Eigenschaften der Synchrotronstrahlung - Delta

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Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Klaus Wille
1
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Klaus Wille
Vorbemerkungen
Eine wichtige Konsequenz der Elektrodynamik ist die Erzeugung
elektromagnetischer Wellen durch beschleunigte Ladungen.
Beispiel: Die Antnne
Die HF-Spannung erzeugt
das Feld
E (t ) = E0 sin ωt
Dadurch wirkt auf die
Elektronen die Kraft
F (t ) = e E0 sin ωt
und die Beschleunigung
e
a(t ) = E0 sin ωt
m
2
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Klaus Wille
Sobald ein schnelles Elektron einen Festkörper trifft, wird es abgebremst. Dabei wird es durch das Coulombfeld des Atoms transversal
abgelenkt. Das entspricht einer Beschleunigung. Nach den
Gesetzen der klassischen Elektrodynamik emittieren solche Teilchen
elektromagnetische Strahlung:
⇒ Röntgenstrahlung oder „Bremsstrahlung“
3
Klaus Wille
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Elektron
Eel
Elektronenhülle
Die Energie des Elektrons ist
Eel = eU
Dann liegt die Energie der
Röntgenstrahlung im Bereich
0 < ERöntgen ≤ Eel
Kern
4
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Klaus Wille
Prinzip einer Röntgenröhre
einige 10 - 100 kV
5
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Klaus Wille
Eine alte Röntgenröhre
6
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Klaus Wille
Die Röntgenstrahlung wurde entdeckt von Wilhelm Conrad Röntgen
1895: Entdeckung der
Röntgenstrahlung
Die Hand von Frau Röntgen
7
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Klaus Wille
Röntgenstrahlung sind ein
leistungsfähiges Werkzeug der
Materialforschung.
Röntgenröhren liefern ein weites
Spektrum elektromagnetischer
Strahlung.
Röntgenröhre
Einkristall
Kollimator
Laue-Interferenz
eines NaCl-Kristallsl
8
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Klaus Wille
Leistungsgrenze der Röntgenröhren
Brennpunkt
Wasserkühlung
9
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Klaus Wille
Relativistische Elektronen im Magnetfeld
Im Dipolmagnet
erfahren die
Elektronen eine
transversale
Beschleunigung.
Ablenkmagnet
Elektronenbahn
Das bewirkt eine
elektromagnetische
Strahlung.
Beschleunigung
Synchrotronstrahlung
10
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Klaus Wille
Im Schwerpunktsystem des Elektrons entspricht die räumliche
Leistungsverteilung der Strahlung eines Hertz‘schen Dipols.
Dipol
11
Klaus Wille
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Wegen der relativistischen Geschwindigkeiten muß man beim
Übergang in das Laborsystem die Lorentztransformation anwenden.
Elektronenbahn
Lorentztransformation
v=0
Leistungsverteilung im
Schwerpunktsystem
Θ
v = 0.9 c
Leistungsverteilung im
Laborsystem
12
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Klaus Wille
Synchrotronstrahlung im Labor
13
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Klaus Wille
Die Zeitstruktur der Synchrotronstrahlung
14
Klaus Wille
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Wegen des extrem kurzen Lichtblitzes ergibt sich ein breites
Strahlungsspektrum.
kritische Frequenz
15
Klaus Wille
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Spektrum der elektromagnetischen Strahlung
700
600
500
nm 400
sichtbares Licht
Frequenz
v [ Hz]
Mikrowellen
Ultraviolett- RöntgenInfrarotstrahlung strahlung
strahlung
Synchrotronstrahlung
Licht
Mittel- UKW
Lang& Kurz- und
welle
welle Fernsehen
Radar
104 105 106 107 108 109 1010 1011 1012 1013 1014 1015 1016 1017 1018 1019 1020 1021 1022 1023
Gammastrahlung
104 103 102 101 100 10-1 10-2 10-3 10-4 10-5 10-6 10-7 10-8 10-9 10-10 10-11 10-12 10-13 10-14
Wellenlänge
λ [m]
16
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Klaus Wille
Im Jahre 1898 hat Alfred-Marie Liénard die
von einer bewegten Ladung emittierte
Strahlung berechnet.
Die abgestrahlte Leistung ist in relativistisch
invarianter Form gegeben durch
r 2
2

