Wechselstromtechnik

TU Bergakademie Freiberg
Institut für Elektrotechnik
Wechselstromtechnik
Skriptum für Nichtelektrotechniker
Verfasser: Prof. Dr.-Ing. habil. U. Beckert
Datum:
Januar 2006
Umfang:
39 Seiten
TU BAF, Inst. f. Elektrotechnik
Prof. Beckert
Inhaltsverzeichnis
1. Definition und Kenngrößen eines Wechselstroms
2. Effektivwert
3. Verhalten von R, L, C bei Wechselstrom
4. Analytische Berechnung von Wechselstromkreisen
5. Berechnung von Wechselstromkreisen mittels Zeigerdarstellung
6. Beispiele zur Zeigerdarstellung
7. Wechselstromleistung
8. Prinzip der Blindstrom-Kompensation
9. Beispiele zur Blindstrom-Kompensation
2
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1. Definition und Kenngrößen eines Wechselstromes
Wechselstrom ist die wichtigste Form des elektrischen Stromes. Heute werden etwa 99 % der
elektrischen Energie als Wechselstrom erzeugt, übertragen, verteilt und in andere
Energieformen umgewandelt. Bei Verwendung von Wechselstrom lässt sich elektrische
Energie sehr einfach und verlustarm mit einem Transformator auf beliebige Spannungswerte
wandeln.
Ein Strom ist dann ein Wechselstrom, wenn er folgende zwei Bedingungen erfüllt:
Bei einem Wechselstrom i, s. Bild 1, ändern sich Größe und Richtung periodisch mit der
Zeit t. Nach Ablauf der Periodendauer T wiederholt sich der Verlauf der zeitlichen Änderung.
T
i
T
t1
0
t1 + T
t
Bild 1: Zeitlicher Verlauf eines Wechselstromes
Mit k als ganzer Zahl muss gelten (1. Bedingung):
i (t) = i (t + k T)
(1)
Außerdem muss der arithmetische Mittelwert einer Wechselgröße, berechnet über eine
Periode, Null sein (2. Bedingung):
i =
1
T
T
∫ i (t) d t
= 0
(2)
0
Sofern die Bedingungen (1) und (2) erfüllt sind, kann eine Wechselgröße innerhalb einer
Periode einen beliebigen Verlauf zeigen.
Besonders in der elektrischen Energietechnik (Starkstromtechnik) strebt man eine reine
Sinusfunktion für Ströme und Spannungen an, denn diese erfordert den geringsten Aufwand
beim Bau von elektrischen Maschinen und Geräten. Sie brauchen dann nur für eine Frequenz
ausgelegt werden.
Im Folgenden werden stets rein sinusförmige Wechselströme und Wechselspannungen
betrachtet. Bild 2 zeigt den zeitlichen Verlauf eines sinusförmigen Wechselstromes. Auf der
Abszisse wird wahlweise entweder der Winkel ω t oder die Zeit t aufgetragen.
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i
^
I
-π
π
0
2π
ϕi
ωt
(t)
2π
(T)
Bild 2: Sinusförmiger Wechselstrom
Es bezeichnen
i
den Augenblickswert,
Î
die Amplitude oder den Scheitelwert,
ω
f
T
die Kreisfrequenz,
die Frequenz,
die Periodendauer,
ϕi
den (Null-) Phasenwinkel.
Es gilt:
f =
1
T
ω = 2πf =
2π
T
(3)
Schreibweise:
Ein Wechselstrom ist durch drei Größen gekennzeichnet:
1. die Amplitude Î
2. die Frequenz f
3. den (Null-) Phasenwinkel ϕi
D. h. auch, zwei Wechselströme sind nur dann gleich, wenn sie in Amplitude, Frequenz und
Phasenwinkel übereinstimmen!
Vereinbarungsgemäß werden für die Augenblickswerte die entsprechenden Kleinbuchstaben,
also u und i, verwendet. Die Großbuchstaben, also U und I, bezeichnen in der
Wechselstromtechnik die noch zu definierenden Effektivwerte von Spannung und Strom.
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2. Effektivwert
Der Effektivwert, d.h. der „wirksame Wert“, ist die wichtigste Kenngröße eines
Wechselstromes bzw. einer Wechselspannung. Wenn nicht ausdrücklich anders vermerkt,
werden sämtliche Spannungen und Ströme in der Wechselstromtechnik als Effektivwerte
angegeben. Wenn man z.B. sagt, die Netzwechselspannung hat den Wert
230 V, so bedeutet das, der Effektivwert der Netzwechselspannung beträgt 230 V.
Definition des Effektivwertes: Der Effektivwert eines Wechselstromes ist der
Wechselstrom, der in einem ohmschen Widerstand die gleiche Stromwärme bewirkt,
wie ein Gleichstrom mit demselben Betrag.
Davon ausgehend lässt sich ein Ausdruck für den Effektivwert des Wechselstromes ableiten:
Ein zeitlich beliebig verlaufender Wechselstrom i ( t ) verursacht in der Zeit d t in einem
Ohmschen Widerstand die Stromwärme:
d W = p (t) d t = i 2 (t) R d t .
Während der Dauer einer Periode entsteht die Stromwärme:
T
W = R
∫i
2
(t) d t
(4)
0
Ein Gleichstrom I erzeugt in der gleichen Zeit T die Stromwärme:
W = R I2 T
(5)
Durch Gleichsetzen der Ausdrücke (4) und (5) gemäß Definition erhält man über
T
1
R I = R
T
∫i
2
2
(t) d t
0
die Definitionsgleichung des Effektivwertes:
I =
1
T
T
∫ i (t ) d t
2
(6)
0
Analog gilt für den Effektivwert einer Wechselspannung:
U =
1
T
T
∫u
2
(t) d t
0
Der Effektivwert wird wie eine Gleichgröße gekennzeichnet, d.h. in Großbuchstaben ohne
besondere Kennzeichnung. Die Schreibweise Ieff ist unüblich.
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Speziell für sinusförmigen Wechselstrom
i ( t ) = ˆI sin (ω t + ϕi )
erhält man über
I2 =
1 2
Î
T
T
∫
sin 2 (ω t + ϕi ) d t =
0
ˆI 2
2
T
∫
0
ˆ2
1
[1 − cos 2 (ω t + ϕi )] d t = I
2
2
als Effektivwert
I =
Iˆ
= 0,707 Î
2
Bei zeitlich sinusförmig verlaufenden Wechselgrößen ist der Effektivwert um den Faktor
kleiner als der Scheitelwert (die Amplitude).
(7)
2
3. Verhalten von R, L, C bei Wechselstrom
Neben Spannungsquellen enthalten Wechselstromkreise Widerstände, Spulen und Kondensatoren.
Im Folgenden wird das Verhalten der drei Grundelemente Widerstand, Spule und
Kondensator bei Wechselstrom untersucht. An diese drei Grundelemente wird die sinusförmige Wechselspannung
ˆ sin (ω t + ϕ )
u (t) = U
u
(8)
angelegt und der dann fließende Strom berechnet:
i ( t ) = ˆI sin (ω t + ϕ i ) .
