Teil 7: Funktionen mehrerer Variabler, Felder

7.
Funktionen mehrerer Variablen, Felder
Wiederholung: Eine „Funktion f von n Veränderlichen“ ist eine Vorschrift, die jedem geordneten n-Tupel (x1,x2, ..., xn) reeller Zahlen aus einer nicht-leeren Definitionsmenge D ⊆ Rn
(auch: „Definitionsbereich“ oder "Definitionsintervall") genau eine reelle Zahl z der nichtleeren Bildmenge B ⊆ R zuordnet:
f: (x1,x2, ..., xn) → y := f(x1,x2, ..., xn);
((x1,x2, ..., xn) ∈D; y ∈B).
Jene freien Variablen, die wir festhalten („fixieren“), heißen „Parameter“ oder „Konstante“. (i)
Explizite Darstellung:
xn+1 := f(x1,x2,...,xn);
(ii)
Implizite Darstellung:
f(x1,x2,...,xn+1) := 0.
7.1.
Partielle Ableitungen
Unter der „partiellen Ableitung einer Funktion f(x1,...,xn) nach der Variablen xi versteht man
die Ableitung der Funktion f(x1,x2,...) nach der Variablen xi:
∂f(x1,...,xn)/∂xi := f,xi(x1,...,xn) := fxi(x1,...,xn).
o
„Vollständiges Differential“ der Funktion f(x1,...,xn): Darunter verstehen wir den
Ausdruck:
df(x1,...,xn) := dx1.∂f(x1,...,xn)/∂x1 + ... + dxn.∂f(x1,...,xn)/∂xn
:= dx1.f,x1(x1,...,xn)
o
+ ... + dxn.f,xn(x1,...,xn).
Kettenregel: ∂ f(x1,...,xn)/∂t = [∂f(x1,...,xn)/∂x1]. dx1/ dt + [∂f(x1,...,xn)/∂x2]. dx2/ dt + ...
Beispiele: ___________________________________________________________
a)
f(x,y) = x² + 2y² + xy + 7, (x1 = x, x2 = y).
f,x = 2x + y;
b)
f,y = 4y + x;
df(x,y) = dx.f,x + dy.f,y = dx.(2x + y) + dy.(4y+x).
f(x,y,z) = x² - sin y . cos z
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1
fx = 2x;
fy = -cos y . cos z;
fz = sin y . sin z;
df(x,y,z) = dx.f,x + dy.f,y + dz.f,z = dx.(2x) - dy.(cos y . cos z) + dz.(sin y . sin z).
_______________________________________________________________________
o
Höhere partielle Ableitungen: Partielle Ableitungen einer partiellen Ableitung:
∂f,xi(x1,...,xn)/∂xk := f,xi xk(x1,...,xn) := fxi xk(x1,...,xn).
Eine Funktion ist j-mal differenzierbar, wenn alle partiellen Ableitungen (gemischte
wie reine) bis zur j-ten Ordnung existieren.
Weiterführung der obigen Beispiele: _______________________________________
a)
b)
f(x,y) = x² + 2y² + xy + 7, (x1 = x, x2 = y).
f,x = 2x + y;
f,y = 4y + x;
f,xx = 2;
f,yy = 4;
f,xy = 1;
f,yx = 1;
f(x,y,z) = x² - sin y . cos z
fx = 2x;
fy = -cos y . cos z;
fz = sin y . sin z;
fxx = 2;
fyx = 0;
fzx = 0;
fxy = 0;
fyy = sin y . cos z;
fzy = cos y .sin z;
fxz = 0;
fyz = cos y .sin z;
fzz = sin y . cos z;
________________________________________________________________________
o
Satz von Schwarz:
Sind in einer Umgebung der Stelle (x,y) sowohl die Funktion f(x,y) als auch ihre partiellen Ableitungen fx und fy sowie die gemischte Ableitung fxy stetig, so existiert auch
die andere gemischte Ableitung fyx und es gilt: fyx = fxy.
Funktionen, die dem Schwarz’schen Satz genügen, heißen Potential- oder
Zustandsfunktionen.
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2
7.2.
