"Nabla" in krummlinigen Koordinaten

Einschub – krummlinige Koordinaten.
Felder
Skalare Felder: Φ(x, y, z) ordnen jedem Raumpunkt (x, y, z) ein Skalar Φ zu. Beispiel: Temperaturfelder T (x, y, z), Dichtefelder ρ(x, y, z) usw.
~ y, z) ordnen jedem Raumpunkt (x, y, z) ein
Vektorielle Felder: A(x,
~
Vektor A zu. Beispiel: Fließgeschwindigkeitsfelder ~v (x, y, z), elektrische –
~
~
und magnetische Felder E(x,
y, z), bzw. B(x,
y, z) usw.
Tensoren: Â(x, y, z)
Nabla-Operator, Laplace-Operator, Gradient, Divergenz und
Rotation
Nabla-Operator
∇=
∂
∂
∂
~er +
~ey +
~ez
∂x
∂y
∂z
Gradient eines Skalar-Feldes (ist ein Vektor-Feld)
grad Φ = ∇Φ =
∂
∂
∂
Φ ~ex +
Φ ~ey +
Φ ~ez
∂x
∂y
∂z
Divergenz eines Vektor-Feldes (ist ein Skalar-Feld)
~ =∇·A
~ = ∂ Ax + ∂ Ay + ∂ Az
div A
∂x
∂y
∂z
Rotation eines Vektor-Feldes ergibt wieder ein Vektor-Feld:
~ex ~ey ~ez ∂
∂
∂ ~ =∇×A
~ = rot A
∂x ∂y ∂z A A A x
y
z
∂
∂
∂
∂
∂
∂
Az −
Ay ~ex +
Ax −
Az ~ey +
Ay −
Ax ~ez
=
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
Der Gradient eines Skalar-Feldes gibt in jedem Punkt Betrag und Richtung
der größten Steigung an.
Die Divergenz eines Vektor-Feldes ist ein Maß für den Fluss der Vektorgröße in jedem Raumpunkt, d.h. die Divergenz mißt die Quell- bzw. Senk~ > 0 → Quelle, divA
~ < 0 → Senke).
kenstärke eines Vektorfeldes (divA
1
Die Rotation eines Vektor-Feldes ist ein Maß für die Wirbelstärke eines
Vektorfeldes.
Einige nützliche Formelm:
∇ ∗ (A + B) = ∇ ∗ A + ∇ ∗ B
(1)
(2)
wobei ∗ für Divergenz, Gradient oder Rotation steht und A, B sowohl
für Skalarfunktionen (beim Gradienten), als auch für Vektorfunktionen (bei
Rotation unbd Divergenz) steht.
~ = (∇Φ) · A
~ + Φ ∇·A
~
∇ · (ΦA)
~ = (∇Φ) × A
~ + Φ ∇×A
~
∇ × (ΦA)
(3)
~ ×B
~
~ · ∇×A
~ −A
~· ∇×B
~
∇· A
= B
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
∇× A×B
=
B·∇ A − B ∇·A − A·∇ B + A ∇·B
~·B
~
~ ·∇ A
~ + A
~·∇ B
~ +B
~ × ∇×A
~ +A
~× ∇×B
~
∇ A
=
B
