Arbeitsblatt Geometrie / Trigonometrie Winkelbeziehugen

Fachhochschule Nordwestschweiz (FHNW)
Hochschule für Technik
Institut für Mathematik und Naturwissenschaften
Arbeitsblatt Geometrie / Trigonometrie
Modul: Mathematik
Datum: 2016
Dozent: Brückenkurs Mathematik 2016
Winkelbeziehugen
1. Aufgabe
(a) Bestimmen Sie die Winkel α und β:
(b) Bestimmen Sie im gegebenen Trapez den Winkel α in Abhängigkeit der Winkel
δ und :
2. Aufgabe
Bestimmen Sie in den nachfolgenden Figuren den Winkel β in Abhängigkeit des
Winkels α.
?
?
Mathematik
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2016
Strahlensatz und Pythagoras
3. Aufgabe
Gegeben sei das allgemeine Dreieck ABC mit den Seiten a = 9cm, b = 5cm und c =
11cm. Weiter sei das Dreieck A0 B 0 C, welches durch Parallelverschiebung der Seite
c entsteht, so dass der Umfang U 0 = 10cm beträgt. Bestimmen Sie die Seitenlängen
des Dreiecks A0 B 0 C und das Verhältnis der Flächeninhalte der beiden Dreiecke.
C
A'
B'
B
A
4. Aufgabe
In der untenstehenden Skizze kennt man das Verhältnis der parallelen Abschnitte
2x
2
AB
=
=
CD
3x
3
und die Strecken AD = 20cm und BC = 15cm. Bestimmen Sie die Entfernung des
Schnittpunkts S von den Punkten A, B, C und D.
5. Aufgabe
In einem rechtwinkligen Dreieck mit dem Hypotenusenabschnitt-Verhältnis pq = k,
teilt die Höhe das Dreieck in zwei weitere rechtwinklige Dreiecke. Bestimmen Sie
das Flächen-Verhältnis der beiden neuen Dreiecke zu dem ursprünglichen Dreieck:
p
c
a
h
q
b
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6. Aufgabe
Bestimmen Sie in den nachfolgenden Figuren die Grösse x in Abhängigkeit des
Radius R.
R
R
x
x
7. Aufgabe
Bestimmen Sie in untenstehender Figur den Radius x des kleinen Kreises in Abhängigkeit
des Seitenlänge a des Quadrates.
8. Aufgabe
Bestimmen Sie y in Abhängigkeit von r.
y
3
r
2
r
9. Aufgabe
Bestimmen Sie in einem gleichschenkligen, rechtwinkligen Dreieck mit der Hypotenuse c = 10cm die Längen der Seitenhalbierenden und den Radius des Inkreises.
10. Aufgabe
Bestimmen Sie den Radius des kleinen Kreises (x) in Abhängigkeit der Seitenlänge
des Quadrates (s).
s
s
x
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11. Aufgabe
Bestimmen Sie x in Abhängigkeit von R.
x
R
12. Aufgabe
Bestimmen Sie in einem gleichschenkligen, rechtwinkligen Dreieck mit Kathetenlänge
s, die Radien des In- und des Umkreises.
13. Aufgabe
Bestimmen Sie x in Abhängigkeit von r:
x
r
Trigonometrie
14. Aufgabe
Von einem rechtwinkligen Dreieck ABC (Hypotenuse c), kennt man die Kathete
b = 12m und die Seitenhalbierende sc = 6.5m. Bestimmen Sie alle Seiten und
Winkel dieses Dreiecks.
15. Aufgabe
Von einem rechtwinkligen Dreieck ABC, kennt man die Kathete a = 5cm und die
Höhe hc = 3cm. Bestimmen Sie alle Seiten und Winkel dieses Dreiecks.
16. Aufgabe
Einem Kreis mit Radius R = 10cm ist ein Trapez ABCD einbeschrieben. Vom
Trapez kennt man die parallelen Trapezseiten a = AB = 16cm und c = CD =
12cm. Bestimmen Sie den Flächeninhalt und die Längen der Diagonalen.
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17. Aufgabe
Berechnen Sie in einem allgemeinen Dreieck ABC aus den gegebenen Grössen die
fehlenden Seitenlängen und Winkel.
C
b
a
sc
hc
c
A
B
(a) a = 5m, c = 7m und α = 40◦ .
(b) a = 7km, b = 4km und F = 10km2 .
(c) sc = 6cm, hc = 5cm und β = 70◦ .
(d) a = 6cm, c = 10cm und α = 25◦ .
(e) a = 4m, β = 40◦ und sc = 6cm (Seitenhalbierende von c).
(f) a = 4m, b = 10m und hc = 3m.
(g) α = 30◦ , b = 5cm und sc = 3cm.
18. Aufgabe
Eine Last F = 5kN ist an der nachfolgenden Aufhängung angebracht (AC = 2m,
BC = 1m). Bestimmen Sie die Kräfte in den beiden Stäben (die Kraft wirkt in
Stabrichtung).
A
α
C
B
F
19. Aufgabe
Bestimmen Sie die fehlenden Seiten und Winkel des Dreiecks ABC mit a = 11m,
hb = 3m und α = 70◦ .
C
D
a
hb
α
B
A
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20. Aufgabe
Zwei Schiffe A und B liegen vor der Küste vor Anker. Wie weit sind die beiden
Schiffe voneinander entfernt?
