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Ursprung und Strömungsverlauf von Luftpaketen aus
orographischen Bannerwolken beim Überströmen
eines idealisierten Berges
von
Sebastian Schappert
Masterarbeit
am Institut für Physik der Atmosphäre
Johannes-Gutenberg Universität Mainz,
den 5. September 2014
Ich versichere, dass ich die vorliegende Arbeit selbstständig verfasst und keine anderen
als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel benutzt, sowie Zitate mit der Angabe der
Herkunft kenntlich gemacht habe.
Mainz, den 5. September 2014
Sebastian Schappert
Frauenlobstraße 97
55118 Mainz
[email protected]
Martrikelnummer 2659343
Abstract
Bannerwolken treten häufig im Lee von hochaufragenden Berggipfeln oder an scharfen
Bergrücken auf. Selbst an wolkenfreien Tagen ist ihre Beobachtung möglich, da sie sich
hauptsächlich durch starke Hebung von Luftmassen im Lee des Berges bilden. Diese
Hebung steht in Zusammenhang mit einem Lee-Rotor. Dem Einfluss der Freisetzung von
latenter Wärme kann eine untergeordnete Rolle bei der Bannerwolkenbildung zugewiesen
werden. Deshalb zeigt sich die Simulation einer trockenen Strömung um eine idealisierte
Orographie in Form einer Pyramide mithilfe einer sogenannten Grobstruktursimulation
als ausreichend zur Simulation einer Bannerwolke. In dieser Arbeit liegt das Hauptaugenmerk dabei auf dem Ursprung sowie dem Strömungsverlauf von Luftpaketen aus dieser Bannerwolke. Neben Euler’schen Spurenstoffen zur Abschätzung der Lagrange’schen
Verschiebung, können Stromlinien entlang des zeitlich gemittelten Strömungsfeldes sowie
Online-Trajektorien des instantanen Strömungsfeldes als Diagnostik bemüht werden.
Die Euler’schen Spurenstoffe weisen als Ursprung der Luftpakete aus der Wolkenregion eine konzentrierte Region am Einströmrand auf halber Höhe der Pyramide auf,
was darauf hindeutet, dass Luftpakete auf dem Weg in die Wolke stark gehoben werden müssen. Bei der Untersuchung von Stromlinien werden allerdings zwei verschiedene
Klassen von Luftpaketen auf dem Weg in die Wolke ersichtlich. Während die erste Klasse
Ähnlichkeit zur Region der Euler’schen Spurenstoffe am Einströmrand besitzt und auf
direktem Weg in die Wolke verläuft, weicht die zweite Klasse erheblich von der Ersten ab:
Sehr niedrig startende Luftpakete umströmen den Berg komplett und werden in dessen
Lee verhältnismäßig langsam durch den Lee-Rotor in die Wolke gehoben. Weiterhin ermöglicht ein spezifischer Feuchtespurenstoff die Beschreibung von Mischung entlang der
Stromlinien. Während die erste Klasse von Luftpaketen teilweise befeuchtet wird, erfährt
die zweite Klasse ausschließlich Trocknung. Die Untersuchung einer Stromlinie durch den
Wolkenmittelpunkt unterstreicht diese Ergebnisse. Online-Trajektorien weisen ebenfalls
die grundlegenden Eigenschaften der beschriebenen Diagnostiken auf. Allerdings sorgt
hier Turbulenz für starke Streuung, weswegen keine klar definierten Klassen von Trajektorien auszumachen sind.
Eine alternative numerische Implementierung von Euler’schen Spurenstoffen zur Abschätzung der Lagrange’schen Verschiebung ermöglicht, neben einem Test zur Güte der
Numerik des verwendeten Modells, die Berechnung von Pseudotrajektorien und die Darstellung quasi-periodischer Fluktuationen im Lee des Berges. Die Beschreibung des Ursprungs von Luftpaketen aus Bannerwolken mittels Pseudotrajektorien schlägt aufgrund
starker Turbulenz im Lee des Berges fehl. Diese Diagnostik ist lediglich für laminare
Strömungen geeignet. Des Weiteren kann die Existenz einer Kármán’schen Wirbelstraße
mithilfe der lateralen Lagrange’schen Verschiebung nicht bestätigt werden.
Inhaltsverzeichnis
1
Einleitung
1.1 Ziele und Aufbau der Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
3
2
Theorie
2.1 Umströmung von Hindernissen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
3
Modell
3.1 Das EULAG-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Modellläufe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
9
18
4
Diagnostik
4.1 Feuchte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Euler’sche Abschätzung der Lagrange’schen Verschiebung .
4.3 Wolkendefinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Alternative Abschätzung der Lagrange’schen Verschiebung
4.5 Pseudotrajektorien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Stromlinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7 Trajektorien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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31
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34
38
42
44
53
59
5
Ergebnisse
5.1 Beschreibung des Strömungsfeldes . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Euler’sche Abschätzung der Lagrange’schen Verschiebung .
5.3 Wolkendefinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Alternative Abschätzung der Lagrange’schen Verschiebung
5.5 Pseudotrajektorien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6 Stromlinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7 Trajektorien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8 Ergebnisse der modifizierten Wolkendefinition . . . . . . . .
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6
Zusammenfassung und Ausblick
64
7
Anhang
7.1 Ein- und Ausgabe von Datentypen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Implementation eines Trajektorienmoduls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
67
67
1 Einleitung
1
Masterarbeit
Einleitung
Nach der Definition im „Glossary of Meteorology“ (Glickman, 2000) handelt es sich bei
einer Bannerwolke um eine Fahnen-ähnliche Wolkenstruktur, welche sich häufig stromabwärts von isoliert stehenden, hochaufragenden Berggipfeln erstreckt. Selbst an generell
wolkenfreien Tagen kann dieses beeindruckende Phänomen an Berggipfeln wie dem Säntis (Peppler, 1927) und dem Matterhorn in der Schweiz (Douglas, 1928), dem Everest im
Himalaja-Gebirge in Nepal und China (Hindman und Wick, 1990) oder auch an lang gezogenen Bergrücken wie dem Zugspitzgrat in Deutschland (Küttner, 1949; Schween et al.,
2007; Wirth et al., 2012) beobachtet werden. Die Fotografien in Abbildung 1 zeigen beispielhaft zwei Bannerwolken am Matterhorn, wobei dieses in (a) von rechts nach links und
in (b) von links nach rechts angeströmt wird.
Eine der ersten wissenschaftlichen Beschreibungen geht auf Hann et al. (1896) zurück,
welcher neben einer Skizze einer Bannerwolke am großen Wiesbachhorn in Österreich
auch eine Entstehungshypothese beschreibt, welche auf der Existenz eines sogenannten
Lee-Rotors basiert. Trotz der Häufigkeit ihrer Erscheinung [durchschnittlich 8 bis 12 Ereignisse pro Sommermonat an der Zugspitze (Wirth et al., 2012)] ist das wissenschaftliche
Interesse am Entstehungsmechanismus der Bannerwolke und den zugrundeliegenden dynamischen und thermodynamischen Prozessen im folgenden Jahrhundert sehr zurückhaltend und eher spekulativer Natur. Anfang des 21. Jahrhunderts werden Beobachtungen
an der Zugspitze (z.B. Peppler, 1927; Küttner, 2000) mit Filmen von Bannerwolken im
Zeitraffer von Schween et al. (2007) kombiniert und eine umfangreiche Definition der
Bannerwolke erstellt. Dieser Definition nach darf die Bannerwolke ausschließlich auf der
windabgewandten Seite (Lee) des Berges auftreten. Ihre Konsistenz sollte aus kondensiertem Wasserdampf bestehen, um die Wolke nicht mit einem Schneebanner zu verwechseln,
bei welchem Schnee- und Eiskristalle vom Gipfel verweht werden. Die Lebensdauer der
Bannerwolke sollte die Zeit überdauern, welche ein Luftpaket benötigt, die Bannerwolke horizontal zu durchlaufen und befindet sich in der Größenordnung von einer Stunde
(Wirth et al., 2012). Des Weiteren besitzt die Bannerwolke primär keinen konvektiven
Charakter. Das Aufsteigen der Luftmassen ist demnach nicht durch den Auftrieb bedingt,
sondern durch dynamisch erzwungene Hebung im Lee des Berges. Unter Berücksichtigung dieser Definition analysieren Wirth et al. (2012) systematische Beobachtungen von
Bannerwolkenereignissen an der Zugspitze und tragen somit wesentlich zum Verständnis
der Bannerwolken-Klimatologie bei. Dabei werden an 797 Tagen insgesamt 170 Bannerwolkenereignisse gezählt. Das Hauptaugenmerk liegt dabei unter Anderem auf der Zeitskala,
auf der Bannerwolken existieren. Diese beläuft sich im Schnitt auf 40 Minuten. Tendenziell treten Bannerwolken häufiger in Sommermonaten auf. Hier werden durchschnittlich
10 Ereignisse pro Monat gezählt. In Wintermonaten sind es durchschnittlich lediglich 2 Ereignisse. Des Weiteren liefern Reinert und Wirth (2009) Informationen zur Verteilung von
Anströmgeschwindigkeit und -richtung der Zugspitze bei einem Bannerwolkenereignis.
Mit dem Fortschritt der Technik und der somit möglichen numerischen Untersuchung
der Bildung von Leewirbeln hinter einem dreidimensionalen, glockenförmigen Hindernis
1
1 Einleitung
(a)
Masterarbeit
(b)
Abbildung 1: Fotografien von Bannerwolken am Matterhorn. Quelle: (a) Z. Grossen1 und
(b) N. Saljic2 .
von Smolarkiewicz und Rotunno (1989) werden die bis dahin veröffentlichten Entstehungshypothesen von Geerts (1992) in drei Kategorien zusammengefasst und diskutiert. Sowohl
die adiabatische Expansion in einem lokalen Druckminimum im Lee des Berges (BernoulliEffekt), als auch die Entstehung durch Mischungsnebel sind seiner Ansicht nach weniger
wichtig bei der Entstehung von Bannerwolken. Hauptsächlich verantwortlich macht er
den Lee-Rotor. Daraufhin folgende numerische Simulationen stellen den Vergleich dieser
Hypothesen an und entlarven den Lee-Rotor als wichtigsten und ausreichenden Mechanismus bei der Entstehung von Bannerwolken (Voigt und Wirth, 2013). Dabei führt das
Ablösen der Strömung zur Ausbildung einer bogenförmigen Wirbelstruktur und zur Hebung der Luftmassen im Lee des Berges. Diese Hebung sorgt für adiabatische Expansion
und folglich für die Kühlung der leeseitigen Luftmassen, was letztlich zur Kondensation
des Wasserdampfes und zur Bannerwolkenbildung führt. Hier kommt es zur Ausprägung
einer Asymmetrie in der Hebung zwischen der windzugewandten Seite (Luv) und dem
Lee des Berges. Reinert und Wirth (2009) zeigen, dass diese Asymmetrie eine wichtige Voraussetzung für die Bannerwolkenbildung darstellt. Des Weiteren wird im Rahmen ihrer
Untersuchungen festgestellt, dass die Freisetzung von latenter Wärme in erster Näherung
vernachlässigbar ist und die Bannerwolke als rein dynamisches Phänomen verstanden
werden kann. In seinen Beobachtungen stellt Küttner (2000) ebenfalls eine Asymmetrie in
Temperatur und Feuchte zwischen Luv und Lee des Berges fest. Demnach ist die leeseitige
Luftmasse um 3 bis 4 ◦C wärmer und 40 % bis 70 % feuchter als die luvseitige Luftmasse.
1
2
http://en.academic.ru/pictures/enwiki/66/Banner_clouds.jpg
http://www.nenadsaljic.com/photography/portrait-matterhorn/
2
1 Einleitung
1.1
Masterarbeit
Ziele und Aufbau der Arbeit
In seiner Diplomarbeit diskutiert Voigt (2012) erste Ansätze, um den Ursprung der Luftpakete, welche die Bannerwolke durchströmen, zu beschreiben. Mithilfe einer Euler’schen
Abschätzung der vertikalen Lagrange’schen Verschiebung ∆z ermittelte Voigt (2012) eine
Region am Einströmrand, die, bedingt durch Hebung, im Mittel mehr als 500 m tiefer als
die simulierte Bannerwolke liegt. In dieser Arbeit wird die Frage nach dem Ursprung
dieser Luftpakete aufgegriffen. Dazu wird ein weiterer kartesischer Spurenstoff ∆y zur
Ermittelung der Lagrange’schen Verschiebung senkrecht zur Einströmrichtung (lateral)
eingeführt. Damit ist es möglich, eine erste zweidimensionale Abschätzung der Herkunft
der Luftpakete am Einströmrand zu unternehmen (siehe Abschnitt 4.2 und 5.2).
Es besteht eine weitere Möglichkeit, die Lagrange’sche Verschiebung mithilfe sogenannter δ-Spurenstoffe abzuschätzen. Analytisch sind diese Spurenstoffe mit der bereits
erwähnten ∆-Diagnostik gleichzusetzen, die numerische Implementation unterscheidet
sich jedoch. Ein Vergleich beider Methoden lässt somit Rückschlüsse über die Güte der
Numerik des verwendeten Modells zu (siehe Abschnitt 4.4 und 5.4). Des Weiteren wird
der Versuch unternommen, den Laufweg der Luftpakete aus der Bannerwolke mithilfe
der δ-Spurenstoffe zurückzuverfolgen. Im weiteren Verlauf werden diese Laufwege als
Pseudotrajektorien bezeichnet (siehe Abschnitt 4.5 und 5.5).
Rückwärtstrajektorien aus der Bannerwolke, berechnet mit dem mittleren Windfeld
(siehe Abschnitt 4.6 und 5.6), als auch Trajektorien des instantanen Windfeldes (siehe Abschnitt 4.7 und 5.7), welche zur Laufzeit der Simulation berechnet werden, stellen den
Hauptteil dieser Arbeit dar. Hierbei werden sowohl einzelne, durch den Wolkenmittelpunkt verlaufende Trajektorien, als auch bestimmte Gruppen von Trajektorien unter einem
statistischen Aspekt beleuchtet.
In Kapitel 2 wird zunächst auf die grundlegenden Eigenschaften einer Strömung um
ein pyramidenförmiges Hindernis eingegangen. Für die im Rahmen dieser Arbeit durchgeführten Simulationen wird das als EULAG bekannte Modell verwendet, welches in
Kapitel 3 näher vorgestellt wird. Mithilfe der in Kapitel 4 eingeführten Diagnostiken ist es
möglich, die Herkunft der Luftpakete zu ermitteln. Außerdem können Mischungsprozesse
zwischen Einströmrand und Bannerwolke untersucht werden, wodurch die Unterscheidung zwischen Trocknen und Befeuchten von Luftpaketen, die die Bannerwolke durchlaufen, sowohl qualitativ als auch quantitativ möglich wird. Diese und weitere, interessante
Ergebnisse werden in Kapitel 5 beschrieben und graphisch dargestellt.
3
2 Theorie
2
Masterarbeit
Theorie
2.1
Umströmung von Hindernissen
Bei der Umströmung von Hindernissen, d.h. über oder um das Hindernis, durch etwaige
Lücken des Hindernisses oder das Blockieren der Strömung durch das Hindernis, spielen
nach Whiteman (2000, S. 141) im Wesentlichen drei Faktoren eine bedeutende Rolle, um
den weiteren Verlauf der Strömung zu charakterisieren. Zu diesen Faktoren zählt erstens,
die Stabilität der Schichtung ∂θ/∂z der den Berg anströmenden Luftmassen, zweitens, deren Strömungsgeschwindigkeit U und drittens, die Charakteristik des Hindernisses. Die
Stabilität der Schichtung wird hierbei über die potentielle Temperatur θ definiert.
