Blatt 9 - Technische Universität München

Lehrstuhl für Technische Elektrophysik
Technische Universität München
Tutorübungen zu "Elektromagnetische Feldtheorie II" (Prof. Wachutka)
SS09 Blatt 9
Aufgabe: Ebene Wellen
In einem isotropen, homogenen Medium der Permittivität ε und der Permeabilität µ ist
ein elektromagnetisches Feld mit der elektrischen Feldstärke
~ r , t) = E0,x cos(~k · ~r − ωt)~ex + E0,y sin(~k · ~r − ωt)~ey
E(~
und der magnetischen Induktion
~ r , t) = −B0,x sin(~k · ~r − ωt)~ex + B0,y cos(~k · ~r − ωt)~ey
B(~
√
gegeben. Der reelle Wellenvektor ~k und die Kreisfrequenz ω = |~k|/ εµ sind ebenso wie
die positiven reellen Amplituden E0,x , E0,y , B0,x und B0,y räumlich und zeitlich konstant.
a) Geben Sie die Maxwellschen Gleichungen so an, daß als elektromagnetische Feld~ r, t) und die magnetische Induktion
größen nur noch die elektrische Feldstärke E(~
~ r , t) auftreten.
B(~
b) Wie muß der Wellenvektor ~k orientiert sein und welche Bedingungen müssen die Amplituden E0,x , E0,y , B0,x und B0,y erfüllen, damit das gegebene elektromagnetische
Feld die homogenen Maxwellschen Gleichungen löst?
Die ermittelte Orientierung des Wellenvektors ~k sowie die erhaltenen Bedingungen für die
Amplituden E0,x , E0,y , B0,x und B0,y gelten auch in den folgenden Teilaufgaben.
c) Zeigen Sie anhand der inhomogenen Maxwellschen Gleichungen, daß für das gegebene elektromagnetische Feld die Ladungsdichte ρ(~r, t) und die Stromdichte ~j(~r, t)
im Medium gleich Null sind.
~ r , t) und die
d) Wie lauten die homogenen Wellengleichungen für das elektrische Feld E(~
~ r , t)? Löst das gegebene elektromagnetische Feld diese?
magnetische Induktion B(~
~ r , t) sowie der mae) Geben Sie den zeitlichen Verlauf der elektrischen Feldstärke E(~
~
gnetischen Induktion B(~r, t) in der durch z = 0 definierten Ebene an und skizzieren
Sie diesen für E0,x = 2E0,y . Zeichnen Sie in die Skizze zusätzlich die Vektoren des
~ r, t) und der magnetischen Induktion B(~
~ r , t) zum Zeitpunkt
elektrischen Feldes E(~
t = π/4ω ein.
f) Wie müssen die Amplituden E0,x und E0,y gewählt werden, um eine linear polarisierte bzw. eine zirkular polarisierte elektromagnetische Welle zu erhalten? Ist die
zirkular polarisierte elektromagnetische Welle links- oder rechts-zirkular polarisiert?
g) Bestimmen Sie die Amplituden E1 und E2 der beiden entgegengesetzt zirkular polarisierten elektromagnetischen Wellen
~ 1 (~r, t) = E1 cos(~k · ~r − ωt)~ex + E1 sin(~k · ~r − ωt)~ey und
E
~ 2 (~r, t) = E2 cos(~k · ~r − ωt)~ex − E2 sin(~k · ~r − ωt)~ey
E
so, daß sich durch ihre Superposition die oben gegebene elliptisch polarisierte elektromagnetische Welle ergibt.
h) Berechnen Sie die elektromagnetische Energiedichte welmg (~r, t), dessen zeitlichen
~ r, t) für die
Mittelwert w elmg (~r) und die elektromagnetische Leistungsflußdichte S(~
oben gegebene elektromagnetische Welle. Für welche Polarisierung ist die elektromagnetische Energiedichte welmg (~r, t) konstant?
i) Verifizieren Sie den Energieerhaltungssatz für die oben gegebene elektromagnetische
Welle.
Lösung:
a) Die Maxwellschen Gleichungen lauten:
~ r , t) = − ∂ B(~
~ r , t)
rotE(~
∂t
~ r , t) + ~j(~r, t)
~ r , t) = ∂ D(~
rotH(~
∂t
~ r , t) = ρ(~r, t)
divD(~
~ r , t) = 0
divB(~
Da das Medium isotrop und homogen ist, die Permittivität ε und die Permeabilität
µ also skalar und ortsunabhängig sind, ergeben sich zwei der Materialgleichungen
~ r , t) = εE(~
~ r, t) und B(~
~ r, t) = µH(~
~ r, t) und damit folgt:
zu D(~
~ r, t) = − ∂ B(~
~ r, t)
rotE(~
∂t
1
~ r, t) + ~j(~r, t)
~ r, t) = ε ∂ E(~
rotB(~
µ
∂t
~ r, t) = ρ(~r, t)
εdivE(~
~ r, t) = 0
divB(~
b) Als erstes
folgenden
Induktion
~ r, t) = 0
werden die aus der homogenen Maxwellschen Gleichung divB(~
Bedingungen ermittelt. Dazu wird in diese die gegebene magnetischen
~ r , t) eingesetzt und die Divergenz ausgeführt:
B(~


