Die Fouriertransformation auf dem R^n.

Skript Funktionenräume
Alexander Rosenstock
4. Februar 2014
Inhaltsverzeichnis
1 Fouriertransformation auf dem Rn
1.1 L1 -Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Fouriertransformation komplexer Maße auf dem Rn .
1.3 L2 -Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Schwartz-Funktionen und temperierte Distributionen
1
.
.
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.
.
.
.
.
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.
.
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.
.
.
.
.
.
.
.
2
2
13
23
33
1
Fouriertransformation auf dem Rn
Literatur:
Stein, Weiss:
Grafakos:
1.1
Introduction to fourier analysis on euclidean n-space
Classical Fourier Analysis
L1 -Theorie
Definition (Fouriertransformation):
Für f ∈ L1 (Rn ) heißt
n
fˆ(ξ) := (2π)− 2
Z
e−ix·ξ f (x) dx
Rn
die Fouriertransformierte von f
Bemerkung:
(i) fˆ ist beschränkt, denn
n
|fˆ(ξ)| ≤ (2π)− 2
Z
|e−ixξ f (x)| dx
Rn
n
= (2π)− 2 kf k1
(ii) fˆ is eine stetige Funktion. Sei ξn → ξ in Rn :
Z
n
(e−ixξn − e−ixξ )f (x) dx
fˆ(ξn ) − fˆ(ξ) = (2π)− 2
{z
}
n
R |
=:fn (x)
∀x ∈ Rn
lim fn (x) = 0
n→∞
|fn (x)| ≤ 2|f (x)|
Nach Lebesgue folgt, dass
lim fˆ(xn ) = fˆ(ξ)
n→∞
Es gilt sogar, dass fˆ gleichmäßig stetig ist; dies folgt aus (ii) und Lemma
1.1.1
Lemma 1.1.1 (Riemann-Lebesgue):
Für f ∈ L1 (Rn ) mit Fouriertransformierter fˆ gilt
lim fˆ(ξ) = 0
|ξ|→∞
Beispiel 1.1.1 (und erster Beweis):
Es sei Q = {x ∈ Rn |ak ≤ xk ≤ bk
berechnen fˆ für f = χQ .
∀ k} ein achsenparalleler Quader. Wir
2
• n = 1:
1
χ[
[a,b] (ξ) = √
2π
( 1
√
b
Z
e−ixξ dx
a
(b − a)
2π
√ 1 (e−iaξ
2πiξ
=
ξ=0
−ibξ
−e
q
 2 sin(aξ)
π
ξ
= q
 2a
π
(Speziell wenn a = −b: χ̂[−a,a]
) ξ 6= 0
ξ 6= 0
)
ξ=0
• n ≥ 2:
n
χ̂Q (ξ) = (2π)− 2
Z
e−ixξ χQ (x) dx
Rn
−n
2
n
Y
Z
= (2π)
n
= (2π)− 2
e−ixk ξx χak ,bk (xk ) dx
Rn k=1
n Z
Y
e−ixk ξk χ[ak ,bk ] (xk ) dxk
k=1
R
n
= (2π)− 2 (−i)n
n
Y
1 −iak ξk
(e
− e−ibk ξk )
ξk
k=1
⇒ |χ̂Q (ξ)| .
n
Y
1
(1 + ξk2 )− 2 −→ 0
(|ξ| → ∞)
k=1
Beweis. (Riemann-Lebesgue) Betrachte
t=
N
X
λk χQk
k=1
mit achsenparallelen Quadern Qk .
Bsp. 1.1.1
⇒
lim t̂(ξ) = 0
|ξ|→∞
PN
{t = k=1 λk χQk |λk ∈ R, Qk achsenparallel} bildet einen dichten Teilraum von
L1 (Rn ) (wegen Def. des Lebesgue-Integrals und die Möglichkeit der Ausschöpfung
offener Mengen durch achsenparallele Quader)
Ist jetzt f ∈ L1 (Rn ) und ε > 0 vorgegeben, dann wählen wir t wie oben so, dass
3
kf − tk1 ≤ ε
⇒ |fˆ(ξ)| ≤ |fˆ(ξ) − t̂(ξ)| + |t̂(ξ)|
n
≤ (2π)− 2 kf − tk1 +|t̂(ξ)|
| {z }
≤ε
n
⇒ lim sup |fˆ(ξ)| ≤ (2π)− 2 ε + lim |t̂(ξ)|
|ξ|→∞
|ξ|→∞
|
{z
}
=0
⇒ lim |fˆ(ξ)| = 0
|ξ|→∞
Definition (Translationsoperatoren):
Für y ∈ Rn setzen wir
τy f (x) := f (x − y)
Bemerkung:
Für f ∈ Lp (Rn ), y ∈ Rn , p ∈ [1, ∞] gilt:
kτy f kp = kf kp
Lemma 1.1.2:
Es sei p ∈ [1, ∞) und f ∈ Lp (Rn ). Dann gilt
lim kτy f − f kp = 0
|y|→0
Beweisskizze. Mit einem Approximationsargument kann man annehmen, dass
f ∈ Cc0 (Rn ) = {f ∈ C 0 (Rn )| supp f kompakt}. Für ein solches f ist
Z
kτy f − f kpp =
|f (x − y) − f (x)|p dx −→ 0
(|y| → 0)
Rn
• wegen Stetigkeit |f (x − y) − f (x)| → 0
(|y| → 0)
• |f (x − y) − f (x)|p ≤ (2kf k∞ )p χBR+1 (0) falls supp f ⊂ BR (0) und |y| ≤ 1
4
iπ
ξ·ξ
Beweis. (2. Beweis von Riemann-Lebesgue 1.1.1) −1 = eiπ = e |ξ|2
Z
n
iπ ξ·ξ
⇒ fˆ(ξ) = −(2π)− 2
e |ξ|2 e−ixξ f (x) dx
n
ZR
πξ
n
−iξ(x− |ξ|
2
= −(2π)− 2
e
f (x) dx
Rn
Z
n
πξ
= −(2π)− 2
e−ixξ f (x + 2 ) dx
|ξ|
n
Z R
n πξ
−2 −ixξ
ˆ
⇒ 2|f (ξ)| = (2π)
(f (x) − f (x + 2 )) dx
ne
|ξ|
ZR
πξ
−n
≤ (2π) 2
|f (x) − f (x + 2 )| dx
|ξ|
n
R
|{z}
=:−y
Lemma 1.1.2
⇒
lim |fˆ(ξ)| = 0
|ξ|→∞
Funktionalanalytische Betrachtung:
Definition (C00 ):
C00 (Rn ) := {f ∈ Cb0 (Rn )| lim |f (x)| = 0}
|x|→∞
(Cb0 (Rn ) := {f ∈ C 0 (Rn )||f | ist beschränkt}) C00 wird wie Cb0 mit k · k∞ ausgestattet und ist ein abgeschlossener Untervektorraum von Cb0 (Rn ) und von
L∞ (Rn ) und damit ein Banachraum.
Lemma 1.1.3:
Die Fouriertransformation
f 7→ fˆ =: Ff
F : L1 (Rn ) → C00 (Rn ),
ist ein stetiger, linearer Operator mit Norm
n
kFkL1 →C00 = (2π)− 2
(∗)
Bemerkung:
(i) In (∗) gilt 0 ≤0 nach Bemerkung zur Definition. Für f ∈ L1 (Rn ), f ≥ 0 ist
Z
n
n
kfˆk∞ ≥ |fˆ(0)| = (2π)− 2
f (x) dx = (2π)− 2 k[1]f
Rn
und damit 0 =0 in (∗)
(ii) F : L1 (Rn ) → C00 (Rn ) ist nicht surjektiv (für n = 1 siehe Blatt 1, Aufgabe
1)
5
(iii) F ist injektiv (später)
Lemma 1.1.4:
Es seien f, g ∈ L1 (Rn ); ξ, a ∈ Rn . Dann gelten
−iaξ ˆ
(1) τd
f (ξ)
a f (ξ) = e
n
(2) f[
∗ g(ξ) = (2π) 2 fˆ(ξ)ĝ(ξ)
wobei
Z
f ∗ g(x) :=
f (x − y)g(y) dy
Rn
Beweis.
(1)
−n
τd
a f (ξ) = (2π) 2
Z
e−ixξ f (x − a) dx
Rn
n
= (2π)− 2
Z
e−ixξ−iaξ f (x) dx
Rn
= e−iaξ fˆ(x)
(2)
Z
n
∗ g(ξ) =
(2π) 2 f[
e−ixξ
Z
Rn
Rn
Z
f (x − y )g(y) dy dx
| {z }
=:x0
0
e−i(x +y)ξ f (x0 )g(y) dx0 dy
=
Rn ×Rn
= (2π)n fˆ(ξ)ĝ(ξ)
Lemma 1.1.5:
Es seien f, g ∈ L1 (Rn ), A ∈ GL(n). Dann gelten
(1)
f[
◦ A(ξ) =
1
fˆ(A−T ξ)
| det A|
(2)
Z
fˆ(ξ)g(Aξ) dξ =
Rn
Z
Rn
Beweis.
6
f (AT x)g(x) dx
(1)
n
f[
◦ A(ξ) = (2π)− 2
Z
Rn
dx
= | det A|
dy
e−ixξ f (|{z}
Ax ) dx
=y
−1
yξ
| {z }
−i A
Z
n
1
(2π)− 2
e
| det A|
Rn
1
=
fˆ(A−T ξ)
| det A|
=
=yA−T ξ
f (y) dy
(2)
Z
Z
n
fˆ(ξ)g(Aξ) dξ = (2π)− 2
e−ixξ f (x)g(Aξ) dx dξ
Rn
Rn ×Rn
Z
Z
−n
2
=
f (x) (2π)
e−ixξ g(Aξ) dξ dx
Rn
Rn
|
{z
}
(1)
1
=[
g◦A(x) = | det
ĝ(A−T x)
A|
Z
1
−T
f (x)ĝ(A
| {z x}) dx
| det A| Rn
=y
Z
=
f (AT y)ĝ(y) dy
=
1
dx
= | det A−T | =
dy
| det A|
Rn
Bemerkung (Spezialfälle):
(i) Dilationen: A = λIn , fλ (x) = f (λx)
ξ
(1)fˆλ (ξ) = |λ|−n fˆ( )
λ Z
Z
ˆ
(2)
f (ξ)g(λξ) dξ =
Rn
f (λx)ĝ(x) dx
Rn
(ii) Approximative Einheiten:
Definition (Approximative Einheit):
(Kε )ε>0 ⊂ L1 (G) heißt approximative Einheit (a.E.) oder Dirac-Schar ,
falls
R
i. G Kε = 1
R
ii. ∃M ∈ R :
|Kε | ≤ M
∀ε>0
R G
iii. ∀δ > 0 :
|K
|
−→
0
(ε → 0)
ε
G\Bδ (0)
Wobei G eine lca-Gruppe ist (locally compact abelian, lokalkompakt und
abelsch’)
7
Im Rn : wähle K ∈ L1 (Rn ) mit
R
Rn
K = 1, dann ist
x
Kε (x) := ε−n K( )
ε
eine a.E. und es gelten
in Lp (G), 1 ≤ p < ∞
lim f ∗ Kε = f
ε→0
lim f ∗ Kε (x) = f (x) in jedem Stetigkeitspunkt von f ∈ L∞ (G)
ε→0
lim f ∗ Kε = f glm. in jedem Kompaktum, falls f ∈ Cb0 (G)
Z
n
n
ε→0
K = (2π)− 2
K̂ε (ξ) = K̂(εξ) −→ K̂(0) = (2π)− 2
ε→0
K̂∈C 0
Rn
(iii) Orthorgonale Transformationen ( Drehspiegelungen“) O ∈ GL(n), OT O =
”
In , | det O| = 1
f[
◦ O = fˆ ◦ O
Ist f rotationssymmetrisch (f = f ◦ O
∀ O ∈ O(n)), so ist auch fˆ
rotationssymmetrisch. f (x) = f˜(|x|) mit f˜ : [0, ∞) → K
Beispiel 1.1.2:
Für ϕ : Rn → R, x 7→ e−
|x|2
2
ist
ϕ̂(x) = e−
|ξ|2
2
= ϕ(ξ)
Bemerkung:
ϕ ist Eigenvektor der Fouriertransformation zum Eigenwert λ = 1
Beweis. n = 1 : ϕ1 (x) = e−x
2
/2
, x ∈ R Dann ist
=− 1 (x+iξ)2
2
Z
1
1
e−ixξ e
dx = √ e−
ϕ̂1 (ξ) = √
2π R
2π
Z
2
1
1 − ξ2
−
(x+iξ)
=√ e 2
e 2
dx
2π
R
|
{z
}
2
− x2
=:I(ξ)
dI
(ξ) =
dξ
Z
=i
R
Z
∂ − 1 (x+iξ)2
e 2
dx
∂ξ
2
1
−(x + iξ)e− 2 (x+iξ) = 0
{z
}
R|
1
∂ − 2 (x+iξ)
e
= ∂x
2
8
ξ2
z
Z
e
2
ξ2
2
}|
{
2
−ixξ− x2
R
I(0) =
√
2π
⇒ Beh. für n = 1.
n ≥ 2:
n
ϕ̂(ξ) = (2π)− 2
Z
e−ixξ e−
|x|2
2
dx =
Rn
n
Y
1
√
2π
k=1 |
Z
e−ixk ξk e−
R
{z
=e−
= e−
Pn
k=1
ξ2
2
= e−
x2
k
2
x2
2
dx
}
|ξ|2
2
Folgerung:
Ist λ ∈ C, <λ > 0, ϕλ (x) = e−
λ|x|2
2
, so gilt
√
ϕ̂λ =
λ
−n − |ξ|2
2λ
e
Bemerkung:
Ist λ ∈ C mit <λ > 0, so existiert ein ρ > 0 und ϕ mit |ϕ| <
Dafür sei
√
√ ϕ
λ := ρei 2
π
2
so, dass λ = ρeiϕ .
