Blatt 9 - Technische Universität München
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Lehrstuhl für Technische Elektrophysik Technische Universität München Tutorübungen zu "Elektromagnetische Feldtheorie II" (Prof. Wachutka) SS09 Blatt 9 Aufgabe: Ebene Wellen In einem isotropen, homogenen Medium der Permittivität ε und der Permeabilität µ ist ein elektromagnetisches Feld mit der elektrischen Feldstärke ~ r , t) = E0,x cos(~k · ~r − ωt)~ex + E0,y sin(~k · ~r − ωt)~ey E(~ und der magnetischen Induktion ~ r , t) = −B0,x sin(~k · ~r − ωt)~ex + B0,y cos(~k · ~r − ωt)~ey B(~ √ gegeben. Der reelle Wellenvektor ~k und die Kreisfrequenz ω = |~k|/ εµ sind ebenso wie die positiven reellen Amplituden E0,x , E0,y , B0,x und B0,y räumlich und zeitlich konstant. a) Geben Sie die Maxwellschen Gleichungen so an, daß als elektromagnetische Feld~ r, t) und die magnetische Induktion größen nur noch die elektrische Feldstärke E(~ ~ r , t) auftreten. B(~ b) Wie muß der Wellenvektor ~k orientiert sein und welche Bedingungen müssen die Amplituden E0,x , E0,y , B0,x und B0,y erfüllen, damit das gegebene elektromagnetische Feld die homogenen Maxwellschen Gleichungen löst? Die ermittelte Orientierung des Wellenvektors ~k sowie die erhaltenen Bedingungen für die Amplituden E0,x , E0,y , B0,x und B0,y gelten auch in den folgenden Teilaufgaben. c) Zeigen Sie anhand der inhomogenen Maxwellschen Gleichungen, daß für das gegebene elektromagnetische Feld die Ladungsdichte ρ(~r, t) und die Stromdichte ~j(~r, t) im Medium gleich Null sind. ~ r , t) und die d) Wie lauten die homogenen Wellengleichungen für das elektrische Feld E(~ ~ r , t)? Löst das gegebene elektromagnetische Feld diese? magnetische Induktion B(~ ~ r , t) sowie der mae) Geben Sie den zeitlichen Verlauf der elektrischen Feldstärke E(~ ~ gnetischen Induktion B(~r, t) in der durch z = 0 definierten Ebene an und skizzieren Sie diesen für E0,x = 2E0,y . Zeichnen Sie in die Skizze zusätzlich die Vektoren des ~ r, t) und der magnetischen Induktion B(~ ~ r , t) zum Zeitpunkt elektrischen Feldes E(~ t = π/4ω ein. f) Wie müssen die Amplituden E0,x und E0,y gewählt werden, um eine linear polarisierte bzw. eine zirkular polarisierte elektromagnetische Welle zu erhalten? Ist die zirkular polarisierte elektromagnetische Welle links- oder rechts-zirkular polarisiert? g) Bestimmen Sie die Amplituden E1 und E2 der beiden entgegengesetzt zirkular polarisierten elektromagnetischen Wellen ~ 1 (~r, t) = E1 cos(~k · ~r − ωt)~ex + E1 sin(~k · ~r − ωt)~ey und E ~ 2 (~r, t) = E2 cos(~k · ~r − ωt)~ex − E2 sin(~k · ~r − ωt)~ey E so, daß sich durch ihre Superposition die oben gegebene elliptisch polarisierte elektromagnetische Welle ergibt. h) Berechnen Sie die elektromagnetische Energiedichte welmg (~r, t), dessen zeitlichen ~ r, t) für die Mittelwert w elmg (~r) und die elektromagnetische Leistungsflußdichte S(~ oben gegebene elektromagnetische Welle. Für welche Polarisierung ist die elektromagnetische Energiedichte welmg (~r, t) konstant? i) Verifizieren Sie den Energieerhaltungssatz für die oben gegebene elektromagnetische Welle. Lösung: