2 Geometrie und Vektoren

2
Geometrie und Vektoren
Vorbemerkung: Begriffe wie die folgenden werden hier als bekannt vorausgesetzt: Punkt,
Strecke, Strahl, Gerade, Ebene, Kreis, Winkel, rechter Winkel, etc.
2.1
Grundlegende Sätze
Satz 1 (Strahlensatz): Zwei von einem Punkt P ausgehende Strahlen s1 und s2 schneiden sich mit einem Paar zweier paralleler Geraden a und b in den Punkten A1 und A2
bzw. B1 und B2 . Dann gilt für die Längen der auftretenden Strecken
P A1
P A2
A1 A2
=
=
.
P B1
P B2
B1 B2
(25)
Mit Hilfe des Strahlensatzes kann man die Breite eines Flusses durch Winkelmessung
bestimmen, ohne den Fluß überqueren zu müssen. Wie geht das ?
Im Dreieck ABC bezeichnet α den Innenwinkel bei A, β den bei B und γ den bei C.
Dagegen sind a, b bzw. c die den Ecken A, B bzw. C gegenüber liegenden Seiten.
Satz 2 (Winkelsumme im Dreieck): Die Summe der Innenwinkel eines beliebigen
Dreiecks ABC beträgt 180◦ ,
α + β + γ = 180◦ .
(26)
Zum Beweis zeichne man durch den Eckpunkt C die Parallele zur Seite c = AB.
Satz 3 (Pythagoras): Die Summe der Quadrate der Kathetenlängen a und b eines
rechtwinkligen Dreiecks ist gleich dem Quadrat der Hypotenusenlänge,
a2 + b2 = c2 .
(27)
Zum Beweis dieses Satzes zeichne man ein Quadrat mit Seitenlänge c. Jede seiner vier
Seiten bildet die Hypotenuse eines außerhalb dieses Quadrats liegenden rechtwinkligen
Dreiecks mit Katheten a und b, und zwar so, daß insgesamt ein größeres Quadrat mit
Seitenlänge a + b entsteht. Dessen Inhalt,
A = (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ,
(28)
ist andererseits gleich c2 plus dem vierfachen Inhalt eines der vier Dreiecke,
A = c2 + 4 · 21 ab,
6
q. e. d.
(29)
Satz 4 (Thaleskreis): Der Thaleskreis geht um den Mittelpunkt M einer Strecke und
durch deren Endpunkte A und B. Jedes Dreieck ABC, dessen dritter Punkt C auf dem
Thaleskreis liegt, hat dort einen rechten Winkel.
Zum Beweis beachte man, daß AMC und BMC zwei gleichschenklige Dreiecke sind: Sie
haben bei C jeweils die Winkel α bzw. β des großen Dreicks ABC bei A bzw. bei B.
ABC hat daher bei C den Winkel γ = α + β, und für seine Winkelsumme gilt
180◦ = α + β + (α + β),
(30)
woraus die Behauptung folgt, γ ≡ (α + β) = 90◦ .
2.2
2.2.1
Trigonometrie
Geometrische Definition der Winkelfunktionen
Nach dem Strahlensatz hängen die drei Längenverhältnisse der Seiten eines rechtwinkligen
Dreiecks (γ = 90◦ ) nicht von dessen absoluter Größe ab, sondern nur von den beiden
anderen Winkeln α und β = 90◦ − α. Diese Winkelfunktionen heißen Sinus, Cosinus und
Tangens und werden definiert als
Gegenkathete (von α)
a
≡ ,
Hypotenuse
c
Ankathete
b
cos α :=
≡ ,
Hypotenuse
c
a
Gegenkathete
≡ .
tan α :=
Ankathete
b
sin α :=
(31)
Diese Definitionen gelten zunächst für 0◦ ≤ α ≤ 90◦ . Dabei gilt offenbar
cos α = sin(90◦ − α),
sin2 α + cos2 α = 1,
tan α =
sin α
.
cos α
(32)
Die Zahlenwerte können im allg. nur mit Taschenrechner berechnet werden.
Bsp. 1: Ein Dachbalken ist L = 9 m lang, die Dachneigung beträgt α = 58◦ . Welche
Höhe H und welche Breite B hat das (symmetrische)pDach ? Der Taschenrechner liefert
