Astronomie und Astrophysik - 1. Institut für Theoretische Physik

Astronomie
und
Astrophysik 1
Skript zur Vorlesung von Prof. Günter Wunner
Bearbeitung von Sebastian Boblest
Version WS 2010/11
Aufbauend auf früheren Ausarbeitungen von
Dominique Dudkowski, Swantje Bebenburg und Alexander Herzog
1. Institut für Theoretische Physik
Universität Stuttgart
Pfaffenwaldring 57,
70550 Stuttgart
Korrekturen bitte an:
[email protected]
[email protected]
Version vom 9. Februar 2011
Wichtige Zahlenwerte
Name
Symbol
Wert
Lichtgeschwindigkeit
c
2,99792458 × 108
Gravitationkonstante
G
6,6726 × 10−11
Solarkonstante
Astronomische Einheit
Masse der Sonne
Masse der Erde
Radius der Sonne
Radius der Erde
Schwarzschild-Radius der Sonne
Schwarzschild-Radius der Erde
ii
m3
kg·s2
W
m2
S
1,367 × 103
AE
1,496 · 108 km
M
1,9891 · 1030 kg
M♁
5,973 · 1024 kg
R♁
6,370 × 103 km
rs♁
9 mm
R
rs
6,96 × 105 km
3 km
m
s
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
1 Grundlagen
1.1 Die Sonne als Maß . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Sonnenleuchtkraft . . . . . . . . .
1.1.2 Helligkeit von Sternen . . . . . .
1)
Scheinbare Helligkeit . .
2)
Absolute Helligkeit . . .
1.1.3 Masse der Sonne . . . . . . . . .
1.1.4 Radius der Sonne . . . . . . . . .
1.2 Der Schwarzschild-Radius . . . . . . . .
1.3 Die Poisson-Gleichung der Gravitation .
1.4 Gravitative Bindungsenergie eines Sterns
1.5 Der Virialsatz . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Koordinatensysteme . . . . . . . . . . .
1.6.1 Das Horizontsystem . . . . . . . .
1.6.2 Das Äquatorsystem . . . . . . . .
1.6.3 Ekliptikalsystem . . . . . . . . .
1.6.4 Galaktisches System . . . . . . .
1.6.5 Störungen der Koordinaten . . .
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1
1
1
2
2
3
4
5
5
10
12
15
18
19
19
20
21
21
2 Entstehung und Entwicklung von Sternen
2.1 Sternentstehung und Gleichgewichtsbedingung . . . . . . . . .
2.1.1 Jeans-Kiterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Ablauf des Kollapes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Hydrostatisches Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . .
1)
Herleitung der Gleichgewichtsbedingung . . .
2)
Abschätzung des Druckes . . . . . . . . . . .
2.1.4 Charakteristische Zeitskalen der Sternentwicklung . . .
1)
Kelvin-Helmholtz-Zeitskala . . . . . . . . . .
2)
Hydrostatische Zeitskala . . . . . . . . . . . .
3)
Nukleare Zeitskala . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Zustandsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 „Normale” Sterne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 „Entartete” Sterne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1)
Fermieenergie der Elektronen . . . . . . . . .
2)
Zustandsdichte im Impulsraum . . . . . . . .
Zustandsgleichung im nichtrelativistischen Fall .
Zustandsgleichung im relativistischen Fall . . . .
3)
Anschauliche Interpretation des Fermi-Drucks
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28
29
29
30
30
31
32
32
33
36
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iii
Inhaltsverzeichnis
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.2.3 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . .
Die Theorie Weißer Zwerge . . . . . . . . . . . . . .
Masse-Radius-Beziehung von Monden und Planeten
Neutronensterne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Erhaltungsgrößen beim Kollaps . . . . . . . . . . .
2.6.1 Drehimpulserhaltung . . . . . . . . . . . . .
2.6.2 Erhaltung des magnetischen Flusses . . . . .
Pulsare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1)
Messungen an HZ Her . . . . . . .
2)
Interpretation der Messung . . . .
3)
Absorptionslinien im Spektrum . .
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38
39
43
45
49
49
50
53
54
55
57
3 Allgemeine Relativitätstheorie
59
3.1 Spezielle Relativitätstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.1.1 Konstanz der Lichtgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.1.2 Beschreibung der kräftefreien Bewegung . . . . . . . . . . . . . . 62
3.2 Grundidee der allgemeinen Relativitätstheorie . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.3 Äquivalenzprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.3.1 Äquivalenz von träger und schwerer Masse . . . . . . . . . . . . . 65
1)
Träge Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2)
Schwere Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.3.2 Fahrstuhlexperimente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
1)
Weight-Watchers-Experiment . . . . . . . . . . . . . . . 67
2)
Frei-Fall-Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3)
Lichtablenkung im Schwerefeld . . . . . . . . . . . . . . 70
4)
Mathematische Bedeutung des Äquivalenzprinzips . . . . 73
3.4 Mathematischer Formalismus der Allgemeinen Relativitätstheorie . . . . 73
3.4.1 Kontravariante und kovariante Größen . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.4.2 Tensorverjüngung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.4.3 Bedeutung der Christoffel-Symbole . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Verschiebung entlang r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Verschiebung entlang ϕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Schlussfolgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.4.4 Der Riemann-Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.4.5 Der Ricci-Tensor und der Krümmungsskalar . . . . . . . . . . . . 79
3.5 Bewegungsgleichung der ART . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.6 Die Einsteinschen Feldgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.6.1 Formulierung der Feldgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.6.2 Exakte Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen im kugelsymmetrischen Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
1)
Die Schwarzschild-Metrik . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2)
Messung der Radialkoordinate . . . . . . . . . . . . . . . 83
iv
Inhaltsverzeichnis
3)
3.7
Tests
3.7.1
3.7.2
3.7.3
3.7.4
3.7.5
3.7.6
Abstand von Punkten mit unterschiedlicher Radialkoordinate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4)
Bedeutung der Koordinatenzeit . . . . . . . . . . . . . . 84
der Relativitätstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Gravitationsrotverschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Periheldrehung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Lichtablenkung im Gravitationsfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Lichtablenkung außerhalb des Sonnensystems . . . . . . . . 93
Visualisierung von Einstein-Ringen . . . . . . . . . . . . . 94
Laufzeitverzögerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Global Positioning System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Der Doppelpulsar 1913 + 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Beschreibung des Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Relativistische Effekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Gravitationswellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Literaturverzeichnis
105
v
1 Grundlagen
In diesem Kapitel führen wir einige grundlegende Begriffe und Größen ein, die in den
späteren Kapiteln benötigt werden.
1.1 Die Sonne als Maß
Die Sonne ist der uns nächstgelegene Stern und deshalb für uns von größter Bedeutung. In diesem Abschnitt diskutieren wir einige ihrer grundlegendsten Eigenschaften.
Es liegt nahe, Eigenschaften von anderen stellaren Objekten dann mit denen der Sonne
zu vergleichen, weil wir mit ihr am besten vertraut sind.
1.1.1 Sonnenleuchtkraft
Der über alle Wellenlängen integrierte Strahlungsfluss der Sonne (Energie pro Zeit- und
Flächeneinheit), der am Ort der Erde gemessen wird, ist gegeben durch den Wert der
Solarkonstante
kW
(1.1)
S = 1,367 2 .
m
Dieser Wert bildet die Grundgröße für alle Berechnungen zur Nutzung von Sonnenenergie
auf der Erde. Auf einen Fußballplatz der Fläche A = (100 m)2 geht z. B. (bei senkrechtem
Sonnenstand) eine Strahlungsleistung von A · S = 1,37 · 107 W = 13,7 MW nieder,
die bei optimaler Konversion in entsprechende elektrische Leistung umgewandelt werden
könnte.
Die mittlere Entfernung zwischen Erde und Sonne beträgt
a = 1,496 · 108 km = 1 AE
(1.2)
und wird Astronomische Einheit (AE) genannt. Damit können wir die Sonnenleuchtkraft L , d. h. die gesamte Energie, die pro Zeiteinheit von der Sonne abgestrahlt wird, berechnen:
L = 4πa2 · S = 3,86 · 1026 W.
(1.3)
Man merkt sich als Zahlenwert für die Sonnenleuchtkraft ∼ 4 · 1026 W.
1
1 Grundlagen
Objekt
Wega
Polarstern
Sirius
Vollmond
Sonne
Größenklasse
0m
2,12m
−1,6m
−12,5m
−26,87m
Tabelle 1.1: Scheinbare Helligkeiten einiger Objekte. Sirius ist der hellste
Stern am Nachthimmel.
1.1.2 Helligkeit von Sternen
1) Scheinbare Helligkeit
Neben der (physikalischen) Strahlungsleistung kennzeichnet man Sterne in der Astronomie auch durch ihre physiologisch empfundene scheinbare Helligkeit (Größenklasse oder
magnitudo m).
Vom Stern 1 mit Größenklasse m1 erreiche uns auf der Erde der Strahlungsstrom I1
(Energie pro Zeit und Fläche), vom Stern 2 mit Größenklasse m2 der Strahlungsstrom
I2 . Der Unterschied in der scheinbaren Helligkeit ist dann wie folgt definiert:
m2 = m1 − 2,5 lg
I2
.
I1
(1.4)
Ist der Strahlungsstrom von Stern 2 beispielsweise 100 mal größer als der von Stern 1,
d. h. I2 /I1 = 100, so ist lg (I2 /I1 ) = lg 100 = 2 und m2 = m1 − 5, also “negativer”
als m1 . Ein Unterschied von 5 Größenklassen bedeutet damit einen Faktor 100 in der
empfangenen Intensität.
Die Definition (1.4) trägt einem psychophysischen Grundgesetz Rechnung: Die physiologisch empfundene Stärke (hier: die empfundene Helligkeit) eines Reizes (hier: die
physikalische Intensität) ist dem Logarithmus des Reizes proportional. Der in (1.4) vor
dem Logarithmus auftretende Faktor 2,5 sorgt dafür, dass die von arabischen und babylonischen Astronomen auf der Grundlage der physiologischen Empfindung festgelegten
scheinbaren Helligkeitsstufen, die auch heute noch in Sternkarten verwendet werden,
richtig wiedergegeben werden.
Beispiele für scheinbare Helligkeiten bekannter Himmelsobjekte finden sich in Tabelle 1.1
Die Grenze für die Sichtbarkeit mit bloßem Auge liegt bei Sternen sechster Größenklasse (6m ), mit den größten Teleskopen können Objekte bis zur scheinbaren Helligkeit
24m nachgewiesen werden.
Die Spannweite der scheinbaren Helligkeit sichtbarer astronomischer Objekte erstreckt
2
1.1 Die Sonne als Maß
sich beim bloßen Auge somit über 32 Größenklassen, entsprechend 12 Zehnerpotenzen
32/5
6
im Strahlungsstrom ((102 )
≈ (102 ) = 1012 ), bei Teleskopen über 50 Größenklassen,
entsprechend 20 Zehnerpotenzen im Strahlungsstrom.
Umformen von Gleichung (1.4) führt auf
I2 = I1 × 100,4(m1 −m2 ) = I1 × (100,4 )m1 −m2 = I1 × (2,512)m1 −m2 .
(1.5)
Die Abnahme (Zunahme) der Größenklasse um 1 bedeutet somit eine um einen Faktor
2,512 geringere (größere) Strahlungsintensität (beachte: (2,512)5 = 100).
Tatsächlich ist die scheinbare Helligkeit vom betrachteten Wellenlängenbereich abhängig,
man betrachtet daher in der Astronomie neben der bis jetzt besprochenen scheinbaren
visuellen Helligkeit mvisuell eines Sterns auch seine Helligkeiten mλ in definierten
Wellenlängenfenstern.
2) Absolute Helligkeit
Die Helligkeit, mit der uns ein Stern erscheint, hängt von seinem Abstand ab. Um eine
vom Abstand unabhängige Kenngröße für die Helligkeit eines Sterns zu finden, berechnet
man seine scheinbare Helligkeit in einem festgelegten Standardabstand von 10 parsec,
und definiert diese als absolute Helligkeit M des Objekts.
Dabei ist 1 parsec (1 pc) die Entfernung, unter der der mittlere Abstand von der
Erde zur Sonne unter dem Winkel 100 erscheint. Eine Bogensekunde ist im Bogenmaß
100 = π/(180 · 60 · 60) = 1/206265.
(1.6)
Der Winkel α (im Bogenmaß), unter dem eine Länge a in großer Entfernung d erscheint,
ist gegeben durch α = a/d. Eine Bogensekunde entspricht daher z. B. dem Winkel,
unter dem 1 m in der Entfernung 206265 m = 206,265 km erscheint (1 m in München,
betrachtet aus Stuttgart). Für a =1 AE und α = 100 ergibt sich
d = 1 pc = 206265 AE = 3,086 · 1016 m = 3,26 ly,
(1.7)
wobei 1 ly (ein Lichtjahr) die Länge des Weges angibt, die Licht während eines Erdenjahres im Vakuum zurücklegt,
1 ly = c · 365,25 Erdentage = c · 24 · 3600 s = c · 3,15 · 107 s = 9,46 · 1015 m.
(1.8)
Der für die Angabe der absoluten Helligkeit verwendete Normabstand von 10 pc =
32,6 ly ist so gewählt, dass er typisch für sichtbare Sterne in der näheren Umgebung der
Sonne ist (Abstand des nächsten Fixsterns am Nordhimmel, Sirius, ca. 10 ly, Abstand
3
1 Grundlagen
des nächsten Fixsterns am Südhimmel, Proxima Centauri, ca. 4 ly).
Als absolute Helligkeit der Sonne erhalten wir mit diesen Definitionen aus (1.4)
I10 pc
(1 AE)2
= m − 2,5lg
M = m − 2,5lg
I1 AE
(10 pc)2
= −26,87m + 31,57m = +4,7m .
(1.9)
Die Sonne wäre also ein schwacher, mit bloßem Auge gerade noch wahrzunehmender
Stern.
1.1.3 Masse der Sonne
Die Masse der Sonne beträgt
M = 1,9891 · 1030 kg,
(1.10)
als Zahlenwert merkt man sich ∼ 2 · 1030 kg.
Ein Weg, die Masse der Sonne zu „berechnen”, führt über das dritte Keplersche Gesetz
2
2π
2 3
a3 .
(1.11)
G·M =ω a =
T
Setzen wir in (1.11) den Zahlenwert der Gravitationskonstanten
−11
G = 6,6726 · 10
m3
,
kg · s2
(1.12)
die Umlaufzeit der Erde um die Sonne
T = 3,15 · 107 s,
(1.13)
und den mittleren Sonnenabstand der Erde a = 1,496 · 1011 m ein, so erhalten wir nach
kurzer Rechnung tatsächlich M = 1,99 · 1030 kg.
Anmerkung: Eine leicht zu merkende Herleitung des dritten Keplerschen Gesetzes
erhält man durch die Betrachtung von Kreisbahnen mit Radien r von Trabanten der
Masse m um das Zentralobjekt mit Masse M :
Die auf m wirkende Zentripetalkraft muss gleich der auf m wirkenden Anziehungskraft
sein, mω 2 r = GmM/r2 , woraus sich nach Kürzen von m auf beiden Seiten und Durchmultiplizieren mit r2 sofort G · M = ω 2 r3 ergibt.
Man beachte, dass beim Kräftegleichgewicht streng genommen in der Zentripetalkraft
4
1.2 Der Schwarzschild-Radius
die träge Masse mträge , in der Anziehungskraft aber die schwere Masse mschwer
(„Gravitationsladung”) anzusetzen ist. Wir haben bei der Herleitung also die Gleichheit
von träger und schwerer Masse vorausgesetzt. Siehe dazu auch den Abschnitt 3.3.
1.1.4 Radius der Sonne
Der Sonnenradius beträgt
R = 6,9599 · 108 m ≈ 696000 km ≈ 700000 km.
(1.14)
Zum Vergleich: der (mittlere) Erdradius beträgt 6378 km. Wir berechnen, unter welchem
Winkeldurchmesser die Sonne von der Erde aus betrachtet erscheint. Mit a = 2 R und
d = 1 AE wird
α = a/d = 1,4 · 106 km/150 · 106 km ≈ 0,009
(1.15)
= (180◦ /π) · 0,009 = 0,5◦ = 300 ,
also ein halbes Grad. Auf dem in einer mittleren Entfernung von 1,52 AE umlaufenden
Mars beträgt der scheinbare Winkeldurchmesser der Sonne demnach ca. 200 , auf dem
Jupiter in 5,2 AE Entfernung noch 60 , auf Saturn (9,576 AE) ca. 30 , auf dem fernen
Pluto (30,14 AE) dagegen nur noch 10 .
1.2 Der Schwarzschild-Radius
Die potentielle Energie einer Probemasse m, die sich im Abstand r im Gravitationsfeld
einer kugelsymmetrischen Massenverteilung mit Gesamtmasse M befindet, ist in der
Newtonschen Gravitationstheorie gegeben durch
Vgr = −
GM m
.
r
(1.16)
Seit Einstein1 wissen wir, dass mit der Masse m eine äquivalente Ruheenergie mc2
verknüpft ist. Man kann daher auf den Gedanken kommen, die potentielle Energie (1.16)
in der Einheit der Ruheenergie zu messen:
Vgr = −mc2
1
GM
GM m
2 c2
=
−mc
.
mc2 r
r
(1.17)
Einstein, Albert, 1879 - 1955, deutsch-amerikanischer Physiker. Nobepreis 1921 für den Photoelektrischen Effekt
5
1 Grundlagen
Da mc2 die Einheit Energie hat, muss der Bruch dimensionslos sein. Dann muss die
im Zähler stehende Größe GM/c2 die Dimension einer Länge haben. Konventionsgemäß
führt man noch einen Faktor 2 ein und definiert den Schwarzschild-Radius rS (nach K.
Schwarzschild2 ) durch
2GM
.
(1.18)
rS =
c2
Die potentielle Energie lässt sich also durch den Schwarzschild-Radius ausdrücken in der
Form
1
rS
Vgr = − mc2 .
(1.19)
2
r
Das (probemassenunabhängige) Gravitationspotential φgr ist dann
φgr = −
1 rS
GM
= − c2 .
r
2
r
(1.20)
Der Schwarzschild-Radius ist somit das charakteristische Längenmaß für die Gravitationswirkung der Masse M . Mit den Werten für Gravitationskonstante und Lichtgeschwindigkeit
m3
m
G = 6,672 · 10−11
, c = 2,99792458 · 108
(1.21)
2
kg · s
s
lässt sich der Schwarzschild-Radius bei gegebener Masse M ausrechnen. Tabelle 1.2 gibt
Beispiele für den Schwarzschild-Radius verschiedener kosmischer Objekte.
Man merke sich, dass der Schwarzschild-Radius der Sonne etwa drei Kilometer, der
der Erde knapp einen Zentimeter beträgt. Die Kleinheit des Schwarzschild-Radius der
Erde veranschaulicht, warum man die Gravitation eine sehr schwache Wechselwirkung
nennt (der Schwarzschild-Radius ist ja zu vergleichen mit unserem Abstand vom Erdmittelpunkt von 6375 Kilometern).
Man beachte, dass das Verhältnis zwischen zwei Schwarzschild-Radien vom Verhältnis der tatsächlichen Radien zweier Körper verschieden ist. Zum Beispiel gilt für das
Verhältnis der Schwarzschild-Radien von Erde und Sonne
8,9 mm
rS♁
=
≈ 3 · 10−6
2950 m
rS
(1.22)
und für die tatsächlichen Radien
R♁
6370 km
=
≈ 9 · 10−3 .
696000 km
R
2
6
Karl Schwarzschild, 1873 – 1916, deutscher Physiker.
(1.23)
1.2 Der Schwarzschild-Radius
Objekt
Radius R
Masse M
vF
rS
kl. Planetoid
mittl. Planetoid
gr. Planetoid
Mond
Erde
Jupiter
Sonne
Beteigeuze
3 km
20 km
350 km
1740 km
6370 km
70000 km
696000 km
522 Mio. km
3,4 · 1014 kg
1017 kg
5,4 · 1020 kg
7,53 · 1022 kg
5,973 · 1024 kg
1,9 · 1027 kg
1,99 · 1030 kg
4 · 1031 kg
3,9 ms
26 ms
450 ms
2,4 km
s
km
11,2 s
60 km
s
km
620 s
100 km
s
0,5 pm
0,15 nm
0,8 µm
0,11 mm
8,9 mm
2,8 m
2950 m
60 km
Tabelle 1.2: Zahlenwerte für den Schwarzschild-Radius und die Fluchtgeschwindigkeit für verschiedene kosmische Objekte.
Abbildung 1.1: Veranschaulichung zum Schwarzschild-Radius: Zwei Körper im Abstand r, die der wechselseitigen Gravitationskraft unterliegen. Um
das Gravitationsfeld der Masse M zu verlassen, benötigt die Masse m die
Anfangsgeschwindigkeit v0 = c rrS .
Das rührt daher, dass die Schwarzschild-Radien linear, die tatsächlichen Radien jedoch
über das Volumen mit der dritten Wurzel von der Masse abhängen.
Es gibt einen alternativen Weg, um zum Schwarzschild-Radius zu gelangen. Wir betrachten einen Körper K mit kugelsymmetrischer Massenverteilung der Gesamtmasse
M , und eine Probemasse m im Außenraum von K im Abstand r vom Mittelpunkt (Abb.
1.1). Damit die Probemasse von ihrer Position bis ins Unendliche fliegen kann, muss
man ihr beim Start mindestens eine kinetische Energie mitgeben, die ihrer potentiellen
Energie am Ort r betragsmässig gleich ist:
1 2 mM G
mv =
.
2 0
r
(1.24)
Daraus folgt für die Startgeschwindigkeit
v02 =
2M G
,
r
(1.25)
7
1 Grundlagen
oder, ausgedrückt durch die Lichtgeschwindigkeit,
v02 = c2
2M G
rs
= c2 .
2
rc
r
(1.26)
Wieder erweist sich der Schwarzschild-Radius als die entscheidende Längenskala. Startet
die Probemasse direkt von der Oberfläche des Körpers K mit Radius R, so ist v0 die
Fluchtgeschwindigkeit der Masse M
r
rS
vF = c
.
(1.27)
R
Man nennt die Fluchtgeschwindigkeit auch die 2. kosmische Geschwindigkeit des Objekts.
Die 1. kosmische Geschwindigkeit ist die Geschwindigkeit vC , die notwendig ist, um das
kugelförmige Objekt knapp über seiner Oberfläche umkreisen zu können. Aus dem dann
herrschenden Gleichgewicht zwischen Zentripetalkraft und Gravitationskraft,
mM G
mvC2
=
R
R2
(1.28)
folgt unmittelbar
r
1
rS
= √ vF .
(1.29)
2R
2
√
Die Kreisbahngeschwindkeit ist damit um einen Faktor 1/ 2 ≈ 0,707 kleiner als die
Fluchtgeschwindigkeit.
vC2
=
MG
c2 2
Rc
rs
=c
2R
2
also vC = c
Zahlenwerte für Fluchtgeschwindigkeiten unterschiedlicher kosmischer Objekte sind in
Tabelle 1.2 angegeben. Wir sehen, dass im Falle der Erde eine Raumsonde, die zu einem anderen Planeten startet, die Anfangsgeschwindigkeit 11,2 km/s haben muss. Die
Fluchtgeschwindigkeit gibt zugleich die Geschwindigkeit an, mit der ein ursprünglich im
Unendlichen ruhender Körper im freien Fall auf die Oberfläche aufprallen würde (Freifallgeschwindigkeit).
Als die Apollo-Astronauten zur Erde zurückkehrten, rasten sie deshalb auch mit dieser
Geschwindigkeit wieder in die Erdatmosphäre hinein.
Für die in Tabelle 1.2 betrachteten kosmischen Objekte sind die Fluchtgeschwindigkeiten wegen der Kleinheit des Verhältnisses von Schwarzschild-Radius zu tatsächlichem
Radius allesamt nichtrelativistisch. Anders verhält es sich bei Neutronensternen. Bei
diesen Endstadien der Sternentwicklung sind die Schwarzschild-Radien in der Größenordnung dessen der Sonne, rS ≈ 3 km, die Radien dieser kompakten Objekte betragen
8
1.2 Der Schwarzschild-Radius
aber nur r ∼ 10 km. Als Entweichgeschwindigkeit erhält man
r
r
rS
3 km
1
=c
≈ c.
vF = c
R
10 km
2
(1.30)
Befindet sich ein Neutronenstern z.B. in einem Doppelsternsystem, so kann er unter
Umständen Material von seinem Begleiter “ansaugen”. Dieses fällt dann mit etwa der
halben Lichtgeschwindigkeit auf seine Oberfläche. Die dabei freigesetzten enormen Energiemengen werden in Form von Röntgenstrahlung bei akkretierenden (aufschüttenden)
Röntgenpulsaren tatsächlich beobachtet. Siehe dazu auch Abschnitt 2.5.
Streng genommen müsste man bei solchen Geschwindigkeiten die relativistische Form
der kinetischen Energie in Gleichung (1.24) verwenden. Die relativistische Rechnung bestätigt aber die Größenordnung des nichtrelativistischen Ergebnisses.
Wir haben bisher immer vorausgesetzt, dass der Radius des Objekts größer als sein
Schwarzschild-Radius ist. Der Schwarzschild-Radius hatte dann die Bedeutung einer charakteristischen Rechengröße. Wird der Radius eines kosmischen Objekts jedoch kleiner
als dieser, so bekommt der Schwarzschild-Radius eine wichtige physikalische Bedeutung:
Nach (1.26) würde für r = rS die für eine Masse notwendige Startgeschwindigkeit, um ins
Unendliche zu gelangen, gleich der Lichtgeschwindigkeit werden! Weder Teilchen noch
Licht könnten von unterhalb des Schwarzschild-Radius zu einem fernen Beobachter fliegen, das Gebiet unterhalb des Schwarzschild-Radius bliebe unsichtbar, verborgen hinter
einem Horizont.
Diese Argumentation hat aber zwei kleine Haken. Erstens hätten wir für Fluchtgeschwindigkeiten in der Nähe von c relativistisch rechnen müssen. Zweitens besitzen Lichtquanten keine Ruhmasse und daher auch keine kinetische Energie, und unsere Herleitung ist
auch relativistisch nicht anwendbar.
Trotzdem wird sich bei der exakten Behandlung der Teilchen- und Lichtausbreitung
in der allgemeinen Relativitätstheorie herausstellen, dass der Schwarzschild-Radius für
einen fernen Beobachter tatsächlich einen Ereignishorizont darstellt: Licht, das am oder
innerhalb des Schwarzschild-Radius abgestrahlt wird, kann sich nicht mehr nach außen
ausbreiten. Man spricht dann von einem Schwarzen Loch.