Mehrfachanwendung des Nabla-Operators und Laplace-Operator
Laplace-Operator (Skalar)
∆ = ∇·∇=
∂2
∂2 ~
∂2
+
+
~a
∂x2
∂y 2
∂z 2
(4)
Weitere Mehrfachausführungen des Nabla-Operators sind:
∂2
∂2
∂2
Φ
+
Φ
+
∂x2
∂y 2
∂z 2 Φ
~ = ∇(∇ · A)
~
grad (div A)
~ = ∇ × (∇ × A)
~ = ∇(∇ · A)
~ − ∆A
~
rot (rot A)
div (grad Φ) = ∇ · (∇Φ) = ∆Φ =
⇒ (Skalar)
⇒ (Vektor)
⇒ (Vektor)
Als sehr nützlich erweisen sich die verschwindenden Kombinationen – siehe
z.B. Herleitung der Balance-Gleichungen für Energie und Ladung, sowie
2
auch der Wellengleichung in der E-Dynamik:
~e
x
∂
rot (grad Φ) = ∇ × (∇Φ) = ∂x
∂
∂x Φ
~ = ∇ · (∇ × A)
~ ≡0
div (rot A)
~ey
∂
∂y
∂
∂y Φ
~ez ∂
∂z ≡ 0
∂
∂z Φ
(5)
(6)
Zylinderkoordinaten
Definitionen der Koordinaten, Einheitsvektoren und des Nabla-Kalküls:
x = r cos φ
y = r sin φ
z=z
~er = cos φ ~ex + sin φ ~ey + ~ez ; ~eφ = − sin φ ~ex + cos φ ~ey ; ~ez = ~ez
~eφ ∂
∂
∂
+
+ ~ez
∇ = ~er
∂r
r ∂φ
∂z
Gradient, Divergenz und Rotation
∂
1 ∂
∂
Φ ~er +
Φ ~eφ +
Φ ~ez
∂r
r ∂φ
∂z
~ = ∇·A
~ = 1 ∂ (r Ar ) + 1 ∂ Aφ + ∂ Az
div A
r ∂r
r ∂φ
∂z
grad Φ = ∇Φ =
~e
r ~eφ ~ez
1 ∂r
∂
∂
~
~
rot A = ∇ × A = ∂r
∂φ
∂z
r
Ar r Aφ Az
∂
∂
1
Az −
(r Aφ ) ~er +
=
r
∂φ
∂z
∂
∂
+ r
Ar − r Az ~eφ +
∂z
∂r
∂
1 ∂
(r Aφ ) −
Ar ~ez
+
r ∂r
∂φ
mit
~ = Ar ~er + Aφ ~eφ + Az ~ez .
A
Der Laplace-Operator:
3
∆Φ =
1 ∂
r ∂r
∂Φ
r
∂r
+
1 ∂2Φ ∂2Φ
+
r 2 ∂φ2
∂z 2
~ · ∇B)
~ ⇒ wird in der Hydrodynamik (KonvektiKomponenten von (A
onsterme) gebraucht.
h
h
i
~ · ∇B)
~
(A
i
~ · ∇B)
~
(A
h
r
φ
i
~ · ∇B)
~
(A
z
Aφ ∂
Aφ Bφ
∂
∂
Br +
Br + Az Br −
∂r
r ∂φ
∂z
r
Aφ ∂
Aφ Br
∂
∂
Bφ + Az Bφ +
= Ar Bφ +
∂r
r ∂φ
∂z
r
Aφ ∂
∂
∂
Bz + Az Bz
= Ar Bz +
∂r
r ∂φ
∂z
= Ar
~~
Divergenz eines Tensors Π
⇒
Kontinuumsmechanik (SpannungsGleichgewicht) oder Hydrodynamik (Effekte der Zähigkeit/Reibung):
~
~ r =
(∇ · Π)
~
~ φ =
(∇ · Π)
~
~ z
(∇ · Π)
=
1 ∂
1 ∂
∂
1
(rΠrr ) +
(Πφr ) +
(Πzr ) − (Πφφ )
r ∂r
r ∂φ
∂z
r
1 ∂
∂
1
1 ∂
(rΠrφ ) +
(Πφφ ) +
(Πzφ ) + (Πφr )
r ∂r
r ∂φ
∂z
r
1 ∂
1 ∂
∂
(rΠrz ) +
(Πφz ) +
(Πzz )