Während instabile oder neutral geschichtete Luftmassen aufgrund ihrer positiven Auftriebskräfte den Berg überströmen, neigen stabile Luftmassen dazu, Hindernisse eher zu
umströmen, da in diesem Fall die negative Auftriebskraft dem Aufsteigen am Hindernis
entgegenwirkt. Durch die auf das Hindernis treffende Strömung erwartet man außerdem ein Druckmaximum auf der der Strömung zugewandten Seite (Luv), welches für
einen horizontalen Druckgradienten und somit einer horizontalen Beschleunigung der
Luftmassen sorgt. Dementsprechend benötigt eine instabile oder neutrale Schichtung eine niedrigere Strömungsgeschwindigkeit zur Überströmung des Hindernisses. Eine hohe Strömungsgeschwindigkeit ermöglicht jedoch eine Überströmung gegen eine stabile
Schichtung. Selbstverständlich spielt auch die Orographie eine bedeutende Rolle. Bei kleinen hügelartigen Hindernissen wird deutlich weniger Energie zur Überströmung benötigt
als bei einer quasi-zweidimensionalen Orographie, bei welcher die gesamte Strömung
zum Überströmen gezwungen wird. Des Weiteren beeinflusst die Steigung der Orographie die sogenannte Strömungsablösung, welche im nächsten Unterabschnitt detailliert
beschrieben wird. Ein langsam ansteigendes Hindernis begünstigt eine anliegende Strömung, wohingegen eine steil ansteigende Orographie, sowie scharfe Kanten, zu einem
Abreißen der Strömung führen (Scorer, 1958, S. 245).
Werden stabil geschichtete Luftmassen zum Überströmen von Hindernissen gezwungen, entstehen orographie-induzierte Schwerewellen. Da diese jedoch im Rahmen dieser
Arbeit nicht untersucht werden, möchte ich interessierte Leser u.a. auf die Arbeit von Voigt
(2012, S. 8) verweisen.
2.1.1
Strömungsablösung
Die bereits erwähnte Strömungsablösung wird nach verschiedenen charakteristischen
Punkten definiert. So kommt es am sogenannten Ablösepunkt zum Stillstand der Strömung (Scorer, 1958, S. 105). Die durch die Bodenreibung in der Grenzschicht verlangsamte
Strömung verläuft hier entgegen der Druckgradientkraft und kommt so zum Stillstand.
Hinter diesem Punkt stellt sich eine Strömung entgegen der Strömungsrichtung und somit
in Richtung der Druckgradientkraft ein. Der sogenannte Wiederanlegepunkt der Strömung
befindet sich weiter stromabwärts und bezeichnet den Punkt, an dem die Windkomponente in x-Richtung der Strömung erneut einen Vorzeichenwechsel am Boden vollzieht.
4
2 Theorie
Masterarbeit
Abbildung 2: Ölfilm-Visualisierung von Strömungseigenschaften um eine Pyramide mit
einem Steigungswinkel von 60◦ in einer dünnen Grenzschicht. Die Haupteigenschaften sind mit Buchstaben markiert. Kleine weiße Pfeile an der Seite
der Pyramide zeigen die Bewegungsrichtung einzelner Öl-Pigmente.3
Zwischen beiden Punkten kann es zu einem Abreißen der Strömung vor allem an scharfen
Kanten des Hindernisses und zur Ausbildung von Wirbeln kommen. Dieser Abriß ist
unabhängig von der Windgeschwindigkeit (Scorer, 1958, S. 111). Des Weiteren verlaufen
die Luftmassen in höheren Schichten so, als ob die Orographie die Form der vom Boden
abreißenden Stromlinie hätte. Wie im weiteren Verlauf dieser Arbeit gezeigt wird, können
mehrere Ablösepunkte beim Umströmen eines Hindernisses existieren.
2.1.2
Umströmung einer Pyramide
Da das Abreißen der Strömung an scharfen Kanten eines Hindernisses erfolgt, hängt die
Strömungsgeometrie im Lee von der Geometrie des Hindernisses ab. Im Rahmen dieser
Arbeit beschäftigen wir uns mit einer idealisierten Orographie in Form einer Pyramide.
Diese Orographie wurde in Anlehnung an spitze, isoliert stehende Berggipfel wie zum
Beispiel dem Matterhorn, an welchem regelmäßig Bannerwolkenbildung beobachtet werden kann, gewählt.
Die Charakteristik der Strömung um ein pyramidenförmiges Hindernis wurde bereits in verschiedenen Windkanalexperimenten beispielsweise von Chyu und Natarajan
(1996) oder Martinuzzi und AbuOmar (2003) sowie in numerischen Simulationen von
Krajnovic und Larusson (2012) untersucht. Generell teilt sich die Strömung stromaufwärts
einer Pyramide, deren führende Seite senkrecht zur Einströmrichtung ausgerichtet ist.
3
Quelle: Abbildung 3 in Martinuzzi und AbuOmar (2003)
5
2 Theorie
Masterarbeit
Dies wird bei der Visualisierung von
Strömungseigenschaften um eine Pyramide mit einer sogenannten ÖlfilmVisualisierungstechnik aus Martinuzzi
und AbuOmar (2003) ersichtlich (siehe
Abbildung 2). Hier markiert der Buchstabe B den Punkt, an welchem sich
die Strömung teilt. Dadurch besteht die
Möglichkeit zur Ausbildung einer oro- Abbildung 3: Skizze einiger Haupteigenschafgraphisch bedingten Wirbelstruktur im ten einer Strömung um eine Pyramide mit
Luv. Diese Wirbelstruktur ist in der Lite- höhenkonstantem Einströmprofil und Reibung
ratur auch als „bolster“ oder Hufeisen- in der Grenzschicht. Linien repräsentieren
wirbel bekannt (Scorer, 1958). Die Achse Stromlinien des zeitlich gemittelten Windfeldes Hufeisenwirbels verläuft im Luv der des, schattierter Schlauch zeigt den BogenwirPyramide parallel zu deren windzuge- bel im Lee der Pyramide.4
wandter Seite und legt sich in Stromrichtung an die Seiten der Pyramide an. In Abbildung 2 wird der Hufeisenwirbel durch die
feine weiße Linie, welche mit A’ und A markiert ist, repräsentiert. Oberhalb des Hufeisenwirbels befindet sich ein Stagnationspunkt bei C, an welchem die Strömung zum
Stillstand kommt. Ein weiterer Punkt der Strömungsablösung befindet sich weiter oben an
der Spitze der Pyramide (nicht eingezeichnet). Dort vollzieht die Strömung in Hauptströmungsrichtung erneut einen Vorzeichenwechsel und es entsteht eine Strömung entgegen
der Einströmrichtung dahinter. Durch die führenden scharfen Kanten der Pyramide reißt
die Strömung ab und es entstehen weitere Wirbelstrukturen, u.a. an den Seiten der Pyramide mit einer ansteigenden Rotationsachse in Strömungsrichtung, hier durch F, G1 und
G2 angezeigt. Die Strömung einzelner Ölpigmente an dieser Stelle ist durch kleine weiße
Pfeile verdeutlicht. Im Bereich zwischen dem Ablösepunkt an der Spitze der Pyramide
und dem Wiederanlegepunkt (E und Es) stromabwärts bildet sich, aufgrund der an den
Kanten der Pyramide abreißenden Strömung und der rückläufigen Strömung im Lee, eine
wirbelartige Struktur aus. Hierbei handelt es sich um den Lee-Rotor, welcher Teil eines sogenannten Bogenwirbels ist (Chyu und Natarajan, 1996; Martinuzzi und AbuOmar, 2003).
Der Buchstabe D in Abbildung 2 zeigt einen der beiden Fußpunkte des Bogenwirbels, die
vertikale weiße Linie bei Buchstabe H indiziert ebenfalls einen Bogenwirbel. Abbildung 3
aus der Veröffentlichung von Voigt und Wirth (2013) skizziert das Koordinatensystem und
einige Haupteigenschaften des Verlaufs von Stromlinien bei der Umströmung einer Pyramide mit höhenkonstantem Einströmprofil und Reibung in der Grenzschicht. Des Weiteren
wird der Bogenwirbel durch den Schlauch im Lee der Pyramide angedeutet.
4
Quelle: Abbildung 4 in Voigt und Wirth (2013)
6
2 Theorie
Masterarbeit
Abbildung 4: Luftaufnahme vom 15. September 1999 einer Kármán’schen Wirbelstraße,
ausgelöst durch die Orographie der Robinsón Crusoe Insel vor der Chilenischen Küste im südlichen Pazifik. Quelle: NASA5 .
2.1.3
Kármán’sche Wirbelstraße
Mithilfe der Reynoldszahl Re lassen sich Strömungen im Bezug auf ihre Turbulenz charakterisieren. Sie bezeichnet das Verhältnis aus Trägheits- und inneren Reibungskräften und
ist definiert als
UL
Re =
(1)
ν
wobei U die Strömungsgeschwindigkeit, L die charakteristische Länge bzw. Größe des
Hindernisses und ν die kinematische Viskosität bezeichnen (Pruppacher und Klett, 1980).
Überwiegen die Trägheitskräfte den Reibungskräften, so können sie nicht mehr gedämpft
werden und die Strömung wird turbulent. Wie bereits erwähnt, reißt die Strömung an
den Kanten der Pyramide ab. Reibung sorgt hier für eine Asymmetrie im anfänglich ungestörten Geschwindigkeitsfeld, sodass die Windkomponenten in x-Richtung in der Nähe
der Pyramide kleiner werden. Außerdem herrscht auf der Rückseite der Pyramide ein
Unterdruck. Durch diese Brechung der Symmetrie kommt es zu einer alternierenden Wirbelablösung und dem Entstehen eines regelmäßigen Musters aus zwei versetzten, um die yAchse symmetrischen Reihen von Wirbeln. Dieses Phänomen ist bekannt als Kármán’sche
Wirbelstraße und kann unter anderem bei der Umströmung aus dem Meer ragender Inselgruppen beobachtet werden. Ein Beispiel hierfür zeigt sich am 15. September 1999 an der
Robinsón Crusoe Insel vor der Chilenischen Küste im Pazifik, wie im Satellitenbild in Abbildung 4 ersichtlich wird. Im Bezug auf Wirbelstraßen findet man vor allem theoretische
5
http://eoimages.gsfc.nasa.gov/images/imagerecords/0/625/vortex_lg.jpg
7
2 Theorie
Masterarbeit
Untersuchungen, beispielsweise von Mohseni (2000), der das Umströmen von Zylindern
für einen weiten Bereich an Reynoldszahlen beschreibt.
2.1.4
Trajektorien und Stromlinien
Es existieren viele verschiedene Quellen in der Literatur, um die Definition von Trajektorien
und Stromlinien nachzuschlagen [siehe beispielsweise Dutton (1978); Salby (1996); Holton
(2004)]. Im Allgemeinen bezeichnet eine Trajektorie die Evolution des Laufweges bzw. die
zeitliche Verfolgung eines bestimmten Luftpakets oder Flüssigkeitsteilchens im dreidimensionalen Raum ~
x = (x, y, z). Geht man von einem Startpunkt ~rt (t0 ) = ~rt,0 = ~
x(t0 ) = ~
x0 mit der
~(~
~0 zum Startzeitpunkt
Einwirkung des instantanen Windfeldes an diesem Punkt u
x0 , t0 ) = u
~0 dt
t0 aus, so bewegt sich das Luftpaket innerhalb eines Zeitintervalls dt genau um d~
x=u
fort. Somit kann die zeitliche Änderung entlang einer kontinuierlichen Trajektorie ~rt (t) mit
infinitesimal kleinem Zeitschritt dt und Bahnparameter t angegeben werden mit
d~rt (t)
~(~rt (t), t).
=u
dt
(2)
Während man sich bei Trajektorien des instantanen Windfeldes bedient, so berechnen wir
~(~rs (s), t0 ), wobei sich entlang Stromlinien
Stromlinien ~rs (s) mit einem stationären Windfeld u
mithilfe des Bahnparameters s bewegt wird. Somit ergibt sich die Änderung entlang der
Stromlinie zu
d~rs (s)
~(~rs (s), t0 ).
=u
(3)
ds
Um die jeweilige Trajektorie bzw. Stromlinie zu erhalten, müssen Gleichungen (2) und (3)
jeweils integriert werden, was jedoch analytisch unmöglich ist. Deshalb werden diese
oftmals bei numerischen Simulationen mithilfe des Euler-Verfahrens auf einem diskreten
Gitter realisiert:
~rt (t + dt) = ~rt (t) + u
~(~rt (t), t)dt
(4)
~rs (s + ds) = ~rs (s) + u
~(~rs (s), t0 )ds
(5)
Die skalaren Felder der im Modell berechneten Variablen liegen nur als diskrete Felder
vor und werden daher entlang von Trajektorien bzw. Stromlinien interpoliert, um eine
realitätsnahe Modellierung zu gewährleisten. Die technische Umsetzung ist in Kapitel 4
beschrieben.
8
3 Modell
3
Masterarbeit
Modell
3.1
Das EULAG-Modell
Wie bereits erwähnt wird das numerische Modell EULAG (engl.: Eulerian/ semi-Lagrangian
numerical model) in dieser Arbeit zur Simulation einer Strömung um eine Pyramide und
den daraus resultierenden Strömungsmustern verwendet. Entwickelt wurde das Modell
hauptsächlich von Piotr Smolarkiewicz und Kollegen am National Center for Atmospheric
Research (NCAR) in Boulder, Colorado, USA, zur Simulation von geophysikalischen Strömungen auf unterschiedlichsten Skalen6 . Durch die einzigartige Kombination eines numerischen nicht-oszillierenden „forward-in-time“ Algorithmus und einer robusten, iterativen
Lösung elliptischer Differentialgleichungen mit generalisierten Koordinaten besteht die
Möglichkeit, numerische Experimente auf zeitlich adaptiven Gittern in komplexer, selbst
zeitabhängiger Modellgeometrie durchzuführen. Der Programmcode unserer Version ist
größtenteils in FORTRAN 77 geschrieben, vollständig parallelisiert und kann auf verschiedenen Plattformen ausgeführt werden.
In den folgenden Unterabschnitten gebe ich lediglich einen kurzen Einblick in die
grundlegenden Gleichungen zur Beschreibung der verwendeten Modelleigenschaften, da
die Untersuchung des analytischen bzw. numerischen Modells an sich nicht Bestandteil
dieser Arbeit ist. Eine ausführliche Beschreibung und Übersicht über diverse Einstellungsmöglichkeiten des Modells ist u.a. Prusa et al. (2008) zu entnehmen.
3.1.1
Grobstruktursimulation
Die Simulation turbulenter Strömungen ist nach wie vor eine der größten Herausforderungen in der numerischen Strömungsmechanik. Ein Beispiel der Umsetzung bietet
die Grobstruktursimulation (LES, engl.: Large eddy simulation), welche Anwendung in der
Meteorologie seit den siebziger Jahren findet (Smagorinsky, 1963; Deardorff, 1970). Diese stellt eine Art Mittelweg zwischen der rechenzeitaufwendigen Direkten Numerischen
Simulation (DNS) und der statistischen Betrachtung von Turbulenz auf Grundlage der
Reynolds-gemittelten Navier-Stokes Gleichungen (engl.: Reynolds-avereged Navier Stokes,
im Folgenden RANS), welche verhältnismäßig wenig Rechenzeit beansprucht, dar (Fröhlich, 2006). Während die DNS darauf ausgelegt ist, kleinste Wirbel aufzulösen, wird bei
der RANS-Methode lediglich die zeitlich gemittelte Strömung betrachtet. Der turbulente
Anteil muss hier mithilfe eines Turbulenzmodells komplett parametrisiert werden, wodurch die Auflösung von Wirbeln verringert, d.h. verschlechtert, wird. Das Ziel der LES ist
es, Turbulenz auf großen Skalen aufzulösen und diese auf einem Gitter zu diskretisieren.
