Eigenschaften von Graphen - Technische Universität München

WS 2009/10
Diskrete Strukturen
Prof. Dr. J. Esparza
Lehrstuhl für Grundlagen der
Softwarezuverlässigkeit und theoretische
Informatik
Fakultät für Informatik
Technische Universität München
http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910
Kapitel IV – Graphentheorie
• Graphentheorie
– Grundlagen
– Bäume
– Eigenschaften von Graphen
– Graphen-Algorithmen
– Matchings
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Kapitel IV – Graphentheorie
• Eigenschaften von Graphen
– Euler-Touren
– Hamilton-Kreise
– Planare Graphen
– Knotenfärbungen
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Kapitel IV – Graphen; Eigenschaften
• Das Königsberger Brückenproblem (Leonhard
Euler (1707-1783))
– Können wir so durch die Stadt laufen, dass wir jede
Brücke genau einmal überqueren, und wir wieder
an den Ausgangspunkt zurückkehren?
A
D
B
4
C
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Äquivalenter Multigraph
Kapitel IV – Graphen; Eigenschaften
• Eulersche Touren
Definition
Eine Euler-Tour in einem Graphen G = (V,E) ist
ein Weg, der jede Kante e E genau einmal
enthält und dessen Anfangs- und Endknoten
identisch sind.
Ein Graph, der eine Euler-Tour hat, heisst
eulersch.
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Kapitel IV – Graphen; Eigenschaften
• Der Satz von Euler
Satz:
Ein zusammenhängender Graph besitzt genau
dann eine Euler-Tour, wenn alle Knoten des
Graphen geraden Grad haben.
Beweis:
()): Man geht in jeden Knoten genauso oft hinein wie
man aus ihm hinausgeht.
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Kapitel IV – Graphen; Eigenschaften
• (():
Annahme: zusammenhängender Graph G=(V,E), alle
Knoten haben geraden Grad.
Beweis durch Induktion über |E|.
Basis: |E|=0. Dann |V|={v} und die Sequenz (v) ist eine
Euler-Tour.
Schritt: |E|> 0. Ausgehend von einen beliebigen Knoten
v, wähle einen maximalen Weg W von Kanten, der jede
Kante höchstens einmal besucht.
W endet wieder in v (sonst gibt es immer eine
unbesuchte Kante, mit der der Weg verlängert werden
kann).
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Kapitel IV – Graphen; Eigenschaften
• (():
Entferne von G alle Kanten von W. Die Knoten des
entstehenden Graphen G´ haben immer noch geraden
Grad (man geht in jeden Knoten genauso oft hinein wie
man aus ihm hinausgeht).
Aus der Induktionsannahme folgt: jede
zusammenhängende Komponente von G´ hat eine EulerTour.
Wir bilden eine Euler-Tour von G wie folgt: wenn W zum
ersten Mal eine Komponente besucht, dann fügen wir
W eine Euler-Tour der Komponente hinzu.
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Kapitel IV – Graphen; Eigenschaften
Beispiel:
a
f
b
e
c
d
W = (a,b,e,f,a)
Komponenten von G´: G´1=({a},;), G´2=({b,c,d,e,f},E2)
Euler-Tour von G´1 und G´2: (a) und (b,c,d,e,c,f,b)
Euler-Tour von G = (a,b,c,d,e,c,f,b,e,f,a);
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Kapitel IV – Graphen; Eigenschaften
• Hamiltonkreise
Definition:
Ein Hamiltonkreis in einem Graphen ist ein
Kreis, der alle Knoten genau einmal enthält.
Ein Graph heißt hamiltonsch, wenn er einen
Hamiltonkreis enthält.
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Kapitel IV – Graphen; Eigenschaften
• Hamiltonkreise und Hamiltonwege
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Kapitel IV – Graphen; Eigenschaften
• Hamiltonsch vs. eulersch
hamiltonsch
hamiltonsch
eulersch
eulersch
eulersch
hamiltonsch
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hamiltonsch
eulersch
Kapitel IV – Graphen; Eigenschaften
• Hamiltonkreis in einem Dodekaeder
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Kapitel IV – Graphen; Eigenschaften
• Hamiltonkreise
Das Problem des Rösselsprunges auf dem
Schachbrett:
– Hierbei handelt es sich um das Problem, mit einem
Springer alle Felder eines Schachbretts genau
einmal zu erreichen und wieder zum Ausgangsfeld
zurückzukehren.
