Vektorrechnung Vektor Ein Skalar hat einen Betrag aber keine

Vektorrechnung
Vektor
Ein Skalar hat einen Betrag aber keine Richtung. Beispiel: Temperatur, Masse.
Ein Vektor ist eine Größe mit einem Betrag und einer Richtung. Beispiele für
einen Vektor sind die Geschwindigkeit und Kraft. Vektoren werden durch Pfeile
dargestellt. Das Bild links zeigt drei verschiedene Vektoren.
Unter einem Vektor versteht man die "Menge aller Pfeile" mit gleicher Richtung
und gleichem Betrag.
Repräsentant des Vektors
Jeder Pfeil aus dieser Menge ist ein sogenannter Stellvertreter oder
"Repräsentant des Vektors".
Schreibweisen
Einen Vektor kennzeichnet man oft durch einen Pfeil oder durch Fettdruck. In
modernen, computergeschriebenen Texten werden Vektoren auch durch
Unterstreichen markiert.
Frakturschrift
In älteren Veröffentlichungen werden Vektoren, aber auch andere
mathematische und physikalische Größen, mit Frakturbuchstaben
gekennzeichnet.
Abgebildet ist jeweils der Buchstabe in unserer heutigen Schrift und darunter
der Groß- und Kleinbuchstabe in Frakturschrift.
Vektorraum
Eine Menge V heißt Vektorraum, wenn für ihre Elemente (Vektoren) eindeutige, stets ausführbare
Addition und Multiplikation definiert sind und es gilt:
∀ a→, b→, c→ ∈ V und r,s ∈ R
1. Kommutativgesetz
a→ + b→ = b→ + a→
2. Assoziativgesetz
(a→+b→)+c→ = a→+(b→+c→)
→
→
3. Zu je zwei a , b gibt es stets genau ein c→ mit a→ + c→ = b→
4. Einselement
1a→ = a→
5. Distributivgesetz
(r+s) a→ = r a→ + s a→
6. Distributivgesetz
r (a→ + b→) = r a→ + r b→
7. Assoziativgesetz
r (s a→) = (rs) a→
Die Elemente von V werden als Vektoren bezeichnet; das neutrale Element der additiven Gruppe heißt
Nullvektor. Ein Vektor ist durch seinen Betrag (Länge) sowie Richtung und Orientierung charakterisiert.
In einem Vektorraum V über einem Körper K gilt:
0v→ = 0→ ; für alle v→ ∈ V
a0→ = 0→ ; für alle a ∈ K
(-1)v→ = -v→
v→ ∈ V und a ∈ K gilt: Aus av→ = 0→ folgt a = 0 oder v→ = 0→.
Nullvektor
o→ ⇔ Betrag = 0
Der Nullvektor ist ein Vektor vom Betrag Null, Anfangs- und Endpunkt fallen zusammen. Der Nullvektor
hat die Länge Null und eine unbestimmte Richtung.
Einheitsvektor
⇔ Betrag = 1
Entgegengesetzter Vektor zu a→ ⇔
Entgegengesetzter Vektor zu a→ ist der Vektor -a → mit gleichem Betrag, gleicher Richtung und
entgegengesetzter Orientierung. Es gilt: a→ + (-a→) = o→
Basis eines Vektorraumes
... ein in einer festen Reihenfolge angeordnetes linear unabhängiges System Bn von Vektoren aus Vn mit
der Eigenschaft, dass sich jeder Vektor aus Vn auf genau eine Weise als Linearkombination der Elemente
von Bn darstellen
Rechte-Hand-Regel
... gestreckter Daumen (ex) und Zeigefinger (ey) und der um 90° abgewinkelte Mittelfinger (ez) der
rechten Hand bilden ein für eine dreidimensionale Basis ein Rechtssystem
Dimension eines Vektorraumes ... Anzahl der Basisvektoren
orthogonale Basis ... Basisvektoren sind paarweise senkrecht zueinander
Orthonormalbasis ... Basisvektoren stehen senkrecht aufeinander und sind normierte Einheitsvektoren
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kartesische Basis (Einheitsvektoren) ... geradliniges Orthonormalbasissystem, das eine besonders
einfache geometrische Interpretation der zu beschreibenden Probleme erlaubt
normierte Basis ... Basisvektoren sind Einheitsvektoren
Freier Vektor ... darf beliebig verschoben, aber nicht gespiegelt, nicht gedreht und nicht skaliert
werden.
Linienflüchtiger Vektor ... Vektor, der entlang seiner Wirkungslinie beliebig verschiebbar ist. Kräfte am
starren Körper sind linienflüchtige Vektoren.
Gleichheit von Vektoren
Zwei Vektoren werden als gleich betrachtet, wenn sie in Betrag und Richtung übereinstimmen. Gleich
lange Vektoren sind nur dann gleich, wenn sie ohne Drehung (Rotation), nur durch eine
Parallelverschiebung, zur Überdeckung gebracht werden können.
Parallele Vektoren ... können durch Parallelverschiebung auf dieselbe Gerade gebracht werden.
Gleichgerichtete Vektoren ... haben die gleiche Richtung.
Entgegengesetzte (antiparallele) Vektoren ... haben entgegengesetzte Richtungen.
Vektorfeld
Gesamtheit der den Raumpunkten zugeordneten Vektoren; Funktion von Rn nach Rn
Beispiele: Gravitationsfeldstärke, magnetische Feldstärke, elektrische Feldstärke
Beispiele für Vektorräume
Nullvektorraum
{0→} mit 0→ + 0→ = 0→ und 0→ = a0→ für alle a ∈ K ist ein K-Vektorraum, der Nullvektorraum.
Einfache Beispiele
Der euklidische Vektorraum Rn ist eine Vektorraum über den reellen Zahlen. Allgemein kann man für
einen beliebigen Körper K den Vektorraum Kn definieren. Dieser enthält die n-Tupel von Elementen aus K
als Vektoren, deren Addition und Skalarmultiplikation komponentenweise definiert ist.
R ist ein Q-Vektorraum, wie aus den Körpereigenschaften von R folgt. Ebenso ist C ein R-Vektorraum und
ein Q-Vektorraum.
Allgemein gilt: Jeder Körper L, der K als Teilkörper enthält, ist ein Vektorraum über K.
Vektorraum der Abbildungen
Sei X eine nicht leere Menge, und sei Abb(X, K) = {f: X → K} die Menge der Abbildungen von X mit
Werten aus K. Für Abbildungen f, g ∈ Abb(X, K) und a ∈ K definiert man
(1) Addition
f + g: (f+g)(x) = f(x) + g(x) ; ∀x ∈ X
(2) Skalarmultiplikation
a f: (af)(x) = a f(x) ; ∀x ∈ X
Die Operationen werden punktweise für alle x ∈ X definiert.
Abb(X, K) wird dadurch zu einem K-Vektorraum. Dass Abb(X, K) ein K-Vektorraum ist, zeigt man durch
Rückführung auf die entsprechenden Vektorraumeigenschaften von K.
Das neutrale Element der Addition, der Nullvektor, ist die Nullabbildung, die jedes Element aus X auf 0→
∈ K abbildet.
Die zu f inverse Abbildung -f ist fann -f(x). Bei Abb(X, K) handelt es sich um einen Funktionenraum mit
Werten in K. Für zwei Vektorräume V und W über dem selben Körper kann man Abb(V, W) mit zu (1) und
(2) analogen Festlegungen den Vektorraum aller Abbildungen zwischen den beiden Vektorräumen
definieren.
Polynomvektorraum
Es sei Pn die Menge aller Abbildungen f von R in R, die durch Formeln der Form
f(x) = an · xn + an-1 · xn-1 + ... + a1 · x + a0
(an, an-1, ..., a0 ∈ R) beschrieben werden können. Pn ist die Menge aller Polynome, deren Grad höchstens
n ist.
Auf der Menge Pn lassen sich eine Addition und eine Multiplikation mit Skalar (aus R) wie folgt erklären:
Für
f(x) := Σi=0n ai · xi
und
g(x) := Σi=0n bi · xi
n
seien (f+g)(x) := Σi=0 (ai+bi) · xi
und
(c·f)(x) := Σi=0n (c ai) · xi
wobei c reelle Zahl ist.
Pn bildet zusammen mit den definierten Operationen einen Vektorraum über R.
Indem man die Koeffizienten der Polynome nur aus Q oder aus C wählt, erhält man analog zu oben auch
Vektorräume über Q oder C.
Der Vektorraum Pn lässt sich verallgemeinern.
Bekanntlich ist die Summe zweier stetiger Funktionen über einem gewissen Intervall [a,b] und auch das
λ-fache einer stetigen Funktion wieder eine stetige Funktion, λ ∈ R. Damit ist die Menge C[a,b] aller
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stetigen Funktionen, die den Definitionsbereich [a,b] ⊆ R haben, zusammen mit den auf natürliche Weise
erklärten Addition und Multiplikation mit Skalar ein Vektorraum über R.
Anstelle des Intervalls [a,b] können auch halboffene oder offene Intervalle [a,b), (a,b] oder (a,b) gewählt
werden.
Kartesisches orthonomiertes Koordinatensystem
Punkt 0 und paarweise senkrecht aufeinander
stehende Einheitsvektoren
i→, j→, k→
→
→
→
i , j , k bilden in dieser Reihenfolge ein
Rechtssystem
Ortsvektor des Punktes P1(x1,y1,z1)
x→ = x1 i→ + y1 j→ + z1 k→
Vektor, dessen Anfangspunkt (O) im
Koordinatenursprung liegt und dessen Spitze zum
Punkt P führt
Komponentendarstellung
x→ = (ax, ay, az)
→
Betrag eines Vektors
| x | = √[ ax² + ay² + az² ]
Beispiel: Ortsvektor des Punktes (3; 2.5; 3.5)
Ist ein Punkt P gegeben, so sind P' der Grundriss, P" der Aufriss und P"' der Kreuzriss des Punktes.
Der Koordinatenquader ist der Quader, dessen Kantenlängen die Absolutbeträge der Koordinaten des
Punktes P(xP, yP, zP) besitzen.
Ein Koordinatenweg ist ein im Ursprung beginnender und in P endender Streckenzug aus drei Kanten
eines Koordinatenquaders, welcher alle drei Koordinaten von P zeigt.
Linkskoordinatensystem, Rechtskoordinatensystem
Prinzipiell existieren zwei Möglichkeiten zur Orientierung der drei Achsen
eines kartesischen Koordinatensystems im R³.
Im Allgemeinen wird in der Mathematik das Rechtskoordinatensystem
bevorzugt. Für dieses gilt die Rechte-Hand-Regel:
"x-Achse, y-Achse und z-Achse eines Rechtskoordinatensystems sind
orientiert wie Daumen, Zeigefinger und Mittelfinger der rechten Hand"
Bei einem; selten genutzten; Linkskoordinatensystem gilt die Orientierung
für die linke Hand.
Richtungskosinus des Ortsvektors r→ in der Ebene
x = | r→ | cos α
y = | r→ | sin α
α = ∠ ( i→, r→ )
im Raum
x = | r→ | sin β cos α y = | r→ | sin β sin α
z = | r→ | cos β
→ →
→
→
→
α = ∠ ( i , i x + j y) β = ∠ ( k , r )
y = | r→ | cos β
z = | r→ | cos γ
bzw.
x = | r→ | cos α
mit
cos² α + cos² β + cos² γ = 1: cos α = x/√(x² + y² + z²)
cos β = y/√(x² + y² + z²)
cos γ = z/√(x² + y² + z²)
→0
r
=r
→
→
/|r
Einheitsvektor in Richtung r→, Gerichteter Einheitsvektor
|
Addition von 2 Vektoren
a→ + b→ = (ax+bx, ay+by, az+bz)
Die Addition mehrerer Vektoren erfolgt nach der Polygonregel: Der jeweils
nächste zu addierende Vektor wird mit seinem Anfangspunkt am Endpunkt des
vorherigen abgetragen. Dies führt zu einem Polygon. Ist das Vektorpolygon
geschlossen, so ist der Summenvektor der Nullvektor.
Führt die Vektoraddition von Kräften zum Nullvektor, so heben sich die Kräfte in
ihrer Wirkung gegenseitig auf.
Beispiel: Kräfte sind vektorielle Größen
Teilkräfte F→1, F→2 ; Resultierende Kraft F→R
1. gleiche Wirkungslinie: Summe der Beträge, Wirkungslinie bleibt erhalten
FR = F1 + F2
2. gleicher Angriffspunkt Kräfte werden vektoriell addiert
F→R = F→1 + F→2
FR = √( F1² + F2² + 2 F1F2 * cos (α + β) )
für rechtwinklig wirkende Kräfte
FR = √( F1² + F2²)
Richtung der resultierenden Kraft
sin α = F2/FR * sin (α+β)
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sin β = F1/FR * sin (α+β)
Durch mehrfaches Anwenden des Kräfteparallelogramms können mehrere Kräfte zu einer Gesamtkraft F
zusammengesetzt werden.
Zerlegung von Kräften
... zu zerlegende Kraft F→, Teilkräfte F→1, F→2, Winkel α zwischen F→1 und F→, Winkel β zwischen F→2 und
F→
F1 = F * sin α / sin(α + β)
F2 = F * sin β / sin(α + β)
Sind die Komponenten F1 und F2 senkrecht zueinander, gilt
F1 = F * sin α = F * cos β
F2 = F * sin β = F * cos α
Um eine Kraft eindeutig in zwei Teilkräfte zu zerlegen, müssen entweder die Richtungen oder die Beträge
der Teilkräfte bekannt sein.
Parallele Kräfte
... die Wirkungslinien paralleler Kräfte besitzen keinen Schnittpunkt. Für die
Summe ihrer Beträge gilt
FR = F1 + F2
Die Wirkungslinie der Resultierenden teilt den Abstand beider Kräfte im
umgekehrten Verhältnis beider Kräfte.
Hinweis: Bei antiparallelen Kräften liegt die Resultierende außerhalb und
nicht zwischen den beiden Kräften!
Die Wirkungslinien paralleler Kräfte haben keinen Schnittpunkt. Man addiert
daher zu jeder Kraft eine Hilfskraft. Die Hilfskräfte müssen den gleichen
Betrag und die entgegengesetzte Richtung haben; sie heben sich dann
gegenseitig auf und ändern nichts am Resultat. Dann addiert man die
Resultierenden aus Kraft und jeweiliger Hilfskraft wie Kräfte mit
verschiedenen Angriffspunkten zur Gesamtresultierenden. Die Abstände der
beiden Ausgangskräfte zur Gesamtresultierenden sind umgekehrt
proportional zu den Beträgen der Kräfte.
Kräfte mit verschiedenen Angriffspunkten ... diese Kräfte verschiebt man auf ihren Wirkungslinien bis zu
ihrem Schnittpunkt und wendet darauf das Kräfteparallelogramm an.
Subtraktion
a→ - b→ = a→ + (-b→)
Dreiecksungleichung für Vektoren
| a→ + b→ | ≤ | a→ | + | b→ |
| a→ - b→ | ≥ | a→ | - | b→ |
Gegensatz zum Rechnen mit reellen Zahlen: Der Betrag der Summe zweier Vektoren kann kleiner sein als
der Betrag ihrer Differenz, nämlich dann, wenn der von den Vektoren eingeschlossene Winkel größer als
90° ist.
Multiplikation von Vektoren
Vielfachbildung mit Skalar
r und s sind beliebige reelle Zahlen, Skalare
r a→ = r a1x→ + r ay j→ + r az k→
r (s a→) = (rs) a→
r (a→ + b→) r a→ + r b→
(r + s) a→ = r a→ + s a→
0 a→ = o→
1 a→ = a→
Operation wird auch skalare Multiplikation (nicht mit Skalarprodukt verwechseln !) oder S-Multiplikation
genannt.
Linearkombination von Vektoren
Gegeben sei eine Menge {a→, b→, ...} von Vektoren . k1, k2, ... seien reelle Zahlen. Dann nennt man
jeden Vektor x→ der Form
x→ = k1 a→ + k2 b→ + ... eine Linearkombination der Vektoren a→, b→, ...
Nullsummen
Eine Linearkombination k1 a→ + k2 b→ + ... kann gleich dem Nullvektor sein. Die Linearkombination nennt
man in diesem Fall eine Nullsumme, die grafisch einer geschlossenen Vektorkette entspricht.
Nichtriviale Nullsummen
Ein Spezialfall ist die triviale Nullsumme, bei der alle Koeffizienten k1, k2, ... gleich 0 sind: 0 = 0 a→ + 0
b→ + ...
Lineare Abhängigkeit
Gegeben sei eine Menge {a→, b→, ...} aus Vektoren. Findet man unter den Linearkombinationen der
Menge außer der "trivalen Nullsumme" auch eine "nichttriviale Nullsumme", so nennt man die Menge
{a→, b→, ...} linear abhängig.
Zwei Vektoren sind genau dann linear abhängig, wenn sie kollinear sind. Drei Vektoren nennt man
komplanar, wenn sie alle in einer Ebene liegen.
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Drei Vektoren sind genau dann linear abhängig, wenn sie komplanar sind. Vier Vektoren im Raum (oder
Ebene) sind immer linear abhängig. Ist eine Menge aus Vektoren linear abhängig, so gibt es mindestens
einen Vektor, der sich als Linearkombination der restlichen Vektoren ausdrücken lässt.
Aufgaben zu Linearkombinationen von Vektoren
Aufgabe: Der Vektor d→ ist als Linearkombination der drei Vektoren a→, b→ und c→ darzustellen. Die
Vektoren werden hier als Zeilenvektoren angegeben:
1) a→ = (1 | -1 | 1) ; b→ = (2 | 1 | -1) ; c→ = (2 | -2 | 1) ; d→ = (-8 | -13 | 12)
2) a→ = (4 | -2 | 0) ; b→ = (-2 | 3 | 7) ; c→ = (1 | 1 | -4) ; d→ = (2 | -12 | -20)
3) a→ = (-1 | 3 | 2) ; b→ = (5 | 0 | 4) ; c→ = (5 | -6 | -7) ; d→ = (-8 | 9 | 2)
4) a→ = (2 | 1 | 3) ; b→ = (-3 | 1 | -7) ; c→ = (2 | 3 | -4) ; d→ = (-5 | -8 | 18)
5) a→ = (2 | 1 | -3) ; b→ = (-3 | 5 | 7) ; c→ = (0 | 5 | -4) ; d→ = (-6 | 2 | 5)
6) a→ = (3 | 0 | -4) ; b→ = (0 | 3 | 5) ; c→ = (7 | 0 | 0) ; d→ = (0 | 12 | -8)
Lösung:
1) d→ = 4 a→ -7 b→ + c→
2) d→ = - a→ -4 b→ -2 c→
3) d→ = 3 a→ - b→
→
→
→
→
→
→
→
4) d = 3 a + b -4 c
5) d = -3 a + c
6) d→ = 7 a→ +4 b→ -3 c→
Parallelität von Vektoren
a→ = λ b→ ⇔ µ a→ = b→ ⇔ linear abhängige Vektoren ⇔ kollineare Vektoren
Komplanare Vektoren ... liegen in einer Ebene; sind a→, b→ und c→ komplanar, gilt c→ = r*a→ + s*b→
bzw. a x a y a z
bx
by
bz = 0
cx
cy
cz
Skalarprodukt (inneres Produkt)
a→ * b→ = axbx + ayby + azbz = | a→ | * | b→ | * cos ∠ (a→ ,b→)
Es gilt: i→ * i→ = j→ * j→ = k→ * k→ = 1 ; i→ * j→ = j→ * k→ = i→ * k→ = 0
Es gelten: Kommutativ- und Distributivgesetz. Das Assoziativgesetz gilt nicht !
Orthogonalitätsbedingung ... a→ ⊥ b→ ⇒ a→ * b→ = 0
Formel von Euler, Eulersche Vektorformel
Sind A, B, C und D vier Punkte auf einer Geraden, so gilt
BC→ • AD→ + CA→ • BD→ + AB→ • CD→ = 0
Formel von Simpson, Simpsonsche Vektorformel
Sind A, B, C und D vier Punkte auf einer Geraden, so gilt
AD→² BC→ + BD→² CA→ + CD→² AB→ + BC→ • CA→ AB→ = 0→
Schwarzsche Ungleichung für Vektoren
| a→ * b→ | ≤ | a→ | * | b→ |
... das Gleichheitszeichen gilt genau dann, wenn a→ und b→ linear abhängig sind
a→ * b→ = | a→ | * | b→ | , wenn a→ ↑↑ b→
a→ * b→ = - | a→ | * | b→ | , wenn a→ ↑↓ b→
Kosinussatz für Vektoren
( a→ + b→ )² = a→² + 2 a→ b→ + b→² ( a→ - b→ )² = a→² - 2 a→ b→ + b→²
| a→ + b→ | = √[ a→² + 2 a→ b→ + b→² ]
| a→ - b→ | = √[ a→² - 2 a→ b→ + b→² ]
Längskomponente von a→ in Richtung b→, Längskomponente eines Vektors
ab = a→ * b→ / | b→|
... (Betrag)
Orthogonale Projektion von a→ auf b→
ab→ = a→ * b→ / | b→|² * b→
Projektion eines Vektors
Skalarprodukt a→ * b→ = |a→| * |b→| * cos(a→,b→)
Das Skalarprodukt zweier Vektoren a→ und b→ kann auch als das Produkt aus
dem Betrag von a→ und dem Betrag der Projektion von b→ auf a→ festgelegt
werden:
a→ * b→ = |a→| * | Projektion von b→ auf a→|
| Projektion von b→ auf a→| = |b→| * cos(a→,b→)
Die Gleichung zur Projektion von b→ auf a→ wird auch Schattenformel genannt, da sie u.a. die Länge des
Schattens von b→ angibt, wenn die Lichtquelle senkrecht über b→ steht.
Gesetze des Skalarproduktes
das Skalarprodukt ist kommutativ
das Skalarprodukt ist distributiv
176
a→ * b→ = b→ * a→
k * (a→ * b→ ) = k a→ + k b→ , mit jedem reellen k
das Skalarprodukt ist im allgemeinen nicht assoziativ (a→ * b→) * c→ ≠ a→ * (b→ * c→)
das Skalarprodukt ist gemischt assoziativ
(k * a→) * b→ = k (a→ * b→)
a→ * (k b→) = k (a→ * b→)
Das Quadrat eines Vektors ist gleich dem Quadrat seines Betrages: a→2 = | a→ |2
Skalarprodukt und Kosinussatz
Aus dem Kosinussatz am allgemeinen Dreieck kann eine Definition des
Skalarprodukts hergeleitet und die Berechnung des Winkels zwischen zwei
Richtungsvektoren über das Skalarprodukt begründet werden.
Gegeben ist das Dreieck ABC mit den drei Vektoren BC→= -a→, CA→= b→ und c→
= a→ - b→.
Für den Betrag |c→| gilt dann |c→|² = |a→ - b→|²
und über den Kosinussatz
|c→|² = |a→|² + |b→|² - 2|a→||b→| cos γ
Gleichsetzen ergibt
|a→ - b→|² = |a→|² + |b→|² - 2|a→||b→| cos γ
und Berechnung der Beträge
(ax-bx)² + (ay-by)² = ax² + ay² + bx² + by² - 2|a→||b→| cos γ
-2axbx - 2ayby = - 2|a→||b→| cos γ
axbx + ayby = |a→||b→| cos γ
Und somit für den Winkel γ
cos γ = (axbx + ayby) / |a→||b→|
cos γ = (a→ • b→) / |a→||b→|
Für den dreidimensionalen Fall gilt die Herleitung analog.
Normalenvektor
Ein Normalenvektor n→ zu zwei anderen Vektoren a→ und b→ im Raum, ist ein
Vektor, der sowohl senkrecht zu a→ als auch zu b→ steht.
Gegeben sind die Vektoren a→ = (ax | ay | az) und b→ = (bx | by | bz). Gesucht ist ein
Normalenvektor n→ = (x | y | z).
Lösung:
Da n→ auf a→ und b→ senkrecht steht, wird nach dem Skalarprodukt
ax x + ay y + az z = 0
und
bx x + by y + bz z = 0
Multipliziert man die 1.Gleiung mit -bz und die zweite mit az und addiert beide, ergibt
sich
(bxaz - axbz) x + (byaz - aybz) y = 0
Da eine Variable frei wählbar ist, setzt man z.B.
x = aybz + azby
Mit Ersetzen, Auflösen nach y und in einer der Ausgangsgleichungen nach z wird
y = azbx + axbz
z = axby + ayba
Der Normalenvektor n→ wird damit
(*)
n→ = (aybz + azby | azbx + axbz | axby + ayba)
Alle anderen Normalenvektoren ergeben sich durch Vervielfachung von n→.
Die Darstellung (*) entspricht gerade dem Vektorprodukt von a→ und b→:
n→ = a→ x b→
Vektorprodukt
... Vektor c→ = a→ x b→ mit folgenden Eigenschaften
| c→ | = | a→ | * | b→ | * sin ∠ (a→,b→)
c→ ⊥ a→ und c→ ⊥ b→
a→, b→, c→ bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem
Das Vektorprodukt ist dem Betrage nach gleich der Fläche des von a→ und b→ gebildeten
Parallelogramms
Es gilt:
i→ x i→ = j→ x j→ = k→ x k→ = 0 i→ x j→ = k→
i→ x k→ = - j→ j→ x k→ = i→
a→ x b→ = - b→ x a→
a→ x (b→ + c→) = a→ x b→ + a→ x c→
→
→ 2
→
→ 2
|a xb | =(a xb )
(λa→) x b→ = a→ x (λb→) = λ(a→ x b→)
a→ x b→ = 0→ genau dann, wenn a→, b→ sind linear abhängig
Komponentendarstellung
= a→ x b→ = (aybz - azby) i→ + (azbx - axbz) j→ + (axby - aybx) k→
Vektorprodukt (2)
Nachweis der Äquivalenz der Vektorproduktdarstellungen
|c→| = |a→ x b→| = | a→ | · | b→ | · sin ∠ (a→,b→)
und
|c→| = |a→ x b→| = |(aybz - azby) i→ + (azbx - axbz) j→ + (axby - aybx) k→|
Zum Nachweis wird |c→|² betrachtet. Die zweite Gleichung ergibt
|c→|² = (aybz - azby)² + (azbx - axbz)² + (axby - aybx)² =
177
= ay²bz² - 2 ayazbybz + az²by² + az²bx² - 2 azaxbzbx + ax²bz² + ax²by² - 2 axaybxby + ay²bx²
Für die erste Gleichung erhält man
|c→|² = |a→|² |b→|² sin² ∠ (a→,b→) =
= |a→|² |b→|² (1 - cos² ∠ (a→,b→)) = |a→|² |b→|² - |a→|² |b→|² cos² ∠ (a→,b→) =
und mit dem Skalarprodukt a→ • b→ = |a→| |b→| cos ∠ (a→,b→)
= |a→|² |b→|² - (a→ • b→)² =
= (ax² + ay² + az²) (bx² + by² + bz²) - (axbx + ayby + azbz)² =
Ausmultiplizieren ergibt
= ax²bx² + ax²by² + ax²bz² + ay²bx² + ay²by² + ay²bz² + az²bx² + az²by² + az²bz² - ax²bx² - axbxayby axbxazbz - aybyaxbx - ay²by² - aybyazbz - azbzaxbx - azbzayby - az²bz² =
und Zusammenfassen
= ay²bz² - 2 ayazbybz + az²by² + az²bx² - 2 azaxbzbx + ax²bz² + ax²by² - 2 axaybxby + ay²bx²
D.h., die beiden Ausdrücke sind äquivalent.
Spatprodukt, Raumprodukt
Das Spatpodukt ist dem Betrage nach gleich dem Volumen des von a→, b→ und c→ aufgespannten
Parallelepipeds (Spat)
Volumen V = (a→ x b→) * | c→ | cos φ
V = 0 ⇔ 3 Punkte liegen in einer Ebene ⇔ das Vektortripel a→, b→, c→ ist dann
ausgeartet
→
→
→
→
→
→
→ → →
a x a y a z = (a x b ) * c = a * (b x c ) = [a b c ]
bx
cx
by
cy
bz
cz
Eigenschaften
[a→b→c→] > 0 ⇔ a→, b→, c→ bilden ein Rechtssystem
[a→b→c→] = 0 ⇔ a→, b→, c→ sind linear abhängig, liegen in einer Ebene
[a→b→c→] < 0 ⇔ a→, b→, c→ bilden ein Linkssystem
[a→b→c→] = - [b→a→c→] = - [a→c→b→] = - [c→b→a→]
[a→b→c→] ... orientiertes Volumen des von den 3 Vektoren aufgespannten Spats
| [a→b→c→] | / 6 ... Volumen des aufgespannten Tetraeders
Die Geraden x→ = a→ + t b→ und x→ = c→ + t d→ sind genau dann windschief, wenn [a→ - c→ b→ d→ ] ≠ 0
Spatprodukt, Herleitung
Das Spatpodukt ist dem Betrage nach gleich dem Volumen des von
a→, b→ und c→ aufgespannten Parallelepipeds (Spat)
Herleitung:
Volumen des Prismas V = A h
Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:
A = ||a→| |b→| sin α |
V = ||a→| |b→| sin α | h
Betrag des Kreuzproduktes ist der Flächeninhalt des aufgespannten
Parallelogramms
V = |a→ x b→| h
Winkelbeziehung im rechtwinkligen Dreieck ∆ AHE: cos β = h/|c→|
V = ||a→ x b→| |c→| cos β|
Berechnung von π mit dem Skalarprodukt mit Hilfe der Vektoren (a→ x b→) und c→:
Vektorprodukt-Übungsausgabe
Aufgabe: A ist Kantenmittelpunkt des Würfels, siehe Figur.
a) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ABC. (obere Abbildung)
Lösung: Über die Koordinaten der Punkte ergeben sich die Vektoren
AB→ = (-2, 2, 2) und AC→ = (-4, 4, -1)
Über das Vektorprodukt wird
AB→ × AC→ = (-10, -10, 0)
und für den Flächeninhalt A
AABC = 1/2 √(100+100+0) = 5 √2
Aufgabe b) b) Ein Punkt P liegt auf der Kante DE. Welche Koordinaten
hat P, wenn die Fläche des Dreiecks APB den Inhalt A = 2 √6 hat?
Lösung:
AP→ = (0, y, -2) und AB→ = (-2, 2, 2)
→
AP × AB→ = (2y+4, 4, 2y)
Für das Quadrat der Flächen (Parallelogramm = doppeltes Dreieck) wird
(2y + 4)² + 16 + y² = (2 2√6)²
y² + 2y - 8 = (y+4) (y-2) = 0
y1 = -4 liegt nicht auf der Kante
y2 = 2 mit P(4; 2; 0) ist der gesuchte Punkt
178
V = |(a→ x b→) · c→|
Tripelprodukt (Vektorielles Doppelprodukt)
Graßmannscher Entwicklungssatz
a→ x (b→ x c→) = (a→ * c→) * b→ - (a→ * b→) * c→
(a→ x b→) x c→ = b→ * (a→ * c→) - a→ * (b→ * c→)
a→ x (b→ x c→) ≠ (a→ x b→) x c→
Der Vektor des Tripelproduktes liegt mit den Vektoren a→ und b→ in einer Ebene
Die erste Gleichung wird oft a→ x (b→ x c→) = b→ · (a→ • c→) - c→ · (a→ • b→) geschrieben und bac-cabRegel genannt.
Jacobi-Identität
a→ x (b→ x c→) + b→ x (c→ x a→) + c→ x (a→ x b→) = 0→
Polare und axiale Vektoren
Polare Vektoren dienen der Darstellung von Größen mit Maßzahl und Raumrichtung, wie Geschwindigkeit
und Beschleunigung, axiale Vektoren dagegen der Darstellung von Größen mit Maßzahl, Raumrichtung
und Drehsinn, wie Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung. In der zeichnerischen Wiedergabe
werden sie durch einen polaren bzw. axialen Pfeil unterschieden. In der mathematischen Behandlung
besteht zwischen ihnen kein Unterschied.
Produkte mit vier Vektoren - Identität von Lagrange
(a→ x b→) * (c→ x d→) = (a→ * c→) * (b→ * d→) - (b→ * c→) * (a→ * d→)
(a→ x b→) ² = a→² + b→² - (a→ * b→)²
(a→ x b→) x (c→ x d→) = c→ [a→b→d→] - d→ [a→b→c→] = b→ [a→c→d→] - a→ [b→c→d→]
((a→ x b→) x c→) x d→ = (a→*c→)*(b→xd→) - (b→*c→)*(a→xd→)
Galilei-Transformation
... Transformation der Zeit und der Raumkoordinaten bei einer
gleichförmigen
Bewegung mit einer konstanten Geschwindigkeit v (klassische Newtonsche
Mechanik)
Orthokomplement
In der euklidischen Ebene existiert das Orthokomplement a→⊥ eines
Ortsvektors a→ = (xy). Dieses bildet einen Ortsvektor und man definiert
a→⊥ = (-yx)
a→⊥ entsteht damit aus dem Vektor a→ durch Drehung um 90°.
Für Ortsvektoren a→ und b→ der euklidischen Ebene und reelle Zahlen t
gilt:
(a→⊥)⊥ = -a→
(a→ + b→)⊥ = a→⊥ + b→⊥
(t a→)⊥ = t a→⊥ <a→⊥, a→> = 0
<a→⊥, b→> = -<a→, b→⊥>
||a→⊥|| = ||a→||
⊥
Damit ist eine lineare Abbildung.
Für drei Vektoren a→, b→ und c→ der euklidischen Ebene gilt:
<a→, b→>² + <a→, b→⊥>² = ||a→||² ||b→||²
<a→, b→⊥> c→ + <b→, c→⊥> a→ + <c→, a→⊥> b→ = 0
Die zweite Gleichung ergibt, dass drei Vektoren im R² linear abhängig sind. Aus der ersten Gleichung
folgt unmittelbar die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung.
Genetische Distanz
Als Maß für die genetische Unterschiedlichkeit verschiedener Völker wurde in der Biologie die genetische
Distanz eingeführt.
Dazu untersucht man die auftretende Häufigkeit der Hauptblutgruppen des Volkes. Als genetische Distanz
definiert man nun den Winkel zwischen den Blutgruppen-Einheitsvektoren, womit die Berechnung zu
einer biologischen Anwendung der Vektorrechnung wird. Dabei werden die relativen Häufigkeiten der
Blutgruppen zu den Einheitsvektoren zusammengefasst.
Beabsichtigt man die genetische Distanz zu einem anderen Volk zu berechnen, stellt man dessen Vektor
auf und ermittelt über das vierdimensionale Skalarprodukt den Winkel zwischen beiden Vektoren.
Achtung! Der Programmautor weist ausdrücklich daraufhin, dass die Berechnung der genetischen Distanz
nichts mit der Bewertung der "Qualität von Völkern und Rassen" zu tun hat. Die genetische Distanz ist
ausschließlich eine wissenschaftliche Größe mit deren Hilfe Aussagen, z.B. über die historische
Entwicklung bestimmter Volksgruppen, gewonnen werden können. Nationalismus und geisteskranker
Rassenwahn haben nichts mit Wissenschaft zu tun!
Kosinus-Ähnlichkeit
Kosinus-Ähnlichkeit ist ein Maß für die Ähnlichkeit zweier Vektoren, genauer für die Ähnlichkeit ihrer
Richtungen, nicht ihrer Beträge.
Liegen zwei Vektoren vor, so wird der Kosinus des eingeschlossenen Winkels berechnet.
179
Ist die Winkel = 0°, so ergibt sich für die Kosinus-Ähnlichkeit 1, sind die Vektoren senkrecht zueinander,
d.h. vollständig unähnlich, so ergibt sich 0.
Der Kosinus des eingeschlossenen Winkels ist somit ein Maß dafür, ob zwei Vektoren ungefähr in die
gleiche Richtung zeigen.
Die Kosinus-Ähnlichkeit wird in der Praxis zum Vergleich von Dokumenten, von Multimedia-Objekten, im
Auffinden von Plagiaten, bei Suchmaschinen oder in der Kryptographie bei der Entschlüsselung chiffrierter
Texte verwendet.
2011 gelang es, durch die Ermittlung der Kosinus-Ähnlichkeit der Zeichen-Platzierungsvektoren die
Entschlüsselung des Codex Copiale, eines Dokuments in Geheimschrift.
Bei Textvergleichen verwendet man als Vektoren Häufigkeitsvektoren des Dokuments, entweder von
Wörtern, Phrasen oder auch nur Buchstaben.
Alternativ wird zur Auswertung von Texten auch eine Buchstabenhäufigkeitsanalyse mit der Berechnung
eines Koinzidenzindex genutzt.
Orthonormierungsverfahren
Methode, um aus einem gegebenen Satz ai→, i = 1,...,m von m linear unabhängigen Vektoren im Rn (n ≥
m) m paarweise orthogonale Vektoren qi→, i = 1,...,m der Länge Eins zu konstruieren, die den gleichen
Unterraum aufspannen wie die Vektoren ai→.
Schmidtsches Orthonormierungsverfahren
Aus dem gegebenen Satz ai→, i = 1,...,m von m linear unabhängigen Vektoren im Rn (n ≥ m) werden m
paarweise orthogonale Vektoren qi→, i = 1,...,m der Länge 1 konstruiert, die den gleichen Unterraum
aufspannen.
Man bildet der Reihe nach für i = 1,...,m:
Orthogonalisierung
vi→ = ai→ - Σ (ai→ • ak→) ak→ ; Summe von k = 1 bis i-1
Normierung
qi→ = vi→ / |vi→|
QR-Zerlegung
Die Vektoren ai→ und qi→ des n-dimensionalen Raumes werden als Spalten einer n x m-Matrix A bzw. Q
aufgefasst. Das Orthogonalisierungsverfahren entspricht der Aufgabe, für eine gegebene n x m-Matrix A
eine orthogonale Matrix Q zu finden, so dass A = QR für eine geeignete rechte obere m x mDreiecksmatrix R ist.
QR-Zerlegungen spielen eine zentrale Rolle bei Eigenwertproblemen. Verfahren zur QR-Zerlegung sind
das Cholesky-Verfahren für symmetrische, positiv definite Matrizen und das Gram-Schmidt-Verfahren.
Gram-Schmidt-Verfahren
Pascal-Quelltext zur QR-Zerlegung (Orthonormieren von Basisvektoren) mit dem GramSchmidt-Verfahren
Eingabe: a[i,k], i=1..n, k=1..m
Ausgabe: a[i,k], i=1..n, k=1..m / r[i,k], i=1..n, k=i..m
BEGIN
FOR k:=1 TO m DO BEGIN
sum:=0 ;
FOR i:=1 TO n DO sum:=sum+SQR(a[i,k]) ;
r[k,k]:=SQRT(sum) ; { Wenn r[k,k]=0, so sind Spalten von A nicht linear unabhängig}
FOR i:=1 TO n DO a[i,k]:=a[i,k]/r[k,k] ;
FOR j:=k+1 TO m DO BEGIN
sum:=0 ;
FOR i=1 TO n DO sum:=sum+a[i,k]*a[i,j] ;
r[k,j]:=sum ;
FOR i:=1 TO n DO a[i,j]:=a[i,j]-a[i,k]*r[k,j] ;
END END END
Euklidischer Vektorraum
Um in abstrakten Vektorräumen Begriffe wie Länge, Winkel, Orthogonalität verwenden zu können,
werden Euklidische Vektorräume eingeführt.
Definition
Es sei V ein reeller Vektorraum. Ist φ: V × V → R eine Abbildung mit folgenden Eigenschaften (statt φ(v,w)
wird v * w geschrieben), dann gilt für alle u,v,m ∈ V und für alle reelle r:
v*w=w*v
(u + v) * w = u * w + v * w
r (v * w) = (r v) * w = v * (r w)
v * v > 0 genau dann, wenn v ≠ 0
φ heißt Skalarprodukt auf V. Ist auf V ein Skalarprodukt definiert, so heißt V Euklidischer Vektorraum.
Alternativ definiert man:
Einen Vektorraum V über den reellen Zahlen R versehen mit einer positiv definiten symmetrischen
Bilinearform σ: V × V → R nennt man einen euklidischen Vektorraum. σ ist dann auch hier das
Skalarprodukt.
Euklidische Norm
180
Mit || v || = √(v * v) wird die Euklidische Norm (Länge) von v bezeichnet. Der Winkel α zwischen v, w
aus V wird über die Gleichung
cos α = v * w / (|| v || * || w ||)
erklärt. Ist v * w = 0, so werden v und w zueinander orthogonal genannt.
Winkel in euklidischen Vektorräumen
Das Skalarprodukt σ(a,b) kann zur Messung von Winkeln herangezogen werden. Man definiert für zwei
Vektoren a und b:
cos Φa,b = σ(a,b) / (||a|| ||b||)
Φa,b ist der Winkel zwischen a und b. Der Quotient immer im Intervall [-1, 1], womit der Winkel
berechenbar ist.
Da das Skalarprodukt symmetrisch ist, besitzt der Winkel keine Richtung, wodurch die Winkelgrößen im
Intervall von 0 bis π = 180° liegen.
Es seien a und b Vektoren eines euklidischen Vektorraums. Dann gilt:
Φa,b = Φb,a
Φa,-b = π - Φa,b
Φαa,βb = Φa,b , für α, β > 0
a, b sind linear abhängig ⇔ Φa,b ∈ {0, π}
Kosinussatz in euklidischen Vektorräumen
Es seien a, b zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren eines euklidischen Vektorraums V. Dann gilt:
||a-b||² = ||a||² + ||b||² - 2 ||a|| ||b|| cos Φa,b
Nachweis:
||a-b||² = α(a-b, a-b) = σ(a, a) + σ(b, b) - 2σ(a, b) =
= ||a||² + ||b||² - 2 ||a|| ||b|| σ(a,b)/(||a|| ||b||) =
= ||a||² + ||b||² - 2 ||a|| ||b|| cos Φa,b
Bilinearform
Es sei V ein Vektorraum über den reellen Zahlen R. Eine Abbildung σ heißt eine Bilinearform, wenn
folgende Eigenschaften gelten:
σ(αa + βb, c) = α σ(a, c) + β σ(b, c)
σ(a, αb + βc) = α σ(a, b) + β σ(a, c)
Das bedeutet, dass σ in beiden Argumenten linear ist, daher auch der Name Bilinearform.
Eine Bilinearform σ heißt symmetrisch, wenn σ(a, b) = σ(b, a) für alle a, b ∈ V gilt.
Eine Bilinearform σ heißt positiv definit, wenn σ(a, a) > 0 für alle a ≠ 0 gilt.
Eigenschaften positiv definiter symmetrischer Bilinearformen
Es sei V ein Vektorraum über den reellen Zahlen R und σ eine positiv definite symmetrische Bilinearform.
Dann gilt für alle a ∈ V:
σ(a, a) = 0 ⇔ a = 0
Für jede Bilinearform σ gilt:
σ(a, 0) = σ(0, a) = 0
Nachweis:
σ(a, 0) = σ(a, a-a) = σ(a, a) - σ(a, a) = 0; σ(0, a) folgt analog.
Ist σ(a, 0) = 0, so muss wegen der positiven Definitheit a = 0 gelten; andernfalls wäre ja σ(a, a) > 0.
Cauchy-Schwarzsche Ungleichung für Bilinearformen
Es sei V ein Vektorraum über den reellen Zahlen R und σ eine positiv definite symmetrische Bilinearform.
Dann gilt für alle a, b ∈ V:
[σ(a, b)]² ≤ σ(a, a) · σ(b, b)
Die Gleichheit gilt genau dann, wenn a und b linear abhängig sind.
Für den Zusammenhang zwischen positiv definiten symmetrischen Bilinearformen und normierten
Vektorräumen gilt:
Es sei V ein Vektorraum über den reellen Zahlen und σ eine positiv definite symmetrische Bilinearform.
Dann gibt es eine von dieser Bilinearform induzierte Norm || ||. Diese ist für einen Vektor a ∈ V definiert
mit
||a|| = √σ(a,a)
Für alle a, b ∈ V gilt: |σ(a,b)| ≤ ||a|| ||b||
Auf Grund der positiven Definitheit von σ ist die Norm wohldefiniert und ||a|| > 0 für a ≠ 0. Für λ ∈ R gilt
||λa|| = √σ(λa,λa) = √λ² √σ(a,a) = |λ| ||a||
Die Umkehrung des Satzes gilt im Allgemeinen nicht.
Parallelogrammgesetz
||a + b||² + ||a - b||² = 2(||a||² + ||b||²)
Es sei V ein normierter Vektorraum. Dann gilt in V genau dann das Parallelogrammgesetz, wenn die Norm
von einer positiv definiten symmetrischen Bilinearform erzeugt wird.
Orthogonalität und Norm
Es sei V ein euklidischer Vektorraum mit einem Skalarprodukt und der daraus induzierten Norm || ||.
Dann gilt für alle a, b ∈ V:
a ⊥ b ⇔ ||a+b|| = ||a-b||
Folgerung: Ein Parallelogramm ist genau dann ein Rechteck, wenn seine Diagonalen gleich lang sind.
181
Man kann die Vektoren a und b als Seiten eines Vierecks auffassen, dann sind a + b und a - b aber genau
die Diagonalen.
Unterraum
Gegeben sei ein Vektorraum V, der aus dem Körper K, der Menge G und den Verknüpfungen R und S
besteht.
Ein Gebilde V' nennt sich Unterraum von V, wenn dem Gebilde V' der gleiche Körper K, die gleichen
Verknüpfungen R und S, und eine Teilmenge G' der Menge G zugrundeliegen, und das Gebilde V' selbst
ein Vektorraum ist.
Unterraum-Kriterium
Gegeben sei ein Vektorraum V, der aus dem Körper K, der Menge G und den Verknüpfungen R und S
besteht.
Ein Gebilde V' nennt sich Unterraum von V, wenn dem Gebilde V' der gleiche Körper K, die gleichen
Verknüpfungen R und S, und eine Teilmenge G' der Menge G zugrundeliegen, und das Gebilde V' die
Axiome R1, S1 und R4 erfüllt.
Axiom R1 ... Abgeschlossenheit der Addition
Axiom S1 ... Produkt aus Skalar und Vektor ergibt Vektor
Axiom R4 ... Existenz inverser Elemente
Ist V ein Vektorraum und I eine beliebige Indexmenge. Wenn alle Ui Teilräume von V sind, so ist auch der
Durchschnitt aller Ui ein Untervektorraum von V. Dies ist im Allgemeinen bei der Vereinigung von
Teilräumen nicht der Fall.
Beispiel: Teilmenge der 2×2-Diagonalmatrizen bilden einen Unterraum des Vektorraumes der 2×2Matrizen
Austauschlemma im Vektorraum
Gegeben sei eine Vektorraum V, eine Basis B= {v1, ..., vn} von V und ein beliebiger vom Nullvektor
verschiedener Vektor w des Vektorraumes V. Dann gilt:
Fügt man den Vektor w zur Basis B hinzu, und entfernt man im Gegenzug einen geeigneten Vektor aus
der Basis B, so erhält man eine neue Basis des Vektorraumes V.
Dabei gilt: Es gibt immer mindestens einen Vektor v aus B der geeignet ist, um gegen w ausgetauscht zu
werden.
Ausgetauscht werden können die Vektoren v, welche in der Linearkombination von w:
w = k1·v1 + k2·v2 + ... + kn·vn
einen Koeffizienten ki haben, der von Null verschieden ist.
Steinitzscher Austauschsatz
Gegeben seien:1. ein Vektorraum V
2. eine Basis B dieses Vektorraumes: B = {b1, ..., bn}
3. eine linear unabhängige Menge A aus Vektoren dieses Vektorraumes: A = {a1, ..., am}
Daraus folgt: 1. n ≥ m
2. fügt man zur Basis B = {b1, ..., bn} die linear unabhängige Menge A = {a1, ..., am} hinzu, und entfernt
im Gegenzug m Vektoren aus der Basis b, so erhält man eine neue Basis B' = {a1, ..., am, bm+1, ..., bn}
Jede linear unabhängige Menge A = {a1, ..., am} kann durch Hinzunahme geeigneter Vektoren aus einer
B' = {a1, ..., am, bm+1, ..., bn}
Basis B = {b1, ..., bn} zu einer Basis B' ergänzt werden:
Nebenklasse
Sei U ein Unterraum des Vektorraumes V. Addiert man zu jedem Element des Unterraumes u einen
Vektor v aus V hinzu, so erhält man die Nebenklasse
v+U = {v+u1, v+u2, v+u3, ...}
Sind zwei Nebenklassen v+U und w+U gleich, dann liegt die Differenz der Repräsentanten (v-w) in U.
Umgekehrt gilt: Liegt die Differenz zweier Repräsentanten in U, dann sind sie Repräsentanten derselben
Nebenklasse.
Jedes Element der Nebenklasse v+U ist auch Repräsentant, und umgekehrt ist jeder Repräsentant von
v+U auch Element von v+U.
Faktormengen
Die Faktormenge V/U ist die Menge aller Nebenklassen von U, also die Menge V/U = {v+U, w+U, x+U,
y+U...}
Lineare Hülle
x→ sei Linearkombination der Vektoren a→1, a→2, ..., a→k eines Vektorraumes.
Die lineare Hülle von a→1, a→2, ..., a→k ist die Menge aller Linearkombinationen von a→1, a→2, ..., a→k, d.h.
die Menge
L(a→1, a→2, ..., a→k) = { x1a→1 + ... + xka→k | xi ∈ R }
Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren
182
Ist L(a→1, a→2, ..., a→m) die lineare Hülle der m Vektoren a→1, ..., a→m, so lässt sich schrittweise eine
orthogonale Basis (b→1, ..., b→k) von L gewinnen.
b→1 = a→1
Ist a→1 ≠ 0→, so setzt man
→
→
→
Ist a 2 ∉ L(a 1) = L(b 1), so setzt man
b→2 = a→2 - a→2 * b→1 / (b→1)2 b→1
→
→
→
→
→
Ist a 3 ∉ L(a 1,a 2) = L(b 1,b 2), so setzt man b→3 = a→3 - a→3 * b→1 / (b→1)2 b→1 - a→3 * b→2 / (b→2)2 b→2
usw...
Das Verfahren bricht ab, wenn L(a→1, a→2, ..., a→m) = L(b→1, b→2, ..., b→k) ist, d.h. kein Vektor a→k+1
gefunden werden kann, der nicht in L(b→1, b→2, ..., b→k) liegt.
Normiert man die Vektoren b→1, b→2, ..., b→k, so erhält man eine Orthonormalbasis.
Orthogonale Menge, orthonormale Menge
Eine endliche oder unendliche Menge von Vektoren x1→, x2→, … eines Vektorraums heißt orthogonale
Menge, wenn für alle i, j (i ≠ j)
xi→ • xj→ = 0
gilt, d.h. alle Vektoren paarweise zueinander senkrechte stehen.
Orthonormal heißt die Menge von Vektoren x1→, x2→, … eines Vektorraums, wenn für alle i
|xi→| = 1
gilt, d.h. jeder Vektor die Länge 1 besitzt. Ein Vektor der Länge 1 heißt normalisiert oder normiert.
Eine Menge von linear abhängigen Vektoren xi→ kann mit dem Gram-Schmidt-Verfahren in eine
orthonormale Menge von Vektoren yi→ umgewandelt werden, die linear abhängig von den Vektoren xi→
sind.
Ein Linearoperator T eines Vektorraums V ist eine Regel, die jedem Vektor a→ von V einen eindeutige
Vektor Ta→ aus V zuordnet, so dass
T(α a→ + b→) = α Ta→ + Tb→
→
→
für jedes Vektorpaar a , b und jede komplexe Zahl α zuordnet.
Der identische Linearoperator I ordnet jedem a→ sich selbst zu. Zwei Operatoren T und U sind gleich,
wenn sie die gleiche Zuordnung ausführen.
Unter dem Linearoperatorprodukt TU wird
(TU) a→ = T (U a→)
verstanden. Im Allgemeinen ist das Linearoperatorprodukt nicht kommutativ. Unter dem Kommutator
versteht man
[T, U] = TU - UT
Zwei Operatoren T und U sind vertauschbar, wenn ihr Kommutator der Nulloperator ist.
Existiert zu einem Operator T ein Operator U mit TU = UT = I, so heißt U inverser Linearoperator und
wird mit T-1 bezeichnet.
Ein Operator T mit einem inversen Operator heißt nichtsingulär, ohne T-1 singulär. Sind S und T
nichtsingulär, so gilt (ST)-1 = T-1S-1.
Vektoreigenvektor, Vektoreigenwert
T sei ein Linearoperator auf dem Vektorraum V. Betrachtet werden alle Nichtnullvektoren von V, die bei
der Anwendung von T nur ihre Größe, aber nicht die Richtung ändern. Insbesondere gibt es einen Vektor
f→ und eine komplexe Zahl λ mit
T f→ = λ f→
Jeder solcher Vektor f→ heißt Eigenvektor oder charakteristischer Vektor. Zur Unterscheidung von
Eigenvektoren bei Matrizen wird hier von einem Vektoreigenvektor gesprochen.
Die komplexe Zahl λ heißt dann Eigenwert oder charakteristischer Wert, hier Vektoreigenwert, von T in
Bezug zum Vektor f→.
Beispiel: Im Vektorraum V aller ungeraden trigonometrische Polynome der Form
f(x) = a1 sin x + a2 sin 2x + … + an sin nx
wird der Operator
T f(x) = - f"(x)
betrachtet. Ein Eigenvektor dieses Operators ist dann ein f(x) von V mit
-f"(x) = λ f(x)
Dies sind gerade die Funktionen
fn(x) = An sin nx ; n = 1,2,3,…
mit den Eigenwerten 1, 4, 9, …, n², …
Ein Operator T* heißt adjungierter Operator des Operators T, wenn für alle Vektoren x→ und y→ aus V
x→ • Ty→ = T*x→ • y→ gilt.
Hermitescher Operator
Ein Vektorraum, in dem jeder Operator einen adjungierten Operator besitzt, ist ein vollständiger
Vektorraum oder Hilbert-Raum. Ein Operator heißt hermitesch, wenn er zu sich selbst adjungiert ist, d.h.
x→ • Ty→ = Tx→ • y→
Für adjungierte und Hermitesche Operatoren gilt:
1)
Sind T, U Operatoren und T*, U* die adjungierten Operatoren, dann existiert zu TU der
adjungierte Operator mit U*T*.
2)
Ist T ein Hermitescher Operator und x→ ein beliebiger Vektor von V, dann ist x→ • Tx→ eine reelle
Zahl.
3)
Die Eigenwerte eines Hermiteschen Operators sind reell.
183
4)
Sind x→ und y→ Eigenvektoren des Hermiteschen Operators T mit den verschiedenen Eigenwerten
λ1, λ2, so sind x→ und y→ orthogonal zueinander.
Unitärer Operator
Ein Operator U heißt unitär, wenn er einen inversen Operator U-1 und einen adjungierten Operator U*
besitzt und beide gleich sind:
U-1 = U*
Ein Operator U heißt weiterhin isometrisch, wenn er das innere Produkt (Skalarprodukt) nicht beeinflusst,
d.h.
x→ • y→ = Ux→ • Uy→
Ein isometrischer Operator verändert von keinem Vektor die Länge. Existiert der adjungierte Operator
U*, so ist U genau dann isometrisch, wenn U unitär ist.
Unitärer Raum
Die unitäre Geometrie basiert auf dem Begriff des positiv definiten Skalarprodukts, welches das
klassische Skalarprodukt uv für Vektoren u und v verallgemeinert.
Alle wichtigen Begriffe der unitären Geometrie erlauben, eine direkte physikalische Interpretation im
Quarkmodell der Elementarteilchen.
Definition: Unter einem unitären Raum versteht man einen linearen Raum über K, auf dem ein
Skalarprodukt gegeben ist.
Das bedeutet, jedem Vektorpaar u, v ∈ X wird eine Zahl (u, v) ∈ K zugeordnet, so dass für alle u, v,w ∈ X
und alle α, β ∈ K gilt:
1) (u, u) ≥ 0 ; (u, u) = 0 genau dann, wenn u = 0
2) (w, αu + βv) = α(w, u) + β(w, v)
3) (u, v)* = (v, u)
Aus 2) und (3) folgt
(αu + βv,w) = α*(u,w) + β*(v,w) für alle u,v,w ∈ X , α,β ∈ K.
Dabei bezeichnet α* die konjugierte komplexe Zahl zu α, d.h., im Falle eines reellen Raumes K = R kann
man überall die Querstriche weglassen.
Hilbertraum: Jeder endlichdimensionale unitäre Raum ist zugleich ein Hilbertraum im Sinne der
allgemeinen Definition.
Affine Koordinaten
Affine Koordinaten sind eine Verallgemeinerung der kartesischen Koordinaten auf ein System aus drei
linear unabhängigen, also auch nicht mehr zwingend rechtwinklig aufeinander stehenden
nichtkomplanaren Grundvektoren e1→, e2→, e3→ mit drei Koeffizienten a1, a2, a3 (die oberen Indizes sind
keine Exponenten!).
Für den Vektor a→ ergibt sich dann
a→ = a1 e1→ + a2 e2→ + a3 e3→ oder
a→ = { a1, a2, a3 }
1
2
3
Diese Schreibweise ist vorteilhaft, als die Skalare a , a , a die kontravarianten Koordinaten eines Vektors
sind.
Für die Linearkombination der Vektoren sowie für die Summe und die Differenz zweier Vektoren gelten
die Komponentengleichungen
k1 = α a1 + β b1 + ... + δ d1
k2 = α a2 + β b2 + ... + δ d2
3
3
3
3
c1 = a1 ± b1 usw.
k = α a + β b + ... + δ d
Man spricht von affinen Koordinaten, wenn die Koordinatenachsen durch Geraden gebildet werden.
Affine Koordinaten können sowohl schiefwinklig als auch orthogonal; senkrecht; sein. Sind die
Koordinaten sowohl geradlinig als auch senkrecht, so spricht man von kartesischen Koordinaten.
Graßmanns Vektorrechnung
1840 verfasste Hermann Graßmann ein auf hohem Niveau geschriebenes Werk der Vektorrechnung, das
auch bereits die Vektoranalysis (Einbeziehung des Vektorbegriffs in die Differential- und
Integralrechnung) umfasste. Aus dieser Arbeit schöpfte Graßmann eine Vielzahl seiner mathematischen
Ideen für „Die lineare Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik“ von 1844. Dieses Buch war
jedoch seiner Zeit weit voraus und ist selbst heute nicht einfach zu verstehen und fand deshalb in der
Öffentlichkeit keine Beachtung. Dennoch muss Graßmann als der Begründer der Vektorrechnung gelten.
Grundgedanken von Graßmanns Vektorrechnung:
1. Beziehungen zwischen räumlichen Größen können mithilfe algebraischer Verknüpfungsgesetze
beschrieben werden
2. Auffassung der Strecken AB und BA als entgegengesetzte Größen (Betrachtung des Negativen in der
Geometrie), neben der Länge einer Strecke ist nun deren Richtung von Bedeutung
3. im Unterschied zu Hamilton, ist Graßmann daran interessiert seine Gedanken auf n Dimensionen
auszudehnen
4. Es gilt AB+BC=AC auch dann, wenn A, B, C nicht in einer geraden Linie liegen
5. wenn man alle Elemente einer Strecke denselben Änderungen (heute: Parallelverschiebungen)
unterwirft, so ist die dadurch entstehende Strecke der ursprünglichen gleich
6. es gelten die Rechengesetze: Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, Distributivgesetz
184
7. das geometrische Produkt zweier Strecken ist der Flächeninhalt des aus ihnen gebildeten
Parallelogramms
Es kamen bereits die Begriffe der linearen Abhängigkeit und Unabhängigkeit, der Basis, der Dimension,
wenn auch unter anderem Namen bei Graßmann alle vor. Graßmann spricht von Strecken und Größen,
das Wort „Vektor“ kommt bei ihm nie vor.
Tensorrechnung
Geometrischer Tensor
Tensor als geometrisches Objekt: Gilt für die Verzerrung f der vier Punkte
P, Q, R, S eines Parallelogramms die Vorschrift
so ist f von ein geometrischer Tensor 2. Stufe
Tensor
Ist eine allgemeine Abbildung A aus Vn linear, so spricht man von einem Tensor 2. Stufe.
Ein Tensor nullter Stufe hat nur eine Komponente, d.h., er ist ein Skalar.
Lineare Abbildung
Gegeben seien Vn als ein n-dimensionaler Raum sowie die Abbildung A: Vn → Vn. A heißt dann lineare
Abbildung, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind: a→, b→ ∈ Vn, λ ∈ R:
A(a→ + b→) = A(a→) + A(b→)
A(λ a→) = λ A(a→)
Beispiele für Tensoren
Drehtensor, Dielektrischer Tensor, Polarisationstensor, Trägheitstensor, Deformationstensor,
Spannungstensor, ...
Tensor 1. Stufe
Ein Tensor erster Stufe hat 3 Komponenten t1, t2 und t3 mit dem
Transformationsgesetz
tµ = Σ aµi ti ; i = 1,2,3
Dies ist das Transformationsgesetz für Vektoren, d.h., ein Vektor ist
ein Tensor 1. Stufe.
Projektionstensor
Gegeben sei ein Vektor b→ ∈ Vn. Die nachfolgende
Projektionsabbildung ist dann ein Tensor: P(x→) = Projb→ x→ = x→ b→ / | b→|2 b→
Koordinatendarstellung von P: Pji = P(ei→) ej→ = ei→ b→ / | b→|2 b→ ej→ = bi bj / | b→|2
Dyadisches Produkt zweier Vektoren
Die Vektoren u→, v→ ∈ Vn seien fest. Dann ist folgende Abbildung D ein Tensor:
D(w→) = Du→v→(w→) = u→ (v→ w→) ... w→ ∈ Vn
Koordinatendarstellung:
dij = D(ei∈ Vn) ej∈ Vn = uj vi
1. Su→
2. Su→
3. Su→
Spiegelungstensor
Su→ = 1 - 2 Du→u→(x)
Es sei der Vektor u→ ∈ Vn mit ||u→||=1. Dann stellt
→ →
→
eine Spiegelung an der Ebene E: u x = 0 dar. Su heißt
Spiegelungstensor. Du→u→(x) ist das dyadische Produkt.
Die Koordinatendarstellung dieser Spiegelung ist in der Abbildung zu sehen.
Daraus folgt:
ist eine symmetrische Matrix
ist orthogonal
ist zu sich selbst invers: S²u→ = E
Drehtensor
Drehtensor: Drehung im Raum R3 um eine feste Drehachse
Es sei der Vektor a→ ≠ 0→ ∈ V3, Voraussetzung: ||a||=1.
Die Drehung Da→(ϕ) aller Vektoren um den
Winkel ϕ gegen den Uhrzeigersinn um eine
Drehachse der Richtung a→ ist ein Tensor.
Es gilt die in der Abbildung gezeigte
Gleichung. Die Determinante det(D) eines
Drehtensors beträgt immer +1.
Eulersche Drehmatrizen
Die drei Spezialfälle der allgemeinen Drehtensoren ergeben sich durch
Einsetzen der drei Basisvektoren e1→, e2→ und e3→ für a→. Es entstehen
dabei Drehtensoren um die drei Achsen des Koordinatensystems.
185
Drehung um die e3→-Achse (z-Achse)
Drehung um die e2→-Achse (y-Achse)
Drehung um die e1→-Achse (x-Achse)
Verkettung von Drehtensoren
Ist D eine Eulersche Drehmatrix, dann gibt es drei Winkel α, β, γ, so dass Folgendes gilt:
D = E1(α) * E2(β) * E3(γ)
Ausmultipliziert ergibt sich als Drehmatrix die dargestellte Form:
Koordinatendarstellung der Translation von Vektoren
Es sei der Vektor a→ ∈ V³ ein fester Vektor. Dann ist die Abbildung T: x→ --> x→ - a→, x→ ∈ V³ eine
Translation, kein Tensor. Ist nun T die Koordinatendarstellung eines Tensors in der Basis (e→1, e→2, e→3)
und T' die Koordinatendarstellung desselben Tensors in der Basis (e→1', e→2', e→3'), so gilt T = T'. Dies
liegt an der Invarianz der Basisvektoren bei Translation.
Orthogonale Transformationen
Es sei P eine orthogonale Transformation des R³. Aus dem Basisvektor e→1 wird damit der Basisvektor
e→1':
P: (e→1, e→2, e→3) --> (e→1', e→2', e→3')
e→j' = P * e→j
Das entstehende Koordinatensystem ist wieder orthogonal. Es gilt des weiteren:
PT P = E --> PT e→j'
T
→
→
=P Pe j=e j
Wenn det(P) = +1, d.h. Drehung, dann ist (e→1', e→2', e→3') wieder ein Rechtssystem.
Transformationsverhalten eines Vektors
Der Vektor a→ bezüglich der ursprünglichen Basis (e→1, e→2, e→3) wird nach der Transformation P zu a→'
= P ⋅ a→ ⇔ a→j' = Σ ai pij; i=1,2,3. Hierbei ist pij eine Komponente der Transformationmatrix P.
Transformationsverhalten von Tensoren
Ist T ein Tensor mit den Matrixkomponenten tji und P eine orthogonale Transformation des R3, ergibt sich
Folgendes:
Matrixkomponente von T
tji' = T(e→j') ⋅ e→j' = Σ Σ plj pki tlk
Summenbildung für k=1,2,3 und l=1,2,3
Matrix T'
T' = P-1 ⋅ T ⋅ P = PT ⋅ T ⋅ P
Erzeugt der Basiswechsel nicht-orthogonale Basisvektoren, so werden die Transformationformeln
komplizierter.
Hyperfläche 2.Grades oder Quadrik
Man definiert folgende Funktion Q(x→): Rn → R, aik, bk, c ∈ R
Q(x→) = Σ (i=1..n) Σ (k=1..n) aik xi xk + 2 Σ (k=1..n) bk xk + c
= x→T A x→ + 2 b→T x→ + c
Die hier auftretende A muss symmetrisch sein. Die Menge der Punkte P mit
O→P = x→ = (x1, x2, ..., xn)T,
welche die Gleichung Q(x→) = 0 erfüllt, heißt Hyperfläche 2.Grades oder eine Quadrik im Rn.
Mittelpunkt einer Quadrik
Betrachtet man die Translation x→ = x'→ + p→ der Quadrik um p→, so gilt:
Q(x'→+p→) = x'→T A x'→ + 2 (p→T A + b→t) x'→ + Q(p→)
Ist nun die Gleichung Ap→ = -b→ lösbar, so besitzt Q(x→) ein Zentrum, für das gilt:
Z = { p→ | Ap→ = -b→ } = {m→}
m→ heißt Mittelpunkt der Quadrik.
Normalform einer Quadrik
Mit Hilfe geeigneter Koordinatentransformationen lässt sich jede Quadrik auf eine der beiden folgenden
Normalformen bringen:
1. Fall: Zentrum der Quadrik ist verschieden der leeren Menge
λ1 y1² + λ2 y2² + ... + λr yr² + γ = 0
mit r = Rang(A), die λi sind die Eigenwerte von A, die ungleich Null sind
186
2. Fall: Zentrum der Quadrik ist die leere Menge
λ1 y1² + λ2 y2² + ... + λr yr² + 2 γ yn = 0
mit r = Rang(A) < n, γ > 0, die λi sind die Eigenwerte von A, die ungleich Null sind
Klassifikation von Quadriken
Gegeben
Q(x→) = x→T A x→ + 2 b→T x→ + c
Umformungen
Q(x→ + m→) = x→T A x→ + 2(A m→ + x→)T x→ + Q(m→)
Q(m→) = b→T m→ + c
Auswertung der abgebildeten Matrix, Ermittlung von P
Q(P x→) = x→T PT A P x→ + b→T P x→ + c
Q(P x→ + m→) = x→T PT A P x→ + 2(A m→ + b→)T P x→ + Q(m→)
Klassifikation von Quadriken, Auswertung
1.Fall: Am→ = -b→ ist lösbar; es liegt eine Zentrumsquadrik vor
Schritte: Bestimmen von m→ und Q(m→). Bestimmen der Eigenwerte und Eigenvektoren von A. (u.U.
