§3: Trigonometrie - Mathematik

Veranstaltung:
Seminar zur Geometrie
Wintersemester 2005/06
Martin Epkenhans
Universität Paderborn
Ausarbeitung des Seminarvor­
trags zum Thema:
Trigonometrie
vorgelegt von:
Marina Müller Eva­Maria Sievers
Am Almerfeld 20 Marienmünsterweg 17 33106 Paderborn 33098 Paderborn
Tel.: 05254/68010 Tel.: 05251/67954
[email protected] [email protected]
LGG: Mathematik/Geschichte LGG: Mathematik/ Sport
Matrikelnummer: 6261354 Matrikelnummer: 6263455
5. Fachsemester 5. Fachsemester
Version April 2006
§13: Trigonometrie
Das Thema ‚Trigonometrie’ (gr.: „Drei­Winkel­Messung“) umfasst im allgemeinen Verständnis
alle Rechenoperationen, bei denen aus gegebenen Seiten oder Winkeln eines ebenen Dreiecks
Winkel oder Seiten oder aber andere Dreiecksgrößen berechnet werden.
13.1 Wiederholung In den vorangegangenen Kapiteln wurden die folgenden
| c – a | =:
:= | b ­ c |
Formeln bereits erarbeitet und bewiesen. Da diese
in Rahmen der Thematik verwendet werden, erfolgt eine kurze Auflistung.
:= | a – b |
(1) Halber Umfang: S := 1
1
 ABC = ∣a−b∣∣b−c∣∣c−a∣
2
2
(2) Flächeninhalt des Dreiecks: Δ = 1
1
1
1
|[a,b,c]| = ABsinγ = BCsinα = ACsinβ
2
2
2
2
(3) Cosinus­Satz: A2 = B2 + C2 – 2BCcosα
B2 = C2 + A2 – 2ACcosβ
C2 = A2 + B2 – 2ABcosγ
(4) Sinus­Satz: sin α sin β sin γ
2Δ
=
=
=
A
B
C
ABC
(5) Der gemeinsame Wert der Quotienten wird mit δ = 1
bezeichnet, also δ
A
B
C
=
=
.
sin α sin β sin γ
2
13.2 Kongruenz­Sätze
Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn
(SSS)
alle drei Seitenlängen oder (SWW) eine Seitenlänge und zwei Winkel oder (SWS)
zwei Seitenlängen und der eingeschlossene Winkel oder
(SSW) zwei Seitenlängen und der der größeren Seite gegenüberliegende Winkel übereinstim­ men. Beweis:
Die entsprechenden Größen im zweiten Dreieck sind mit einem Strich bezeichnet. (SSS) vergleiche Kapitel III, §1.81 (Feststellung von Kongruenz und Ähnlichkeit: Zwei Drei­ ecke sind kongruent, wenn die entsprechenden Seitenlängen übereinstimmen.)
Die Beweise der folgenden Sätze werden jeweils auf die Feststellung von Kongruenz und
Ähnlichkeit zurückgeführt:
(SWW) Nach Voraussetzung und dem Winkelsummen­Satz gilt A = A’, α = α’, β = β’, γ = γ’.
Der Sinus­Satz ergibt: B = A
sin β
sin β '
sin γ
sin γ'
= A’
= B’ und C = A
= A’
=
sin α
sin α'
sin α
sin α'
C’. ⇒ Kongruenz der Dreiecke.
(SWS) Sei A = A’, B = B’ und γ = γ’. Mit dem Cosinus­Satz folgt: C =  A2 B 2 −2 AB cos γ =   A ' 2  B ' 2 −2 A ' B 'cos γ ' = C’
⇒ Kongruenz der Dreiecke (SSW) Sei A = A’, B = B’, α = α’ und A ≥ B. Benutze den Cosinus­Satz:
A2 = B2 + C2 – 2BCcosα ⇔ C2 – 2BCcosα + B2 – A2 = 0
⇔ C1/2 = Bcosα ±
 B2 cos2 α− B2 − A2 
⇔ C1 = Bcosα +  A2 −B 2 B 2 cos 2 α ( ¿ C2 = Bcosα ­  A2 −B 2 B 2 cos2 α ) Widerspruch zur Voraussetzung: A ≥ B und C > 0
⇒ C = Bcosα +  A2−B2 B2 cos2 α 1
in: Koecher, Max/ Krieg, Alois: Ebene Geometrie, Berlin u. a. 22000, Seite 98. 3
= B’cosα’ +   A ' 2 − B ' 2  B ' 2 cos2 α ' = C’
⇒ Kongruenz der Dreiecke  Die Kongruenzsätze tauchen in dieser oder ähnlicher Formulierung an Gymnasien in NRW be­
reits in Jahrgangsstufe 7 auf. Auf Beweise wird im schulischen Rahmen jedoch verzichtet.
13.3 Satz (Formel von Heron)
Δ2 = S(S – A)(S – B)(S – C)
Beweis:
16⋅S(S – A)(S – B)(S – C)
= 16⋅[
1
1
1
1
(A + B + C)( (A + B + C) – A)( (A + B + C) – B)( (A + B + C) – C)]
2
2
2
2
= 16⋅[
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
(A + B + C)( A – A + B + C)( A + B – B + C)( A + B + 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
C – C)]
= 16⋅
1
∙[(A + B + C)(­A + B + C)(A – B + C)(A + B – C)]
16
= (­A2 + AB + AC – AB + B2 +BC – AC + BC + C2)(A2 + AB – AC – AB – B2 +BC + AC + BC – C2)
= (­A2 + B2 + C2 + 2BC)(A2 – B2 – C2 + 2BC)
= ­A4 + A2B2 + A2C2 – 2A2BC + A2B2 – B4 – B2C2 + 2B3C + A2C2 – B2C2 – C4 + 2BC3 + 2A2BC – 2B3C – 2BC3 + 4B2C2
= ­A4 + 2A2B2 + 2A2C2 – B4 + 2B2C2 – C4 = 4A2B2 – (A2 + B2 – C2)2 Nach dem Cosinus­Satz kann C2 = A2 + B2 – 2ABcosγ gesetzt werden:
4A2B2 – (A2 + B2 – C2)2 = 4A2B2 – (A2 + B2 – (A2 + B2 – 2ABcosγ))2 = 4A2B2 – (A2 + B2 – A2 – B2 + 2ABcosγ)2
= 4A2B2 – 4A2B2cos2γ
= 4A2B2⋅(1 – cos2γ)
4
= 4⋅(ABsinγ)2 ⇒ 16⋅S(S – A)(S – B)(S – C) = 4⋅(ABsinγ)2
⇔ S(S – A)(S – B)(S – C) = (
1
ABsinγ)2 2
⇔ S(S – A)(S – B)(S – C) = Δ
2 
Diese Formel wird im Rahmen der gymnasialen Unter­ und Mittelstufe nicht behandelt. Eine
Formel, die auf der Größe des halben Umfangs eines Dreiecks basiert, erscheint allerdings in Be­
zug auf den Wissensstand der Schülerinnen und Schüler auch nicht sinnvoll. Auch mit den
folgenden Angaben über besondere Winkelgrößen und Winkelverhältnisse wird im schulischen
Kontext nicht gearbeitet.
13.4 Satz (Halbwinkel­Satz)
Für ein Dreieck a, b, c in E gilt: tan2
α
 S−B  S−C 
= .
2
S  S− A 
Beweis:
tan 2
α
= 2
sin 2
α
cos2
α
2
2
 S−B  S−C 
= BC
S  S− A 
(nach Definition)
BC
=  S−B  S−C 