Begründung. Für λ ∈ R+ gilt die Formel nach Beispiel 1.1.2 und Lemma 1.1.5.
Z
|ξ|2
λ|x|2
− 2λ
−n
−n
2
2
= (2π)
e−ixξ e− 2 dx
ϕ̂λ (ξ) = λ e
Rn
Auf beiden Seiten stehen C-diff’bare Funktionen von λ ∈ {z ∈ C|<z > 0}, die
auf (0, ∞) übereinstimmen. Nach dem Identitätssatz für holomorphe Funktionen
gilt die Identität auf der gesamten rechten Halbebene.
Satz 1.1.1 (Fourierinversionsformel):
Es seien f ∈ L1 (Rn ) mit fˆ ∈ L1 (Rn ) und
Z
−n
2
g(x) := (2π)
eixξ fˆ(ξ) dξ
Rn
Dann ist f (x) = g(x) λn −fast überall. Man schreibt auch F −1 g, ǧ.
Beweis. (1) nehme zunächst f ∈ Cb0 (Rn ) zusätzlich an. Mit ϕ(x) = e−
für λ > 0
Z
Z
fˆ(ξ)ϕ(λξ) dξ =
f (λx) ϕ̂(x) dx
| {z }
Rn
Rn
=ϕ(x)
Für λ & 0 folgt mit Lebesgue und ϕ(0) = 1
Z
Z
n
fˆ(ξ) dξ =
f (0)ϕ(x) dx = (2π) 2 f (x)
Rn
Rn
9
|x|2
2
gilt
Also gilt
n
f (0) = (2π)− 2
Z
fˆ(ξ) dξ
R
Wende dies nun an auf g = τ−a f :
Z
−n
2
ĝ(ξ) dξ
f (a) = g(0) = (2π)
Lemma 1.1.4
=
−n
2
Z
(2π)
Rn
eiaξ fˆ(ξ) dξ
Rn
Ersetze a durch x.
|x|2
(2) Allgemeiner Fall f ∈
/ Cb0 (Rn ): Benutze ϕε (x) = e− 2ε2 ε−n als a.E.
Dann folgt für λn -fast alle x ∈ Rn :
Z
(1)
−n
2
e−ixξ f\
∗ ϕε (ξ) dξ
f (x) = lim f ∗ ϕε (x) = lim (2π)
ε→0
ε→0
Rn
Z
= lim
eixξ fˆ(ξ) ϕ̂(εξ) dξ
ε→0 Rn
| {z }
n
→(2π)− 2
n
= (2π)− 2
Z
eixξ fˆ(ξ) dξ
Rn
Folgerung:
F : L1 (Rn ) → C00 (Rn ) ist injektiv. Insbesondere: Sind f, g ∈ L1 (Rn ) mit fˆ(ξ) =
ĝ(ξ) ∀ξ ∈ Rn , so ist f = g (in L1 (Rn )) bzw. f (x) = g(x) λn -fast überall.
Beispiel 1.1.3:
n+1
Für f (x) = e−|x| gilt fˆ(ξ) = cn (1 + |ξ|2 )− 2 mit cn =
Z
Γ(x) =
n
22
√
Γ( n+1
2 ).
π
∞
tx−1 e−t dt, x > 0
0
Folgerung:
n+1
Für g(x) = (1 + |x|2 )− 2 ist ĝ(ξ) = c1n e−|ξ|
ˆ
(Aus der Inversionsformel: fˆ(−x) = f (x), fˇ(ξ) = fˆ(−ξ))
Eigenschaften der Fouriertransformation gelten auch für die Inverse (modulo
Vorzeichenwechsel)
Beispiel:
n
n
f~
∗ g(ξ) = f[
∗ g(−ξ) = (2π) 2 fˆ(−ξ)ĝ(−ξ) = (2π) 2 fˇ(ξ)ǧ(ξ)
Folgerung (Eindeutigkeitssatz):
f, g ∈ L1 (Rn ) und fˆ(ξ) = ĝ(ξ) λn -f.ü. ⇒ f = g in L1 (Rn )
Beweis. (Beispiel 1.1.3)
10
(a) n = 1:
1
fˆ(ξ) = √
2π
1
=√
2π
Z
0
ex(1−iξ) dx +
−∞
∞
Z
ex(−1−iξ) dx
0
1
1
+
1 − iξ
1 + iξ
r
=
2 1
π 1 + ξ2
(b) n ≥ 2:
e
−|x|
r Z
1
2
eixξ
ˆ
ˆ
= f (−x) = √
dξ
2π π R 1 + ξ 2
Z
1
e−ixξ
=
dξ
π R 1 + ξ2
(e−ixξ wg. Symmetrie e−|x| = e−|−x| )
Benötigen
Wegen
e
1
1+ξ 2
−|x|
Z ∞ −u
|x|2
1
e
√ e− 4u du
e−|x| = √
π 0
u
R∞
R∞
2
2
= 0 e−(1+ξ )u du = 0 e−u e−uξ du gilt
1
=
π
Z
−ixξ
Z
e
|0
R
∞
(!)
2
e−u e−uξ dξ du
{z
}
√
=ϕ̂√2π (x)= √2π
e−
2π
|x|2
4u
∞
e−u − |x|2
√ e 4u du
u
0
Z
Z
n
1 ∞ e−u − |x|2
√ e 4u du dx
e−ixξ
fˆ(ξ) = (2π)− 2
π 0
u
Rn
Z
Z
|x|2
n
1 ∞ e−u
√ (2π)− 2
=
e−ixξ e− 4u dx du
π 0
u
Rn
|
{z
}
=
1
π
Z
X
n
=ϕ̂ √1 (ξ)=(2u) 2 e−u|ξ|2
2u
1 n
= √ 22
π
Z
∞
e−u u
=
du
2 −1
dv =(1+|ξ| )
n
n+1
2
2
π
2
e−u|ξ| du
0
v=(1+ξ 2 )u
2 Γ
√
=
n−1
2
n−1
1 n
√ 2 2 (1 + |ξ|2 )− 2 −1
π
Z
∞
v
n+1
2 −1
e−v dv
0
− n+1
2
(1 + |ξ|2 )
Anwendung:
Das Dirichlet-Problem zur Laplace-Gleichung auf Rn+1
:= {(x, t) ∈ Rn ×(0, ∞)}
+
11
Gesucht:
u ∈ C 2 (Rn+1
+ ), die die PDE
(
∆u(x, t) = ∆x u(x, t) + ∂tt u(x, t) = 0
u(x, 0) = f (x)
in geeigneter Weise löst, z.B.
lim u(x, t) = f (x) ∀ x
t&0
falls f ∈ Cb0 (Rn ) oder für f ∈ Lp (Rn ), p ∈ (1, ∞):
lim u(x, t) = f (x)
t&0
f.ü.
Um Eindeutigkeit zu erzwingen, muss man eine Zusatzbedingung stellen, z.B.
lim|x|→∞ u(x, t) = 0 ∀ t > 0 (u(x, t) = t löst homogene Randbedingungen
Superposition) Harmonische Analysis: Lösung durch falten mit dem PoissonKern
Γ( n+1
n+1
2 )
P (x) = dn (1 + |x|2 )− 2 ,
dn =
n+1
π 2
R
dn is so gewählt, dass P (x) dx = kP k1 = 1.
| {z }
≥0
x 2 n+1
x
Pt (x) = t−n P ( ) = t−n dn (1 + )− 2
t
t
ist tatsächlich eine Lösung von ∆Pt = 0 und
u(x, t) := Pt ∗ f (x)
löst die PDE und das Dirichlet-Problem.
Jetzt folgt die Herleitung dieses Ergebnisses.
Lemma 1.1.6:
Es sei f ∈ L1 (Rn ) und
(a)
∂f
∂xk
∈ L1 (Rn ), so ist
d
∂f
∂xk (ξ)
= iξk fˆ(ξ)
d
∂f
(b) xk f ∈ L1 (Rn ), so ist xd
k f (ξ) = i ∂ξk (ξ)
Beweis.
(a)
Z
d
∂f
∂
−n
2
(ξ) = (2π)
e−ixξ
f (x) dx
∂xk
∂xk
Rn
Z
n
∂ −ixξ
= −(2π)− 2
e
f (x) dx
∂x
n
k
R
Z
n
= iξk (2π)− 2
e−ixξ f (x) dx
Rn
= iξk fˆ(ξ)
12
(b)
−n
xd
k f (ξ) = (2π) 2
Z
Rn
xk e−ixξ f (x) dx
| {z }
∂
=i ∂ξ
e−ixξ
k
Z
∂
e−ixξ f (x) dx
=i
∂ξk Rn
∂ ˆ
=i
f (ξ)
∂ξk
Fouriertransformation der PDE und der Randbedinungen in x bei festem t
ergibt
−|ξ|2 û(ξ, t) + ∂tt û(ξ, t) = 0
û(ξ, 0) = fˆ(ξ)
Halte nun ξ fest
lineare ODE 2. Ordnung in t mit allgemeiner Lösung
û(ξ, t) = Ae|ξ|t + Be−|ξ|t
Setze hier A = 0 (Sonst würde die Lösung explodieren) und B = fˆ(ξ), also
û(ξ, t) = e−|ξ|t fˆ(ξ)
n
n
⇒ u(x, t) = F −1 (e−|·|t fˆ) = (2π)− 2 F −1 ((2π) 2 e−|·|t fˆ)
n
= (2π)− 2 Kt ∗ f (x)
Bsp. 1.1.3
und K1 (x) = F −1 (e−|·| )
=
x
Kt (x) = t−n K1 ( )
t
n
2 2 Γ( n+1
)
n+1
√ 2 (1 + |x|2 )− 2
π
n
n
x 2 n+1
(2π)− 2 2 2 Γ( n+1
2 ) −n
√
t (1 + )− 2
t
π
n+1
Γ( 2 )
x n+1
(1 + )− 2 t−n ∗ f (x)
=
n+1
t
2
π
= Pt ∗ f (x)
⇒ u(x, t) =
1.2
Fouriertransformation komplexer Maße auf dem Rn
Rekapitulation: Maße / Maßräume im Bezug auf Funktionalanalysis
Allgemein
insbes. relevant
X
A σ-Algebra
µS: A → [0, ∞]
P
·
µ(∅) = 0, µ( n∈N An ) = n∈N µ(An )
(X, A) meßbarer Raum
(X, A, µ) Maßraum
13
Rn
B Borel-σ-Algebra
λn Lebesgue-Maß
n
(Rn , B n )
(Rn , B n , λn )
endliche Maße: µ(X) < ∞
• Maße mit integrierbaren Dichten
Z
µf (A) :=
f dµ,
f ∈ L1 (X, A, µ)
A
• Dirac-Maße
(
δx (A) :=
1
0
x∈A
sonst
Anwendung:
• Wahrscheinlichkeitstheorie - W-Maße: P (X) = 1
• Oberflächenmaße der Ränder von kompakten Mengen, z.B. S n−1
Bilde aus den endlichen Maßen einen C-Vektorraum:
Definition (komplexes Maß):
Sei |µ| : A → [0, ∞) ein endliches Maß und ϕ : X → S 1 = {z ∈ C||z| = 1} eine
A-meßbare Funktion. Dann heißt µ : A → C definiert durch
Z
µ(A) :=
ϕ d|µ|
A
ein komplexes Maß .