9
1 Grundlagen
1.3 Die Poisson-Gleichung der Gravitation
Die Gravitation ist die im Weltall dominierende Wechselwirkung. Quellen der Gravitationsfeldstärke sind Massen, genauso wie die Quellen der elektrischen Feldstärke Ladungen
sind. Man nennt daher die gravitationserzeugende Eigenschaft eines Körpers auch seine
Gravitationsladung (oder seine schwere Masse). Wie in der Elektrostatik Gleichungen
gelten, die den Zusammenhang zwischen Ursache und Wirkung, also felderzeugenden Ladungen und erzeugten elektrischen Feldern herstellen, so lassen sich solche Gleichungen
für die Newtonsche Gravitationstheorie herleiten.
Ausgangspunkt ist dabei die formale Analogie zwischen der Kraft, die in der Elektrostatik eine Ladung Q auf eine ruhende Probeladung q und in der Gravitationstheorie eine
Masse M auf eine Probemasse m ausübt:
Fel (r) =
qQ
1
· 2 er
4π0 r
⇐⇒
Fgr (r) = −G ·
mM
er
r2
(1.31)
Dabei bedeutet er den Einheitsvektor in der Richtung von der Ladung Q (der Masse M )
zur Ladung q (der Masse m), r ist der Abstand der Ladungen bzw. Massen. Man erkennt,
dass das auf der linken Seite stehende Coulomb-Gesetz in das Gravitatonsgesetz übergeht, wenn man die elektrischen Ladungen durch die Massen (die Gravitationsladungen)
austauscht und die Ersetzung
1
⇐⇒ − G
(1.32)
4π0
vornimmt.
Das Coulomb-Gesetz ist eine Konsequenz der Maxwell-Erregungsgleichung für die als
Kraft pro ruhender Probeladung definierte elektrische Feldstärke Eel = Fel /q. Sie lautet
divEel =
1
%el .
0
(1.33)
wobei %el die elektrische Ladungsdichte ist. Führen wir in derselben Weise eine Gravitationsfeldstärke als Kraft pro Probeladung ein, Egr = Fgr /m, dann folgt mit der Ersetzung
(1.32), dass für Egr die analoge Erregungsgleichung
divEgr = −4π G %gr
(1.34)
gelten muss. Dabei bedeutet %gr gemäß der Ersetzungsregeln die Massendichte. Da
die elektrische Feldstärke in der Elektrostatik ein konservatives Kraftfeld ist, lässt sie
sich als negativer Gradient des elektrostatischen Potentials φel schreiben:
Eel = −∇φel .
10
(1.35)
1.3 Die Poisson-Gleichung der Gravitation
Analog existiert für die konservative Gravitationsfeldstärke ein Gravitationspotential φgr
mit
Egr = −∇φgr .
(1.36)
Das Einsetzen von (1.35) in die Erregungsgleichung (1.33) führt in der Elektrostatik auf
die Poisson-Gleichung
1
(1.37)
4φel = − %el .
0
Setzen wir genauso (1.36) in (1.34) ein, gelangen wir zur Poisson-Gleichung der
Newtonschen Gravitationstheorie
(1.38)
4φgr = 4πG%m .
Diese gestattet es, bei beliebiger vorgegebener Massendichteverteilung %m (r) das Gravitationspotential und daraus mit (1.36) die Gravitationsfeldstärke im Raum zum berechnen.
Die Erregungsgleichung (1.34) kann wie in der Elektrostatik (1.33) in eine integrale Form
gebracht werden. Dazu integrieren wir (1.34) über ein beliebig vorgegebenes Volumen
ˆ
ˆ
divEgr · dV = −4πG
%m dV
V
V
und wenden den Gaußschen Satz an, um das Volumenintegral über die Divergenz der
Gravitationsfeldstärke in ein Oberflächenintegral für den Fluss der Feldstärke zu überführen:
ˆ
˛
%m dV = −4πGM (V ) .
(1.39)
Egr · df = −4πG
V
∂V
Das Integral auf der rechten Seite bedeutet nichts anderes als die vom Volumen V umschlossene Masse M . Wir wollen hier speziell den Fall betrachten, dass die Massendichte
kugelsymmmetrisch ist,
%m (r) = %m (r) ,
(1.40)
und ab einem Radius R verschwindet. Bei kugelsymmetrischer Massenverteilung ist keine
Richtung ausgezeichnet. Das Gravitationsfeld kann daher nur vom Abstand von Zentrum
der Massenverteilung abhängen und radial gerichtet sein,
Egr = Egr (r)er .
(1.41)
Wir betrachten als erstes den Fall r ≤ R, d. h. wir befinden uns innerhalb der Dichteverteilung (vgl. Abb. 1.2). Wir integrieren (1.39) über eine Kugel vom Radius r
˛
Egr · df = 4πr2 Egr (r) = −4πGM (r)
(1.42)
S(V )
11
1 Grundlagen
Abbildung 1.2: Veranschaulichung zur Berechnung von Er , an der Stelle r
für r < R. Nur die Masse, die sich in der hellen Kugel mit Radius r befindet,
trägt zur Gravitationswirkung bei.
wobei M (r) die bis zum Radius r umschlossene Masse bedeutet,
ˆ r
M (r) =
4πr02 %m (r0 )dr0 .
(1.43)
0
Mit (1.41) und (1.42) erhalten wir für die Gravitationsfeldstärke
Egr = −G
M (r)
er .
r2
(1.44)
Man beachte, dass die Gravitationswirkung nur von der unterhalb des Radius r liegenden Masse herrührt, und nicht von den darüber liegenden Schichten. Im zweiten Fall
sei r > R, wir befinden uns damit außerhalb der Dichteverteilung. Dann wird die umschlossene Masse gleich der Gesamtmasse und wir haben das bekannte Ergebnis, dass
eine kugelsymmetrische Massenverteilung im Außenraum so wirkt, als wäre die Gesamtmasse in ihrem Zentrum vereinigt,
Egr = −G
M
er .
r2
(1.45)
1.4 Gravitative Bindungsenergie eines Sterns
Die gravitative Bindungsenergie ist ein Maß für den Energiegehalt, den eine Massenansammlung im Kosmos, zum Beispiel eine Galaxie, eine Gaswolke, ein Stern oder ein Planetoid, auf Grund der gegenseitigen Anziehung ihrer einzelnen Massenelemente besitzt.
Sie entspricht zugleich der Energie, die nötig wäre, um die einzelnen Massenelemente zu
trennen und ins Unendliche zu transportieren.
12
1.4 Gravitative Bindungsenergie eines Sterns
Die Bindungsenergie sollte als potentielle Energie von der Form
Gravitationskonstante × Masse2
Länge
sein.
Die einzige Masse, die für eine Massenverteilung in Frage kommt, ist ihre Gesamtmasse
M , die einzige Länge ihre geometrische Ausdehnung R3 .
Die Bindungsenergie sollte also von der Form
Ugr = −const · GM 2 /R
(1.46)
sein. Allein die Konstante hängt noch von der Massenverteilung ab.
Als Beispiel wollen wir einen Stern als homogene Vollkugel mit Masse M und dem
Radius R0 modellieren und die Konstante in (1.46) berechnen. Für die konstante Dichte
dieser Kugel haben wir dann
M0
%m (r) = 4π 3 .
(1.47)
R0
3
Die bis zum Radius r umschlossene Masse ist
r3
.
R03
(1.48)
r3
M0
M (r)
e
=
−GM
e
=
−G
· r · er ,
r
0
r
3
r2
r2 R0
R03
(1.49)
M (r) = M0 ·
Für r < R0 ist dann die Gravitationsfeldstärke
Egr (r) = −G
d h. sie wächst linear mit dem Abstand an. Für das Gravitationspotential folgt durch
Integration über r:
ˆ r
ˆ r
M0 r2
M0
φgr (r) = −
Egr (r) · dr =
G 3 · rdr = G 3
+ const.
(1.50)
R0
R0 2
0
0
Für r > R0 erhält man das übliche Gravitationspotential
φgr = −G
3
M0
.
r
(1.51)
Wir betrachten hier Massenverteilungen mit hoher Symmetrie, also etwa Kugeln oder Ellipsoide. Für
eine beliebige geformte Gaswolke wäre der Zusammenhang natürlich etwas komplizierter.
13
1 Grundlagen
Das Potential muss als differenzierbare Funktion bei r = R0 stetig sein
−
GM0
GM0
=+
+ const.
R0
2R0
(1.52)
Daraus ergibt sich als Wert der Konstanten
const = −
3 GM0
.
2 R0
Die Gesamtenergie einer Massenverteilung ist allgemein gegeben durch
ˆ
1
Ugr =
φgr ρM dV,
2
(1.53)
(1.54)
wobei über den gesamten Raum zu integrieren ist. Im Beispiel der homogenen Vollkugel
ist die Dichte konstant und kann vor das Integral gezogen werden. Außerdem verschwindet sie im Außenraum, so dass die Integration nur bis zum Radius R0 erfolgen muss:
ˆ
ˆ R0 1
GM0 r2 3 GM0
1
−
+ 3
· 4πr2 dr
Ugr = %m φgr dV = %m
2
2
R0 2
2 R0
0
(1.55)
ˆ
GM0 R0 4
4π
2
2 2
= %m π 3
r − 3R0 r dr = − %m GM0 R0 .
R0 0
5
Mit %m aus Gleichung (1.47) folgt nach Einsetzen und Umformen schließlich:
Ugr = −
3 GM02
.
5 R0
(1.56)
Dieses Ergebnis ist nach unserer Vorüberlegung nicht überraschend, für die homogene
Vollkugel ist die gesuchte Konstante also gleich 3/5.
Wir können die gravitative Bindungsenergie der homogenen Vollkugel mit ihrer relativistischen Ruhenergie vergleichen. Dazu berechnen wir das Verhältnis
0
3 GM02
3 2GM
3 rS
Ugr
c2
=
−
=
−
=
−
.
M0 c2
5 R0 M0 c2
10 R0
10 R0
(1.57)
Hier haben wir wieder den Schwarzschild-Radius rS als charakteristische Längeneinheit verwendet. Wir sehen, dass die gravitative Bindungsenergie um das Verhältnis von
Schwarzschild-Radius zu tatsächlichem Radius kleiner als die Ruheenergie ist.
14
1.5 Der Virialsatz
Für das Beispiel einer Sonnenmasse ergibt sich das Verhältnis
−
2950 m
3 rS
3
· =− ·
≈ −1,3 · 10−6 .
10 R0
10 696 · 106 m
(1.58)
Die gravitative Bindungsenergie beträgt also nur etwa ein Millionstel der Ruheenergie.
Man kann die Bindungsenergie auch als einen „Massendefekt” zur Ruhemasse auffassen.
Genauso wie bei der Fusion von zwei Protonen und zwei Neutronen zu einem Heliumkern
die Ruheenergie des Heliumkerns um die durch die starke Wechselwirkung der Nukleonen erzeugte Bindungsenergie kleiner ist als die Summe der Ruheenergien der Nukleonen
vor der Fusion, ist die Ruheenergie der Massenverteilung durch die gravitative Bindungsenergie um den Faktor (1.58) vermindert. Diese Bindungsenergie muss ähnlich wie bei
der Fusion bei der Bildung der Massenansammlung freigesetzt werden, wie wir sehen
werden in Form von Wärme und Strahlung.
Bei der Kernfusion ist das Verhältnis von Massendefekt und Ruhemasse von der Größenordnung
∆mFusion
≈ 10−2 .
(1.59)
M
Das heißt, wir haben bei der Fusion eine um den Faktor 104 höhere Effizienz als bei
der gravitativen Bindung. Daraus wird bereits ersichtlich, dass die hohe Leuchtkraft der
Sterne nicht von der Bindungsenergie der Gravitation verursacht werden kann, sondern
durch die in den Sternen stattfindende Fusion.
1.5 Der Virialsatz
Im Folgenden leiten wir den Virialsatz her. Der Virialsatz macht eine Aussage über
den Zusammenhang von mittlerer kinetischer und mittlerer potentieller Energie eines
Ensembles von Teilchen. Dieser Zusammenhang wird später bei der Betrachtung der
Entstehung von Sternen nützlich sein. Wir betrachten zunächst ein Teilchen, auf das
eine Kraft K wirke:
mr̈ = K.
(1.60)
Im Folgenden bilden wir den Mittelwert der Größe K · r über einem Zeitintervall t2 − t1 .
Mit dem Zwischenschritt
t2 ˆt2
ˆt2
ˆt2
K · rdt = mr̈ · rdt = mṙ · r − mṙ · ṙdt
(1.61)
t1
t1
t1
t1
15
1 Grundlagen
erhalten wir
1
1
[mṙ(t2 )r(t2 ) − mṙ(t1 )r(t1 )] −
t2 − t1
t2 − t1
ˆt2
1
mṙ dt =
t2 − t1
ˆt2
2
t1
K · rdt.
(1.62)
t1
Damit gilt weiter
K · r + mṙ 2 =
1
[mṙ(t2 )r(t2 ) − mṙ(t1 )r(t1 )] ,
t2 − t1
(1.63)
wobei X den zeitlichen Mittelwert der Größe X bedeutet.
Wenn wir nun das betrachtete Zeitintervall sehr groß werden lassen, geht die rechte Seite
von (1.63) gegen Null, vorausgesetzt, dass der Ort und die Geschwindigkeit des Teilchens
beschränkt sind, d.h. das Teilchen hält sich für alle Zeit in einem bestimmten Volumen
auf und seine Geschwindigkeit übersteigt eine bestimmte Maximalgeschwindigkeit nicht.
Wenn wir noch berücksichtigen, dass mṙ 2 = 2T mit der kinetischen Energie T ist (nicht
die Temperatur), erhalten wir den Virialsatz
K · r + 2T = 0.
(1.64)
Wir drücken nun noch zusätzlich die Kraft durch den negativen Gradienten eines Potentials V = αrn aus:
K = −∇V = −∇αrn
(1.65)
Dann folgt
K · r = −∇V (r j )r j = −αrn−1 · n · rer · er = −nαrn = −V n.
(1.66)
Für den Zeitmittelwert in (1.64) folgt damit:
(1.67)
2T = n · V .
Wir betrachten nun zwei Spezialfälle für n:
• Mit n = 2 ergibt sich
1
T = V = E.
2
Dies ist der Fall für einen harmonischen Oszillator.
(1.68)
• Für n = −1 haben wir
2T = −V
Dieser Fall entspricht der Gravitation.
16
⇔
1
T =− V.
2
(1.69)
1.5 Der Virialsatz
Um nun zu ermitteln, was beim Zusammenziehen einer galaktischen Gaswolke unter
Einwirkung der Gravitation passiert, müssen wir außerdem die kinetische und potentielle
Energie über die Teilchen des gesamten Esembles zu einem festen Zeitpunkt mitteln.
Für die Ensemblemittelwerte führen wir folgende Schreibweise ein
hT i =
1 X
Ti ,
N i
hV i =
1 X
Vi
N i
(1.70)
wobei Vi die potentielle Energie und Ti die kinetische Energie des Teilchens i darstellt.
Wir nehmen weiter an, dass für große Zeiten τ und sehr viele Teilchen die mittlere
kinetische und potentielle Energie pro Teilchen zu einem bestimmten Zeitpunkt (Ensemblemittelwert) gleich der zeitlich gemittelten kinetischen und potentiellen Energie
eines einzelnen Teilchens ist (Zeitmittelwert):
hT i = T ,
(1.71)
hV i = V .
Dann erhalten wir mit Hilfe des Virialsatzes den Zusammenhang
1
hT i = − hV i
2
(1.72)
zwischen mittlerer kinetischer und mittlerer potentieller Energie des Ensembles.
Im Anfangsstadium der Verdichtung einer Wolke ist die Dichte des Gases sehr gering,
so dass zwischen den einzelnen Teilchen kaum Wechselwirkungen stattfinden und die
Gesetze für ideale Gase Anwendung finden. Für ein ideales Gas mit der thermischen
Energie U gilt
N · hT i = U.
(1.73)
Aus der Thermodynamik ist bekannt, dass für ein einatomiges Gas außerdem gilt:
3
U = kB T N.
2
(1.74)
Mit Hilfe des Virialsatzes können wir die thermische Energie nun auch über die potentielle Energie ausdrücken:
1
U = − Epot
2
M
ˆ(R)
⇔
3kB T N = −G
M (r)
dM (r).
r
(1.75)
0
Erhöht sich also die potentielle Energie Epot , dann erhöht sich auch die thermische
Energie U . Bei Verkleinerung des Sterns gilt demnach
17
1 Grundlagen
50% der Erhöhung von Epot führen zu einer Erhöhung der thermischen
Energie und 50% werden als Strahlung freigesetzt.
1.6 Koordinatensysteme
Um die Position der Sterne zu kennzeichnen, können verschiedene Koordinatensysteme verwendet werden. Diese werden im Folgenden erklärt. Vorab sollten jedoch einige
grundlegenden Begriffe erläutert werden:
Himmelskugel/ Hemissphäre Das ist eine scheinbare, den Beobachter allseitig umgebende Kugel mit beliebig großem Radius. Die Gestirne kann man sich als Punkte
auf dieser Kugel vorstellen.
Zenit Dies ist der Punkt, der genau senkrecht über dem Beobachter liegt.
Nadir Der dem Zenit an der Himmelskugel gegenüberliegende Punkt.
Horizontebene Beschreibt die Ebene durch den Beobachtungspunkt senkrecht auf der
Lotgeraden (Zenit-Nadir).
Himmelspole Das sind diejenigen Punkte am Himmel, an denen die verlängerte Erdachse die Himmelskugel schneidet. Für einen Beobachter auf der Erde hat es den
Anschein, die am Himmel sichtbaren Objekte würden sich um die Himmelspole
drehen.
Himmelsäquator Die Projektion des Äquators der Erde auf den Himmel. Er teilt die
Hemissphäre in eine nördliche und eine südliche Hälfte.
Ekliptik Sie ist der Kreis auf der Himmelssphäre, auf dem sich die Sonne im Laufe des
Jahres zu bewegen scheint. Die Richtung der Sonne verändert sich natürlich durch
die Bewegung der Erde um die Sonne. Die Ekliptik ist gegenüber dem Himmelsäquator zur Zeit um 23◦ 270 geneigt.
Meridian Der Himmelsmeridian ist der Großkreis durch Zenit, Nadir, die beiden Himmelspole und durch den Nord- und Südpunkt am Horizont. Er teilt den Himmel
in eine östliche und eine westliche Himmelsspäre.
Frühlings-Herbstpunkt Der Himmelsäquator schneidet die Ekliptik in zwei Punkten.
An einem dieser Punkte befindet sich die Sonne am Frülingsanfang. Am anderen
Punkt befindet sie sich zu Herbstbeginn.
18
1.6 Koordinatensysteme
1.6.1 Das Horizontsystem
Im Horizontsystem ruht der Beobachter auf der Erdoberfläche. Die Position eines Sterns
wird hier durch die sogenannten Höhe h und den Azimut A beschrieben. Das Horizontsystem ist in Abbildung 1.3 veranschaulicht.
Zenit
er
M
z
id
Horizont
b
b
W
n
N
ia
*
h
S
A
Nadir
Abbildung 1.3: Himmelskugel im Horizontsystem, aus [1].
. Der Azimut A ist der Winkel zwischen Meridian und dem Vertikalkreis durch den
Stern.
Das Horizontsystem hat jedoch zwei Nachteile. Zum Einen verändern sich die Koordinaten durch die Rotation der Erde. Zum Anderen sind die Koordinaten für verschiedene Beobachter unterschiedlich. Zur einheitlichen Beschreibung sind diese Koordinaten deshalb
nicht geeignet. Um Himmelsobjekte zu katalogisieren werden also andere Koordinaten
benötigt.
1.6.2 Das Äquatorsystem
Das Äquatorsystem (Abb.1.4) ist durch die Erdachse (Polachse) und durch den Himmelsäquator gekennzeichnet. Den geographischen Längenkreisen entsprechen im Äquatorsystem die Stundenkreise und den Breitenkreisen entsprechen die Parallelkreise. Man
unterscheidet das „feste“ und das „bewegliche“ Äquatorialsystem.
Beim festen Äquatorialsystem wird die Position eines Objekts durch die Deklination δ und den Stundenwinkel t beschrieben.
. Die Deklination δ ist der Winkelabstand zwischen Parallelkreis des Sterns und
Himmelsäquator.
. Der Stundenwinkel t wird längs des Himmelsäquators gemessen. Als Nullpunkt
wird der Schnittpunkt von Himmelsäquator und Meridian gewählt. Da sich die
Erde in 24 Stunden einmal um ihre eigene Achse (also um 360◦ ) dreht, ändert sich
der Stundenwinkel in einer Stunde um 15◦ .
19
1.4. KOORDINATENSYSTEME
1.4.2
1
13
Das Äquatorsystem
Das Äquatorsystem (Abb.1.4) ist durch die Erdachse (Polachse) und durch den
Himmelsäquator gekennzeichnet. Den geographischen Längenkreisen entspreGrundlagenchen im Äquatorsystem die Stundenkreise und den Breitenkreisen entsprechen
die Parallelkreise. Man unterscheidet das feste“ und das bewegliche“ Äquato”
”
rialsystem.
Pol
ϕ
b
bOK
*
δ
UK
b α t
N b
θ
Horizont bτ
r
o
t
Äqua
bS
Abbildung 1.4: Himmelskugel im Äquatorialsystem
Abbildung 1.4: Himmelskugel im Äquatorialsystem, aus [1].
Katalognummer
Sternbild
α
δ
Art Helligkeit · · ·
0 von einem Objekt durch die
Beim festen Äquatorialsystem
wirds die Position
h
m
◦
N GC2252
Einhorn
6 34 42
+5 22
sog. Deklination δ und den sog.
Stundenwinkel
t beschrieben.
0
h
m
s
N GC2610
Wasserschlange 8 33 23 −16◦ 09
0
◦
zwischen
Parallelkreis des Sterns
A30 ⊲ Die Deklination
Krebsδ ist der Winkelabstand
8h 46.8m +17
53
und Äquator.
..
.
⊲ Der Stundenwinkel t wird längs des Himmelsäquators gemessen. Als NullTabelle
1.3:Schnittpunkt
Beispiel fürvon
denHimmelsäquator
Aufbau eines Sternenkatalogs.
punkt
wird der
und Meridian gewählt. Da
sich die Erde in 24 Stunden einmal um ihre eigene Achse (also um 360◦ ) dreht,
ändert sich der Stundenwinkel in einer Stunde um 15◦ .
Beim festen Äquatorsystem
ändert sich
dersich
Stundenwinkel
mitmit
derderZeit.
ist
Beim festen Äquatosystem
ändert
der Stundenwinkel
Zeit.Außerdem
Außerer von der geographischen
Länge
des Beobachters
von derund
Jahreszeit
abhängig.
dem ist er von der
geographischen
Länge des und
Beobachters
von der Jahreszeit
abhängig.
Somit ist dieses
Koordinatensystem auch nicht zu einer einheitlichen Beschreibung geSomit ist dieses Koordinatensystem auch nicht zu einer einheitlichen Beschreieignet.
bung geeignet.
Beim beweglichen
Äquatorsystem
wird wird
der Nullpunkt
fürfürden
anBeim beweglichen
Äquatorsystem
der Nullpunkt
denStundenwinkel
Stundenwinders gewählt. kel
Deranders
Winkel
zwischen
dem Frühlingspunkt
und dem Schnittpunkt
Himmelsgewählt.
Der Winkel
zwischen dem Frühlingspunkt
und dem Schnittpunkt Himmelsäquator/Stundenkreis
des Sterns heißt
α. Er
äquator/Stundenkreis
des Sterns heißt Rektaszension
α. ErRektaszension
wird vom Frühlingspunkt
vom Frühlingspunkt
entgegen
der täglichen
aus entgegen wird
der täglichen
Bewegungausder
Himmelssphäre
imBewegung
Zeitmaß der
vonHimmels0h bis 24h gesphäre im Zeitmaß von 0h bis 24h gemessen. Die Deklination ist in beiden
messen. Die Deklination
ist
in
beiden
Systemen
gleich.
Systemen gleich.
Im beweglichen Äquatorsystem, das sich mit der Erde bewegt, sind die Koordinaten
Im zeitunabhängig.
beweglichen Äquatorsystem,
das sich mit der
Erde
bewegt, wird
sind die
Koor- dieses
eines Objektes
Zur Katalogisierung
von
Sternen
deshalb
dinaten verwendet.
eines Objektes
zeitunabhängig.
Zur Katalogisierung
Sternen
Koordinatensystem
Ein
Beispiel für einen
Sternkatalogvon
findet
sichwird
in Tabelle
deshalb dieses Koordinatensystem verwendet.
1.3.
Beispiel für Sternkatalog:
1.6.3 Ekliptikalsystem
Im Ekliptikalsystem dient als Bezugsebene die Ekliptik, also die Bahnebene der Erde.
. Die ekliptische Breite β ist der Winkel zwischen Ekliptik und dem Objekt.
. Die ekliptische Länge λ wird längs der Ekliptik gemessen. Wie beim Äquatorial-
20
1.6 Koordinatensysteme
system ist der Frühlingspunkt der Nullpunkt für die ekliptische Länge.
Dieses System ist für Körper des Sonnensystems (Planeten, Asteroiden, Kometen) von
Bedeutung.
1.6.4 Galaktisches System
Das galaktische System benutzt die Ebene der Milchstraße (galaktische Äquatorebene)
als Grundkreis. Der Nullpunkt ist das Zentrum der Milchstraße.
. Die galaktische Breite b bezeichnet den Winkel zwischen dem Objekt und der
Ebene durch die Milchstraße.
. Die galaktische Länge l ist der Winkel zwischen der Verbindungslinie Sonne/Zentrum
und dem Schnittpunkt des Längenkreises des Objektes mit der galaktischen Äquatorebene.
Galaktische Koordinaten werden hauptsächlich bei Untersuchungen verwendet, bei denen die Raumverteilung von Objekten in unserer Galaxie von Bedeutung ist.
1.6.5 Störungen der Koordinaten
Die Bewegung der Erde unterliegt Einflüssen, welche langzeitliche Schwankungen hervorrufen. Deshalb reicht es nicht aus nur die Koordinaten anzugeben. Zusätzlich wird in
Sternkatalogen auch noch das Äquinoktium (der Zeitpunkt oder Epoche) der Messung
angegeben, auf welches sie sich beziehen.
Durch die Gravitationskräfte des Mondes führt die Erde eine Präzessionsbewegung
aus. Dabei beschreibt die Erdachse eine gleichmäßige Drehung längs eines Kegels mit
einer Öffnung von 23.5◦ um den Pol der Ekliptik. Ein vollständiger Umlauf dauert ca.