Ableitungen implizit dargestellter Funktionen
o
Erfüllt eine Funktion [f(x,y) = 0] den Hauptsatz für implizite Funktionen, dann ver-
schwindet ihr vollständiges Differential
df := dx.∂f(x,y)/∂x + dy.∂f(x,y)/∂y := dx . fx + dy . fy= 0,
=>
dy . fy = -dx . fx
=>
dy /dx = -fx/ fy = y'.
o
Für die 2. Ableitung gilt:
o
Für implizit gegebene Funktionen mit drei und mehr Variablen gibt es keinen Aus-
y'' =
- [fxx + 2fxy. y' + fyy. (y')2]/ fy .
druck für die "Erste Ableitung", denn es gibt hier mehr als eine unabhängige Variable.
Beispiele:
______________________________________________________________
a)
---------b)
Bei 3 Variablen: x³y - y³x - z = 0 müssen wir die explizite Darstellung wählen:
=>
z = x³y - y³x
=>
Vollständiges Differential :
=>
∂y/∂x = - fx / fy.
dz = fx.dx + fy.dy = (3x²y - y³)dx + (x³ - 3y²x)dy
_______________________________________________________________________
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3
7.3
Graphische Darstellungsmöglichkeiten
Problem der graphischen Darstellbarkeit: Können nur in der Ebene (R2) gut zeichnen, und
mit Abstand auch im R3 (Schrägriss, Perspektive). Daher arbeiten wir hier mit "Schnitten"
und Projektionen.
o
Niveaulinien (auch: Äquipotentiallinien): Linien gleicher Funktionswerte;
o
Niveauflächen (auch: Äquipotentialflächen): Flächen gleicher Funktionswerte.
o
"Partielle" Funktionen: xj frei variabel, alle xi mit i ≠ j konstant gehalten.
Beispiel: z = x² + y² (Rotationsellipsoid) _______________________________________
a) Jede Ebene, die die z-Achse enthält, schneidet den Graphen entlang einer Normalparabel. b) Niveaulinien: Konzentrische Kreise mit den Mittelpunkten auf der z-Achse und den
Radien c.
________________________________________________________________________
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4
7.4
Approximation von Funktionen II
Die Approximationstheorie beschäftigt sich mit der Annäherung von Funktionen innerhalb eines interessierenden Definitionsintervalls durch Polynome bzw. durch Funktionen eines Orthonormalsystems.
o
Die Taylorformel für 2 Variable
f(x1+dx1, x2+dx2) := f(x1; x2)/0! + D1f(x1, x2)/1! + D2f(x1, x2)/2! + ... + Dkf(x1, x2)/k! + Restk
mit
D1 = dx1. ∂/∂x1 + dx2. ∂/∂x2;
D1f(x1,x2) = dx1.fx1 + dx2.fx2
D2 = [dx1. ∂/∂x1 + dx2. ∂/x2]2 = [d2x1. ∂2/∂x12 + d2x2. ∂2/∂x22 + 2. dx1.dx2. ∂2/∂x1∂x2] ;
D2f(x1,x2) = d²x1.fx1 x1 + dx²2.fx2 x2 + 2 dx1 dx2.fx1 x2
...
Dk = [(dx1. ∂/∂x1) + (dx2. ∂/x2)]k = entsprechende Binominalentwicklung.
Beispiel __________________________________________________________________
f = 1/(1+xy);
in Umgebung von P(0,0) in Taylorreihe entwickeln.
f ist symmetrisch in x und y, daher auch alle Ableitungen.
fx = -y/(1+xy)²;
fy = -x/(1+xy)²;
fxx = 2y²/(1+xy)³;
fyy = 2x²/(1+xy)³;
fxy = (xy-1)/(1+xy)²;
f(0+dx,0+dy) = f(0,0) + [dx.fx(0,0) + dy.fy(0,0)]/1!
+ [dx².fxx(0,0) + dy².fyy(0,0) + 2.dx.dy.fxy(0,0)]/2! + ...
=
1 + [dx.0 + dy.0]/1 + [dx².0 + dy².0 + 2.dx.dy.(-1)]/2 + ... = 1 - dx.dy + ...