ec
dp  1  dE  

Ps =
  − 2  
2 2  dτ
6πε0 (m0c )   c  dτ  
2
Alfred-Marie Liénard
1869 - 1958
Zu Liénards Zeiten war die Elektronenernergie in einem Labor
begrenzt auf wenige 100 keV. Daher konnte man damals diese Art
von Strahlung noch nicht erzeugen.
17
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Klaus Wille
1947 wurde von General Electric
ein 70 MeV-Synchrotron gebaut.
Diese Energie war hoch genug,
um genügend Strahlungsleistung
zu erzeugen.
⇒ Synchrotronstrahlung
SynchrotronStrahlung
18
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Klaus Wille
Elektronen-Speicherringe, wie sie in der Hochenergiephysik für
Collider-Experimente gebraucht wurden, erwiesen sich als sehr
effiziente Quelle von Synchrotronstrahlung.
Synchrotronstrahlungs
beam lines
Synchrotronstrahlungs
beam lines
Magnete
e--Injektion
Teilchendetektor
e+-Injektion
HF-Cavity
19
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Elektronenstrahl
Klaus Wille
Strahlungsfächer
Ablenkmagnet
Probe
Elektronenstrahl
Die Synchrotronstrahlung aus einem
Ablenkmagnet ist verteilt über einen
breiten horizontalen Fächer.
⇒ Die Strahlungsleistung an der
Probe ist dadurch begrenzt.
20
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Klaus Wille
Wesentlich höhere Leistung wird von Wigglern und Undulatoren
geliefert.
21
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Klaus Wille
Prinzipieller Aufbau eines modernen Speicherrings für
Synchrotronstrahlung. („dedicated source“)
22
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Klaus Wille
ESRF
Grenoble
Emax = 6 GeV
23
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Klaus Wille
Entwicklung der
Strahlungsleistung
24
Klaus Wille
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Relativistisches Elektron im Ablenkmagnet
Ein im Magnetfeld abgelenktes relativistisches Elektron emittiert
elektromagnetische Strahlung
retardiertes
Feld
Elektronenbahn
SynchrotronLicht
25
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Klaus Wille
Maxwell-Gleichungen
Die EM-Strahlung basiert auf den Maxwell-Gleichungen. In den MKSAEinheiten haben die Gleichungen die Form
r ρ
Coulomb’s Gesetz
∇⋅ E =
ε0
r
∇⋅ B = 0
r
r
∂B
∇× E = −
∂t
r
r
r
∂E Ampere’s
∇ × B = µ0 j + µ0ε0
Gesetz
∂t
Man kann leicht zeigen, daß zeitlich veränderliche elektrische oder
magnetische Felder EM-Wellen
erzeugen. Im Vakuum fließt kein
r
Strom und daher gilt j = 0 .
26
Klaus Wille
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Daraus erhält man
∂
∂t
∇×
r
r&
∇ × E = −B
r
r&
∇ × B = µ 0ε 0 E
r&
r&
&
∇ × E = −B
r
r&
∇ × (∇ × B ) = µ 0 ε 0 ∇ × E
Setzt man die erste Gleichung in die zweite ein, erhält man
r
r&
&
∇ × (∇ × B) = −µ0ε0 B
Mit der Vektorbeziehung
r
r
2r
∇ × (∇ × a ) = ∇(∇ ⋅ a ) − ∇ a
findet man schließlich
r
r&
&
∇ B − µ 0ε 0 B = 0
2
Dies ist eine Wellengleichung mit der Phasengeschwindigkeit
m
c = 1 µ0ε0 = 2.997925⋅10
s
8
27
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Klaus Wille
Wellengleichung des Vektor- und Skalarpotentials
r
r
Mit der Maxwell Gleichung ∇B = 0 und der Beziehung
r ∇(∇ × a ) = 0
kann man das Magnetfeld aus dem Vektorpotential A berechnen
r
r
B = ∇× A
Wir setzen diese Definition in die Maxwellgleichung und erhalten
r
r
r
r
∂B
 ∂A 
 r ∂A 
∇× E = −
= −∇ ×  
⇒
∇×E +  = 0
∂t 
 ∂t 

r∂t r
Der Ausdruckr(E + ∂A ∂t ) kann als Gradient eines skalaren
Potentials φ(r , t ) geschrieben werden
in der Form
r
r ∂A
E + = −∇φ
∂t
Damit wird das elektrische Feld
r
r
∂A 

E = − ∇φ + 
∂t 

28
Klaus Wille
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Mit Coulomb's Gesetz finden wir
oder
r
r
∂A  ρ

∇E = −∇ ∇φ +  =
∂t  ε0

r
∂
ρ
∇ φ + (∇ ⋅ A) = −
ε0
∂t
2
Wir nehmen nun das Ampere'sche Gesetz, fügen die Beziehungen
für das magnetische und elektrische Feld ein und erhalten
r
r
r
∂
∂ A
∇ × (∇ × A) = µ0 j − µ0ε0  ∇φ + 2 
142
4
3
∂t
∂t 
r

2r
∇⋅(∇⋅ A )−∇ A
r
2
r
r
r
 ∂φ ∂ A 
2
∇ A − µ0ε0  ∇ + 2  − ∇ ⋅ (∇ ⋅ A) = −µ0 j
 ∂t ∂t 
2
29
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Klaus Wille
Daraus folgt
r
r
r
r
∂ A
∂φ 

2
∇ A − µ0ε0 2 − ∇ ⋅  ∇ ⋅ A + µ0ε0  = −µ0 j
∂t
∂t 

2
Die beiden Gleichungen
bilden ein gekoppeltes System für die
r
Potentiale A und φ. Wir definieren nun die Eichtransformation
r
r r
A → A′ = A + ∇Λ
∂Λ
φ → φ′ = φ −
∂t
r
Die freie Wahl von Λ(r , t ) liefert einen Satz von Potentialen, die die
Lorentzbedingung erfüllen:
r 1 ∂φ
∇A + 2 = 0
c ∂t
30
Klaus Wille
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Mit der Eichtransformation erhält man
r
r 1 ∂φ
1 ∂  ∂Λ 
1 ∂ 2Λ
∇( A + ∇Λ) + 2  φ −  = ∇A + 2 + ∇(∇Λ) − 2 2 = 0
∂t 
c ∂t 
c ∂t
c ∂t
=0
r
Wenn die Funktion Λ ( r , t ) eine Lösung der Wellengleichung ist
1 ∂ Λ
∇ Λ− 2
=0
2
c ∂t
2
2
r
2
&
dann ist die Lorentzbedingung erfüllt. Wir ersetzen ∇A durch − φ c
(Lorentzbedingung) und erhalten
2
1
∂
φ
ρ
2
∇ φ− 2 2 = −
c ∂t
ε0
(*)
31
Klaus Wille
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
2
c
= 1 µ0ε0 folgt aus
Mit
r
r 1∂ A
r 1 ∂φ
r

