charge in -field ¯ single electron ¯ synchrotron emission ¯ synchrot

Physics of AGN
Synchrotron Radiation
Dr. Heino Falcke
MPIfR & Universitat Bonn
Contents:
charge in B -eld
single electron
synchrotron emission
synchrotron absorption
Literature:
\Radiative Processes in Astrophysics", G.B. Rybicki & A.P. Lightman, John
Wiley & Sons, New York (Chap. 6)
Synchrotron Emission
Grundlagen
Rybicki & Lightman, Chapter 6 (S. 167-194)
\Synchrotronstrahlung" entsteht durch die
relativistische Bewegung geladener Teilchen in
einem Magnetfeld.
Anwendungsgebiete
Radio galaxies (jets)
x-ray emission from BL Lacs
Supernovae
Non-thermal radiation from stars
Magnetic laments (Galactic Center)
Galaxy and Cluster Halos
Synchrotron Strahlung
Grundlagen
Strahlung eines geladenen Teilchens im Magnetfeld:
Analog zu dem Dipolmoment
d = ieiri
zweier geladener Teilchen (z.B. frei-frei), wo gilt
P=
2

~
2d
3c3
ist die Strahlungsleistung eines geladenen Teilchens (da steckt
der Poynting-Vektor drin), gegeben zu
2
2q 2~a
P= 3 :
3c
(Larmor Formel)
Die Bewegung des Teilchens ist gegeben durch die Lorentzkraft
~v
F~ = e E~ + B~
c
in kovarianter Form fur E = 0
0
1
@
A
) dtd (m~v) = qc ~v B~
~
Und aus der Energieerhaltung ~v ~v B
= 0!
dW ~ d~s
= F = q~v E~ = 0 da W=const
dt
dt
folgt
d
(mc2) = q~v E~ = 0
dt
d.h. =const, bzw. ~ = j~v =cj =const ( = (1
2)
Das konnen wir fur die Bewegungsgleichung benutzen:
1=2).
) m dtd ~v = qc ~v B~
(Beachte: j~v j =const, aber ~v kann die Richtung andern)
~ senkrecht auf ~v und B~ steht ist die zeitliche Ableitung
Da ~v B
der Geschwindigkeit vk entlang der Magnetfeldlinien gleich
Null und wir haben
d
~v = 0;
dt k
d
q
~v? =
~v B~
dt
mc
d.h. wir haben eine konstante Vorwartsbewegung entlang des
Magnetfeldes mit permanenter Beschleunigung senkrecht dazu
(Kreisbahn) ) helikale Bahn. Die Frequenz der Bewegung
(1= ) ist dann
eB
mc
d.h. wir haben die Beschleunigung a0 = !Bv? und im Beobachtersystem ist a? = 2a0?, so da wir mit der Larmor Formel

(P = 2q3c~a )
!B =
2 2
3
2q 2 4 q 2 B 2 2
P = 3 2 2 2 v?
3c m c
(Also: Protonen-Synchrotronstrahlung ist vernachlassigbar)
Mit dem klassischen Elektronenradius
e2
rce = 2
mc
konnen wir auch schreiben
2
3
Fur eine isotrope Geschwindigkeitsverteilung mussen wir uber
alle moglichen Anstellwinkel (Pitchangle) der helikalen Bahnen mitteln.
P = rce2 c?2 2B 2
?2 =
so da
oder auch
2
sin2 d
=
4
Z
Z
2 2
2 3
sin
dd
=
0 0
3
Z
2
2
P = c rce B
3
0
1
@
A
4
3
P = Tc ( )2 Ub
wobei
8 2
r
3 ce
der Thomson Streuquerschnitt und
T =
B2
UB =
8
die magnetische Energiedichte ist (dieser Strahlungsproze
kann namlich auch als Streuung eines virtuellen Photons,
welches das B-Feld ubermittelt, verstanden werden).
Synchrotron Spektrum
Relativistische Eekte
Rybicki & Lightman, Chapter 6 (S. 167-194)
Wenn die Geschwindigkeit der Elektronen subrelativistisch
ware, wurden die Elektronen mit ihrer Umlaurequenz strahlen.
Bei relativistschen Geschwindigkeiten wird die Strahlung in
die Bewegungsrichtung gebeamt und die Frequenz unterliegt
ebenfalls relativistischer Rot- und Blauverschiebung.
Das Frequenzspektrum der Synchrotronstrahlung ist erheeB
blich groer als !B = mc
.
Bei jeder Umrundung des Elektrons sieht der Beobachter
nur einen kurzen Strahlenblitz, wenn er sich innerhalb des