a) Die Maxwellschen Gleichungen lauten: ~ r , t) = − ∂ B(~ ~ r , t) rotE(~ ∂t ~ r , t) + ~j(~r, t) ~ r , t) = ∂ D(~ rotH(~ ∂t ~ r , t) = ρ(~r, t) divD(~ ~ r , t) = 0 divB(~ Da das Medium isotrop und homogen ist, die Permittivität ε und die Permeabilität µ also skalar und ortsunabhängig sind, ergeben sich zwei der Materialgleichungen ~ r , t) = εE(~ ~ r, t) und B(~ ~ r, t) = µH(~ ~ r, t) und damit folgt: zu D(~ ~ r, t) = − ∂ B(~ ~ r, t) rotE(~ ∂t 1 ~ r, t) + ~j(~r, t) ~ r, t) = ε ∂ E(~ rotB(~ µ ∂t ~ r, t) = ρ(~r, t) εdivE(~ ~ r, t) = 0 divB(~ b) Als erstes folgenden Induktion ~ r, t) = 0 werden die aus der homogenen Maxwellschen Gleichung divB(~ Bedingungen ermittelt. Dazu wird in diese die gegebene magnetischen ~ r , t) eingesetzt und die Divergenz ausgeführt: B(~ −B0,x sin(~k · ~r − ωt) div B0,y cos(~k · ~r − ωt) = 0 0 −kx B0,x cos(~k · ~r − ωt) − ky B0,y sin(~k · ~r − ωt) = 0 Da diese Gleichung an jedem Ort zu jeder Zeit, also für beliebige Werte von ~k ·~r −ωt, erfüllt sein muß und im Allgemeinen auch B0,x 6= 0 sowie B0,y 6= 0 gelten, müssen die x- und y-Komponente des Wellevektors ~k gleich Null sein. Es gilt also kx = 0 sowie ky = 0 und damit für den Wellenvektor ~k = kz~ez . Die Orientierung des Wellenvektors ~k ist damit allerdings noch nicht festgelegt, da kz sowohl positiv als auch negativ sein kann. Als nächstes werden, unter Berücksichtigung der bereits erhaltenen Voraussetzung ~k = kz~ez , die aus der zweiten homogenen Maxwellschen Gleichung rotE(~ ~ r , t) = ~ r , t) zusätzlich folgenden Bedingungen ermittelt. Die gegebene elektrische −(∂/∂t)B(~ ~ r, t) und die gegebene magnetischen Induktion B(~ ~ r , t) werden dazu mit Feldstärke E(~ dem Wellenvektor ~k = kz~ez in diese Maxwellsche Gleichung eingesetzt und es werden die Rotation sowie die zeitliche Ableitung ausgeführt. −B0,x sin(kz z − ωt) E0,x cos(kz z − ωt) ∂ rot E0,y sin(kz z − ωt) = − B0,y cos(kz z − ωt) ∂t 0 0 −kz E0,y cos(kz z − ωt) −ωB0,x cos(kz z − ωt) −kz E0,x sin(kz z − ωt) = −ωB0,y sin(kz z − ωt) 0 0 Die x-Komponente der Gleichung ist erfüllt, wenn die Bedingung B0,x = (kz /ω)E0,y gilt. Da die Kreisfrequenz ω sowie die Amplituden E0,y und B0,x positiv sind, folgt aus dieser Bedingung, daß die z-Komponente des Wellenvektors kz positiv und der √ Wellenvektor ~k somit in Richtung ~ez orientiert ist. Mit kz = |~k| = εµω folgt für die Bedingung zwischen den Amplituden B0,x und E0,y : B0,x = √ εµE0,y Analog ergibt sich aus der y-Komponente der Gleichung die Bedingung B0,y = √ εµE0,x zwischen den Amplituden B0,y und E0,x . c) Zunächst wird ρ(~r, t) = 0 mit Hilfe der inhomogenen Maxwellschen Gleichung ~ r, t) = ρ(~r, t) gezeigt, indem die gegebene elektrische Feldstärke E(~ ~ r, t) mit εdivE(~ ~ dem Wellenvektor k = kz~ez eingesetzt wird: E0,x cos(kz z − ωt) εdiv E0,y sin(kz z − ωt) = 0 = ρ(~r, t) 0 Daß die Stromdichte ~j(~r, t) im Medium gleich Null ist, wird als Nächstes mit der ~ r , t) = ε(∂/∂t)E(~ ~ r, t) + zweiten inhomogenen Maxwellsche Gleichung (1/µ)rotB(~ ~ r , t) und ~j(~r, t) gezeigt. Dazu werden in diese die gegebene elektrische Feldstärke E(~ ~ r, t) mit dem