(9)
Ermittelt werden die Amplitude des Wechselstromes ˆI und die sog. Phasenverschiebung, die
Differenz der (Null-) Phasenwinkel von Spannung und Strom:
ϕ = ϕ u − ϕi
(10)
3.1 Widerstand
Bei einem Widerstand R gilt der Strom-Spannungs-Zusammenhang
u (t) = R i (t)
(11)
Beim Anlegen einer Wechselspannung gemäß Gl. (8) erhält man für den Augenblickswert des
Stromes
i (t) =
u (t)
Û
=
sin (ω t + ϕ u ) = Î sin (ω t + ϕ i )
R
R
(12)
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mit der Amplitude
Î =
Û
.
R
(13)
Die Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom ist Null.
ϕ = ϕ u − ϕi = 0
(14)
Beim ohmschen Widerstand sind Spannung u ( t ) und Strom i ( t ) in Phase, s. Bild 3.
u (t)
u,i
u
i (t)
R
0
π
2π
ω t 3π
i
Bild 3: u ( t ) und i ( t ) am ohmschen Widerstand
3.2 Spule:
Bei einer Spule mit der Induktivität L gilt bekanntlich der Strom-Spannungs-Zusammenhang
u (t) = L
d i (t)
dt
i (t) =
1
L
∫ u (t) d t
(15)
Beim Anlegen einer Wechselspannung gemäß Gl. (8) erhält man für den Augenblickswert des
Stromes:
i (t) =
1
L
∫ u (t) d t
= −
ˆ
U
cos (ω t + ϕ u )
ωL
i ( t ) = ˆI sin (ω t + ϕ u − π 2) = ˆI sin (ω t + ϕi )
(16)
mit der Amplitude
Î =
ˆ
U
ωL
(17)
und der Phasenverschiebung
ϕ = ϕ u − ϕi = + π 2
(18)
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Bei einer Spule mit der Induktivität L eilt die Spannung u ( t ) dem Strom i ( t ) um 90°
voraus, s. Bild 4.
u,i
u (t)
0
π
u
i (t)
L
π/2
2π
ω t 3π
i
Bild 4: u ( t ) und i ( t ) an der Induktivität
3.3 Kondensator:
Für einen Kondensator mit der Kapazität C lautet bekanntlich der Strom-SpannungsZusammenhang:
i (t) = C
d u (t)
dt
(19)
Beim Anlegen einer Wechselspannung gemäß Gl. (8) erhält man für den Augenblickswert des
Stromes:
i (t) = C
d u (t)
= ω C Û cos (ω t + ϕ u )
dt
i ( t ) = ˆI sin (ω t + ϕ u + π 2) = ˆI sin (ω t + ϕi )
(20)
ˆI = ω C U
ˆ
(21)
mit der Amplitude
und der Phasenverschiebung
ϕ = ϕ u − ϕi = − π 2
(22)
Bei einem Kondensator mit der Kapazität C eilt die Spannung u ( t ) dem Strom i ( t ) um
90° nach, s. Bild 5.
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u (t)
u,i
i (t)
u
-π/2
C
0
π
2π
ωt
3π
i
Bild 5: u ( t ) und i ( t ) am Kondensator
Bei einer Spule bezeichnet man den Quotienten
ˆ
U
= ω L = XL
Î
(23)
als induktiven Blindwiderstand.
Beim Kondensator heißt der Quotient
ˆ
U
1
=
= XC
ωC
Î
(24)
kapazitiver Blindwiderstand
Die Vorsilbe „Blind“ drückt aus, dass es sich um keine physikalisch reale Größe, sondern um
eine reine Rechengröße mit der Dimension eines Widerstandes handelt. Bei den Schaltelementen
ˆ / ˆI das Verhältnis zweier Größen, die wegen der 90°L und C bildet der Quotient U
Phasenverschiebungen zu verschiedenen Zeitpunkten auftreten, s. Bilder 4 und 5.
4. Analytische Berechnung von Wechselstromkreisen
Im Folgenden wird an einem einfachen Beispiel gezeigt, dass die analytische Berechnung von
Wechselstromkreisen infolge der trigonometrischen Funktionen umständlich und zeitraubend
ist.
Für das Rechnen mit Sinusgrößen sind folgende Regeln wichtig:
1. Die Überlagerung (die Summe) zweier Sinusgrößen gleicher Frequenz ergibt wieder
eine Sinusgröße dieser Frequenz.
Z. B. ergibt die Addition von
u 1 ( t ) = Û1 sin (ω t + ϕ1 )
u 2 ( t ) = Û 2 sin (ω t + ϕ 2 )
(25)
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die Wechselspannung
u1 ( t ) + u 2 ( t ) = u ( t ) = Û sin (ω t + ϕ u ) ,
(26)
Û =
(27)
wobei
Û12 + Û 22 + 2 Û1 Û 2 cos (ϕ1 − ϕ 2 )
Û1 sin ϕ1 + Û 2 sin ϕ 2
Û1 cos ϕ1 + Û 2 cos ϕ 2
tan ϕ u =
(28)
2. Das Produkt zweier Sinusgrößen gleicher Frequenz ist i. A. keine Sinusgröße.
3. Die zeitliche Ableitung einer Sinusgröße ist wieder eine Sinusgröße gleicher
Frequenz.
u ( t ) = Û sin (ω t + ϕ u )
du
= ω Û cos (ω t + ϕ u ) = ω Û sin (ω t + ϕ u + π 2)
dt
(29)
Es besteht die Aufgabe, für die im Bild 6 dargestellte Schaltung die Zeitfunktionen des
Stromes und der Spannungsabfälle zu berechnen.
uR
i
gegeben:
e ( t ) = Ê sin (ω t )
R
e(t)
~
C
uC
Bild 6: Reihenschaltung von R und C
Der Maschensatz ergibt:
u R (t) + u c (t) = e (t)
R i +
1
C
∫
i d t = e ( t ) = Ê sin (ω t )
(30)
Der Lösungsansatz
i ( t ) = Î sin (ω t + ϕ i )
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wird in den Maschensatz eingesetzt:
⎡
⎤
1
Î ⎢R sin (ω t + ϕi ) −
cos (ω t + ϕi )⎥ = Ê sin (ω t ) .
ωC
⎣
⎦
Unter Berücksichtigung von Gl. (27) und (28) wird daraus
2
Î
⎛
⎛ 1 ⎞
1 ⎞
⎟⎟ = Ê sin (ω t ) .
