Beschleunigung einer Masse durch eine konstante Kraft m F

Beschleunigung einer Masse m
durch eine konstante Kraft F
(Luftkissenbahn und Zuggewicht;
Messdaten vom 07. November 2005)
m
m = m1 ; F= F1
(wiederholte Messung)
F
2
a = 0,64 m/s
m = 2m1 ; F= F1
m = m1 ; F= F1 /2
2
a = 0,59 m/s
a = 0,26 m/s
2
a = 0,25 m/s2
m = 2m1 ; F= F1 /2
2
a = 0,12 m/s
Zeit [s]
Bemerkungen: der schwach nicht-lineare Anstieg der Geschwindigkeit
mit der Zeit liegt am Zuwachs der ziehenden Kraft infolge
eines steigenden Gewichtsbeitrags des Fadens;
die schlechte Reproduzierbarkeit der Messungen (vgl. die
beiden steilsten Kurven) ist hauptsächlich auf Reibungskräfte in den Faden-Umlenkrollen zurückzuführen.
Die Newton’schen Axiome
,
´
(το´ αξιωµα
= Forderung; Meinung, Ansicht)
Isaac Newton
(1642 - 1727)
Philosophiae naturalis
Principia mathematica
(mathematische Prinzipien
der Naturphilosophie)
1. Trägheitsprinzip
Ein Körper bleibt in Ruhe oder bewegt sich mit konstanter
Geschwindigkeit weiter, wenn keine Kraft auf ihn einwirkt.
r
r
r
Fges = ∑ Fi = 0 ⇔ v = const
2. Aktionsprinzip
Die auf einen Körper wirkende Gesamtkraft ist gleich
dem Produkt der Masse und der Beschleunigung des Körpers.
r
r
Fges = m ⋅ a
3. Reaktionsprinzip
Wenn zwei Körper miteinander wechselwirken, dann haben
die Kräfte, welche die Körper aufeinander ausüben,
denselben Betrag und entgegengesetzte Richtungen.
r
r
FAB = − FBA
Die Gravitationskraft
Drehwaage nach Cavendish
Massen ziehen sich an gemäß
r
m ⋅m
FG = γ 1 2 2
r
r: Abstand zwischen den Massen m1 und m2
γ: Gravitationskonstante γ = 6,67 × 10
−11
N ⋅ m2
kg 2
weitere Informationen und Details zur Messung:
http://www.physik.uni-muenchen.de/leifiphysik/web_ph11/umwelt-technik/10_gravkonst/gravikon.htm
Inertialsysteme und Galilei-Transformation
Ein Inertialsystem ist ein Bezugssystem, in dem das Trägheitsgesetz gilt
(d.h. in einem Inertialsystem bewegen sich alle Körper gleichförmig und
geradlinig, wenn keine äußeren Kräfte wirken).
Ereignis
Galilei-Transformation (Wechsel des Bezugssystems):
x = x′ + v ⋅ t , y = y′ , z = z′ , t = t ′
x′ = x − v ⋅ t , y ′ = y , z ′ = z , t ′ = t
Geschwindigkeiten:
v x = v ′x + v , v y = v ′y , v z = v ′z
Beschleunigungen:
ax = a′x , a y = a′y , az = a′z
Konsequenz: eine in S´ eingeschaltete Lampe verbreitet ihr Licht entlang
der x´-Achse mit der Geschwindigkeit c´; in S muss dann aber entlang der
x-Achse die Geschwindigkeit c = c´ + v gemessen werden !
Konstanz der (Vakuum-)Lichtgeschwindigkeit
→ Lorentz-Transformation
Interferometer von Michelson und Morley (1887) zur
Messung der Richtungsabhängigkeit der Lichtgeschwindigkeit
Einsteins Postulate (1905):
1. Im Vakuum breitet sich Licht in allen Richtungen und in allen
Inertialsystemen mit derselben Geschwindigkeit c aus.
2. Die Gesetze der Physik gelten für alle Beobachter in allen
Inertialsystemen gleichermaßen (kein Inertialsystem ist gegenüber einem anderen Inertialsystem bevorzugt).
Lorentz-Transformation (Wechsel des Bezugssystems):
v 