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Kapitel IV – Graphen; Eigenschaften
• Hamiltonkreise
Das Problem des Rösselsprunges auf dem
Schachbrett:
– Der Rösselsprunggraph R(8) wird wie folgt definiert:
Jedem der 8 × 8 = 64 Felder lässt man eine Ecke von
R(8) entsprechen und verbindet zwei Ecken durch
eine Kante genau dann, wenn zwischen den
entsprechenden Feldern ein Springerzug möglich
ist. Das Rösselsprungproblem zu lösen ist
äquivalent dazu, in R(8) einen Hamiltonkreis zu
finden.
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• Hamiltonkreise
Das Problem des Rösselsprunges auf dem
Schachbrett – eine von Euler gefundene
Lösung.
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Kapitel IV – Graphen; Eigenschaften
• Hamiltonkreise
Die Aufgabe, einen Hamiltonkreis zu finden, ist
wesentlich schwerer als eine Euler-Tour zu
finden; es ist ein NP-vollständiges Problem.
Das systematisches Ausprobieren aller
Möglichkeiten ist für eine große Anzahl von
Knoten nicht möglich, da es O(n!)
Möglichkeiten gibt.
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Kapitel IV – Graphen; Eigenschaften
• Einschub: NP-vollständige Probleme
– NP-vollständige Probleme sind eine Klasse von
Entscheidungsproblemen. Definition im 4.
Semester, hier nur einige Informationen.
– Die worst-case Laufzeit eines Algorithmus A ist die
Funktion f: N ! N mit
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f(n)= maximale Laufzeit von A für Eingaben der
Länge n
– A hat polynomieller Laufzeit (oder ist polynomiell)
wenn es eine Zahl k gibt, so dass f(n) 2 O(nk).
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• NP-vollständige Probleme
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– Für NP-vollständige Probleme sind keine polynomielle
Algorithmen bekannt.
– Wenn es einen polynomiellen Algorithmus für ein NPvollständiges Problem gibt, dann gibt es polynomielle
Algorithmen für alle NP-vollständige Probleme.
– Mehrere tausend Probleme aus allen Bereichen der
Informatik sind als NP-vollständige Probleme
identifiziert worden. Wir kennen schon zwei: das
Erfüllbarkeitsproblem der Aussagenlogik und das
Problem des hamiltonschen Kreises.
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Kapitel IV – Graphen; Eigenschaften
• Hamiltonsche Graphen
Wir geben einige notwendige oder
hinreichende Bedingungen für die Existenz
eines Hamiltonkreises an.
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Kapitel IV – Graphen; Eigenschaften
• Hamiltonsche Graphen
Satz:
Löscht man in einem Graphen G n Knoten,
sowie alle Kanten, die zu diesen Knoten
inzident sind, und erhält auf diese Weise
mindestens n+1 zusammenhangslose
zusammenhängende Teilgraphen, so war der
ursprüngliche Graph G nicht hamiltonsch.
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Kapitel IV – Graphen; Eigenschaften
• Hamiltonsche Graphen
Beispiel:
b
f
d
e
b
b
d
d
c
e
c
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e
Kapitel IV – Graphen; Eigenschaften
• Hamiltonsche Graphen
Satz (Kriterium von Dirac):
Sei G ein zusammenhängender einfacher Graph
mit n Knoten (n ≥ 3). Wenn in dem Graphen
jeder Knoten mindestens den Grad n/2 hat, so
b
hat G einen Hamiltonkreis. f
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f
b
e
c
c
e
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c
Kapitel IV – Graphen; Eigenschaften
• Hamiltonsche Graphen
Satz (Krierium von Ore):
Sei G ein zusammenhängender einfacher Graph
mit n Knoten. Wenn die Summe der Grade
zweier nicht-adjazenter Knoten mindestens n
b
ist, so enthält G einen f
Hamiltonkreis.
c
e
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c
Kapitel IV – Graphen; Eigenschaften
• Planare Graphen
planar
K3
K2,3
nicht planar
K5
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K3,3
Kapitel IV – Graphen; Eigenschaften
• Planare Graphen
nicht planar
K5
K3,3
Da K5 und K3,3 nicht planaren Graphen sind, ist
jeder Graph, der sie als Teilgraphen hat oder
dadurch ensteht, dass Kanten des K5 oder K3,3
durch Pfade ersetzt werden, auch wieder nicht
planar.