⎟⎟ sin ⎜⎜ ω t + ϕi − arc tan
R + ⎜⎜
C
C
R
ω
ω
⎝
⎠
⎝
⎠
2
Betrag und Phase müssen auf beiden Seiten gleich sein:
Î =
Ê
⎛ 1 ⎞
⎟⎟
R + ⎜⎜
⎝ωC⎠
2
2
ϕ i − arc tan
1
= 0
ωCR
ϕ i = arc tan
1
ωCR
In den Lösungsansatz eingesetzt, ergibt die Lösung:
i (t) =
Ê
⎛ 1 ⎞
⎟⎟
R 2 + ⎜⎜
⎝ωC⎠
2
⎛
1 ⎞
⎟
sin ⎜⎜ ω t + arc tan
ω C R ⎟⎠
⎝
(31)
Bei bekanntem Stromverlauf erhält man für die Spannungsabfälle
u R (t) = R i =
u C (t) =
1
C
Ê R
⎛ 1 ⎞
⎟⎟
R 2 + ⎜⎜
⎝ωC⎠
∫ idt=
2
⎛
1 ⎞
⎟
sin ⎜⎜ ω t + arc tan
ω C R ⎟⎠
⎝
Ê
1 + (ω C R ) 2
⎛
1
sin ⎜⎜ ω t + arc tan
−π
ωCR
⎝
(32)
⎞
2 ⎟⎟
⎠
(33)
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5. Zeigerdarstellung
Enthält ein Wechselstromkreis außer ohmschen Widerständen auch Spulen und/oder Kondensatoren, so führt die Berechnung der Ströme und Spannungen auf das Problem der Lösung
von Differentialgleichungen. Ihre analytische Lösung erfordert gute Kenntnisse der
Additionstheoreme trigonometrischer Funktionen, ist umständlich und zeitraubend.
Verlaufen die Ströme und Spannungen in einem Stromkreis zeitlich rein sinusförmig, so können
die Differentialgleichungen sehr effektiv mit Hilfe einer graphisch-analytischen Methode gelöst
werden. Hierbei werden die Sinusfunktionen als Zeiger dargestellt. Mit Hilfe weniger
Konstruktionsregeln kann man für eine Schaltung das Zeigerdiagramm konstruieren, aus dem
man mit Hilfe geometrischer Beziehungen die gesuchten Größen leicht berechnen kann.
Im Folgenden wird zunächst ein mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit
2π
T
ω = 2π f =
(34)
ˆ betrachtet. Zum Zeitpunkt t = 0 hat der Zeiger gegen die
umlaufender Zeiger der Länge A
Bezugsachse den Winkel ϕ, zu einem beliebigen Zeitpunkt t den Winkel α = ω t + ϕ , Bild 7.
^
A
a
ω
t
^
a(t) = A sin ( ω t + ϕ)
t=0
ωt
^
ϕ
A sin ϕ
ωt+ϕ
ϕ
0 t
t=T
t
^
A
Bezugsachse
T
Bild 7: Zeigerdarstellung einer Sinusgröße
Die Projektionen des Zeigers auf die Bezugsachse bzw. deren Senkrechte haben die Längen
Â cos (ω t + ϕ) bzw. Â sin (ω t + ϕ) .
Man kann also eine sich zeitlich sinusförmig ändernde Größe durch einen umlaufenden Zeiger
darstellen.
Die Länge des Zeigers entspricht der Amplitude der Sinusfunktion.
Der umlaufende Zeiger der Sinusfunktion a ( t ) = Â sin (ω t + ϕ) wird mit a gekennzeichnet,
z.B. u , i usw.
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Zwei Sinusfunktionen gleicher Frequenz, unterschiedlicher Amplitude und unterschiedlicher
Phasenlage, z. B. u(t) und i(t) in einer Wechselstromschaltung, werden, wie in Bild 8 dargestellt,
durch zwei Zeiger u und i abgebildet. Die Längen der Zeiger entsprechen den Amplituden der
Sinusfunktionen.
^
u,i
^
U
ω
u = U sin ( ω t + ϕu )
^
^
i = I sin ( ω t + ϕi )
U
^
^
I
I
t
ϕ
ϕi
ϕu
Zeiger zur Zeit t = 0
Bild 8: Zeigerdarstellung einer Sinusspannung und eines Sinusstromes
In linearen Wechselstromschaltungen haben alle Wechselspannungen und Wechselströme die
gleiche Frequenz. In Zeigerbildern, bei denen alle Zeiger Sinusfunktionen der gleichen
Frequenz darstellen, kann der Umlauf weggelassen werden, denn für die relative Lage der
Zeiger zueinander ist es gleichgültig, zu welchem Zeitpunkt man die "Momentaufnahme" des
Zeigerbildes macht. Im Allgemeinen interessieren nur die Amplituden und die Phasenlage der
Zeiger zueinander. Man geht zweckmäßig zu ruhenden Zeigern über, die nur noch durch ihre
Amplitude und ihre Phasenlage gekennzeichnet sind. Ruhende Zeiger werden mit A, U, I usw.
bezeichnet.
Die Vorteile der Zeigerdarstellung sind:
1.
Bei der Addition/Subtraktion mehrerer Sinusfunktionen erhält man die resultierende
Größe durch vektorielle Addition/Subtraktion der entsprechenden Zeiger.
2.
Die Multiplikation einer Sinusfunktion mit einem skalaren Faktor
R i(t) = u(t)
drückt sich im Zeigerbild durch einen gleichphasigen Zeiger zum Zeiger der
Sinusfunktion aus.
3.
Die Differentiation einer Sinusfunktion drückt sich durch einen um 90° voreilenden
Zeiger, die Integration durch einen um 90° nacheilenden Zeiger gegenüber dem Zeiger
der Ausgangsfunktion aus.
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Daraus ergeben sich drei Grundregeln für die Konstruktion von Zeigerbildern:
1.
Am ohmschen Widerstand gilt
uR = R i
Die Zeiger des Stromes und des Spannungsabfalles sind in Phase, Bild 9a. Für ihre
Amplituden und Effektivwerte gilt:
UR = R I
Û R = R Î
2.
(35)
Für die Induktivität gilt der Strom-Spannungszusammenhang
uL = L
di
dt
(36)
Der Zeiger des Spannungsabfalles eilt dem Stromzeiger um 90° voraus, Bild 9b. Für die
Amplituden und Effektivwerte gilt:
Û L = ω L Î = X L Î
3.
UL = XL I
Am Kondensator gilt der Strom-Spannungszusammenhang
i = C
d uC
dt
uC =
1
i dt
C∫
(37)
Der Stromzeiger eilt dem Zeiger des Spannungsabfalles um 90° voraus, Bild 9c. Für die
Amplituden und Effektivwerte gilt:
Û C =
1
Î = X C Î
ωC
UC = XC I
_I
U
_L
U
_R
U
_C
_I
_I
a)
b)
c)
Bild 9: Zeigerbilder für R, L und C
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6. Beispiele zur Zeigerdarstellung
6.1 Reihenschaltung von R und C:
uR
i
U
_R
_I
ϕ
R
C
uC
u
U
_C
U
_
Bild 10: Reihenschaltung von R und C:
Schaltung und Zeigerbild
Gegeben:
Gesucht:
u ( t ) = Û sin (ω t )
i (t)
(38)
Bei einer Reihenschaltung fließt durch jedes Element der gleiche Strom i ( t ) . Es treten drei
Spannungsabfälle u R ( t ) , u C ( t ) und u ( t ) auf. Der Maschensatz liefert:
u R (t) + u C (t) = u (t)
in Zeigerschreibweise:
UR + UC = U
(39)
Das Zeigerbild muss den Stromzeiger I und die drei Spannungszeiger U R , U C und U
phasenrichtig anordnen.
