§5 Sphärische Trigonometrie

Mathematische Probleme, SS 2013
Montag 24.6
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§5
Sphärische Trigonometrie
5.2
Sphärische Dreiecksberechnung
Wir behandeln gerade die Berechnung sphärischer
Dreiecke und haben zu diesem Zweck bereits die
beiden Formen des sphärischen Cosinussatzes hergeleitet. Damit fehlt uns nur noch der sphärische Sinussatz und zu dessen Beweis im sphärischen Dreieck ABC auf einer Kugel mit Mittelpunkt M und
Radius R > 0 hatten wir das Lot von C auf die
Ebene M AB gefällt, den Lotfußpunkt mit Z bezeichnet und dann die Höhe
C
R
B
M
b
Z
α
|CZ| = R sin a sin β,
P
A
wobei wir wieder unsere Standardbezeichnungen im
sphärischen Dreieck verwenden. Vertauschen wir hier die Rollen der Punkt A und B,
so bleiben C und die Ebene M AB unverändert und wir erhalten auch
|CZ| = R sin b sin α.
Diese Konstruktion werden wir gleich zweimal verwenden, einmal zum Beweis des Sinussatzes und ein weiteres Mal zur Berechnung des sogenannten Eckensinus. Wir beginnen mit dem sphärischen Sinussatz.
Satz 5.6 (Der sphärische Sinussatz)
Sei ∆ = ABC ein sphärisches Dreieck mit den Seiten a, b, c und den Winkeln α, β, γ
bezeichnet gemäß der Standardkonvention. Dann gilt
sin a
sin b
sin c
=
=
.
sin α
sin β
sin γ
Beweis: Unsere obige Überlegung zeigt sin a sin β = sin b sin α, und dies ergibt
sin a
sin b
=
.
sin α
sin β
Wenden wir dieses Ergebnis dann im Dreieck BCA an, so ergibt sich auch
sin b
sin c
=
sin β
sin γ
20-1
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und der sphärische Sinussatz ist bewiesen.
Wie schon gesagt wollen wir unsere obige Figur noch zu einer zweiten Rechnung verwenden, mit den obigen Bezeichnungen bilden wir den Simplex T := co({M, A, B, C})
und wollen das Volumen von T in Termen des sphärischen Dreiecks ∆ bestimmen.
Hierzu betrachten wir in der Ebene durch M, A, B das euklidische Dreieck Λ := M AB.
In diesem Dreieck ist der Winkel bei M gerade der Winkel zwischen M A und M B,
also die Seite c des sphärischen Dreiecks ∆. Die Höhe h in Λ auf der Seite M A ist nach
§1.Satz 8 gleich h = |M B| · sin c = R sin c, die Fläche F von Λ ist also
1
1
F = |M A| · h = R2 sin c.
2
2
Der Simplex T ist nun ein Kegel über dem Dreieck Λ mit der Höhe |CZ|, und somit
folgt
1
1
vol(T ) = F · |CZ| = R3 sin b sin c sin α.
3
6
Damit ergibt sich nun der sogenannte Eckensinus des sphärischen Dreiecks ∆.
Lemma 5.7 (Der Eckensinus eines sphärischen Dreiecks)
Seien K eine Kugel mit Mittelpunkt M und Radius R > 0 und ∆ = ABC ein sphärisches Dreieck mit den Seiten a, b, c und den Winkeln α, β, γ bezeichnet gemäß der
Standardkonvention. Der Eckensinus von ∆ ist die Größe
S := sin a sin b sin γ = sin a sin c sin β = sin b sin c sin α,
und dann ist das Volumen des Simplex T := co({M, A, B, C}) gegeben als
1
vol(T ) = R3 S.
6
Beweis: Wir haben bereits
1
vol(T ) = R3 sin b sin c sin α
6
eingesehen, und nach dem sphärischen Sinussatz Satz 6 ist
sin a
sin b
=
, also auch sin a sin c sin β = sin b sin c sin α.
sin α
sin β
Analog folgt auch sin b sin c sin α = sin a sin b sin γ.