__________________________________________________________________________
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5
7.5
Kritische Punkte von Funktionen in 2 Variablen (f(x,y)
o
Extremstellen:
Notwendig: f,x(x,y) = f,y(x,y) = 0;
Hinreichend: f,xx. f,yy - f²,xy ≥ 0
und zwar völlig analog zu Funktionen mit 1 unabhängigen Variablen:
lokales Maximum, falls f,xx < 0; lokales Minimum, falls f,xx > 0.
o
Sattelpunkte (Verallgemeinerung der Wendepunkte): Hinreichend: f,xx. f,yy - f²,xy < 0
Beispiel _____________________________________________________________
f(x,y) = x³ + 8y³ - 12xy
fx = 3x² -12y,
fy = 24y² -12x ;
fxx = 6x,
fyy = 48y,
fxy = -12.
Extremstellen:
Sowohl
fx = 3x² -12y =0
als auch
fy = 24y² -12x = 0.
2 Gl. mit 2 Unbekannten; Lsg zB.: aus Gl.1 y = -x²/4 in Gl.2 einsetzen,
=> 24x4/16 - 12x = 0 =>
x.(x3/8 - 1) =0;
(i)
=> x1 = 0
=> y1 = 0;
(ii)
x³ -8 = 0;
sehen, x2 = 2 => y2 = 1;
(iii)
x3 und x4:
(x³ -8) : (x-2) = x² + 2x+ 4 = 0
=> konjugiert komplexe Lsgen.
ad (i): Bei x1 = 0 keine Extremstelle, denn fxx(0,0). fyy(0,0) - 2fxy(0,0) = -144 < 0 !
ad (ii): Bei x2 = 2 lokales Minimum, denn fxx(2,1). fyy(2,1) - 2fxy(2,1) = 432 > 0,
und
fxx(2,1) = 12 > 0.
______________________________________________________________
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6
7.6
Extremwerte unter "Nebenbedingungen“
Haben Gleichung f(x1,...,xN) = 0.
Zur eindeutigen Lösung benötigen wir für jede Variable eine Gleichung. D.h., bei N Variablen
brauchen wir (N-1) zusätzliche Verknüpfungen (Bedingungen) zwischen den N Variablen xn.
Diese heißen "Nebenbedingungen".
f1(x1,...,xN) = 0; ... fN-1(x1,...,xN) = 0.
Wir haben 2 grundsätzlich unterschiedliche Lösungsmöglichkeiten:
(i)
Sukzessives, direktes Einsetzen aus den Nebenbedingungen in die Gleichung
(Bei 2 Variablen x = x1, y = x2: f(x, y(x)) = 0).
(ii)
Lagrange zeigte uns, dass es auch ein allgemeines Lösungsverfahren gibt: Jede Ne-
benbedingung n muss dazu mit einer "Justierschraube" - dem "Lagrange'schen Faktor λn"
multipliziert und zur Gl. addiert werden.
F(x1,...,xN; λ1,...,λN-1) := f(x1,...,xN) + λ1. f1(x1,...,xN) + ... + λN-1. fN-1(x1,...,xN) = 0.
Die Bestimmungsgleichungen für die N Variablen xn und die (N-1) Lagrange-Faktoren λn, also für die insgesamt (2N-1) Unbekannten sind:
∂F(x1,...,xN; λ1,..., λN-1)/ ∂x1
= 0;
...
∂F(x1,...,xN; λ1,..., λN-1)/ ∂xN
= 0;
∂F(x1,...,xN; λ1,..., λN-1)/ ∂ λ1
= f1(x1,...,xN) = 0;
...
∂F(x1,...,xN; λ1,..., λN-1)/ ∂ λN-1 = fN-1(x1,...,xN) = 0.
Beispiel: _______________________________________________________________
Ges.: Minimum der Funktion f(x,y) = x² + y² unter der Nebenbedingung 3x - y = 1.
(i)
Durch direktes Einsetzen:
f(x,y) = x² + y² = x² + (3x-1)² = 10x² -6x +1;
f(x)’ = 20x - 6 = 0
=> x = 0,3;
=> y = 3.0,3 - 1 = -0,1.
f(x)’’ = 20 > 0,
daher Minimum (0,3, -0,1).
