Das Kepler-Problem

Das Kepler-Problem
Max Camenzind - Akademie HD - Mai 2016
Das Zweikörper-Problem
• In der Physik bezeichnet man als Zweikörper-Problem
die Aufgabe, die Bewegung zweier Körper, die ohne
äußere Einflüsse nur miteinander wechselwirken, zu
berechnen. Speziell wird als Zweikörper-Problem auch
die Aufgabe der klassischen Mechanik bezeichnet, die
Bewegung zweier Körper zu berechnen, die sich
gegenseitig mit einer Kraft anziehen oder abstoßen, die
proportional zum Quadrat des inversen gegenseitigen
Abstandes abnimmt.
• Im astronomischen Kontext wird das Problem auch als
Kepler-Problem bezeichnet. Ursprünglich wurde
angenommen, das Zweikörper-Problem würde zur
Beschreibung eines heliozentrischen Kosmos
ausreichen. Dem ist leider nicht so!
Das Zweikörper-Problem
Inhalt
• Die Situation zu Newtons Zeiten.
• Das Gravitationsgesetz von Newton.
• Newtonsche Mechanik und LagrangeFormalismus.
• Die Reduktion des 2-Körper-Problems:
•  Bewegung des Schwerpunktes;
•  Reduzierte Masse;
•  Lösung des reduzierten Problems;
•  Diskussion der Kepler-Gesetze;
Die Situation zu Newtons Zeit
 Kopernikus setzt die Sonne
ins Zentrum des Sonnensystems
Johannes Kepler untersucht
Tycho Brahes Planetendaten
Findet in 40 Jahren 3 Gesetze
wäre heute ein Problem!
Kepler-Gesetze nach J. Kepler
3. Kepler-Gesetz
Const
Für alle
Planeten
(T²/a³)Erde = 2,97 x
-19
10
s²/m³
Ad 1. Kepler-Gesetz:
Schnur-Konstruktion der Ellipse
Schnur-Länge = 2a
Was sind Ellipsen ?
 Immer durch 2 Parameter
bestimmt ! z.B. a & b
2 Parameter einer Ellipse
Ad 2. Kepler-Gesetz
„Flächensatz“
Ad 3. Kepler-Gesetz
Je weiter weg der Planet, desto langsamer
Umlaufszeiten nehmen zu
Kritische Frage:
Sind Planetenbahnen
wirklich Ellipsen?  Nein!
Das Newtonsche Gravitationsgesetz
Die Anziehung der Massen ist universell
Das Gravitationsgesetz vektoriell
Gravitationskraft ist proportional
- zur schweren Masse der beiden Körper
~ m1, ~ m2
- zum Quadrat des reziproken Abstandes
~1 d2
K 21
m2
mit d  r2  r1
- wirkt in Richtung der Verbindungsgraden
 e12  
r2  r1
r2  r1
z
m1
r1
Gravitationskraft
K12  Gm1m2
r2
r2  r1
r2  r1
3
y
mit der Gravitationskonstanten
G  6672  4 10
Max Camenzind 11.06.2016
-14
m3
s 2 kg
x
Die Gravitationskonstante Newton
M1M2

FG = G

G = Gravitationskonstante




r2
G = 6,6719x10-11 m³/(kg s²)
M1 und M2 = Massen der Körper
r = Abstand zwischen den Körpern
Gravitationsgesetz gilt hier auf der Erde
und überall im Kosmos – auch im
Sonnensystem  gegen Aristoteles!
Das Cavendish Experiment (1798)  G
Das Gravitationsfeld

Gravitationsfeld überträgt die Kräfte
zwischen den Körpern  eine Eigenschaft
des Raumes wie Magnetfeld oder el. Feld.


g = GM / r2



Feldstärke = Beschleunigung:
Diese Feldstärke hängt nicht von der Masse M2
des Probekörpers ab. Die Kraft beträgt:
GM1M2/r2 = M2g = FG = Fw
 Gravitation ist für Gewicht verantwortlich.
Die Gravitative Feldstärke


