Kapitel 3

Kapitel 3
Formalismus der
Quantenmechanik
Zustand eines quantenmechanischen Systems wird durch die Wellenfunktion
dargestellt; Observablen sind durch die dazugehörigen Operatoren beschrieben.
Mathematisch, sind Wellenfunktionen abstrakte Vektoren und Operatoren sind
lineare Transformationen.
3.1
3.1.1
Hilbertraum
Abstrakte Vektoren
N -dimensionaler Raum. Vektor
| αi → ~a = (a1 , . . . , aN )
Allgemein, ai sind komplex. Übliche Eigenschaften der Addition (kommutativ,
associativ) und Multiplikation mit Skalaren (associativ, distributiv).
Inneres Produkt (Skalarprodukt) ist eine komplexe Zahl. Die Eigenschaften:
hβ|αi = hα|βi∗
hα|αi ≥ 0,
q
hα|αi = ||α|| = |α|
hα|αi = 0
⇐⇒
Distributiv, kommutativ. Orthogonalität:
hβ|αi = 0
38
Norm des Vektors
| αi = | 0i
Orthonormierte Vektoren | αi i :
hαi |αj i = δij
Bezüglich einer Basis:
hα|βi = a∗1 b1 + a∗2 b2 + . . . + a∗n bn
Norm (quadriert)
||α||2 = hα|αi = |a1 |2 + |a2 |2 + . . . + |an |2
Komponenten:
ai = hei |αi
Lineare Transformationen werden durch Matrizen dargestellt.
| βi = T | αi → ~b = T~a
3.1.2
Unendlichdimensionaler Vektorraum
Vektoren sind jetzt Funktionen, definiert im Intervall a, b. Menge aller
quadratintegrablen Funktionen
Z
b
a
|f (x)|2 dx < ∞
bildet der Hilbertraum (in der Mathematik heisst der Raum L2 (a, b)).
Also, Wellenfunktionen sind Funktionen im Hilbertraum .
Inneres Produkt:
Z
b
hf |gi ≡
f ∗ (x)g(x)dx
a
existiert immer, wegen der Schwarzschen Ungleichung:
oder
Z
sZ
Z b
b
b
∗
f (x)g(x)dx ≤
|g(x)|2 dx
|f (x)|2 dx
a
a
a
| hf |gi |2 ≤ hf |f i hg|gi
Bemerkung: Schwarzsche Ungleichung wird Gleichung für f (x) = cg(x).
39
Für die unendlichdimensionalen Vektoren (Funktionen) gelten alle Eigenschaften
des Skalarproduktes, die wir für die üblichen Vektoren formulierte. Menge der
Funktionen heisst orthonormiert, wenn
hfm |fn i = δmn
Funktionen fn , n = 1, . . . , ∞, bilden ein volständiges Funktionssystem (eine Basis)
wenn für alle andere Funktionen im Hilbertraum gilt:
∞
X
g(x) =
cn fn (x)
n=1
Die Koeffizienten findet man als:
cn = hfn |gi
Bsp. Unendlich hoher Potentialtopf: Stationäre Zustände bilden eine Basis in (0, a).
Harmonischer Oszillator: Stationäre Zustände bilden eine Basis in (−∞, ∞).
Norm der Funktion
2
||g(x)|| = hg|gi =
3.2
3.2.1
Z
b
∗
g gdx =
Z
a
a
∞
X
b
!∗
cm fm (x)
m=1
∞
X
n=1
Observablen
Hermitesche Operatoren
Erwartungswert einer Observable
hQi =
Z
D
Ψ∗ Q̂Ψdx = Ψ|Q̂Ψ
Mess- und Erwartungswert sollen reell sein:
hQi = hQi∗
Eigenschaft des Skalarproduktes:
und dass soll für alle Ψ gelten.