Bestimmung des Typs)
Bestimmen der Drehmatrix P aus den Eigenvektoren von A. Setze die neuen Koordinaten:
u→ = PT (x→ - m→) ... x→ = P u→ + m→
Daraus ergibt sich die abgebildete Gleichung und die Normalform im R3: λ1 u1² + λ2 u2² + λ3 u3² + γ = 0
und entsprechend der Tabelle der Typ der Quadrik
λ1
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
λ2
+
+
+
+
+
+
0
0
λ3
+
0
0
0
0
0
0
γ
+
0
+/0
0
0
Typ
Ellipsoid
zweischaliges Hyperboloid
einschaliges Hyperboloid
Kegel mit Spitze in m
elliptischer Zylinder
hyperbolischer Zylinder
1 Gerade
2 Ebenen mit Schnitt
2 parallele Ebenen
Doppelebene
2.Fall: Am→ = -b→ ist nicht lösbar; es liegt keine Zentrumsquadrik vor
Es folgt daraus, dass 0 ein Eigenwert von A ist, denn det(A) = det(A - 0E) = 0
Schritte:
1. Bestimmen der Eigenwerte von A.
2. Bestimmen der Eigenvektoren ν1, ..., νr zu den λi = 0
3. Bestimmen der Eigenvektoren νi zu den λr+1, ..., λn-1 = 0 mit νi→ ⊥ b→
4. Bestimmen von νn
5. Quadratische Ergänzung
6. Normalform im R3:
λ1 u1² + λ2 u2² + 2 γ u3 = 0
und entsprechend der Tabelle der Typ der Quadrik
λ1
+
+
+
λ2
+
0
λ3
0
0
0
γ
+/+/+/-
Typ
elliptisches Paraboloid
hyperbolisches Paraboloid
parabolischer Zylinder
Superquadriken
Superquadriken wurden als Erweiterung der Quadriken von dem dänischen
Designer Peit Hein veröffentlicht. Ihre allgemeine Formel beschreibt
symmetrische Objekte:
f(x,y,z) = (((x-xm)/a1)2/e2 + ((y-ym)/a2)2/e2)e2/e1 + ((z-zm)/a3)2/e1
Dabei ist M = (xm, ym, zm) der Mittelpunkt und die Parameter a1, a2 und a3 geben die Ausdehnung in der
x-, y- und z-Richtung an. Die Form wird durch e1 und e2 beschrieben. So ergibt sich zum Beispiel
für e1 = e2 = 1 ein Ellipsoid, für e1 = 0.1; e2 = 1 ein Zylinder und für e1 = 0.1; e2 = 0.1 ein Quader.
Superquadriken sind geeignet als verschiedenartig abgerundete Grundformen. Superquadriken bilden
eine mächtigere Familie verschiedener Formen als die Quadriken: Superellipsoid, Superhyperboloid und
Supertorus.
Die Oberfläche des Superellipsoids wird implizit durch folgende Gleichung ausgedrückt:
((x/a1)2/e2 + (y/a2)2/e2)e2/e1 + (z/a3)2/e1 = 1
Die Parameter e1 und e2 bestimmen die Form des Superellipsoids entlang der beiden sphärischen
Komponenten. Demzufolge ist für e1 = e2 = 1 und a1 = a2 = a3 = 1 diese Oberfläche eine Kugel.
Abbildung: Superellipsoid
187
Krummlinige Koordinaten
Gegeben seien drei Eckpunkte eines zu den Koordinatenachsen parallelen Rechtecks im R2 durch deren
Ortvektoren
x0→, x1→ = x0→ + ∆x1 ( 10 ), x2→ = x0→ + ∆x2 ( 01 )
Die Verzerrung des Rechtecks mit dem Flächeninhalt FQ = |∆x1 ∆x2| in ein Parallelogramm, dargestellt
durch die neuen Eckpunkte
f→(x0→), f→(x1→), f→(x2→)
mit der Funktion f→ ergibt für den Grenzwert der
Verhältnisse zwischen dem ursprünglichen Flächeninhalt FQ
und dem neuen Flächeninhalt FP:
lim∆xi→0 FP/FQ = | det (D f→(x0→)) |
Diese Flächenverzerrung im zweidimensionalen Raum lässt
sich analog übertragen auf Gebilde im R3. Dort stellt sie die
Volumenverzerrung im dreidimensionalen Raum dar. Wird
bei solchen Verzerrungen kein begrenztes Objekt
betrachtet, sondern eine offene Menge U in eine offene
Menge V verzerrt, so spricht man bei f→ von der
Koordinatentransformation von U auf V.
Für die Umkehrung einer solchen
Koordinatentransformation gilt unter der Voraussetzung,
dass y→ = f→(x→) und x→ ∈ U: det(D f-1→ (y→)) = 1 / det (D
f→(x→))
Jacobideterminante oder Funktionaldeterminante
J
f
→
(x→) = det (D f→(x→))
Transformationsformeln krummliniger Koordinaten
Polarkoordinaten
Koordinatentransformation
f→: ( rφ ) --> ( r cos φr sin φ ) = ( f1(r,φ) f2(r,φ) ) = ( xy )
f→-1: ( rφ ) --> ( √(x²+y²)arctan(y/x) ) = ( f1(r,φ)-1 f2(r,φ)-1 ) = ( rφ )
Jacobideterminante von f
det (D f→(r,φ)) = r² cos φ + r² sin φ = r
Zylinderkoordinaten
Koordinatentransformation siehe obere zwei Gleichungen
Jacobideterminante von f
det (D f→(r,φ,z)) = r² cos φ + r² sin φ = r
Kugelkoordinaten
Koordinatentransformation siehe untere zwei Gleichungen
Hierbei liegt der Winkel φ zwischen der x-Achse und dem in die x-y-Ebene projizierten Ortsvektor des
Punktes. Der Winkel θ liegt zwischen der z-Achse und dem Ortsvektor des Punktes
Jacobideterminante von f
det (D f→(r,φ,θ)) = r² sin θ (cos² θ + sin² θ) = r² sin θ
Geometrische Objekte im Vektorraum
Legt man ein Koordinatenkreuz in die Zeichenebene, so ist jeder Punkt der Zeichenebene durch seinen xund y-Wert bestimmt. Wir können also die Punkte der Ebene mit Paaren von reellen Zahlen gleichsetzen.
Die Menge der Punkte der Ebene ist dann die Menge R². Die Menge R² bildet einen Vektorraum über R.
Geometrische Objekte wie Linien und Flächen sind Mengen von Punkten. Diese Punkte lassen sich durch
Vektoroperationen beschreiben.
Definition: Ein Punkt in der Ebene ist ein Paar von reellen Zahlen, also ein Element p ∈ R² mit p = (x, y).
Definition: Eine Gerade durch zwei Punkte p und q ist die Punktemenge pq = { r ∈ R² | r = p + a(q –
p), a ∈ R}.
Ein Liniensegment ist die Verbindungsstrecke von zwei Punkten p und q: pq = { r ∈ R² | r = p + a(q –
p), a ∈ R, 0≤a≤1 }. Man lässt den Querstrich über pq auch weg, wenn klar ist, dass das Liniensegment
zwischen p und q gemeint ist. Aus Liniensegmenten lassen sich weitere geometrische Gebilde
zusammensetzen.
Definition: Ein Kantenzug ist eine Kette von Liniensegmenten w = p0p1, p1p2, ..., pn-1pn.
Die Punkte pi heißen Ecken des Kantenzugs, die Liniensegmente heißen Kanten. Ein Polygonzug ist ein
geschlossener Kantenzug w = p0p1, p1p2, ..., pn-1p0. Ein Polygonzug, bei dem alle Ecken pi verschieden
sind und bei dem je zwei Kanten außer den gemeinsamen Ecken keine Punkte gemeinsam haben, heißt
einfacher Polygonzug. Das von einem einfachen Polygonzug umschlossene Gebiet,
einschließlich des Polygonzugs selber, heißt Polygon.
Matrizen, Determinanten
Matrix vom Typ (m,n)
188
... rechteckig angeordnetes Schema von m*n Größen (m Zeilen, n Spalten), den Elementen aij. Zeilen
und Spalten werden auch Reihen genannt.
Darstellung
= A(m,n) = (aik)(m,n)
Achtung: Bei der Schreibweise A(m,n) werden mit m zuerst die Zeilen und anschließen mit n die Spalten
genannt
Spezielle Matrizen
m = n ⇔ n-reihige quadratische Matrix
spur A = a11+a22...+ann ⇔ Spur der Matrix A
aij=0 für i≠j ⇔ Diagonalmatrix
aij=0 für i≠j und aij=1 für i=j ⇔ Einheitsmatrix E
aij=0 für alle i,j ⇔ Nullmatrix O
Eine Matrix a mit nur einer Reihe heißt ... Vektor a = ( a1 a2 a3 ... an )
mit nur einer Zeile ⇒ Zeilenvektor
mit nur einer Spalte ⇒ Spaltenvektor,
Spaltenmatrix
Diagonalmatrix
Ein Spezialfall der quadratischen Matrix ist die sogenannte
Diagonalmatrix, bei der alle außerhalb der Hautdiagonalen liegenden
Elemente gleich Null sind.
Die Multiplikation zweier Diagonalmatrizen gestaltet sich besonders
einfach und ergibt wieder eine Diagonalmatrix.
Einheitsmatrix
Die Einheitsmatrix ist ein Spezialfall der Diagonalmatrix, die wiederum
ein Spezialfall der quadratischen Matrix ist: Ein Diagonalmatrix, bei der alle Diagonalelemente gleich 1
sind, nennt man Einheitsmatrix.
Ein Diagonalmatrix, bei der alle Diagonalelemente gleich einer reellen Zahl c sind, nennt man
Skalarmatrix.
Untere Dreiecksmatrix
Bei einer unteren Dreiecksmatrix sind alle Elemente oberhalb der Hauptdiagonalen gleich Null
Obere Dreiecksmatrix
Bei der oberen Dreiecksmatrix sind alle Elemente unterhalb der Hauptdiagonalen gleich Null
Die Transponierte einer oberen Dreiecksmatrix ist eine untere Dreiecksmatrix und umgekehrt. Die
Determinante einer Dreiecksmatrix ist das Produkt der Diagonalelemente. Jede Matrix lässt sich durch
Zeilenvertauschungen so umformen, dass sie sich in ein Produkt aus einer linken und einer rechten
Dreiecksmatrix zerlegen lässt.
Antidiagonalmatrix
Eine Antidiagonalmatrix ist eine quadratische Matrix, bei der alle Elemente außerhalb der Gegendiagonale
Null sind.
Eine nxn-Matrix A = (aij) heißt antidiagonal, wenn für alle i,j mit i+j <> n+1 der (i,j)-Eintrag Null aij ist.
Die Determinante der oben abgebildeten antidiagonalen Matrix ist
det(A) = (-1)(n2) q1q2...qn
Sind alle qi der Gegendiagonale von Null verschieden sind, dann ist A invertierbar und die zu A inverse
Matrix ist die unten abgebildete Matrix A-1.
Das Produkt zweier Antidiagonalmatrizen ist eine Diagonalmatrix. Das Produkt
einer Antidiagonalmatrix mit einer Diagonalmatrix ist eine Antidiagonalmatrix.
Symmetrische Matrix
Bei der symmetrischen Matrix sind alle Elemente spiegelbildlich zur
Hauptdiagonalen angeordnet
Eine Matrix A die mit ihrer transponierten Matrix übereinstimmt, für die also A =
AT gilt, ist symmetrisch. Dies ist nur für quadratische Matrizen möglich.
Einfachste Beispiele für symmetrische Matrizen sind die Nullmatrix und die
Einheitsmatrix.
Schiefsymmetrische Matrix
Eine schiefsymmetrischen Matrix liegt vor, wenn gilt:
1. Die Elemente, die spiegelbildlich zur Hauptdiagonalen liegen, sind vom Betrag gleich, haben aber
entgegengesetzte Vorzeichen.
2. Die Hauptdiagonalenelemente sind gleich Null
189
Jede quadratische Matrix kann in eine Summe aus einer symmetrischen und einer antisymmetrischen
Matrix zerlegt werden.
Transponierte Matrix
Vertauschen der Zeilen und Spalten führt zur transponierten Matrix AT
(AT)T = A
(A + B)T = AT + BT
A = AT ⇔ symmetrische quadratische Matrix
A = - AT ⇔ antisymmetrische Matrix
Matrizengesetze
Gleichheit von MatrizenA = B ⇔ aik = bik, ∀ i,k
Zwei Matrizen A und B sind gleich, wenn 1. die beiden Matrizen vom gleichen Typ sind und 2. die
Matrizen in jedem Element übereinstimmen.
Summe zweier Matrizen
C = A ± B ⇔ ( aik ± bik ) , Matrizen werden komponentenweise addiert
Kommutativgesetz
A+B=B+A
Assoziativgesetz
(A + B) + C = A + (B + C)
Multiplikation mit einer reellen Zahl (Skalar)
k A = k(aik) = (k aik)
Distributivgesetz
k (A + B) = k A + k B
(k ± l) A = k A ± l A
Skalares Produkt
... von Zeilenvektor a mit dem Spaltenvektor b ⇔ a1b1 + a2b2 + ... + anbn
Produkt von Matrizen
Das Element cik des Matrizenproduktes C = A*B ergibt sich als skalares Produkt des i.ten Zeilenvektors
von A mit dem k.ten Spaltenvektor von B. Voraussetzung: Spaltenzahl von A = Zeilenzahl von B
 a b   e f   ae + bg af + bh 
Beispiel 2 zweireihige Matrizen:

 ⋅ 
 = 

 c d   g h   ce + dg cf + dh 
Multiplikationsgesetze für Matrizen
Kommutativgesetz gilt nicht !
A*B≠B*A
(A * B)T = BT * AT
A*E=E*A
A*O=O*A=O
A * (B * C) = (A * B) * C
A * (B + C) = A * B + A * C
spur (A * B) = spur (B * A)
Die Matrizenmultiplikation ist nicht nullteilerfrei !
A * B = O bedeutet nicht notwendig ... A = O oder B = O
Nilpotente Matrix
Eine quadratische Matrix A heißt nilpotent, wenn eine ihrer Potenzen die Nullmatrix ergibt.
Ist die Matrix A nilpotent, so hat sie genau einen Eigenwert gleich Null. Sie ist nicht invertierbar, ihre
Determinante ist Null, ebenso die Spur.
Dyadisches Produkt
... Produkt einer (n,1)-Matrix mit einer (1,n)-Matrix. Es entsteht eine (n,n)-Matrix.
Das Produkt einer (1,n)-Matrix mit einer (n,1)-Matrix ergibt eine (1,1)-Matrix, eine Matrix mit einem
Element.
Hermitesche Matrix A*
Eine Matrix mit komplexen Zahlen als Elementen heißt hermitesch, wenn aik = aki__ gilt, wobei aki__ die
konjugiert komplexe Zahl von aki ist. Für reelle Koeffizienten fallen symmetrische und hermitesche Matrix
zusammen.
Eine antihermitesche oder schiefhermitesche Matrix iat eine quadratische Matrix, die dem Negativen ihrer
Adjungierten gleich ist, d.h. es gilt
aik = - aki__.
Jede quadratische Matrix kann in eine Summe aus einer hermiteschen Matrix Ah und einer
antihermiteschen Matrix Aah zerlegt werden A = Ah + Aah, mit Ah = 1/2 (A + AAdjungierte)
Aah = 1/2 (A - AAdjungierte)
Eine Matrix A ist unitär, wenn die Multiplikation von A mit ihrer adjungierten Matrix die Einheitsmatrix
ergibt, bzw. A-1 = A*
Tridiagonalmatrix
Quadratische Matrix, bei der alle Matrixelemente gleich Null sind, außer denen, die auf der
Hauptdiagonalen aij, i = j, und der eins darunter oder eins darüber liegenden Diagonalen aij, i = j ± 1
liegen: aij = 0 für |i - j| > 1
Bandmatrix
Quadratische Matrix, bei der alle Matrixelemente gleich Null sein müssen, außer denen, die auf der
Hauptdiagonalen und k darüber und l darunter liegenden Diagonalen aij, j ≤ i + k bzw. i ≤ j + l liegen. Die
Matrixelemente ungleich Null sind alle auf einem diagonal verlaufenden "Band" angeordnet:
aij = 0 für i - j > l, j - i > k, l < n
190
Rechte Hessenbergmatrix
Quadratische Matrix, bei der alle Matrixelemente gleich Null sind, die
unterhalb der ersten linken Diagonalen aij, i = j+1 liegen:
aij = 0 für i - j > 1
Analog definiert man die linke Hessenbergmatrix.
Falksches Schema
Für die praktische Durchführung der Matrixmultiplikation gemäß AB
= C verwendet man der größeren Übersichtlichkeit halber das
Falksche Schema.
Das Element cij der Produktmatrix C erscheint genau im
Kreuzungspunkt der i.ten Zeile von A mit der j.ten Spalte von B.
In der Abbildung werden als Beispiel zwei dreireihige Matrizen
multipliziert.
Inverse Matrix, Kehrmatrix
Zwei quadratische Matrizen A, A-1 heißen zueinander invers ⇔
⇔ A * A-1 = A-1 * A = E und es gilt (A-1)-1 = A
(A * B)-1 = B-1 * A-1
det A-1 = (det A)-1 = 1/ det A
-1
spur (A * B * A) = spur B
(AT)-1 = (A-1)T, kontragrediente Matrix zu A
A-1 = AT, A heißt orthogonale Matrix
Die transponierte und die inverse Matrix einer orthogonalen Matrix sind auch orthogonal; weiterhin gilt
det A = ±1.
Produkte orthogonaler Matrizen sind wieder orthogonal.
A A* = A* A, A heißt normale Matrix
Rang einer Matrix r(A) ... Anzahl der linear unabhängigen Zeilen in A
Singuläre Matrix: Matrix A heißt singulär ⇔ A-1 existiert nicht ⇔ r(A) < n
Reguläre Matrix: Matrix A heißt regulär bzw. invertierbar ⇔ A-1 existiert ⇔ r(A) = n einer quadratischen
Matrix
Zeilenregulär ist die (m,n)-Matrix A, wenn r(A) = m,
spaltenregulär, wenn r(A) = n.
Inverse Matrix (2)
Beispiel zur Berechnung der inversen Matrix mit Hilfe des Gauß-Jordan-Verfahrens.
Gesucht ist die inverse Matrix zu
1 0 -2
A=
-1 1 2
0 4 -1
Im Schema werden links die Matrix A und rechts die dreireihige Einheitsmatrix notiert. Ziel der
Operationen ist es, links die Einheitsmatrix zu konstruieren.
1 0 -2 1 0 0
-1 1 2 0 1 0 ; Addition mit Zeile 1
0 4 -1 0 0 1
1 0 -2 1 0 0
010 110
0 4 -1 0 0 1
; Subtraktion mit der 4fachen Zeile 2
1 0 -2 1 0 0 ; Subtraktion der 2fachen Zeile 3
010 110
0 0 -1 -4 -4 1 ; Multiplikation mit (-1)
1 0 0 9 8 -2
010 110
0 0 1 4 4 -1
Die zu A inverse Matrix lautet A-1
9 8 -2
110
4 4 -1
Beispiel zur Berechnung der inversen Matrix mit Hilfe des Gauß-Jordan-Verfahrens.
Gesucht ist die inverse Matrix zu
683
A=
473
121
191
Im Schema werden links die Matrix A und rechts die dreireihige Einheitsmatrix notiert. Ziel der
Operationen ist es, links die Einheitsmatrix zu konstruieren.
683 100
4 7 3 0 1 0 ; Addition mit (-4)*Zeile 1
1 2 1 0 0 1 ; Addition mit (-6)*Zeile 1
1 2 1 0 0 1 ; Addition mit 2*Zeile 2
0 -1 -1 0 1 -4
0 -4 -3 1 0 -6 ; Subtraktion mit der 4fachen Zeile 2
1 0 -1 0 2 -7 ; Addition der Zeile 3
0 1 1 0 -1 -4 ; Subtraktion der Zeile 3
0 0 1 1 -4 10
1 0 0 1 -2 3
0 1 0 -1 3 -6
0 0 1 1 -4 10
Die zu A inverse Matrix lautet A-1
1 -2 3
-1 3 -6
1 -4 10
Matrizengleichung: Die Gleichung AX = B (A, B sind Matrizen) hat die Lösung X = B A-1 ,d.h. die
Gleichung ist lösbar, wenn zu A die inverse Matrix A-1 existiert
Rechenregeln für Determinanten von Matrizen
A, B ... Matrizen, E ... Einheitsmatrix, c ... reelle Zahl
det (AB) = det (A) * det (B) ; Produktregel
det (AT) = det (A)
n
n
det (E ) = 1
det (c A) = c det (A)
Rangabfall, Nullität
d = n - r(A)
Zur Berechnung des Ranges einer (m,n)-Matrix werden die größtmöglichen Unterdeterminanten gebildet.
Ist eine von ihnen nicht null, so ist der Rang gleich der Ordnung (Anzahl der Spaltenvektoren) dieser
Unterdeterminante. Gegebenenfalls muss die Ordnung der Unterdeterminante verringert werden, bis eine
von ihnen ungleich null ist.
Matrizennormen
Spektralnorm ||A|| = ||A||2 = √(λmax (ATA)), dabei wird mit λmax (ATA) der größte Eigenwert der Matrix
ATA bezeichnet
Zeilensummennorm
||A|| = ||A||∞ = max Σ |aij|, wobei die Summierung für j=1,...,n erfolgt und das
Maximum für 1 ≤ i ≤ n gebildet wird
Spaltensummennorm ||A|| = ||A||1 = max Σ |aij|,
wobei die
Summierung für i=1,...,n erfolgt und das Maximum für 1 ≤ j ≤ n
gebildet wird
Eigenwerte, Eigenvektoren
Lineare Abbildung x→ --> f(x→) = A * x→
Unter den Eigenwerten λ und den Eigenvektoren ν→ der Matrix A
versteht man alle diejenigen Konstanten bzw. Vektoren, für die gilt: A * ν→ = λ * ν→
Aus der Definition folgt:
A * ν→ = λ * ν→ ⇔ (A - λ * E) ν→ = o→ und
→
→
für ν ≠ o ... det( A - λ * E ) = 0
In Determinantenschreibweise det(A - λ*E) = 0 =
Spezialfall: Für eine Matrix, in der außerhalb der Hauptdiagonalen nur Nullen stehen, bilden die Werte in
der Hauptdiagonalen zugleich die Eigenwerte.
Allgemeines Eigenwertproblem
A und B seien zwei quadratische Matrizen vom Typ (n;n). Ihre Elemente können reelle oder komplexe
Zahlen sein.
Die Aufgabe, Zahlen λ und zugehörige Vektoren x→ (Nicht-Nullvektoren) mit
A x→ = λ B x→
zu bestimmen, wird als allgemeines Eigenwertproblem bezeichnet. Die Zahl λ heißt Eigenwert, der Vektor
x→ Eigenvektor.
Ein Eigenvektor ist lediglich bis auf einen Faktor bestimmt, da mit x→ auch c x→ Eigenvektor zu λ ist.
Der Spezialfall B = E, wobei E eine n-reihige Einheitsmatrix ist, wird als spezielles Eigenwertproblem
bezeichnet. Dieses tritt in vielen Anwendungen auf, vorwiegend mit symmetrischer Matrix A.
Bezüglich des allgemeinen Eigenwertproblems muss auf Spezialliteratur verwiesen werden.
A sei (n;n)-Matrix.
192
1. Anzahl der Eigenwerte: Die Matrix A hat genau n reelle Eigenwerte λi; i = 1,...,n, die entsprechend
ihrer Vielfachheit zu zählen sind
2. Orthogonalität der Eigenvektoren: Die zu verschiedenen Eigenwerten λi ≠ λj gehörenden Eigenvektoren
xi→ und xj→ sind orthogonal.
3. Matrix mit p-fachem Eigenwert: Zu einem p-fachen Eigenwert λ = λ1 = ... = λp existieren p linear
unabhängige Eigenvektoren x1→, x2→, ..., xp→.
Alle nichttrivialen Linearkombinationen sind Eigenvektoren zu λ. Davon können p ausgewählt werden, die
orthogonal sind.
Eigenwertberechnung einer Matrix
Bei kleinen Matrizen können die Eigenwerte symbolisch mit Hilfe des charakteristischen Polynoms
berechnet werden. Bei großen Matrizen ist dies oft nicht möglich, so dass hier Verfahren der numerischen
Mathematik zum Einsatz kommen.
Symbolische Berechnung
Die Eigenwerte definierende Gleichung
(A - λ · E) · x = 0
stellt ein homogenes lineares Gleichungssystem dar. Da x ≠ 0 vorausgesetzt wird, ist dieses genau dann
lösbar, wenn gilt
det (A - λ E) = 0
Expandiert man die Determinante auf der linken Seite, so erhält man ein Polynom n-ten Grades in λ.
Dieses wird charakteristisches Polynom genannt und dessen Nullstellen sind die Eigenwerte, also die
Lösungen der Gleichung
αn · λn + αn-1 · λn-1 + … + α1 · λ + α0 = 0
Da ein Polynom vom Grad n höchstens n Nullstellen besitzt, gibt es höchstens n Eigenwerte. Zerfällt das
Polynom vollständig, z.B. jedes Polynom über C, so gibt es genau n Nullstellen, wobei mehrfache
Nullstellen mit ihrer Vielfachheit gezählt werden.
Eigenraum zum Eigenwert
Ist λ ein Eigenwert der linearen Abbildung f: V → V, dann nennt man die Menge aller Eigenvektoren zu
diesem Eigenwert den Eigenraum zum Eigenwert λ. Der Eigenraum ist definiert durch
Eig(f, λ) = {v ∈ V | f(v) = λ · v}
Spektrum und Vielfachheiten
Mehrfache Vorkommen eines bestimmten Eigenwertes fasst man zusammen und erhält so nach
Umbenennung die Aufzählung
λ1, λ2, …, λk
der verschiedenen Eigenwerte mit ihren Vielfachheiten µ1, µ2, …, µk.
Die Vielfachheit eines Eigenwertes als Nullstelle des charakteristischen Polynoms bezeichnet man als
algebraische Vielfachheit.
Die Menge der Eigenwerte wird Spektrum genannt und σ(A) geschrieben. Es gilt
σ(A) = {λ ∈ C | ∃ ≠ 0: Ax = λx}
Als Spektralradius bezeichnet man den Betrag des betragsmäßig größten Eigenwerts.
Kennt man die Eigenwerte und ihre Vielfachheiten, kann man die Jordansche Normalform der Matrix
erstellen.
Beispiel: Gegeben sei die quadratische Matrix
(0
2
-1)
A=
(2
-1
1)
(2
-1
3)
Subtraktion der mit λ multiplizierten Einheitsmatrix von A
(0-λ
2
-1)
A-λE=
(2
-1-λ
1)
(2
-1
3-λ)
Ausrechnen der Determinante dieser Matrix mit Hilfe der Regel von Sarrus ergibt
det(A - λ E) = -(λ - 2) (λ - 2) (λ + 2)
Die Eigenwerte entsprechen den Nullstellen des Polynoms, d.h. die rechte Seite der obigen Gleichung
gleich Null setzen und man erhält
λ1 = 2 ; λ2 = -2
Der Eigenwert 2 hat die algebraische Vielfachheit 2, da er doppelte Nullstelle des charakteristischen
Polynoms ist.
Berechnung der Eigenvektoren
Für einen Eigenwert λ lassen sich die Eigenvektoren aus der Gleichung
(A - λ E) x = 0
bestimmen. Die Eigenvektoren spannen einen Raum auf, dessen Dimension als geometrische Vielfachheit
des Eigenwertes bezeichnet wird.
Für einen Eigenwert λ der geometrischen Vielfachheit µ lassen sich Eigenvektoren x1, x2, …, xµ finden, so
dass die Menge aller Eigenvektoren zu λ gleich der Menge der Linearkombinationen von x1, x2, …, xµ ist.
(x1, x2, …, xµ) heißt dann Basis aus Eigenvektoren zum Eigenwert λ.
193
Die geometrische Vielfachheit eines Eigenwertes kann man als die maximale Anzahl linear unabhängiger
Eigenvektoren zu diesem Eigenwert definieren. Die geometrische Vielfachheit ist immer kleiner oder
gleich der algebraischen Vielfachheit.
Beispiel: Gegeben ist die quadratische Matrix A:
(0
2
-1)
A=
(2
-1
1)
(2
-1
3)
Die Eigenwerte sind λ1 = 2, λ2 = -2. Für λ1 = 2 ergibt das zugehörige Gleichungssystem
(-2
2
-1)
(2
-3
1 ) x→ = 0→
(2
-1
1)
als Lösung den Vektor (1/2 ; 0; -1) und alle seine Vielfachen, nicht jedoch das Nullfache des Vektors, da
Nullvektoren niemals Eigenvektoren sind.
Obwohl dieser Eigenwert eine algebraische Vielfachheit von 2 hat, existiert nur ein linear unabhängiger
Eigenvektor. Damit hat dieser Eigenwert eine geometrische Vielfachheit von 1.
Für λ2 erhält man den Eigenvektor (3/2 ; -2 ; -1).
Ähnlichkeitstransformation einer Matrix
Zu jeder reellen symmetrischen Matrix A gibt es eine orthogonale Matrix U und eine Diagonalmatrix D mit
A = U D UT
Dabei sind die Diagonalelemente von D die Eigenwerte von A, und die Spalten von U sind die
dazugehörigen normierten Eigenvektoren. Aus der Gleichung folgt unmittelbar
D = UT A U
Man bezeichnet diese Gleichung als Hauptachsentransformation. Auf diese Weise wird A in die
Diagonalform überführt.
Wird die quadratische Matrix A mit Hilfe der regulären quadratischen Matrix G nach der Vorschrift GT A G
= A'
transformiert, dann spricht man von einer Ähnlichkeitstransformation. Die Matrizen A und A' heißen
ähnlich, und es gilt:
1. Die Matrizen A und A' haben dieselben Eigenwerte, d.h., bei einer Ähnlichkeitstransformation ändern
sich die Eigenwerte nicht.
2. Ist A symmetrisch, dann ist auch A' symmetrisch, falls G orthogonal ist:
A' = GT A G mit GT G = E
Bei dieser Beziehung bleiben Eigenwerte und Symmetrie erhalten. Dies besagt, dass eine symmetrische
Matrix A orthogonal ähnlich auf die reelle Diagonalform D transformiert werden kann.
Eigenwerte, Eigenvektoren und Eigenräume von Endomorphismen
Es sei V ein Vektorraum über K beliebiger Dimension und f: V → V ein Endomorphismus. Für alle λ ∈ K
gilt:
Eλ = {x ∈ V | f(x) = λx} = {x ∈ V | (f - λ id)(x) = 0} = ker (f - λ id)
ist ein Unterraum von V.
Ein Skalar λ ∈ K heißt Eigenwert des Endomorphismus, wenn dim Eλ = dim ker(f - λ id) > 0 ist, das heißt
wenn ein Eigenvektor x ∈ V\{0} existiert mit f(x) = λx.
Eλ = ker(f - λ id) heißt dann Eigenraum von f zum Eigenwert λ, und seine Dimension d ≥ 1 die
geometrische Vielfachheit des Eigenwertes λ.
Der Nullvektor ist niemals Eigenvektor und kein Eigenraum ist 0-dimensional. Für ein λ gilt: Entweder ist
λ Eigenwert von f, oder f - λ id ist regulär.
Ein Eigenraum Eλ zum Eigenwert λ von f: V → V ist invariant, das heißt es gilt f[Eλ] ⊆ Eλ, falls λ ≠ 0.
Die Eigenvektoren x1, …, xm zu paarweise verschiedenen Eigenwerten λ1, …, λm eines Endomorphismus f:
V → V sind linear unabhängig.
Die Anzahl der verschiedenen Eigenwerte eines Endomorphismus f: V → V ist nicht größer als die
Dimension von V.
Pascal-Matrix
Eine Matrix mit n Spalten und n Zeilen, in die wie in der Abbildung die
Koeffizienten des Pascalschen Dreiecks eingetragen, d.h. die
Binomialkoeffizienten, ist symmetrisch und besitzt stets, unabhängig
von der Zahl der Reihen, die Determinante 1.
Ist n > 6 so besitzt die Matrix einen Eigenwert von 1 und den Eigenvektor (1 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0).
Ab n = 8 tritt zusätzlich ein Eigenwert 2 mit dem Vektor (0 ; 1 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0; 0) auf, ab n = 10
der Eigenwert 6, ab n = 11 der Eigenwert 20 usw.
Lineares Gleichungssystem
Ein lineares Gleichungssystem kann in der Form A * x = b dargestellt werden.
A ... Koeffizientenmatrix, b ... Vektor der Absolutglieder, x ... Lösungsvektor
194
Für das Gleichungssystem
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = bn
a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = bn
...
am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn = bn
ist die Koeffizientenmatrix A gleich
Allgemeines Lösungsverfahren
Zunächst wird die Hauptdeterminante D = | A | berechnet, was bis Rang n = 3 ohne weitere
Umformungen möglich ist. Ist der Rang n > 3, ist meistens der Gaußsche Algorithmus am günstigsten.
1. Fall: D = 0: keine eindeutige Lösung, d.h. Gauß'scher Algorithmus (geometrisch ist die Lösungsmenge
eine Ebene oder eine Gerade)
2. Fall: D ≠ 0: eindeutige Lösung, d.h. Cramer'sche Regel (Determinantenverfahren)
Überbestimmtes lineares Gleichungssystem: notwendige, aber nicht hinreichende Voraussetzung n < m
Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem: notwendige, aber nicht hinreichende Voraussetzung n > m
Der Mangel an mathematischer Bildung gibt sich durch nichts so auffallend zu erkennen wie durch
maßlose Schärfe im Zahlenrechnen. Gauß
Lösungsverfahren von Gleichungssystemen
Einfache lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen x, y und zwei Gleichungen können mit einfachen
Verfahren gelöst werden.
1) Das Gleichsetzungsverfahren wird vor allem genutzt, wenn alle Gleichungen nach ein und derselben
Unbekannten aufgelöst sind. Die Werte werden gleichgesetzt und die lineare Gleichung gelöst.
Beispiel:
-4x + 2y = 8 und 9x + 3y = -6
Auflösen nach y ergibt
y = 2x + 4 ; y = -3x - 2
Gleisetzen führt zur Gleichung 2x + 4 = -3x - 2 mit der Lösung x = -6/5. Einsetzen in eine
Ausgangsgleichung ergibt y = 8/5, d.h.
L = {(-6/5 ; 8/5)}
2) Beim Einsetzungsverfahren wird eine Gleichung nach einer Unbekannten umgestellt und der Term für
die Variable in die andere Gleichung eingesetzt.
Beispiel: Im obigen Beispiel wird die erste Gleichung nach y umgestellt, d.h. y = 2x + 4. Einsetzen in die
zweite Gleichung ergibt
9x + 3(2x + 4) = -6
die zur gleichen Lösung führt.
3) Das Additionsverfahren wird genutzt, wenn die Koeffizienten einer Unbekannten in beiden Gleichungen
dem Betrage nach gleich sind.
Beispiel: Multiplizieren der Gleichung -4x + 2y = 8 mit 3 und der Gleichung 9x + 3y = -6 mit 2 führt zu
-12x + 6y = 24 ; 18x + 6y = -12
Subtrahiert man die 2.Gleichung von der ersten, verschwindet der y-Term und es wird
-30x = 36
mit der oben genannten Lösung.
Kronecker-Capelli-Theorem
Das Kronecker-Capelli-Theorem gibt eine Aussage über die Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen.
Diesen Satz gab Kronecker 1903 in "Vorlesungen über die Theorie der Determinanten" an, allerdings
wurde die Aussage; in der heutigen(!) Form; schon 1892 von A.Capelli in "Sopra la compatibilitá o
incompatibilitá di più equazioni di primo grado fra picì incognite" bewiesen.
Satz: Ein System von Gleichungen
a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = b2
…
am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn = bm
ist genau dann lösbar, wenn der Rang r(A) der Koeffizientenmatrix A gleich dem Rang r(A|B) der
erweiterten Koeffizientenmatrix A|B; Koeffizientenmatrix um Vektor der Absolutglieder erweitert; ist.
Ist
r(A) < r(A|B), so ist das System unlösbar
Ist
r(A) = r(A|B) = n, so ist das System eindeutig lösbar
Ist
r(A) = r(A|B) < n, so besitzt das System unendliche viele Lösungen
Gaußscher Lösungsalgorithmus, Gauß'scher Algorithmus
Umwandlung der Koeffizientenmatrix in eine Dreiecksmatrix mit folgenden äquivalenten Umformungen:
- Vertauschen von Gleichungen
- Multiplikation einer Gleichung mit einer konstanten, reellen Zahl ≠0
- Addition des Vielfachen einer Gleichung zu einer anderen (Linearkombination)
195
Das Gauß-Verfahren versagt, falls das Diagonalelement oder Pivotelement (engl. für Dreh- und
Angelpunkt) eines Eliminationsschrittes gleich Null ist: Das Verfahrens bricht dann auf Grund von Division
durch Null ab.
Pivotsuche: Ist ein Diagonalelement akk, so vertauscht man die Pivot-Zeile k vor Ausführung des k-ten
Eliminationsschrittes mit derjenigen Zeile m > k, die den betragsmäßig größten Koeffizienten xk besitzt.
Lösung des Systems mittels inverser Matrix
Ist dann lineare Gleichungssystem in der Form A * x→ = b→ gegeben, wobei A die Koeffizientenmatrix
darstellt, so kann die Lösung mittels inverser Matrix A-1
ermittelt werden. Es wird: A-1 * A * x→ = A-1 * b→
E * x→ = A-1 * b→ ; E ... Einheitsmatrix ; x→ = A-1 * b→
Gauß'scher Algorithmus
Lineares Gleichungssystem
x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = -2
2x1 + 3x2 + 4x3 + x4 = 2
3x1 + 4x2 + x3 + 2x4 = 2
4x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = -2
Durch rückwärtiges Lösen der Gleichungen XVI bis XIII
erhält man:
x1 = 0 x2 = 1
x3 = 0 x4 = -1
Die Probe durch Einsetzen bestätigt dieses Ergebnis
Lineares Gleichungssystem
-x1 - 3x2 - 12x3 = -5
-x1 + 2x2 + 5x3 = 2
5x2 + 17x3 = 7
3x1 - x2 + 2x3 = 1
7x1 - 4x2 - x3 = 0
Eine Lösung existiert, sie ist aber nicht eindeutig. Man kann eine
Unbekannte als Parameter wählen, z.B. x3. Die Lösung lautet
dann:
x1 = 4/5 - 9/5 t
x2 = 7/5 - 17/5 t
x3 = t
Die geometrische Deutung der Lösungsmenge eines LGS mit drei
Unbekannten ist die Bestimmung der Schnittmenge der durch die
drei Gleichungen des LGS gegebenen
Ebenen. In diesem Beispiel ist die
Lösungsmenge eine Gerade
LR-Zerlegung
Jede Matrix A, bei der für die Durchführung des Gauß-Algorithmus keine
Pivotisierung erforderlich ist, kann als Produkt einer linken unteren und einer
rechten oberen Dreiecksmatrix geschrieben werden
A=LR
Dies wird als LR-Zerlegung (LR links-rechts) bezeichnet: im englischen LU
(lower-upper-decomposition)
Algorithmus zur Lösung des Gleichungssystems A x = c
1.LR-Zerlegung der Koeffizientenmatrix A x = L ... R x = c
2.Einführung eines unbekannten Hilfsvektors y und Lösung des linearen Gleichungssystems L y = c
y = L-1 c
3.Schritt: Lösung des Gleichungssystems R x = y ... x = R-1 y
Die LR-Zerlegung ist dann zu empfehlen, wenn mehrere lineare Gleichungssysteme mit gleicher
Koeffizientenmatrix A, aber jeweils verschiedener Inhomogenität c zu lösen sind; Schritt 1 ist dann nur
einmal durchzuführen.
Die Zerlegung der Koeffizientenmatrix A in die linke Dreiecksmatrix L und die rechte Dreiecksmatrix R ist
nicht eindeutig. Die wichtigsten Zerlegungen, basierend auf der Gaußelimination, sind die Doolittle-, die
Crout- und die Cholesky-Zerlegung.
Cholesky-Zerlegung
196
Die Cholesky-Zerlegung ist ein numerisches Verfahren zur Zerlegung einer symmetrischen positiv
definiten Matrix in das Produkt einer unteren Dreiecksmatrix und ihrer Transponierten.
Jede symmetrische positiv definite, reelle (n x n)-Matrix A kann eindeutig in der Form
A = L D LT
geschrieben werden. Dabei ist L eine untere Dreiecksmatrix, deren Diagonalelemente alle gleich 1 sind
und D eine Diagonalmatrix mit positiven Einträgen. Mit der Matrix-Wurzel von D und dem Matrix-Faktor
G, definiert durch
D = D1/2 D1/2
und
G = LD1/2
wird die Cholesky-Zerlegung auch formuliert als
A = G GT
Liegt eine Berechnung der Cholesky-Zerlegung vor, so lässt sich das Gleichungssystem Ax = b effizient
durch Vorwärts- und Rückwärtseinsetzen lösen:
• Durch Vorwärtseinsetzen: Lösung des linearen Gleichungssystems Gy = b
• Durch anschließendes Rückwärtseinsetzen: Lösung des linearen Gleichungssystems GTx = y
Doolittle-Zerlegung
Die Diagonalelemente der linken Dreiecksmatrix L sind gleich Eins, ljj = 1, d.h. det L =
1 besitzt die oben abgebildete Form.
Bei der Doolittle-Zerlegung ist R die Matrix der bei der Gaußelimination entstehenden
Koeffizienten, siehe untere Abbildung.
Berechnung der Koeffizienten rjk
r1k = a1k, k = 1, ..., n
rjk = ajk - Σs=1 j-1 ljs rsk, k = j, ..., n, j > 1
Berechnung der Koeffizienten ljk, die Eliminationskonstanten
lj1 = aj1 / r11, j = 2, ..., n
ljk = 1/rkk (ajk - Σs=1 k-1 ljs rsk, j = k+1, ..., n, k > 1
Bei der Crout-Zerlegung sind die Diagonalelemente der rechten Dreiecksmatrix R sind gleich Eins. Die
Berechnung erfolgt analog.
Jacobi-Verfahren
Das Jacobi-Verfahren ist eine Erweiterung des Newtonverfahrens zum
Approximieren von Nullstellen auf mehrere Dimensionen. Um Lösungen einer
Gleichung als Nullstelle zu gewinnen, muss die Gleichung LinkeSeite = RechteSeite
in der Form Term = 0 vorliegen.
Das kann bewerkstelligt werden mit LinkeSeite - (RechteSeite) = 0. Lösungen
dieser Gleichung sind dann die Nullstellen der Funktion f := LinkeSeite (RechteSeite)
Bei eindimensionalen Funktionen R → R gewinnt man ausgehend von einer günstigen Startnäherung für x
bessere Näherungen durch die Rekursion
xi+1 = xi - f(x)/f'(x) = xi - f(x)·(f'(x))-1
wobei f'(x) die erste Ableitung von f(x) ist.
Im Rn tritt anstelle der Ableitung die Jacobimatrix Jf(x) (siehe Abbildung) bzw. an die Stelle von (f'(x))--1
die inverse Jacobimatrix.
Die Nullstellen eines dreidimensionalen Gleichungssystems mit den Variablen x, y und z sowie den
Funktionen f1(x,y,z), f2(x,y,z) und f3(x,y,z) werden durch folgende Rekursionen angenähert:
xi+1 = xi - j1,1 · f1(x,y,z) - j1,2 · f2(x,y,z) - j1,3 · f3(x,y,z)
yi+1 = yi - j2,1 · f1(x,y,z) - j2,2 · f2(x,y,z) - j2,3 · f3(x,y,z)
zi+1 = zi - j3,1 · f1(x,y,z) - j3,2 · f2(x,y,z) - j3,3 · f3(x,y,z)
wobei j2,3 das Element in der 2. Zeile und der 3. Spalte der inversen Jacobimatrix ist.
Die partiellen Ableitungen in der Jacobimatrix werden durch Differenzenquotienten mit sehr kleinem d
approximiert: ∂f/∂x ≈ (f(x+d)-f(x))/d.
Die inverse Jacobimatrix wird gefunden über den Gauß-Algorithmus durch Umformen der Jacobimatrix in
die Einheitsmatrix und paralleles Umformen einer Einheitsmatrix mit denselben Transformationen.
Gleichungssysteme
System
I: 4x + 3y = 14
I: -4x - y = 40
I: 2x - 6y = 6
I: 4x + 2y = 4
I: 12x + 11y = 18
I: 3x - 10y = 3
I: 14x - 8y = 10
II:
II:
II:
II:
II:
II:
II:
2x - y = 12
x + 5y = 9
5x + 3y = 42
-6x + 3y = 33
16x - 7y = -2
-9x + 24y = -10
-21x + 15y = 60
Lösung
(5 / -2)
(-11 / 4)
(7,5 / 1,5)
(-2,25 / 6,5)
(0,4 / 1,2)
(14/9 / 1/6)
(15 / 25)
197
I:
I:
I:
I:
I:
I:
I:
I:
I:
I:
I:
I:
18x + 24y = -132
11x - 10y = 13
12x + 9y = 15
x - 4y = 3
4x + 6y = 7
6x - 2y = -8
2x + 3y + 5 = 5x + 6y - 1
3(x + 5) = 2(2y - 1)
5(2x + y) = 4(3y - 5x) + 13
2(2x + 3y) = 3(3x - y) + 5
(x + 5)(y + 1) = (x + 8)(y - 3)
(x + 2)(y - 3) = (x - 3)(y + 4)
II:
II:
II:
II:
II:
II:
II:
II:
II:
II:
II:
II:
27x - 40y = 676
-8x + 7y = -7
4x + 3y = 5
-5x + 20y = 10
6x + 9y = 10
-15x + 5y = 20
x - 4y - 2 = 2x - 2y
4(3x - 6) = 3(y + 4)
6(8x - 2y + 6) = 4(2y - 3x) - 4
4(3x - 4y) = 2(x + y) - 10
(x - 3)(y - 1) = (x - 1)(y + 3)
(x - 6)(y + 9) = (x + 4)(y - 5)
(8 / -11,5)
(-7 / -9)
unendlich viele Lösungen
L=∅
L=∅
unendlich viele Lösungen
(6 / -4)
(5 / 8)
(3 / 11)
unendlich viele Lösungen
(-2 / 7)
L=∅
Stöchiometrisches Rechnen
Das stöchimetrische Rechnen, insbesondere das Aufstellen einer chemischen Reaktionsgleichung kann
mittels linearer Gleichungssysteme gelöst werden.
Auf Grund des Gesetzes von der Erhaltung der Masse, nach Lomonossow, und des Gesetzes der
konstanten Proportionen, nach Proust 1797, lassen sich für jede vollständig verlaufende chemische
Reaktion, von der chemischen Gleichung ausgehend, aus der Menge eines Reaktionsteilnehmers die
Mengen aller anderen Reaktionsteilnehmer berechnen. Solche Berechnungen sind Gegenstand eines
Teilgebietes der Chemie der Stöchiometrie.
Beispiel: Reagiert Eisen (II)-sulfat FeSO4 mit Schwefelsäure H2SO4 unter Anwesenheit von
Kaliumpermanganat KmnO4, so entstehen nach der Reaktionsgleichung
FeSO4 + H 2 SO4 + KMnO4 → Fe2 ( SO4 ) 3 + MnSO4 + K 2 SO4 neben Wasser drei Salze, Eisen (III)-sulfat,
Mangansulfat und Kaliumsulfat. Soll das Gesetz der Erhaltung der Masse eingehalten werden, kann die
Gleichung so aber nicht akzeptiert werden. So treten auf der linken Seite nur 1 Eisenatom, rechts aber 2,
links 12 Sauerstoffatome, rechts aber 21 auf. Daher werden alle Substanzen mit einem entsprechenden
Faktor versehen, so dass auf beiden Gleichungsseiten gleiche Anzahlen von Atomen für jedes Element
vorhanden sind. Aus aFeSO4 + bH 2 SO4 + cKMnO4 → dFe2 ( SO4 ) 3 + eMnSO4 + fK 2 SO4 + gH 2 O entsteht das
Gleichungssystem
Fe:
a = 2e
S:
a + b = 3d + e + f
O:
4 a + 4b + 4c = 12 d + 4e + 4f +g
H:
2b = 2g
K:
c = 2f
Mn:
c=e
Dieses Gleichungssystem ist unterbestimmt. Der Parameter der Lösung muss dann so gewählt werden,
dass alle Einzellösungen ganzzahlig werden. Für die genannte Gleichung ergibt sich damit:
10 FeSO4 + 8 H 2 SO4 + 2 KMnO4 → 8 H 2O + 5 Fe2 ( SO4 ) 3 + 2 MnSO4 + K 2 SO4
Mit der korrekten Reaktionsgleichung kann nun weiter gerechnet werden. Sollen 100 g Eisen (II)-sulfat
reagieren, so ergeben sich unter Berücksichtigung der molaren Massen mit einfachen
Verhältnisgleichungen, dass 51,6 g Schwefelsäure und 20,8 g Kaliumpermanganat zugeben werden
müssen. An Reaktionsprodukten erhalten Sie 9,5 g Wasser, 131,6 h Eisen (III)-sulfat, 19,9 g
Mangansulfat und 11,5 g Kaliumsulfat.
Mischen von Legierungen
Anwendung von linearen Gleichungssystemen:
Edelstahl ist eine Legierung aus Eisen, Chrom und Nickel. Beispielsweise besteht
V2A-Stahl aus 74% Eisen, 18% Chrom und 8% Nickel. In der Tabelle sind vorhandene Legierungen (I-IV)
angegeben, mit denen 1000 kg V2A-Stahl gemischt werden soll.
I
II
III
IV
Eisen 70%
72%
80%
85%
Chrom 22%
20%
10%
12%
Nickel 8%
8%
10%
3%
Sind x1, x2, x3 und x4 die Anteile der Legierungen I-IV in Einheiten kg, so gilt für die Summe aller
Mischungsanteile in kg
x1 + x2 + x3 + x4 = 1000
Für die Einzelbestandteile Eisen, Chrom und Nickel gelten die Erhaltungsgleichungen
0,7 x1 + 0,72 x2 + 0,8 x3 + 0,85 x4 = 740
0,22 x1 + 0,2 x2 + 0,1 x3 + 0,12 x4 = 180
0,08 x1 + 0,08 x2 + 0,1 x3 + 0,03 x4 = 80
Diese vier Gleichungen liefern ein inhomogenes lineares Gleichungssystem, das nach dem Gaußschen
Lösungsverfahren die Form
x1 + x2 + x3 + x4 = 1000
0 x1 + 2 x2 + 10 x3 + 15 x4 = 4000
0 x1 + 0 x2 - 2 x3 + 5 x4 = 0
0 x1 + 0 x2 + 0 x3 + 0 x4 = 0
hat. Man wählt x4 = k beliebig. Daraus folgt
x3 = 5/2 k
198
x2 = 2000 - 20 k
und
x1 = -1000 + 16,5 k.
Damit die Lösung realisierbar ist, müssen alle Anteile x1, x2, x3, x4 ≥ 0 sein.
Wegen der Bedingung für x2 folgt 100 ≥ k und wegen der Bedingung für x1 folgt k ≥ 60.6.
D.h. für 100 ≥ k ≥ 60.6 ist das Problem physikalisch lösbar.
Beispiele zu linearen Gleichungssystemen
Aufgabe 1
Verlängert man an einem Dreieck die Grundseite um 3 cm und die zugehörige Höhe um 2 cm, so wächst
der Flächeninhalt um 53 cm². Verkürzt man dagegen die Grundseite um 2 cm und die zugehörige Höhe
um 3 cm, so verringert sich der Flächeninhalt um 42 cm². Berechne die Grundseite und die Höhe des
Dreiecks!
Lösung Grundseite g, Höhe h
(g+3) (h+2) / 2 = gh / 2 + 53 und (g-2) (h-3) / 2 = gh / 2 - 42
… g = 14 cm, h = 24 cm
Aufgabe 2
Verlängert man an einem Rechteck die kleinere Seite um 2 cm und die größere um 3 cm, so wächst der
Flächeninhalt um 60 cm². Verlängert man dagegen die kleinere Seite um 7 cm und die größere um 5 cm,
so wächst der Flächeninhalt um 180 cm². Berechne die Seiten des Rechtecks!
Lösung größere Seite a, kleinere Seite b
(a+4) (b+2) = ab + 60 und (a+5) (b+7) = ab + 180 … a = 15 cm, b = 8 cm
Aufgabe 3
In einem Rechteck beträgt die Länge einer Seite 3/4 der Länge der anderen. Vergrößert man die größere
Seite um 4 cm und verkleinert man die kleinere um 2 cm, so ändert sich der Flächeninhalt nicht. Wie lang
sind die Seiten des ursprünglichen Rechtecks?
Lösung größere Seite a, kleinere Seite b
b = 3/4 a und (a+4) (b-2) = a·b … a = 8 cm, b = 6 cm
Aufgabe 4
Verlängert man an einem Rechteck die längere Seite um 3 cm und die kürzere Seite um 6 cm, so
entsteht ein Quadrat, dessen Flächeninhalt um 117 cm² größer ist als der Flächeninhalt des Rechtecks.
Berechne die Seiten des Rechtecks!
Lösung größere Seite a, kleinere Seite b
(a+3) (b+6) = ab + 117 und a+3 = b+6 … a = 12 cm, b = 9 cm
Aufgabe 5
Von zwei Brüdern ist der eine 6 Jahre älter als der andere. Vor 6 Jahren war er gerade dreimal so alt. Wie
alt ist jeder jetzt?
Lösung x Alter des älteren, y Alter des jüngeren Bruders
x = y + 6 und x - 6 = 3 (y - 6) … x = 15 Jahre, y = 9 Jahre
Aufgabe 6
Vater und Sohn wiegen zusammen 115 kg. Würden beide 5 kg abnehmen, dann würde der Vater genau
doppelt so schwer sein wie sein Sohn. Wie viel kg wiegen Vater und Sohn?
Lösung x Masse des Vaters, y Masse des Sohnes
x + y = 115 und x - 5 = 2 (y - 5) … x = 75 kg, y = 40 kg
Aufgabe 7
Eine Kassiererin zahlt 2000 € in 50 € Scheinen und 20 € Scheinen aus. Es sind insgesamt 55 Scheine.
Wie viel 50 € Scheine und wie viel 20 € Scheine sind das?
Lösung x Anzahl 50 € Scheine, y Anzahl 20 € Scheine
x + y = 55 und 50x + 20y = 2000 … x = 30, y = 25
Aufgabe 8
Um 9:00 Uhr startet ein Fußgänger zu einer Wanderung mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von
6 km/h. Um 11:30 Uhr folgt ihm ein Radfahrer mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von 18
km/h. Wann holt der Radfahrer den Wanderer ein?
Lösung x Anzahl der Stunden, die der Fußgänger unterwegs ist, y entsprechend für den Radfahrer
9 + x = 11,5 + y und x · 6 = y · 18 … x = 3,75, y = 1,25, d.h. um 12:45 Uhr
Aufgabe 9
Eine Bergbahn verlangt für Berg- und Talfahrt zusammen 6 €, für die Bergfahrt allein 4,50 € und für die
Talfahrt ohne Bergfahrt 3 €. An einem Sonntag fuhren im ganzen 680 Personen mit der Bahn hinauf und
520 Personen hinab. Es gingen 3930 € ein. Wie viele Personen nutzten Berg- und Talfahrt, nur die
Bergfahrt oder nur die Talfahrt?
199
Lösung x … Anzahl Bergfahrt, y … Anzahl Talfahrt, z … Anzahl Berg- und Talfahrt
Gleichungssystem: 4,5 x + 3 y + 6 z = 3930 ; x + z = 680 ; y + z = 520 ergibt
Bergfahrtbillette x = 220, Retourbillette z = 680-x = 460, Talfahrtbillette y = 520-z = 60
Aufgabe 10
Ein Kapital von 330740 Fr. ist in drei Posten abgelegt, zu 4%, 5% und 6%. Werden nach einem Jahr die
Zinsen dazu geschlagen. so werden alle Posten gleich groß. Wie groß waren die Posten am Anfang?
Lösung x + y + z = 330740; 1,06 z = 1,04 x; 1,05 y = 1,04 x ergibt
1.Posten x = 111300 Fr. , 2.Posten y = 110240 Fr. , 3.Posten z = 109200 Fr.
Aufgabe 11
Ein Radfahrer hat eine Geschwindigkeit von 25 km/h auf ebenem Gelände, von 15 km/h bergaufwärts
und von 30 km/h abwärts. Wieviel ebenen, ansteigenden und absteigenden Weg enthält unter diesen
Voraussetzungen eine Strasse von 100 km, wenn der Radfahrer 4 Stunden 24 Minuten braucht, um sie in
der einen Richtung, und 4 Stunden 36 Minuten, um sie in der anderen Richtung zu durchfahren?
Lösung x/25 + y/15 + z/30 = 4,4 ; x/25 + y/30 + z/15 = 4,6 ; x+y+z = 100
Auf dem Hinweg geht es z = 28 km abwärts und y = 22 km aufwärts. Der Rest x = 50 km ist eben.
Aufgabe 12
Ein Kind ist 21 Jahre jünger als seine Mutter. In 6 Jahren wird die Mutter 5mal so alt wie das Kind sein.
Wo ist der Vater? Die Aufgabe ist nicht ganz ernst gemeint!
Lösung: das Kind ist -¾ Jahre alt … :-)
Historische Beispiele zu linearen Gleichungssystemen
Aufgabe 1
In einem Käfig sind Hasen und Fasane. Sie haben zusammen 35 Köpfe und 94 Füße. Wie viele Hasen und
Fasane sind im Käfig? (China, ca. 2500 v.u.Z.)
Lösung: 12, 23
Aufgabe 2
Fünf Ochsen und zwei Schafe kosten acht Goldstücke, zwei Ochsen und acht Schafe kosten acht
Goldstücke. Wie hoch ist der Preis für jedes einzelne Tier? (China, 3. Jh. v.u.Z.)
Lösung: 4/3, 2/3
Aufgabe 3
Ein Mann sagt zu einem anderen: "Wenn du mir einen von deinen Denaren gibst, so habe ich soviel wie
du!" Der andere antwortet: "Wenn du mir einen von deinen gibst, habe ich zehnmal soviel wie du!"
Wieviel Denare hatte jeder? (Leonardo von Pisa, Fibonacci, 1202)
Lösung: 13/9, 31/9
Aufgabe 4
Wenn der Preis von 9 Äpfeln vermindert um den Preis einer Birne 13 Denare beträgt und der Preis von 19
Birnen vermindert um den Preis eines Apfels 8 Denare beträgt, so frage ich, wie teuer ein Apfel und wie
teuer eine Birne ist? (Johannes Buteo, 1549)
Lösung: 1½, ½
Aufgabe 5
Zwei Personen wollen ein Pferd für 11 Gulden kaufen. A sagt zu B: "Gib mir 1/3 von deinem Geld, so will
ich meines dazutun und das Pferd bezahlen." B sagt zu A: "Gib mir von deinem Geld 1/4, so will ich mit
meinem zusammen das Pferd bezahlen." Nun frage ich, wieviel Geld jeder gehabt hat. (Adam Ries)
Lösung: A: 8 Gulden, B: 9 Gulden
Aufgabe 6
In den "Erzählungen aus Tausendundeiner Nacht" befindet sich folgendes Rätsel:
Eine fliegende Taubenschar kam zu einem hohen Baume; ein Teil von ihnen setzte sich auf den Baum,
ein anderer darunter. Da sprachen die auf dem Baume zu denen die darunter lagerten: "Wenn eine von
euch herauffliegt, so seid ihr ein Drittel von uns allen; und wenn eine von uns hinabfliegt, so werden wir
euch an Zahl gleich sein." Wie viel Tauben waren auf dem Baum, wie viel darunter ?
Lösung: Tauben oben = o, Tauben unten = u
o - 1 = u + 1 und o = u + 2
o + 1 = 3 (u - 1) → (u + 2) + 1 = 3u - 3 →
u + 3 = 3u -3 und 6 = 2u
u = 3 ; o = 3 + 2 = 5, d.h. 5 Tauben waren auf dem Baum, 3 darunter.
Aufgabe 7
200
Jemand hat 30 Vögel für 30 Münzen gekauft. Für 3 Spatzen zahlte er eine Münze, für zwei Wildtauben
ebenfalls eine Münze und für jede Taube zwei Münzen. Wie viele Vögel jeder Art hat er gekauft ?
(Fibonacci)
Lösung:
System x + y + z = 30 und z = 30 - x - y
Als ganzzahlige Lösungen ergeben sich x = 9, y = 10, z = 11, d.h. er kauft 9 Spatzen, 10 Wildtauben und
11 Haustauben.
Aufgabe 8
Drei Personen wollen ein Grundstück um 100 Gulden kaufen. A fehlt die Hälfte des Geldes von B auf den
Kaufpreis. B fehlt 1/3 des Geldes von C, und C fehlt 1/4 von A. Wieviel hat jeder? (Adam Ries)
Lösung: A: 64 Gulden, B: 72 Gulden, C: 84 Gulden
Aufgabe 9
Die Mitgift von Francescos Frau ist um 100 Gulden höher als Francescos eigenes Vermögen, und das
Quadrat der Mitgift ist um 400 größer als das Quadrat des Vermögens. Berechne die Mitgift und das
Vermögen. (Cardano, 1545)
Lösung: Mitgift: 52 Gulden; Francesco hat 48 Gulden Schulden
Aufgabe 10
Aus 3 Garben einer guten Ernte, 2 Garben einer mittelmäßigen Ernte und 1 Garbe einer schlechten Ernte
erhält man den Ertrag von 39 Körben. Aus 2 Garben einer guten Ernte, 3 Garben einer mittelmäßigen
Ernte und 1 Garbe einer schlechten Ernte erhält man 34 Körbe. Aus 1 Garbe guter Ernte, 2 Garben
mittelmäßiger Ernte und 3 Garbe schlechter Ernte erhält man 26 Körbe. Wie viel ist der Ertrag je einer
Garbe der guten, der mittelmäßigen und der schlechten Ernte? (China, 3.Jahrhundert u.Z.)
Lösung: 9¼, 4¼, 2¾
Aufgabe 11
Jetzt hat man 2 Rinder und 5 Schafe verkauft und damit 13 Schweine gekauft, wobei ein Rest von 1000
Geldstücken übrig blieb. Man hat 3 Rinder und 3 Schweine verkauft und damit 9 Schafe gekauft; das
Geld reichte gerade. Man hat 6 Schafe und 8 Schweine verkauft und damit 5 Rinder gekauft, aber das
Geld reichte nicht um 600 Geldstücke. Wie hoch ist der Preis von jedem, vom Rind, vom Schaf und vom
Schwein? (China, 3.Jahrhundert u.Z.)
Lösung: 1200, 500, 300
Aufgabe 12
Drei Personen werden nach ihrem Vermögen gefragt. Der erste und der zweite besitzen zusammen um
20 Denare mehr als der dritte; der erste und der dritte haben zusammen um 40 Denare mehr als der
zweite; und der zweite und der dritte haben zusammen um 30 Denare mehr als der erste. Wieviel besitzt
jeder der drei? (nach Diophant, 3.Jh. u.Z.)
Lösung: 30, 25, 35
Aufgabe 13
Drei Kaufleute sahen auf dem Weg eine Geldbörse mit 15 Goldstücken. Einer von ihnen sagte zu den
anderen: "Wenn ich diese Börse behalte, so werde ich zweimal so reich sein wie ihr beide zusammen mit
dem Geld, das ihr in der Hand habt!" Da sagte der zweite von ihnen: "Ich werde dreimal so reich sein!"
Dann sagte der dritte: "Ich werde fünfmal so reich sein." Wieviel Geld hatte jeder Kaufmann? (Indien, 9.
Jh. u.Z.)
Lösung: 1, 3, 5
Aufgabe 14
Vier Männer finden eine Börse mit 11 Drachmen. Wenn der erste sie behält, besitzt er doppelt so viel wie
der zweite und der dritte zusammen; behält sie der zweite, hat er dreimal so viel wie der dritte und der
vierte zusammen; der dritte hätte viermal so viel wie der vierte und der erste, und der vierte hätte
fünfmal so viel wie der erste und der zweite. Wieviel besitzt jeder der vier? (nach Leonardo von Pisa)
Lösung: -1, 4, 1, 4
Aufgabe 15
Für 100 Drachmen sollen 100 Vögel gekauft werden: Enten, Sperlinge und Hühner. Eine Ente kostet 5
Drachmen, 20 Sperlinge kosten 1 Drachme und ein Huhn 1 Drachme. (China, 5.Jh. u.Z.)
Lösung: 19 Enten, 80 Sperlinge, 1 Huhn
Blume des Thymaridas
Thymaridas (um 375 v.u.Z.) löste folgende Aufgabe, die als "Blume des Thymaridas" bekannt wurde:
"Schmiede mir einen Kranz! Verwende mir Gold zur der Mischung, Kupfer und Zinn und trefflich
gehärtetes Eisen von 60 Minen Gewicht im Ganzen!
201
Von diesem Gewicht betrage das Gold mit dem Kupfer 2/3, das Gold mit dem Zinn 3/4, schließlich das
Gold mit dem Eisen 3/5 des fertigen Stücks."
Gesucht sind die Anteile der Metalle an den 60 Minen.
Die allgemeine Lösung von Thymaridas ist:
Gleichungssystem
x1 + x2 + ... + xn = s
x1 + x2 = a1
x2 + x3 = a2
...
xn + x1 = an-1
Lösung x1 = (a1 + a2 + ... + an-1 - s) / (n-2)
x2 = a1 - x1
...
xn = an-1 - x1
Konkret für die Aufgabe wird:
x1 + x2 + x3 + x4 = 60
x1 + x2 = 40
x2 + x3 = 45
x3 + x1 = 36
mit 30 1/2 Anteilen Gold, 9 1/2 Kupfer, 14 1/2 Zinn und 5 1/2 Eisen.
Es ist besonders erstaunlich, dass schon vor über 2300 Jahren eine derartige Aufgabe gelöst werden
konnte.
Siegfried Beyers Honigkuchen
geg.: w … g Weizenmehl ; h … g Honig ; f … g Feinzucker ; m … g Halbfettmargarine ; z
… g gewürfeltes Zitronat ; o … g gewürfeltes Orangeat
Die oben genannten Zutaten wiegen insgesamt 1470 g. Die beiden erstgenannten
wiegen zusammen 230 g mehr als die vier letztgenannten. Die 8,8fache Masse des
Zitronats ergibt die Masse aller restlichen Zutaten.
Das Mehl wiegt so viel wie Margarine, Zitronat und Orangeat zusammen, der Honig so
viel wie Margarine und Zitronat zusammen. Ein Drittel des Zitronats und ein Fünftel des
Honigs machen zusammen die Masse des Zuckers aus.
2 Eier 100 ml Milch (1,5 % Fett)
1 EL Lebkuchengewürz
25 g Belegkirschen
1 Päckchen Orangeback
50 g Mandelstifte
2 TL gemahlener Zimt 1 Eiweiß
1 Päckchen Backpulver
1 EL Wasser
1 EL Kakao
Rezept: Honig und Margarine in einem Topf bei mäßiger Hitze mit dem Zucker schmelzen, in eine
Rührschüssel geben und abkühlen lassen. Eier, Lebkuchengewürz, Orangeback und Zimt mit den Besen
eines Handrührgeräts auf höchster Stufe unter die abgekühlte Honigmasse rühren. Das Mehl mit
Backpulver und Kakao mischen, sieben und auf mittlerer Stufe zusammen mit der Milch unter die
Honigmasse rühren. Zitronat und Orangeat unter den Teig heben. Den Backofen auf 180° vorheizen.
Ein Backblech mit Backpapier auslegen und den Teig darauf verteilen. Nun 5 x 5 cm große Quadrate auf
dem Teig markieren und mit Belegkirschen und Mandelstiften garnieren. Das Eiweiß mit Wasser
verrühren und den Teig damit bestreichen. Auf der mittleren Schiene etwa 30 Minuten backen.
Lösung des Gleichungssystems 1w + 1h + 1f + 1m + 1z + 1o = 1470
1w + 1h - 1f - 1m - 1z - 1o = 230
1w + 1h + 1f + 1m - 8,8z + 1o = 0
1w
- 1m - 1z - 1o = 0
1h
- 1m - 1z
= 0
3h -15f
+ 5z
= 0
w = 500 g Weizenmehl ; h = 350 g Honig ; f = 120 g Feinzucker ; m = 200 g Halbfettmargarine ; z =
150 g gewürfeltes Zitronat ; o = 150 g gewürfeltes Orangeat
Siegfried Beyers Honigkuchen (2)
Die Aufgabe der vorhergehenden Seite kann auch zu einem unterbestimmten Gleichungssystem
verändert werden.
Für den Honigkuchen werden benötigt: w … g Weizenmehl, h … g Honig, f … g Feinzucker, m … g
Halbfettmargarine, z … g gewürfeltes Zitronat, o … g gewürfeltes Orangeat und keine Zutat darf fehlen.
Die oben genannten Zutaten wiegen insgesamt 1470 g. Die beiden erstgenannten wiegen zusammen 230
g mehr als die vier letztgenannten.
Das Mehl wiegt so viel wie Margarine, Zitronat und Orangeat zusammen, der Honig so viel wie Margarine
und Zitronat zusammen. Ein Drittel des Zitronats und ein Fünftel des Honigs machen zusammen die
Masse des Zuckers aus.
Von den Margarinewürfeln zu je 100 g musste nie ein Stück abgeschnitten werden. Außerdem waren alle
Massen der Zutaten stets ohne Rest durch 10 teilbar.
202
Wieviel Weizenmehl, Honig, Feinzucker, Halbfettmargarine, Zitronat und Orangeat gehören in den
Kuchen?
Lösung: Das Rätsel erfordert das Aufstellen und Lösen eines linearen Gleichungssystems.
