Studentisches Skriptum zu diesem Teil

4.2 Potentialtopf
Gruppe Neumann:
Sebastian Guttenbrunner
Dario Knebl
Maria Kortschak
Cornelia Reinharter
Peter Schantl
Gerald Schwarzbauer
Ein rechteckiger, eindimensionaler Potentialtopf ist ein einfaches Modell, das als Näherung bei
kurzreichweitige, anziehende Kräfte verwendet werden kann. Zum Beispiel bei der Wirkung von
Störstellen auf Elektronen in Festkörpern.
Ausgegangen wird hier von der eindimensionalen, stationären Schrödingergleichung:
2
2
−ћ d
 x V  x   x =E  x  V...Potential, E...Energieeigenwert
2m dx 2
2
H =E  , H =
2
−ћ d
V  x  H...Hamiltonoperator
2m dx 2
Zuerst zwei Forderungen für die zu lösende Wellenfunktion φ(x):
1. φ(x) sei überall endlich.
2. φ(x) sei überall stetig.
Um die Schrödingergleichung bei stückweise konstante Potentiale systematisch zu lösen ist
folgende Fallunterscheidung sinnvoll:
a) Der klassisch erlaubte Fall (E>V)
b) Der klassisch verbotene Fall (E<V)
c) Klassische Umkehrpunkte (E=V)
ad a)
E
−ℏ 2 d 2
V = E  , E V
2m dx 2
ℏ2 d 2
ℏ2 2
=−
E−V

,
Substitution
:
E
−V
≡
q
2m dx 2
2m
Gruppe Neumann
V
1
d2
2m
⇒ 2 =−q 2  , q=
 E −V 
2
dx
ℏ

Ansatz :  x = Ae bx ⇒ b 2=−q 2 ⇒ b=±iq
 ∈ { e iqx , e −iqx } oder die reelle Variante  ∈ {sin qx  , cos qx }
iqx
  x = Ae  Be
−iqx
Beim klassisch erlaubtem Fall hat die Wellenfunktion ein oszillierendes Verhalten.
Nebenbemerkung: ein freies Teilchen (V=0 für alle x) hat keine normierbare Wellenfunktion.
ad b)
V
−ℏ2 d 2
V =E  , EV
2m dx 2
E
ℏ2 d 2
ℏ2 2
=V
−
E

,
Substitution
:V
−
E
≡
k
2m dx 2
2m
⇒

d2
2m
=k 2  , k =
V −E 
2
dx
ℏ2
Ansatz :  x = Ae bx ⇒ b 2=k 2 ⇒ b=±q
kx
−kx
 ∈ {e , e
} oder  ∈ { sinh qx , cosh qx }
kx
  x = Ae  Be
−kx
Dabei muss beachtet werden, dass bei x  ∞ der e kx Term verschwinden muss und bei
x −∞ der e−kx Term verschwinden muss.
ad c)
2
2
−ℏ d
V =E  , E=V
2m dx 2