26.000 Jahre.
Die Nutation führt zu einer Änderung der Rotationsachse und somit zu einer Änderung der Winkelgeschwindigkeit.
Durch diese Effekte (es gibt noch weitere Störungen, die allerdings nicht so drastisch
sind) verändern sich Deklination und Rektaszension eines Sterns mit der Zeit. Auch
die Position des Frühlingspunktes, der Himmelspole und des Polarsterns verändern sich
deshalb.
21
2 Entstehung und Entwicklung von Sternen
2 Entstehung und Entwicklung von
Sternen
In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit den verschiedenen Phasen eines Sternlebens. Wir diskutieren wie Sterne entstehen, welche Prozesse sie stabilisieren, und wie
die Endprodukte von Sternen beschaffen sind.
2.1 Sternentstehung und Gleichgewichtsbedingung
Gaswolken kosmischer Größe tendieren dazu, sich unter der Einwirkung ihrer Eigengravitation zu kontrahieren. Beobachtet man dagegen eine Gaswolke im Labor, so nimmt
diese jedes ihr zur Verfügung gestellte Volumen ein um sich auszudehnen. Dies liegt
daran, dass für solch kleine Objekte die Gravitation keine Rolle spielt (Abb. 2.1). Man
nimmt heute an, dass die Kontraktion der für die Sternbildung entscheidende Effekt ist.
2.1.1 Jeans-Kiterium
Die Vorraussetzung für die Kontraktion ist, dass die Gravitationsenergie die thermische
Energie übersteigt. Das ist das Jeans-Kriterium für das Einsetzen der „Gravitationsstabilität” (= Kontraktion). Für die thermische Energie gilt zunächst:
3
M
3
Uth = kB T · N = kB T · .
2
2
µ
Abbildung 2.1: Kontraktion einer Gaswolke unter Einwirkung der Eigengravitation. Im Labor wird der umgekehrte Prozess beobachtet, da hier die
Gravitation keine Rolle spielt.
22
(2.1)
2.1 Sternentstehung und Gleichgewichtsbedingung
Dabei ist µ die mittlere Molekül- bzw. Atommasse. Bei homogener Dichte gilt für die
Gravitationsenergie nach Gleichung (1.56):
M2
3
Ugr = G ·
5
R
(2.2)
Nach Vorraussetzung muß die Gravitationsenergie die thermische Energie übersteigen.
Es ergibt sich eine Ungleichung:
3
M2
3
M
G·
> kB T ·
5
R
2
µ
(2.3)
Zunächst wollen wir R durch M und %m ausdrücken:
M
%m = 4π 3
R
3
M
R = 4π
%
3 m
3
⇔
1
⇔
R=
M3
1
( 4π
% )3
3 m
.
In (2.3) eingesetzt ergibt sich nach kurzer Rechnung:
r
M>
375
·
32π
kB T
µG
32
1
·√ .
%m
(2.4)
Diese Größe wird manchmal auch als kritische Jeansmasse bezeichnet. Sie gibt eine
untere Schranke der Masse an, ab der die Gaswolke bei gegebener Dichte kollabiert.
Als Beispiel betrachten wir kosmische Gaswolken, die aus neutralem Wasserstoffgas bestehen und eine Temperatur von T = 100 K besitzen. Wasserstoff besitzt die atomare
Masse
µ = mH = 1,67 · 10−27 kg.
(2.5)
Wir nehmen an, dass sich in einem Volumen von 1 cm3 100 Wasserstoffatome befinden.
Dann gilt für die Dichte
%m = 1,67 · 10−25
kg
kg
= 1,67 · 10−19 3 .
3
cm
m
(2.6)
Für die Gravitationskonstante nehmen wir den Wert aus (1.12) und für die BoltzmannKonstante
J
kB = 1,38 · 10−23 .
(2.7)
K
23
2 Entstehung und Entwicklung von Sternen
Alles eingesetzt ergibt:
r
M>
375
·
32π
1,38 · 10−23
J
K
· 100 K
1,67 · 10−27 kg · 6,672 ·
m3
10−11 kg·s
2
≈ 6,5 · 1033 kg.
! 23
·q
1
1,67 · 10−19 mkg3
(2.8)
Sehr häufig werden Sternmassen in Einheiten von Sonnenmassen gerechnet, wobei wir
annehmen, dass M = 2 · 1030 kg. Es folgt dann für die Mindestmasse:
M > 3250 · M .
(2.9)
Gaswolken mit einer Masse von M ≈ 104 M kontrahieren somit sicher. Da aber die
massereichsten bisher beobachteten Sterne nur Massen M < 50M haben (mit Ausnahme von η Carinae in der südlichen Milchstraße, der mit M ≈ 100M wahrscheinlich
der massereichste Stern unseres Milchstraßensystems ist), entstehen bei der Kontraktion
nicht einzelne Sterne, sondern Sternhaufen. Darüberhinaus kondensiert nicht alles Gas
zu Sternen. Die Entstehung dieser Sternhaufen findet statt, während die Gaswolke kollabiert. Durch den Kollaps entstehen lokale Dichtevariationen. Dabei bilden sich durch
Reibung und Magnetfelder Turbulenzen aus, die eine rein radiale Kompression stören
und zu lokalen Dichteschwankungen führen.
Die lokalen Teilgebiete höherer Dichte %m können dann für sich jeweils gravitativ instabil
werden und kollabieren, da nach (2.4) die für einen Kollaps nötige Masse mit der Dichte
−1/2
über M ∼ %m zusammenhängt.
2.1.2 Ablauf des Kollapes
Während des Kollapses steigt mit der Dichte %m auch der Gasdruck an, während die
potentielle Energie sinkt. Solange dabei die Dichte %m klein genug bleibt, kann die
freiwerdende Energie ∆Epot als Strahlungsenergie nach außen abgegeben werden. Die
Temperatur der Gaswolke steigt also nicht wesentlich an. Da nun bei dieser isothermen
1/2
Kontraktion mit der Dichte die kritische Jeans-Masse mit M ∼ %m abnimmt, können
Teilmassen bei räumlicher Dichtefluktuation in Richtung ihrer eigenen Massezentren kollabieren. Aus der ursprünglichen Wolke bilden sich also einzelne Fragmente, aus denen
dann letztendlich die Sterne entstehen. Deshalb entstehen Sterne in Haufen, in denen
im allgemeinen alle Sterne etwa dasselbe Alter haben.
Nimmt die Dichte so weit zu, dass die Wolke optisch dicht wird, kann die Strahlung
nicht mehr aus der Wolke entweichen. Die Wolke wird aufgeheizt. Damit steigt dann
aber der Druck p ∼ %m kB T stärker an als die Dichte. Ferner kann die Strahlung aus den
Randgebieten viel eher entweichen als aus dem Inneren der Fragmente. Die Temperatur
der kollabierenden Wolke steigt also im Inneren stärker an als in den Randgebieten. So
24
2.1 Sternentstehung und Gleichgewichtsbedingung
entsteht dann ein Zentralgebiet mit hohem Druck und hoher Temperatur. Bei genügend
hohem Gasdruck kompensieren die Druckkräfte die Gravitation schließlich. Der Kollaps
wird dadurch abgebremst und das Zentralgebiet stabilisiert.
Allerdings stürzen die Randschichten weiterhin auf das Zentrum und heizen dieses weiter
auf. Die Temperatur, und mit ihr der Gasdruck, steigt also weiter an und die kritische
Jeansmasse erreicht Größenordnungen der Sonnenmasse.
Das so entstehende Gebilde heißt Protostern. Für Protosterne charakteristisch ist,
dass sie die bei der Kontraktion erzeugte Strahlung absorbieren. Es erfolgt also keine Energieabgabe. Der Vorgang geschieht adiabatisch. Der rasche Druckanstieg mit
pV γ = const bremst den Kollaps bei einer Temperatur von etwa 100K ab. Dadurch
verlangsamt sich die Kontraktion, während die Temperatur auf einige tausend Kelvin
steigt.
Diese Temperatur liefert hinreichend Energie für die Dissoziation des Wasserstoffs. Die
hierzu aufgewendete Dissoziationsenergie geht auf Kosten der kinetischen Energie der
Teilchen, so dass sich Temperatur- und Druckanstieg verlangsamen, während der Gravitationsdruck aufgrund zunehmender Dichte unvermindert ansteigt. Dadurch erhöht sich
die Kontraktionsgeschwindigkeit nun wieder.
Der Kollaps setzt sich solange fort, bis alle H2 -Moleküle dissoziiert sind. Nun wird keine
Energie mehr zur Dissoziation aufgewandt, so dass die Zentraltemperatur wieder ansteigen kann. Dabei ist die Hülle weiter optisch dicht, so dass die Strahlung absorbiert wird
und die Hülle eine Aufheizung auf TH ≈ 700K erfährt.
Durch die unverminderte Gravitation stürzt mehr und mehr Materie der Hülle in den
Kern. Da damit aber auch die absorbierende Funktion der Hülle verlorengeht, wird der
Kern während seiner Massenzunahme sichtbar. Durch die weitere Kontraktion erhöht
sich die Temperatur derart, dass Wasserstoff ionisiert wird. Mit der gleichen Argumentation für die Energiebilanz wie bei der Dissoziation wird dadurch die Kontraktionsgeschwindigkeit abgebremst. Hat die Zentraltemperatur eine Größenordnung von etwa
105 K erreicht, so ist alles Gas ionisiert. Schließlich gelangt der Stern ins so genannte Hydrostatische Gleichgewicht, bei dem der Gasdruck die Gravitation kompensiert.
2.1.3 Hydrostatisches Gleichgewicht
Ein Grundproblem bei der Sternentstehung ist die Beantwortung der Frage, warum der
Stern nicht unter seiner Eigengravitation immer weiter kollabiert, bzw. durch was er
stabilisiert wird.
Es zeigt sich, dass dafür ein Druckgradient nötig ist, so dass jede einzelne Kugelschale
des Sternes davon getragen wird.
25
2 Entstehung und Entwicklung von Sternen
dS
p(r + dr)
M (r ) + d
r
r+d
m
δm
Fg
M (r )
r
p(r)
dS
Abbildung 2.2: Zur Herleitung des hydrostatischen Gleichgewichtes. Betrachtet wird ein Zylinder im Stern zwischen den Kugelschalen bei r und
r + dr, die die Massen M (r) bzw. M (r) + dm umschliessen. Die Masse des
Zylinders ist δm = %(r) dr dS. Auf den Zylinder wirken aufgrund der Radialsymmetrie lediglich Drücke in radialer Richtung, sowie die Gravitation.
1) Herleitung der Gleichgewichtsbedingung
Zur Herleitung der Gleichgewichtsbedingung betrachten wir einen kleinen Zylinder im
Stern zwischen den Kugelschalen bei r und r + dr, siehe Abb. 2.2. Aufgrund der Radialsymmetrie wirken auf den Zylinder nur Drücke in radialer Richtung, zum einen der
Druck p(r) von unten, zum anderen der Druck p(r + dr) von oben. Zusätzlich wirkt noch
die Gewichtskraft des Zylinders, diese ergibt sich zu
Fg = G
M (r)δm
,
r2
(2.10)
mit der von der Kugel mit Radius r umschlossenen Masse M (r) und der Masse des Zylinders δm = % dr dS, wobei dS die Grundfläche des Zylinders bezeichnen soll. Aufgrund
der Druckdifferenz ergibt sich eine resultierende Kraft
F ∆p = p(r)dS − p(r + dr)dS.
(2.11)
Im Gleichgewicht müssen sich diese beiden Kräfte aufheben. Für die weitere Betrachung
linearisieren wir den Ausdruck für p(r) und erhalten
p(r + dr) = p(r) +
26
dp dr + O(dr2 ).
dr r
(2.12)
2.1 Sternentstehung und Gleichgewichtsbedingung
Die Masse des Zylinders ist gegeben durch
δm = %(r) · dr · dS.
(2.13)
dp dp δm
,
dr · dS = − ·
dr r
dr r %(r)
(2.14)
Damit ergibt sich
F ∆p = −
wobei bei der zweiten Umformung Gleichung (2.13) verwendet wurde.
Gleichsetzen von (2.14) und (2.10) führt schließlich auf
dp
M (r)
= −%(r)G 2 .
dr
r
(2.15)
Alternativ können wir dr durch dM ausdrücken über
dr =
und erhalten
dM
4πr2 %(r)
(2.16)
dp
M
= −G
.
dM
4πr(M )4
(2.17)
Durch diesen Druckgradienten wird der Stern stabilisiert.
2) Abschätzung des Druckes
Aus Gleichung (2.17) können wir formal einen Zusammenhang zwischen Druck und
umschlossener Masse innerhalb eines Sternes herleiten:
ˆM
p(M ) − p(0) = p(M ) − pc = −G
M 0 dM 0
.
4πr(M 0 )4
(2.18)
0
Mit dem Druck pc im Zentrum. Auf der Oberfläche des Sternes (M = M (R)) ist der
Druck Null und wir erhalten
ˆM
M 0 dM 0
pc = G
.
(2.19)
4πr(M 0 )4
0
Da der Zusammenhang r(M ) zwischen Radius und eingeschlossener Masse aber i.A.
nicht bekannt ist, muss eine Abschätzung vorgenommen werden. Wir verwenden dafür
statt r(M ) den Sternradius R. Dies ist natürlich der maximale Wert den r(M ) annehmen
kann, der tatsächliche Druck ist also größer als unser Ergebnis. Mit dieser Abschätzung
27
2 Entstehung und Entwicklung von Sternen
lässt sich (2.19) leicht integrieren und wir erhalten
ˆM
pc & G
M 0 dM 0
M2
=
G
.
4πR4
8πR4
(2.20)
0
R3 ) des Sternes und durch Einsetzen des SchwarzMit der mittleren Dichte % = M/( 4π
3
2
schildradius rS = 2GM/c erhalten wir schließlich
rS
3
pc & %c2 .
4
R
(2.21)
Größenordnungsmässig ergibt sich damit folgender wichtige Zusammenhang
p
rS
≈ .
2
%c
R
(2.22)
Dabei ist p/(%c2 ) die Ruheenergiedichte.
2.1.4 Charakteristische Zeitskalen der Sternentwicklung
Nach diesem eher phänomenologischen Zugang zur Sternentstehung wollen wir nun ausführlichere Betrachtungen anstellen um aus dem Prozeß der Sternentstehung und der
Grundgleichungen der Newtonschen Gravitationstheorie eine wichtige Zustandsgleichung
zur Abschätzung des Druckes im Sterninneren herleiten zu können. Zuerst sollen dafür
drei für die Sternentwicklung wichtige Zeitskalen vorgestellt werden.
1) Kelvin-Helmholtz-Zeitskala
In diesem Abschnitt analysieren wir, wie lange ein Stern aufgrund seiner gravitativen
Bindungsenergie leuchten könnte.
Wir betrachten als Beispiel die Sonne mit den Werten M = 2 · 1030 kg und R =
7 · 108 m. Nach Gleichung (1.56) berechnet sich die potentielle Energie der Sonne zu
kg · m2
3 M2
= 2,29 · 1041
.
Epot = G
5 R
s2
(2.23)
Für die Leuchtkraft der Sonne hatten wir in Abschnitt 1.1.1 L = 3,86 × 1026 Js .
Das Verhältnis von Epot und L bezeichnet die Kelvin-Helmholtz-Zeitskala:
τKH =
28
Epot
≈ 5,9 · 1014 s ≈ 18,8 Mio. Jahre.
L
(2.24)
2.1 Sternentstehung und Gleichgewichtsbedingung
Als reiner Gravitationseffekt ergäbe sich also eine Lebensdauer für den Stern im Bereich
von einigen zehn Millionen Jahren. Dies stellte im 19. Jahrhundert, als Kernfusion noch
unbekannt war, ein großes Problem dar, da die Lebensdauer der Sonne damit unverträglich mit geologischen Erkenntnissen zum Alter der Erde und Darwins Untersuchungen
zur Evolution war.
2) Hydrostatische Zeitskala
Wird das Gleichgewicht eines Sternes gestört, so reagiert der Stern auf einer Zeitskala
τh . Um diese zu ermitteln betrachten wir, wie lange eine Druckstörung mit Schallgeschwindigkeit braucht, um den Stern zu durchqueren.
Für die Schallgeschwindigkeit vS in einem Stern ergibt sich bei Vernachlässigung von
Zahlenfaktoren der Ordnung 1
r
r
r
p
rS 2
M
≈ G
=
c.
(2.25)
vS =
%
R
R
Wobei Gleichung (2.22) verwendet wurde.
Damit ergibt sich die Zeit um den Stern zu durchqueren zu
r
r
R
R3
R R
τh =
=
=
.
vS
GM
c rS
(2.26)
Für die Sonne ergibt sich als Beispiel τh ≈ 1000 s.
3) Nukleare Zeitskala
Nimmt man an, dass Sterne ihre Strahlungsenergie durch nukleare Prozesse erhalten, so
kann man damit analog zu Gleichung (2.24) eine Größenordnung für die Lebensdauer
eines Sternes berechnen:
EN
≈ 1012 a.
(2.27)
τN =
L
Dabei bezeichnet EN die Energie, die ein Stern durch nukleare Prozesse erzeugen kann.
Die Annahme, dass Sterne aufgrund von Fusionsprozessen leuchten wurde zuerst von A.
Eddington1 geäußert und löste das Altersproblem der Sonne.
1
Arthur Eddington, 1882-1944. Britischer Astrophysiker, bekannt u.a. für die Eddington-Grenze für
die maximale Leuchtkraft eines Sterns.
29
2 Entstehung und Entwicklung von Sternen
2.2 Zustandsgleichungen
Unter Zustandsgleichungen verstehen wir generell Gleichungen, die die Materie beschreiben, aus der der Stern besteht. Allgemein sind solche Gleichungen von der Form
p = p(%, T ),
(2.28)
d.h. sie liefern einen Zusammenhang zwischen Druck, Dichte und Temperatur. Es ist
Konvention, Zustandsgleichungen in der Form
f (%, T ) :=
p(%, T )
%c2
(2.29)
anzugeben. Die Größe f ist dabei dimensionslos.
2.2.1 „Normale” Sterne
Wir betrachten zunächst „normale” Sterne mit stationärem H-Brennen, in denen also
durch Fusion von Wasserstoff Helium entsteht. Für diese Sterne kann die Materie im
Sterninneren näherungsweise als ideales Gas angesehen werden, da die Wechselwirkung
der Teilchen untereinander vernachlässigbar ist gegen die hohe thermische Energie. Die
Zustandsgleichung lautet also
pVH = nH kB T
⇔
pVH
= kB T.
nH
(2.30)
Hierin sind V das Volumen und n die Teilchenzahl. Der Index H soll deutlich machen, dass es sich bei dem Gas im Wesentlichen um Wasserstoff handelt. Die Masse des
Wasserstoff-Atoms ist mH = 1,6 · 10−27 kg. Nun berechnen wir die Ruheenergie. Dazu
benutzen wir zunächst die Zustandsgleichung (2.29) des vorhergehenden Abschnittes:
f (%,T ) =
pVH
kB T
p
=
=
.
2
2
%H c
nH mH c
mH c2
(2.31)
Diese Zustandsgleichung ist nur von der Temperatur T abhängig. Wir betrachten die
Temperatur im Sterninnern. Es war
f≈
rS
.
R
(2.32)
Mit der Zustandsgleichung aus (2.31) ergibt sich
kB T
rS
≈ .
2
mH c
R
30
(2.33)
2.2 Zustandsgleichungen
Abbildung 2.3: Delokalisierung der Elektronen zu einem Fermigas beim
Kollaps des Sternes.
Radius und Temperatur sind also im Gleichgewicht miteinander verknüpft.
Für eine Fusion gelten etwa folgende Energiewerte:
kB T ≈ 0,8 keV
T ≈ 107 K
mc2 = 1 GeV.
(2.34)
Dann ergibt sich für das Verhältnis (2.33):
0,8 keV
103
≈ 9 = 10−6 .
1 GeV
10
(2.35)
Für die Sonne hatten wir den Schwarzschild-Radius rS ≈ 3 km und den Radius R ≈
7 · 105 km angenommen. Damit haben wir nach (2.32) einen Wert von 37 · 10−5 . Ein
Vergleich mit dem typischen Verhältnis (2.35) bei einer Fusion zeigt, dass unsere Sonne
in etwa in dieser Region und zur Fusion fähig ist.
2.2.2 „Entartete” Sterne
Nach Ende des thermonuklearen Brennens von Wasserstoff H kann die hohe Temperatur
T im Sterninnern nicht mehr aufrecht erhalten werden. Als Folge davon kühlt der Stern
ab. Aus Gleichung (2.33) wird klar, dass dadurch der Gleichgewichtsradius des Sternes
wächst und er expandiert gegen die Eigengravitation. Als eine weitere Folge beginnt der
komplizierte sogenannte Prozeß des Schalenbrennens, das heißt, Helium wird jetzt bei
der Fusion in Lithium überführt usw. Die Details dieser Entwicklung können in diesem
Rahmen allerdings nicht behandelt werden.
Durch die fortlaufende Fusion entstehen so schwerere Elemente. Der Energieumsatz dabei ist allerdings geringer als beim Wasserstoff. Dieser Prozess kann, abhängig von der
Grösse des Sterns, maximal bis Eisen fortgeführt werden. Dies ist das letzte Element,
bei dem die Fusion noch Energie liefert. Spätestens jetzt reicht die Energie nicht mehr
aus, um den Stern in neue Gleichgewichtszustände zu überführen; die Gaskugel kollabiert, der Druck und die Dichte steigen sehr stark an. Es setzt nun ein neuer Effekt ein:
Die Elektronen sind nicht länger bei den Kernen lokalisiert. Dieser Zustand entspricht
einer globalen Wellenfunktion und es liegt quasimetallisches Verhalten vor. Die frei beweglichen Elektronen lassen eine Behandlung des Gases als freies Elektronengas
31
2 Entstehung und Entwicklung von Sternen
(Fermi-Gas) (Abb. 2.3) zu. Wir wollen hier allerdings nicht streng formal vorgehen und
verweisen für die detaillierte Behandlung auf die Lehrbücher der Quantenmechanik.
1) Fermieenergie der Elektronen
In einem freien Elektronengas lassen sich die verschiedenen Quantenzustände der Elektronen durch den Impuls, bzw. den Ort der Elektronen klassifizieren. Eine Klassifizierung über den Ort erfordert eine Konzentration der Einelektronwellenfunktionen auf ein
Volumen der Größe d3 , d.h. außerhalb dieses Volumens hat das Elektron eine vernachlässigbare Aufenthaltswahrscheinlichkeit.
Durch diese Einschränkung auf ein bestimmtes Volumen ergibt sich aber für die Elektronen aus der Unschärferelation über
pi · d = }.
(2.36)
ein Impuls pi ≈ }/d pro Raumrichtung.
Verallgemeinert man diesen Ausdruck auf drei Dimensionen, so ergibt sich:
p2F
=
3
X
i=1
p2i ≥ 3}2 /d2 .
Diesem Fermi-Impuls entspricht eine Fermi-Energie,
q
EF = m2e c4 + c2 p2F ,
(2.37)
(2.38)
die mit zunehmender Elektronendichte ansteigt. Wir haben hier den relativistischen
Ausdruck für die Energie benutzt. Im Folgenden werden wir zum einen näherungsweise
nichtrelativistische oder hochrelativistische Elektronen betrachten und den Energieausdruck entsprechend nähern.
Allgemein ist aber für entartete Materie die Elektronendichte so hoch, dass gilt EF kB T ,
d.h. die thermische Energie ist vernachlässigbar gegen die Fermienergie. Wir können daher in den folgenden Betrachtungen die Temperatur T = 0 setzen.
2) Zustandsdichte im Impulsraum
Im Folgenden wollen wir nun die Zustandsdichten im Impulsraum betrachten. Dabei
werden wir über die Fermi-Energie zu einem Ausdruck gelangen, der es uns erlauben wird
den Begriff „entartete Materie“ anhand unserer Zustandsgleichung (2.29) zu spezifizieren.
32
2.2 Zustandsgleichungen
Zustandsgleichung des freien Elektronengases im nichtrelativistischen Fall
Die differentielle Zustandsdichte im Impulsraum für den Fermi-Impuls ist gegeben durch:
dN = 2 ·
4πp2 dp
dV,
h3
(2.39)
wobei die 2 in der Gleichung wegen der beiden Spineinstellungsmöglichkeiten resultiert,
eine strenge Rechtfertigung dafür wird in der Quantenmechanik erbracht.
Integration dieser Gleichung liefert
ˆ
ˆ
8π V
V · 4π pF 2
p dp =
· 3 · p3F .
N = dN = 2 ·
(2.40)
3
h
3
h
0
Mit dem mittleren Teilchenabstand d gilt für die Teilchendichte n:
n=
1
N0
= 3.
V
d
Dann folgt:
(2.41)
3
h
= p3F .
d
3 h3
3
n· ·
.=
·
2 4π
8π
(2.42)
Löst man nun nach dem Fermi-Impuls auf, so erhält man allgemein:
pF =
3
8π
31
·
1 h
h
≈ ·
d
2 d
⇒
pF · d ≈
h
.
2
(2.43)
Unter der Annahme, dass die kinetische Energie der Elektronen klein gegen die Ruheenergie ist, können wir Gleichung (2.38) nach pF entwickeln und erhalten
E F ≈ m e c2 +
p2F
+ O p3F .
2me
(2.44)
Die Ruheenergie me c2 ist eine für die Zustandsgleichung unerhebliche Konstante und
wird daher weggelassen.
Für die Fermi-Energie folgt dann im nichtrelativistischen Fall:
p2
EF = F =
2me
3
8π
2/3
·
h2 1
.
2me d2
(2.45)
Um nun zu einer Zustandsgleichung für entartete Materie zu gelangen, machen wir eine
kleine Anleihe bei der Thermodynamik.
Dort ist die innere Energie U eine Summe aus Wärme Q und verichteter Arbeit A.
33
2 Entstehung und Entwicklung von Sternen
Infinitesimal gilt also:
dU = dA + dQ.
(2.46)
Dies ist der erste Hauptsatz der Thermodynamik. Als am System verrichtete Arbeit ist
Volumenarbeit denkbar, sowie Änderung der Teilchenzahl:
dA = −pdV + µdN.
(2.47)
Ferner gilt der zweite Hauptsatz der Thermodynamik:
Qrev
= S,
T
(2.48)
wenn T die Temperatur und S die Entropie bedeutet. Eingesetzt in den ersten Hauptsatz
ergibt sich:
dU = T dS − pdV + µdN.
(2.49)
Die innere Energie ist also eine Funktion, die gegeben ist durch Entropie, Volumen und
Teilchenzahl:
U = U (S,V,N ).