1w + 1h + 1f + 1m + 1z + 1o = 1470
1w + 1h - 1f - 1m - 1z - 1o = 230
1w - 1m - 1z - 1o = 0
1h - 1m - 1z = 0
3h -15f + 5z = 0
Dieses ist unterbestimmt und liefert die Lösungen
w = 425 +0,5·e
h = 425 -0,5·e
f = 195 -0,5·e m = 95 +0,7·e
z = 330 -1,2·e o = 1·e
Da m ein Vielfaches von 100 sein soll, kann m nur 100, 200, … werden. Da alle Anteile durch 10 teilbar
sein sollen, muss 10(m-95) durch 7 teilbar sein, andernfalls treten Dezimalbrüche auf.
Dies geht nur für m = 200, 900, … Nur für m = 200 ergeben sich für die anderen Zutaten stets positive
Werte, d.h. die Lösung ist w = 500 g Weizenmehl ; h = 350 g Honig ; f = 120 g Feinzucker ; m = 200 g
Halbfettmargarine ; z = 150 g gewürfeltes Zitronat ; o = 150 g gewürfeltes Orangeat.
Entfernung vom "Bären" zum "Löwen"
Nach einem Becher im "Löwen" macht sich Herr Bieri mit konstanter Geschwindigkeit
auf den Weg zum "Bären". Zur gleichen Zeit bricht Herr Weinhold vom "Bären" in
Richtung "Löwen" auf. Bis zum Treffpunkt legt Herr Bieri 200 Meter mehr als Herr
Weinhold zurück.
Nach einem Gespräch gehen sie weiter, wegen Nachsinnen über das zufällige Treffen
aber jeweils nur noch mit halber Geschwindigkeit. Herr Bieri benötigt noch 8 Minuten bis
zum "Bären", Herr Weinhold noch 18 Minuten bis zum "Löwen".
Berechnen Sie die Entfernung vom "Löwen" zum "Bären".
Lösung:
Die Strecke vom "Löwen" zum "Bären" sei x Meter. Die Geschwindigkeit von Bieri sei vB
Meter pro Minute, diejenige von Weinhold sei vW Meter pro Minute.
In derselben Zeit t legt dann Bieri bis zum Treffpunkt T (0,5x + 100) Meter, Weinhold (0,5x - 100) Meter
zurück.
(1)
vB t = 0,5x + 100
(2)
vW t = 0,5x - 100
Nach dem Treffpunkt legt Bieri die Strecke der Länge (0,5x - 100) Meter mit Geschwindigkeit 0,5vB in 8
Minuten, Weinhold die Strecke (0,5x + 100) Meter mit Geschwindigkeit 0,5vW in 18 Minuten zurück. Also
gilt:
(3)
0,5vB · 8 = 0,5x - 100 (4)
0,5vW · 18 = 0,5x + 100
Dividiert man (1) durch (2), so erhält man dasselbe Resultat wie bei der Division von (4) durch (3):
(5)
vB / vW = (0,5x + 100) / (0,5x - 100) = 9vW / 4vB
d.h. 4vB² = 9vW² und 2vB = 3vW
Einsetzen in (5) gibt
3vW / vW = (x + 200) / (0,5x - 100)
Auflösung der entstandenen Gleichung ergibt eine Entfernung von x =
1000 m.
Quelle: http://www.mathematik.ch/puzzle/puzzle24.php
Wiegeproblem
Aufgabe: Auf einer gewöhnlichen Balkenwaage sind folgende Gegenstände
im Gleichgewicht:
Kreis und Dreieck mit Quadrat
Kreis mit Dreieck und Fünfeck
Zwei Quadrate mit drei Fünfecken
Wie viele Dreiecke wiegt ein Kreis?
Lösung: Zur Lösung ist ein System von drei Gleichungen mit drei Unbekannten zu lösen
(1)
Q = K+D
Kreis und Dreieck mit Quadrat
(2)
K = D+F
Kreis mit Dreieck und Fünfeck
(3)
2Q = 3F
Zwei Quadrate mit drei Fünfecken
(4)
Q = 2D+F
(1),(2)
(5)
3F = 4D+2F
(4),(3)
F = 4D
(6)
K = 4D+D
(5),(2)
K = 5D Ein Kreis wiegt also fünf Dreiecke.
203
Pumpenprobleme
Aufgabe: Ein Behälter soll durch 2 Pumpen P1 und P2 gefüllt werden. Arbeiten beide
Pumpen gleichzeitig, so benötigt man 6 Stunden. Da aber P2 nach 3 Stunden
abgeschaltet wurde, musste P1 noch weitere 5 Stunden allein arbeiten. In welcher Zeit
hätten die Pumpen einzeln den Behälter gefüllt?
Lösung:
Es seien x und y die prozentualen Füllmengen jeder Pumpe je Stunde Arbeitszeit. Dann
ergibt sich das System
6/x + 6/y = 1 und 8/x + 3/y = 1
mit der Lösung x = 1/10, y = 1/15. Damit benötigt die Pumpe P1 allein 10 Stunden, die
Pumpe P2 allein 15 Stunden.
Aufgabe 2:
Ein Wasserbecken wird mit zwei Pumpen befüllt, die dafür gemeinsam 12 Stunden
benötigen. Betriebe man sie einzeln, wäre die schnelle Pumpe 10 Stunden eher fertig als die langsame.
Wie lange brauchen die beiden Pumpen im Einzelbetrieb zur Füllung des Beckens?
Lösung: Analog erhält man das System 12/x + 12/y = 1 ; 1/y = 1/(x+10) mit der Lösung x = 1/20, y =
1/30, d.h. 20 und 30 Stunden.
Aufgabe 3:
Ein Schwimmbassin wird durch zwei Pumpen gefüllt. Die erste Pumpe füllt das Bassin alleine in 16
Stunden, die zweite alleine in 12 Stunden. Um 8.00 Uhr werden beide Pumpen zur Füllung des Bassin
eingeschaltet. Doch nach einer Stunde fällt die zweite Pumpe aus. Die Reperatur benötigt ganze 9
Stunden, danach arbeiten für den Rest der Füllung wieder beide Pumpen zusammen. Wann ist das Bassin
gefüllt?
Lösung:
Es sei x die Zeit, welche nach der Reperatur noch vergeht, bis das Bassin voll ist. Dann wird
100/16 (10+x) + 100/12 (1+x) = 100
mit der Lösung x = 2. Das Bassin ist nach 12 Stunden, d.h. um 20.00 Uhr gefüllt.
Nichtlineares Gleichungssystem – Beispiel
Aufgabe: Ein Schwimmbecken wird aus zwei Hähnen mit Wasser gefüllt. Öffnet man zunächst den ersten
Hahn ein Drittel der Zeit, welche man benötigt, das Becken mit dem zweiten Hahn zu füllen, und
anschließend den zweiten Hahn ein Drittel der Zeit, welche man benötigt, das Becken mit dem ersten
Hahn zu füllen, so hat man das Becken zu 13/18 gefüllt.
Man berechne, wie viel Zeit jeder Hahn für sich benötigt, das Becken zu füllen, wenn bei Öffnung beider
Hähne das Becken in 216 Minuten gefüllt ist.
Lösung: Für Hahn i sei xi die Flüssigkeit pro Minute und ti die zur Füllung benötigten Minuten (i = 1,2).
x2 t2 = 1
(1)
Aufgrund dieser Definitionen gilt:
x1 t1 = 1
(2)
x1 t2/3 + x2 t1/3 = 13/18
(x1 + x2) 216 = 1
(3)
Aus (2) folgt 6x1t2 + 6x2t1 = 13, und mit (1) erhält man: 6 x1/x2 + 6 x2/x1 = 13.
Mit y = x1/x2 führt dies auf die Gleichung
y² - 13/6 y + 1 = 0.
mit den zwei Lösungen y1 = 3/2 und y2 = 2/3.
1.Fall: x1/x2 = 3/2 in (3) eingesetzt, ergibt x1 = 1/360, x2 = 1/540 und somit t1 = 360, t2 = 540.
2.Fall: x1/x2 = 2/3 in (3) eingesetzt, ergibt x1 = 1/540, x2 = 1/360 und somit t1 = 540, t2 = 360.
Der eine Hahn füllt das Becken in 540 Minuten, der andere in 360 Minuten.
Diophantische Gleichungen
...Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten und Variablen (linear)
a x + b y = c; a,b,c,x,y ∈ Z
Die Lösungsmenge wird in der Menge der ganzen Zahlen gesucht. Lösbar mit unendlich vielen Lösung ⇔
ggT(a,b) teilt c
Die Namensgebung erfolgte zu Ehren des irgendwann zwischen 100 v.Chr. und 350 in Alexandria
wirkenden Mathematikers Diophant. Wahrscheinlichste Lebensdaten liegen zwischen 200 bis 284 n.Chr.
Die einfachste diophantische Gleichung ist a X - b = 0. Sie ist lösbar, falls a = 0 und b = 0, dann ist jede
ganze Zahl X eine Lösung. Falls a ≠ 0, hat die Gleichung nur dann eine Lösung, wenn a ein Teiler von b
ist. Die Lösung ist in diesem Fall X = b / a.
Auf der rechten Seiten werden die Lösungen der diophantischen Gleichungen A*X+B*Y = ggT[A,B] und
AX = 1 mod B ermittelt. Über die Gleichung A*X = 1 mod B kann der geheime Schlüssel beim
asymmetrischen Verschlüsselungsverfahren RSA berechnet werden.
Eine lineare Diophantische Gleichung mit natürlichen Koeffizienten
a x + b y = c; a, b, c ∈ N, x, y ∈ Z
besitzt unendliche viele Lösungen, wenn der ggT(a,b) die Zahl c teilt.
204
Die ganzzahligen Lösungen x, y können dabei auch negativ sein. Mitunter fragt man aber nach einem
Lösungspaar (x, y), bei dem beide Zahlen natürlich sind.
Auch wenn die Gleichung ganzzahlige Lösungen besitzt, muss eine natürliche Lösung nicht existieren.
Zum Beispiel erhält man
für
5 x + 7 y = 24 die Lösung (2, 2)
für
5 x + 7 y = 23 keine natürliche Lösung.
Das hier genannte Problem tritt relativ häufig auf.
Bei der Aufgabe der Ding-Bong-Zahlen ergibt sich zum Beispiel, dass ab c = 24 alle Zahlen durch zwei
Töne dargestellt werden können; ab c = 24 existiert für die Gleichung
5x+7y=c
stets ein natürliches Lösungspaar.
Diophantische Gleichung mit zwei Variablen
Die lineare diophantische Gleichung
ax + by = c
(1)
mit vorgegebenen ganzen Zahlen a, b, c hat genau dann ganzzahlige Lösungen in x und y, wenn c durch
den größten gemeinsamen Teiler g von a und b teilbar ist. Die linke Seite ist durch g teilbar, also muss
auch c durch g teilbar sein.
Wie bei jeder linearen Gleichung ist die Differenz zweier Lösungen eine Lösung der zugehörigen
homogenen Gleichung
ax + by = 0
Bestimmt man also eine Lösung der ursprünglichen, inhomogenen Gleichung, so erhält man durch
Addition von Lösungen der homogenen Gleichung sämtliche anderen Lösungen der inhomogenen
Gleichung (1).
Lösungen der homogenen Gleichung
Schreibt man a = ga' und b = gb' mit g = ggT(a, b), so ist die homogene Gleichung äquivalent zu
a'x = - b'y,
und da a' und b' teilerfremd sind, ist x durch b' und y durch a' teilbar. Sämtliche Lösungen der
homogenen Gleichung sind also durch
x = tb' ; y = - ta'
für eine beliebige ganze Zahl t gegeben.
Auffinden einer Partikularlösung
Mithilfe des erweiterten euklidischen Algorithmus kann man Zahlen u, v bestimmen, so dass
au + bv = g mit g = ggT(a, b)
gilt. Setzt man s = c/g, so ist
x0 = su ; y0 = sv
eine Lösung der Gleichung (1).
Gesamtheit der Lösungen
Die Gesamtheit der Lösungen von (1) ist gegeben durch
für beliebige ganze Zahlen t.
x = x0 + tb' ; y = y0 - ta'
Reduktion diophantischer Gleichungen
Gegeben ist die lösbare diophantische Gleichung
a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn = b , n > 2
mit (a1, a2, ..., an) <> (0, 0, ..., 0) und ggT(a1, a2, ..., an) = 1. Wäre der ggT(a1, a2, ..., an) <> 1, so
müsste man die Gleichung noch durch ggT(a1, a2, ..., an) dividieren. Nach der Umformung
a1 x1 + a2
x2 + ... + an-1 xn-1 = b - an xn
betrachtet man xn als ganzzahlige Konstante und erhält eine lineare diophantische Gleichung mit n-1
Unbekannten, die genau dann lösbar ist, wenn ggT(a1, a2, ..., an-1) ein Teiler von b - an xn ist. Die
Bedingung
ggT(a1, a2, ..., an-1) | b - an xn
ist genau dann erfüllt, wenn es ganze Zahlen c, cn gibt, für die gilt:
ggT(a1, a2, ..., an-1) c + an cn = b
Das ist eine lineare diophantische Gleichung in zwei Unbekannten, die mit Hilfe des allgemeinen
Lösungsverfahrens für n = 2 gelöst werden kann. Ist ihre Lösung bekannt, dann hat man nur noch eine
lineare diophantische Gleichung in n-1 Unbekannten zu lösen.
Die beschriebene Reduktion ist fortsetzbar, bis man schließlich eine lineare diophantische Gleichung in
zwei Unbekannten erhält, die gelöst werden kann. Aus den zwischenzeitlich berechneten Lösungsmengen
für diophantische Gleichungen in zwei Unbekannten muss man nun noch die Lösungsmenge der
Ausgangsgleichung ablesen.
Esel-Maultier-Problem
... klassisches Problem, erstmals von Euklid aufgestellt und gelöst
Aufgabenstellung:
Ein Esel und ein Maultier tragen jeweils eine Anzahl Säcke. Spricht das Maultier zum Esel: "Gibst Du mir
einen Sack, so haben wir beide gleich viele". Antwortet der Esel: "Gibst Du mir einen Sack, so habe ich
doppelt so viel wie Du." Wie viele Säcke tragen beide?
Problem führt zum linearen Gleichungssystem
x+1=y–1
2 (x - 1) = y + 1
mit der Lösung (5 ; 7). Das Maultier trägt 5 Säcke, der Esel 7.
205
Verallgemeinerung
Maultier: "Gibst Du mir a Säcke, dann habe ich b Mal so viele wie Du". Esel: "Gibst Du mir c Säcke, so
habe ich d Mal so viel wie Du." Die allgemeinen Lösungen sind x = c + (b + 1)(a + c) / (bd - 1)
y=
a + (d + 1)(a + c) / (bd - 1)
Nur wenn (bd - 1) ein Teiler sowohl von (b + 1)(a + c) als auch von (d + 1)(a + c) ist, existiert eine
ganzzahlige Lösung.
Wechselgeldaufgabe
Aufgabe: Als ich letzte Woche ein Buch mit einem Hundertmarkschein bezahlt hatte, stellte ich zu Hause
fest, dass mir die Kassiererin doppelt soviel und noch fünf Pfennige mehr an Wechselgeld gegeben hatte,
als mir zustand. Offensichtlich hatte sie den Markbetrag mit dem Pfennigbetrag des Wechselgeldes
vertauscht.
Wie teuer war das Buch?
Lösung (Arne Heizmann):
Der Mark-Betrag sei m, der Pfennig-Betrag p. Das Wechselgeld ist also 100m + p. Das vertauschte
Wechselgeld ist demnach m + 100p. Es ergibt sich die Gleichung:
m + 100p = 2 (p + 100m) + 5 = 2p + 5 + 100 (2m) [a]
= 2p - 95 + 100 (2m+1) [b]
Falls 2p+5 < 100, d.h. p < 48 ist, wählt man Gleichung [a]. Nimmt man daraus den Mark- und PfennigBetrag heraus, ergeben sich zwei Gleichungen:
m = 2p + 5
p = 2m → m = 4m + 5 → m = -5/3
Das widerspricht der Annahme, m sei eine ganze Zahl. Also ist p > 47. Nach Gleichung [b] wird:
m = 2p - 95
p = 2m + 1 → m = 2(2m+1)-95 → m = 31
→ p = 63
Archimedisches Rinderproblem
Durch Archimedes wurde folgendes Problem gestellt:
Die Rinderherde des Gottes Helios besteht aus x weißen, y schwarzen, z gescheckten und t braunen
Stieren und aus x' weißen, y' schwarzen, z' gescheckten und t' braunen Kühen.
(a) Es gilt
x = (1/2+1/3)y+t , y = (1/4+1/5)z+t , z = (1/6+1/7)x+t
und
x' = (1/3+1/4)(y+y') , y' = (1/4+1/5)(z+z') , z' = (1/5+1/6)(t+t') , t' = (1/6+1/7)(x+x')
(b) Die weißen und die schwarzen Stiere zusammen können sich in Form eines Quadrats aufstellen, d.h.
x+y ist eine Quadratzahl.
(c) Die gescheckten und die braunen Stiere zusammen können sich in Form eines Dreiecks aufstellen,
d.h. 8(z+t)+1 ist Quadratzahl
Zu ermitteln ist die Anzahl der Rinder in der Herde.
Lösung der ersten 3 Gleichungen
(x,y,z,t) = m(2226,1602,1580,891), m ist natürliche Zahl
Die nächsten Gleichungen sind nur dann ganzzahlig lösbar, falls m durch 4657 teilbar ist. Sei also m =
4657·k mit einer natürlichen Zahl k, dann ist
(x',y',z',t') = k (7206360, 4893246, 3515820, 5439213).
Bedingung (b): x+y und 8(z+t)+1 sind Quadratzahlen
Ist x+y Quadratzahl, so ist k = a·l² mit a = 3·11·29·4657.
Ist 8(z+t)+1 = h², so erhalten wir die Gleichung h² = 8(z+t)+1 = 8·4657·2471·a·l² + 1, also ist (h,l)
eine Lösung der Pellschen Gleichung für
d = 8·4657·2471·a = 2·3·7·11·29·353·22·46572 = 410 286 423 278 424
Diese Pell'sche Gleichung wurde 1880 von A.Amthor gelöst:
Die Gesamtzahl der Rinder ist eine Zahl mit 206545 Ziffern, die mit
77602714064868182695302328332138866642323224059233 … beginnt.
Die nachfolgende Abbildung zeigt die allgemeine Lösung von Lenstra
206
Das Problem wurde 1773 von Gotthold Ephraim Lessing in einem griechischem Manuskript der Herzog
August Bibliothek in Wolfenbüttel entdeckt, das einen in 44 Distichen abgefassten Brief des Archimedes
an Eratosthenes von Kyrene enthielt.
Quelle: Lessing "Zur Geschichte der Literatur. Aus den Schatzen der herz. Bibliothek zu Wolfenbüttel.
Zweiter Beitrag." Braunschweig 1773
Ob der Brief tatsächlich von Archimedes stammt wird angezweifelt, das Problem selbst ist aufgrund seiner
Schwierigkeit jedoch möglicherweise auf Archimedes zurückzuführen.
Eine deutsche Übertragung des Gedichts wurde 1842 von G.H.F.Nesselmann angefertigt und
veröffentlicht, eine weitere von B.Krumbiegel 1880.
Auszug aus dem Originaltext:
"Προβληµα
Πλθυν Ηελιοιο βοων, ω ξεινε, µετρησον φροντιδ επιστησας, ει µετεχεις σοφιης,
ποσση αρ εν πεδιοις Σικελης πορ εβοσκετο νησου Θρινακυης τετραχη στιφεα δασσαµενη
χροιην αλλασσοντα το µεν λευκοιο γαλακτος, κυανεω ετερον χροωµατι λαµποµενον,
αλλο γε µεν ξανθον το δε ποικιλον."
Der von Lessing veröffentlichte Text enthält eine Teillösung, die aber zwei Forderungen aus dem zweiten
Teil des Gedichtes nicht erfüllt. Dies blieb wegen der zur Lösung nötigen Berechnung von sehr großen
Zahlen bis vor einigen Jahren ungelöst. Ein Lösungsverfahren wurde 1880 von A. Amthor gefunden.
Diophantische Gleichung bei Alcuin von York
Auf den angelsächsischen Gelehrten Alcuin von York (732 – 804) geht folgende Aufgabe zurück:
Ein Familienvater hatte ein Hausgesinde von 100 Personen, unter das er vom Jahresertrag 100 Scheffel
austeilen ließ, und zwar in der Weise, dass die Männer je 3, die Frauen je 2 und die Kinder je ½ Scheffel
erhielten. Wie viele Männer, Frauen und Kinder waren es?
Lösung: Es seien x Männer, y Frauen und z Kinder gegeben. Dann wird
x + y + z = 100
und
3x + 2y + z/2 = 100 6x + 4y + z = 200
Subtraktion führt zu
5x + 3y = 100
und somit
y = (100 – 5x)/3 = 33 – x + (1-2x)/3. Setzt man (1-2x)/3 = u, wird 2x + 3u = 1 x =
(1-u)/2 – u.
Mit (1-u)/2 = v wird u = 1 – 2v. Rücksubstitution ergibt
x=3v–1
y = 35 – 5v
z = 100 – x – y
Für v = 1,2,…,6 ergeben sich insgesamt sechs mögliche Lösungen der Aufgabe:
Männer Frauen Kinder
Männer Frauen Kinder
Männer Frauen Kinder
2
30
68
5
25
70
8
20
72
11
15
74
14
10
76
17
5
78
Münzproblem von Frobenius
In einer Währung seien Münzen mit den Werten 1, 2, 5, 10, 50, 100, 200 und 500 Einheiten vorhanden.
Gesucht sind Lösungen, einen Geldbetrag G mit diesen Münzen auszuzahlen. Das Problem führt zu der
Gleichung:
1x0 + 2x1 + 5x2 + 10x3 + 50x4 + 100x5 + 200x6 + 500x7 = G
Münzproblem von Frobenius
Es seien ai, k ∈ N und xi ∈ N. Man betrachte die diophantische Gleichung
a1x1 + a2x2 + … + anxn = k,
mit ai fest und ggt(a1, a2, …, an) = 1. Gesucht ist g(a1, a2, …, an), also die größte natürliche Zahl k, für die
die diophantische Gleichung keine ganzzahlige Lösung mehr hat.
Lösung für i=2 von Sylvester 1884: Seien a,b ∈ N mit ggt(a,b)=1, dann gilt g(a,b) = ab-a-b.
Beweis:
Sei n > ab-a-b eine Zahl. Man muss zunächst zeigen, dass für diese Zahl die diophantische Gleichung
ax+by = n immer eine ganzzahlige Lösung hat. Es gilt:
Sei für x0, y0 ∈ Z das Paar (x0, y0) eine ganzzahlige Lösung dieser Gleichung.
Dann wird: (x, y) ist eine Lösung der diophantischen Gleichung
⇔ ∃ t ∈ Z: x = x0 + bt ∧ y = y0 - at.
Wählt man t so, dass 0 ≤ y0 - at ≤ a-1 ist, dann gilt ax + by = n,
ax = n - by
a(x0 + bt) = n - b(y0- at) > ab-a-b-b(a-1) = -a, also
a(x0 + bt) > -a und x0 + bt > -1, also x0 + bt ≥ 0. Es existiert eine Lösung.
Es bleibt zu zeigen, dass ax + by = ab-a-b keine Lösung hat. Wenn ax+by = ab-a-b eine Lösung hätte,
dann gelte
ab = ax + a + by + b = a(x+1) + b(y+1).
Da a und b teilerfremd per Voraussetzung, muss y+1 teilbar durch a sein und x+1 teilbar b durch sein.
Also muss y+1 ≥ a und x+1 ≥ b. Doch dann gilt
207
ab = a(x+1) + b(y+1) ≥ ab+ab = 2ab. Widerspruch, da a und b ungleich 0.
Gleichungssystem - Netzwerk
Mit Hilfe der Kirchhoffschen Regeln und linearer
Gleichungssysteme können elektrische Netzwerke
einfach berechnet werden.
Beispiel
Maschensatz für M1
R1 I1 + U2 = U0
Knotensatz für K2
-I1 + G2 U2 + I3 = 0
Maschensatz für M3
-U2 + R3 I3 + U4 = 0
Knotengleichung für K4
-I3 + G4 U4 = 0
Gemischte Diophantische Gleichung
Eine Diophantische Gleichung der Form
x·y + a·x + b·y + c = 0
mit den zwei Variablen x und y sowie dem gemischten Glied x·y kann mit der Eulerschen
Reduktionsmethode gelöst werden.
Auflösen nach x ergibt
x = - (b·y + c) / (y + a) = -b + (b·d - c) / (y + a)
Da der zweite Term ganzzahlig sein muss, setzt man
r = (b·a - c) / (y + a) d.h.
y = -a + (a·b - c) / r
Damit können nur Lösungen gefunden werden, für die r ein ganzzahliger Teiler von a·b - c ist. Im
Allgemeinen existieren nur endlich viele Lösungen.
Pellsche Gleichung
Die Pellsche Gleichung X2 - D*Y2 = 1 erhielt ihren Namen von Euler zu Ehren von John Pell (1611-1685).
Für D = 61 und 109 ist die Lösung extrem schwierig und wurde erstmals von Lord William Brouncker und
John Wallis gefunden. Z.B. ergibt sich für D = 109 :
X = 158070671986249 und Y = 15140424455100
Kennt man eine Lösung x0 und y0, so ergeben sich weitere Lösungen mit
x1 = C*x1 -1
y1 = C*y0 mit C = 2*x0
xn = C*xn-1 -xn-2
yn = C*yn-1 - yn-2
D
Lösungen der Pellschen Gleichung
5
9/4
6
5/2
7
8/3
13
649 / 180
61
1766319049 / 226153980
73
2281249 / 267000
109
158070671986249 / 15140424455100
157
46698728731849 / 3726964292220
181
2469645423824185801 / 183567298683461940
241
10085143557001249 / 649641205044600
277
159150073798980475849 / 9562401173878027020
409
25052977273092427986049 / 1238789998647218582160
421
3879474045914926879468217167061449 / 189073995951839020880499780706260
Die Lösung der Pellschen Gleichung X2 - D*Y2 = 1 ergibt schon für kleine D sehr große Lösungen X und Y.
Die Tabelle enthält die Werte für D, bei denen X ein neues Maximum annimmt. (gesucht bis 1,2 Millionen)
D
5
13
46
61
181
397
421
gerundeter Wert für X
D
gerundeter Wert für X
9
10
19
649
29
9801
24335
53
66249
1766319049
109
158070671986249
2469645423824185801
277
159150073798980475849
838721786045180184649
409
25052977273092427986049
3879474045914926879468217167061449
541
370745336002386702880064559966700500
661
16421658242965910275055840472270471049
1021 198723867690977573219668252231077415636351801801
1069 742925865816843150858935268959512942700219559049
1381 91889645003972654622127399341267476203024769394634584316300287049
...
1167709
3.35239450597464815152511177808367904503088052112714420 * 10^2779
Pellsche Gleichung und Hastings - Die Schlacht von Hastings
... aus Amusements in Mathematics, von Henry Ernest Dudeney, 1917
Die Aufgabe bezieht sich auf die Schlacht bei Hastings, jenen berühmten Kampf, in dem 1066 die
Normannen unter Wilhelm dem Eroberer die Sachsen unter König Harald besiegten, und fortan die
Geschicke Englands bestimmten. Nach Dudeney schildert die alte Chronik:
208
"Haralds Mannen standen tapfer zusammen und bildeten 61 Quadrate mit gleich vielen Recken in jedem
Quadrat. Als Harald sich in die Schlacht warf, bildeten die Sachsen mit ihm zusammen ein einziges,
mächtiges Quadrat."
Gesucht ist nun die minimal mögliche Anzahl der Krieger.
Lösung
Wir bezeichen die Kantenlänge der kleinen Quadrate mit y und die vom großen Quadrat mit x, d.h.
61 y² + 1 = x²
Es handelt es sich um eine diophantische Gleichung 2.Ordnung, konkret um die Pellsche Gleichung
x² - d y² = 1 mit d = 61
Deren kleinste natürliche Lösung ist y = 226153980, x = 1766319049.
Mit Harald zusammen wäre also etwa 3.11 Trillionen Sachsen dabei gewesen. Und da sollen die verloren
haben?
Pellsche Gleichung und Quadratwurzel
Mittels Pellscher Gleichung X2 - D*Y2 = 1 kann eine Näherungsformel für die Quadratwurzel √D ermittelt
werden. Durch Umstellen ergibt sich mit der Lösung (x0 , y0) als 1.Näherung
√D ≈ x0 / y0
Mit der Lösung (xn , yn) ist auch
xn+1 = xn² + D yn² ; yn+1 = 2 xn yn
Lösung der Gleichung, wobei die Quotienten
xn / yn
mit wachsendem n immer besser die Wurzel √D annähern.
Ein schnellere Konvergenz ergibt sich durch Abschätzen des Fehlers
√D = x0 / y0 - 1/2 (1/(x0 y0) + 1/(x1 y1) + 1/(x2 y2) + ...)
Zum Beispiel wird für D = 2: x0 = 3, y0 = 2, x1 = 9+2*4 = 17, y1 = 2*3*2 = 12 , x2 = 289+2*144 =
577, y2 = 2*17*12 = 408 und somit
√2 = 3/2 - 1/2 (1/(3*2) + 1/(17*12) + 1/(577*408) + ...)
Mit den ersten 3 Summanden erhält man als Näherung 1,41421356237... (√2 ≈ 1.41421356237310...)
mit elf exakten Ziffern. Berücksichtigt man x3 = 665857, y3 = 470832 stimmt der Näherungswert auf 21
Stellen.
Pellsche Gleichung und Kettenbruch
Mithilfe von Kettenbrüchen von Quadratwurzeln kann die Pellsche Gleichung
gelöst werden.
x² - d·y² = 1
Dazu entwickelt man √d in einen Kettenbruch und wählt an, die vorletzte Zahl einer Periode. Ist die Länge
der Periode ungerade, so nutzt man die vorletzte Zahl der zweiten Periode.
Ist [a1, a2, a3, …] der Kettenbruch, so ermittelt man den n.ten Näherungsbruch pn/qn. Dazu verwendet
man
p0 = 1, q0 = 0, p1 = a1, q1 = 1
pn = anpn-1 + pn-2, qn = anqn-1 + qn-2
Das Paar x = pn und y = qn ist dann eine Lösung der Gleichung.
Beispiel: x² - 7y² = 1
Die Kettenbruchentwicklung von √7 ist [2; 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4 …].
Die vorletzte Zahl der ersten Periode ist a4 = 1 und der 4.Näherungsbruch ist 8/3. x = 8 und y = 3 sind
also Lösung der Gleichung, denn 8² - 7·3² = 1.
Eine weitere Lösung erhält man aus a8, der vorletzten Zahl der zweiten Periode, der 8.Näherungsbruch ist
127/48, und 127² - 7·48² = 1.
Diophantische Gleichung 2.Grades
Eine diophantischen Gleichung 2.Grades ist eine Gleichung für ganzzahlige a, c und k mit ganzzahligen
Lösungen x und y mit ax² + cy² = k
Pythagoreische Gleichung
Spezialform
A² + B² = C²
Lösung alle ganzzahligen pythagoreischen Tripel (A,B,C)
Spezialform
A² = B² + C² + D²
Lösung ganzzahlige pythagoreische Quadrupel (A,B,C,D)
Spezialform
(A²+B²) (C²+D²) = E² + F²
Lösung über Fibonacci-Identität
(a²+b²)(c²+d²) = (ac ± bc)² + (bc ± (-ad))² = e² + f²
Eulersche 4-Quadrate-Identität(a²+b²) (c²+d²) (e²+f²) (g²+h²) = j² + k² + m² + n²
Lebesque-Identität
(a² + b² + c² + d²)² = (a² + b² - c² - d²)² + (2ac + 2bd)² + (2ad - 2bc)²
6-6-Lösung einer Diophantischen Gleichung 2.Grades
87² + 233² + 264² + 396² + 496² + 540² = 90² + 206² + 309² + 366² + 522² + 523²
Ramanujan Quadratgleichung
... die Gleichung
2n - 7 = x² hat ausschließlich für n = 3, 4, 5, 7 und 15 ganzzahlige Lösungen
(nach Schroeppel)
Diophantische Gleichung n.Grades
209
... Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten und Lösungen
x1k + x2k + ... + xmk = y1k + y2k + ... + ynk
Die Tabelle enthält die kleinsten n für welche ganzzahlige Lösungen für ein k und 1 ≤ m ≤ n bekannt sind:
m
k=2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
3
4
7
8
11
15
23
2
2
2
2
4
7
8
9
12
19
3
3
3
7
8
11
24
4
4
7
10
23
5
5
5
11
16
6
6
27
Diophantische Gleichung 2.Grades a² + b² = c² + d² = e²
Die Liste enthält ganzzahlige Lösungen der Diophantischen Gleichung
a² + b² = c² + d² = e² = n
Angegeben werden teilerfremde a und b sowie deren Summe, welche eines Quadratzahl von e darstellt.
In Klammern stehen Paare (c ; d), für die gerade die Gleichung erfüllt ist. Jedes Quadrupel (a, b, c, d) ist
genau einmal in der Tabelle enthalten. Gesucht wurde bis a, b, c, d < 10000. (Februar 2007)
Ausgewählte
a² +b²
7² + 24²
13² + 84²
16² + 63²
17² + 144²
21² + 220²
23² + 264²
27² + 364²
31² + 480²
33² + 544²
36² + 323²
253)
37² + 684²
41² + 840²
43² + 924²
740)
44² + 117²
44² + 483²
47² + 1104²
; 1020)
53² + 1404²
55² + 1512²
Lösungen
e²
n
= 25² = 625
= 85² = 7225
= 65² = 4225
= 145² = 21025
= 221² = 48841
= 265² = 70225
= 365² = 133225
= 481² = 231361
= 545² = 297025
= 325² = 105625
(c; d)
(15 ; 20)
(36 ; 77) (40 ; 75) (51 ; 68)
(25 ; 60) (33 ; 56) (39 ; 52)
(24 ; 143) (87 ; 116) (100 ; 105)
(85 ; 204) (104 ; 195) (140 ; 171)
(96 ; 247) (140 ; 225) (159 ; 212)
(76 ; 357) (219 ; 292) (240 ; 275)
(156 ; 455) (185 ; 444) (319 ; 360)
(184 ; 513) (300 ; 455) (327 ; 436)
(80 ; 315) (91 ; 312) (125 ; 300) (165 ; 280) (195 ; 260) (204 ;
= 685² = 469225
= 841² = 707281
= 925² = 855625
(156 ; 667) (411 ; 548) (440 ; 525)
(580 ; 609)
(259;888) (285;880) (300 ; 875) (520 ; 765) (533 ; 756) (555 ;
= 125² = 15625
(75 ; 100)
= 485² = 235225
(93 ; 476) (291 ; 388) (325 ; 360)
= 1105²
= 1221025
(105 ; 1100) (169 ; 1092) (264 ; 1073) (272 ; 1071) (425
= 1405²
= 1513²
= 1974025
= 2289169
(444 ; 1333) (800 ; 1155) (843 ; 1124)
(663 ; 1360) (712 ; 1335) (888 ; 1225)
Diophantische Gleichung 2.Grades a² + b² = n
Während auf der vorhergehenden Seite nach Lösungen der Gleichung
a² + b² = c² + d² = e² = n
gefragt wurde, muss die Summe zweier Quadrate nicht unbedingt selbst Quadrat sein, d.h. gesucht sind
für ein gegebenes natürliches n alle natürlichen Lösungen der Gleichung
a² + b² = n
Eine Zahl n ist genau dann Summe von Quadraten, wenn alle ungeraden Primfaktoren der Form 3 mod 4
in gerader Potenz auftreten.
Die Anzahl der Summen, bis auf Vertauschungen, ist gleich der halben Anzahl der Teiler der Form 1 mod
4.
Während es für einige n keine Lösung gibt, treten für andere Mehrfachlösungen auf. Zum Beispiel ist
105625 = 36² + 323² = 80² + 315² = 91² + 312² = 125² + 300² = 165² + 280² = 195² + 260² = 204²
+ 253²
oder
2442050 = 73² + 1561² = 155² + 1555² = 221² + 1547² = 367² + 1519² = 391² + 1513² = 455² +
1495² = 533² + 1469² = 595² + 1445² = 799² + 1343² = 809² + 1337² = 923² + 1261² = 995² +
1205² = 1057² + 1151² = 1105² + 1105²
Die Anzahl von genau 1, 2, 3, … Lösungen ergeben sich zuerst für die natürlichen Zahlen
n = 2, 50, 325, 1105, 8125, 5525, 105625, 27625, 71825, 138125, 5281250, 160225, 1221025,
2442050, 1795625, 801125, 446265625, 2082925, ?, 4005625, 44890625, 30525625, 61051250,
5928325, 303460625, …
Gua-Quadrupel, Pythagoras-Quadrupel
Nach dem Satz von de Gua gilt:
210
Hat ein Tetraeder an einer Ecke drei rechte Kantenwinkel, so gilt für die Seitenflächeninhalte der
angrenzenden Tetraederflächen
A² + B² + C² = D²
Der Satz von de Gua stellt damit eine zum Satz des Pythagoras äquivalente Form im dreidimensionalen
Raum dar.
Natürliche Zahlen, welche die diophantische Gleichung A² + B² + C² = D²
können daher Gua-Quadrupel oder Pythagoras-Quadrupel genannt werden. Die kleinsten echten GuaQuadrupel, d.h. ohne 0 und gleiche oder nichtteilerfremde Zahlen, sind
(2, 3, 6, 7), (1, 4, 8, 9), (2, 6, 9, 11), (3, 4, 12, 13), (2, 5, 14, 15), (2, 10, 11, 15), (8, 9, 12, 17), (1, 6,
18, 19), …
Möglicher Generator für x² + y² + z² = w²:
x = a² - b² - c²
y = 2ac
z = 2ab
w = a² + b² + c²
für beliebige ganzzahlige Parameter a, b und c.
Diophantische Gleichung 2.Grades a² + b² + c² = n
Für die diophantische Gleichung der Form
a² + b² + c² = d²
existieren verschiedene Lösungstripel. Allerdings muss die Summe dreier Quadrate nicht unbedingt selbst
Quadrat sein, d.h. gesucht sind für ein gegebenes natürliches n alle natürlichen Lösungen der Gleichung
a² + b² + c² = n
Während es für einige n keine Lösung gibt, treten für andere auch Mehrfachlösungen auf. Die kleinsten n,
für die keine Zerlegung in eine Summe von 3 Quadraten existiert, sind
7, 15, 23, 28, 31, 39, 47, 55, 60, 63, 71, 79, 87, 92, 95, 103, 111, 112, 119, 124, 127, 135, …
Zu diesen natürlichen Zahlen gehören u.a. alle n = 7 + 8k und n = 28 + 32k, k > 0.
Diophantische Gleichung 3.Grades
Die nachfolgende Tabelle enthält Lösungen für Diophantische Gleichungen 3.Grades. Angezeigt werden
Gleichungen der Typen a-b = 1-3, ... die Summe von a Potenzen 3.Grades natürlicher Zahlen gleich einer
Summe von b Potenzen 3.Grades.
Typ 1-3
6³ = 3³ + 4³ + 5³
9³ = 1³ + 6³ + 8³
20³ = 7³ + 14³ + 17³
29³ = 11³ + 15³ + 27³
84³ = 28³ + 53³ + 75³
87³ = 26³ + 55³ + 78³
105³ = 33³ + 70³ + 92³
709³ = 193³ + 461³ + 631³ 929³ = 69³ + 447³ + 893³
505³ = 59³ + 163³ + 499³
535³ = 349³ + 379³ + 383³
Typ 1-4
20³ = 11³ + 12³ + 13³ + 14³
13³ = 5³ + 7³ + 9³ + 10³
Typ 1-5
9³ = 1³ + 3³ + 4³ + 5³ + 8³
12³ = 3³ + 4³ + 5³ + 8³ + 10³
Typ 1-6
13³ = 1³ + 5³ + 6³ + 7³ + 8³ + 10³
Typ 2-2
1729 = 1³ + 12³ = 9³ + 10³
4104 = 2³ + 16³ = 9³ + 15³
13832 = 2³ + 24³ = 18³ + 20³
20683 = 10³ + 27³ = 19³ + 24³
32832 = 4³ + 32³ = 18³ + 30³
39312 = 2³ + 34³ = 15³ + 33³
40033 = 9³ + 34³ = 16³ + 33³
46683 = 3³ + 36³ = 27³ + 30³
64232 = 17³ + 39³ = 26³ + 36³
65728 = 12³ + 40³ = 31³ + 33³
Typ 2-2-2
87539319 = 167³ + 436³ = 228³ + 423³ = 255³ + 414³
119824488 = 11³ + 493³ = 90³ + 492³ = 346³ + 428³
143604279 = 111³ + 522³ = 359³ + 460³ = 408³ + 423³
175959000 = 70³ + 560³ = 198³ + 552³ = 315³ + 525³
327763000 = 300³ + 670³ = 339³ + 661³ = 510³ + 580³
Typ 2-2-2-2
6963472309248 = 2421³ + 19083³ = 5436³ + 18948³ = 10200³ + 18072³ = 13322³ +
16630³
Typ 4-4
2³ + 3³ + 10³ + 11³ = 1³ + 5³ + 8³ + 12³
Typ 6-6
1³ + 2³ + 4³ + 8³ + 9³ + 12³ = 3³ + 5³ + 6³ + 7³ + 10³ + 1³
87³ + 233³ + 264³ + 396³ + 496³ + 540³ = 90³ + 206³ + 309³ + 366³ + 522³ + 523³
Ramanujan-Quadrupel
Für die Diophantische Gleichung 3.Grades
x³ + y³ + z³ = t³
gab der indische Mathematiker Srinivasa Ramanujan eine Berechnungsvorschrift an: Sind a und b
beliebige ganze Zahlen, so gilt x³ + y³ + z³ = t³ mit
x = 3a² + 5ab - 5b²
y = 4a² - 4ab + 6b²
z = 5a² - 5ab - 3b²
t = 6a² - 4ab + 4b²
Die Berechnungsvorschrift ergibt Lösungen der Gleichung, die im Allgemeinen nicht primitiv sind, d.h. der
größte gemeinsame Teiler von x,y,z,t kann größer 1 sein. Außerdem können nicht alle möglichen
ganzzahligen Quadrupel (x,y,z,t) ermittelt werden.
Für einige t existieren verschiedene Tripel (x,y,z). Die kleinsten t mit genau n verschiedenen,
teilerfremden Darstellungen x³ + y³ + z³ = t³ sind
n
1
6³ = 3³ + 4³ + 5³
2
41³ = 2³ + 17³ + 40³ = 6³ + 32³ + 33³
3
87³ = 20³ + 54³ + 79³ = 26³ + 55³ + 78³ = 38³ + 48³ + 79³
211
4
5
167³ +
6
= 243³
219³ =
606³ =
436³ +
492³ =
+ 358³
50³ + 67³ + 216³ = 51³ + 152³ + 190³ = 67³ + 167³ + 177³ = 108³ + 163³ + 170³
9³ + 290³ + 583³ = 24³ + 389³ + 547³ = 47³ + 358³ + 561³ = 95³+ 393³ + 544³ =
513³
48³ + 85³ + 491³ = 113³ + 264³ + 463³ = 149³ + 336³ + 427³ = 190³ + 279³ + 449³
+ 389³ = 281³ + 322³ + 399³
Diophantische Gleichung 4.Grades
Als Sonderfall des Großen Satzes von Fermat haben die Gleichungen A4 + B4 = C4 keine nichttrivialen
ganzzahligen Lösungen. 1772 vermutete Euler, dass auch A4 + B4 + C4 = D4 keine echten Lösungen
besitzt. 1987 fand aber N.Elkies eine Lösung
206156734 = 26824404 + 153656394 + 187967604 ;
1988 ermittelte Roger Frye 4224814 = 958004 + 2175194 + 4145604 und bewies, dass die kleinste
Lösung ist. Bis heute ist noch keine Parameterlösung bekannt. Überraschenderweise existieren dagegen
für A4 + B4 + C4 = 2D4 eine Vielzahl von Lösungen.
Für den Gleichungstyp A4 + B4 = C4 + D4 existiert eine Parameterlösung mit
A=a+b
B=c-d
C=a-b
D=c+d
a = n(m2+n2)(-m4+18m2n2-n4)
b = 2m(m6+10m4n2+m2n4+4n6)
6
4 2
2 4
6
c = 2n(4m +m n +10m n +n )
d = m(m2+n2)(-m4+18m2n2-n4)
Weitere Gleichungen nach Ramanujan
34+(2x4-1)4+(4x5+x)4 = (4x4+1)4+(6x4-3)4+(4x5-5x)4
2(ab+ac+bc)2=a4+b4+c4 mit a+b+c=0
2(ab+ac+bc)4=a4(b-c)4+b4(c-a)4+c4(a-b)4 mit a+b+c=0
2(ab+ac+bc)6=(a2b+b2c+c2a)4+(ab2+bc2+ca2)4+(3abc)4 mit a+b+c=0
Ferrari-Identität
(a2+2ac-2bc-b2)4+(b2-2ab-2ac-c2)4+(c2+2ab+2bc2 4
2
2
2
4
a ) =2(a +b +c -ab+ac+bc)
Bhargavas-Theorem
(a+b+c)4+(b+c+d)4+(a-d)4 = (c+d+a)4+(d+a+b)4+(b-c)4, mit a/b = c/d
Die ersten natürlichen Zahlen n, welche Summe von 4 Biquadraten sind, erhält man für 353, 651, 2487,
2501, 2829, ... Die einzige Zahl der Form 4x4+y4 ist 5.
Die nachfolgende Tabelle enthält Lösungen für Diophantische Gleichungen 4.Grades. Angezeigt werden
Gleichungen der Typen a-b = 1-3, 1-4, 1-5, 2-2, 2-3, 2-4 und 3-3, d.h. die Summe von a Potenzen
4.Grades natürlicher Zahlen gleich einer Summe von b Potenzen 4.Grades.
Gleichungen 4.Grades
Typ 1-3 (Status: getestet bis höchste Potenz = 724)
4224814 = 958004 + 2175194 + 4145604
4
4
4
20615673 = 2682440 + 15365639 + 187967604
6385232494 = 6306626244 + 2751562404 + 2190764654
4
6514 = 2404 + 3404 + 4304 + 5994
Typ 1-4353 = 304 + 1204 + 2724 + 3154
24874 = 4354 + 7104 + 13844 + 24204
154 = 134 + 124 + 64 + 2*24
Typ 1-554 = 2*44 + 34 + 2*24
4
4
4
4
4
4
15 = 14 + 9 + 8 + 6 + 4
74 = 64 + 4*44 + 34
Typ 1-634 = 5*24 + 14
94 = 74 + 3*64 + 44 + 4
Typ 2-2, nach Euler 1802
594 + 1584 = 1334 + 1344 = 635318657
4
4
4
4
7 + 239 = 157 + 227 = 3262811042
1934 + 2924 = 2564 + 2574 = 8657437697
Typ 2-32*74 = 84 + 54 + 34
2*134 = 154 + 84 + 74
2*194 = 214 + 164 + 54
Typ 2-494 + 34 = 84 + 64 + 2*54
94 + 84 = 104 + 54 + 2*24
4
4
4
4
4
4
11 + 3 = 10 + 8 + 5 + 1
Typ 3-3 (getestet bis 344)
74 + 44 + 24 = 2*64 + 34
4
4
4
4
4
4
9 +2 +1 =8 +7 +3
114 + 64 + 54 = 104 + 94 + 14
Diophantische Gleichung 5.Grades
Die nachfolgende Tabelle enthält Lösungen für Diophantische Gleichungen 5.Grades. Angezeigt werden
Gleichungen der Typen a-b = 1-4, 1-5, 1-6, 1-7, 2-3, 2-4, 2-5, 3-3 und höhere, d.h. die Summe von a
Potenzen 5.Grades natürlicher Zahlen gleich einer Summe von b Potenzen 5.Grades.
Typ 1-4
1445 = 275 + 845 + 1105 + 1335
Typ 1-5
725 = 195 + 435 + 465 + 475 + 675
945 = 215 + 235 + 375 + 795 + 845
5
5
5
5
5
5
107 = 7 + 43 + 57 + 80 +100
Typ 1-6
125 = 45 + 55 + 65 + 75 + 95 + 115
305 = 55 + 105 + 115 + 165 + 195 + 295
5
5
5
5
5
5
5
=
15
+
16
+
17
+
22
+
24
+
28
32
Typ 1-7
235 = 15 + 75 + 85 + 145 + 155 + 185 + 205
Typ 2-3
141325 + 2205 = 140685 + 62375 + 50275
Typ 2-4
295 + 35 = 285 + 205 + 105 + 45
385 + 125 = 375 + 255 + 135 + 55
525 + 285 = 505 + 355 + 295 + 265
212
Typ 2-5
Typ 3-3
Typ
Typ
Typ
Typ
Typ
3-4
4-4
4-4-4
5-6
6-6
225 + 15 = 45 + 55 + 75 + 165 + 215 295 + 235 = 95 + 115 + 145 + 185 + 305
385 + 165 = 105 + 145 + 265 + 315 + 335
675 + 285 + 245 = 625 + 545 + 35
245 + 285 + 675 = 35 + 545 + 625
5
5
5
5
5
5
18 + 44 + 66 = 13 + 51 + 64
35 + 225 + 255 = 15 + 85 + 145 + 275
55 + 2*65 + 85 = 45 + 3*75
35 + 485 + 525 + 615 = 135 + 365 + 515 + 645 = 185 + 365 + 445 + 665
225 + 175 + 165 + 65 + 55 = 215 + 205 + 125 + 105 + 25 + 15
875 + 2335 + 2645 + 3965 + 4965 + 5405 = 905 + 2065 + 3095 + 3665 + 5225 + 5235
Diophantische Gleichung Tabelle
Die nachfolgende Tabelle enthält Beispiellösungen für Diophantische Gleichungen n.Grades, wobei unter
einem Typ a-b eine Gleichung zu verstehen ist, bei welcher die Summe von a Potenzen n.Grades
natürlicher Zahlen gleich einer Summe von b Potenzen n.Grades sind.
n=6
Typ 1-7, Lander 1967
11416 = 746 + 2346 + 4026 + 4746 + 7026 + 8946 + 10776
Typ 1-8
2516 = 86 + 126 + 306 + 786 + 1026 + 1386 + 1656 + 2466
4316 = 486 + 1116 + 1566 + 1866 + 1886 + 2286 + 2406 + 4266
Typ 1-9, Lander 1967
546 = 16 + 176 + 196 + 226 + 316 + 2*376 + 416 + 496
Typ 1-10, Lander 1967
396 = 26 + 46 + 76 + 146 + 166 + 2*266 + 306 + 326
Typ 1-11, Lander 1967
186 = 26 + 3*56 + 2*76 + 2*96 + 106 + 146 + 176
Typ 1-16, Martin 1893
286 = 16+26+46+56+66+76+96+126+136+156+166+186+206+216+ 226+
236
Typ 2-2
noch keine Lösung bis a6+b6 = 7.25 * 1026 gefunden
Typ 2-5, Brisse, Resta 1999
10926 + 8616 + 6026 + 2126 + 846 = 11176 + 7706
18936 + 14686 + 14076 + 13026 + 12466 = 20416 + 6916
Typ 2-6, Ekl 1998
2416 + 176 = 2186 + 2106 + 1186 + 2*636 + 426
Typ 2-7, Lander 1967
186 + 226 + 366 + 586 + 696 + 2*786 = 566 + 916
Typ 2-8, Lander 1967
86 + 106 + 126 + 156 + 246 + 306 + 336 + 366 = 356 + 376
Typ 2-9, Lander 1967
16 + 2*56 + 76 + 3*136 + 176 + 196 = 66 + 216
Typ 2-10, Lander 1967
3*16 + 2*46 + 76 + 96 + 3*116 = 2*126
Typ 3-3
236 + 156 + 106 = 226 + 196 + 36
366 + 376 + 676 = 156 + 526 + 656
Typ 3-4
736 + 586 + 416 = 706 + 656 + 326 + 156
856 + 626 + 616 = 836 + 696 + 566 + 526
Typ 4-4, Rao 1934
2*26 + 2*96 = 36+56+66+106
746 + 836 + 696 + 526 = 876 + 716 + 266 + 626
Typ 4-4-4, Lander 1967
16 + 346 + 496 + 1116 = 76 + 436 + 696 + 1106 = 186 + 256 + 776 + 1096
Typ 7-8, Moessner, Gloden 1944
326 + 316 + 236 + 226 + 136 + 66 + 56 =
6
6
6
6
6
6
6
6
33 +28 +27 +20 +11 +10 +2 +1
n=7
Typ 1-7, Dodrill 1999
5687 = 5257 + 4397 + 4307 + 4137 + 2667 + 2587 + 1277
Typ 1-8, Lander 1967
1027 = 127 + 357 + 537 + 587 + 647 + 837 + 857 + 907
Typ 1-9, Lander 1967
627 = 67 + 147 + 207 + 227 + 277 + 337 + 417 + 507 + 597
Typ 2-6, Meyrignac
1257 + 247 = 1217 + 947 + 837 + 617 + 577 + 277
Typ 2-8, Lander 1967
107 + 337 = 57 + 67 + 77 + 2*157 + 207 + 287 + 317
Typ 2-10, Lander 1967
27 + 277 = 47 + 87 + 137 + 2*147 + 167 + 187 + 227 + 2*237 =
2*77 + 97 + 137 + 147 + 187 + 207 + 2*227 + 237
Typ 3-5
967 + 417 + 177 =877 + 2*777 + 687 + 567
1537 + 437 + 147 = 1407 + 1377 + 597 + 2*427
Typ 3-7, Lander 1967
267 + 2*307 = 2*77 + 127 + 167 + 277 + 287 + 317
Typ 4-4, Ekl 1998, Lau 1999 1497 + 1237 + 147 + 107 = 1467 + 1297 + 907 + 157
1947 + 1507 + 1057 + 237 = 1927 + 1527 +1327 + 387
Typ 4-5, Gloden 1948
507 + 437 + 167 + 127 = 527 + 297 + 267 + 117 + 37
817 + 587 + 197 + 97 = 777 + 687 + 567 + 487 + 27
Typ 5-5, Gloden 1949
2*87 + 137 + 167 + 197 = 27 + 127 + 157 + 177 + 187
47 + 87 + 147 + 167 + 237 = 2*77 + 97 + 207 + 227
Typ 6-6, Sastry, Rai 1948
27 + 37 + 2*67 + 107 + 137 = 2*17 + 2*77 + 2*127
7
7
7
7
87 +233 +264 +396 +4967 + 5407 = 907 + 2067 + 3097 + 3667 + 5227 + 5237
Typ 9-10, Moessner, Golden 1944
427+377+367+ 297 + 237 + 197 + 137 + 67 + 57 = 417 + 407 + 337 + 287 + 277
+ 157 +147 + 97 + 27 + 17
n=8
Typ 1-10, Kuosa
2358 = 2268 + 1848 + 1718 + 1528 + 1428 + 668 + 588 + 348 + 168 + 68
Typ 1-11, Lander 1967
1258 = 148 + 188 + 2*448 + 668 + 708 + 928 + 938 + 968 + 1068 + 1128
Typ 1-12, Lander 1967
658 = 2*88 + 108 + 3*248 + 268 + 308 + 348 + 448 + 528 + 638
Typ 2-8
1298 + 958 = 1288 + 928 + 868 + 828 + 748 + 578 + 558 + 208
Typ 2-9, Lander 1967
118 + 278 = 28 + 78 + 88 + 168 + 178 + 2*208 + 2*248
213
1088 + 688 + 58 = 1028 + 2*888 + 528 + 378 + 268 + 68
Lander 1967
88 + 178 + 508 = 68 + 128 + 2*168 + 2*388 + 408 + 478
2218 + 1088 + 2*948 = 1958 + 1948 + 1888 + 1268 + 388
Ekl 1998
478 + 298 + 128 + 58 = 458 + 408 + 308 + 268 + 238 + 38
Lander 1967
78 + 98 + 168 + 2*228 + 288 + 348 = 68 + 118 + 208 + 358
Letac 1942
438 + 208 + 118 + 108 + 18 = 418 + 358 + 328 + 288 + 58
428 + 418 + 358 + 98 + 68 = 458 + 368 + 278 + 138 + 88
Typ 5-5, Ekl 1998
2*368 + 338 + 258 + 218 = 388 + 348 + 328 + 2*158 + 138
398 + 338 + 328 + 258 + 198 = 378 + 2*358 + 178 + 168 + 28
Typ 6-6, Moessner, Gloden 1944
38 + 68 + 88 + 108 + 158 + 238 = 58 + 2*98 + 128 + 208 + 228
Typ 7-7, Moessner 1947
18 + 38 + 58 + 2*68 + 88 + 138 = 48 + 78 + 2*98 + 108 + 118 + 128
Typ 8-8, Lander 1967
18 + 38 + 3*78 + 2*108 + 128 = 48 + 2*58 + 2*68 + 3*118
Typ 9-10, Moessner, Gloden 1944
548 + 538 + 468 + 378 + 298 + 238 + 228 + 68 + 58 = 558 + 508 +
498 + 338 +
328 + 268 +188 + 98 + 28 + 18
n=9
Typ 1-12
1039 = 2*919 + 899 + 719 + 689 + 659 + 439 + 429 + 199 + 169 + 139 +
9
5
Typ 1-14, Ekl 1998
669 = 639+549+519+499+389+359+299 + 249 + 219 + 129 + 109 + 79 +
9
9
2 +1
Typ 1-15, Lander 1967
269 = 2*29 + 49 + 2*69 + 79 + 2*99 + 109 + 159 + 189 + 2*219 + 2*239
Typ 2-10, Morelli 1999
1379 + 699 = 1219 + 2*1169 + 1159 + 899 + 529 + 289 + 269 + 149 + 99
Typ 2-12, Lander 1967
159 + 219 = 4*29 + 2*39 + 49 + 79 + 169 + 179 + 2*199
Typ 3-9, Ekl 1998
2*389 + 39 = 419 + 239 + 2*209 + 189 + 2*139 + 129 + 99
Typ 3-11, Lander 1967
139 + 169 + 309 = 29 + 39 + 69 + 79 + 2*99 + 2*199 + 219 + 259 + 299
Typ 4-6
909 + 649 + 2*359 = 869 + 809 + 629 + 439 + 279 + 169
Typ 4-9, Ekl 1998
389 + 319 + 129 + 29 = 369 + 2*329 + 309 + 159 + 139 + 89 + 49 + 39
Typ 4-10, Lander 1967
29 + 2*69 + 99 + 109 + 119 + 149 + 189 + 2*199 = 59 + 129 + 169 + 219
Typ 5-5
1929 + 1019 + 919 + 309 + 269 = 1809 + 1759 + 1169 + 179 + 129
Typ 5-7, Ekl 1998
359 + 269 + 2*159 + 129 = 339 + 329 + 249 + 169 + 149 + 89 + 69
Typ 5-11, Lander 1967
39 + 2*59 + 2*99 + 129 + 2*159 + 169 + 2*219 = 79 + 89 + 149 + 209 +
9
22
Typ 6-6
239 + 189 + 149 + 2*139 + 19 = 229 + 219 + 159 + 109 + 99 + 59
319 + 239 + 219 + 149 + 99 + 29 = 2*299 + 159 + 119 + 109 + 69
Typ 11-12, Moessner, Gloden 1944729 + 679 + 669 + 539 + 439 + 379 + 359 + 299 + 199 + 69 + 59 =
719 + 709 + 639 + 559 + + 409 + 399 + 339 + 329 + 179 + 99 + 29 + 19
n=10
Typ 1-15, Meyrignac 1999
10810 = 10010 + 9410 + 9110 + 2*7710 + 7610 + 6310 + 6210 + 5210 + 4510
+ 3510 + 3310 + 1610 + 1010 + 110
Typ 1-22, Ekl 1998
3310 = 2*3010 + 2*2610 + 2310 + 2110 + 1910 + 1810 + 2*1310 + 2*1210 +
5*1010 + 2*910 + 710 + 610 + 310
Typ 1-23, Lander 1967
1510 = 5*110 + 210 + 310 + 610 + 6*710 + 4*910 + 1010 + 2*1210 + 1310 +
1410
Typ 2-13
5110 + 3210 = 4910+4310+4110+3710+2810+2610+2510+1510+2*1010
+910+510+310
Typ 2-15, Ekl 1998
3510 + 310 = 3310 + 3210 + 2410 + 2110 + 2*2010 + 3*1310 + 1210 +1110
+910 +710 +2*110
Typ 2-19, Lander 1967
910 + 1710 = 5*210 + 510 + 610 + 1010 + 6*1110 + 2*1210 + 3*1510
Typ 3-13
4610 + 3210 + 2210 = 2*4310 + 2710 + 2610 + 1710 + 1610 + 1210 + 2*910
+610 +410 +2*310
Typ 3-14, Ekl 1998
3010 + 2810 + 410 = 3110+2310+2*2010+2*1710+1610+1010+ 3*910 + 510 +
2*210
Typ 3-24, Lander 1967
1110 + 2*1510 = 110+210+310 + 10*410 + 710 + 7*810 + 1010 + 1210 + 1610
Typ 4-12, Bainville 1999
5310 +2*4410 +2210 = 5110 +4910 +4310 +3910 +2910 +2810 +2*1710
+1610 +1310+710 +410
Typ 4-15, Ekl 1998
4*2310 = 2610 + 5*1810 + 3*1710 + 1510 + 1210 + 610 + 3*410
Typ 4-23, Lander 1967
3*1110 + 1610 = 5*110 + 2*210 + 2*310 + 410 + 4*610 + 2*1410 + 1510
Typ 5-16, Lander 1967
2*310+810+1410+1610 = 4*110+210+2*410 + 610 + 2*1210 + 5*1310 + 1510
2010 + 1110 + 810 + 310 + 110 = 2*1810 + 1710 + 1610 + 1010 + 2*710 +
6*410 + 2*210
Typ 6-6
9510+7110+3210 + 2810 + 2510 + 1610 = 9210 + 8510 + 2*3410 + 2310 + 510
Typ 6-16, Ekl 1998
1810 + 1210 + 1110 + 1010 + 310 + 210 = 1710 + 1610 + 4*1310 + 4*710 +
4*610 +510 + 410
Typ 6-27, Lander 1967
2*210 + 810 + 1110 + 2*1210 = 110 + 4*310 + 2*410 + 2*510 + 7*610 +
9*710 +1010 + 1310
Typ 7-7, Lander 1967
3810 + 3310 + 2*2610 + 1510 + 810 + 110 = 3610 + 3510 + 3210 + 2910 +
2410 + 2310 + 2210
Typ
Typ
Typ
Typ
Typ
Typ
214
3-7
3-8,
4-5
4-6,
4-7,
5-5,
6810+6110+5510+3210+3110+2810+110 = 6710+6410+4910+4410+2310 +2010
+1710
Diophantische Gleichungen der Form xa + ya = za + ub mit b > a
Alle nachfolgenden Gleichungen wurden kontinuierlich gesucht für x, y, z < 100, z < x < y und a < 50:
a = 3: 273+303 = 33+66
183+303 = 43+85
403+603 = 43+67
83+103 = 63+64
153+173 = 83+65
363+603 = 83+49
363+603 = 83+86
193+243 = 103+39
3
3
3
8
3
3
3
4
3
3
3
4
29 +35 = 12 +4
29 +35 = 12 +16
17 +24 = 16 +11
393+893 = 173+155
3
3
3
4
3
3
3
5
3
3
3
8
27 +45 = 18 +18
36 +60 = 24 +12
90 +99 = 27 +6
903+993 = 273+364
3
3
3
12
3
3
3
6
3
3
3
4
57 +72 = 30 +3
57 +72 = 30 +9
57 +72 = 30 +27
403+683 = 363+244
483+603 = 363+67
a = 4: 64+94 = 34+65
184+214 = 154+125
204+314 = 174+106
364+544 = 184+69
4
4
4
5
40 +100 = 20 +40
Diophantische Gleichung A = B²-C²
Jede ungerade Zahl a = 2z+1 kann sicher als Differenz zweier Quadrate natürlicher Zahlen dargestellt
werden, da
a = 2z+1 = (z+1)² - z²
gilt. Für gerade Zahlen muss ein solche Darstellung nicht existieren.
Die kleinste gerade Zahl mit einer Darstellung als Differenz zweier Quadrate ist die 8 = 3² - 1².
Für die 15 existieren zwei Möglichkeiten, für die 45 drei, für die 96 vier, …
Diophantische Gleichung (4)
1955 wurde durch L.J.Mordell, Miller und Woollett die Frage nach Lösungen der Diophantischen Gleichung
x³ + y³ + z³ = d
für verschiedene natürliche Zahlen d gestellt. x, y, z sind dabei ganze Zahlen.
Für d = 2 berechneten sie die Parameterlösung
-6t² ; -6t3 +1 ; 6t³ +1
Bekannt ist auch, dass für d = 9m ± 4 keine Lösungen existieren.
Durch Andreas-Stephan Elsenhans und Joerg Jahnel wurden 2007 alle x, y, z bis 1014 untersucht und die
Lösungen bis maximal d = 1000 ermittelt.
Für folgende 14 Zahlen d unter 1000 wurde noch keine Darstellung gefunden:
d = 33, 42, 74, 114, 165, 390, 579, 627, 633, 732, 795, 906, 921, 975
Diophantische Identitäten
(28k+4 +1)8 = (28k+4 -1)8 + (27k+4)8 + (2k+1)8 + 7 * [ (25k+3)8 + (23k+2)8 ]
(75 v5 - u5)5 + (u5 + 25 v5)5 + (u5 - 25 v5)5 + (10 u3v2)5 + (50 uv4)5 = (u5 + 75 v5)5
nach Ramanujan
(8s² + 40st - 24t²)4 + (6s² - 44st - 18t²)4 + (14s² - 4st - 42t²)4 + (9s² + 27t²)4 + (4s² + 12t²)4 = (15s²
+ 45t²)4
(4m² - 12n²)4 + (3m² + 9n²)4 + (2m² - 12mn - 6n²)4 + (4m² + 12n²)4 + (2m² + 12mn - 6n²)4 = (5m²
+ 15n²)4
34 + (2x4 - 1)4 + (4x5 + x)4 = (4x4 + 1)4 + (6x4 - 3)4 + (4x5 - 5x)4
Vier-Quadrate-Identität
Euler am 15.4.1705 an Goldbach:
(a12+a22+a32+a42)(b12+b22+b32+b42) = (a1b1 - a2b2 - a3b3 - a4b4)2 +
+ (a1b2 + a2b1 + a3b4 + a4b3)2 + (a1b3 - a2b4 + a3b1 + a4b2)2 + (a1b4 + a2b3 - a3b2 + a4b1)2
Fermats elliptisches Kurventheorem
Die diophantische Gleichung
y³ = x² + 2 hat ausschließlich die ganzzahligen Lösungen (x , y) = (5, 3)
und (-5, 3).
Ramanujan 6-10-8 Identität
Gilt a d = b c, so wird
64 [(a + b + c)6 + (b + c + d)6 - (c + d + a)6 - (d + a + b)6 + (a - d)6 - (b - c)6] *
* [(a + b + c)10 + (b + c + d)10 - (c + d + a)10 - (d + a + b)10 + (a - d)10 - (b - c)10]
= 45 [(a + b + c)8 + (b + c + d)8 - (c + d + a)8 - (d + a + b)8 + (a - d)8 - (b - c)8
Hardy, Wright (1979)
a3 (a3 + b3)3 = b3 (a3 + b3)3 + a3 (a3 - 2b3)3 + b3 (2a3 - b3)3
a3 (a3 + 2b3)3 = a3 (a3 - b3)3 + b3 (a3 - b3)3 + b3 (2a3 + b3)3
nach Euler hat A3 + B3 = C2 die Lösung
A = 3n3 + 6n2 – n
B = -3n3 + 6n2 + n
C = 6n2 (3n2 + 1)
Die diophantische Gleichung
n 1² + (n-1) 2² + (n-2) 3² + . . . + 1 n² = k²
215
gilt nur für wenige k und n.
Die ersten zwei nichttrivialen Lösungen sind n=6, k=14, und n=25,
k=195. Diese können durch Zerlegung eines Quadrates der Seitenlänge k
in ein Quadrat der Länge n, zwei Quadrate der Länge n-1, …
veranschaulicht werden. Die entsprechenden Lösungen für n = 6 und n =
25 sind links zu sehen.
Diophantische Gleichung Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0
Gesucht sind die ganzzahligen Lösungen der diophantischen Gleichung
Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0
in Abhängigkeit der Parameter A, B, C, D, E und F.
Mehrere Lösungsfälle existieren, wobei deren Bezeichnung von der durch
die Gleichung in der xy-Ebene gebildeten Kurve entnommen sind. Diese
Kurven stellen die reellen Lösungen dar.
linearer Fall
einfacher hyperbolischer Fall
elliptischer Fall
parabolischer Fall
hyperbolischer Fall
A=B=C=0
A = C = 0; B ≠ 0
B² - 4AC < 0
B² - 4AC = 0
B² - 4AC > 0
linearer Fall A = B = C = 0
Die Gleichung wird zu Dx + Ey + F = 0, d.h. der einfachen diophantischen linearen Gleichung.