den Wert sin 58◦ = 0.849 = H
. Daraus folgt cos α = 1 − sin2 α = 0.528 = B/2
, also
L
L
H = L sin α = 7.64 m,
B = 2L cos α = 9.50 m.
(33)
Bsp. 2: Ein Turm erscheint in einer horizontalen Enfernung D = 26 m vom Boden aus
unter dem Winkel α = 58◦ . Wie hoch ist der Turm ? Antwort: H = D tan 58◦ = 41.8 m.
7
Für gewisse Winkel α lassen sich die Werte der Winkelfunktionen aus geometrischen
Überlegungen auf elementarem Wege berechnen. Trivialerweise gilt
sin 0◦ = tan 0◦ = 0 = cos 90◦ ,
sin 90◦ = 1 = cos 0◦ .
Weiter findet man etwa
1
sin 30 = cos 60 = ,
2
1
tan 30◦ = √ ,
3
◦
√
2
sin 45 = cos 45 =
,
2
◦
◦
◦
(34)
tan 45◦ = 1,
√
3
, (35)
2
√
tan 60◦ = 3. (36)
sin 60 = cos 30 =
◦
◦
Neben 30◦ , 45◦ und 60◦ gibt es noch √
andere solche besonderen Winkel. In den Übungen
1
◦
wird als Beispiel gezeigt: sin 18 = 4 ( 5 − 1).
2.2.2
Negative Werte der Winkelfunktionen
Um sin φ und cos φ über das Intervall 0◦ ≤ φ ≤ 90◦ (ihres Arguments φ) hinaus zu verallgemeinern, führen wir in der Zeichenebene kartesische Koordinaten x und y ein und denken
uns einen Zeiger der Länge 1, der sich um den Ursprung x = y = 0 dreht. φ sei der Winkel,
um den dieser Zeiger im mathematisch positiven Sinn (also im Gegenuhrzeigersinn) gegen
die positive x-Achse gedreht ist, 0◦ ≤ φ < 360◦ . Wir definieren dann
cos φ := x,
sin φ := y
(0◦ ≤ φ < 360◦),
(37)
wobei x und y die kartesischen Koordinaten der Zeigerspitze sind, die auf dem Einheitskreis um den Ursprung läuft. Im Intervall 0◦ ≤ φ ≤ 90◦ stimmt diese neue Definition mit
der alten überein, erweitert letztere also auf das Intervall 0◦ ≤ φ < 360◦. Damit können
cos φ und sin φ auch negativ werden.
Es folgen zwei Sätze für beliebige (also nicht unbedingt rechtwinklige) Dreiecke ABC.
Nun kann einer der drei Winkel größer als 90◦ werden, 0◦ < α, β, γ < 180◦. Der Sinus
bleibt also in jedem Fall positiv, doch cos φ wird für 90◦ < φ < 180◦ negativ.
Satz 5 (Cosinussatz):
c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ.
Dieser Satz verallgemeinert den Pythagoräischen Satz (γ = 90◦ ). In den Grenzfällen
γ = 0◦ bzw. γ = 180◦ (also cos γ = ±1, c = a ± b) enthält er die binomischen Formeln
(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 .
(38)
Satz 6 (Sinussatz): Der Umkreisradius R des Dreiecks ABC ist gegeben durch
sin α
sin β
sin γ
1
=
=
=
.
2R
a
b
c
8
(39)
2.2.3
Eigenschaften der Winkelfunktionen
Wir wollen Winkel von jetzt an meist nicht im Grad-, sondern im Bogenmaß angeben,
φBog =
φGrad
· π,
180◦
dies aber in der Notation nicht kennzeichnen, sin π2 = 1, sin π4 =
Statt sin φ schreibt man dann häufig sin x.
(40)
1
2
√
2, sin π6 = 21 , etc.
Satz 7 (Additionstheoreme):
cos(x ± y) = cos x cos y ∓ sin x sin y,
sin(x ± y) = sin x cos y ± cos x sin y.
(41)
Es gibt auch Formeln für sin x+sin y, sin(2x), sin(x/2), sin2 x := (sin x)2 , die entsprechenden Formeln für cos, und viele andere mehr.
9
2.3
2.3.1
Analytische Geometrie
Die Mengen R2 und R3
R2 = R × R bezeichnet die Menge aller 2-Tupel
x1
x≡
x2
(42)
aus je zwei beliebigen reellen Zahlen x1 und x2 .
Entsprechend sind die Elemente von R3 = R × R × R die 3-Tupel