Bemerkung:
(1) Jede σ-Additive Mengenfunktion µ : A → C mit µ(∅) = 0 kann in dieser
Weise dargestellt werden
(2) Für komplexe Maße µ und ν können Addition und skalare Multiplikation
punktweise“ definiert werden:
”
(αµ + βν)(A) := αµ(A) + βν(A),
α, β ∈ C, A ∈ A
Dadurch entsteht ein C-Vektorraum, den wir mit M(X) bzw. mit M(Rn )
bezeichnen.
(3) Auf M(X) definiert man eine Norm durch
kµk := |µ|(X)
die Totalvariation von µ. (M(X), k · k) ist ein Banachraum
14
Jetzt: X ∼ lokalkompakter Hausdorff-Raum, d.h. X ist ein topologischer
Raum, in dem je zwei verschiedene Punkte disjunkte Umgebungen besitzen und
in dem jeder Punkt eine kompakte Umgebung besitzt. f : X → C stetig ist
dann wohldefiniert; wir definieren limx→∞ f (x) = z, falls gilt: ∀ ε > 0 existiert
ein Kompaktum Kε , s.d. ∀ x ∈ KεC : |f (x) − z| < ε.
C00 (X) := {f : X → C|f stetig mit lim f (x) = 0}
x→∞
C00 (X)
0
(X kompakt ⇒
= C (X) = Cb0 (X))
0
C0 (X) ist abgeschlossener Teilraum von Cb0 (X)
:= {f ∈ C 0 (X)|f beschränkt},
also ein Banachraum.
Zusammenhang C00 (X) ↔ M(X)?
Ab jetzt: M(X) = reguläre komplexe Borel-Maße
Darstellungssatz von Kakutani (1941):
Es sei X ein lokalkompakter Hausdorff-Raum. Dann gilt: Die Abbildung
Φ : M(X) → (C00 (X))0
Z
Φ(µ)[f ] := f dµ
ist ein isometrischer Isomorphismus
Bemerkung:
(1) vollständiger Beweis nur in der Originalarbeit, wesentlicher Teil : Holmes,
Measure Theory, §56
falls X kompakt: Satz von Riesz, Meise/Vogt §13
(2) Trivial Φ(µ) definiert ein stetiges, lineares Funktional
Z
Z
Z
|Φ(µ)[f ]| = f dµ ≤ |f ||ϕ| d|µ| = |f | d|µ| ≤ kf k∞ kµk
(3) Der nicht-triviale Teil des Satzes ist: Zu jedem stetigen, linearen Funktional
y auf C00 (X) existiert µ ∈ M(X), s.d.
Z
y[f ] = f dµ ∀ f ∈ C00 (X)
(4) Nützlich: Isometrieeigenschaft
kµk = |µ|(X) =
sup |Φ(µ)[f ]| =
0 (X)
f ∈C0
kf k∞ ≤1
Z
sup f dµ
0
f ∈C0 (X)
kf k∞ ≤1
|µ|(X) =
sup
X
(Xn )n abzählbare Partition von X n∈N
15
|µ(Xn )|
Im Folgenden sei X zusätzlich eine abel’sche additive Gruppe (insges. eine
lca-Gruppe)
Definition (Faltung):
Es seien (G, +) eine lca-Gruppe und µ, ν ∈ M(G). Für A ∈ B(G) sei
Z
µ ∗ ν(A) :=
χA (x + y) dµ(x) dν(y)
G×G
Dann heißt µ ∗ ν die Faltung von µ und ν.
Bemerkung:
(1)
Z
ν(A − x) dµ(x)
µ ∗ ν(A) =
G
Z
µ(A − y) dν(y)
=
G
(2) µ ∗ ν ∈ M(G) (folgt aus den Eigenschaften des Produktmaßes)
(3) (M(G), +, ∗) bildet eine Algebra mit δ0 als Einselement der Faltung
(4) M(G) ist ein Banachraum und
kµ ∗ νk =
Z
sup f d(µ ∗ ν)
0
f ∈C0 (G)
kf k∞ ≤1
=
G
Z
sup 0
f ∈C0 (G)
kf k∞ ≤1
G×G
f (x + y) dµ(x) dν(y)
Z
≤
sup kf k∞
| {z }
0 (G)
f ∈C0
kf k∞ ≤1
≤1
d|µ| d|ν|
G2
≤ kµkkνk
M(G) ist also eine Banach-Algebra mit Einselement
Anwendungen:
(1) lineare inhomogene PDE: L sei ein Differentialoperator
X
L=
cα D α ,
Dα = ∂xα11 ∂xα22 . . . ∂xαnn
|α|≤m
Pn
|α| = i=1 |αi |. Gesucht ist u mit Lu = f ∈ C00 (Rn )
Strategie:
Bestimme eine Fundamentallösung E von LE = δ0 und setze u = E ∗ f :
Lu = L(E ∗ f ) = (LE) ∗ f = δ0 ∗ f = f
16
(2) W-Theorie: W-Maß P auf Ω und eine Abbildung X : Ω → Rn . Das Maß
PX definiert durch
PX (A) = P (X −1 A)
bzw. PX [f ] = P [f ◦ X] heißt das induzierte Maß. Eine Folge (Xn )n von
Zufallsvariablen heißt P -unabhängig, falls
Y
P(Xn )n =
PXn
n
Unter dieser Voraussetzung gilt
∗
n
PPn
i=1
=
Xi
i=1
PXi
Ab jetzt G = Rn .
Definition (Fouriertransformation):
Für µ ∈ M(Rn ) heißt
−n
2
Z
e−ixξ dµ(x)
µ̂(ξ) := (2π)
Rn
die Fouriertransformierte von µ.
Lemma 1.2.1:
µ̂ ist beschränkt und gleichmäßig stetig.
Beweis.
n
• |µ̂(ξ)| ≤ (2π)− 2 kµk
•
|µ̂(ξ + h) − µ̂(ξ)| = (2π)
−n
2
n
⇒ sup |µ̂(ξ + h) − µ̂(ξ)| ≤ (2π)− 2
ξ∈Rn
Z
−ixξ −ixh
(e
− 1) dµ(x)
ne
ZR
|e−ixh − 1| d|µ|(x)
{z }
Rn |
≤2,→0(h→0)
−→ 0
(h → 0)
(nach Lebesgue)
Beispiel 1.2.1:
n
δ̂a (ξ) = (2π)− 2
Z
n
e−ixξ dδa (x) = (2π)− 2 e−iaξ
Rn
Also: Riemann-Lebesgue (Lemma 1.1.1) gilt nicht für komplexe Maße.
Faltungssatz:
n
µ[
∗ ν(ξ) = (2π) 2 µ̂(ξ)ν̂(ξ)
Eindeutigkeitssatz:
µ̂(ξ) ≡ 0∀ ξ ∈ Rn ⇔ µ ≡ 0
gelten hingegen (allgemeinere Aussage folgt später)
17
Es sei σ das Oberflächenmaß der S n−1 . Dann gilt
n
σ̂(ξ) = |ξ|1− 2 J n2 −1 (|ξ|)
Wobei Jp die Besselfunktion zum Index p ist.
Lemma 1.2.2:
Seien µ, ν ∈ M(Rn ). Dann gelten
(1)
−iyξ
τd
µ̂(ξ)
y µ(ξ) = e
(τy µ(A) = µ(A − y))
(2)
n
µ[
∗ ν(ξ) = (2π) 2 µ̂(ξ)ν̂(ξ)
Beweis.
(1) τy µ[f ] =
R
Rn
f (x + y) dµ(x)
n
−
⇒ τd
y µ(ξ) = (2π) 2
Z
e−i(x+y)ξ dµ(x) = e−iyξ µ̂(ξ)
Rn
(2)
µ[
∗ ν(ξ) = (2π)
−n
2
Z
e−ixξ d(µ ∗ ν)(x)
Rn
n
= (2π)− 2
Z
e−i(x+y)ξ dµ(x) dν(y)
Z
Z
n
e−ixξ dµ(x)(2π)− 2
Rn ×Rn
n
n
= (2π) 2 (2π)− 2
Rn
e−iyξ dν(y)
Rn
n
= (2π) 2 µ̂(ξ)ν̂(ξ)
Satz 1.2.1 (Eindeutigkeitssatz):
Sei µ ∈ M(Rn ) mit µ̂ ≡ 0. Dann ist µ ≡ 0.
(Folgerung: µ̂ = ν̂ ⇒ µ = ν, Bekannt für Maße mit L1 -Dichten wegen der
Inversionsformel (Satz 1.1.1))
Beweis.
R
(1) Es seien µ ∈ M(Rn ), µf (A)R= A f dλn , f ∈ L1 (Rn ). Dann besitzt µ ∗ µf
die Lebesgue-Dichte ρ(x) = Rn f (x − y) dµ(y):
Z
Z Z
|ρ(x)| dx =
f (x − y) dµ(y) dx
n
n
Rn
ZR Z R
≤
|f (x − y)| d|µ|(y) dx
n
n
ZR ZR
=
|f (x − y)| dx d|µ|(y)
Rn
Rn
= kf k1 kµk
18
und für A ∈ B n :
Z
µ ∗ µf (A) =
χA (x + y) dµ(x)f (y) dy
Rn ×Rn
Z
Z
=
χA (x + y)f (y) dy dµ(x)
Rn
Z
Rn
Z
χA (y)f (y − x) dy dµ(x)
Z
=
χA (y)
f (y − x) dµ(x) dy
n
Rn
{z
}
|R
=
n
Rn
ZR
=ρ(y)
(2) Jetzt sei µ̂(ξ) = 0. Wir falten mit einer a.E. (Kε )ε>0 , Kε (x) = Kε (−x)
n
⇒ µ\
∗ Kε (ξ) = (2π) 2 µ̂(ξ) K̂ε (ξ) = 0
|{z}
=0
Nach (1) ist µ∗Kε ∈ L1 (Rn ) und wegen der Eindeutigkeit für L1 -Funktionen
µ ∗ Kε = 0 ∀ ε > 0. Für f ∈ C00 (Rn ) ist
Z
µ ∗ Kε [f ] =
f (x) dµ(x) ∗ Kε (x)
n
ZR
Z
=
f (x)
Kε (x − y) dµ(y) dx
Rn
Rn
Z Z
Kε (x)=Kε (−x)
=
Kε (y − x)f (x) dx dµ(y)(= 0)
Rn Rn
|
{z
}
=Kε ∗f (y)
Da f ∈ C00 (Rn ) insbes. gleichmäßig stetig ist, gilt
lim Kε ∗ f (y) = f (y)
ε&0
glm. auf Rn
da kµk < ∞ folgt
Z
Kε ∗ f (y) dµ(y)
0 = lim
ε&0
Rn
Lebesgue
=
Z
=
Z
lim Kε ∗ f (y) dµ(y)
Rn ε&0
f dµ
Rn
19
ϕ ∈ C1
Ω ⊂ Rn−1
Ω:
S:
ϕ:
Diffeom.