Die Masse der Erde beträgt 6,0x1024 kg und ihr Radius 6378
km. Wie groß ist die gravitative Feldstärke an der
Oberfläche der Erde?
 g = GM/R2
 g = (6,67x10-11 Nm2/kg2)(6,0x1024 kg) / (6,378x106 m)2
 g = 9,81 m/s2
Ein Planet habe den Radius 3500 km und eine Oberflächengravitation von 3,8 m/s2. Wie groß ist die Masse des
Planeten?
 (3,8 m/s2) = (6,67x10-11 Nm2/kg2)(M) / (3,5x106 m)2
 (3,8 m/s2) = (6,67x10-11 Nm2/kg2)(M) / (1,2x1013 m2)
 M = (4,6x1013 m3/s2) / (6,67x10-11 Nm2/kg2)
  M = 6,9x1023 kg
Jeder Raumpunkt trägt ein Feld
Gravitationsgesetz
K12  Gm1m2
r2  r1
r2  r1
m

N

kg

s 2 
3
Newtonsche Bewegungsgleichung
m2r2  K
gleichsetzen
r2  Gm1
r2  r1
r2  r1
m
 s 2 
3
Feldstärke
g Q rP   GmQ
rP  rQ
rP  rQ
3
Max Camenzind 11.06.2016
m
 s 2 
Was Newton nicht wusste



Newton wusste nicht, was Gravitation
erzeugt, obschon er erkannte, dass alle
Körper auf Gravitation reagieren.
Für Newton war Gravitation einfach
eine Eigenschaft von Körpern.
Newton konnte auch nicht erklären, wie
Körper Gravitation erzeugen, wenn sie
sich nicht berühren  Der Feldbegriff
fehlte damals noch!

Er liebte die Idee “action-at-a-distance”
nicht.
Die Newtonschen Bewegungsgleichgn
Das Zwei-Körper-Problem
X
X
X
Diese Gleichungen sind in dieser Form auch für
2 Körper nur numerisch lösbar!
Lagrange Extremalprinzip
Der Lagrange-Formalismus ist in der Physik eine 1788 von
Joseph Louis Lagrange eingeführte Formulierung der
klassischen Mechanik, in der die Dynamik eines Systems
durch eine einzige skalare Funktion, die Lagrange-Funktion,
beschrieben wird. Der Formalismus ist (im Gegensatz zu der
Newtonschen Mechanik, die a priori nur in Inertialsystemen
gilt) auch in beschleunigten Bezugssystemen gültig. Der
Lagrange-Formalismus ist invariant gegen
Koordinatentransformationen. Aus der Lagrange-Funktion
lassen sich die Bewegungsgleichungen mit den EulerLagrange-Gleichungen der Variationsrechnung aus dem
Prinzip der kleinsten Wirkung bestimmen. Diese
Betrachtungsweise vereinfacht viele physikalische Probleme,
da sich, im Gegensatz zu der Newtonschen Formulierung der
Bewegungsgesetze, einfach formulieren lassen.
Euler-Lagrange-Gleichungen

Kinetische minus potenzielle Energie
L(t , q, q )  T (q, q )  V (t , q)

Extremalprinzip Wirkung I = ∫ L dt:
•  Bewegungsgleichungen resultieren
aus Extremalprinzip für den Lagrange (1788)
d  L  L
  
0
dt  q  q
Herleitung
Euler-Lagrange
Für Mathematisch Interessierte
Variation des
Wirkungsintegrals
Partielle Integration
Endpunkte werden fest gehalten.
Alle Koordinaten sind unabhängig:
Dies sind die Euler-Lagrange-Gleichungen
für ein System von N Massen, j = 1,…,3N.
 Newtonsche Mechanik
•
Wir betrachten ein Teilchen mit Masse m in 2 Dimensionen, in Kartesischen
Koordinaten (x,y), mit potenzieller Energie U(x, y),  der Lagrange
L  12 m( x 2  y 2 )  U ( x, y).
•
In diesem Fall ergeben sich 2 Lagrange-Gleichungen
•
Die linke Seite entspricht der Kraft
•
Die rechte Seite der Beschleunigung
•
Beide Seiten ergeben das Newtonsche Bewegungsgesetz in Vektorform
L d L

,
x dt x
L
U

 Fx ,
x
x
d L d
 mx  mx,
dt x dt
Fx  mx,
October 21, 2010
Fy  my
L d L

.
y dt y
L
U

 Fy .
y
y
d L d
 my  my.
dt y dt
oder F  ma.
Das 2-Körper-Problem
• Der Lagrange des Systems in Kartesischen Koord:

L  
V 

2
i 1 j 1

 2
 2
m1 (r1 )
m2 (r2 )


V
2
2
3
2
m j (rij ) 2

(ri1  ri 2 ) 


i 1

  2
(r1  r2 )
3
2


• In dieser Schreibweise sieht das Problem nicht sehr
angenehm aus: alle 6 Koordinaten sind im Potenzial
vermischt.
•  Wir suchen eine einfachere Formulierung:
Schwerpunkt-Koordinaten
Sonne
r2
Planet
r1
Sonnenbewegung
um Schwerpunkt +
220 km/s
Gal Orientierung Sonnensystem
Galaktisches
Galaktisches Zentrum
Zentrum
Ekliptik
Ebene
Rotation um
Zentrum
220 km/s
Galaktische Scheibe
Kepler-Gesetze nach Newton
Kepler-Gesetze beweisbar?
Kinetische Energie & Potenzial
Massenmittelpunkt & CM Koordinaten
• Dazu führen wir relative Koordinaten ein:



  
m1r1  m2 r2
r  r1  r2 ; R 
m1  m2
• R  Massenmittelpunkt
•
•



m2 r
r1  R 
m1  m2


r2

m1r
r2  R 
m1  m2
r1
2
2




 2  
m2 r   2  
m1r 
 ; (r2 )   R 

(r1 )   R 



m

m
m

m
1
2 
1
2 


Lagrange in CM-Koordinaten
•  Einsetzen und ausrechnen:


 2
 2
  2
m1 (r1 )
m2 (r2 )
L

 V (r1  r2 )
2
2
2
2




 
 
m2 r 
m1r 


m1  R 
m2  R 
m1  m2 
m1  m2 
 2




 V (r )
2
2
 2
 
 2
 
2

m1 ( R)
m1m2 Rr
m1 m2 r
m2 ( R) m1m2 Rr





2
2
m1  m2 2(m1  m2 )
2
m1  m2
 2
 2
 2

m1m2 (r )
(m1  m2 )( R)

m2 m1r

V  r 

V r  
2
2(m1  m2 )
2
2(m1  m2 )

 
 

Bewegung des Schwerpunktes
•  Der Lagrange in den neuen Koordinaten:
 2
 2

(m1  m2 )( R)
m1m2 (r )
L

V  r 
2
2(m1  m2 )
•  Potenzial hängt nicht von CM ab!
•  Die Euler-Lagrange-Gleichungen implizieren
Bewegung des Schwerpunktes
L d  L 

 
Ri dt  Ri 
L
 const  (m1  m2 ) Ri  Pi
Ri
• Totaler Impuls des Systems P = MV ist erhalten: 
Bewegungsintegral  CM bewegt sich linear.
Das Reduzierte 2-Körper-Problem
• Der Lagrange in CM-Koordinaten:
 2
 2

(m1  m2 )( R)
m1m2 (r )
L

V  r 
2
2(m1  m2 )
 2
 2

( P)
m1m2 (r )


V  r 
2(m1  m2 ) 2(m1  m2 )
•  Umeichung des Lagrange
 2
 2

( P)
m1m2 (r )
L'  L 

V  r 
2(m1  m2 ) 2(m1  m2 )
•  konstanter Term ist nicht relevant.
Das Reduzierte 2-Körper-Problem
•  Der neue Lagrange:
 2
 2


m1m2 (r )
m( r )
L' 
V  r  
V  r 
2(m1  m2 )
2
m1m2
m
m1  m2
•  Damit haben wir das ursprüngliche 2-KörperProblem auf ein 1-Körper Problem in einem Zentralpotenzial (Potenzial, das nur vom Abstand r zwischen
den Körpern abhängt) reduziert.
•  m = µ = m1m2/(m1+m2): reduzierte Masse
•  Anzahl Freiheitsgrade nur noch: 3
•  Dimension des Phasenraumes: 6
Sphärische Koordinaten
2
2
2
 2
m(rx  ry  rz )