1. Bei der Konstruktion des Zeigerbildes verwendet man den Stromzeiger I , den Zeiger der
beiden Elementen gemeinsamen Größe, als Bezugszeiger.
2. Am ohmschen Widerstand sind Strom und Spannungsabfall in Phase, folglich hat der
Zeiger U R die gleiche Richtung wie I .
3. Am Kondensator eilt die Spannung dem Strom um 90° nach, folglich ist der Zeiger U C
gegenüber den Zeigern I und U R um 90° nacheilend anzutragen.
4. Den Zeiger der Gesamtspannung U erhält man als vektorielle Summe der Teilspannungszeiger U R und U C .
Man erhält das in Bild 1 dargestellte Zeigerbild, in dem der Stromzeiger I dem Zeiger der
gegebenen Gesamtspannung U um den Winkel ϕ voreilt.
15
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Bei
u ( t ) = Û sin (ω t )
gilt also:
i ( t ) = Î sin (ω t + ϕ) .
(40)
Aus dem Zeigerbild liest man ab:
U =
U 2R + U C2
und
tan ϕ =
UC
UR
.
Mit
UR = R I
UC = XC I =
1
I
ωC
erhält man daraus:
U = I
R 2 + X C2
Î =
Û
R 2 + X C2
(41)
und
tan ϕ =
UC
X
1
= C =
UR
R
ωCR
⎛ 1 ⎞
⎟⎟ .
ϕ = arc tan ⎜⎜
ω
C
R
⎝
⎠
(42)
Bei der Schreibweise ist zu beachten, dass allgemein A den Betrag des Zeigers A bezeichnet:
A = A
(43)
Dabei entspricht A dem Effektivwert von a(t).
16
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6.2 Reihenschaltung von R und L
uR
i
U
_L
R
U
_
L
uL
u
ϕ
U
_R
_I
Bild 11: Reihenschaltung von R und L:
Schaltung und Zeigerbild
Gegeben:
Gesucht:
u ( t ) = Û sin (ω t )
i (t)
Die Konstruktion des Zeigerbildes erfolgt analog zum vorhergehenden Beispiel, wobei zu
beachten ist, dass bei der Induktivität die Spannung dem Strom um 90° vorauseilt.
Aus dem Zeigerbild liest man ab, dass jetzt der Strom I der Gesamtspannung U um den
Winkel ϕ nacheilt. Es gilt also
i ( t ) = Î sin (ω t − ϕ) .
(44)
Aus
U =
U 2R + U 2L
tan ϕ =
UL
UR
und
UR = R I
UL = XL I = ω L I
erhält man
Î =
Û
R 2 + (ω L) 2
⎛ ωL ⎞
ϕ = arc tan ⎜
⎟ .
⎝ R ⎠
(45)
(46)
17
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6.3 Parallelschaltung von R und L:
i
_I R
iL
iR
L
R
u
U
_
ϕ
uR uL
_I L
_I
Bild 12: Parallelschaltung von R und L:
Schaltung und Zeigerbild
Gegeben:
Gesucht:
u ( t ) = Û sin (ω t )
i (t)
Bei einer Parallelschaltung tritt über jedem der parallelen Zweige die gleiche Spannung auf.
Es gilt also:
u R (t ) = u L (t ) = u (t)
UR = UL = U
(47)
Der Kirchhoffsche Knotenpunktsatz liefert:
i R (t ) + i L (t ) = i (t )
IR + IL = I
(48)
Der Zeiger des Gesamtstromes I ist die vektorielle Summe der Teilstromzeiger I R und I L .
Aus dem Zeigerbild liest man ab, dass der Gesamtstrom I der Spannung U um den Winkel ϕ
nacheilt, also gilt:
i ( t ) = Î sin (ω t − ϕ)
(49)
Aus
I =
I 2R + I 2L
tan ϕ =
IL
IR
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sowie
IR =
U
R
IL =
U
U
=
XL
ωL
erhält man:
⎛1⎞ ⎛ 1 ⎞
⎟⎟
⎜ ⎟ + ⎜⎜
⎝ R ⎠ ⎝ ωL ⎠
2
Î = Û
2
(50)
⎛ R ⎞
⎟⎟ .
ϕ = arc tan ⎜⎜
⎝ ωL ⎠
(51)
6.4 Gemischte Schaltung
i1
R1
L
u R1
i
U
_L
uL
U
_=U
_ R2
_I
_I 2
ϕ
R2
i2
u R2
U
_ R1
_I 1
_I
_I 2
ϕ
u
ψ
ψ
I 2 . sin ψ
ψ
_I 1
I 2 . cos ψ
Bild 13:
Gemischte Schaltung
Schaltung und Zeigerbild
Gegeben ist die Gesamtspannung
u ( t ) = Û sin (ω t ) .
Gesucht ist der Gesamtstrom
i ( t ) = Î sin (ω t − ϕ ) .
(52)
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Die gegebene Schaltung stellt eine Kombination von Reihen- und Parallelschaltung dar. Bei
der Reihenschaltung wird bekanntlich jedes Element vom gleichen Strom durchflossen. Die
Gesamtspannung der Reihenschaltung ergibt sich als Summe der Teilspannungen (bei
Wechselstrom natürlich unter Berücksichtigung ihrer Phasenverschiebung). Bei einer
Parallelschaltung liegt über jedem Zweig die gleiche Spannung. Der Gesamtstrom ergibt sich
als Summe der Zweigströme.
Für die gegebene Schaltung gilt in Zeigerschreibweise:
U R1 + U L = U = U R 2
(53)
I1 + I 2 = I
(54)
Bei der Konstruktion des Zeigerbildes verwendet man zweckmäßig I 1 als Bezugszeiger. U R1
liegt in Phase mit I 1 , U L eilt I 1 um 90° voraus. Die vektorielle Summe von U R1 und U L
ergibt die Gesamtspannung U , die auch über dem parallelen Zweig R 2 liegt: U R 2 = U
Der Strom I 2 liegt in Phase mit U R 2 . Der Gesamtstrom I ist die vektorielle Summe der
Teilströme I 1 und I 2 .