rg Dϕ(ω) = n − 1
S ⊂ Rn
Parameterbereich
Bildbereich
Parameterisierung / Karte
Abbildung 1: Parameterbereich und Bildbereich
Integration über (n − 1)-dimensionale Flächenstücke im Rn :
Definition:
Die Gram’sche Matrix / Maßtensor wird definiert durch
Gϕ (ω) = Dϕ(ω)T Dϕ(ω) ∈ R(n−1)×(n−1)
Die Gram’sche Determinante ist dann
gϕ (ω) = det Gϕ (ω) > 0
Damit wird ein Flächenmaß σS erklärt. Für A ∈ B n setzt man
Z
q
σS (A) :=
χA∩S (ϕ(ω)) gϕ (ω) dω
Ω
n
Für f ≥ 0 meßbar bezüglich B ∩ S, oder f ∈ L1 (S, B n ∩ S, σS ) ergibt sich
Z
Z
q
σS [f ] =
f (x) dσS (x) =
f (ϕ(ω)) gϕ (ω) dω
S
Ω
Area-Formel“
”
Spezialfall: Ist S Graph einer C 1 -Funktion ψ : Ω → R, dann erhalten wir mit
ϕ(ω) = (ω, ψ(ω)) eine Karte und damit ist
gϕ (ω) = 1 + |∇ψ(ω)|2
Beispiel:
n−1
S = S±
= {x ∈ Rn ||x| = 1, xn > 0(< 0)}, Ω = {x0 ∈ Rn−1 ||x0 | < 1}
p
p
0
ψ(x ) = ± 1 − |x0 |2 , ϕ(x0 ) = (x0 , ± 1 − |x0 |2 )
R
Rn−1
n−1
Abbildung 2: S+
20
2
∓x0
|x0 |2
1
gϕ (x ) = 1 + p
=1+
=
1 − |x0 |2 1 − |x0 |2
1 − |x0 |2
0
n−1
Integral von f über S±
ergibt
Z
Z
f (x) dσS n−1 (x) =
±
n−1
S±
p
dx0
f (x0 , ± 1 − |x0 |2 ) p
1 − |x0 |2
B1n−1 (0)
Und unter Vernachlässigung des Äquators:
Z
Z
p
p
dx0
f (x) dσS n−1 (x) =
(f (x0 , 1 − |x0 |2 )+f (x0 , − 1 − |x0 |2 )) p
1 − |x0 |2
S n−1
B0n−1 (0)
Verhalten unter Streckungen:
ϕ : Ω → S, Sλ = λS. Dann ist ϕλ : Ω → Sλ ,
mit
ω 7→ λϕ(ω) eine Karte von Sλ
Dϕλ (ω) = λDϕ(ω) ⇒ Gϕλ (ω) = λ2 Gϕ (ω)
q
q
⇒ gϕλ (ω) = |λ|n−1 gϕ (ω)
Z
Z
q
f dσSλ =
f (ϕλ (ω)) gϕλ (ω) dω
Sλ
Ω
Z
q
=
|λ|n−1 f (λϕ(ω)) gϕ (ω) dω
Ω
Z
= |λ|n−1
f (λx) dσS (x)
S
Speziell
Z
f (x) dσr (x) = rn−1
∂Brn (0)
Z
f (rx) dσ(x)
S n−1
Coarea-Formel:
S
Ist Rn ⊃ Ω offen und Ω = λ∈I Sλ wobei Sλ glatte (C 1 ) Flächenstücke sind
und I ⊂ R mit Sλ disjunkt und für ein P ∈ C 1 (Rn ) mit ∇P 6= 0 fast überall
Sλ = {x ∈ Rn |P (x) = λ}
Dann lautet die Coarea-Formel :
Z
Z Z
f (x) dx =
Ω
I
Sλ
Beispiel:
21
f (x)
dσλ (x)
dλ
|∇P (x)|
Ω = {x ∈ Rn |a < |x| < b}, P (x) = |x|, I = (a, b), λ = r. Dann ist
x
|∇P (x)| = = 1
|x|
Z
Z bZ
⇒
f (x) dx =
f (x) dσr (x) dr
Ω
∂Brn−1 (0)
a
Z
=
b
rn−1
Z
f (rx) dσ(x) dr
S n−1
a
Beispiel 1.2.2:
σ = σS n−1 sei das Flächenmaß der S n−1 . Dann ist die Fouriertransformierte
gegeben durch
Z
−n
2
e−ixn |ξ| dσ(x)
(o.E. ξ = |ξ|en wegen Symmetrie)
σ̂(ξ) = (2π)
S n−1
Z
√
√
n
dx0
0 2
0 2
= (2π)− 2
(e−i|ξ| 1−|x | + ei|ξ| 1−|x | ) p
1 − |x0 |2
B1n−1 (0)
Z 1 Z
√
√
n
dρ
2
2
= (2π)− 2
dσρ (x0 ) (e−i|ξ| 1−ρ + ei|ξ| 1−ρ ) p
1 − ρ2
0
|x0 |=ρ
|
{z
}
R
=ρn−2
dσ(x)
S n−2
ρn−2 (n−1)ωn−1
n
= (2π)− 2 (n − 1)ωn−1
1
Z
0
√ 2
√ 2
dρ
ρn−2 (e|−i|ξ|{z 1−ρ} + |ei|ξ| {z1−ρ}) p
Rπ
1 − ρ2
Rπ
2
0
ρ=sin θ
=
n
(2π)− 2 (n − 1)ωn−1
Z
π
|0
π
2
...
n
sin2( 2 −1) θe−i|ξ| cos θ dθ
{z
}
=f n −1 (|ξ|
2
n
= (2π)− 2
n+1
2
n
2 −2
√
2
n−1
2π
πΓ(
)J n2 −1 (|ξ|)
n
2 −1
2
|ξ|
Γ( n−1
)
2
{z
}
| {z } |
=f n −1 (|ξ|)
=(n−1)ωn−1
= |ξ|
1− n
2
...
2
J n2 −1 (|ξ|)
Folgerung:
(1) σr ∼ Flächenmaß von ∂Brn (0)
σ̂r = rn−1 σ̂(r|ξ|)
n
n
= J n2 −1 (r|ξ|)r 2 |ξ|1− 2
22
(2) F ∈ L1 (Rn ), F (x) = f (|x|)
n
Z
n
n
ZR∞
F̂ (ξ) = (2π)− 2
= (2π)− 2
e−ixξ f (|x|) dx
Z
f (r)
e−ixξ dσr (x) dr
|x|=r
0
Z
∞
=
f (r)σ̂r (ξ) dr
Z ∞
n
1− n
2
f (r)r 2 J n2 −1 (r|ξ|) dr
= |ξ|
{z
}
|0
0
Hankel-Transformierte von f
−n
2
χ̂B1 (0) (ξ) = |ξ|
1.3
J n2 (|ξ|)
L2 -Theorie
Satz 1.3.1 (Fourier-Plancherel):
Es gibt einen unitären Isomorphismus F2 : L2 (Rn ) → L2 (Rn ), so dass ∀ f ∈
L2 (Rn ) ∩ L1 (Rn ):
F2 f = fˆ
Bemerkung:
(1) A ∈ L(H), H Hilbertraum. Dann heiß A∗ definiert durch
hA∗ x, yi = hx, Ayi
∀x, y ∈ H
der zu A adjungierte Operator. Zu A ∈ L(E, F ) setzt man A0 : F 0 → E 0 ,
A0 y[x] := y[Ax]
die duale Abbildung (kA∗ k = kAk = kA0 k). Falls A = A∗ heißt A selbstadjungiert, A∗ = A−1
unitär, äquivalent:
A∗ A = id,
hAx, Ayi = hx, yi
∀ x, y ∈ H
(2) In T, Tn ist es etwas leichter:
Für f ∈ L1 (Tn ) ist F : L1 (Tn ) → `∞ (Zn )
f→
7 (fˆ(k))k∈Zn ,
fˆ(k) = (2π)−n
Z
e−ikx f (x) dx
Tn
Hölder ergibt: Lq (Tn ) ⊂ Lp (Tn ) ⊂ L1 (Tn ), p ≤ q, d.h. F ist auch auf allen
Lp definiert.
Im Rn : Für f ∈ L2 (Rn ) \ L1 (Rn ) 6= ∅ existiert
Z
e−ixξ f (x) dx
Rn
23
im Allgemeinen nicht.
Rekapitulation: Dichte Teilräume von Lp (Rn ), 1 ≤ p < ∞
(i) Treppenfunktionen (aus beschränkten Borelmengen)
T := {t : Rn → C|∃N ∈ N; a1 , . . . , aN ∈ C; A1 , . . . , AN ∈ B(Rn ),
Ai beschränkt ∀i; t =
N
X
ai χAi }
i=1
F
sin(aξ)
ξ
Abbildung 3: Fourierinversionsformel nicht mehr gültig
(ii) Cc∞ (Rn )
Cc∞ (Rn ) := {f ∈ C ∞ (Rn )| supp f kompakt}
( 1
e− t t > 0
1
1
1
Es ist ϕ(t) :=
∈ C ∞ (R) und wegen 1−t
2 = 2 ( 1−t +
0
t≤0
auch
(
− 1
e 1−t2 |t| < 1
ϕ1 (t) :=
0
|t| ≥ 1
1
1+t )
ist
In C ∞ (R) und wegen supp ϕ1 = [−1, 1], ϕ1 ∈ Cc∞ (R) und Cc∞ (Rn ) 3
ϕn (x) : Rn → R, x 7→ ϕ1 (|x|). Ist nun c := kϕn kL1 (Rn ) , dann gilt
ψ(x) :==
1
ϕn (x),
c
kψk1 = 1
Damit erhalten wir eine a.E. duch
x
ψε (x) = ε−n ψ( ),
ε
ε>0
ψε ∈ Cc∞ (Rn ) ∀ε > 0 ( defnFriedrichs mollifier“) Bilde für t ∈ T die
”
Faltung t ∗ ψε =: tε ⇒ tε ∈ C ∞ (Rn ) Wegen supp t ⊂ BR (0) und supp ψε ⊂
B 1ε (0) ist supp tε ⊂ BR+ 1ε (0), also tε ∈ Cc∞ (Rn ).
Wir zeigen nun: Cc∞ (Rn ) ist dicht in Lp (Rn ), 1 ≤ p < ∞.
Dazu sei f ∈ Lp (Rn ) fixiert und δ > 0 vorgegeben. Nach (i) existiert t ∈ T
mit kf − tkp < 2δ . Dann wähle ε > 0 so klein, dass kt − t ∗ ψε kp < 2δ
24
(aufgrund der Eigenschaften einer a.E.)