S  S− A 
13.5 Korollar
5
tan
α
 S−B  S−C 
Δ
= = 2
Δ
S  S− A 
Beweis: Leite die Behauptung aus dem Halbwinkel­Satz (13.4) her:
α S  S−B  S−C 
=
2
Δ
1) Beh.: tan
tan
2
α
 S−B  S−C 
= 2
S  S− A 
=
 S−B 2  S−C 2
S  S− A  S−B  S−C 
 S−B  S−C  2

Δ
=
⇒ Beh.
2) Beh.: tan
tan
2
α  S  S− A  S−B  S−C 
=
2
S  S− A 
α
 S−B  S−C 
=
2
S  S− A 
= S  S− A  S−B  S−C 
= 
S 2  S− A 2
Δ
2
S  S− A 
⇒ Beh.
⇒ Es gilt also: tan
α  S−B  S−C 
Δ
=
=
. 
2
Δ
S  S− A 
13.6 Tangens­Satz (Regel von Napier)
tan
tan
α−β
2
αβ
=
A−B
AB
2
6
Beweis:
Nach dem Sinus­Satz gilt: sin α A
sin α−sin β A−B
=
= . Daraus folgt: . sin αsin β AB
sin β B
Verwende die Formeln: sinα – sinβ = 2cos
⇒ A−B
=
AB
2 cos
2 sin
αβ
2
αβ
2
sin
cos
α−β
2
α−β
2
tan
=
tan
αβ
2
sin
α−β
2
und sinα + sinβ = 2sin
αβ
2
cos
α−β
2
α−β
2
αβ