Aus dem Zeigerbild liest man ab:
U =
U 2R1 + U 2L = I1
U
I1 =
R 12 + (ω L) 2
R 12 + (ω L) 2
tan ψ =
(55)
UL
U R1
ψ = arc tan (ω L / R 1 )
(56)
Außerdem:
U = UR2 = R 2 I2
I2 =
U
R2
(57)
Dem erweiterten Zeigerbild der Ströme entnimmt man:
I 2 = (I1 + I 2 cos ψ ) 2 + (I 2 sin ψ ) 2
I =
I12 + I 22 + 2 I1 I 2 cos ψ
ϕ = ψ − arc tan
I 2 sin ψ
I 1 + I 2 cos ψ
(58)
(59)
20
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6.5 Gemischte Schaltung:
i
i1
iL
R1
L
U
_ R1= U
_L
u R1 u L
ϕ
U
_ R2
R2
u
u R2
U
_ R1= U
_L
ψ
_I 1
_I L
_I
U
_
UR2 . cos ψ
ψ
ψ
UR2. sinψ
U
_ R2
U
_
Bild 14:
Gemischte Schaltung
Schaltung und Zeigerbild
Gegeben ist wieder die Gesamtspannung:
u ( t ) = Û sin ( ω t )
Gesucht ist der Gesamtstrom:
i ( t ) = Î sin (ω t − ϕ)
(60)
Die gegebene Schaltung stellt wieder eine Kombination von Parallel- und Reihenschaltung
dar. Es sei nochmals daran erinnert, dass bei einer Parallelschaltung über jedem Zweig die
gleiche Spannung liegt. Dies liefert auch der Maschensatz:
U L − U R1 = 0
U R1 = U L
(61)
Der Gesamtstrom ist die Summe der Zweigströme
I1 + I L = I
(62)
21
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Bei der Reihenschaltung ergibt sich die Gesamtspannung als Summe der Teilspannungen. Der
Maschensatz liefert
U R1 + U R 2 − U = 0
U R1 + U R 2 = U
(63)
Bei der Konstruktion des Zeigerbildes verwendet man zweckmäßig U R1 = U L als Bezugszeiger. I1 liegt in Phase mit U R1 , I L eilt U L um 90° nach. Die vektorielle Summe von I1 und
I L ergibt den Zeiger des Gesamtstromes I . Der Widerstand R 2 wird vom Gesamtstrom
durchflossen; U R 2 liegt in Phase mit I . Die gegebene Gesamtspannung U ist die vektorielle
Summe von U R1 = U L und U R 2 .
Für die Zweigströme gilt:
I1 =
U R1
R1
IL =
U R1
ωL
(64)
Aus dem Zeigerbild liest man ab:
2
I =
I +I
2
1
tan ψ =
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞
⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜
⎟⎟
R
L
ω
⎠
⎝ 1⎠ ⎝
= U R1
2
L
2
= U R1 Y
(65)
IL
R
= 1
I1
ωL
ψ = arc tan
R1
ωL
(66)
In Gl.(65) bezeichnet
2
Y =
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞
⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜
⎟⎟
⎝ R1 ⎠ ⎝ ωL ⎠
2
den sog. Schein-Leitwert der Parallelschaltung von R 1 und X L .
Der Widerstand R 2 wird vom Gesamtstrom durchflossen
UR2 = R 2 I .
(67)
Aus dem erweiterten Zeigerbild der Spannungen entnimmt man:
U 2 = ( U R1 + U R 2 cos ψ ) 2 + ( U R 2 sin ψ ) 2
U =
U 2R1 + U 2R 2 + 2 U R1 U R 2 cos ψ
22
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1
R
+ R 22 + 2 2 cos ψ
2
Y
Y
U = I
U
I =
(68)
1
R
+ R 22 + 2 2 cos ψ
2
Y
Y
tan (ψ − ϕ) =
U R 2 sin ψ
U R1 + U R 2 cos ψ
ψ − ϕ = arc tan
Y R 2 sin ψ
1 + Y R 2 cos ψ
(69)
6.6 Reihenschwingkreis
uR
i
uL
R
L
uC
C
u
U
_L
U
_
U
_L
U
_C
U
_R
_I
ϕ
ϕ
_I
U
_R
U
_
U
_C
U
_L
U
_C
_I
Bild 15:
Reihenschwingkreis
Schaltung und Zeigerbilder
U
_R = U
_
23
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Gegeben ist:
u ( t ) = Û sin (ω t )
Gesucht ist:
i ( t ) = Î sin (ω t − ϕ)
Der Maschensatz ergibt:
UR + UL + UC = U
(70)
Außerdem gilt:
UR = R I
UL = ωL I
UC =
1
I
ωC
(71)
Die Konstruktion des Zeigerbildes beginnt man zweckmäßig mit dem Strom I , der allen drei
Elementen gemeinsamen Größe. Aus den Zeigerbildern liest man ab:
U =
U + (U L − U C )
2
R
2
= I
⎛
1 ⎞
⎟
R + ⎜⎜ ω L −
ω C ⎟⎠
⎝
2
2
(72)
Den Wurzelausdruck bezeichnet man als sog. Scheinwiderstand:
Z =
⎛
1 ⎞
⎟
R + ⎜⎜ ω L −
ω C ⎟⎠
⎝
2
2
(73)
Bei der Konstruktion des Zeigerbildes sind drei Fälle zu unterscheiden:
1.
ω L > 1 / ω C : In diesem Fall eilt die Spannung U dem Strom I voraus, ϕ > 0 . Der
Schwingkreis zeigt ohmsch-induktives Verhalten.
2.
ω L < 1 / ω C : In diesem Fall eilt der Strom I der Spannung U voraus, ϕ < 0 . Der
Schwingkreis zeigt ohmsch-kapazitives Verhalten.
3.
ω L = 1 / ω C : In diesem Fall sind Strom I und Spannung U in Phase, ϕ = 0 . Der
Schwingkreis verhält sich wie ein ohmscher Widerstand: Z = R. Diesen
Betriebszustand bezeichnet man als Resonanz. Bei gegebenen Werten von R, L und C
lässt sich dieser Betriebszustand durch entsprechende Wahl der Frequenz einstellen.
Die Resonanzfrequenz f 0 erhält man aus
ω0 L =
f0 =
1
ω0 C
1
2π LC
(74)
24
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Bei der Resonanzfrequenz f 0 besitzt der Scheinwiderstand Z ein ausgeprägtes Minimum (Bild 16).
Z/R
4
ρ = 10
3
2
2
1
-4
-3
-1
-2
ω − 45
1
ω0
ρv 4
3
2
ω + 45
ω
Bild 16: Frequenzabhängigkeit des Scheinwiderstandes Z
Speist man den Reihenschwingkreis mit konstanter Spannung und variiert die Frequenz, so
erreicht der Strom bei der Resonanzfrequenz f 0 ein Maximum. Obwohl bei der Resonanzfrequenz
U = UR
gilt, können die Spulenspannung U L und die Kondensatorspannung U C sehr viel (ρ-fach)
größere Werte als die Gesamtspannung U annehmen (Bild 17).
I, U L,C
10
ρ = 10
UC
UL
5
I
-4
-3
-2
-1
ω − 45
1
ω0
ω + 45
2
3
ρv 4
ω
Bild 17: Frequenzabhängigkeit der Spannungen U L und U C beim Reihenschwingkreis
25
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Man definiert als Resonanzüberhöhung (Güte)
UL
U
ρ =
=
ω0
UC
U
=
ω0
ω0 L
1
=
R
ω0 C R
.