Mit der Dreiecksungleichung folgt
kf − t ∗ ψε kp < δ
| {z }
⇒ Behauptung
∈Cc∞ (Rn )
(iii) Wir setzen L := {f ∈ L1 (Rn )|fˆ ∈ L1 (Rn )}. Dann ist Lp (Rn )∩L ⊂ Lp (Rn )
ebenfalls dicht, da Cc∞ (Rn ) ⊂ L
Begründung. f ∈ Cc∞ (Rn ) ⇒ f ∈ L1 (Rn ) und (−∆)m f ∈ Cc∞ (Rn ) ⊂ L
⇒ (I + (−∆)m )f ∈ L1 (Rn )
(1 + |ξ|2m )fˆ(ξ) ∈ C00 (Rn )
Z
Z
ˆ
⇒
|f (ξ)| dξ =
|fˆ(ξ)|(1 + |ξ|2m )(1 + |ξ|2m )−1 dξ
{z
}
Rn
Rn |
∀m∈N
(nach R.-L., Lemma 1.1.1)
<M für m> n
2
Z
≤M
(1 + |ξ|2m )−1 dξ < ∞
Rn
⇒ fˆ ∈ L1 (Rn )
Beweis. (Satz 1.3.1) Für g ∈ L gilt nach der Inversionsformel
Z
−n
ˆ
¯
¯
2
e−ixξ ĝ(ξ)
dξ
ĝ(x) = (2π)
Rn
−n
2
Z
eixξ ĝ(ξ) dξ = ḡ(x)
= (2π)
Rn
Ist zusätzlich f ∈ L1 (Rn ), so ist
Z
Z
ˆ¯
¯
fˆ(ξ)ĝ(ξ)
dξ =
f (x)ĝ(x)
dx
n
n
R
R
{z
}
|
=hF f,F giL2
ξ
Z
=
Rn
f ḡ)hf, giL2x
Insbesondere für f = g: kĝkL2ξ = kgkL2x
dicht
F : L2ξ ⊃ L → L2x ist isometrisch
Für f ∈ L2x existiert (fn )n ⊂ L mit limn→∞ fn = f . (fˆn )n ⊂ L2ξ ist eine
Cauchy-Folge, denn
kfˆn − fˆm kL2ξ = kfn\
− fm kL2ξ = kfn − fm kL2x → 0
25
(n, m → ∞)
Wir können also definieren
F2 f := lim fˆn
n→∞
2
n
Sind nun f, g ∈ L (R ) und (fn )n , (gn )n approximierende Folgen, dann ist
hF2 f, F2 gi = h lim fˆn , lim ĝm i =
n→∞
=
m→∞
lim hfˆn , ĝm i
n,m→∞
lim hfn , gm i = h lim fn , lim gm i
n,m→∞
n→∞
m→∞
= hf, gi
⇒ F2 ist unitär
Noch zu zeigen: F2 f = fˆ ∀f ∈ L1 (Rn ) ∩ L2 (Rn ). Wenn
hψ, ϕi = 0 ∀ψ aus einem dichten Teilraum von L2 (Rn )
|hF2 f − fˆ, gi| = |h lim fˆn − fˆ, gi|
(fn → f in L2 (Rn ))
n→∞
Z
\
fn − f (ξ)ḡ(ξ) dξ = lim n→∞
n
R
Z
Lemma 1.1.5, (2)
ˆ
(fn − f )(x)ḡ (x) dx
=
lim n→∞
Rn
Cauchy-Schwarz
≤ lim kfn − f k2 kgk2 = 0
n→∞
⇒ F2 f = fˆ ∀ f ∈ L1 (Rn ) ∩ L2 (Rn )
Folgerung (Hausdorff-Young’sche Ungleichung):
Für p ∈ [1, 2] und f ∈ L1 (Rn ) ∩ L2 (Rn ) gilt
n
1
kfˆkp0 ≤ ((2π)− 2 ) p
− p10
kf kp
1
1
( + 0 = 1)
p p
Beweis. Riesz-Thorin Interpolation zwischen
n
kfˆk∞ ≤ (2π)− 2 kf k1
kfˆk2 = kf k2
und
(Satz 1.3.1)
Exkurs - Quantenmechanik:
26
ψ ∈ L2 (Rn ), kψk2 = 1 Zustandsfunktion“
”
Z
x̄ = ψ(x)xψ(x) dx
Z
p̄ = i ψ(x)∇ψ(x) dx
Z
= c ψ̂(ξ)ξ ψ̂(ξ) dξ
Z
Var P = |x − x̄|2 dP (x)
Z
2
Var(|ψ| ) = |x − x̄|2 |ψ(x)|2 dx
Z
¯ 2 |ψ̂(x)|2
Var(|ψ̂|2 ) = |ξ − ξ|
Ortsoperator ψ 7→ x · ψ
Impulsoperator
Varianz des Orts
Varianz des Impulses dx
Hermite-Funktionen: eine ONB von L2 aus Eigenfunktionen der Fouriertransformation
Es seien
d
1
)
b := √ (x +
dx
2
1
b(u)[x] = √ (xu(x) + u0 (x))
2
1
d
b∗ = √ (x −
)
dx
2
N := b∗ b
Absteige-Operator
Aufsteige-Operator (adjungiert)
Besetzungszahl-Operator
Abbildung 4: Diskrete Energieniveaus
Definition:
Die Hermite-Funktionen Hn , n ≥ 0 werden definiert durch
H0 (x) := e−
und
x2
2
1
π− 4
1
Hn = √ b∗ Hn−1
n
Bemerkung:
27
(1) Allgemeine Gestalt:
Hn (x) = pn (x)e−
x2
2
mit pn ∈ Pn
,
(Polynom n-ten Grades)
(2) Die pn entstehen mit Gram-Schmidt-Verfahren aus den Monomen xn bezüglich
2
L2 (R, B, e−x dx)
Z
2
hf, gi = f (x)ḡ(x)e−x dx
(3) Die ersten Hermite-Funktionen sind
1
H1 (x) = π − 4
√
2xe−
x2
2
√
x2
1
2(x2 − )e− 2
2
3x − x2
− 14 2
3
)e 2
H3 (x) = π √ (x −
2
3
1
H2 (x) = π − 4
Lemma 1.3.1:
Für die Hn gelten
(1) N Hn = nHn
(2) hHn , Hm iL2 = δnm
Beweis.
(1) Per Induktion über n:
i.A.: n = 0
1
d − 1 − x2
bH0 = √ (x +
)π 4 e 2
dx
2
1
x2
π− 4
= √ (x − x)e− 2 = 0
2
⇒ N H0 = b∗ bH0 = 0
28
X
i.S.: n − 1 → n
1
N Hn = b∗ b √ b∗ Hn−1
n
1
d
d
bb∗ − b∗ b =
(x +
)(x −
) − (x −
2
dx
dx
d2
d2
1
+
−x
x2 − x2 −
=
2
2
dx
dx2
1
d
d
=
x+
x
2 dx
dx
d
d
)(x +
)
dx
dx
d
d
d
d
+
x−x
+
x
dx
dx
dx
dx
=1
(id)
1
⇒ N Hn = √ b∗ (1 + b∗ b)Hn−1
n
1 ∗
= √ b (Hn−1 + (n − 1)Hn−1 )
n
1
= n √ b∗ Hn−1 = nHn
n
X
⇒ (1).
(2) n 6= m:
nhHn , Hm i = hN Hn , Hm i = hb∗ bHn , Hm i
= hbHn , bHm i = hHn , b∗ bHm i
= hHn , N Hm i = mhHn , Hm i
⇒ hHn , Hm i = 0
n = m: Induktion über n:
i.A.: n = 0
kH0 k2 =
Z
2
1
√
e−x dx = 1
π
}
|{z} | {z
√
1
=(π − 4 )2
X
= π
i.S.: n − 1 → n
1
1
hHn , Hn i = h √ b∗ Hn−1 , √ b∗ Hn−1 i
n
n
1 ∗
= hbb Hn−1 , Hn−1 i
n
1
= h(1 + N )Hn−1 , Hn−1 i
n
1
= (hHn−1 , Hn−1 i + (n − 1)hHn−1 , Hn−1 i)
n
=1
29
Lemma 1.3.2:
Ĥn = (−i)n Hn
Beweis. Induktion über n. n = 0
i.S.: n − 1 → n
Beispiel 1.1.2
d
1
1 ∗
Fb Hn−1 = √ F (x −
)Hn−1
n
dx
2n
1
d
=√ i
− ξ FHn−1
dξ
2n
d
1 1
ξ−
FH − n − 1
= −i √ √
{z
}
dξ |
n 2
|
{z
} =(−i)n−1 Hn−1
FHn =
=b∗
1
= (−i)n √ b∗ Hn−1 = (−i)n Hn
n
Bemerkung:
Weitere Eigenwerte gibt es nicht:
f = F 4 f = λ4 f ⇔ λ4 = 1
Satz 1.3.2:
Die Hermite-Funktionen (Hn )n∈N0 bilden eine ONB von L2 (R).
Beweis. Zum Beweis der Vollständigkeit zeigen wir:
Ist hf, Hn i = 0 ∀ n ⇒ f = 0
Definiere dazu H̃n (x) := xn e−
⇒ hf, H̃n i =
n
X
x2
2
∈ hH0 , . . . , Hn i, H̃n =
Pn
k=0
λk Hk
λk hf, Hk i = 0
k=0
Z
⇒0=
f (x)xn e−
x2
2
dx
(−iξx)n − x2
e 2 dx
n!
Z
n
X
(−iξx)k − x2
⇒ 0 = f (x)
e 2 dx
k!
k=0
|
{z
}
∀ n ∈ N0
Z
⇒0=
f (x)
→e−ixξ pktw.
30
∀ n ∈ N0 , ξ ∈ R
∀ n ∈ N0 , ξ ∈ R
Wegen
n
X
(−iξx)k ≤ e|xξ|
k! k=0
Ist für den Integranden bei festem ξ eine Majorante gegeben durch:
|f (x)|e|xξ| x−
x2
2
∈ L1 (R)
Mit Lebesgue folgt
1
0= √
2π
Z
f (x)e−
x2
2
e−ixξ dx
g(x) = f (x)e−
= ĝ(ξ)
x2
2
(in L2 (R))
⇒g≡0⇒f ≡0
Folgerung:
Für k ∈ Nn0 , x ∈ Rn setzen wir
Hk (x) := Hk1 (x1 ) · . . . · Hkn (xn ) =
n
Y
Hkj (xj )
j=1
Damit erhalten wir mit (Hk )k∈Nn0 eine ONB von L2 (Rn ) aus Eigenfunktionen
der Fouriertransformation zu Eigenwerten (−i)|k|
Definitionsbereiche der Fouriertransformation:
(1) Bisher: L1 (Rn ) und erste Erweiterungen
L1 (Rn ) → C00 (Rn ) (natürlicher Definitionsbereich)
Z
n
fˆ(ξ) = (2π)− 2
f (x)e−ixξ dx
Rn
F : M(Rn ) → L∞ (Rn ) ∩ C 0 (Rn )
Z
µ̂(ξ) =
e−ixξ dµ(x)
Rn
Anwendungen: W-Theorie, PDE: Cauchy-Problem für die Wellengleichung
F : L2 (Rn ) → L2 (Rn )
gleichmäßig stetige Fortsetzung: (X, dX ), (Y, dY ) vollständige metrische Räume,
D ⊂ X dicht, f : D → Y gleichmäßig stetig. Dann gibt es genau eine Fortsetzung f˜ : X → Y von f , s.d. f˜|D ≡ f und
f˜(x) := lim f (xn )
wenn xn → x (n → ∞)
n→∞
31
Es ist tatsächlich eine Fortsetzung von F definiert auf L1 (Rn ) + L2 (Rn )
(F + G := {ϕ = f + g|f ∈ F, g ∈ G}, sofern ein Vektorraum V existiert mit
F ∪ G ⊂ V ) Für (F, k · kF ), (G, k · kG ) normierte Räume ist
kϕkF +G :=
inf
f +g=ϕ
f ∈F,g∈G
kf kF + kgkG
Anwendung: Quantenmechanik: Ist ψ der Zustand eines quantalen Teilchens, dann ist |ψ|2 die Dichte eines Wahrscheinlichkeitsmaßes.
0
F : Lp (Rn ) → Lp (Rn )
p ∈ [1, 2] durch Riesz-Thorin
(2) Ziel: Substanzielle Erweiterung des Definitionsbereiches
• Ff für f ∈ Lp (Rn ), p ∈ (2, ∞]?
• F für Ableitungen und Multiplikatoren von Funktionen (Aus der Quantenmechanik: Orts-/ Impulsoperator und Erwartungswerte)?
Wichtige Argumente:
1
hFf, FgiL2ξ = hf, giL2x (Plancherel) bzw.
Z
Z
ˆ
f (ξ)g(ξ) dξ =
f (x)ĝ(x) dx
Rn
2
Rn
Dualität, Darstellungssätze
n
M(R ) '
Z
0
C00 (Rn )
L2 (Rn ) ' L2 (Rn )
Φ(µ)[f ] =
f (x) dµ(x)
Z
0
Φ(g)[f ] =
f g dλn
[ ], f, g ∈ L2 (Rn )
1 + 2 Φ(g)[fˆ] = Φ(ĝ)[f ] =: Φ(g)[f
Verallgemeinerung für lineares Funktional T und Testfunktion f :
T̂ [f ] := T [fˆ]
Anforderungen an der Raum der Testfunktionen:
1. Soll dichte Teilmenge von L1 (Rn ) sein (bzw. von L2 (Rn ))
2. muss versehen werden mit einer anderen, feineren Topologie
3. Soll Teilmenge von C ∞ (Rn ) sein
4. F soll ein Isomorphismus werden
Cc∞ (Rn ) erfüllt 1. und 3., aber nicht 4. (siehe Blatt 8, Aufgabe 2)
32
1.4
Schwartz-Funktionen und temperierte Distributionen
(Laurent Schwartz: 1915-2002, promotion 1943 Straßburg
Theorie der Distributionen: Originalarbeit 1945, Fields-Medaille 1950)
Für f ∈ C ∞ (Rn ) und α, β ∈ Nn0 definiert man
ρα,β (f ) := sup |xα ∇β f (x)|
x∈Rn
Definition (Schwartz-Raum):
S(Rn ) := {f ∈ C ∞ (Rn )|ρα,β (f ) < ∞
∀ α, β ∈ Nn0 }
heißt Schwartz-Raum oder Raum der schnell fallenden Funktionen“. Die Ele”
mente heißen Schwartz-Funktionen.