Für D = 0 und E = 0 existieren Lösungen für F = 0; alle Paare (x,y) ganze Zahlen.
Für D = 0 und E ≠ 0 wird
Ey + F = 0 → y = -F/E, x beliebig
Für D ≠ 0 und E = 0 ergibt sich
Dx + F = 0 → x = -F/D, y beliebig
Für D ≠ 0 und E ≠ 0 sei g = ggT(D, E). Wenn D und E Vielfache von g sind, dann auch Dx + Ey. Ist F kein
Vielfaches von g, so existiert damit keine Lösung.
Ist F Vielfaches wird die Gleichung reduziert
dx + ey = -f ; d = D/g, e = E/g und f = F/g
Über den erweiterten Euklidischen Algorithmus findet man u', v' mit uu'+vv' = ±ggT(u, v). Setzt man u =
d, v = e wird
du' + ev' = ±1 → d(±fu') + e(±fv') = -f → d (±fu') + det + e(±fv') - det = -f →
d (et ± fu') + e (-dt ± fv') = f
und der allgemeinen Lösung x = et ± fu' ; y = -dt ± fv' für beliebiges ganze t
einfacher hyperbolischer Fall A = C = 0; B ≠ 0
Die diophantische Gleichung reduziert sich damit auf Bxy + Dx + Ey + F = 0, und
(Bx + E) (By + D) = DE - BF
1.Möglichkeit: DE - BF = 0; zwei zu den Achsen parallele Geraden
Hier gilt Bx + E = 0 oder By + D = 0. Für B ≠ 0 ergibt sich die Lösung
x = - E/B ; y beliebige ganze Zahl
x beliebig, y = - D/B
2.Möglichkeit: DE - BF ≠ 0; Hyperbel mit zu den Achsen parallelen Asymptoten
In diesem Fall müssen alle Teiler von DE - BF gesucht werden. Dazu sei d1, d2, …, dn die Teilermenge von
DE - BF.
Dann wird
Bx + E = di
By + D = (DE - BF) / di
Bx = di - E
By = (DE - BF) / di - D
x = (di - E) / B und y = ((DE - BF) / di - D) / B
Beispiel: Gleichung 2xy + 5x + 56y + 7 = 0
Die Teilermenge von DE - BF = 5·56 - 2·7 = 266 ist ±1, ±2, ±7, ±14, ±19, ±38, ±133, ±266. Mit (2x +
56) (2y + 5) = 266 wird:
d1 = 1
x = (1-56)/2 = -55/2, y = (266/1-5)/2 = 261/2 ; keine Lösung, da nicht
ganzzahlig
d2 = -1
x = (-1-56)/2 = -57/2, y = [266/(-1)-5]/2 = 271/2 ; keine Lösung, da nicht
ganzzahlig
d3 = 2
x = (2-56)/2 = -27, y = (266/2-5)/2 = 64
d4 = -2
x = (-2-56)/2 = -29, y = [266/(-2)-5]/2 = -69 usw.
x = (14-56)/2 = -21, y = (266/14-5)/2 = 7
d7 = 14
d8 = -14
x = (-14-56)/2 = -35, y = [266/(-14)-5]/2 = -12
d11 = 38
x = (38-56)/2 = -9, y = (266/38-5)/2 = 1
d12 = -38
x = (-38-56)/2 = -47, y = [266/(-38)-5]/2 = -6
d15 = 266
x = (266-56)/2 = 105, y = (266/266-5)/2 = -2
216
d16 = -266
x = (-266-56)/2 = -161, y = [266/(-266)-5]/2 = -3
elliptischer Fall B² - 4AC < 0
Da eine Ellipse eine geschlossene Kurv ist, kann es nur endlich viele Lösungen geben. Die diophantische
Gleichung wird zu
Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0
(*)
y = (-(Bx + E) ± √((Bx + E)² - 4C(Ax² + Dx + F))) / (2C)
Für jeden Wert von x existieren zwei Werte von y, jeweils auf den entgegengesetzten Seiten der Ellipse.
Liegt x an einem Scheitel der Ellipse gibt es nur ein y.
Die möglichen x-Werte können nur zwischen den reellen Nullstellen von
(Bx + E)² - 4C(Ax² + Dx + F) = 0
(B² - 4AC) x² + 2(BE - 2CD) x + (E² - 4CF) = 0
liegen. Damit sind alle ganzzahligen x-Werte zwischen den Nullstellen in Gleichung (*) zu prüfen.
Beispiel: Gleichung 42x² + 8xy + 15y² + 23x + 17y - 4915 = 0.
Da B² - 4AC = 8² - 4·42·15 = -2456 < 0 ist, liegt der elliptische Fall vor.
Die möglichen Werte für x liegen zwischen den Nullstellen von
(B² - 4AC)x² + 2(BE - 2CD)x + (E² - 4CF) = -2456 x² - 1108 x + 295189 = 0.
Die Nullstellen sind -11,19… und 10,74…, so dass alle x von -11 bis 10 zu prüfen sind.
Wird x in (*) eingesetzt, so ergibt sich nur für x = -11 ein ganzzahliges y = -1, so dass nur diese Lösung
existiert.
parabolischer Fall B² - 4AC = 0
Es sei g = ggT(A,C), a = A/g ≥ 0, b = B/g, c = C/g ≥ 0.
Wenn b² = 4ac positiv ist, so kann g so gewählt werden, dass es das gleiche Vorzechen wie A besitzt.
Dann sind a und c positiv oder ein Wert gleich 0.
Aus b² - 4ac = 0 wird b²/4 = ac. Da ggT(a,c) = 1 sind a und c vollständige Quadrate. Multiplikation mit
√a wird
√a g (ax² + bxy + cy²) + √a Dx + √a Ey + √a F = 0
√a g (√a x + √c y)² + √a Dx + √a Ey + √a F = 0
wobei √c das Vorzeichen von B/A hat.
√a g (√a x + √c y)² + D (√a x + √c y) - √c Dy + √a Ey + √a F = 0
Mit u = √a x + √c y wird
√a g u² + Du + (√a E - √c D) y + √a F = 0
(√c D - √a E) y = √a gu² + Du + √a F
Es gibt zwei Fälle: √c D - √a E = 0 (zwei parallele Geraden) oder √c D - √a E ≠ 0 (Parabel).
1.Fall: √c D - √a E = 0.
√a gu² + Du + √a F = 0
Wenn x und y zwei ganze Zahlen sind, so muss auch u ganzzahlig sein. Es seien u1 und u2 die Lösungen
der Gleichung, d.h.
√a x + √c y - u1 = 0 und √a x + √c y - u2 = 0
was als lineare Gleichungen lösbar ist.
2.Fall: √a gu² + Du + √a F ist ein Vielfaches von √c D - √a E.
Sind u0, u1,… die Werte von u im Bereich 0 ≤ u < |√c D - √a E|, so u = ui + (√c D - √a E) t, wobei t eine
ganze Zahl ist.
Einsetzen und mehrere Umwandlungen ergeben dann
x = √c g (√a E - √c D) t² - (E + 2√c gui) t - (√c gui² + Eui + √c F) / (√c D - √a E)
y = √a g (√c D - √a E) t² - (D + 2√a gui) t - (√a gui² + Dui + √a F) / (√c D - √a E)
Hilberts 10.Problem: Entscheidung der Lösbarkeit einer Diophantischen Gleichung
Hilbert fragte: Gibt es einen endlichen Algorithmus, der feststellt, ob eine Diophantische Gleichung lösbar
ist?
Yuri Matiyasevich bewies 1970, dass es einen solchen Algorithmus nicht geben kann. Grundlage seines
Beweises ist die Beziehung Diophantischer Gleichungen zu rekursiv aufzählbaren Teilmengen natürlicher
Zahlen.
Dies sind Mengen S, für die ein Algorithmus existiert, der in endlich vielen Schritten die Zugehörigkeit
einer natürlichen Zahl zu S feststellt - aber nur, wenn die Zahl auch tatsächlich in S liegt, d.h. die
Feststellung der Nicht-Zugehörigheit zu S muss der Algorithmus nicht leisten.
Matiyasevich konnte zeigen, dass zu jeder rekursiv aufzählbaren Menge S eine Diophantische Gleichung
PS(x, y1, …, yn) = 0 gehört; m gehört genau dann zu S, wenn PS(m, y1, …, yn) = 0 lösbar ist.
217
Nun gibt es aber rekursiv aufzählbare Mengen, deren Komplement nicht rekursiv aufzählbar ist, d.h. es
gibt keinen Algorithmus, der von jeder beliebigen natürlichen Zahl in endlich vielen Schritten feststellt, ob
sie in der Menge liegt oder nicht.
Für die abschließende Argumentation nennt man eine dieser Mengen K. Wenn es einen endlichen
Algorithmus für die Lösbarkeit Diophantischer Gleichungen gäbe, so müsste dieser auch auf PK(m, y1, …,
yn) = 0 anwendbar sein - damit ließe sich also für jedes m feststellen, ob es zu K gehört oder nicht. Dies
ist aber ein Widerspruch zur Definition von K. Also gibt es keinen endlichen Algorithmus für die Lösbarkeit
Diophantischer Gleichungen.
Ganzzahlige Identitäten
22 = 0! + 1! + 2!
32 = 1! + 2! + 3!
2
5 = 1! + 4!
112 = 1! + 5!
2
12 = 4! + 5!
272 = 1! + 2! + 3! + 6!
292 = 1! + 5! + 6!
712 = 1! + 7!
722 = 4! + 5! + 7!
2132 = 1! + 2! + 3! + 7! + 8!
2
215 = 1! + 4! + 5! + 6! + 7! + 8!
6032 = 1! + 2! + 3! + 6! + 9!
2
635 = 1! + 4! + 8! + 9!
19172 = 1! + 2! + 3! + 6! + 7! + 8! + 10!
11838932 = 1! + 2! + 3! + 7! + 8! + 9! + 10! + 11! + 12! + 13! + 14! + 15!
n ! = a! b! c! ... getestet für n < 18160
9! = 7! 3! 3! 2!
10! = 7! 6! = 7! 5! 3!
16! = 14! 5! 2!
Le Lionnais (1983): (n - 1)! + 1 ≡ 0 (mod n²) für n<200000 ... Gleichung gilt für n = 5, 13, 563
Brocards Problem
... gesucht sind ganzzahlige Paare (m , n), welche die Gleichung n! + 1 = m2 erfüllen. Die einzigen
existierenden Lösungen (Guy 1994) sind : (5,4) , (11,5) und (71,7)
Diese Zahlenpaare werden auch Brown-Zahlen genannt.
Diophantisches Gleichungssystem
Beispiel:
a + 2b – c – d + 3f = 3
-a + 4b + 2c + d – e = -1
2a + b + c – d + f = 1
a + 3b + e + f = 2
b–c–d+e=7
Gesucht sind Lösungen in ganzen Zahlen: X6 = -5+17*k, X5 = -5+25*k, X4 = -3-5*k, X3 = -6+22*k,
X2 = 3-8*k, X1 = 3-18*k wobei k ∈ Z. Für k = 1 wird damit X1 = -15, X2 = -5, X3 = 15, X4 = -8, X5 =
20, X6 = 12.
Sucht man ähnliche Gleichungen der Form n! + a = m², so findet man für |a| ≤ 10 und n < 1000 nur:
4! -8 = 4² ; 3! -5 = 1² ; 3! -2 = 2² ; 2! -1 = 1² ; 4! + 1 = 5² ; 5! + 1 = 11² ; 7! + 1 = 71² ; 2! + 2 =
2² ; 3! + 3 = 3² ; 2! + 7 = 3² ; 6! + 9 = 27² ; 3! + 10 = 4²
Fakultäten n! können für n > 3 stets als Summe zweier Quadrate dargestellt werden, d.h.
b²
Die kleinsten a für die n = 4, 5, … sind
4! + 1² = 5²
5! + 1² = 11²
6! + 3² = 27²
7! + 1² = 71²
8! + 9² = 201²
9! + 27² = 603²
10! + 15² = 1905²
11! + 18² = 6318²
12! + 288² = 21888²
13! + 288² = 78912²
14! + 420² = 295260²
15! + 464² = 1143536²
16! + 1856² = 4574144²
17! + 10080² = 18859680²
18! + 46848² = 80014848²
19! + 210240² = 348776640²
20! + 400320² = 1559776320²
21! + 652848² = 7147792848²
22! + 3991680² = 33526120320²
23! + 27528402² = 160785625902²
24! + 32659200² = 787685472000²
n! + a² =
Diophantische Ungleichungen
... Ungleichungen deren Lösungen im Bereich der ganzen Zahlen gesucht werden
1<|a|+|b|<n
Allgemeine Lösungsanzahl: 2·(n + 1)·(n - 2)
0<|a|+|b|<n
Allgemeine Lösungsanzahl: 2·(n2 + n - 6)
Kronecker-Symbol
Das Kronecker-Symbol oder Kronecker-Delta ist ein mathematisches Zeichen, das durch ein kleines Delta
δij
mit zwei Indizes
dargestellt wird und nach Leopold Kronecker benannt ist.
Dieses Zeichen wird in Summenformeln und bei Matrix- oder Vektoroperationen verwendet bzw. um
Fallunterscheidungen in Formeln zu vermeiden.
218
Das Kronecker-Delta ist definiert als:
δij = 1 falls i = j
= 0 falls i ≠ j
Das Kronecker-Delta kann in der Form
δ = 1D: I × I → {0,1}
geschrieben werden und ist damit die charakteristische Funktion 1D der Diagonalmenge
D = {(i,j) ∈ I × I: i=j}
Häufig wird dabei an Stelle von {0, 1} ein erweiterter Bildraum, z.B. die reellen Zahlen, betrachtet.
In der linearen Algebra kann zum Beispiel die n×n -Einheitsmatrix als
(δij)1 ≤ i,j ≤ n
geschrieben werden.
Mit dem Kronecker-Delta kann auch das Skalarprodukt orthonormierter Basisvektoren e1, …, en als
⟨ei, ej⟩ = δij
schreiben.
Determinante
Eine Determinante ist eine Funktion, die einer n-reihigen quadratischen Matrix eindeutig eine
reelle Zahl zuordnet.
n ... Ordnung der Determinante, aik ... Elemente der Determinanten, i ... Zeile, k ... Spalte
Determinanten einer Matrix werden mit det A oder | A | bezeichnet.
Hauptdiagonale ⇔ a11 a22 ... ann
Nebendiagonale ⇔ a1n a2(n-1) ... an1
Berechnung der zweireihigen Determinante
= a1 * a4 - a2 * a3
Die zum Element aik gehörende Adjunkte Aik ist die Determinante (n-1).Ordnung, die durch
Streichen der i.ten Zeile und k.ten Spalte, multipliziert mit (-1)i+k entsteht.
Leibniz-Formel
Die Determinante einer quadratischen Matrix A ist gleich
det A = Σ sign(σ) a1σ(1) ... anσ(n)
Die Summenbildung erfolgt über alle σ = (σ(1), σ(2), ..., σ(n)) möglichen Permutationen von (1, 2, ...,
n). Dabei ist sign(σ) = 1, falls σ eine gerade Permutation ist, andernfalls -1. Eine Permutation heißt
gerade, wenn die Anzahl der Inversionen der Elemente gerade ist.
Sarrusche Regel
Entwicklungsregel für dreireihige Determinanten
= (a1 *a5 *a9) +(a2 *a6 *a7) + (a3 *a4 *a8) -(a1 *a6
*a8) - (a2 *a4 *a9) -(a3 *a5 *a7)
Regel: Hauptdiagonalenprodukte addieren,
Nebendiagonalenprodukte subtrahieren:
Vierreihige Determinante
Werden die Glieder einer 4reihigen Determinante von links oben nach rechts unten mit a0 bis a15
bezeichnet, ist die Determinante gleich
D=
a0 · (a5 · (a10 · a15 - a11 · a14) - a6 · (a9 · a15 - a11 · a13) + a7 · (a9 · a14 - a10 · a13))
- a1 · (a4 · (a10 · a15 - a11 · a14) - a6 · (a8 · a15 - a11 · a12) + a7 · (a8 · a14 - a10 · a12))
+ a2 · (a4 · (a9 · a15 - a11 · a13) - a5 · (a8 · a15 - a11 · a12) + a7 · (a8 · a13 - a9 · a12))
- a3 · (a4 · (a9 · a14 - a10 · a13) - a5 · (a8 · a14 - a10 · a12) + a6 · (a8 · a13 - a9 · a12))
Determinantenentwicklung, Laplacescher Entwicklungssatz
Determinanten höherer Ordnung lassen sich durch Determinanten niedriger
Ordnung, sogenannte Unterdeterminanten (Adjunkte), berechnen.
... nach den Elementen der i.ten Zeile
D = ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + ... + ain Ain
... nach den Elementen der k.ten Spalte
D = a1k A1k + a2k A2k + ...
+ ank Ank
Die zum Element aik gehörende Unterdeterminante, Adjunkte Aik ist die
Determinante (n-1).Ordnung, die durch Streichen der i.ten Zeile und k.ten
Spalte, multipliziert mit (-1)i+k entsteht. Die Adjunkte Aik wird auch algebraisches Komplement von aik
genannt. Der Vorzeichenfaktor im algebraischen Komplement kann mit der Schachbrettregel (siehe
Abbildung) bestimmt werden.
Vandermondsche Determinante, Potenzdeterminante
1 a1 a1² a1³ ... a1n-1
1 a2 a2² a2³ ... a2n-1
...
= Π (ar - as)
Produktbildung für alle r>s von 1 bis n
1 an an² an³ ... ann-1
Determinantengesetze
• Vertauschen der Zeilen mit den gleichstelligen Spalten ändert den Wert nicht.
• Vertauschen von zwei parallelen Reihen ändert das Vorzeichen.
219
• Ein allen Elementen einer Reihe gemeinsamer Faktor kann ausgehoben werden, auch umgekehrt
• Addition eines Vielfachen der Elemente einer Reihe zu einer parallelen Reihe ändert den Wert nicht.
• Ein Determinante hat den Wert 0, wenn
- die Elemente von zwei parallelen Reihen proportional sind
- die Elemente einer Reihe Linearkombinationen der Elemente paralleler Reihen sind
- alle Elemente einer Reihe Null sind
• Die Summe der Produkte aus den zu einer Reihe gehörenden Unterdeterminanten und den Elementen
einer parallelen Reihe ist 0.
• Eine Determinante wird gerändert, indem übereck eine Zeile und eine Spalte angefügt werden. Deren
gemeinsames Element ist 1. Die restlichen Elemente einer der beiden Reihen sind 0, der anderen Reihe
beliebig. Der Wert der Determinante ändert sich nicht.
• Stürzen der Matrix: Der Wert einer Determinante bleibt unverändert, wenn die Determinante der an der
Hauptdiagonalen gespiegelten (transponierten) Matrix bestimmt wird.
Praxis der Determinantenberechnung
Tips zur Berechnung n-reihiger Determinanten:
• Laplace-Entwicklung nach einer Zeile oder Spalte mit möglichst vielen Nullen.
• Durch elementare Umformungen wird der Wert der Determinante nicht geändert.
• Nullen in Zeilen erzeugen durch Addition oder Subtraktion von Vielfachen von Zeilen.
• Nullen in Spalten erzeugen durch Addition oder Subtraktion von Vielfachen von Spalten.
• Berechnung von n-reihigen Determinanten durch elementare Umformungen:
Die praktische Berechnung von Determinanten höherer Ordnung erfolgt mit numerischen Verfahren. Die
Matrix wird dabei durch elementare Umformungen, die den Wert der Determinante nicht verändern, in
eine Dreiecksmatrix übergeführt. Die Determinante ist dann einfach zu berechnen. Die Determinante
einer Dreiecksmatrix ist das Produkt der Elemente auf der Hauptdiagonalen:
det A = a11 a22 ... ann
A und B seien n-reihige quadratische Matrizen, det A und det B deren Determinanten. Dann gilt:
Produktsatz
det (A * B) = det A * det B
Das Multiplikationstheorem liefert eine Möglichkeit, die Determinante eines Matrixproduktes direkt aus
den Determinanten der einzelnen Matrizen zu berechnen. Die Berechnung des Matrixproduktes ist so
nicht notwendig.
det (α A) = αn det A
det AT = det A det A-1 = 1 / det A
Eine Determinante det A ist genau dann verschieden von Null, wenn
eine der Eigenschaften gilt:
1. die Zeilen (Spalten) von A sind linear unabhängig
2. die Zeilen (Spalten) von A sind eine Basis des Rn
3. der Rang von A ist gleich n
4. die Matrix A-1 existiert, A ist invertierbar, regulär
5. die Gleichung A x→ = b→ ist eindeutig lösbar durch
x→ = A-1 b→
Beispiel: Die Anzahl der inkongruenten Netze der Platonischen Körper
Ikosaeder und Dodekaeder kann über die Determinante der 11reihigen Matrix berechnet werden, mit
dem Ergebnis 5184000.
Ableitung einer Determinante
Hängen die Elemente einer Determinante von einer Variablen t ab, dann erhält man die Ableitung D'(t)
der Determinante D(t), indem man der Reihe nach jede Zeile bezüglich t differenziert und alle diese
Determinanten addiert.
Beispiel: Für die Ableitung von D(t) = |a(t)c(t) b(t)d(t)|
ergibt sich
D'(t) = |a'(t)c(t) b'(t)d(t)| + |a(t)c'(t) b(t)d'(t)|
Maximale Determinante
Unter der maximalen Determinante einer quadratische n x n - Matrix versteht
man die Anordnung der Zahlen 1, 2, …, n² in der Determinante, so dass diese
den größten Wert erreicht.
Für n = 1, 2, 3, … sind bisher die Werte
D = 1, 10, 412, 40800, 6839492, 1865999570, 762150368499
bekannt. Für die ersten vier Fälle sind links die Determinanten abgebildet.
Die Bestimmung der maximalen Determinante ist auch mit
Hochleistungscomputern sehr zeitaufwendig, da die Anzahl der verschiedenen
Determinanten bei der n x n-Matrix gleich (n²)! ist, d.h. für n = 1, 2, 3, …
1! = 1, 2²! = 24, 3²! = 9! = 362880, 4²! = 16! = 20922789888000, …
Für die Fälle n > 7 kennt man bisher nur untere Grenzen (nach Hermann Jurksch), d.h. die maximale
Determinante ist mindestens so groß:
220
D(8) ≥ 440943507851753
D(9) ≥ 3,46254605664 · 1017
D(10) ≥ 3,56944784623 · 1020
maximale Determinante der Ordnung 7
(46, 42, 15, 2, 27, 24, 18),
( 9, 48, 36, 30, 7, 14, 31),
(39, 11, 44, 34, 13, 29, 5),
(26, 22, 17, 41, 47, 1, 21),
(20, 8, 40, 6, 33, 23, 45),
( 4, 28, 19, 25, 38, 49, 12),
(32, 16, 3, 37, 10, 35, 43) );
d7 = 762150368499
maximale Determinante der Ordnung 8
( 1, 34, 55, 19, 59, 26, 45, 20),
(23, 2, 18, 61, 35, 57, 39, 25),
(21, 56, 3, 27, 47, 41, 12, 53),
(50, 42, 31, 4, 17, 60, 43, 13),
(24, 33, 64, 40, 5, 38, 8, 48),
(49, 6, 30, 14, 36, 16, 46, 63),
(29, 54, 22, 52, 11, 7, 58, 28),
(62, 32, 37, 44, 51, 15, 9, 10) );
d8 = 440943507851753
maximale Determinante der Ordnung 9
(68, 7, 12, 62, 73, 26, 29, 58, 34),
(67, 37, 43, 10, 3, 61, 33, 78, 36),
(30, 20, 79, 53, 49, 71, 40, 25, 2),
(56, 50, 8, 27, 42, 60, 81, 4, 41),
(23, 14, 54, 63, 11, 18, 72, 44, 70),
( 1, 38, 32, 21, 65, 66, 22, 48, 76),
(45, 74, 31, 80, 17, 46, 5, 24, 47),
(15, 77, 35, 39, 51, 16, 59, 69, 9),
(64, 52, 75, 13, 57, 6, 28, 19, 55) ) d9 = 3.46254605664224e+17
maximale Determinante der Ordnung 10
( 1, 2, 61, 84, 81, 82, 39, 54, 41, 60),
(53, 57, 3, 65, 94, 20, 91, 22, 66, 33),
(46, 63, 47, 4, 45, 78, 83, 28, 13, 98),
(79, 42, 49, 71, 5, 95, 51, 10, 77, 26),
(17, 75, 87, 58, 30, 6, 38, 27, 86, 80),
(68, 93, 76, 50, 85, 56, 7, 37, 14, 19),
(100,16, 31, 35, 62, 34, 8, 64, 67, 88),
(21, 72, 29, 9, 48, 73, 43, 97, 89, 25),
(52, 70, 23, 96, 11, 36, 55, 92, 12, 59),
(69, 15, 99, 32, 44, 24, 90, 74, 40, 18) )
d10 = -3.56944784623E+020
Alle Determinanten gefunden durch Herman Jurksch
Cramersche Regel
Die Cramersche Regel (nach Cramer, 1704-1752) ermöglicht das Auflösen
eines linearen Gleichungssystems mit Hilfe von Determinanten.
Gegeben sei ein Gleichungssystem mit n Gleichungen und n Variablen. D ...
Koeffizientendeterminante
Zählerdeterminante
Dxk ... Zählerdeterminante, entsteht aus D, indem die Koeffizienten aik von xk
durch die Absolutglieder bi ersetzt werden
Lösung des Gleichungssystems:
xk = Dxk / D, k = 1,2,3,...,n
Lösbarkeitsregeln
D ≠ 0 und Dxk reell ⇒ eindeutige Lösung
D = 0 und alle Dxk = 0 ⇒ unendliche Lösungsmenge
D = 0 und ein Dxk ≠ 0 ⇒ leere Lösungsmenge
Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Variablen
Gleichungssystem
a11x + a12y = b1
a21x + a22y = b2
Lösung
x = (a22b1 - a12b2) / (a11a22 - a12a21)
y = (a11b2 - a21b1) /
(a11a22 - a12a21)
Lösungsfälle
a) Gleichungen linear unabhängig und widerspruchsfrei ⇒ genau eine Lösung
⇒ graphisch: zwei sich schneidende Geraden (oberste Abbildung)
b) Gleichungen linear abhängig ⇒ unendlich viele Lösungen ⇒ graphisch: zwei
zusammenfallende Geraden (unterste Abbildung)
221
c) Gleichungen widersprüchlich ⇒ keine Lösung ⇒ graphisch: zwei parallele nicht zusammenfallende
Geraden (mittlere Abbildung)
Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 3 Variablen
homogene Form
... alle Absolutglieder bi sind gleich 0
a11x + a12y + a13z = 0
a21x + a22y + a23z = 0
Lösung x = (a12a23 - a13a22) * t
y = - (a11a23 - a13a21) * t
z = (a11a22 - a12a21) * t
inhomogene Form
... wenigstens ein Absolutglied bi ist verschieden von 0
a11x + a12y + a13z = b1
a21x + a22y + a23z = b2
Lösung bei Einzellösung (a,b,c)
y = - (a11a23 - a13a21) * t + b
x = (a12a23 - a13a22) * t + a
z = (a11a22 - a12a21) * t + c
Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 3 Variablen
0 = a·x + b·y + c·z + d
0 = e·x + f·y + g·z + h
0 = i·x + j·y + k·z + l
Lösung:
x = [b·(g·l-h·k) + c·(h·j-f·l) + d·(f·k - g·j)] / [a·(f·k - g·j) + b·(g·i - e·k) + c·(e·j - f·i)]
y = [a·(g·l-h·k) + c·(h·i-e·l) + d·(e·k - g·i)] / [a·(f·k - g·j) + b·(g·i - e·k) + c·(e·j - f·i)]
z = [a·(f·l-h·j) + b·(h·i-e·l) + d·(e·j - f·i)] / [a·(f·k - g·j) + b·(g·i - e·k) + c·(e·j - f·i)]
Ungleichungen
... sind Verknüpfungen zweier algebraischer Ausdrücke durch eins der folgenden Zeichen
>
größer
<
kleiner
≠
verschieden von, ungleich
<>
größer oder kleiner
≥
größer oder gleich
≤
kleiner oder gleich
Addition und Subtraktion von Ungleichungen
Addition und Subtraktion einer Größe ... ist a > b, dann gilt a+c > b+c sowie a-c > b-c. Durch Addition
oder Subtraktion ein und derselben Größe auf beiden Seiten ändert sich der Sinn der Ungleichung nicht
Addition von Ungleichungen ... Ist a > b und c > d, dann gilt a+c > b+d. Zwei gleichsinnige
Ungleichungen können seitenweise addiert werden
Subtraktion von Ungleichungen ... Ist a > b und c < d, dann gilt a-c > b-d. Von einer Ungleichung kann
eine andere ihr ungleichsinnige Ungleichung glied- oder seitenweise subtrahiert werden, wobei das
Ungleichheitszeichen der ersten Ungleichung erhalten bleibt.
Regel der Mittelzahlen
Diese Regel wurde zuerst von dem französischen Mathematiker Nicolas Chuquet angegeben.
Hat man zwei Brüche mit positiven Zählern und Nennern und bildet man dazu einen dritten Bruch, dessen
Zähler gleich der Summe der Zähler und dessen Nenner gleich der Summe der Nenner der beiden
gegebenen Brüche ist, so liegt dieser dritte Bruch auf der Zahlengeraden stets zwischen den beiden
gegebenen Brüchen.
Aus a/b < x/y folgt a/b < (a+x)/(b+y) < x/y für a, b, x, y > 0.
Systeme linearer Ungleichungen
... können grafisch gelöst werden
Beispiel y ≥ 2x – 1
y ≤ -x + 1
y ≥ -0.4x – 1.7
Dazu stellt man die Ungleichung nach y um, d.h.
y > c/b –a/b x
und stellt die lineare Funktion
y = c/b –a/b x
dar. Die Koordinaten aller Punkte der Koordinatenebene, die über der Geraden
liegen, da y > c/b –a/b x, stellen dann Lösungen der Ungleichung dar. Für die
verschiedenen Relationszeichen gilt dann:
Zeichen „>“ ... alle Punkte über der linearen Funktion
Zeichen „≥“ ... alle Punkte über der linearen Funktion und die Punkte der
Funktion
Zeichen „<“ ... alle Punkte unterhalb der linearen Funktion
Zeichen „<=“ ... alle Punkte unterhalb der linearen Funktion und die Punkte der
Funktion
erfüllen die Ungleichung. Betrachtet man nun mehrere Ungleichungen
gleichzeitig, d.h. ein System von Ungleichungen, so überlappen sich die Lösungsmengen. Interessiert
man sich ausschließlich für ganzzahlige Lösungen, so entsprechen diese den Punkten mit ganzzahligen
Koordinaten.
222
Achtung ! Gleichsinnige Ungleichungen lassen sich nicht gliedweise subtrahieren
Rechenregeln für Ungleichungen
Für beliebige Ungleichungen gilt (T ... sinnvoller Term im Variablenbereich)
T1 < T2 → T1 + T < T2 + T
T1 < T2 → T1*T < T2*T , wenn T > 0
T1 < T2 → T1*T > T2*T , wenn T < 0 0 < T1 < T2 → 1/T1 > 1/T2
T1 < T2 und T3 < T4 → T1 + T3 < T2 + T4
T1 < T2 und T3 < T4→ T1 * T3 < T2 * T4 , wenn T2, T3 > 0
T1 < T2 → -T1 > -T2
T1n + T2n ≤ (T1 + T2)n , wenn T1, T2 > 0 und n positiv
Arten von Ungleichungen
Lineare Ungleichungen
Lineare Ungleichungen werden durch Addition, Subtraktion und Multiplikation mit Konstanten ähnlich wie
lineare Gleichungen gelöst.
Quadratische Ungleichungen
Bei quadratischen Ungleichungen zerfällt der Lösungsbereich in drei Abschnitte, die sich aus der der
Ungleichung entsprechenden quadratischen Gleichung ergeben. Diese sind in der Abbildung die gezeigten
Abbildung, die Abschnitte blau - rot - blau. Als Lösungen kommen nun entweder alle blau markierten
oder alle rot markierten Werte der x-Achse infrage.
Lösung mit quadratischer Ergänzung
Ein Verfahren zur Lösung basiert auf der quadratischen Ergänzung. Als Beispiel
soll die Ungleichung x² - 0,5·x - 0,5 > 0 gelöst werden (Abbildung).
x² - 0,5·x - 0,5 > 0
| +0,5
Das Quadrat der Hälfte des Betrags des linearen Gliedes addieren
x² - 0,5·x > 0,5
| +(0,5/2)²
Ausklammern x² - 0,5·x + 0,25² > 0,5625
Wurzel ziehen (x - 0,25)² > 0,75²
Dabei sind zwei Fälle zu betrachten.
Fall 1: x ≥ 0,25
Dann ist die Ungleichung x - 0,25 > 0,75 zu lösen, also gilt x > 1, wobei in diesem Fall die Voraussetzung
x ≥ 0,25 ebenfalls erfüllt ist
Fall 2: x ≤ 0,25
Dann ist die Ungleichung 0,25 - x > 0,75 zu lösen, also gilt -0,5 > x, wobei
auch in diesem Fall die Voraussetzung x ≤ 0,25 erfüllt ist.
Diese beiden Aussagen haben keinen Überschneidungsbereich. Dann sind
alle Zahlen, die entweder kleiner als -0,5 oder größer als +1 sind, Lösungen
der Ungleichung. Das ist im Bild der blaue Bereich.
Beispiel zu einer quadratischen Ungleichung
Die Ungleichung
-x² > x - 2 , D = R
kann folgendermaßen gelöst werden:
-x² > x - 2
| -(x-2)
-x² - x + 2 > 0 | ·(-1)
x2 + x - 2 < 0
(x - 1)(x + 2) < 0
Graphisch kann man die Lösungsmenge als die x-Werte bestimmen, für die der Graph der Funktion f(x)
= x² + x - 2 echt unter x-Achse verläuft. In der Abbildung ist dieser Bereich
grün gekennzeichnet, die Lösungsmenge ist das rot eingezeichnete Intervall (-2, 1) der x-Achse; die
Grenzen x = -2 und x = 1 sind keine Elemente der Lösungsmenge.
Zur rechnerischen Lösung bestimmt man die Nullstellen der linken Seite. Diese können aus der letzten
der obigen Ungleichungen direkt als x1 = -2 und x2 = 1 abgelesen werden.
Durch Einsetzen von x = 0 in die Ungleichung erkennt man, dass x = 0 Element der Lösungsmenge ist.
Es gilt also
x² + x - 2 ≤ 0
für -2 ≤ x ≤ 1 und damit ist
L = {x ∈ R : -2 < x < 1} die Lösungsmenge der Ungleichung.
Arten von Ungleichungen (2)
Ungleichungen höherer Ordnung
Bei Ungleichungen ab der Ordnung 3 ist üblicherweise nur die Umwandlung auf eine Ungleichung für ein
Produkt sinnvoll, beispielsweise indem eine Ungleichung der Ordnung 3 auf die Form
(x-a) (x-b) (x-c) > 0
für reelle oder
(a-x) (x²+bx+c) > 0
für ein Paar komplexer Nullstellen gebracht wird. Diese Faktorisierung ist nach dem Fundamentalsatz der
Algebra für Ungleichungen beliebig hoher Ordnung möglich. Die analytische Berechnung der Nullstellen
223
ist aber nicht immer möglich, sodass dafür meist ein numerisches Verfahren wie beispielsweise Bisektion
herangezogen werden muss.
Eine graphische Lösung kann bei der Suche nach geeigneten Startwerten hilfreich sein.
Bruchungleichungen
Für das Lösen von Bruchungleichungen ergeben sich Probleme, wenn die gesuchte Größe x auch in
mindestens einem der Nenner erscheint.
Durch beidseitiges Multiplizieren der Gleichung mit den Nennern und anschließendes Ausmultiplizieren
wird die Bruchungleichung in eine Ungleichung aus zwei Polynomen überführt.
Beim Multiplizieren mit den Nennern ist vorher zu bestimmen, für welche Werte von x sie einen negativen
Wert annehmen, da sich dann ja durch die Multiplikation das Vergleichszeichen umkehrt.
Gibt es einen Bereich von x, in dem beide Nenner negativ sind, so wird das Vergleichszeichen zweimal
umkehrt, was sich gegenseitig aufhebt. Diese Vorabklärung wird als Fallunterscheidung bezeichnet.
Grafische Lösung von Ungleichungen
Graphische Verfahren können im Rahmen der Zeichengenauigkeit
Anhaltspunkte über Anzahl und Lage der Lösungen geben.
Liegt die Ungleichung in einer der Normalform von Gleichungen entsprechenden
Form vor, lässt sich die linke Seite als Funktion auffassen, deren Graph nach
einer Wertetafel mit hinreichender Genauigkeit zu zeichnen ist.
Die Bereiche links oder rechts der Nullstellen (d.h. Schnittpunkte mit der xAchse) stellen dann die Lösungsmengen grafisch dar.
Andernfalls sind die Funktionen, die der rechten und der linken Seite der Ungleichung entsprechen,
zusammen in ein Achsenkreuz zu zeichnen. Die x-Werte der Schnittpunkte geben die Grenzen der
Lösungsbereiche an.
Betragsungleichung
Betragsungleichungen sind Ungleichungen, die mindestens einen Term enthalten, der in Betragsstriche
eingeschlossen ist. Damit treten zwei kritische Operationen auf: das Auflösen der Betragsstriche und die
Multiplikation mit einem Term kleiner 0.
Beispiel: |x-2| + 2/x + |x+2| > 0
Lösung: An drei Stellen muss die Ungleichung besonders untersucht werden; an der Stelle x = 0, da dort
die Ungleichung undefiniert ist, und an den Stellen x = 2 und x = -2, da sich dort die Vorzeichen der
Beträge ändern.
Damit ist eine Fallunterscheidung für die Bereiche (-∞,-2) , [-2,0) , (0,2) und [2,∞] durchzuführen.
1) Bereich (-∞,-2)
ergibt -x + 2 + 2/x - x - 2 > 0
d.h.
x² > 1 und |x| > 1
mit der Lösungsmenge L1 = {x | x < -2}
2) Bereich [-2,0)
ergibt -x + 2 + 2/x + x + 2 > 0
d.h.
x < -1/2
mit der Lösungsmenge L2 = {x | -2 ≤ x < -1/2}
3) Bereiche (0,2) und [2,∞]
In diesem Fall sind alle Terme auf der linken Seite der Ausgangsungleichung positiv, d.h. x > 0.
Gesamtlösungsmenge L = {x | x < -1/2 und x > 0}
Ungleichungen und Mittelwerte
Arithmetisches und geometrisches Mittel
(a1+a2+…+an) / n ≥ n√( a1 a2 … an ) ; für ai > 0
Das arithmetische Mittel von n positiven Zahlen ist größer oder gleich dem geometrischen Mittel dieser
Zahlen. Das Gleichheitszeichen gilt nur, wenn alle n Zahlen gleich sind.
Arithmetisches und quadratisches Mittel
| (a1+a2+…+an) / n | ≤ √( (a1²+a2²+…+an²) / n )
Der Absolutbetrag des arithmetischen Mittels mehrerer Zahlen ist kleiner oder gleich dem quadratischen
Mittel.
Lineare Ungleichung-Aufgabe
Fünfte Fürther - Mathematik-Olympiade 1996 - Klassenstufe 7/8
Aufgabe 2:
Anton will zur Vorbereitung auf eine Mathematikprüfung eine bestimmte Anzahl von Aufgaben lösen. Auf
die Frage, wie viele Aufgaben er schon gelöst habe, antwortet er:
"Die Anzahl der gelösten Aufgaben ist um 31 größer als die Zahl der nicht gelösten Aufgaben. Addiert
man zur Zahl der gelösten Aufgaben die doppelte Anzahl der nicht gelösten Aufgaben, so erhält man eine
224
Zahl die kleiner als 100 ist. Addiert man aber zur Zahl der gelösten Aufgaben ein Drittel der Anzahl nicht
gelösten Aufgaben, so ergibt sich eine ganze Zahl, die größer als 45 ist."
Ist durch die obigen Angaben die Zahl der Aufgaben, deren Lösung sich Anton vorgenommen hat,
eindeutig bestimmt?
Wenn ja, wie groß ist die Zahl? Wenn nein, welche Anzahlen an Aufgaben sind möglich?
Lösung: Es sei x = Anzahl der gelösten Aufgaben, y = Anzahl der ungelösten Aufgaben und n = Zahl der
Aufgaben = x+y. Dann erhält man das System aus Gleichungen und einer Ungleichung
(I) x = y+31 (II) x+2y < 100
(III) x+y/3 > 45
Aus diesen Gleichungen ergibt sich
(IV) y/3 ∈ N ⇒ y = 3k mit k ∈ N
mit Einsetzen in (II) 9k < 69 ⇒ k ≤ 7
und in (II) 4k > 14 ⇒ k > 3
und somit die möglichen Lösungen
k
4
5
6
7
y
12
15
18
21
x
43
46
49
52
n
55
61
67
73
Bernoullische Ungleichung
(1 + T)n ≥ 1 + n T , wenn T ≥ 0, n natürlich
n
√(1 + T) < 1 + T/n , wenn T > 0, n positiv
2x > x , wenn x natürlich
Beispiele für Betragsungleichungen bzw. -Gleichungen über Q
(1)
| x + 3 | ≥ 2,2 ⇔ | x – ( - 3 ) | | ≥ 2,2
L = ] - ∞ ; - 5,2 ] ∪ [ - 0,8; ∞ [
(2)
|x–7| =5
L = { 2; 12 }
(3)
| x – 10 | = - 2
L=∅
(4)
| x + 3 | = 502
L = { -505; 499 }
(5)
| x + 1,5 | = 2/3
L = { - 1,5 – 2/3 ; - 1,5 + 2/3 } = { - 13/6; - 5/6 }
(6)
| x + 0,7 | < 3,05
L = ] – 3,75 ; + 2,35 [
(7)
| x – 1,25 | ≥ 10,1
L = = ] - ∞ ; - 8,85 ] ∪ [ 11,35 ; ∞ [
(8)
| x + 14/5 | ≤ 4/3
L = [ -62/15 ; -19/12]
Numerische Verfahren
Numerische Verfahren und Algorithmen werden of aus folgenden Gründen genutzt:
1) es gibt zu dem Problem keine explizite Lösungsdarstellung oder
2) die Lösungsdarstellung existiert, ist jedoch zu kompliziert oder langsam zu ermitteln
Folgende numerische Verfahren werden häufig genutzt:
Lineare Gleichungssysteme
a)
Gaußsches Eliminationsverfahren bzw. LR-Zerlegung: klassisches direktes Verfahren - für große
Matrizen allerdings aufwändig
b)
Cholesky-Zerlegung: für symmetrische positiv definite Matrizen kann ähnlich wie die LRZerlegung eine symmetrische Zerlegung erstellt werden bei halbem Aufwand
c)
QR-Zerlegung: ein direktes Verfahren mit doppelter Laufzeit im Vergleich zum Gauß-Verfahren
aber besseren Stabilitätseigenschaften
d)
Splitting-Verfahren: klassische iterative Verfahren
e)
Gauß-Seidel-Verfahren: auch als Einzelschrittverfahren bezeichnet
f)
Jacobi-Verfahren: auch als Gesamtschrittverfahren bezeichnet
g)
Richardson-Verfahren; SOR-Verfahren; SSOR-Verfahren
h)
Krylow-Unterraum-Verfahren: moderne iterative Verfahren, die für große, dünnbesetzte
Gleichungssysteme gedacht sind
i)
Mehrgitterverfahren: modernes Verfahren mit linearer Komplexität speziell für
Gleichungssysteme, die von partiellen Differenzialgleichungen herrühren
j)
Vorkonditionierung: Technik, die Kondition einer Matrix zu verbessern
k)
ILU-Zerlegung: wichtiges Vorkonditionierungsverfahren
Nichtlineare Gleichungssysteme
a)
Bisektion: sehr einfaches Verfahren, welches auf Halbierung eines Intervalls beruht. Konvergiert
linear, der Fehler halbiert sich etwa in jedem Iterationsschritt
b)
Bisektion-Exklusion: spezielles Bisektionsverfahren für Polynome, welches alle Nullstellen
innerhalb einer Startregion beliebig genau einschränkt
c)
Regula Falsi: einfaches iteratives Verfahren zur Nullstellenbestimmung eindimensionaler
Funktionen
d)
Fixpunktverfahren: Klasse linear konvergenter Verfahren zum Auffinden von Fixpunkten von
Funktionen, auch im mehrdimensionalen
225
e)
Newton-Verfahren: quadratisch konvergentes Verfahren zum Auffinden von Nullstellen
differenzierbarer Funktionen. Auch im mehrdimensionalen anwendbar, dann ist in jedem Iterationsschritt
ein lineares Gleichungssystem zu lösen
f)
Halley-Verfahren, Euler-Tschebyschow-Verfahren: kubisch konvergentes Verfahren zum Auffinden
von Nullstellen zweimal differenzierbarer Funktionen. Auch im mehrdimensionalen anwendbar, dann sind
in jedem Schritt zwei lineare Gleichungssysteme zu lösen
g)
Homotopieverfahren: Methode, bei der ein frei wählbaren Problem mit einfacher Lösung mit
einem vorgegebenen Problem stetig verbunden wird. In vielen Fällen kann die Lösung des einfachen
Problems zu einer Lösung des eigentlichen Problems verfolgt werden
h)
Verfahren des steilsten Abstiegs: langsames Verfahren zur Lösung des Minimierungsproblems
i)
Bairstow-Verfahren: spezielles Iterationsverfahren, um komplexe Nullstellen von Polynomen
mittels reeller Operationen zu bestimmen
j)
Weierstrass-Verfahren, Aberth-Ehrlich-Verfahren, Trennkreisverfahren: spezielle, aus dem
Newton-Verfahren abgeleitete Methoden zur simultanen Bestimmung aller komplexen Nullstellen eines
Polynoms
Numerische Integration
a)
Newton-Cotes-Formeln: einfache Quadraturformeln, die auf Polynominterpolation basieren
b)
Gauß-Quadratur: Quadraturformeln mit optimaler Konvergenzordnung
c)
Romberg-Extrapolation: Technik zur Verbesserung von Newton-Cotes-Formeln
d)
Mittelpunktsregel; Trapezregel; Simpsonregel
e)
Lie-Integration: Integrationsverfahren, das auf einem verallgemeinerten Differenzialoperator
aufbaut
Approximation und Interpolation
a)
Polynominterpolation: Interpolation durch Polynome
b)
Spline-Interpolation: Interpolation durch stückweise stetige Polynome
c)
Trigonometrische Interpolation: Interpolation durch trigonometrische Polynome
d)
Remez-Algorithmus: findet die optimale Approximation bezüglich der Supremumsnorm
e)
De Casteljau-Algorithmus: Algorithmus zur Berechnung von Bézier-Kurven
Ausgleichsprobleme
a)
QR-Zerlegung: Geeignet für lineare Ausgleichsprobleme, auch Householder-Verfahren)
b)
Gauß-Newton-Verfahren: Ein iteratives Verfahren zur Lösung nichtlinearer Ausgleichsprobleme
c)
Kurvenfitten: Allgemein Ermitteln von Parameterwerten durch Anpassung an Messkurven
Optimierung
a)
Branch-and-Bound: Enumerationsverfahren zur Lösung ganzzahliger Optimierungsprobleme.
b)
Schnittebenenverfahren, Branch-and-Cut: Verfahren zur Lösung ganzzahliger linearer
Optimierungsprobleme.
c)
Simplex-Verfahren: Ein direktes Verfahren der linearen Programmierung.
d)
Downhill-Simplex-Verfahren: Ein ableitungsloses Verfahren der nichtlinearen Optimierung.
e)
Innere-Punkte-Verfahren: Ein iteratives Verfahren auch für nichtlineare Optimierungsprobleme.
f)
Logarithmisches Barriereverfahren: Ebenfalls ein iteratives Verfahren für nichtlineare
Optimierungsprobleme.
g)
Simulierte Abkühlung: Ein heuristisches Verfahren für Optimierungsprobleme hoher Komplexität.
Numerik gewöhnlicher Differenzialgleichungen
a)
Eulersches Polygonzugverfahren: das einfachste Lösungsverfahren, ein 1-stufiges
Einschrittverfahren
b)
Einschrittverfahren: Verfahren, die nur Informationen des aktuellen Zeitschrittes benutzen, um
daraus die nächste Näherung zu berechnen
c)
Mehrschrittverfahren: Verfahren, die Informationen der letzten Zeitschritte nutzen. In
Abhängigkeit von der Zahl der Zeitschritte sind die entsprechenden Startwerte z.B. mit einem
Einschrittverfahren zu ermitteln
d)
Adams-Bashforth-Verfahren: Familie von expliziten Mehrschrittverfahren
e)
Adams-Moulton-Verfahren: Familie von impliziten Mehrschrittverfahren
f)
Prädiktor-Korrektor-Verfahren: Kombination eines expliziten und eines impliziten
Mehrschrittverfahrens gleicher Fehlerordnung. Das explizite Verfahren ergibt eine Näherung (Prädiktor),
das implizite Verfahren verbessert den Näherungswert (Korrektor)
g)
Runge-Kutta-Verfahren: Familie von Einschrittverfahren inkl. dem klassischen Runge-KuttaVerfahren
Numerik partieller Differenzialgleichungen
a)
Finite-Elemente-Methode: modernes, flexibles Verfahren zur Lösung vor allem elliptischer
partieller Differenzialgleichungen
b)
Finite-Volumen-Verfahren: modernes Verfahren zur Lösung von Erhaltungsgleichungen
226
c)
Finite-Differenzen-Verfahren: klassisches Verfahren für beliebige partielle Differenzialgleichungen
d)
Randelementmethode: Verfahren zur Lösung elliptischer partieller Differenzialgleichungen, wobei
lediglich der Gebietsrand und nicht das Gebiet selbst zu diskretisieren ist
e)
Spektralmethode: neuartiges Verfahren, das zur Diskretisierung Polynome sehr hoher Ordnung
benutzt
f)
Level-Set-Methode: moderne Methode zur Verfolgung von bewegten Rändern.
g)
Leapfrog-Verfahren: abgewandeltes Eulerverfahren mit Termen nur zweiter Ordnung, bei dem die
Zeitschritte für Ort und Geschwindigkeit um die halbe Integrationschrittweite versetzt sind
h)
Finite-Punkte-Methode: neueres Berechnungsverfahren nur mit Punkten, aber ohne Elemente
i)
Orthogonale Kollokation: Verfahren für beliebige partielle Differenzialgleichung, oft kombiniert mit
dem Finite-Differenzen-Verfahren
Berechnung von Eigenwerten
a)
QR-Algorithmus: Berechnung aller Eigenwerte
b)
LR-Algorithmus: Treppeniteration genannt, ein dem QR-Verfahren vergleichbarer aber weniger
stabiler Algorithmus
c)
Potenzmethode: erlaubt die Berechnung des betragsgrößten Eigenwertes
d)
Unterraumiteration: mehrdimensionale Erweiterung der Potenzmethode und erlaubt die
gleichzeitige Berechnung mehrerer der betragsgrößten Eigenwerte
e)
Lanczos-Verfahren: Berechnung einiger Eigenwerte von großen dünnbesetzten Matrizen
f)
Arnoldi-Verfahren: Berechnung einiger Eigenwerte von großen dünnbesetzten Matrizen
g)
Jacobi-Verfahren: Berechnung aller Eigenwerte und Eigenvektoren von kleinen symmetrischen
Matrizen
h)
Jacobi-Davidson-Verfahren: Berechnung einiger Eigenwerte von großen dünnbesetzten Matrizen
sonstige Verfahren
a)
Schnelle Fourier-Transformation (FFT)
b)
Wavelet-Transformation
c)
Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren
d)
Horner-Schema zur Polynomwertberechnung
e)
Bresenham-Algorithmus zur Linien- oder Kreisinterpolation in der Computergrafik
f)
Extrapolation
g)
Summationsverfahren und Folgentransformationen für divergente Folgen und Reihen
h)
Konvergenzbeschleunigung für konvergente Folgen und Reihen von reellen oder komplexen
Zahlen, Vektoren und Matrizen
Zahlentheoretische Funktionen
n sei eine natürliche Zahl ...
Eine zahlentheoretische Funktion ist eine auf der Menge der positiven ganzen Zahlen erklärte, reell- oder
komplexwertige Funktion.
Eine zahlentheoretische Funktion f(n) heißt multiplikativ, wenn
f(m n) = f(m) f(n)
für teilerfremde m und n gilt. Für multiplikative, zahlentheoretische Funktionen f(n) gilt damit stets f(1) =
1.
Gilt f(m n) = f(m) f(n) ohne jede Einschränkung für m und n, so ist die Funktion f(n) total multiplikativ.
Eulersche Funktion φ(n)
... Anzahl der zu n teilerfremden natürlichen Zahlen m, welche kleiner als n sind
φ(x) ist multiplikativ ⇒ φ(m*n) = φ(m) * φ(n) für ggT(mn,n)=1
Ist p Primzahl ⇒ φ(p) = p-1
Ist n=pk und p Primzahl ⇒ φ(n) = pk-1(p-1)
Besitzt n die untereinander verschiedenen Primfaktoren p1, p2, ..., pr ⇒ φ(n) = n (1-1/p1)(1-1/p2)...(11/pr)
Weitere Funktionen
d(n) ... Anzahl aller positiven Teiler von n; multiplikative Funktion
σ(n) ... Summe aller positiven Teiler von n
π(n) ... Anzahl der Primzahlen kleiner gleich n
r(n) ... Anzahl der ganzzahligen Lösungspaare der Gleichung x²+y²=n
Satz von Euler-Fermat
Es seien a, n natürliche Zahlen und ggT(a, n) = 1 Dann gilt:
aφ(n) ≡ 1 mod n
wobei φ(n) die Eulersche Phi-Funktion bezeichnet.
Da für prime Moduln p gilt: φ(p) = p-1, geht für diese der Satz von Euler in den kleinen Satz von Fermat
über.
227
Beweis: Sei (Z/nZ)× = {r1, …, rφ(n)} die Menge der multiplikativ modulo n invertierbaren Elemente. Für
jedes a mit ggT(a, n) = 1 ist dann x → ax eine Permutation von (Z/nZ)×, denn aus
ax ≡ ay mod n folgt x ≡ y mod n
Da die Multiplikation kommutativ ist, folgt
r1…rφ(n) ≡ (a r1)…(a rφ(n)) ≡ r1…rφ(n) aφ(n) mod n
und da die ri invertierbar sind für alle i, gilt
1 ≡ aφ(n) mod n.
Anwendung: Der Satz von Euler dient der Reduktion großer Exponenten modulo n. Praktische Anwendung
findet er in dieser Eigenschaft in der computergestützten Kryptografie, beispielsweise im RSAVerschlüsselungsverfahren.
Problem: Was ist die letzte Dezimalstelle von 7222, d.h. welcher Zahl ist 7222 kongruent modulo 10?
Es ist ggT(7, 10) = 1 und φ(10) = 4. Damit liefert der Satz von Euler
74 ≡ 1 mod 10 und
7222 ≡ 74·55+2 ≡ (74)55·7² ≡ 49 ≡ 9 mod 10
Allgemein gilt ab ≡ ab mod φ(n) mod n, für teilerfremde natürliche a und b
Abschätzung der phi-Funktion
Σn=1N φ(n) = 1/(2 ζ(2)) N² + O(N log N)
wobei ζ die Riemannsche Zetafunktion und O das Landau-Symbol ist. D.h., im Mittel ist
φ(n) / n ≈ π² / 12
Eulersche Funktion (2)
Die Eulersche Funktion φ(n) gibt die Anzahl der zu n teilerfremden natürlichen Zahlen m an, welche
kleiner als n sind.
Dabei zeigt sich, dass φ(n) nicht jede natürliche Zahl als Funktionswert annehmen kann. Schinzel bewies
1956, dass für jedes k > 0 die Werte 2·zk nicht auftreten.
1976 zeigte Mendelsohn, dass es unendlich viele Primzahlen p gibt, für die 2kp (k > 0) nicht zum
Wertebereich von φ(n) gehören.
Antikoindikator-Zahl
Unter einer Antikoindikator-Zahl (engl. noncototient, franz. anticoïndicateur) versteht man eine natürliche
Zahl n, für die es keine natürliche Zahl m gibt, so dass
m - φ(m) = n
gilt, wobei φ(m) die Eulersche Funktion ist.
Die Differenz m - φ(m) wird Koindikator genannt. Mitunter wird die Funktion ψ(m) = m - φ(m) auch als
Eulersche Psi-Funktion, oder kurz psi-Funktion, bezeichnet.
Die ersten Antikoindikator-Zahlen sind
10, 26, 34, 50, 52, 58, 86, 100, 116, 122, 130, 134, 146, 154, 170, 172, 186, 202, 206, 218, 222, 232,
244, 260, 266, 268, 274, 290, 292, 298, 310, 326, 340, 344, 346, 362, 366, 372, 386, 394, 404, 412,
436, 466, 470, 474, 482, 490, 518, 520, …
Durch Erdös und Sierpinski wurde die Vermutung aufgestellt, dass es unendlich viele derartige Zahlen
gibt. 1995 wurde dies durch Browkin und Schinzel endgültig bewiesen. Eine sehr große AntikoindikatorZahl ist 509203 · 2k.
Noch nicht beantwortet ist die Vermutung, dass alle diese Zahlen gerade sind. Dies folgt aber aus der
Goldbachschen Vermutung. Kann eine gerade Zahl n als Summe von zwei verschiedenen Primzahlen p
und q dargestellt werden, dann ist
pq - φ(pq) = pq - (p - 1)(q - 1) = p + q - 1 = n - 1
Damit kann keine ungerade Zahl größer 5 Antikoindikator-Zahl sein.
Carmichael-Funktion
Die Carmichael-Funktion λ ist eine zahlentheoretische Funktion, die eng mit der Euler-Funktion φ(n)
zusammenhängt. Wie diese hat λ eine Beziehung zu Primzahlen und zu der Ordnung ganzer Zahlen. Der
Name der Funktion geht auf den US-amerikanischen Mathematiker Robert D.Carmichael (1879-1967)
zurück. Die Definition der Carmichael-Funktion λ: N → N ist anspruchsvoll:
Ist die Primfaktorzerlegung von n gegeben durch
n = p1a1 … pkak, so gilt λ(n) = kgV[λ(p1a1), …, λ(pkak)], wo
(piai) = 2ai-2 wenn pi = 2 und ai > 2, sonst piai-1 (pi-1)
Beispiel: Es sei n = 12, mit der Primzahlzerlegung 12 = 2²·3; dann ist λ(12) = kgV[ λ(2²), λ(3)], mit
λ(2²) = 1 und λ(3) = 2, also λ(12) = 2. Mit etwas Aufwand ermittelt man die λ-Werte für die ersten
natürlichen Zahlen n = 1, 2, …, 15 zu
λ(n) = 1, 1, 2, 2, 4, 2, 6, 2, 6, 4, 10, 2, 12, 6, 4
Eine der Eigenschaften der Carmichael-Funktion lässt sich für jede natürliche Zahl n beweisen:
Der Wert der Carmichael-Funktion λ(n) teilt stets den Wert der Euler-Funktion φ(n), d.h. λ(n)|φ(n). Der
Wert der Carmichael-Funktion für eine Primzahl p ist einfach zu ermitteln:
λ(p) = p-1 ; p prim
228
Ist n das Produkt zweier Primzahlen p und q, n = p q, so gilt λ(pq) = kgV(p-1, q-1). Beispiel: λ(15) =
kgV(3-1, 5-1) = 4. Ferner gilt der folgende wichtige Satz.
Satz von Carmichael
Für zwei natürliche teilerfremde Zahlen m, n gilt
mλ(n) = 1 mod n.
Für festes n und variables m ist λ(n) der kleinste Exponent mit dieser Eigenschaft.
Dirichletsches Produkt
Es seien f(n) und g(n) zwei zahlentheoretische Funktionen. Die zahlentheoretische Funktion
h(n) = Σt/n f(t) g(n/t)
heißt ihr Dirichletsches Produkt. Der Summationsindex bedeutet, dass die Summer über alle Teiler t von
n zu bilden ist.
Das Dirichletsche Produkt ist kommutativ und assoziativ.
Sätze über zahlentheoretische Funktionen
1. Die Menge der zahlentheoretischen Funktionen f(n) mit f(1) ≠ 0 bildet bezüglich der Dirichletschen
Multiplikation eine kommutative Gruppe.
2. Sind f und g multiplikative Funktionen, so ist auch f*g multiplikativ.
3. Die zahlentheoretischen Funktionen g(n) und f(n)*g(n) seien mutiplikativ. Dann ist auch f(n)
multiplikativ.
Möbiussche µ-Funktion
Die zu f(n) = 1 bezüglich der Dirichletschen Multiplikation inverse Funktion heißt Möbiussche µ-Funktion.
Es gilt µ(1) = 1
µ(p) = -1 , p ... Primzahl
Mit der eindeutigen Primfaktorzerlegung für n = Σi=1r piai gilt
µ(n) = (-1)r für a1 = a2 = ... = ar = 1
µ(n) = 0 für alle anderen Fälle
Die zahlentheoretisch wichtige Möbius-Funktion µ(n) kann auch wie
folgt definiert werden:
µ(n) = 1 , wenn n quadratfrei ist und eine gerade Azahl verschiedener
Primteiler besitzt
µ(n) = -1 , wenn n quadratfrei ist und eine ungerade Azahl
verschiedener Primteiler besitzt
µ(n) = 0 , wenn n nicht quadratfrei ist
Weiterhin ist µ(1) = 1. µ(0) ist undefiniert.
Die Folge der Funktionswerte der Möbius-Funktion beginnt mit
1,-1,-1,0,-1,1,-1,0,0,1,-1,0,-1,1,1,0,-1,0,-1,0,1,1,-1,0,0, …
Zahlen mit µ = -1 und genau drei Primfaktoren werden sphenische Zahlen genannt. Die ersten sind
30, 42, 66, 70, 78, 102, 105, 110, 114, 130, 138, 154, 165, 170, 174, 182, 186, 190, 195, 222, …
Die kleinsten Zahlen mit µ = -1 und genau fünf Primfaktoren sind
2310, 2730, 3570, 3990, 4290, 4830, 5610, 6006, 6090, 6270, 6510, 6630, 7410, 7590, 7770, 7854,
8610, 8778, 8970, 9030, 9282, 9570, 9690, …
Die Möbius-Funktion ist mit anderen wichtigen Funktionen verbunden.
Mertens-Funktion
M(n) = Σk=1n µ(k)
Riemannsche Zeta-Funktion
1/ζ(s) = Σn=1∞ µ(n)/ns
Möbiussche Formeln
Ist g(n) eine multiplikative, zahlentheoretische Funktion, so gilt
F(n) = f(n) * g(n) ⇔ f(n) = F(n) * [µ(n) g(n)]
g(n) = Σt/n f(t) ⇒ f(n) = Σt/n µ(t) g(n/t)
h(n) = Σt/n µ(t) f(n/t) ⇒ f(n) = Σt/n h(n)
Tschebyschowsche Funktionen
Als Tschebyschowsche Funktionen werden bezeichnet
ϑ(x) = Σp≤x ln p
ψ(x) = Σp^m≤x m ln p
Die zweite Summe ist wie folgt zu verstehen: ln p tritt als Summand genau n-mal auf, wenn pm die
höchste Potenz von p ist, welche x nicht überschreitet, zum Beispiel
ψ(10) = 3 ln 2 + 2 ln 3 + ln 5 + ln 7
Aus der Definition folgt
ϑ(x) = ln (Πp≤x p)
ψ(x) = ln (kgV aller positiven ganzen Zahlen ≤ x)
Mangoldt-Funktion
Die Mangoldt-Funktion (nach dem deutschen Mathematiker Hans von Mangoldt) ist eine
zahlentheoretische Funktion, die mit Λ bezeichnet wird. Die Mangoldtsche Funktion ist definiert als
Λ(n) = ln p, wenn n sich als n = pk darstellen lässt,
wobei p prim und k eine natürliche Zahl sind. Andernfalls ist Λ(n) = 0.
Die Funktion ist weder additiv noch multiplikativ.
229
Meist wird die Funktion eΛ(n) betrachtet. Für diese Funktion wird
eΛ(n) = kgV(1,2,…,n) / kgv(1,2,3,…,n-1)
Die erste Werte sind
1, 2, 3, 2, 5, 1, 7, 2, 3, 1, 11, 1, 13, 1, 1, 2, 17, 1, 19, 1, 1, 1, 23, 1, 5, 1, 3, 1, 29, 1, 31, 2, 1, 1, 1, 1,
37, 1, 1, 1, 41, 1, 43, 1, 1, 1, 47, 1, 7, 1, 1, 1, 53, 1, 1, 1, 1, 1, 59, 1, 61, 1, 1, 2, 1, 1, 67, 1, 1, 1, 71,
1, 73, 1, 1, 1, 1, 1, 79, 1, 3, 1, 83, 1, 1, 1, 1, 1, 89, 1, 1, 1, 1, 1, 1, …
Die summierte Mangoldt-Funktion
ψ(n) = Σi=1n Λ(i)
ist eine der Tschebyschowschen Funktionen. Diese ist beim Beweis des Primzahlsatzes von Bedeutung.
Zwischen der Mangoldt-Funktion µ(n) und der Möbius-Funktion bestehen die Beziehungen:
Σd|n Λ(d) = ln n
Σd|n µ(n/d) ln d = Λ(n)
Σd|n µ(d) ln d = -Λ(n)
Σd|n µ(n/d) Λ(d) = -µ(n) ln n
Liouville-Funktion
Die Liouville-Funktion (nach Joseph Liouville), ist eine multiplikative zahlentheoretische Funktion. Sie ist
definiert durch
λ(n) = (-1)Ω(n)
wobei Ω(n) die Anzahl der nicht notwendigerweise verschiedenen Primfaktoren bezeichnet.
Außerdem wird λ(0) = 0 und λ(1) = 1 festgelegt.
Die ersten Werte der Liouville-Funktion für n = 1, 2, … sind
1, -1, -1, 1, -1, 1, -1, -1, 1, 1, -1, -1, -1, 1, 1, 1, -1, -1, -1, -1, 1, 1, -1, 1, 1, 1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, 1,
1, 1, 1, -1, 1, 1, 1, -1, -1, -1, -1, -1, 1, -1, -1, 1, -1, 1, -1, -1, 1, 1, 1, 1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, 1, -1, -1,
-1, 1, -1, -1, -1, -1, 1, -1, -1, 1, -1, -1, -1, 1, 1, -1, 1, 1, 1, 1, 1, -1, 1, 1, -1, 1, 1, 1, 1, -1, -1, -1, 1, -1,
…
Weiterhin gilt
Σd|n λ(d) = 1 , wenn n eine Quadratzahl ist, sonst = 0
Für die Summe L(n) = Σk=1n λ(k)
vermutete Polya, dass stets L(n) < 0 gilt.
Diese Vermutung wurde widerlegt; das kleinste Gegenbeispiel ist n = 906150257. Es ist noch nicht
bekannt, ob L sein Vorzeichen unendlich oft wechselt.
Sigma-Funktion
Die Sigma-Funktion ist eine zahlentheoretische Funktion: σ(n) … Summe aller positiven Teiler von n
Die Sigma-Funktion σ(n) ist multiplikativ. Dabei ist für eine Primzahl p : σ(p) = p+1 und es gilt der Satz:
Ist p Primzahl und n natürliche Zahl, n > 0, so ist σ(pn) = (pn+1 - 1)/(p-1) . d.h. z.B.
σ(2000) = σ(2453) = σ(24) σ(53) = (25 - 1)/(2-1) (54 - 1)/(5-1) = 31 · 156 = 4836.
Die verallgemeinerte Sigmafunktion σ(n, k) in n.ter Potenz gibt für k = 0 die Anzahl der Teiler einer Zahl
an und sonst die Summe der Teiler in n.ter Potenz. Allgemein gilt
σk(n) = Σd|n dk
σ0(n) hat die Werte 1, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 4, 3, 4, 2, 6, … für n ∈ N.
σ1(n) hat die Werte 1, 3, 4, 7, 6, 12, 8, 15, 13, 18, … für n ∈ N
σ2(n) hat die Werte 1, 5, 10, 21, 26, 50, 50, 85, 91, 130, … für n ∈ N
σ3(n) hat die Werte 1, 9, 28, 73, 126, 252, 344, 585, 757, 1134, … für n ∈ N
Wallis-Problem
Gesucht sind alle Paare (x, y) natürlicher Zahlen, für welche σ(x²) = σ(y²) gilt, wobei σ(n) die
zahlentheoretische Funktion der Summe aller positiven Teiler von n darstellt.
Aus der kleinsten bekannten Lösung (4 , 5) erhält man für m = 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 23, ... mit (mx,
my) weitere Lösungen des Wallis-Problems. Weitere n-Tupel (x1 , x2, ..., xn), welche jeweils paarweise
das Wallis-Problem erfüllen, sind
(326, 407), (406, 489), (627, 749), (740, 878), (880, 1451), (888, 1102), (1026, 1208), (1110, 1943),
(1284, 1528, 1605), (1510, 1809), (1628, 1630, 2035), (1956, 2030, 2445), (2013, 2557), (2072,
3097), (2508, 2996, 3135, 3745), ...