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Damit können wir zur sphärischen DreiecksC
berechnung kommen, d.h. von den sechs Größen
γ
b
a, b, c, α, β, γ sind drei vorgegeben und die anderen
a
sollen berechnet werden. Im Unterschied zum ebenen Fall legen zwei der Winkel den dritten Winα
kel nicht fest, es gibt jetzt also sechs verschiedeβ B
A
ne Aufgabentypen SSS, SWS, SSW, WSW, WWS
und WWW. Da wir den ebenen Fall in §1.4 recht
c
ausführlich behandelt haben und das Vorgehen im
sphärischen Fall weitgehend analog ist, wollen wir uns hier kürzer fassen. Wir gehen
hier nur das prinzipielle Vorgehen durch, wenn man sich die Lage genauer anschaut,
so gibt es auch wieder notwendige Ungleichungen zu beachten damit überhaupt eine
Lösung existiert und in einigen Fällen ist die Lösung nicht eindeutig. Durch eventuellen
Übergang zum Polardreieck kann man die Zahl der Aufgabentypen auf 3 verringern,
da beispielsweise SSW gleichwertig zu WWS im Polardreieck ist. Gehen wir die Fälle
durch.
1. Bei SSS sind a, b, c bekannt und die Winkel berechnen sich mit dem Seitencosinussatz Satz 3 zu
cos a − cos b cos c
cos α =
sin b sin c
und so weiter. Sind beispielsweise
a = 50◦ , b = 82◦ , c = 102◦
gegeben, so liefert die obige Formel und ihre Varianten für β und γ
cos α ≈ 0, 693478, also α ≈ 46, 093870◦ ,
cos β ≈ 0, 364092, also β ≈ 68, 648256◦ ,
cos γ ≈ −0, 392004, also γ ≈ 113, 079228◦ .
2. Bei SWS sind beispielsweise a, b, γ gegeben und erneut mit dem Seitencosinussatz
cos c = cos a cos b + sin a sin b cos γ kann die dritte Seite c berechnet werden. Die
anderen Winkel kann man dann wie im SSS Fall oder auch mit dem sphärischen
Sinussatz berechnen. Nehmen wir beispielsweise a, b, γ aus dem obigen Beispiel,
so wird
cos c ≈ −0, 207911, und somit c ≈ 101, 999961◦ .
3. Genau wie in der ebenen Situation ist der Fall SSW komplizierter. Seien etwa
a, b, α gegeben und wir wollen die Seite c bestimmen. Wenn wir diese haben, so
können wir erneut wie im SSS Fall weitermachen oder den sphärischen Sinussatz
verwenden. Wir führen zunächst den Hilfswinkel δ durch die Beziehung
tan δ = tan b cos α
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ein. Der sphärische Cosinussatz cos a = cos b cos c + sin b sin c cos α impliziert
cos a cos δ
= cos c cos δ+tan b cos α sin c cos δ = cos c cos δ+sin c sin δ = cos(c−δ),
cos b
woraus sich c berechnen läßt. Nehmen wir etwa die Werte von a, b, α des obigen
Beispiels, so wird
tan δ = tan b cos α ≈ 4, 934352 und δ ≈ 78, 543552◦ ,
und weiter
cos(c − δ) =
cos a cos δ
≈ 0, 917364, d.h. c − δ ≈ 23, 456267◦ ,
cos b
also ist schließlich
c ≈ 101, 999819◦ .
Die restlichen drei Fälle behandeln wir nicht mehr, da sich diese durch Übergang zum
Polardreieck auf die obigen Situationen zurückführen lassen.
5.3
Kleinkreise als sphärische Kreise
Man kann die Theorie der ebenen Dreiecke weitgehend auf den sphärischen Fall übertragen, zum Beispiel gibt es wieder Höhen, Umkreise, Inkreise und so weiter. Wir wollen
dies nicht systematisch betreiben und nur die Berechnung des Umkreises vorführen um
einen Eindruck von den verwendeten Methoden zu erhalten. Es sei im folgenden wieder
eine Kugel K mit Mittelpunkt M und Radius R > 0 gegeben. Bevor wir den Umkreis
besprechen können, müssen wir ein wenig vorbereitendes Material bereitstellen. Wir
beginnen mit dem sogenannten sphärischen Satz des Pythagoras. Angenommen wir
haben ein rechtwinkliges sphärisches Dreieck ABC etwa mit rechten Winkel in C, d.h.
γ = π/2. Der Seitencosinussatz Satz 3 ergibt dann wegen cos(π/2) = 0
cos c = cos a cos b
und dies ist schon der sphärische Satz des Pythagoras, der Cosinus der Hypothenuse
ist das Produkt der Cosinuswerte der Katheten. Mit Winkelcosinussatz und sphärischen Sinussatz lassen sich übrigens noch einige weitere Formeln für das rechtwinklige
sphärische Dreieck herleiten, aber uns reicht der sphärische Pythagoras. Genau wie
in der Ebene aus dem Satz des Pythagoras die Beschreibung der Geraden als Mittelsenkrechten folgt, können wir jetzt die Großkreise als sphärische Mittelsenkrechten
erkennen.