2
13.7 Anwendungen des Cosinus­Satzes
(1) A = Bcosγ + Ccosβ
(2) cotα = B 2 C 2 − A2
4Δ
Beweis:
(1) Verwende den Cosinus­Satz für cosβ und cosγ:
Bcosγ + Ccosβ
= B 
C 2 − A2 −B 2
B 2 −C 2 − A2
C 

−2 AB
−2 AC
= B C 2 − A2 −B 2  C  B 2 −C 2 − A2 

−2 AB
−2 AC
= C 2 − A2 −B 2 B 2 −C 2 − A2
−2 A
= −2 A2
−2 A
= A
(2) cot α=
B 2 C 2 − A2
4Δ
Wende den Cosinus­Satz und die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks an:
B 2 C 2 − A2
4Δ
= 2 BC cos α
4Δ
7
=
2 BC cos α
1
4⋅ BC sin α 
2
=
2 BC cos α
2 BC sin α
=
cos α
sin α
=cot α

13.8 Folgerung (Winkel­Relationen)
Es handelt sich hierbei um Folgerungen aus dem Winkelsummen­Satz, da sich der Formel
α + β + γ = л weitere Relationen zwischen den Winkeln eines Dreiecks anschließen.
(1) cos2α + cos2β + cos2γ + 2cosα∙cosβ∙cosγ = 1 (2) tanα + tanβ + tanγ = tanα∙tanβ∙tanγ
(3) cotα∙cotβ + cotβ∙cotγ + cotγ∙cotα = 1
(4) sin2α = sin2β + sin2γ – 2sinβ∙sinγ ∙cosα
Beweis:
(1)
cos(α + β) [= cos(л – γ)] = ­cosγ
Wende das Additionstheorem an:
⇒ cosα∙cosβ + sinα∙sinβ = ­cosγ
⇒ sinα∙sinβ = ­cosα∙cosβ ­ cosγ
⇒ sin2α∙sin2β = (­cosα∙cosβ – cosγ)2
⇒ (1 – cos2α)(1 – cos2β) = cos2αcos2β + 2cosα∙cosβ∙cosγ + cos2γ
⇒ 1 – cos2β – cos2α + cos2α∙cos2β = cos2α∙cos2β + 2cosα∙cosβ∙cosγ + cos2γ
⇒ cos2α + cos2β + cos2γ + 2cosα∙cosβ∙cosγ = 1 (2)
tan(α + β) [= tan(л – γ)] = ­tan γ
Wende das Additionstheorem an:
⇒ tan αtan β
=−tan γ
1−tan α tan β
8
⇔ tan αtan β =−tan γ 1−tan α tan β 
⇔ tan αtan β =−tan γtan α tan β tan γ
⇔ tan αtan β tan γ=tan α tan β tan γ
(3) Rechne (2) um:
tan αtan β tan γ=tan α tan β tan γ
⇔ sin α sin β sin γ sin α sin β sin γ


=
⋅
⋅
cos α cos β cos γ cos α cos β cos γ
⇔ sin α⋅cos β ⋅cos γsin β ⋅cos α⋅cos γsin γ⋅cos α⋅cos β sin α⋅sin β ⋅sin γ
=
cos α⋅cos β ⋅cos γ
cos α⋅cos β ⋅cos γ
⇔  sin α cos β cos γsin β cos α cos γsin γ cos α cos β  cos α cos β cos γ
=1
sin α sin β sin γ cos α cos β cos γ
⇔ sin α cos β cos γ sin β cos α cos γ sin γ cos α cos β


=1
sin α sin β sin γ sin α sin β sin γ sin α sin β sin γ
⇔ cot β ⋅cot γcot α⋅cot γcot α⋅cot β =1 ⇔ cot α⋅cot β cot β ⋅cot γcot γ⋅cot α=1
(4) Bestimme A, B und C mit Hilfe von 13.1(5):
A = δ ⋅sin α , B = δ ⋅sin β , C = δ ⋅sin γ
Setze in den Cosinus­Satz ein und forme um:
A2 =B 2 C 2 −2 BC cos α
⇔ δ 2⋅sin α=δ 2⋅sin 2 β δ 2⋅sin 2 γ−2 δ 2⋅sin β ⋅sin γ⋅cos α ⇔ δ 2⋅sin 2 α=δ 2⋅sin 2 β sin 2 γ−2 sin β ⋅sin γ⋅cos α 
⇔ sin 2 α=sin 2 β sin 2 γ−2 sin β ⋅sin γ⋅cos α

