Vorlesungsskript - walser-h-m.ch

Hans Walser
Raumgeometrie
Modul 3
Rissebenen. Punkt und Gerade
Hans Walser: Modul 3, Rissebenen. Punkt und Gerade
Modul 3 für die Lehrveranstaltung Raumgeometrie
Sommer 2000 Erstausgabe
Sommer 2002 Ergänzungen und Fehlerkorrekturen
Sommer 2004 Ergänzungen
Sommer 2005 Straffung. Kleine Ergänzungen
Sommer 2006 Grafische Überarbeitung. Geändertes Layout. Revision Formel-Editor
Sommer 2007 Geändertes Layout. MathType
Frühjahr 2008 Grafische Überarbeitung. Erweiterung
Frühjahr 2009 Kleine Erweiterung
Frühjahr 2010 Änderungen und Erweiterung
last modified: 10. Mai 2014
Hans Walser
Mathematisches Institut, Uni Basel
www.walser-h-m.ch/hans
ii
Hans Walser: Modul 3, Rissebenen. Punkt und Gerade
iii
Inhalt
1 Rissebenen .................................................................................................................. 1 1.1 Ein Punkt in den drei Rissebenen ........................................................................ 1 1.2 Exkurs: Vierdimensionale darstellende Geometrie ............................................. 1 1.3 Denksport ............................................................................................................ 3 2 Darstellung der Geraden ............................................................................................. 4 2.1 Ansicht ................................................................................................................ 4 2.2 Spurpunkte einer Geraden ................................................................................... 5 2.3 Hauptgeraden ...................................................................................................... 6 2.3.1 Hauptgerade und rechter Winkel ............................................................... 7 2.4 Projizierende Geraden ......................................................................................... 8 2.5 Seitenrisse von Geraden ...................................................................................... 9 3 Längenbestimmung .................................................................................................. 10 3.1 Das Stützdreieck ................................................................................................ 10 3.2 Wahre Länge: Umlegen des Stützdreieckes ...................................................... 11 3.3 Wahre Länge: Drehen des Stützdreieckes ......................................................... 12 3.4 Turm mit Rhombendach.................................................................................... 13 3.4.1 Erster Lösungsweg................................................................................... 14 3.4.2 Zweiter Lösungsweg ................................................................................ 15 3.5 Wahre Länge in der vierdimensionalen darstellenden Geometrie .................... 16 3.5.1 Erster Lösungsweg................................................................................... 16 3.5.2 Zweiter Lösungsweg ................................................................................ 16 3.6 Strecke abtragen: Umlegen des Stützdreieckes ................................................. 17 3.7 Strecke abtragen: Drehen des Stützdreieckes .................................................... 18 4 Gaspard MONGE........................................................................................................ 19 5 Zusammenfassung .................................................................................................... 20 5.1 Drei Rissebenen................................................................................................. 20 5.2 Spezielle Geraden .............................................................................................. 20 5.2.1 Hauptgeraden ........................................................................................... 20 5.2.2 Projizierende Geraden ............................................................................. 20 5.3 Wahre Länge ..................................................................................................... 20 Hans Walser: Modul 3, Rissebenen. Punkt und Gerade
1
1 Rissebenen
1.1 Ein Punkt in den drei Rissebenen
z"'
Seitenriss
z"
Aufriss
2
3
1
x"'
y"
1
1
y'
1
Grundriss
x'
1
Die drei Rissebenen
1.2 Exkurs: Vierdimensionale darstellende Geometrie
a) Die dreidimensionale darstellende Geometrie in einem x,y,z-Koordinatensystem führt
zu drei zweidimensionalen Rissebenen: Grundrissebene (x,y-Ebene), Aufrissebene
(y,z-Ebene) und Seitenrissebene (x,z-Ebene). Wieviel zweidimensionale Rissebenen
gibt es in der vierdimensionalen Geometrie, die auf einem w,x,y,zKoordinatensystem beruht?
Hans Walser: Modul 3, Rissebenen. Punkt und Gerade
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b) In der vierdimensionalen darstellenden Geometrie ist der Punkt A in zwei Rissen
gegeben. Beschriften Sie die übrigen möglichen Rissebenen und zeichnen Sie darin
den Punkt A.
z"
x'
A'
A"
1
1
1
1
w'
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
4D-Rissebenen. Wie viele braucht es?
y"
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1.3 Denksport
Gesucht ist ein passender Seitenriss.
z'''
Seitenriss
z"
Aufriss
1
x'''
y"
1
1
y'
1
Grundriss
x'
Seitenriss?
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2 Darstellung der Geraden
2.1 Ansicht
z
A"
g"
A
B"
g
B
y
x
A'
B'
g'
Gerade
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2.2 Spurpunkte einer Geraden
Unter den Spurpunkten einer Geraden g verstehen wir die Schnittpunkte von g mit den
drei Rissebenen Π1 , Π 2 und Π 3 .
Wie finden wir die drei Spurpunkte S1, S2 und S3 der Geraden g?
z''',z"
g"
y', y"
x'''
g'
x'
Spurpunkte?
