5. Trigonometrie - Fakultät für Mathematik

Universität Regensburg
Naturwissenschaftliche Fakultät I – Didaktik der Mathematik
Dr. Günter Rothmeier
WS 2008/09
Private Vorlesungsaufzeichnungen
Kein Anspruch auf Vollständigkeit
51 722 Elementarmathematik (LH)
5.
und Fehlerfreiheit
Trigonometrie
5.1. Trigonometrische Terme am Einheitskreis
5.1.1. Das Polarkoordinatensystem
Man kann die Lage eines Punktes im 2-dimensionalen
Raum folgendermaßen beschreiben:
1. Man legt eine beliebige Halbgerade mit dem Anfangspunkt O (Ursprung) als so genannte Nullrichtung fest.
2. Man bestimmt die Entfernung des Punktes P vom Ursprung: r LE.
3. Man bestimmt das Maß des Winkels zwischen der
Nullrichtung und der Halbgeraden [OP: ϕ mit ϕ ∈ [0° ;
360°[.
90°
P (5 | 120°)
60°
30°
150°
r LE
ϕ
180°
0° Null1 2 3 4 5
210°
richtung
330°
300°
270°
Durch r und ϕ ist die Lage von P eindeutig bestimmt. Man bezeichnet r und ϕ als Polarkoordina+
ten des Punktes P und schreibt: P (r | ϕ) mit r ∈ R
I und 0° =< ϕ < 360°.
240°
0
G
Durch den Punkt P ist der Ortsvektor OP festgelegt. Dieser ist Repräsentant eines Vektors v .
G
Deshalb können (r | ϕ) auch als Polarkoordinaten des Vektors v verstanden werden.
5.1.2. Sinus und Kosinus
Ein Kreis um den Ursprung O (0 | 0) mit dem Radius r = 1 LE
heißt Einheitskreis. Punkte auf dem Einheitskreis haben die
Polarkoordinaten (1 | ϕ). Jedem Winkelmaß ϕ lässt sich eindeutig ein Punkt P des Einheitskreises mit den kartesischen
Koordinaten xP und yP zuordnen.
Für diese Koordinaten ist auch folgende Ausdrucksweise üblich:
yP bezeichnet man mit sin ϕ.
xP bezeichnet man mit cos ϕ.
Definitionsmenge:
Wertemenge:
DI
\W
y
1
P (xP | yP)
1 LE
sin ϕ
ϕ
cos ϕ
–1
1x
= [0° ; 360°]
= [–1 ; 1]
–1
5.1.3. Tangens
Wir bilden Δ OQP durch zentrische Streckung mit dem Zentrum O (0 | 0) so ab, dass das Bild P’ von Punkt P auf der
Kreistangente t liegt.
Die y-Koordinate des Punktes P‘ ist dem Winkelmaß ϕ eindeutig zugeordnet. Man bezeichnet sie auch als Tangens ϕ:
Schreibweise: tan ϕ
P’
y
1
P
yP’ = tan ϕ
Sprechweise: „Tangens phi“
sin ϕ
Den Winkelmaßen ϕ = 90° und ϕ = 270° lassen sich keine
Tangenswerte zuordnen.
Als Tangenswert kann jede reelle Zahl auftreten. Also gilt:
Definitionsmenge:
DI
= [0° ; 360°] \ {90°; 270°}
Wertemenge:
\W
= IR
ϕ
O cos ϕ
Q
Q’
t
x
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5.1.4. Zusammenhang zwischen den trigonometrischen Termen
5.1.4.1. Die Supplementbeziehung
Zwei Winkel, deren Maße ϕ und ϕ* sich zu
180° ergänzen, heißen Supplementwinkel
P* (xP* | yP*)
(supplere lat.: ergänzen). Für sie gilt: ϕ* =
180° – ϕ.
Für die zugehörigen trigonometrischen Terme
ergeben sich hieraus nach den Gesetzen der
yP* = sin ϕ*
Achsenspiegelung folgende Beziehungen.
yP*
xP*
= yP
= −xP
sin ϕ*
cos ϕ*
= sin ϕ
= –cos ϕ
y
1
P (xp | yp)
ϕ*
yp = sin ϕ
ϕ
ϕ
xP* = cos ϕ* xP = cos ϕ
1
x
Allgemein gilt: sin (180° − ϕ) = sin ϕ
cos (180° − ϕ) = –cos ϕ
5.1.4.2. Die Komplementbeziehung
Zwei Winkel, deren Maße ϕ und ϕ* sich zu
90° ergänzen, heißen Komplementwinkel
(complere lat.: voll machen).