(2.50)
Dieser Zusammenhang ist ungünstig, da die Änderung der Entropie experimentell nicht
erfassbar ist. Um dem Dilemma zu entgehen, definiert man die freie Energie zu:
F = U − T S.
(2.51)
dF = dU − T dS − SdT.
(2.52)
dF = −SdT − pdV + µdN.
(2.53)
Infinitesimal gilt dann:
Setzt man die innere Energie aus Gleichung (2.49) ein, so erhält man:
Die freie Energie ist dann eine Funktion der Temperatur T , des Volumens V und der
Teilchenzahl N :
F = F (T,V,N ).
(2.54)
Dann kann man dF auch schreiben als:
∂F
∂F
∂F
dF =
dT +
dV +
dN.
∂T V,N
∂V T,N
∂N T,V
(2.55)
Hieraus ersieht man, das gilt:
−
34
∂F
∂T
= S,
V,N
∂F
∂V
= −p.
T,N
(2.56)
2.2 Zustandsgleichungen
Nimmt man wie bereits erwähnt an, dass die thermische Energie der Elektronen vernachlässigbar ist gegenüber der Fermi-Energie: kB T EF , bzw. T ≈ 0, so ist die freie
Energie gerade gleich der inneren Energie. Also ist auch die innere Energie nun eine
Funktion von V und N .
Betrachten wir nun die mittlere innere Energie unseres Fermi-Gases, so müssen wir
über die Energie E(N ) integrieren:
ˆEF
Ū =
ˆEF
E(N )dN =
0
E
0
dN
dE
dE.
(2.57)
Dann setzt man für dN die differentielle Zustandsdichte der Gleichung (2.39) ein und
erhält:
ˆEF
U=
p
4πV
4πV p
2
3 · E 5/2
2m
2m
EEdE
=
(2m
)
e
0
e
h3
h3
5 F
0
(2.58)
3
3 2
= N0 · EF = N0 EF .
2 5
5
Ziehen wir unsere Beziehung für den Druck aus Gleichung (2.56) heran, so ergibt sich:
∂U
2
p=−
(2.59)
= nEF .
∂V T 5
Teilt man diese Gleichung durch %c2 und drückt die Dichte % durch mittlere Teilchenmasse µ mal Teilchendichte n aus, so erhält man:
p
2 EF
2 EF
= n
=
.
2
2
%c
5 µnc
5 µc2
(2.60)
Setzt man den oben ermittelten Wert für die Fermi-Energie (2.45) ein und bedenkt dass
n eine Teilchendichte darstellt, die wiederrum ausgedrückt werden kann als Massendichte
pro mittlere Teilchenmasse, dann folgt:
p
2
hr
=
·
2
2
%c
5µc 8me
% 3
·
µ π
2/3
.
(2.61)
Bei Vernachlässigung der konstanten Zahlenfaktoren und Erweiterung der rechten Seite
mit m0 ergibt sich
2/3
p
}2
me
%
∼ 2 2·
·
.
(2.62)
2
%c
me c
µ
µ
35
2 Entstehung und Entwicklung von Sternen
Wir identifizieren noch die Compton-Wellenlänge mit:
λ̄e =
und erhalten
p
2 me
·
∼
λ̄
·
e
%c2
µ
}
me c
(2.63)
2/3
2/3
%
me
3%
=
λ̄e
.
µ
µ
µ
(2.64)
Definiert man dann noch die kritische Dichte zu
%C =
µ
,
λ̄e 3
so folgt:
p
m0
·
∼
2
%c
µ
%
%C
(2.65)
2/3
.
(2.66)
Dies ist die Zustandsgleichung für entartete Materie. Sie gilt für den nichtrelativistischen
Grenzfall:
%
1.
(2.67)
%C
Berücksichtigt man den Zusammenhang f (%,T ) = p/(%c2 ), so kommt man zu folgendem
Schluss: Für die kritische Dichte %C wird das Verhältnis von Druck p (der durch den
Fermi-Druck der Elektronen erzeugt wird) und Massenenergiedichte %c2 (die durch die
Kerne bewirkt wird) proportional zum Massenverhältnis von Elektron und Kern. Um die
Grenzen dieser Zustandsgleichung zu diskutieren, setzt man die Compton-Wellenlänge
als x-Wert in die Unschärferelation ein:
pF · }
≥ } ⇒ pF ≥ me c.
me · c
(2.68)
Man kann sich diese Beziehung folgendermaßen veranschaulichen: Sperrt man Elektronen auf ein Raumgebiet λ̄e 3C der Compton-Wellenlänge ein, dann strebt ihre Geschwindigkeit v gegen die Lichtgeschwindigkeit. Ihre Gesamtenergie wird dann aufgrund des
Fermi-Impulses groß gegen ihre Ruheenergie me c2 . Die Elektronen verhalten sich dann
relativistisch. Aus diesem Grund soll im Folgenden eine Diskussion der Zustandsgleichung für den relativistischen Fall erfolgen.
Zustandsgleichung des freien Elektronengases im relativistischen Fall
Wird der Fermi-Impuls so groß, dass die Gesamtenergie viel größer wird, als die Ruheenergie des Elektrons, bzw. pF me c, so können wir Gleichung (2.38) annäherung
durch
E ≈ c · p.
(2.69)
36
2.2 Zustandsgleichungen
Diese Näherung charakterisiert den hochrelativistischen Grenzfall.
Analog zu unserem Vorgehen beim nichtrelativistischen Fall nehmen wir eine Phasenraumabzählung vor, so dass folgt:
dN =
V
· 2 · 4πp2 · dp
3
h
(2.70)
Hier müssen wir nun allerdings die hochrelativistische Energie-Impulses Beziehung aus
Gleichung (2.69) verwenden und erhalten dann
dN =
V
· 8π · E 2 · dE.
3
3
hc
(2.71)
Als nächsten Schritt werden wir diese Gleichung integrieren. Hierbei nehmen wir an,
dass sich nahezu alle Fermionen relativistisch verhalten. Wir vernachlässigen also den
Beitrag der wenigen nichtrelativistischen Fermionen. Deshalb wählen wir als untere Integrationsgrenze den Wert Null:
ˆEF
N=
8π V
V
· 8π · E 2 · dE =
·
E3 .
3
3
hc
3 h3 c3 F
(2.72)
0
Analog zu oben können wir dann die Fermi-Energie berechnen:
EF = hc
3 N0
8π V
1/3
.
(2.73)
Dann folgt für die innere Energie:
ˆEF
F (T = 0) = U =
E
0
dN
dE
3
dE = Ne EF
4
(2.74)
Setzt man die oben berechnete Fermi-Energie für den relativistischen Grenzfall ein, so
ergibt sich:
1/3
3
3
U = Ne hc ·
Ne
· V −1/3 .
(2.75)
4
8π
Der Druck ist dann wieder
1/3
∂U
3
3
1
= Ne hc ·
Ne
· (−1/3) · V −4/3 = nEF .
p=−
∂V
4
8π
4
(2.76)
37
2 Entstehung und Entwicklung von Sternen
Mit der gleichen Argumentation wie beim nichtrelativistischen Fall erhalten wir
p
1 EF
h
=
=
2
2
%c
4 µc
4µc
3 Ne
8π V
1/3
h
=
4µc
3 %
8π µ
1/3
∼
λ̄e m0 % 1/3
·
·
.
m0 c µ
m
(2.77)
Ebenfalls völlig analog zum nichtrelativistischen Grenzfall können wir die ComptonWellenlänge und mit ihr die kritische Dichte einsetzen und erhalten so für den hochrelativistischen Grenzfall:
1/3
p
m0 %
, für %/%C 1.
(2.78)
∼
%c2
µ %C
Wir können nun unsere Ergebnisse aus der nichtrelativistischen und der relativistischen
Betrachtung zusammenfassen. Bis auf Zahlenfaktoren der Ordnung 1 gilt, wenn wir die
Formeln (2.66) und (2.78) verwenden:
EF
p
∼
∼
2
%c
m p c2
me
mp
3l
%
·
%c
mit
l = 2 : % %c
l = 1 : % %c
(2.79)
3) Anschauliche Interpretation des Fermi-Drucks
Die Eigenschaft der delokalisierten Elektronen, einen Gegendruck gegen die Gravitation
aufzubauen, lässt sich verstehen, wenn man sich den Stern stark vereinfacht als Potentialtopf vorstellt (Abb.2.4). Den Elektronen steht als möglicher Aufenthaltsort nur das
Sternvolumen zur Verfügung. Wie im einfachen Modell des Potentialtopfes, sind dadurch
die möglichen Energieniveaus der Elektronen diskret.
Da für Elektronen als Fermionen das Pauliprinzip gilt, können nur jeweils zwei Elektronen ein Niveau besetzen, alle weiteren müssen in höhere Niveaus. Die Energie des
höchsten besetzten Niveaus entspricht der Fermi-Energie.
Wenn der Radius des Sternes sinkt, so steigt die Energiedifferenz zwischen den verschiedenen Energieniveaus und damit auch die Fermi-Energie. Es kostet also Energie, dass
System zu komprimieren.
2.2.3 Zusammenfassung
Die bisherigen Resultate können kompakt in folgender Aussage zusammengefasst werden:
Normale Sterne können als ideales Gas behandelt werden, die Zustandsgleichung ist
nur von der Temperatur abhängig: f (%, T ) = f (T ). In entarteten Sterne ist die Fermi-
38
2.3 Die Theorie Weißer Zwerge
E
EF
Kontraktion
EF
R′
R
Abbildung 2.4: Entstehung des Fermi-Drucks: Der Stern lässt sich stark
vereinfacht als Potentialtopf auffassen, dessen Durchmesser R mit dem Sternradius verknüpft ist. Sinkt der Radius, so steigt die Energiedifferenz zwischen
den Niveaus im Topf. Es muss also Energie aufgebracht werden, um den
Stern zu kontrahieren.
Energie entscheidend, die thermische Energie ist vernachlässigbar. Es gilt also
p
f (%, T ) = 2
%c
(
f (T ), Normale Sterne
f (p), Entartete Sterne
(2.80)
2.3 Die Theorie Weißer Zwerge
Zu lösen sind die Grundgleichungen des Sternaufbaus aus Kapitel 2.1. Wir hatten die
Gleichung (2.15)
dp
GM (r)
=−
%(r).
(2.81)
dr
r2
Für die eingeschlossene Masse M (r) gilt
ˆr
2
%(r0 )r0 dr0 .
M (r) = 4π
(2.82)
0
Des Weiteren bekommen wir aus (2.79) einen nichtrelativistischen bzw. relativistischen
Ausdruck der Form
p
= f (%).
(2.83)
%c2
39
2 Entstehung und Entwicklung von Sternen
Mit Hilfe dieser Gleichungen ergäbe sich eine komplizierte Integro-Differentialgleichung
für %(r).
Das Wesentliche läßt sich aber bereits aus Abschätzungen von Größenordnungen herleiten. Sei p0 der mittlere Druck im Sterninnern, R0 und M0 der Sternradius sowie seine
Masse und %̄ die mittlere Massendichte. Wir nehmen einen linearen Druckverlauf im
Stern von p0 im Inneren bis p = 0 an der Oberfläche an, d.h.
p0
dp
=− .
dr
R0
(2.84)
Zusammen mit Gleichung (2.81) erhalten wir dann
Somit gilt
p0
GM0
≈
· %̄.
R0
R02
(2.85)
p0
GM
1 rS
=
=
= f (%),
2
2
%̄c
R0 c
2 R0
(2.86)
was wir mit (2.79) vergleichen können.
Wir wollen zunächst R0 aus (2.86) eliminieren. Wir haben, bei Vernachlässigung von
Zahlenfaktoren
13
M0
M0
M
3
%̄ = 3 ⇔ R0 =
.
(2.87)
⇔ R0 =
R0
%̄
%̄
Das setzen wir in (2.86) ein:
2
p0
f (%) = 2 =
%̄c
1
GM0
GM03 %̄ 3
=
.
13
c2
M0
2
c · %̄
(2.88)
Umformen nach M0 ergibt
2
3
M0 = c
und mit f (ρ) =
me
mp
2 f (ρ)
1
G%̄ 3
⇔
c3
(2.89)
· ( %%C )n/3 :
n3
1 me 23
%̄
M (%̄) = 3 · √ ·
·
.
%̄
m
%C
G2
c3
40
3
(f (ρ)) 2
M0 = 3 · √
.
%
G2
(2.90)
2.3 Die Theorie Weißer Zwerge
Abhängig von n unterscheiden wir wieder zwischen zwei Fällen. Für den nicht-relativistischen
Fall, wenn n = 2 und %̄ %C ist, gilt:
3 √
1 me 32 %̄
me c2 2
%̄
·
=
·
.
M (%̄) = 3 · √ ·
%̄
m
%C
Gm
%C
G2
c3
(2.91)
Im relativistischen Fall, wenn n = 1 und %̄ %C ist, gilt:
3
√
1 me 32
%̄
me c2 2
1
M (%̄) = 3 · √ ·
·√ =
·√ .
%̄
m
%C
Gm
%C
G2
c3
(2.92)
Dieses Ergebnis ist sehr bemerkenswert. Die Masse M (%) steigt mit der Wurzel aus der
Dichte % an, bis % die kritische Dichte %C erreicht. Dort hat die Masse eines stabilen
weißen Zwerges eine obere Grenze MC = M%C für % = %C aus Gleichung (2.65). Sie heißt
nach ihrem Entdecker S. Chandrasekhar2 Chandrasekhar-Grenzmasse:
! 32
3 3 12
λ̄e
m e c2
m e c2 2
}
·
=
MC =
Gm
mp
Gmp m 13 m c
p
e
(2.93)
! 32
23
}c
}c
= mp ·
.
=
4
Gm2p
Gm 3
p
Im Kapitel über Gravitation und Elektrostatik wurden einige Parallelen zwischen diesen beiden Gebieten aufgezeigt. Jetzt begegnet uns eine weitere Parallele. Eine wichtige
Kenngröße in der Elektrostatik (und der Atomphysik) ist die Sommerfeldsche3 Feinstrukturkonstante. Sie lautet:
αel =
1
1 e2
≈
.
4π0 }c
137
(2.94)
Wir erinnern uns an die Vorschrift 10 ↔ −4πG, in Gleichung (1.32), die wir in den
Poissongleichungen benutzt haben. Benutzen wir diese Analogie für die SommerfeldKonstante, so bekommen wir eine entsprechende Konstante für die Gravitationstheorie:
αgr = G ·
µ2
≈ 6 · 10−39 .
}c
(2.95)
Das ist die Feinstrukturkonstante verbunden mit der „Gravitationsladung” eines Protons.
Also:
3
MC = (αgr )− 2 · m ≈ 2 · 1057 m ≈ 3 · 1030 kg = 1,5 · M .
(2.96)
2
Subrahmanyan Chandrasekhar, 1910 - 1995. Amerikanischer Astrophysiker. Physik-Nobelpreis 1983
für seine Arbeiten zur Sternentwicklung.
3
Arnold J. W. Sommerfeld, 1868 - 1951, Deutscher Physiker.
41
2 Entstehung und Entwicklung von Sternen
Damit haben wir folgende wichtige Aussage:
Das Plancksche Wirkungsquantum bestimmt nicht nur die Struktur
des Mikrokosmos, sondern auch die Massenskala und den Aufbau entarteter Sterne.
Es ist klar, dass dies so sein muss, denn der Fermidruck ist wegen des Pauli-Prinzips ein
quantenmechanischer Effekt. Sterne aus entarteter Materie sind somit quantenmechanisch bestimmt.
Anmerkung: Folgende Punkte sind zu beachten:
• Die angegebene Grenzmasse gilt für den weißen Zwerg, also für die Restmasse
eines Sterns, der in sein Endstadium übergeht. Da der Stern vor diesem Vorgang
seine Hülle abstößt und dabei einen erheblichen Teil seiner Masse verliert, kann
die Masse des ursprünglichen Sterns durchaus größer sein als 1,5 · M .
• Wir haben bei unseren Betrachtungen vorausgesetzt, dass der Stern nicht rotiert.
Bei schneller Rotation des weißen Zwerges erlaubt die Zentrifugalkraft, die einen
Teil der Schwerkraft kompensiert, eine größere Grenzmasse.
Um nun typische Radien weißer Zwerge berechnen zu können, müssen wir die Elimination
durch die mittlere Dichte wieder rückgängig machen. Wir knüpfen dazu an Gleichung
(2.87) an:
! 31
M0 1 MC
=
·
·
R0 =
MC %%̄C %C
1 1 − 13 1 − 31 + 16
MC 3
M 3
%̄
MC 3
%̄
=
·
·
=
·
%C
MC
%C
%C
%C
31 − 16
MC
%̄
=
·
.
%C
%C
M0
%̄
31
(2.97)
Dabei wurde ausgenutzt, dass die Masse des weißen Zwerges mit der kritischen Masse
identisch ist, sofern % = %C gilt, also
r
%̄
M (%̄) = MC ·
(2.98)
%C
gelten muss, wie man auch durch Vergleich von Gl. (2.92) und Gl. (2.93) sieht.
Damit folgt:
− 16
%̄
R(%̄) = RC ·
,
%C
42
(2.99)
2.4 Masse-Radius-Beziehung von Monden und Planeten
weil ja (MC /ρC )1/3 der kritische Radius ist. Drückt man diese Größen noch durch die
Compton-Wellenlänge und die Gravitations-Feinstrukturkonstante aus, so folgt für den
kritischen Radius oder Chandrasekhar-Radius:
RC =
MC
%C
13
1
3 3
3
1
λ̄
e
= (αgr )− 2 · m ·
= (αgr )− 2 · λ̄e .
m
(2.100)
Einsetzen der entsprechenden Werte ergibt
√
1
R(%̄) ≈ √ · 1019 · 10 · 4 · 10−13 m ≈ 5 · 103 km.
6
(2.101)
Der charakteristische Radius weißer Zwerge bewegt sich also in einem Bereich von einigen
Tausend Kilometern, was der Größe der kleinen Planeten im Sonnensystem entspricht.
Aus (2.98) und (2.99) folgt außerdem
3
M (%̄) · R(%̄) = MC ·
%̄
%C
12
·
3
RC
·
%̄
%C
− 21
3
= MC · RC
= const.
(2.102)
Das bedeutet, die Radien weißer Zwerge fallen mit steigender Masse.
2.4 Masse-Radius-Beziehung von Monden und
Planeten
Wir haben im vorangegangenen Abschnitt einen Zustandsgleichung für entartete Materie hergeleitet. Wir haben auch gesehen, dass es für weiße Zwerge eine Maximalmasse
MC gibt. In diesem Abschnitt betrachten wir, die Zusammenhänge für deutlich kleinere
Massen, also den Massenbereich von Monden und Planeten.
Wie wir in Abschnitt 2.2 dargelegt haben, lautet die Zustandsgleichung für weiße Zwerge
im nichtrelativistischen Fall
f (ρ, T ) ∼
m0
(ρ/ρC )2/3 .
mp
(2.103)
Dann folgt also für den Druck
me
p ∼ %c ·
·
mp
2
%
%C
23
= MC ·
r
%
.
%C
(2.104)
43
2 Entstehung und Entwicklung von Sternen
Daraus folgt
p→0
⇔
(2.105)
% → 0.
Tatsächlich stellt man aber fest, dass die Dichte kalter Materie auch bei verschwindendem
Druck nicht Null wird.
% = %(p = 0) = %0 .
(2.106)
Der Grund dafür ist darin zu suchen, dass der Druck von der chemischen Zusammensetzung abhängig ist. Beispielsweise gilt für Wasserstoff-Atome im Abstand aBohr = λ̄e /αel
%0 =
kg
g
mp
≈ 8000 3 = 8
.
3
aBohr
m
cm3
(2.107)
Dieser Wert ist typisch für Planeten und Monde.
Die Stabilität ist durch den atomaren Aufbau, d. h. durch die elektromagnetische Wechselwirkung und nicht durch den Fermi-Druck bestimmt. Innerhalb gewisser Grenzen ist
also der atomare Aufbau unabhängig vom Druck. Wenn allerdings die Masse zu groß
wird, bricht die atomare Struktur zusammen und auch solche Objekte werden kollabieren, bis der Fermidruck der Elektronen sie wieder stabilisiert.
Für p < p0 gilt also
(2.108)
% = %0 ,
sowie diie Masse-Radius-Beziehung für Monde und Planeten
M∼
= %0 · R 3
⇒
M ∼ R3 .
(2.109)
Ist allerdings p > p0 , dann ergibt sich
m0
·
p = %c ·
mp
2
%
%C
23
(2.110)
,
sowie die Masse-Radius-Beziehung für weiße Zwerge mit entarteter Materie
3
M R3 = MC RC
44
⇒
M∼
1
R3
(2.111)
2.5 Neutronensterne
Für die maximale Masse Mp von Planeten gilt
3
%0
mp
λ̄e 2
= MC ·
·
Mp = MC ·
%C
aBohr mp
32
3
λ̄e
= MC · α 2 ≈ 2 · 1027 kg.
= MC
aBohr
r
(2.112)
Zum Vergleich: Die Erde besitzt eine Masse von M♁ = 6 · 1024 kg.
Weiße Zwerge können also nur in dem engen Massenbereich
Mp < MWZ < MC ⇔ 2 · 1027 kg < MWZ < 3 · 1030 kg
⇔ 10−3 · M < MWZ < 1,5 · M
(2.113)
2 · 10−27 kg < MPlanet < 2 · 1027 kg.
(2.114)
existieren. Das sind 3 Größenordnungen. Der Massenbereich für Planeten ist dagegen
enorm und bewegt sich im Bereich von 54 Größenordnungen, wobei die Masse des Wasserstoffatoms die Untergrenze darstellt:
Will man den maximalen Radius Rp bestimmen, so setzt man
Mp
%0 = 3
Rp
⇔
Rp =
Mp
%0
13
=
2 · 1027
8 · 103
13
m ≈ 108 m.
(2.115)
Der Chandrasekhar-Radius betrug 107 m. Zum Vergleich: Der Radius von Jupiter ist
7 · 107 m.
Eine übersichtliche Darstellung dieser Zusammenhänge erhält man durch logarithmische Auftragung der Masse-Radius-Beziehungen für Planeten und für Weiße Zwerge in
einem Diagramm (Abb. 2.5).
2.5 Neutronensterne
Ist die Dichte ρ im Inneren eines Sternes großer Masse in seinem Endstadium nach
Erlöschen der Kernreaktion größer als die oben berechnete kritische Dichte eines weißen
Zwerges, so muss zur Kompensation des Gravitationsdruckes die Fermi-Energie sehr
45
2 Entstehung und Entwicklung von Sternen
logM
MC
WZ
Pla
net
e
n
MP
RC RP logR
Abbildung 2.5: Masse-Radius-Beziehungen von Planeten und Weißen
Zwergen schematisch. Weiße Zwerge können nur im Massebereich MP <
MWZ < MC existieren. Für Planeten gilt M ∼ R3 , für Weiße Zwerge dagegen M ∼ R−3 .
stark ansteigen. Übersteigt EF den kritischen Wert
EFC ≥ (mn − mp − me )c2
so sind die energetischen Voraussetzungen für den inversen β-Zerfall gegeben:
e
+
p
→
n
+
νe .
(2.116)
Dazu muss mindestens die Energie, die der Massendifferenz von Neutron und Proton plus
Elektron entspricht. Mit mn = 939,565 MeV, mp = 938,272 MeV und me = 0,511 MeV
ergibt sich eine Mindestenergie von etwa 0,782 MeV.
Durch den inversen β-Zerfall entstehen bei steigender Dichte immer mehr Neutronen
und bauen neutronenreiche Atomkerne auf. Die Elektronen werden sozusagen in die
Protonen „hineingequetscht”. Die Elektronendichte ist dann niedriger als oben angenommen, insbesondere fällt für % > %C die Gleichgewichtsmasse M (%) mit der Dichte.
Ab einer Dichte von etwa 1016 mkg3 überlappen sich die Wellenfunktionen individueller
Kerne. Es entsteht entartete Kernmaterie, welche vornehmlich aus Neutronen besteht.
Diese Neutronen bilden einen Fermidruck aus, wie beim Weißen Zwerg die Elektronen.
Das den Neutronen zur Verfügung stehende Volumen wird dabei so klein, dass der Entartungsdruck der Neutronen stark ansteigt. Der zentrale Teil des Sterns kollabiert. Dieser
Kollaps schreitet fort, bis ein Volumen erreicht ist, bei dem der Entartungsdruck der
Neutronen den Gravitationsdruck gerade kompensiert (Abb. 2.6).
Es gilt also:
46
2.5 Neutronensterne
E
EF
EF
EF
Kontraktion
R′
Kontraktion
R′′
R′′′
Abbildung 2.6: Kollaps zum Neutronenstern: Wir knüpfen hier an Abb.
2.4 an. Übersteigt die Dichte der entarteten Materie den kritischen Wert
%C , so findet inverser β-Zerfall statt und es bilden sich Neutronen (grün)
aus Elektronen (rot) und Protonen. Dadurch fehlen Elektronen zum Aufbau
des Fermidrucks, der Stern kollabiert. Die entstehenden Neutronen sind wie
die Elektronen Fermionen und besetzen Energieniveaus in ihrem eigenen
Potentialtopf. Schließlich wird der Fermidruck der Neutronen so groß, dass
er den Stern stabilisiert.
Während bei weißen Zwergen die Stabilisierung durch den FermiDruck der Elektronen zustande kommt, sind bei Neutronensternen
die Neutronen für den stabilisierenden Fermi-Druck verantwortlich.
Analog zu der Behandlung der weißen Zwerge können wir unsere Zustandsgleichung
(2.29) heranziehen, wenn wir die Elektronenmasse durch die Neutronenmasse ersetzen.
p
mn
f (%) = 2 ∼
=
%c
mp
%
%1
3l
≈
%
%1
n3
mit
l = 2 : % < %1
l = 1 : % > %1 ,
(2.117)
wobei %1 die kritische Dichte für einen Neutronenstern bedeutet:
%1 =
mp
mp ∼ 20 kg
.
3 = 10
3 = m3
λ̄n
}
(2.118)
mn c
Bei % ≥ %1 ist die Fermienergie von der Größenordnung der Ruheenergie der Neutronen.
Dann bewegen wir uns im Bereich relativistischer Geschwindigkeiten.
Wie für Weiße Zwerge erhalten wir
(
q
MC · %%1 : % < %1
M (%) =
(2.119)
MC : % > %1 ,
47
2 Entstehung und Entwicklung von Sternen
Mit
MC =
}c
Gm2p
32
· mp .
(2.120)
Hierbei ist zu beachten, dass die Masse mn nicht in dieser Formel auftritt, also ist MC
unabhängig von der Ruhemasse der Teilchen, die die entartete Materie bilden.