2
∇ A − 2 2 − ∇⋅ ∇⋅ A + 2  = − µ0 j
c ∂t
c ∂t 

2
=0
Das Ergebnis ist dann
r
r 1∂ A
r
2
∇ A − 2 2 = −µ0 j
c ∂t
2
(**)
Die Ausdrücke r(*)r und (**) sind
r die entkoppelten Gleichungen für
die Potentiale A(r , t) und φ(r , t ). Diese inhomogenen Wellen
gleichungen sind die Grundlage jeder Art von elektromagnetischer
Strahlung.
32
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Klaus Wille
Die Lösung der inhomogenen Wellengleichungen
Für eine punktförmige Ladung hat das skalare Potential die Form
1
1
φ(r , t ) = f1 (r − ct ) + f 2 (r + ct )
r
r
Im Grenzfall für r → 0 geht es in das Coulomb-Potential über
1
1
1 ρ(0, t )
r →0
φ(r, t ) = f (r − ct) 
→
f (−ct) =
∆V
r
r
4πε0 r
Das retardierte Potential einer Punktr
ladung am Ort r ′ ist damit
r r
r − r' 
r
ρ r ' , t −

1 
c 
dφ(r, t ) =
dV
r r
4πε0
r − r'
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Klaus Wille
Für eine verteilte Ladung muß man über das Volumen V integrieren
und erhält
r r
− r' 
r
r
⌠ ρ r ' , t −

1
r
  r r c  dV
φ( r , t ) =
4 πε 0 
r − r'
⌡
V
rr
Das Vektorpotential A(r ,t) kann
r leicht berechnet werden indem man
den Ausdruck ρ ε0 durch µ0 j ersetzt.
r r
r r
r − r'
⌠ j r ', t −

r r
µ0  
c 
A( r , t ) =
dV
r r
4π 
r − r'
⌡
V
Diese Lösungen der zwei Wellengleichungen werden als LiénardWiechert Potentiale bezeichnet.
34
Klaus Wille
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Liénard-Wiechert-Potentiale von bewegten Ladungen
Zwei Effekte bestimmen die Strahlung
beim Beobachter
1. Statische Ladung
dq1 = ρ dσ dr
ρ( x' , y', z' )
r
R
r
n
P
Beobachter
dσ
2. Strom durch bewegte
Ladung
rr
dq2 = ρ v n dt dσ
Strahlung
zur Zeit t
q zur Zeit t’
r
dr
Teilchenbahn
35
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Klaus Wille
Daraus folgen das skalare Potential
1 ⌠ dq
1 q 1
r
φ(r , t ) =
rr =
rr

4πε0 ⌡ R(1 + nβ) 4πε0 R (1 + nβ)
und das Vektorpotential
r
r
rr
µ0 ⌠ vdq
c µ0 q β
A(r , t ) = 
rr =
rr
4π ⌡ R (1 + n β) 4π R (1 + n β) t′
Diese Gleichungen geben die Liénard-Wiechert-Potentiale für
bewegte Ladungen
36
Klaus Wille
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Das elektrische Feld einer bewegten Ladung
Nun kann man das elektrische Feld am Punkt P berechnen, indem
man die Potentiale einsetzt
r
r
r 
∂A 
β
q
1
cµ0q ∂
∇′
E = − ∇′φ +  = −
rr
rr −
∂t 
4πε0 R (1 + nβ) 4π ∂t R(1 + nβ)

Nach längeren Rechnungen folgt daraus schließlich
r2
r& 
r
r r
q  1− β r r
1 r
E=
− 3 (R + βR ) + 3 R × (R + βR )× β 
4πε0  a
ca

rr
a := R(1 + n β)
[
mit
Für große Abstände von der Quelle folgt daraus
{ [
r&
r
q 1 r r r
E=
R × (R + βR)×β
3
4πε0 ca
]
]}
37
Klaus Wille
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Das magnetische Feld einer bewegten Ladung
Ganz entsprechend folgt das das magnetische Feld
r
r cµ0q
r 1
r
r
β  cµ0q  1
B = ∇′ × A =
∇′ ×   =
 ∇′ × β − 2 (∇′a) × β
4π
a

 a  4π  a
und nach längeren Rechnungen
r r
r
r cµ0q  [β × n] R r& r R  r r r2 R r&  r r 
B=
− 2 − 2 β × n + 3  n β + β + β[β × n]
4π  a
ca
a
c 

[ ]
Für große Abstände reduziert sich der Ausdruck auf
[ ]
( )
r& r
r& r r r
r cµ0q 

[
]
β
×
n
β
n
β
×
n
−

B=
+
r
r
4π  cR (1 + nrβ)2 cR (1 + nr β)3 
38
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Klaus Wille
Es folgt die Beziehung zwischen elektrischem und magnetischem
Feld in der bekannten Form
r 1 r r
B = [E × n ]
c
Der Poynting Vektor ist damit
oder auch
r 1 r r
1 r r r
[E × (E × n )]
S = [E × B] =
µ0
cµ0
r
1 r2 r
S =− E n
cµ0
Für die retardierte Zeit hat der Poynting Vektor die Form
r
1 r2
rr r
S′ = −
E (1 + n β) n
c µ0
39
Klaus Wille
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Synchrotronstrahlung
Strahlungsleistung und Energieverlust
Wir wählen ein Koordinatensysten K*, das sich mit dem Teilchen
der Ladung q = e mitbewegt. In diesem System gilt
r*
r*
v =0 → β =0 → a=R
r& *
Man beachte aber, daß β ≠ 0 ! Dann erhält das elektrische Feld die
Form
( [
])
( [
r*
e 1 r r r& *
e 1 r r r& *
E =
R × R ×β =
n × n ×β
3
4πε0 cR
4πε0 cR
])
Die abgestrahlte Leistung per Raumwinkeleinheit ist damit
( [
dP
e2
rr 2
r r r& *
= −nS R =
n × n ×β
2
dΩ
(4π) cε0
])
2
40
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Klaus Wille
Damit folgt die räumliche Leistungsverteilung eines Hertz’schen Dipols
dP
e2 r& *2 2
=
β sin Θ
2
dΩ (4π) cε0
Durch Integration über alle Raumwinkel
folgt daraus nach Lamor die abgestrahlte
Gesamtleistung
e2 r& *2
P=
β
6πε0 c
Benutzt man den Impuls des Teilchens
folgt
r*
r*
r
r& * v& mv&
p&
β = =
=
c mc mc
41
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Man erhält
Klaus Wille
r 2
e
dp 