Für sie gilt: ϕ* = 90° – ϕ
y
1 cos ϕ*
P (x | y)
ϕ*
sin ϕ*
Nach den Gesetzen der Achsenspiegelung gilt:
x* = y
cos ϕ* = sin ϕ
y* = x
sin ϕ* = cos ϕ
P* (x* | y*)
sin ϕ
ϕ
0 cos ϕ
1 x
Allgemein gilt: sin (90° − ϕ) = cos ϕ
cos (90° − ϕ) = sin ϕ
5.1.4.3. Trigonometrische Grundformel
Im rechtwinkligen Dreieck OHP gilt nach Pythagoras:
(sin ϕ)2 + (cos ϕ)2 = 1
Dafür schreibt man kurz:
sin2 ϕ + cos2 ϕ = 1
y
1
Durch diese Beziehung sind die trigonometrischen Terme sin ϕ
und cos ϕ miteinander verknüpft. Sie lässt sich in ähnlicher Weise
für die übrigen Quadranten nachweisen.
Sie gilt also für ϕ ∈ [0°; 360°]. Stets kann ein Wert aus dem anderen berechnet werden, ohne den Winkel selbst zu bestimmen.
Dabei ist die Definitionsmenge von ϕ zu beachten.
2
cos ϕ = ± 1 − sin ϕ
5.1.4.4. Beziehung zwischen sin ϕ, cos ϕ und tan ϕ
Der Steigungsfaktor m der Geraden g mit y = mx lässt sich auf zwei
Weisen darstellen:
Also gilt:
bzw.
m=
tan ϕ =
tan ϕ
1
sin ϕ
cos ϕ
1 x
ϕ ≠ 90° ; 270°
y
1
y=m⋅x
tan ϕ
sin ϕ = ± 1 − cos ϕ
sin ϕ
cos ϕ
0 cos ϕ H
ϕ ∈ [0° ; 360°]
2
m=
sin ϕ
sin ϕ
Allgemein gilt. sin2 ϕ + cos2 ϕ = 1
P
cos ϕ
1
x
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5.1.5.
und Fehlerfreiheit
Trigonometrische Werte negativer Winkelmaße
Man spricht von einem negativen Winkelmaß, wenn man den Winkel
zwischen der positiven x-Achse und dem Einheitsvektor im Uhrzeigersinn misst.
Die Beziehungen zwischen den trigonometrischen Termen für positive und negative Winkelmaße lassen sich aus entsprechenden
Zeichnungen entnehmen. Es gilt:
Allgemein gilt:
sin (– ϕ) = – sin ϕ
cos (– ϕ) = cos ϕ
tan (– ϕ) = – tan ϕ
y
P‘ (1 | tan ϕ)
1
P (cos ϕ | sin ϕ)
ϕ
0
1x
–ϕ
R (cos (–ϕ) | sin (–ϕ))
5.1.6.
Quadrantenregeln für Vorzeichen
Mit Hilfe des Einheitsvektors lassen sich die Vorzeichen stets
anschaulich ableiten.
sin ϕ
cos ϕ
tan ϕ
1. Quadrant
+
+
+
2. Quadrant
+
–
–
3. Quadrant
–
–
+
R‘ (1 | tan (–ϕ))
4. Quadrant
–
+
–
5.1.7. Periodizität der Sinusfunktion
Ein Ortsvektor im Einheitskreis, der mit der positiven x-Achse einen Winkel mit
dem Maß x einschließt, bestimmt einen Sinuswert sin x. Dreht man den Ortsvektor um 2π, so erhält man denselben Sinuswert:
sin (x + 2π) = sin x.
Der Sinuswert bleibt auch dann gleich, wenn man den Ortsvektor um ein beliebiges ganzzahliges
Vielfaches von 2π (im oder gegen den Uhrzeigersinn) dreht:
sin (x + 2kπ) = sin x
k ∈ ZZ .