Anmerkung: Die Zustandsgleichung ist für Neutronensterne nicht streng gültig. Sie
wird durch die starke Wechselwirkung der Hadronen untereinander stark modifiziert.
Leider ist eine theoretische Behandlung dieses Zustandes sehr schwierig.
Wir wollen nun die kritischen Radien von Neutronensternen abschätzen. Dazu betrachten wir noch einmal die Radien der weißen Zwerge:
1
RC ∼
= λ̄e · (αgr )− 2 ≈ 107 m
(2.121)
2
Dabei ist αgr = Gµ
= 6 · 10−39 die Feinstrukturkonstante der Gravitation aus Gleichung
}c
(2.95).
1
Wir ersetzen λ̄e durch λ̄n = 1836
λ̄e und erhalten
1
107 m
≈ 5,4 km ≈ 10 km,
RC ∼
=
= λ̄n · (αgr )− 2 ∼
1836
(2.122)
Wir runden hier auf 10 km auf, da wir einige Zahlenfaktoren sowieso weggelassen haben.
Für Neutronensterne gilt also
R ≈ 10 km und M ≈ 1,5M
sowie % ≈
2 · 1020 kg
kg
= 2 · 1018 3 .
12
10 m
m
(2.123)
Für den Schwarzschild-Radius eines Körpers dieser Masse gilt etwa rS ≈ 3 km und
man erhält für Neutronensterne rS /R ≈ 1/3. Bei diesem Verhältnis werden allgemein
relativistische Effekte bedeutsam. Im Bereich, in dem die Gleichgewichtsmasse mit %
fällt, d.h. für Dichten 1011 kg/m3 < % < 1016 kg/m3 , gibt es keine stabilen Sterne. Dies ist
leicht einzusehen, wenn man sich klar macht, dass Sterne keine statischen Objekte sind,
sondern etwa Schwingungen ausführen können. Wenn bei einer Schwingung eines Sterns
in diesem Dichtebereich sich die Dichte etwas erhöht, so ist bei der höheren Dichte nur
eine kleinere Masse stabil und der Stern kollabiert weiter. Wenn sich die Dichte dagegen
verringert, so ist eine größere Masse stabil, der Stern kann seine Schwingung weiterführen
und kehrt zur alten Dichte zurück (Abb. 2.7).
48
logM
2.6 Erhaltungsgrößen beim Kollaps
M (̺ + δ̺) < M (̺)
M (̺)
b
b
δ̺
̺ ̺ + δ̺
log̺
Abbildung 2.7: In dem Dichtebereich zwischen Weißen Zwergen und Neutronensternen fällt die Gleichgewichtsmasse M (%) mit zunehmender Dichte.
Es gibt daher in diesem Bereich keine stabilen Sterne. Vergrößert sich die
Dichte eines Sternes in diesem Bereich etwas, etwa bei einer Schwingung des
Sternes, so ist bei der neuen Dichte nur noch eine kleinere Masse stabil, der
Stern kollabiert. Verrringert sich die Dichte aber, so ist eine größere Masse
stabil, der Stern kann zurückschwingen zur alten Dichte.
Ausblick
Es bleibt die Frage, was passiert, wenn die Sternmasse so groß ist, dass auch der Fermidruck der Neutronen ihn nicht mehr stabilisieren kann. Nach heutigem Kenntnisstand
der Physik gibt es dann keinen Prozess mehr, der den Kollaps aufhalten könnte. Der
Stern kollabiert dann immer weiter und es entsteht ein Schwarzes Loch.
Schwarze Löcher sind die Endprodukte von Sternen mit Anfangsmassen, die größer als
die zehnfache Sonnenmasse sind. Ihre Eigenschaften lassen sich allerdings ohne allgemeine Relativitätstheorie nicht verstehen. Im Rahmen der Einführung der allgemeinen
Relativitätstheorie werden wir Schwarze Löcher dann diskutieren.
2.6 Erhaltungsgrößen beim Kollaps
Wir wollen uns nun den Erhaltungsgrößen eines stellaren Objektes beim Kollaps zuwenden.
2.6.1 Drehimpulserhaltung
Beim Kollaps eines stellaren Objektes liegt Erhaltung des Drehimpulses vor. Dies ist
klar, da an dem Stern kein Drehmoment angreift. Für den Drehimpuls gilt
L = θ · ω = a · M R2 · ω ≈ const.
(2.124)
49
2 Entstehung und Entwicklung von Sternen
Dabei ist θ das Trägheitsmoment, das bis auf konstante Vorfaktoren der Masse des
Sternes mal seinem Radius im Quadrat entspricht.
Da kein äußeres Drehmoment vorliegt, d.h. L̇ = 0 und weiter M ∼ const gilt, haben wir
die Relation
1
(2.125)
ω · R2 ∼ const. ⇔ ω ∼ 2 ⇔ T ∼ R2 .
R
Beim Kollaps zum weißen Zwerg erfolgt eine Reduktion des Radius um einen Faktor
10−2 ; beim Kollaps zum Neutronenstern beträgt die Reduktion des Radius etwa 1 : 10−5 .
Betrachten wir als typische Rotationsdauer eines Sternes die Periodendauer der Sonne von etwa 28 Tagen:
T = 28 d ≈ 2,5 · 106 s.
(2.126)
Wir haben also eine Größenordnung von T ≈ 106 s bis 107 s.
Für einen Weißen Zwerg erhalten wir dann entsprechend eine um einen Faktor 10−4
verkürzte Periodendauer:
TWZ ≈ 102 s bis 103 s.
(2.127)
D.h. im Bereich von Minuten bis wenige Stunden.
Für Neutronensterne schließlich ergibt sich eine um einen Faktor 10−10 verkürzte Periodendauer:
Tn∗ ≈ 10−4 s bis 10−3 s,
(2.128)
d.h. im Größenordnungsbereich von Millisekunden!
2.6.2 Erhaltung des magnetischen Flusses
Neben der Erhaltung des Drehimpulses ist auch der magnetische Fluss eines kollabierenden Sternes eine zeitliche Konstante. Für den magnetischen Fluss gilt
‹
φ=
BdF,
(2.129)
F
wenn B das Vektorfeld der magnetischen Induktion ist, das von der Fläche F umschlossenen ist. Bei einem Stern gilt dann also:
φ ∼ R2 .
(2.130)
Um zu verstehen, warum der Fluss erhalten ist, brauchen wir einige Überlegungen aus
der Magnetohydrodynamik, d.h. über leitende Flüssigkeiten.
Da das Plasma des Sternes viele Ionen und Elektronen, d.h. freie Ladungsträger ent-
50
2.6 Erhaltungsgrößen beim Kollaps
hält, besitzt es eine hohe Leitfähigkeit. Das Plasma hat die Eigenschaft, dass in ihm
die Leitungsströme j sehr viel größer sind als die Verschiebungsströme Ḋ. Das Ohmsche
Gesetzt liefert die Beziehung zwischen elektrischem und magnetischem Feld und der
elektrischen Stromdichte:
j = σ(E + v × B).
(2.131)
Durch die vielen freien Ladungsträger ist die Leitfähigkeit des Plasmas extrem hoch,
σ → ∞. Damit dennoch j endlich bleibt, muss gelten
E = −v × B.
(2.132)
∂B
∂t
(2.133)
Mit dem Induktionsgesetz
rotE = −
folgt daher
∂B
∂B
= ∇ × (v × B) ⇔ 0 =
− ∇ × (v × B).
(2.134)
∂t
∂t
Wir integrieren über ein Flächenelement, das sich in der Flüssigkeit mitbewegt4 :
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
∂B
∂B
· dF − rot(v × B) · dF =
· dF − (v × B) · ds.
(2.135)
0=
∂t
∂t
Dabei wurde im zweiten Schritt der Satz von Stokes verwendet. Unter Ausnutzung der
Regel für das Spatprodukt
(v × B) · ds = −B · (v × ds)
können wir weiter umformen zu
ˆ
ˆ
∂B
0=
· dF + B · (v × ds)
∂t
(2.136)
(2.137)
Zur Interpretation des zweiten Termes betrachten wir als Flächenelement ein kleines
Parallelogramm mit Seiten a und ds (Abb. 2.8).
Zum Zeitpunkt t = 0 ist die gerichtete Fläche des Parallelogrammes gegeben durch
F1 = a × ds. Ein Zeitintervall dt später ist die eine Seite des Parallelogramms gegeben
durch a + vdt. Die Änderung der Seite ds ist von höherer Ordnung und wird daher
vernachlässigt.
Damit ergibt sich die neue Fläche des Parallelogramms zu F2 = (a + vdt) × ds. Die
4
Genauer: Die Teilchen, die seinen Rand definieren, bewegen sich mit der Flüssigkeit mit.
51
2 Entstehung und Entwicklung von Sternen
F2
ds
a + vdt
F1
ds
a
Abbildung 2.8: Die Änderung der Seite a und damit der gerichteten Fläche
F während der Bewegung ist durch den Term v × ds gegeben.
Änderung der Fläche ergibt sich also zu
d.h.
F2 − F1 = (v × ds) · dt,
(2.138)
dF
= v × ds.
dt
(2.139)
Das zweite Integral charakterisiert also die Änderung der Fläche in der Fortbewegung.
Insgesamt haben wir damit
ˆ
ˆ
ˆ
d
∂B
· dF + B · (v × ds) =
0=
B · dF.
(2.140)
∂t
dt
Der magnetische Fluss durch die bewegte Fläche ist also erhalten. Die Magnetfeldlinien
sind im Plasma als ideal leitendes Medium “eingefroren“ (frozen magnetic flux), das heißt
sie nehmen an seiner Bewegung unmittelbar teil.
Wir wenden nun dieses Resultat auf die Situation während des Kollapses an. Seien
Binitial und Rinitial das Magnetfeld und der Radius des Sterns vor dem Kollaps und Bfinal
und Rfinal Magnetfeld und Radius nach dem Kollaps. Dann gilt:
2
2
= φ0 = Bfinal · Rfinal
Binitial · F ∝ Binitial · Rinitial
und damit
Bfinal = Binitial ·
Rinitial
Rfinal
2
.
(2.141)
(2.142)
Als typischen Wert für Binitial nehmen wir Werte im Bereich des Magnetfeldes der Sonne,
d.h.
Binitial ∼ (103 − 104 ) G = (10−1 − 100 ) T.
(2.143)
52
2.7 Pulsare
Für einen Weißen Zwerg erhalten wir dann aus (2.141)
BWZ ∼ (107 − 108 ) G = (103 − 104 ) T,
(2.144)
und für einen Neutronenstern
Bn∗ ∼ (101 3 − 101 4) G = (109 − 1010 ) T,
(2.145)
Vor allem in Neutronensternen treten also extrem starke Magnetfelder auf.
Für Weiße Zwerge konnten diese theoretischen Vorhersagen auch durch spektroskopische Messungen der Spektren von Atomen in den Atmosphären dieser Sterne bestätigt
werden.
Durch den Zeeman Effekt und die gravitative Rotverschiebung der Spektren lassen sich
nämlich sowohl Rückschlüsse auf die Masse, als auch auf die vorhandenen Magnetfelder
bei diesen Sternen schließen.
Anmerkung: Die angegebenen Periodendauern sind untere Grenzen, d.h. eher etwas
zu niedrig. Dies liegt daran, dass ja der kollabierende Stern seine Hülle abwirft und nur
der Kern kollabiert. Der Kern selbst wird eher um einen kleineren Faktor schrumpfen,
als die hier angenommenen Werte.
2.7 Pulsare
Der Krebsnebel im Sternbild Stier ist der Überrest einer Supernova, die sich am 04.
Juli 1054 ereignete. Chinesische Astronomen beschrieben, dass die Supernova für einige
Wochen selbst bei hellem Tageslicht sichtbar war.
Als 1967 die Doktorandin Jocelyn Bell unter der Leitung von Antony Hewish periodisch wiederkehrende Radiosignale aus der Gegend dieses Nebels beobachtete, hatten
zunächst weder Bell noch ihr Doktorvater Hewish eine vernünftige Erklärung für diese
Entdeckung. Die kurze Pulsdauer wies jedoch darauf hin, dass der abstrahlende Körper nicht größer als ein kleiner Planet sein konnte. Kurzzeitig vermuteten sie deshalb
und wegen der enormen Regelmäßigkeit der Signale sogar eine Botschaft außerirdischer
Wesen aufgespürt zu haben. Daher bekam der erste Pulsar die Bezeichnung LGM1 für
„Little Green Men 1“[2].
53
2 Entstehung und Entwicklung von Sternen
1968 dann vermutete Thomas Gold, dass die Signale von einem rotierenden Neutronenstern stammen. Nach einer Supernova bleibt in einem heißen, ionisierten Gasnebel
ein Neutronenstern zurück. Ein Neutronenstern hat etwa 1,5 bis 2,4 Sonnenmassen,
welche auf einen Durchmesser von weniger als 20 Kilometer komprimiert ist. Der Drehimpuls und der magnetische Fluß des ursprünglichen Sterns wird dabei jedoch, wie wir
im letzten Abschnitt diskutierten, beibehalten. Da der Drehimpuls erhalten bleibt, sich
aber das Volumen sehr stark verkleinert, muss sich also die Rotationsgeschwindigkeit
vergrößern. Für das starke Magnetfeld nimmt man eine reine Dipolstruktur an. Die Magnetosphäre des Pulsars lässt sich in den Bereich der geschlossenen und den Bereich
der offenen Feldlinien einteilen. Plasma kann nur von den Polkappen entlang der offenen Feldlinien fließen und die Magnetosphäre verlassen. Die Rotationsachse schließt mit
der Magnetachse einen bestimmten Winkel ein. Durch die Rotation bewegen sich die
Magnetfeldlinien und mit ihnen die abgestrahlten elektromagnetischen Wellen wie der
Lichtstrahl eines Leuchtturms über den Raum. Wird die Erde von diesem Doppelkegel überstrichen kann also eine periodische, gepulste Strahlung beobachtet werden. Da
Pulsare durch das Abstrahlen elektromagnetischer Wellen Energie verlieren verlangsamt
sich die Rotationsgeschwindigkeit mit der Zeit.
Der Röntgenpulsar Hercules X-1
Die bisherigen Betrachtungen galten isolierten Neutronensternen. Zum Abschluss dieses
Kapitels möchten wir einen Pulsar ausführlicher diskutieren, der einen normalen Begleitstern umkreist.
Das Wechselspiel dieser beiden Himmelskörper führt zu einer Vielzahl interessanter Eigenschaften.
1) Messungen an HZ Her
In den 1970er Jahren wurden nahe dem bereits bekannten normalen Stern HZ Her im
Sternbild Herkules eine neue Röntgenquelle gefunden.
Es wurde ein Röntgensignal gemessen, dessen Intensität mit einer Periode von 1,24 s
schwankte (Abb.2.9(a)). Langzeitbeobachtungen zeigten weiter, dass die Intensität der
Röntgenstrahlung alle 1,7 Tage für 5,7 Stunden auf Null zurückging. Bereits vorher war
bekannt, dass die Intensität des Sterns im optischen Bereich mit der gleichen Periode
schwankte. Mit dem Rückgang der Röntgenintensität ging ein Rückgang der Intensität
im optischen Bereich einher (Abb. 2.9(b)).
54
2.7 Pulsare
(a)
(b)
Abbildung 2.9: Messungen am HZ Her-System. Abbildung a): Kurzzeitmessungen des Röntgensignals zeigen eine Periodizität der Intensität von
t = 1,24 s. Abbildung b): Langzeitmessungen zeigen zusätzlich eine Unterbrechung des Röntgensignals für 5,7 Stunden alle 1,7 Tage (oben), die einhergeht mit einer Abnahme der Intensität im optischen Bereich (unten).
2) Interpretation der Messung
Die Messergebnisse wurden so interpretiert, dass HZ Her von einem Neutronenstern begleitet wird, der mit einer Periodendauer von 1,24 s rotiert (Abb 2.10(b)) und den Stern
in 1,7 Tagen umkreist (Abb. 2.10(a)). Der Neutronenstern zieht Materie vom Stern ab
und um ihn herum bildet sich eine Akkretionsscheibe.
Durch das starke Magnetfeld des Neutronensterns wird Materie aus der Scheibe zu seinen Polen transportiert. Auf diese Weise stürzen pro Sekunde etwa 1011 Tonnen Materie auf den Neutronenstern, wobei sie eine Freifallgeschwindigkeit von etwa 40% der
Lichtgeschwindigkeit erreichen (Abb. 2.11). Beim Aufprall der ionisierten Materie auf
die Oberfläche des Neutronensterns entsteht Röntgenbremsstrahlung (”hot spot“), die
abgestrahlte Leistung beträgt etwa 1030 W, entspricht also etwa dem 2000-fachen der
Sonnenleuchtkraft.
Die Röntgenstrahlung erhitzt den normalen Stern von einer Seite, dadurch schwanken
seine Temperatur und Leuchtintensität. Wenn der Pulsar sich hinter dem Stern befindet
fällt zum einen das Röntgensignal aus, zum anderen ist dann die kalte, leuchtschwache
Seite des normalen Sterns der Erde zugewandt.
55
2 Entstehung und Entwicklung von Sternen
11700 K
7700 K
X-ray source
n∗ Her X-1
HZ Her
(normal star)
(a)
(b)
Abbildung 2.10: Abbildung a): Das Hercules System besteht aus einem
normalen Stern, der von einem Neutronenstern umkreist wird, der wiederum
mit einer Periode von 1,24 s rotiert. Die starke Röntgenstrahlung des Neutronensterns erhitzt jeweils die ihm zugewandte Seite des normalen Sterns.
Dessen Temperatur und Leuchtkraft schwanken daher. Abbildung b): Der
Neutronenstern zieht Materie vom normalen Stern ab, um ihn bildet sich
eine Akkretionsscheibe.
Abbildung 2.11: Materie aus der Akkretionsscheibe stürzt entlang der Magnetfeldlinien auf die Pole des Neutronensterns. Dabei erreicht sie eine Fallgeschwindigkeit im Bereich von 0,4c. Beim Aufprall der geladenen Teilchen
auf die Oberfläche des Sterns wird Röntgenbremsstrahlung frei.
56
2.7 Pulsare
∼ 54 keV
kT ∼ 10 keV
Abbildung 2.12: Röntgenspektrum von Her X-1: Es zeigen sich Absorptionsdips bei 54 keV und 108 keV [3]. Die Interpretation als Zyklotronübergänge gibt einen Hinweis auf die entsprechenden Magnetfeldstärken. Aus der
eB
Zyklotronfrequenz ω = m
und E = }ω folgt B ∼ 5 × 108 T.
e
3) Absorptionslinien im Spektrum
Im Röntgenspektrum des Neutronensternes konnten außerdem Absorptionslinien bei
54 keV und 108 keV nachgewiesen werden (Abb. 2.12). Zur Erklärung dieser Absorptionslinien existieren drei Möglichkeiten:
1. Atomare Übergänge als Ursprung: Als mögliches Element käme dafür allerdings nur
77-fach ionisiertes Platin mit nur noch einem Elektron in Frage. Diese Möglichkeit
wurde daher ausgeschlossen.
2. Kernübergänge als Ursprung: Hier wäre Americium 241 ein möglicher Kandidat,
dies erschien allerdings auch abwegig.
3. Die sinnvollste Erklärung war die als Zyklotronübergänge, d.h. Übergänge von
Elektronen zwischen verschiedenen Landau-Niveaus. Diese Interpretation ist deshalb sehr interessant, weil dann aus der Energiedifferenz des Übergangs direkt auf
die herrschenden Magnetfeldstärken geschlossen werden kann über die Zyklotronfrequenz
eB
(2.146)
ω=
me
57
2 Entstehung und Entwicklung von Sternen
und den Zusammenhang E = }ω.
Aus einer Energiedifferenz von 54 keV folgt eine Magnetfeldstärke von B = 5 ×
105 T. Dies war die erste direkte Messung eines solch starken Magnetfeldes. Die
108 keV-Absorptionslinie lässt sich dann als zweite harmonische des Übergangs
erklären.
58
3 Steilkurs in allgemeiner Relativitäts-theorie
Wir haben uns in den vorangegangenen Kapiteln mit den Grundlagen der Astronomie
und der Astrophysik befaßt. Dabei haben wir uns im Abschnitt 1.2 mit dem SchwarzschildRadius befaßt. Im darauffolgenden Abschnitt haben wir dann die Parallelen zwischen
Elektrostatik und Gravitationstheorie aufgezeigt und im Abschnitt 2.2 die Zustansgleichungen für Sterne hergeleitet. Wir mussten dabei die beiden Fälle relativistisch und
nicht-relativistisch unterscheiden und in den folgenden Abschnitten musste diese Unterscheidung immer wieder vorgenommen werden. Unsere Überlegungen zum SchwarzschildRadius, sowie zur Gravitationstheorie haben wir in der Newtonschen Theorie durchgeführt.
Tatsächlich ergibt sich aber eine sehr elegante Herleitung des Schwarzschild-Radius aus
der Lösung der Bewegungsgleichung der allgemeinen Relativitätstheorie für den kugelsymmetrischen Fall. Ferner sind wir bei der Betrachtung über den Kollaps stellarer
Objekte an die Grenzen der klassischen Mechanik gestoßen. Die Behandlung schwarzer
Löcher beispielsweise ist nicht-relativistisch überhaupt nicht verständlich.
Wir werden also nicht umhin kommen uns mit der speziellen und der allgemeinen Relativitätstheorie auseinander zu setzen. Dabei geht es hier, wie auch schon bei der Behandlung des Fermi-Gases, nicht so sehr um eine strenge Herleitung dieser Theorie, da
dieses Unterfangen zweifellos den hier gesetzten Rahmen sprengen würde, sondern um
die Grundideen und -konzepte dieser Theorie, die zum Verständnis der Astronomie und
der Astrophysik beitragen.
3.1 Spezielle Relativitätstheorie
Um die allgemeine Relativitätstheorie besser verstehen zu können, wollen wir uns zunächst kurz mit den Grundlagen der speziellen Relativitätstheorie (SRT) befassen. Sie
gründet sich auf zwei Postulate:
1. Die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit in allen Inertialsystemen, d.h. die Lichtgeschwindigkeit ist unabhängig vom Bewegungszustand des Beobachters.
2. Die Äquivalenz aller Inertialsysteme zur Beschreibung der Natur, d.h. die physikalischen Gleichungen, durch die die Naturgesetze ausgedrückt werden, haben in
allen Inertialsystemen die gleiche Form (dies war schon bei Newton so).
59
3 Allgemeine Relativitätstheorie
Ein Inertialsystem ist dabei ein System, in dem die Newtonsche Bewegungsgleichung
F = ṗ
(3.1)
gilt, wobei hier jedoch der relativistische Impuls gemeint ist. Das heißt, jede kräftefreie
Bewegung ist geradlinig oder exakter: Die Bewegungsänderung eines Körpers die durch
eine Kraft erfolgt, entspricht der zeitlichen Änderung des Impulses (Galilei’s Trägheits-prinzip).
Diese Annahmen ziehen geradezu revolutionäre Konsequenzen nach sich. Die für uns
hier wichtigste Folge ist, dass ein Ereignis im dreidimensionalen euklidischen Raum nicht
mehr hinreichend beschrieben werden kann. Man führt als vierte Koordinate die Zeit ein
und skaliert sie mit der Lichtgeschwindigkeit um so einen vierdimensionalen Raum zu
erhalten.
Im Folgenden gehen wir auf die Konstanz der Lichgeschwindigkeit etwas genauer ein.
3.1.1 Konstanz der Lichtgeschwindigkeit
Wir betrachten eine Lichtwelle, die sich zum Zeitpunkt t0 am Ort (x0 , y0 , z0 ) befinden
soll. Allgemein kann diese Lichtwelle durch die Gleichung
c2 (t − t0 )2 − (x − x0 )2 − (y − y0 )2 − (z − z0 )2 = 0
(3.2)
beschrieben werden. Dies nutzt man zur Definition eines Abstandes ∆s, der invariant
unter Wechsel des Inertialsystems ist:
∆s2 = c2 (tA − tB )2 − (xA − xB )2 − (yA − yB )2 − (zA − zB )2 .
(3.3)
Dieser Abstand ist die vom Inertialsystem unabhängige Entfernung zweier Ereignisse
A(tA , xA , yA , zA ) und B(tB , xB , yB , zB ).
Unter einem Raum-Zeit-Ereignis (t,x,y,z) mit den Minkowski-Koordinaten x0 = c·t
und x1 = x, x2 = y, x3 = z (kartesische Koordinaten) verstehen wir dabei einen Punkt
im 4-dimensionalen Minkowski-Raum.
Allgemeiner formuliert für infinitesimal benachbarte Raum-Zeit Ereignisse ergibt sich
das Linienelement der SRT:
ds2 = c2 dt2 − dx2 − dy 2 − dz 2 .
(3.4)
Diese Formulierungen mögen auf den ersten Blick etwas unzugänglich erscheinen. Tatsächlich sind sie anschaulich nicht zu verstehen. Schließlich vermittelt uns die tägliche
Erfahrung den dreidimensionalen Raum. Man muss dabei aber bedenken, dass wir uns
im alltäglichen Leben mit Geschwindigkeiten bewegen, die sehr klein gegen die Lichtgeschwindigkeit sind.
60
3.1 Spezielle Relativitätstheorie
B
b
ct ct′
A
b
d
s=
′
ds
v
′
x
x
Abbildung 3.1: Lorentz-Transformationen sind Transformationen zwischen zwei Inertialsystemen S und S 0 , die das Linienelement ds invariant
lassen.
Ohne genauer darauf einzugehen, führen wir die Lorentz-Transformationen ein, die einen
Übergang von einem Inertialsystem in ein anderes erlauben (Abb. 3.1):
Für Lorentz-Transformationen (LT) muss daher der folgende wichtige Satz gelten:
Lorentz-Transformationen zwischen Inertialsystemen sind alle Transformationen, die (ds)2 invariant lassen.
D.h. für den Übergang von den Koordinaten (ct,x,y,z) zu (ct0 ,x0 ,y 0 ,z 0 ) gilt:
 0
 
ct
ct
x
 x0 
 0  = Λ ·   , mit ds0 = ds.
y 
y
z0
z
(3.5)
Dabei ist Λ eine 4 × 4-Lorentzmatrix. Für die explizite Form siehe z.B. [4].
Um den Übergang zur allgemeinen Relativitätstheorie einfacher zu machen führen wir
an dieser Stelle noch den metrischen Tensor oder die Minkowski-Metrik ηµν ein:


+1 0
0
0
 0 −1 0
0
.
ηµν = 
(3.6)
0
0 −1 0 
0
0
0 −1
61
3 Allgemeine Relativitätstheorie
B
A r(t)
+δ
r(t)
r(
t
)
b
b
Abbildung 3.2: Variation des Weges: Betrachtet werden kleine Variationen
δr(t) des Weges r(t) von Ereignis A zu Ereignis B, mit der Bedingung, das
δr(tA ) = δr(tB ) = 0.