m(r )
2
2
2
L' 
V  r  
 V  rx  ry  rz 


2
2
• Zentralpotenzial ist sphärisch symmetrisch
•  Günstig in sphärischen Koordinaten zu arbeiten
rx  r sin  cos  ; ry  r sin  sin  ; rz  r cos 
m(r 2  r 2 2  r 2 sin 2  2 )
L' 
 V (r )
2
Sphärische Symmetrie  Referenzebene
L'  m(r 2  r 2 2  r 2 sin 2  2 ) / 2  V (r )
• Die Euler-Lagrange-Gleichung für φ
d  L'  L'
0
   
dt    
L'
2
2
  p  const

r
m
sin





p


• Die φ Koordinate ist zyklisch:
 2
r m sin 2 
• Da das System sphärisch symmetrisch ist, haben wir
eine Freiheit in der Wahl des Referenzsystems.
• Wir wählen dies wie folgt: die Anfangsgeschwindigkeit
liege in der Ebene φ = const
•
0  0
 p  0
  0
Drehimpulserhaltung in der -Ebene
L'  m(r 2  r 2 2  r 2 sin 2  2 ) / 2  V (r )
• Euler-Lagrange Gleichung für θ
d  L'  L'
0
 
dt    
•  Die θ Koordinate ist ebenso zyklisch.
•  Der entsprechende Impuls zur θ Koordinate
L
2
  const
p 

r
m


•  Drehimpuls in der Bewegungsebene relativ zum
Ursprung ist erhalten
r 2m  rmr  rmv  rp  J  const
Das Effektive Potenzial
2
2
p
pr
p  J  const
E

 V (r )
2
2m 2mr
J2
Veff ( r ) 
 V (r)
•  effektives Potenzial
2
2mr
• Die totale Energie hängt effektiv nur von einer
Koordinate ab, der Koordinate r.
• Damit reduzierten wir das 2-Körper-Problem auf ein
1-Körper-Problem eines Teilchens mit reduzierter
Masse m im effektiven Potenzial Veff(r).
•  Anzahl Freiheitsgrade: 1
•  Dimension des Phasenraumes: 2
 Da 2 Erhaltungsgrößen existieren, totale Energie E
und Drehimpuls J, ist das Problem integrabel !
Die totale Energie E im
reduzierten 2-Körper-Problem
Das effektive Potenzial
Das effektive Potenzial
Veff(r)
ungebunden
E = 0 Parabelbahn
rmin
gebunden
Abb.: Effektives Potenzial Veff(r) bei der Bewegung
in einem Zentralfeld
Die Radiale Bewegungsgleichung
2
2
p
pr
H

 V (r )  E
2
2m 2mr
• Energieerhaltung: totale Energie ist erhalten
dH H

0
dt
t
H  const  E


p
pr  2m E 
 V (r ) 
2
2mr


2
L'
pr 
 mr
r
Die Bahngleichung nicht lösbar als f(t)

2
J2
 E 
r 
 V (r ) 
2
m
2mr

J

 2
mr
mr 2 d
dt 
J
dt 
dr
2


2
J
 E 
 V (r ) 
2
m
2mr

mr 2 d

J
dr
2


2
J
 E 
 V (r ) 
2
m
2mr

Die Bahn-Anomalie  als Func(r)
r
J dr
  0  
r0
r
2
2


J
2m E 
 V (r ) 
2
2mr


• Diese Bahngleichung kann integriert werden für
Potenziale der Form (sog. Potenzgesetze)
V (r )  ar
n
Falls n = 2, - 1, - 2, kann das Integral als
trigonometrische Funktion ausgedrückt werden.
• Falls n = 6, 4, 1, - 3, - 4, - 6, kann das Integral als
elliptische Funktion ausgedrückt werden.
Das Kepler-Problem
• Kepler Potenzial:
V (r )  r
1
• beschreibt gravitative und elektrostatische
Johannes Kepler
Wechselwirkung
(1571-1630)
• Attraktiv:
• Repulsiv:
• Integral:
k
V ( r )   ; k  Gm1m 2  0
r
k
V (r )  ; k  0
r
Jdr
  0  
2

J
k
2
r 2m E 
 
2
2mr
r

Das Kepler-Problem - Integration
k
V
(
r
)