Die Sinusfunktion ist also periodisch mit der Periodenlänge 2π. Dadurch kann die Definitionsmenge
der Sinusfunktion erweitert werden. Für x können nun beliebige reelle Zahlen gewählt werden.
y
y = sin x
1
x
Periodenlänge für y = sin x
5.1.8. Periodizität der Kosinusfunktion
Für die Kosinusfunktion gelten die Überlegungen zur Sinusfunktion in entsprechender Weise:
cos (x + 2kπ) = cos x
k ∈ ZZ
Auch die Kosinusfunktion ist periodisch mit der Periodenlänge 360°.
y
y = cos x
1
x
Periodenlänge für y =cos x
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5.1.9. Periodizität der Tangensfunktion
Für die Tangensfunktion gelten die Überlegungen zur Sinusfunktion in entsprechender Weise. Auch
die Tangensfunktion ist periodisch, jedoch mit der Periodenlänge π.
tan (x + kπ) = tan x
k ∈ ZZ
y
y = tan x
0
P
e
π
6π
4π
2π
5.1.10. Bestimmung von Winkelmaßen
5.1.10.1.
Bestimmung mit Hilfe des Einheitskreises
Aus einem vorgegebenen Sinus- oder Kosinuswert
wird das zugehörige Winkelmaß ϕ ∈ [0° ; 360°] bestimmt.
P2
1
d
Bestimmung von ϕ aus sin ϕ = d
Bestimmung von ϕ aus cos ϕ = d
Zeichnen die Parallele zur
x-Achse mit y = d.
Zeichnen die Parallele zur
y-Achse mit x = d.
x
P1
ϕ2
1
ϕ1
O
x
d
LL = ∅
LL = {ϕ}
LL = {ϕ1; ϕ2}
Für |d| > 1 gibt es keine Schnittpunkte und somit keine Lösung:
Für |d| = 1 gibt es einen Berührpunkt und somit eine Lösung:
Für |d| < 1 gibt es zwei Schnittpunkte und somit zwei Lösungen:
Im dritten Fall schneidet die Parallele den Einheitskreis in P1 und P2.
Die Ortsvektoren OP1 und OP2 bestimmen die gesuchten Winkelmaße.
5.1.10.2.
Bestimmung mit Hilfe des Funktionsgraphen
Wir zeichnen die Parallele zur x-Achse mit y = d.
Für die Anzahl der Lösungen gilt die gleiche Fallunterscheidung wie oben. Im Fall |d| < 1 schneidet die Parallele den Funktionsgraphen in zwei
Punkten P1 und P2. Die zugehörigen Abszissenwerte markieren das gesuchte Winkelmaß.
y
0,75
y = sin x
P1
P2
P1
x
x1
x2
Für die Anzahl der Lösungen gilt die gleiche Fallunterscheidung wie oben.
5.1.10.3. Bestimmung mit Hilfe des Taschenrechners
Man bestimmt zuerst das Winkelmaß ϕ* mit dem Taschenrechner.
Es wird ein positives oder negatives Winkelmaß angezeigt. Gibt es keine Lösung, so erscheint
„error“.
Die gültigen Winkelmaße findet man unter Beachtung des Vorzeichens des Termwertes durch
Symmetriebetrachtungen. Die am Taschenrechner angezeigten Werte werden sinnvoll gerundet.
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5.1.11. Übungsblatt: Trigonometrische Terme am Einheitskreis
y
Aufgabe 1
1
Berechnen Sie mit Hilfe nebenstehender Zeichnung die genauen Werte von cos 30° und sin 30°.
Q
S
30°
1 x
0
P
y
Aufgabe 2
2
Berechnen Sie mit Hilfe nebenstehender Zeichnung die genauen Werte von cos 60° und sin 60°.
3
Berechnen Sie cos β, ohne β zu bestimmen.
P
Aufgabe 3
a) sin β = 12 : 13β ∈ [0° ; 180°]
b) sin β = – 21
β ∈ [270° ; 360°]
c) sin β =
1
2
2
d) sin β = –0,6
60°
0
S‘
Q
1 x
β ∈ [90° ; 270°]
β ∈ [0° ; 360°]
Aufgabe 4
4
Tabellarisieren Sie für ϕ ∈ [0°; 180°] mit Δϕ = 10°, zeichnen Sie den Graphen und geben
Sie – wenn möglich – für y = 0,6 die zugehörigen Winkelwerte an. Verwenden Sie zur
Lösung möglichst ein Geometrieprogramm.
a) y = sin2 ϕ
b)
y = cos2 ϕ
2
c) y = tan ϕ
d)
y = 0,5⋅cos 2ϕ
e) y = sin ϕ + cos ϕ
f)
y = – sin ϕ
g) y = 2,5 ⋅ sin ϕ
h)
y = 3 + cos ϕ
i) y = sin (ϕ – 90°)
k)
y = – cos (ϕ + 60°)
5.0
Eine Schar von gleichschenkligen Trapezen ABCnDn ist durch die Pfeile ADn sowie
durch die Symmetrieachse s der Trapeze mit der Gleichung x = 2 festgelegt.