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Kapitel IV – Graphen; Eigenschaften
• Planare Graphen
Satz (Kuratowski):
Ein Graph G ist genau dann planar, wenn er
weder eine Unterteilung des K5 noch des K3,3 als
Teilgraphen enthält.
Unterteilung: Eine Ersetzung von Kanten durch
beliebige Pfade.
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• Planare Graphen
Satz (Eulersche Polyederformel):
Sei G = (V,E) ein zusammenhängender ebener
Graph. Dann gilt:
|R| := #Gebiete = |E| - |V| + 2.
Die Gebiete sind die zusammenhängenden Teile
der Ebene, die durch das Zerschneiden der
Ebene entlang der Kanten entstehen. Das
äussere Gebiet zählt man mit.
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• Planare Graphen
Aus der Eulerschen Polyederformel folgt, dass
in jeder planaren Darstellung eines Graphen die
Anzahl der Gebiete gleich bleibt.
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• Planare Graphen
Beweis (Eulersche Polyederformel):
Da G zusammenhängend, gilt |E| |V| - 1.
Durch Induktion über n=|E|-|V|+1.
Induktionsanfang: n=0. Mit |E| = |V| - 1 ist G ein
Baum. Da Bäume keine Kreise enhalten, gilt|R|=1. Es
folgt R = 1 = |E| - |V| + 2.
Induktionsannahme: für Graphen mit|E| -|V| +1 = n
gilt die EPf.
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Kapitel IV – Graphen; Eigenschaften
• Planare Graphen
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Beweis (Eulersche Polyederformel):
Induktionsschritt: Sei G mit |E| -|V| + 1 = n + 1.
Dann ist G kein Baum und muss (da zusammenhängend)
einen Kreis enthalten, der zwei Gebiete voneinander
trennt.
Wenn wir eine Kante aus dem Kreis löschen, dann
verschmelzen wir zwei Gebiete und reduzieren die Anzahl
der Gebiete um 1.
Für den entstehenden Graph gilt nach Induktionsannahme
die Polyederformel, und somit auch für den Graphen G. □
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Kapitel IV – Graphen; Eigenschaften
• Planare Graphen
Korollar:
Für jeden planaren Graphen G = (V,E) mit
|V| 3 Knoten gilt:
|E| 3|V| - 6
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Kapitel IV – Graphen; Eigenschaften
• Planare Graphen
Beweis:
Da jedes Gebiet einer Einbettung durch
mindestens 3 Kanten begrenzt ist und jede
Kante höchstens 2 Gebiete begrenzt, gilt
3|R| 2|E|.
Mit der Eulerformel ergibt sich
2/3|E| |R| = |E| - |V| + 2.
Hieraus folgt: 1/3|E| |V| - 2.
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□
Kapitel IV – Graphen; Eigenschaften
• Färbung von Graphen
Frage:
Wie können wir die Zeiten für die Klausuren im
Grundstudium Informatik so ansetzen, dass
kein Student zwei Klausuren zur selben Zeit
hat?
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Kapitel IV – Graphen; Eigenschaften
• Färbung von Graphen
Annahme:
Es gibt 7 Klausuren 1,…,7.
Kein Studierende schreibt mehr als zwei
Klausuren. Die folgenden Paaren von Klausuren
werden von einigen Studierenden geschrieben:
(1,2);(1,3);(1,4);(1,7);(2,3);(2,4);(2,5);(2,7);
(3,4);(3,6);(3,7);(4,5);(4,6);(5,7);(6,7)
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Kapitel IV – Graphen; Eigenschaften
• Färbung von Graphen
Der folgende Graph repräsentiert diesen
Sachverhalt:
Eine Planung muss berücksichtigen,
dass keine über eine Kante
verbundenen Prüfungen zur selben
Zeit stattfinden.
