Vektoranalysis

Vorkurs Mathematik für EI
Prof. Dr. J. Dorfmeister
Thorsten Knott
TU München
WS 12/13
Vektoranalysis
Abbildungen von I ⊂ R in den Rn heiÿen Kurven (bzw. von I ⊂ C in den Cn ). Im
Folgenden sei


f1 (t)
 f2 (t) 


f : R ⊃ I → Rn mit t 7→ f (t) =  . 
 .. 
fn (t)
eine Kurve.
1. f heiÿt stetig, wenn alle Komponenten von f stetig sind.
2. f heiÿt dierenzierbar, wenn alle Komponenten von f dierenzierbar sind. In diesem
Fall bezeichnet man
f 0 (t) = (f10 (t), f20 (t), · · · , fn0 (t))T
als die Ableitung von f .
3. Seien f : R ⊃ I → Rn und g : R ⊃ J → Rn zwei Kurven. Gibt es t1 ∈ I und t2 ∈ J ,
so dass f (t1 ) = g(t2 ) = a so bezeichnet man a als Schnittpunkt der beiden Kurven.
Der Schnittwinkel ϕ ist deniert als
cos(ϕ) =
f 0 (t1 ) · g 0 (t2 )
kf 0 (t1 )k kg 0 (t2 )k
wenn f bzw. g an der Stelle t1 bzw. t2 dierenzierbar ist.
4. Die Kurve f hat einen Doppelpunkt f (t1 ), wenn es t1 , t2 ∈ I mit t1 6= t2 gibt, für die
f (t1 ) = f (t2 ) gilt.
5. Analog zum Schnittwinkel zweier Kurven deniert man den Schnittwinkel ϕ in einem
Doppelpunkt der Kurve f folgendermaÿen:
cos(ϕ) =
f 0 (t1 ) · f 0 (t2 )
kf 0 (t1 )k kf 0 (t2 )k
1. Zeichnen Sie die folgenden Funktionen in ein 2-dimensionales Koordinatensystem.
(a) g1 (x) = (x, x4 )T
(b) g2 (x) = (x2 , x3 )T
(c) g3 (x) = (cos(x), sin(x))T
2. Kann man folgende Teilmengen des R2 als parametrisierbare Kurven verstehen? Wenn ja, geben sie
eine solche Kurve an.
(a)
(b)
(c)
(x, y)T
(x, y)T
(x, y)T
n
(d) (x, y)T
∈ R2 |y 2 = x
∈ R2 |y = ax + b mit a, b ∈ R
∈ R2 |x2 + y 2 = r2
o
2
2
∈ R2 | xa2 + yb2 = 1 mit a, b > 0
Hinweis: Diese Menge heiÿt Ellipse mit den Halbachsen
1
a
und
b.
3. Bestimmen Sie für die folgenden Funktionen den maximalen Denitionsbereich und berechnen sie
die Nullstellen.
(a) f1 (x) = (x2 − 1, x2 − 3x − 4)T
(b) f2 (x) = (ex , x)T
(c) f3 (x) =
x+2 x2 −1
x−2 , x
T
4. Betrachten Sie die Kurve f (t) = a(t) · (cos(t), sin(t))T mit einer Funktion a : I ⊂ R → R. Finden
Sie jeweils eine geeignete Funktion a(t), so dass f (t) folgende Bewegungen parametrisiert:
(a)
(b)
(c)
(d)
eine ebene Spirale, die sich in unendlich vielen Umläufen der 0 annähert.
eine ebene Spirale, die bei t=3 in der 0 endet.
eine sich vom Ursprung entfernende Spirale mit äquidistanten Windungen.
eine sich vom Ursprung entfernende Spirale mit zunehmenden Abständen zwischen den Windungen.
5. Es sei SA : R → R3 eine Abbildung für A > 0 mit SA (x) =
1
A
· (sin(x), cos(x), x) .
T
(a) Begründen Sie, warum es sich beim Graphen von SA um eine Spirale handelt. Welche Bedeutung hat der Parameter A für den Graphen?
(b) Wie muss B > 0 gewählt sein, dass für x ∈ [0, πB] der Graph genau drei (volle) Windungen
besitzt? Wie groÿ ist in diesem Fall der Durchmesser der Spirale?
6.
(Elektrizität und Magnetismus, SoSe 2009) Die Auahrt in ein Parkhaus sei eine Schraubenlinie
mit dem Radius r = 8 m und der Höhe h = 12 m. Die Schraubenlinie hat die Form:

  
r cos(2πt)
x
F (t) = y  =  r sin(2πt) 
1
z
3 ht
Welche Länge hat die Auahrt? Gehen Sie wie folgt vor:
(a) Bestimmen Sie t1 derart, dass für t ∈ [0, t1 ] parametrisiert wird.
R (b) Berechnen Sie die Länge der Auahrt mit Hilfe der Formel l = 0t1 Ḟ (t) dt.
7. Seien f und g dierenzierbare Abbildungen von R nach R2 und f · g bezeichnet das euklidische
Skalarprodukt.
t+1 T
(a) Sei nun f (t) = (et −ln(t) , t−1
) und g(t) = (t, (t−1)(t+2))T . Was ist der gemeinsame maximale
d
(f · g), dann f˙ · g + f · ġ und vergleichen Sie die
Denitionsbereich? Berechnen Sie zuerst dt
Ergebnisse.
d
(b) Zeigen Sie für allgemeine f und g : dt
f · g = f˙ · g + f · ġ .
(c) Gilt dies auch, wenn f und g nach Rn mit n ∈ N abbilden?
2
8. Bestimmen Sie die Ableitung von folgenden Funktionen und alle x ∈ R für die f˙(x) = 0 gilt.
(a) h1 (x) = (xe−x , 3x2 − 2x + 7, x cos x)T
(b) h2 (x) = (x2 e7x , x2 − 7x + 1, x tan x)T
2
9. Auf der Wiesn gibt es eine neue Attraktion. Dieses Fahrgerät funktioniert folgendermaÿen: Ein Rad
mit einem Durchmesser von 2 m wird auf einer geraden Strecke von 4π im Uhrzeigersinn abgerollt.
Dabei bleibt der Mittelpunkt des Rades immer auf einer parallelen Linie zum Boden. Als Fahrgast
sitzt man beim Start im Nullpunkt. Der Fahrgast fragt sich, wie die Kurve in Abhängigkeit des
zurückgelegten Weges aussieht. Können Sie ihm helfen? Gehen sie dazu so vor:
(a) Zeichnen Sie die Fahrt des Fahrgeschäftes auf.
(b) Überlegen Sie sich, auf welcher Kurve sich der Mittelpunkt bewegt.
(c) Überlegen Sie sich, welcher Anteil zu der Kurve des Mittelpunkts noch dazu addiert werden
muss, damit man auf der richtigen Kurve landet.
2
1.5
cos(t), 0.5 * sin(2 * t)
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
10. Es wird die Kurve b(t) = (cos(t), 21 sin(2t))T mit t ∈ [0; 2π] betrachtet. (Graph s. Abb. 10)
(a) Bestimmen Sie alle Doppelpunkte von b, d. h. alle t1 , t2 ∈ (0; 2π) mit t1 6= t2 und b(t1 ) = b(t2 ).
(b) Berechnen Sie die Ableitung von b an den Doppelpunkten und zeichnen Sie die Vektoren in
die Skizze an den Doppelpunkten mit ein.
(c) Wie groÿ sind die Schnittwinkel der Kurve an den Doppelpunkten?
Hinweis: Aufgabenteil (c) hilft.
11. Es wird im Folgenden die Trajektorie (Bahnkurve) von einem Mond durch ein fernes Sonnensystem
betrachtet.
(a) Der Mond umkreist seinen Planeten in einem mittleren Abstand von 2.5 · 105 km 8 mal pro
Jahr. Parametrieren Sie die Umlaufbahn des Mondes um den Planeten. Der Planet bendet
sich im Koordinatenursprung. Rechnen Sie dabei mit der Zeiteinheit a. Der Mond bendet sich
bei t = 0 a am Punkt (2.5 · 105 , 0)T km und umkreist den Planeten im mathematisch positiven
Sinn (d. h. gegen den Uhrzeigersinn).
(b) Der Planet hat einen mittleren Abstand von 12 · 106 km zu seiner Sonne und umkreist diese
einmal pro Jahr. Parametrieren Sie die Umlaufbahn des Planeten um die Sonne. Gehen sie so
vor wie in (a).
(c) Berechnen Sie aus (a) und (b) die Trajektorie des Mondes durch das Sonnensystem für ein
Jahr.
(d) Ein Asteroid nähert sich dem Planeten auf der Bahn
As(t) =
12.5
24
· 106 km −
47
48
· 106 km
t
a
i. Berechnen Sie, ob und wann der Planet vom Asteroiden getroen wird.
ii. Berechnen Sie den Einschlagwinkel.
iii. Es besteht die Möglichkeit, dass der Asteroid zu einem früheren Zeitpunkt bereits den
Mond trit. Berechnen Sie, ob und wann der Asteroid auf den Mond trit. Kann die
Katastrophe verhindert werden?
iv. Berechnen Sie den Einschlagwinkel.
v. Für Interessierte: Ist der Einschlag auf den Mond vom Planeten aus sichtbar? (Skizze!)
Tipp: Ein paar schöne Werte ausprobieren, um schwierige Gleichungen zu lösen. Auosen
ist leider oft nicht möglich.
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