x1
x ≡  x2  .
x3
(43)
Dies läßt sich natürlich als Rn für beliebiges n ∈ N+ verallgemeinern.
Wir beschränken uns auf die wichtigen Fälle n = 2 und n = 3.
Die Elemente von Rn heißen n-Tupel oder auch n-dimensionale (Spalten-) Vektoren.
2.3.2
Rechenoperationen in Rn
In Rn wird eine Vektoraddition erklärt durch




 
a1 + b1
b1
a1




 
..
a + b ≡  ...  +  ...  := 

.
an + bn
bn
an
(n = 2, 3).
(44)
Zwei Beispiele mögen dies illustrieren,
−9
2
+
2
6
=
−7
8
,

 
 

1
−3
−2
 5  +  2  =  7 .
−2
6
4
(45)
Die skalare Multiplikation eines Vektors a ∈ Rn mit einer Zahl λ ∈ R wird erklärt durch




a1
λa1




λa ≡ λ  ...  :=  ...  .
(46)
an
λan
Zwei Beispiele mögen dies illustrieren,
5
−9
2
=
−45
10
,

 

1
−2
−2  5  =  −10  .
−2
4
10
(47)
2.3.3
Geometrische Deutung
Man kann die 2-Tupel a, b, ... des R2 als kartesische Koordinaten von Punkten A, B,...
in der Ebene deuten. Dazu zeichnet man einen beliebigen Punkt O in der Ebene als
Ursprung aus und wählt zwei von O ausgehende, zueinander senkrecht stehende Strahlen
x und y als Koordinatenachsen. Entsprechendes gilt für die 3-Tupel des R3 mit einem
räumlichen Ursprung O und drei paarweise senkrechten Koordinatenachsen x, y und z.
In einer alternativen Interpretation ist a der Ortsvektor des Punkts A, der durch den
Verbindungspfeil von O nach A repräsentiert wird. (Derselbe Vektor wird durch jeden
anderen Pfeil gleicher Länge und gleicher Richtung repräsentiert.) Mit