13.9 Satz von Morley
9
Drittelt man die Winkel eines Dreiecks, so bilden die Schnitt­
punkte abwechselnder
Winkeldreiteilenden ein gleichseitiges Dreieck. Dieses wird
Morley­Dreieck ge­
nannt.
Beweis:
Es gilt:
(1) sin3ω = 3∙sinω – 4∙sin3ω (ω ∈ R)
= 4∙sinω(sin2
π
– sin2ω)
3
= 4∙sinω∙sin(
Setze α = 3λ, β = 3μ, γ = 3ν, ε = π
π
ω sin  −ω 
3
3
π
. Nach dem Sinus­Satz gilt:
3
(2) A = δ∙sinα = δ∙sin3λ, B = δ∙sin3μ, C = δ∙sin3ν
Nach dem Winkelsummen­Satz gilt:
(3) a) φ + μ + λ = л
b) ψ + μ + ν = л
c) λ + μ + ν = ε Setze c) in a) bzw. b) ein: φ – ν = л – ε, ψ – λ = л – ε Bilde sin:
(4) sinφ = sin(л – ε + ν) = sin(л – (ε – ν)) = sinл∙cos(ε – ν) ­ cosл∙sin(ε – ν) = sin(ε – ν) sinψ = sin(л – ε + λ) = sin(ε – λ)
Wende den Sinus­Satz auf das Dreieck a, b, w an: X := |a ­ w| = C sin μ
sin ϕ
Wegen (4), (2) und (1) gilt: π
π
3
3
4 δ sin ν sin  ν sin  −ν sin μ
X = δ sin 3 ν sin μ
=
sin  ε−ν 
sin  ε−ν 
= 4δ∙sinν∙sinμ∙sin(ε + ν)
Analog: Y := |a ­ v| = 4δ∙sinν∙sinμ∙sin(ε + μ)
Wende den Cosinus­Satz auf das Dreieck a, v, w an:
U2 = X2 + Y2 – 2XYcosλ
= (4δ∙sinμ∙sinν∙sin(ε + ν))2 + (4δ∙sinν∙sinμ∙sin(ε + μ))2 – 2∙(4δ∙sinμ∙sinν∙sin(ε + ν))(4δ∙sinν∙sinμ∙sin(ε + μ))cosλ
= 16δ2∙sin2μ∙sin2γ∙sin2(ε + ν) + 16δ2∙sin2ν∙sin2μ∙sin2(ε + μ) – 10
32δ2∙sin2μ∙sin2ν∙sin(ε + ν)sin(ε + μ)∙cosλ
= 16δ2∙sin2μ∙sin2ν∙[sin2(ε + ν) + sin2(ε + μ) – 2sin(ε + ν)∙sin(ε + μ)∙cosλ]
Nach (3) sind ε + ν, ε + μ und λ Winkel eines Dreiecks, da gilt:
(ε + ν) + (ε + μ) + λ = л
⇔ 2
л + ν + μ + λ = л
3
⇔ ν + μ + λ = ε
⇒ Wir können 13.8(4) anwenden und erhalten für U:
U2 = 16δ2∙sin2μ∙sin2ν∙[sin2(ε + ν) + sin2(ε + μ) – 2sin(ε + ν)∙sin(ε + μ)∙cosλ]
⇔ U2 = 16δ2∙sin2μ∙sin2ν∙sin2λ
⇔ U = 4δ∙sinμ∙sinν∙sinλ
Durch zyklische Vertauschung erhält man für V und W den gleichen Wert. ⇒ Behauptung

Bei der Ausarbeitung des Kapitels fiel auf, dass der Begriff ‚Trigonometrie’ bei Koecher und
Krieg2 andere Themenbereiche umfasst als im schulischen Zusammenhang bearbeitet werden.
Nach Definition3 bildet das rechtwinklige Dreieck die Grundlage der ebenen Trigonometrie, die
sich bei der Berechnung von Streckenverhältnissen verschiedener Winkelfunktionen – auch tri­
gonometrische Funktionen genannt – bedient. Diese sind Hauptbestandteil des schulischen
Themenkomplexes Trigonometrie, finden sich aber nur bedingt (Sinus­ bzw. Cosinus­Satz) als
Voraussetzung in dem zu bearbeitenden Kapitel wieder. Die Berechnung von Winkeln mit Hilfe
von Streckenverhältnissen (An­ und Gegenkathete sowie Hypotenuse) findet erstaunlicherweise
weder in diesem noch in anderen Kapiteln Beachtung. Literaturverzeichnis:
2
Koecher, Max/ Krieg, Alois: Ebene Geometrie, Berlin u. a. 22000. Meyers Lexikonredaktion [Hrsg.]: Duden­Lexikon A­Z, Mannheim u. a. 1992.
3
11

Koecher, Max/ Krieg, Alois: Ebene Geometrie, Berlin u. a. 22000. 
Meyers Lexikonredaktion [Hrsg.]: Duden­Lexikon A – Z, Mannheim u. a. 1992.
12