d2
=0
dx 2
Dies ist die Bedingung für einen Wendepunkt.
Gruppe Neumann
2
Zusatz:
Parität (Bezeichnet eine Symmetrieeigenschaft)
x − x ...Raumspiegelung
P | x >=|− x > P...Paritätsoperator
Quadrierung der Gleichung führt zu P 2 | x >=P |−x >=| x > .
Daraus folgt die Eigenwertgleichung P 2 | x >=| x >
P=|+><+|−|−><−| Da der Operator schon in „Diagonalstellung“ gegeben ist sind die
Eigenwerte sofort ablesbar. Die Eigenwerte lauten also ±1 .
P |>=|> ,
P |−>=−|−> ,
|> ist der Eigenzustand zum Eigenwert +1 von P
|−> ist ein Eigenzustand zum Eigenwert -1 von P
Aus dem |> Ket folgt eine symmetrische Wellenfunktion  x =−x  und aus dem
|−> Ket eine schiefsymmetrische (antisymmetrische) Wellenfunktion  x =−−x  .
Somit lässt sich jede Lösung eines Potentialtopfes in eine symmetrische und schiefsymmetrische
Lösung zerlegen.
Gruppe Neumann
3
Beispiel 1)
V  x =0 für 0  x  L und
V  x =∞ sonst
Unter einem unendlich hohen
Potentialtopf kann man das Innere
eines Kastens verstehen, das für die
Begrenzung eines Teilchens sorgt.
Dieses System ist durch seine
besondere Einfachheit ausgezeichnet,
dennoch erkennt man darin bereits die
typische Eigenwertgleichung des
Hamiltonoperators. Dieses Beispiel
beschreibt den eindimensionalen Fall,
der sich leicht auf mehrere
Dimensionen verallgemeinern lässt.
(siehe Kapitel 4.6)
∞
∞
x
x=0
x=L
Bild 1.1: unendlicher Potentialtopf
Aufgrund der unendlich hohen Potentialbarriere muss die Wellenfunktion
 x≤0= x≥L=0 sein. Im Bereich wo V = 0 ist verwendet man die Lösung für ein freies
Teilchen. Allerdings sind die Randbedingungen zu berücksichtigen.
 x = A⋅sin q⋅x B⋅cos q⋅x 
Die Randbedingungen sind φ(0) = 0 und φ(L) = 0
 0=B=0 und  L= A⋅sin L=0
Da man auf eine Lösung interessiert ist wo A ungleich 0 ist muss das Argument vom Sinus ein
Vielfaches von π sein.
 qL=n  , mit n∈ℕ
Durch umformen erhält man q n=
n
L
So erhält man die noch nicht normierten Wellenfunktionen:
n 0 x L= A sin
n
x  , mit n∈ℕ und A∈ℂ
L
Achtung! bei n=0 ist φ=0, das heißt es befindet sich kein Teilchen im Potentialtopf! Deswegen

lautet die Wellenfunktion im Grundzustand (bei n=1) 1 0x L= A sin  x  .
L
Aus den quantisierten Wellenfunktionen ergeben sich rücksubstituiert die quantisierten
Energieniveaus, die die Eigenwerte des Hamiltonoperators sind.
E n=
ℏ 2 2 ℏ2 n 
q n=
2m
2m L
Gruppe Neumann
4
Normierung:
!
∥∥=∫ dx∣ x ∣2=1
ℝ
L
2
n
n
∣A∣ ∫ dx sin
x  =∣A∣2 ∫ du sin u2
L
0
0
2
Dabei wurde wie folgt substituiert
n
n
n
u=
x ,  du=
dx , für die Grenzen x= L  u=
L=n und x=0  u=0
L
L
L
Nebenrechnung (partielle Integration):
∫ du sin u2=−sin u cos u∫ du cos u2=−sinu cos u∫ du 1−sinu2
∫ du sin u2=−sin u cos u∫ du−∫ dusin u2
2∫ du sinu2=−sinu cos u∫ du
1
∫ du sin u2=− 2 [sin ucos u −u]  const
2
Somit ist ∥∥=∣ A∣
n
L
2 L
[u−sinu cosu] | =∣A∣
n =1
2n 
2n 
0
Umgeformt ergibt sich