1
2
7
3
6
36
5
4
Dies entspricht einer Färbung der
Knoten (Knotenfärbung), wobei die
Farben den Prüfungszeiten
entsprechen und adjazente Knoten
nicht die gleiche Farbe haben
dürfen.
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Kapitel IV – Graphen; Eigenschaften
• Färbung von Graphen
Bei 4 möglichen Zeiten (rot, blau, grün, gelb)
ergibt sich folgende Färbung:
1
3
6
37
Gibt es Färbungen mit
weniger als 4 Farben?
2
7
5
4
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Kapitel IV – Graphen; Eigenschaften
• Färbung von Graphen
Frage:
Eine Anzahl von Fernsehprogrammen werden
von Stationen in Deutschland ausgestrahlt.
Wie müssen die Übertragungskanäle
zugeordnet werden, damit keine 2 Stationen,
die maximal 200 km voneinander entfernt sind,
über den gleichen Kanal senden?
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Kapitel IV – Graphen; Eigenschaften
• Färbung von Graphen
Reduktion auf ein Färbungsproblem:
Konstruiere einen Graph, in dem die Stationen
als Knoten repräsentiert sind.
Verbinde zwei Knoten, wenn sie maximal 200
km voneinander entfernt sind.
Die gewünschte Zuordnung entspricht einer
Knotenfärbung, wobei jede Farbe einem Kanal
entspricht.
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Kapitel IV – Graphen; Eigenschaften
• Färbung von Graphen
Das klassische Graphfärbungsproblem ist das
Färben von Landkarten, bei dem benachbarte
Länder unterschiedliche Farben bekommen
sollen.
Hierbei interessiert, welches die kleinste Anzahl
von unterschiedlichen Farben ist, die hierfür
benötigt werden.
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Kapitel IV – Graphen; Eigenschaften
• Färbung von Graphen
– Man nimmt hierbei an, dass das Gebiet eines
Landes zusammenhängend ist und Länder, die nur
an einem Punkt zusammenstossen gleich gefärbt
werden dürfen.
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Kapitel IV – Graphen; Eigenschaften
• Färbung von Graphen
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Kapitel IV – Graphen; Eigenschaften
• Färbung von Graphen
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Kapitel IV – Graphen; Eigenschaften
• Färbung von Graphen
Definition:
Eine Knotenfärbung (vertex colouring) eines
Graphen G = (V,E) mit k Farben ist eine
Abbildung c: V [k], so dass gilt:
c(u) c(v) für alle Kanten {u,v} E.
Die chromatische Zahl (chromatic number) (G)
von G ist die minimale Anzahl Farben, die für
eine Knotenfärbung von G benötigt werden.
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Kapitel IV – Graphen; Eigenschaften
• Färbung von Graphen
Beispiele:
– Ein vollständiger Graph mit n Knoten hat
chromatische Zahl n.
45
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Kapitel IV – Graphen; Eigenschaften
• Färbung von Graphen
Beispiele:
– Ein Kreis gerader Länge hat chromatische Zahl 2.
– Ein Kreis ungerader Länge hat chromatische Zahl 3.
46
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Kapitel IV – Graphen; Eigenschaften
• Färbung von Graphen
Beispiele:
– Bäume mit 2 Knoten
haben
chromatische Zahl 2.
o
n
h
d
m
b
a
e
r
c
g
q
i
f
47
p
j
k
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l
Kapitel IV – Graphen; Eigenschaften
• Färbung von Graphen
Bipartite Graphen haben chromatische Zahl 2.
Ausnahme: Graph ohne Kanten!
Satz (Vierfarbensatz):
Für jeden planaren Graphen G ist (G)
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4.
Kapitel IV – Graphen; Eigenschaften
• Algorithmen zur Färbung von Graphen
Problem 1: Gegeben ein Graph G, finde eine
Färbung mit möglichst wenigen Farben (d.h., mit
(G) Farben).