Smarandache-Funktion
Die Smarandache-Funktion ist zahlentheoretische Funktion, die wie folgt definiert ist:
Die Smarandache-Funktion µ(n) ist die kleinste natürliche Zahl, für die n die Fakultät von µ(n) teilt. d.h.
µ(n) ist die kleinste natürliche Zahl, für die gilt n | µ(n)!
Für den Wert µ(8) testet man die kleinste der Zahlen 1!, 2!, 3!, …, die durch 8 teilbar ist. Hier wird 4! =
24 als Vielfaches von 8, d.h. µ(8) = 4.
Die ersten Werte der Funktion für n = 1, 2, 3, … sind
1, 2, 3, 4, 5, 3, 7, 4, 6, 5, 11, 4, 13, 7, 5, 6, 17, 6, 19, 5, 7, 11, 23, 4, 10, 13, 9, 7, 29, 5, 31, 8, 11, 17,
7, 6, 37, 19, 13, 5, 41, 7, 43, 11, 6, 23, 47, 6, 14, 10, 17, 13, 53, 9, 11, 7, 19, 29, 59, 5, 61, 31, 7, 8,
13, 11, 67, 17, 23, 7, 71, 6, 73, 37, 10, 19, 11, 13, 79, 6, 9, 41, 83, 7, …
Mitunter wird µ(1) auch gleich 0 gesetzt.
Zuerst wurde diese Funktion 1883 von Lucas, 1887 von Neuberg und 1918 von Kempner beschrieben.
1980 wurde sie von Florentin Smarandache wiederentdeckt.
230
Für alle n gilt µ(n) ≤ n, für Primzahlen p folglich µ(p) = p. Außerdem ist µ(n!) = n. Ist t der größte
Primfaktor von n, dann wird auch µ(n) ≥ t.
Durch Tutescu wird vermutet, dass für zwei aufeinanderfolgende Zahlen die Werte der SmarandacheFunktion verschieden sind:
µ(n) ≠ µ(n+1)
Bisher konnte die Vermutung durch Computereinsatz bis 109 nachgewiesen werden.
Pseudosmarandache-Funktion
Unter dem Funktionswert der pseudosmarandache-Funktion Z(n) versteht man die kleinste ganze
natürliche Zahl, für die
1 + 2 + 3 + … + Z(n)
Vielfaches von n ist, d.h. das kleinste natürliche n, für das gilt n | Z(n)(Z(n)+1) / 2
Die ersten Werte sind
1, 3, 2, 7, 4, 3, 6, 15, 8, 4, 10, 8, 12, 7, 5, 31, 16, 8, 18, 15, 6, 11, 22, 15, 24, 12, 26, 7, 28, 15, 30,
63, 11, 16, 14, 8, 36, 19, 12, 15, 40, 20, 42, 32, 9, 23, 46, 32, 48, 24, 17, 39, 52, 27, 10, 48, 18, 28,
58, 15, 60, 31, 27, 127, 25, 11, 66, 16, 23, 20, 70, 63, 72, 36, 24, …
Additive Funktion
Eine Funktion f(x) wird additiv genannt, wenn für alle relativ primen a, b des Definitionsbereiches die
Beziehung
f(a+b) = f(a) + f(b)
gilt.
Gilt die Beziehung für alle a, b, auch für zueinander nicht prime, so heißt die Funktion vollständig additiv.
Additive und vollständig additive Funktionen sind im Allgemeinen nicht umkehrbar.
Beispiele: Primteilersummenfunktion f(n) = a0(n), welche die Summe der Primteiler der natürlichen Zahl
n darstellt, z.B. a0(20) = a0(2²·5) = 2 + 2 + 5 = 9.
a0(4) = 4
a0(144) = a0(24·3²) = a0(24) + a0(3²) = 8 + 6 = 14
echte Primteilersummenfunktion g(n) = a1(n), welche de Summe der verschiedenen Primteiler der
natürlichen Zahl n darstellt, z.B. a1(1) = 0, a1(20) = 2 + 5 = 7.
a1(144) = a1(24·3²) = a1(24) + a1(3²) = 2 + 3 = 5
Primteilerfunktion Ω(n), die Anzahl der Primteiler einer natürlichen Zahl n
echte Primteilerfunktion ω(n), die Anzahl der verschiedenen Primteiler einer natürlichen Zahl n
Das Radikal einer natürlichen Zahl n ist das Produkt ihrer verschiedenen Primteiler.
Primfakultät
Die Primfakultät von n ist das Produkt aller Primzahlen kleiner oder gleich n. Die Primfakultär ist eine
natürliche Definition für das Produkt von Primzahlen. Als Notation verwendet man n#.
In der Zahlentheorie ist es üblich, bei der Betrachtung der Primfakultät nicht die multiplikative
Schreibweise, sondern die additive zu verwenden, d.h statt n# wird ln(n#) untersucht.
Der Logarithmus der Primfakultät ist dabei die Tschebyschowsche Funktion
ϑ(n) = Σp≤n ln p = ln (n#)
Quadratfreier Kern
Der quadratfreie Kern sfk(n); squarefree kernel; von n ist das Produkt der verschiedenen Primfaktoren
von n.
Damit wird die Primfakultät mit der gewöhnlichen Fakultät n! und dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen
der ersten n Zahlen in Zusammenhang gebracht:
n# = sfk(n!)
Die Primfakultät ist damit der quadratfreie Kern der gewöhnlichen Fakultät, und auch der quadratfreie
Kern des kleinsten gemeinsamen Vielfachen des Anfangsabschnitts der natürlichen Zahlen.
Sphenische Zahlen
Als sphenische Zahl (griechisch σφην = keilförmig) wird eine positive ganze Zahl bezeichnet, die das
Produkt von genau drei verschiedenen Primzahlen ist.
Alle sphenischen Zahlen besitzten genau acht Teiler. Sind p, q, r deren Primfaktoren, so sind die Teiler
{1, p, q, r, pq, pr, qr, pqr}
Sphenische Zahlen sind quadratfrei und haben einen Möbius-Funktionswert von -1.
Die ersten sphenischen Zahlen sind
30, 42, 66, 70, 78, 102, 105, 110, 114, 130, 138, 154, …
Die größte gegenwärtig (2007) bekannte sphenische Zahl ist
(232582657 - 1)⋅(230402457 - 1)⋅(225964951 - 1)
Deren Primfaktoren sind die größten bekannten Primzahlen (Mersennesche Primzahlen).
Die ersten zwei aufeinanderfolgenden sphenischen Zahlen sind
230 = 2⋅5⋅23 und 231 = 3⋅7⋅11,
die ersten drei aufeinanderfolgenden
1309 = 7⋅11⋅17, 1310 = 2⋅5⋅131 und 1311 = 3⋅19⋅23.
Vier und mehr unmittelbar aufeinanderfolgende sphenische Zahlen kann es nicht geben, da dann
wenigstens eine durch 4 teilbar und somit nicht quadratfrei wäre.
231
Golomb-Lineal
Ein Golomb-Lineal ist ein Lineal, bei dem es keine zwei Markierungen mit dem
gleichen Abstand zueinander gibt. Die Abbildung zeigt ein Golomb-Lineal der
Ordnung 4 und Länge 6. Golomb-Lineale wurden nach Solomon W.Golomb
benannt.
Golomb-Lineale werden nach Ordnung und Länge kategorisiert. Die Ordnung
eines Golomb-Lineals ist definiert durch die Anzahl der Markierungen, die Länge
durch den größten Abstand zweier Markierungen, wobei die kleinste Markierung üblicherweise auf 0
gesetzt wird.
Kann ein Golomb-Lineal alle Abstände bis zu seiner Länge messen, wird es ein perfektes Golomb-Lineal
genannt. Ein Golomb-Lineal ist optimal, wenn es keine kürzeren Lineale derselben Ordnung gibt.
Optimale Golomb-Lineale für eine gegebene Ordnung zu finden, ist eine rechenintensive Aufgabe. Mittels
verteiltem Rechnen wurde der bisher bekannte Kandidat für optimale Golomb-Lineale der Ordnung 24
bestätigt.
Golomb-Lineale werden beim Entwurf von Gruppenantennen, wie beispielsweise Radioteleskopen,
verwendet. Antennen in [0,1,4,6] Golomb-Anordnung findet man häufig bei Mobilfunkmasten.
Induktive Definition
Ähnlich wie bei reellen Zahlenfolgen kann man mittels Rekursionsgleichungen Funktionen in den
natürlichen Zahlen definieren.
Zum Beispiel wäre
φ(0) = 1 ; φ(n+1) = φ(n) + 2
die Definition der ungeraden natürlichen Zahlen.
Für die Fakultät n! ergibt sich in den natürlichen Zahlen
0! = 1 ; (n+1)! = (n+1) n!
Weitere Beispiele sind
Stirling-Zahlen s(n,r) = s(n - 1,r - 1) + (n - 1) · s(n - 1,r)
mit den Anfangswerten s(0,0) = 1 ; s(n,n) = 1 ; s(n,0) = 0 für n > 0 ; s(0,r) = 0 für r > 0
Delannoy-Zahlen
D(a,b) = D(a-1,b) + D(a,b-1) + D(a-1,b-1)
mit D(0,0) = 1
Schröder-Zahlen
S(n) = S(n-1) + Σ S(k) · S(n-1-k) ; Summenbildung von k = 0 bis n-1 mit S(0) =
1 usw.
Insbesondere bei der Definition von Mengen und in der theoretischen Informatik werden induktive
Definitionen gern verwendet.
Algebraische Strukturtheorie
Mengenabbildungen (Relationen)
Allgemein versteht man unter einer n-stelligen Relation R in einer Menge A
eine Teilmenge von
An = A x A x … x A , d.h. R ⊆ An
Jede Teilmenge R ⊆ A x B heißt zweistellige Relation oder binäre Relation
zwischen A und B. Schreibweise: x R y mit x aus A und y aus B; Ist A = B =
dann heißt R Relation auf M.
Für A = B ist eine binäre Relation eine Korrespondenz von A in A.
Mit jeder binären Relation R ist auch R-1; die Umkehrrelation; eine Relation
und mit zwei binären Relationen R und S auch die Verknüpfung R • S eine
Relation.
Eigenschaften:
R ist reflexiv ⇔ für alle x: x R x
R ist symmetrisch ⇔ für alle x,y: Aus x R y folgt y R x
R ist transitiv ⇔ für alle x,y,z: Aus x R y und y R z folgt x R z
R ist irreflexiv ⇔ für kein x gilt x R x
R ist asymmetrisch ⇔ für kein x,y folgt aus x R y auch y R x
R ist antisymmetrisch ⇔ für alle x,y folgt aus x R y und y R x sofort x = y
R ist identitiv ⇔ für alle x,y aus x R y und y R x folgt x = y
R ist linear ⇔ für alle x,y gilt: es existiert mindestens eine der Beziehungen x R y, y R x oder x = y
Mit jeder Relation R ist auch die Umkehrung R-1 reflexiv, irreflexiv, symmetrisch, asymmetrisch oder
antisymmetrisch. Außerdem folgt aus der Asymmetrie die Irreflexivität.
Spezielle Relationen
Für spezielle Relationen R auf einer Menge A wird definiert:
R heißt reflexive teilweise Ordnung auf A ⇔ R ist reflexiv, transitiv und antisymmetrisch
R heißt lineare Ordnung (totale Ordnung) ⇔ R ist transitiv, antisymmetrisch und linear
R heißt irreflexive teilweise Ordnung auf A ⇔ R ist irreflexiv und transitiv
R heißt Äquivalenzrelation auf A ⇔ R ist reflexiv, symmetrisch und transitiv.
232
M,
Für die (gewöhnlichen) Ordnungsrelationen auf den reellen Zahlen ergibt sich:
Es seien a, b, c reelle Zahlen. Dann gilt für alle a, b und c
a ≤ a ; ≤ ist reflexiv
a b ⇒ (¬(b < a) ∨ a = b) ; ≤ ist antisymmetrisch
(a ≤ b ∧ b ≤ c) ⇒ a ≤ c ; ≤ ist transitiv
a < b ⇒ a ≠ b ; < ist irreflexiv
(a < b ∧ b < c) ⇒ a < c ; < ist transitiv
a ≤ b ∨ b ≤ a ; ≤ ist linear
Allgemein kann man Ordnungen in einer Menge A als Festlegungen einer Rangfolge von Elemente der
Menge A auffassen, wobei Ordnungen nicht unbedingt linear sein müssen, d.h., nicht für jedes Paar von
Elementen aus A muss festgelegt sein, welches vom größeren Rang ist.
Eine reflexive teilweise Ordnung kann mit einem Hasse-Diagramm veranschaulicht werden.
Ordnungsrelation
Eine binäre Relation R in einer Menge A heißt Ordnung oder Ordnungsrelation, wenn R reflexiv,
antisymmetrisch und transitiv ist. Man spricht auch von einer teilweisen Ordnung.
Ist R zusätzlich linear, so heißt R vollständige Ordnung, vollständige Ordnungsrelation oder Kette. Die
Menge A heißt dann durch R geordnet bzw. vollständig geordnet. In einer vollständig geordneten Menge
sind also je zwei Elemente vergleichbar. Statt aRb verwendet man auch die Bezeichnung a ≤R b oder a ≤
b, wenn die Ordnungsrelation R aus dem Zusammenhang bekannt ist.
Anstelle von Ordnung ist auch die Bezeichnung Halbordnung oder partielle Ordnung üblich.
R heißt reflexive Ordnungsrelation, wenn sie reflexiv, transitiv, identitiv und linear ist.
R heißt irreflexive Ordnungsrelation, wenn sie irreflexiv, transitiv und linear ist.
Eine teilweise Ordnung R in A heißt Wohlordnung genau dann, wenn jede Teilmenge ein kleinstes
Element besitzt.
Jede Wohlordnung ist linear. Denn mit zwei Elementen x, y besitzt die Menge {x, y} ein kleinstes
Element; oBdA sei dies x. Dann gilt x R y.
Andererseits ist aber nicht jede linear geordnete Menge wohlgeordnet. In Q mit der natürlichen Ordnung
≤ sei B = {q ∈ Q | 2 ≤ q²}. Das kleinste Element dieser Menge wäre √2, was keine rationale Zahl ist.
Beispiele: Die Zahlenbereiche N, Z, Q, R sind vollständig geordnet. Die Teilmengenbeziehung ist eine
Ordnung, die nicht vollständig ist. Die lexikografische Ordnung auf den Wörtern der deutschen Sprache
ist eine Kette.
Teilweise geordnete Mengen
Eine Menge M heißt teilweise geordnet, oder halbgeordnet wenn sie mit einer Relation ≤ versehen ist, die
den folgenden Eigenschaften genügt:
x ≤ x für alle x ∈ M (Reflexivität)
für alle x, y ∈ M gilt: Aus x ≤ y und y ≤ x folgt x = y (Antisymmetrie)
für alle x, y, z ∈ M gilt: Aus x ≤ y und y ≤ z folgt x ≤ z (Transitivität)
Im Englischen heißen teilweise geordnete Mengen auch posets von partially ordered set. Die Bezeichnung
"teilweise" wird mitunter auch weggelassen.
Gilt für zwei Elemente x und y weder x ≤ y noch y ≤ x, so heißen die Elemente unvergleichbar. Im
Allgemeinen müssen in einer teilweisen Ordnung zwei Elemente nicht vergleichbar sein. Sind je zwei
Elemente vergleichbar, so heißt die Ordnung linear.
∈ ist linear genau dann, wenn für alle x, y: x ∈ y oder y ∈ x
Ist die Ordnung linear, so spricht man auch von einer totalen Ordnung oder einer
kettengeordneten Menge. Eine total geordnete Teilmenge von M heißt auch Kette. Aus
der Linearität folgt die Reflexivität.
Beispiele
1) Die Zahlenbereiche wie die natürlichen Zahlen N, ganzen Zahlen Z oder reellen
Zahlen R bilden bzgl. der natürlichen Ordnungsrelation ∈ lineare Ordnungen.
2) Die natürlichen Zahlen N bilden bzgl. der Teilbarkeit eine teilweise Ordnung. Diese
Ordnung ist nicht linear, da zwei teilerfremde Zahlen nicht vergleichbar sind.
3) Die Potenzmenge einer beliebigen Menge M bildet bzgl. der Inklusion eine teilweise
geordnete Menge. Diese Ordnung ist nicht linear.
Hasse-Diagramm
Für endliche geordnete Mengen veranschaulicht man die Ordnungsstruktur in Form von
speziellen Graphen. Diese werden Ordnungsdiagramme oder Hassediagramme
genannt.
Die Elemente der geordneten Menge werden als Punkte dargestellt und zwei direkt
vergleichbare Elemente werden durch Strecken verbunden, wobei kleinere Elemente
weiter unten stehen. Die obere Grafik veranschaulicht eine aus zwei Elementen
bestehende linear geordnete Menge.
233
2.Abbildung: Das Hasse-Diagramm zeigt die Teiler der Zahl 12, bezüglich der durch die Teilbarkeit
gegebenen Ordnungsbeziehung.
3.Abbildung: Für die Zahl 30 können die Teiler durch dieses Ordnungsdiagramm veranschaulicht werden.
untere Abbildung: Zu einem gleich aussehenden Diagramm gelangt man, indem man von einer
dreielementigen Menge ausgeht und die Inklusion als Ordnung in ihrer Potenzmenge definiert.
Majoranten und Minoranten
Sei M eine teilweise geordnete Menge mit der Ordnung ≤. Für eine nichtleere Teilmenge
A ⊆ M heißt ein Element s ∈ M obere Schranke von A, wenn a ≤ s für alle a ∈ A gilt.
Analog heißt s untere Schranke von A, wenn s ≤ a für alle a ∈ A gilt. Existieren die obere
(untere) Schranke, so heißt die Menge nach oben (unten) beschränkt.
Die Menge aller oberen Schranken von A heißt Majorante von A (Bezeichnung: Ma(A))
und die Menge aller unteren Schranken heißt Minorante von A und wird mit Mi(A) bezeichnet.
Ma(A) = {x ∈ M | a ≤ x ∀a ∈ A}
Mi(A) = {x ∈ M | x ≤ a ∀a ∈ A}
Beispiel (Abbildung): Betrachtet man die Zahl 30 und ihre Teiler mit der Ordnung bezüglich der
Teilbarkeit als Ordnung, und sei A = {2; 5}. Dann ist Mi(A) = {1} und Ma(A) = {10; 30}.
Eigenschaften von Minorante und Majorante
Sei M eine teilweise geordnete Menge mit der Ordnung ≤. Für nichtleere Teilmengen A, B ⊆ M gilt dann
A ⊆ Ma(Mi(A)) und A ⊆ Mi(Ma(A))
A ⊆ B ⇒ Ma(B) ⊆ Ma(A) und Mi(B) ⊆ Mi(A)
Mi(Ma(Mi(A))) = Mi(A) und Ma(Mi(Ma(A))) = Ma(A)
für a, b ∈ M gilt: a ≤ b ⇔ Mi(a) ⊆ Mi(b) ⇔ Ma(b) ⊆ Mi(a)
Infimum und Supremum
Sei M eine teilweise geordnete Menge mit der Ordnung ≤ und A eine nichtleere Teilmenge A ⊆ M.
Minimum und Maximum
Unter dem Minimum min(A) von A versteht man alle unteren Schranken von A, die zu A gehören und
dementsprechend ist das Maximum max(A) die Menge aller oberen Schranken von A, die zu A gehört.
Mittels Minorante und Majorante kann man definieren
min(A) = A ∩ Mi(A)
max(A) = A ∩ Ma(A) (*)
Existieren Minimum (Maximum) einer Menge A so sind sie eindeutig bestimmt.
Infimum und Supremum
Das Infimum inf(A) einer Menge A ist die größte untere Schranke von A und das Supremum sup(A) ist die
kleinste obere Schranke von A. Mit (*) wird
inf(A) = max(Mi(A)) = Mi(A) ∩ Ma(Mi(A))
sup(A) = min(Ma(A)) = Ma(A) ∩ Mi(Ma(A))
Auch Infimum und Supremum sind eindeutig bestimmt, sofern sie existieren, da sie als Minimum bzw.
Maximum von Minoranten- bzw. Majorantenmengen definiert sind.
Sätze: Sei s = inf(A), dann gilt s ≤ a für alle a ≤ A und für alle t ≤ Mi(A) gilt: s ≥ t. Das Infimum ist die
größte untere Schranke. Insbesondere gilt: falls x ≤ a für alle a ≤ A, dann ist auch x ≤ inf(A).
Sei s = sup(A), dann gilt a ≤ s für alle a ≤ A und für alle t ≤ Ma(A) gilt: t ≥ s. Das Supremum ist die
kleinste untere Schranke. Insbesondere gilt: falls a ≤ x für alle a ≤ A, dann ist auch x ≥ sup(A).
Sei (M, ≤) eine teilweise geordnete Menge. A ⊆ M eine Teilmenge. Dann gilt:
Existiert das Minimum (Maximum) von A so stimmt es mit dem Infimum (Supremum) überein. Aus a =
inf(A) bzw. a = sup(A) und a ≤ A folgt a = max(A) bzw. a = min(A)
Isotone Abbildung
Es seien M und N zwei teilweise geordnete Mengen und f: M → N eine Abbildung. Die Abbildung
f heißt isoton oder ordnungserhaltend genau dann, wenn für alle a, b ∈ M gilt
a ≤ b ⇒ f(a) ≤ f(b)
Die Abbildung heißt antiton, wenn gilt a ≤ b ⇒ f(a) ≥ f(b)
f ist ein Ordnungsisomorphismus zwischen M und N genau dann, wenn f bijektiv ist und sowohl f als auch
die Umkehrabbildung f-1 isoton sind. Die beiden Mengen M und N heißen dann auch ordnungsisomorph.
Eine isotone Bijektion muss nicht notwendigerweise eine isotone Umkehrung haben, daher ist diese
Forderung in der Definition des Ordnungsisomorphismus wesentlich.
Für die abgebildeten Hassediagramme ist die identische Abbildung A → B (a → a, b → b, c → c) isoton.
Die Umkehrung ist nicht isoton, da a ≤ b in B; jedoch a und b in A unvergleichbar sind.
Für linear geordnete Mengen gilt: Seien M und N linear geordnete Mengen und f: M → N eine isotone
Bijektion. Dann ist die Umkehrabbildung von f isoton und damit ist f ein Ordnungsisomorphismus.
Umkehrrelation ... Zu jeder Relation existiert eine Umkehrrelation
234
Äquivalenzrelation
Ein Äquivalenzrelation ist eine Relation, welche reflexiv, symmetrisch und transitiv ist. Für a R b
verwendet man a ∼ b, wenn die Äquivalenzrelation bekannt ist, und sagt, a ist äquivalent zu b.
reflexiv
a~a
symmetrisch aus a ~ b folgt b ~ a
transitiv
aus a ~ b und b ~ c folgt a ~ c
Beispiel: A = Z und m natürliche Zahl > 0. Dann gilt a ∼ b genau dann, wenn a und b bei Division durch
m den gleichen Rest lassen (Kongruenzrechnung modulo m)
Äquivalenzklassen
Eine Menge M wird durch jede Äquivalenzrelation in Äquivalenzklassen zerlegt, welche paarweise
elementfremd (disjunkt) sind.
Alle Elemente einer Klasse sind untereinander äquivalent, d.h. jedes a aus der Klasse kann als
Repräsentant der Klasse gewählt werden. Die Menge aller Äquivalenzklassen A | R heißt das Restesystem
von R nach A.
Auf die Reflexivität kann in der Definition der Äquivalenzrelation nicht verzichtet werden. Eine
symmetrische und transitive Relation muss nicht notwendigerweise reflexiv sein. Es folgt zwar aus x R y
wegen der Symmetrie sofort y R x und mit der Transitivität auch x R x. Dieser Schluss ist aber nur dann
korrekt, wenn es ein y mit x R y gibt.
Zwei Äquivalenzklassen x | R und y | R sind genau dann gleich, wenn x R y, d.h. ihre Repräsentanten in
Relation zueinander stehen.
Sei R eine Äquivalenzrelation in A. Dann gelten für das Restesystem A | R folgende Eigenschaften
keine Äquivalenzklasse ist leer
die Vereinigung aller Äquivalenzklassen ist die Menge A selbst
je zwei verschiedene Äquivalenzklassen sind disjunkt
Ein Teilmengensystem mit diesen Eigenschaften nennt man auch eine Zerlegung oder Partition.
Relationsalgebra
Man kann die Eigenschaften von binären Relationen rein mengentheoretisch charakterisieren.
Sei R ⊆ A × A eine binäre Relation. Wir bezeichnen mit RT = R-1 die inverse Relation oder transponierte
Relation. Die Bezeichnung transponierte Relation ergibt sich daher, dass bei einer Matrixdarstellung sie
genau der transponierten Matrix entspricht.
Sind R und S binäre Relationen auf A, so ist auch
R • S = {(a, c): ∃ b ∈ A: (a, b) ∈ R und (b, c) ∈ S}
eine binäre Relation. Sie heißt die Komposition oder das Relationenprodukt von R und S. Zu beachten ist,
dass diese Schreibweise entgegengesetzt zur Hintereinanderausführung von Abbildungen ist.
Bezeichnen man mit IA = {(a, a) | a ∈ A} die Identität, so ergibt sich für die algebraischen Eigenschaften
von Relationen:
Sei R ⊆ A × A eine binäre Relation. Dann gilt:
R ist reflexiv ⇔ IA ⊆ R
R ist irreflexiv ⇔ IA ∩ R = ∅
R ist symmetrisch ⇔ R = RT
R ist asymmetrisch ⇔ R ∩ RT = ∅
R ist antisymmetrisch ⇔ R ∩ RT ⊆ IA R ist transitiv ⇔ R • R ⊆ R
Auswahlaxiom
Das Auswahlaxiom sichert die Existenz einer Auswahlfunktion für eine beliebige Familie von nichtleeren
Mengen. Diese wählt aus jeder Menge ein Element aus.
Sei I eine beliebige Indexmenge und Ai eine Familie von nichtleeren Mengen (Ai ≠ ∅) dann existiert eine
Abbildung
f: I → ∪i∈I Ai mit f(I) ∈ Ai
Obwohl die Aussage dieses Axioms einleuchtend erscheint, ist sie für unendliche Mengen nicht trivial.
Zu beachten ist, dass es sich um eine reine Existenzaussage handelt. Es wird kein Verfahren angegeben,
wie die Auswahlfunktion konstruiert werden kann.
Wohlordnungssatz
Der Wohlordnungssatz sagt aus, dass jede Menge wohlgeordnet werden kann.
In der axiomatischen Mengenlehre nach Zermelo-Fraenkel sind Auswahlaxiom, Wohlordnungssatz und
Zornsches Lemma äquivalent.
Das Lemma von Kuratowski-Zorn oder Zornsches Lemma, ist ein Theorem der Zermelo-FraenkelMengenlehre, die das Auswahlaxiom einbezieht. Es ist benannt nach dem Mathematiker Max Zorn, der es
1935 wieder entdeckte, obwohl es schon 1922 von dem polnischen Mathematiker Kazimierz Kuratowski
gefunden wurde.
Lemma von Kuratowski-Zorn, Zornsches Lemma
Jede nichtleere halbgeordnete Menge, in der jede Kette, d.h. jede total geordnete Teilmenge, eine obere
Schranke hat, enthält mindestens ein maximales Element.
Dieses Lemma wird in vielen wichtigen Beweisen benutzt, zum Beispiel für
235
den Satz, dass jeder Vektorraum eine Basis hat
das Hahn-Banach-Theorem in der Funktionalanalysis, nach dem man lineare Funktionale
fortsetzen kann
Tychonoffs Theorem, dass jedes Produkt kompakter Räume selbst kompakt ist
den Satz, dass jeder Ring mit 1 ein maximales Ideal hat
den Satz, dass jeder Körper einen algebraischen Abschluss hat
Multimenge
Die Multimenge ist ein Begriff aus der Mengenlehre der Mathematik. Die Besonderheit von Multimengen
gegenüber dem gewöhnlichen Mengenbegriff besteht darin, dass die Elemente einer Multimenge
mehrfach vorkommen können. Entsprechend haben auch die verwendeten Mengenoperationen eine
modifizierte Bedeutung.
Als Multimenge über einer Menge M bezeichnet man eine Abbildung V von M in die Menge der natürlichen
Zahlen. V(x) bezeichnet dann die Vielfachheit des Elementes x aus M.
Anschaulich ist eine Multimenge eine Menge, in der jedes Element beliebig oft vorkommen kann. Man
notiert Multimengen dann auch wie Mengen explizit mit geschweiften Klammern und schreibt ein Element
so oft hinein, wie es in der Multimenge vorkommt. Mengen sind in diesem Sinne ein Spezialfall von
Multimengen, bei denen nur die Werte 0 (nicht enthalten) und 1 (enthalten) zugeordnet werden können.
Beispiel Sei V die Multimenge über {a, b, c}, mit V(a) = 1, V(b) = 3 und V(c) = 0. Dann schreibt man
auch V = {a, b, b, b}.
Man nehme einen Würfel und würfle 20 mal hintereinander. Dann kann es sein, dass man
3 mal eine 1
2 mal eine 2
4 mal eine 3
5 mal eine 4
3 mal eine 5
3 mal eine 6
geworfen hat. Die Grundmenge ist dann {1, 2, 3, 4, 5, 6}; die Vielfachheit der 3 ist 4; also V(3) = 4.
Die Multimenge listet jeden Wurf auf, wobei die Reihenfolge außer Acht gelassen wird:
V = {1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6}.
Anzahl der möglichen Multimengen
Gegeben sei eine Menge M mit n Elementen. Wie viele Multimengen über M gibt
es dann, die k Elemente enthalten? Es gilt:
(n+k-1k) Multimengen
Abbildung
Eine beliebige Teilmenge F ⊆ X × Y des kartesischen Produkts zweier Mengen X
und Y heißt Korrespondenz oder Zuordnung.
Wenn einem Element x ∈ X durch eine Korrespondenz F höchstens ein Element y
∈ Y zugeordnet wird, spricht man von einer eindeutigen Korrespondenz. Diese
Korrespondenzen werden als Abbildungen oder Funktionen bezeichnet.
Die Grafik verdeutlicht das Wesen der Abbildung. Die Zuordnungen sind durch
Pfeile symbolisiert. Von jedem Element der linken Menge geht höchstens ein Pfeil aus. Derartige
Darstellungen werden Pfeildiagramm genannt.
Die Abbildung der Menge A auf die Menge B ordnet jedem Element x aus A Elemente y aus B zu. Man
nennt x die unabhängige Variable und y die abhängige Variable.
Schreibweise: f: A → B
A … Definitionsbereich, Definitionsmenge, Urbildmenge, Urbildbereich, Argumentbereich
B … Bildmenge, Bildbereich, Wertebereich, Zielmenge
x … Argument, Original, Urbild
y … Wert von x, Bild von x
Die Schreibweise f: A → B mit x ∈ A und y ∈ B kann auch in der Form (x,y) ∈ f angegeben werden, d.h.
eine Abbildung ist als eine Menge geordneter Paare (x,y) interpretierbar. Die Abbildung f: A → B ist damit
eine Teilmenge des Kreuzproduktes A x B (Kartesisches Produkt).
Zwei Abbildungen f und g sind gleich, wenn ihre Definitionsbereiche gleich sind und für jedes Argument x
auch f(x) = g(x) gilt. Während man zu jeder Korrespondenz F unmittelbar die Umkehrung F-1 bilden
kann, muss die Umkehrung einer Abbildung f nicht unbedingt eindeutig sein und damit wieder eine
Abbildung.
Hinweis: Mitunter wird die Zuordnung als Abbildung bezeichnet und deren Eindeutigkeit nicht gefordert.
Eine eindeutige Abbildung ist dann Funktion.
Verkettung von Abbildungen
Wenn zwei Korrespondenzen F ⊆ A × B und G ⊆ B × C gegeben sind, kann die Verkettung oder
Hintereinanderausführung oder Komposition von F und G definiert werden.
Man schreibt dafür G • F. Dabei ist zu beachten, dass F zuerst ausgeführt wird.
Die Verkettung von Korrespondenzen ist assoziativ. Sind F, G und H Korrespondenzen, dann gilt
(F • G) • H = F • (G • H)
236
Nachweis:
Ist (a, d) ∈ (F • G) • H, dann existiert ein c mit (a, c) ∈ F • G und (c, d) ∈ H und weiter existiert ein b mit
(a, b) ∈ F und (b, c) ∈ G.
Damit ist aber (b, d) ∈ G • H und (a, d) ∈ F • (G • H), womit gezeigt ist, dass (F • G) • H ⊆ F • (G • H).
Die andere Inklusion zeigt man analog.
Für den Zusammenhang zwischen Umkehrung und Verkettung gilt
(F • G)-1 = G-1 • F-1
-1
Nachweis: Sei (c, a) ∈ (F • G) dann ist (a, c) ∈ F • G und es gibt ein b mit (a, b) ∈ F und (b, c) ∈ G.
Damit ist aber auch (b, a) ∈ F-1 und (c, b) ∈ G-1 und (c, a) ∈ G-1 • F-1. Entsprechend zeigt man die
Umkehrung.
Funktion f (eindeutige Abbildung aus D in Z)
heißt injektiv ⇔ aus a ≠ b folgt f(a) ≠ f(b)
surjektiv ⇔ Wertebereich = Zielmenge Z
bijektiv ⇔ f ist injektiv und surjektiv
Eineindeutige Abbildung
Eine bijektive Abbildung ist eineindeutig, umkehrbar eindeutig, d.h. jedem Elemente aus D wird eindeutig
ein Elemente aus B und diesem Element aus B eindeutig das Ausgangselement aus D zugewiesen.
Inverse Abbildung
Ist eine Abbildung injektiv und surjektiv, also eine eineindeutige Abbildung von A auf B, so gibt es eine
inverse Abbildung, die jedem Element b aus B dasjenige Element von A zuordnet, dessen Bild b ist.
Gleichheit von Abbildungen
Zwei Abbildungen f: A → B und g: C → D heißen gleich ⇔ A=C und B=D und für alle x aus A gilt f(x) =
g(x)
Fixelement
Erfüllt eine Element x ∈X bei einer Abbildung f: X → Y die Gleichung f(x) = x, so heißt x Fixelement von X
bei der Abbildung f.
Identische Abbildung
Die Abbildung f: X → X, welches jedes Element x auf sich selbst abbildet, heißt identische Abbildung.
Injektive Funktion
Definition: Gegeben sei eine Funktion A → B. Eine injektive Funktion (Injektion)
liegt vor, wenn jedes Element der Zielmenge B höchstens einmal als Bild (eines
Elementes der Definitionsmenge) vorkommt.
Für eine solche Funktion f ist deren Umkehrung f-1 wieder eindeutig. f nennt man
eineindeutig oder umkehrbar eindeutig oder injektiv.
Die Injektivität fordert nicht, dass alle Elemente aus B als Werte vorkommen
müssen; dann wäre die Funktion surjektiv.
Die Grafik verdeutlicht das Wesen der Injektivität. Zu keinem Wert aus B gehen
zwei Pfeile; bei jedem Element von B endet höchstens ein Pfeil.
Die Bezeichnung umkehrbar eindeutig drückt aus, dass die Umkehrung einer injektiven Funktion f wieder
eine Funktion ist. Diese heißt Umkehrfunktion und wird mit f-1 bezeichnet. Wenn f nicht injektiv ist, muss
die Umkehrung nicht eindeutig sein und damit keine Abbildung.
In einer Koordinatendarstellung ist die Kurve entweder streng monoton steigend oder streng monoton
fallend.
Beispiele: Die Funktion f1(x) = x ist injektiv auf R.
Die Funktion f2(x) = x² ist nicht injektiv auf R, denn jedem x wird der gleiche Funktionswert wie -x
zugeordnet. Schränkt man den Definitionsbereich von f2 auf die nichtnegativen reellen Zahlen ein, so ist
die Funktion auf diesem Intervall injektiv.
Die Injektivität hängt damit vom Definitionsbereich der Funktion ab.
Surjektive Funktion
Definition: Gegeben sei eine Funktion A → B. Gehört jedes Element der
Zielmenge B auch zur Wertemenge, so nennt man die Funktion surjektiv, d.h.
wenn bei der Funktion die Bildmenge mit B zusammenfällt.
Man spricht mitunter auch von einer Aufabbildung.
Die Grafik verdeutlicht das Wesen der Surjektivität: Alle Werte aus B werden als
Funktionswerte angenommen, was dadurch symbolisiert wird, dass sie von
einem Pfeil erreicht werden; bei jedem Element von B endet mindestens ein
Pfeil.
237
In einer Koordinatendarstellung kommt jedes Element von B als Bild vor.
Beispiele: Die Funktion f1(x) = x ist surjektiv auf R. Die Funktion f2(x) = x² ist nicht surjektiv auf R, denn
negative Zahlen werden nicht als Funktionswerte angenommen. Schränkt man den Wertebereich auf die
nichtnegativen reellen Zahlen ein, so ist die Funktion auf diesem Intervall surjektiv.
Bijektive Funktion
Eine bijektive Funktion ist eine Funktion, die surjektiv und injektiv ist.
Damit ist f eine eineindeutige Aufabbildung. Jedem Element aus A wird genau
ein Element aus B zugeordnet und alle Elemente aus B kommen als Bilder vor.
andere Bezeichnungen: Umkehrbare Funktion bzw. eineindeutige Funktion
Unter den bijektiven Abbildungen einer Menge M auf sich gibt es eine
ausgezeichnete Bijektion, die identische Abbildung f. f(a) = a.
Die Hintereinanderausführung zweier Bijektionen ist wieder eine Bijektion;
ebsono ist die Umkehrung einer Bijektion eine Bijektion.
Ist f: A → B eine injektive Abbildung, dann ist die Einschränkung f: A → f(A) eine
Bijektion, ebenso die Umkehrung f-1: f(A) → A.
Im Fall der Abbildung einer endlichen Menge auf sich sind die Eigenschaften injektiv und bijektiv
gleichwertig. Es gilt: Es sei f: A → A eine Abbildung einer endlichen Menge A auf sich. Dann sind die
folgenden Aussagen paarweise äquivalent.
f ist injektiv
f ist surjektiv
f ist bijektiv
Konstante Abbildung
Ist y ein festes Element von Y, dann ist X x {y} eine eindeutige Abbildung von X in Y, die jedem x ∈X
dasselbe Element y zuordnet, sie wird konstante Abbildung genannt.
Einschränkung einer Abbildung
Ist A eine Teilmenge von X und F eine Abbildung von X in Y, so ist die Menge F ∩ (A x Y) eine
Abbildung, die Einschränkung von F auf die Menge A. Schreibweise: F |A
Abbildungen von Mengen
Seien A, B Mengen und f: A → B eine Abbildung sowie A1, A2 ⊆ A und B1, B2 ⊆ B, dann gilt:
B1 ⊆ B2 → f-1(B1) ⊆ f-1(B2)
A1 ⊆ A2 → f(A1) ⊆ f(A2)
f(A1 ∩ A2) ⊆ f(A1) ∩ f(A2)
f(A1 ∪ A2) = f(A1) ∪ f(A2)
f(A1 ∩ A2) = f(A1) ∩ f(A2) ⇔ f ist injektiv
f1(f(A1)) ⊇ A1 ist f injektiv so gilt f-1(f(A1)) = A1
f1(f(B1)) ⊆ B1 ist f surjektiv so gilt f-1(f(B1)) = B1
f-1(B \ B1) = A \ f-1(B1)
Verkettung von Abbildungen
Das Hintereinanderausführen von mehreren Abbildungen ist eine Verkettung von Abbildungen.
Gilt f: A → B und g: B → C, so existiert eine Abbildung (Verkettung g°f von f und g) mit
g°f: A → C mit (g°f)(x) = g[f(x)]
Es gilt: h°(g°f) = (h°g)°f ... assoziativ
Es seien f: X → Y, g: Y → Z, h: Z → W Abbildungen zwischen nichtleeren Mengen X, Y, Z, W. Dann gilt
h • (g • f) = (h • g) • f ; Assoziativität der Hintereinanderausführung
Sind f und g beide injektiv, so auch g • f. Sind beide surjektiv, so auch g • f.
Ist g • f injektiv, so ist f injektiv
Ist g • f surjektiv, so ist g surjektiv
Satz von Schröder-Bernstein
Bei Untersuchungen zur Gleichmächtigkeit von Mengen ist es oft einfacher injektive Abbildungen
zwischen den Mengen zu finden als Bijektionen. Dabei hilft der Satz von Schröder-Bernstein weiter, der
aus der Injektiviität zweier Mengen untereinander die Bijektivität folgert.
Mit dem Hilfssatz
Sei f: A → B eine injektive Abbildung und B ⊆ A, dann lassen sich A und B bijektiv aufeinander abbilden.
kann bewiesen werden
Satz von Schröder-Bernstein
Seien A und B zwei Mengen und f: A → B sowie g: B → A zwei injektive Abbildungen. Dann existiert eine
Bijektion h zwischen den Mengen A und B; insbesondere sind sie dann gleichmächtig.
Hüllen
Sei M eine Menge. Eine Abbildung H: P(M) → P(M) (P … Potenzmenge) heißt genau dann Hüllenoperator,
wenn für alle A, B ⊆ M folgende Eigenschaften gelten:
238
A ⊆ H(A) ; Extensivität
A ⊆ B ⇒ H(A) ⊆ H(B) ; Monotonie
H(H(A)) = H(A) ; Idempotenz
Beispiele: In einem Vektorraum V ist die lineare Hülle ein Hüllenoperator. Die abgeschlossene Hülle in
einem metrischen Raum ist ein Hüllenoperator.
Algebraische Verknüpfung, Operation
A, B, M seien nicht leere Mengen.
Jede Abbildung (A × B) → M, bei der jedem geordneten Paar (a,b) ∈ (A × B) ein Bild (a • b) ∈ M
zugeordnet ist, heißt algebraische Verknüpfung oder Operation.
Innere Verknüpfung ... (M × M) → M
Äußere Verknüpfung 1.Art ... (A × M) → M
Äußere Verknüpfung 2.Art ... (A × A) → M
Abgeschlossenheit einer Verknüpfung
Die Tatsache, dass eine Verknüpfung auf einer Menge G abgeschlossen ist, entspricht einer innerer
Verknüpfung in der Menge G: G × G → G
Algebraische Struktur
... ist eine nicht leere Menge mit mindestens einer inneren Verknüpfung (M , •): (a,b) → (a • b), mit
a,b,a•b ∈ M
M ... Trägermenge, (M , •) mit genau einer Operation heißt Gruppoid
Abbildung algebraischer Strukturen
(A , •1), (B , •2) seien algebraische Strukturen mit den Operationen •1 und •2
Die Abbildung f: mit a ∈ A und f(a) = a' ∈ B heißt
Homomorphismus,
wenn für alle a,b ∈ A gilt:
f( a •1 b) = f(a) •2 f(b) = a' •2 b'
Die Strukturen heißen zueinander homomorph, d.h. strukturverträglich.
Ist h: G1 --> G2 ein Gruppenhomomorphismus, so wird die Menge ker h aller Elemente von G1, die auf
das neutrale Element von G2 abgebildet werden, Kern von h genannt. Der Kern von h erweist sich als
Normalteiler von G1.
Isomorphismus ... wenn f ein bijektiver Homomorphismus ist. Die Strukturen heißen zueinander
isomorph (strukturgleichwertig). Es gilt ker f = E.
Automorphismus ... Ist ein Isomorphismus, von der Form f: G → G.
Homomorphismus, Beispiele
Sei R* = R \ {0} und (R*, ·) die multiplikative Gruppe der reellen Zahlen.
Die Exponentialfunktion f(x) = ex ist ein Homomorphismus der additiven Gruppe der reellen Zahlen in die
multiplikative Gruppe der positiven reellen Zahlen. Es gilt:
f(a + b) = ea + b = ea eb = f(a) f(b)
Sei sgn: R → R die Signumfunktion wie folgt definiert:
sgn(x) = 1 für x > 0 ; = 0 für x = 0 ; = -1 für x < 0
Dann ist sgn ein Homomorphismus von der multiplikativen Gruppe R in die multiplikative Gruppe {+1, 1}. Dieser Homomorphismus spiegelt gerade die Regeln für die Multiplikation vorzeichenbehafteter
Zahlen wider.
Der Kern dieses Homomorphismus ist die multiplikative Gruppe der positiven reellen Zahlen.
In der multiplikativen Gruppe der reellen Zahlen ist f(x) = 1/x ein Homomorphismus. Es gilt:
f(a·b) = 1 / (a·b) = 1/a · 1/b = f(a) · f(b)
Da die Abbildung bijektiv ist, handelt es sich sogar um einen Isomorphismus.
Neutrales Element bei Homomorphismus
Es seien G und H zwei Gruppen, eG und eH die neutralen Elemente in G und H und f: G → H ein
Homomorphismus. Dann gilt: f(eG) = eH
f(a-1) = f(a)-1 für alle a ∈ G
Homomorphismen überführen neutrale Elemente in neutrale Elemente und inverse Elemente in inverse.
Kern eines Homomorphismus
Ist h: G1 → G2 ein Gruppenhomomorphismus, so wird die Menge ker h aller Elemente von G1, die auf das
neutrale Element von G2 abgebildet werden, Kern von h genannt. Der Kern von h erweist sich als
Normalteiler von G1.
Das Bild von f im(f) ist die Menge aller in G2 vorkommenden Bilder und wird Bild des Homomorphismus
genannt. im(f) ist Untergruppe von G2.
Kanonische Homomorphismen von Normalteilern
Sei G eine Gruppe und H Normalteiler in G. Dann existiert ein Homomorphismus
f: G → G/H mit ker(f) = H
Dieser Homomorphismus wird kanonischer Homomorphismus genannt und ist durch
f(g) = gH
gegeben.
239
Nachweis: f ordnet jedem Gruppenelement seine Linksnebenklasse zu. Außerdem ist G/H eine Gruppe.
Die Homomorphie von f ergibt sich einfach auch der Definition.
Bleibt zu zeigen ker(f) = H. Dazu kann man folgende Äquivalenzkette aufbauen:
h ∈ H ⇒ hH = H ⇒ f(H) = H ⇒ h ∈ ker(f)
Automorphismengruppe
Die Menge der Automorphismen einer Gruppe G wird mit aut(G) bezeichnet.
Die Automorphismen einer Gruppe aut(G) bilden bezüglich der Hintereinanderausführung von
Abbildungen eine Gruppe, die so genannte Automorphismengruppe.
Isomorphie
Es seien (G, ·) und (G', ·) zwei Gruppen. Diese heißen isomorph genau dann, wenn es eine Abbildung f: G
→ G' mit folgenden Eigenschaften gibt:
f ist bijektiv, also eine eineindeutige Aufabbildung
f lässt das Produkt invariant: ∀a, b ∈ G: f(a·b) = f(a)·f(b)
Ein Isomorphismus ist ein bijektiver Homomorphismus.
Durch den Begriff der Isomorphie kann man Eigenschaften einer Gruppe auf eine andere übertragen,
ohne sie im Einzelnen beweisen zu müssen. In isomorphen Gruppen gelten die gleichen Eigenschaften.
Die Isomorphie legt damit Gestaltgleichheit fest.
Beispiele: Die Restklassengruppe Zn ist isomorph zur zyklischen Gruppe Cn. Den Isomorphismus erhält
man, wenn man logarithmiert, d.h. die Exponenten aus Cn als die Zahlen aus Zn auffasst.
Einfach zu sehen ist, dass die zyklische Gruppe C4 nicht isomorph zur Kleinschen Vierergruppe D2 ist.
Letzte enthält Elemente a ≠ 1, für die gilt a·a = 1, was für kein von 1 verschiedenes Element der
zyklischen Gruppe gilt.
Wenn f ein Isomorphismus von G auf G', dann ist die Umkehrabbildung f-1: G' → G ebenfalls ein
Isomorphismus.
Algebra (Struktur)
... mathematische Struktur, die den Vektorraum- und den Ringeigenschaften genügt.
Beispiel: Die Menge der n x n-Matrizen mit der gewöhnlichen Matrizenaddition und -multiplikation ist eine
Algebra.
Arten algebraischer Strukturen
Zusammenstellung verschiedener algebraischer Strukturen:
Magma (G,*)
eine Menge mit einer zweistelligen Verknüpfung *
Quasigruppe (G,*)
ein Gruppoid in dem die Division stets eindeutig möglich ist
Loop (G,*,1)
eine Quasigruppe mit einem neutralen Element
Halbgruppe (G,*)
ein assoziatives Gruppoid
Monoid (G,*,1)
eine Halbgruppe mit einem neutralen Element 1
Gruppe (G,*,1,-1)
ein Monoid mit einem inversen Element a-1 für jedes a, oder äquivalent dazu,
eine assoziative Loop
Abelsche Gruppe (G,+,0,-)
eine kommutative Gruppe
Ring (R,+,0,-,·)
eine Menge R mit zwei Verknüpfungen + (Addition) und · (Multiplikation),
so dass (R,+,0,-) eine Abelsche Gruppe, (R,·) eine Halbgruppe ist und die Distributivgesetze erfüllt sind
Unitärer Ring (R,+,0,-,·,1)
ein Ring mit neutralem Element 1 für die Multiplikation
Körper (R,+,0,-,·,1,-1) ein Ring, so dass (R\{0},·,1,-1) eine Abelsche Gruppe ist
Modul (M,+,0,-,·,R) über einem Ring R, Eine Menge M mit einer inneren Verknüpfung + und einer
äußeren Verknüpfung ·: R×M → M (Skalarmultiplikation), so dass (M,+,0,-) eine Abelsche Gruppe ist, die
Skalarmultiplikation assoziativ ist und die Distributivgesetze erfüllt sind
Vektorraum (V,+,0,-,·,K)
ein Modul über einem Körper K
Algebra (V,+,0,-,·,*,K) Ein Vektorraum mit einer bilinearen Verknüpfung * ("Vektormultiplikation"), die
die Distributivgesetze erfüllt und assoziativ mit der Skalarmultiplikation ist
Assoziative Algebra
eine K-Algebra, deren Multiplikation assoziativ ist
Kommutative Algebra eine assoziative K-Algebra, deren Multiplikation kommutativ ist
algebraischer Verband (V,∩,∪) eine Menge mit zwei kommutativen, assoziativen, idempotenten
Verknüpfungen (Durchschnitt und Vereinigung), die Absorptionsgesetze erfüllen
Boolescher Verband (V,∩,∪,0,1,¬)
ein Verband mit neutralen Elementen 0 und 1 für ∩ und ∪, der
zwei Distributivgesetze erfüllt und Komplemente ¬a hat Menge, eine algebraische Struktur ohne
Verknüpfungen
Strukturen mit einer Verknüpfung
Die algebraischen Strukturen besitzen ein oder zwei zweistellige innere Verknüpfungen auf einer Menge
M. Betrachtet werden folgende Axiom:
(E) Existenz und Eindeutigkeit:
240
∀ a,b ∈ M: a • b ∈ M
(A) Assoziativgesetz:
(N) Existenz eines neutralen Elements
(I) Existenz des inversen Elements:
(K) Kommutativgesetz:
∀ a,b,c ∈ M: (a • b) • c = a • (b • c)
∃ e ∈ M: ∀ a ∈ M: a • e = e • a = a
∀ a ∈ M: ∃ a-1 ∈ M: a • a-1 = a-1 • a = e
∀ a,b ∈ M: a • b = b • a
Die folgenden Strukturen mit einer zweistelligen inneren Verknüpfung erfüllen folgende Axiome
Magma auch Gruppoid Axiom E: Menge mit zweistelliger innerer Verknüpfung
Halbgruppe
Axiome EA: Gruppoid mit Assoziativgesetz
Monoid:
Axiome EAN: Halbgruppe mit einem neutralen Element e
Quasigruppe auch Semigruppe:
Axiome EI: Magma mit Inversen
Loop:
Axiome ENI: Quasigruppe mit neutralem Element
Gruppe:
Axiome EANI: Monoid und Quasigruppe
Abelsche Gruppe:
Axiome EANIK: Gruppe mit kommutativer Verknüpfung
Gruppoid
Unter einem Gruppoid oder einem Magma (G,*) versteht man eine nichtleere Menge G, auf der eine
(zweistellige) (innere) Verknüpfung * definiert ist, d.h. je zwei Elementen a und b aus G ist ein drittes
Element a*b aus G zugeordnet. Dabei nennt man * meistens eine Multiplikation auf G und a*b das
Produkt des linken Faktors a und des rechten Faktors b.
In vielen Anwendungsfällen ist jedoch auch die additive Schreibweise üblich:
Man schreibt + für das Verknüpfungssymbol und nennt sie Addition auf G und a+b dann die Summe der
Summanden a und b.
Eigenschaften
Eine innere Verknüpfung * auf G bzw. das Gruppoid (G,*) heißt kommutativ, wenn für alle a und b aus G
gilt:
(1) a*b = b*a
Hat man (2) a*a = a für ein a aus G, so nennt man dieses Element idempotent. Man bezeichnet mit E(G)
die Menge aller idempotenten Elemente von (G,*) und nennt * bzw. (G,*) idempotent, falls E(G) = G gilt.
Ordnung eines Gruppoids
Unter der Ordnung eines Gruppoids (G,*) versteht man die Anzahl |G| der Elemente von G. Speziell für
Gruppoide (G,*) kleiner Ordnungen beschreibt man die Verknüpfung * oft mit Hilfe einer
Verknüpfungstafel.
Neutrales Element
Ein neutrales Element e eines Gruppoids (G,*) wird durch die Forderung
(3) e*a = a = a*e
für alle a aus G charakterisiert. Gilt wenigstens immer die linke Gleichung in (3), so nennt man e
linksneutral, und entsprechend rechtsneutral, wenn wenigstens die rechte Gleichung in (3) für alle a aus
G erfüllt ist. In jedem dieser Fälle ist e idempotent.
Außerdem ist ein neutrales Element immer eindeutig bestimmt, denn ist e1 auch nur ein linksneutrales
und e2 ein rechtsneutrales Element desselben Gruppoids (G,*), so muss ihr Produkt e1*e2 sowohl mit e2
als auch mit e1 übereinstimmen.
Bei multiplikativer Schreibweise nennt man ein neutrales Element auch ein Einselement und schreibt
dafür oft 1, bei additiver Bezeichnung spricht man dagegen von einer Null und benutzt das Symbol 0 oder
o.
Komplexprodukt
Sind U und V beliebige Teilmengen eines Gruppoids (G,*), so heißt die Teilmenge
U*V = { u*v | u aus U und v aus V }
von G das Komplexprodukt von U und V. Natürlich ist U*V genau dann leer, wenn mindestens eine der
Mengen U oder V leer ist.
Für einelementige Teilmenge U = { u } oder V = { v } schreibt man einfach u*V anstelle von { u }*V
und U*v anstelle von U*{ v }. Damit wird die Potenzmenge P(G) zu einem Gruppoid (P(G),*), das die
leere Menge als absorbierendes Element besitzt. Weiterhin ist (P(G),*) genau dann assoziativ bzw.
kommutativ, wenn (G,*) die entsprechende Eigenschaft hat.
Halbgruppe
Eine algebraische Struktur (G, •) heißt Halbgruppe, wenn gilt:
1. Assoziativgesetz
für alle a,b,c aus G: (a • b) • c = a • (b • c)
Eine idempotente Halbgruppe heißt auch ein Band, eine kommutative und idempotente Halbgruppe ein
Halbverband.
Ein Element e einer Halbgruppe (G,•) ist genau dann linksneutral, wenn es idempotent und linkskürzbar
ist. Ist nämlich e = e • e linkskürzbar, so folgt aus e •(e • a) = (e • e) • a = e • a bereits e • a = a für alle
a aus G. Umgekehrt ist ein linksneutrales Element in jedem Gruppoid linkskürzbar und idempotent.
Ein Monoid ist eine Halbgruppe mit einem Einselement, dabei fallen links- und rechtsneutrales Element
zusammen.
241
Sei M ein Monoid mit dem neutralen Element 1 und a ∈ M. Ein b ∈ M heißt rechtsinvers zu a falls ab = e;
analog heißt c ∈ M linksinvers zu a falls ca = 1.
Ist b ∈ M rechtsinvers und c ∈ M linksinvers zu a, so ist b = c.
Ist a invertierbar, so schreibt man für das Inverse a-1. Sind a, b ∈ M invertierbar, so gilt
(a-1)-1 = a
(ab)-1 = b-1 a-1
Beispiele:
Sind N die natürlichen Zahlen einschließlich der Null, so ist (N, +) ein Monoid und (N\{0}, +) ist eine
Halbgruppe. (N\{0}, •) ist ein Monoid.
Die Menge der ganzen Zahlen mit der Addition (Z, +, 0) ist ein Monoid. (Z, - 0) ist kein Monoid, da die
Subtraktion nicht assoziativ ist.
Der dreidimensionale euklidische Raum mit dem Vektorprodukt (R³, ×, 0→) ist kein Monoid, da das
Assoziativgesetz verletzt ist.
Die Menge der Vielfachen einer ganzen Zahl n (nZ, + 0) ist ein Monoid.
Die Menge der nichtnegativen rationalen Zahlen mit der Addition (Q+, +, 0) ist ebenso wie die Menge der
positiven rationalen Zahlen mit der Multiplikation ein Monoid.
Die Potenzmenge einer Menge X mit dem Durchschnitt ist ein kommutatives Monoid.
Es sei (H, •) eine Halbgruppe. Dann gilt:
(1) H besitzt höchstens ein Einselement und höchstens ein Nullelement.
(2) Hat H ein Einselement e und ist h ∈ H invertierbar, so ist das zu h inverse Element h' eindeutig
bestimmt.
Nachweis (1): Angenommen, e und e' sind Einselemente von H. Dann gilt
e • e' = e' • e = e'
wegen der Eigenschaft von e und
e • e' = e' • e = e
wegen der Eigenschaft von e'. Also e = e'. Analog folgt, dass es höchstens ein Nullelement gibt.
(2): Seien h' und h" inverse Elemente zu h. Dann gilt
h' = e • h' = (h" • h) • h' = h" • (h • h') = h" • e = h".
Unterhalbgruppe
Es sei (H, •) eine Halbgruppe und H' ⊆ H. Dann heißt H' Unterhalbgruppe von H, wenn (H', •) Halbgruppe
ist.
Abschluss
Definition: Es sei (H, •) eine algebraische Struktur mit nur einer inneren Verknüpfung und H' ⊆ H. Unter
dem Abschluss <H'> von H' versteht man die Menge aller möglichen endlichen Produkte von Elementen
aus H', d.h.
<H'> := {a1 • a2 • ... ar | r ∈ N ∧ {a1, a2, ..., ar} ⊆ H'}.
Falls (H, •) Halbgruppe, so ist <H'> die kleinste Unterhalbgruppe von H, die H' enthält.
Definitionen: Es sei (H, •) eine algebraische Struktur und H' ⊆ H. Man sagt
H' erzeugt H :⇔ <H'> = H
H ist endlich erzeugt :⇔ ∃H': <H'> = H ∧ H' endlich.
Es sei (H, •) eine algebraische Struktur und <E> = H. Gilt für beliebige x und z aus H und beliebiges e
aus E stets
x • (e • z) = (x • e) • z,
so ist (H, •) eine Halbgruppe.
Gruppe, algebraische Gruppe
Eine algebraische Struktur (G, •) heißt Gruppe, wenn G nicht leere Menge ist und es gilt:
1. Zusammensetzungsvorschrift
jedem Elementepaar a, b aus G wird ein drittes Element a • b
derselben Menge eindeutig zugeordnet, welches meist Produkt von a und b genannt wird
2. Assoziativgesetz
für alle a, b, c aus G: (a • b) • c = a • (b • c)
3. Neutrales Element in G existiert ein neutrales Element e, so dass für alle a aus G gilt: a • e = e • a =
a
4. Inverses Element
Zu jedem a aus G existiert ein a' in G, so dass a • a' = a' • a = e
3* linksseitiges Einselement
es genügt statt 3. nur die Existenz eines linksseitigen Einselementes zu
fordern, d.h. es existiert ein e in G mit e • a = a
4* linksseitiges Inverses
ebenso genügt es nur die Existenz eines linksseitigen Inversen zu fordern,
d.h. a' • a = e
Satz: Für alle a, b aus G existieren stets x, y in G mit a • x = b und y • a = b
Bei jeder Gruppe handelt es sich um ein Monoid, in dem jedes Element ein Inverses besitzt. Wie für jedes
Monoid ist daher das Einselement einer Gruppe auch eindeutig bestimmt. Das zu jedem a aus G
242
existierende inverse Element ist ebenfalls eindeutig bestimmt, denn sind a1-1 und a2-1 beide invers zu a,
so folgt aus der Assoziativität ihre Gleichheit gemäß
a1-1 = a1-1 • e = a1-1 • (a • a2-1) = (a1-1 • a) • a2-1 = e • a2-1 = a2-1
Sind a und b beliebige Elemente einer Gruppe (G,•), so sind die beiden Gleichungen
x • a = b und a • y = b
durch die Elemente x = b • a-1 und y = a-1 • b (eindeutig) lösbar.
Additive Gruppe
Bei dem Gruppenbegriff ist die Bezeichnung der Operation a • b ohne Bedeutung, d.h. die Operation kann
auch eine Addition sein. Eine Gruppe, die eine Addition als Operation beinhaltet, wird additive Gruppe
oder Modul genannt. Das Einselement wird nun Nullelement genannt.
Gruppe (2)
Man kann Gruppen als solche Halbgruppen charakterisieren, in denen jede Gleichung der Form x • a = b
und a • y = b wenigstens eine Lösung besitzt:
Ist nämlich a ein beliebiges Element aus G, so gibt es ein e aus G, das e • a = a erfüllt. Weiterhin
existiert zu jedem b aus G ein y aus G mit a • y = b. Hieraus folgt e • b = e • a • y = a • y = b, d.h., dass
e ein Linkseinselement von (G,•) ist.
Weiterhin existiert wegen (5) zu jedem a aus G ein a' aus G mit a' • a = e für dieses Linkseinselement.
Aus dieser Eigenschaft lässt sich aber nun die Gruppeneigenschaft der Halbgruppe (G,•) zeigen. Zunächst
folgt a' • a • a' = e • a' = a' und die Existenz von a'' aus G mit a'' • a' = e.
Dies impliziert a • a' = e • a • a' = a'' • a' • a • a' = a'' • a' = e und a = e • a = a • a' • a = a • e. Dies
zeigt, dass e sogar zweiseitiges Einselement von (G,•) ist und a' zweiseitiges Inverses von a. Damit ist
(G,•) Gruppe.
Die allgemeine Lösbarkeit von nur einer der beiden Gleichungen (5) führt dagegen jeweils auf eine
größere Klasse von Halbgruppen.
Morphismus (Gruppenmorphismus)
Eine Abbildung f: G → F, a → f(a) heißt Morphismus, wenn f(ab) = f(a) f(b) für alle a,b ∈ G gilt.
Kern des Morphismus
Es sei f: G → F ein Morphismus, r das Einselement von G und e' das Einselement von F. Alle Elemente
von G, die auf das Einselement von F abbilden, gehören zum Kern des Morphismus f. D.h.
ker f := {x ∈ G: f(x) = e'}
Abelsche Gruppe
Eine Gruppe heißt kommutativ oder Abelsche Gruppe, wenn
4. Kommutativgesetz: für alle a,b aus G: a o b = b o a gilt.
Beispiele: Die Menge der ganzen Zahlen mit der gewöhnlichen Addition ist eine Abelsche Gruppe. Die
Menge der Drehungen im dreidimensionalen Raum mit der Nacheinanderausführung als Verknüpfung der
Elemente ist eine nichtkommutative Gruppe.
Die Tabelle enthält die Anzahl der Abelschen Gruppen A und aller endlichen Gruppen N einer Ordnung h.
h
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
N
1
1
1
2
1
2
1
5
2
2
1
5
1
2
1
14
1
5
1
5
A
1
1
1
2
1
1
1
3
2
1
1
2
1
1
1
5
1
2
1
2
h
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
N
1
5
1
15
2
13
2
2
1
13
1
2
4
267
1
4
1
5
1
4
A
1
2
1
3
1
3
1
1
1
2
1
1
2
11
1
1
1
2
1
1
h
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
N
1
4
1
14
2
2
1
45
1
6
2
43
1
6
1
5
4
2
1
47
A
1
1
1
3
1
1
1
6
1
1
1
5
1
1
1
2
2
1
1
3
h
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
N
1
12
2
4
2
18
1
2
1
238
1
55
1
5
2
2
1
57
2
4
A
1
3
2
1
1
2
1
1
1
7
1
5
1
2
1
1
1
3
2
1
243
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
2
2
1
15
2
2
5
4
1
4
1
51
1
2
1
14
1
2
2
14
1
6
1
4
2
2
1
52
2
2
1
1
1
3
2
1
3
2
1
1
1
7
1
1
1
4
1
1
1
3
1
1
1
2
2
1
1
5
2
2
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
1
50
1
2
3
4
1
6
1
52
15
2
1
15
1
2
1
12
1
10
1
4
2
2
1
230
1
5
2
16
1
6
1
1
2
2
1
1
1
5
5
1
1
2
1
1
1
3
1
2
1
2
1
1
1
7
1
2
2
4
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
2
2
1
4
5
16
1
2328
2
4
1
10
1
2
5
15
1
4
1
11
1
2
1
197
1
2
6
5
1
13
2
1
1
2
3
2
1
15
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
2
2
1
2
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
5
4
1
4
2
42
1
2
1
37
1
4
2
12
1
6
1
4
13
4
1
1543
1
2
2
17
1
10
1
52
2
2
1
1
2
5
1
1
1
4
1
1
1
3
1
1
1
2
3
1
1
11
1
1
1
4
1
2
1
6
Die Anzahl A(n) der nicht isomorphen abelschen Gruppen der Ordnung n kann nach folgendem Verfahren
berechnet werden. Wenn
n = ∏i piαi
die Primfaktorzerlegung mit paarweise verschiedenen Primfaktoren pi ist, so gilt für die Anzahl
A(n) = ∏i P(αi)
wobei P(αi) die Anzahl der Partitionen der P(αi) ist.
Beispiel: Für die Anzahl A(n) der abelschen Gruppen der Ordnung 1008 wird
n = 24 3² 7
αi = 4, 2, 1
P(αi) = 5, 2, 1 und somit
A(35280) = 5 * 2 * 1 = 10, d.h. 10 nichtisomorphe abelsche Gruppen der Ordnung 1008.
Die kleinsten Ordnungen n, für welche A(n) = 1, 2, 3, ... nichtisomorphe abelsche Gruppen existieren,
sind damit 1, 4, 8, 36, 16, 72, 32, 900, 216, 144, 64, 1800, 0, 288, 128, ... Dabei bedeutet die 0 für
A(n) = 13, dass für keine Ordnung n existiert, für die es genau 13 verschiedenen nichtisomorphe
abelsche Gruppen existieren. Außer der 13 gibt es für A(n) = 13, 17, 19, 23, 26, 29, 31, 34, 37, 38, 39,
41, 43, 46, ... keine Ordnungen n.
Die Folge der wachsenden Werte A(n) ist 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42, 56, 77, 101, ... Diese Anzahl
abelscher Gruppen tritt erstmals für die wachsenden Ordnungen n = 1, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512,
1024, ..., also die Zweierpotenzen auf.
Zerlegungssatz von Kronecker: Jede endliche abelsche Gruppe kann als das direkte Produkt von
zyklischen Gruppen mit Primzahlpotenzordnung erzeugt werden.
Ist die Ordnung der endlichen Gruppe eine Primzahl p, so existiert damit genau eine abelsche Gruppe der
Ordnung p, konkret der Restklassengruppe Zp. Eine nichtabelsche Gruppe der Ordnung p gibt es dann
nicht.
Ist die Ordnung ein Primzahlquadrat p², so existieren zwei abelsche Gruppen Zp² und Zp ⊗ Zp. Ist die
Ordnung ein Primzahlkubus p³, so existieren drei abelsche Gruppen Zp³, Zp ⊗ Zp² und Zp ⊗ Zp ⊗ Zp.
Zusätzlich gibt es hier noch 2 nichtabelsche Gruppen. Ist die Ordnung das Produkt pq zweier Primzahlen,
so findet man genau eine abelsche Gruppe Zp ⊗ Zq, aber keine nichtabelsche Gruppe.
Überraschend ist die von Srinivasan (1973) gefundene; und noch nicht verstandene; Beziehung der
Anzahl A(n) der abelschen Gruppen der Ordnung n mit der Riemannschen Zetafunktion ζ(s):
Σ A(n) n-s = ζ(s) ζ(2s) ζ(3s) ..., Summenbildung n = 1, ..., ∞
Gruppentheorie - Begriffe
Innerhalb der Gruppentheorie werden spezielle Fachbegriffe genutzt. Eine unvollständige Auswahl ist:
abelsch
244
Abelsch heißt eine Gruppe (G,⊗), wenn die Verknüpfung ⊗ kommutativ ist, also g⊗h = h⊗g für alle g, h ∈
G. Benannt nach Niels Henrik Abel.
allgemeine lineare Gruppe GL(n,F) vom Grad n über einem Körper F
Menge aller invertierbaren n×n-Matrizen mit Koeffizienten aus F und mit der Matrixmultiplikation als
Gruppenverknüpfung.
alternierende Gruppe
Menge aller geraden Permutationen einer Menge von n Elementen; für n>2 eine nicht-triviale
Untergruppe der symmetrischen Gruppe.