(75)
Ohne Schwierigkeiten lassen sich ρ - Werte von mehr als 100 realisieren.
Neben der Resonanzfrequenz f 0 und der Resonanzüberhöhung ρ gibt es beim Schwingkreis
noch weitere wichtige Kenngrößen:
Die Frequenz-Verstimmung v ist folgendermaßen definiert:
ω ω0
−
ω0
ω
v =
(76)
Bei den 45°-Frequenzen beträgt die Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom
(vergl. Bild 15) genau 45°. Hier gilt
ωL −
1
= ± R
ωC
(77)
Den Frequenzabstand zwischen den 45°-Frequenzen bezeichnet man als Bandbreite
b = f + 45° − f − 45°
Zwischen Bandbreite,
Zusammenhang
b =
Resonanzfrequenz
f0
ρ
(78)
und
Resonanzüberhöhung
besteht
der
(79)
Die frequenzselektiven Eigenschaften von Schwingkreisen werden in der Elektrotechnik
vielfach ausgenutzt, z.B. zur Senderabstimmung.
26
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7. Wechselstromleistung
Im Folgenden wird der in Bild 18 dargestellte Grundstromkreis, bestehend aus einem
Wechselstromgenerator und einem beliebigen Verbraucher, betrachtet.
Ri
Xi
_I
XL
~
E
_
U
_
R
Generator
Verbraucher
Bild 18:
Grundstromkreis
Die Phasenverschiebung ϕ zwischen Spannung und Strom hängt von der Art des Verbrauchers
ab. Sie kann positiv oder negativ sein. Bei einem ohmsch-induktiven Verbraucher, der in der
Praxis am häufigsten vorkommt, gilt:
u ( t ) = Û sin (ω t )
(80)
i ( t ) = Î sin (ω t − ϕ)
(81)
Der Augenblickswert der im Verbraucher umgesetzten Leistung ergibt sich aus dem Produkt der
Augenblickswerte von Spannung und Strom:
p ( t ) = u ( t ) i ( t ) = Û Î sin (ω t ) sin (ω t − ϕ)
(82)
Unter Berücksichtigung der Additionstheoreme für Sinusfunktionen
sin α sin β =
1
[ cos (α − β) − cos (α + β) ]
2
cos (α + β) = cos α cos β − sin α sin β
und des Zusammenhanges zwischen den Scheitelwerten und den Effektivwerten
Û =
2 U
Î =
2 I
(83)
lässt sich der Augenblickswert der Leistung in folgende Form bringen:
p ( t ) = U I cos ϕ (1 − cos ( 2 ω t ) ) + U I sin ϕ sin (2 ω t )
p ( t ) = P (1 − cos (2 ω t ) ) + Q sin (2 ω t ) = p1 ( t ) + p 2 ( t ) .
(84)
P = U I cos ϕ
(85)
Darin sind
und
Q = U I sin ϕ .
27
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Die Leistung p(t) setzt sich aus zwei Komponenten p 1 ( t ) und p 2 ( t ) zusammen.
In der Wechselstromtechnik interessiert im Allgemeinen nicht der Augenblickswert, sondern der
Mittelwert der Leistung über eine Periode:
T
1
p ( t ) d t = p1 + p 2
T ∫0
Der zeitliche Mittelwert von p 1 (t) ist
p =
p1 =
1
T
(86)
T
∫ p (t) d t
1
= P = U I cos ϕ
(87)
0
Der zeitliche Mittelwert von p2 (t) ist Null.
2P
p1
p, i
P
~
+O
p2
t
i
-O
~
Bild 19: Komponenten der Wechselstromleistung
Die im Mittel im Verbraucher umgesetzte Leistung
p = p1 = P = U I cos ϕ
(88)
(die z.B. bei einem Elektromotor in mechanische Leistung umgewandelt wird), heißt
Wirkleistung. Ihre Maßeinheit ist Watt:
[P] = 1 W.
Die zweite Komponente der Leistung p2(t) pendelt zwischen Generator und Verbraucher mit der
doppelten Frequenz des fließenden Stromes (im üblichen 50 Hz-Netz also mit 100 Hz) hin und
her. Ihre Amplitude
Q = U I sin ϕ
(89)
heißt Blindleistung. Ihre Maßeinheit ist voltampere reaktiv:
[Q] = 1 var.
28
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Blindleistung kann nur auftreten, wenn der Verbraucher Spulen und/oder Kondensatoren, d.h.
Energiespeicher, enthält.
Das Produkt
S = U I
(90)
heißt Scheinleistung. Ihre Maßeinheit ist Voltampere:
[S] = 1 VA.
Das Verhältnis von Wirkleistung und Scheinleistung
P
S
λ = cos ϕ =
(91)
bezeichnet man Leistungsfaktor. Er drückt die im Verbraucher umgesetzte Leistung an der
maximal möglichen Leistung aus.
Zwischen Wirk-, Blind- und Scheinleistung besteht der Zusammenhang:
P 2 + Q 2 = S2
(92)
Die Blindleistungen von Spule und Kondensator lassen sich auch mit Hilfe der Blindwiderstände
XL = ω L
bzw.
XC =
1
ωC
ausdrücken:
QL = UL IL
U 2L
=
= I 2L X L
XL
(93)
U C2
= I C2 X C
XC
(94)
QC = U C IC =
Messung der Wirkleistung: Um die in einem Verbraucher umgesetzte Wirkleistung
T
P = p =
∫ u (t ) i (t ) d t
= U I cos ϕ
0
zu bestimmen, muss ein Wirkleistungs-Messgerät den arithmetischen Mittelwert des Produktes
der Augenblickswerte von Verbraucherspannung u(t) und Verbraucherstrom i(t) bilden.
Zur Messung der Wirkleistung wird das im Bild 20 dargestellte elektrodynamische Messwerk
eingesetzt. Es besitzt zwei Spulen, eine erste drehbar im Luftspalt eines Elektromagneten
angeordnete Drehspule (Index D) und eine zweite auf dem Eisenkern festsitzende Feldspule
(Index F). Die niederohmige Feldspule wird vom Verbraucherstrom i(t) durchflossen und
erzeugt im Luftspalt ein radialhomogenes magnetisches Wechselfeld:
29
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w F i (t)
= k F i ( t ) = k F Î sin (ω t − ϕ)
R m ⋅ A Fe
B (t) =
(95)
An die hochohmige Drehspule wird die Verbraucherspannung u(t) angelegt, die in der
Drehspule zu einem proportionalen Strom führt:
iD =
u(t)
= k D u ( t ) = k D Û sin (ω t )
RD
(96)
Drehspule
Φ (t)
F
Eisenkern
F
Feldspule
Bild 20:
Elektrodynamisches Messwerk
i(t)
Die Wirkungsweise des elektrodynamischen Messwerkes beruht auf der Kraftwirkung auf
einen stromdurchflossenen Leiter im magnetischen Feld, also auf dem elektrodynamischen
Kraftgesetz.