Wellenvektor ~k = kz~ez eingedie gegebene magnetischen Induktion B(~ setzt: E0,x cos(kz z − ωt) jx −B0,x sin(kz z − ωt) ∂ 1 rot B0,y cos(kz z − ωt) = ε E0,y sin(kz z − ωt) + jy µ ∂t 0 jz 0 1 k B sin(kz z − ωt) εωE0,x sin(kz z − ωt) jx µ z 0,y 1 − k B cos(k z − ωt) = −εωE0,y cos(kz z − ωt) + jy z 0,x z µ 0 jz 0 √ Mit der Beziehung kz = |~k| = εµω zwischen der z-Komponente des Wellenvektors √ kz und der Kreisfrequenz ω sowie den beiden Bedingungen B0,x = εµE0,y und √ B0,y = εµE0,x läßt sich die Gleichung weiter vereinfachen: 1√ √ εµω εµE0,x sin(kz z − ωt) µ 1√ √ − εµω εµE0,y cos(kz z − ωt) µ 0 jx jy jz εωE0,x sin(kz z − ωt) jx = −εωE0,y cos(kz z − ωt) + jy 0 jz 0 = 0 0 ~ r , t) und die magnetid) Die homogenen Wellengleichungen für das elektrische Feld E(~ ~ r , t) lauten: schen Induktion B(~ ∂2 ~ ~ r , t) = ~0 E(~r, t) − ∆E(~ ∂t2 ∂2 ~ ~ r , t) = ~0 r , t) − ∆B(~ εµ 2 B(~ ∂t εµ Da das gegebene elektromagnetische Feld eine Lösung der Maxwellschen Gleichun~ r , t) gen ist, löst es auch die homogenen Wellengleichungen für das elektrische Feld E(~ ~ r, t). und die magnetischen Induktion B(~ √ √ e) Mit den beiden Bedingungen B0,x = εµE0,y und B0,y = εµE0,x ergeben sich ~ = 0, t) = E0,x cos(ωt)~ex − E0,y sin(ωt)~ey und E(z ~ = 0, t) = √εµE0,y sin(ωt)~ex + √εµE0,x cos(ωt)~ey B(z ~ r , t) und die magnetischen Induktion B(~ ~ r, t) in der durch für das elektrische Feld E(~ z = 0 definierten Ebene. y 1 E0, x 2 B( z = 0, t ) E0,x x z E ( z = 0, t ) f) Bei einer linear polarisierten elektromagnetischen Welle gibt es genau eine wohldefinierte Richtung ~e senkrecht zum Wellenvektor ~k in der die elektrische Feldstärke ~ r , t) schwingt. In dieser Aufgabe erhält man eine linear polariesierte elektromaE(~ gnetische Welle für • E0,x 6= 0 und E0,y = 0 oder • E0,x = 0 und E0,y 6= 0. Bei einer zirkular polarisierten elektromagnetischen Welle schwingt die elektrische ~ r, t) in zwei zueinander senkrechten Richtungen ~e1 und ~e2 welche wieFeldstärke E(~ derum senkrecht zum Wellenvektor ~k stehen mit gleicher Amplitude und einer Phasenverschiebung von ±π/2. In dieser Aufgabe erhält man für E0,x = E0,y eine, nach der Definition in der Vorlesung, links-zirkular polarisierte elektromagnetische Welle, da sich die elektrische Feldstärke gegen den Uhrzeigersinn dreht wenn man in Richtung der Wellenausbreitung schaut. Wann eine elektromagnetische Welle links- und wann sie rechts-zirkular polarisiert ist, ist nicht einheitlich definiert. Nach dem Lehrbuch von Jackson beispielsweise wäre die elektromagnetische Welle rechts-zirkular polarisiert. ~ 1 (~r, t) und E ~ 2 (~r, t) beider entgegengeg) Die Summe der elektrischen Feldstärken E setzt zirkular polarisierten elektromagnetischen Wellen muß gleich der elektrischen ~ r , t) der gegebenen elektromagnetischen Welle sein: Feldstärke E(~ ~ r, t) = E ~ 1 (~r, t) + E ~ 2 (~r, t) E(~ E0,x cos(~k · ~r − ωt) E1 cos(~k · ~r − ωt) E2 cos(~k · ~r − ωt) E0,y sin(~k · ~r − ωt) = E1 sin(~k · ~r − ωt) + −E2 sin(~k · ~r − ωt) 0 0 0 E0,x cos(~k · ~r − ωt) (E1 + E2 ) cos(~k · ~r − ωt) E0,y sin(~k · ~r − ωt) = (E1 − E2 ) sin(~k · ~r − ωt) 0 0 Damit die Gleichung für beliebige Werte von ~k · ~r − ωt gilt, müssen die beiden Gleichungen E0,x = E1 + E2 (folgt aus der x-Komponente) und E0,y = E1 −E2 (folgt aus der y-Komponente) erfüllt sein. Eliminert man aus diesen beiden Gleichungen die Amplituden E2 bzw. E1 erhält man die gesuchten Amplituden der elektrischen Feldstärke E1 und E2 beider zirkular polarisierten Wellen. 