ϕ als Parameter verwenden (d.h. u = θ, v = θ):

 

x(θ, ϕ)
r sin(θ) cos(ϕ)
~r(θ, ϕ) =  y(θ, ϕ)  =  r sin(θ) sin(ϕ)  mit θ ∈ [0, π], ϕ ∈ [0, 2π].
z(θ, ϕ)
r cos(θ)
3.5
Ungerichtete Flächenintegrale
Ungerichtete Flächenintegrale kommen vor, wenn zum Beispiel der Flächeninhalt einer gekrümmten Fläche im R3 oder die Ladung bei gegebener Flächenladungsdichte σ berechnet werden soll. Die Integrale haben die Form
¨
¨
A=
dA bzw. Q =
σ dA .
Sie können berechnet werden, indem man die parametrische Flächendarstellung
nutzt.
Wenn die Parameter u, v auf Intervalle beschränkt sind, dann kann der
Flächeninhalt berechnet werden indem über den Intervallen integiert wird.
Dabei ist dA wie folgt zu wählen:
Ebenen ~r(u, v) = r~1 + u~a + v~b:
dA = |~a × ~b| · du dv
Zylindermantel (Parameter ϕ, z):
dA = ρ · dϕ dz
Kugeloberfläche (Parameter ϕ, θ): dA = r2 sin(θ) · dϕ dθ
Beispiel 3.5.1 (Berechnung Kugeloberfläche mit Radius R).
Ao
=
¨
dA =
A
ˆ
π
θ=0
ˆ
2π
ϕ=0
R2 sin(θ)dϕ dθ = 2πR2
ˆ
π
sin(θ) dθ
θ=0
= 2πR2 [− cos(θ)]πθ=0 = 2πR2 [− cos(π) + cos(0)] = 4πR2
Meist soll nicht einfach der Flächeninhalt berechnet werden, sondern eine Funktion über der Fläche integiert werden.
Beispiel 3.5.2. Auf einer Kugel mit Radius R sei eine Flächenladungsdichte
σ = c · sin(θ) gegeben. Gesucht ist die Gesamtladung auf der Kugeloberfläche.
37
3.6. INTEGRATION ÜBER GERICHTETEN FLÄCHEN
˜
Die Gesamtladung wird mit der Formel Q = A σdA berechnet. Dabei ist dA =
R2 sin(θ)dϕ
dθ das Flächenelement für die Kugeloberfläche. Mithilfe des Inte´
grals sin2 (x)dx = 1/2(x − sin(x) cos(x)) erhalten wir nun:
Q =
¨
A
=
σdA =
ˆ
π
θ=0
ˆ
2π
ϕ=0
R2 · c · sin2 (θ)dϕ dθ = 2πR2 · c
ˆ
π
sin2 (θ) dθ
θ=0
1
2πR2 · c · [θ − sin(θ) cos(θ)]πθ=0 = πR2 c[π − 0] = π 2 R2 · c .
2
Aufgabe 3.5.1. Auf einer Kugel mit Radius R sei eine Flächenladungsdichte
σ = c·cos2 (θ) gegeben. Berechnen Sie die Gesamtladung auf der Kugeloberfläche.
´
Hinweis: Es ist sin(θ) cos2 (θ)dθ = − 31 cos3 (θ) + C.
3.6
Integration über gerichteten Flächen
˜
~ Es wird der Anteil von D
~ dA.
~
Wichtig sind weiter Integrale der Form Q = D
aufaddiert, der senkrecht durch die Oberfläche A austritt, d.h.
¨
¨
~ =
~ dA
~ · ~n 0 dA .
D
D
Q=
A
~ = ~n 0 dA.
Dabei ist ~n 0 der Normalenvektor (normiert) der Fläche. Es ist also dA
Die Normalenvektoren sind für die bekannten Flächen wie folgt:
Ebenen ~r(u, v) = r~1 + u~a + v~b:
Zylindermantel (Parameter ϕ, z):
Kugeloberfläche (Parameter ϕ, θ):
~n 0 = (~a × ~b)/|~a × ~b|
~n 0 = ~eρ
~n 0 = ~er
Für Ebenen, Zylindermantel und Kugeloberfläche gilt also:
Ebenen ~r(u, v) = r~1 + u~a + v~b:
Zylindermantel (Parameter ϕ, z):
Kugeloberfläche (Parameter ϕ, θ):
~ = (~a × ~b) · du dv
dA
~ = ρ ~eρ · dϕ dz
dA
~ = r2 sin(θ) ~er · dϕ dθ
dA
Wir wollen nun die Berechnung von gerichteten Flächenintegralen anhand zweier
Beispiele verdeutlichen.
Beispiel 3.6.1 (Strömungsfeld einer Linienquelle, Koaxialwiderstand). Gegeben ist ein Rohr der Länge L mit gut leitendem Kern und Mantel (radialsymmetrische Anordnung). Im Inneren befinde sich ein homogenes Material mit
Leitfähigkeit γ. Es wird eine Stromquelle mit Quellstrom I angeschlossen. Aufgrund der Anordnung ist das sich einstellende E-Feld zylindersymmetrisch, d.h.
~ = E(ρ)~eρ (ρ ... Abstand vom Kern). Wegen J~ = γ E
~ ist J~ = J(ρ)~eρ . Wir
E
berechnen den Strom durch einen Zylinder im Rohrinneren mit Radius ρ. Dann
~ und bei der Mantelfläche dA
~ = ~eρ ρdϕ dz. Es
ist bei den Deckflächen J~ ⊥ dA
folgt
¨
¨
~
~
J dA = J(ρ)ρ
dϕ dz = J(ρ)ρ · 2πL.
I=
38
KAPITEL 3. MEHRDIMENSIONALE INTEGRALE
Es sind somit
I
~eρ
2πρL
I
1~
J=
~eρ
γ
2πγρL
J~ =
~
E
J(ρ)~eρ =
=
und
beide vom Abstand ρ abhängig. Es ist ρ ∈ [ρi , ρa ]. Da das E-Feld zylindersymmetrisch ist, können wir die Spannung zwischen Mantel und Kern wie folgt
berechnen:
ˆ ρa
ˆ
I
ρa
I
~
~
.
dρ =
ln
U = E ds =
2πγρL
2πγL
ρi
ρi
Der Widerstand R des Koaxialwiderstandes ist somit
1
ρa
U
.
=
ln
R=
I
2πγL
ρi
Beispiel 3.6.2. Gegeben sei ein zylindersymmetrisches Feld