P=

2 3
6πε0m c  dt 
2
Dies ist die Strahlung eines nichtrelativistischen Teilchens. Für
extrem relativistische Teilchen braucht man eine Lorentzinvariante
Form:
1
E
1
dt → dτ = dt mit γ =
=
2
γ
m0c
1 − β2
r
p → Pµ (Viervektor)
Damit folgt schließlich die Strahlungsleistung in der relativistisch
invarianten Form
r
2
2

ec
dp  1  dE  

Ps =
−




2
2
2
6πε0 (m0c )  dτ  c  dτ  
2
42
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Klaus Wille
Es gibt zwei verschiedene Fälle:
r
dv v
|| v
1. lineare Beschleunigung:
dτ
2. Kreisbeschleunigung:
r
dv v
⊥v
dτ
43
Klaus Wille
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Lineare Beschleunigung
Die Teilchenenergie ist
E
2
= (m c )
2 2
0
+pc
2 2
Nach Differentation folgt
dE 2 dp
E
=c p
dτ
dτ
Mit E = γm0c2 und p = γm0v ergibt sich
dE
dp
=v
dτ
dτ
Einsetzen liefert
2
 dp 2  v 2  dp 2 
e 2c
dp

2 
( ) 
Ps =
  −     =
2 1− β 
2 2  dτ
2
 dτ 
6πε0 (m0c )    c   dτ   6πε0 (m0c )
e 2c
44
Klaus Wille
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Mit
1 − β2 = 1 γ 2 kann man schreiben
2
ec
dp 
 dp 

Ps =

 =
 
2 2 γ dτ
2 2 dt
6 πε 0 (m0 c ) 
6 πε 0 (m0 c )  

2
ec
2
2
Bei linearer Beschleunigung gilt
und wir erhalten
dp c dp dE
=
=
dt c dt dx
dE 

Ps =
 
2 2 dx
6πε0 (m0c )  
2
ec
2
Mit Werten aus existierenden Linacs folgt
dE
MeV
≈ 15
⇒ Ps = 4 ⋅10−17 Watt (!)
dx
m
45
Klaus Wille
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Kreisbeschleunigung
Bei der Ablenkung in einem Magnetfeld ändert sich die Energie des
geladenen Teilchens nicht. Die abgestrahlte Leistung ist somit
dp 
e cγ
dp 


Ps =
=



2
2
2
2
6πε0 (m0c )  dτ  6πε0 (m0c )  dt 
2
2
ec
2
2
2
Auf einer Kreisbahn gilt für die Änderung des Impulses
dp = p dα
Mit v = c und E = pc folgt
dp
pv E
= pω =
=
dt
ρ ρ
46
Klaus Wille
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Setzt man das ein, erhält man mit
γ = E m0c
2
e2c
E4
Ps =
2 4 ρ2
6πε0 (m0c )
Vergleich man die Strahlungsleistung eines Elektrons mit der eines
Protons gleicher Energie, folgt
me c 2 = 0.511MeV
m p c 2 = 938 .19MeV
Ps,e  m p c
= 
Ps, p  me c 2
2
4

 = 1.13 ⋅ 1013 (!)


Daher strahlen vor allem Elektronen.
47
Klaus Wille
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
In Kreisbeschleunigern ist der Energieverlust pro Umlauf
2πρ
∆E = ∫ Ps dt = Pstb = Ps
c
oder auch
e2
E4
∆E =
2 4 ρ
3ε0 (m0c )
Für Elektronen folgt daraus die einfache Beziehung
4
4
E [GeV ]
∆E [keV]= 88.5
ρ [m]
48
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Klaus Wille
49
Klaus Wille
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Die Synchrotronstrahlung wurde zuerst von Liénard am Ende des
19ten Jahrhunderts untersucht. Tatsächlich beobachtet wurde sie
fast 50 Jahre später am 70 GeV-Synchrotron von General Electric in
den USA.
4
E
∆E ∝
ρ
Der Energieverlust per Umlauf ist
L [m]
E [GeV]
ρ [m]
B [T]
∆E [keV]
BESSY I
62.4
0.80
1.78
1.500
20.3
DELTA
115
1.50
3.34
1.500
134.1
DORIS
288
5.00
12.2
1.370 4.53⋅103
ESRF
844
6.00
23.4
0.855 4.90⋅103
2304
23.50
195.0
0.400 1.38⋅105
27⋅103
70.00
3000
0.078 7.08⋅105
PETRA
LEP
50
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Klaus Wille
Öffnungswinkel der Synchrotronstrahlung
Im Schwerpunktsstem K’ ist die räumliche Leistungsverteilung die
eines Hertz‘schen Dipols
r
r
pz = γ β p0′
51
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Klaus Wille
Ein Photon parallel zur y’-Achse hat den Impuls
r Es′ r
p& ′y = p0′ = n
c
Es′ ist doe Photonenenergie. Der Viererimpuls wird
Pµ′ = ( pt , px , py , pz ) = ( Es′ c , 0, p0′ , 0 )
Mit der Lorentz-Transformation ergibt sich der Viererimpuls in K
γ

0

Pµ = 
0

 βγ
Mit
0 0 βγ   Es′ c   γEs′ c 

 
 