a1


(48)
a ≡  ... 
an
ist die Länge dieses Vektors nach Pythagoras gegeben durch
q
q
|a| := a21 + a22 (n = 2),
|a| := a21 + a22 + a23
(n = 3).
(49)
Im Fall n = 3 haben wir hier den Pythagoras zweimal nacheinander angewandt.
Die Vektoraddition a + b = c läßt sich so illustrieren: Man verschiebe das Hinterende
des Ortspfeils b von B (ohne seine Richtung zu ändern) an die Spitze des Ortspfeils a von
A. Dann kommt die Spitze von b an einem Punkt C zu liegen, dessen Ortsvektor gerade
durch c = a + b gegeben ist. Man kann auch, mit demselben Resultat, den Ortspfeil a
von A an die Spitze von b verschieben (”Vektorparallelogramm“).
Bei der skalaren Multiplikation des Vektors a mit der positiven Zahl λ ∈ R+ verlängert
sich der Vektor um den Faktor λ. Im Fall λ < 1 handelt es sich um eine Verkürzung. Ist
dagegen λ ∈ R− , so wird zusätzlich die Richtung des Vektors umgekehrt.
Bsp.: Wir können geometrische Fragen nun durch Rechnung beantworten (”analytische
Geometrie”). Als Beispiel sei ein Dreieck ABC gegeben. M sei der Mittelpunkt der
Strecke AB. Gesucht ist die Länge ℓ der Strecke CM. Sei m der Ortsvektor von M,
1
m = (a + b).
2
(50)
Dann gilt für den Vektor x, der durch den Pfeil von M nach C repräsentiert wird,
m+x=c
⇔
1
x = c − m = c − (a + b).
2
Die gesuchte Länge ist dann ℓ = |x|.
11
(51)
2.3.4
Vektorräume
Die Menge Rn , zusammen mit der Vektoraddition + und der skalaren Multiplikation ·
mit einer reellen Zahl, bildet einen Vektorraum über dem Körper (R, +, ·), denn:
(V1) (Rn , +), mit der Vektoraddition +, ist eine abelsche Gruppe und
(V2) (Rn , +, ·), mit der skalaren Multiplikation ·, genügt den Axiomen
λ · (a + b) = λa + λb,
(λ + µ) · a = λ · a + µ · a,
(λµ) · a = λ(µ · a),
1 · a = a. (52)
Man beachte, daß die Symbole ”+“ und ”·“ hier mit jeweils zwei verschiedenen Bedeutungen verwendet werden!
2.3.5
Lineare Unabhängigkeit
Ein Satz von k Vektoren a1 , ..., ak heißt linear unabhängig, wenn diese den Nullvektor nur
auf triviale Weise als Linearkombination darstellen können, d.h.: wenn aus
λ1 a1 + ... + λk ak = 0
(53)
folgt, daß die rellen Zahlen λ1 , ..., λk allesamt gleich null sein müssen,
λ1 = 0, ..., λk = 0.
Bsp.: In R2 ist der Satz S1 linear unabhängig, S2 dagegen nicht,
1
2
1
3
S1 =
,
,
S1 =
,
.
2
2
2
6
(54)
(55)
Bem.: Ein linear unabhängiger Satz B = {a1 , ..., an } aus n Vektoren ak ∈ Rn bildet
eine Basis des Rn . D.h.: Jeder Vektor x ∈ Rn besitzt eine eindeutige Darstellung als
Linearkombination der ak ,
x = λ1 a1 + ... + λk ak ,
(56)
mit durch x eindeutig festgelegten Koeffizienten λ1 , ..., λn . Im Fall des Nullvektors x = 0
sind diese natürlich λ1 = ... = λn = 0.
Bsp.: Wir stellen einen beliebig vorgegebenen Vektor x ∈ R2 durch die Basis S1 dar,
5
1
2
λ1 + 2λ2
= λ1
+ λ2
≡
.
(57)
x≡
6
2
2
2λ1 + 2λ2
Dieses Gleichungssystem hat die eindeutige Lösung λ1 = 1, λ2 = 2.
12
2.3.6
Skalarprodukt und Vektorprodukt
Def.: Das Skalarprodukt zweier Vektoren a, b ∈ Rn ist die reelle Zahl
a · b := |a||b| cos γ,
(58)
wobei γ der von beiden Vektoren eingeschlossene Winkel ist.
Man beachte, daß dies mittlerweile eine dritte Bedeutung des Symbols ”·“ ist!
Bem.: Falls a 6= 0 6= b, so gilt genau dann a · b = 0, wenn a und b zueinander orthogonal
sind, a ⊥ b (γ = 90◦ ). Ferner gilt a · b > 0, wenn γ < 90◦ , und a · b < 0, wenn γ > 90◦ .
Satz: In kartesischen Koordinaten berechnet sich das Skalarprodukt gemäß