x
c
~ =
 y .
D
(x2 + y 2 )
0
˜
~ durch eine Kugeloberfläche mit Mittel~ dA
Bestimmen Sie den Fluss Ψ =
D
punkt im Ursprung und Radius R.
Wir verwenden Kugelkoordinaten und beschreiben die Kugeloberfläche mit Pa~ durch
rametern ϕ ∈ [0, 2π] und θ ∈ [0, π]. Wir ersetzen x und y in D
x
= R cos(ϕ) sin(θ)
y
= R sin(ϕ) sin(θ) =⇒ x2 + y 2 = R2 sin2 (θ) .
Wir erhalten somit mit dem Normalenvektor ~er der Kugeloberfläche

 

R cos(ϕ) sin(θ)
cos(ϕ) sin(θ)
c
~ er =
 R sin(ϕ) sin(θ)  ·  sin(ϕ) sin(θ) 
D~
R2 sin2 (θ)
0
cos(θ)
=
R2
c
c
R sin2 (θ) = .
2
R
sin (θ)
Mit dA = R2 sin(θ)dϕ dθ folgt
ˆ 2π ˆ
Ψ=
ϕ=0
π
θ=0
c 2
R sin(θ)dθ dϕ = 4πRc.
R
Aufgabe 3.6.1. Gegeben sei eine Flussdichte


x
~ =c· x+y  .
D
0
˜
~ Dabei sei die Fläche A:
~ dA.
Berechnen Sie den Fluss Ψ = D
1. die Mantelfläche eines Zylinders mit Radius R und Höhe H,
2. die Oberfläche einer Kugel mit Radius R und Mittelpunkt im Koordinatenursprung.