x = γ ( x′ + v ⋅ t ′), y = y′ , z = z′ , t = γ  t ′ + 2 x′ 
c 

v

′
′
′
′
x = γ ( x − v ⋅ t ), y = y , z = z , t = γ  t − 2
 c
1
γ=
1 − v2 / c2

x

Scheinkräfte in
beschleunigten Bezugssystemen
Trägheitskraft:
mitbeschleunigter Beobachter bleibt
im gestrichenen System in Ruhe
z´
die Zugkraft FB = ma wird für ihn durch
eine gleich große, entgegengerichtete
Trägheitskraft kompensiert:
x´
m
z
x
FB
Zentrifugalkraft:
z´
m
FR
r
x´
z
FT = -FB = -ma
mitrotierender Beobachter bleibt
im gestrichenen System in Ruhe
FZ
die Radialkraft FR = mω r wird für ihn
durch eine gleich große, entgegengerichtete Zentrifugalkraft kompensiert:
2
FZ = -FR = -mω r = -mv /r
2
x
2
Corioliskraft:
z´
vr
ω
z
x´
x
eine im rotierenden System mit der
Geschwindigkeit vr radial nach außen
bewegte Masse erfährt eine Corioliskraft,
die eine Krümmung der Bahn hervorruft
(das gestrichene System dreht sich
unter der bewegten Masse weg)
z´
x´
z
x
FC = -2mvrω
Zur Coriolis-Kraft
Radialgeschwindigkeit:
vr =
∆s
r
r
⇒ r = vr ⋅ t
t
Umlaufgeschwindigkeit:
vω = r ⋅ ω ⇒ ∆ s = −vω ⋅ t = − r ⋅ ω ⋅ t
⇒ ∆s = −vr ⋅ω⋅ t
2
Die gedachte Bewegung entlang des Kreisbogens ∆s inderZeit t
für den Weg vom Zentrum bis z um gestricheltenKreiswirdscheinbar
durch einetangentiale K raft hervorgerufen, dieformal mit einer
tangentialgerichteten B eschleunigung zusammenhängt:
1
∆s = ⋅ aC ⋅ t 2 A − vr ⋅ω ⋅ t 2
2
Coriolis-Beschleunig ung: aC A − 2 ⋅ vr ⋅ω
Coriolis-Kraft:
FC = m ⋅ ac =− 2 ⋅ m ⋅ vr ⋅ω
Haft- und Gleitreibungskräfte
θ
Normalkraft
-F g cosθ
θ
Reibungskraft
-F g sin θ
Abtrieb
F g sinθ
Der Übergangvonder
Haftreibung zur Gleitreibung
erfolgt am Grenzwinkel θ 0
θ
θ
Gewicht
Fg
Haftreibungskoeffizient:
f0 =
Abtriebskraft sin θ 0
=
= tan θ0
Normalkraft cos θ0
Der Haftreibungskoeffizient ist größer als der Gleitreibungskoeffizent
einigeReibungskoeffizienten
Haften Gleiten
Stahl auf Stahl
0,74
0,57
Al auf Stahl
0,61
0,47
Messingauf Stahl 0,51
0,44
Teflon auf Stahl
GummiaufBeton
0,04
1,00
0,04
0,80
Mechanische Arbeit
z
ortsabhängige Kräfte
y
auf dem Teilstück verrichtete Arbeit:
r r
r dW = F ⋅ d s
r
F
r
gekrümmter
= F ⋅ d s ⋅ cos θ
θ
Weg
r
ds
x
r r
entlang des Gesamtweges verrichtete Arbeit: W = ∫ F ⋅ d s
2
1
kg ⋅ m 2
Einheit der Arbeit: [W ] = [F ]⋅ [s] = 1 Nm = 1
= 1 J (Joule)
s2
r r
Beispiele für eindimensionale Bewegungen (mit F s )
a) Hubarbeit ( F = m ⋅ g = const )
2
WH = m ⋅ g ⋅ ∫ dx = m ⋅ g ⋅ (x2 − x1 ) = m ⋅ g ⋅ ∆h
1
b) Feder-Spannarbeit ( F ( x) = D ⋅ x)
2
WF = D ∫ x ⋅ dx = D ⋅
1
1 2
x2 − x12 ) →
(
2
1
D x22 (für x1 = 0)
2
2