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7
(ii)
Mit Lagrange-Faktor λ1:
F(x, y; λ1) := f(x, y) + λ1. f1(x, y) = x² + y² + λ1.(3x - y - 1) = 0;
(1)
∂F(x, y; λ1)/ ∂x = 2x + 3. λ1 = 0;
(2)
∂F(x, y; λ1)/ ∂y = 2y - λ1
(3)
∂F(x, y; λ1)/ ∂λ1 = 3x - y - 1 = 0
= 0;
=> y = 3x-1;
aus (2) in (1)
=> 2x + 6y = 0
y aus (3) eingesetzt
=> 2x + 18x - 6 = 0; => x = 6/20 = 0,3;
x in (3) eingesetzt
=> y = 3.0,3 - 1 = -0,1;
=> Minimum: (0,3, -0,1).
________________________________________________________________
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7.7
Zahlenfelder
In der mechanistischen Natursicht begnügten wir uns bei der Beschreibung all der Kraftspiele von Elastizität, Trägheit, zwischen Massen und zwischen elektrischen Ladungen mit der
Angabe der Stärke und Wirkungsrichtung in jedem Punkt eines Raumgebietes. Das geschah
einfach dadurch, dass wir uns für jeden Punkt des betrachteten Raumgebietes die Stärke
und Richtung der Kraftwirkung notierten. Da in der Mathematik alle Gebietstabellen, die zusätzlich zu den Ortsangaben („Koordinaten“) der einzelnen Punkte noch weitere Zahlenangaben aufweisen, „Felder“ heißen, wurden daher die Gebietstabellen der Kraftwirkungen einfach „Kraftfelder“ genannt.
Der Name der zusätzlichen Angabe bezeichnete dann das Feld näher: Als Schwerefeld der Erde wurde jene Gebietstabelle tituliert, welche uns darüber informiert, wie stark und
in welche Richtung die Anziehungskraft unserer Erde in den einzelnen Raumpunkten auf
dort befindliche Massekörper wirkt. Entsprechend war etwa das elektrische Feld ausschließlich nur als Gebietstabelle angesehen, die uns über die Kraftstärken und -richtungen informiert, welche von einer elektrischen Ladung in den verschiedenen Raumpunkten auf dort gelegene elektrisch geladene Körper wirken. Analoges galt für das Magnetfeld und das Schwerefeld.
Die „Kraftfelder“ der klassischen Mechanik waren damit gleichsam mathematische
Kulissennetze, die wir überall dort in unserem Lebensraum wie Vorhänge aufgezogen hatten, wo wir uns besser orientieren wollten. Sie stellten ja nichts anderes dar als mehrdimensionale Tabellen. Das änderte sich aber schlagartig mit der Erkenntnis, dass sich die elektrischen und magnetischen Kraftwirkungen wellenförmig mit höchstens knapp 300 000 km/s
ausbreiten und daher keine Fernkräfte sind.
Zahlenfeld: Jedem Raumpunkt wird neben den Koordinaten noch eine zusätzliche Zahl zugeordnet. Der Typus dieser zusätzlichen Zahl gibt dem Feld seinen Namen.
Ist diese Zahl ein Skalar: Skalarfeld f(x1, x2, ...);
Temperaturverteilung, ...
Vektor: Vektorfeld, v(x1, x2, ...) = (v1(x1, x2, ...), v2(x1, x2, ...), ...);
Beschleunigungsverteilung (Kraftfeld), ...
Formal gültig auch für mehr als 3 Dimensionen!
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9
Es sind mathematische Konstrukte, die helfen, mit physikalischen Beobachtungen passend
umzugehen.
Die Geschwindigkeit ist auch kein Vektor, sondern ihr Verhalten kann mit Hilfe der Vektoren
beschrieben werden. Dasselbe gilt für die Kraft. Ihr Beschleunigungsverhalten wird in jedem
Raumpunkt durch einen Vektor beschrieben, alle diese Vektoren zusammen bilden das mathematische Kraftfeld.
Die physikalische Kraft ist hingegen durch ihren Wirkungsmodus und ihrer Transportlogistik
für Energie und Impuls gegeben.
Bei Vektorfeldern:
o
Feldlinien: Kurven, deren Tangenten an jedem Punkt mit der Richtung eines Vektorfeldes v übereinstimmen (t Tangentenvektor, n Normalvektor):
txv=0
(i)
und n. v = 0.