Erreicht wird dies durch die Anwendung eines Filters auf die Navier-Stokes Gleichungen,
um kleine Skalen aus den Gleichungen zu entfernen und so die Dynamik großer Skalen zu
isolieren. Die resultierenden Gleichungen werden im Anschluß numerisch gelöst, kleine
Skalen werden parametrisiert. Dies basiert auf der Hypothese, dass große Skalen, im Vergleich zu kleinen Skalen, die meiste Energie beinhalten und eine individuellere Struktur
6
http://www.mmm.ucar.edu/eulag/
9
3 Modell
Masterarbeit
besitzen.
Bei der Parametrisierung von Turbulenz auf kleinen Skalen unterscheidet man generell zwischen expliziter und impliziter LES. Kleine Skalen werden bei der expliziten
LES mithilfe eines Feinstrukturmodells parametrisiert, das heißt Energie, welche kaskadenartig von großen zu kleinen Skalen weitergereicht wird, muss dissipiert werden. Das
Feinstrukturmodell, welches Anwendung in dieser Arbeit findet, folgt der prognostischen
Turbulenten Kinetischen Energiegleichung (TKE) (Stull, 1988, S. 152), wodurch Impulsund Wärmeflüsse auf den kleinen Skalen parametrisiert werden. Seine Aufgabe ist es
also, die Gleichungen der großen, aufzulösenden Skalen zu schließen, indem der Effekt
ihrer nicht-linearen Wechselwirkung mit kleinen, nicht aufzulösenden Skalen modelliert
wird. Einzelheiten, sowie eine ausführliche Diskussion sind unter anderem Smolarkiewicz
und Margolin (1997) und Fröhlich (2006) zu entnehmen. Seit einiger Zeit ist nun bekannt,
dass der nicht-lineare, lokale Diskretisierungsfehler der Navier-Stokes Gleichungen das
explizit angewendete Feinstrukturmodell beeinträchtigen kann. Allerdings kann dieser
Fehler auch von Nutzen sein. Im Gegensatz zur expliziten LES wird bei der impliziten LES
(iLES) eine numerische Diskretisierung gesucht, welche auf ökonomische Art und Weise
das Feinstrukturmodell ersetzt, indem der numerische Diskretisierungsfehler alleine für
die Feinstrukturmodellierung zuständig ist (Adams und Hickel, 2009). Das hierbei verwendete Verfahren erzeugt lokal an Orten starker Gradienten zusätzliche Dissipation, um
Oszillationen der Lösung zu dämpfen bzw. zu vermeiden (Fröhlich, 2006).
Die Advektion in diesem Modell erfolgt mithilfe des MPDAT-Algorithmus (engl.: Multidimensional Positive Definite Advection Transport Algorithm, abgek. MPDATA), einem nichtoszillierenden numerischen Schema nach Smolarkiewicz (1983). Dabei wird beim Einschalten eines expliziten Feinstrukturmodells keine zusätzliche Dissipation von MPDATA
induziert. Interessanterweise wurde der Algorithmus so angelegt, dass bei fehlender expliziter Turbulenz, MPDATA selbst ein effektives Pseudo-Feinstrukturmodell antreibt, um
somit den Effekt von nicht aufgelösten Skalen zu parametrisieren. Detaillierte Beschreibungen und Anwendungen sind in der Literatur zu finden [siehe u.a. Smolarkiewicz (1983)
und Margolin et al. (1999)].
3.1.2
Analytik und Numerik
Im Bezug auf die Analytik des Modells existieren mehrere optionale Formulierungen der
verwendeten anelastischen Gleichungen. Da wir uns verhältnismäßig kleinskalige Strömungen in der Grenzschicht betrachten, wählen wir den Ansatz der anelastischen Approximation nach Lipps und Hemler (1982), welcher sehr flexibel und rechenzeiteffektiv ist,
im Gegensatz zur Lösung der beispielsweise vollständig kompressiblen Eulergleichungen.
Demnach wird der Umgebungszustand des betrachteten Fluids durch potentielle Tem~e beschrieben. Eine kompakte Form der Grundperatur θe und Windgeschwindigkeit u
gleichungen, bestehend aus Kontinuitäts-, Impuls- sowie Energiegleichung, lässt sich wie
10
3 Modell
Masterarbeit
folgt formulieren:
~ =0
∇ · ρs u
!0
p
D~
u
θ0 ~
= −∇
− ~g + F
Dt
ρ0
θs
Dθ0
= −~
u · ∇θe
Dt
(6)
Hierbei bezeichnen φe den Umgebungszustand einer Variable, φ0 deren Abweichung vom
Umgebungszustand, φs den Wert einer Variable im stationären, hydrostatischen Grund~,
zustand mit konstanter Stabilität und D/Dt die materielle Ableitung. Die Variablen u
θ, ρ und p symbolisieren Geschwindigkeitsvektor, potentielle Temperatur, Dichte sowie
~ gibt Trägheitskräfte und die Dissipation
Druck; ~g stellt die Erdbeschleunigung dar und F
des Impulses an. Aufgrund der Tatsache, dass die räumliche Skala verhältnismäßig klein
ist, können Corioliskräfte vernachlässigt werden.
Der Vorteil der in (6) beschriebenen Gleichungen liegt im Herausfiltern von Schallwellen. Diese besitzen eine hohe Geschwindigkeit im Vergleich zum Grundstrom, liegen
somit nicht auf den untersuchten, meteorologischen Skalen und stellen darüber hinaus
ein Ärgernis für die Numerik dar. Ein positiver Nebeneffekt ist die Möglichkeit, einen
größeren Zeitschritt wählen zu können, was wiederum zusätzlich Rechenzeit einspart.
Die thermodynamischen Variablen θ und ρ können entsprechend über das ideale Gasgesetz und die Kontinuitätsgleichung bestimmt werden. Um das Stördruckfeld zu erhalten,
muss allerdings die leicht modifizierte Impulsgleichung iterativ gelöst werden, welche
eine elliptische Differentialgleichung darstellt. Das numerische Lösungsverfahren ist in
Smolarkiewicz und Margolin (1997) beschrieben.
Jede prognostische Gleichung des anelastischen Gleichungssystems kann in zwei verschiedenen Formen geschrieben werden, in Flussform nach dem Euler’schen Erhaltungsgesetz oder in Lagrange’scher, advektiver Form. Für diese Arbeit wurde ausschließlich
die Flussform im Euler-Modus verwendet. Allerdings muss diese Form der Gleichungen noch diskretisiert und numerisch gelöst werden. Die Advektion geschieht mithilfe
des bereits erwähnten MPDAT-Algorithmus. Mit diesem iterativen Ansatz lassen sich die
Gleichungen auf der Basis eines „Upstream“-Schemas lösen. Hierbei wird bei der ersten Iteration das klassische „Upstream“-Schema angewendet, jede weitere korrigierende
Iteration wendet das „Upstream“-Schema mit einem speziell definierten, anti-diffusiven
Geschwindigkeitsfeld an. Die Anzahl der Iterationen ist hierbei frei wählbar, jede weitere
Iteration erhöht die Genauigkeit der Lösung. Wie bereits erwähnt sind Beschreibungen
des MPDAT-Algorithmusses sind in der Literatur weit verbreitet [ siehe beispielsweise
Smolarkiewicz (1983) oder Margolin et al. (1999)].
3.1.3
Modellgebiet und Gitter
Das betrachtete Modellgebiet erstreckt sich über 8000 m in Einströmrichtung x, 4800 m in
lateraler Richtung y und 3000 m in vertikaler Richtung z. Die Anzahl der Gitterpunkte l, m
und n wird in dieser Arbeit nicht variiert. Aufgrund unterschiedlicher Koordinatensysteme
11
3 Modell
Masterarbeit
kommt es jedoch zu einer Abweichung in den entsprechenden Gitterweiten dx, dy und dz.
Die Gitterweiten des äquidistanten, nicht gestreckten Gitters betragen dx = dy = dz = 25 m
im Fall von geländeschneidenen Koordinaten, bei geländefolgenden Koordinaten ergeben
sich die horizontalen Gitterweiten ebenfalls zu dx = dy = 25 m, die Gitterweite in vertikaler Richtung dz kann jedoch vor allem am Boden in der Nähe der Orographie davon
abweichen.
In allen Modellläufen wurde eine pyramidenförmige Orographie mit quadratischer
Grundfläche verwendet. Der Fußpunkt dieser Pyramide befindet sich im Koordinatenursprung 3000 m hinter dem Einströmrand stromabwärts. Die Höhe von H = 975 m und die
Seitenlänge der Grundfläche von L = 1000 m ergeben einen Steigungswinkel von α ≈ 63◦ .
3.1.4
Modellgebietszerlegung
Durch die Parallelisierung des EULAG-Codes besteht die Möglichkeit, die Berechnung der
einzelnen Simulationen auf mehrere Prozessoren aufzuteilen und somit Rechenzeit einzusparen. Die im Rahmen dieser Arbeit durchgeführten Simulationen werden auf 512 Prozessoren auf einem IBM Power6 Großrechner am Deutschen Klimarechenzentrum in Hamburg (DKRZ) durchgeführt. Dabei wird das Modellgebiet in x-Richtung auf 32 Prozessoren
und in y-Richtung auf 16 Prozessoren aufgeteilt. Anschließend werden die Berechnungen
auf den einzelnen Prozessoren durchgeführt, wobei jeder Prozessor die komplette vertikale Säule des entsprechenden Gebiets berechnet, da es sich hierbei lediglich um eine
horizontale Modellgebietszerlegung handelt. Die neusten Versionen des EULAG-Modells
sind bereits im Stande, das Modellgebiet auch in vertikaler Richtung zu zerlegen, was
weitere Rechenzeit einsparen kann.
Ein weiterer Punkt, den es bei der Parallelisierung zu beachten gibt, ist der Prozessorübergreifende Informationsaustausch. Um den Informationsaustausch zwischen den
einzelnen Prozessoren zu gewährleisten, existieren auf jedem einzelnen Prozessor sogenannte Halo-Zellen. Diese bestehen aus wenigen Gitterpunkten am Rande des vom Prozessor berechneten Modellgebiets, welche einen Übergangsbereich zum jeweiligen NachbarProzessor darstellen. Die Informationen auf den Halo-Zellen können zwischen benachbarten Prozessoren ausgetauscht werden, wenn nötig.
Ein Beispiel der horizontalen Modellgebietszerlegung des äquidistanten Gitters auf
512 Prozessoren ist in Abbildung 5 dargestellt. Prozessoren, auf welchen die Berechnung
der Pyramide sowie deren Umgebung ablaufen, sind hier rot bzw. orange markiert. Pro
Prozessor werden 10 Gitterpunkte in x-Richtung und 12 Gitterpunkte in y-Richtung berechnet. Die Anzahl der Halo-Zellen pro Prozessor beträgt 96, wodurch lediglich 24 von
insgesamt 120 Gitterpunkten alleine dem berechnenden Prozessor bekannt sind. Alle anderen Gitterpunkte sind teil der Halo-Zellen, welche den jeweiligen Nachbarn des betrachteten Prozessors ebenfalls bekannt sind. Eine weniger starke Modellgebietszerlegung auf
256 Prozessoren bei gleichbleibender Anzahl an Halo-Zellen wäre demnach effektiver. Da
die Dauer eines Modelllaufs jedoch nach oben hin auf 8 Stunden Rechenzeit beschränkt
ist, wird im Rahmen dieser Arbeit jedoch auf 512 Prozessoren gerechnet.
12
3 Modell
x/m
1000
y/m
2400
2100
1800
1500
1200
900
600
300
-300
-600
-900
-1200
-1500
-1800
-2100
-2400
Masterarbeit
480
448
416
384
352
320
288
256
224
192
160
128
96
64
32
0
481
449
417
385
353
321
289
257
225
193
161
129
97
65
33
1
482
450
418
386
354
322
290
258
226
194
162
130
98
66
34
2
2000
483
451
419
387
355
323
291
259
227
195
163
131
99
67
35
3
484
452
420
388
356
324
292
260
228
196
164
132
100
68
36
4
485
453
421
389
357
325
293
261
229
197
165
133
101
69
37
5
486
454
422
390
358
326
294
262
230
198
166
134
102
70
38
6
3000
487
455
423
391
359
327
295
263
231
199
167
135
103
71
39
7
488
456
424
392
360
328
296
264
232
200
168
136
104
72
40
8
489
457
425
393
361
329
297
265
233
201
169
137
105
73
41
9
490
458
426
394
362
330
298
266
234
202
170
138
106
74
42
10
4000
491
459
427
395
363
331
299
267
235
203
171
139
107
75
43
11
492
460
428
396
364
332
300
268
236
204
172
140
108
76
44
12
493
461
429
397
365
333
301
269
237
205
173
141
109
77
45
13
494
462
430
398
366
334
302
270
238
206
174
142
110
78
46
14
5000
495
463
431
399
367
335
303
271
239
207
175
143
111
79
47
15
496
464
432
400
368
336
304
272
240
208
176
144
112
80
48
16
497
465
433
401
369
337
305
273
241
209
177
145
113
81
49
17
498
466
434
402
370
338
306
274
242
210
178
146
114
82
50
18
6000
499
467
435
403
371
339
307
275
243
211
179
147
115
83
51
19
500
468
436
404
372
340
308
276
244
212
180
148
116
84
52
20
501
469
437
405
373
341
309
277
245
213
181
149
117
85
53
21
502
470
438
406
374
342
310
278
246
214
182
150
118
86
54
22
7000
503
471
439
407
375
343
311
279
247
215
183
151
119
87
55
23
504
472
440
408
376
344
312
280
248
216
184
152
120
88
56
24
505
473
441
409
377
345
313
281
249
217
185
153
121
89
57
25
506
474
442
410
378
346
314
282
250
218
186
154
122
90
58
26
8000
507
475
443
411
379
347
315
283
251
219
187
155
123
91
59
27
508
476
444
412
380
348
316
284
252
220
188
156
124
92
60
28
509
477
445
413
381
349
317
285
253
221
189
157
125
93
61
29
510
478
446
414
382
350
318
286
254
222
190
158
126
94
62
30
511
479
447
415
383
351
319
287
255
223
191
159
127
95
63
31
Abbildung 5: Übersicht über die Prozessorgeometrie und entsprechende Aufteilung des
Rechengebiets auf die jeweiligen Prozessoren. Weiße Balken zeigen die Position im Modellgebiet an. Orange bzw. rot eingefärbte Bereiche zeigen Prozessoren, auf welchen die Region um die Orographie gerechnet wird.