 

a1
b1

 

a · b ≡  ...  ·  ...  = a1 b1 + ... + an bn .
an
bn
Bsp.: Wir berechnen den Winkel γ zwischen zwei Vektoren a, b ∈ R2 ,
3
8
a·b≡
·
= 24 + 24 = 48 ≡ |a||b| cos γ.
4
6
Mit |a| =
√
32 + 42 = 5 und |b| =
cos γ ≡
√
(59)
(60)
82 + 62 = 10 folgt also
48
a·b
=
= 0.96
|a||b|
50
⇒
γ = 16.3◦.
(61)
Mit Gl. (59) sieht man direkt, daß allgemein gilt
a · b = b · a,
(λa) · b = λ(a · b) = a · (λb),
a · (b + c) = a · b + a · c.
(62)
Wenn wir schreiben |a|2 ≡ a · a =: a2 , so folgen hieraus die binomischen Formeln
(a ± b)2 = a2 ± 2a · b + b2 ≡ |a|2 + |b|2 ± 2|a||b| cos γ.
Dies ist nichts anderes als der Cosinussatz. Warum ?
13
(63)
Def.: Das Vektorprodukt zweier Vektoren a, b ∈ R3 ist der Vektor
a × b := |a||b| sin γe.
(64)
Hier ist γ wider der von beiden Vektoren eingeschlossene Winkel, und e ist jener Einheitsvektor, der auf der von a und b aufgespannten Ebene senkrecht steht, und zwar so,
daß a, b und e in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem bilden.
Bem.: Falls a 6= 0 6= b, so gilt genau dann a×b = 0, wenn a und b zueinander palallel sind,
a||b (γ = 0◦ , 180◦ ). Der Betrag |a × b| ist gleich dem Inhalt des von a und b aufgespannten
Parallelogramms.
Satz: In kartesischen Koordinaten berechnet sich das Vektorprodukt gemäß

 
 

a1
b1
a2 b3 − a3 b2
a × b ≡  a2  ×  b2  =  a3 b1 − a1 b3  .
a3
b3
a1 b2 − a2 b1
14
(65)
2.3.7
Gleichungen von Geraden und Ebenen
Seien a, b ∈ Rn . Dann durchläuft der Punkt mit dem Ortsvektor
x = a + λb ≡ x(λ)
(66)
eine Gerade im Raum, wenn der Parameter λ die Menge R durchläuft. Dabei ist a der
Ortsvektor eines Punktes auf der Gerade, die parallel zum Vektor b verläuft.
Seien a, b, c ∈ R3 und b und c nicht parallel. Dann durchläuft der Punkt
x = a + λb + µc ≡ x(λ, µ)
(67)
eine Ebene im Raum, wenn die Parameter λ und µ unabhängig voneinander jeweils die
Menge R aller reellen Zahlen durchlaufen. Dabei ist a der Ortsvektor eines Punktes in
der Ebene, die parallel zu der von b und c aufgespannten Ebene ist.
Gln. (66) bzw. (67) heißen die Parameterdarstellungen von Gerade bzw. Ebene. Alternativen dazu sind die (Normalen-) Gleichungen von Gerade bzw. Ebene:
Eine Gerade g im R2 ist festgelegt durch einen Punkt a auf ihr und durch einen
Normalenvektor n orthogonal zu ihr. Ist nämlich x ein beliebiger Punkt auf g, so gilt
n1
x1
(x − a) · n = 0
+ c = 0,
(68)
·
⇔
x·n+c≡
n2
x2
mit c = −a · n. Ausmultiplizieren des Skalarprodukts liefert die Geradengleichung
n1 x1 + n2 x2 + c = 0.
(69)
Eine Ebene E im R3 ist festgelegt durch einen Punkt a auf ihr und durch einen
Normalenvektor n orthogonal zu ihr. Ist nämlich x ein beliebiger Punkt auf E, so gilt

 

x1
n1
⇔
x · n + c ≡  x2  ·  n2  + c = 0,
(70)
(x − a) · n = 0
x3
n3
mit c = −a · n. Ausmultiplizieren des Skalarprodukts liefert die Ebenengleichung
n1 x1 + n2 x2 + n3 x3 + c = 0.
15
(71)