D
E
D
Ψ|Q̂Ψ = Q̂Ψ|Ψ
40
E
,
E
!
cn fn (x)
=
∞
X
n=1
|cn |2
Also, Operatoren, die Observablen beschreiben, haben die folgende Eigenschaft:
D
E
D
f |Q̂f = Q̂f |f
E
für alle f (x)
Sie heissen hermitesche Operatoren. Äquivalente (Übung) Definition:
D
E
D
f |Q̂g = Q̂f |g
E
für alle f (x), g(x)
Observablen entsprechen hermiteschen Operatoren.
Bsp. Ist der Impulsoperator hermitesch?
hf |p̂gi =
Z
∞
−∞
f∗
∞
h̄ dg
h̄
+
dx = f ∗ g
i dx
i
−∞
Z
∞
−∞
h̄ df
i dx
∗
gdx = hp̂f |gi
Zu merken: ohne i ist der Operator nicht hermitesch, d.h. ohne i beschreibt er
keine physikalisch messbare Grösse.
3.2.2
Definierte Zustände
Allgemein: jede Messung liefert einen anderen Wert. Für welche Zustände gibt jede
Messung den gleichen Wert q? (Anders formuliert, die Observable ist scharf, die
Standardabweichung soll Null sein, hQi = q.)
D
E
D
E
σ 2 = h(Q − hQi)2 i = Ψ|(Q̂ − q)2 Ψ = (Q̂ − q)Ψ|(Q̂ − q)Ψ = 0
(Diese Gleichung merken!)
Wenn hα|αi = 0 → α = 0, also
Q̂Ψ = qΨ
Eigenwertgleichung =⇒ definierte Zustände sind Eigenfunktionen von Q.
q ist Eigenwert; alle Eigenwerte bilden Spektrum des Operators. Falls einige
Eigenwerte gleich sind, spricht man über Entartung.
Bsp. Für Hamiltonoperator
Ĥψ = Eψ
E
E sind Eigenwerte, ψ oder Ψ = ψe−i h̄ t sind Eigenfunktionen.
Bsp. Sei ϕ Polarkoordinate in 2D. Ist Operator
Q̂ = i
41
d
dϕ
hermitesch?
Funktionen sind im Intervall (0, 2π) definiert, mit f (ϕ + 2π) = f (ϕ).
D
E
f |Q̂g =
Z
2π
0
f∗ i
dg
dϕ = if ∗ g|2π
0 −
dϕ
Eigenwert Gleichung
i
Z
2π
i
0
E
D
df ∗
gdϕ = Q̂f |g
dϕ
df
= qf
dϕ
hat die Lösung
f (ϕ) = Ae−iqϕ
Wegen Periodizität
e−iq2π = 1
=⇒
q = 0, ±1, ±2, . . .
Das Spektrum ist nicht entartet.
3.2.3
Statistische Interpretation nochmal
Zur Erinnerung: für die zeitunab. Schr. Gl
Ĥψn = En ψn
ψn und En sind Eigenfunktionen und Eigenwerte. Wir haben gezeigt, dass
hHi =
X
n
|cn |2 En
mit
X
n
|cn |2 = 1 .
Das bedeutet, dass die W’keit bei der Enegiemessung einen Wert En zu bekommen
ist |cn |2 .
