Zufallsvariable in separablen Banach- und Hilbert

5.1. Messbarkeitsstruktur, Zufallsvariable
5.2 Erwartungswert
Zufallsvariable in separablen Banach- und
Hilbert-Räumen
Hans-Jörg Starkloff
TU Bergakademie Freiberg
Westsächsische Hochschule Zwickau
Januar 2011
Hans-Jörg Starkloff
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5.1. Messbarkeitsstruktur, Zufallsvariable
5.2 Erwartungswert
1. Behauptung
Geg.
X
B(X )
X∗
separabler Banach- oder Hilbert-Raum;
σ−Algebra der Borel-Mengen in X
topologischer Dualraum zu X
Dann gelten
I
B(X ) = σ( offene Kugelumgebungen in X );
I
B(X ) = σ( abzählbare Basis der Topologie von X );
(u.a. beliebige Basis der Topologie aus Kugelumgebungen)
I
B(X ) = σ(X ∗ );
I
B(X ) = σ( abzählbare totale Teilmenge M von X ∗ );
(d.h. l(x) = hl, xi = 0 ∀ l ∈ M ⇒ x = 0)
I
(X , B(X )) ist ein messbarer linearer Raum.
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5.1. Messbarkeitsstruktur, Zufallsvariable
5.2 Erwartungswert
2. Folgerung
Geg.
X
B(X )
X∗
(Ω, A, P)
separabler Banach- oder Hilbert-Raum über K;
σ−Algebra der Borel-Mengen in X
topologischer Dualraum zu X
Wahrscheinlichkeitsraum
Dann sind die folgenden Bedingungen für ξ : Ω → X äquivalent:
I
ξ ist eine Zufallsvariable in (X , B(X )), d.h.
∀ B ∈ B(X ) : ξ −1 (B) ∈ A;
I
∀ l ∈ X ∗ : l(ξ) = hl, ξi ist eine K−wertige Zufallsvariable;
I
Für eine beliebige totale Teilmenge M aus X ∗ gilt:
∀ l ∈ M : l(ξ) = hl, ξi ist eine K−wertige Zufallsvariable.
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3. Bemerkung
Geg.
I
X
separabler Banach- oder Hilbert-Raum über K;
B(X )
σ−Algebra der Borel-Mengen in X
(Ω, A, P) Wahrscheinlichkeitsraum
Einfache Zufallsvariable in (X , B(X )) können dargestellt werden
durch
N
X
ξ=
xk 1Ak
k =1
I
mit N ∈ N, xk ∈ X , Ak ∈ A, k ∈ {1, . . . , N}; die Werte xk bzw.
Mengen Ak können unterschiedlich bzw. disjunkt gewählt
werden.
Analog für elementare Zufallsvariable in (X , B(X ))
ξ=
∞
X
xk 1Ak .
k =1
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4. Behauptung
Geg.
X
B(X )
(Ω, A, P)
separabler Banach- oder Hilbert-Raum über K;
σ−Algebra der Borel-Mengen in X
Wahrscheinlichkeitsraum
Die folgenden Bedingungen sind äquivalent:
I ξ : Ω → X ist eine Zufallsvariable mit Werten in (X , B(X )).
I Es existiert eine Folge (ξn ; n ∈ N) von einfachen
Zufallsvariablen in (X , B(X )), so dass
∀ω ∈ Ω :
I
lim kξ(ω) − ξn (ω)k = 0
n→∞
monoton.
Es existiert eine Folge (ξn ; n ∈ N) von elementaren
Zufallsvariablen in (X , B(X )), so dass
∀ω ∈ Ω :
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lim kξ(ω) − ξn (ω)k = 0
n→∞
monoton und gleichmäßig.
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5.1. Messbarkeitsstruktur, Zufallsvariable
5.2 Erwartungswert
5. Bemerkung zu nichtseparablen Räumen
In nichtseparablen normierten, Banach- oder Hilbert-Räumen spielen
mindestens drei Messbarkeitsbegriffe eine Rolle:
I Borel-Messbarkeit:
Messbarkeit bezüglich der σ−Algebra der
Borel-Mengen
I schwache Messbarkeit:
Messbarkeit bezüglich der von allen
stetigen linearen Funktionalen erzeugten σ−Algebra
(zylindrische σ−Algebra)
I starke Messbarkeit:
Grenzwerte von einfachen oder
elementaren Zufallsvariablen
In solchen Räumen werden öfters auch noch andere σ−Algebren
genutzt.
Zum Beispiel gelten im Raum l ∞ mit l 1 ( (l ∞ )∗ die strengen
Inklusionen
σ(l 1 ) ( σ ((l ∞ )∗ ) ( B (l ∞ ) .
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6a. Beispiele
zur Definition von Zufallsvariablen in einem separablen Banach- und
Hilbert-Raum X :
I
einfache oder elementare Zufallsvariable
I
mit Hilfe von messbaren parametrischen Abbildungen z.B.
ψ : Rn → X (n ∈ N)
für einen Zufallsvektor η mit Werten in Rn ist dann ξ := ψ(η)
eine Zufallsvariable in X
n
X
z.B. ξ(t, ω) :=
ηk (ω)t k ist eine Zufallsvariable in C([0, 1])
k =0
oder L2 (0, 1)
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6b. Fortsetzung Beispiele
I
Ist (ek ; k ∈ N) eine Orthonormalbasis im separablen
Hilbert-Raum
X und η = (ηk ; k ∈ N) eine Zufallsfolge mit
X
|ηk (ω)|2 < ∞ für alle ω ∈ Ω, dann definiert
k ∈N
ξ(ω) :=
X
ηk (ω)ek eine Zufallsvariable in X .
k ∈N
I
Ein analoges Vorgehen ist für Banach-Räume mit Basis möglich.