−B0,x sin(~k · ~r − ωt)
div  B0,y cos(~k · ~r − ωt)  = 0
0
−kx B0,x cos(~k · ~r − ωt) − ky B0,y sin(~k · ~r − ωt) = 0
Da diese Gleichung an jedem Ort zu jeder Zeit, also für beliebige Werte von ~k ·~r −ωt,
erfüllt sein muß und im Allgemeinen auch B0,x 6= 0 sowie B0,y 6= 0 gelten, müssen die
x- und y-Komponente des Wellevektors ~k gleich Null sein. Es gilt also kx = 0 sowie
ky = 0 und damit für den Wellenvektor ~k = kz~ez . Die Orientierung des Wellenvektors
~k ist damit allerdings noch nicht festgelegt, da kz sowohl positiv als auch negativ
sein kann.
Als nächstes werden, unter Berücksichtigung der bereits erhaltenen Voraussetzung
~k = kz~ez , die aus der zweiten homogenen Maxwellschen Gleichung rotE(~
~ r , t) =
~ r , t) zusätzlich folgenden Bedingungen ermittelt. Die gegebene elektrische
−(∂/∂t)B(~
~ r, t) und die gegebene magnetischen Induktion B(~
~ r , t) werden dazu mit
Feldstärke E(~
dem Wellenvektor ~k = kz~ez in diese Maxwellsche Gleichung eingesetzt und es werden
die Rotation sowie die zeitliche Ableitung ausgeführt.




−B0,x sin(kz z − ωt)
E0,x cos(kz z − ωt)
∂
rot  E0,y sin(kz z − ωt)  = −  B0,y cos(kz z − ωt) 
∂t
0
0




−kz E0,y cos(kz z − ωt)
−ωB0,x cos(kz z − ωt)
 −kz E0,x sin(kz z − ωt)  =  −ωB0,y sin(kz z − ωt) 
0
0
Die x-Komponente der Gleichung ist erfüllt, wenn die Bedingung B0,x = (kz /ω)E0,y
gilt. Da die Kreisfrequenz ω sowie die Amplituden E0,y und B0,x positiv sind, folgt
aus dieser Bedingung, daß die z-Komponente des Wellenvektors kz positiv und der
√
Wellenvektor ~k somit in Richtung ~ez orientiert ist. Mit kz = |~k| = εµω folgt für
die Bedingung zwischen den Amplituden B0,x und E0,y :
B0,x =
√
εµE0,y
Analog ergibt sich aus der y-Komponente der Gleichung die Bedingung
B0,y =
√
εµE0,x
zwischen den Amplituden B0,y und E0,x .
c) Zunächst wird ρ(~r, t) = 0 mit Hilfe der inhomogenen Maxwellschen Gleichung
~ r, t) = ρ(~r, t) gezeigt, indem die gegebene elektrische Feldstärke E(~
~ r, t) mit
εdivE(~
~
dem Wellenvektor k = kz~ez eingesetzt wird:


E0,x cos(kz z − ωt)
εdiv  E0,y sin(kz z − ωt)  = 0 = ρ(~r, t)
0
Daß die Stromdichte ~j(~r, t) im Medium gleich Null ist, wird als Nächstes mit der
~ r , t) = ε(∂/∂t)E(~
~ r, t) +
zweiten inhomogenen Maxwellsche Gleichung (1/µ)rotB(~
~ r , t) und
~j(~r, t) gezeigt. Dazu werden in diese die gegebene elektrische Feldstärke E(~
~ r, t) mit dem Wellenvektor ~k = kz~ez eingedie gegebene magnetischen Induktion B(~
setzt:

 



E0,x cos(kz z − ωt)
jx
−B0,x sin(kz z − ωt)
∂
1
rot  B0,y cos(kz z − ωt)  = ε  E0,y sin(kz z − ωt)  +  jy 
µ
∂t
0
jz
0

 1

 

k B sin(kz z − ωt)
εωE0,x sin(kz z − ωt)
jx

 µ z 0,y

 1
 − k B cos(k z − ωt)  =  −εωE0,y cos(kz z − ωt)  +  jy 
z
0,x
z

 µ
0
jz
0
√
Mit der Beziehung kz = |~k| = εµω zwischen der z-Komponente des Wellenvektors
√
kz und der Kreisfrequenz ω sowie den beiden Bedingungen B0,x = εµE0,y und
√
B0,y = εµE0,x läßt sich die Gleichung weiter vereinfachen:





1√
√
εµω εµE0,x sin(kz z − ωt)
µ
1√
√
−
εµω εµE0,y cos(kz z − ωt)
µ
0

jx
 jy
jz


 

εωE0,x sin(kz z − ωt)
jx


 =  −εωE0,y cos(kz z − ωt)  +  jy 

0
jz



0
 =  0 
0
~ r , t) und die magnetid) Die homogenen Wellengleichungen für das elektrische Feld E(~
~ r , t) lauten:
schen Induktion B(~
∂2 ~
~ r , t) = ~0
E(~r, t) − ∆E(~
∂t2
∂2 ~
~ r , t) = ~0
r , t) − ∆B(~
εµ 2 B(~
∂t
εµ
Da das gegebene elektromagnetische Feld eine Lösung der Maxwellschen Gleichun~ r , t)
gen ist, löst es auch die homogenen Wellengleichungen für das elektrische Feld E(~
~ r, t).
und die magnetischen Induktion B(~
√
√
e) Mit den beiden Bedingungen B0,x = εµE0,y und B0,y = εµE0,x ergeben sich
~ = 0, t) = E0,x cos(ωt)~ex − E0,y sin(ωt)~ey und
E(z
~ = 0, t) = √εµE0,y sin(ωt)~ex + √εµE0,x cos(ωt)~ey
B(z
~ r , t) und die magnetischen Induktion B(~
~ r, t) in der durch
für das elektrische Feld E(~
z = 0 definierten Ebene.
y
1
E0, x
2
B( z = 0, t )
E0,x x
z
E ( z = 0, t )
f) Bei einer linear polarisierten elektromagnetischen Welle gibt es genau eine wohldefinierte Richtung ~e senkrecht zum Wellenvektor ~k in der die elektrische Feldstärke
~ r , t) schwingt. In dieser Aufgabe erhält man eine linear polariesierte elektromaE(~
gnetische Welle für
• E0,x 6= 0 und E0,y = 0 oder
• E0,x = 0 und E0,y 6= 0.
Bei einer zirkular polarisierten elektromagnetischen Welle schwingt die elektrische
~ r, t) in zwei zueinander senkrechten Richtungen ~e1 und ~e2 welche wieFeldstärke E(~
derum senkrecht zum Wellenvektor ~k stehen mit gleicher Amplitude und einer Phasenverschiebung von ±π/2. In dieser Aufgabe erhält man für
E0,x = E0,y
eine, nach der Definition in der Vorlesung, links-zirkular polarisierte elektromagnetische Welle, da sich die elektrische Feldstärke gegen den Uhrzeigersinn dreht wenn
man in Richtung der Wellenausbreitung schaut. Wann eine elektromagnetische Welle links- und wann sie rechts-zirkular polarisiert ist, ist nicht einheitlich definiert.
Nach dem Lehrbuch von Jackson beispielsweise wäre die elektromagnetische Welle
rechts-zirkular polarisiert.
~ 1 (~r, t) und E
~ 2 (~r, t) beider entgegengeg) Die Summe der elektrischen Feldstärken E
setzt zirkular polarisierten elektromagnetischen Wellen muß gleich der elektrischen
~ r , t) der gegebenen elektromagnetischen Welle sein:
Feldstärke E(~




~ r, t) = E
~ 1 (~r, t) + E
~ 2 (~r, t)
E(~


 

E0,x cos(~k · ~r − ωt)
E1 cos(~k · ~r − ωt)
E2 cos(~k · ~r − ωt)
E0,y sin(~k · ~r − ωt)  =  E1 sin(~k · ~r − ωt)  +  −E2 sin(~k · ~r − ωt) 
0
0
0