Da das magnetische Feld im Luftspalt radialhomogen angenommen werden kann, ist das
elektromagnetisch entwickelte Drehmoment unabhängig vom Drehwinkel:
m el ( t ) = 2 w D F( t ) R
Darin sind
F (t) = B (t) l i D (t )
(97)
die Kraft auf einen Leiter der Drehspule, l ihre axiale Länge im Magnetfeld, R ihr Radius und
wD ihre Windungszahl.
30
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Unter Berücksichtigung der Gln. (95) bis (97) erhält man, dass der Augenblickswert des
Drehmomentes dem Augenblickswert der Verbraucherleistung entspricht.
m el ( t ) = 2 w D R l k F k D u ( t ) i ( t )
(98)
m el ( t ) = k el u ( t ) i ( t ) = k el p ( t )
Der Mittelwert des Drehmomentes entspricht dann der im Verbraucher umgesetzten Wirkleistung:
1
T
M el =
T
∫
m el ( t ) d t =
0
1
T
T
∫k
el
p ( t ) d t = k el P = k el U I cos ϕ
(99)
0
Die Drehspule ist über eine Drehfeder gefesselt. Sie kann sich dadurch nur um einen begrenzten
Winkel verdrehen. Das Federmoment ist bekanntlich dem Drehwinkel proportional:
M f = cf α
(100)
Wegen des relativ großen Massenträgheitsmomentes der Drehspule folgt der Auslenkungswinkel
α nicht dem Augenblickswert, sondern dem Mittelwert des elektromagnetischen Drehmomentes.
Es stellt sich das Momentengleichgewicht
M el = M f
(101)
ein. D.h. der Ausschlagwinkel
α =
M el
k
= el P = k P
cf
cf
(102)
ist der Wirkleistung des Verbrauchers proportional.
Bild 21 zeigt die Schaltung zur Messung der Wirkleistung bei einphasigem Wechselstrom. Der
niederohmige Strompfad (die Feldspule des elektrodynamischen Messwerkes) wird vom
Verbraucherstrom durchflossen. An den hochohmigen Spannungspfad (an die Drehspule) wird
die Verbraucherspannung angelegt.
L1
i(t)
P
R
u(t)
XL
N
Verbraucher
Bild 21: Schaltung zur Messung der Wirkleistung
31
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8. Prinzip der Blindstrom-Kompensation
Die Blindstromkompensation ist eine wichtige Maßnahme zur Verminderung der Verluste bei
der Übertragung elektrischer Energie und damit auch zur CO2-Verminderung.
Bild 22 zeigt das vereinfachte Ersatzschaltbild einer elektrischen Energieübertragung, bestehend aus der Zusammenschaltung von Wechselstromgenerator, Netz und Verbraucher.
Bild 22: Ersatzschaltbild der elektrischen Energieübertragung
Der Generator ist durch eine Wechselspannungsquelle mit (ohmschen und induktiven)
Innenwiderstand nachgebildet. Der Verbraucher besteht – wie meistens in der Praxis – aus
einem Wirkwiderstand RL und einem induktiven Blindwiderstand XL (Index L: Last-). Das
Netz wird stark vereinfacht durch den ohmschen Netzwiderstand RN nachgebildet.
Im Netz fließt der Verbraucherstrom
IN = I .
(103)
Bild 23 zeigt das Zeigerbild der Spannungen am Verbraucher
UR + UX = U ,
(104)
sowie die Zerlegung des Verbraucherstromes in seine Wirkstromkomponente (in Phase mit
der Spannung U)
I w = I cos ϕ
(105)
und seine Blindstromkomponente (senkrecht zur Spannung U)
I b = I sin ϕ .
(106)
Bild 23:
Zeigerbild des Verbrauchers
32
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Dabei gilt:
I 2w + I 2b = I 2
(107)
Die im Verbraucher genutzte Leistung, die sog. Wirkleistung, ist dem Wirkstrom Iw
proportional:
P = U I cos ϕ = U I w
(108)
Die Blindleistung des Verbrauchers ist dem Blindstrom proportional:
Q = U I sin ϕ = U I b
(109)
Wegen des induktiven Blindwiderstandes XL des Verbrauchers ist der zur Übertragung dieser
Wirkleistung erforderliche Strom I größer als bei einem rein ohmschen Widerstand als
Verbraucher. Dieser größere Strom verursacht im Netz größere Stromwärmeverluste
PV , N = I 2 R N =
(I
2
w
)
+ I 2b R N
(110)
und erfordert größere Leitungsquerschnitte.
Das Ziel der Blindstromkompensation ist es, die Verluste bei der elektrischen Energieübertragung zu minimieren. Dazu wird der Blindstrom bzw. die Blindleistung kompensiert,
indem dem Verbraucher ein Kondensator parallel geschaltet wird (Bild 24).
Bild 24: Blindleistungskompensation mittels Kondensator
Für den Netzstrom gilt jetzt (Knotenpunktsatz):
I N = I + IC
(111)
Die Kondensatorspannung ist identisch mit der Spannung am Verbraucher:
UC = U
(112)
Da bekanntlich der Kondensatorstrom I C der Kondensatorspannung U C um 90° vorauseilt,
sind somit Kondensatorstrom I C und Verbraucherblindstrom I b genau um 180°
phasenverschoben. Die Kapazität C des Kondensators wird so gewählt, dass der kapazitive
Blindstrom I C des Kondensators den induktiven Blindstrom I b des Verbrauchers vollständig
kompensiert (Bild 25).
33
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Nach der Kompensation fließt im Netz nur noch der Wirkstrom:
I N = I + IC = I w + Ib + IC = I w
(113)
Die Stromwärmeverluste im Netz nehmen dadurch ihren minimalen Wert an:
PV , N = I 2w R N
(114)
Bild 25:
Zeigerbild bei vollständiger
Kompensation
Den Wert der Kapazität C erhält man aus:
Ib = IC =
U
= ωC U
XC
C =
Ib
2πf U
(115)
Für die Blindleistung des Kondensators gilt:
QC = UC IC =
U C2
U2
=
XC
XC
(116)
Als Kompensationskondensatoren werden meistens Papier- oder Metallpapier-Kondensatoren
eingesetzt. Ihr Dielektrikum besteht aus Isolierpapier, aus im Vakuum getrocknetem und
anschließend getränktem Papier. Die Bemessungsspannung der Kondensatoren muss
mindestens gleich der Betriebsspannung des Netzes sein.
34
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9. Beispiele zur Blindstrom-Kompensation
9.1 Wechselstrommotor
Ein Einphasen-Wechselstrommotor mit folgenden Nenndaten (Index n = Nenn-):
Pn = 1,5 kW ;
U n = 230 V ;
cos ϕ n = 0,75 ;
ηn = 80 %
f n = 50 Hz
werde an der Welle mit Nennmoment belastet. Zu berechnen ist die Kapazität C des
Kondensators, der dem Motor zur vollständigen Blindstromkompensation parallel zu schalten
ist.