Boostingkegegels mit der halben Onungsbreite
1= bendet
(Leuchtturmeekt).
Der Radius der projezierten Kreisbahn ist (wg. ! = 2=T )
gegeben durch
v=
U 2r
v
=
= !r ) r = ;
T
T
!
d.h. der gesamte Krummungsradius ist gegeben durch
r=
v
!B sin wenn man den Anstellwinkel berucksichtigt (zwischen Feldund Geschwindigkeitsvektor) { bei = 0Æ; r ! 1 gibt
es keine Kreisbahn sondern nur eine Bewegung parallel zum
Feld.
Die Winkeldierenz fur die der Blitz sichtbar ist, entspricht

dem Onungswinkel
des Lichtkegels 2= und die vom Elektron zuruckgelegte Wegstrecke is s = r = 2r=
v
) t = !
) s = ! 2sin
2
B
B sin Die Zeitdierenz tobs, welche der Beobachter wahrnimmt
ist aber um den Faktor 1 v=c kurzer, da das Licht das
zu Beginn des Blitzes ausgesandt wurde schon eine Strecke
s v=c zuruckgelegt hat. Also ist
2
v
(1
)
!B sin c
p
Taylorentwicklung von (1 ) = 1
1
bzw. fur ! 1 (da v c) ergibt
tobs =
1
und wir haben
v
c
21 2
1
tobs = 3
;
!B sin 2 um 0
d.h. die Pulsfrequenz ist um einen Faktor 3 groer als die
Gyrationsfrequenz.
Aus der Unscharferelation fur Wellen
! t > 1
folgt sofort, da ein kurzer Puls ein sehr breitbandiges Spektrum mit der hochsten Frequenz im Groenordnungsbereich
1=t hat. Denieren wir deshalb geschickt eine charakteristische Frequenz
!
3
!c = 3!B sin ; c = c
2
2
3 2eB sin ) !c = 2mc
) c = 1 MHz 2
0
@
B
G
1
A
fur = 30Æ
Synchrotron Emission
Spektrale Form
Das Polardiagramm des E-Feldes is genau durch den Boostingkegel festgelegt. Die zeitliche Entwicklung des E-Feldes
ist daher nur eine Funktion des gegenwartigen Sichtwinkels
und des Lorentzfaktors (wegen der relativistischen Aberration) | sonst andert sich ja mit der Zeit nichts. Wir konnen
also schreiben (im Beobachtersystem):
E (t) / f ((t))
Es ist anschaulich klar: Wenn sich die Gyrofrequenz nicht
andert ist linear in der Zeit und andert sich daruberhinaus
linear mit der Winkelgeschwindigkeit also
E (t) / g(!ct);
d.h. aber naturlich nicht, da E linear in der Zeit ist. Fouriertransformation in den Frequenzraum liefert dann mit = !c t
E^ (!) /
Z
1
i!=!c
E
(
)
e
d
1
/ H !!
c
0
1
@
A
Nun ist aber die abgestrahlte Leistung dtdWd
/ E^ 2(! ) und
wenn wir das durch die Orbitalperiode teilen und uber den
Raumwinkel integrieren (beide frequenzunabhangig), erhalten wir die Leistung P, ohne da sich die grundlegende Frequenzabhangigkeit andert, also
dW
!
P (! ) =
= Cx F
dtd!
!c
Daraus ergibt sich die Gesamtleistung
0
1
@
A
!
P = 0 P (!)d! = Cx 0 F
d! = !cCx 01 F (x) dx
!c
wobei x!c = ! , d.h. d!=dx = !c . Das vergleichen wir mit
2q 4B 2 2 2 sin2 P=
3m2c3
Z
1
Z
1
0
1
@
A
Z
und naturlich
3 2qB sin !c =
2mc
dann erhalten wir
2q 4B 2 2 2 sin2 3 2qB sin 1
Cx 0 F (x) dx =
2mc
3m2c3
Z
2 2 q 3B 2 sin Cx 0 F (x) dx =
3
mc2
Da 01 F (x) dx nur eine Zahl ist und beliebig normiert werden kann (wir kennen F (x) ja nicht) lat sich die Konstante bestimmen, und es folgt mit prophetischer Wahl der
Normierungskonstante fur den relativistischen Fall ( ' 1):
Z
1
0
1
@
A
R
0
P (!) =
B
@
p
3 e3B sin 2
1
C
A
mc2
!
F
!c
0
1
@
A
P ( ) = 2P (!) (d)! = 2(d)
Asymptotische Werte fur F
!
F
!c
0
1
@
A
!
!c
sind:
1=3
p3 4(1 =3) x2 ; x 1
!
F
!c
!
0
1
@
A
2
1=2
e xx1=2; x 1