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7. Bemerkung
Häufig werden Äquivalenzklassen von Zufallsvariablen in einem
separablen Banach- oder Hilbert-Raum X betrachtet, zwei
X -wertige Zufallsvariablen ξ1 und ξ2 sind dabei äquivalent, falls
P (ω ∈ Ω : ξ1 (ω) = ξ2 (ω)) = 1
gilt
(es ist {ω ∈ Ω : ξ1 (ω) = ξ2 (ω)} ∈ A).
Üblicherweise werden zu den Äquivalenzklassen auch die
Abbildungen mit Werten in X zugelassen, die nur auf einer
Teilmenge von Ω mit Maß 1 definiert sind.
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8. Bemerkung
Im Folgenden: Untersuchung von Charakteristiken von
Zufallsvariablen mit Werten in separablen Banach- oder
Hilbert-Räumen:
I
Verteilung der Zufallsvariable, in gewisser Weise die
vollständigste und umfangreichste Charakteristik (später);
I
Mittel- oder Erwartungswerte und
I
Kovarianzoperatoren
(als Entsprechungen der ersten und zweiten Momente von
Zufallsvariablen)
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1. Bemerkung
zwei mögliche Vorgehensweisen zur Definition von Erwartungswerte
für Zufallsvariablen mit Werten in einem separablen Banach-oder
Hilbert-Raum X :
I
natürliche Definition für einfache Zufallsvariable und Fortsetzung
des so definierten Operators (Bochner-Integral)
I
Betrachtung von linearen stetigen Funktionalen von
Zufallselementen als skalarwertige Zufallsgrößen mit dem
klassischen Erwartungswertbegriff (Pettis-Integral)
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2. Definition
Geg.
X
B(X )
(Ω, A, P)
separabler Banach- oder Hilbert-Raum über K
mit Norm k · kX ;
σ−Algebra der Borel-Mengen in X
Wahrscheinlichkeitsraum
I
L1 (Ω, A, P; X ) = L1 (Ω; X ) ist die Menge der Äquivalenzklassen
von X -wertigen Zufallsvariablen ξ, für die EkξkX < ∞ gilt.
( kξkX ist eine nichtnegative reellwertige Zufallsvariable. )
I
Lsimple (Ω, A, P; X ) = Lsimple (Ω; X ) bezeichnet die Menge der
Äquivalenzklassen von einfachen Zufallsvariablen.
( Jedes Element von Lsimple (Ω; X ) ist eine Teilmenge eines
Elements von L1 (Ω; X ). )
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5.2 Erwartungswert
3. Behauptung
Geg.
X
B(X )
(Ω, A, P)
I
separabler Banach- oder Hilbert-Raum über K
mit Norm k · kX ;
σ−Algebra der Borel-Mengen in X
Wahrscheinlichkeitsraum
L1 (Ω, A, P; X ) = L1 (Ω; X ) ist, ausgestattet mit der Norm
kξk1 := EkξkX ,
ein Banach-Raum.
I
Die Menge der einfachen Zufallsvariablen mit Werten in X liegt
dicht in L1 (Ω; X ).
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4. Definition
Geg.
X
B(X )
(Ω, A, P)
separabler Banach- oder Hilbert-Raum über K
mit Norm k · kX ;
σ−Algebra der Borel-Mengen in X
Wahrscheinlichkeitsraum
Für eine einfache Zufallsvariable mit Werten in X der Gestalt
N
X
ξ=
xk 1Ak mit xk ∈ X , Ak ∈ A, k = 1, . . . , N, n ∈ N, wird der
k =1
Erwartungswert oder Mittelwert von ξ definiert durch
Eξ :=
N
X
xk P(Ak ) ∈ X .
k =1
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5. Behauptung
I
I
Die Definition 4 ist korrekt.
Für beliebige einfache X -wertige Zufallsvariable ξ, ξ1 , ξ2 sowie
Skalare a gelten
I
I
I
E{a ξ} = a Eξ
E{ξ1 + ξ2 } = Eξ1 + Eξ2
kEξkX ≤ EkξkX =: kξk1 ,
d.h. E definiert einen linearen stetigen Operator von
Lsimple (Ω; X ) auf X .
I
Für beliebige einfache X -wertige Zufallsvariable ξ und für
beliebige stetige lineare Funktionale l : X → K gilt
l(Eξ) = hl, Eξi = Ehl, ξi = E{l(ξ)}.
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6. Satz und Definition
I
Der Operator E kann zu einem linearen stetigen Operator auf
den Banach-Raum L1 (Ω; X ) fortgesetzt werden und wird wieder
mit E bezeichnet.
I
Für beliebige ξ ∈ L1 (Ω; X ) heißt Eξ ∈ X der Erwartungswert
oder Mittelwert oder das Bochner-Integral der X -wertigen
Zufallsvariablen ξ.
I
Für beliebige ξ ∈ L1 (Ω; X ) gilt kEξkX ≤ EkξkX =: kξk1 .
I
Für beliebige ξ ∈ L1 (Ω; X ) und für beliebige stetige lineare
Funktionale l : X → K gilt
l(Eξ) = hl, Eξi = Ehl, ξi = E{l(ξ)}.
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