Bei Nennbelastung (M = Mn) gibt der Motor an der Welle die Nennleistung
Pn = Pmech ,n = 1,5 kW
(117)
ab. Er arbeitet dabei mit seinem maximalen Wirkungsgrad = Nennwirkungsgrad
ηn = 80 %
und nimmt die Wirkleistung
Pel,n = U n I n cos ϕ n =
Pmech,n
ηn
= 1,875 kW
(118)
auf. Dabei fließt der Nennstrom
In =
Pel,n
U n cos ϕ n
= 10,9 A .
(119)
Aus dem Leistungsfaktor cos ϕn = 0,75 erhält man
ϕn = 41,41°
sin ϕn = 0,661 .
Der Blindstrom des Motors im Nennbetrieb beträgt
I b ,n = I n sin ϕ n = 7,2 A .
(120)
Die Blindleistungsaufnahme des Motors im Nennbetrieb beträgt
Q n = Pel,n
sin ϕ n
= 1,654 kVAr .
cos ϕ n
(121)
Der Blindstrom des Kondensators soll den Blindstrom des Motors kompensieren:
I C = I b , n = 7, 2 A
(122)
35
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Am Kondensator gilt:
IC =
UC
= = ω C UC = ω C Un
XC
(123)
Hieraus folgt:
C =
I b ,n
= 99,5 µ F
2 π fn Un
(124)
9.2 Mittelfrequenz-Induktionsofen
Ein Induktionsofen wird aus einem Mittelfrequenz-Generator gespeist. Er nimmt bei einer
Wechselspannung U = 750 V, f = 1 kHz die Wirkleistung P = 10 kW bei einem Leistungsfaktor cos ϕ = 0,05 auf.
a)
Zu berechnen sind der Strom I, der Wirk- und der Blindstrom I w und I b sowie die
Blindleistung Q.
b)
Durch eine dem Induktionsofen parallel geschaltete Kondensatorbatterie wird der
Blindstrom vollständig kompensiert. Zu berechnen sind die erforderliche Kapazität C
sowie der Generatorstrom, der Kondensatorstrom sowie der Strom durch die
Ofenspule beim kompensierten Ofen.
c)
Der Generator besitze einen Innenwiderstand R i = 0,5 Ω . Zu berechnen sind die Verluste
im Innenwiderstand vor und nach der Kompensation.
Erläuterung Induktionsofen: Bild 26 zeigt die prinzipielle Anordnung zur Induktionserwärmung: Das elektrisch leitfähige Wärmegut (hier ein Metallzylinder) wird von einem
magnetischen Wechselfeld durchsetzt, das durch eine wechselstromdurchflossene Spule
erzeugt wird. Nach dem Induktionsgesetz wird in dem Wärmegut eine Spannung induziert,
die im Wärmegut zu einem Wirbelstrom führt. Seine Stromwärme wird bei der induktiven
Erwärmung genutzt. Mit steigender Frequenz werden die Wirbelströme an die äußeren
Randzonen des Wärmegutes verdrängt (Stromverdrängung). D.h., über die Frequenz kann die
Verteilung der Wärmequellen im Wärmegut gesteuert werden.
Bild 26: Induktive Erwärmung eines Metallzylinders
36
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Aus der Beziehung für die Wirkleistung
P = U I cos ϕ
erhält man den Ofenstrom = Generatorstrom
I = IG =
P
= 266,7 A .
U cos ϕ
(125)
Aus dem Leistungsfaktor cos ϕ = 0,05 folgt
ϕ = 87,13°
sin ϕ = 0,9988 .
Daraus erhält man für Wirk- und Blindstrom sowie für die aufgenommene Blindleistung des
Ofens:
I w = I cos ϕ = 13,33 A
(126)
I b = I sin ϕ = 266,3 A
(127)
Q = P
sin ϕ
= 199,75 kVAr
cos ϕ
(128)
Bei vollständiger Kompensation gilt:
I C = I b = 266,3 A
(129)
Daraus erhält man die Kapazität des Kondensators:
C =
Ib
= 56,6 µ F
2π f U
(130)
Nach der vollständigen Kompensation wird der Frequenz-Generator nur noch vom Wirkstrom
belastet:
I = I G = I w = 13,33 A
(131)
Für die Stromwärmeverluste im Innenwiderstand des Generators gilt:
Pv,i = R i I G2
Sie betragen vor der Kompensation
Pv ,i = 35,56 kW
und nach der Kompensation
Pv ,i = 88,8 W .
(132)
37
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9.3 Teil-Kompensation
Ein ohmsch-induktiver Verbraucher nimmt aus dem 230 V / 50 Hz - Wechselstromnetz die
Wirkleistung P = 5 kW bei einem Leistungsfaktor cos ϕ = 0,6 auf.
a)
Zu berechnen sind der Strom I, der Wirk- und der Blindstrom I w und I b sowie die
Blindleistung Q.
b)
Durch Parallelschalten eines Kondensator soll der Leistungsfaktor bezüglich des
Netzes auf cos ϕ / = 0,9 verbessert werden. Die erforderliche Kapazität C sowie der
Strom I / , der Wirk- und Blindstrom I /w und I b/ sowie die Blindleistung Q / nach der
Kompensation sind zu berechnen.
Aus dem Leistungsfaktor cos ϕ = 0,6 folgt
ϕ = 53,13°
sin ϕ = 0,8 .
Daraus erhält man für die Strom- und Blindleistungsaufnahme:
P
= 36,2 A
U cos ϕ
(133)
I w = I cos ϕ = 21,7 A
(134)
I b = I sin ϕ = 29,0 A
(135)
I =
Q = P
sin ϕ
= 6,67 kVAr
cos ϕ
Nach dem Parallelschalten des Kondensators wird der Leistungsfaktor auf
cos ϕ / = 0,9
verbessert. Dazu gehören:
ϕ / = 25,84°
sin ϕ / = 0,436
Der Strom I, der Blindstrom I b und die Blindleistung Q verringern sich dadurch auf
P
= 24,2 A
U cos ϕ /
(136)
I b/ = I / sin ϕ / = 10,53 A
(137)
I/ =
Q/ = P
sin ϕ /
= 2,42 kVAr
cos ϕ /
(138)
38
TU BAF, Inst. f. Elektrotechnik
Prof. Beckert
Der Wirkstrom I w und die Wirkleistungsaufnahme P bleiben durch diese Maßnahme
unbeeinflusst. Der Kondensatorstrom I C ergibt sich aus der Differenz der Blindströme vor
und nach der Kompensation:
I C = I b − I b/ = 18,45 A
(139)
Über
XC =
U
1
=
IC
ωC
folgt daraus der Wert der Kapazität des Kondensators
C =
IC
1
=
= 255,3 µ F .
2 π f XC
2π f U
(140)
39