Mit Hilfe des metrischen Tensors lässt sich das Linienelement schreiben als
ds =
2
3 X
3
X
ν=0 µ=0
ηµν dxµ dxν ≡ ηµν dxµ dxν .
(3.7)
Dabei wurde im zweiten Schritt die Einsteinsche Summenkonvention eingeführt, die besagt, dass über doppelt vorkommende Indizes zu summieren ist.
Wir sehen, dass es aufgrund des ersten Postulates notwendig wurde, Raum und Zeit
zusammen zu betrachten und dass der 3D-Euklidische Raum zur Beschreibung nicht
mehr ausreicht. Punkte in dieser Raum-Zeit heißen Ereignisse, wie wir bereits eingeführt haben.
3.1.2 Beschreibung der kräftefreien Bewegung
Eine kräftefreie Bewegung ist nun beschreibbar als die kürzeste Verbindung zwischen
zwei Raum-Zeit-Ereignissen A und B. Die Berechnung erfolgt über Variation des Weges
(Abb. 3.2), d.h.
ˆA
B
62
!
ds = 0.
δ
(3.8)
3.1 Spezielle Relativitätstheorie
Wobei wir den Weg über die Zeit t parametrisieren. Nach Einsetzen der Definition des
Linienelementes folgt
ˆB p
−(dx)2 − (dy)2 − (dz)2 + c2 (dt)2
δ
A
ˆB
=δ
A
ˆ
√
ṙδ ṙ
2
2
dt −ṙ + c = − dt √
.
c2 − ṙ2
B
(3.9)
A
Zur Auswertung des Integrals wenden wir die Produktintegration an. Wir setzen
u= √
c2
ṙ
− ṙ2
und dv = δ ṙ · dt
(3.10)
und erhalten nach Differentiation bzw. Integration
du =
d
ṙ
√
· dt und v = δr.
2
dt c − ṙ2
(3.11)
dr
d
= δr,
dt
dt
(3.12)
Dabei haben wir ausgenutzt, das gilt
δ ṙ = δ
d.h. die Differentiationen sind vertauschbar.
Wir setzen diese Ergebnisse ein und erhalten
B ˆB
ṙ
d
ṙ
−√
· δr + δr(t) √
· dt = 0.
dt c2 − ṙ2
c2 − ṙ2
A
(3.13)
A
Da δr(A) = δr(B) = 0 verschwindet der erste Term. Wir wollen auch noch ṙ2 durch v 2
ersetzen. Jetzt haben wir
ˆB
δr(t)
A
ṙ
d
√
· dt = 0 ∀ δr(t).
2
dt c − v 2
(3.14)
Diese Gleichung läßt sich für beliebige δr(t) nur erfüllen, wenn
d
ṙ
√
=0
dt c2 − v 2
(3.15)
63
3 Allgemeine Relativitätstheorie
gilt.
Wir führen die Ableitung aus und erhalten:
2
r̈
r̈
r̈v 2
2
2
+
3 =
3 · c − v + v
c2 − v 2 (c2 − v 2 ) 2
(c2 − v 2 ) 2
c2
= r̈ ·
3 .
(c2 − v 2 ) 2
0= √
Das bedeutet
r̈ = 0
⇒
ṙ = const = v.
(3.16)
(3.17)
Durch Multiplikation der rechten Seite der Gleichung (3.15) mit der Masse m0 erhalten
wir eine Aussage über den relativistischen Impuls p:
0=
d m0 · ṙ
d m0 · ṙ
√
p
=
dt c2 − v 2
dt c 1 − β 2
v
mit β = .
c
(3.18)
Dabei ist die Lichtgeschwindigkeit c eine Konstante und wird von der Ableitung nicht
beeinflußt. Dann folgt also:
d
m0 · ṙ
0=
·p
.
(3.19)
dt
1 − β2
Dies ist die Gleichung für den relativistischen Impuls für den Fall, dass eine kräftefreie
Bewegung vorliegt. Er ist dann eine Erhaltungsgröße. Für den relativistischen Impuls
allgemein gilt:
m0 · ṙ
1
prel = p
= γpklass , mit γ = p
.
(3.20)
2
1−β
1 − β2
Wie in der klassischen Mechanik gilt also auch in der relativistischen Mechanik:
dp
= F.
dt
(3.21)
3.2 Grundidee der allgemeinen Relativitätstheorie
Historisch war Einsteins ursprüngliches Ziel eine Verallgemeinerung der SRT von Inertialsystemen auf beliebige Koordinatensysteme zu erreichen. Durch Überlegungen zum
64
3.3 Äquivalenzprinzip
Äquivalenzprinzip (siehe Abschn. 3.3) erkannte Einstein, dass er damit letztlich eine
geometrische Theorie der Gravitation entwickelte, in der die Gravitation eine von der
Koordinatenwahl abhängige ”Scheinkraft“ ist.
Die Grundidee der ART ist die, dass die Raum-Zeit genau so gekrümmt wird, dass
ein Teilchen, das sich nur unter dem Einfluss der Gravitation bewegt (also im freien Fall
ist) sich auf einer “geraden Linie” in dieser Raumzeit bewegt.
Das heißt, wir fordern wie in der SRT, dass die Bahn dieses Teilchens zwischen zwei
Ereignissen A und B extremale Länge hat, entsprechend Glg. (3.8). Man spricht dann
von Geodäten. Der Effekt der Gravitation wird also in die Krümmung der Raum-Zeit
gepackt. Mathematisch wird die gekrümmte Raumzeit durch das Linienelement
ds2 = gµν (x0 , x1 , x2 , x3 )dxµ dxν = gµν (x)dxµ dxν
(3.22)
beschrieben. Entscheidend ist, dass der Metrik-Tensor gµν im Gegensatz zum MinkowskiTensor ηµν von den Koordinaten abhängt.
Die Aufgabe besteht nun darin, bei gegebener Massenverteilung die gµν zu berechnen.
Die Gleichungen, die das leisten, sind die Einsteinschen Feldgleichungen, die wir
später einführen werden.
3.3 Äquivalenzprinzip
Grundlage für die Entwicklung der ART war das Äquivalenzprinzip, welches in diesem
Abschnitt diskutiert wird. Den Kern bilden Einsteins berühmte Fahrstuhlgedankenexperimente. Die Aussage dieses Prinzips ist die Äquivalenz von träger und schwerer Masse.
3.3.1 Äquivalenz von träger und schwerer Masse
Um eine Aussage über schwere und träge Masse machen zu können, müssen wir zunächst
diese Begriffe definieren.
1) Träge Masse
Wirke eine Kraft auf einen Massenpunkt. Durch diese Krafteinwirkung wird der Massepunkt seinen Bewegungszustand ändern. Allerdings versucht die Masse sich gegen diese
äußere Krafteinwirkung zu wehren und in ihrem Bewegungszustand zu verharren. Die
65
3 Allgemeine Relativitätstheorie
r̈1
m t1
r̈2
m t2
Abbildung 3.3: Zwei gleiche Federn werden um die gleiche Strecke aus
ihrer Ruhelage ausgelenkt. An den beiden Federn hängen die Massen mt1
und mt2 . Lässt man nun die Federn los, so werden beide Massen beschleunigt.
Das Verhältnis der Beschleunigungen ist dabei r̈2 = (mt1 /mt2 )r̈1 .
Masse hemmt also gewissermaßen die Krafteinwirkung. Aus diesem Grund nennt man
diese Masse, die das Trägheitsprinzip erfüllt, die träge Masse.
Wir halten also fest: Die träge Masse ist die Masse die einer Kraft einen Widerstand
entgegen setzt. Je größer diese träge Masse ist, desto mehr Kraft muss aufgewendet werden, um den Bewegungszustand zu ändern.
Betrachten wir als Beispiel zwei Massen mt1 und mt2 (Abb.: 3.3). Wir bringen beide
Massen an gleiche Federn an und dehnen die Federn um eine Strecke ∆x aus der Ruhelage.
Wenn wir nun loslassen, so wirkt auf beide Massen die gleiche Kraft. Für die jeweiligen
Beschleunigungen gilt also F = mt1 r̈ 1 = mt2 r̈ 2 , d.h.
r̈ 2 =
mt1
r̈ 1 .
mt2
(3.23)
2) Schwere Masse
Die schwere Masse ist die Eigenschaft eines Körpers im Gravitationsfeld einer anderen
Masse eine Kraft zu erfahren. Wir bezeichnen diese Masse daher in Anlehnung an Kapitel
1.3 als Gravitationsladung q im Gravitationsfeld der Gravitationsladung Q:
F grav = −
66
qQ
· α · er .
r2
3.3 Äquivalenzprinzip
Die Massen mt1 und mt2 erfahren im Feld von Q eine Kraft. Sie haben also auch eine
schwere Masse q1 , q2 .
Durch Fallexperimente kommt man zu folgendem experimentellem Befund: Die beiden
Massen „fallen gleich schnell”, unabhängig von ihrer trägen Masse.
Genauer:
Es ist immer r̈ 1 = r̈ 2 , unabhängig von der Größe ihrer (trägen) Massen mt1 und mt2 .
Dies kann man folgendermaßen formulieren:
mt1 |r̈ 1 | = |F Qq1 |
mt2 |r̈ 1 | = |F Qq2 |.
Damit erhält man
FQq1
q1
mt1
=
=
mt2
FQq2
q2
bzw.
mt1
mt
= 2.
q1
q2
(3.24)
(3.25)
Dieses Verhältnis von träger zu „schwerer” Masse ist für jedes Objekt dasselbe. Wir
wählen nun noch die Einheit der schweren Masse so, dass das Verhältnis 1 ist. Wir
halten als fundamentale Aussage fest:
Objekte mit unterschiedlicher träger Masse erfahren im Schwerefeld
bei gleichen Anfangsbedingungen dieselbe Beschleunigung. Das Verhältnis von schwerer und träger Masse mt /ms ist also für alle Körper
gleich und bei geeigneter Wahl der Einheiten gilt mt /ms = 1.
3.3.2 Fahrstuhlexperimente
Die folgenden Gedankenexperimente gehen direkt auf Einstein zurück, der diese Überlegungen selbst als “glücklichsten Einfall seines Lebens” bezeichnete.
Wir betrachten einen Experimentator (Hans) in einem geschlossenen Fahrstuhl, der sich
in einem homogenen Schwerefeld befinde (Einstein-Labor).
1) Weight-Watchers-Experiment
Im ersten Fall steht (ruht) der Fahrstuhl im Schwerefeld. Eine Waage zeigt für Hans eine
Kraft G von 80 kp an (1 kp = 9,81 N). G berechnet sich zu
G = ms · g.
(3.26)
Im zweiten Fall wird der Fahrstuhl im leeren Raum konstant mit g beschleunigt. Auch
hier zeigt die Waage für Hans eine Kraft von 80 kp an.
67
3 Allgemeine Relativitätstheorie
g
g
g
g
g
g
g
g
g
g
g
g
g
Waage: 80 kp
Waage: 80 kp
(a)
(b)
Abbildung 3.4: In Abbildung a) ruht der Fahrstuhl im homogenen Schwerefeld g. In Abbildung b) befindet sich der Fahrstuhl im schwerelosen Raum
und wird konstant mit Beschleunigung r̈ = g nach oben beschleunigt.
Für G gilt diesmal
G = mt · g.
(3.27)
Frage: Kann Hans durch irgendein Experiment (mechanisch, elektrodynamisch...) feststellen, ob er im Schwerefeld ruht oder mit g im schwerelosen Raum beschleunigt wird?
Die Antwort lautet NEIN! Damit erhalten wir folgende Aussage:
„Die Vorstellung eines ruhenden Koordinatensystems, in dem ein
Schwerefeld herrscht, ist äquivalent mit der Vorstellung eines entsprechend beschleunigten Koordinatensystems ohne Schwerefeld”.
2) Frei-Fall-Experiment
Im ersten Fall ruhe der Fahrstuhl im schwerelosen Raum (Abb. 3.5(a)). Die Waage zeigt
für Hans eine Kraft von 0 kp an.
Im zweiten Fall falle der Fahrstuhl frei im konstanten Schwerefeld (Abb. 3.5(b)). Alles im Fahrstuhl fällt mit der gleichen Geschwindigkeit, es gibt keine Relativbewegung.
Im Fahrstuhlsystem gilt
x(t) = x0 (t) + x0
und mt ẍ = mt (ẍ0 + ẍ0 ) = ms g.
Wegen mt = ms und ẍ0 = g folgt
Die Waage zeigt also auch hier 0 kp an.
68
ẍ0 = 0.
(3.28)
(3.29)
3.3 Äquivalenzprinzip
g
g
g
g
g
g
x′(t)
g
g
g
g
g
g
Waage: 0 kp
Waage: 0 kp
g
x(t)
(a)
x0(t)
(b)
Abbildung 3.5: In Abbildung a) ruht der der Fahrstuhl im schwerelosen
Raum, in Abbildung b) fällt der Fahrstuhl frei im homogenen Schwerefeld
g.
69
3 Allgemeine Relativitätstheorie
Frage: Gibt es ein Experiment, dass die beiden Situationen unterscheidbar macht?
Die Antwort lautet wieder NEIN! Dies führt auf folgende Aussage:
„In einem kleinen Labor, das in einem Schwerefeld fällt, sind die mechanischen Phänomene dieselben wie jene, die in Abwesenheit eines
Schwerefeldes in einem Newtonschen Inertialsystem beobachtet werden“. (schwaches Äquivalensprinzip)
Einstein 1907: ersetze ”mechanische Phänomene” durch: ”Gesetze der
Physik“ (starkes Äquivalenzprinzip).
Wäre das anders, also das Äquivalenzprinzip verletzt, so würde die Idee, die Gravitation
in eine (für alle Körper gleiche) gekrümmte Raum-Zeit zu packen, nicht funktionieren.
Deshalb funktioniert diese Idee bei der Elektrodynamik auch nicht, da dort die Ladung
und die träge Masse eines Teilchens unabhängig voneinander sind.
Da Gravitationsfelder inhomogen sind, muss darauf geachtet werden, dass ein der Gravitation ausgesetztes Labor relativ klein ist, so dass die Abweichung von der Homogenität
keine Rolle spielt (Abb. 3.6).
Streng genommen ist nur für jeden Punkt ein infinitesimal kleines frei fallendes System
definiert (lokales Inertialsystem, freifallendes Bezugssystem).
Insofern stellen diese Überlegungen eine Einschränkung gegenüber der SRT dar, bei
der das Inertialsystem beliebig groß sein kann.
Andererseits ist dieses Prinzip aber viel allgemeiner, weil nun auch beschleunigte Systeme behandelt werden können.
3) Lichtablenkung im Schwerefeld
Das Äquivalenzprinzip führt bereits direkt auf die Lichtablenkung im Schwerefeld. Betrachten wir in Abb. 3.7(a) ein frei fallendes Labor. Wird in diesem Labor auf einer
Seite zum Zeitpunkt t0 ein Laserstrahl ausgesendet, so kommt er auf der anderen Seite
auf dem Detektor zur Zeit t1 auf gleicher Höhe an, da dieses Labor äquivalent zu einem
ruhenden Labor im schwerelosen Raum ist.
Von außen gesehen hat sich das Labor aber in der Zeit t1 − t0 nach unten bewegt. Der
Laserstrahl erscheint also gekrümmt.
Andererseits können wir auch ein konstant beschleunigtes Labor betrachten (Abb. 3.7(b)).
Wird hier ein Laserstrahl losgeschickt, so bleibt er hinter dem Labor zurück, er kommt
auf der anderen Seite etwas tiefer an. Dies ist leicht einzusehen, wenn man bedenkt, dass
dieser Laserstrahl von außen betrachtet geradlinig verlaufen muss.
Diese beschleunigte Labor ist äquivalent zu einem im Schwerefeld ruhenden Labor. Daher
muss auch dort der Lichtstrahl gekrümmt verlaufen.
70
3.3 Äquivalenzprinzip
t0
t1
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
M
Abbildung 3.6: Aufgrund der Inhomogenität von Graviationsfeldern muss
das betrachtete Labor so klein sein, dass die Inhomogenität vernachlässigbar ist. Das schwarze Labor ist zu groß, die schwarzen Kugeln nähern sich
einander. Das grüne Labor ist klein genug, dass die Inhomogenität vernachlässigbar wird.
71
t0
Detektor
3 Allgemeine Relativitätstheorie
Laser
t1
Detektor
g
Laser
(a) In einem frei fallenden Labor wird ein Laserstrahl zum Zeitpunkt t0 von einer
Seite zur anderen geschickt (rot). Da das frei fallende Labor einem Labor im schwerelosen Raum entspricht, kommt der Laserstrahl auf der andern Seite zum Zeitpunkt t1
auf gleicher Höhe am Detektor an. Von außen gesehen wird er also abgelenkt (grün).
Laser
Detektor
Laser
Detektor
g
g
(b) Links: In einem konstant beschleunigten Labor wird ein Laserstrahl ausgesendet. Da er von außen
gesehen eine geradlinige Bewegung ausführt und sich das Labor währenddessen nach oben bewegt, kommt
er auf der anderen Seite etwas weiter unten an.
Rechts: Dem konstant beschleunigten Labor entspricht ein im homogenen Schwerefeld ruhendes Labor.
Aufgrund des Äquivalenzprinzips muss der Laserstrahl auch dort abgelenkt werden.
Abbildung 3.7: Aus dem Äquivalenzprinzip folgt bereits die Lichtablenkung im Schwerefeld.
72
3.4 Mathematischer Formalismus der Allgemeinen Relativitätstheorie
4) Mathematische Bedeutung des Äquivalenzprinzips
Mathematisch bedeutet das Äquivalenzprinzips, dass die Raum-Zeit mit Gravitation
lokal minkowskisch ist. Wird die Raum-Zeit durch die Koordinaten xα beschrieben, so
existiert jeden Punkt P der Raum-Zeit eine Koordinatentransformation
(3.30)
xα → ξ α
die von xµ abhängt, so dass sich die Metrik mittransformiert über
mit
gµν (xα ) → gµν (ξ α )
(3.31)
gµν (ξPα ) = ηµν
(3.32)
in einer Umgebung des Punktes P = ξPα , d.h.
∂gµν (ξ α ) ∂ξ β = 0.
(3.33)
α
ξP
3.4 Mathematischer Formalismus der Allgemeinen Relativitätstheorie
3.4.1 Kontravariante und kovariante Größen
Wir betrachten in diesem Abschnitt das Transformationsverhalten verschiedener Größen
unter einer Koordinatentransformation
xµ → x̄ν (xµ ).
(3.34)
Entsprechend der Kettenregel der Differentiation gilt für die Koordinaten, bzw. die Koordinatendifferentiale
∂ x̄ν µ
ν
dx̄ =
dx .
(3.35)
∂xµ
Generell heißt jede Größe Aµ , die sich unter Koordinatentransformation gemäß
Āν =
∂ x̄ν µ
A
∂xµ
(3.36)
73
3 Allgemeine Relativitätstheorie
transformiert, kontravarianter Tensor 1. Stufe.
Die Ableitungen nach den Koordinaten dagegen transformieren sich gemäß
∂
∂xµ ∂
=
·
.
∂ x̄µ
∂ x̄ν ∂xµ
(3.37)
Jede Größe B̄ν , die sich wie die Ableitungen nach der Regel
B̄ν =
∂xµ
Bµ
∂ x̄ν
(3.38)
transformiert, heißt kovarianter Tensor 1. Stufe.
Aus diesen Transformationseigenschaften folgt, dass
Āν B̄ν =
∂ x̄ν ∂xµ
∂ x̄ν µ ∂xµ
A
·
B
=
·
· Aµ Bµ = Aµ Bµ .
µ
∂xµ
∂ x̄ν
∂xµ ∂ x̄ν
(3.39)
Das Skalarprodukt ist also invariant unter Koordinatentransformationen. Mit Hilfe der
Metrik kann man von kovarianten zu kontravarianten Größen kommen und umgekehrt:
gµν Aν = Aµ
und g µν Bν = B µ .
(3.40)
Dabei ist g µν die Inverse von gµν , d.h. es ist
gµα g αν = δµν ,
(3.41)
mit dem Kroneckersymbol δµν , das der Einheitsmatrix entspricht.
3.4.2 Tensorverjüngung
Hat man eine Größe mit mehreren Indizes, so kann man mit Hilfe der Metrik daraus
durch Tensorverjüngung eine Größe mit zwei Indices weniger machen. Sei Aµν kontravarianter Tensor zweiter Stufe, dann ist
A = Aµµ = gµν Aνµ
(3.42)
ein Skalar.
3.4.3 Bedeutung der Christoffel-Symbole
In diesem und den folgenden Abschnitten folgen wir vereinfacht der Argumentation in
[5], Kapitel 5 und 7. Gegeben sei ein Vektorfeld F µ (x). In einer Mannigfaltigkeit ist das
einfache Bild eines Vektors als Pfeil der 2 Punkte verbindet nicht aufrechtzuerhalten (Es
ist z.B. nicht möglich zwei Punkte auf der Erde mit einem geraden Pfeil auf der Oberfläche der Erde zu verbinden. Möchte man F µ an zwei verschiedenen Punkten x und
74
3.4 Mathematischer Formalismus der Allgemeinen Relativitätstheorie
x + ∆x miteinander vergleichen, so kann dies in einem gekrümmten Raum dementsprechend nicht über einen einfachen Vergleich der Komponenten geschehen. Vielmehr muss
man F µ (x) ohne Änderung an den Ort x + ∆x verschieben und dann mit F µ (x + ∆x)
vergleichen. Man spricht dann von Paralleltransport des Vektors. Allerdings ist
nicht automatisch klar, wie der Paralleltransport definiert sein soll, vielmehr muss dies
festgelegt werden.
Im Folgenden bezeiche Feµ den paralleltransportieren Vektor.
Beispiel
Wir betrachten den zweidimensionalen Euklidischen Raum. In kartesischen Koordinaten
(x,y) mit Linienelement ds2 = dx2 + dy 2 gilt einfach Feµ = F µ . Wir möchten nun aber
in Polarkoordinaten (r,ϕ) rechnen.
Für das Linienelement ergibt sich dann
ds2 = dr2 + r2 dϕ2 ,
(3.43)
und für die Komponenten des Vektors
F r = F cos ϑ,
Fϕ = F
sin ϑ
.
r
(3.44)
p
Dabei ist F = gµν F µ F ν . Die Komponenten ergeben sich leicht aus der Invarianz von
F , siehe Abbildung 3.8.
Verschiebung entlang r
Bei Verschiebung entlang r ergibt sich nun
Fer = F r ,
Feϕ =
r
∆r ϕ
Fϕ ≈ Fϕ −
F .
r + ∆r
r
(3.45)
Verschiebung entlang ϕ
Bei Verschiebung entlang ϕ erhalten wir
Fer = F cos(ϑ − ∆ϕ) ' F cos ϑ + F sin ϑ∆ϕ = F r + F ϕ r∆ϕ,
sin(ϑ − ∆ϕ)
sin ϑ
cos ϑ
∆ϕ
Feϕ = F
'F
−F
= Fϕ − Fr
.
r
r
r
r
(3.46)
75
3 Allgemeine Relativitätstheorie
y
y
Fe
Fe
F
F
(r, ϕ + ∆ϕ)
ϑ
ϑ
(r + ∆r, ϕ)
(r, ϕ)
ϑ
(r, ϕ)
x
x
Abbildung 3.8: Paralleltransport eines Vektors im Euklidischen Raum entlang der r und ϕ-Koordinate.
Schlussfolgerung
Die Ergebnisse der letzten beiden Abschnitte lassen sich kompakt darstellen in der Form
Feµ (x + ∆x) = V µ (x) − F λ Γµνλ (x)∆xν ,
mit
Γrrr = 0,
Γϕrr = 0,
(3.47)
Γrrϕ = 0,
1
Γϕrϕ = ,
r
r
Γ ϕϕ = −r,
(3.48)
Γrϕr = 0,
1
Γϕϕϕ = 0.
Γϕϕr = ,
r
Es kann gezeigt werden, dass allgemein für die in der ART betrachteten Mannigfaltigkeiten gilt
1 κλ
∂
∂
∂
κ
gνλ + ν gµλ − λ gµν .
(3.49)
Γ µν = g
2
∂xµ
∂x
∂x
Die Größen Γκµν heißen Christoffel-Symbole 2.Art. Sie charakterisieren also die
Änderung der Komponenten eines Vektors bei Parallelverschiebung. Es sei angemerkt,
dass Γκµν kein Tensor ist.
3.4.4 Der Riemann-Tensor
Die Christoffel-Symbole sagen nichts über die Krümmung des betrachteten Raumes aus.
Dies ist leicht an Hand des Beispiels im letzten Abschnitt zu sehen. In kartesischen
Koordinaten verschwinden dort die Christoffel-Symbole, aber nicht in Polarkoordinaten.
76
3.4 Mathematischer Formalismus der Allgemeinen Relativitätstheorie
C′
b
b
b
q
b
b
C
b
p
b
b
F
Abbildung 3.9: Paralleltransport eines Vektors im Euklidischen Raum entlang der r und ϕ-Koordinate.
Die Größe, die dies leistet ist der Riemann-Tensor
Rκλµν =
∂ κ
∂
Γ νλ − ν Γκµλ + Γηνλ Γκµη − Γηµλ Γκνη .
µ
∂x
∂x
(3.50)
Die Christoffelsymbole setzten sich aus ersten Ableitungen der Metrik zusammen. Der
Riemann-Tensor setzt sich daher aus zweiten Ableitungen und Produkten von ersten
Ableitungen der Metrik zusammen.
Geometrische Bedeutung des Riemann-Tensors
Wir beginnen diesen Abschnitt mit einer Grundüberlegung. Gegeben sei ein Vektor F auf
der Oberfläche einer Kugel (Abb. 3.9). Die natürliche Definition des Paralleltransportes
entlang eines Großkreises in diesem Fall ist so, dass der Winkel zwischen dem Vektor und
dem Großkreis fest bleibt. Wird F entlang C und C 0 von p nach q paralleltransportiert,
so zeigen die resultierenden Vektoren in entgegengesetzte Richtungen.
Im Euklidischen Raum dagegen ist die Richtung am Ende unabhängig vom Weg, der für
den Paralleltransport gegangen wurde. Diese Wegabhängigkeit der Richtung sollte daher
die Krümmung eines Raumes charakterisieren. Für eine strenge Behandlung betrachten
77
3 Allgemeine Relativitätstheorie
FC
FC ′
s
FC ′
r
xµ + δ µ
xµ + ε µ + δ µ
C′
F
p
FC
C
q
xµ
xµ + ε µ
Abbildung 3.10: Paralleltransport eines Vektors F von p nach r.
wir ein infinitesimales Parallelogramm pqrs mit Koordinaten xµ , xµ + εµ , xµ + εµ + δ µ
und xµ + δ µ (Abb. 3.10). Bei Paralleltransport von F entlang C = pqr erhalten wir den
Vektor FC (r). Bei q ergibt sich
FCµ (q) = F µ − F κ Γµνκ εν .