Bemerkung (und Beispiel):
(1) S(Rn ) ist ein linearer Teilraum von C ∞ (Rn ), der Cc∞ (Rn ) enthält
Ferner ist hHk |k ∈ Nn0 i ⊂ S(Rn ), Hk die Hermite-Funktionen in mehreren
Variablen
(2) ∀ p ∈ [1, ∞] ist S(Rn ) ⊂ Lp (Rn )
Klar für p = ∞: α = β = 0.
Für αk = 2nek = (0, . . . , 0, |{z}
1 , 0, . . . , 0)
k-te Stelle
(1 + |x|)n |f (x)| . ρ0,0 (f ) +
n
X
ραk ,0 (f )
k=1
Z
p
Z
n
(1 + |x|)−n (1 + |x|)n |f (x)|p dx
|f | dλ =
Rn
Rn
n
. sup (1 + |x|2 ) p |f (x)|p
x∈Rn
.
ρ0,0 (f ) +
n
X
!p
ραk ,0 (f )
k=1
(3) S(Rn ) ⊂ Lp (Rn ) dicht, falls p ∈ [1, ∞)
(4) Für f ∈ S(Rn ), p ∈ Pm ist pf definiert durch
pf (x) := p(x)f (x)
wieder in S(Rn )
(5) Sind f, g ∈ S(Rn ), γ ∈ Nn0 , so ist
∇γ (f ∗ g) = (∇γ f ) ∗ g = f ∗ (∇γ g)
und insbesondere f ∗ g ∈ S(Rn )
33
(6) f (x) = e−|x| ∈
/ S(Rn ), g(x) = (1 + |x|2 )−N ∈
/ S(Rn )
Sei (α(i), β(i))i∈N0 eine Abzählung von N2n
0 . Dann setzen wird ρi := ρα(i),β(i)
und definieren mit
∞
X
ρi (f − g)
d(f, g) :=
2−i
1 + ρi (f − g)
i=0
eine Metrik auf S(Rn ), bezüglich der S(Rn ) vollständig wird (Fréchet-Raum)
Lemma 1.4.1:
(i) Eine Folge (fk )k∈N ⊂ S(Rn ) konvergiert gegen f ∈ S(Rn ) genau dann,
wenn ∀ α, β ∈ Nn0 gilt:
lim ρα,β (fk − f ) = 0
k→∞
(ii) Eine lineare Abbildung A : S(Rn ) → S(Rn ) ist stetig, falls ∀α, β ∈
Nn0 ∃(α1 , β1 ), . . . , (αN , βN ) ∈ Nn0 so, dass
ρα,β (Af ) .
N
X
ραi ,βi (f )
i=1
Beweis.
(i) Aus limk→∞ d(fk , f ) = 0 folgt ∀i ∈ N0 :
ρi (fk − f )
=0
1 + ρi (fk − f )
⇒ lim ρi (fk − f ) = 0
lim 2−i
k→∞
k→∞
insbesondere für ρi = ρα,β .
Es gelte nun lim ρi (fk − f ) = 0 ∀ i ∈ N0
k→∞
ρi (fk − f )
⇒ lim 2−i
=0
k→∞
1 + ρi (fk − f )
|
{z
}
∀ i ∈ N0
=:ai,k
und |ai,k | ≤ 2−i und
P∞
i=0
2−i = 2 < ∞
Lebesgue auf `1i (N0 )
⇒
lim
k→∞
∞
X
ai,k
i=0
| {z }
R
= N ai,k d#(i)
0
34
= 0 ⇒ (i)
(ii) Sei (fk )k ⊂ S(Rn ),
fk → f ∈ S(Rn ).
(i)
⇒ ρα(i),β(i) (fk − f ) → 0
(k → ∞) ∀ i ∈ N0
insbesondere für i = 1, . . . , N . Zusammen mit der vorausgesetzten Ungleichung folgt
lim ρα,β (Afk − Af ) = 0
∀ α, β ∈ Nn0
k→∞
Mit (i) folgt also
d(Afk , Af ) → 0
(k → ∞)
Beispiel:
(1) A : S(Rn ) → S(Rn ) sei definiert durch
Af (x) := xγ f (x),
γ ∈ Nn0
Dann ist ρα,β (Af ) = supx∈Rn |xα ∇β (xγ f (x))|
X 0 0
xα ∇β xγ f (x) =
xα ∇β f (x)
α0 ,β 0
Wobei |α0 | + |β 0 | ≤ |α| + |β| + |γ| =: N
X
⇒ ρα,β ≤
ρα0 ,β 0 (f )
|α0 |+|β 0 |≤N
Also ist A stetig.
Ebenso: Ist p ∈ PN (Rn , C) ein Polynom und Mp definiert durch
Mp f (x) := p(x)f (x),
f ∈ S(Rn )
so ist Mp stetig. (Stimmt auch, wenn p ∈ C ∞ (Rn ) von polynomiellem
1
Wachstum ist, also |p(x)| . hxiN , hxi = (1 + |x|2 ) 2 )
(2) ∇γ : S(Rn ) → S(Rn ), f 7→ ∇γ f ist ebenfalls stetig: ρα,β (∇γ f ) = ρα,β+γ (f ).
Ebenso ist für ein Polynom p ∈ PN (Rn , C) der Operator f 7→ p(∇)f stetig.
Fouriertransformation auf S(Rn ):
Wegen S(Rn ) ⊂ L1 (Rn ) ist
−n
2
Z
Ff (ξ) := (2π)
f (x)e−ixξ dx
Rn
für jedes f ∈ S(Rn ) definiert und es gilt
|β| β
F(xα ∇βx f )(ξ) = (−i)|α| ∇α
ξ i ξ Ff (ξ)
35
(∗)
Satz 1.4.1:
F : S(Rn ) → S(Rn ) ist ein Isomorphismus von S(Rn ) in sich.
Beweis. Linearität: X
Steitgkeit:
ρ0,0 Ff = kFf kL∞
≤ kf kL1x
ξ
Z
=
|f (x)|hxi−N hxiN dx
Rn
Z
≤ sup |hxiN f (x)|
hxi−N dx
x∈Rn
Rn
N
≤ cN sup |hxi f (x)|
x∈Rn
mit αk := N ek ,
N ≥ n + 1:
hxiN |f (x)| . ρ0,0 (f ) +
n
X
ραk ,0 (f )
k=1
Allgemein:
ρα,β (Ff ) = sup |ξ α ∇βξ Ff (ξ)|
ξ∈Rn
∗
β
= sup |F(∇α
x x f )(ξ)|
ξ∈Rn
≤
β
k∇α
x x f kL1x
.
β
ρ0,0 (∇α
xx f)
+
n
X
β
ραk ,0 (∇α
xx f)
k=1
X
.
ρα0 ,β 0 (f )
|α0 |+|β 0 |≤N +|α|+|β|
Mit Lemma 1.4.1 folgt die Stetigkeit von F.
n
F −1 f (x) := fˇ = (2π)− 2
Z
f (ξ)eixξ dξ
Rn
definiert die Umkehrfunktion
Lemma 1.4.2:
Ein lineares Funktional T : S(Rn ) → C is stetig genau dann, wenn c > 0 und
endlich viele Multiindizes (α1 , β1 ), . . . , (αN , βN ) existieren so, dass
T [f ] ≤ c
n
X
ραi ,βi (f )
i=1
36
∀ f ∈ S(Rn )
Beweis. ⇐“ wie im Beweis von Lemma 1.4.1, (ii)
”
⇒“: Sei T : S(Rn ) → C linear und stetig.
”
⇒ T ist in 0 stetig, d.h. insbesondere existiert zu ε = 1 ein δ > 0 s.d.
∀f ∈ S(Rn ) : d(f, 0) =
|T [f ]| ≤ 1
X
2−k
k∈N0
Weiterhin ∃N ∈ N mit
N
X
k=0
P∞
k=N +1
2−k
ρk (f )
≤δ
1 + ρk (f )
2−k ≤ 2δ . Dann ist ∀f ∈ S(Rn ) mit
δ
ρk (f )
≤
1 + ρk (f )
2
auch d(f, 0) ≤ δ
Und damit |T [f ]| ≤ 1. Insbesondere gilt dies auch für f ∈ S(Rn ) mit
N
X
ρk (f ) ≤
k=0
δ
2
Ist nun 0 6= g ∈ S(Rn ) beliebig, dann setzen wir f :=
⇒
N
X
ρk (f ) =
k=0
δ
2
·
g
PN
k=0
ρk (g)
δ
2
⇒ |T [f ]| ≤ 1
N
T linear
⇒
|T [g]| ≤
2X
ρk (g)
δ
k=0
Beispiel (für stetige lineare Funktionale auf S(Rn )):
(1) Es sei ϕ : Rn → C meßbar s.d.
(i) ∃R > 0 s.d. ϕ|BR (0) integrierbar (kϕkL1 (BR (0)) < ∞)
(ii) ∃N ∈ N s.d. ∀ x ∈ Rn mit |x| ≥ R:
ϕ . hxiN
(oder . |x|N )
Dann wird durch Tϕ : S(Rn ) → C definiert durch Tϕ [f ] :=
ein stetiges, lineares Funktional auf S(Rn ) definiert
37
R
Rn
ϕ(x)f (x) dx
Begründung.
Z
|Tϕ [f ]| ≤
Z
|ϕ(x)f (x)| dx +
|ϕ(x)f (x)| dx
|x|>R
BR (0)
|ϕ(x)|
|hxiN +n+1 f (x)|hxi−n−1 dx
N
x>R hxi
| {z }
≤c
Z
X
1
≤ ρ0,0 (f )kϕkL (BR (0)) + c
ρα,0 (f )
hxi−n−1 dx
Z
≤ ρ0,0 (f )kϕkL1 (BR (0)) +
|x|>R
|α|≤N +n+1
X
. ρ0,0 (f ) +
ρα,0 (f )
|α|≤N +n+1
(2) Diese Konstruktion für ϕ ∈ Lp (Rn ), p ∈ [1, ∞]. Funktionale dieses Typs
bezeichnet man als reguläre Distributionen
(3) Es sei µ : B n → R ein Maß mit der Eigenschaft:
Z
∃N ∈ N s.d.
hxi−N d|µ|(x) < ∞
Rn
Dann ist durch Tµ [f ] :=
definiert.
R
Rn
f dµ ein stetiges, lineares Funktional auf S(Rn )
Begründung.
Z
hxi−N d|µ|(x)khxiN f k∞
|Tµ [f ]| ≤
Rn
Bemerkung:
• λn definiert eine stetige Linearform auf S(Rn )
• ϕ, Tϕ und µ, Tµ werden identifiziert
2
(4) Zu schnell wachsende Funktionen (z.B. e|x| , e|x| ) sind für die Konstruktion
in (1) und (2) nicht geeignet
(5) x0 ∈ Rn , γ ∈ Nn0 . Dann ist T [f ] := ∇γ f (x0 ) ein stetiges, lineares Funktional
auf S(Rn )
(6) Der Cauchy-Hauptwert von
1
x
definiert durch
1
p. v. [f ] := lim
ε&0
x
38
Z
|x|>ε
f (x)
dx
x
definiert ein stetiges, lineares Funktional
Z
Z
Z
f (x)
dx
|f (x)|
+
dx ≤
|f (x) − f (0)|
dx
|x|>ε x
|x|
ε<|x|<1
|x|>1 |x|
|
{z
} |
{z
}
Iε
abschätzen wie oben
Für Iε : Mittelwertsatz ⇒ |f (x) − f (0)| = |f 0 (θ)||x| ≤ kf 0 k∞ |x| ⇒ Iε ≤
2kf k∞
Definition (temperierte Distribution):
Der Vektorraum der stetigen linearen Funktionale auf S(Rn ) wird bezeichnet
mit
S 0 (Rn ) := {T : S(Rn ) → C|T ist linear und stetig}
Die Elemente werden als temperierte
0 Distributionen bezeichnet. ”temperiert“
dient zur Abgenzung von Cc∞ (Rn ) .