Wir betrachten zwei Punkte A, B auf K und die Mittelsenkrechte m zwischen diesen
beiden Punkten ist
m := {P ∈ K : |AP | = |BP |},
und wir behaupten das dies der auf dem Großkreis AB senkrechte k Großkreis durch
den Mittelpunkt M von AB ist.
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Ist P ∈ k, so liefert der sphärische Pythagoras
angewandt in den beiden rechtwinkligen Dreiecken
AM P und BM P wegen |AM | = |BM |
P
h
cos |AP | = cos |M P | cos |AM |
= cos |M P | cos |BM | = cos |BP |,
also ist |AP | = |BP | und somit P ∈ m. Ist umgekehrt P ∈ m, so fälle das Lot von P auf AB und
bezeichne den Lotfußpunkt mit M . Eine erneute
Anwendung des sphärischen Pythagoras gibt dann
cos |AM | =
p
M
q
A
B
cos |AP |
cos |BP |
=
= cos |BM |,
cos |M P |
cos |M P |
also ist |AM | = |BM | und somit ist M der Mittelpunkt von AB und P ∈ k.
Als letzten noch einzuführenden Begriff benötigen wir die sphärischen Kreise. Wir hatten schon
P
erwähnt das die Großkreise auf der Sphäre den Geraden der Ebene entsprechen und weiter werden wir
R
h
jetzt einsehen das die Kleinkreise auf der Sphäre
den ebenen Kreisen entsprechen. Seien ein Punkt
r
A auf K und ein Winkelradius 0 < r < π/2 ged
M
geben. Der spärische Kreis mit Mittelpunkt A und
Winkelradius r ist dann analog zum euklidischen
Kreis als
A
e
k := {P ∈ K : |AP | = r}
definiert. Der Kegel mit Spitze in M und halbem Öffnungswinkel r schneidet K im
sphärischen Kreis k. Dann ist k = K ∩ e ein Kleinkreis wobei e die auf M A senkrechte
Ebene im Abstand d = R cos r zu M ist. Insbesondere ist k ein euklidischer Kreis in
der Ebene e dessen Mittelpunkt M A ∩ e und dessen Radius h = R sin r ist.
Diese Überlegung zeigt:
Lemma 5.8 (Sphärische Kreise)
Seien K eine Kugel mit Mittelpunkt M und Radius R > 0. Weiter seien A ∈ K, 0 <
r < π/2 und bezeichne k den sphärischen Kreis mit Mittelpunkt A und Winkelradius
r. Dann ist k ein Kleinkreis k = K ∩ e wobei e die auf M A senkrechte Ebene im
Abstand R cos r zu M ist und k ist ein euklidischer Kreis in e mit dem Radius R sin r
und Mittelpunkt M A ∩ e.
Beweis: Dies haben wir gerade eingesehen.
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Nun sei ∆ = ABC ein spärisches Dreieck bezeichnet gemäß der Standardkonvention. Wir bilden dann die Mittelsenkrechten ma auf a und mb auf b und nennen ihren
Schnittpunkt Z. Die obige Beschreibung der Mittelsenkrechten liefert
|ZB| = |ZC| und |ZA| = |ZC|,
also ist auch |ZA| = |ZB| und Z liegt auf der Mittelsenkrechten mc auf c. Damit
schneiden sich die drei Mittelsenkrechten von ∆ in einem Punkt Z der von allen Ecken
des Dreiecks denselben Abstand hat, also der Umkreismittelpunkt von ∆ ist. Damit
haben wir den Existenzteil des folgenden Satzes bewiesen.
Satz 5.9 (Umkreis eines sphärischen Dreiecks)
Seien K eine Kugel mit Mittelpunkt M und Radius R > 0 und ∆ = ABC ein spärisches
Dreieck auf K bezeichnet gemäß der Standardbezeichnungen. Dann schneiden sich die
drei Mittelsenkrechten von ∆ im Umkreismittelpunkt von ∆ und der Umkreis von ∆
hat den Winkelradius % gegeben durch
tan % =
4 sin a2 sin 2b sin 2c
.