Dass stimmt auch allgemein: bei der Messung einer Observablen Q bekommen wir
die Eigenwerte des entsprechenden Operators Q̂. Sei fn , qn Eigenfunktionen und
Eigenwerte von Q̂. Die W’keit bei einer Messung qn zu bekommen ist
|cn |2 ,
mit cn = hfn |Ψi ,
P
wobei Ψ = n cn fn . Wir haben benutzt, dass Eigenfunktionen eines Operators ein
vollständiges Funktionssystem bilden. (Axiom)
42
3.3
Unschärferelation
Für jede Observable A
D
E
2
σA
= (Â − hAi)Ψ|(Â − hAi)Ψ = hf |f i
mit f = (Â − hAi)Ψ. Genauso, für eine andere Observable B
2
σB
= hg|gi
mit
g = (B̂ − hBi)Ψ
Aus der Schwartzschen Ungleichung folgt:
2 2
σB = hf |f i hg|gi ≥ | hf |gi |2
σA
Für jede komplexe Zahl
|z|2 = [Re(z)]2 + [Im(z)]2 ≥ [Im(z)]2 =
Sei hf |gi = z, dann
2 2
σA
σB
hf |gi − hg|f i
≥
2i
Berechnen wir
hf |gi =
=
=
D
E
z − z∗
2i
2
2
D
(Â − hAi)Ψ|(B̂ − hBi)Ψ = Ψ|(Â − hAi)(B̂ − hBi)Ψ
D
Ψ|(ÂB̂ − hAiB̂ − ÂhBi + hAihBi)Ψ
D
E
D
E
D
E
E
Ψ|ÂB̂Ψ − hAi Ψ|B̂Ψ − hBi Ψ|ÂΨ + hAihBi hΨ|Ψi
= hÂB̂i − hAihBi − hBihAi + hAihBi
= hÂB̂i − hAihBi
Genauso
Also,
E
hg|f i = hB̂ Âi − hBihAi
hf |gi − hg|f i = hÂB̂i − hB̂ Âi = hÂB̂ − B̂ Âi = h[Â, B̂]i
wobei [Â, B̂] ist Kommutator zweier Operatoren. Wir bekommen die
(verallgemeinerte) Unschärferelation:
2 2
σA
σB
≥
h[Â, B̂]i
2i
43
!2
Als Beispiel, nehmen wir  = x (Ortsoperator) und B̂ = −ih̄
Wir haben schon berechnet [x̂, p̂] = ih̄, also
σx2 σp2 ≥
∂
(Impulsoperator).
∂x
2
h̄
2
h̄
2
Es gibt Unschärferelation für alle Paaren von Observablen, deren Operatoren nicht
kommutieren! Man sagt, diese Observablen sind nicht verträglich.
Verträgliche Observablen haben gemeinsame Eigenfunktionen.
σx σp ≥
Zu merken ist, dass die Unschärferelation keine neue Annahme ist, sondern die
Schlussfolgerung der statistischen Interpretation.
Bsp.: Unschärferelation für Koordinate und Energie:
 = x ,
[Â, B̂] = [x,
B̂ = Ĥ =
p̂2
+V
2m
1
p̂2
+V]=
[x, p2 ] + [x, V ]
2m
2m
Offensichtlich, [x, V ] = 0.
[x, p2 ] = xp2 − p2 x = xp2 − pxp + pxp − p2 x = [x, p]p + p[x, p]
Wir wissen, dass
[x, p] = ih̄
[x, p2 ] = ih̄p + pih̄ = 2ih̄p
=⇒
=⇒
2
σx2 σH
≥
[x,
2
1 ih̄
hpi
2i m
ih̄p
p̂2
+V]=
2m
m
=⇒
σx σH ≥
Im stationären Zustand ist alles trivial: σH = 0, hpi = 0
44
h̄
|hpi|
2m
=⇒
0 ≥ 0.
3.3.1
Kommutatoren
Wichtige Identität:
[ÂB̂, Ĉ] = Â[B̂, Ĉ] + [Â, Ĉ]B̂
Beweis (ohne “Dach” in der Notation):
[AB, C] = ABC − CAB = ABC − ACB + ACB − CAB = A[B, C] + [A, C]B
Bsp.:
h̄ dg
h̄ d(f g)
h̄ dg
h̄ df
dg
df
[f (x̂), p̂] = f
−
=f
−
g+f
= ih̄
i dx
i dx
i dx
i dx
dx
dx
3.3.2
Wellenpaket mit der minimalen Unschärfe
Wann haben wir in der Unschärferelation eine Gleichung statt der Ungleichung?
1.) Schwarzsche Ungleichung wird Gleichung wenn g(x) = cf (x).
2.) Wir haben benutzt |z 2 | ≥ Im(z)2 . Das wird Gleichung wenn Re(z) = 0.
Also,
Re(z) = 0 = Re(hf |gi) = Re(c hf |f i)
hf |f i ist reell
Unschärfe
=⇒
c = ia, (a reell).