1 0 0  0   0 
⋅
=
0 1 0   p0′   p0′ 

 
 
0 0 γ   0   γβEs′ c 
p0′ = Es′ c erhalten wir den Öffnungswinkel
py
p0′
1
tan Θ = =
≈
pz γβ p0′ γ
52
Klaus Wille
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Die räumliche Strahlungsverteilung eines relativistischen
Teilchens
Die Leistungsverteilung der Strahlung eines geladenen, relativistischen Teilchens im System K* pro Raumwinkeleinheit ist
r& * 2 2
dP
e2
=
β sin Θ
2
dΩ (4π) cε 0
Mit der Beziehung für den Poynting-Vektor zur retardierten Zeit
erhält man
dP 1 r 2
rr 2
=
E (1 + n β)R
dΩ cµ0
Setzt man die elektrische Feldstärke ein, erhält man
{ [
dP 1
e
R r r r r&
( )
=
2 2 5 n × n + β ×β
dΩ cµ0 (4πε0 ) c a
2
5
]}
2
53
Klaus Wille
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
r
Der Vector R , der vom Beobachter zum bewegten Teilchen
weist, ist
z
observer
charge
r&
β
x
Θ
particle
trajectory
r
R
φ
s
 sin Θcosφ 
r


R = − R  sin Θ sin φ 
 cosΘ 


Die Lorentzkraft ist
 − vBz 
r


r r
r&
F = −ev × B = −e 0  = γm0 v
 0 


54
Klaus Wille
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
mit
 0
 v&x 
r   r&  
v =  0, v =  0  und
v
0
 
 
0
r  
B =  Bz 
0
 
Eine einfache Rechnung ergibt
γm0 v&x = evBz = ecβBz
Der Ablenkradius ρ der Teilchenbahn im Magnete folgt nach
1 e
eBz
γ m0v
= Bz =
⇒ Bz =
ρ p
γ m0v
eρ
Die transversale Beschleunigung kann geschrieben werden als
c2β2
v&x =
ρ
55
Klaus Wille
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Man erhält schließlich
und
 0   0
r
r v    
β = =  0  =  0
c    
 v c  β
2
 v&x c   (c β ) ρ 

r& 
 
β= 0 = 0 
 0   0 

 

Das doppelte Kreuzprodukt in (*) wird damit
{ (
)}
( )
r r r r&
r r r r& r&
rr
n × [n + β]× β = (n + β) n β − β (1 + n β)
56
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Klaus Wille
Nach etlichen Rechnungen erhält man daraus schließlich die
räumliche Leistungsverteilung der Synchrotronstrahlung in der
Form
dP
1
e 4 β4 (β2 − 1) sin 2 Θ cos2 φ + (1 − β cos Θ)
= 3
2 2
5
dΩ c µ 0 (4πε0 ) ρ
(1 − β cos Θ)
Beschleunigung:
2
2
dv v 2
β
a=
= = c2
ρ
dt ρ
57
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Klaus Wille
β=0
β = 0.3
58
Klaus Wille
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
β = 0.5
β = 0.9
59
Klaus Wille
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Transversale
Verteilung der
Strahlungsleistung
0
-1
1
2
-2
30
Die meiste Strahlung
liegt innerhalb eines
Kegels mit dem
Öffnungswinkel
1
Θ=
γ
20
10
0
-1
0
γΘ
1
2
60
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Klaus Wille
Ein Synchrotronstrahl
61
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Klaus Wille
Fluß und Brillianz der Synchrotronstrahlung
Für Experimente ist die Intensität der Strahlung eine der wichtigsten
Grössen. Die meisten Experiments brauchen Photonen in einem
bestimmten Energieintervall, dass 0.1% beträgt. Der Fluss ist die
Anzahl der Photonen pro Sekunde in einem Energieintevall für
einen Strahlstrom von 1 A.
Photonen
S=
sec ⋅ (0.1%BW) ⋅ A
Dabei ist nicht berücksichtigt, durch welche Fläche die Photonen
fliessen. Dazu wird die Brillianz eingeführt:
S
Photonen