• Betrachten wir ein attraktives Potenzial:
r
Jdr
k 0
  0  
2

1
k
J 
2

r 2m E  
u
2 
r 2mr 
r

du
2mE
  0  


2
2
2
2m( E  ku ) / J  u
J
• Integraltafel 

du
  u  u 2
 arccos
2u  
 2  4
2mk
 2
J
Das KeplerProblem
   0  arccos
2mk
2u  2
J
2
2mE
 2mk 
 2  4 2
J
 J 
2
uJ
1
   0  arccos km
2
2 EJ
1
2
mk
Das Kepler-Problem – arccos
invertieren
2
2
2 EJ
uJ
1 1
cos(   0 ) 
2
mk
km
1
u
r
 1
km 
2 EJ 2

1

1

cos(



)
0
2 
2
 r
J 
mk

Das Kepler-Problem – radiale Lösung

1 km 
2 EJ 2

 2 1 1
cos(



)
0
2


r J 
mk

1
 C 1  e cos(   0 ) 
r
km
 C  1/ p
2
J
2 EJ 2
1
e
2
mk
• Damit haben wir die radiale Bahnform erhalten,
parametrisiert durch totale Energie E und Drehimpuls.
•  Abhängig von den Konstanten C und e nimmt die
Form der Bahn verschiedene Gestalt an.  e < 1, falls
E < 0, d.h. für gebundene Bahnen! e = 0  Kreisbahn.
•  Für ein positives C (Attraktion) repräsentieren die
Bahnen Kegelschnitte: Ellipsen, Parabel und Hyperbel.
Polarform: r() = p/(1 + e cos())
p
Gebundene Bahnen sind Ellipsen
2
 rx  rx 0   ry 

     1
• Falls 0  e  1
 a  b
2
2
•
1  e ist reell und b ist positiv.
2
• Der Orbit ist eine Ellipse mit Fokus verschoben vom
Ursprung um rx 0 und zwei Hauptachsen a und b
• Parameter p = 1/C  semilatus rectum
p
ea
p
a
2
1 e
p
1  e2
b
y
Ellipsengleichung
Kartesisch
x
a=3
b=2
e=?
p=?
Fokalpunkte = ?
Polargleichung r = ?
Gebundene Bahnen E < 0  Ellipsen
2
 rx  rx 0   ry 

     1
 a  b
2
mk 2
Veff (rmin )  
2
2 p
2
2 Ep
0  e 1
0  1
1
2
mk
Veff (rmin )  E  0
• Ellipse: Pendelbahn zwischen
2 Radien
Perihel
Aphel
2
mk

E0
2
2 p
Aphel
Die Exzentrizität der Kepler-Bahn
2
2
 rx  rx 0   ry 

     1
 a  b
2
2
p
p
a

b
p
b
e

a
2
2
a
1 e
1 e
• Der Parameter e ist die Exzentrizität der Ellipse
ep
 rx 0
2
1 e
p
a  rx 0 
1 e
• Für konstante Energie nimmt Perihel
ab mit zunehmender Exzentrizität
Anhang: Geometrie der Kepler-Bahnen
rx
1
• Falls e  0
 C 1  e cos(   0 )  cos(   0 ) 
r
r
rx 
1

 r 1  e   r  erx
C 
r
1
r   erx  p  erx
C
rx  ry  r  p  2erx p  e rx
2
2
2
2
2
2
(1  e )rx  2erx p  ry  p
2
2
2
2
Anhang: Geometrie der Kepler-Bahnen 2
• Falls
e 1
2
 1  e2  
ep   1  e 2  2

  rx 

ry  1
2 
1  e   p 
 p 
p
p
ep
a

b

r
2
x
0
2
2
1 e
1 e
1 e
2
2
2
 rx  rx 0   ry 

     1
 a  b
2
Ellipsengleichung
Geometrie der Kepler-Bahnen e = 0
• Effektives Potenzial:
2
J
k
Veff (r ) 

2
2mr
r
• Im Falle
e0
1
 C 1  e cos(   0 ) 
r
1
C
r
• Kreisbahn
2
k 2m
Veff (rmin )  
2
2 p
2 EJ
e  1
0
2
m(GmM )
1
r
C
k 2m
E 2
2J
 Veff (r0 )
•
Geometrie der Kepler-Bahn e > 1
22
22
 rxx  rxx 00   ryy 
h

 
    1
b
e 1
 a   b' 
1  e2
• Dann
1 e
2
ist imaginär und
•  Die Bahn ist eine Hyperbel.
b
2
ist negativ
b  ib'