3.1.5
Koordinatensysteme und Randbedingungen
Eine weitere interessante Eigenschaft des EULAG-Modells ist die Flexibilität, die Grundgleichungen in verschiedenen Koordinatensystemen zu lösen. Die folgende Erklärung
richtet sich nach Prusa und Smolarkiewicz (2003). Dabei wird eine generalisierte Koordinatentransformation benutzt, welche den physikalischen Raum Sp auf einen transformierten,
computergestützten Raum St abbildet, wobei die Topologie, das heißt die Eigenschaft der
mathematischen Struktur, unter der stetigen Transformation von Sp erhalten bleibt. Hierbei hängen die horizontalen Koordinaten x und y nicht von der vertikalen Koordinate z
ab, um die primäre hydrostatische Struktur der Atmosphäre zu wahren. Demnach können
die Grundgleichungen (6) geschrieben werden als:
k
∂ ρ∗ us
=0
∂xk
∂π0
θ0 j
Du j
= −G̃kj k + ~g δ3 + F j
(7)
θ0
Dt
∂x
Dθ0
k ∂θe
= −us
Dt
∂xk
Hier ist zu beachten, dass (t, xk ) ∈ St nicht für das Mittel der jeweiligen Größe, sondern
für die Größe im transformierten Raum stehen. Des Weiteren bezeichnet ρ∗ = ρ0 G mit
der Jakobimatrix der Transformation G (Definition folgt weiter unten) und j, k = 1, 2, 3
p
j
entsprechend der Komponenten x, y und z. Die Matrix G̃k := g j j (∂xk /∂x j ) bezeichnet die
renormalisierten Elemente der Jakobimatrix, wobei hier keine Summation über j impliziert
ist und der Koeffizient g j j für die diagonalen Elemente des konjugierten metrischen Tensors
j
von Sp steht. δ3 symbolisiert das Kronecker-Delta und π = p/ρ0 den Dichte-normalisierten
Druck.
13
3 Modell
Masterarbeit
Auch wenn die generalisierten Grundgleichungen (7) den Grundgleichungen in (6)
ähnlich sehen, so sind die folgenden Feinheiten unbedingt zu beachten: Die materielle
k
Ableitung ergibt sich nun zu D/Dt = ∂/∂t+u∗ (∂/∂xk ), mit der sogenannten kontravarianten
Geschwindigkeit
k
˙
u∗ := dxk /dt := xk .
(8)
Diese ist jedoch nicht zu verwechseln mit der solenoidalen Geschwindigkeit, welche sich
ergibt zu
k
k
us := u∗ − dxk /dt.
(9)
Außerdem zu beachten ist die materielle Advektion der physikalischen Geschwindigkeit
u j in der Impulsgleichung [2. Gleichung des Gleichungssystems in (7)]. Neben diversen
Zusammenhängen der Geschwindigkeitskomponenten in den verschiedenen Räumen zeigen Prusa und Smolarkiewicz (2003) auch den Zusammenhang zwischen solenoidaler und
physikalischer Geschwindigkeit auf:
j
j
us = G̃k uk .
(10)
Die Elemente des metrischen Tensors in den transformierten Koordinaten ergeben sich zu
gmn = gpq (∂xp /∂xm )(∂xq /∂xn ), wobei gpq den metrischen Tensor des physikalischen Koordinatensystems repräsentiert. Dieses physikalische Koordinatensystem kann unter anderem
kartesisch, zylindrisch, sphärisch, etc. sein. Die Jakobideterminante ergibt sich dann zu
1/2
G = gmn . Weiterhin gilt nach Prusa und Smolarkiewicz (2003) in jedem orthogonalen
Koordinatensystem Sp , dass gpq = 0 für p , q. Dementsprechend können die Komponenten
des konjugierten metrischen Tensors in (7) in der Impulsgleichung mithilfe von g j j = 1/g j j
berechnet werden. Während gpq symmetrisch ist, gilt dies nicht für die metrischen Koeffiziq
p
enten G̃p , G̃q . Weitere Einzelheiten sind Prusa und Smolarkiewicz (2003) zu entnehmen.
In dieser Arbeit werden neben einem kartesischen Koordinatensystem auch geländefolgende Koordinaten benutzt. Wie bereits beschrieben ist die generalisierte Form der
Grundgleichungen bereits in EULAG implementiert, sodass lediglich auf die entsprechenden metrischen Tensoren in einer Subroutine namens „metryc“ zugegriffen werden muss.
Eine theoretische Herleitung der generalisierten Koordinaten ist in Dutton (1978, S.248)
gegeben, in dessen Anlehnung eine Diskussion der Tensor-Transformation zwischen kartesischen und geländefolgenden Koordinaten von Pielke und Martin (1981) erfolgt. Zu
beachten ist hierbei, dass es sich bei dem geländefolgenden Koordinatensystem um ein
nicht-orthogonales Koordinatensystem handelt, was bedeutet, dass die entsprechenden
Basisvektoren nicht unbedingt senkrecht zueinander ausgelegt sein müssen.
Generell sind offene Randbedingungen an den Rändern in x- und y- Richtung festgelegt, wobei sich der Einströmrand in x-Richtung bei x = −3000 m befindet. Am Oberrand
des Modellgebiets befindet sich ein fester Deckel, an welchem die Vertikalgeschwindigkeit
verschwindet. Um eine Reflexion von Schwerewellen an diesem Deckel zu vermeiden, wird
direkt unterhalb des Deckels eine sogenannte Schwammschicht angebracht. Diese beginnt
~ auf das Umgebungsprofil u
~e zu relaxieren
ab 2000 m Höhe den Geschwindigkeitsvektor u
(Margolin et al., 1999). Hierbei wird eine Relaxationszeit von 500 s verwendet, die für eine
14
3 Modell
Masterarbeit
ab 2000 m vertikal ansteigende, lineare Dämpfung sorgt. Am Unterrand des Modellgebietes wird bei einer LES mit kartesischen Koordinaten eine Dämpfung des Impulsflusses
√
mithilfe von (τx , τ y ) = ρCD u2 + v2 (u, v) erreicht, wobei der Parameter CD = 0.01 festgesetzt wird. Für die iLES mit geländefolgenden Koordinaten muss ein zusätzlicher Term
√
u2 + v2 (u, v) zur Impulsgleichung hinzu addiert werden. Auf( fx , f y ) = − H2 CD exp − Hz
grund des fehlenden Feinstrukturmodells macht sich die Bodenreibung hier lediglich am
Modellboden bemerkbar. Der zusätzliche Term in der Impulsgleichung soll den Effekt der
Bodenreibung auf die untersten Modellschichten darstellen.
Bei geländefolgenden Koordinaten stellt die Oberfläche eine Stromlinie dar, das heißt
die Strömung normal zur Oberfläche muss verschwinden. Dementsprechend besteht keine Möglichkeit, dass Variablen „innerhalb der Orographie“ ein Wert zugewiesen wird. Im
Falle von geländeschneidenden, kartesischen Koordinaten existieren jedoch Gitterpunkte
~ , ~0 innerinnerhalb der Orographie. Da jedoch beispielsweise eine Windkomponente u
halb der Orographie physikalisch nicht sinnvoll ist, wird hier die „immersed boundary“Methode nach Mittal und Iaccarino (2005) verwendet. Diese ist speziell für komplexe und
bewegte Geometrien entwickelt worden. Beispielsweise in medizinischen Bereichen bei
der Modellierung kardialer Mechanik und dem damit verbundenen Blutfluss oder in der
Automobilindustrie bei der Simulation der Aerodynamik von Autos findet diese Methode
häufig Anwendung. Hierbei werden die Navier-Stokes-Gleichungen unter Berücksichtigung der Oberflächengeometrie und der lokalen Randbedingungen gelöst. Auch hier
verweise ich auf eine detaillierte Diskussion von Mittal und Iaccarino (2005).
3.1.6
Grundzustand
Wie bereits erwähnt, erfordern die anelastischen Gleichungen die Aufspaltung der thermodynamischen Variablen potentielle Temperatur θ, Druck p und Dichte ρ mit einem
Störansatz φ = φ̂(z) + φ̃(z) + φ0 (~
x, t). Im Gegensatz zur Arbeit von Voigt und Wirth (2013),
welche den Grundzustand nach Ogura und Phillips (1962) benutzen, wählen wir in dieser
Arbeit den Grundzustand nach Clark und Farley (1984). Dabei bezeichnet φ̂ eine Größe in
einer idealen Atmosphäre mit konstanter Stabilität S, φ̃ die Differenz zwischen hydrostatischem Umgebungsprofil und dem Profil der Atmosphäre mit konstanter Stabilität und
φ0 die Abweichung vom Umgebungsprofil. Die thermodynamischen Größen der idealen
Atmosphäre sind wie folgt festgelegt:
θ̂(z) = θ0 exp (Sz)
#1/κ
g
1 − exp (−Sz)
p̂(z) = p0 1 −
cp θ0 S
"
#(1/κ)−1
g
ρ̂(z) = ρ0 exp (−Sz) 1 −
1 − exp (−Sz)
cp θ0 S
(11)
"
(12)
(13)
wobei κ = Rd /cp den Adiabatenkoeffizienten und S = 10−5 m−1 die konstante Stabilität bezeichnen. Die thermodynamischen Größen auf Bodenniveau sind festgelegt auf
θ0 = 287.0 K, p0 = 1013 hPa und ρ0 = 1.23 kg m−3 .
15
3 Modell
Masterarbeit
Über die thermodynamischen Umgebungsprofile wird die Grenzschichtdicke zu Beginn der Simulation festgelegt. Demnach ist die potentielle Temperatur θe so gewählt,
dass eine neutrale Schichtung bis zur Höhe des Hindernisses H vorliegt. Darüber ist die
Schichtung stabil und θe steigt mit 4 K km−1 an. Feuchte-Effekte, wie zum Beispiel dem
Freiwerden latenter Wärme aufgrund von Wasserdampfkondensation, werden bei den Simulationen vernachlässigt. Es wird lediglich die trockene Dynamik simuliert (Voigt und
Wirth, 2013). Reinert und Wirth (2009) zeigten bereits, dass der Einfluss der Feuchte in
geringem Maße die Größe der Bannerwolke, nicht jedoch ihren Bildungsmechanismus
oder die Strömungsgeometrie beeinflusst. In guter Näherung handelt es sich somit bei
Bannerwolken um ein rein dynamisches Phänomen.
3.1.7
Einschwingphase
Eine LES besteht in der Regel aus zwei Phasen, einer Einschwingphase zu Beginn der Simulation, in der der statistisch stationäre Zustand erreicht werden soll, und einer Integrationsbzw. Mittelungsphase zur Akkumulation statistischer Daten (Fröhlich, 2006). Dementsprechend stellt sich die Frage, ob und wann der statistisch stationäre Zustand erreicht wird.
Im Allgemeinen geht man hierbei von der Durchflusszeit aus, also der Zeit, in der Fluidelemente, welche zu Beginn der Simulation im Rechengebiet vorhanden waren, aufgrund
der mittleren Advektion das Modellgebiet verlassen haben. Bei einer Modellgebietsausdehnung von 8000 m in Einströmrichtung und einer höhenkonstanten Einströmgeschwindigkeit von 9 m s−1 ergibt sich diese für die hier gewählte Modellkonfiguration zu knapp
15 min. Da meist jedoch nur qualitativ festgestellt werden kann, ob und wann der statistisch
stationäre Zustand erreicht ist, wird im folgenden Unterabschnitt 3.1.8 bei der Einführung
einer Methode zur Berechnung des zeitlichen Mittels, die Zeitreihe einer Modellvariable
auf das Einstellen des statistisch stationären Zustands geprüft.
3.1.8
Zeitliches Mittel
Die Bestimmung des zeitlichen Mittels der berechneten Größen φ entspricht der zweiten
Phase der LES und geschieht noch während der Simulationslaufzeit im Modell. Hierbei
wird sich der Methode nach Fröhlich (2006, S. 273) bedient:
n+1
φ
= βφn+1 + (1 − β)φ
n
(14)
wobei das Makron ( ) das zeitliche Mittel, der Index n und n + 1 den jeweiligen Zeitschritt,
der Parameter β = ∆t/(tn −ts ), ∆t das Zeitinkrement und ts den Startzeitpunkt der Mittelung
bezeichnen. Diese Art der Mittelung hat den Vorteil, dass man die instantanen Felder nicht
zu jedem berechneten Zeitschritt ausgeben und das Mittel anschließend in der Nachbearbeitung berechnen muss. Der Nachteil dieser Methode liegt, neben der leichten Erhöhung
der Rechenzeit darin, dass man den Zeitraum, über den gemittelt wird, nachträglich nicht
mehr verändern kann. Aus diesem Grund richtet man sich beim Festlegen des Startzeitpunktes in der Regel nach der Zeit, welche es für die Strömung braucht, das Modellgebiet
16
3 Modell
Masterarbeit
mindestens einmal komplett zu durchströmen, wie oben bereits erwähnt wurde. Die jeweilige Einschwingphase der einzelnen Modellläufe wird im Folgenden explizit angegeben.
Wie ebenfalls bereits erwähnt wurde, ist es von grundlegender Bedeutung den statistisch stationären Zustand zu erreichen, bevor man mit der Akkumulation statistischer
Daten beginnt. Durch die Berechnung des Mittels zur Laufzeit werden große Schwankungen zu Beginn der Mittelung stärker gewichtet und es kommt zu einer asymptotischen
Annäherung des Mittels an den Erwartungswert. Abbildung 6 (a) verdeutlicht diesen
Aspekt am Beispiel einer Zeitreihe des Spurenstoffs χz an einem ausgewählten Gitterpunkt x = 7925 m, y = 0 m und z = 2000 m mit einer Einschwingphase von 30 min der
Modellkonfiguration Nummer 1 (siehe Tabelle 1). Trotz einer Integrationszeit von 60 min
besteht nach 14400 Zeitschritten eine Diskrepanz zwischen Zeitreihe (blaue Linie), welche
ungefähr ab Zeitschritt 3000 einen nahezu stationären Zustand einnimmt, und dem Fröhlichmittel (rote Linie) von ungefähr 100 m. Wählt man jedoch eine Einschwingphase von
45 min nach Modellkonfiguration Nummer 2, so ist der Mittelwert sowohl zu Beginn als
auch am Ende der Mittelung nahe an der nahezu konstanten Zeitreihe. Somit muss bei der
Anwendung dieser Mittelwertsberechnung das Einstellen des stationären Zustandes der
betrachteten Strömung unbedingt berücksichtigt werden.
Die Untersuchung von Zeitreihen der Spurenstoffe auf die optimale Länge der Einschwingphase wird ausschließlich bei iLES-Läufen durchgeführt. Bei den LES-Läufen wird
die Einschwingphase auf 30 min, 37.5 min und 45 min festgelegt. Anschließend werden
Stromlinien mithilfe des jeweiligen zeitlich gemittelten Windfelds berechnet. Dabei wird
eine zeitabhängige Fluktuation festgestellt, deren Zeitskala die kurzskaligen Fluktuationen
der Turbulenz in der Größenordnung deutlich übersteigt. Erhöht man die Integrationszeit,
(b)
2000
2000
1800
1800
Spurenstoff χz / m
Spurenstoff χz / m
(a)
1600
1400
1200
χz
1000
1600
1400
1200
χz
1000
<χz>
800
0
2000
4000
6000
8000 10000
Zeitschritte dt / 0.25 s
12000
<χz>
14000
800
0
2000
4000
6000
8000 10000
Zeitschritte dt / 0.25 s
12000
Abbildung 6: Zeitreihe über 14400 Zeitschritte des Spurenstoffs χz am Gitterpunkt
x = 7925 m, y = 0 m und z = 2000 m. Zeitreihe mit einem Zeitintervall
von ∆t = 0.25 s in blau, während der Laufzeit berechnetes Fröhlichmittel in
rot und Differenz zwischen Zeitreihe und Mittel in grau. Einschwingphase
von 30 Minuten in (a) und 45 Minuten in (b).