B=
2
'
'
2
2

4 ⋅ π ⋅ σ x⋅σ y⋅σ x⋅σ y sec ⋅ (0.1%BW) ⋅ mm ⋅ mrad ⋅ A 
62
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Klaus Wille
Zeitstruktur und Strahlungsspektrum
Detaillierte Berechnungen findet man
z.B. in:
J.D. Jackson, Classical
Electrodynamics, Sect.
14
oder in
H. Wiedemann, Particle
Accelerator Physics II,
chapter 7.4
63
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Klaus Wille
Die Synchrotronstrahlung ist fokussiert innerhalb eines Strahlungskegels mit dem Öffnungswinkel Θ = 1 γ. Ein Beobachter kann
daher die Strahlung erst erkennen, wenn das Elektron den Punkt
A erreicht hat.
ρ
ρ
64
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Klaus Wille
Die Photonen fliegen vom Punkt A direkt zum Beobachter mit Lichtgeschwindigkeit. Die Elektronen fliegen dagegen durch einen Kreisbogen mit einer etwas geringeren Geschwindigkeit. Am Punkt B
kann die Strahlung zum letzten Mal beobachtet werden.
Die Zeitdifferenz ist
oder
2ρ Θ 2ρ sin Θ
∆t = t e − t γ =
−
cβ
c
 2ρ  1
2ρ  Θ
Θ3
1 1 
∆t =  − Θ +
− L = 
− + 3
c β
3!
 c  γ − 1 2 γ γ 6γ 
Mit
1
1 1
1
1  1 1
=
≈ 1 + 2  = + 3
2
γ − 1 2 γ γ1 − 1 2 γ
γ  2γ  γ 2γ
65
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Man erhält
Klaus Wille
2ρ  1 1 1 1  4ρ
∆t ≈  + 3 − + 3  =
c  γ 2γ γ 6γ  3cγ 3
Für DELTA ergibt sich daraus (ρ = 3.3 m, E = 1.5 GeV, γ = 2935).
∆t = 5.8 ⋅10−19 sec
Dieser extrem kurze Puls erzeugt ein breites Strahlungsspektrum
mit der typischen Frequenz
2π 3πcγ 3
ωtyp = =
∆t
2ρ
Öfter benutzt man die kritische Frequenz
ωtyp
3cγ 3
=
ωc =
π
2ρ
66
Klaus Wille
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Die exakte Berechnung des Spektrums wurde zum ersten Mal von
Schwinger durchgeführt. Er fand
P0  ω 
dN&
=
Ss  
dε ε ωc h  ωc 
Mit der Strahlungsleistung
Ps =
e2c
6πε0 (m0 c
)
2 4
E4
ρ2
erhält man die von allen N Elektronen abgestrahlte Leistung
e 2 cγ 4
eγ 4
P0 =
N=
Ib
2
3ε 0ρ
6πε0ρ
dabei ist der Strahlstrom
N ec
Ib =
2πρ
67
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Klaus Wille
Die Spektralfunktion hat die Form
9 3 ∞
Ss (ξ) =
ξ ∫ K5 3 (ξ)dξ
8π ξ
wobei
K 5 3 (ξ) die modifizierte Besselfunktion ist mit ξ = ω ωc.
Wegen der Energieerhaltung erfüllt die Spektralfunktion die
Normierungsbedingung
∞
∫ S (ξ) dξ = 1
s
0
Integration bis zur Grenze ξ = 1, i.e. ω = ωc, ergibt
1
1
∫0 S s (ξ) dξ = 2
Dieses Ergebnis zeigt, daß ωc das Spektrum in zwei Teile gleicher
Leistung spaltet.
68
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Klaus Wille
Synchrotronstrahlung aus einem Ablenkmagnet
69
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Klaus Wille
Strahldynamik mit Synchrotronstrahlung
Teilchen als harmonischer Oszillator
In Kreisbeschleunigern hat man Synchrotron- und Betatronschwingungen, die man in guter Näherung durch einen harmonischen
Oszillator beschreiben kann.
CAVITY
70
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Klaus Wille
Synchrotronschwingung
In Kreisbeschleunigern muß der Ernergieverlust durch HF-Cavities
ausgeglichen werden („Phasenfokussierung“)
Für ein Sollteilchen (∆p/p = 0) ist die Energieänderung pro Umlauf
E0 = eU0sin Ψs − W0
mit der Sollphase Ψs , der HF-Amplitude U0 und dem Energieverlust
W0. Für beliebige Teilchen mit dem Phasenfehler ∆Ψ findet man
E = eU0sin(Ψs + ∆Ψ) − W
Der Energieverlust kann entwickelt werden in der Art
dW
W = W0 +
∆E
dE
71
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Klaus Wille
Nach einigen Rechnungen erhält man die Schwingungsgleichung
&& + 2as ∆E& + Ω2 ∆E = 0
∆E
mit der Dämpfungskonstente
1 dW
as =
2T0 dE
und der Synchrotronfrequenz
Ω = ωu
eU0 q α cos Ψs
−
2πE
Die Gleichung kann gelöst werden durch den Ansatz
∆E(t ) = ∆E0 exp(− as t ) exp(iΩt )
Diese gedämpfte Schwingung mit der Frequenz Ω is wird als
Synchrotronschwingung bezeichnet.
72
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Klaus Wille
Betatronschwingung
Die Bewegung geladener Teilchen durch die Magnetstruktur wird
durch folgende Gleichungen beschrieben
1 ∆p
 1

x′′(s) +  2 − k (s) x(s) =
ρ(s) p
 ρ ( s)

z′′(s) + k (s)z(s) = 0
Dabei ist ρ(s) der Ablenkradius und k(s) die Quadrupolstärke. Mit
K(s) = 1/ρ²(s) - k(s) ergibt sich für Sollteilchen
x′′(s) + K (s) x(s) = 0
Mit Hilfe des Floquet'schen theorems finden wir die Lösung
x(s) = ε β(s) cos[Ψ(s) + φ]
mit der konstanten Strahlemittanz ε und der variablen aber
periodischen Betafunktion ß(s) .
73
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Klaus Wille
Die Phase wird ermittelt duch die Beziehung
s
⌠ dσ
Ψ( s ) = 
⌡ β(σ)
0
Die Lösung der Schwingungsgleichung beschreibt die transversale
Oszillation der Elektronen in bezug auf den Orbit. Dabei hat man
eine strenge Korrelation zwischen der Position s auf dem Orbit und
der Zeit t
s(t ) = s0 + ct
Diese transversale Teilchenbewegung wird als Betatronschwingung
bezeichnet.
74
Klaus Wille
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Strahlungsdämpfung
Die Dämpfung erfordert einen amplitudenabhängigen Energieverlust
durch Synchrotronstrahlung.
Dämpfung der Synchrotronschwingung
Die abgestrahlte Leistung der Synchrotronstrahlung ist
2
4
ec
1 E
Ps =
4 2
2
6πε0 (m0c ) ρ
Der Ablenkradius hat den Wert
1 e
ec
= B= B
ρ p
E
E2
2 2 2
=
e
cB
2
ρ
⇒
Wir können die Strahlungsleistung schreiben in der Form
Ps = CE 2 B2
with
C=
e4c3
6πε0 (m0c
)
2 4
75
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Klaus Wille
Zur Berechnung der Strahlungsdämpfung der Synchrotronschwingung benutzen wir die Beziehung
∆E&& + 2as ∆E& + Ω2∆E = 0
mit der Dämpfungskonstante
1 dW
as =
2T0 dE
Zur Berechnung muß der Wert dW/dE bestimmt werden. Dazu
berechnen wir den Ernergieverlust entlang der Dispersionsbahn.
 ∆x 
ds′ = 1 +  ds
ρ