1 (E0,x + E0,y ) 2 1 (E0,x − E0,y ) = 2 E1 = E2 h) Als erstes wird die elektromagnetische Energiedichte welmg (~r, t) berechnet, wobei auch die Orientierung des Wellenvektors ~k = kz~ez berücksichtigt wird. ~ 2 (~r, t) = εE 2 cos2 (kz z − ωt) + εE 2 sin2 (kz z − ωt) welmg (~r, t) = εE 0,x 0,y Mittelt man dieses Ergebnis zeitlich über eine Schwingungsperiode T = 2π/ω, erhält man den zeitlichen Mittelwert der elektromagnetischen Energiedichte welmg (~r, t). Z 2π/ω ω welmg (~r, t)dt w elmg (~r, t) = 2π 0 Z 2π/ω Z 2π/ω ω ω 2 2 2 εE cos (kz z − ωt)dt + εE0,y sin2 (kz z − ωt)dt = 2π 0,x 0 2π 0 Substitution in beiden Integralen: u = kz z − ωt Z kz z−2π Z kz z−2π ω −du −du ω 2 2 2 εE0,x + εE0,y cos (u) sin2 (u) = 2π ω 2π ω kz z kz z kz z−2π kz z−2π ε 2 1 ε 2 1 1 1 = − E0,x u − sin(2u) − E u + sin(2u) 2π 2 4 2π 0,y 2 4 kz z kz z 1 1 2 1 2 1 εE0,x (−2π) − εE0,y (−2π) 2π 2 2π 2 ε 2 2 E0,x + E0,y = 2 = − √ Durch Multiplikation mit der Phasengeschwindigkeit c = ω/|~k| = 1/ εµ und der Ausbreitungsrichtung ~n = ~k/|~k| = ~ez der gegebenen elektromagnetischen Welle erhält man aus der elektromagnetische Energiedichte welmg (~r, t) auch die elektroma~ r , t). gnetische Leistungsflußdichte S(~ r ~ r, t) = cwelmg (~r, t)~n = ε E 2 cos2 (kz z − ωt) + E 2 sin2 (kz z − ωt) ~ez S(~ 0,x 0,y µ Um zu Bestimmen für welche Polariesierung die elektromagnetische Energiedichte welmg (~r, t) konstant ist, wird das für sie erhalten Resultat umgeformt. 2 2 welmg (~r, t) = εE0,x cos2 (kz z − ωt) + εE0,y sin2 (kz z − ωt) 2 2 = εE0,x cos2 (kz z − ωt) + εE0,x sin2 (kz z − ωt) 2 2 2 +ε −E0,x + E0,y sin (kz z − ωt) 2 2 2 2 = εE0,x + ε −E0,x + E0,y sin (kz z − ωt) 2 2 Für −E0,x + E0,y = 0 bzw. E0,x = E0,y verschwindet der Sinus-Term, womit die elektromagnetische Energiedichte welmg (~r, t) konstant ist. Die Bedingung E0,x = E0,y ist bei zirkularer Polarisation erfüllt. ~ r, t) + (∂/∂t)welmg (~r, t) = 0 wird durch Einsetzen i) Der Energieerhaltungssatz divS(~ der Resultate für die elektromagnetische Energiedichte welmg (~r, t) und die elektro~ r , t) verifiziert. magnetische Leistungsflußdichte S(~ ~ r , t) + ∂ welmg (~r, t) divS(~ ∂t r ε 2 2 2 2 = div E cos (kz z − ωt) + E0,y sin (kz z − ωt) ~ez µ 0,x ∂ 2 2 + εE0,x cos2 (kz z − ωt) + εE0,y sin2 (kz z − ωt) ∂t r ε 2 E 2 cos(kz z − ωt)(−1) sin(kz z − ωt)kz = µ 0,x r ε 2 + E 2 sin(kz z − ωt) cos(kz z − ωt)kz µ 0,y 2 +εE0,x 2 cos(kz z − ωt)(−1) sin(kz z − ωt)(−ω) 2 +εE0,y 2 sin(kz z − ωt) cos(kz z − ωt)(−ω) r ε 2 = 2 − kz + εω E0,x cos(kz z − ωt) sin(kz z − ωt) µ r ε 2 kz + εω E0,y cos(kz z − ωt) sin(kz z − ωt) −2 − µ = 0 √ Im letzten Schritt wurde die Beziehung kz = |~k| = εµω ausgenutzt, womit der Ausdruck in den runden Klammern Null wird. r r ε ε√ kz + εω = − εµω + εω = 0 − µ µ