17
14000
3 Modell
Masterarbeit
über welche die Variablen gemittelt werden, verschwinden diese Fluktuationen jedoch.
Um Rechenzeit zu sparen und diese quasi-periodischen Fluktuationen trotzdem eliminieren zu können, werden zeitlich gemittelte Variablen künstlich symmetrisiert, wie in
Abschnitt 5.1 näher beschrieben wird. Damit ist es möglich, eine Einschwingphase von
30 min bei den LES-Läufen zu wählen, welche für unsere Untersuchungen als ausreichend
empfunden wird.
3.2
Modellläufe
Aufgrund der Tatsache, dass in dieser Arbeit sowohl explizite als auch implizite Grobstruktursimulationen mit jeweils unterschiedlichen Koordinatensystemen und Randbedingungen benutzt werden, sind die wichtigsten Modellkonfigurationen der präsentierten
Simulationen in einer Tabelle zusammengefasst. Aufgeführt werden hierbei die Art der
Simulation, das benutzte Koordinatensystem und die Dauer der Einschwingphase (mit
Vorlauf gekennzeichnet). Die Schichtung der Modellatmosphäre wird über die potentielle
Temperatur θe festgelegt. Diese ist im neutralen Fall über die ganze Modellhöhe konstant.
Im stabilen Zustand nimmt θe jeweils mit 4 K km−1 oberhalb der Orographie (entsprechend oberhalb von 975 m) zu. Unterhalb ist θe , wie im neutralen Fall, höhenkonstant mit
θe (z) = 287 K. Bei geländefolgenden Koordinaten liegt ein horizontal äquidistantes Gitter
vor. Die vertikale Gitterweite kann, abhängig von der Orographie, abweichen. Sofern im
Folgenden nicht explizit erwähnt, werden die präsentierten Ergebnisse mit Modellkonfiguration Nummer 4 erstellt. Generell wird bei allen durchgeführten Läufen ein Zeitschritt
von ∆t = 0.25 s angenommen.
Einige der im Folgenden vorgestellten Untersuchungen wurden zu Beginn der Arbeit
mit einer iLES-Modellkonfiguration und einer neutralen Schichtung unternommen. Im
Laufe dieser Arbeit wechselten wir jedoch von der iLES- zu einer LES-Modellkonfiguration
und von einer neutralen Schichtung zu einer stabilen Schichtung oberhalb der Orographie.
Allerdings kam es teilweise nicht zu einer Wiederholung bestimmter Untersuchungen, wie
zum Beispiel der Berechnung von Pseudotrajektorien. Dies hat den einfachen Grund, dass
wir keine grundlegenden Verbesserungen dieser Ergebnisse mit der neuen Modellkonfiguration erwarten.
Tabelle 1: Übersicht über die einzelnen Modellkonfigurationen der durchgeführten Läufe.
Nr.
Art
Koordinaten
Vorlauf
Schichtung
Gitter
1
iLES
geländefolgend
30 min
neutral
hor. äquidistant
2
iLES
geländefolgend
45 min
neutral
hor. äquidistant
3
iLES
geländefolgend
45 min
stabil
hor. äquidistant
4
LES
kartesisch
30 min
stabil
äquidistant
18
4 Diagnostik
4
Masterarbeit
Diagnostik
Im Folgenden werden die Diagnostiken zur Untersuchung der Strömung um eine Pyramide und die entsprechenden Strömungswege der Luftpakete durch die im Lee entstehende
Bannerwolke vorgestellt.
4.1
Feuchte
Wie bereits erwähnt wird im Rahmen dieser Arbeit lediglich die trockene Dynamik simuliert. Um trotzdem Feuchteeinflüsse charakterisieren zu können, wird nach der Einschwingphase des Modells ein Spurenstoff der spezifischen Feuchte q an jedem Gitterpunkt
im Modellgebiet initialisiert. Die materielle Entwicklung des Spurenstoffes Dq/Dt = Mq
impliziert eine Quelle Mq , welche durch die Parametrisierung der kleinen Skalen im Feinstrukturmodell entsteht. Demnach ist der Spurenstoff nicht vollständig erhalten. Voigt
und Wirth (2013) fanden jedoch heraus, dass die vom Feinstrukturmodell aufgelöste TKE
klein im Vergleich zur explizit aufgelösten TKE ist, mit Ausnahme an festen Modellwänden. Demnach kann die Quelle des Spurenstoffs Mq als klein angesehen werden. Weitere,
im Folgenden vorgestellte Spurenstoffe werden, sofern nicht anders angegeben, ebenfalls
im kompletten Modellgebiet initialisiert und entwickeln sich materiell nach dem selben
Prinzip wie q.
Unter der Annahme einer höhenkonstanten relativen Feuchte RH0 am Einströmrand, kann das Profil der spezifischen Feuchte q mithilfe der potentiellen Temperatur
θ = T(p/p0 )κ berechnet werden, wobei T die Umgebungstemperatur, p den Druck und
p0 = 1000 hPa den konstanten Referenzdruck bezeichnen. Über die Temperatur lässt sich
anschließend der Sättigungsdampfdruck
17.67T
es (T) = e0 exp
243.5 + T
(15)
mit e0 = 6.112 hPa und T in ◦C berechnen. Nimmt man den Dampfdruck e = es (T) · RH0 zu
Hilfe, kann die spezifische Feuchte zu
q = 0.622
e
p
(16)
bestimmt werden. Generell stellt diese Annahme ein idealisiertes Profil der spezifischen
Feuchte dar, welches mit der Höhe abnimmt. Durch die Schichtung der Modellatmosphäre
erhält man somit eine in der Grenzschicht stärker abnehmende spezifische Feuchte, ein
Anzeichen für eine weniger gut durchmischte Grenzschicht. Nach Reinert und Wirth (2009)
stellt eine solche Grenzschicht eine Notwendigkeit zum Auftreten von Bannerwolken dar.
Bei der Verwendung verschiedener Koordinatensysteme ist es von Vorteil, einen kontinuierlichen Höhenverlauf der spezifischen Feuchte zu benutzen, im Gegensatz zu einem
diskreten. Die Transformation zwischen den einzelnen Koordinatensystemen wird somit
erheblich erleichtert. Aus diesem Grund werden die diskreten Werte von q mit MATLAB
19
4 Diagnostik
Masterarbeit
3000
2500
z/m
2000
1500
1000
500
0
0
1
2
3
4
−1
q / g kg
5
6
7
Abbildung 7: Höhenprofil der spezifischen Feuchte bei einer konstanten relativen Feuchte
RH0 = 72 % am Einströmrand.
als Polynom 2. Ordnung gefittet, wodurch man folgende, höhenabhängige Gleichung zur
Bestimmung der spezifischen Feuchte q in EULAG implementieren kann:


−4
−8
2

 0.764 − 1.951 · 10 · z + 9.821 · 10 · z , falls z ≤ H
(17)
q(z) = 

 0.997 − 5.110 · 10−4 · z + 1.465 · 10−8 · z2 , falls z > H
Über diesen Feuchte-Spurenstoff lässt sich im Anschluss durch die Wahl einer geeigneten, konstanten relativen Feuchte am Einströmrand (soweit nicht anders angegeben ist
RH0 = 72 %; siehe Abbildung 7) mithilfe der RH = 100 %-Kontur eine Wolke definieren.
Hierbei ist zu beachten, dass im Rahmen dieser Arbeit lediglich der mittlere Spurenstoff q
und somit auch die mittlere relative Feuchte RH betrachtet wird.
4.2
Euler’sche Abschätzung der Lagrange’schen Verschiebung
Neben der Feuchte werden drei weitere Spurenstoffe in Anlehnung an Voigt (2012) bzw.
Voigt und Wirth (2013) nach der Einschwingphase in der kompletten Modelldomäne definiert. Bei deren Initialisierung besitzen die Spurenstoffe χx , χ y und χz den Wert der
jeweiligen Koordinate x, y und z. Mit der Annahme einer laminaren Strömung jenseits
des Einströmrands mit konstanter Windgeschwindigkeit u, werden diese Spurenstoffe am
Einströmrand mit χx =−3000 m−ut, χ y = y und χz = z eingeströmt. Anschließend werden
sie über einen bestimmten Zeitraum wie q passiv advehiert. Im Anschluß an die Simulation lässt sich eine Euler’sche Abschätzung der Lagrange’schen Verschiebung ∆x, ∆y
und ∆z treffen, indem der Wert des zeitlich gemittelten Spurenstoffs an einem bestimmten
Gitterpunkt von der jeweiligen Koordinate abgezogen wird. Man erhält somit die zeitlich
gemittelte Verschiebung ∆x, ∆y und ∆z der Luftpakete gegenüber der Startzeit der Integration. Mathematisch formuliert ergeben sich die Spurenstoffe, sowie die Abschätzung
20
4 Diagnostik
Masterarbeit
der Verschiebung zu:
χx (x) = x,
∆x = x − χx
(18)
χ y (y) = y,
∆y = y − χ y
(19)
χz (z) = z,
∆z = z − χz
Dabei ist zu beachten, dass der Spurenstoff χx zeitabhängig eingeströmt wird. Dieser
repräsentiert die Verschiebung von Luftmassen in x-Richtung. Also berücksichtigen wir
hierbei auf diese Weise Luftmassen von jenseits des Einströmrands.
4.3
Wolkendefinition
Wie bereits erwähnt, lässt sich die simulierte Bannerwolke durch die 100 %-Kontur des
mittleren relativen Feuchtefeldes RH definieren. Mithilfe von Computersimulationen entdeckten Reinert und Wirth (2009) einen Bereich mit starker vertikaler Hebung von Luftmassen im direkten Lee des Berges im Gegensatz zum Luv. Die von Voigt und Wirth
(2013) eingeführte Verschiebung ∆z stellt diesen Bereich deutlich heraus, was im weiteren
Verlauf dieser Arbeit in Abbildung 13 (c) bestätigt wird. Sowohl qualitativ als auch quantitativ kann gezeigt werden (durch den Betreuer geschehen), dass die Konturen der relativen
Feuchte mit denen der Lagrange’schen Verschiebung bei einer neutralen Schichtung der
Atmosphäre übereinstimmen. Demnach lässt sich eine ∆z-Kontur finden, die, abhängig
von RH0 am Einströmrand, der 100 %-Kontur von RH entspricht. In der Regel liegt diese
Kontur bei den hier durchgeführten Simulationen im Bereich von ∆z = 550 m bis 600 m.
Somit können alle Gitterpunkte, die einen bestimmten Wert von ∆z überschreiten, als Bannerwolke definiert werden. Diese Annahme stimmt zudem mit der Erkenntnis überein,
dass die leeseitige Hebung den wichtigsten Mechanismus bei der Bannerwolkenbildung
darstellt. Im weiteren Verlauf dieser Arbeit wird die verwendete Bannerwolkendefinition,
sowie deren Schwellenwert explizit angegeben.
Da die Wolke entweder über RH oder ∆z definiert wird, handelt es sich bei der simulierten Bannerwolke um eine Region, in welcher das entsprechende Wolkenkriterium
lediglich im zeitlichen Mittel erfüllt wird. Der gemittelte Parameter des Wolkenkriteriums besitzt bei der instantanen Betrachtung selbstverständlich eine gewisse Fluktuation.
Dadurch muss unsere Wolke nicht zu jedem Zeitschritt an allen vom Wolkenkriterium
eingeschlossenen Gitterpunkten existieren. Um die Fluktuation von ∆z etwas genauer beschreiben zu können, wird die mittlere quadratische Abweichung des Spurenstoffes ∆χz
berechnet:
v
u
t
N
1 X
∆χz =
χz,i − χz 2 ,
(20)
Nt
i=1
wobei Nt die Gesamtanzahl der Zeitschritte repräsentiert. Mit diesem Ansatz kann durch
Addition der Fluktuationen zum Mittel des Wolkenkriteriums der Versuch der Verbesserung der Wolkendarstellung unternommen werden. Des Weiteren lassen sich verschiedene,
im Folgenden noch vorgestellte Diagnostiken ebenfalls mit einer modifizierten Wolkendefinition ∆z + ∆χz untersuchen.
21
4 Diagnostik
4.4
Masterarbeit
Alternative Abschätzung der Lagrange’schen Verschiebung
Wie bereits erwähnt, existiert eine weitere Möglichkeit, die Euler’sche Abschätzung der
Lagrange’schen Verschiebung in Anlehnung an Smolarkiewicz und Winter (2010) zu untersuchen, welche ebenfalls die Deformation des Windfeldes durch das Umströmen bzw.
Überströmen des Hindernisses darstellt. Hierbei werden die Effekte der Windkomponenten über die Integrationszeit aufsummiert. Dazu werden drei Spurenstoffe δx , δ y und δz
nach der Einschwingphase überall im Modellgebiet mit dem Wert Null initialisiert. Die
materielle Entwicklung dieser Spurenstoffe wird explizit festgelegt und ist gleichzusetzen
mit der materiellen Ableitung der ∆-Diagnostik:
Dδx D∆x D(x − χx )
=
=
=u
Dt
Dt
Dt
Dδ y D∆y D(y − χ y )
=
=
=v
Dt
Dt
Dt
Dδz D∆z D(z − χz )
=
=
= w,
Dt
Dt
Dt
(21)
(22)
(23)
Somit wird die materielle Entwicklung der δ-Spurenstoffe durch die jeweilige Windkomponente bestimmt. Wie gezeigt, ist die ∆-Diagnostik mit den δ-Spurenstoffen analytisch
gleichzusetzen. Da sich beide Diagnostiken folglich lediglich durch die numerische Implementation unterscheiden, stellt der Vergleich der Diagnostiken einen Test für die Numerik
des EULAG-Modells dar. Bei der Präsentation der Ergebnisse im Anschluß wird festgestellt, dass die δ-Spurenstoffe nahezu identisch zur jeweiligen ∆-Diagnostik sind, was für
die Güte der Numerik des verwendeten Modells spricht.
4.5
Pseudotrajektorien
Mit der Einführung der δ-Spurenstoffe können zusätzlich sogenannte „Pseudotrajektorien“
berechnet werden. Dabei wird Modellkonfiguration Nummer 3 aus Tabelle 1 verwendet.
Die Bannerwolke wird hierbei in einem ersten Modelllauf durch das Feld der zeitlich
gemittelten relativen Feuchte RH > 100 % und einer am Einströmrand konstant angenommenen Referenzfeuchte von RH0 = 77 % bestimmt. An diesen Gitterpunkten wird in
einem Folgelauf jeweils der Wert der Spurenstoffe δx , δ y und δz zu jedem Modellzeitschritt
ausgegeben. Anschließend lassen sich die Werte der Spurenstoffe zu Pseudotrajektorien
zusammenfügen:
Betrachten wir uns einen bestimmten Gitterpunkt in der Wolke, an dem die Werte der
Spurenstoffe ausgegeben werden sollen. Dieser Gitterpunkt stellt den Endpunkt einer
Pseudotrajektorie dar. Der letzte Zeitschritt dieser Pseudotrajektorie vor Erreichen ihres
Endpunktes ergibt sich aus den Werten der drei Spurenstoffe im ersten Zeitschritt der
Modellsimulation. Dabei repräsentiert δx entsprechend den Effekt der Windkomponente
u und ist somit für die Verschiebung eines Luftpaketes in x-Richtung verantwortlich ist. δ y
und δz geben demnach die Entwicklung der Pseudotrajektorie in y- bzw. z-Richtung an.