A
α
C
B
γ δ
β
D
a
Daten:
a
α
β
γ
δ
=
=
=
=
=
50m
41.5◦
16.3◦
75.2◦
27.9◦
21. Aufgabe
Berechnen Sie von den beiden nachfolgenden Figuren die fehlenden Grössen:
c
d
b
a
h
q
c
h
e
p
a
(a) Rechtwinkliges Dreieck: Gegeben h = 12cm und q = 15cm.
(b) Trapez: Gegeben a = 20cm, c = 4cm, b = 12cm und h = 6cm.
22. Aufgabe
Bestimmen Sie den eingezeichneten Winkel:
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f
b
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23. Aufgabe
Wieviele Kilometer beträgt die Länge des Breitenkreises, auf dem Berlin liegt (ϕ =
52◦ 300 , rE = 6370km). Bestimmen Sie zudem die Geschwindigkeit mit welcher sich
Berlin um die Erdachse dreht.
rE
ϕ
B
M
24. Aufgabe
Von einem Trapez kennt man a = 69.3m, c = 13.4m, ha = 41.9m und β = 48.5◦ . Berechnen Sie die restlichen Seiten und Winkel, die Diagonalen und den Flächeninhalt.
c
δ
d
γ
e
ha
α
b
f
β
a
Trigonometrische Funktionen
25. Aufgabe
Skizzieren Sie die Graphen der folgenden Funktionen:
(a)
π
f1 (x) = y = 2 sin 4x −
4
(b)
f2 (x) = y =
1
cos (2x)
3
(c)
f3 (x) = y = 4 sin
1
2π
x+
2
3
(d)
f4 (x) = y = sin (3x) + 2 cos (3x)
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(e)
f5 (x) = y =
1
(1 − cos (2x))
2
(f)
2π
π
+ sin 5x +
f6 (x) = y = sin (5x) + sin 5x +
3
3
26. Aufgabe
Benutzen Sie die Formel
cos(α2 − α1 ) = cos(α1 ) cos(α2 ) + sin(α1 ) sin(α2 )
um einen analytischen Ausdruck für cos(15◦ ) zu finden.
27. Aufgabe
Benutzen Sie die Formel
cos(α + β) = cos(α) cos(β) − sin(α) sin(β)
um die Doppelwinkelformel für den Cosinus herzuleiten: cos(2γ) =?
28. Aufgabe
Benutzen Sie die folgenden beiden Formeln
cos (2α) = cos2 (α) − sin2 (α)
sin2 (α) + sin2 (α) = 1
um die Doppelwinkelformel für den Sinus herzuleiten: sin(2γ) =?
29. Aufgabe
Bestimmen Sie die Überlagerung der folgenden harmonischen Schwingungen:
(a)
3 sin (x) + 4 cos (x) =?
(b)
5 sin (3x) − 12 cos (3x) =?
(c)
2 sin
x
4
+ 2 cos
x
4
=?
30. Aufgabe
Vereinfachen Sie:
(a)
sin (α)
=?
tan (α)
(b)
1
− sin (α) tan (α) =?
cos (α)
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(c)
1
− 1 =?
cos2 (α)
(d)
sin (α)
=?
1 + tan12 (α)
(e)
1 + cos (α)
sin (α)
+
=?
cos (α) + 1
sin (α)
(f)
s
1 − cos2 (α)
=?
1 − sin2 (α)
(g)
sin (x) sin (x − y) − cos (x) cos (x − y) =?
(h)
cos2 (x) − sin2 (y)
=?
cos (x + y) cos (x − y)
(i)
s
1 − tan2 (x)
+ sin2 (x) =?
tan2 (x) + 1
31. Aufgabe
(a) Bestimmen Sie alle Winkel α ∈ [0◦ , 360◦ ], die die folgende Gleichung erfüllen:
cos(2α) + sin(α) = 0
(b) Bestimmen Sie alle x ∈ [0, 2π], die die folgende Gleichung erfüllen:
π
+ cos (x) = 0
cos x −
3
(c) Bestimmen Sie alle x ∈ [0, 2π], die die folgende Gleichung erfüllen:
π
sin (2x) + cos x +
=0
2
(d) Bestimmen Sie alle x ∈ [0, π], die die folgende Gleichung erfüllen:
cos (2x) = −
1
2
(e) Bestimmen Sie alle x ∈ [0, 2π], die die folgende Gleichung erfüllen:
sin (x) + sin2 (x) = 0
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(f) Bestimmen Sie alle x ∈ [0, 2π], die die folgende Gleichung erfüllen:
cos (x) + cos (2x) = 0
(g) Bestimme Sie alle x ∈ [0, 2π], die die folgende Gleichung erfüllen:
sin (x) − cos (2x) = 0
(h) Bestimme Sie alle reellen Zahlen x, die die folgende Gleichung erfüllen:
cos (2x) =
1
2
(i) Lösen Sie die folgende Gleichung (geben Sie alle Lösungen im Intervall [0◦ , 360◦ ]
an):
1
2 sin (α) + = 0
2
(j) Lösen Sie die folgende Gleichung (geben Sie alle Lösungen im Intervall [0◦ , 360◦ ]
an):
sin2 (α) − cos2 (α) = 1
(k) Lösen Sie die folgende Gleichung (geben Sie alle Lösungen im Intervall [0, 2π]
an):
sin (x) + cos (2x) = 0
(l) Welche Zahlen x ∈ [0, 2π] erfüllen die Gleichung:
sin (x) + tan (x) = 0
(m) Bestimme Sie alle reellen Zahlen x, die die folgende Gleichung erfüllen:
2 sin (x) − 3 cos (x) =
3
2
(n) Bestimme Sie alle reellen Zahlen x, die die folgende Gleichung erfüllen:
4 sin (3x) + 3 cos (3x) =
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