sin a sin b sin γ
Beweis: Die erste Aussage haben wir bereits eingesehen, und wir bezeichnen den
Schnittpunkt der Mittelsenkrechten als Z. Der Umkreis von ∆ ist dann der sphärische Kreis mit Mittelpunkt Z und Winkelradius % und nach Lemma 8 ist k = K ∩ e ein
Kleinkreis, wobei e die auf M Z senkrechte Ebene im Abstand d = R cos % zu M ist,
und weiter ist k in e ein euklidischer Kreis mit Radius U = R sin %. Sei N := M Z ∩ e
der euklidische Mittelpunkt von k, also |M N | = d. Wegen A, B, C in k ist k auch der
Umkreis des euklidischen Dreiecks Λ := ABC in e, d.h. U ist auch der Umkreisradius
von Λ. Ist F := A(Λ) die Fläche des Dreiecks Λ, so gilt nach §1.Satz 18
U=
e
aebe
c
,
4F
wobei e
a, eb, e
c die Seitenlängen von Λ sind. Wenden wir den Cosinussatz §1.Satz 4 im
Dreieck M AB an, so ergibt sich
c
c
e
c2 = 2R2 (1 − cos c) = 4R2 sin2 , also e
c = 2R sin .
2
2
Analog sind
e
a = 2R sin
also
U=
a
b
und eb = 2R sin ,
2
2
2R3 sin a2 sin 2b sin 2c
.
F
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Betrachte nun das Simplex T := co({M, A, B, C} und sei S := sin a sin b sin γ der
Eckensinus von ∆. Nach Lemma 7 ist dann
1
vol(T ) = R3 S.
6
Andererseits können wir T als einen Kegel mit Grundfläche Λ und Höhe d auffasen,
also ist
1
vol(T ) = F d,
3
und es wird
R3 S
3 vol(T )
=
,
F =
d
2d
und somit
4d sin a2 sin 2b sin 2c
R sin % = U =
S
und wegen d = R cos % ist schließlich
tan % =
5.4
4 sin a2 sin 2b sin 2c
.
sin a sin b sin γ
Geographische Koordinaten
N
N
γ
a
b
β
P
c
α
P2
P1
M
M
ϕ
ϕ2
λ
Längengrad λ und Breitengrad ϕ
Abstand auf Großkreis
Wir betrachten wieder eine Kugel, die wir uns diesmal als die Erdkugel vorstellen.
Wir wollen die Punkte auf K durch Koordinaten beschreiben. Eine Gerade durch den
Mittelpunkt M der Kugel sei vorgegeben, im Fall der Erde nimmt man hierfür die
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Rotationsachse der Erde. Die beiden Schnittpunkte der Achse mit K sind die beiden Pole, einen nennen wir Nordpol N , den anderen den Südpol N . Die Großkreise
durch Nord- und Südpol, heißen dann die Längenkreise, oder Meridiane. Einer von
diesen wird willkürlich als Nullmeridian ausgewählt, im Fall der Erde wurde hierfür
der durch Greenwich laufende Meridian gewählt. Die erste geographische Koordinate λ eines Punktes P ist nun der Längengrad, dies ist der Winkel den der Meridian
durch P mit dem Nullmeridian bildet. Dabei zählen wir die östliche Richtung als positiv, also mit steigenden Längengrad. Die Ebene senkrecht auf der Achse durch M
schneidet die Kugel K in einem Großkreis der der Äquator genannt wird, die Ebene
heißt entsprechend die Äquatorebene. Die zweite Koordinate eines Punktes P ist nun
der Breitengrad ϕ, d.h. der Winkel den M P mit der Äquatorebene bildet. Die Punkte
konstanten Breitengrades bilden einen zum Äquator parallelen Kleinkreis, einen sogenannten Breitenkreis.
Für die folgenden Beispiele schauen wir uns zwei Punkte an, der Punkt
P1 ist Kiel mit λ1 = 10◦ 080 , ϕ1 = 54◦ 200 ,
und der Punkt
P2 ist Peking mit λ2 = 116◦ 280 , ϕ1 = 39◦ 540 .
Die Nachkommastellen bei solchen geographischen Koordinaten werden traditionell sexagesimal zur Basis 60 dargestellt, d.h. 280 meint 28/60 Grad, weitere Nachkommastellen werden dann mit mehreren Strichen markiert. In dezimales Gradmaß umgerechnet
sind auf vier Nachkommastellen
λ1 = 10, 1333◦ , ϕ1 = 54, 3333◦ , λ2 = 116, 4666◦ , ϕ2 = 39, 9◦ .