Abbildung 8 a) verdeutlicht dies anhand einer vereinfachten, hier lediglich zweidimensionalen Skizze. Dabei verdeutlicht der Zeitpunkt t den Endpunkt der Pseudotrajektorie
22
4 Diagnostik
Masterarbeit
an einem bestimmten Wolkengitterpunkt (blauer Punkt im linken Luftpaket). Durch die
Windvektoren (rote Pfeile), die an diesem Wolkengitterpunkt angreifen, kann die Position
der Pseudotrajektorie im letzten Zeitschritt (t − 1) bestimmt werden, was durch den grünen Pfeil und den blauen Punkt im rechten Luftpaket angedeutet wird. Die δ-Spurenstoffe
geben hierbei den Effekt der eingezeichneten Windvektoren, nämlich die Lagrange’sche
Verschiebung eines Luftpaketes an. Zu beachten ist hierbei, dass die Windvektoren bzw.
Werte der δ-Spurenstoffe aus dem ersten Modellzeitschritt den vorletzten Zeitschritt der
Pseudotrajektorie angeben. Im zweiten Modellzeitschritt werden sowohl die Effekte der
Windvektoren aus dem ersten als auch diejenigen aus dem zweiten Modellzeitschritt berücksichtigt. In Abbildung 8 b) ist dies durch die jeweils blauen und roten Pfeile am
Wolkengitterpunkt dargestellt. Im zweiten Modellzeitschritt geben die δ-Spurenstoffe nun
die Lagrange’sche Verschiebung eines Luftpaketes über zwei Zeitschritte und somit den
Zeitschritt (t − 2) der Pseudotrajektorie an (großer grüner Pfeil).
Durch die δ-Spurenstoffe, die die Lagrange’sche Verschiebung in drei Raumrichtungen angeben, erhält man somit zu jedem Modellzeitschritt einen bestimmten Punkt im
dreidimensionalen Raum. Verbindet man im Anschluß alle Punkte miteinander, liegt eine
dreidimensionale Pseudotrajektorie vor, wie in Abbildung 8 c) in zwei Dimensionen angedeutet. Die Werte der Spurenstoffe im letzten Modellzeitschritt geben die Lagrange’sche
Verschiebung über alle Modellzeitschritte an und entsprechen dann dem Startpunkt der
Pseudotrajektorie.
Allerdings ist bei der Interpretation der Pseudotrajektorien Vorsicht geboten. Die Punkte entlang der Pseudotrajektorie entsprechen nicht dem Laufweg eines einzelnen Luftpakets. Wie in Abbildung 8 b) durch die beiden großen grünen Pfeile bereits angedeutet,
kann jeder Punkt auf der Pseudotrajektorie zu einem anderen Luftpaket gehören. Wie wir
im Folgenden feststellen werden, eignen sich Pseudotrajektorien genau aus diesem Grund
zur Verfolgung von Luftpaketen in laminaren Strömungen. Herrscht jedoch Turbulenz vor,
erhält man einen sehr chaotischen Verlauf der Pseudotrajektorien.
4.6
Stromlinien
Bisher wurden lediglich Diagnostiken der Lagrange’schen Verschiebung auf einem Euler’schen Gitter vorgestellt. Da unser Interesse in der Bestimmung der Strömungswege
von Luftpaketen liegt, ist es von Vorteil, Trajektorien zu berechnen. Dabei greifen wir auf
Ideen für Ansätze von Voigt (2012) zurück, der in seiner Arbeit ebenfalls erste Untersuchungen zur Beschreibung von Luftpaketen durch Bannerwolken mithilfe von Stromlinien
durchgeführt hat.
Wie bereits in Unterabschnitt 2.1.4 vorgestellt, werden im Rahmen dieser Arbeit Stromlinien mit dem zeitlich gemittelten Windfeld in der Nachbereitung des Modelllaufs bestimmt. Hierbei wird von jedem Gitterpunkt der Wolke mithilfe des Euler-Cauchy-Verfahrens
(auch Euler-Vorwärts-Verfahren genannt) eine Rückwärtstrajektorie mit dem zeitlich ge~ > berechnet. Im Folgenden wird die Position der Stromlinie am
mittelten Windfeld < u
Einströmrand mit Startpunkt sowie die Position der Stromlinie in der Wolke, ab welcher
23
4 Diagnostik
Masterarbeit
a)
t
t-1
t
t-1
t-2
t
t-1
t-2
b)
c)
Abbildung 8: Skizze zur Berechnung vereinfachter, zweidimensionaler Pseudotrajektorien. Rote und blaue Pfeile in a) und b) symbolisieren die am Wolkengitterpunkt (blauer Punkt im jeweils linken Luftpaket) angreifenden Windvektoren. Große grüne Pfeile weisen auf die einzelnen Punkte der Pseudotrajektorie zu den jeweils angegebenen Zeitschritten t, (t − 1) und (t − 2) hin. Rote
Linie in c) zeigt die Pseudotrajektorie an.
24
4 Diagnostik
Masterarbeit
Abbildung 9: Vergleich von Stromlinien mit einem Zeitschritt von ∆t = 1 s (rot) mit Stromlinien mit einem Zeitschritt von ∆t = 0.25 s (blau). Startpunkte bei x = 387.5 m,
y = −212.5 m, z = 950.0 m und x = 712.5 m, y = 137.5 m, z = 900.0 m wurden
zufällig ausgewählt. ∆z = 570 m-Isofläche (türkis) stellt die Bannerwolke dar.
die Berechnung gestartet wird, als Endpunkt bezeichnet. Die Dauer, welche Luftpakete
entlang der Stromlinien von Startpunkt zu Endpunkt benötigen, ergibt sich aus der Anzahl der Zeitschritte mit einem Intervall von ∆t = 1 s. Eine Berechnung von Stromlinien
mit einem kleineren Zeitschritt von ∆t = 0.25 s bringt im Wesentlichen keine Verbesserung
der Ergebnisse. Wählt man zwei zufällige Punkte innerhalb der Wolke aus, und berechnet
von diesen Punkten aus jeweils eine Stromlinie mit einem Zeitschritt von ∆t = 1 s und
eine mit ∆t = 0.25 s, so erhält man die vier in Abbildung 9 abgebildeten Stromlinien. Die
Stromlinien mit einem Zeitschritt von ∆t = 1 s sind rot eingezeichnet, die Stromlinien mit
einem Zeitschritt von ∆t = 0.25 s sind blau. Im Allgemeinen lässt sich kein großer Unterschied zwischen den Stromlinien unterschiedlicher Zeitschritte erkennen. Die Stromlinien,
welche bei y > 0 m starten, weisen eine leichte Diskrepanz in der ersten Schleife über dem
Modellboden auf. An den Start- und Endpunkten, als auch im restlichen Verlauf der Stromlinien stimmen beide jedoch gut miteinander überein. Bei beiden anderen Stromlinien sind
kaum zu unterscheiden.
Wie ebenfalls in Unterabschnitt 2.1.4 beschrieben, wird das Verfahren diskretisiert und
die Windkomponenten an der momentanen Position der Stromlinie mittels trilinearer In25
4 Diagnostik
Masterarbeit
(x8,y8,z8)
(x7,y7,z7)
(x5,y5,z5)
(x6,y6,z6)
(xs,ys,zs)
ztri
(x4,y4,z4)
(x1,y1,z1)
(x3,y3,z3)
xtri
ytri
(x2,y2,z2)
Abbildung 10: Skizze zur trilinearen Interpolation. Momentane Position eines Luftpakets
auf der Stromlinie (roter Punkt) innerhalb einer Gitterbox mit acht umliegenden Gitterpunkten (blaue Punkte), sowie bildliche Darstellung der
Interpolationskoeffizienten xtri , ytri und ztri (rot gestrichelte Linien).
terpolation zur Advektion bestimmt. Abbildung 10 verdeutlicht diese Interpolation. Jede
Position eines Luftpakets auf einer Stromlinie (roter Punkt) innerhalb der Modellgeometrie, welche mit (xs , ys , zs ) beschrieben werden kann, besitzt acht umliegende Gitterpunkte
(blaue Punkte). Um den Wert einer mittleren Variablen φ an einem bestimmten Punkt auf
der Stromlinie zu erhalten, wird wie folgt interpoliert:
φ(xs , ys , zs ) = (1 − xtri )(1 − ytri )(1 − ztri )φ(x1 , y1 , z1 ) + (1 − xtri )(1 − ytri ) ztri φ(x5 , y5 , z5 )
+
xtri (1 − ytri )(1 − ztri )φ(x2 , y2 , z2 ) +
+
xtri
+(1 − xtri )
ytri (1 − ztri )φ(x3 , y3 , z3 ) +
xtri (1 − ytri ) ztri φ(x6 , y6 , z6 )
xtri
ytri (1 − ztri )φ(x4 , y4 , z4 ) + (1 − xtri )
ytri ztri φ(x7 , y7 , z7 ) (24)
ytri ztri φ(x8 , y8 , z8 )
wobei xtri = (xs − x1 )/(x2 − x1 ), ytri = (ys − y1 )/(y4 − y1 ) und ztri = (zs − z1 )/(z5 − z1 ) den
Interpolationskoeffizienten der jeweiligen Raumrichtung entsprechen. Weitere meteorologische Parameter wie zum Beispiel die mittlere spezifische Feuchte q oder die mittlere
potentielle Temperatur θ können ebenfalls auf diese Weise entlang der Stromlinie ausgegeben werden.
In Folge der Diskretisierung der Modellvariablen auf einem Gitter und der Interpolation auf die momentane Position der Luftpakete treten einige Stromlinien in die Orographie
ein. Dies ist in der Realität nicht der Fall. Um dies zu verhindern, werden alle Stromlinien,
die das Modellgebiet verlassen (und somit auch diejenigen, die in den Berg laufen) von
weiteren Untersuchungen ausgeschlossen. Außerdem betrachten wir nur Stromlinien von
Luftpaketen, welche den Einströmrand innerhalb von 5 Stunden erreichen. Dieses Kriterium schließt Luftpakete aus, welche aufgrund der Stagnation des mittleren Windfeldes im
26
4 Diagnostik
Masterarbeit
Bogenwirbel im Lee des Berges stecken bleiben. In der Regel werden somit circa 30 % der
Stromlinien von unseren Untersuchungen ausgeschlossen. Von den restlichen Stromlinien
betrachten wir sowohl ganze Bündel im statistischen Sinn als auch einzelne Stromlinien,
wie zum Beispiel einer Stromlinie durch den räumlich gewichteten Mittelpunkt der Wolke. Entlang dieser einzelnen Stromlinie werden dann bestimmte Modellvariablen näher
analysiert.
4.6.1
Bogenwirbel
Im Rahmen dieser Arbeit wird neben der Verfolgung von Luftpaketen, auch eine Darstellungsmöglichkeit des Bogenwirbels im Lee des Berges gesucht. Erste Darstellungsversuche
über die Stagnation des absoluten Windfeldes zeigen einen Bogenwirbel (siehe 5.6.3). Man
erwartet bei Luftpaketen auf Stromlinien, welche den Berg umströmen, auf der Höhe des
Hindernisses eine höhere Geschwindigkeit. Luftpakete, welche sich im Rückstrombereich
im Lee des Berges aufhalten, bewegen sich mit einer niedrigeren Geschwindigkeit fort
(siehe auch Abschnitt 5.1, in welchem das Strömungsfeld detailliert beschrieben wird). Im
Folgenden werden Luftpakete mit einer hohen/niedrigen Geschwindigkeit auf Stromlinien
als schnelle/langsame Stromlinien bezeichnet. Da bei der Vorwärts- bzw. Rückwärtsintegration entlang der Stromlinien mit dem gleichen Zeitschritt gerechnet wird, besitzen
folglich schnelle Stromlinien eine größere Bogenlänge als langsame Stromlinien. Die entsprechenden Luftpakete entlang der Stromlinien legen also in der selben Zeit eine größere
Strecke zurück.
Berechnet man nun an jedem Gitterpunkt im Modellgebiet sowohl Vorwärts- als auch
Rückwärtstrajektorien mit einem Zeitintervall von ∆t = 0.25 s über 400 Zeitschritte analog
zu den Stromlinien aus Abschnitt 4.6 und bestimmt deren Bogenlänge sB , so lassen sich
langsame Stromlinien mit niedrigen Bogenlängen von schnellen Stromlinien mit großen
Bogenlängen trennen. Die Idee der Darstellung des Bogenwirbels mittels Bogenlänge von
Stromlinien stammt von Alexander Kuhn vom Zuse-Institut, Berlin. Die Berechnung der
Bogenlänge sB von Startpunkt s0 bis Endpunkt s1 der Stromlinie erfolgt nach Bronstein
et al. (2008, S. 521) theoretisch über das Integral
s
!2
Z s1
Z s1 d~rs (s)
d~rs (s) ds.
(25)
sB =
ds ds =
ds
s0
s0
An dieser Stelle muss das Integral entsprechend diskretisiert werden, da die Funktion
~rs (s) nur diskret vorliegt. Dies geschieht mithilfe einer vordefinierten MATLAB-Funktion
namens „arclength“ von John D’Errico7 , welche die Summe der stückweise linearen Annäherung der einzelnen Stromliniensegmente zur Berechnung der Bogenlänge benutzt.
7
www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/34871-arclength
27
4 Diagnostik
4.7
Masterarbeit
Trajektorien
Da die Strömungsgeometrie im Lee der Berges sehr komplex ist, erwartet man bei der
Berechnung von Trajektorien mit dem instantanen Windfeld realitätsnahe Laufwege von
Luftpaketen bei der Umströmung einer Pyramide. Diese können mit den bereits eingeführten Stromlinien verglichen werden. Aus diesem Grund wird ein Trajektorien-Modul
in den EULAG-Code implementiert. Die parallelisierte Version des Moduls basiert auf
Programmcode, welcher von Miroslaw Andrejzcuk von der Universität Oxford, England,
geschrieben wurde (siehe Anhang 7.2 für technische Details).
In einem Intervall von y = − 400 m bis 400 m und z < 1200 m am Einströmrand werden
die Startpunkte zur Berechnung der Trajektorien ausgewählt. Dabei werden um jeden Gitterpunkt acht Startpunkte zufällig im Bereich der Gitterweite verteilt. Anschließend erfolgt
die Advektion der Trajektorien mit dem diskretisierten Euler-Vorwärts-Verfahren und den
Windkomponenten des instantanen Windfeldes, bis die Trajektorie das Modellgebiet verlässt. Zur Bestimmung der Dauer der Trajektorie von ihrem Startpunkt bis zum Erreichen
der Wolke wird das zeitliche Mittel aus dem ersten Eintritt sowie dem letzten Austritt
der Trajektorie aus der Wolke bestimmt. Es wird somit die mittlere Aufenthaltsdauer der
Trajektorie in der Wolke berücksichtigt. Dies ist sinnvoll, da einige Trajektorien die Wolke
mehr als einmal penetrieren.
Auch bei der Berechnung der Trajektorien mit dem instantanen Windfeld müssen
entsprechende Modellvariablen auf die momentane Position eines Luftpakets auf der Trajektorie (xt , yt , zt ) interpoliert werden. Generell geschieht dies erneut mittels trilinearer
Interpolation. Allerdings kann diese dazu neigen, die Trajektorienhöhe zu unterschätzen,
was hauptsächlich an den Kanten der Pyramide vorkommt. Abbildung 11 skizziert das
alternative Interpolationsverfahren beispielhaft. Betrachten wir uns also eine Gitterbox um
die Position eines Luftpakets auf einer Trajektorie (rotes Kreuz links oben). Befinden sich
genau drei der vier Eckpunkte der Bodenfläche dieser Gitterbox auf der selben Höhe, muss
der vertikale Interpolationsparameter zpri auf eine andere Art und Weise bestimmt werden.