=⇒
die Bedingung der minimalen
g(x) = iaf (x)
Für die x, p Relation das heisst:
h̄ d
− hpi Ψ = ia(x − hxi)Ψ
i dx
und wir bekommen eine GDfGl für Ψ:
dΨ
i
a
ihpi
= (iax − iahxi + hpi) Ψ =
−x + hxi +
Ψ
dx
h̄
h̄
a
a
ihpi
dΨ
=
−x + hxi +
dx
Ψ
h̄
a
!
a
ihpi
x2
ln Ψ =
x +C
− + hxix +
h̄
2
a
ln Ψ = −
ihpi
a 2
x+C
x − 2hxix + hxi2 − hxi2 +
2h̄
h̄
45
ln Ψ = −
a
ihpi
(x − hxi)2 +
x + C̃
2h̄
h̄
2
a
Ψ = Ae− 2h̄ (x−hxi) e
ihpi
x
h̄
mit A = eC̃ . Wir bekommen das Gauss’sche Wellenpaket.
3.3.3
Zeit-Energie Unschärferelation
Man schreibt häufig
h̄
2
und sagt, dass es analog zur üblichen Unschärferelation ist. Zeit ist aber
keine Observable, sondern eine unabhängige Variable. Man macht keine Messung
der Zeit des Teilchens! Anders formuliert, ∆t hier ist keine Standartabweichung!
Wir zeigen gleich, was es ist.
Betrachten wir eine Observable Q(x, p) (keine explicite Zeitabhängigkeit) und
berechnen
E ∂Ψ
d
d D
∂
hQi =
|Q̂Ψ + Ψ| (Q̂Ψ)
Ψ|Q̂Ψ =
dt
dt
∂t
∂t
∆t∆E ≥
Wegen
∂Q
=0
∂t
d
hQi =
dt
∂Ψ
∂Ψ
|Q̂Ψ + Ψ|Q̂
∂t
∂t
Schr.Gl (mit Ĥ = p̂2 /2m + V )
ih̄
∂Ψ
= ĤΨ
∂t
=⇒
∂Ψ
1
= ĤΨ
∂t
ih̄
Oben einsetzen:
d
hQi =
dt
E
E
1
1
1 D
1 D
ĤΨ|Q̂Ψ + Ψ| Q̂ĤΨ = −
ĤΨ|Q̂Ψ +
Ψ|Q̂ĤΨ
ih̄
ih̄
ih̄
ih̄
Operatoren sind hermitesch
=⇒
E
D
D
ĤΨ|Q̂Ψ = Ψ|Ĥ Q̂Ψ
E
E D
E
E
1 D
1 D
d
hQi =
Ψ|Q̂ĤΨ − Ψ|Ĥ Q̂Ψ =
Ψ|(Q̂Ĥ − Ĥ Q̂)Ψ
dt
ih̄
ih̄
E
1 D
i
d
hQi =
Ψ|[Q̂, Ĥ]Ψ = h[Ĥ, Q̂]i
dt
ih̄
h̄
46
Sei in der verallgemeinerten Unschärferelation A = H und B = Q:
2 2
σH
σQ
≥
h[Ĥ, Q̂]i
2i
oder
!2
=
1 h̄ dhQi
2i i dt
2
h̄
2
dhQi
dt
2
h̄ dhQi σH σQ ≥ 2 dt Wir definieren ∆E = σH und
=
2 ∆t =
σQ
|dhQi/dt|
Dann
∆E∆t ≥
h̄
2
Zu merken: hier ∆t ist keine Standartabweichung! ∆t charakterisiert Änderung des
Systems (Erwartungswert von Q ändert sich um eine Standartabweichung)!
dhQi
= 0 (stationärer Zustand). Die
Im definierten Zustand: σH = 0 und
dt
Ungleichung
h̄ dhQi σH σQ ≥ 2 dt wird eine triviale Gleichung 0 = 0.