d x
dv 
c) Beschleunigungsarbeit  F ( x ) = m ⋅ 2 = m ⋅ 
dt
dt 

2
2
2
dv
dx
1
WB = m∫ ⋅ dx = m∫ ⋅ dv = m∫ v ⋅ dv = m (v22 − v12 )
dt
dt
2
1
1
1
1
→ WB = m v22 (für v1 = 0)
2
Potentielle Energie (Gravitationspotential)
r r
W H = ∫ F ⋅ d s = mg ⋅ ∫ h ⋅ dh = 0
Relativität der Zeit
Gleichzeitigkeit von Ereignissen:
fahrender Beobachter sieht
Einschlag 1 später als Einschlag 2,
ruhender Beobachter sieht
weil der Bus sich während der
beide Einschläge gleichzeitig
Signallaufzeit nach vorn bewegt
Einschlag 1
Einschlag 2
Laufzeit eines Lichtimpulses im fahrenden Zug:
Ereignis 1
Ereignis 2
Ereignis 1
Ereignis2
∆t
Messung im
Messung auf dem Bahnsteig
fahrenden Zug
2D
∆t ′ =
c
2L 2
 v ⋅ ∆t 
∆t =
=
D2 + 
 > ∆t ′
c
c
 2 
2
Raketenantrieb (I)
Raketenmasse vor dem Start: m0 = M 0 + M T
(M0: Nutzlast, MT: Masse des Treibstoffs)
Raketenmasse nach dem Start: m(t ) = m0 − k ⋅ t
(k = dm/dt = const.: ausgestoßene Masse pro Zeit)
vR
Brennstoff-Ausstoßgeschwindigkeit:
(relativ zur Düse: vBD = const)
(relativ zum festen Startort: vB = vBD - vR)
vB
vBD=const
Impuls-Änderung in einem kurzen Zeitintervall [t , t+∆t]:
Rakete: ∆p R = −∆m ⋅ vR + m(t ) ⋅ ∆vR
Geschwindigkeitszunahme
Massenabnahme
Massenzunahme
ausgestoßener Brennstoff: ∆ pB = −vB ⋅ ∆m = − vBD − vR ⋅ ∆m
der Raketenbewegung
entgegen gerichtet
Erhaltung des Gesamt-Impulses (pStart = 0):
∆p R + ∆p B = −∆ m ⋅ vR + m(t ) ⋅ ∆vR + −(vBD − vR ) ⋅ ∆m = 0
⇒ m(t) ⋅ ∆vR − vBD ⋅ ∆m = 0 ⇒ m(t ) ⋅
⇒
∆vR
∆m
= vBD ⋅
∆t
∆t
dv
k
k
= vBD ⋅
= vBD ⋅
dt
m(t )
m0 − k ⋅ t
konstanter Brennstoffverbrauch pro Zeit k
Integrationskonstante aus
Anfangsbedingung v(t=0) = 0:
k
⇒ v (t ) = vBD ⋅ ∫
dt = −vBD ⋅ ln (m0 − k ⋅ t ) + C
m0 − k ⋅ t
⇒ v(t ) = vBD ⋅  ln m0 − ln (m0 − k ⋅ t ) = vBD ⋅ ln
0 = −vBD ⋅ ln m0 + C
⇒ C = +vBD ⋅ ln m0
m0
m0 − k ⋅ t
Raketenantrieb (II)
Grundgleichung des idealen Raketenantriebs (ohne Gravitation):
vR (t ) = vBD ⋅  ln m0 − ln (m0 − k ⋅ t ) = vBD ⋅ ln
m0
m0 − k ⋅ t
Raketenmasse vor dem Start: m 0 = M 0 + M T
(M0: Nutzlast, MT: Masse des Treibstoffs)
Raketenmasse nach dem Start: m( t) = m0 − k ⋅ t
(k = dm/dt = const.: ausgestoßene Masse pro Zeit)
Brennstoff-Ausstoßgeschwindigkeit (relativ zur Düse): v BD = const
erreichbare Endgeschwindigkeit ( Brennstoff verbraucht):
m0 − k ⋅ t E = M 0 ⇒ v(t E ) = vBD ⋅ ln
 M 
M0 + MT
= vBD ⋅ ln  1 + T 
M0
 M0 
senkrechter Aufstieg im konstanten Gravitationsfeld (g = const) :
Die Beschleunigung dvR/dt infolge des Raketenantriebs verringert sich um g.
Die Raketengeschwindigkeit v R( t) verringert sich um die Fallgeschwindigkeit gt.
Geschwindigkeit in der Antriebsphase: vRG (t ) = vBD ⋅ ln
m0
− g ⋅t
m0 − k ⋅ t
Geschwindigkeit am Ende der Antriebsphase (t E = M T / k ) :
 M
vRG (tE ) = vBD ⋅ ln  1 + T
M0