Dazu wird die kubische Gitterbox (Abbildung 11 links oben) in zwei Prismen zu je 6 Gitterpunkten mit dreieckiger Grundfläche aufgespalten. Die grünen gestrichelten Pfeile in
Abbildung 11 zeigen die Eckpunkte dieser dreieckigen Grundfläche und die Position der
Projektion des Luftpaketes auf die Bodenfläche an. Die Eckpunkte sind in Abbildung 11
mit (x1 , y1 , z1 ), (x2 , y2 , z2 ) und (x3 , y3 , z3 ) gekennzeichnet. Anhand dieser Grundfläche wird
dann eine bilineare Interpolation eines Dreiecks zur Bestimmung von xt und yt durchgeführt. zt,0 stellt die Höhe am Schnittpunkt der roten gestrichelten Linie mit der Bodenfläche
des Prismas und somit die Projektion der momentanen Position des Luftpakets auf die Bodenfläche dar. Diese Höhe zt,0 kann bestimmt werden über zt,0 = Axt + Byt + C, wobei die
Parameter A, B und C über
  
   
A x1 y1 1 A z1 
  
    
xM  B  = x2 y2 1  B  = z2 
(26)
  
    
C
x3 y3 1 C
z3
28
4 Diagnostik
Masterarbeit
(xt,yt,zt)
zpri
(x3,y3,z3)
(xt,yt,zt,0)
(x1,y1,z1)
(x2,y2,z2)
Abbildung 11: Skizze zur bilinearen Interpolation eines Dreiecks: Polyeder (links oben)
mit acht Eckpunkten beinhaltet momentane Position der Trajektorie (rotes Kreuz). Interpolationskoeffizient zpri ist mit rot gestrichelter Linie gekennzeichnet. Aufspaltung des Polyeders erfolgt entlang diagonaler Linien (blau) auf Boden- und Deckenfläche. Zweidimensionale Projektion der
Grundfläche (rechts unten), sowie Projektion der momentanen Position der
Trajektorie (rotes Kreuz) in die entsprechende Hälfte (Dreieck) der Grundfläche des Polyeders.
erhalten werden. Dazu muss die Matrix xM invertiert werden. Dies geschieht mithilfe der
Determinanten D von xM und der folgenden Gleichungen, welche in dieser Form im Code
implementiert wurden:
D = x1 y2 − x2 y1 + x2 y3 − x3 y2 + x3 y1 − x1 y3
i
1h
A=
(y2 − y3 )z1 + (y3 − y1 )z2 + (y1 − y2 )z3
D
i
1h
B=
(x3 − x2 )z1 + (x1 − x3 )z2 + (x2 − x1 )z3
D
i
1h
C=
(x2 y3 − x3 y2 )z1 + (x3 y1 − x1 y3 )z2 + (x1 y2 − x2 y1 )z3
D
(27)
Analog hierzu kann die Höhe am Deckel des Prismas zt,1 bestimmt werden. Auf diese Weise erhält man die Parameter für die trilineare Interpolation nach Gleichung (24):
xpri = (xt − x1 )/(x2 − x1 ), ypri = (yt − y1 )/(y4 − y1 ) und zpri = (zt − zt,0 )/(zt,1 − zt,0 ). Befindet
sich die momentane Position des Luftpaketes in der anderen Hälfte der kubischen Gitterbox oder befinden sich drei andere Gitterpunkte auf gleicher Höhe müssen die Parameter
entsprechend angepasst werden.
29
4 Diagnostik
Masterarbeit
Analog zu dieser Interpolationsmethode kann die Höhe der Orographie mit der momentanen Position des Luftpakets auf der Trajektorie verglichen werden. Auch hier können
Trajektorien aufgrund der Diskretisierung in die Orographie eintreten. Die Orte der Stagnation des instantanen Windfeldes weichen deutlich von denen des mittleren Windfeldes
ab, weswegen nur wenige Trajektorien das Modellgebiet nach 60 min Integrationszeit noch
nicht verlassen haben. In der Regel handelt es sich insgesamt lediglich um circa 2 % bis 3 %
der Trajektorien, welche von weiteren Untersuchungen ausgeschlossen werden. Die verbleibenden Trajektorien liefern dann eine Basis für statistische Untersuchungen. Hierfür
muss jedoch in der Nachbearbeitung der Daten festgestellt werden, welche der betrachteten Trajektorien die Wolke passieren: Eine Trajektorie verläuft durch die Wolke, sobald
eine Position der Trajektorie mindestens vier benachbarte Gitterpunkte besitzt, welche die
Wolkendefinition erfüllen. Bei den in dieser Arbeit präsentierten Trajektorien wurde ausschließlich ∆z nach Abschnitt 4.3 als Wolkendefinition benutzt. Neben Untersuchungen
statistischer Art wird die Trajektorie gesucht, welche dem räumlich gewichteten Zentrum
der Wolke am nächsten kommt. Analog zur Stromlinie durch den Wolkenmittelpunkt
werden auch hier verschiedene Variablen entlang dieser Trajektorie untersucht.
30
5 Ergebnisse
5
Masterarbeit
Ergebnisse
In diesem Abschnitt werden die Ergebnisse der Diagnostiken aus Kapitel 4 vorgestellt. Zu
Beginn wird das mittlere Strömungsfeld zum Verständnis grundlegender Strömungseigenschaften einer Strömung um eine Pyramide präsentiert. Die eingeführten Spurenstoffe
und die damit zusammenhängenden Diagnostiken werden im Anschluß analysiert, um
eine Abschätzung des Ursprungs von Luftpaketen aus der Bannerwolke zu unternehmen.
Darauf folgen Ergebnisse von Stromlinien und Trajektorien, sowie Vergleiche der einzelnen Diagnostiken. Außerdem wird versucht, eine mögliche Kármán’schen Wirbelstraße in
Abschnitt 5.4.1 und den im Lee befindlichen Bogenwirbels in Abschnitt 5.6.3 zu visualisieren.
5.1
Beschreibung des Strömungsfeldes
In Abbildung 12 sind Ausschnitte der beiden symmetrisierten, mittleren Windkomponenten usym in Einströmungsrichtung in (a) und wsym in vertikaler Richtung in (b) in einem
x-z-Schnitt in der Symmetrieebene bei y = 0 m dargestellt. Die Erklärung der Symmetrisierung erfolgt am Ende dieses Abschnitts. Der in Kapitel 2 angesprochene Hufeisenwirbel
ist ansatzweise in Abbildung 12 (a) am Fuße der Pyramide in deren Luv zu erkennen. Der
Rückstrombereich im Lee der Pyramide ist deutlicher zu erkennen und stellt den unteren
Teil des Lee-Rotors dar. Hier herrscht eine Windkomponente usym vor, die der Einströmrichtung entgegengesetzt ist. Strömungsablösung erfolgt sowohl vor x = − 1000 m (nicht
im Bild) als auch an der Spitze der Pyramide, die Wiederanlegepunkte befinden sich entsprechend bei x ≈ − 500 m und x ≈ 1700 m (siehe schwarze Linie).
Bei der Betrachtung der Windkomponente wsym in 12 (b) fällt eine starke Aufwindzone im direkten Luv der Pyramide auf. Hier werden Luftmassen durch die Orographie
zum Aufsteigen gezwungen. Ein leichter Abwindbereich am Fuß des Berges unter dieser
Aufwindzone indiziert den Hufeisenwirbel. Im Lee der Pyramide erkennt man ebenfalls
einen Aufwindbereich an der Oberfläche der Pyramide, stromabwärts befindet sich eine
Abwindzone mit einem Maximum in einer Höhe von z ≈ 1000 m. Diese Bereiche sind
Teil des Lee-Rotors. Dieser wird deutlich ersichtlich bei der Betrachtung der Windvektoren beider Abbildungen, welche sowohl die Windkomponente usym als auch wsym in der
Symmetrieebene bei y = 0 m zeigen. Die horizontale Achse des Lee-Rotors, welche in die
Bildfläche in y-Richtung zeigt, befindet sich bei x = 500 m und z = 750 m.
Die Diagnostiken im weiteren Verlauf dieser Arbeit umfassen sowohl die ∆-Diagnostik
und Stromlinien mit dem mittleren Windfeld, als auch realitätsnahe Trajektorien des instantanen Windfeldes. Da die Strömungsgeometrie im Lee der Pyramide sehr komplex ist,
reagieren berechnete Stromlinien sehr sensibel gegenüber kleinsten Veränderungen des
Strömungsfeldes. Wie bereits in Abschnitt 3.1.8 erwähnt existiert eine quasi-periodische
Fluktuation auf einer Zeitskala, die sich maßgeblich von den schnellen, kurzskaligen Turbulenzen abhebt. Durch die Erhöhung der Integrationszeit der Simulation kann diese Fluktuation jedoch eliminiert werden. Zurückzuführen ist sie womöglich auf das Abreißen der
31
5 Ergebnisse
Masterarbeit
(a)
(b)
1500
z/m
1000
500
0
−1000
−500
0
500
x/m
1000
1500
1500
3.6
3.2
2.8
2.4
2
1.6
1.2
0.8
0.4
0
−0.4
−0.8
−1.2
−1.6
−2
−2.4
−2.8
−3.2
−3.6
1000
z/m
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
−8
−9
500
0
−1000
2000
−500
0
500
x/m
1000
1500
2000
Abbildung 12: Vertikalschnitt bei y = 0 m der symmetrisierten mittleren Windkomponenten usym in (a) und wsym in (b) in m s−1 . Die schwarze Linie entspricht jeweils
der Nulllinie, die Pfeile repräsentieren den Vektor (usym , wsym ) an den entsprechenden Gitterpunkten.
Strömung an den Kanten der Pyramide und die damit einhergehende wechselseitige Ablösung von Wirbeln, wie sie bei einer Kármán’schen Wirbelstraße vorkommt (siehe auch
Abschnitt 5.4.1). Um Rechenzeit zu sparen und die Integrationszeit auf besagte 60 Minuten
zu beschränken, wird das mittlere Strömungsfeld u, v und w als auch die Bannerwolke bei
der Berechnung der ∆-Diagnostik und bei Stromlinien künstlich in y-Richtung symmetrisiert in der Form:
i
1h
φ(x, y, z) + φ(x, −y, z)
(28)
φsym (x, y, z) =
2
Dabei steht das skalare Feld φ sowohl für die Windkomponenten u, v und w als auch für
die entsprechende Wolkendefinition via ∆z. Bei der Berechnung von Online-Trajektorien
stellen Fluktuationen wie diese jedoch den Einfluss der Turbulenz dar und gehen aus
diesem Grund in die Ergebnisse ein.
5.2
Euler’sche Abschätzung der Lagrange’schen Verschiebung
Die zeitlich gemittelte Lagrange’sche Verschiebung ∆x im x-z-Schnitt in der Symmetrieebene y = 0 m in Abbildung 13 (a) entspricht ungefähr dem Produkt aus Integrationszeit
und Einströmgeschwindigkeit im Modellgebiet. Lediglich im Lee des Berges weist diese,
aufgrund der Windkomponente entgegen der Einströmrichtung, deutlich niedrigere Werte
auf. Dies indiziert, dass Luftmassen, die sich zu Beginn der Simulation im Modellgebiet
aufhalten, im zeitlichen Mittel vollständig durch Luftmassen von jenseits des Einströmrands ausgetauscht werden.
∆y ist in Abbildung 13 (b) in einem Horizontalschnitt in einer Höhe von z = 25 m
dargestellt. Smith (1980) benutzt lineare Theorie zur Beschreibung der Deformation des
Strömungsfeldes bei der Umströmung eines Zylinders. Demnach erfährt ein Luftteilchen,
32
5 Ergebnisse
Masterarbeit
(a)
∆x / m
32000
1500
30000
28000
26000
1000
z/m
24000
22000
20000
500
18000
16000
14000
0
−1000
−500
0
500
x/m
1000
1500
2000
(b)
∆y / m
2000
1500
20
0
60
600
0
400
400
200
500
y/m
800
800
40
1000
400
600
800
0
400
200
200
0
0
0
0
−200
−200
−400
−500
−60
−1000
00
−2000
−1000
−600
−80
0
−80
−4
−1500
−400
−400
0
−2
00
−500
0 −6
00
−800
−400
0
500
x/m
1000
1500
2000
(c)
∆z / m
1500
0
550
22
440
440
44
550
0
30
11
30
−110
110
−220
−330
−110
−500
220
0
0
0
−1000
330
110
330
220
220
500
11
0
0
z/m
0
22
550
110
1000
33
0
500
x/m
1000
1500
2000
Abbildung 13: Lagrange’sche Verschiebung im zeitlichen Mittel: (a) in x-Richtung ∆x (m),
in (b) in y-Richtung ∆y (m) im horizontalen Schnitt in einer Höhe z = 25 m
und (c) in vertikaler Richtung ∆z (m), wie in (a), im x-z-Schnitt in der
Symmetrieebene y = 0 m. Die schwarze Kontur in (b) und (c) repräsentiert
die Nulllinie, die weiße Linie in (c) zeigt die ∆z = 570 m-Kontur.
33
5 Ergebnisse
Masterarbeit
welches sich rechts von der Symmetrieebene bei y < 0 m befindet, beim Anströmen an
den Berg einen höheren Druck auf der linken Seite. Dies führt zu einer Ablenkung des
Luftteilchens nach rechts. Im Lee des Berges herrscht niedriger Druck auf der linken Seite, welcher das Luftteilchen wieder zurück zu seiner ursprünglichen Orientierung führt.
Allerdings erfahren niedrige Teilchen, wie beispielsweise in Abbildung 13 (b) dargestellt,
eine Verschiebung in y-Richtung, welche um mehrere Längen L des umströmten Objektes
stromabwärts anhalten kann.
Betrachtet man sich die Lagrange’sche Verschiebung in vertikaler Richtung ∆z in einem x-z-Schnitt bei y = 0 m in Abbildung 13 (c), fällt eine Region starker Hebung (rote
Fläche) mit ∆z > 550 m auf. Im Mittel werden die Luftmassen in dieser Region also um
550 m gegenüber ihrem Startpunkt bei Integrationsstart gehoben. Existent ist die Region
lediglich im direkten Lee des Berges, also genau dort, wo wir eine Bannerwolke erwarten.
Auf diese Asymmetrie zwischen Luv und Lee des Berges und deren Wichtigkeit bei der
Bildung von Bannerwolken wiesen bereits Reinert und Wirth (2009) hin. Die weiße Linie
in Abbildung 13 (c) zeigt die ∆z = 570 m-Kontur, welche im weiteren Verlauf (sofern nicht
anders vermerkt) die Definition unserer Bannerwolke darstellt (siehe Abschnitt 4.3). Diese
entspricht ungefähr der RH = 100 %-Kontur bei einer konstanten relativen Feuchte am
Einströmrand von RH = 72 %.