2
A=  
L
Die normierte Lösung lautet nun wie folgt:

2
n
n 0 x L=   sin
x  , mit n∈ℕ
L
L
Bild 1.2: Graphen der Wellenfunktionen φn mit L=2 und n=1,2,3,4,5
Gruppe Neumann
5
Damit wurde das Eigenwertproblem H =E  für den Hamiltonoperator gelöst. Es gibt für
jeden Eigenwert genau eine Eigenfunktion.
Die Eigenschwingung einer Seite oder eine stehende elektromagnetische Welle im Hohlraum sind
mit dem Problem des unendlichen Potentialtopfs eng verwandt.
Allgemeine Eigenschaften der Lösung:
Die Lösung des unendlichen Potentialtopfs beschreibt bereits wesentlich quantenmechanische
Eigenschaften, die bei realistischen Problemen auftreten (z.B.: Elektronen im Atom).
Wichtig ist das lokalisierte Lösungen immer zu diskreten Eigenwerten gehören. Dagegen kann
jedoch ein klassisches Teilchen eine beliebige Energie haben, selbst wenn es durch ein Potential auf
einen endlichen Raum begrenzt ist. Wenn eine Lösung lokalisierbar ist wird sie auch als gebundene
Lösung bezeichnet. Zu den nicht-lokalisierbaren oder nicht-gebundenen Lösungen der
Quantenmechanik gehören die kontinuierlichen Energiewerte.
Die diskreten Lösungen werden durch die sogenannten Quantenzahlen n=1,2,3,... spezifiziert.
Der niedrigste Zustand, auch Grundzustand genannt, hat eine endliche kinetische Energie
(Nullpunktsenergie), die aus der Unschärferelation folgt. Wenn die Energie zunimmt wächst auch
die Anzahl der Knoten der Wellenfunktion (siehe Bild 1.1 bzw. 1.2).
Bild 1.2: Graphen der Wellenfunktionen φn mit L=2
und n=1,2,3,4,5; „Energieniveaudarstellung“
Gruppe Neumann
6
Beispiel 2)
V0
V0
I
III
II
V=0
E
x
x=-a
x=a
Bild 2.1: endlicher Potentialtopf
V  x =V 0 für xa
V  x =0 für−ax a
V  x =V 0 für a≤ x
Bei diesem Beispiel handelt es sich um einen endlichen Potentialtopf bei dem die Eigenschaft der
Symmetrie ausgenutzt wird, wodurch sich das Problem vereinfacht, weil es dann nur symmetrische
und antisymmetrische Lösungen gibt (Parität).
So wird dabei die Dimension des zu lösenden linearen Gleichungssystem von 4 auf 2 reduziert.
Zuerst der allgemeine Ansatz:
−kx
kx
I) 1  x−a= A1 e B1 e
,k=

2m
V 0−E 
ℏ2
II)  2 −axa= A2 sin qxB2 cos qx
, q=

2m
E
ℏ2
−kx
kx
III) 3  xa= A 3 e  B 3 e
Aus der Randbedingungen x ±∞=0 folgt, dass
A 1= B 3=0 ist.
Die symmetrischen Lösungen lauten folgendermaßen:
1  x =B1 e kx
2  x = A2 sin qx B2 cos qx
 3  x = A3 e−kx
Auf Grund der Symmetrie muss
B 1= A 3 .
Gruppe Neumann
7
Anschlussbedingungen:
1 −a= 2 −a
2  a= 3 a

−ak
B1e

−ak
B1e
=− A2 sinqa B2 cos qa
= A 2 sin qaB 2 cosqa 
A2 sinqa B2 cos qa=− A2 sinqa B2 cos qa
 A2=0
Somit lauten die noch nicht normierten Wellenfunktionen
ak
1  x =B2 e cosqae
kx
2  x =B2 cos qx 
ak
−kx
 3  x =B 2 e cosaq e
Normierung:
a
−a
∞
!
∥∥=∫ dx∣∣ =∫ dx∣ 1∣ ∫ dx∣ 2∣ ∫ dx∣ 3∣2==1
2
ℝ
−a
2
−∞
2
a
−a
a
∫ dx∣1∣2= ,
∫ dx∣2∣2= ,
−∞
−a
∞
∫ dx∣3∣2=
a
Aufgrund der Symmetrie ist = .
Durch Integration und Umformen nach B2 ergibt sich:
cos 2 qa −12
1
∣B 2∣=+ ( a sin qa cos qa
)
q
k
Bild 2.2: Graph der Wellenfunktion der symmetrischen Lösung für a=2π, k=1, q=1
Gruppe Neumann
8
Die antisymmetrischen Lösungen lauten folgendermaßen:
1  x =B1 e
kx
2  x = A2 sin qx B2 cos qx
 3  x = A3 e−kx
Auf Grund der Antisymmetrie muss
B1=−A3 sein.
Anschlussbedingungen:
1 −a =2 −a
 2 a= 3 a 