3.4
Zweizustandssysteme
Zustand eines quantenmechanischen Systems wird durch die Wellenfunktion
beschrieben, die die Schr.Gl genügt. Koordinate x kann unendlich viele Werte
annehmen, deswegen ist Ψ(x, t) ein unendlichdimensionaler Vektor im
Hilbertraum. Jetzt besprechen wir ein System, dass sich nur in einem von zwei
möglichen Zuständen oder in einer Superposition dieser zwei Zustände befinden
kann. Das ist ein einfaches, aber wichtiges Modellsystem, das zur Beschreibung von
vielen Situationen herangezogen werden kann, z.B
1. Laser (Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation), Stimulierte
Emission.
2. Quantencomputer: qubits.
47
3. Neutrinooszillation (von Bruno Pontecorvo 1957 theoretisch vorhergesagt).
Als Neutrinooszillation wird die Umwandlung zwischen verschiedenen
Elementarteilchen, den Elektron-, Myon- und Tau-Neutrinos, aufgrund
quantenmechanischer Prozesse bezeichnet. D. h. wurde ein Neutrino
ursprünglich mit einem bestimmten dieser drei ’Flavours’ erzeugt, so kann
eine spätere Quantenmessung einen anderen Flavour ergeben.
4. Spin.
Also, wir haben ein System mit zwei linear unabhängigen Zuständen:
| 1i =
1
0
!
| 2i =
0
1
!
Die entsprechen, z.B., Elektron-Neutrino und Myon-Neutrino. Algemeiner Zustand
ist normierte lineare Kombination
| Si = c1 | 1i + c2 | 2i =
c1
c2
!
mit |c1 |2 + |c2 |2 = 1. (Bemerkung zur Notation: | Si entspricht Ψ, | si entspricht ψ.)
48
Vektoren sind 2-dimensional =⇒ Operatoren sind 2 × 2 hermiteschen
Matrizen. Zur Erinnerung: Gegeben sei die komplexe Matrix (n × n)
A = (zij ),
zij = aij + ibij
∗ = a − ib
Konjugierte Matrix: zij
ij
ij
Adjungierte Matrix: transponiert + konjugiert
∗
A† = (zji
) = (A∗ )T = (AT )∗
A = A† selbstadjungiert oder hermitesch (nach Charles Hermite)
A = −A† schiefadjungiert oder antihermitesch
Hamilton-Operator ist auch eine Matrix; wir nehmen an, dass die die folgende
Form hat:
!
h g
H=
g h
Hier sind g und h reelle Konstanten.
Die Fragestellung: zur Zeit t = 0 ist das System im Zustand | 1i . Im welchen
Zustand ist es um Zeit t?
Die zeitabhängige Schr.Gl
d
ih̄ | Si = H | Si
dt
Wie immer, fangen wir mit der zeitunabh. Schr. Gl. an:
H | si = E | si ,
d.h. wir bekommen ein Eigenwertproblem für die Matrix H. Eigenwerte werden
mittels charakteristischer Gl. bestimmt:
h−E
g
g
h−E
= (h − E)2 − g 2 = 0
=⇒
h − E = ±g
Eigenvektoren bestimmen wir aus:
h g
g h
!
α
β
!
= (h ± g)
hα + gβ = (h ± g)α
49
=⇒
α
β
!
β = ±α
=⇒
E± = h ± g
Die normierte Eigenvektoren:
1
| s± i = √
2
!
1
±1
1
= √ (| 1i ± | 2i )
2
Die allgemeine Lösung mit der standarten Zeitabhängigkeit e−iEn t/h̄ :
| S(t)i = c1 e−i(h+g)t/h̄ | s+ i + c2 e−i(h−g)t/h̄ | s− i
Die Koeffizienten c1,2 gewinnen wir aus der Anfangsbedingung:
| S(0)i = | 1i =
1
0
!