Darstellung einer Gruppe vom Grad n
Ein Homomorphismus von einer Gruppe auf eine allgemeine lineare Gruppe GL(n,..) mit der Absicht, eine
abstrakte Gruppe durch invertierbare Matrizen darzustellen. Die Darstellungstheorie ist ein umfangreiches
Unterkapitel der Gruppentheorie.
direktes Produkt (bei abelschen Gruppen auch direkte Summe) zweier Gruppen G und H
Eine Gruppe, deren Elemente Paare (g,h) mit g ∈ G und h ∈ H sind.
einfache Gruppe
Einfach heißt eine Gruppe, die nur {e} und sich selbst als Normalteiler enthält. Jede endliche Gruppe ist
in gewisser Weise aus einfachen Gruppen zusammengesetzt. Die endlichen einfachen Gruppen sind
abschließend klassifiziert.
Einselement … das neutrale Element in einer Gruppe mit multiplikativ aufgefasster Verknüpfung.
endlich … heißt eine Gruppe, wenn sie endlich viele Elemente enthält.
Epimorphismus … heißt ein surjektiver Homomorphismus.
Faktorgruppe, Quotientengruppe, Restklassengruppe
Für eine Gruppe G und einen Normalteiler N von G ist die Faktorgruppe G/N die Menge der LinksNebengruppen {aN: a ∈ G} mit der Verknüpfung aN•bN = abN. Der Zusammenhang von Normalteilern,
Homomorphismen und Faktorgruppen ist im Homomorphiesatz zusammengefasst.
Grad einer Darstellung … Grad der allgemeinen linearen Gruppe, in die eine Darstellung abbildet
Grad einer linearen Gruppe … die Zahl der Spalten oder Zeilen der quadratischen Matrizen, aus denen
diese Gruppe besteht.
Homomorphiesatz
Verknüpft das Bild eines Gruppen-Homomorphismus mit der Faktorgruppe nach seinem Kern.
Homomorphismus von Gruppen
Eine Abbildung f: (G,·) → (H,×), die die Verknüpfungstafel erhält: f(a · b) = f(a) × f(b) für alle a und b
aus G.
Index einer Untergruppe … die Kardinalität der Menge der Rechts- oder Linksnebenklassen einer
Untergruppe
isomorph … heißen Gruppen, die durch einen Isomorphismus aufeinander abgebildet werden können.
Isomorphe Gruppen können als bis auf die Benennung ihrer Elemente identisch angesehen werden.
Isomorphismus von Gruppen … bijektiver, d.h. umkehrbarer Homomorphismus
Kern eines Gruppen-Homomorphismus
Die Teilmenge der Ausgangsgruppe, die auf das neutrale Element der Zielgruppe abgebildet wird. Jeder
Normalteiler ist Kern eines Gruppen-Isomorphismus und umgekehrt.
Linksnebenklassen
Linksnebenklasse zu einem Gruppenelement g ∈ G und einer Untergruppe U von G: die Menge g·U, also
die Menge aller n ∈ G, die sich als n = g·u mit u ∈ I schreiben lassen. Eine Linksnebenklasse, die zugleich
Rechtsnebenklasse ist, ist Normalteiler.
Monomorphismus heißt ein injektiver Homomorphismus.
Normalteiler
Normalteiler heißt eine Untergruppe N von G, wenn für alle n ∈ N und alle g ∈ G das konjugierte Element
g-1ng in N liegt. Ein Normalteiler ist zugleich Rechts- und Links-Nebenklasse.
Nullelement … das neutrale Element in einer Gruppe mit additiv aufgefasster Verknüpfung
Ordnung einer endlichen Gruppe … die Anzahl ihrer Elemente
245
Ordnung eines Elements g einer Gruppe G
Wenn existent, die kleinste Zahl m ∈ N+ für die gm = e. Die Ordnung einer endlichen Gruppe ist durch die
Ordnung jeden Elements teilbar
p-Gruppe … eine Gruppe mit der Eigenschaft: Die Ordnung eines jeden Elements ist eine Potenz der
Primzahl p
Permutationsgruppe … symmetrische Gruppe - oder auch deren Untergruppe, d.h. alternierende Gruppe
Punktgruppe … Symmetriegruppe eines Körpers, insbesondere eines Moleküls
Raumgruppe … Symmetriegruppe eines Kristalls
spezielle lineare Gruppe SL(n,F) vom Grad n über einem Körper F
Menge aller invertierbaren n×n-Matrizen mit der Determinante 1; Untergruppe der allgemeinen linearen
Gruppe
symmetrische Gruppe … besteht aus allen Permutationen einer Menge mit n Elementen,
Gruppenverknüpfung ist die Verkettung der Permutationen
Quelle http://de.wikipedia.org/wiki/Gruppentheorie-Glossar
Lie-Gruppe
Eine Lie-Gruppe ist eine Gruppe, die auch analytische reelle oder komplexe
Mannigfaltigkeit ist, und deren Verknüpfung eine analytische Funktion ist.
Typische Beispiele für Liesche Gruppen sind die allgemeine lineare Gruppe,
die Gruppe der invertierbaren Matrizen mit der Matrizenmultiplikation als
Verknüpfung und deren Untergruppen, zum Beispiel die Gruppe S(3) aller
Drehungen im dreidimensionalen Raum.
Der Euklidische Raum Rn mit der Vektoraddition als Gruppenoperation ist
eine reelle Lie-Gruppe.
Jede Lie-Gruppe ist eine topologische Gruppe. Man kann Lie-Gruppen auch
nach ihren algebraischen, gruppentheoretischen Eigenschaften
klassifizieren.
2007 gelang es nach fast fünf Jahren intensiver Forschung Mathematikern um Jeffrey Adams von der
University of Maryland in College Park eine der komplexesten mathematischen Strukturen zu
entschlüsseln, die Lie-Gruppe E8.
Deren Elemente beschreiben die isomorphen Drehungen eines 57-dimensionalen geometrischen Objekts.
Die Abbildung zeigt eine Veranschaulichung dieser Gruppe.
Zyklische Gruppe
Eine Gruppe G, die von genau einem Element p erzeugt wird: alle Elemente von G sind Potenzen von p.
Endlicher Fall
Zuerst nehmen wir an, die Gruppe sei endlich und ord(G) = n. Wenn n = 1 muss das erzeugende Element
a mit dem neutralen Element e der Gruppe identisch sein.
Nehmen wir jetzt n > 1 an. In G liegen dann die folgenden Elemente e = a0, a1, a2, …, an, an+1 , …
Da G endlich ist, muss ak = al für gewisse k, l ∈ N. ObdA. gelte k > l, dann ist auf Grund der
Potenzgesetze ak-l = e.
Sei m die kleinste Zahl, für die am = e. Wenn i, j < m und i ≠ j, dann gilt ai ≠ aj. Damit bildet
<a> = ({e, a, a², …, am-1}, ·)
eine Untergruppe von G. Andererseits ist G als von a erzeugte Gruppe die kleinste Untergruppe, die G
und damit <a> enthält. Es gilt also und folglich am = an = e.
Unendlicher Fall
Im Unendlichen Fall besteht die zyklische Gruppe C∞ aus den Elementen {… , a-n, …, a-2, a-1, e, a, a², …,
an, …}.
C∞ ist isomorph zur additiven Gruppe der ganzen Zahlen.
Alle zyklischen Gruppen sind abelsche Gruppen. Weiter gilt: Sei G eine Gruppe mit ord(G) = p und p eine
Primzahl, dann ist G zyklisch.
Auflösbare Gruppen
Eine Gruppe G heißt genau dann auflösbar, wenn es eine Folge
G0 ⊆ G1 ⊆ … ⊆ Gn-1 ⊆ Gn = G
von Untergruppen Gj in G gibt mit G0 = {e} und Gn = G, wobei für alle j gilt:
Gj ist Normalteiler von Gj+1 und Gj+1/Gj ist kommutativ.
Beispiele: 1) Jede kommutative Gruppe ist auflösbar.
2) Permutationsgruppen: Die kommutative Gruppe S2 ist auflösbar.
246
Die Gruppe S3 ist auflösbar, z.B. {e} ⊆ A3 ⊆ S3.
Die Gruppe S4 ist auflösbar, z.B. {e} ⊆ K4 ⊆ A4 ⊆ S4.
Man beachte ord(A3) = 3, ord(Sj/Aj) = 2 und ord(A4/K4) = 3. Da die Ordnungen Primzahlen sind, sind
diese Gruppen zyklisch und kommutativ.
3) Die Gruppe Sn ist für n ≥ 5 nicht auflösbar. Der Grund liegt in der Einfachheit der Gruppe A5.
Nach der Galoistheorie sind damit Gleichungen vom Grad ≥ 5 nicht durch geschlossene Formeln
darstellbar sind.
Quasigruppen, Loop
Fordert man die eindeutige Lösbarkeit sämtlicher Gleichungen der Form x*a = b und a*y = b dagegen
unter Verzicht auf die Assoziativität, so gelangt man zu speziellen Gruppoiden, den Quasigruppen. Besitzt
solch eine Quasigruppe ein Einselement, so spricht man von einer Loop.
Wie für jede algebraische Struktur bezeichnet man auch hier die Mächtigkeit | G | der Trägermenge G als
Ordnung der Gruppe (Quasigruppe, Loop).
Beispiele für Gruppen sind:
Die additive Gruppe (Z,+) der ganzen Zahlen mit dem neutralen Element 0. Sie ist abelsch und von
unendlicher Ordnung.
Die additiven Gruppen (Q,+), (R,+) und (C,+) der Körper der rationalen, der reellen und der komplexen
Zahlen sind ebenfalls abelsche Gruppen unendlicher Ordnung.
Die multiplikativen Gruppen (Q\{0},*), (R\{0},*) und (C\{0},*) der Körper der rationalen, der reellen
und der komplexen Zahlen sind ebenfalls abelsche Gruppen unendlicher Ordnung.
Die Menge V der Vektoren eines Vektorraumes bildet bezüglich der Addition von Vektoren eine abelsche
Gruppe (V,+). Insbesondere gehören hierzu die arithmetischen Vektorräume (Rn,+), die unendliche
Ordnung besitzen.
Die Menge T der Translationen, also der Parallelverschiebungen, eines Vektorraumes bildet bezüglich der
Hintereinanderanwendung von Abbildungen eine abelsche Gruppe (T,o)
Quasigruppen der Ordnung 3
Auf einer dreielementigen Menge G = {a, b, c} lassen sich die fünf Verknüpfungen durch ihre
jeweiligen Cayley-Tafeln definieren. Jede von ihnen liefert eine Quasigruppe, denn jedes
Element kommt in jeder Zeile und jeder Spalte genau einmal vor.
Außerdem sind alle diese Quasigruppen nicht isomorph untereinander. Andererseits existieren
genau 12 verschiedene Verknüpfungstafeln mit drei Elementen. Von diesen 12 Quasigruppen ist
jede zu genau einer der angegebenen fünf isomorph.
von oben nach unten:
1. zyklische (kommutative) Gruppe der Ordnung 3. Sie enthält genau ein idempotentes
Element, hier a
2. diese Quasigruppe ist nicht kommutativ und hat ein Linkseinselement a, das kein
Rechtseinselement ist
3. die Quasigruppe ist nicht kommutativ und hat ein Rechtseinselement a, das kein
Linkseinselement ist
4. die Quasigruppe ist idempotent und kommutativ
5. die Quasigruppe enthält kein idempotentes Element und ist kommutativ
Cayley-Tafeln
Zur Definition einer Verknüpfung * auf einer kleinen endlichen Menge G
benutzt man oft die Form einer Tabelle, eine Methode die auf Arthur Cayley
zurückgeht, der sie erstmals bei der Beschreibung von Gruppen einsetzte.
Daher werden diese Verknüpfungstafeln auch oft Cayley-Tafeln genannt.
Dabei schreibt man die Elemente der Menge G in einer festen Reihenfolge
als Kopfzeile und Kopfspalte einer quadratischen Tabelle und schreibt an den
Schnittpunkt der mit dem Element a beschrifteten Zeile und der mit dem
Element b beschrifteten Spalte dasjenige Element von G, das sich bei der Verknüpfung a*b
ergeben soll. So kann man auf der Menge G = {e, a, b, c, d} die Verknüpfung * wie folgt definieren:
Nun kann man beispielsweise aus dem Eintrag "b" in der mit "a" beschrifteten Zeile und der mit "c"
beschrifteten Spalte ablesen, dass a*c = b gelten soll. Einige Eigenschaften der Verknüpfung * kann man
leicht aus der Cayley-Tafel ablesen: Die Kommutativität zeigt sich an der Symmetrie der Tafel zur
"Hauptdiagonalen", die von links oben nach rechts unten verläuft. Sie ist im obigen Beispiel nicht
gegeben, da etwa a*c = b aber c*a = d gilt.
Die Idempotenz eines Elementes zeigt sich an seinem Auftreten auf der Hauptdiagonalen an der durch
das Element selbst bestimmten Zeile und/oder Spalte. Damit ist auch die Idempotenz der Verknüpfung
einfach zu erkennen. Im angegebenen Beispiel ist nur das Element e idempotent.
Ein neutrales Element macht sich dadurch bemerkbar, dass in "seiner" Zeile und "seiner" Spalte die
Kopfzeile bzw. die Kopfspalte wiederholt wird. Dies ist im obigen Beispiel genau für das Element e der
Fall.
247
Die Linkskürzbarkeit bzw. Rechtskürzbarkeit eines Elementes erkennt man daran, dass in seiner Zeile
bzw. seiner Spalte jedes Element von G höchstens (und damit wegen der Endlichkeit von G genau)
einmal auftritt. Sie ist im obigen Beispiel für alle Elemente gegeben und daher handelt es sich um eine
Quasigruppe, wegen des neutralen Elementes also sogar um eine Loop.
Light's-Assoziativtest
Am schwierigsten zu prüfen ist die Assoziativität. Dies geschieht durch den folgenden
Assoziativitätstest nach F. W. Light.
Für jedes Element y von G ist zu prüfen, ob für alle x, z gilt : v(x,z) = x*(y*z) = (x*y)*z
= v'(x,z), d.h., ob die beiden durch v und v' definierten Verknüpfungen auf G
übereinstimmen. Man schreibt also im Prinzip für jedes y die Verknüpfungstafel für
v(x,z)=x*(y*z) und für v'(x,z)=(x*y)*z nebeneinander und vergleicht sie anschließend.
Zur Aufstellung der Tafel für v(x,z) muss einfach nur in der Tafel für * die Spalte des
Elemente "z" durch die Spalte des Elementes "y*z" ersetzt werden. Zur Aufstellung der
Tafel für v'(x,z) muss entsprechend nur in der Tafel für * die Zeile des Elemente "x"
durch die Zeile des Elementes "x*y" ersetzt werden.
Dabei kann man sich das explizite Hinschreiben der Tafel für v'(x,z) sparen und nur
nachschauen, ob die hinzuschreibende Zeile für v'(x,z)schon in der betreffenden Zeile für
v(x,z) steht. Ist dies einmal nicht der Fall, hat man die Assoziativität von * bereits
widerlegt und auch ein Gegenbeispiel gefunden.
In dem konkreten Beispiel von oben verläuft etwa der Test für y=a wie folgt:
Man stellt die Tafel für v(x,z)=x*(a*z) auf, indem man als Kopfzeile die Zeile von "a" aus
der Tafel für * nimmt. Dies sind die Spaltenindizes a*z. Die Kopfspalte lässt man
zunächst noch leer! Nun schreibt man unter jedes Element der Kopfzeile die zugehörige Spalte aus der
Tafel für *. Damit ist die Tafel bis auf die Kopfspalte ausgefüllt.
In diese Kopfspalte schreibt man nun die Spalte von "a" aus der Tafel von *. Dies sind die Zeilenindizes
x*a. Jetzt muss man prüfen, ob die Zeile hinter jedem Element der Kopfspalte die Zeile dieses Elementes
aus der Tafel von * ist. Dies entspricht dem Vergleich mit der Tafel von v'(x,z)=(x*a)*z.
In dem Beispiel stimmt dies erstmals nicht in der Zeile von e=(a*a) und der Spalte von d=(a*b). Dort
steht ein c und es müsste ein b stehen. Man sieht also, dass (a*a)*b = e*b = b nicht gleich a*(a*b) =
a*d = c ist und die Verknüpfung * daher nicht assoziativ. Es handelt sich also um eine echte Loop, die
keine Gruppe ist. Natürlich leisten heutige Computerprogramme das Testen auf Assoziativität bedeutend
schneller als dieser Test "per Hand".
Untergruppe
Gegeben sei eine Gruppe G und eine Menge G'. Das Gebilde (eine Menge und eine Verknüpfung) G' nennt
man dann Untergruppe G' der Gruppe G, wenn das Gebilde G' folgende drei Bedingungen erfüllt:
1. G' liegt die gleiche Verknüpfung • zugrunde wie G
2. G' liegt eine nichtleere Teilmenge G' der Menge G zugrunde
3. Das Gebilde G' ist selbst wieder eine Gruppe
Aus 3. ergeben sich die Forderungen:
die Verknüpfung • muss auch in der Teilmenge G' abgeschlossen sein
zu jedem Element g' der Teilmenge G' muss ein inverses Element existieren, welches wieder in G'
liegt
ist e das neutrale Element von G, dann ist e auch das neutrale Element von G'.
Untergruppenkriterium
Eine nichtleere Teilmenge H ⊆ G ist genau dann Untergruppe von G, wenn für zwei Elemente a, b ∈ H gilt
a • b1 ∈ H
Durchschnittssatz
Der Durchschnitt beliebiger Untergruppen ist eine Untergruppe.
Beispiele
(Z, +) ist eine Untergruppe von (Q, +), die ihrerseits eine Untergruppe von (R, +) ist. (Zn, +mod n) ist für
alle n eine Untergruppe von (Z, +).
Betrachtet man alle durch 2 teilbaren Zahlen aus Z, so bilden diese bzgl. der Addition ein Gruppe, sind
also Untergruppe von (Z, +). Analoges kann man für alle durch 3, 4, … teilbaren Zahlen feststellen.
Wenn S(F) die Symmetriegruppe einer ebenen Figur ist, so bilden die Drehungen Rot(F) eine Untergruppe
zu dieser. Die Spiegelungen bilden im Allgemeinen keine Untergruppe, da man sich schon an der
Symmetriegruppe des Rechtecks klarmachen kann, dass die Hintereinanderausführung der Spiegelungen
eine Drehung ergibt.
Auch ist die Symmetriegruppe des Rechtecks eine Untergruppe der Symmetriegruppe des Quadrats.
Erzeugte Untergruppen
Sei (G, •) eine Gruppe und M ⊆ G eine nichtleere Teilmenge von G. Dann heißt <M> als Durchschnitt aller
Untergruppen, die M enthalten, die von M erzeugte Untergruppe oder das Erzeugnis von M.
248
Diese Definition ist möglich, da der Durchschnitt einer beliebigen Familie von Untergruppen wieder eine
Untergruppe ist. <M> ist die kleinste Untergruppe von G ist, die die Menge M umfasst.
Wenn e das neutrale Element ist, ist <e> die triviale Untergruppe, die nur aus dem neutralen Element
besteht. Weiterhin ist <G> = G, d.h. die ganze Gruppe erzeugt sich selbst.
Vereinigung von Untergruppen
Die Vereinigung zweier Untergruppen H1 und H2 muss nicht notwendigerweise wieder eine Untergruppe
sein.
Benutzt man jedoch die von H1 und H2 erzeugte Untergruppe <H1 ∪ H2>, so kann man auch für die
Vereinigung von Untergruppen sinnvoll eine Untergruppe definieren.
Komplexprodukt
Seien A und B zwei nichtleere Teilmengen einer Gruppe G, dann definiert man das Komplexprodukt AB
wie folgt:
AB = {a • b | a ∈ A, b ∈ B}
Das Komplexprodukt enthält damit alle Elemente aus G, die sich als Produkt von Elementen aus A und B
darstellen lassen.
Zyklische Untergruppen
Die Gruppe G selbst und {e} sind Untergruppen von G, die trivialen Untergruppen.
Außerdem bestimmt jedes Element a ∈ G eine Untergruppe, die von a erzeugte zyklische Untergruppe
< a > = {…, a-2, a-1, e, a, a1, a², …}
Ist die Gruppenoperation eine Addition, so schreibt man statt der Potenzen ak als Abkürzung für die kfache Verknüpfung von a mit sich selbst ganzzahlige Vielfache ka als Abkürzung für die k-fache Addition.
< a > ist die kleinste Untergruppe von G die a enthält. Gilt < a > = G für ein Element a aus G so heißt G
eine zyklische Gruppe. Es gibt endliche und unendliche zyklische Gruppen.
Ist die Elementeanzahl einer endlichen Gruppe G eine Primzahl, so ist G stets zyklisch.
Man kann den Begriff der zyklischen Gruppe wie folgt verallgemeinern: Ist M eine nichtleere Teilmenge
einer Gruppe G, so wird mit <M> die Untergruppe von G bezeichnet, deren Elemente sich sämtlich als
Produkt von endlich vielen Elementen aus M und deren Inversen schreiben lassen. Die Teilmenge M heißt
dann Erzeugendensystem von <M>. Besteht M nur aus einem Element, dann ist <M> zyklisch.
Zentrum einer Gruppe
Unter dem Zentrum Cent(G) einer Gruppe G versteht man alle kommutierenden Elemente.
Cent(G) = {g ∈ G | ∀a ∈ G: ag = ga}
Das Zentrum einer abelschen Gruppe ist die Gruppe insgesamt, da in ihr alle Elemente kommutieren. Das
Zentrum einer Gruppe G ist Normalteiler. Cent(G) ist eine kommutative Gruppe.
Gruppenordnung, Links- und Rechtsnebenklassen
In der Gruppentheorie wird die Elementenzahl einer endlichen Gruppe mit ord G bezeichnet. Ist die von
einem Element a einer Gruppe erzeugte zyklische Untergruppe <a> endlich, so heißt deren Ordnung auch
Ordnung des Elements a, d.h.
ord <a> = ord a
Ist U eine Untergruppe einer Gruppe (G, •) und a ∈ G, so heißen die Teilmengen
aU = {a • u | u ∈ U} bzw. Ua = {u • a | u ∈ U}
von G Linksnebenklassen bzw. Rechtsnebenklassen von U in G.
Sei H eine Untergruppe von G, a, b ∈ G und e das neutrale Element. Dann gilt
aH = bH ⇔ b-1a ∈ H ⇔ a-1b ∈ H
eH = H
a ∈ H ⇔ aH = Ha = H
Entsprechende Aussagen lassen sich auch für Rechtsnebenklassen formulieren.
Die Links- bzw. Rechtsnebenklassen bilden jeweils eine Zerlegung von G. Damit sind zwei Nebenklassen
entweder disjunkt oder sie sind gleich und jedes Gruppenelement kommt in einer Nebenklasse vor. Je
zwei Nebenklassen lassen sich bijektiv aufeinander abbilden und sind daher gleichmächtig.
Alle Links- oder Rechtsnebenklassen einer Untergruppe U in einer Gruppe G haben die gleiche Anzahl von
Elementen, nämlich ord U. Daraus ergibt sich, dass die Anzahl der Linksnebenklassen gleich der Anzahl
der Rechtsnebenklassen ist. Diese Zahl wird Index von U in G genannt. Aus den genannten Fakten ergibt
sich der Satz von Lagrange.
Satz von Lagrange
Die Ordnung einer Untergruppe ist stets Teiler der Gruppenordnung.
Im allgemeinen ist es schwierig, alle Untergruppen einer Gruppe anzugeben. Im Falle endlicher Gruppen
ist der Satz von Lagrange als notwendige Bedingung für die Existenz von Untergruppen hilfreich.
Darstellungssatz von Cayley
Zur Klassifikation von Gruppen gilt der Darstellungssatz von Cayley:
249
Jede Gruppe ist isomorph zu einer Gruppe von Permutationen. Für jede Gruppe (G; °) gibt es einen
injektiven Gruppenhomomorphismus π: G → S(G) in die symmetrische Gruppe auf G, und dessen Bild ist
eine zu G isomorphe Untergruppe der S(G).
Für a ∈ G leistet π(a) := (g ∈ G → ag ∈ G) das Gewünschte.
Normalteiler
Es seien (G; °) eine Gruppe und N ≤ G eine Untergruppe. Man nennt N einen Normalteiler oder eine
invariante Untergruppe von G, falls N unter Konjugationen mit Gruppenelementen invariant bleibt, ∀ g ∈
G: gNg-1 ⊆ N.
In einer Abelschen Gruppe ist jede Untergruppe auch Normalteiler, in einer nicht-Abelschen Gruppe im
Allgemeinen jedoch nicht. Eine Untergruppe vom Index 2 ist immer Normalteiler. Für n ∈ N bildet die
Menge An aller geraden Permutationen einen Normalteiler von Sn.
Äquivalente Bedingung für eine Untergruppe N, Normalteiler in G zu sein:
∀ g ∈ G: gN = Ng
d.h. Linksnebenklasse = Rechtsnebenklasse. Insbesondere ist die Menge aller Linksnebenklassen gleich
der Menge aller Rechtsnebenklassen.
Diese Menge G/N = { gN | g ∈ G} ist für die Struktur von Gruppen und von Gruppenhomomorphismen
besonders wichtig. Auf ihr lässt sich in natürlicher Weise eine Gruppenoperation definieren,
gN ° hN = (gh)N
womit G/N die Struktur einer Gruppe mit dem neutralen Element N erhält. Die Abbildung
π: G → G/N mit π(g) = gN
die jedem Gruppenelement seine Nebenklasse zuordnet, ist surjektiv und wird als kanonische Projektion
bezeichnet.
Einfache Gruppe
Eine Gruppe G der Ordnung n wird einfache Gruppe genannt, wenn alle ihrer Normalteiler die Ordnung 1
oder n haben. Einfache Gruppen werden in vier Typen eingeteilt:
zyklische Gruppen von Primzahlordnung
alternierende Gruppen von mindestens Ordnung 5
endliche Liesche Gruppen vom Typ Chevalley
endliche Liesche Drehgruppen der Ordnung 14, 52, 78, 133 und 248
sporadische Gruppen (26 Möglichkeiten)
1980 wurde mit dem Nachweis, dass es nur 26 sporadische Gruppen gibt, die Klassifikation der einfachen
Gruppen vervollständigt.
Sporadische Gruppe
Während die ersten vier Arten einfacher Gruppen in Serien eingeteilt werden können, sind die
sporadischen Gruppen isoliert.
Bis 1965 waren nur fünf dieser Gruppen bekannt, die alle von dem französischen Mathematiker Mathieu
zwischen 1861 und 1873 entdeckt wurden. Diese sehr speziellen Gebilde beschreiben Funktionen und
kombinatorische Strukturen in 12- und 24-dimensionalen Räumen mit besonderen
Symmetrieeigenschaften.
Interessant ist, dass die Mathieu-Gruppen die Grundlage zur Konstruktion hocheffizienter Korrekturcodes
sind. Die Ordnungen dieser Gruppen sind 7920, 95040, 443520, 10200960 und 244823040.
1965 wurde durch Janko die sechste sporadische Gruppe mit der Ordnung 175560 entdeckt. Mittlerweile
kennt man alle möglichen 26 sporadischen Gruppen. Die mit der größten Ordnung von
246 · 320 · 59 · 76 · 11² · 13³ · 17 · 19 · 23 · 29 · 31 · 41 · 47 · 59 · 71
= 808 017 424 794 512 875 886 459 904 961 710 757 005 754 368 · 109 = 8,08… · 1053
wird Monster-Gruppe genannt. Diese wurde 1982 von Robert Griess als Rotationsgruppe in einem
196883-dimensionalen Raum nachgewiesen.
Liste siehe
Liste der sporadischen Gruppen
Gruppe
Ordnung
Mathieugruppe M11
7 920
Mathieugruppe M12
95 040
Mathieugruppe M22
443 520
Mathieugruppe M23
10 200 960
Mathieugruppe M24
244 823 040
Jankogruppe J1
175 560
Jankogruppe J2
604 800
Jankogruppe J3
50 232 960
Jankogruppe J4
86 775 571 046 077 562 880
Higman-Sims-Gruppe HS
44 352 000
Conwaygruppe Co1
4 157 776 806 543 360 000
250
Conwaygruppe Co2
42 305 421 312 000
Conwaygruppe Co3
495 766 656 000
Heldgruppe He
4 030 387 200
McLaughlin-Gruppe Mc 898 128 000
SuzukigruppeSuz
448 345 497 600
Fischergruppe F22
64 561 751 654 400
Fischergruppe F23
4 089 470 473 293 004 800
Fischergruppe F24
1 255 205 709 190 661 721 292 800
Lyonsgruppe Ly
51 765 179 004 000 000
Rudvalisgruppe Ru
145 926 144 000
Baby-Monstergruppe F2
4 154 781 481 226 426 191 177 580 544 000 000
O'Nan-Gruppe ON
460 815 505 920
Thompsongruppe F3
90 745 943 887 872 000
Harada-Norton-Gruppe F5
273 030 912 000 000
Monstergruppe F1
808 017 424 794 512 875 886 459 904 961 710 757 005 754 368 000 000 000
20 der 26 sporadischen Gruppen lassen sich als Untergruppen oder Quotientengruppen von Untergruppen
der Monstergruppe auffassen. Die sechs Ausnahmegruppen sind die Jankogruppen J1, J3 und J4, die
O'Nan-Gruppe, die Rudvalisgruppe und die Lyonsgruppe.
Freie Halbgruppen
Es sei A eine beliebige nichtleere Menge, die in diesem Zusammenhang auch Alphabet genannt wird und
deren Elemente entsprechend Buchstaben heißen. Weiterhin bezeichne FA die Menge aller Worte, d.h.
aller endlichen Sequenzen (a1,...,an) von Elementen ai aus A.
Dabei ist auch das leere Wort als Sequenz der Länge 0 eingeschlossen. Für Worte (a1,...,an) und
(b1,...,bm) definiert man als innere Verknüpfung die Konkatenation gemäß
(a1,...,an)*(b1,...,bm) =(a1,...,an,b1,...,bm).
Diese Verknüpfung ist assoziativ und das leere Wort ist neutrales Element. Also ist (FA,*) ein Monoid, das
freie Monoid oder die freie Halbgruppe über A. Dieses Monoid ist genau dann kommutativ, wenn A aus
einem Element besteht.
Man schreibt ein Wort (a1,...,an) auch kurz als a1...an und lässt das Verknüpfungssymbol bei der
Konkatenation weg. Will man das leere Worte explizit ansprechen, so verwendet man meistens das
Symbol l oder auch e, das natürlich nicht schon in A vorkommen darf. Eine große Bedeutung besitzen
freie Monoide FA in der Theorie der formalen Sprachen, wo sie meistens mit A* bezeichnet werden, denn
eine formale Sprache L wird dort als beliebige Teilmenge von A* definiert.
Transformationshalbgruppen
Für eine beliebige nichtleere Menge X betrachte man die Menge TX aller Abbildungen f: X -> X von X in
sich, die Transformationen von X. Durch die Nacheinanderanwendung (f o g)(x) = f(g(x)) für alle x aus X
und alle f und g aus TX ist eine assoziative Verknüpfung o auf TX definiert.
Die identische Abbildung idX auf X, die jedes x aus X auf sich selbst
abbildet, ist neutrales Element bezüglich dieser Verknüpfung, so dass
(TX,o) ein Monoid ist.
In (TX,o) sind genau die konstanten Abbildungen cx : X -> X mit cx(y) = x
für alle y aus X und ein jeweils festes x aus X linksabsorbierend und
genau die injektiven Abbildungen linkskürzbar.
Sobald X zwei verschiedene Elemente enthält, existieren zwei
verschiedene konstante Abbildungen, und (TX,o) ist weder kommutativ
noch eine Gruppe.
Symmetrische Gruppen
Wie in jedem Monoid, so kann man auch in (TX,o) die Untergruppe der Einheiten bilden, d.h. in diesem
Fall, der invertierbaren Abbildungen f: X -> X. Diese nennt man auch die Permutationen (der Elemente)
von X und schreibt (SX,o) für diese symmetrische Gruppe auf X.
Im Fall X = {1,...,n} kürzt man dies zu (Sn,o) ab. Man sieht, dass Sn aus genau n! = 1*2*3*...*n
verschiedenen Permutationen besteht und dass diese symmetrische Gruppe für n > 2 nicht kommutativ
ist.
Die symmetrische Gruppe Sn enthält jede Gruppe der Ordnung n als Untergruppe.
Die Abbildung zeigt die Gruppentafel der symmetrischen Gruppe S3.
Permutationsgruppe
Unter einer Permutation einer Menge M versteht man die eineindeutige Abbildung der
Menge M auf sich, d.h. eine Zuordnung s, bei der jedem Element a von M ein Bild s(a)
entspricht und jedes Element von M das Bild genau eines a ist.
Ist M endlich und sind ihre Elemente mit den Nummern 1, 2, …, n versehen, so kann man jede
Permutation vollständig durch ein Schema beschreiben, in dem man unter jeder Nummer k die Nummer
s(k) des Bildelementes schreibt. (siehe Abbildung)
251
Unter dem Produkt st zweier Permutationen s und t wird diejenige Permutation verstanden, die entsteht,
wenn man zuerst die Permutation t und dann auf die Bildmenge die Permutation s ausübt, d.h.
st(a) = s(t(a))
Für drei Permuationen r, s, t gilt das Assoziativgesetz (rs) t = r (st)
Die identische Permutation I bildet jedes Element auf sich selbst ab und es gilt
I(a) = a sowie Is = s
Das Inverse einer Permutation s ist diejenige Permutation, die s(a) auf a abbildet. Bezeichnet man sie mit
s-1, so gilt
s-1s(a) = a und s-1s = I
Damit bildet die Menge der Permuationen einer Menge M mit der Produktbildung eine Gruppe, die
Permutationsgruppe.
Ist die Menge M endlich mit n Elementen, so spricht man von der symmetrischen Gruppe σn oder Sn. Der
Name wurde gewählt, weil die Funktionen, die bei allen Permutationen der Gruppe invariant bleiben, die
symmetrischen Funktionen sind.
Permutationsgruppe S3
Die Permutationsgruppe S3 bzw. symmetrische Gruppe S3 besteht aus 6
Elementen, den Permutationen einer dreielementigen Menge.
In Zyklenschreibweise ergibt sich die oben abgebildete Gruppentafel.
Der Gruppentafel entnimmt man sofort, dass die S3 isomorph zur
Diedergruppe D3 ist. Auch die Untergruppen der S3 lassen sich relativ
einfach aufklären.
Einerseits gibt es eine zur C3 isomorphe Untergruppe, die von der
Permutation (123) erzeugt wird. Diese Untergruppe ist auch genau die
alternierende Gruppe A3.
Andererseits erzeugen die Transpositionen (12), (13) und (23) zur C2
isomorphe Untergruppen.
Der Zusammenhang zwischen den einzelnen Untergruppen wird durch
den unten abgebildeten Untergruppengraphen veranschaulicht.
Permutationsgruppe S4
S4 sei die Menge aller möglichen 24 Permutationen von vier Elementen {1, 2, 3, 4}. Mit der
Nacheinanderausführung zweier Permutationen bildet S4 eine Gruppe, die Permutationsgruppe S4. Die
Permutationsgruppe S4 besitzt 30 verschiedene Untergruppen. Zwei Untergruppen G1 und G2 gehören zur
gleichen Klasse, wenn ein Element x mit G1 = x-1 G2 x existiert. Für S4 existieren 11 verschiedene
Klassen.
In der Tabelle sind alle Untergruppen mit ihren Elementen nach Klassen sortiert aufgelistet. Als
Kurzschreibweise wird [abcd] verwendet, d.h. zum Beispiel für die abgebildete Permutation [3421].
Desweiteren steht "e" für [1234], d.h. die identische Permutation.
Klasse Elementzahl Anzahl der
Klasse Elementzahl Anzahl der
Untergruppen
Untergruppen
1
1
1
2
6
2
3
3
2
4
4
3
5
3
4
6
3
4
7
1
4
8
4
6
9
3
8
10
1
12
11
1
24
Klasse
Klasse
Klasse
Klasse
Klasse
Klasse
Klasse
Klasse
1
2
3
4
5
6
7
8
Klasse 9
Klasse 10
Klasse 11
e
e [1243], e [1432], e [1324], e [4231], e [3214], e [2134]
e [2143], e [3412], e [4321]
e [1342] [1423], e [3241] [4213], e [2431] [4132], e [2314] [3124]
e [2341] [3412] [4123], e [2413] [4321] [3142], e [3421] [2143] [4312]
e [1243] [2134] [2143], e [1432] [3214] [3412], e [1324] [4231] [4321]
e [2143] [3412] [4321]
e [1243] [1324] [1423] [1342] [1432], e [1243] [3214] [4213] [3241] [4231]
e [1432] [2134] [4132] [2431] [4231], e [1324] [2134] [3124] [2314] [3214]
e [1243] [3412] [4312] [3421] [2134] [4321] [2143]
e [1432] [2143] [4123] [2341] [3214] [4321] [3412]
e [1324] [2143] [3142] [2413] [4231] [3412] [4321]
e [1342] [1423] [2143] [3124] [4132] [2431] [2314] [4213] [3241] [3412] [4321]
S4
Permutationsgruppe S5
S5 sei die Menge aller möglichen 120 Permutationen von fünf Elementen {1, 2, 3, 4,
5}. Mit der Nacheinanderausführung zweier Permutationen bildet S5 eine Gruppe, die
Permutationsgruppe S5. Die Permutationsgruppe S5 besitzt 156 verschiedene Untergruppen. Zwei
252
Untergruppen G1 und G2 gehören zur gleichen Klasse, wenn ein Element x mit G1 = x-1 G2 x existiert. Für
S5 existieren 19 verschiedene Klassen.
In der Tabelle ist jeweils eine Untergruppe mit ihren Elementen nach Klassen sortiert aufgelistet. Als
Kurzschreibweise wird [abcde] verwendet, d.h. zum Beispiel für die abgebildete Permutation [35124].
Desweiteren steht "e" für [12345], d.h. die identische Permutation.
1.
2.
12.
27.
37.
52.
67.
72.
78.
88.
98.
108.
123.
129.
144.
150.
155.
156.
e
e [12354]
e [13254]
e [12453] [12534]
e [13452] [14523] [15234]
e [12354] [13245] [13254]
e [13254] [14523] [15432]
e [23451] [34512] [45123] [51234]
e [21453] [12534] [21345] [12453] [21534]
e [12354] [12435] [12534] [12453] [12543]
e [12453] [12534] [21354] [21435] [21543]
e [12354] [14523] [15423] [14532] [13245] [15432] [13254]
e [13254] [21435] [31524] [24153] [42513] [35142] [53412] [54321] [45231]
e [12354] [21435] [21534] [21453] [12543] [21543] [12453] [12435] [21345] [21354] [12534]
e [13254] [23415] [32514] [24351] [34125] [43521] [31452] [41235] [14532] [42153] [21543]
[35241] [25134] [52431] [51324] [15423] [53142] [54213] [45312]
e [12354] [13425] [13524] [13452] [14235] [14532] [14253] [12543] [13542] [15234] [15432]
[15243] [12453] [15423] [14352] [14325] [13245] [12534] [15324] [14523] [15342] [13254]
[12435]
e [12453] [12534] [23145] [24153] [25134] [23451] [23514] [31245] [34251] [35214] [31452]
[31524] [14352] [15324] [24531] [24315] [41253] [45231] [43215] [41532] [41325] [15432]
[13425] [45312] [45123] [52431] [53412] [51423] [52314] [52143] [21543] [53124] [53241]
[34512] [32541] [34125] [42351] [15243] [54132] [25341] [25413] [51234] [54213] [51342]
[13542] [14523] [32415] [32154] [21354] [13254] [35142] [54321] [42513] [43521] [42135]
[21435] [14235] [43152] [35421]
S5
Restklassengruppe Z/(n)
Für jede natürliche Zahl n bilden die ganzzahligen Vielfachen n*Z = { g*n | g aus Z} = {...,-2*n, -n, 0,
n, 2*n,... }
eine Untergruppe der abelschen Gruppe (Z,+), denn die Differenz zweier Elemente aus n*Z liegt wieder
in (der nichtleeren Menge) n*Z. Für n = 0 bzw. n = 1 sind dies gerade die trivialen Untergruppen { 0 }
bzw. Z selbst.
Wegen der Kommutativität von (Z,+) ist jede dieser Untergruppen schon ein Normalteiler. Damit erhält
man die jeweilige Faktorgruppe (Z/n*Z,+) = (Z/(n),+), die aus den Klassen der durch n*Z bestimmten
Kongruenzrelation ~ besteht. Sie wird die Restklassengruppe Z modulo n genannt.
Dabei sind zwei Elemente a und b aus Z genau dann kongruent modulo n, wenn ihre Differenz durch n
ohne Rest teilbar ist, d.h., wenn sie beide bei Division durch n denselben ganzzahligen Rest liefern. Für n
> 0 wählt man als Repräsentanten der Klassen üblicherweise die Zahlen 0, 1, ..., n-1 und erhält so
Z/(n) = { [0]n, [1]n, ..., [n-1]n }
(Z/(n),+) hat dann die Ordnung n und damit sind für verschiedene natürliche Zahlen n und m die
Restklassengruppen (Z/(n),+) und (Z/(m),+) nicht isomorph. Außerdem ist jede dieser Gruppen zyklisch,
denn sie wird von der Restklasse [1]n erzeugt. Es gibt also zu jeder natürlichen Zahl n > 0 eine (zyklische
und damit abelsche) Gruppe der Ordnung n.
Restklassengruppe, Untergruppe
Ist (U,+) irgendeine von { 0 } verschiedene Untergruppe von der Restklassengruppe (Z,+), so gibt es
wenigstens ein von 0 verschiedenes Element u in U. Damit liegt aber auch -u in U und daher wenigstens
eine positive natürliche Zahl.
Es sei nun n die kleinste positive natürliche Zahl aus U. Dann ist n*Z schon in U enthalten. Ist nun u
irgendein Element von U, so liefert die Division mit Rest eine Zerlegung u = g*n + r mit einer ganzen
Zahl g und einem Rest 0 ≤ r < n.
Nun liegt aber r = u - g*n in U und wegen der Minimalität von n ist dies nur für r = 0 möglich, d.h. u =
g*n liegt schon in n*Z und es gilt folglich U = n*Z. Daher sind die Untergruppen n*Z bereits sämtliche
Untergruppen (und Normalteiler) von (Z,+).
Also ist nach dem Homomorphiesatz jedes homomorphe Bild von (Z,+) zu genau
einer der zyklischen Restklassengruppen (Z/(n),+) isomorph.
Gruppe euklidischer Vektoren
Grundmenge: die Menge der (euklidischen) Vektoren der Ebene
Verknüpfung: Addition zweier euklidischer Vektoren der Ebene
253
Man addiert zwei Vektoren a und b, indem man den Anfang des Vektors b an das Ende des Vektors a
verschiebt. Der Vektor a+b ist dann der Vektor, der vom Anfang vom a bis zum Ende von b reicht.
Abgeschlossenheit der Verknüpfung: Addiert man zwei Vektoren der Ebene, so ist das Ergebnis wieder
ein Vektor der Ebene.
Assoziativität: Die Addition dreier Vektoren der Ebene ist assoziativ.
Neutrales Element: Das neutrale Element ist der Nullvektor.
Inverse Elemente: Die inversen Elemente sind Vektoren mit umgekehrter Richtung.
Kommutativität: Die Vektoraddition zweier Vektoren der Ebene ist kommutativ. (Kräfteparallelogramm)
Ideale von Gruppoiden
Unter einem Linksideal eines Gruppoids (G,*) versteht man eine nichtleere Teilmenge L von G, die
(l) g*a liegt in L für alle a aus L und alle g aus G
erfüllt. Analog heißt eine nichtleere Teilmenge R von G ein Rechtsideal von (G,*), wenn
(r) a*g liegt in R für alle a aus R und alle g aus G
gilt. Ein (zweiseitiges) Ideal I von (G,*) ist eine Teilmenge von G, die sowohl Links- als auch Rechtsideal
ist.
Insbesondere ist jedes Linksideal, jedes Rechtsideal und jedes Ideal ein Untergruppoid von (G,*) und G
selbst ist stets ein Ideal von (G,*). Eine einelementige Teilmenge L = { a } ist wegen (l) genau dann
Linksideal, wenn a ein rechts-absorbierendes Element von (G,*) ist. Die analoge Aussage gilt für
Rechtsideale und linksabsorbierende Elemente.
Daher besitzt ein Gruppoid genau dann ein (einziges) einelementiges Ideal, wenn es ein absorbierendes
Element besitzt.
Dieses (nur eventuell vorhandene) Ideal und G selbst heißen die trivialen Ideale von (G,*). Ein Gruppoid,
welches nur triviale Ideale besitzt, nennt man auch ideal-einfach.
Ideale
Aus rein mengentheoretischen Definitionen folgt, dass der Durchschnitt D von beliebig vielen Linksidealen
(Rechtsidealen, zweiseitigen Idealen) von (G,*) entweder leer ist oder ein Linksideal (Rechtsideal,
zweiseitiges Ideal) von (G,*).
Daher existiert zu jeder nichtleeren Teilmenge A von G der Durchschnitt aller Linksideale Li von (G,*), die
A enthalten, und ist ein Linksideal von (G,*), das von A erzeugte Linksideal.
Es ist somit das kleinste Linksideal von (G,*), das A enthält. Analog existieren das von A erzeugte
Rechtsideal und das von A erzeugte Ideal.
Wird ein Linksideal von einer einelementigen Menge { a } erzeugt, so spricht man von einem
Hauptlinksideal (oder Linkshauptideal) und entsprechend von einem Hauptrechtsideal (oder
Rechtshauptideal) bzw. Hauptideal.
Ist das Gruppoid sogar eine Halbgruppe (S,*), so ist für jedes a aus S die Menge S*a = { s*a | s aus S }
zwar ein Linksideal von (S,*), das aber nicht unbedingt a enthält.
Dagegen ist stets S1*a = { a } ∪ S*a das von a erzeugte Hauptideal, das in vielen Fällen, z.B. für
Monoide (S,*), mit S*a übereinstimmt. Entsprechendes gilt für Rechtsideale a*S und a*S1 ={ a } ∪ a*S.
Daher ist das von a erzeugte (zweiseitige) Ideal gegeben durch S1*a*S1 = { a } ∪ a*S ∪ S*a ∪ S*a*S.
Algebraischer Ring
Ringe und Körper sind algebraische Strukturen mit zwei Operationen, allgemein einer Addition und einer
Multiplikation, wobei diese Namen nur der Anschaulichkeit halber gewählt sind.
Eine algebraische Struktur (G, +, •) mit zwei Operationen + und • heißt Ring, wenn gilt:
1. (G, +) ist Abelsche Gruppe
2. Assoziativgesetz
für alle a,b,c aus G: (a • b) • c = a • (b • c)
3. Distributivgesetz
für alle a,b,c aus G: (a + b) • c = a • b + a • c
Ein Ring heißt kommutativer Ring, falls zusätzlich das Kommutativgesetz bezüglich der zweiten Operation
gilt.
Gibt es ein neutrales Element bzgl. der Multiplikation e mit e • a = a • e = a für alle a, so spricht man von
einem Ring mit Einselement oder unitären Ring.
Beispiele:
Die Menge der ganzen Zahlen mit der gewöhnlichen Addition und Multiplikation ist ein kommutativer
Ring. Die Menge der Polynome mit der gewöhnlichen Addition und Multiplikation ist ein kommutativer
Ring.
Ist (G, +) eine abelsche Gruppe, so bilden die Endomorphismen von A einen Ring, den
Endomorphismenring End(A). Die Multiplikation • ist dabei die Komposition von Abbildungen. Für f, g ∈
End(A) sind f + g und f • g komponentenweise durch (f + g)(x) = f(x) + g(x) und (f•g)(x) = f(g(x))
definiert.
Restklassenring
Ein Restklassenring ist ein kommutativer Ring (Zn,⊕,⊗) mit Einselement, wobei die Verknüpfungen ⊕ und
⊗ die gewöhnliche Addition und Multiplikation mod n darstellen
254
Ringeigenschaften
In einem Ring R gilt für alle a, b ∈ R:
0a = a0 = a
(-a)b = a(-b) = -ab
(-a)(-b) = ab
Nachweis:
(I) 0a = (a - a)a = aa - aa = 0
(II) (-a)b = (0 - a)b = 0b - ab = 0 - ab = -ab
(III) (-a)(-b) = - (-ab) = ab
In einem unitären Ring folgt die Kommutativität der Addition aus den anderen Ringaxiomen und es gilt 1
≠ 0, wenn der Ring vom Nullring verschieden ist und 1 das neutrale Element der Multiplikation und 0 das
der Addition ist.
Nachweis: a + a + b + b = 1a + 1a + 1b + 1b = (1+1) a + (1 + 1)b = (1 + 1)(a + b) = (a + b) + (a +
b) = a + b + a + b
Addiert man nun -a von links und -b von rechts ergibt sich mit a + b = b + a die Behauptung.
Wenn R verschieden vom Nullring ist, gibt es ein 0 ≠ a ∈ R. Angenommen es ist 0 = 1, dann gilt auch 0a
= 1a, also a = 0. Widerspruch!
Nullteiler
Ein Nullteiler eines kommutativen Ringes R ist ein vom Nullelement verschiedenes Element a, für das es
ein Element b ungleich 0 gibt, so dass ab = 0, d.h.
wird a b = 0, ohne dass a = 0 oder b = 0, sind a und b Nullteiler von R
Ist R ein nichtkommutativer Ring und a ≠ 0, dann unterscheidet man zwischen:
Linksnullteiler: es gibt ein Element b ≠ 0, so dass ab = 0
Rechtsnullteiler: es gibt ein Element b ≠ 0, so dass ba = 0
beidseitiger Nullteiler: es gibt Elemente b,c ≠ 0, so dass ab = 0, ca = 0.
Ein Ring ohne einseitige oder beidseitige Nullteiler heißt nullteilerfrei.
Ein nullteilerfreier kommutativer Ring mit multiplikativem Einselement heißt Integritätsring.
Integritätsbereich, Integritätsring
Ein Integritätsring oder Integritätsbereich ist ein nullteilerfreier kommutativer Ring mit Einselement.
Integritätsringe sind Verallgemeinerungen der ganzen Zahlen und bilden den allgemeinsten Rahmen für
die Untersuchung von Teilbarkeiten.
Alternativ kann man einen Integritätsring definieren als einen kommutativen Ring mit 1, in dem das
Nullideal {0} ein Primideal ist, oder als einen Teilring eines Körpers.
Beispiele: Das bekannteste Beispiel ist der Ring Z der ganzen Zahlen.
Jeder Körper ist ein Integritätsring. Umgekehrt ist jeder artinsche Integritätsring ein Körper.
Insbesondere ist jeder endliche Integritätsring ein endlicher Körper.
Ein Polynomring ist ein Integritätsring, wenn die Koeffizienten aus einem Integritätsring stammen. Zum
Beispiel ist der Ring Z[X] der Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten ein Integritätsring, ebenso wie der
Ring R[X,Y] der reellen Polynome in zwei Variablen.
Der Ring aller reellen Zahlen der Form a+b√2 mit ganzen Zahlen a,b ist ein Integritätsring, da er Teilring
von R ist.
Ist U ⊆ C ein Gebiet; eine zusammenhängende offene Teilmenge; in den komplexen Zahlen, dann ist der
Ring H(U) der homomorphen Funktionen f: U → C ein Integritätsring.
Ist R ein kommutativer Ring und P ein Primideal in R, dann ist der Faktorring R/P ein Integritätsring. Der
Restklassenring Z/nZ ist genau dann ein Integritätsring, wenn n eine Primzahl ist.
Charakteristik eines Integritätsrings
Die Charakteristik eines Integritätsrings ist entweder 0 oder eine Primzahl.
Ist R ein Integritätsring mit der Primzahl-Charakteristik p, dann ist die Abbildung f: R → R, x ® xp ein
injektiver Ringhomomorphismus und heißt Frobeniushomomorphismus.
Teilbarkeit, Primelemente, Irreduzibilität
Sind a und b Elemente des Integritätsrings R, dann sagt man a teilt b oder a ist ein Teiler von b oder b ist
ein Vielfaches von a, wenn es ein Element x in R gibt, so dass ax = b. Man schreibt dann a | b.
Gilt a | b und b | c, dann folgt daraus a | c.
Gilt a | b, dann gilt auch a | bc für jedes c aus R, insbesondere auch a | - b.
Gilt a | b und a | c, dann gilt auch a | b + c und a | b - c.
Gilt a | b und b | a, dann heißen a und b zueinander assoziiert. a und b sind genau dann assoziiert, wenn
es eine Einheit u gibt, so dass au = b.
255
Ist q keine Einheit, dann heißt q irreduzibel, falls q nicht als Produkt zweier Nicht-Einheiten darstellbar
ist, falls also aus q = ab folgt a ∈ R* oder b ∈ R.
Ist p eine Nicht-Einheit ungleich 0, dann heißt p prim oder Primelement, falls gilt: Aus p | ab folgt p | a
oder p | b.
Ist p ein Primelement von R, dann ist das Hauptideal (p) ein Primideal.
Jedes Primelement ist irreduzibel, aber nicht immer ist jedes irreduzible Element prim. In faktoriellen
Ringen (engl. unique factorization domain, UFD) ist dagegen jedes irreduzible Element prim.
Der Begriff des Primelements verallgemeinert den Begriff der Primzahl. Primzahlen werden üblicherweise
als irreduzible Elemente von Z definiert.
Quotientenkörper
Ist R ein Integritätsring, dann existiert ein kleinster Körper Quot(R), der R als Teilring enthält. Quot(R) ist
bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt und heißt Quotientenkörper von R. Seine Elemente haben die
Form a/b mit a,b in R, b ungleich 0.
Der Quotientenkörper des Rings der ganzen Zahlen ist der Körper der rationalen Zahlen. Der
Quotientenkörper eines Körpers ist der Körper selbst.
Abstrakt definiert man Quotientenkörper durch folgende Eigenschaft:
Ein Quotientenkörper ist ein Paar (K, φ), wobei φ ein Ringhomomorphismus von R nach K ist mit der
Eigenschaft: Für jeden Körper L und Ringhomomorphismus ψ: R → L, gibt es genau einen
Körperhomomorphismus α: K → L mit ψ(x) = α(φ(x)) für alle x aus R.
Einheiten in Ringen
Ein Element a ∈ R eines unitären Ringes heißt invertierbar oder Einheit, falls es ein b ∈ R gibt mit ab = ba
= 1.
Die Menge aller invertierbaren Elemente eines unitären Rings werden mit U(R) oder R* bezeichnet. Sie
bilden eine Gruppe, die Einheitengruppe.
Ein unitärer Ring R ist genau dann ein Körper, wenn die Einheitengruppe von R alle Elemente bis auf die
0 umfasst.
Nachweis: Es ist offensichtlich, dass in einem Körper die Einheitengruppe der multiplikativen Gruppe des
Körpers entspricht. Alle von Null verschiedenen Elemente sind invertierbar.
Wenn die Einheitengruppe alle Ringelemente bis auf die 0 enthält, sind aber auch gerade die
Körperaxiome erfüllt.
Beispiele: Im Ring der ganzen Zahlen Z besteht die Einheitengruppe aus {-1, 1}.
Im Falle des Matrizenrings Mat(n x n, K) umfasst die Einheitengruppe alle invertierbaren Matrizen (det A
≠ 0). Sie heißt generelle lineare Gruppe und wird mit GL(n, K) bezeichnet.
Teilring
Eine Teilmenge T eines Ringes R heißt Teilring, wenn T bezüglich der Ringoperationen einen Ring bildet.
Analog wird ein Teilkörper definiert.
Beispiele: Z ⊆ Q ⊆ R ⊆ C ist eine Folge von Teilringen.
nZ = {na | n, a ∈ Z} sind alle Vielfachen von n. nZ ist ein Unterring von Z. Es ist 4Z ein Unterring von
2Z.
Jeder Ring R ist Teilring des Polynomrings R[X].
Primitivwurzel
Die additive Gruppe des Restklassenringes (Zn,⊕,⊗) mit den Verknüpfungen ⊕ und ⊗ ist nach Definition
zyklisch, ein erzeugendes Element ist zum Beispiel die 1. Ist die multiplikative Gruppe (Zn,⊗) auch
zyklisch, so existiert ein Element ξ, dessen Potenzen ξk sämtliche Elemente von Zn durchlaufen. Ein
solches Element ξ heißt Primitivwurzel.
Es gilt: Ist n eine Primzahl p oder Potenz einer ungeraden Primzahl, so gibt es in (Zn,⊗) mit Sicherheit
Primitivwurzeln.
Dies folgt aus einem Satz von Gauß, dass eine multiplikative Restklassengruppe Zp, bei der p Primzahl
ist, zyklisch ist. Nach einem unbewiesenen Satz von Artin gibt es unendlich viele Primzahlen deren
kleinste Primitivwurzel die 2 ist.
Die Tabelle enthält das Anwachsen der Rekordwerte für die kleinsten Primitivwurzeln kPW der Primzahlen
p (gesucht bis 160 Millionen):
p
kPW
p
kPW
p
kPW
p
kPW
3
2
7
3
23
5
41
6
71
7
191
19
409
21
2161
23
5881
31
36721
37
55441
38
71761
44
110881
69
760321
73
5109721
94
17551561
97
29418841
101
33358081
107
45024841
111
90441961
113
Nilpotenz
256
Ein Element x eines Rings R wird als nilpotent bezeichnet, wenn eine positive natürliche Zahl n existiert,
so dass
xn = 0
gilt. Ein Ideal I von R wird als nilpotent bezeichnet, wenn eine positive natürliche Zahl n existiert, so dass
In = 0 ist.
Die Definition lässt sich insbesondere auf quadratische Matrizen anwenden. Beispielsweise ist die Matrix
A = (0 10 0)
nilpotent, da A² die Nullmatrix ergibt.
Im Restklassenring Z/8Z sind die Restklassen von 0, 2, 4 und 6 nilpotent, da jeweils ihre dritte Potenz
kongruent zu 0 modulo 8 ist. In diesem Ring ist jedes Element entweder nilpotent oder Einheit.
Im Restklassenring Z/12Z sind die nilpotenten Elemente genau die Restklassen von 0 und 6.
Das Nullelement eines Ringes ist stets nilpotent, da 01 = 0 ist.
Die Menge aller nilpotenten Elemente eines kommutativen Ringes bildet ein Ideal, das so genannte
Nilradikal.
Der Durchschnitt aller Primideale in einem kommutativen Ring mit 1 ist genau das Nilradikal.
Sei im folgenden R ein Ring, a ein nilpotentes Element von R und n die kleinste natürliche Zahl mit an =
0. Ist a ≠ 0, dann ist n > 1 und a ist Nullteiler, denn aan-1 = 0 und an-1 = 0.
Ist zusätzlich R ein Ring mit 1, dann gilt: a ist bezüglich der Multiplikation nicht invertierbar, denn aus ab
= 1 für ein Ringelement b folgt der Widerspruch 0 = anb = an-1.
1-a ist invertierbar, denn es gilt (1 - a)(1 + a + a² + … + an-1) = 1 - an = 1 = (1 + a + a² + … + an-1)(1 a)
Ist b eine Einheit von R, dann ist auch b + a invertierbar.
Sei R ein Restklassenring Z/mZ und p das Produkt aller Primteiler von m, d.h. aller Primzahlen die in der
Primfaktorzerlegung von m auftreten. Dann sind die nilpotenten Elemente von R genau die Restklassen
von ganzen Zahlen, die Vielfache von p sind.
Multiplikationstafel des Restklassenrings Z6
0 1
2
0 0 0
0
1 0 1
2
2 0 2
4
3 0 3
0
4 0 4
2
5 0 5
4
Damit sind 2, 3 und 4 Nullteiler. Im Restklassenring Z7
Körper ist.
3
0
3
0
3
0
3
gibt
4
5
0
0
4
5
2
4
0
3
4
2
2
1
es keine Nullteiler, da dieser Ring sogar
Algebraischer Körper
Eine algebraische Struktur (K, +, •) heißt Körper, wenn gilt:
1. (K,+) ist Abelsche Gruppe mit dem neutralen Element 0.
2. (K\{0},•) ist kommutative Gruppe mit dem neutralen Element 1.
3. Für alle a,b,c aus K gilt das Distributivgesetz
a • (b + c) = (a • b) + (a • c)
Beispiel: Körper der reellen bzw. komplexen Zahlen
Der Begriff "Körper" wurde zuerst von Richard Dedekind (1831-1916) benutzt. Ältere Bezeichnungen
waren rationales Gebiet (ebenfalls Dedekind) und Rationalitätsbereich (Kronecker).
Schiefkörper: Eine algebraische Struktur, die alle Körperkriterien, bis auf die kommutative Multiplikation,
erfüllt, heißt Schiefkörper.
Nullteilerfreiheit: Aus a • b = 0 folgt stets a = 0 oder b = 0, d.h. die Struktur ist nullteilerfrei.
Zu beliebigen a und b aus K existiert genau ein x aus K mit a • x = b, d.h. die Division kann für a≠0
eindeutig durchgeführt werden.
Vollständigkeit eines Körpers
Eine Körper ist vollständig, wenn jede Fundamentalfolge einen Grenzwert in diesem Körper besitzt.
Beispiel: Körper der reellen Zahlen
Unterkörper und Oberkörper
Ein Unterkörper oder Teilkörper eines Körpers L ist eine Teilmenge K ⊆ L, die 0 und 1 enthält und mit den
auf K eingeschränkten Verknüpfungen selbst ein Körper ist. L wird dann Oberkörper von K genannt.
Eine Teilmenge K ⊆ L ist genau dann ein Teilkörper von L, wenn sie 0 und 1 enthält und bezüglich der
vier Verknüpfungen Addition, Multiplikation, Negation und Kehrwertbildung abgeschlossen ist, d.h. die
Verknüpfung von Elementen von K liefert wieder ein Element von K.
Zum Beispiel ist der Körper C der komplexen Zahlen ein Oberkörper des Körpers R der reellen Zahlen.
257
Primkörper
Unter einem Primkörper versteht man einen Körper, der keine echten Teilkörper enthält.
Eigenschaften von Primkörpern
Jeder Primkörper ist bis auf Isomorphie entweder Q, der Körper der rationalen Zahlen, oder ein Fp-Körper
mit p prim, d.h. ein Restklassenkörper modulo p.
Jeder Körper enthält einen Primkörper. Ist die Charakteristik des Körpers 0, so ist dessen Primkörper
isomorph zu Q, ist sie hingegen eine Primzahl p, so ist der Primkörper isomorph zu Fp. Damit kann jeder
Körper als Erweiterungskörper seines Primkörpers angesehen werden.
Galoisfelder
Genau die endlichen Schiefkörper heißen Galoisfelder. Jedes Galoisfeld ist ein Körper.
Zu jeder Primzahl p und zu n = 1, 2, … gibt es einen Körper mit pn Elementen. Auf diese Weise erhält
man alle Galoisfelder.
Zwei Galoisfelder sind genau dann isomorph, wenn sie die gleiche Anzahl von Elementen besitzen.
Geordneter Körper
Ein Körper heißt geordnet, wenn in K eine Relation "<" mit den Eigenschaften definiert ist:
(a, b, c aus K)
1. Trichotomiegesetz Es gilt entweder a < b, a = b oder a > b
2. Transitivgesetz
Aus a < b und b < c folgt a < c
3. Monotoniegesetz
Aus a < b folgt a+c < b+c
Aus a < b und 0 < c folgt a · c < b · c
Die Richtung einer Ungleichung ändert sich nicht, wenn sie auf beiden Seiten gleich viel verkleinert oder
vergrößert wird, oder wenn beide Seiten mit der gleichen positiven Zahl multipliziert oder dividiert
werden. Multipliziert oder dividiert man hingegen mit einer negativen Zahl, dreht sich das
Ungleichheitszeichen um.
Archimedisches Axiom
Zu jedem rationalen a und positivem rationalen b gibt es eine natürliche Zahl n, so dass n·b > a gilt
Archimedische geordnete Körper
Körper, die das archimedische Axiom erfüllen, heißen archimedisch geordneter Körper.
Diese Eigenschaft wird auch auf Nichtkörper erweitert. Die Menge der natürlichen Zahlen erfüllt ebenfalls
das Archimedische Axiom und ist somit auch archimedisch geordnet.
Charakteristik eines Ringes
Die Charakteristik ist eine Kennzahl eines Ringes oder Körpers. Sie gibt an, wie oft man die im Ring bzw.
Körper enthaltene Zahl 1 aufaddieren muss, um als Ergebnis 0 zu erhalten.
Die Charakteristik eines unitären Ringes R ist die kleinste natürliche Zahl n ≥ 1, für die in der Arithmetik
des Ringes die n-fache Summe des Einselementes 1 gleich dem Nullelement wird, also
Σi=1n 1 = 0
Ist jede endliche Summe von Einsen ungleich Null, wie zum Beispiel bei den reellen Zahlen, dann wird
dem Ring definitionsgemäß die Charakteristik 0 zugeordnet.
Eine übliche Abkürzung der Charakteristik von R ist char(R).
Sie Charakteristik des unitären Rings R ist der eindeutig bestimmte nichtnegative Erzeuger des Kerns des
kanonischen unitären Ringhomomorphismus Z → R.
Die Charakteristik des unitären Rings R ist die eindeutig bestimmte nichtnegative ganze Zahl n, für die R
einen unitären Teilring enthält, der isomorph zum Restklassenring Z/nZ ist.
Eigenschaften bei Ringen
Jeder unitäre Teilring S eines unitären Rings R hat dieselbe Charakteristik wie R.
Gibt es einen Ringhomomorphismus R → S zwischen zwei unitären Ringen R und S, so ist die
Charakteristik von S ein Teiler der Charakteristik von R.
Für jeden Integritätsring, und insbesondere jeden Körper, ist die Charakteristik entweder 0 oder eine
Primzahl. Im letzteren Fall spricht man auch von positiver Charakteristik.
Ist R ein unitärer Ring mit Primzahlcharakteristik p, dann gilt (x + y)p = xp + yp
für alle x, y ∈ R. Die Abbildung f: R → R, x → xp ist dann ein Ringhomomorphismus und wird FrobeniusHomomorphismus genannt.
Beispiele: Der Restklassenring Z/nZ hat die Charakteristik n. Da die komplexen Zahlen die rationalen
enthalten, ist auch ihre Charakteristik 0.
Für ein irreduzibles Polynom g vom Grad n über dem Restklassenkörper Fp ist der Faktorring Fp[X]/(g) ein
Körper, der isomorph ist zum endlichen Körper Fpn, der Fp enthält und die Charakteristik p hat.
Charakteristik eines Körpers
In jedem Körper K existieren natürliche Zahlen vermöge der Abbildung
258
i: N → K: n → i(n) = n × 1 = Σk=1n 1 = 1 + … + 1 (k-mal)
Allerdings besteht die Möglichkeit, dass ein m ∈ N existiert mit i(m) = 1 + … + 1 = 0, zum Beispiel ist im
Z2: 1 + 1 = i(2) = 0.
Die Charakteristik eines Körpers ist
χ(K) = min {m ∈ N | i(m) = Σk=1n 1 = 0 } ≥ 2 , falls ∃ m ∈ N: i(m) = 0
andernfalls χ(k) = 0
Beispiele: χ(Q) = χ(R) = χ(C) = 0 ; χ(Z2) = 2
Eigenschaften der Charakteristik
i(m + n) = i(m) + i(n) und für m > n: i(m - n) = i(m) - i(n)
χ(K) = 0 ⇔ i: N → K ist injektiv
falls χ(K) ≠ 0, so ist die Charakteristik eine Primzahl
Charakteristik bei Körpern
Jeder geordnete Körper hat die Charakteristik 0; Beispiele sind die rationalen Zahlen oder die reellen
Zahlen. Jeder Körper der Charakteristik 0 ist unendlich; er enthält einen Primkörper, der isomorph zum
Körper der rationalen Zahlen ist.
Beispiele: Es gibt unendliche Körper mit Primzahlcharakteristik; Beispiele sind der Körper der rationalen
Funktionen über Fp oder der algebraische Abschluss von Fp.
Die Mächtigkeit eines endlichen Körpers der Charakteristik p ist eine Potenz von p. Denn in diesem Fall
enthält er den Teilkörper Fp und ist ein endlichdimensionaler Vektorraum über diesem Teilkörper. In der
linearen Algebra wird gezeigt, dass die Ordnung des Vektorraums dann eine Potenz von p ist.
D.h., dass jeder endliche Vektorraum als Mächtigkeit eine Primzahlpotenz hat, da dieser dann ein
endlichdimensionaler Vektorraum über einem endlichen Körper sein muss.