−A3 e−ak =−A2 sin qa B 2 cos qa 

−ak
A3 e
=A2 sin qaB 2 cos qa
A2 sinqa −B2 cos qa= A 2 sin qaB 2 cos qa 
 B 2=0
ak
A3= A2 e sin qa
Somit lauten die noch nicht normierten Wellenfunktionen
ak
1  x=−A2 e sin qa e
kx
 2  x = A2 sin qx
3  x= A2 e ak sin qa e−kx
Normierung:
a
−a
∞
!
∥∥=∫ dx∣∣ =∫ dx∣ 1∣ ∫ dx∣ 2∣ ∫ dx∣ 3∣2=' ''=1
2
ℝ
2
−∞
a
−a
a
−a
2
∞
∫ dx∣1∣ = ' , ∫ dx∣2∣ = ' , ∫ dx∣3∣2= '
2
−∞
2
−a
, Auch hier gilt  '='
a
Durch Integration und Umformen nach A2 ergibt sich:
sin2 qa  −12
1
∣A2∣=+ ( a− sinqa cos qa 
)
q
k
Gruppe Neumann
9
Bild 2.3: Graph der Wellenfunktion der schiefsymmetrischen Lösung für a=3π/2, k=1, q=1
Gruppe Neumann
10
Beispiel 3)
∞
V0
E
I
II
V=0
x=0
x
x=L
Bild 3.1: Potentialtopf mit Stufenfunktion
V  x =∞ für x 0
V  x =0 für 0x L
V  x =V 0 für x≥ L
Allgemeiner Ansatz:

2m
I) 1 0 x L= A1 sin q x B1 cosq x  , q= 2 E
ℏ
II) 2  x ≥L= A2 ek x B2 e−k x , k =

2m
V 0 −E 
ℏ2
Randbedingung: 1 0=0  B 1=0
2  x ∞=0  A2=0
Anschlussbedingung: 1  L= 2  L
−k L
A1 sinqL=B 2 e
B2= A 1 sin qLe k L
Die noch nicht normierte Lösung lautet:
1 0x L= A1 sin q x 
k L −k x
−k  x− L
2  x≥L =A 1 sin q L e e = A1 sinq Le
Gruppe Neumann
11
Normierung:
L
∞
∥∥=∫ ∥∥ =∫∥ 1∥2∫ ∥2∥2
2
0
L
Zuerst das Integral von 0 bis L:
L
∣A1∣ ∫ sin2 q x  dx = , Substitution:
2
0
qL
1
∣A1∣
q
∫ du sin 2 u=∣A1∣2 1q
2
0
u=q⋅x
du=q⋅dx
qL
1
11
[ u−sinu cos u ] | =∣A1∣2
q L−sin q Lcos  q L
2
q2
0
Das Integral von L bis ∞:
∞
−1 ∞
∣A1∣2 sin2 q L∫ dx e −2 k  x −L=e−2 k  x− L   | = , ≡∣ A1∣2 sin2 q L
2k L
L
−2 k L− L
0− e
−1 
 =
2k
2k
Einsetzen der beiden Integrale:
L
∞
0
L
sin2  q L
∫∥1∥2 ∫∥2∥2=∣A 1∣2  12 q q L−sin q L cos q L2 k
2≡
=1
2
1
sin q L
q L−sinq Lcos q L
2q
2 k 
∣A1∣2=
1
1
 A1 =
2


Bild 3.2: Wellenfunktion zu Beispiel 3
2
2
ad Bild2: L= , E= ℏ  q=1, V 0= ℏ ,  k =1
2
2m
m
 2
 1
2
1 0x  =
sin x 
=
  A 1=
2
4 2
2
2

Gruppe Neumann

2  x≥
− x− 
 2
2
=
e
2
2
12
Quellenangabe:
Mitschrift der Vorlesung „Quantenmechanik“ bei Univ.-Prof. Dr.phil Christian B. Lang
Thorsten Fließbach „Quantenmechanik“ ISBN 3-411-14971-X
Wolfgang Nolting „Grundkurs Theoretische Physik 5/1“ ISBN 3-540-40071-0
Gruppe Neumann
13