r ∂r
r ∂φ
∂z
Kugelkoordinaten
Gradient, Divergenz und Rotation
4
x = r sin θ cos φ ; y = r sin θ sin φ ; z = r cos θ
(7)
~er = sin θ (cos φ ~ex + sin φ ~ey ) + cos θ ~ez
(8)
~eφ = − sin φ ~ex + cos φ~ey
(9)
~eθ = cos θ (cos φ ~ex + sin φ ~ey ) − sin θ~ez
∇ = ~er
(10)
~eφ
∂
∂
~eθ ∂
+
+
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂φ
grad Φ = ∇ Φ =
(11)
∂
1 ∂
1
∂
Φ ~er +
Φ ~eθ +
Φ ~eφ
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂φ
~ = ∇·A
~ =
div A
∂
∂
1
1
1 ∂
(sin θ Aθ ) +
Aφ
= 2 (r 2 Ar ) +
r ∂r
r sin θ ∂θ
r sin θ ∂φ
~er r ~eθ r sin θ ~eφ
∂
1
∂
∂
~
~
rotA = ∇ × A = 2
∂θ
∂φ
r sin θ ∂r
Ar r Aθ r sin θ Aφ
1
∂
∂
= 2
(r sin θAφ ) −
(r Aθ ) ~er +
r sin θ
∂θ
∂φ
∂
∂
Ar −
(r sin θAφ ) r ~eθ +
+
∂φ
∂r
∂
∂
+
(r Aθ ) −
Ar r sin θ ~eφ
∂r
∂θ
(12)
(13)
(14)
~ = Ar ~er + Aθ ~eθ + Aφ ~eφ .
mit A
Der für uns in der Quantenmechanik entscheidende Ausdruck ist mit
Laplace-Operator in Kugelkoordinaten
∂2
∂
1
∂
1
1 ∂
2 ∂
r
+ 2
sin θ
+ 2 2
∆Φ = 2
(15)
r ∂r
∂r
r sin θ ∂θ
∂θ
r sin θ ∂φ2
gegeben.
5
Der Vollständigkeit halber werden auch noch die Komponenten der Wirkung des Laplace-Operators
auf einen Vektor,
~
~
div grad A = ∇ · ∇A
angegeben:
h
h
h
i
~
∆A
i
~
∆A
i
~
∆A
2Aθ cos θ
2 ∂Aθ
2 ∂Aφ
2Ar
−
− 2
− 2
2
2
r
r ∂θ
r
r sin θ ∂φ
Aθ
2 cos θ ∂Aφ
2 ∂Aθ
− 2 2 − 2 2
= ∆Aθ + 2
r ∂θ
r sin θ r sin θ ∂φ
Aφ
2 ∂Aφ
= ∆Aφ − 2 2 + 2
r
sin
θ ∂φ
r sin φ
= ∆Ar −
r
θ
φ
– Ausdrücke, die ebenfalls in der Hydrodynamik bzw. Kontiuumsmechanik
benötigt werden.
~~
Divergenz eines Tensors Π
~
~ r =
(∇ · Π)
~
~ θ =
(∇ · Π)
~
~ φ =
(∇ · Π)
Πθθ − Πφφ
1 ∂ 2
∂
1 ∂
1
(r Πrr ) +
(Πθr sin θ) +
Πφr −
2
r ∂r
r sin θ ∂θ
r sin θ ∂φ
r
∂
1 ∂
1
Πθr
cot θ
1 ∂ 2
(r Πrθ ) +
(Πθθ sin θ) +
Πφθ +
+
Πφφ
r 2 ∂r
r sin θ ∂θ
r sin θ ∂φ
r
r
Πφr
1 ∂ 2
∂
1 ∂
1
cot θ
(r Πrφ ) +
(Πθφ sin θ) +
Πφφ +
+
Πφθ
r 2 ∂r
r sin θ ∂θ
r sin θ ∂φ
r
r
Integralsätze
Satz von Gauß
Z
~ dV =
div A
Z
~ · ~n dF
A
F
V
Satz von Stokes
Z
C
~ · d~r =
A
Z
~ dF
~n · rot A
F
6