(Das ist kein Entscheidungsproblem)
Problem 2: Gegeben ein Graph G und eine Zahl
k, entscheide, ob G mit k Farben gefärbt werden
kann (d.h., ob (G) · k)
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Kapitel IV – Graphen; Eigenschaften
• Algorithmen zur Färbung von Graphen
Problem 2 ist NP-vollständig, sogar für k=3.
Für Problem 1 ist auch kein polynomieller
Algorithmus bekannt (sonst gebe es auch einen
polynomiellen Algorithmus für Problem 2).
In den nächsten Folien:
– Greedy-Verfahren, eine Technik, um eine “vernünftige”
Färbung mit wenig Aufwand zu finden.
– Backtracking, eine (aufwendige) Technik, um Problem 2
zu lösen.
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Kapitel IV – Graphen; Eigenschaften
• Greedy-Färbung
Der folgende Algorithmus berechnet eine Färbung:
– Besuche die Knoten des Graphen in beliebiger
Reihenfolge und ordne ihnen die jeweils kleinste Farbe
zu, die noch nicht für einen der direkten Nachbarn
gewählt wurde.
Der Algorithmus ist “gierig”: er optimiert stets den
nächsten Schritt (was am Ende zu einer suboptimalen
Färbung führen kann). Daher heißt er Greedy-Färbung im
Sinne einer gierigen Suche.
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Kapitel IV – Graphen; Eigenschaften
• Greedy-Färbung
Eingabe: Graph G = (V,E), wobei V = {v1,…,vn}.
Ausgabe: Färbung c[V]
c[v1]
1;
For i from 2 to n do
c[vi]
min{k
ℕ | k c(u) für alle u
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(vi)
{v1,…,vi-1};
Kapitel IV – Graphen; Eigenschaften
• Greedy-Färbung
Beispiel:
Der Graph kann mit 3 Farben gefärbt werden. Bei
ungünstiger Reihenfolge braucht das GreedyVerfahren jedoch 4 Farben.
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Kapitel IV – Graphen; Eigenschaften
• Analyse der Greedy-Färbung
– Ist (G) der maximale Grad der in G vorkommenden
Knoten, dann gilt für die Anzahl der vom GreedyAlgorithmus berechneten Farben C(G):
(G) C(G)
(G) + 1.
– Die Anzahl der berechneten Farben hängt von der
Reihenfolge der besuchten Knoten ab. Es gibt
mindestens eine Reihenfolge, die zu einer optimalen
Färbung führt (warum?)
– Der Algoritmus braucht O(n) Zeit für Graphen mit n
Knoten und Kanten.
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• Backtracking
55
Wie kann eine k-Färbung berechnet werden, wenn es
eine gibt?
– Benutze ein Farbverfahren (z.B. das GreedyVerfahren) bis es die Farbe k+1 verwenden will.
– In diesem Fall mach alle Schritte rückgängig, bis zu
dem zuletzt gefärbten Knoten, für den noch andere
Farben zur Verfügung stehen. Ersetzte seine aktuelle
Farbe durch die nächst niedrigste.
– Ausgehend von dieser neuen Situation mach mit
dem Farbverfahren weiter.
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• Backtracking-Algorithmus Beispiel (4 Farben):
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• Backtracking-Algorithmus Beispiel (4 Farben):
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• Backtracking-Algorithmus Beispiel (4 Farben):
58
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• Backtracking-Algorithmus Beispiel (4 Farben):
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• Backtracking-Algorithmus Beispiel (4 Farben):
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• Backtracking-Algorithmus Beispiel (4 Farben):
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• Backtracking-Algorithmus Beispiel (4 Farben):
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Kapitel IV – Graphen; Eigenschaften
• Analyse des Backtracking-Verfahrens
– Terminiert immer.
– Liefert eine k-Färbung, falls es eine gibt.
– Untersucht im schlimmsten Fall sämtliche
Möglichkeiten.
– Der schlimmste Fall trifft immer, wenn es kene kFärbung gibt.
– Der Algoritmus läuft nicht in polynomieller Zeit.
(Braucht £(2n) Zeit für Kreise mit n Knoten, n
ungerade, und 2 Farben).
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