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2.3 Hauptgeraden
Hauptgeraden liegen parallel zu den Rissebenen.
z"'
Seitenriss
z"
Aufriss
2
3
1
x"'
y"
1
1
y'
1
Grundriss
x'
Hauptgeraden
1
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2.3.1 Hauptgerade und rechter Winkel
z
No
rm
ale
be
g
ne
h1
g'
y
h1'
x
Hauptgerade und rechter Winkel
Im Raum: h1 erste Hauptgerade, g⊥h1
⇒
Im Grundriss: g′⊥h1′
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2.4 Projizierende Geraden
Projizierende Geraden stehen senkrecht auf den Rissebenen.
z"'
Seitenriss
z"
Aufriss
2
3
1
x"'
y"
1
1
y'
1
Grundriss
x'
1
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2.5 Seitenrisse von Geraden
Gesucht ist jeweils der Seitenriss der Geraden g.
a)
z"' = z"
z"' = z"
g"
x"'
g"
b)
y' = y"
x"'
y' = y"
g'
g'
x'
x'
z"' = z"
z"' = z"
g"
d)
g"
c)
A"
A"
B"
x"'
y' = y"
x"'
y' = y"
B'
A'
g'
A'
g'
x'
x'
z"' = z"
z"' = z"
g"
C"
A"
e)
g"
C"
A"
f)
B"
x"'
B"
y' = y"
x"'
y' = y"
B'
C'
B'
A'
g'
A'
g'
x'
x'
Seitenrisse?
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3 Längenbestimmung
3.1 Das Stützdreieck
z
A
B
y
x
B'
A'
Das Stützdreieck
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3.2 Wahre Länge: Umlegen des Stützdreieckes
Gesucht ist die wahre Länge der Strecke AB.
g"
B"
A"
g'
Wahre Länge?
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3.3 Wahre Länge: Drehen des Stützdreieckes
Gesucht ist die wahre Länge der Strecke AB.
g"
B"
A"
g'
Wahre Länge?
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3.4 Turm mit Rhombendach
Bei romanischen Kirchen finden wir oft Turmdächer mit einer um 45° verdrehten Pyramide. Die Dachflächen bestehen dann aus vier Rhomben.
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3.4.1 Erster Lösungsweg
Form der Dachrhomben?
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3.4.2 Zweiter Lösungsweg
Form der Dachrhomben – anderer Lösungsweg?
15
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3.5 Wahre Länge in der vierdimensionalen darstellenden Geometrie
Gesucht ist die wahre Länge der Strecke AB.
3.5.1 Erster Lösungsweg
z"
x'
A'
B"
A"
1
1
B'
y"
w'
1
1
3.5.2 Zweiter Lösungsweg
z"
x'
A'
B"
A"
1
1
B'
y"
w'
1
1
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3.6 Strecke abtragen: Umlegen des Stützdreieckes
Welche Punkte der Geraden g sind 4 cm von A entfernt?
A"
g"
A'
g'
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3.7 Strecke abtragen: Drehen des Stützdreieckes
Welche Punkte der Geraden g sind 4 cm von A entfernt?
A"
g"
A'
g'
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4 Gaspard MONGE
Das Zweitafelverfahren wurde von Gaspard MONGE (1746 - 1818) entwickelt.
Gaspard MONGE wurde am 9. Mai 1746 in Beaune, Burgund, geboren und starb am 28.
Juli 1818 in Paris. MONGE unterrichtete an der Ecole Royale de Génie in Mézières. Sein
Plan einer Festung, 1763 mit Hilfe der Methoden der Darstellenden Geometrie gezeichnet, beeindruckte seine Vorgesetzten derart, dass er 1768 zum Professor befördert wurde. Er zog 1780 nach Paris und wurde 1794 an die Ecole Normale berufen. Im folgenden Jahr wurde er Direktor der Ecole Polytechnique. 1816 wurde er aber aus der Académie Française ausgeschlossen; sein Sitz wurde an Cauchy vergeben. Er erholte sich
nicht mehr von diesem Schock und starb kurz darauf.
Seine Géométrie descriptive (1799) ergab sich aus einen Vorlesungen an der Ecole Polytechnique. Er führte die Methode mit zwei zueinander rechtwinklig stehenden Rissebenen ein.
MONGE arbeitete auch in der Kommission, die sich mit der Einführung des metrischen
Systems beschäftigte. Er begleitete Napoleon nach Ägypten, um dort das Erziehungswesen zu fördern.
Er gilt als der Vater der Differentialgeometrie aufgrund seines Werkes Application de
l'analyse à la géométrie, worin er die Krümmungslinien einer Fläche im Raum einführte.
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5 Zusammenfassung
5.1 Drei Rissebenen
Grundriss in Π1 . Aufriss Π2 . Seitenriss Π 3
Ordnungslinien
5.2 Spezielle Geraden
Spezielle Lage gegenüber Koordinatensystem
5.2.1 Hauptgeraden
Parallel zu Rissebenen.
Erste Hauptgerade parallel zu Π1 . Zweite Hauptgerade parallel zu Π2 . Dritte Hauptgerade Π 3 .
Wahre Länge sichtbar.
5.2.2 Projizierende Geraden
Senkrecht zu Rissebenen.
Erstprojizierende Gerade senkrecht zu Π1 . Zweitprojizierende Gerade senkrecht zu
Π2 . Drittprojizierende Gerade senkrecht zu Π 3 .
5.3 Wahre Länge
Umlegen des Stützdreieckes.
Drehen des Stützdreieckes.
Hans Walser: Modul 3, Rissebenen. Punkt und Gerade
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Anhang
y
y
y
y
x
Etage 0
x
Etage 1
x
Etage 2
x
Etage 3
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z
z
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y
Front 0
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Front 1
z
Front 2
z
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Front 3
z
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Seite 0
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Seite 1
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Seite 2
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Seite 3
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Etage 0
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Etage 1
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Etage 2
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Etage 3
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