Mit
ds′ / dt = c ist der Energieverlust pro Umlauf
T0
ds′ 1 ⌠  ∆x 
W = ∫ Ps dt = ∫ Ps
=  Ps 1 + ds
c c⌡ 
ρ
0
76
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Klaus Wille
Die Ablage ∆x wird durch die Energieabweichung hervorgerufen
∆E
∆x = D
E
Damit wird der Energieverlust
1 ⌠  D∆E 
W =  Ps 1 +
ds
c⌡  ρ E 
Die Differentation liefert
dW 1 ⌠ dPs D  dPs ∆E
1 
+ Ps  ds
=  + 
dE c ⌡  dE ρ  dE E
E 
Die Mittelung der Energieoszillation über lange Zeiten liefert
∆E
=0
E
77
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Klaus Wille
Damit folgt
dW 1 ⌠  dPs DPs 
=  +
ds

dE c ⌡  dE ρE 
Wir benutzen die Strahlungsformel und erhalten
dPs
1 1 dB 

2
2 dB
= 2 C EB + 2 C E B = 2Ps  +

dE
dE
 E B dE 
In Quadrupolen mit endlicher Dispersion bewirkt die sich ändernde
Teilchenenergie eine Feldvariation
dB dB dx dB D
=
=
dE dx dE dx E
78
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Klaus Wille
Daraus gewinnt man
dW 1 ⌠   1 D dB
D
=  2Ps  +
 + Ps ds
dE c ⌡   E BE dx 
ρE 
2
1 ⌠  2 dB 1 
= ∫ Ps ds +  DPs 
+ ds
cE
cE ⌡  B dx ρ 
= 2W 0 E
Die Dämpfungskonstante hat schließlich die Form
1 dW W0 
1 ⌠
 2 dB 1  
as =
=
2+
DPs 
+ ds


2T0 dE 2T0 E  cW0 ⌡
 B dx ρ  
79
Klaus Wille
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
oder
W0
as =
(2 + D )
2T0 E
mit
1 ⌠
 2 dB 1 
D=
DPs 
+  ds

cW0 ⌡
 B dx ρ 
Es ist praktischer, den Biegeradius ρ und die Quadrupolstärke k zu
benutzen anstelle der Feld- und Gradientenwerte
ec dB
dB kE 
k=
→
= 
E dx
dx ec 
1 ec
1 ec 
= B →
= ρ
ρ E
B E 
⇒
1 dB
= kρ
B dx
Die Strahlungsleistung schreiben wir in der Form
4
C E
Ps = 2 2 2
ec ρ
80
Klaus Wille
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Damit wird das Integral
CE ⌠ D 
1
CE ⌠ D
1
⌠  2 dB 1 
 DPs  B dx + ρ ds = e2c2  ρ2  2kρ + ρ ds = e2c2  ρ  2k + ρ2 ds
⌡ 

⌡ 

⌡ 

4
4
Die abgestrahlte Energie des Sollteilchens ist
T0
1
CE 4 ⌠ ds
W0 = ∫ Ps dt = ∫ Ps ds = 2 3  2
c
e c ⌡ρ
0
Damit ist die Dämpfungskonstante der Synchrotronschwingung
W0
(2 + D )
as =
2T0 E
1
⌠ D
 ρ  2k + ρ2 ds

with D = ⌡ 
⌠ ds
 2
⌡ρ
Die Dämpfung hängt nur von der Magnetstruktur der Maschine ab.
81
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Klaus Wille
Dämpfung der Betatronschwingung
Impuls des
Photons
Teilchenbahn
82
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Klaus Wille
Die Rechnungen liefern die Dämpfungskonstante
∆A
W0
az = −
=
A ∆t 2ET0
Für die horizontale Dämpfungskonstante muß noch die Dispersion
in die Rechnung einbezogen werden. Dann erhält man
W0
ax =
(1 − D )
2ET0
mit
1
⌠ D
 ρ  2k + ρ2 ds