Beispiel:
∞
X
0
ek δk ∈ Cc∞ (Rn ) \ S 0 (Rn )
k=0
Topologie auf S 0 (Rn ):
Starke Topologie (Schwartz)
Schwach-*-Topologie
E := {M ⊂ S(Rn )|M endlich} B := {M ⊂ S(Rn )|M beschränkt}
Definiere Halbnormen
kT kM := sup |T [ϕ]|
ϕ∈M
M ∈E
M ∈B
ergibt ein System (Uε,M )ε>0,M ∈E von Nullumgebungen:
Uε,M := {T ∈ S 0 (Rn )|kT kM < ε}
Damit ist eine Vektorraum-Topologie festgelegt.
Konvergenz in S 0 (Rn ):
Eine Folge (Tn )n ⊂ S 0 (Rn ) konvergiert gegen T ∈ S 0 (Rn ) genau dann, wenn
∀ M ∈ E gilt, dass
lim kTn − T kM = 0
n→∞
S0
(Tn → T )
Dies ist genau dann der Fall, wenn
lim Tn [ϕ] = T [ϕ]
n→∞
∀ ϕ ∈ S(Rn )
Beispiel:
f, g seien meßbare Funktionen von moderatem Wachstum, (fn )n eine Folge meßbarer Funktionen mit
39
(i) fn → f punktweise fast überall
(ii) |fn | ≤ |g| λn -fast überall
Tfn , Tf seien die zugehörigen Distributionen (Tf [ϕ] :=
R
Rn
f ϕ dλn ), dann gilt
S 0 − lim Tfn = Tf
n→∞
Beweis. Sei ϕ ∈ S(Rn ). Dann gilt
Z
Tf [ϕ] =
f (x)ϕ(x) dx
Z
Tfn [ϕ] =
Rn
fn (x)ϕ(x) dx
Rn
Nach Lebesgue und Voraussetzung ist
λn − f.ü.
lim fn (x)ϕ(x) = f (x)ϕ(x)
n→∞
Lebesgue
⇒
Z
lim
n→∞
Rn
Definition
⇒
, gϕ ∈ L1 (Rn )
|fn (x)ϕ(x)| ≤ |g(x)ϕ(x)|
Z
fn (x)ϕ(x) dx =
f (x)ϕ(x) dx
Rn
S 0 − lim Tfn = Tf
n→∞
Stetigkeit auf S 0 (Rn ):
Die Schwach-*-Topologie ist die gröbste Topologie auf S 0 (Rn ), für die die Funktionale
Jϕ : S 0 (Rn ) → C,
T 7→ Jϕ (T ) := T [ϕ]
Für alle ϕ ∈ S(Rn ) stetig werden.
Wähle dazu M = {ϕ} ∈ E:
Uε,M = {T ∈ S 0 (Rn )|
|T [ϕ]|
| {z }
< ε}
=kT kM =|Jϕ (T )|
⇒ Jϕ ist stetig in 0, also in jedem Punkt.
Nun sei A : S 0 (Rn ) → S 0 (Rn ) linear. Dann sind äquivalent:
• A ist stetig
• A ist stetig in 0
• ∀ ε > 0, M ∈ E ∃δ > 0, M̃ ∈ E s.d. A(Uδ,M̃ ) ⊂ Uε,M
• -“- AT ∈ Uε,M
∀ T ∈ Uδ,M̃
• -“- kAT kM < ε ∀ T ∈ S 0 (Rn ), kT kM̃ < δ
40
• ∀ ε > 0, ϕ ∈ S(Rn ) ∃δ > 0, M̃ ∈ E s.d. |AT [ϕ]| < ε ∀ T ∈ S(Rn ), kT kM̃ <
δ
• ∀ ϕ ∈ S(Rn ) ∃c > 0, M̃ ∈ E mit
|AT [ϕ]| ≤ ckT kM̃
Definition (adjungierte Abbildung):
Sei A0 : S(Rn ) → S(Rn ) linear. Dann heißt
A := AT0 : S 0 (Rn ) → S 0 (Rn ) def. durch AT [ϕ] := T [A0 ϕ]
die zu A0 adjungierte / transponierte Abbildung.
Dann gilt
∀ M 3 A0 ϕ
|AT [ϕ]| = |T [ A0 ϕ ]| ≤ kT kM
|{z}
∈S(Rn )
Also ist A stetig.
Operationen auf S 0 (Rn ):
(1) Die Distributionsableitung : Sei γ ∈ Nn0 ein Multiindex, dann definiert
man die distributionelle Ableitung
∇γ : S 0 (Rn ) → S 0 (Rn ),
T 7→ ∇γ T
∇γ T [ϕ] := (−1)|γ| T [∇γ ϕ]
| {z }
(vgl. partielle Integration)
klassische Ableitung
∇γ Tf [ϕ] =
Z
∇γ f (x)ϕ(x) dx
Z
= (−1)|γ|
f (x)∇γ ϕ(x) dx
(f ∈ C |γ| (Rn ))
Rn
Rn
Bemerkung:
• ∇γ : S 0 (Rn ) → S 0 (Rn ) ist linear und stetig
• Jedes T ∈ S 0 (Rn ) ist beliebig oft differenzierbar
• Echte Verallgemeinerung der Ableitung: ∇γ Tf = T∇γ f
Beispiel:
(i)
∇γ Tδx0 [ϕ] = (−1)|γ| Tδx0 [∇γ ϕ]
= (−1)|γ| ∇γ ϕ(x0 )
41
(ii) n = 1, T = Tθ , θ = χ(0,∞) (Heaviside-Funktion)
Z ∞
Tθ [ϕ] =
ϕ(x) dx
0
Z ∞
ϕ0 (x) dx
Tθ0 [ϕ] = −Tθ [ϕ0 ] = −
0
= ϕ(0) = Tδ0 [ϕ]
⇒ Tθ0 = Tδ0
bzw. ”θ0 = δ0 ”
(2) Multiplikation mit a ∈ C ∞ (Rn ) von moderatem Wachstum:
|a(x)| . hxiN
ϕ ∈ S(Rn ) ⇒ aϕ ∈ S(Rn )
Für T ∈ S 0 (Rn ) definieren wir a · T durch
a · T [ϕ] := T [aϕ]
∀ ϕ ∈ S(Rn )
2
(Nicht definiert ist f · T für f ∈ C ∞ (Rn ), wie z.B. f (x) = e|x | , die zu
schnell wachsen)
Es gilt (L. Schwartz):
Es gibt keine kommutative und assoziative Multiplikation · : S 0 (Rn ) ×
S 0 (Rn ) → S 0 (Rn )
Beweis. (unter der zusätzlichen Voraussetzung, dass · die obige Definition
fortsetzt)
(i) aTδ0 [ϕ] = Tδ0 [aϕ] = a(0)ϕ(0) = a(0)Tδ0 [ϕ]
(a · δ0 = a(0) · δ0 , insbesondere x · δ0 = 0)
R
(ii) x · p. v. x1 = p. v. x1 [xϕ] = limε&0 |x|>ε ϕ(x) dx = T1 [ϕ]
(also x p. v. x1 = 1)
(i)+(ii)
1
1
= (xδ0 ) p. v.
x
x
1
Kommutativität
=
(δ0 x) p. v.
x
1
Assoziativität
=
δ0 (x p. v. )
x
= δ0 · 1 = δ0
0 = 0 · p. v.
(3) Verknüpfungen mit affin-linearen Transformationen: Sei A ∈ GL(n), b ∈
Rn , Lx := Ax + b. Wir setzen für T ∈ S 0 (Rn )
T ◦ L[ϕ] :=
1
T [ϕ ◦ L−1 ]
| det A|
42
Plausibilisierung: T = Tf , f ∈ Lp (Rn )
Z
Z
1
1
(!)
Tf ◦L[ϕ] =
f (|{z}
Lx )ϕ(x) dx =
f (y)ϕ(L−1 y) dy =
T [ϕ◦L−1 ]
| det A| Rn
| det A|
Rn dy
y⇒
dx =| det A|
Beispiel:
1
1
δ0 [ϕ ◦ L−1 ] =
ϕ(L−1 (0))
| det A|
| det A|
1
ϕ(A−1 b)
=
| det A|
1
δ −1
also: δ0 ◦ L =
| det A| A b
δ0 ◦ L[ϕ] =
1
Häufig notiert man für n = 1: δ(ax) = |a|
δ(x)“
”
Beispiel:
n = 1: δ0 ◦ x2 ist nicht definiert. Betrachte dazu δ0 ◦ x2 [ϕ]“
”
Z
= lim
Kε (x2 )ϕ(x) dx
(da Kε → δ0 , ε & 0 in S 0 )
ε&0 R
Z ∞
dy
√
√
y=x2
= lim
Kε (y)(ϕ( y) + ϕ(− y)) √
ε&0 0
2 y
Dieser Grenzwert existiert nicht.
Definition (Verknüpfungen δ0 ◦ P ):
n = 1 : P ∈ C ∞ (R) mit {P = 0} ∩ {P 0 = 0} = ∅. Dann ist
δ0 ◦ P [ϕ] :=
X
xn ∈{P =0}
1
ϕ(xn )
|P 0 (xn )|
n ≥ 2 : P ∈ C ∞ (Rn , R) mit ∇P (x) 6= 0 ∀ x ∈ Rn 1
Z
dSx
δ0 ◦ P [ϕ] :=
ϕ(x)
|∇P
(x)|
{P =0}
(Die Definitionen sind Konsistent mit Kε → δ0 in S 0 )
(m)
Es ist keine allgemeine Definition möglich (vgl. δ0
(4) Faltung: von g ∈ S(Rn ) mit T ∈ S 0 (Rn )
g ∗ T [ϕ] −→ T [g ∗ ϕ]?
1 dist({P
= 0}, {∇P = 0}) > 0 reicht
43
◦ P [ϕ] =?)
Vorüberlegung: T = Tf , f ∈ S(Rn ). In diesem Fall:
Z
g ∗ f [ϕ] =
g ∗ f (x)ϕ(x) dx
Z Z
=
g(x − y)f (y) dyϕ(x) dx
Rn Rn
Z
Z
Fubini
=
f (y)
g(x − y)ϕ(x) dx dy
n
Rn
Z R
=
f (y)g̃ ∗ ϕ(y) dy
Rn
g̃(x) := g(−x)
Rn
= f [g̃ ∗ ϕ]
Definition (Faltung):
Für g ∈ S(Rn ), T ∈ S 0 (Rn ) heißt g ∗ T definiert durch
∀ ϕ ∈ S(Rn )
g ∗ T [ϕ] := T [g̃ ∗ ϕ]
die Faltung von g und T .
(Bei festem g ∈ S(Rn ) ist g∗ : S 0 (Rn ) → S(Rn ), T 7→ g ∗ T eine stetige,
lineare Abbildung)
(5) Fouriertransformation für temperierte Distributionen:
Definition:
F : S 0 (Rn ) → S 0 (Rn ),
T 7→ FT := T̂ definiert durch
T̂ [ϕ] := T [ϕ̂]
∀ ϕ ∈ S(Rn )
heißt die (distributionelle) Fouriertransformation von T .
F ist linear und stetig. Für ϕ ∈ S(Rn ) ist
Z
n
e−ixξ ϕ(ξ) dξ
ϕ̌(x) = (2π)− 2
Rn
Dann gilt ϕ = ϕ̌ˆ = ϕ̂ˇ (Fourierinversionsformel, Satz 1.1.1).
Wir definieren F −1 : S 0 (Rn ) → S 0 (Rn ), T 7→ F −1 T = Ť durch
Ť [ϕ] := T [ϕ̌]
ˇ
ˇ
Dann ist T̂ [ϕ] = T̂ [ϕ̌] = T [ϕ̌ˆ] = T [ϕ], also T = T̂ = Ťˆ. F −1 : S 0 (Rn ) →
0
n
S (R ) ist eine stetige inverse von F.