E0,x cos(~k · ~r − ωt)
(E1 + E2 ) cos(~k · ~r − ωt)
E0,y sin(~k · ~r − ωt)  =  (E1 − E2 ) sin(~k · ~r − ωt) 
0
0
Damit die Gleichung für beliebige Werte von ~k · ~r − ωt gilt, müssen die beiden
Gleichungen E0,x = E1 + E2 (folgt aus der x-Komponente) und E0,y = E1 −E2 (folgt
aus der y-Komponente) erfüllt sein. Eliminert man aus diesen beiden Gleichungen
die Amplituden E2 bzw. E1 erhält man die gesuchten Amplituden der elektrischen
Feldstärke E1 und E2 beider zirkular polarisierten Wellen.
1
(E0,x + E0,y )
2
1
(E0,x − E0,y )
=
2
E1 =
E2
h) Als erstes wird die elektromagnetische Energiedichte welmg (~r, t) berechnet, wobei
auch die Orientierung des Wellenvektors ~k = kz~ez berücksichtigt wird.
~ 2 (~r, t) = εE 2 cos2 (kz z − ωt) + εE 2 sin2 (kz z − ωt)
welmg (~r, t) = εE
0,x
0,y
Mittelt man dieses Ergebnis zeitlich über eine Schwingungsperiode T = 2π/ω, erhält
man den zeitlichen Mittelwert der elektromagnetischen Energiedichte welmg (~r, t).
Z 2π/ω
ω
welmg (~r, t)dt
w elmg (~r, t) =
2π 0
Z 2π/ω
Z 2π/ω
ω
ω
2
2
2
εE
cos (kz z − ωt)dt + εE0,y
sin2 (kz z − ωt)dt
=
2π 0,x 0
2π
0
Substitution in beiden Integralen: u = kz z − ωt
Z kz z−2π
Z kz z−2π
ω
−du
−du
ω
2
2
2
εE0,x
+ εE0,y
cos (u)
sin2 (u)
=
2π
ω
2π
ω
kz z
kz z
kz z−2π
kz z−2π
ε 2 1
ε 2 1
1
1
= − E0,x u − sin(2u)
−
E
u + sin(2u)
2π
2
4
2π 0,y 2
4
kz z
kz z
1
1
2 1
2 1
εE0,x
(−2π) −
εE0,y
(−2π)
2π
2
2π
2
ε
2
2
E0,x
+ E0,y
=
2
= −
√
Durch Multiplikation mit der Phasengeschwindigkeit c = ω/|~k| = 1/ εµ und der
Ausbreitungsrichtung ~n = ~k/|~k| = ~ez der gegebenen elektromagnetischen Welle
erhält man aus der elektromagnetische Energiedichte welmg (~r, t) auch die elektroma~ r , t).
gnetische Leistungsflußdichte S(~
r
~ r, t) = cwelmg (~r, t)~n = ε E 2 cos2 (kz z − ωt) + E 2 sin2 (kz z − ωt) ~ez
S(~
0,x
0,y
µ
Um zu Bestimmen für welche Polariesierung die elektromagnetische Energiedichte
welmg (~r, t) konstant ist, wird das für sie erhalten Resultat umgeformt.
2
2
welmg (~r, t) = εE0,x
cos2 (kz z − ωt) + εE0,y
sin2 (kz z − ωt)
2
2
= εE0,x
cos2 (kz z − ωt) + εE0,x
sin2 (kz z − ωt)
2
2
2
+ε −E0,x
+ E0,y
sin (kz z − ωt)
2
2
2
2
= εE0,x
+ ε −E0,x
+ E0,y
sin (kz z − ωt)
2
2
Für −E0,x
+ E0,y
= 0 bzw. E0,x = E0,y verschwindet der Sinus-Term, womit die
elektromagnetische Energiedichte welmg (~r, t) konstant ist. Die Bedingung E0,x = E0,y
ist bei zirkularer Polarisation erfüllt.
~ r, t) + (∂/∂t)welmg (~r, t) = 0 wird durch Einsetzen
i) Der Energieerhaltungssatz divS(~
der Resultate für die elektromagnetische Energiedichte welmg (~r, t) und die elektro~ r , t) verifiziert.
magnetische Leistungsflußdichte S(~
~ r , t) + ∂ welmg (~r, t)
divS(~
∂t
r
ε 2
2
2
2
= div
E cos (kz z − ωt) + E0,y sin (kz z − ωt) ~ez
µ 0,x
∂ 2
2
+
εE0,x cos2 (kz z − ωt) + εE0,y
sin2 (kz z − ωt)
∂t
r
ε 2
E 2 cos(kz z − ωt)(−1) sin(kz z − ωt)kz
=
µ 0,x
r
ε 2
+
E 2 sin(kz z − ωt) cos(kz z − ωt)kz
µ 0,y
2
+εE0,x
2 cos(kz z − ωt)(−1) sin(kz z − ωt)(−ω)
2
+εE0,y
2 sin(kz z − ωt) cos(kz z − ωt)(−ω)
r
ε
2
= 2 −
kz + εω E0,x
cos(kz z − ωt) sin(kz z − ωt)
µ
r
ε
2
kz + εω E0,y
cos(kz z − ωt) sin(kz z − ωt)
−2 −
µ
= 0
√
Im letzten Schritt wurde die Beziehung kz = |~k| = εµω ausgenutzt, womit der
Ausdruck in den runden Klammern Null wird.
r
r
ε
ε√
kz + εω = −
εµω + εω = 0
−
µ
µ