Angenommen wir haben zwei Punkt P1 mit Koordinaten λ1 , ϕ1 und P2 mit Koordinaten
λ2 , ϕ2 . Um den Abstand dieser beiden Punkte auszurechnen, betrachte des sphärische
Dreieck P1 P2 N mit Seiten wie im obigen Bild markiert. Gesucht ist die Seite c. Setzen
wir den Meridian durch P2 bis zum Äquator fort, so entstehen insgesamt 90◦ und der
Teil zwischen P2 und dem Äquator ist dabei der Breitengrad ϕ2 , also haben wir
π
π
a = − ϕ2 und analog b = − ϕ1 .
2
2
Der Winkel γ ist der Winkel zwischen den Meridianen durch P1 und P2 , und da der
Längengrad der Winkel zum Nullmeridian ist, folgt
γ = λ2 − λ1 .
Damit haben wir genug Daten zusammen unser Dreieck zu berechnen. Mit dem Seitencosinussatz Satz 3 folgt
cos c = cos a cos b + sin a sin b cos γ
π
π
π
π
= cos
− ϕ2 cos
− ϕ1 + sin
− ϕ2 sin
− ϕ2 cos γ
2
2
2
2
= sin ϕ1 sin ϕ2 + cos ϕ1 cos ϕ2 cos(λ2 − λ1 ).
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Mit dieser Formel lassen sich Abstände von in Längengrad und Breitengrad gegebenen
Punkten berechnen. In unserem obigen Beispiel Kiel–Peking wird
cos c ≈ 0, 395334 also c ≈ 1, 164365.
Dies ist der Winkelabstand, um den metrischen Abstand zu kriegen müssen wir noch
mit dem Radius unserer Kugel multiplizieren, also mit dem Erdradius R = 6371, 2km
und der Abstand Kiel–Peking längs des verbindenden Großkreises wird
|P1 P2 | = Rc ≈ 7418, 4km.
Auch die beiden Winkel α und β in unserem sphärischen Dreieck P1 P2 N haben eien
Bedeutung. Unter dem Kurswinkel einer Kurve auf K in einem Punkt versteht man
den Winkel zum durch den Punkt laufenden Meridian, dann sind α der Kurswinkel
im Startpunkt der Strecke P1 P2 und β der Kurswinkel im Endpunkt P2 , man nennt
α den Abfahrts- und β den Ankunftswinkel. Wir können diese beispielsweise mit dem
sphärischen Sinussatz Satz 6 berechnen, es ist
sin c
≈ 0, 95716698
sin γ
und somit
sin a
cos ϕ2
=
≈ 0, 80149562
0, 95716698
0, 95716698
und der Abfahrtswinkel wird
α ≈ 53, 273162◦ .
sin α =
Für den Ankunftswinkel berechnen wir analog
β ≈ 37, 528888◦ .
N
b
γ
a
P*
α
P1
M
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Wir wollen noch die geographischen Koordinaten des nördlichsten Punktes auf unserem
Großkreis berechnen. Wir nennen diesen einmal P ∗ mit Längengrad λ∗ und Breitengrad ϕ∗ . Im nördlichsten Punkt ist der Großkreis parallel zum Breitenkreis durch P ∗ ,
also senkrecht auf dem Meridian durch P ∗ , wir haben also ein in P ∗ rechtwinkliges
sphärisches Dreieck P1 P ∗ N . Seiten und Winkel sind wie oben
a=
π
π
− ϕ∗ , b = − ϕ1 und γ = λ∗ − λ1 .
2
2
Der Winkel α ist der schon berechnete Abflugswinkel. Der sphärische Sinussatz Satz 6
liefert
sin a
cos ϕ∗
sin b
=
cos ϕ1 = sin b =
=
,
sin π2
sin α
sin α
also
cos ϕ∗ = sin α cos ϕ1 ≈ 0, 467327
und der Breitengrad unseres nördlichsten Punktes wird
ϕ∗ ≈ 62, 139061◦ , d.h. ϕ∗ = 62◦ 080 .
Zur Berechnung des Längengrades von P ∗ verwenden wir den Winkelcosinussatz Satz
5
π
π
cos α = sin sin(λ∗ − λ1 ) sin ϕ∗ − cos cos(λ∗ − λ1 ),
2
2
also
cos α
≈ 0, 67640677
sin(λ∗ − λ1 ) =
sin ϕ∗
und somit
λ∗ − λ1 ≈ 42, 563489◦ , d.h. λ∗ ≈ 52, 698223◦ = 52◦ 410 .
20-10