1
= c1 | s+ i + c2 | s− i = √ (| s+ i + | s− i )
2
Oder mit Fourier-Trick: cn = hfn |Ψ(0)i, was entspricht hier c1,2 = hs± |S(0)i Also,
wir multiplizieren zuerst mit | s+ i :
hs+ |S(0)i = c1 hs+ |s+ i + c2 hs+ |s− i = c1
Wir berechnen
√
hs+ |S(0)i = 1/ 2
√
Genauso bekommen wir c2 = 1/ 2.
Also, die allgemeine Lösung ist:
√
c1 = 1/ 2.
=⇒
1
| S(t)i = √ (e−i(h+g)t/h̄ | s+ i + e−i(h−g)t/h̄ | s− i )
2
"
1
| S(t)i = e−iht/h̄ e−igt/h̄
2
1
| S(t)i = e−iht/h̄
2
e−igt/h̄ + eigt/h̄
e−igt/h̄ − eigt/h̄
1
1
!
!
igt/h̄
+e
−iht/h̄
=e
1
−1
!#
cos(gt/h̄)
−i sin(gt/h̄)
Schreiben wir | S(t)i durch | 1i und | 2i :
−iht/h̄
| S(t)i = e
"
cos(gt/h̄)
1
0
!
− i sin(gt/h̄)
0
1
!#
| S(t)i = e−iht/h̄ [cos(gt/h̄) · | 1i − i sin(gt/h̄) · | 2i ]
50
!
Die Wahrscheinlichkeit bei der Zeit t ein Elektron-Neutrino zu beobachten (d.h.,
das Teilchen im Zustand | 1i zu finden) ist
|e−iht/h̄ cos(gt/h̄)|2 = cos2 (gt/h̄) .
Überprüfen wir die Lösung:
für t = 0 wir bekommen | S(0)i = | 1i .
Wird die Schr.Gl. befridiegt? Linke Seite:
d
ih
| S(t)i = − e−iht/h̄
dt
h̄
cos(gt/h̄)
−i sin(gt/h̄)
"
d
ih̄ | S(t)i = e−iht/h̄ h
dt
!
−iht/h̄ g
+e
cos(gt/h̄)
−i sin(gt/h̄)
d
ih̄ | S(t)i = e−iht/h̄
dt
!
h̄
− sin(gt/h̄)
−i cos(gt/h̄)
−i sin(gt/h̄)
cos(gt/h̄)
+g
h cos(gt/h̄) − ig sin(gt/h̄)
g cos(gt/h̄) − ih sin(gt/h̄)
!
!#
!
Rechte Seite:
−iht/h̄
H | S(t)i = e
h g
g h
!
cos(gt/h̄)
−i sin(gt/h̄)
!
= ih̄
d
| S(t)i
dt
q.e.d.
Bsp. Erwartungswert der Energie:
hHi = hS|H|Si
−iht/h̄
H | Si = e
hHi =
h g
g h
!
cos(gt/h̄)
−i sin(gt/h̄)
cos(gt/h̄) i sin(gt/h̄)
!
−iht/h̄
=e
h cos(gt/h̄) − ig sin(gt/h̄)
g cos(gt/h̄) − ih sin(gt/h̄)
h cos(gt/h̄) − ig sin(gt/h̄)
g cos(gt/h̄) − ih sin(gt/h̄)
!
=h
Energie ist erhalten.
Bsp. Wir führen die Observable
A=
1 0
0 −1
!
ein. Die hat Eigenvektoren | 1i , | 2i ; die entsprechenden Eigenwerte sind 1, −1. Die
erlaubten Messwerte ±1 entsprechen Elektron- und Myon-Neutrino.
51
!
Erwartungswert:
−iht/h̄
A | Si = e
hAi =
1 0
0 −1
!
hAi = hS|A|Si
cos(gt/h̄) i sin(gt/h̄)
cos(gt/h̄)
−i sin(gt/h̄)
!
cos(gt/h̄)
i sin(gt/h̄)
=e
!
hAi = 1 − 2 sin2 (gt/h̄)
52
−iht/h̄
cos(gt/h̄)
i sin(gt/h̄)
!
= cos2 (gt/h̄) − sin2 (gt/h̄)