 g ⋅ MT
−
k

Stoß-Gesetze (ohne äußere Einwirkungen)
I: zentrale elastische Stöße
zentral: Stoßrichtung auf der Verbindungslinie der Körpermittelpunkte
elastisch: Erhaltung der Bewegungsenergie (keine bleibende Deformation)
m
M
m
M
v0
V0
vor dem Stoß
v1
V1
nach dem Stoß
Impulserhaltung:
m ⋅ v0 + M ⋅ V0 = m ⋅ v1 + M ⋅ V1
⇒ m v0 − v1 = M V1 − V0
m ⋅ v02 M ⋅ V02 m ⋅ v12 M ⋅ V12
Energieerhaltung:
⇒ m v02 − v12 = M V12 − V02
+
=
+
2
2
2
2
⇒ m v0 − v1 ⋅ v0 + v1 = M V1 − V0 ⋅ V1 + V0
⇒ v0 + v1 = V0 + V1
M V1 − V0
(+)
M
(v0 − v1 ) = (V1 − V0 )
m
 M
2 ⋅ v0 =  1 −
m

V1 =
2 ⋅m
M −m
⋅ v0 +
⋅ V0
M +m
M +m
und analog
v1 =
V1
v1
v0
0
M=m/2
(4/3) v0
(1/3) v0
M=2m
(2/3) v0
-(1/3) v0
M→∞
0
-v0
M=m