(3.51)
Dann folgt
FCµ (r) = FCµ (q) − FCκ (q)Γµνκ (q)δ ν
∂ µ
µ
λ
−
× Γ νκ (p) + λ Γ νκ (p)ε δ ν
−
−
=
∂x
∂ µ
µ
ρ
κ µ
ν
κ µ
ν
κ
µ
' F0 − F0 Γ νκ (p)ε − F0 Γ νκ (p)δ − F0
Γ νκ (p) − Γ λκ (p)Γ νρ (p) ελ δ ν
λ
∂x
(3.52)
bei Berücksichtigung von Termen bis zweite Ordnung in δ und ε. Analog ergibt sich
∂ µ
µ
µ
µ
ν
κ µ
ν
κ
κ µ
ρ
FC 0 (r) ' F0 − F0 Γ νκ (p)δ − F0 Γ νκ (p)ε − F0
Γ λκ (p) − Γ νκ (p)Γ λρ (p) ελ δ ν .
ν
∂x
(3.53)
F0µ
78
F0κ Γµνκ εν
F0κ
F0ρ Γκξρ (p)εξ
3.5 Bewegungsgleichung der ART
Für die Differenz der beiden Vektoren ergibt sich dann schließlich
∂ µ
∂ µ
µ
ρ
µ
ρ
κ
FC 0 (r) − FC (r) ' F0
Γ (p) − ν Γ λκ (p) − Γ λκ (p)Γ νρ (p) + Γ νκ (p)Γ λρ (p) ελ δ ν
∂xλ νκ
∂x
λ ν
κ µ
= F0 R κλν ε δ .
(3.54)
3.4.5 Der Ricci-Tensor und der Krümmungsskalar
Durch Verjüngung des Riemann-Tensors erhält man zwei weitere wichtige Größen. Zum
einen den Ricci-Tensor
Rµν = Rλµλν =
∂ α
∂ α
Γ
−
Γ
− Γασα Γσµν + Γασν Γσµα
µα
∂xν
∂xα µν
(3.55)
und zum anderen durch weitere Verjüngung den Krümmungsskalar
R = Rµµ = g µν Rµν .
(3.56)
3.5 Bewegungsgleichung der allgemeinen Relativitätstheorie
Wir wollen nun die Bewegungsgleichung der allgemeinen Relativitätstheorie (Differentialgleichung der Geodäten) betrachten. Wir hatten oben gesehen, dass gilt
p
(3.57)
ds = gµν dxµ dxν
und hatten als Grundannahme die Gültigkeit der Eikonal-Gleichung postuliert:
ˆ
δ ds = 0
(3.58)
Wir können nun für ds Gleichung (3.57) einsetzen und noch mit ds erweitern. Für das
Integral folgt dann:
ˆ
ˆ
p
ds
ds =
gµν dxµ dxν ·
(3.59)
ds
Zieht man jetzt das ds im Nenner des Bruches unter die Wurzel, so kann man dem
α
Ausdruck unter dem Integral ein Funktional der Form F (xα , dx
) zuordnen. Man erhält
ds
79
3 Allgemeine Relativitätstheorie
nämlich:
ˆ
ˆ
ˆ r
α
dxµ dxν
α dx
gµν
ds = F x ,
ds
ds =
ds ds
ds
(3.60)
mit α = 0,1,2,3. Die Euler-Lagrange-Gleichungen zum Variationsprinzip
ˆ
α
α dx
δ F x ,
ds = 0
(3.61)
ds
lauten dann:
Es folgt:
d
ds
d
ds
1
2F
!
∂F
∂
dxα
ds
−
∂F
=0
∂xα
dxν
dxµ
1 ∂gµν dxµ dxν
gαν
+ gµα
−
=0
ds
ds
2F ∂xα ds ds
(3.62)
(3.63)
Dabei gilt die Beziehung
d
∂gαν dxµ
gαν =
.
ds
∂xµ ds
Setzt man dies in Gleichung (3.63) ein, so ergibt sich.
(3.64)
d2 xν ∂gµα dxµ dxν
d2 xµ ∂gµν dxµ dxν
∂gαν dxµ dxν
+
g
+
+
g
−
= 0.
αν
µα
∂xµ ds ds
ds2
∂xν ds ds
ds2
∂xα ds ds
Der zweite und vierte Term sind gleich und man kann weiter zusammenfassen:
∂gαν ∂gµα ∂gµν dxµ dxν
d2 xν
+
−
= 0.
2gαν 2 +
ds
∂xµ
∂xν
∂xα
ds ds
(3.65)
(3.66)
Die Inverse zu gαν ist g σα und es gilt
(3.67)
g σα gαν = δνσ .
Wobei δνσ das Kronecker-Delta darstellt. Wir wollen uns nun diese Beziehung zunutze
machen und von links mit 12 g σα multiplizieren. Dadurch erhalten wir
d2 xσ 1 σα
+ g
ds2
2
∂gαν ∂gµα ∂gµν
+
−
∂xµ
∂xν
∂xα
dxµ dxν
= 0.
ds ds
(3.68)
Wir erkennen in dieser Gleichung die Christoffel-Symbole 2. Art aus (3.49) wieder. Damit
ergibt sich die Geodätengleichung schließlich zu
µ
ν
d 2 xσ
σ dx dx
+
Γ
= 0.
µν
ds2
ds ds
80
(3.69)
3.6 Die Einsteinschen Feldgleichungen
3.6 Die Einsteinschen Feldgleichungen
Die Hauptaufgabe der Allgemeinen Relativitätstheorie ist es, aus einer vorhandenen
Massen- und Energieverteilung die entsprechende Metrik der Raumzeit berechnen zu
können und umgekehrt.
Eine berühmte Zusammenfassung dieser Zusammenhänge stammt von J. A. Wheeler1
”Matter tells space how to curve and spacetime tells matter how to
move!“
Dazu ist eine Gleichung nötig, die die entsprechenden Größen miteinander verknüpft.
3.6.1 Formulierung der Feldgleichungen
Eine wichtige Grundvoraussetzung für eine solche Gleichung ist, dass sie im Grenzfall
schwacher Felder und kleiner Geschwindigkeiten in die Newtonschen Bewegungsgleichungen
d 2 xi
= −φ,i
(3.70)
dt2
mit dem Gravitationspotential φ übergeht, bzw. äquivalent zu diesen ist.
Diese Überlegungen und die Anforderung, dass Energieerhaltung und Impulserhaltung
erfüllt sind, führen schließlich zu den Einsteinschen Feldgleichungen
Gµν = κTµν ,
(3.71)
mit dem Einsteintensor
1
Gµν = Rµν − gµν R,
2
und dem Energie-Impulstensor Tµν .
Dabei bezeichnet κ Einsteins Gravitationskonstante
κ=
8πG
,
c4
(3.72)
(3.73)
mit der Gravitationskonstante G der Newtonschen Theorie.
Eine weitere Verallgemeinerung von Gleichung (3.71) wird durch die Hinzunahme der
kosmologischen Konstante Λ erreicht, dazu wird der Einsteintensor um einen weiteren Term ergänzt:
eµν = Gµν + Λgµν .
G
(3.74)
1
John Archibald Wheeler, 1911-2008, Amerikanischer theoretischer Physiker
81
3 Allgemeine Relativitätstheorie
Dann gilt:
eµν = −κTµν .
G
(3.75)
Die kosmologische Konstante spielt bei der Untersuchung der Entwicklung des Universums eine wichtige Rolle.
Man kann die Feldgleichungen auch noch etwas umformen. Dazu multiplizieren wir Gleichung (3.75) mit g µν und benutzen die Zusammenhänge
g µν Rµν = R,
Damit erhalten wir
g µν Tµν = T, und g µν gµν = δµ µ = 4.
(3.76)
−R + 4Λ = κT, also R = 4λ − κT.
(3.77)
∗
Rµν − Λgµν = κTµν
,
(3.78)
1
∗
Tµν
= Tµν − gµν T.
2
(3.79)
Einsetzen dieses Zusammenhangs in Gleichung (3.75) führt dann auf
mit
3.6.2 Exakte Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen im
kugelsymmetrischen Fall
Wir betrachten die exakte Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen zuerst nur für den
statischen kugelsymmetrischen Fall, da sich hier sehr einfache Folgerungen ergeben.
1) Die Schwarzschild-Metrik
Löst man die Feldgleichungen für diesen Fall, so ergibt sich die Schwarzschild-Metrik:
rS 2 2
(dr)2
2
2
2
2
2
(ds)2 = 1 −
c dt −
rS − r (dϑ) − r sin ϑ(dϕ)
r
1− r
rS 2 2
1
2
2
(dϑ)2 + sin2 ϑ(dϕ)2 ,
(3.80)
= 1−
c dt −
rS (dr) − r
r
1− r
mit dem Schwarzschild-Radius rS = 2GM
aus Abschn. 1.2.
c2
Hierbei haben wir die Raum-Zeit in Kugelkoordinaten beschrieben. Formal läßt sich
dann auch schreiben
(dΩ)2 := (dϑ)2 + sin2 ϑ(dϕ)2 .
(3.81)
Für r → ∞ geht die Schwarzschild-Metrik in die Minkowski-Metrik über, denn der
Krümmungsradius ist dann unendlich, was mit der flachen Raum-Zeit identisch ist.
82
3.6 Die Einsteinschen Feldgleichungen
2) Messung der Radialkoordinate
Zur Messung von r zu einem bestimmten Zeitpunkt t wollen wir annehmen, dass gilt
dr = 0,
dt = 0,
dϑ 6= 0,
dϕ 6= 0.
(3.82)
D.h. wir betrachten alle Punkte mit einer festen Radialkoordinate, deren Wert wir allerdings nicht kennen. Über die Kraft, die die Massenverteilung ausübt, können wir aber
erreichen, dass alle betrachteten Punkte die gleiche Radialkoordinate haben.
Wir schreiben dann
dsϕ = r sin ϑdϕ,
dsϑ = rdϑ.
(3.83)
Für ein Flächenelement gilt wie in gewöhnlichen Kugelkoordinaten
dF = dsϕ dsϑ = r2 sin ϑdϑdϕ.
Integration liefert
‹
(3.84)
‹
dF =
dsϕ dsϑ = 4πr2 .
(3.85)
Alternativ können wir auch eine Umfangsmessung durchführen, indem wir uns auf Punkte mit ϑ = π2 beschränken:
˛
dsϕ = rdϕ ⇔
dsϕ = 2πr.
(3.86)
Über die Messung der Fläche oder des Umfanges kann man also die Radialkoordinate
bestimmen.
3) Abstand von Punkten mit unterschiedlicher Radialkoordinate
Nun wollen wir den Abstand von Punkten mit unterschiedlicher Radialkoordinate betrachten, d.h. es soll gelten
dr 6= 0,
Es folgt dann
dt = 0,
1
dsr = p
1−
dϑ = 0,
rS
r
dr ≥ dr.
dϕ = 0.
(3.87)
(3.88)
83
Horizont
∆s
3
2
Photonenorbit
3 Allgemeine Relativitätstheorie
1
0
0
1
2
rS /r
Abbildung 3.11: Eigenradiallänge ds zum Ereignishorizont in Abhängigkeit von der Radialkoordinate r, normiert bezüglich des Schwarzschilradiuses rS . Zur Orientierung ist der Photonenorbit r = 1,5rS eingezeichnet. Dort
wird Licht bereits so stark abgelenkt, dass es auf einer Kreisbahn um das
Schwarze Loch läuft.
Der Abstand solcher Punkte ist entsprechend gegeben über
ˆr2
dsr > r2 − r1
∆s =
(3.89)
r1
und nicht über die Differenz der Radialkoordinaten.
Speziell ergibt sich für den Abstand zum Ereignishorizont bei r = rS
s "
#
r
rS
r
r
r
r
∆s = rS
+ ln 2 − 1 + 2
−1 .
rS
2
rS
rS rS
(3.90)
Damit erhalten wir die wichtige Aussage
Die Radialkoordinate r ist nicht der Abstand vom Zentrum der kugelsymmetrischen Massenverteilung.
Abbildung 3.11 zeigt die Eigenradiallänge ∆s zum Ereignishorizont in Abhängigkeit von
der Radialkoordinate r entsprechend Gleichung (3.90), normiert bezüglich des Schwarzschilradiuses rS .
4) Bedeutung der Koordinatenzeit t
Man kann noch eine weitere Folgerung aus der Schwarzschild-Lösung ziehen. Wir wollen uns dazu mit der Bedeutung von t befassen. Es ist klar, dass dies die Laborzeit
84
3.7 Tests der Relativitätstheorie
im Unendlichen sein muss, da dort die Schwarzschild-Metrik in die Minkowski-Metrik
übergeht.
Wir betrachten einen an einem festen Koordinatenpunkt ruhenden Beobachter, d.h. mit
dr = dΩ = 0.
Für ihn folgt:
rS (dt)2 =: c2 (dτ )2
(ds) = c 1 −
r
mit der Zeit τ im Ruhesystem des Experimentators.
Man sieht direkt, dass gilt
r
rS
dτ = 1 − dt < dt.
r
2
2
(3.91)
(3.92)
(3.93)
Diese Beziehung läßt einen revolutionären Schluss zu:
Eine ruhende Uhr in einem Schwerefeld geht langsamer als eine ruhende Uhr ohne Anwesenheit eines Schwerefeldes.
3.7 Klassische Tests der allgemeinen Relativitäts-theorie
Wir haben in den letzten Abschnitten versucht die grundlegenden Ideen zur allgemeinen
Relativitätstheorie nachzuzeichnen. Nun ist aber der Prüfstein einer jeden Theorie das
Experiment. Deshalb wollen wir uns in diesem Kapitel auch damit befassen, inwiefern
die allgemeine Relativitätstheorie experimentell bestätigt ist.
3.7.1 Gravitationsrotverschiebung
Wir haben bei unseren Betrachtungen zur Schwarzschildmetrik gesehen, dass im Gravitationsfeld die Zeit langsamer geht als im Unendlichen, wo kein Gravitationsfeld wirkt.
Wir hatten der Zeit eines Teilchens im Schwerefeld dabei die Variable τ zugeordnet,
während wir für die Zeit ohne Gravitationsfeld t deklarieren. Wir hatten dabei gesehen,
dass gilt (Gleichung (3.93)):
r
rS
(3.94)
∆τ = 1 − ∆t.
r
Zur Zeitmessung benötigt man nun aber einen gravitationsunabhängigen periodischen
Vorgang mit der Periode T0 . Ein solcher Vorgang ist beispielsweise ein atomarer Übergang zwischen zwei Niveaus mit hν0 = h · 1/T0 . Bei einem solchen Übergang wird vom
85
3 Allgemeine Relativitätstheorie
Atom Licht emittiert, welches im Schwerefeld durch die Zeitdehnung rotverschoben werden sollte. Wir betrachten ein Atom in Ruhe bei der Radialkoordinate r.
Setzen wir nun für das Eigenzeitintervall die Periode T0 eines solchen Übergangs in
Gleichung (3.94) ein, so erhält man:
∆t = p
T0
1−
rS
r
= T (r) > T0 .
Dann folgt für die Frequenz des empfangen Lichtes:
r
r
rS 1
rS
1
= 1−
= 1 − ν0 < ν0 .
ν(r) =
T (r)
r T0
r
(3.95)
(3.96)
Setzt man nun noch für die Wellenlänge des emittierten Lichtes
λ :=
ein, so ergibt sich:
1
λ(r) = p
1−
c
ν
rS
r
(3.97)
λ0 > λ0
(3.98)
Diese Ungleichung drückt die Gravitationsrotverschiebung aus.
Zur Messung der Gravitationsrotverschiebung benötigt man zwei unterschiedliche Höhen, bei denen die Frequenz eines Lichtsignals gemessen wird. Wir definieren:
r2 := r1 + h.
(3.99)
Wählen wir nun h klein gegen r1 , so können wir ohne großen Fehler eine Taylor-Entwicklung
um r1 vornehmen, die wir nach der zweiten Potenz abbrechen:
dν
ν(r2 ) = ν(r1 + h) = ν(r1 ) +
(r1 ) · h + O(h2 )
dr
r
rS
1
νr
q0 S
= 1−
· ν0 −
· h.
r1
2 r 2 1 − rS
1
r1
(3.100)
Dann ergibt sich für die Frequenzverschiebung:
∆ν =
86
1
ν0 · r S h
q
.
·
2 r2 · 1 − rS
1
r1
(3.101)
3.7 Tests der Relativitätstheorie
q
Nimmt man für r1 den Erdradius an, so kann man den Term 1 − rrS1 für den SchwarzschildRadius rS gegenüber r1 im Wurzelausdruck vernachlässigen. Es ergibt sich dann die
Abschätzung:
1 ν0 · rS
∆ν ≈
· h.
(3.102)
2 r12
Für die Erde gilt: rS = 9 mm, r1 = R = 6350 km , r2 = R + h, h = 30 m:
∆ν =
rS h ∼
= 3 · 10−15 .
2r1 r1
(3.103)
Die Frequenzverschiebung wurde mit Hilfe der Mößbauer2 -Spektroskopie an 57 Fe
nachgewiesen. Der Mößbauer-Effekt erlaubt Messungen an Kernübergängen mit einer
Genauigkeit im Bereich der natürlichen Linienbreite des Übergangs in der Größenordnung von z ∼ 10−15 . Dabei ist die Rotverschiebung z definiert über
z=
∆λ
.
λ
(3.104)
Abbildung 3.12 zeigt skizzenhaft den Aufbau eines Experimentes zur Messung der Gravitationsrotverschiebung. Eine angeregte Probe 57 Fe emittiert γ-Strahlung mit E =
14,4 keV. Eine um die Strecke h höher gelegene Probe 57 Fe kann die γ-Strahlung zuerst
nur schlecht aufgrund der Rotverschiebung zuerst kaum absorbieren. Durch Bewegen der
Probe und den dadurch auftretenden Dopplereffekt kann die Rotverschiebung kompensiert und bestimmt werden. Pound und Rebka[6] erhielten 1960 mit h = 22.6 m in ihren
Messungen einen Wert von z = (2,57 ± 0,26) · 10−15 , bzw. ein Verhältnis
∆νexp
= 1,05 ± 0,10.
∆νtheo
(3.105)
Der Wert liegt also durchaus innerhalb der Fehlergrenzen. Eine genauere Messung von
Pond und Snider 1965[7] lieferte sogar
∆νexp
= 0,9990 ± 0,0076.
∆νtheo
(3.106)
3.7.2 Periheldrehung
Die Geodätengleichung führt für die Schwarzschildmetrik auf Energie- und Drehimpulserhaltung (gµν ist also unabhängig von t,ϑ, ϕ und im Sinne der Lagrangeschen Mechanik
zyklisch, es folgen also als Erhaltungsgrößen p0 ,pϑ ,pϕ ) und schließlich auf die exakte ra2
Mößbauer, Rudolf, 1929- . Deutscher Physiker. Nobelpreis 1961 für den nach ihm benannten Effekt.
87
Counts
3 Allgemeine Relativitätstheorie
Detektor
57 Fe
vR
v
v
h
γ
57 Fe∗
Abbildung 3.12: Nachweis der gravitativen Rotverschiebung: Eine angeregte Probe 57 Fe emittiert γ-Strahlung mit E = 14,4 keV. Eine um die Strecke
h höher gelegene Probe 57 Fe kann die γ-Strahlung zuerst nur schlecht aufgrund der Rotverschiebung zuerst kaum absorbieren. Durch Bewegen der
Probe und den dadurch auftretenden Dopplereffekt kann die Rotverschiebung bei einer bestimmten Geschwindigkeit vR kompensiert und über den
Wert von vR bestimmt werden.
88
3.7 Tests der Relativitätstheorie
diale Bewegungsgleichung:
2 2
dr
GM m0
L2
GM L2
1
1
2
· m0
+ −
+ 2
− 2 3
= m0 c
−1 .
2
dτ
r
2r m0
c r m0
2
c
(3.107)
Der erste Term ist die radiale kinetische Energie, die Terme in der geschweiften Klammer
sind
M mo
• das klassische Gravitationspotential φNewton = −G
r
• das Zentrifugalpotential φZ =
L2
2m0 r2
L2
rS
· , der proportional zum
2
2m0 r
r
Verhältnis Schwarzschild-Radius zu tatsächlichem Radius ist.
• und der allgemein-relativistische Zusatzterm
Weiter ist =
E
m
mit der relativistischen Gesamtenergie E.
Wir fassen den relativistischen Zusatzterm als Störung des Zentrifugalpotentials auf
φ0Z
L2 rS =
1−
.
2m0 r2
r
(3.108)
Nur das reine Coulomb-Potential −1/r führt auf geschlossene, periodische Bahnen; jede
Störung führt zu einer Präzession der Ellipse.
Die Störung durch die Wechselwirkung mit den anderen Planeten war im 19. Jahrhundert bereits quantitativ bekannt. Für Merkur beträgt sie 53100 ,5 ± 0“.3 pro Jahrhundert.
Langjährige Beobachtungen lieferten aber 57400 .3 ± 0“.4. Die Differenz von 4200 .7 ± 0“.5
war trotz verschiedener Erklärungsversuche nicht befriedigend zu erklären.3
Für nichtrelativistische Geschwindigkeiten erhält man für die Winkelwanderung des Perihels pro Umlauf δφ den Wert
3πrS
.
(3.109)
δφ =
a(1 − e2 )
wobei a die große Halbachse und e = ac die Exzentrizität der Ellipsenbahn ist (Abb.
3.13). Es gilt also
Schwarzschild-Radius
δφ ∼
.
(3.110)
Bahn-Radius
In Abb. 3.14 ist der Effekt der Periheldrehung skizziert. Pi bezeichnen die sonnennächsten (Perihel) und Ai die sonnenfernsten (Aphel) Punkte der Bahn.
3
Z.B. postulierte der Astronom Urbain Le Verrier 1859 den Planeten Vulkan innerhalb der MerkurBahn, der für die Abweichung verantwortlich sein sollte.
89
3 Allgemeine Relativitätstheorie
b
a
b
f2
b
f1
c
Abbildung 3.13: Kenngrößen einer Ellipse: Große und kleine Halbachse a
und b, sowie der Abstand c der Brennpunkte vom Mittelpunkt.
Abbildung 3.14: Effekt der Periheldrehung: Durch die Abweichung vom
1/r-Potential ist die Bahnkurve des Planeten nicht geschlossen. Die Punkte Pi sind die aufeinanderfolgenden sonnennächsten Punkte (Perihel), die
Punkte Ai die sonnenfernsten (Aphel).
90
3.7 Tests der Relativitätstheorie
Wegen der reziproken Abhängigkeit vom Bahnradius kann bei Merkur die stärkste Periheldrehung erwartet werden. Für ihn gilt
aMerkur = 57,91 × 106 km = 0,387 AE und aMerkur = 0,206,
(3.111)
zum Vergleich lauten die Werte für die Erde aErde = 149,6 × 106 km und eErde = 0,0167.
Die allgemein-relativistische Perihelbewegung des Merkur pro Jahrhundert beträgt
δφMerkur = 4300 .03,
(3.112)
100 Jahre
für Venus dagegen 800 .6 und für die Erde nur 300 .8.
Die Erklärung der Differenz von beobachteter und mit der Newtonschen Theorie vorhergesagten Periheldrehung durch Einstein war der erste große Triumph der Allgemeinen
Relativitätstheorie. Einstein schrieb in einem Brief an Paul Ehrenfest4 :
“Ich war einige Tage fassungslos vor freudiger Erregung.”
3.7.3 Lichtablenkung im Gravitationsfeld
Für die quantitative Untersuchung der Lichtablenkung im Graviationsfeld führen wir
die isotrope Schwarzschild-Metrik ein. Dazu definieren wir die neue Radialkoordinate r̄ über
rS 2
r = 1+
r.
(3.113)
4r
Dann folgt für das Quadrat des infinitesimalen Raum-Zeit-Elementes:


r
sin
ϑ
cos
ϕ
rS 2
4
1 − 4r
rS
(ds)2 =
(d(ct))2 − 1 +
dx2 mit x =  r sin ϑ sin ϕ  . (3.114)
rS
1 + 4r
4r
r cos ϑ
In der SRT ist die Lichtausbreitung charakterisiert durch (ds)2 = 0. Dies ist die Gleichung der „Nullgeodäten”. Wegen des Äuivalenzprinzips gilt dies dann auch in der ART
mit der jeweils zutreffenden Metrik. Es folgt dann
1 − r4rS 2 2
rS 4
2
(dx)2 .
(3.115)
c
(dt)
=
1
+
1 + r4rS
4r
4
Paul Ehrenfest, 1880-1933. Österreichischer Physiker, vor allem bekannt durch das Ehrenfest-Theorem.
91
3 Allgemeine Relativitätstheorie
s0
α
s0
r
Abbildung 3.15: Die Wirkung von Massen kann beschrieben werden als
scheinbarer ortsabhängiger Brechungsindex der Raumzeit. Die Änderung des
Tangentialvektors s0 ist durch die Eikonal-Gleichung gegeben.
Weiter ergibt sich
s
dx = 1−
dt 1+
rS
r
rS
r
rS c = vLicht < c.
·c≈ 1−
r
(3.116)
Das Licht in der Schwarzschild-Metrik hat also eine geringere Geschwindigkeit, als die
Lichtgeschwindigkeit in der Minkowski-Metrik5 . Formal können wir diesem Sachverhalt
durch die Einführung eines ortsabhängigen Brechungsindex Rechnung tragen:
c
vLicht
=n≈1+
rS
.
r
(3.117)
Licht wird im Gravitationsfeld also „gebeugt”. Aus der geometrischen Optik ist uns die
Eikonal-Gleichung bekannt:
d
(ns0 ) = ∇n.
ds0
5
(3.118)
Bei dieser Aussage bezieht man sich auf eine globale Eigenschaft, etwa die Messung der Laufzeit
des Lichts bis zu einem anderen Planeten. Es ist wichtig, dass jeder Beobachter stets lokal die
Lichtgeschwindigkeit c misst!
92
3.7 Tests der Relativitätstheorie
Wobei s0 der Tangentialvektor an die Bahnkurve des Lichtes ist (Abb. 3.15). Bezeichnet
man α als den Krümmungswinkel und ∆ als den „Stoßparameter“ des Lichtes relativ zu
einem Streuer (eben ein Gravitationsfeld), so folgt nach kurzer Rechnung:
α=
2rS
.