Satz 1.4.2:
F : S 0 (Rn ) → S 0 (Rn ) ist ein Isomorphismus von Fréchet-Räumen
Lemma 1.4.3:
Es seien T ∈ S(Rn ), A ∈ GL(n), a ∈ Rn . Dann gelten
44
\
(i) T
◦A=
1
| det A| T̂
◦ A−T
−iaξ
iaξ T = τ T̂
(ii) τd
T̂ und e\
aT = e
a
(Bekannt für T ∈ S(Rn ) aus Lemma 1.1.4, (1) und Lemma 1.1.5, (1))
Beweis. (von (i))
Def. FT
\
T
◦ A[ϕ] = T ◦ A[ϕ̂]
1
Def. T ◦ A
=
T [ϕ̂ ◦ A−1 ]
| det A|
Lemma 1.1.5, (1)
=
T [ϕ\
◦ AT ]
= T̂ [ϕ ◦ AT ]
= | det A−T |T̂ ◦ A−T [ϕ]
1
T̂ ◦ A−T [ϕ]
=
| det A|
(ii) analog aus Lemma 1.1.4, (1).
Lemma 1.4.4:
Es sei T ∈ S 0 (Rn ) und α ∈ Nn0 ein Multiindex. Dann gilt
α T = (ix)α T̂
[
(i) ∇
ξ
α T = (i∇ )α T̂
(ii) ξd
x
Beweis. (von (i)) Beide Formeln sind für T ∈ S(Rn ) bereits bewiesen (Lemma
1.1.6).
α T [ϕ] = ∇α T [ϕ̂]
[
∇
ξ
ξ
= T [(−1)|α| ∇α
ξ ϕ̂]
Lemma 1.1.6, (b) |α|
=
= i|α| T̂ [xα ϕ]
= (ix)α T̂ [ϕ]
(ii) analog mit Lemma 1.1.6, (a).
Satz 1.4.3 (Faltungssatz):
Für f ∈ S(Rn ) und T ∈ S 0 (Rn ) gelten
n
(i) f[
∗ T = (2π) 2 fˆT̂
45
i
α ϕ]
T [xd
n
(ii) fc
T = (2π)− 2 fˆ ∗ T̂
Beweis. (i) ist bekannt für f, T ∈ S(Rn ) (vgl. Lemma 1.1.4, (2))
Zu (ii):
fc
T [ϕ] = f T [ϕ̂] = T [f ϕ̂]
n
Lemma 1.1.4, (2)
ˇ ∗ ϕ]
= T [fˆˇϕ̂
=
(2π)− 2 T [f[
n
n
˜
= (2π)− 2 T̂ [ fˇ ∗ϕ] = (2π)− 2 T̂ [fˆ ∗ ϕ]
|{z}
˜
=fˆ
= (2π)
−n
2
fˆ ∗ T̂ [ϕ]
Zu (i):
f[
∗ T [ϕ] = f ∗ T [ϕ̂] = T [f˜ ∗ ϕ̂]
n
(ii)
ˆ
c
= T [fˆ ∗ ϕ̂] = (2π) 2 T [fˆϕ]
n
n
= (2π) 2 T̂ [fˆϕ] = (2π) 2 fˆT̂ [ϕ]
Formeln aus Physikbüchern: (n = 1)
Z ∞
1
eikx dk
2π −∞
Z ∞
i
δ 0 (x) =
keikx dk
2π −∞
δ(x) =
(M1)
(M2)
(Messiah, Bd. 2 )
Z
∞
ikx
e
1
dk
2πi −∞ k − iε
Z ∞
1
1
1
δ+ (x) = −
lim
=
eikx dk
2πi ε&0 x + iε
2π 0
Z 0
1
1
1
δ− (x) =
lim
=
eikx dk
2πi ε&0 x − iε
2π −∞
θ(x) = lim
ε&0
(θ = χ(0,∞) )
(S2)
(S3)
(Schwabl )
46
(S1)
Alle diese Gleichungen bedeuten, dass man die eine Seite durch die
andere ersetzen kann, wenn sie als Faktor unter einem Integral über
x auftritt. Man kann Sie mit Hilfe der Distributionstheorie streng
beweisen.
(Messiah, Bd.1, S. 422 )
Interpretation der Formeln:
Rote Gleichheitszeichen sind nicht rigoros gerechtfertigt. M1:
Z
Z
ϕ(0) =
ϕ dδ = δ(x)ϕ(x) dx
R
R
Z Z ∞
(M1) 1
eikx dkϕ(x) dx
=
2π R −∞
Z ∞
Z
1
1
Fubini
√
√
=
eikx ϕ(x) dx dk
2π −∞ 2π R
{z
}
|
(∗)
=ϕ̌(k)
Z
∞
1
=√
e−ik0 ϕ̌(k) dk = ϕ̌ˆ(0) = ϕ(0)
2π −∞
~
~
1
1
δ0 = √
⇔ ϕ(0) = √ [ϕ]
2π
2π
1
Def.
= √ [ϕ̌] = (∗)
2π
Beziehungsweise δˆ0 =
d
1
√1 , √
2π
2π
∀ ϕ ∈ S(R)
= δ0
Beispiel 1.4.1 (n ∈ N beliebig, α ∈ Nn0 ):
1.1.4
α δ [ϕ] Lemma
[
∇
=
(ix)α δ̂0 [ϕ]
0
α ϕ(0)
\
= δ̂0 [(ix)α ϕ] = (ix)
Z
n
(ix)α ϕ(x) dx
= (2π)− 2
Rn
−n
2
= (2π)
(ix)α [ϕ]
−n
2
(ix)α
ix
δ00 = √
2π
α δ = (2π)
[
⇒∇
0
n = 1, α = 1
(M2)
Beispiel 1.4.2 (n = 1):
Berechnung von θ̂
θ(x) = lim e−εx θ(x)
ε&0
mit majorisierter und punktweiser Konvergenz, also auch in S 0 (vgl. Beispiel
47
zur Konvergenz in S 0 )
1
1
ψ(x) = x−x θ(x) ⇒ ψ̂(ξ) = √
2π 1 + iξ
ψε (x) := e−εx θ(εx) = e−εx θ(x)
1 x
1
1
⇒ ψ̂ε (ξ) = ψ̂( ) = √
ε ε
ξ
−
iε
2πi
Z
θ̂[ϕ] = lim ψ̂ε [ϕ] = lim
ψ̂ε (x)ϕ(x) dx
ε&0
ε&0 R
Z ∞
ϕ(x)
1
lim
=
2πi ε&0 −∞ x − iε
(S1)
Häufig abgekürzt durch
1
1
2πi x − i · 0
Betrachte des Weiteren θ− (x) := χ(−∞,0) (x)
θ̂ = √
θ + θ− = 1 ⇒ θ̂ + θ̂− = 1̂ =
√
2πδ0
Andererseits
θ− = θ ◦ (−1) ⇒ θ̂− = θ̂ ◦ (−1)
Z
ϕ(x)
1
lim
dx
θ̂− [ϕ] = √
2πi ε&0 R −x − iε
Z 1
1
1
⇒ (θ̂ − θ̂− )[ϕ] = √
lim
+
ϕ(x) dx
2πi ε&0 R x + iε x − iε
|
{z
}
2x
x2 +ε2
r
Z
x
21
lim
ϕ(x) dx
π i ε&0 R x2 + ε2
Z
ϕ(x)
1
P V [ϕ] = lim
dx
ε&0 |x|>ε
x
x
r
21
1
(•) =
P V [ϕ]
πi
x
!
r
√
21
1
1
⇒ θ̂ =
2πδ0 +
PV
2
πi
x
r
π
i
1
=
δ0 − √ P V
2
x
2π
r
π
i
1
θ̂− =
δ0 + √ P V
2
x
2π
=
Vergleich der beiden Darstellungen ergibt die Sokhotzky-Formeln“:
”
r
i
1
1
1
π
δ0 − √ P V = θ̂ = √
2
x
x
−
i·0
2π
2πi
48
(•)
⇒
1
1
= iπδ0 + P V
x−i·0
x
1
1
= −iπδ0 + P V
x+i·0
x
Beispiel 1.4.3 (n ∈ N):
2
Fouriertransformierte von e−i|x| und die Schrödingergleichung.
Cauchy-Problem
(
(
∂
∂
2
t>0
t>0
F
∂t u = i∆u
∂t û = −i|ξ| û
⇒
n
u(0, x) = u0 (x) u0 ∈ S(R )
û(0, ξ) = û0 (ξ) û0 ∈ S(Rn )
Hat die Lösung
2
û(t, ξ) = |e−it|ξ|
{z } û0 (ξ)
=:St (ξ)
Satz 1.4.3
⇒
n
u(t, x) = (2π)− 2 u0 ∗ Št (x)
Wobei Št = Ŝt wegen Symmetrie
2
St (ξ) = lim e−(it+ε)|ξ|
(in S 0 (Rn ))
ε&0
Wissen: Für ϕλ (ξ) = e−
λ|ξ|2
2
ist nach der Folgerung aus Beispiel 1.1.2
√
ϕˆλ (x) =
λ
−n − |x|2
2λ
λ ∈ C, <λ > 0
e
Mit λ = 2(it + ε) ergibt sich
Ŝt (ξ)
F stetig
=
lim
p
ε&0
−n − |x|2
4(it+ε)
2(it + ε)
iπ
= (2t)−n e− 4 n e
n
⇒ u(x, t) = (2πt)− 2 e−
e
i|x|2
4t
iπ
4 n
Z
e
i(x−y)
4t
u0 (y) dy
Rn
Beispiel 1.4.4:
α
α
fα (x) := 2 2 Γ( )|x|−α
2
n
1
fα ∈ Lloc (Rn ) ∪ L α ,∞ (Rn ) \ Lp (Rn )
Behauptung: fˆα = fn−α
49
,0 < α < n
∀ p ∈ [1, ∞]
Beweis. Wir verwenden
Z ∞
Z ∞
|x|2
λ|x|2
t=
λ
n
n
α
e− 2 λ− 2 −1 dλ =2
e−t t 2 −1 dt 2 2 |x|−α = fα (x)
0
|0
{z
}
=Γ( α
2)
Damit folgt
Z
ˆ
fα [ϕ] = fα [ϕ̂] =
fα (x)ϕ̂(x) dx
n
Z Z ∞ R
λ|x|2
α
=
e− 2 λ 2 −1 dλϕ̂(x) dx
n
R
Z
Z 0∞
λ|x|2
α
Fubini
e− 2 ϕ̂(x) dx dλ
λ 2 −1
=
n
0
|R Z
{z
}
Plancherel
Z
=
Z
∞
=
λ
Fubini
∞
=
n
λ− 2 dξ
e−
|ξ|2
2λ
ϕ(ξ) dξ dλ
Rn
0
Z
|ξ|2
2λ
Rn
α−n
2 −1
Z
ϕ(ξ)e−
λ
α−n
2 −1
e−
|ξ|2
2λ
dλ dξ
n
µ=λ−1
ZR Z0
=
∞
µ
Rn
|0
n−α
2 +1
µ−2 e−
{z
µ|ξ|2
2
=fn−α (ξ)
Z
=
fn−α (ξ)ϕ(ξ) dξ = fn−α [ϕ]
Rn
50
dµ ϕ(ξ) dξ
}
Index
Absteige-Operator, 27
adjungierte, 41
approximative Einheit, 7
Area-Formel, 20
Aufsteige-Operator, 27
Fréchet-Raum, 34
Besetzungszahl-Operator, 27
Heaviside-Funktion, 42
Hermite-Funktionen, 27
gleichmäßig stetige Fortsetzung, 31
Gram’sche Determinante, 20
Gram’sche Matrix, 20
Coarea-Formel, 21
Impulsoperator, 27
Dirac-Schar, 7
Distribution
Ableitung, 41
Faltung, 43
Fouriertransformation, 44
Multiplikation, 42
reguläre, 38
temperierte, 39
Verknüpfung, 42
komplexes Maß, 14
Maßtensor, 20
Mannigfaltigkeit
Bildbereich, 20
Karte, 20
Parameterbereich, 20
Metrik auf S(Rn ), 34
moderates Wachstum, 42
Faltung, 16, 44
Fouriertransformation
Inversionsformel, 9
auf L1 (Rn ), 2
auf M(Rn ), 17
auf S(Rn ), 35
auf S 0 (Rn ), 44
Ortsoperator, 27
Schwartz-Funktionen, 33
Schwartz-Raum, 33
Sokhotzky-Formeln, 48
Totalvariation, 14
51