 ⋅ V1

2⋅M
M −m
⋅ V0 −
⋅ v0
M +m
M +m
Spezialfälle: V0 = 0
Massenverhältnis

 M
⋅
V
+
 0 1 +
m


Stoß-Gesetze (ohne äußere Einwirkungen)
II: zentrale inelastische Stöße
zentral: Stoßrichtung auf der Verbindungslinie der Körpermittelpunkte
inelastisch: keine Erhaltung der Bewegungsenergie (bleibende Deformation)
m
M
v0
V0
vor dem Stoß
M
m
VG
nach dem Stoß
keine Erhaltung der Bewegungsenergie, aber:
Impulserhaltung:
m ⋅ v0 + M ⋅ V0 = (M + m ) ⋅ VG ⇒
VG =
m ⋅ v0 + M ⋅ V0
M +m
III: schiefe elastische Stöße
Impulserhaltung:
m
gilt sowohl für die horizontale (x)
wie für die vertikale (y) Komponente
(→ 2 Gleichungen)
v1
m
Energieerhaltung:
b
v0
vor dem Stoß
m ⋅ v02 m ⋅ v12 M ⋅ V12
=
+
2
2
2
(→ 1 Gleichung)
M
V0 = 0
M
V1
Zusatzinformation:
z.B. “Stoßparameter” b
Ballistisches Pendel zur
Messung von Geschoß-Geschwindigkeiten
Impuls vor dem Stoß:
pv = mk vk
Impuls nach dem Stoß
pn = (mp + mk ) vp ≅ mp vp
L
Impulserhaltung (pv = pn)
vk ≅ (mp / mk ) vp
Pendelmasse
(mp , vp0 = 0)
Geschoß
(mk , vk)
h
x
Bestimmung von vp aus dem Energie-Erhaltungssatz:
1
mp ⋅ v 2p = mp ⋅ g ⋅ h
⇒
vp = 2 ⋅g ⋅h
2
x2
mit h ≅
(wegen x 2 = L2 − (L − h )2 = 2Lh − h 2 ≅ 2Lh )
2⋅L
⇒
vk ≅
mp
mk
⋅
g
⋅x
L
Relativität der Länge
Laufzeit eines Lichtimpulses im fahrenden Zug:
Hinweg (∆t´ /2)
Rückweg ( ∆t´/2)
D´
Messung im fahrenden Zug:
Laufzeit für Hin- und Rückweg ∆t ′ / 2
2 ⋅ D′
⇒ ∆t′ =
c
Messung auf dem Bahnsteig
Hinweg ( ∆th)
D
Dh
Dh = c ⋅∆ t h = D + v ⋅ ∆th ⇒ ∆th =
D
c −v
Dr = c ⋅∆t r = D − v ⋅ ∆tr ⇒ ∆t r =
D
v ∆th
D
Dr
Rückweg ( ∆tr)
c+v
v ∆t h v ∆tr
gesamte Laufzeit:
∆t = ∆th + ∆ tr =
D ⋅ (c + v) + D ⋅ (c − v )
( c − v) ⋅ ( c + v)
=
2 ⋅ D ⋅c
c −v
2
2
=
2⋅ D
c
⋅
1
1− v / c
2
2
=
2⋅ D
c
⋅ γ2
Berücksichtigung der Zeitdilatation:
∆t =
2⋅D 2
2 ⋅ D′
⋅ γ = γ ⋅ ∆t ′ =
⋅γ
c
c
D=
1
2
2
⋅ D ′ = 1 − v / c ⋅ D′ < D′
γ
Harmonische Schwingung (I)
(horizontales lineares Federpendel)
Ruhelage
2. Newton´sches Axiom:
m
d2x
F = m ⋅ 2 = m ⋅ &&
x
dt
FF = − D ⋅ x
Bewegungsgleichung:
&&
x+
x
D
⋅x=0
m
Lösungsansatz für die Bewegungsgleichung:
dx
= x& = ω ⋅ xmax ⋅ cos (ωt + ϕ0 )
dt
d2x
⇒
= &&
x = − ω2 ⋅ xmax ⋅ sin (ω t + ϕ0 )
2
dt
x(t ) = xmax ⋅ sin (ωt + ϕ0 ) ⇒
einsetzen des Lösungsansatzes in die Bewegungsgleichung:
− ω2 ⋅ xmax ⋅ sin (ω t + ϕ0 ) +
D
⋅ xmax ⋅ sin (ω t + ϕ0 ) = 0
m
⇔ ω2 =
der Lösungsansatz erfüllt die Bewegungsgleichung, wenn ω =
D
m
D/m
die Konstante xmax ist die Maximalauslenkung aus der Ruhelage
die Konstante ϕ0 folgt aus der Anfangsbedingung:
x(t = 0) = xmax ⋅ sin ϕ0
Harmonische Schwingung (II)
(senkrechtes lineares Federpendel)
statisch
belastet
unbelastet
Gewichtskraft:
schwingend
FG = − m ⋅ g
D
Federkraft:
FF = D ⋅ ( xs − x )
xs - x
xs
Trägheitskraft:
x
Ruhelage
(x = 0)
FT = −m ⋅ x
m
D ⋅ xs − m ⋅ g = 0
FT + FG + FF = − m ⋅ x − m ⋅ g + D ⋅ x s − D ⋅ x = 0
Bewegungsgleichung: m x D x
0
potentielle Energie im unteren Totpunkt:
Epot = EF + EG =
D
2
D
D 2
+ (D ⋅ xs − m ⋅ g )⋅ xmax
(xs + xmax ) − m ⋅ g ⋅ xmax = xs2 + xmax
2
2
2
potentielle Energie im oberen Totpunkt:
E pot = EF + EG =
D
D
D 2
2
+ (− D ⋅ xs + m ⋅ g )⋅ xmax
(xs − xmax ) + m ⋅ g ⋅ xmax = xs2 + xmax
2
2
2
x (t ) = xmax ⋅ sin ω t + ϕ0
D
ω
ωt
Ruhelage
mit ω= D / m
x max
m
ϕ
x(t )
ϕ0
ϕ0
-xmax
π
2π
ωt
Zugkraft am Aufhängepunkt
eines Federpendels
(Messdaten vom 21. November 2005)
Kraft am
Aufhängepunkt
F(t)
T=
2π
ω
Ruhelage
Zeit t
Bemerkung: die Zugkraft am Aufhängepunkt der Feder setzt sich
zusammen aus der Gewichtskraft (Verschiebung der
Nulllinie nach unten) und der Trägheitskraft der
schwingenden Masse; wegen der Proportionalität von
x und x bei sinusförmiger Zeitabhängigkeit liefert die
Messkurve auch ein Bild für den zeitlichen Verlauf
des Ortes x(t).
Harmonische Schwingung (III)
(mathematisches Fadenpendel)
Drehpunkt
Bewegung der Masse entlang Kreisbogen
Ortsvariable: Bogenlänge s (t )
L
(t )
rücktreibende Kraft nach einer Auslenkung:
Komponente der Gewichtskraft
in Richtung der Ortsvariablen:
F = − Fg ⋅ sin θ = −m ⋅ g ⋅ sin θ ≅ −m ⋅ g ⋅ θ
für kleine Auslenkwinkel
Bewegungsgleichung:
m s
m g
θ=
s
g
⇒ &&
s + ⋅s = 0
L
L
g
&&
s = L ⋅ &&
θ ⇒ &&
θ + ⋅θ = 0
L
gleiche Form wie beim Federpendel
s (t ) = smax ⋅ sin ω t + ϕ0
θ(t ) = θmax ⋅ sin ωt + ϕ0
mit ω = g / L
und T =
2π
= 2π ⋅ L / g
ω