Euklidischer Ring
Ein Euklidischer Ring ist ein Ring, in dem eine verallgemeinerte Division mit Rest möglich ist, wie man sie
von den ganzen Zahlen kennt.
Ein Integritätsring R, d.h. ein kommutativer, nullteilerfreier Ring mit 1; heißt euklidischer Ring, falls eine
Bewertungsfunktion
g: R\{0} → N
existiert, so dass es für Elemente x, y ∈ R mit y ≠ 0, Elemente q, r ∈ R gibt, mit x = qy + r, wobei
entweder r = 0 oder g(r) < g(y) ist.
Die Abbildung g heißt dabei Euklidische Normfunktion oder Euklidischer Betrag.
D.h., ein euklidischer Ring ermöglicht eine Division mit Rest und dadurch einen euklidischen Algorithmus
zur Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers (ggT) zweier Ringelemente. Von dieser Eigenschaft ist
der Name abgeleitet.
Ein Integritätsbereich R heißt euklidischer Ring, falls eine Bewertungsfunktion g: R → N existiert, so dass
g(0) = 0 gilt und für alle y ∈ R\{0}, x ∈ R Elemente q, r ∈ R existieren, so dass x = qy + r gilt und g(r) <
g(y) ist.
Jeder euklidische Ring besitzt eine minimale euklidische Norm. Außerdem existiert ein Algorithmus zur
iterativen Bestimmung des minimalen euklidischen Betrages in einem euklidischen Ring.
Jeder euklidische Ring ist ein Hauptidealring, denn wenn a ein minimal bewertetes Element eines Ideals I
ist, so ist I = (a), also ein Hauptideal. Insbesondere ist jeder euklidische Ring faktoriell.
Beispiele: Der Ring Z der ganzen Zahlen ist ein euklidischer Ring. Die übliche Wahl für einen euklidischen
Betrag ist x → |x|. Der minimale euklidische Betrag einer ganzen Zahl ist gegeben durch die Länge der
Binärdarstellung ihres Absolutbetrages.
Jeder Körper K ist ein euklidischer Ring mit dem euklidischen Betrag a → δ0,a, wobei δ0,a das KroneckerDelta bezeichnet. Der Polynomring K[X] über einem Körper K in einer Variablen X ist ebenfalls
euklidischer Ring.
Der Ring Z[i] der gaußschen Zahlen erklärt durch (a+bi) → a²+b² ist ein euklidischer Ring.
Dagegen ist der Polynomring Z[X] kein euklidischer Ring. Auch der Ring Z[√-3] ist nicht euklidisch, da
2+2√-3 und 4 keinen ggT haben.
Monoidring
Seien R Ring und M Monoid. Ein Monoidring ist die folgende Menge von Abbildungen
R[M] = {(am)m∈M ∈ Abb(M, R) | am = 0 für fast alle m}
mit der Zuordnungsvorschrift m ∈ M → am ∈ R.
Die am heißen Koeffizienten und nach Definition sind nur endlich viele verschieden von 0. R[M] ist Ring
mit komponentenweiser Addition:
(am)m∈M + (bm)m∈M = (am + bm)m∈M
und der Faltung als Multiplikation:
(am')m'∈M · (bm")m"∈M = Σ{(m', m")| m = m'+m"} am' · bm"
Dabei ist 0 = (0)m∈M und 1 = (am)m∈M mit am = 1 für m = 0, sonst am = 0.
Monoidringe sind eine Verallgemeinerung von Polynomringen.
R und M sind auf natürliche Weise in R[M] eingebettet.
φ: R → R[M] mit λ ∈ R, φ(λ) = λ x0 ist ein injektiver Ringhomomorphismus.
259
Durch φ wird R[M] zu einer R-Algebra. Insbesondere ist im Falle eines Körpers R = K der Monoidring K[M]
ein K-Vektorraum.
Ringideale
Es sei R ein Ring. Eine nichtleere Teilmenge I ⊆ R heißt beidseitiges Ideal oder einfach nur Ideal, falls gilt
a, b ∈ I ⇒ a + b ∈ I
r ∈ R, a ∈ I ⇒ r a ∈ I und a r ∈ I
Ein Ideal ist eine Teilmenge I, die abgeschlossen bezüglich R-Linearkombinationen ist.
Beispiele: Für jeden Ring R sind R und {0} Ideale. Für jedes Ideal I ⊆ R gilt 0 ∈ I.
Die Menge der geraden ganzen Zahlen in Z ist ein Ideal, denn die Summe zweier gerader ganzer Zahlen
ist gerade und die Multiplikation einer geraden mit einer beliebigen ganzen Zahl ist wieder gerade.
Wenn φ: R → S ein Ringhomomorphismus ist, dann ist der Kern ker φ ein Ideal.
Hauptideal, Hauptidealring
Es sei R ein Ring, a ∈ R ein Element. Dann ist
(a) = {r a | r ∈ R}
ein Ideal, das von a erzeugte Ideal. Schreibweise: (a) = aR = Ra.
Solche Ideale heißen Hauptideale. Ringe, die nur Hauptideale besitzen, heißen Hauptidealringe. Dies sind
nach Körpern die einfachsten Ringe. Jeder Körper ist Hauptidealring.
Der Ring der ganzen Zahlen Z ist ebenfalls Hauptidealring.
Maximales Ideal
Es sei R ein kommutativer Ring und M ein Ideal. Man nennet M maximal oder ein maximales Ideal, wenn
für alle Ideale I ⊆ R gilt:
aus M ⊄ I folgt I = R
D.h., ein Ideal M ist maximal, wenn es nicht echte Teilmenge eines echten Ideals von R ist.
Primideal
Ein Primideal ist eine Teilmenge eines Ringes, die viele Eigenschaften einer Primzahl hat.
Primideal eines kommutativen Ringes
Sei R ein kommutativer Ring mit 1 und P ein Ideal in R. Man nennt P Primideal oder prim, wenn für alle x,
y ∈ R gilt:
aus xy ∈ P folgt x ∈ p oder y ∈ p.
Ein Ideal P ist genau dann prim, wenn der Faktorring R/P Integritätsring ist.
für alle Ideale a, b ⊆ R gilt: a, b ⊆ P ⇒ a ⊆ P und b ⊆ P und P ≠ R
Beispiele: Die Menge 2Z der geraden ganzen Zahlen ist ein Primideal im Ring Z der ganzen Zahlen, da ein
Produkt zweier ganzer Zahlen nur dann gerade ist, wenn wenigstens ein Faktor gerade ist.
Die Menge 6Z der durch 6 teilbaren ganzen Zahlen ist kein Primideal in Z, da 2·3 = 6 in der Teilmenge
liegt, aber weder 2 noch 3. Jedes maximale Ideal ist prim.
Ein Element p ∈ R ist genau dann ein Primelement, wenn das von p erzeugte Hauptideal (p) ein Primideal
ist. Enthält ein Primideal einen Durchschnitt ∩ai von Idealen, so enthält es auch ein ai.
Primideal eines nichtkommutativen Ringes
Sei R ein Ring mit 1 und P ⊆ R ein beidseitiges Ideal in R. Man nennt P Primideal oder prim, wenn für alle
x, y ∈ R gilt: wenn für alle r ∈ R gilt, dass xry ∈ P liegt, dann ist x ∈ P oder y ∈ P.
Für einen kommutativen Ring stimmt diese Definition mit der obigen überein, für einen
nichtkommutativen unterscheiden sie sich im allgemeinen.
Algebra über einem kommutativen Ring, R-Algebra
Als Algebra über einem kommutativen Ring oder R-Algebra; wobei R ein kommutativer Ring ist;
bezeichnet man eine algebraische Struktur, die aus einem Modul über einem kommutativen Ring und
einer zusätzlichen, mit der Modulstruktur verträglichen Multiplikation besteht.
Es seien R ein kommutativer Ring und A ein R-Modul. Die Multiplikation ist eine bilineare, zweistellige
Verknüpfung
A×A→A
d.h., für beliebige Elemente x, y, z ∈ A und Skalare λ ∈ R gilt
(x + y) · z = x·z + y·z
x · (y + z) = x·y + x·z
λ (x·y) = (λ x) · y = x · (λ y)
Dabei ist weder die Assoziativität noch Kommutativität noch die Existenz eines Einselements der AlgebraMultiplikation vorausgesetzt.
Beispiel: Jeder Ring ist eine Z-Algebra, also eine Algebra über dem kommutativen Ring Z der ganzen
Zahlen.
Körpererweiterung
Sei L ein Körper, und sei K ein Unterkörper von L, dann heißt L Erweiterungskörper von K. Die
verbreitetste Schreibweise für Körpererweiterungen ist L/K, mintunter auch L | K, selten L : K.
260
Ein Körper M heißt Zwischenkörper der Körpererweiterung L/K, wenn M ein Unterkörper von L und ein
Oberkörper von K ist, also K ⊆ M ⊆ L gilt.
Körperadjunktion
Ist V eine Teilmenge von L, dann ist der Körper K(V) ("K adjungiert V") definiert als der kleinste
Teilkörper von L, der K und V enthält. Er besteht aus allen Elementen von L, die mit endlich vielen
Verknüpfungen +,-,·,/ aus den Elementen von K und V gebildet werden können. Ist L = K(V), dann sagt
man, L wird von V erzeugt.
Beispiele für algebraische Strukturen
Die Zahlenbereiche Z, Q, R und C sind bezüglich der Addition und Multiplikation kommutative Ringe mit
Einselement; Q, R und C sind sogar Körper. Die Menge der geraden ganzen Zahlen ist ein Beispiel für
einen Ring ohne Einselement. Die Menge C ist der Erweiterungskörper von R.
Die Menge Mn aller n-reihigen Matrizen über den reellen Zahlen bildet einen nichtkommutativen Ring mit
der Einheitsmatrix als Einselement.
Die Menge der reellen Polynome p(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1 x + a0 bildet bezüglich der üblichen
Addition und Multiplikation von Polynomen einen Ring, den Polynomring R[x]. Allgemeiner kann man
anstelle des Polynomringes über R auch Polynomringe über beliebigen kommutativen Ringen mit
Einselement betrachten.
Erweiterungsgrad, Grad einer Körpererweiterung
Sei L/K eine Körpererweiterung.
Man kann L als Vektorraum über K auffassen, wobei die Vektoraddition die Körper-Addition in L ist und
die Skalarmultiplikation die Körper-Multiplikation von Elementen aus L mit Elementen aus K. Die
Dimension dieses Vektorraums nennt man den Grad der Erweiterung, und schreibt [L : K].
Die Erweiterung heißt endlich oder unendlich, je nachdem ob der Grad endlich oder unendlich ist.
Zum Beispiel ist [C:R] = 2, d.h. die Erweiterung der reellen Zahlen zu den komplexen Zahlen ist endlich.
Im Gegensatz dazu ist [R:Q] = ∞.
Sind M/L und L/K Körpererweiterungen, dann ist auch M/K eine Körpererweiterung, und es gilt der
Gradsatz:
[M:K] = [M:L] · [L:K].
Dies gilt für unendliche Erweiterungen. L/K heißt dabei eine Teilerweiterung von M/K.
Minimalpolynom
Sei L/K eine Körpererweiterung und x ein Element von L. Ein Minimalpolynom m = minpolK(x) von x über
K ist definiert als normiertes Polynom kleinsten Grades mit Koeffizienten in K, das x als Nullstelle hat.
Falls ein Minimalpolynom von x existiert, ist es eindeutig bestimmt, und das Element x heißt
algebraisches Element der Erweiterung L/K oder algebraisch über K. Daher spricht man von dem
Minimalpolynom.
Falls kein Minimalpolynom von x existiert, dann heißt x transzendent über K.
Minimalpolynome sind irreduzibel über dem Grundkörper. Jedes Polynom mit Koeffizienten im
Grundkörper, das ein algebraisches Element x als Nullstelle hat, ist ein Polynomvielfaches des
Minimalpolynoms von x. Der Grad des Minimalpolynoms von x ist gleich dem Grad der einfachen
Erweiterung K(x)/K.
Beispiel: Gegeben sei die Körpererweiterung Q(i)/Q mit der imaginären Einheit i. Das Minimalpolynom
von i ist x²+1, denn es hat i als Nullstelle, ist normiert und jedes Polynom kleineren Grades wäre linear
und hätte nur eine Nullstelle in Q.
Das Polynom x³ + x ist kein Minimalpolynom irgendeines Elementes irgendeiner Erweiterung, da es sich
als (x² + 1) x darstellen lässt, und für keine seiner Nullstellen ein Polynom kleinsten Grades ist.
Körper der reellen Zahlen
Das Axiomensystem der reellen Zahlen besteht aus drei Arten von Axiomen:
Körperaxiome
Anordnungsaxiome
Vollständigkeitsaxiom
Die reellen Zahlen R werden dann als diejenige Menge charakterisiert, die obige Axiome erfüllen.
Körperaxiome
Die Körperaxiome fordern, dass es sich bei den reellen Zahlen um einen kommutativen Körper handeln
soll.
Es existieren also binäre Operationen, die Addition + und die Multiplikation ·. Es gelten folgende Gesetze
Assoziativgesetze
für alle a, b, c ∈ R gilt a + (b + c) = (a + b) + c
a · (b · c) = (a · b) · c
261
Existenz neutraler Elemente: es existieren zwei ausgezeichnete reelle Zahlen 0 und 1, so dass für alle a ∈
R gilt
a + 0 = a und a · 1 = a
Existenz inverser Elemente: zu jedem a ∈ R existiert ein -a ∈ R mit
a + (-a) = 0
Wenn a verschieden von 0 ist gibt es ein a-1; für a-1 schreibt man auch 1/a; mit a · (a-1) = 1
Kommutativgesetze
für alle a, b ∈ R gilt:
a + b = b + a und a · b = b · a
Distributivgesetz
a · (b + c) = a · b + a· c
Mit den Axiomen gelten für die reellen Zahlen alle Eigenschaften, die für alle Körper gelten. Insbesondere
sind die neutralen und inversen Elemente eindeutig bestimmt. Auf Grund dieses Axiomensystems kann
man in den reellen Zahlen wie in jedem Körper rechnen und alle bekannten Rechenregeln herleiten. U.a.
folgt sofort
Es seien a, b, x, y ∈ R, dann gilt:
x·0=0
(-x) · y = -(x·y)
-(-a) = a
Die Gleichung a + x = b hat bei gegebenen a, b genau eine Lösung x = b - a.
Die Gleichung a · x = b hat für jedes a verschieden 0 genau eine Lösung x =b·a-1 = b/a.
Es ist x·y = 0 genau dann, wenn x = 0 oder y = 0 gilt.
Die Körperaxiome liefern Aussagen über das algebraische Verhalten der reellen Zahlen. Aus der
Anschauung ist bekannt, dass die reellen Zahlen einer gewissen Anordnung unterliegen, so dass Begriffe
wie kleiner und größer einen Sinn ergeben. Diese Anordnung wird durch die folgende Gruppe von
Axiomen beschrieben.
Anordnungsaxiome
Es gibt eine Relation ≤ (kleiner gleich) in R mit folgenden Eigenschaften ≤ ist eine lineare Ordnung, d.h.
∀ x: x ≤ x (Reflexivität)
∀ x,y: x ≤ y und y ≤ x ⇒ x = y (Antisymmetrie)
∀ x,y,z: x ≤ y und y ≤ z ⇒ x ≤ z (Transitivität)
Für alle x,y gilt: x ≤ y oder y ≤ x. Zwei Zahlen sind immer vergleichbar.
In Beziehung zur Addition und Multiplikation fordert man die Gültigkeit der Monotoniegesetze:
≤ ist bzgl. der Addition monoton, d.h. ∀ a,b,c: a ≤ b ⇒ a+c ≤ b+c
≤ ist bzgl. der Multiplikation monoton; d.h. ∀ a,b,c: a ≤ b und 0 ≤ c ⇒ a·c ≤ b·c
Aus dieser Gruppe von Axiomen folgt:
1)
a ≤ b ⇒ -b ≤ -a
2)
a ≤ b und c ≤ d ⇒ a+c ≤ b ≤ d
3)
a ≠ 0 ⇒ a·a > 0
4)
a > 0 ⇒ 1/a > 0
5)
0 < a < b ⇒ 1/b < 1/a
6)
a < b und b > 0 und 0 < c < d ⇒ ac < bd
Vollständigkeitsaxiom der reellen Zahlen
Die Körperaxiome und Anordnungsaxiome genügen nicht, um die reellen Zahlen zu charakterisieren.
Auch die rationalen Zahlen sind ein Modell für dieses Axiomensystem.
Was die reellen Zahlen von den rationalen Zahlen unterscheidet ist, dass sie vollständig sind, es keine
Lücken auf der Zahlengeraden mehr gibt. Mit den Begriffen Infimum und Supremum kann die
Vollständigkeit erklärt werden.
Vollständigkeitsaxiom: Jede nichtleere nach unten beschränkte Menge reeller Zahlen besitzt ein Infimum.
oder äquivalent: Jede nichtleere nach oben beschränkte Menge besitzt ein Supremum.
Satz:
1) ist
2) ist
3) ist
4) ist
Es seien B ⊂ A ⊂ R, B ≠ ∅, dann gilt:
A beschränkt, so gilt inf A ≤ sup A
A nach oben beschränkt, so ist auch B nach oben beschränkt und sup B ≤ sup A
A nach unten beschränkt, so ist auch B nach unten beschränkt und inf A ≤ inf B
A nach oben beschränkt und γ eine obere Schranke von A, so gilt
γ = sup A ⇔ ∀ε > 0 ∃x ∈ A: x > γ-ε
ist A nach unten beschränkt und γ eine untere Schranke von A, so gilt
γ = inf A ⇔ ∀ε > 0 ∃x ∈ A: x < γ+ε
Aus dem Vollständigkeitsaxiom ergibt sich die Existenz und Eindeutigkeit von Wurzeln nichtnegativer,
reeller Zahlen.
Einzigkeit der reellen Zahlen
Die Axiome (Körperaxiome, Anordnungsaxiome und das Vollständigkeitsaxiom) verleihen dem Körper der
reellen Zahlen eine Einzigartigkeit. Bis auf ordnungserhaltende Isomorphismen ist diese Körper eindeutig
bestimmt.
Natürliche Zahlen als Teilmenge der reellen Zahlen
262
Neben dem in der Zahlentheorie üblichen Aufbau der natürlichen Zahlen mittels der Peanoschen Axiome,
können die natürlichen Zahlen N auch als Teilmenge der reellen Zahlen charakterisiert werden.
Induktive Mengen
Eine Teilmenge I ⊆ R heißt induktiv genau dann, wenn
0∈I
∀ x: x ∈ I ⇒ (x+1) ∈ I
Eine induktive Menge umfasst stets dass, was man anschaulich unter den natürlichen Zahlen versteht;
sie kann jedoch auch größer sein. Es gibt z.B. eine induktive Menge I, so dass {1/2, 3/2, …} ⊆ I ist.
J = {I: I ⊂ R, I ist induktiv} entspricht der Menge aller induktiven Mengen aus R. Man definiert die
natürlichen Zahlen N als Durchschnitt aller induktiven Teilmengen von R.
N = ∩ J = {x ∈ R: ∀ I ∈ J: x ∈ I} (1)
Es gilt: Die Menge N in (1) ist die kleinste induktive Teilmenge von N.
Dies liefert die Rechtfertigung für das Prinzip der vollständigen Induktion. Gilt eine Aussage H für 0 und
kann man aus der Gültigkeit von H auf die Gültigkeit für n+1 schließen, so gilt H für alle natürlichen
Zahlen.
Körper der algebraischen Zahlen
Die Menge der algebraischen Zahlen ist abzählbar und bildet einen Körper.
Der Körper der algebraischen Zahlen ist algebraisch abgeschlossen, d.h. jedes Polynom mit algebraischen
Koeffizienten besitzt nur algebraische Nullstellen.
Dieser Körper ist ein minimaler algebraisch abgeschlossener Oberkörper von Q und damit ein
algebraischer Abschluss von Q.
Dieser Körper hat viele Automorphismen und jeder davon liefert eine Einbettung in die komplexen Zahlen
C, d.h., es gibt keine kanonische Einbettung.
Zum Beispiel kann man die Nullstellen des Polynoms x² + 1 innerhalb des Körpers der algebraischen
Zahlen nicht voneinander unterscheiden. Somit kann man wählen, welche der beiden als imaginäre
Einheit i genutzt wird. Die andere Nullstelle dieses Polynoms ist dann eindeutig bestimmt und hat den
Wert -i.
Oberhalb des Körpers der rationalen Zahlen und unterhalb des Körpers der algebraischen Zahlen befinden
sich unendlich viele Zwischenkörper, zum Beispiel die Menge aller Zahlen der Form a + b·q, wobei a und
b rationale Zahlen sind und q die Quadratwurzel einer rationalen Zahl r ist.
Auch der Körper der mit Zirkel und Lineal aus {0, 1} konstruierbaren Punkte der komplexen Zahlenebene
ist ein solcher algebraischer Zwischenkörper.
In der Galoistheorie werden diese Zwischenkörper untersucht, um Einblicke über die Lösbarkeit oder
Nichtlösbarkeit von Gleichungen zu erhalten. Ein Resultat der Galoistheorie ist, dass zwar jede komplexe
Zahl algebraisch durch "Radikale darstellbar" ist, die man aus rationalen Zahlen durch Verwendung der
Grundrechenarten +,-,·,/ und Ziehen n-ter Wurzeln erhalten kann, umgekehrt aber algebraische Zahlen
existieren, die man nicht in dieser Weise darstellen kann. Alle diese Zahlen sind Nullstellen von
Polynomen des Grades > 4.
Algebraische Zahlen, die sogar Nullstellen eines normierten Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten
sind, heißen algebraische Ganzzahlen oder ganzalgebraische Zahlen. Die ganzalgebraischen Zahlen, die
rational sind, sind genau die ganzen Zahlen. Die ganzalgebraischen Zahlen bilden einen Unterring der
algebraischen Zahlen.
Endliche Gruppen
Eine endliche Gruppe ist eine algebraische Gruppe endlicher Ordnung, d.h. mit endlich vielen Elementen.
Typische Vertreter sind die Restklassengruppen, welche zu Restklassenkörpern oder -ringen erweitert
werden können.
Anfang 2000 ist noch keine Gleichung bekannt, mit der die Anzahl nicht isomorpher endlicher Gruppen
einer Ordnung n berechnet werden kann. Die Liste enthält eine Aufstellung der Anzahl endlicher Gruppen
einer Ordnung n. Nach A steht die Anzahl Abelscher Gruppen, nach NA nichtabelscher Gruppen. Bis zur
Ordnung 15 werden alle Gruppen genannt.
Z(n) ist die zyklische Gruppe, A(n) die alternierende Gruppe, D(n) die dihedrale Gruppe, T die kubische
Gruppe, Q die Gruppe der Quaternionen. x symbolisiert das direkte Produkt zweier Gruppen.
Ordnung
1
2
3
4
5
6
7
A
1
1
1
2
1
1
1
NA
0
0
0
0
0
1
0
Vertreter
Gruppe des Einselements
Z2
Z3
Z2 ⊗ Z2, Z4
Z5
Z 6 = Z2 ⊗ Z3, D 3
Z7
263
8
9
10
11
12
13
14
15
3
2
1
1
2
1
1
1
2
0
1
1
3
0
1
0
Z2 ⊗ Z2 ⊗ Z2, Z2 ⊗ Z4, Z 8, Q 8, D 4
Z 9, Z3 ⊗ Z3
Z 10, D 5
Z 11
Z 12, A 4, D 6, T, Z2 ⊗ Z6
Z 13
Z 14, D 7
Z 15
Isomorphietypen
Ordnung 1
Es gibt nur eine Gruppe mit einem Element, die nur aus dem neutralen Element bestehende Gruppe <e>
= (e, ·).
Eigenschaften: abelsche Gruppe, zyklische Gruppe C1
Ordnung 2
Bis auf Isomorphie gibt es nur eine Gruppe mit 2 Elementen, bestehend aus e und a, wobei gilt a² = e.
Eigenschaften: abelsche Gruppe, zyklische Gruppe C2, triviale Diedergruppe D1
Ordnung 3
Bis auf Isomorphie gibt es nur eine Gruppe mit 3 Elementen.
Eigenschaften: abelsche Gruppe, zyklische Gruppe C3
Ordnung 4
Bei den vierelementigen Gruppen gibt es zwei Isomorphietypen.
1.Zyklische Gruppe, Eigenschaften: abelsche Gruppe, zyklische Gruppe C4
2. Kleinsche Vierergruppe
Gruppe, die von zwei Elementen mit den Beziehungen a² = b² = (ab)² = e erzeugt wird.
Eigenschaften: abelsche Gruppe, Diedergruppe D2, Symmetriegruppe des Rechtecks, direktes Produkt der
zyklischen Gruppen C2 × C2
Ordnung 5
Bis auf Isomorphie gibt es nur eine Gruppe mit 5 Elementen, diese ist isomorph zur zyklischen Gruppe
mit 5 Elementen; zyklische Gruppe C5
Zyklische Gruppen
Eine Gruppe G, die nur aus den Potenzen g, g², g³, …, gn = e eines Elementes g besteht, heißt zyklische
Gruppe Zn der Ordnung n. Ein Element g, aus dessen Potenzen Zn besteht, heißt erzeugendes Element
von Zn.
Zu jeder natürlichen Zahl n gibt es genau eine zyklische Gruppe der Ordnung n. Sie ist kommutativ und
isomorph zur additiven Restklassengruppe modulo n.
Es sei G eine von g erzeugte zyklische Gruppe. Dann gelten die folgenden Aussagen:
a) Jede Untergruppe U von G ist zyklisch.
b) Hat G = {e, g, g², g3, … gn-1} die Ordnung n, so gibt es zu jeder natürlichen Zahl d, die n teilt,
genau eine zyklische Untergruppe Ud der Ordnung d von G, die von n/d erzeugt wird.
(in der Abbildung: links Struktur, rechts Multiplikationstafel)
zyklische Gruppe Z2
Z2 ist die einzige endliche Gruppe der Ordnung 2, abelsch und zyklisch.
Beispiele: Integeraddition modulo 2
Die Gruppe enthält das Einselement und ein Element A mit A² = 1
zyklische Gruppe Z3
Z3 ist die einzige Gruppe der Ordnung 3,
abelsch und zyklisch.
Beispiel: Addition natürlicher Zahlen modulo
3
Zyklische Gruppe Z4
Z4 ist eine der zwei Gruppen der Ordnung 4 (vier Elemente).
Die Gruppe ist ähnlich zur Gruppe Z2 ⊗ Z2. Sie ist abelsch, allerdings
auch zyklisch.
Beispiele: Modulo Multiplikationsgruppen M5 und M10
Die Gruppe kann durch die Zuordnung 1 = 1, A = i, B = -1 und C = -i,
als Multiplikationsgruppe der komplexen Zahlen 1, -1, i und -i
264
interpretiert werden.
Die untere Abbildung und das zugehörige Beispiel entstammen der sowjetischen mathematischen
Schülerzeitschrift "Quant" 2/87:
Betrachtet man einen Wachposten, so kann und darf dieser eigentlich nur vier Bewegungen ausführen:
90° nach links, 90° nach rechts, 180° drehen (Kehrtwendung) und natürlich Stillstehen.
Führt der Wachtposten zwei Bewegungen nacheinander aus, so ergibt sich wieder eine der vier
Bewegungen. Die zugehörige Gruppe ist gerade die zyklische Gruppe Z4, die Drehgruppe eines
Quadrates.
Kleinsche Vierergruppe
Bei dieser 4 elementigen Gruppe handelt es sich um die Diedergruppe D2, die in der Kristallografie auch
als 222 notiert wird.
In der Mathematik wird sie Kleinsche Vierergruppe V4 genannt. Diese Gruppe ist die Symmetriegruppe
des Rechtecks. Sie ist isomorph zum direkten Produkt Z2 x Z2. Die Kleinsche Vierergruppe ist die kleinste
abelsche, nicht zyklische Gruppe.
Die Gruppe wurde nach Felix Klein benannt, der sie in seinen "Vorlesungen über das Ikosaeder" 1884
Vierergruppe nannte, und wird oft mit dem Buchstaben V bezeichnet.
Die Vierergruppe tritt als Symmetriegruppe eines Rechtecks, dass kein Quadrat ist,
auf.
Die vier Elemente sind dabei: die Identität, die Spiegelung an der waagerechten
Mittelachse, die Spiegelung an der senkrechten Mittelachse und die 180°-Drehung um
den Mittelpunkt des Rechtecks. Die drei Elemente ungleich der Identität haben die
Ordnung 2.
Eine Permutationsdarstellung von V liefert die Nummerierung der Ecken eines
Rechtecks:
V = e, (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3).
In dieser Darstellung ist V die Kommutatorgruppe und damit ein Normalteiler der alternierenden Gruppe
A4 und auch Normalteiler der symmetrischen Gruppe S4.
In der Galoistheorie erklärt die Existenz der Kleinschen Vierergruppe die Existenz der Lösungsformel für
Gleichungen vierten Grades.
Die Einheitengruppe des Ringes Z/8Z, das sind die Restklassen von 1, 3, 5 und 7 unter Multiplikation
modulo 8, ist isomorph zu V.
Kleinsche Vierergruppe (2)
Die Kleinsche Vierergruppe tritt als die Symmetriegruppe eines nicht
gleichseitigen Rechtecks, d.h. kein Quadrat, auf.
Die vier Elemente sind dabei: 1 als die Identität oder Drehung um 0°, a als die
Spiegelung an der senkrechten Mittelachse, b als die Spiegelung an der
waagerechten Mittelachse, und c = ab als die 180°-Drehung um den
Mittelpunkt, die auch als Kombination der horizontalen und vertikalen Spiegelung aufgefasst werden
kann.
(A,B,C,D) → (A,B,C,D), das Element 1 darstellend
(A,B,C,D) → (B,A,D,C), das Element a darstellend
(A,B,C,D) → (D,C,B,A), das Element b darstellend
(A,B,C,D) → (C,D,A,B), das Element ab darstellend
Die Vierergruppe ist Kommutatorgruppe und ein Normalteiler der alternierenden Gruppe A4 und auch
Normalteiler der symmetrischen Gruppe S4. In der Galoistheorie erklärt die Existenz der Kleinschen
Vierergruppe die Existenz der Lösungsformel für Gleichungen vierten Grades.
Zyklische Gruppe Z5
Die Gruppe Z5 ist die einzige Gruppe der Ordnung 5,
abelsch und zyklisch.
Da die Ordnung 5 Primzahl ist, existieren außer den
trivialen Untergruppen keine anderen Untergruppen.
Z5 ist eine einfache Gruppe.
In der Kristallographie tritt sie nicht auf, da in den
dort betrachteten Symmetriegruppen keine
Drehungen der Ordnung 5 vorkommen können
Beispiel: Addition natürlicher Zahlen modulo 5
Zyklische Gruppe Z6
Z6 ist eine der zwei Gruppen der Ordnung 6.
Sie ist isomorph zur Gruppe Z2 ⊗ Z3, abelsch, zyklisch.
Beispiele: Modulo Multiplikationsgruppen M7, M9, M14; Addition natürlicher Zahlen
modulo 6
265
Restklassengruppe modulo 6 bezüglich der Addition als Verknüpfung
Z6 = {e, g, g², g³, g4, g5} = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, erzeugendes Element 1 (I)
= {0, 5, 4, 3, 2, 1}, erzeugendes Element 5 (II)
Zyklische Untergruppen
Z3 = {e, g, g²} = {0, 2, 4}, erzeugendes Element 2 = {0, 4, 2}, erzeugendes Element 4
Z2 = {e, g} = {0, 3}, erzeugendes Element 3
Restklassengruppe modulo 7 bezüglich der Multiplikation als Verknüpfung
Z6 = {e, g, g², g³, g4, g5} = {1, 3, 2, 6, 4, 5}, erzeugendes Element 3 (III)
= {1, 5, 4, 6, 2, 3}, erzeugendes Element 5 (IV)
Zyklische Untergruppen
Z3 = {e, g, g²} = {1, 2, 4} , erzeugendes Element 2 = {1, 4, 2} ,
erzeugendes Element 4
Z2 = {e, g} = {1, 6}, erzeugendes Element 6
Zyklische Gruppe von Einheitswurzeln
Die zyklische Gruppe der 6-ten Einheitswurzeln bezüglich der Multiplikation
als Verknüpfung ist isomorph zur zyklischen Gruppe Z6.
Kreisteilungsgleichung z6 = 1 , z ist komplexe Zahl
Lösungen
zk = cos (k/6 2π) + i sin (k/6 2π), k ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}
Zyklische Gruppe der Ordnung 6
Z6 = {e, g, g², g³, g4, g5} = {1, z1, z2, z3, z4, z5} Linksdrehung
= {1, z5, z4, z3, z2, z1} Rechtsdrehung
Zyklische Untergruppen
Z3 = {e, g, g²} = {1, z2, z4} Linksdrehung = {1, z4, z2} Rechtsdrehung
Z2 = {e, g} = {1, z3}
Zyklische Gruppe Z7
Z7 ist die einzige Gruppe der Ordnung 7, abelsch und zyklisch.
In der Kristallographie tritt sie nicht auf, da in den dort betrachteten
Symmetriegruppen keine Drehungen der Ordnung 7
vorkommen können
Beispiel: Addition natürlicher Zahlen modulo 7
Diedergruppe
Die n.te Diedergruppe (di-eder gesprochen) wird bezeichnet mit Dn oder D2n.
Sie ist für n > 2 geometrisch erklärt als Symmetriegruppe der Drehungen und
Spiegelungen eines regelmäßigen n-Ecks ("Dieder" = "Zweiflach").
Die Gruppe D1 besteht neben der Identität nur aus einer einzigen Spiegelung
und hat somit zwei Elemente. Die Gruppe D2 beschreibt die Symmetriegruppe eines nichtquadratischen
Rechtecks oder einer Strecke.
D3 ist die Symmetriegruppe des gleichseitigen Dreiecks, D4 die Symmetriegruppe des Quadrates.
Nach Durchnummerierung der Ecken kann man die Diedergruppe für n > 2 als Untergruppe der n.ten
symmetrischen Gruppe Sn, also als Permutationsgruppe auffassen.
Die Diedergruppe wird erzeugt von zwei Abbildungen, der Drehung um den Winkel α = 2π / n und der
Spiegelung A an der Symmetrieachse durch den Punkt 1. Die einzelnen Erzeuger erzeugen je eine
Untergruppe der Diedergruppe, die isomorph zu den zyklischen Gruppen Zn beziehungsweise Z2 sind.
Die Ordnung der n.ten Diedergruppe ist 2n.
Die durch die Permutation definierte Zahlenverknüpfung wird bei Prüfsummenverfahren als Alternative zu
diversen modulo-basierten Verfahren angewendet. Die deutschen Banknoten besaßen früher DiederPrüfsummen.
Geldschein-Prüfcode
Durch die Bundesbank der BRD wurde ein System zur Konstruktion von Prüfcodes auf Geldscheinen
genutzt, dass die Diedergruppe D5 verwendet.
Das Interessante an dieser Gruppe ist, dass sie nicht kommutativ ist. Zum Beispiel gilt 1·6 = 7 aber 6·1
= 5.
Diese Eigenschaft ist für die Erkennung von Zahlendrehern wichtig. Auf den DM-Scheinen wurde die
Prüfziffer derart gewählt, dass die Dieder-Verknüpfung aller Stellen stets 0 ergibt.
266
Außer 8 Ziffern enthalten die Prüfcodes drei Buchstaben, an der 1., 2. und 10.Stelle. Die Buchstaben
dienten ebenfalls der Absicherung gegen Fehler, besonders der letzte verhindert Dreher der letzten
beiden Positionen. Dabei wurden die Buchstaben während der Kontrolle durch Ziffern ersetzt:
A
D
G
K
L
N
S
U
Y
Z
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Um weitere Zahlendreher zu unterbinden, werden die einzelnen Ziffern permutiert. Eine Permutation, die
dies leistet, ist
p = {1, 5, 7, 6, 2, 8, 3, 0, 9, 4}.
Diese wird auf die erste Ziffer angewandt. Die Permutation für die 2. bis 10.Ziffer sind
5, 8, 0, 3, 7, 9, 6, 1, 4, 2, 8, 9, 1, 6, 0, 4, 3, 5, 2, 7, 9, 4, 5, 3, 1, 2, 6, 8, 7, 0, 4, 2, 8, 6, 5, 7, 3, 9, 0,
1, 2, 7, 9, 3, 8, 0, 6, 4, 1, 5, 7, 0, 4, 6, 9, 1, 3, 2, 5, 8, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, 5, 7, 6, 2, 8, 3, 0,
9, 4, 5, 8, 0, 3, 7, 9, 6, 1, 4, 2
Die 11.Ziffer wird nicht permutiert.
Abbildung: 10 DM-Schein mit Prüfcode
Dihedrale Gruppe D3
Die dihedrale Gruppe wird auch Diedergruppe genannt. Sie ist eine der
beiden Gruppen der Ordnung 6.
Sie ist isomorph zur symmetrischen Gruppe S3, nicht-abelsche und
nicht-kommutative Gruppe.
Sie ist die kleinste nicht-Abelsche Gruppe.
Beispiele: Symmetriegruppe des gleichseitigen
Dreiecks, Permutationsgruppe von drei Elementen
Dihedrale Gruppe D4
Eine der beiden nicht-Abelschen Gruppen der Ordnung 8, auch OktaGruppe genannt. Ist isomorph zur Symmetriegruppe des Quadrates
Untergruppen der Diedergruppe D3
Untergruppen von D3 können nach dem Satz von Lagrange nur die
Mächtigkeiten 1, 2, 3 und 6 haben, da die Mächtigkeit von D3 gleich 6
ist.
Hij sei eine Untergruppe von D3, wobei i die Mächtigkeit dieser Untergruppe bezeichnet und j der
Nummerierung dient.
Als Untergruppe mit der Mächtigkeit 1 kommt nur H1 = {e} in Frage, da das Einselement in jeder Gruppe
vorhanden sein muss.
Untergruppen mit der Mächtigkeit 2: H21 = {e,A}, H22 = {e,B}, H23 = {e,C}
Diese bestehen jeweils aus dem Einselement und einem anderem Element, das sein eigenes Inverses ist.
Diese Forderung erfüllen die Spiegelungen am gleichseitigen Dreieck.
Untergruppen mit der Mächtigkeit 3:
Würde die Untergruppe eine Spiegelung enthalten, wäre eine weitere Spiegelung für die Mächtigkeit 3
nötig. Die Verknüpfung von zwei verschiedenen Spiegelungen ergibt aber eine Drehung. Die Untergruppe
267
wäre nicht abgeschlossen. Diese Untergruppe muss daher zwei inverse Drehungen beinhalten, d.h. es ist
nur H3 {e,D,E} möglich, die Drehgruppe des regulären Dreiecks.
Von den Untergruppen von D3 sind H1, H3 und D3 selbst Normalteiler.
Bewegungsgruppe des Quadrates D4
Die Bewegungsgruppe des Quadrates ist eine nicht-Abelsche Gruppe der
Ordnung 8, auch Okta-Gruppe genannt.
Die Automorphismengruppe von D4 ist isomorph zu D4.
Die Gruppe lässt sich durch die acht Bewegungen (I, A bis G) beschreiben.
Diese affinen Bewegungen überführen das Quadrat wieder in ein kongruentes
Quadrat.
I
identische Abbildung
A
Drehung um Quadratmittelpunkt mit 90°
B
Drehung um Quadratmittelpunkt mit 180°
C
Drehung um Quadratmittelpunkt mit 270°
D
Spiegelung an Strecke EG
E
Spiegelung an Strecke AC
F
Spiegelung an Strecke FH
G
Spiegelung an Strecke BD
Die Gruppe besitzt 10 Untergruppen {I}, {I,B}, {I,D}, {I,E}, {I,F}, {I,G},
{I,A,B,C}, {I,B,D,F}, {I,B,E,G} und D4. Von diesen sind {I}, {I,B},
{I,A,B,C}, {I,B,D,F}, {I,B,E,G} und D4 Normalteiler.
dung
Gruppen der Ordnung 8
Gruppe Z2 ⊗ Z2 ⊗ Z2
eine der drei Abelschen Gruppe, der fünf Gruppen der Ordnung 8; entspricht
der Multplikationsgruppe modulo 24
Gruppe Z2 ⊗ Z4
abelsche Gruppe der Ordnung 8
entspricht den Mulitplikationsgruppen modulo 15, 16, 20 und 30
Endliche Gruppe Q8
Eine der zwei nicht-Abelschen Gruppen der
insgesamt 5 endlichen Gruppen der Ordnung 8.
Diese Gruppe hat die Multiplikationstafel der Quaternionen ± 1, ± i, ± j, ± k
und wird deshalb auch Quaternionengruppe genannt.
Quaternionen: {±E, ±I, ±J, ±K}. Jedes dieser 8 Elemente kann man mit
einer 2 x 2-Matrix identifizieren
Mit der üblichen Multiplikation von Matrizen und der Relation i² = -1 erhält
man die multiplikative Gruppe Q der Quaternionen. Für Anwendungen in der
Dynamik, Astronomie und Wellentheorie suchte Hamilton fünfzehn Jahre lang nach einer geeigneten
Multiplikation in der vierten Dimension.
Die Automorphismengruppe von Q8 ist isomorph zur symmetrischen Gruppe S4.
Auf einem Spaziergang kam ihm dann die geniale Idee, einfach auf das Kommutativgesetz zu verzichten.
Voller Begeisterung über seine Entdeckung ritzte er sofort die Formeln in den Pfeiler einer Brücke, auf der
er gerade stand. (siehe Quaternionen)
Dies war allerdings auch der Beginn einer Tragödie, denn von diesem Zeitpunkt an arbeitete er Tag und
Nacht daran, mit seinen Quaternionen den ganzen Kosmos erklären zu wollen. Er verfiel dem Alkohol,
und nach seinem Tode entdeckte man in seinem Arbeitszimmer unter Bergen mathematischer
Aufzeichnungen eine unglaubliche Menge von Tellern mit eingetrocknetem Essen.
Gruppe der Ordnung 12
Die endliche Gruppe Z2 ⊗ Z6 ist eine Gruppe der Ordnung 12 und das direkte
Produkt der zyklischen Gruppen Z2 und Z6. Sie ist eine der beiden Abelschen
Gruppen der Ordnung 12. Die andere Abelsche Gruppe dieser Ordnung ist die
zyklische Gruppe Z12.
Die Abbildung zeigt die Multiplikationstafel von Z2 ⊗ Z6, wobei die Elemente durch
unterschiedliche Farben charakterisiert werden. Restklassengruppen modulo n mit n
= 21, 28, 36 und 42 sind isomorph zu Z2 ⊗ Z6.
Die Gruppe besitzt 10 Untergruppen: die triviale Untergruppe, 3 Gruppen der
Ordnung 2, 1 der Ordnung 3, 1 der Länge 4, 3 der Länge 6 und natürlich die ganze Gruppe.
268
Weitere Gruppen der Ordnung 12 sind die abelsche, zyklische Gruppe Z12, und die nichtabelschen
Gruppen: A4 die alternierende Gruppe, D6 die dihedrale Gruppe der Ordnung 6 und eine Gruppe T, die als
semidirektes Produkt von Z4 und Z3 aufgefasst werden kann. Die dihedrale Gruppe D6 ist isomorph zu S3
x Z2 .
Gruppen der Ordnung 9
Es existieren 2 abelsche Gruppen: Z9 und Z3 x Z3.
Gruppen der Ordnung 10
Es existieren 2 Gruppen, eine abelsche Z10 und eine nichtabelsche D5.
Gruppe T der Ordnung 12
Die nichtabelsche Gruppe T der Ordnung 12 kann durch
<s, t; s6 = 1, s³ = t², sts = t>
charakterisiert werden.
T ist damit das semidirekte Produkt der zyklischen Gruppen
Z3 und Z4. Äquivalent ist auch die Definition mit
<x, y; x4 = y³ = 1, yxy = x>
Betrachtet man die Elemente der Gruppe
1 = 00 ; x = 10 ; x² = 20 ; x³ = 30 ; y = 01 ; y² =
02 ; xy = 11 ; x²y = 21 ; x3y = 31 ; xy² = 12 ; x²y² = 22 ;
x³y² = 32
ergibt sich die links stehende Gruppentafel.
Eine Matrizendarstellung ergibt sich mit
x = (0
wobei w die nichtreelle kubische Einheitswurzel ist.
i
i 0)
und y = (w 00
w²)
Endliche Gruppen der Ordnung 14 und 15
Gruppen der Ordnung 14 existieren 2, eine abelsche, die zyklische Gruppe Z14, und eine nichtabelsche,
die dihedrale Gruppe D7. Mit der Ordnung 15 gibt es nur eine Gruppe, die zyklische Gruppe Z15.
Gruppen der Ordnung 16
Folgende Gruppen der Ordnung 16 existieren:
Es gibt 14 Isomorphieklassen von Gruppen der Ordnung 16, d.h. 14 verschiedene
endliche Gruppen der Ordnung 16, 5 abelsche und 9 nichtabelsche. Folgende Gruppen der
Ordnung 16 existieren:
<16,1>:
die zyklische Gruppe Z16
<16,2>:
das direkte Produkt zyklischer Gruppen Z4 x Z4
<16,3>:
das direkte Produkt zyklischer Gruppen Z4 x Z2 x Z2
<16,4>:
das direkte Produkt zyklischer Gruppen Z2 x Z2 x Z2 x Z2
<16,5>:
das direkte Produkt zyklischer Gruppen Z8 x Z2
<16,6>:
die dihedrale Gruppe: D8 = < a,b | a² = b² = 1, (ab)8 = 1 >, Abbildung 1
<16,7>:
das direkte Produkt einer dihedralen Gruppe mit einer zyklischen Gruppe
D4 x Z2, Abbildung 2
<16,8>:
das direkte Produkt der Quaternionengruppe mit einer zyklischen Gruppe
Q x Z2, Abbildung 4
<16,9>:
die semihedrale Gruppe der Ordnung 16 mit der Darstellung <s,t: s8 = t²
= 1, st = ts³>, Abbildung 7
<16,10>:die Gruppe der Ordnung 16 mit der Darstellung < s,t: s4 = t4 = 1, st = ts³>,
Abbildung 5
<16,11>:die Gruppe der Ordnung 16 mit der Darstellung <a,b,c: a4 = b² = c² = 1,
cbca²b = 1, bab = a, cac = a>, Abbildung 6
<16,12>:die Gruppe der Ordnung 16 mit der Darstellung <s,t: s4 = t4 = 1, stst = 1, ts³
= st³>
<16,13>:die verallgemeinerte Quaternionengruppe mit der Darstellung <s,t: s8 = 1, s4 =
t², sts = t>, Abbildung 3
<16,14>:die modulare Gruppe der Ordnung 16 mit der Darstellung <s,t: s8 = t² = 1, st = ts5>
sie besitzt die Elemente sktm mit k = 0, 1, …, 7 und m = 0, 1
Gruppen der Ordnung 18
Gruppen der Ordnung 18 gibt es 5, die zwei abelschen Gruppen Z18 und Z6 x Z3 und 3 nichtabelsche:
<18,3>:
die dihedrale Gruppe D9
<18,4>:
das direkte Produkt S3 x Z3
<18,4>:
das semidirekte Produkt Z3 x Z3 mit Z2
mit der Darstellung <x,y,z: x² = y³ = z³ = 1, yz = zy, yxy = x, zxz = x>
Gruppen der Ordnung 20
269
Es gibt 5 Gruppen der Ordnung 20, zwei abelsche und 3 nichtabelsche.
<20,1>:
die zyklische Gruppe Z20
<20,2>:
das direkte Produkt zyklischer Gruppen Z10 x Z2
<20,3>:
die dihedrale Gruppe D10
<20,4>:
das semidirekte Produkt Z5 mit Z4 mit der Darstellung <s,t: s4 = t5 = 1, tst = s>
<20,5>:
die Frobenius-Gruppe der Ordnung 20 mit der Darstellung <s,t: s4 = t5 = 1, ts = st²>
diese Gruppe ist die Galois-Gruppe von x5 - 2 über den rationalen Zahlen
Gruppen der Ordnung 21
Es gibt 2 Gruppen der Ordnung 21, die abelsche Z21 und eine nichtabelsche Gruppe mit der Darstellung
<a,b: a³ = b7 = 1, ba = ab²>
diese Gruppe ist ebenfalls Frobenius-Gruppe und die Galois-Gruppe über den rationalen Zahlen von
x7 - 14x5 + 56x³ -56x + 22
Gruppen der Ordnung 22
Als Gruppen der Ordnung 22 gibt es die abelsche Gruppe Z22 und die nichtabelsche, dihedrale Gruppe D11
Gruppen der Ordnung 25
zwei abelsche Gruppen Z25 und Z5 x Z5
Gruppen der Ordnung 26
die abelsche zyklische Gruppe Z26 und die nichtabelsche dihedrale Gruppe D13
Gruppen der Ordnung 24
U.a. existieren folgende Gruppen der Ordnung 24:
<24,1>:
< a,b | a8 = 1, b³ = 1, bab = a>, Z12, Z6, Z4, Z3, Z2 sind Untergruppen
<24,2>:
die zyklische Gruppe Z24: Z24 = Z8 x Z3
<24,3>:
die lineare Gruppe über GF(3), Untergruppen Q4, Z2
SL(2,3) = < a,b | a4 = 1, a² = b², c³ = 1, aba = b , ac = cb , cab = bc >
<24,4>:
dizyklische Gruppe der Ordnung 24: Q12 = < a,b | a² = b6, b12 = 1, bab = a >
Untergruppen Z12, Q6, Z6, Z4, Z33, Z2
<24,5>:
direktes Produkt D6 x Z4 = S3 x Z4
<24,6>:
dihedrale Gruppe D24, Untergruppen sind Z12, D12, Z6, Z2 x Z2, Z3, Z2
<24,7>:
< a,b | a4 = 1, b6 = 1, bab = a >, Untergruppen D12, Z2 x Z6, Z6, Z2 x Z2, Z3, Z2
<24,8>:
< a,b,c | a³ = 1, b4 = 1, c² = 1, bcb = c, aba = b, ac = ca >
Untergruppen D12, Q6, Z2 x Z6, Z2 x Z2, Z3, Z2
<24,9>:
direktes Produkt Z12 x Z2 = Z6 x Z4 = Z4 x Z3 x Z2
<24,13>:
direktes Produkt A4 x Z2
<24,14>:
direktes Produkt D12 x Z2
<24,15>:
direktes Produkt Z6 x Z2 x Z2
Insgesamt gibt es 3 abelsche und 12 nichtabelsche Gruppen der Ordnung 24.
Gruppen der Ordnung 27
5 Gruppen, davon 3 abelsche und 2 nichtabelsche
<27,1>:
die zyklische Gruppe Z27
<27,2>:
das direkte Produkt Z9 x Z3
<27,3>:
das direkte Produkt Z3 x Z3 x Z3
<27,4>:
die nichtabelsche Gruppe mit der Darstellung <s,t: s9 = t³ = 1, st = ts4>
<27,5>:
die nichtabelsche Gruppe mit der Darstellung <x,y,z: x³ = y³ = z³ = 1, yz = zyx, xy =
yx, xz = zx>
Gruppen der Ordnung 28
<28,1>:
die zyklische Gruppe Z28
<28,2>:
das direkte Produkt Z14 x Z2
<28,3>:
die nichtabelsche dihedrale Gruppe D14
<28,4>:
das direkte Produkt dihedraler Gruppen D7 x D2
Gruppen der Ordnung 30
<30,1>:
die zyklische Gruppe Z30
<30,2>:
die nichtabelsche dihedrale Gruppe D15
<30,3>:
das direkte Produkt einer dihedralen mit einer zyklischen Gruppe D5 x Z3
<30,4>:
das direkte Produkt einer dihedralen mit einer zyklischen Gruppe D3 x Z5
Homomorphiesatz für Gruppen
Die Menge der Nebenklassen eines Normalteilers N in einer Gruppe G wird bezüglich der Operation aN ·
bN = abN zu einer Gruppe, der Faktorgruppe von G nach N, die mit G/N bezeichnet wird.
270
Der folgende Satz beschreibt einen Zusammenhang zwischen homomorphen Bildern und Faktorgruppen
einer Gruppe und wird deshalb Homomorphiesatz für Gruppen genannt:
Ein Gruppenhomomorphismus h: G1 → G2 bestimmt einen Normalteiler von G1 nämlich
ker h = {a ∈ G1 | h(a) = e}.
Die Faktorgruppe G1/ ker h ist isomorph zum homomorphen Bild
h(G1) = {h(a) | a ∈ G1}.
Umgekehrt bestimmt jeder Normalteiler N von G1 eine homomorphe Abbildung
natN: G1 → G2/N
mit natN(a) = aN. Diese Abbildung natN wird natürlicher Homomorphismus genannt.
Homomorphiesatz für Ringe
Ersetzt man im Homomorphiesatz für Gruppen den Begriff Normalteiler durch Ideal, so erhält man den
Homomorphiesatz für Ringe:
Ein Ringhomomorphismus h: R1 → R2 bestimmt ein Ideal von R1 nämlich
ker h = {a ∈ R1 | h(a) = 0}.
Die Faktorgruppe R1/ ker h ist isomorph zum homomorphen Bild
h(R1) = {h(a) | a ∈ R1}.
Umgekehrt bestimmt jedes Ideal I von R1 eine homomorphe Abbildung
natI: R1 → R2/I
mit natI(a) = a+I. Diese Abbildung natI wird natürlicher Homomorphismus genannt.
Faktorring
Zum 150.Geburtstag Dedekinds wurde die abgebildete Briefmarke in
der DDR herausgegeben. Neben dem Porträt enthält sie eine
Formel. Diese beschreibt die von Dedekind gefundene
Primfaktorzerlegung in Faktorringen.
Z ist ein faktorieller Ring, d.h. mit den Eigenschaften:
eine Menge mit kommutativer und assoziativer Addition mit Null und
inversen Elementen,
kommutativer und assoziativer Multiplikation mit Eins
Distributivgesetz, Eins und Null sind verschieden.
Nullteilerfreiheit: Aus n·m = 0 folgt n = 0 oder m = 0, d.h. "Integritätsring"
Faktorisierbarkeit: Jedes Element außer den Einheiten und der Null hat eine Zerlegung in irreduzible
Elemente, die bis auf die Multiplikation der Faktoren mit Einheiten eindeutig bestimmt ist.
In faktoriellen Ringen stimmen die irreduziblen Elemente und die Primelemente überein. Dedekind
untersuchte andere Ringe von Zahlen darauf, ob sie faktoriell sind.
Das erste Beispiel ist die Menge der Gauß'schen Zahlen Z[i], bestehend aus den komplexen
Zahlen n + m·i mit n, m ganzzahlig. Z[i] wird durch die Gitterpunkte mit ganzzahligen
Koordinatenwerten in der komplexen Zahlenebene dargestellt. Z[i] ist ein faktorieller Ring mit den
Einheiten 1, -1, i, -i . Während z.B. 3 eine Primzahl in Z[i] ist, gilt dies nicht für alle natürlichen
Primzahlen: Es ist z.B. 2 = (1+i)·(1-i) und 5 = (2+i)·(2-i), also sind 2 und 5 nicht prim in Z[i]. Die
Faktoren 1 ± i und 2 ± i sind Primzahlen, also wurden für 2 und 5 die eindeutige Primfaktorzerlegung
angegeben. Diese gilt aber nur bis auf die Multiplikation der Faktoren mit Einheiten; es gilt auch 5 = (1+2i)·(-1-2i).
Das zweite Beispiel sein Z[d]; hier soll d für i·√5 stehen. Z[d] besteht aus allen
Zahlen n + m·i·√5 mit n, m ganzzahlig und wird ebenfalls durch ein Gitter in der komplexen Zahlenebene
dargestellt; 1 und -1 sind die einzigen Einheiten. Auch in Z[d] lassen sich die Zahlen irreduzibel
faktorisieren, aber hier gilt nicht mehr die Eindeutigkeit. So ist z.B. 6 = 2·3 = (1+d)·(1-d). Alle vier
Faktoren sind irreduzibel, aber nicht prim. Z[d] ist also kein faktorieller Ring.
Dedekind fand einen Weg, eindeutige Primfaktorzerlegungen auch für Z[d] und andere Ringe ganzer
Zahlen zu ermöglichen, allerdings nicht für Zahlen, sondern für Ideale. Echte Ideale sind von {0} und
vom Ring verschieden. Ein Ideal p heißt Primideal, wenn aus x1·x2 in p folgt, dass x1 oder x2 in p liegt.
In Z und Z[i] sind die Primideale genau die durch jeweils eine Primzahl erzeugten Ideale. Darauf bezieht
sich der auf Richard Dedekind zurückgehende Satz:
In Z[d] und anderen Ringen ganzer Zahlen in imaginär-quadratischen Zahlkörpern lässt sich jedes echte
Ideal a eindeutig als endliches Produkt von Primidealen pi darstellen: a = p1^e1 p2^e2 ... pk^ek.
Da Z[d] nicht faktoriell ist, gibt es hier im allgemeinen keine eindeutige Zerlegung in Ideale, die nur von
einer einzigen Zahl erzeugt werden.
Algebraischer Modul
Ist R ein Ring und (V,+) eine abelsche Gruppe, so heißt V R-Modul oder Modul über R, wenn gilt
(R...Skalare , V...Vektoren):
∀α, β ∈ R, ∀x ∈ V:
(α + β) x = α x + β x
∀α ∈ R, ∀x, y ∈ V:
α (x + y) = α x + α y
∀α, β ∈ R, ∀x ∈ V:
α (β x) = (α β) x
∀x ∈ V: 1 x = x
271
Falls R ein Körper ist, so heißt V R-Vektorraum oder Vektorraum über R.
Untermodul
Aus x, y ∈ V' und α ∈ R folgt stets x + y ∈ V' und α x ∈ V'
Aus x, y ∈ V' und α, β ∈ R folgt stets α x + β y ∈ V'
Zahlbereiche (algebraische Strukturen)
Der Teilbereich der gebrochenen Zahlen der Form (k/1) ist dem Bereich der natürlichen Zahlen
hinsichtlich Rechenoperationen und Ordnung isomorph.
Der Bereich der positiven rationalen Zahlen ist dem Bereich der absoluten rationalen Zahlen hinsichtlich
Rechenoperationen und Ordnung isomorph.
Zahlkörper
Die rationalen Zahlen bilder einen archimedisch geordneten Körper.
Der Körper der reellen Zahlen enthält einen Teilkörper, welcher dem Körper der rationalen Zahlen
hinsichtlich Operationen und Ordnung isomorph ist.
Restklassenkörper
ist n Primzahl, so ist der Restklassenring Zn nullteilerfrei und Körper
Diskretes Logarithmusproblem
diskrete Exponentiation y = ax (mod p) ist innerhalb eines endlichen Körpers effizient ausführbar
... die Ermittlung des Index x von y zur Basis a heißt diskreter Logarithmus
... heute (1998) nicht in polynomialer Zeit ausführbar
... im Jahr 1801 veröffentlichte Gauß Tafeln bis p<100
... der Algorithmus von Gordan mit exponentiellen Aufwand benötigt für p mit 512 Bit ca. 108 Jahre
Index-Calculus-Algorithmus
Der Index-Calculus-Algorithmus ist ein Algorithmus zur Berechnung des diskreten Logarithmus
x = logα β
Es sei G eine endliche zyklische Gruppe der Ordnung n, die durch α erzeugt wird.
Es sei S = p1, p2, …, pt, die Faktorbasis, eine Untermenge von G mit der Eigenschaft, dass ein
bedeutender Teil der Gruppenelemente sich als Produkt der Elemente S schreiben lässt.
1. Schritt: Es wird eine Zufallszahl a gewählt und versucht α a als Produkt der Elemente aus der
Faktorbasis S zu schreiben:
αa = Πi=1t piλi
Wenn eine entsprechende Darstellung gefunden wurde kann eine lineare Kongruenz gebildet werden.
a ≡ Σi=1t λi logα pi mod n
Wenn eine genügend große Anzahl, mehr als t, an Relationen gefunden wurde, kann erwartet werden,
dass das zugehörige lineare Gleichungssystem eine eindeutige Lösung für die Unbekannten logα pi mit 1 ≤
i ≤ t besitzt.
2. Schritt: In diesem Schritt werden die individuelle Logarithmen in G berechnet. β ∈ G ist gegeben.
Es werden solange Zufallszahlen s gewählt, bis αs β sich als Produkt von Elementen aus S schreiben lässt
αs β = Πi=1t pibi
Es gilt: logα β = Σi=1t bi logα pi - s mod n
Quelle http://de.wikipedia.org/wiki/Index-Calculus-Algorithmus
Babystep-Giantstep-Algorithmus
Der Babystep-Giantstep-Algorithmus berechnet den diskreten Logarithmus eines Elements einer
zyklischen Gruppe. Der Algorithmus ist laufzeitmäßig dem Ausprobieren aller Möglichkeiten überlegen,
aber dennoch für sehr große Gruppen praktisch nicht durchführbar.
Sei G = <g> eine endliche zyklische Gruppe der Ordnung n und m = [√n]. a sei ein Gruppenelement, x =
logga der diskrete Logarithmus von a zur Basis g, d.h. die modulo n eindeutig bestimmte Zahl mit a = gx.
Mit Division mit Rest gibt es dann eindeutige 0 ≤ i, j < m mit x = im + j. Es gilt a = gx = gim + j, und damit
gj = ag-im.
Der Algorithmus berechnet gj für alle j und danach ag-im für wachsendes i, bis der Wert einem gj
entspricht. Damit ergibt sich x = im + j.
Algorithmus
Eingabe: Endliche zyklische Gruppe G, Erzeuger g, Gruppenelement a
Ausgabe: x = logga mit gx = a
Berechne n = | G |
Für alle j ∈ {0, …, m-1}: Berechne gj und speichere (j,gj) in einer Tabelle.
Für alle i ∈ {0, …, m-1}: Berechne a(g-m)i und suche danach in der zweiten Spalte der Tabelle. Wenn
gefunden, gib im + j aus.
Wegen a(g-m)i = a(g-m)i-1 g-m lässt sich das Gruppenelement im letzten Schritt aus dem der
vorhergehenden Iteration berechnen.
272
Für die Datenhaltung von (j,gj) empfiehlt es sich, eine Hashtabelle zu verwenden, wobei der Hash-Wert
von gj berechnet wird. Sowohl Zeit- als auch Platzkomplexität liegen in O(√n).
Prinzip der kleinsten Zahlen
Für einen Zahlenbereich gilt das Prinzip der kleinsten Zahl, wenn jede nichtleere Teilmenge aus diesem
Zahlenbereich eine kleinste Zahl besitzt
Permanenzprinzip bei Zahlbereichserweiterungen
Hermann Hankel formulierte 1867 das Prinzip von der Erhaltung der formalen Rechengesetze.
Es besagt, dass bei Erweiterungen eines Zahlbereiches die Rechengesetze des Ausgangsbereiches nach
Möglichkeit auch im erweiterten Bereich gelten sollen. Diese Forderung wird Permanenzprinzip genannt.
Dabei handelt es sich weder um ein Axiom noch um einen Satz mit Beweiskraft, sondern um ein Prinzip.
Es kann auch nicht erreicht werden, dass alle Gesetze des Ausgangsbereiches im erweiterten Zahlbereich
unverändert gelten.
Z.B. existieren im Bereich der komplexen Zahlen keine Monotoniegesetze mehr, da eine Größenrelation
bei komplexen Zahlen nicht definiert werden kann.
Betrachtet man den Aufbau der Zahlenbereiche mengentheoretisch, so bedeutet dies, dass der neue
Bereich den vorhergehenden Zahlenbereich als Teilmenge enthalten sollte.
Ganze Zahlen als Paare natürlicher Zahlen
Entsprechend dem Permanenzprinzip erweitert man zum Beispiel die natürlichen Zahlen zu den ganzen
Zahlen, indem jede ganze Zahl einem Paar natürlicher Zahlen (a, b) mit den Eigenschaften
die natürliche Zahl a = (a+b, b)
die Null 0 = (b, b)
die negative Zahl -a = (b, a+b)
entspricht. Die Grundoperationen werden dann
(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d)
(a,b) · (c,d) = (ac +bd, ad + bc)
(a,b) < (c,d) falls (a+d < b+c
Galoistheorie, Galois-Gruppe
Zusammenstellung einfacher Definitionen und Sätze des Galois-Theorie
Zur Untersuchung der Wurzeln eines Polynoms f(x) = 0 werden der Körper K, der durch die Koeffizienten
des Polynoms f(x) erzeugt wird, und der Zerfällungskörper F von f(x) über K betrachet.
Ist F eine Körpererweiterung von K. Die Menge der Automorphismen φ: F -> F, so dass φ(a) = a für alle a
von K ist, bildet mit der Nacheinanderausführung von Funktionen eine Gruppe.
Definition: Ist F eine erweiterung des Körper K, so heißt die Menge
{θ ∈ Aut(F) | θ(a) = a für alle a ∈ K}
die Galois-Gruppe von F über K und wird mit Gal(F/K) bezeichnet.
Definition: Ist K ein Körper, f(x) ∈ K[x], und ist F Zerfällungskörper von f(x) über K, dann wird Gal(F/K)
die Galois-Gruppe von f(x) über K genannt, oder auch Galois-Gruppe der Gleichung f(x) = 0 in K.
Satz: Ist F eine Körpererweiterung von K sowie f(x) ∈ K[x]. Dann definiert jedes Element von Gal(F/K)
eine Permutation der Wurzeln von f(x), die in F liegen.
Lemma: Es sei f(x) ∈ K[x] ein Polynom ohne doppelze Wurzlen und F der Zerfällungskörper von f(x) über
K. Wenn φ: K -> L ein Körperisomorphismus ist, der f(x) auf g(x) ∈ L[x] abbildet und E ist der
Zerfällungskörper von g(x) über L, dann existiert genau ein [F:K] Isomorphismus θ: F -> E, so dass θ(a)
= φ(a) für alle a in K ist.
Satz: Es sei K Körper, f(x) ∈ K[x], und F die Zerfällung von f(x) über K. Hat f(x) keine doppelten
Wurzeln, dann ist |Gal(F/K)| = [F:K].
Folgerung: Ist K ein endlicher Körper, F eine Erweiterung von K mit [F:K] = m, dann ist Gal(F/K) eine
zyklische Gruppe der Ordnung m.
Definition: Es sei f(x) ein Polynom in K[x] und F ein Zerfällungskörper für f(x) über K. Hat f(x) die
Faktorisierung
f(x) = (x - r1)m1 (x - r2)m2 … (x - rt)mt
über F, so hat die Wurzel ri die Vielfachheit mi.
Ist mi = 1, so wird ri einfache Lösung genannt.
Es sei f(x) ∈ K[x] mit f(x) = Σk=0t ak xk. Als formale Ableitung f'(x) von f(x) wird dann f'(x) = Σk=0t k ak xk-1
verstanden.
Satz: Das Polynom f(x) in K[x] hat nur einfache Nullstellen, genau dann, wenn ggT(f(x),f'(x)) = 1 ist.
273
Satz: Es sei f(x) ein irreduzibles Polynom über dem Körper K. Dann hat f(x) keine mehrfachen Lösungen,
wenn chr(K) = p ≠ 0 und f(x) von der Form ist f(x) = a0 + a1 xp + a2 x2p + … + an xnp.
Definition: Ein Polynom f(x) über dem Körper K heißt separabel, wenn sein irreduziblen Faktoren keine
einfachen Lösungen haben.
Ein algebraische Körpererweiterung F von K ist separabel über K, wenn das Minimalpolynom jedes
Elements von F separabel ist. Ein Körper K wird vollkommen genannt, wenn jedes Polynom über F
separabel ist.
Satz: Jeder Körper der Charakteristik 0 ist vollkommen. Ein Körper mit einer Charakteristik p > 0 ist
vollkommen, genau dann, wenn jedes Element ein p-te Wurzel besitzt.
Jeder endliche Körper ist vollkommen.
Satz: Es sei F eine endliche Erweiterung über dem Körper K. Ist F separable über K, dann ist F eine
einfache Erweiterung über K.
Satz: Es sei F ein Körper und G eine Untergruppe von Aut(F). Dann ist
FG = {a ∈ F | θ(a) = a für alle θ ∈ G}
ein Unterkörper von F.
FG wird dann G-invarianter Teilkörper von F genannt.
Satz: Ist F Zerfällungskörper über K eines separierbaren Polynoms und G = Gal(F/K), so ist FG = K.
Artinsches Lemma: Es sei G eine endliche Gruppe von Automorphismen über einem Körper F und K = FG.
Dann gilt
[F:K] ≤ |G|
Definition: F sei algebraische Erweiterung des Körper K. F heißt dann normale Körpererweiterung von K,
wenn jedes irreduzible Polynom in K[x], die eine Lösung in F enthält, ein Produkt von Linearfaktoren in
F[x] ist.