Synchrotron Emission
Potenzspektrum
Wenn wir ein Potenzgesetz als Verteilungsfunktion der Elektronen haben, also
dN ( )
= C
d
p
dann ist das Spektrum
!
pd
P (!) / 0 F
!c
Mit der Substitution x = !=!c und !c / 2, also x / != 2 ,
d.h. / !=x folgt
Z
1
0
1
@
A
r
d=dx / !1=2
P (!) /
Z
1
0
F (x) !
p=2
x
p=2
!1=2
3=2
3=2dx
/!
(1
2
p)
Z
1
0
das Integral ist eine Konstante und daher ist das Synchrotronspektrum wieder ein Potenzgesetz mit Spektralindex =
1 p.
2
Typische Werte sind = 0:5 - 1 ) p = 2 - 3.
Genauer ausgerechnet ist die Leistung pro Volumen und Frequenz gegeben durch
p
3q 3 CB sin dW
=
dtdd!dV
2mc2(p + 1)
p 19
p
0
@
4
+
12
1
0
A
@
4
1
12
1
A
mc!
3eB sin !
p
F (x) x dx
(p 1)=2
2
3
Die Normalisierungskonstante C wird normalerweise so bestimmt, da man annimmt, da die relativistischen Teilchen
(d.h. das Integral ihrer Verteilungsfunktion mal der Energie)
im Energiegleichgewicht mit dem magnetischen Feld sind,
d.h. C / B 2.
Fur p = 2 haben wir z.B. C
) C = B 2=(8mec2 ln(2=1))
R
2
1
2
mc2d
= B 2=8
Wenn wir annehmen, da 2=1 104 konnen wir die erwartete Fludichte fur eine sparische Quelle mit Radius R in
der Entfernung D ausrechnen:
4 R3
dW
3
S =
dtd!dV 4D2
B 3:5 R
= 210 Jy
3
0
1
0
1
@
A
@
A
!
0:5
0
@
D
1
2
A
mGauss
kpc GHz
Gpc
Dies ist also sehr stark abhangig vom Magnetfeld und von
der Groe des Gebietes. Der Flu ist nicht proportional zur
Energiedichte (B 2) im Magnetfeld, sondern / UB1:75.
~ ) polarisiert (elliptische
Synchrotronstrahlung ist linear (B
Komponente kurzt sich weg bei isotroper Verteilung), maximal 75%. Fur Potenzverteilung ist = pp++1 (69% fur p = 2).
7
3
Synchrotron Absorption
Synchrotron Absorption ist: (z.B. aus EinsteinkoeÆzienten,
oder aus der Forderung, da bei einer thermischen Verteilung
im optisch dicken Bereich Planck-Strahlung herauskommen
mu)
= (me
p
3
(p+2)=2
2
p 1 3q C (B sin )
c)
0
@
3q
p=2
1
A
8m
2m3c5
3p + 2
3p + 22
(p+4)=2
12
12
Der Vorfaktor (mec2 )p 1 korrigiert einen Fehler in R&L.
Die Quellfunktion ist
0
1
0
1
@
A
@
A
S =
P ( )
/
5=2
4
was gleichzeitig das Spektrum im optisch dicken Bereich angibt. Wir haben also ein Spektrum mit Spektralindex =
2:5 im optisch dicken Bereich und mit = 0:5 (fur p=2)
im optisch dunnen Bereich.
< c(1) (niederenergetischer cut-o in der ElekWenn tronenverteilung) dann wird im optisch dicken Fall = 2
(Planck) und im optisch dunnen Fall = 1=3 (mono-energetisches
Spektrum).
Die optische Dicke einer Quelle mit Weglange R entlang des
Sehstrahles ist
= R = 1:6 10 3
0
@
B
mGauss
4
1
0
A
@
R
kpc
1
A
GHz
!
3
Die Selbstabsorptionsfrequenz ssa ist gegeben durch die Bedingung = 1:
ssa = 117 MHz
0
@
B
4=3
1
0
A
@
R
1
1=3
A
mGauss
kpc
Wenn wir die Emissionsformel benutzen, eine gemessene Fludichte
S voraussetzen, das Magnetfeld ausrechnen und dann in die
obige Formel einsetzen, dann erhalten wir:
ssa = 6 MHz
0
@
S
Jy
8=17
1
0
A
@
D
Gpc
8=17
1
0
A
@
R
kpc
1
1
A
Bei gemessenen Flussen um 1 Jy bei typischen starken Quellen
und Beobachtungsfrequenzen im GHz-Bereich ist klar, da
Selbstabsorption nur in sehr kompakten Quellen eine Rolle
spielt, wo r=D 1 milli-arsecond.
) Lobes von Radiogalaxien sind optisch dunn
) Kerne von Radiogalaxien sind optisch dick