∆
(3.119)
Für die Sonne ist ∆ = R = 7 · 105 km, rS = 3 km und daher
α ≈ 100 .75.
(3.120)
Es muss angemerkt werden, dass man auch in der Newtonschen Theorie eine Lichtablenkung berechnen kann. Dazu nimmt man Licht als massebehaftete Teilchen an, die sich
mit Lichtgeschwindigkeit bewegen.
Diese Rechnung ergibt genau den halben Wert der allgemein-relativistischen Vorhersage.
Sterne, die am Himmel der Sonne sehr nahe stehen, erscheinen aufgrund der Lichtablenkung etwas weiter von der Sonne entfernt, als ihre tatsächliche Position (Abb. 3.16).
Da diese Sterne aber normalerweise von der Sonne überstrahlt werden, ist dieser Effekt
nicht sichtbar. Wird während einer Sonnenfinsternis die Sonne verdeckt, so kann die
scheinbare Positionsveränderung dieser Sterne bestimmt werden.
Durch Messungen während der Sonnenfinsternis am 29 Mai 1919 konnte von A. Eddington die Lichtablenkung erstmals nachgewiesen werden und die Newtonsche Vorhersage
ausgeschlossen werden[8].6 Die Bekanntgabe dieser Resultate erfolgte am 6.11.1919 in
einer eigens dafür einberufenen Sitzung der Royal Astronomical Society in London und
machte Einstein auch außerhalb der Physik weltberühmt. So schrieb etwa die New York
Times am 9.11.1919:
“Lights all askew in the Heavens - Men of science more or less agog over results of
eclipse observations - Einstein Theory triumphs.”
Der Effekt der Lichtablenkung wird auch als Gravitationslinseneffekt bezeichnet,
da das massive Objekt, in diesem Fall die Sonne ähnlich wie eine Linse wirkt.
Lichtablenkung außerhalb des Sonnensystems
Mit den leistungsfähigsten Teleskopen ist es heutzutage möglich, diesen Effekt auch
außerhalb des Sonnensystems zu beobachten. Läuft etwa Licht einer weit entfernten Galaxie an einem sehr massiven Objekt, etwa einem Galaxiehaufen vorbei, bevor es die
Erde erreicht, so tritt hier wiederum eine Lichtablenkung auf.
6
Heutzutage gibt es Zweifel daran, ob mit Eddington’s Versuchsanordnung dieser Nachweis möglich
war.
93
3 Allgemeine Relativitätstheorie
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
Abbildung 3.16: Während einer Sonnenfinsternis erscheinen Sterne, die am
Himmel der Sonne nah sind, aufgrund der Lichtablenkung scheinbar weiter
entfernt von der Sonne (rot) als ihre tatsächliche Position ist (gelb).
Durch die viel größeren Massen kann die Lichtablenkung hier noch deutlich größer sein.
Licht, das vom selben Gebiet der beobachteten Galaxie in verschiedene Richtungen ausgesandt wurde, kann so abgelenkt werden, dass es bei uns aus verschiedenen Richtungen
ankommt. Das betrachtete Objekt erscheint uns dann ringförmig verzerrt. Man spricht
dann von einem Einstein-Ring.
Durch quantitative Messungen dieses Effektes kann dann wiederum Rückschluss auf
die Masse des ablenkenden Objektes gezogen werden. Durch Vergleich mit Berechnungen anhand der sichtbaren Masse in diesem Objekt zeigt sich, dass viel mehr Masse für
die beobachtete Lichtablenkung nötig ist, als sichtbar ist. Dies ist einer der aktuellen
Hinweise auf Dunkle Materie.
Visualisierung von Einstein-Ringen
Einstein-Ringe sind, wie viele andere Phänomene, die die ART voraussagt, nur schwer
vorstellbar. Man kann sich anhand von Skizzen zwar einigermaßen klarmachen, wie die
Ringstrukturen zustande kommen (Abb. 3.17), aber eine Vorstellung vom exakten Aussehen dieses Effektes kann dadurch nicht geliefert werden.
Mit Hilfe moderner Computer ist es möglich, Einstein-Ringe physikalisch korrekt zu simulieren. Am stärksten ausgeprägt ist dieser Effekt natürlich in der Nähe von Schwarzen
Löchern, denn dort sind relativistische Effekte am stärksten.
Durch die hohe Symmetrie der Schwarzschild-Metrik erscheint dort der Ring perfekt
kreisförmig. Abbildung 3.18 zeigt ein Bild der Milchstrasse im flachen Raum im Vergleich mit der selben Situation, wenn sich ein Schwarzes Loch zwischen der Milchstrasse
und dem Beobachter befindet.[10]
94
3.7 Tests der Relativitätstheorie
Objekt
Schwarzes Loch
Einstein-Ring
Beobachter
Lichtstrahl
Abbildung 3.17: Ein Schwarzes Loch lenkt Lichtstrahlen von dahinter befindlichen Objekten extrem ab. Aus Symmetriegründen erscheint das Objekt
dem Beobachter als Ring um das Schwarze Loch.[9]
(a)
(b)
Abbildung 3.18: Visualisierung von Einstein-Ringen. Abbildung a): Bild
der Milchstrasse im flachen Raum. Abbildung b): Bild der Milchstrasse mit
Schwarzem Loch im Vordergrund. Durch die starke Lichtablenkung erscheinen Teile der Milchstrasse als Einstein-Ring um den dunklen Bereich, aus
dem kein Licht den Beobachter erreicht.[9]
95
3 Allgemeine Relativitätstheorie
Abbildung 3.19: Laufzeitverzögerung des Lichts: Durch die Lichtablenkung durch die Sonne ist in Konstellation ¬ die Lichtlaufzeit größer als
durch die Newtonsche Theorie vorhergesagt. In Konstellation ­ ist die Abweichung der Lichtlaufzeit gering.
3.7.4 Laufzeitverzögerung
Aus der Krümmung der Bahn des Lichtes folgt, dass eine Zeitverzögerung für von den
Planeten Merkur und Venus reflektierten Radiowellen bei Konjunktion von Erde, Sonne
und jeweiligem Planet vorliegen muss, denn wegen des Gravitationseffektes läuft das
Signal nicht auf direktem Wege hin und her, sondern auf einer gekrümmten Bahn (Abb.
3.19). Wiederum kann auch im Rahmen der Newtonschen Theorie für ein sich mit Lichgeschwindigkeit bewegendes, massebehaftetes Teilchen eine Laufzeitverzögerung berechnet
werden.
Die Ergebnisse der Rechnungen lassen sich zusammenfassen zu
4r1 r2
rS
∆t = (1 + γ) ln
,
c
b2
(3.121)
mit den Distanzen r1 und r2 von Erde und jeweiligem Objekt und dem Stoßparameter
b. Die allgemein-relativistische Rechnung führt auf γ = 1, die Newtonsche auf γ = 0,
also wieder der halbe Effekt wie bei der Lichtablenkung.
Zusätzlich zur Laufzeitverzögerung tritt auch noch eine Dopplerverschiebung des Signals
auf:
d∆t
rS 1 db
∆ν
ygr =
=
= −2(1 + γ)
.
(3.122)
ν
dt
c b dt
Im Fall ¬ in Abbildung 3.19 ist die Laufzeit des Radarsignals wegen des Brechungsindexeffektes größer als nach der Newtonschen Theorie für die Venus. Es ergibt sich
etwa
∆t = 240µs bzw. ∆t · c = 36 km.
(3.123)
In einem Experiment 1968 konnte I.I. Shapiro[11] diese Laufzeitverzögerung bis auf 3%
bestätigen (d.h. Bestimmung des Abstandes Erde-Venus auf 1 km).
96
3.7 Tests der Relativitätstheorie
Neue Messung mit Hilfe der Cassini-Raumsonde
Mit Hilfe der Cassini-Raumsonde konnte 2002, als sich die Sonde in Sonnenkonjunktion
befand eine deutlich genauere Messung vorgenommen werden[12]. Die Messungen führten
auf
γ = 1 + (2,1 ± 2,3) × 10−5 .
(3.124)
Auf ihrem Weg zum Saturn befand sich die Sonde um den 6. und 7. Juli 2002 herum
in Konjunktion zur Sonne, d.h. von der Erde aus hinter dieser. Da im Gegensatz zur
Messung mit Hilfe der Venus in diesem Fall das Signal nicht einfach reflektiert, sondern
von der Sonde empfangen und analysiert und aktiv ein Signal zurückgeschickt werden
konnte, war es möglich in diesem Fall die Größe ygr sehr genau zu messen und eine viel
höhere Präzision zu erreichen.
3.7.5 Global Positioning System
Das Global Positioning System (GPS) ist kein Test der ART im eigentlichen Sinn. Da
aber für den Betrieb von GPS sowohl speziell- als allgemeinrelativistische Effekte sehr
wichtig sind, gehen wir hier kurz darauf ein. GPS besteht aus 24 Satelliten, die auf
6 Bahnen mit jeweils 4 Satelliten kreisen7 (Abb. 3.20). Die Satelliten befinden sich in
einer Höhe von etwa 20200 km über der Erdoberfläche und umkreisen die Erde zweimal
pro Tag. Aufgrund der wegen der großen Entfernung zur Erde schwächeren Gravitation
gehen die Uhren der Satelliten pro Tag etwa um 45 µs vor.
Wegen der Bahngeschwindigkeit von etwa 3 − 4 km/s allerdings gehen sie um etwa 7 µs
nach. In der Summe ergibt sich eine Zeitdifferenz von 38 µs. Da GPS die Positionen des
Nutzers über Lichtsignale bestimmt, würde dies auf einen Fehler von etwa
38 µs × 299792458 m/s = 11,4 km
(3.125)
pro Tag führen!
Daher ist es notwendig, dass bei GPS relativistische Effekte mitberücksichtigt werden.
3.7.6 Der Doppelpulsar 1913 + 16
Die Messungen am Doppelpulsarsystem 1913+16 können als das Prunkstück der ART
angesehen werden, da hier alle bedeutenden speziell- und allgemein-relativistischen Effekte gleichzeitig auftreten und sehr genau gemessen bzw. analysiert werden konnten[13,
14, 15].
7
Im realen Betrieb sind es u.a. aus Reservegründen etwas mehr Satelliten.
97
3 Allgemeine Relativitätstheorie
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
ϕ
ϑ
b
b
b
b
b
b
b
Abbildung 3.20: Global Positioning System: Auf 6 Bahnen laufen jeweils
4 Satelliten, insgesamt also 24 Stück. Alle Bahnen sind um ϑ = 55° gegen
den Äquator gekippt und gegeneinander um ϕ = 60° verdreht. Im Bild sind
wegen Positionsüberschneidungen nur 18 Satelliten gezeigt.
Beschreibung des Systems
Der Doppelpulsar 1913+16 wurde von R. A. Hulse und J. H. Taylor Jr. mit Hilfe des Arecibo Radioteleskops in Puerto Rico entdeckt. Für ihre Forschungen an 1923+16 erhielten
die beiden 1993 den Physik-Nobelpreis. Das System besteht aus zwei Neutronensternen
die sich auf nahezu elliptischen Bahnen umkreisen, wobei der Bahndurchmesser etwa
700000 km und die Umlaufzeit etwa 7,75 h beträgt. Einer der beiden Neutronensterne ist
ein Radiopulsar und so ausgerichtet, dass von der Erde aus Signale mit einer Periode von
etwa 60 ms empfangen werden können (Abb. 3.21). Eine umfassende Zusammenstellung
der wichtigsten Systemeigenschaften findet sich in Tabelle 3.1.
Durch sehr genaue und lange Analyse der Pulsfrequenz der Radiosignale war es möglich, die Einflüsse verschiedener relativistischer Effekte bei diesem System sehr genau zu
bestimmen und mit theoretischen Vorhersagen zu vergleichen.
Relativistische Effekte
Es ist klar, dass bei diesem System starke relativistische Effekte auftreten. Neutronensterne sind generell Objekte, bei denen relativistische Effekte bedeutsam sind, und in
diesem Fall umkreisen sich zwei Neutronensterne in sehr geringem Abstand.
Alle diese Effekte können aus der Analyse der Frequenz der Radiosignale bzw. der zeitlichen Änderung der Frequenz abgeleitet werden. Im Einzelnen konnten folgende Effekte
beobachtet werden:
98
3.7 Tests der Relativitätstheorie
b
b
③
TU
b
①
S
+
b
b
②TR
②
④
b
①
③
b
b
④
Richtung Erde
Abbildung 3.21: Das Doppelpulsarsystem 1913+16. Die beiden Neutronensterne umkreisen sich mit einer Periodendauer von TU = 7,75 h. Einer
der beiden Neutronensterne ist ein Radiopulsar, der so ausgerichtet ist, dass
Signale bei der Erde ankommen. Seine Rotationsperiode beträgt TR ≈ 60 ms.
Symbol
Wert
Projizierte große Halbachse
a⊥
702069 km
Rotationsperiode
ω
0,05903 s
Änderung der Periode
ω̇
Bahnexzentrizität
e
8,63 × 10−18 s · s−1
Bahnperiode
Pb
27906,98 s
Änderung der Bahnperiode
Relativistische
Periastrondrehung
Amplitude von Gravitationsrotverschiebung und quadratischem
Dopplereffekt
Ṗb
−2,40 × 10−12 s · s−1
ϕ̇
4◦ .2263 a−1
γ
4,38 ms
Massenfunktion
f (m1 ,m2 )
0,1322
Masse des Pulars
m1
Masse des Begleiters
m2
Bahnneigung
i
1,445M
1,384M
0,617
sin i = 0,72
Tabelle 3.1: Eigenschaften des Doppelpulsars 1913+16.
99
3 Allgemeine Relativitätstheorie
1. Speziell-relativistische Effekte
• Aufgrund des Dopplereffektes erhöht sich die Frequenz der Signale, wenn sich
die beiden Sterne im Periastron8 befinden (Situation ¬) und wird niedriger im
Apastron (Situation ®). Außerdem tritt auch der quadratische Dopplereffekt
auf, d.h. auch in Situation ­ kommt es aufgrund der Relativgeschindigkeit
des Pulsars zu einer Frequenzveränderung.
• Aufgrund der endlichen Lichgeschwindigkeit trift das Signal verfrüht bei der
Erde ein, wenn sich der Radiopulsar auf seiner Bahn am erdnächsten Punkt
befindet (Situation ­). Im Gegensatz dazu trifft das Signal verspätet ein,
wenn er sich am erdfernsten Punkt befindet. Entsprechend dem Bahndurchmesser von etwa 700000 km summiert sich dieser Effekt auf etwa 2 s.
2. Allgemein-relativistische Effekte
• In Konfiguration ¯ kommen die Signale aufgrund der Laufzeitverzögerung
später bei der Erde an, da sie das Gravitationsfeld des Begleiters durchlaufen
müssen.
• Es kommt zur relativistischen Periastrondrehung, wie wir sie für Merkur bereits besprochen haben. Allerdings sind hier die Effekte weitaus größer, da
dieser Effekt proportional zum Verhältnis Schwarzschild-Radius zu Bahnradius ist. Beim Merkur war der Bahnradius etwa 57,91 Millionen Kilometer,
d.h. etwa 80 mal größer als in diesem System. Deshalb wird hier eine Periastrondrehung von 4◦ .23 pro Jahr beobachtet, was einer Winkeländerung pro
Tag entspricht, wie sie bei Merkur in 100 Jahren beobachtet wird.
• In Konfiguration ¯ sind die Signale zusätzlich gravitationsrotverschoben. Dieser Effekt ist wiederum überlagert vom quadratischen Dopplereffekt. Insgesamt ergibt sich für die Amplitude der Frequenzveränderung
γ=
m2 Gm2 1
+
Pb · e,
2πac2
M
(3.126)
mit der Gesamtmasse M des Systems.
• Der Lense-Thirring-Effekt[16]: Bei der Herleitung der SchwarzschildMetrik wurde eine nichtrotierende Masse angenommen. Im Allgemeinen rotieren aber v.a. Neutronensterne sehr schnell und mit der Schwarzschild-Metrik
kann dieser Fall nur näherungsweise behandelt werden.9 Vereinfacht gesagt
führt die Rotation des einen Neutronensterns dazu, dass um ihn herum die
Raumzeit mitgerissen und verdreht wird, ähnlich wie eine zähe Flüssigkeit.
Dadurch ändert sich die Lage des anderen Neutronensternes geringfügig.
8
Der Punkt ihrer Bahn, an dem sich die beiden Sterne am nächsten sind. Da es sich nicht um Planeten
handelt spricht man hier nicht vom Perihel.
9
Die exakte Metrik für rotierende Massen ist die Kerr-Metrik
100
3.7 Tests der Relativitätstheorie
• Es konnte nachgewiesen werden, dass die beiden Sterne sich mit der Zeit nähern, d.h. das System verliert Energie. Bereits Einstein konnte zeigen, dass für
die Abnahme der Bahnperiode infolge von Energieverlust durch Abstrahlung
von Gravitationswellen näherungsweise gilt
7
73 2 37 4
−96 G3 m1 m2 M
2 −2
1
−
e
e
+
e
P
1
+
.
(3.127)
Ṗb =
b
5
a4 c 5
24
96
Ein Vergleich der Veränderung der Periodendauer mit theoretischen Berechnungen mit Hilfe dieser Gleichung zeigte eine hervorragende Übereinstimmung[17].
Dies war der erste indirekte Nachweis der Existenz von Gravitationswellen!
Aufgrund des Energieverlustes nähern sich die beiden Sterne pro Umlauf etwa 3,1 mm, bzw. 3,5 m pro Jahr und werden in etwa 300 Millionen Jahren
verschmelzen.
Anmerkung zur Massefunktion In diesem Abschnitt soll kurz die Bedeutung
der Massefunktion f (m1 , m2 ) erläutert werden. Das 3. Keplersche Gesetzt liefert
einen Zusammenhang zwischen großer Halbachse a und Umlauffrequenz für Körper
im Schwerefeld der Masse M :
GM = ω 2 a3 ,
für M m.
(3.128)
Falls die Massen der sich umkreisenden Körper aber vergleichbar große werden, so
muss mit der reduzierten Masse
µ=
m1 m2
m1 + m2
(3.129)
gerechnet werden. Ein weiteres Problem ergibt sich daraus, dass von der Erde aus
die große Halbachse nicht direkt bestimmt werden kann. Information liegt zunächst
nur über die auf die Himmelsebene projizierte Halbachse
a⊥ = a sin i
(3.130)
vor (Abb. 3.22). Einsetzen dieser Zusammenhänge führt auf
ω 2 (a sin i)3
(m2 sin i)3
=
:= f (m1 ,m2 ).
G
(m1 + m2 )2
(3.131)
Man erhält also aus den messbaren Größen a sin i und ω Information über das
Verhältnis der beiden Masse.
101
i
a
zur Erde
a⊥ = a sin i
3 Allgemeine Relativitätstheorie
Bahnebene
Abbildung 3.22: Bei der Beobachtung des Doppelpulsars von der Erde aus
ergibt sich nur Information über die projizierte Halbachse a⊥ .
Gravitationswellen
Die ART sagt voraus, dass beschleunigte Massen Gravitationswellen abstrahlen,
die sich mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten. Mathematisch bedeutet dies kleine,
sich räumlich und zeitlich periodisch ausbreitende Metrikschwankungen:
gµν = ηµν + hµν .
(3.132)
Einsetzen dieser Form der Metrik in die Einsteinschen Feldgleichungen und Berücksichtigung nur von Termen linear in h, führt nach geeigneter Eichung auf eine
Wellengleichung der Form
∆hµν −
1 ∂2
hµν = 0.
c2 c2 ∂t2
(3.133)
Allerdings sind diese Wellen keine Dipolwellen wie elektromagnetische Wellen, sondern haben Quadrupolcharakter. Dies liegt daran, dass es im Gegensatz zu elektrischen Ladungen keine negativen Massen gibt.
Gravitationswellen sollten durch scheinbare Längenänderungen von Objekten, wenn
eine Gravitationswelle darüberläuft, messbar sein. Allerdings sind die erwarteten
Abweichungen vom flachen Raum minimal, etwa im Bereich einer relativen Größe
von
h ∼ 10−20 . . . 10−24 .
(3.134)
Bisher ist deshalb der direkte Nachweis von Gravitationswellen nicht gelungen. Es
laufen aber weltweit mehrere Projekte zum Nachweis von Gravitationswellen. Eines davon ist GEO 600 in der Nähe von Hannover.[18]
Das Experiment besteht aus einem Interferometer mit zwei 600 m langen Armen.
102
3.7 Tests der Relativitätstheorie
600 m Armlänge
b
b
Spiegel
b
5 × 106 km
Armlänge
Erde
Laser
Messapparatur
(a)
(b)
Abbildung 3.23: Nachweis von Gravitationswellen. Abbildung a): GEO
600 besteht aus 2 nahezu senkrecht aufeinanderstehenden Interferometerarmen mit 600 m Länge. Abbildung b): Das Experiment LISA wird aus 3
Satelliten im gegenseitigen Abstand von 5 Millionen Kilometern bestehen,
die auf der Bahn der Erde um die Sonne kreisen.
Durchläuft eine Gravitationswelle den Aufbau, so sollte sie die beiden Arme unterschiedlich beeinflussen und durch Interferenzen nachweisbar sein. Ähnliche Experimente sind LIGO[19] (USA) mit 3 km langen Armen und weitere Anlagen in
Japan und Italien (Abb. 3.23).
In Planung ist außerdem das weltraumgestützte Experiment LISA[20]. Dieses wird
aus 3 Satelliten im gegenseitigen Abstand von 5 Millionen Kilometern bestehen die
auf der Umlaufbahn der Erde um die Sonne kreisen.
103
Literaturverzeichnis
[1] A. Weigert und H. J. Wendker. Astronomie und Astrophysik - Ein Grundkurs. VCH
Verlagsgesellschaft, vierte Auflage (2005).
[2] A. Hewish. Nobel Lecture: Pulsars and High Density Physics (1974).
[3] J. Trümper, W. Pietsch, C. Reppin und B. Sacco. Evidence for strong cyclotron
emission in the hard X-ray spectrum of Her X-1. Ann. N.Y. Ac. Sci. 302 (1977).
[4] W. Rindler. Relativity - Special, General and Cosmology. Oxford University Press,
zweite Auflage (2006).
[5] M. Nakahara. Geometry, Topology and Physics. Taylor & Francis, zweite Auflage
(2003).
[6] R.V. Pound und G.A. Rebka Jr. Apparent weight of photons. Phys. Rev. Lett. 4
(1960).
[7] R. V. Pound und J. L. Snider. Effect of Gravity on Gamma Radiation. Phys. Rev.
140 (1965).
[8] F. W. Dyson, A. S. Eddington und C. A. Davidson. A determination of the deflection
of light by the Sun’s gravitational field, from observations made at the total eclipse
of May 29, 1929. Phil. Trans. R. Soc. Lond. A 220, 291–333 (1920).
[9] F. Grave. The Gödel Universe − Physical Aspects and Egocentric Visualizations.
Doktorarbeit, Universität Stuttgart (2010).
[10] Weitere gute Beispiele für Visualisierungen in der ART finden sich unter
http://www.vis.uni-stuttgart.de/relativity/.
[11] I.I. Shapiro, G. H. Pettengrill, M.E. Ash, M.L. Stone, W. B. Smith, R. P. Ingalls
und R. A. Brockelman. Fourth test of general relativity: preliminary results. Phys.
Rev. Lett. 20, 1265–1269 (1968).
[12] B. Bertotti, L. Iess und P. Tortora. A test of general relativity using radio links
with the Cassini spacecraft. Nature 425 (2003).
[13] R. A. Hulse und J. H. Taylor Jr. Discovery of a pulsar in a binary system. The
Astrophysical Journal 195 (1975).
105
Literaturverzeichnis
[14] J. H. Taylor Jr. Binary Pulsars and relativistic gravity. Nobel Lecture (1993).
[15] R. A. Hulse. The discovery of the binary pulsar. Nobel Lecture (1993).
[16] J. Lense und H. Thirring. Über den Einfluss der Eigenrotation der Zentralkörper auf
die Bewegung der Planeten und Monde nach der Einsteinschen Gravitationstheorie.
Physikalische Zeitschrift 19 (1918).
[17] J. H. Taylor Jr. und J. M. Weisberg. Gravitational radiation from an orbiting
pulsar. General Relativity and Gravitation 13, 1–6 (1981).
[18] GEO600 Homepage. http://www.geo600.org/.
[19] LIGO Homepage http://www.ligo-la.caltech.edu/.
[20] LISA Homepage http://lisa.nasa.gov/index.html.
[21] H. Ruder und M. Ruder. Die Spezielle Relativitätstheorie. Vieweg-Studium (1993).
106
Index
Äquatorialsystem
bewegliches, 20
festes, 19
Astronomische Einheit, 1
Chandrasekhar
-Grenzmasse, 41
-Radius, 43
Chandrasekhar, S., 41
Christoffel-Symbole 2.Art, 76
Compton
-Wellenlänge, 36
Eddington, A., 29
Ehrenfest, P., 91
Eikonal-Gleichung, 92
Einstein, A., 5
Einstein-Ring, 94
Einsteinsche Feldgleichungen, 65
Euler-Lagrange-Gleichungen, 80
Fermi-Energie, 32
freies Elektronengas, 31
Geodäte, 65
Geodätengleichung, 80
Gravitationslinseneffekt, 93
Helligkeit
absolute, 3
der Sonne, 4
visuelle, 3
Hydrostatische Gleichgewicht, 25
Jeans-Kriterium, 22
Jeansmasse, kritische, 23
Kelvin-Helmholtz-Zeitskala, 28
kosmologische Konstante, 81
Lense-Thirring-Effekt, 100
Mößbauer, R., 87
Mößbauer-Spektroskopie, 87
Magnitudo, 2
Masse
schwere, 5
träge, 5
Massendichte, 10
Minkowski
-Koordinaten, 60
-Raum, 60
Minkowski-Metrik, 61
Nutation, 21
Paralleltransport, 75
parsec, 3
Poisson-Gleichung, 11
Präzession, 21
Protostern, 25
Rektaszension, 20
Riemann-Tensor, 77
Ruheenergiedichte, 28
Schwarzes Loch, 49
Schwarzschild, K., 6
Schwarzschild-Metrik, 82
Schwarzschildmetrik
isotrope, 91
Solarkonstante, 1
Sommerfeld
Feinstrukturkonstante, 41
Sommerfeld, A., 41
Sonnenleuchtkraft, 1
Tensor
kontravariant, 74
kovariant, 74
Tensorverjüngung, 74
Trägheitsprinzip, 60
107
Index
Wheeler, J. A., 81
Zyklotronfrequenz, 57
108