Theorem: Folgende Bedingungen sind für einen Erweiterungskörper F von K äquivalent
(1) F ist Zerfällungskörper über K eines separablen Polynoms
(2) K = FG für eine endliche Gruppe G von Automorphismen von F
(3) F ist endliche, normale und separable Erweiterung von K
Folgerung: Wenn F Erweiterungskörper von K mit K = FG für eine endliche Gruppe G von
Automorphismen von F ist, so gilt
G = Gal(F/K).
Beispiel: Die Galois-Gruppe von GF(pn) über GF(p) ist zyklisch von der Ordnung n und wird von dem
Automorphismus θ: θ(x) = xp für alle x in GF(pn) erzeugt.
Dieser Automorphismus wird Frobenius-Automorphismus von GF(pn) genannt.
Fundamentalsatz der Galois-Theorie: F sei der Zerfällungskörper eines separablen Polynoms über einem
Körper K. Es sei weiter G = Gal(F/K).
(a) Dann existiert eine 1-1-ordnungserhaltende Beziehung zwischen den Untergruppen und G und
Unterkörpern von F, die in K enthalten sind:
(i) Wenn H Untergruppe von G ist, dann ist der korrespondierende Teilkörper FH mit H =
H
Gal(F/F ).
(ii) Wenn E Teilkörper von F ist und in K enthalten, dann ist die korrespondierende Untergruppe
von G die Untergruppe H = Gal(F/E) mit E = FH.
(b) Für jede Untergruppe H von G gilt [F:FH] = | H | und [FH:K] = [G:H].
(c) Die Untergruppe H ist genau dann normal, wenn der Teilkörper E = FH eine normale Erweiterung von
K ist. Dann gilt Gal(E/K) ≅ Gal(F/K) / Gal(F/E).
Als Folgerung kann vereinfacht gesagt werden, dass normale Untergruppen normalen
Körpererweiterungen zugeordnet werden können.
Folgerungssatz:
F sei Zerfällungskörper eines separablen Polynoms über dem Körper K. E sei Teilkörper mit K ⊆ E ⊆ F, mit
H = Gal(F/E). Wenn φ ∈ Gal(F/K) gilt, so ist
Gal(F/φ(E)) = φ H φ-1.
Fundamentalsatz der Algebra: Jedes Polynom in C[x] hat eine Lösung in den komplexen Zahlen C.
Lösbarkeit in Radikalen
Definition: Ein Erweiterungskörper F über K wird radikale Erweiterung von K genannt, wenn Elemente u1,
u2, … in F existieren, so dass
(i) F = K(u1, u2, …, um) und
(ii) u1n1 ∈ K und uini ∈ K(u1, …, ui-1) für i = 2, …, m und n1, n2, …, nm ∈ Z.
274
Für f(x) ∈ K[x] heißt die Polynomgleichung f(x) = 0 lösbar in Radikalen, wenn eine radikale Erweiterung F
von K existiert, die alle Lösungen von f(x) enthält.
Satz: Es sei F ein Zerfällungskörper von xn - 1 über dem Körper K der Charakteristik Null. Dann ist
Gal(F/K) eine abelsche Gruppe.
Theorem: Es sei K Körper der Charakteristik 0, der alle n-ten Wurzeln der Einheit enthält. Es sei a ∈ K
und F Zerfällungskörper von xn-a über K. Dann ist Gal(F/K) zyklische Gruppe, deren Ordnung Teiler von n
ist.
Theorem: p sei Primzahl. Der Körper K enthalte alle p-ten Wurzeln der Einheit und F sei Erweiterung von
K. Wenn [F:K] = |Gal(F/K)| = p ist, dann ist F = K(u) für einige u ∈ F, so dass up ∈ K.
Lemma: K ist Körper der Charakteristik 0 und E eine radikale Erweiterung von K. Dann existiert eine
Erweiterung F von E, die normale radikale Erweiterung von K ist.
Theorem: f(x) sei Polynom über dem Körper K der Charakteristik 0. Die Gleichung f(x) = 0 ist lösbar
durch Radikale genau dann, wenn die Galois-Gruppe von f(x) über K auflösbar ist.
Lemma: Jede Untergruppe von S5, die eine Transposition und einen Zyklus der Länge 5 enthält, ist S5
selbst.
Und da die symmetrische Gruppe Sn für n > 4 nicht auflösbar ist:
Theorem: Es existiert ein Polynom des Grades 5 mit rationalen Koeffizienten, das nicht in Radikalen
lösbar ist.
Algebra (Struktur)
Eine Algebra (Plural: Algebren) ist eine Verallgemeinerung des Begriffes Ring. Es gibt zwei verschiedene
Arten von Algebren:
1) Boolesche Algebren, insbesondere Mengenalgebren wie z.B. σ-Algebren
2) Algebren über Ringen, die eine Synthese aus den Begriffen Vektorraum und Ring darstellen, d.h. die
den Vektorraum- und den Ringeigenschaften genügt.
Eine Algebra A über einem Körper k ist ein k-Vektorraum mit einer k-bilinearen Verknüpfung A × A → A
Multiplikation genannt, die durch a·b oder ab symbolisiert wird. Das bedeutet für Elemente x, y, z von A
und Skalare λ in k:
(x + y) · z = xy + yz
x · (y + z) = xy + xz
λ · (xy) = (λ x) · y = x · (λ y)
Beispiel: Die Menge der n x n-Matrizen mit der gewöhnlichen Matrizenaddition und -multiplikation ist eine
Algebra.
Die Eigenschaften assoziativ, kommutativ oder unitär werden häufig vorausgesetzt. Eine assoziative
Algebra ist eine Algebra, in der für die Multiplikation das Assoziativgesetz gilt. Eine assoziative Algebra ist
ein Ring.
Eine kommutative Algebra ist eine, meist assoziative, Algebra, in der für die Multiplikation das
Kommutativgesetz gilt.
Eine unitäre Algebra ist eine Algebra mit einem Einselement. Unitäre assoziative Algebren A über einem
kommutativen Grundring R mit Einselement entsprechen unitären Ringhomomorphismen R → A, deren
Bild im Zentrum von A liegt.
Eine Divisionsalgebra ist eine Algebra, in der man dividieren kann, d.h. in der Gleichungen ax = b oder xa
= b für a ≠ 0 stets lösbar sind.
Eine Lie-Algebra ist eine Algebra, in der die beiden Bedingungen gelten; das Produkt wird in Lie-Algebren
als [x, y] geschrieben: [x, x] = 0
[x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0 ; Jacobi-Identität
Assoziative Algebra
Ein Vektorraum B über einem Körper A oder ein Modul B über einem Ring A zusammen mit einer
bilinearen Abbildung
•: B × B → B ; (a, b) → a • b
heißt assoziative Algebra, wenn das Assoziativgesetz gilt:
a • (b • c) = (a • b) • c
Es handelt sich um eine spezielle Algebra.
Beispiele: Die Menge aller Polynome mit reellen oder komplexen Koeffizienten bilden eine assoziative
Algebra über den reellen bzw. den komplexen Zahlen.
Die linearen Abbildungen auf einem Vektorraum bilden mit der Verkettung eine assoziative Algebra
Der Vektorraum aller reell- oder komplexwertigen Funktionen auf einem beliebigen topologischem Raum
bildet eine assoziative Algebra; dabei werden die Funktionen punktweise addiert und multipliziert.
Der Vektorraum aller stetigen reell- oder komplexwertigen Funktionen auf einem Banachraum bildet eine
assoziative Algebra, bzw. sogar eine Banach-Algebra.
Die Menge aller n × n Matrizen zusammen mit der Matrizenmultiplikation bilden eine assoziative Algebra.
275
Die komplexen Zahlen bilden eine assoziative Algebra über dem Körper der reellen Zahlen.
Die Quaternionen sind eine assoziative Algebra über dem Körper der reellen Zahlen, aber nicht über den
komplexen Zahlen.
Divisionsalgebra
Vereinfacht gesagt handelt es sich bei einer Divisionsalgebra um einen Vektorraum, in dem man
Elemente multiplizieren und dividieren kann.
Eine Divisionsalgebra D ist eine nicht notwendigerweise assoziative Algebra, in der zu jedem a ∈ D und zu
jedem b ∈ D, b ≠ 0 genau ein x ∈ D mit der Eigenschaft
a=x·b
existiert. Dabei bezeichnet "·" die Vektormultiplikation in der Algebra. Zusätzlich fordert man, dass D
mindestens zwei Elemente enthält.
Eine Divisionsalgebra über den reellen Zahlen hat stets die Dimension 1, 2, 4 oder 8. Dies wurde 1958
von Milnor und Kervaire bewiesen. Enthält die Divisionsalgebra die Zahl 1, so dass a·1 = 1·a = a gilt,
spricht man von einer Divisionsalgebra mit Eins.
Die 4 reellen Divisionsalgebren mit Eins sind bis auf Isomorphie
die reellen Zahlen selbst
die komplexen Zahlen
die Quaternionen
die Oktaven auch Oktonionen oder Cayley-Zahlen.
Dies ergibt sich aus dem Satz von Hurwitz, 1898.
Beispiel einer Divisionsalgebra ohne Einselement mit den beiden Einheiten e1 und e2, die mit beliebigen
reellen Zahlen multipliziert werden können:
e1 · e2 = -e2
e2 · e1 = -e2
e2 · e2 = -e1
e1 · e1 = e1
Banachalgebra
Banachalgebren (nach Stefan Banach) sind mathematische Objekte der Funktionalanalysis, die
Funktionenräume anhand wesentlicher gemeinsamer Eigenschaften verallgemeinern. Eine Banachalgebra
ist ein Vektorraum, in dem zusätzlich auch eine Multiplikation und eine Norm so definiert sind, die
Zusatzbedingungen erfüllen.
Ein Vektorraum (V,+) über dem Körper K = R oder C mit einer Norm || || und einem Produkt •: V x V →
V ist eine Banachalgebra, wenn gilt:
(V, +, || ||) ist ein Banachraum, d.h. ein vollständiger normierter Vektorraum,
(V, +, •) ist eine assoziative K-Algebra,
||A • B|| ≤ ||A|| • ||B||, d.h. die Norm ist submultiplikativ.
Beispiele: Jeder Banachraum wird mit der Null-Multiplikation, d.h. xy = 0 für alle Elemente x,y des
Banachraums, zu einer Banachalgebra.
Ist V ein Banachraum, so ist die Algebra B(V) der stetigen, linearen Operatoren auf V eine
Banachalgebra, die im Falle dim(v) > 1 nicht kommutativ ist. Ist V ein Hilbertraum, so ist B(V) eine C*Algebra.
Definition: Eine Banach-*-Algebra A über C oder involutive Banachalgebra ist eine Banachalgebra
zusammen mit einer *-Involution *: A → A, a → a*, so dass
∀ a ∈ A: (a*)* = a (involutiv)
∀ a,b ∈ A: (ab)* = b*a* (anti-multiplikativ)
∀ a,b ∈ A, ∀ z,w ∈ C: (za + wb)* = z-- a* + w-- b* (semilinear, anti-linear oder konjugiert linear)
∀ a ∈ A: ||a|| = ||a*|| (isometrisch)
Für Banachalgebren B(H), wobei H ein Hilbertraum ist, definiert man:
Eine Banachalgebra V, auf der zusätzlich eine semilineare Involution *: V → V gegeben ist, heißt C*Algebra, wenn gilt:
||x* x|| = ||x||² ; ∀ x ∈ V
Boolesche Algebra - Algebraische Struktur
Eine algebraische Struktur (B,∩,∪,¬) heißt Boolesche Algebra, wenn
1. ∩ und ∪ zweistellige Verknüpfungen in B sind
2. ¬ eine einstellige Abbildung von B in B ist und wenn für alle a,b,c aus B gilt:
3.Kommutativgesetze a ∩ b = b ∩ a
a∪b=b∪a
4.Distributivgesetze
a ∩ (b ∪ c) = (a ∩ b) ∪ (a ∩ c)
a ∪ (b ∩ c) = (a ∪ b) ∩ (a ∪ c)
5. es gibt mindestens ein Element 0 in B, so dass a ∪ 0 = a und a ∩ ¬a = 0
6. es gibt mindestens ein Element 1 in B, so dass a ∩ 1 = a und a ∪ ¬a = 1
Es gelten: Idempotenzgesetze, Assoziativgesetze, Morgansche Gesetze und Absorptionsgesetze
Omega-Algebra, Ω-Algebra
Es sei Ω eine Menge von Operationssymbolen, die in paarweise disjunkte Teilmengen Ωn, n ∈ N, zerfällt.
In Ω0 liegen die Konstanten, in Ωn, n>0, die n-stelligen Operationssymbole. Die Familie (Ωn)n ∈N heißt Typ
276
oder Signatur. Ist A eine Menge und ist jedem n-stelligen Operationssymbol ω Ωn eine n-stellige
Operation ωA in A zugeordnet, so heißt A = (A, {ωA | ω ∈ Ω}
eine Ω-Algebra oder Algebra vom Typ (oder der Signatur) Ω.
Ist Ω endlich, Ω = {ω1, ..., ωk}, so schreibt man für A auch A = (A, ω1A, ..., ωkA).
Fasst man einen Ring als Ω-Algebra auf, so zerfällt Ω in Ω0 = {ω1}, Ω1 = {ω2}, Ω2 = {ω3, ω4}, wobei den
Operationssymbolen die Konstante 0, Inversenbildung bezüglich Addition, Addition und Multiplikation
zugeordnet sind.
Es seien A und B Ω-Algebren. B heißt Ω-Unteralgebra von A, falls B ⊆ A ist und die Operationen ωB die
Einschränkungen der Operationen ωA (ω ∈ Ω) auf die Teilmenge B sind.
Direktes Produkt
Es seien A und B Gruppen, deren Gruppenoperation (z.B. Addition oder Multiplikation) mit * bezeichnet
sein soll. Im kartesischen Produkt A × B kann man durch die folgende Vorschrift eine Operation •
einführen:
(a1, b1) • (a2, b2) = (a1 * a2, b1 * b2)
Damit wird A × B zu einer Gruppe, die das direkte Produkt von A und B genannt wird.
Mit (e,e) wird das Einselement von A × B bezeichnet, und (a-1, b-1) ist das inverse Element zu (a, b).
Für endliche Gruppen A, B gilt ord A × B = ord A * ord B. Die Gruppen A' = {(a,e) | a ∈ A} bzw. B' =
{(e,b) | b ∈ B} sind zu A bzw. B isomorphe Normalteiler von A × B. Das direkte Produkt Abelscher
Gruppen ist wieder abelsch.
Für zyklische Gruppen gilt: Das direkte Produkt zweier zyklischer Gruppen A, B ist genau dann zyklisch,
wenn der größte gemeinsame Teiler der Gruppenordnungen gleich 1 ist
Basissatz für Abelsche Gruppen
Jede endliche Abelsche Gruppe ist als direktes Produkt zyklischer Gruppen von der
Primzahlpotenzordnung darstellbar.
Semidirektes Produkt
Das semidirekte Produkt beschreibt eine Methode, um aus zwei gegebenen Gruppen eine neue Gruppe zu
konstruieren. Diese Konstruktion verallgemeinert das Konzept des direkten Produkts von Gruppen.
Definition: Gegeben seien zwei Gruppen N und H, sowie ein Homomorphismus θ: H → Aut(N) der Gruppe
H in die Gruppe der Automorphismen von N.
Das kartesische Produkt G = N × H der Mengen N und H wird dann zu einer Gruppe, indem man die
Verknüpfung durch
(n1, h1) · (n2, h2) = (n1 · θ(h1)(n2), h1 · h2)
definiert. Man notiert das semidirekte Produkt als
N ×θ H,
da der Homomorphismus θ die Struktur dieser Gruppe bestimmt.
Das semidirekte Produkt ist weder kommutativ noch assoziativ.
Äußeres und Inneres Produkt
Die durch die Definition konstruierte Produktgruppe ist das äußere semidirekte Produkt, da die Gruppe G
bei dieser Definition aus vorgegebenen, disjunkten Gruppen konstruiert wird.
Innere Definitionen beziehen sich dagegen auf eine bereits gegebene Gruppe G mit einem Normalteiler N
und einer Untergruppe H.
Beispiele:
Die Diedergruppe Dn, die Symmetriegruppe eines ebenen regelmäßigen n-Ecks, ist isomorph zum
semidirekten Produkt der zyklischen Drehsymmetriegruppe Zn mit einer zweielementigen zyklischen
Gruppe Z4-2.
Für n > 1 ist die symmetrische Gruppe Sn isomorph zu einem semidirekten Produkt ihres Normalteilers N
= An, der alternierenden Gruppe, und einer zweielementigen zyklischen Gruppe Z2.
Strukturen der natürlichen Zahlen
Unter den natürlichen Zahlen wird die Menge N = {0, 1, 2, …} verstanden, die mit ihrer natürlichen
Anordnung 0 < 1 < 2 < … versehen sein soll.
Halbgruppen natürlicher Zahlen
Auf dieser Menge N ist als eine innere Verknüpfung die gewöhnliche Addition + definiert. Sie ist assoziativ
und kommutativ und die Zahl 0 ist neutrales Element dieser Verknüpfung. Es handelt sich bei (N,+) um
ein kommutatives Monoid.
Andererseits ist auf N auch die gewöhnliche Multiplikation · als innere Verknüpfung definiert, die ebenfalls
assoziativ und kommutativ ist und für die die Zahl 1 neutrales Element ist. Damit ist (N,·) ein
kommutatives Monoid.
Man kann auf N auch die durch a·b=min(a,b) für alle a und b aus N definierte Verknüpfung · betrachten.
Sie ist nicht nur assoziativ und kommutativ, sondern auch idempotent, besitzt aber kein neutrales
Element. Es handelt sich bei (N,min) um eine (kommutative und idempotente) Halbgruppe, die kein
Monoid ist.
Ändert man die Verknüpfung aus dem vorigen Beispiel zu a·b=max(a,b), so erhält man ein kommutatives
und idempotentes Monoid (N,max), denn die Zahl 0 ist nun neutrales Element.
277
Halbringe natürlicher Zahlen
Da für die gewöhnliche Addition + und Multiplikation · natürlicher Zahlen die beiden Distributivgesetze
gelten, handelt es sich bei (N,+,·) um einen kommutativen Halbring mit absorbierendem Nullelement 0
und Einselement 1. Da für alle a, b, c aus N die Gleichungen
a·max(b,c) = max(a·b,a·c) und a+max(b,c) = max(a+b,a+c)
a·min(b,c) = min(a·b,a·c) und a+min(b,c) = min(a+b,a+c)
gelten, sind auch (N,max,·), (N,max,+), (N,min,·) und (N,min,+) Halbringe.
Da es sich bei min und max um die beiden Verbandsoperationen in der linear geordneten Menge N = {0
< 1 < 2 < …} handelt, bilden sowohl (N, min, max) als auch (N, max, min) einen distributiven Verband,
also ebenfalls je einen Halbring.
Multioperatorgruppe, Ω-Gruppe
Eine, nicht notwendig kommutative, Gruppe (G, +), auf der ein System Ω n-ärer algebraischer
Operationen ωn, n > 1, gegeben ist, heißt genau dann Multioperatorgruppe oder Ω-Gruppe, wenn gilt:
Für alle j: aj = 0 und c = 0 wird für beliebige Operationen ωn
0…0ωn = 0
Die Multioperatorgruppe vereint das Konzept von Gruppe, linearer Algebra und Ring.
Ein Ideal einer Ω-Gruppe ist eine normale Untergruppe N von G mit
-(x1…xnω) + (x1…xi-1(a+xi)xi+1…xnω) ∈ N
für alle a aus N, xi aus G und jeder Operation ω.
Sind A, B und C Ω-Untergruppen der Ω-Gruppe G, wobei C von A und B erzeugt wird, so ist der
Kommutator [A,b] der Untergruppen A und B in C das Ideal aller Elemente der Form
-a-b + a+b
-(a1…an ω) -(b1…bn ω) +((a1b1)…(an+bn) ω)
Es sei G' = [G,G]. Dann ist die Ω-Gruppe abelsch, wenn G' = 0 ist.
Multioperatorring
Eine abelsche Gruppe (G, +), auf der ein System Ω n-ärer algebraischer Operationen ωn, n > 1, gegeben
ist, heißt genau dann Multioperatorring oder Ω-Ring, wenn für alle ωn, alle Elemente ai, b, c aus G, i =
1,...,n, und alle i gilt
a1...ai-1(b+c)ai+1…anωn = a1...ai-1bai+1…anωn + a1...ai-1cai+1…anωn
(1)
Jeder Multioperatorring ist Multioperatorgruppe. Für alle j: aj = 0 und c = 0 wird für beliebige
Operationen ωn:
0...0b0...0ωn = 0…0(b+0)0…0ωn = 0…0b0…0ωn + 0…0ωn = 0…0b0…0ωn + 0
Für ein leeres Operationensystem wird G zum Modul. Enthält Ω nur eine algebraische binäre
Multiplikation, bildet G eine ringartige Struktur, womit jeder assoziative oder nichtassoziative Ring
Multioperatorring ist. Für diese Strukturen wird (1) zum bekannten Distributivgesetz.
Die vom Nullelement eines Moduls additiv erzeugte Untergruppe wird für ein beliebiges
Operationensystem Ω n-ärer Operationen, n > 1, mit 0...0ωn = 0 zum Ω-Nullring. Einen Multioperatorring
bildet der zweidimensionale reelle Punktraum R² mit der Vektoraddition und dem vektoriellen
Tripelprodukt, welches ternär ist. Ein Multioperatorring heißt assoziativ, wenn für jedes Paar von
Operationen ωn, ωk aus dem Operationensystem für jedes i = 1,...,k
(x1...xnωn)xn+1…xn+k-1ωk = x1...xi-1(xi...xn+i-1ωn)xn+i...xn+k-1ωk
für alle xj aus G, j=1,...,n+k-1, gilt. Kommutativ nennt man einen Multioperatorring, wenn für jede
Operation ωn aus dem Operationensystem und jedes Paar (i, j), mit i ≠ j, und i, j = 1,...,n, für alle xl aus
G, l = 1,...,n
x1...xi…xj…xnωn = x1...xj…xi…xnωn gilt.
Ein Element 1 von G heißt Einselement von G, wenn für alle x aus G und jede Operation ωn aus Ω:
1...1x1...1ωn = x ist.
Ein Element a eines Ω-Ringes nennt man genau dann Nullteiler bezüglich einer Operation ωn aus dem
Operationensystem, wenn ein (n-1)-Tupel von Elementen in G existiert, so dass
x1...xi-1axj+1…xnωn = 0
für ein beliebiges i gilt, wobei sowohl a als auch alle xj des Tupels verschieden vom Nullelement sein
müssen. In Multioperatorringen gilt
x1...xi-10xj+1…xnωn = 0
für alle Operationen und alle xi aus G. Dies folg unmittelbar aus dem Distributivgesetz und den
Gruppeneigenschaften.
Geschichte der Gruppentheorie
In den Problemen, bei deren Untersuchung Gruppen auftraten, wie etwa der Symmetrie der Platonischen
Körper, waren diese Axiome von selbst erfüllt.
Daher hatte man schon einige Erfahrungen über den Umgang mit diesen algebraischen Strukturen
gesammelt, bevor die heute vier üblichen Axiome zu ihrer Definition aus diesen Erfahrungen extrahiert
wurden.
Die Bezeichnung Gruppe für derartige Strukturen wurde erstmals 1868 durch Camille Jordan verwendet
(Memoire sur les groupes des mouvements, Annali de matematica pura ed applicata, Ser. II, Vol. II, No.
278
3 (1868) 167 - 215, 322-345), obwohl er nur das Axiom der Abgeschlossenheit gegenüber der
Verknüpfung von zwei Gruppenelementen explizit forderte.
Da er Symmetriegruppen untersuchte, folgten die anderen Gruppeneigenschaften automatisch. Er
entdeckte z. B. nicht die Existenz der eindeutig bestimmten inversen Symmetrieabbildung innerhalb der
von ihm untersuchten Gruppen.
Im Jahre 1854 hatte Arthur Cayley die Notwendigkeit des Assoziativgesetzes und die Existenz eines
Einselementes entdeckt. Er bezeichnete die Gruppenelemente durch abstrakte Symbole und definierte
deren Verknüpfung mittels einer Tabelle, die heutzutage Cayley-Tafel genannt wird.
Im Jahre 1856 gab William Rowan Hamilton (Memorandum Respecting a New System of Roots of Unity)
die erste Darstellung einer Gruppe, der Ikosaedergruppe, an, eine sehr platzsparende Methode eine
konkrete Gruppe zu definieren, die in diesem Fall auf einer einzigen Zeile hingeschrieben werden kann,
im Vergleich zu der Tabelle von 60 x 60 Einträgen der Cayley-Tafel.
Die erste Definition der Gruppe mit den heute üblichen Axiomen erfolgte 1882 unabhängig voneinander
durch Walter van Dyck (Gruppentheoretische Studien) und Heinrich Weber.
Die erste große außermathematische Anwendung der Gruppentheorie bestand in der Bestimmung aller
230 Raumgruppen durch den russischen Kristallographen Fedorov im Jahre 1890.
Dies sind die Symmetriegruppen der dreidimensionalen Punktgitter. Solche periodischen diskreten
Punktgitter wurden als Modelle für den Aufbau von Kristallen aus Atomen angesehen, obwohl dies erst
1912 experimentell bestätigt werden konnte. Jedes solche Gitter kann nämlich eindeutig durch seine
Symmetriegruppe charakterisiert werden.
Tetraedergruppe
Bei der Tetraedergruppe geht es um Drehungen des Tetraeders um eine Achse, bei
denen es in sich selbst übergeht.
Beispiel: Links sei eine Ausgangsstellung. Man legt durch eine Ecke und den
Mittelpunkt des gegenüberliegenden Dreiecks eine Achse. Das Tetraeder wird um
120° nach links gedreht und kommt zur Deckung mit dem ersten Tetraeder. Der dunkelblau markierte
Winkel wandert.
Die Gesamtheit aller Drehungen bildet eine Gruppe. Übersicht über alle Drehungen:
Man erhält eine weitere Drehung, wenn man das gedrehte Tetraeder
um 120° weiterdreht.
Da das Tetraeder vier Seitenflächen bzw. Eckpunkte hat, gibt es drei
weitere Drehachsen durch den Eckpunkt und den Mittelpunkt eines
Dreiecks. Zu jeder Drehachse gibt es zwei Drehungen, die ein
Tetraeder in sich selbst überführen. Insgesamt ergeben sich 8
Drehungen.
Verbindet man gegenüberliegende Kantenmitten, so ergeben sich
drei weitere Drehachsen. Eine Drehung um 180° führt zu einer
weiteren Deckung des Tetraeders. Diese Drehung könnte man auch
Klappung nennen.
Insgesamt gibt es 3 Drehungen.
Es gibt insgesamt 11 Drehungen, die ein Tetraeder in sich selbst überführen.
Drehung um eine Ecke/Mitte-Achse
Eine Drehung beschreibt man besser durch Zahlen. Man
nummeriert die Ecken des Ausgangstetraeders mit 1, 2, 3 und 4.
Nach einer 120°-Drehung nehmen die Eckpunkte die neue Position
3,1 und 2 an, 4 bleibt.
Das hält man in einer Schreibfigur fest: In der ersten Zeile 1 2 3 4,
in der zweiten Zeile 3 1 2 4. Die Zuordnungen stehen
untereinander.
Noch kürzer ist die Notation mit dem Zyklus (132)(4) oder kurz
(132).
Das muss man so lesen: 1 geht über in 3, 3 geht über in 2 und 2 in
1. 123 wird zyklisch vertauscht. Die Ecke 4 bleibt stehen.
Für eine 240°-Drehung ergibt sich die nebenstehende Notation.
Man könnte diese Stellung des Tetraeders auch erreichen, wenn
man das Ausgangstetraeder um 120° nach rechts dreht.
Alle Drehungen dieser Art sind (132), (123), (134), (143), (142),
(124), (234), (243).
279
Drehung um eine Mitte/Mitte-Achse
Bei den Drehungen um eine Achse durch zwei Kantenmitten
werden die Eckpunkte, die zu einer halbierten Kante gehören,
paarweise ausgetauscht.
Die restlichen Möglichkeiten: Die drei Klappungen sind (12)(34),
(14)(23), (13)(24).
Es liegt nahe den Fall zu untersuchen, ein Tetraeder zuerst
um eine Achse und danach um eine zweite Achse zu
drehen. Eine solche Verknüpfung zweier Drehungen,
inklusive der identischen Drehung, ergibt wieder eine der
genannten Drehungen.
Beispiel: Es wird das um zwei Kantenmitten gedrehte
Tetraeder um die vertikale Achse um 120° nach links weitergedreht. Es ergibt sich das rechte Tetraeder,
das die Darstellung (143) hat.
Diesen Vorgang kann man als Verknüpfung von Zyklen beschreiben:
Aus (12)(34) und (132)(4) wird (143) oder (12)(34) • (132)(4) = (143)
Mit dem Symbol • wird ausgedrückt, dass man zwei Drehungen verknüpft hat.
Drehgruppe
Es gibt 12 Drehungen. Die triviale Drehung (1) ist mitgezählt. Die Drehungen werden durch ein
Hintereinanderschalten verknüpft.
Diese beschriebene Struktur ist eine abelsche Gruppe.
Setzt man r = (123) und f = (13)(24), so lassen sich die übrigen Elemente der Drehgruppe aus ihnen
errechnen. Die Drehungen r und f beispielsweise "erzeugen" die Gruppe.
f²=(1), r²=(132), rf=(243), fr=(142), (fr)²=(124), (rf)²=(234), frf=(134), rfr=(143), r²fr=(14)(23),
rfr²=(12)(34)
Diese Drehgruppe ist isomorph zur Untergruppe der geraden Permutation der Permutationsgruppe S4.
Diese Untergruppe ist die alternierende Gruppe.
Auch die ungeraden Permutationen von S4 kann man als Abbildungen des Tetraeders interpretieren. Sie
stellen eine Spiegelung an einer Mittelebene des Tetraeders dar. Es gibt sechs Spiegelungen dieser Art.
Die übrigen Permutationen
(1234), (1243), (1342),
(1324), (1432), (1423)
sind Drehspiegelungen.
Damit sind alle Elemente der symmetrischen Gruppe als Abbildungen des Tetraeders gedeutet. Die
Gesamtheit dieser Abbildungen bilden eine zur Symmetriegruppe S4 isomorphe Gruppe.
Graph zur Tetraedergruppe
Die kleinen Dreiecke stehen für die Drehungen um die Ecke-Mitte-Achsen, die roten
Linien für die Drehungen um die Mitte-Mitte-Achsen.
Oktaedergruppe
Man ersetzt das
Tetraeder durch das
Oktaeder bzw. den Würfel. Das führt zu einer Drehgruppe mit 24 Elementen. Sie ist isomorph der
symmetrischen Gruppe S4 zu vier Zahlen.
Die dritte Polyedergruppe ist die Ikosaedergruppe mit 60 Elementen. Man könnte wegen der Dualität
statt des Ikosaeders das Pentagondodekaeder wählen. Die Ikosaedergruppe ist isomorph zu der
alternierenden Gruppe zu fünf Zahlen.
Hauptsatz für endliche Drehgruppen: Eine endliche Drehgruppe ist notwendig von einem der folgenden
Gruppentypen: Zyklische Gruppe, Diedergruppe, Tetraedergruppe, Oktaedergruppe, Ikosaedergruppe.
Endliche Transformationen in der Ebene
Viele Buchstaben des Alphabets genügen sehr einfachen Symmetrien. So sind zum Beispiel die
Buchstaben
A
E
spiegelsymmetrisch. Spiegelungen sind Transformationen der Ebene und werden immer durch die Angabe
einer Spiegelungsachse gegeben. Andere Buchstaben weisen Drehsymmetrien auf
O
Z
Diese Transformationen werden durch die Angabe von Drehzentrum und Drehwinkel gegeben, wobei das
Zentrum als n-Polygon dargestellt wird. Damit soll angedeutet werden, dass an diesem Zentrum eine
280
Drehung um 360o/n stattfinden soll.
Drehsymmetrien werden durch die zyklischen Gruppen n-ter Ordnung Cn beschrieben
Cn = {1, d, d 2, d 3, ..., d n-1} = < d >
Die Gruppe ist von endlicher Ordnung n, falls es eine positive ganze Zahl n gibt, so dass d n = 1 gilt.
Kombiniert man Spiegelungen mit Drehungen, so erhält man die Diedergruppen Dn. Sie sind die
Symmetriegruppen der regelmässigen n-Ecke. Im allgemeinen Fall gibt es eine Drehung d mit dn = 1 und
n Spiegelungen sj mit sj2 = 1.
Dn = {1, d, d 2, ..., d n-1, s1, d o s1, ..., d n-1 o s1}
Bezeichne G die Gruppe aller diskreten Isometrien der euklidischen Ebene E. Ferner sei P ein in E
liegendes Polygon: P ⊂ E.
S(P) sei die zum Polygon P gehörige Symmetriegruppe:
S(P) = {φ ∈ G | φ(P) = P}
Es sei ferner Γ die Gruppe aller Isometrien der Ebene, die den Nullpunkt O festhalten. Schon Leonardo da
Vinci suchte nach allen möglichen Untergruppen von Γ. Hermann Weyl fand die vollständige Antwort auf
da Vincis Frage:
Satz von Weyl: Die endlichen Untergruppen von Γ werden, bis auf Konjugation, durch folgende vier
Gruppen gegeben:
Cn , Dn , V4 , W={1,s},
wobei s die Spiegelung an einer Geraden durch den Nullpunkt ist.
Die Gruppe V4 ist die Kleinsche Vierergruppe, gegeben durch eine Drehung um 180o um den Nullpunkt O
und zwei Spiegelungen an rechtwinklig aufeinanderstehenden Geraden durch O. So enthält z.B. die
Symmetriegruppe eines Rhomboids mit Diagonalen unterschiedlicher Länge V4 als Untergruppe. Die
Translationen bilden eine wichtige Untergruppe der Gruppe G der diskreten Bewegungen von E. Wir
bezeichnen sie im folgenden mit T(G). T(G) ermöglicht eine Strukturierung von G:
(I)
Gruppen H ⊂ G mit T(H) = ∅ heißen Rosettengruppen oder Punktgruppen
(II)
Gruppen H ⊂ G, für die T(H) aus nur einer Translationsrichtung besteht, heissen
Friesgruppen
(III) Gruppen H ⊂ G, für die T(H) aus zwei verschiedenen Translationsrichtungen besteht,
heissen Ornamentgruppen
Friesgruppen
H+ seien die eigentlichen und H- die uneigentlichen Transformationen aus einer Friesgruppe H.
Insbesondere ist dann T(H) ⊂ H+. Im ersten Fall gilt T(H) = H+. Da T(H) eindimensional ist, wird H+ von
einem einzigen Element t, erzeugt
H+ = < t >
Ist H leer,
Ist H nicht leer, so oder
Schließlich gibt es die Möglichkeit, dass H- eine
wird
kann
senkrecht zur Schubspiegelung, d.h. die Kombination aus einer
man eine
Friesrichtung Spiegelung und einer Translation um t/2 in
Spiegelachse in
Richtung der Spiegelachse enthält
Friesrichtung legen
Im zweiten Fall gilt T(H) ⊂ H+ aber T(H) ≠ H+. Es gibt neben den Translationen noch andere eigentliche
Abbildungen.
Dies kann die Kombination zweier Spiegelungen mit je Es können auch Drehungen
einer Achse in Friesrichtung und einer senkrecht dazu
auftreten wie
sein
in den beiden letzten Fällen
Insgesamt finden sich auf diese Weise alle sieben möglichen Friesgruppen.
Fries-Symmetrien und Streifenornamente
Ein Fries ist ein theoretisch unendlich langes, periodisches Ornament, das zwischen zwei parallelen
Geraden angeordnet ist. Damit es periodisch ist, muss zu seinen Symmetrie-Abbildungen, die es mit sich
selbst zur Deckung bringen, eine kürzeste Parallelverschiebung in Richtung dieser Geraden gehören.
Außer diesen unendlich vielen Translationen kann es weitere Symmetrieabbildungen geben:
1) Spiegelungen an der waagerechten Mittellinie w des Streifens
2) Spiegelungen an einer zu den begrenzenden Geraden Senkrechten
3) Drehungen um 180 Grad um einen Punkt P der Mittelparallelen
4) Gleitspiegelungen, d.h. Translationen in Längsrichtung mit anschließender Spiegelung an der
waagerechten Mittellinie
281
Für die sieben möglichen Kombinationen der Bewegungen gibt es eine Vielzahl von Beispielen aus
verschiedenen Kulturkreisen bzw. Epochen.
1) nur Translationen
oberste zwei Abbildungen aus Babylon
2) Translationen und Drehungen um 180°
Die Drehpunkte befinden sich sowohl in der Mitte jedes Grundbildes
als auch in der Mitte zwischen diesen.
3.Abbildung: antikes Olympia / 4.Abbildung: Italien 15.Jahrhundert
3) Translationen und Spiegelungen an waagerechter Mittalachse,
d.h. auch Gleitspiegelungen
Bilder der 1.Reihe: Byzanz 5./6. Jahrhundert und Kloster Maulbronn
14. Jahrhundert
4) Translationen und
Spiegelungen an senkrechten
Achsen
Bilder der 2.Reihe: Theben,
Altägypten und Chorsabad,
antikes Assyrien
5) Translationen, Spiegelungen an waagerechten und senkrechten
Achsen, d.h. auch Gleitspiegelungen
Bilder der 3.Reihe: Peruanisches Textilmuster und Palast in Nimrud
6) Gleitpiegelungen und Spiegelungen an senkrechten Achsen
Bild der 4.Reihe: Fußboden der Sanct Marien-Kirche in Rom
7) nur Gleitspiegelungen und die sich daraus ergebenden
Translationen
Bild der 5.Reihe: Sanct Cunibert, Köln, romanisch
Geflochtene Friesornamente
Außer den klassischen
Friesgruppen kommen vor allem
in der islamischen Ornamentik
auch Flechtmuster, geflochtene Friesornamente, vor.
Die Abbildungen von links oben nach rechts unten zeigen:
zwei Fußböden römischer Villen, Fußboden San Marco Venedig,
Fußboden in Pisa, Darstellungen in Cordoba bzw. Sevilla
Lässt man Translationen entlang der x-Achse, Drehungen um die x-,
y- und z-Achse, Spiegelungen an den zu den Raumachsen
senkrechten Ebenen, Punktspiegelung am Schnittpunkt der
Raumachsen, Gleitspiegelungen und die Schraubung um die x-Achse
zu, so existieren 31 verschiedene Klassen von geflochtenen Friesornamenten.
Translationen, Gleitspiegelungen und Schraubungen sind nur in Richtung des Frieses möglich, da sie
sonst aus dem Bereich des Frieses herausführen würden.
Ornamentgruppen und Parkettierungen
Schon schwieriger ist die komplette Aufzählung aller möglichen Ornamentgruppen.
Es gibt genau 17 Ornamentgruppen, die sogenannten 17 ebenen kristallographischen Gruppen. Diese 17
Gruppen erlauben 93 verschiedene Parkettierungen der Ebene.
Wie die alternative Bezeichnung der Ornamentgruppen andeutet, waren es vor allem die
Kristallographen, die erste Fortschritte bei der Untersuchung dieser Gruppen geliefert haben. Die
Aufzählung der 17 Gruppen ist ein Resultat von Fedorov (1890), dessen Beweis von Schoenflies 1891
vervollständigt wurde, und das 1924 von Polya wiederentdeckt wurde.
Das Parkettierungsproblem der Ebene besteht darin, dieselbe durch lauter deckungsgleiche Parkettsteine
lückenlos und überlappungsfrei zu überdecken. Zur Klassifikation der angekündigten 93 Parkettierungen
gibt es zwei Zugänge: einen algebraischen und einen topologischen Ansatz.
Der algebraische Zugang stellt auf die Symmetriegruppen der Parkette ab. Nach dem zitierten Satz von
Fedorow gibt es 17 mögliche Symmetriegruppen für ebene Parkette.
Für später ist es nützlich, die Operation einer Ornamentgruppe H auf die Ebene E zu beschreiben. Dies
geschieht am einfachsten durch Anwenden aller Gruppenelemente auf den Ursprung 0 in E. Man erhält
als Bild ein Gitter, das wir mit G bezeichnen werden: G = { g * 0 | g ∈ H } ⊂ E
282
Das Gitter liegt diskret in E. Nun gibt es für H in der Ebene E einen ausgezeichneten Bereich, den
Fundamental- oder Dirichelet-Bereich.
Sei dazu P irgendein Punkt der Ebene und g aus H so gewählt, dass g * P ≠
P. Wir definieren den Bereich Hg;P = {x ∈ E | dist(x,p) < dist(x,g*p)]
Damit definieren wir den Fundamentalbereich von H auf E als
FH = ∩ Hg,P wobei der Durchschnitt über alle g ∈ H erfolgt.
Der Fundamentalbereich hat folgende charakteristische Eigenschaften:
F(H) ∩ g F(H) = ∅ für alle g ∈ H
und die Vereinigung der topologischen Abschlüsse der g F(H) ist E, d.h. alle
ihre Randpunkte seien inbegriffen.
Das zweite Unterscheidungsmerkmal für Parkette ist topologischer Natur.
Man schaut sich an, in welcher Weise die Grenzlinien der Parkettsteine zu
einem Netzwerk verknüpft sind. Dies führt auf die sogenannten Lavesnetze.
Sei P ein Parkett, p ∈ P ein einzelner Punkt. Wir definieren die Zuordnung p n(p), wo n(p) die Anzahl
der Parkettsteine angibt, auf denen p liegt. Es gilt sicher immer n(p) >= 1. Ist n(p) = 1, so nennt man p
einen inneren Punkt. Ein Randpunkt p, der in keiner Ecke des Parketts liegt, erfüllt n(p) = 2, während für
alle Eckpunkte n(p) >= 2 gilt.
Damit definieren wir das Lavesnetz für P als L =
{p ∈ P | n(p) >= 3}
Die Symmetriegruppe von P operiert auf L und führt
es in sich über. Ein reguläres Parkett hat ja nur
einen typischen Parkettstein. Somit können wir
jedem Parkett P ein ausgezeichnetes Tupel von
Zahlen zuordnen, welches das Lavesnetz L
beschreibt: Es bezeichne ε = {e1, ..., eT} die Menge
der Ecken eines einzelnen Parkettsteins. Dann sei ej
nj = n(ej) und P = [n1, ..., nT] ist das dem Parkett
mit seinem Lavesnetz zugeordnete ausgezeichnete
r-Tupel. Mit diesem Instrument lässt sich folgendes
Resultat beweisen:
Für reguläre Parkettierungen gibt es genau 11
nichtäquivalente Lavesnetze.
Verband
Sei M eine teilweise geordnete Menge mit
der Ordnung ≤. M heißt
verbandsgeordnete Menge oder Verband,
wenn folgende Eigenschaften gelten
1) zu je zwei Elementen a, b ∈ M existiert
das Infimum inf(a, b)
2) zu je zwei Elementen a, b ∈ N existiert das
Supremum sup(a, b)
Damit besitzen dann auch endliche Teilmengen von
M Infimum und Supremum. Der Beweis erfolgt durch
vollständige Induktion.
Ist M selbst endlich, so besitzt M sowohl ein
Minimum, das Ordnungsnull heißt, als auch ein
Maximum, welches Ordnungseins genannt wird.
Jede kettengeordnete Menge ist ein Verband. Für jede zweielementige Teilmenge existieren dann
Minimum und Maximum und sind mit dem Infimum und Supremum identische.
Beispiel: Das abgebildete Hassediagramm, ohne die hellrote Linie, veranschaulicht einen Verband. Es gilt
d = sup(a, b) und a = inf(c, d).
Nimmt man die hellrote Linie hinzu, so ist die Verbandsstruktur zerstört, da sowohl c als auch d obere
Schranken von a und b sind. Wegen ihrer Unvergleichbarkeit existiert jedoch d = sup(a, b) nicht.
Schreibweise: Um Gesetze mit Supremum und Infimum ohne Klammerung formulieren zu können,
werden in Verbänden die Symbole ∨ für Supremum und ∧ für Infimum verwendet.
a ∨ b = sup(a, b)
a ∧ b = inf(a, b)
Mengenverband
Sei M eine beliebige Menge und P(M) ihre Potenzmenge. Unter einem Mengenverband M ⊆ P(M) versteht
man eine Teilmenge der Potenzmenge, die mit zwei Mengen A und B auch ihre Vereinigung A ∪ B und
ihren Durchschnitt A ∩ B enthält.
Ein Mengenverband ist bezüglich der endlichern Durchschnitts- und Vereinigungsbildung abgeschlossen.
283
Jeder Mengenverband ist bezüglich der Inklusion ⊆ ein Verband.
Geschichte der Algebra
Ursprünglich befasste sich die Algebra mit dem Lösen algebraischer Gleichungen,
d.h. der Bestimmung der Nullstellen von Polynomen mit rationalen oder
ganzzahligen Koeffizienten. In diesem Zusammenhang mussten immer neue
Möglichkeiten entwickelt werden, was unter anderem auch zur Einführung der
imaginären Zahlen führte. Wenn man z.B. die Nullstellen der Gleichung x²+1=0
bestimmen will, reichen die reellen Zahlen nicht mehr aus, da das Quadrat einer
reellen Zahl immer positiv oder Null ist und man nie auf Null kommt, wenn man
zu einer nicht-negativen Zahl eins addiert.
Durch die Einführung der komplexen Zahlen, die sich aus
reellen und imaginären Zahlen zusammensetzen, und der
Hilfe der Analysis war es dann auch möglich den Fundamentalsatz der Algebra zu
beweisen. Er besagt, dass in den komplexen Zahlen jede Gleichung in
Linearfaktoren zerfällt, d.h. die Anzahl der Nullstellen mit dem Grad der Gleichung
übereinstimmt. Auch versuchte man allgemeine Lösungen durch Radikale, was
einfach verschachtelte Wurzelausdrücke sind, für Gleichungen zu finden.
Inzwischen befasst sich die Algebra jedoch nicht mehr nur damit Lösungen
algebraischer Gleichungen zu finden, sondern mit der Theorie der Verknüpfungen
auf einer Menge. Eine derartige Struktur einer Menge mit einer Verknüpfung nennt
sich dann algebraische Struktur. Mit Hinzunahme besonderer Anforderungen an diese algebraischen
Strukturen kommt man zu Begriffen wie Gruppe, Körper oder Vektorraum, deren Untersuchungen ein
wichtiges Teilgebiet der Algebra bilden. Durch die Bildung unterschiedlicher Strukturen lässt sich auch die
Algebra in verschiedene Teilgebiete unterteilen:
Die lineare Algebra behandelt vorwiegend die Theorie der Vektorräume über Körpern, die Körpertheorie,
wie der Name schon sagt, die Theorie allgemeiner Körper und Körpererweiterungen, die Gruppentheorie
und daneben gibt es noch weitere Bereiche (z.B. Ringtheorie, homologische Algebra, ...). Auch wird die
Algebra in vielen anderen Gebieten eingebunden. In der Logik (Boolesche Algebra) oder der
Zahlentheorie spielt sie eine wichtige Rolle.
Dass die Aufgabe der Algebra ursprünglich im Lösen von Gleichungen bestand, steckt schon in ihrem
Namen, der aus dem Werk al-kitab al-muhtasir fi hisab al-gabr wa-l-muqabala (Das kurzgefasste Buch
über Rechnen mit Ergänzen und Zusammenfassen von Ausdrücken) von dem arabischen Gelehrten alHwarizmi (rechte Abbildung oben) aus dem 9. Jahrhundert stammt. Aus dem Ausdruck al-gabr im Titel
wurde später Algebra. Sich mit algebraischen Problemen zu befassen wurde jedoch schon im alten
Ägypten und bei den Griechen begonnen. Die meisten algebraischen Methoden entstanden hierbei aus
einem geometrischen Hintergrund. Weiterentwickelt wurde die Theorie dann zunächst hauptsächlich in
China, Indien und der arabischen Welt, und erst im Mittelalter beschäftigte man sich in Europa wieder mit
der Algebra.
Hier ist als wichtigster Vertreter Leonardo von Pisa, der
auch unter dem Namen Leonardo Fibonacci (linke
Abbildung, unten) bekannt ist, zu nennen. Im 16.
Jahrhundert fand Niccolo Tartaglia (linke Abbildung,
oben) dann die heute unter dem Namen Cardanosche
Formel bekannte Lösung für Gleichungen dritten Grades
und Ludovico Ferrari die für Gleichungen vierten Grades.
Auch Isaac Newton und Leonard Euler leisteten wichtige
Arbeiten.
Für den bis dato unbewiesenen Fundamentalsatz lieferte
Carl-Friedrich Gauß gleich vier voneinander unabhängige
Beweise, deren erster aus dem Jahre 1799 Gegenstand seiner Dissertation
war.
Im Jahre 1824 war es Niels Henrik Abel, der beweisen konnte, dass Gleichungen fünften Grades nicht
durch Radikale gelöst werden können. Den bedeutendsten Beitrag des 19. Jahrhundert zur
Weiterentwicklung lieferte jedoch Evariste Galois durch die systematische Entwicklung einer Theorie, die
heute unter dem Namen Galois-Theorie bekannt ist. Mit Hilfe dieser Theorie war es nun einfach zu
beweisen, dass generell Gleichungen höheren als vierten Grades nicht durch Radikale lösbar sind. Dies ist
auch Enrico Betti (1823-1892, rechte Abbildung unten) zu verdanken ist, der ab 1851 eine erste
Präzisierung der Galois-Theorie mit einer Vervollständigung der Beweise präsentierte, da dies Galois
aufgrund seiner kurzen Lebenszeit nicht möglich war.
284
Lineare Optimierung
Die lineare Optimierung (LO) ist ein mathematisches Verfahren zur Bestimmung des Maximums oder
Minimums einer linearen Funktion z, der sogenannten Zielfunktion, unter einschränkenden Bedingungen,
die in Form linearer Ungleichungen oder Gleichungen gegeben sind.
Diese Systeme von Ungleichungen werden mit Methoden der linearen Algebra und der analytischen
Geometrie gelöst.
Beispiele: Maximierung des Reingewinns einer Produktion
Minimierung des Gesamtabfalls einer Produktion
Suche des Extremums einer gewichteten Linearkombination solcher Kriterien
Mathematisches Modell: Das Aufstellen der Zielfunktion, der Nebenbedingungen und der
Nichtnegativitätsbedingungen.
Normalfall: Nebenbedingungen von Maximierungsmodellen enthalten nur ≤-Beziehungen, diejenigen von
Minimierungsmodellen dagegen nur ≥-Beziehungen.
Enthalten einzelne Nebenbedingungen das entgegengesetzte Ungleichheitszeichen, so können diese
durch Multiplikation mit -1 in Ungleichungen mit der im Normalfall gewünschten Bedingung umgeformt
werden.
Verallgemeinerter, erweiterter Normalfall: Zusätzlich zu den Ungleichungen können auch lineare
Gleichungen als Nebenbedingungen auftreten.
Die lineare Optimierung hat sich aus der linearen Algebra herausgebildet. Die Bestimmung eines
Extremwertes ist aus der Differenzialrechnung bekannt. Sie wird dort auf nichtlineare Funktionen einer
oder mehrerer unabhängiger Variablen angewendet. Für die Extremwertberechnungen linearer
Funktionen versagen die Methoden der Differenzialrechnung. Lineare Funktionen sind zwar
differenzierbar, da aber ihre erste Ableitung stets konstant ist, kann die für ein Extremwert bestehende
notwendige Bedingung nicht erfüllt werden.
Die Frage nach einem Extremwert einer linearen Funktion geht bei den Problemen der linearen
Optimierung von wesentlich anderen Gesichtspunkten aus als bei der Differenzialrechnung. Sie wird erst
sinnvoll durch die stets mit auftretenden Nebenbedingungen, die die Form von linearen Gleichungen und
Ungleichungen haben.
Lineare Optimierung
Bei einem linearen Optimierungsproblem (LOP) ist das Maximum oder Minimum einer linearen
Zielfunktion Z (ZF) zu bestimmen,
wobei die Struktur- oder Entscheidungsvariablen x1, x2, ..., xn den Nebenbedingungen (NB) oder
Restriktionen und der Nichtnegativitätsbedingung (NNB) genügen müssen.
Z = c0 + c1 x1 + c2 x2 + ... + cn xn max/min
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn R b1
a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn R b2 …
am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn R bm
R ∈ (≤, =, ≥)
xj ≥ 0, j = 1, 2, ..., n . Die Größen aij, bi, cj sind bekannt.
Beispiel
ZF: Z = x1 + 4x2 Zielfunktion mit zwei Variablen x1 und x2
NB:
x1 + 8x2 ≤ 200 System von drei Nebenbedingungen, 5x1 + 4x2 ≤ 200 in diesem Fall drei ≤ Beziehungen
5x2 ≤ 100
NNB: x1, x2 ≥ 0 Nichtnegativitätsbedingung für die beiden Variablen x1 und x2
Jeder Vektor x, der den Nebenbedingungen genügt, heißt Lösung des linearen Optimierungsproblems.
Jeder Vektor x, der den Nebenbedingungen und der Nichtnegativitätsbedingung genügt, heißt zulässige
Lösung des linearen Optimierungsproblems.
Die Gesamtheit aller zulässigen Lösungen eines linearen Optimierungsproblems heißt Menge der
zulässigen Lösungen. Jede zulässige Lösung, die die Zielfunktion maximiert bzw. minimiert, heißt
optimale Lösung des linearen Optimierungsproblems.
Beispielaufgabe 1: "Zeltekauf"
Eine Jugendgruppe beschließt, Zelte einzukaufen. In einem
Sonderangebot werden zwei verschiedene Sorten von Zelten für jeweils
10 und 15 Personen preiswert angeboten. Von den 10-Personenzelten
sind noch 5 und von den 15-Personenzelten nur noch 4 vorrätig. Die
Zelte für 10 Personen kosten 200 DM je Stück und diejenigen für 15
Personen insgesamt 400 DM je Stück. Die Jugendgruppe kann insgesamt
höchstens 1800 DM für die Zelte ausgeben. Wie viele 10- und 15Personenzelte kann die Jugendgruppe kaufen, damit eine möglichst
große Anzahl von Jugendlichen in den Zelten untergebracht werden
285
kann?
Lösungsansatz: Zuordnung von Variablen
x = 10-Personenzelte
y = 15-Personenzelt
Umformen der Bedingungen:
x≥0 y≥0 x≤5 y≤4
Außerdem ist bekannt, dass der Jugendgruppe nur 1800 DM zur Verfügung stehen und dass die Zelte 200
DM bzw. 400DM kosten. Daraus ergibt sich die Ungleichung:
200*x+400*y ≤ 1800 x+2y ≤ 9
Zuordnung von Gleichungen für die grafische Darstellung
x=0 ; y=0 ; x=5 ; y=4 ; x+2y=9
Graphische Lösung: Nur die gelb gefärbten Punkte des Bereiches
erfüllen die Bedingungen.
Von diesen zulässigen Lösungen muss nun das Wertepaar (x/y)
bestimmt werden, mit dem die Jugendgruppe die meisten Personen
unterbringen kann.
Zielfunktion:
10 x + 15 y = Z , wobei Z die Menge der
Personen ist
Die Funktion
y= -2/3x + Z/15
wird zusätzlich in das Koordinatensystem für verschiedene Z
eingetragen, bis eine Funktion nur noch einen Punkt mit der Menge der
zulässigen Lösungen gemeinsam hat.
Dieser Punkt kennzeichnet das Wertepaar, mit dem die meisten Personen untergebracht werden können.
Das abzulesende Ergebnis (5 Zehnpersonenzelte und 2 Fünfzehn-Personenzelte) lässt sich auch
rechnerisch überprüfen, indem man die Probe macht:
5*200 DM+2*400 DM=1800 DM
Beispielaufgabe 2: "Sortimentproblem"
Ein Hersteller produziert zwei Sortimente eines Artikels, der aus Teilen
besteht, die geschnitten, zusammengebaut und fertiggestellt werden
müssen. Der Unternehmer weiß, dass er so viele Artikel verkaufen kann,
wie er produziert. Sortiment 1 benötigt 25 Minuten zum Zerschneiden, 60
Minuten zum Zusammenbau und 68 Minuten, um es verkaufsfertig zu
machen. Es erzielt 30 DM Gewinn. Für Sortiment 2 braucht man 75 Minuten zum Schneiden, 60 Minuten
für den Zusammenbau und 34 Minuten, zur Fertigstellung. Dieses Sortiment erzielt einen Gewinn von 40
DM. Es stehen nicht mehr als 450 Minuten zum, Zerschneiden, 480 Minuten zum Zusammenbau und 476
Minuten zum Fertigstellen pro Tag zur Verfügung. Nun stellt sich dem Unternehmer die Frage, wie viele
Artikel von jedem Sortiment jeden Tag produziert werden müssen, um den Gewinn zu maximieren.
Lösungsansatz: Es seien x die Anzahl der Artikel aus Sortiment 1 und y die Anzahl der Artikel aus
Sortiment zwei. Die Werte für x und y können nicht negativ sein, sondern nur Beträge größer oder gleich
null annehmen:
x≥0,y≥0
Ungleichungen:25x+75y ≤ 450 60x+60y ≤ 480 68x+34y ≤ 476
Graphische Lösung:
In der Grafik repräsentieren die drei Ungleichungen die Flächen unterhalb den vorgegebenen Linien,
während die ersten beiden Ungleichungen genau auf den Achsen liegen,
und damit die Fläche abgrenzen.
Zielfunktion: 30*x+40*y = Z
; y = -3/4x + Z/40
Jetzt gibt man wieder beliebige Werte für Z ein, bis eine der
entstehenden Funktionen den möglichen Bereich nur noch in einem
Punkt schneidet. Dieser Punkt kennzeichnet das Wertepaar, mit dem
eine optimale Anzahl an Sortimenten hergestellt wird (siehe roter Kreis).
Dieses Ergebnis (3 / 5) lässt sich wieder mit der Probe überprüfen:
3*30DM+5*40DM=290DM. Der Unternehmer sollte also drei Artikel aus
Sortiment 1 und fünf Artikel aus Sortiment 2 herstellen, um die
Arbeitszeit optimal auszunutzen und den Gewinn dabei zu maximieren.
Einfache Probleme
Beispiel: Die Größe z sei von a und b mit z = a + 4b (Zielfunktion) abhängig, wobei für die Variablen a
und b vier Nebenbedingungen gelten sollen: a >=0 b >=0 2a + 3b <=4 3a + b <=3
Lösung:
a = 0 b = 1.33
Maximum 5.33
Beispiel: Die Größe z sei von a, b und c mit z = a + 4b + c (Zielfunktion) abhängig, wobei für die
Variablen Nebenbedingungen gelten sollen:
a > 1 b > 2 2a + 3b – c < 12
3a + b > 13
c<7
Lösung:
a = 3.67
b = 2 c = 1.33
Minimum 13
Beispiel: Die Größe z sei von a, b und c mit z = a + 4b + c (Zielfunktion) abhängig, wobei für die
Variablen Nebenbedingungen gelten sollen:
a < 3 b > 2 2a + 3b – c < 12
3a + b > 13
c<7
Lösung:
a=3 b=4 c=6
Minimum 25
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Beispielaufgabe 3: Welchen finanziellen Spielraum hat die Baugesellschaft?
Eine Baugesellschaft hat ein Grundstück von 12 000 m2 erworben. Darauf sollen zwei- und dreistöckige
Häuser gebaut werden, die zweistöckigen mit Garten, die dreistöckigen ohne Garten. Die zweistöckigen
Häuser sind für je 5 Familien, die dreistöckigen für je 7 Familien bestimmt.
Die Kosten betragen bei einem zweistöckigen Haus 400 000 DM, bei einem dreistöckigen Haus 600 000
DM. Insgesamt hat die Gesellschaft ein Kapital von12 000 000 DM für den Bau der Häuser zur Verfügung.
Für ein zweistöckiges Haus wird eine Grundstücksfläche von 600 m2 , für ein dreistöckiges Haus von 400
m2 benötigt.
Die Zahl der Arbeitsstunden zum Bau eines zweistöckigen Hauses
beträgt 6 000 Stunden, bei einem dreistöckigen Haus 12 000
Stunden. Insgesamt können höchstens 228 000 Stunden
aufgebracht werden.
Nach dem Bebauungsplan dürfen nicht mehr als 16 zweistöckige
Häuser gebaut werden. Wie ist das Grundstück zu bebauen, damit
möglichst viele Familien auf ihm wohnen können?
Nebenbedingungen:
600 x + 400 y ≤ 1200
400000 x + 60000 y ≤ 12000000
6000 x + 12000 y ≤ 228000
Zielfunktion:
5 x + 7 y = G Maximum
schwarz: Geraden, die das Planungsvieleck(blau) begrenzen
(Kapital, Fläche, Arbeitszeit)
rote Punkte: in Frage kommende Lösungen
rote Parallelenschar: Zielgeraden für bestimmte Werte von G
Wenn diese Zielgerade parallel bis zum Punkt (12,12) verschoben wird, ergibt sich ein maximaler
Gewinn. Diese Gerade hat im Vergleich zur Geraden durch Q(6,16) mit derselben Steigung -5/7 den
größten y-Achsenabschnitt.
Beispielaufgabe 4: Optimale Vorbereitung - Zeit ist wertvoll!
Peter kalkuliert scharf! Er muss in zwei Fächern - nämlich in Mathematik und in Englisch - eine
Nachprüfung machen.
Um den versäumten Stoff nachzuarbeiten, benötigt er in Mathematik mindestens 2 Tage und in Englisch
mindestens 1,5 Tage. Das Nacharbeiten allein genügt nicht, da er auch den Stoff üben muss.
Bei einem Arbeitsaufwand von einem Tag kann er in Mathematik 4 Punkte und in Englisch 8 Punkte oder
eine entsprechende Kombination bei einer anderen Tagesaufteilung erreichen. Insgesamt muss er in
beiden Fächern zusammen mindestens 44 Punkte erreichen. Sein Freund hat sich bereit erklärt, mit ihm
mindestens 10 Stunden zusammenzuarbeiten und zwar täglich 2 Stunden im Fach Mathematik und eine
Stunde im Fach Englisch.
Wie muss Peter seine Zeit einteilen, damit er mit einem möglichst geringen Aufwand sein Ziel erreicht?
Lösung: x : Anzahl der Tage für Mathematik, y: Anzahl der Tage für Englisch
mindestens 2 Tage Mathe erforderlich
x≥2
mindestens 1,5 Tage Englisch erforderlich
y ≥ 1.5
Unterstützung durch den Freund
2 x + y ≥ 10
zu erreichende Punkte
4 x + 8 y ≥ 44
zu minimieren ist die Zahl der Arbeitstage E(x,y) = x + y
Minimum an Arbeitstagen
3 Tage für Mathematik
4 Tage für Englisch
Beispielaufgabe 5: Entscheidungen eines Süßwarenherstellers
Ein Süßwarenhersteller erhält von zwei verschiedenen Schokoladenfabrikanten
Mischungen, die er zu einer dritten Sorte zusammenmischen will.
Die Sorten "Praliné d' Or" und "Knusper Gala" enthalten in jeweils unterschiedlicher
Zusammensetzung Krokantpralinen, Pralinen aus Vollmilch- bzw. weißer
Schokolade und Bitterschokolade.
Die folgende Aufstellung gibt jeweils an, wie viel von jeder Pralinengeschmacksart in den Packungen der
beiden Sorten enthalten ist und was die Grundlage für seine Kalkulation ist.
Inhalt
Praliné d' Or (8 kg)
Knusper Gala (11 kg)
Krokantpralinen
2 kg
1 kg
Vollmilch/weiße
4 kg
5 kg
Schokolade
Bitterschokolade
2 kg
5 kg
Preis pro
500 DM
400 DM
Packungseinheit
Die neue Mischung soll mindestens 146 kg Krokantpralinen, mindestens 550 kg Vollmilch- und
mindestens 400 kg Pralinen aus dunkler Schokolade enthalten. Wie viele Packungseinheiten muss er von
der Sorte "Praliné d' Or" und von der zweiten Sorte "Knusper Gala" ordern, um die neue Sorte möglich
kostengünstig einzukaufen?
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Lösung: Die zugehörigen Ungleichungen
I. 2x + y ≥ 146 y ≥ -2 x +146 blauer Bereich
II. 4x + y ≥ 550 y ≥ -0,8 x + 110 roter Bereich
III. 2x + 5y ≥ 400 y ≥ -0,4 x + 80 grüner Bereich
Die weiß gezeichnete Linie gibt die Berandung des
Zielgebiets an; oberhalb dieses Streckenzugs.
Zielfunktion: 500 x + 400 y = Z
y = -5/4 x + Z/400
Mögliche Punkte innerhalb des Zielgebiets sind z.B. P1
(0, 146), P2 (200, 0) oder P3(50, 50) (weiss
gezeichnet).
Legt man parallele Geraden (gelb, mit der Steigung 5/4) durch diese Punkte, so stellt man fest, dass die
Gerade, die durch den mit P beschrifteten Punkt (30/86) geht, den kleinsten y-Achsenabschnitt hat. Der
y-Achsenabschnitt dieser Geraden ist jeweils Z/400. Wenn Z/400 so klein wie möglich ist, dann ist auch Z
so klein wie möglich unter den obigen angegebenen 3 Bedingungen.
Die Berechnung des optimalen Punktes P (die Gerade durch P liefert den kleinsten y-Achsenabschnitt)
erfolgt durch Lösen des Gleichungssystems:
I) 2x + y =146 und II) 4x + 5y = 550
Es ergibt sich: (30/86), d.h. x=30, y=86.
Einsetzen dieser Werte für x und y in die Gleichung der Zielfunktion ergibt Z = 500*30 + 400*86 = 49
400 und damit 30 Packungseinheiten zu 8 kg (Nuss+Marzipan+Krokant). Von der 2.Sorte müssen 86
Packungseinheiten genommen werden, die je 11 kg schwer sind (1+5+5). Das heißt: 240 kg von Sorte 1
und 946 kg von Sorte 2 wird der Süßwarenhersteller wohl ordern.
Dieses Problem führte zu 3 Bedingungen mit 2 Variablen. Man kann sich vorstellen, dass ein
Süßwarenhersteller ein solches Problem wirklich lösen muss. Meist sind die lineare Optimierungsprobleme
aber komplexer.
Simplex-Verfahren
Das Simplex-Verfahren läuft die Ecken des Polyeders ab, bis es an einer
Optimallösung angekommen ist.
Das Simplex-Verfahren, im Jahre 1947 von George Dantzig entwickelt, ist der
wichtigste Algorithmus zur Lösung linearer Programme in der Praxis. Die
Grundidee besteht darin, von einer Ecke des Polyeders zu einer benachbarten
Ecke mit besserem Zielfunktionswert zu laufen, bis dies nicht mehr möglich
ist. Da es sich bei der linearen Optimierung um ein konvexes Optimierungsproblem handelt, ist die damit
erreichte lokal optimale Ecke auch global optimal.
Das Verfahren ist im Bild illustriert: Ziel ist es, einen möglichst weit oben (in Richtung des Vektors c)
liegenden Punkt zu finden. In roter Farbe ist ein möglicher Pfad des Simplex-Verfahrens entlang der
Ecken des Polyeders dargestellt, wobei sich der Zielfunktionswert mit jedem Schritt verbessert.
Innere-Punkte-Verfahren
Innere-Punkte-Verfahren nähern sich einer Optimallösung durch das Innere
des Polyeders.
Innere-Punkte-Verfahren, auch Barrier-Verfahren genannt, nähern sich
einer optimalen Ecke durch das Innere des Polyeders (siehe Bild). Der erste
solche Algorithmus wurde 1984 von Narendra Karmarkar beschrieben.
Seine Bedeutung lag vor allem darin, dass er der erste polynomiale Algorithmus zum Lösen linearer
Programme war, der das Potential hatte, auch praktisch einsetzbar zu sein. Die entscheidenden
Durchbrüche, die Innere-Punkte-Verfahren konkurrenzfähig zum Simplex-Algorithmus machten, wurden
aber erst in den 1990er Jahren erzielt. Ein Vorteil dieser Verfahren ist, dass sie, im Gegensatz zum
Simplex-Verfahren, in leichter Abwandlung auch zum Lösen quadratischer oder bestimmter nichtlinearer
Programme eingesetzt werden können.
Ellipsoidmethode
Die Ellipsoidmethode zur Lösung linearer Programme wurde 1979 von Leonid
Khachiyan veröffentlicht und war das erste polynomiale Verfahren für dieses
Problem. Für praktische Zwecke ist sie allerdings nicht geeignet. Die
Ellipsoidmethode dient dazu, einen beliebigen Punkt in einem
volldimensionalen Polyeder zu finden oder festzustellen, dass das Polyeder leer
ist.
Die Grundidee des Verfahrens besteht darin, ein Ellipsoid zu definieren, das alle Ecken des Polyeders
enthält. Anschließend wird festgestellt, ob der Mittelpunkt dieses Ellipsoids im Polyeder enthalten ist. Falls
ja, hat man ein Punkt im Polyeder gefunden und kann aufhören. Andernfalls kann man das Halbellipsoid
bestimmen, in dem das Polyeder enthalten sein muss, und ein neues, kleineres Ellipsoid um das Polyeder
legen.
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