D =⌡ 
⌠ ds
 2
⌡ρ
83
Klaus Wille
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Das Robinson Theorem
Die Dämpfungskonstenten sind
W0
W0
(2 + D ) =
as =
Js
2T0 E
2T0 E
W0
W0
az =
=
Jz
2T0 E 2T0 E
W0
W0
(1 − D ) =
ax =
Jx
2T0 E
2T0 E
mit
Js = 2 + D
Jz = 1
Jx = 1 − D
Aus diesen Beziehungen findet man direkt das Robinson Kriterium
J x + J z + Js = 4
84
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Klaus Wille
Natürliche Strahlemittanz
Die natürliche Strahlemittanz
wird durch das Gleichgewicht
zwischen stochastischer Anregung und Strahlungsdämpfung
bestimmt.
85
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Klaus Wille
Es gehört jetzt zu einer Dispersionsbahn mit dem Abstand und
Winkel
∆p
δx = D
p
∆p
und δx′ = D′
p
Nach der Emission des Photons hat das Teilchen eine endliche
Emittanz, die man aus der Gleichung der Phasenellipse berechnen
kann.
86
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Klaus Wille
εi = γδx2 + 2αδxδx′ + βδx′2
2
 dp 
=   (γD2 + 2αDD′ + βD′2 )
 p
2
 dp 
=   H ( s)
 p
Diese Gleichung gilt nur für ein einzelnes Elektron. Um Die Strahlemittanz und damit die Gesamtheit aller Teilchen zu erfassen, muß
man über die Impulsverteilung summieren. Bei ultrarelativistischen
Teilchen ist
∆p ∆E
=
p
E
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Klaus Wille
Berechnet man das Quadrat der relativen Energiebreite folgt die
natürliche Emittanz
55 hc 2
εx =
γ
2
32 3 m0c
1
H ( s)
3
R
1
Jx 2
R
Dabei ist Jx = 1 - D . Die Mittelung 〈…〉 erfolgt nur über die Ablenkmagnete. Sind alle Ablenkmagnete gleich, d.h. haben sie denselben
Radius R und dieselbe Länge l, und ist Jx ≈ 1, was sehr häufig der
Fall ist, vereinfacht sich die Gleichung auf
l
2
E
−6
εx = 1.47 ⋅10
H (s) ds
∫
Rl 0
H ( s ) = (γ D 2 + 2αDD′ + βD′2 )
E in [GeV],
R in [m] and
εx in [m rad].
88
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Klaus Wille
Beispiele
FODO-Struktur
Erhöhung der Quadrupolstärke
verringert die Betafunktionen und
die Dispersion und die Funktion
H(s). Das kann man am Beispiel
einer einfachen "FODO-Struktur“
zeigen.
OPTICS
89
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Durch Erhöhen der Quadrupolstärken wird die Emittanz
reduziert
Klaus Wille
Es erhöht sich aber auch die
Chromatizität
90
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Klaus Wille
Die Betafunktion und
die Dispersion haben
in den Ablenkmagneten nicht die minimalen Werte.
91
Klaus Wille
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Triplettstruktur
DELTA: E = 1.5 GeV is εx = 7⋅10-9 m rad.
ß [m]
D [m]
Dx
ßx
ßz
QF QD
B
QD
QF
QD
B
QD
QF
92
Klaus Wille
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Low emittance lattice
Grundidee des low emittance lattice
Wie erhält man die kleinstmögliche Emittanz?
In reinen Synchrotronstrahlungsmaschinen benötigt
man gerade freie
Strecken zum Einbau von Wigglern
und Undilatoren.
Diese geraden
Strecken haben
keine Dispersion
D ≡ 0.
Ablenkmagnet
93
Klaus Wille
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Am Anfang des Ablenkmagneten gilt für die Dispersion
 D0   0 
 = 
 D0′   0 
Mit diesen Anfangsbedingungen ist die Dispersion im Ablenkmagnet
eindeutig definiert. Mit s R << 1 erhält
s s

D ( s ) = R 1 − cos  ≈
R  2R

2
s
s
D ′( s ) = sin ≈
R R
Die Emittanz kann daher nur noch durch Variation der Anfangsbedingungen β0 and α0 der Betafunktion variiert werden. Diese
Funktion wird transformiert mit
 β(s) − α(s)   1 s   β0 − α0   1 0 
⋅

=
⋅

 − α(s) γ(s)   0 1   − α0 γ 0   s 1 
94
Klaus Wille
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Daraus folgt sofort
β(s) = β0 − 2α0 s + γ 0 s 2 , α(s) = α0 − γ 0 s, γ(s) = γ 0 = const.
Wir schreiben die Funktion H(s) in der Form
H (s) = γ(s)D2 (s) + 2α(s)D(s)D′(s) + β(s)D′2 (s)
1  γ0 4
3
2
= 2  s − α0s + β0s 
R 4

Für identische Ablenkmagnete und mit Jx = 1 erhält man
γ
2 l 
εx = Cγ ∫ H (s)ds = Cγ γ  
Rl 0
 R
2 l
wobei
3
 γ 0l α0 β0 
 − + 
 20 4 3l 
55 h
Cγ =
= 3.832 ⋅10−13m
32 3 m0c
95
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Die Relation
Klaus Wille
l
=Θ
R
ist der Ablenkwinkel der Magnete. Also folgt
 γ 0l α0 β0 
εx = Cγ γ Θ  − + 
 20 4 3l 
2
3
Da die Emittanz mit Θ3 anwächst, ist es besser, viele kurze Magnete
zu nehman anstelle von wenigen langen.
Um die kleinstmögliche Emittanz zu erhalten, variiert man die
Anfangsbedingungen β0 und α0 bis das Minimum gefunden ist.
Das ist der Fall, wenn
 α0 l 1 
∂εx
∂ 1 + α02 l α0 β0 
=A
− +  =A 
− =0

∂α0
∂α0  β0 20 4 3l 
 β0 10 4 
96
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
und
mit
Klaus Wille
 1+α02 l 1 
∂εx
=A − 2
+ =0
∂β0
 β0 20 3 
A = Cγ γ 2 Θ3
Die unbekannten Anfangsbedingungen β0 und α0 sind
3
β0,min = 2 l = 1.549l
5
α0,min = 15 = 3.873
Die Betafunktion für die minimal mögliche Emittanz wird daher nur
durch dei Länge des Magneten l bestimmt.
97
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Klaus Wille
Dieses Prinzip wird beim
Chasman Green lattice,
angewendet.
Beispiel einer einfachen
Magnetstruktur nach dem
Chasman Green-Prinzip
Diese einfache Struktur
hat keinerlei Flexibilität, in
der Praxis benutzt man
mehr Quadrupole.
98
Klaus Wille
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
European Synchrotron Radiation Facility,
Grenoble
Beispiel eines Low Emittance Speicherrings der 3. Generation
99
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Klaus Wille
Die Magnetstruktur einer Zelle der ESRF. Der Ring besitzt 32 Zellen
Diese Struktur wird als “double bend achromat” (DBA) bezeichnet
100
Eigenschaften der Synchrotronstrahlung
Klaus Wille
BESSY II in Berlin benutzt den "triple bend achromat” (TBA)
101
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