Die Anzahl der durch eine Einheitsfläche tretenden Feldlinien, die Feldlinien-
dichte, wird meist proportional zur Größe des Feldes gewählt. Durch einen regulären
Punkt eines eindeutigen Vektorfeldes können nicht zwei Feldlinien hindurchgehen.
(ii)
Offene Feldlinien (Bild a und b): Beginnen und enden an den Quellen des Fel-
des (z.B. elektrische Ladungen) oder im Unendlichen. Z.B. bei laminarer Strömung,
elektr. Kraft.
(iii)
In wirbelfreien Feldern (als Gradient einer skalaren Funktion darstellbar) ste-
hen die Feldlinien überall senkrecht auf den Äquipotentialflächen. Z.B. im statischen
elektrischen Feld.
(iv)
o
Geschlossene Feldlinien (Bild c): Wirbeln; z.B. Magnetfeld
Röhre: Raumteil, gebildet durch die Feldlinien, die durch eine geschlossene Raumkurve hindurchgehen.
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7.8
Ableitung und Differenzierbarkeit von Feldern
Wir haben 3 Möglichkeiten:
1)
Aus einem Skalarfeld f(xi) soll ein Vektorfeld v(xi) werden,
2)
Aus einem Vektorfeld v(xi) soll ein Skalarfeld f(xi) entstehen,
3)
Ein Vektorfeld v(xi) soll in ein anderes Vektorfeld v(xi) umgewandelt werden.
Dazu benützen wir einen Pseudovektor, der "Nabla"-Operator heißt: Seine Komponenten
sind die partiellen Differentiationsvorschriften nach den einzelnen unabhängigen Variablen
xi, die hier als Dimensionsachsen des betrachteten Raumes gelten:
∇ := (∂/∂x1, ∂/∂x2, ...) = ∂xk.
ad 1) "Gradient" heißt die Anwendung dieses "Nabla"-Operators auf ein Skalarfeld f(xi). Es
entsteht dadurch ein n-dimensionales Gebilde, eben ein Vektorfeld v(xi):
grad f(xi) := ∇ . f(xi) := (∂/∂x1, ∂/∂x2, ...). f(xi) = (∂f(xi)/∂x1, ∂f(xi)/∂x2, ...) = v(xi).
ad 2) "Divergenz" heißt die dem Skalarprodukt ähnliche Anwendung dieses "Nabla"-Operators auf ein Vektorfeld v(xi). Es entsteht dadurch eine Summe von n skalaren Summanden,
die nach Ausrechnung ein Skalarfeld f(xi) ergeben:
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div v(xi):= ∇ .v(xi) := (∂/∂x1, ∂/∂x2, ...). v(xi) = (∂v1(xi)/∂x1 + ∂v2(xi)/∂x2 + ...) = f(xi).
ad 3) "Rotation" heißt die dem Vektorprodukt ähnliche Anwendung dieses "Nabla"-Operators auf ein Vektorfeld v(xi). Es entsteht dadurch ein Vektorfeld des anderen Typus w(xi).
rot v(xi):= ∇ x v(xi) := (∂/∂x1, ∂/∂x2, ...) x v(xi) = w(xi).
Beispiele: __________________________________________________________
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_____________________________________________________________________
o
Laplace-Operator: Δ := ∇ . ∇ = (∂²/∂x12, ∂²/∂x2², ...).
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o
Richtungsableitung. Per def. die Ableitung einer Funktion f(xi) in einem Punkt P(p1,
p2,...) in eine vorgegebene Richtung r. Wir bilden dazu einfach das Skalarprodukt des normierten Richtungsvektors rE = r/ ||r|| mit dem Gradienten der Funktion f(xi). Das Resultat ist
selbstverständlich ein reiner Zahlenwert:
Richtungsableitung := grad f(xi). rE = grad f(xi). r /||r||.
Beispiel: __________________________________________________________________
Geg.: f = x²y + xz;
Ges.: Richtungsableitung in P (1, 2, -1) in Richtung r = (2, -2, 1);
a) grad f = ((2xy + z), x², x);
b) für P eingesetzt: grad f(P) = ((2.1.2, 1², 1) = (3, 1, 1)
c) ||r|| = 4+4+1)1/2 = 3
d) Richtungsableitung = (3, 1, 1) . (2, -2, 1) / 3 = (6-2+1)/3 = 5/3.
________________________________________________________________________
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