⎛ 4 sin ϕ + 2 ⎞
⎟ A (0 | 0)
ADn = ⎜⎜
2
⎟
⎝ 4 cos ϕ ⎠
5.1
Berechnen Sie die Koordinaten der Pfeile AD1 für ϕ = 195° und AD2 für ϕ = 230°
und zeichnen Sie die zugehörigen Trapeze ABC1D1 und ABC 2D 2 .
5.2
5.3
5.4
Unter den Trapezen ABC nDn gibt es ein Rechteck ABC oD o . Berechnen Sie das
zugehörige Winkelmaß ϕ.
Stellen Sie die Koordinaten der Eckpunkte C n in Abhängigkeit von ϕ dar. Zeigen Sie
durch Rechnung, dass y = –0,25(x – 2)2 + 4 die Gleichung des Trägergraphen t der
Punkte C n ist und zeichnen Sie t.
[Teilergebnis: Cn (–4 sin ϕ + 2 | 4cos2 ϕ)]
Zeigen Sie, dass sich die Flächeninhalte A(ϕ) der Trapeze ABC nDn in Abhängigkeit
von ϕ wie folgt darstellen lassen:
A(ϕ) = [8sinϕ ⋅ (2 sin2 ϕ – sin ϕ – 2) + 8] FE
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Lösungen
Zu Aufgabe 1
1 ∆OPQ ist gleichseitig:
sin 30° = QP = 21
cos 30° = OS =
1
2
3
Zu Aufgabe 2
2 ∆OPQ ist gleichseitig:
sin 60° = PS ' =
1
2
3
cos 60° = OS =
1
2
Zu Aufgabe 3
3
a) sin2 β + cos2 β = 1
cos β =
25
169
b) sin2 β + cos2 β = 1
cos β =
3
4
c) sin2 β + cos2 β = 1
cos β = –
1
2
12 2
) + cos2 β = 1
13
⇔
(
⇔
cos β =
⇔
(−
⇔
cos β =
⇔
(
⇔
cos β = – 21
Zu Aufgabe 4
a) 0,6 = sin2 ϕ
⇔
cos2 β =
25
169
⇔
cos2 β =
3
4
⇔
cos2 β =
1
2
5
13
1 2
) + cos2 β = 1
2
1
2
3
1
2
2
2 ) + cos β = 1
2
sin ϕ = ±
2
0, 6
sin ϕ = – 0, 6
ϕ* = –50,8°
ϕ1 = 309,2°
ϕ2 = 230,8°
sin ϕ =
ϕ* = 50,8°
ϕ3 = 50,8°
ϕ4 = 129,2°
0, 6
Aufgaben b) bis k) analog.
Zu Aufgabe 5
JJJJG ⎛ 0,96 ⎞
JJJJJG ⎛ −1,06 ⎞
AD2 = ⎜
5.1 AD1 = ⎜
⎟
⎟
⎝ 3,73 ⎠
⎝ 1,65 ⎠
5.2 4 ⋅ sin ϕ + 2 = 0
ϕ0 = 210°
JJJJJJG ⎛ −4 sin ϕ − 2 ⎞ JJJJG
5.3 ADn ' = ⎜
= BCn
⎜ 4 cos2 ϕ ⎟⎟
⎝
⎠
JJJJJG JJJG
JJJJG ⎛ −4 ⋅ sin ϕ + 2 ⎞
ACn = AB ⊕ BCn = ⎜
⎜ 4 ⋅ cos2 ϕ ⎟⎟
⎝
⎠
2
t:
y = –0,25 (x – 2) + 4
1
5.4 A(ϕ) = 2 ⋅ ( AB + CnDn ) ⋅ hn =
1
2
(4 – 8 ⋅ sin ϕ) ⋅ 4 ⋅ cos2 ϕ = [8sin ϕ ⋅ (2 sin2 ϕ – sin ϕ – 2) + 8] FE