Die nun vorliegende, zweidimensionale Information über die zeitlich gemittelte Verschiebung der Luftmassen kann genutzt werden, um eine erste Abschätzung des Ursprungs der Luftpakete aus der Bannerwolke zu unternehmen. Die Werte der Spurenstoffe
χ y und χz an einem Gitterpunkt innerhalb der Wolke zeigen per Definition, dass diese
Luftpakete generell mehr als 500 m niedriger und relativ nahe an der Symmetrieachse
bei y = 0 m gestartet sind. Wie mit ∆x gezeigt wurde, kann man davon ausgehen, dass
die Luftmassen im Modellgebiet im zeitlichen Mittel komplett mit Luftmassen von jenseits
des Einströmrands ausgetauscht werden. Da die Strömung stromaufwärts des Berges nicht
turbulent ist, nehmen wir zur Vereinfachung an, dass diese Luftpakete am Einströmrand
starten. Trägt man nun die Werte von χ y und χz in der Wolke, welche den räumlichen
Startpositionen der Spurenstoffe bei Integrationsbeginn entsprechen, als Koordinaten am
Einströmrand auf, erhält man eine zusammenhängende, um die Symmetrieachse y = 0 m
konzentrierte Region zwischen 250 m und 500 m Höhe. Abbildung 14 zeigt diese Region
(graue Punkte) zusammen mit einer Projektion der Pyramide und der Wolke in Strömungsrichtung x. Die roten Balken in Abbildung 14 zeigen die Fehler der jeweiligen Startposition
in y- und z-Richtung, auf die weiter unten näher eingegangen wird.
5.3
Wolkendefinition
Die simulierte Bannerwolke kann über verschiedene Größen definiert werden. Eine Möglichkeit bietet die 100 %-Kontur der mittleren relativen Feuchte RH, wie sie in Abbildung 15
mit einer konstanten relativen Feuchte von RH0 = 72 % am Einströmrand dargestellt ist. Wie
bereits erwähnt, lässt sich eine ∆z-Kontur finden, welche dieser 100 %-Kontur entspricht.
In Abbildung 13 (c) ist die ∆z = 570 m-Kontur in weiß eingezeichnet. Beide Konturen
34
5 Ergebnisse
Masterarbeit
Abbildung 14: Werte der Spurenstoffe χ y und χz der Gitterpunkte innerhalb der Wolke repräsentieren die zweidimensionalen Koordinaten des Ursprungs der
Luftpakete am Einströmrand (graue Punkte). Deren Abweichungen ∆χ y
und ∆χz sind hierbei als rote Fehlerbalken aufgetragen. Eine Projektion der
symmetrisierten Wolke in Strömungsrichtung ist in türkis, die der Pyramide
in transparentem grau dargestellt.
umschließen eine ähnliche Anzahl an Gitterpunkten. Insgesamt beinhaltet das Volumen
der symmetrisierten Bannerwolke nach der Wolkendefinition ∆z = 570 m 3812 Wolkenpunkte, nach der Wolkendefinition RH = 100 % bei einer konstanten relativen Feuchte am
Einströmrand von 72 % besteht die Bannerwolke aus 3217 Wolkenpunkten. Selbstverständlich kann die genaue Übereinstimmung durch die Feinabstimmung der entsprechenden
Parameter gefunden werden. Beim Vergleich beider Wolken sieht man jedoch bereits im
Vertikalschnitt eine große Ähnlichkeit im Verlauf der jeweiligen Wolkenkontur. Aus Gründen der Übersicht ziehen wir es deshalb vor, ∆z bzw. RH0 zu runden.
Bei der definierten Bannerwolke sollte jedoch beachtet werden, dass es sich hierbei um
eine zeitlich gemittelte Wolke handelt. Während ein Wolkengitterpunkt im zeitlichen Mittel in den Bereich der Wolkendefinition fällt, muss dies nicht für die einzelnen Zeitschritte
der Simulation gelten. Man erwartet an diesem Gitterpunkt eine gewisse Fluktuation. Dies
bedeutet jedoch, dass womöglich Zeitschritte existieren, an denen dieser Gitterpunkte das
Wolkenkriterium nicht erfüllt. Um diese Fluktuation charakterisieren zu können, wird die
mittlere quadratische Abweichung von χz untersucht. Diese Region stellt somit den „Fehler der mittleren ∆z-Wolke“ dar.
In Abbildung 16 (a) ist analog zu Abbildung 13 (c) ∆z im Vertikalschnitt dargestellt,
hier nun allerdings im gesamten Modellgebiet. Abbildung 16 (b) zeigt die mittlere qua35
5 Ergebnisse
Masterarbeit
1500
100
96
92
1000
88
z/m
84
80
76
500
72
68
64
0
−1000
−500
0
500
x/m
1000
1500
2000
Abbildung 15: Vertikalschnitt der mittleren relativen Feuchte RH bei y = 0 m mit einer
konstanten relativen Feuchte am Einströmrand von 72 %. Weißer Bereich
indiziert RH > 100 %.
p
dratische Abweichung des Spurenstoffes ∆χz = < (χz − χz )2 > und in Abbildung 16 (c)
ist jeweils die Summe aus ∆z + ∆χz abgebildet. Man bemerke die im Lee des Berges zum
Ausströmrand hin zunehmende Abweichung in 16 (b), welche die Region mit starker
Luftmassenhebung im Lee des Berges in 16 (c) etwas fahnenähnlicher und lang gezogener
erscheinen lässt. Da Bannerwolken in der Realität nicht im zeitlichen Mittel existieren,
sorgt die Addition der Abweichung zum Spurenstoff also womöglich für eine Verbesserung der Wolkendarstellung. Auch das Hebungsmaximum nimmt durch die Addition
der Abweichung zu, wodurch sich unser Schwellenwert der Wolkendefinition nach oben
verschiebt. Der Einfachheit halber legen wir uns hierbei auf ∆z + ∆χz = 640 m fest, was
3647 Wolkenpunkten entspricht und ungefähr der Wolkendefinition von ∆z = 570 m gleich
kommt. Die Untersuchungen zum Ursprung der Luftpakete aus der Wolke mittels ∆y und
∆z, Stromlinien und Online-Trajektorien werden im Folgenden zuerst mithilfe der Wolkendefinition nach ∆z = 570 m durchgeführt. In Abschnitt 5.8 werden diese Berechnungen
mit der modifizierten Wolkendefinition ∆z + ∆χz = 640 m jedoch wiederholt und mit den
bis dahin präsentierten Ergebnissen verglichen.
An dieser Stelle wird analog zur mittleren quadratischen Abweichung ∆χz die Abweichung ∆χ y eingeführt, welche Fluktuationen von χ y darstellt. In Abbildung 14 wurden
bereits erste Versuche zur Beschreibung des Ursprungs von Luftpaketen aus der Bannerwolke unternommen. Dabei werden χ y und χz an den Gitterpunkten in der Wolke als
Koordinaten am Einströmrand aufgetragen. Da nun die Abweichungen vom zeitlichen
Mittel dieser Spurenstoffe vorliegen, erhalten wir die Koordinaten zusammen mit einem
bestimmten Fehlerintervall. Die feinen rote Balken in Abbildung 14 zeigen die Abweichung
der jeweils aufgetragenen Koordinate. Der Bereich am Einströmrand vergrößert sich nach
36
5 Ergebnisse
Masterarbeit
(a)
3000
0
550
2500
0
440
330
2000
110
1500
0
22
44
11
0
550
0
22
0
−110
0
131300
44505
110
0
0
22
−1000
0
330
220
220
500
0
33
0
110
1000
110
0
z/m
220
0
−220
110
0
−110
−220
110
0
−110
1000 2000
x/m
3000
−330
4000
(b)
3000
250
2500
225
200
z/m
2000
175
150
1500
125
100
1000
75
50
500
25
0
−1000
0
1000 2000
x/m
3000
4000
(c)
3000
660
0
0
2500
550
440
110
330
220
1500
330 660
44
0
0
0
330
330
−220
220
220
110
0
−110
−1000
110
−110
0
0
0
10 0
122
330
440
110
220
330
550
11
500
11022
440
0 5 433 220
50400
110
1000
0
z/m
2000
−330
0
−110
1000 2000
x/m
3000
4000
Abbildung 16: Vertikalschnitt in der Symmetrieebene y = 0 m der Euler’schen Abschätzung der Lagrange’schen Verschiebung ∆z in m in (a), der mittleren quadratischen Abweichung ∆χz in m in (b) und Summe aus ∆z + ∆χz in m in
(c). Weiße Kontur in (a) und (c) zeigt ∆z = 570 m-Kontur.
37
5 Ergebnisse
Masterarbeit
oben hin um bis zu 150 m. In lateraler Richtung fallen die Fluktuationen geringer aus,
nehmen nach unten hin jedoch etwas zu. Generell fallen die Abweichungen vom Mittel
der Spurenstoffe relativ klein aus, sodass der Bereich des Ursprungs der Luftpakete am
Einströmrand dadurch nur unwesentlich vergrößert wird.
5.4
Alternative Abschätzung der Lagrange’schen Verschiebung
Die drei Spurenstoffe δx , δ y und δz stellen eine weitere Möglichkeit zur Beschreibung
der Deformation des Strömungsfeldes beim Umströmen einer Pyramide dar. Untersucht
wurden diese drei Spurenstoffe lediglich mit der Modellkonfiguration Nummer 3 (siehe
Tabelle 1). Da diese Modellkonfiguration von der in Abschnitt 5.2 verwendeten Konfiguration abweicht, wir jedoch die δ-Spurenstoffe mit der ∆-Diagnostik vergleichen wollen,
wurde Letztere erneut mit Modellkonfiguration Nummer 3 in Abbildung 17 (d) und (f)
dargestellt.
Der direkte Vergleich der beiden Modellkonfigurationen und somit auch der Vergleich
zwischen iLES und LES mittels ∆y und ∆z ist nicht Teil dieser Arbeit. Trotzdem will gesagt sein, dass sich Unterschiede der Spurenstoffe ∆y und ∆z in Abbildung 17 (d) und
(f) mit Modellkonfiguration Nummer 3 im Vergleich zu Abbildungen 13 (b) und (c) mit
Modellkonfiguration Nummer 4 erkennen lassen. Diese treten vor allem im leeseitigen
Hebungsmaximum auf, welches hier deutlich geringer ausfällt und weniger fahnenähnlich aussieht. Auch in Abbildung 17 (b), bei der Betrachtung der relativen Feuchte RH
mit einer konstanten relativen Einströmfeuchte vom RH0 = 77 % treten Unterschiede im
Vergleich zu Abbildung 15 auf. Man sieht, dass die 100 %-Kontur trotz größerem RH0 in
Abbildung 17 (b) kürzer ausfällt und nicht mit der Spitze der Pyramide im Lee in Strömungsrichtung weiterverläuft oder sogar ansteigt, sondern geringfügig abfällt. Zurückzuführen ist diese Abweichung teilweise auf die Unterschiede bei der Initialisierung der
χ-Spurenstoffe. In Modellkonfiguration Nummer 3 wurden diese lediglich am Einströmrand initialisiert, statt überall im Modellgebiet. Es kommt zwar im zeitlichen Mittel zur
kompletten Durchflutung des Modellgebiets mit Luftmassen von jenseits des Einströmrands, Modelldiffusion sorgt allerdings für Mischungseffekte, welche sich aufgrund der
unterschiedlichen Orte der Initialisierung der Spurenstoffe bemerkbar machen können.
Womöglich spielen hier zusätzlich Unterschiede der Simulationen im iLES- bzw. LESModus eine Rolle. Wie bereits erwähnt, muss bei der iLES ein zusätzlicher Term in der
Impulsgleichung für den Impulsaustausch in den unteren Modellschichten aufgrund des
fehlenden Feinstrukturmodells sorgen. Aus diesem Grund macht der direkte Vergleich von
χ- und δ-Spurenstoffen an dieser Stelle nur anhand der Modellkonfiguration Nummer 3
Sinn.
In Abbildung 17 (a) ist die zeitlich gemittelte Lagrange’sche Verschiebung in x-Richtung
mithilfe des Spurenstoffs δx dargestellt. Im gesamten Modellgebiet werden Luftmassen im
Mittel um δx > 16 000 m seit Integrationsbeginn in x-Richtung verschoben, was der Hälfte
des Produkts aus Integrationszeit und Einströmgeschwindigkeit entspricht. Das instantane Feld im letzten Modellzeitschritt weist Werte um δx = 32 400 m auf. Dies entspricht
38
5 Ergebnisse
Masterarbeit
(a)
(b)
Referenzfeuchte = 77 %
RH/%
1500
1500
100
16000
96
15040
92
14080
1000
13120
88
12160
84
z/m
z/m
1000
80
11200
10240
500
76
500
9280
72
8320
68
64
7360
0
−500
0
500
x/m
1000
0
−1000
1500
(c)
−500
0
500
x/m
1000
1500
2000
(d)
∆y / m
1500
1
80
1500
360
270
360
360
270
27
180
90
90
0
0
−9
0
0
0
70
−2
0
−36
70
−270
−2
−1
−1500
−360
0
500
x/m
1000
1500
00
0
0
−90
−
0
27
−36
−90
−360
−450
−18
0
0
−180
70
−270
−360
−1500
2000
−1000
(e)
90
90
−2
80
−500
180
−1000
−270
0
180
0
−180
−180
0
450
360
0
−500
0
360
0
180
0
−90
0
−18
−36
−1000
0
0
−90
0
27
0
90
−1000
500
0
0
−500
27
180
−18
18
0
y/m
0
270
36
500
270
1000
y/m
1000
0
27
0
360
180
−360
−270
−500
−180
0
500
x/m
1000
1500
2000
(f)
∆z / m
1500
1500
110
0
−1000
11
−330
0
−500
0
500
x/m
40
−220
0
1000
1500
0
−1000
2000
330
220
0
11
0
−110
0
−220
0
−330
−110
−500
0
500
x/m
1000
1500
2000
Abbildung 17: Vertikalschnitt in der Symmetrieebene bei y = 0 m von δx in (a), RH in (b),
δz in (e) und ∆z in (f). Horizontalschnitt von δ y in (c) und ∆y in (d) in 25 m
Höhe. Legenden stellen jeweils Werte in Meter dar. Ausnahme bildet RH in
(b). Hier stellt die Legende RH in % dar.
39
440
110
22
−110
−220
0
−110
110
500
110
3
220
0
0
220
−220
−110
0
−110
11
0
330
3300
4
110
0
2−2101
110
30
1000
220
330
500
22
330
0
0
0
330
44
055
0550
z/m
0
0
5044
501
331
11
44
440
z/m
1000
22
550
0
550
11
5 Ergebnisse
Masterarbeit
dem Produkt aus Integrationszeit und Einströmgeschwindigkeit. Ausnahmen bilden das
direkte Luv des Berges, wo Luftmassen durch das starke Ansteigen der Orographie abgebremst werden und im Lee des Berges, da dort im Wesentlichen eine Windkomponente
vorherrscht, welche der Einströmrichtung entgegengesetzt ist.
Die Verschiebung in y-Richtung, dargestellt durch δ y in der Symmetrieebene y = 0 m
zeigt kleine Werte, da dort nur geringfügig laterale Verschiebung der Luftmassen stattfindet. Im Horizontalschnitt in 25 m in Abbildung 17 (c) erkennt man dies anhand der
Nulllinie (schwarze dicke Linie). Im Lee des Berges sorgt Turbulenz für einen geringen
Austausch von Luftmassen über die Symmetrieebene y = 0 m hinweg. Im gesamten Horizontalschnitt weist δ y jedoch ein ähnliches Muster auf, wie bei der Abschätzung der
Lagrange’schen Verschiebung in Abbildung 17 (d), welche in Abschnitt 5.2 bereits genauer
beschrieben wurde. Luftmassen rechts von der Symmetrieachse bei y < 0 m werden durch
die Pyramide nach rechts abgelenkt, entsprechend sind die Werte von δ y negativ. Links der
Symmetrieebene werden die Luftmassen nach links abgeleitet, was für ein positives Vorzeichen von δ y sorgt. Entsprechend 17 (d) erfahren auch hier niedrige Luftpakete bei der
Bergumströmung eine Ablenkung nach außen, welche bis zu mehreren Längenordnungen
der Orographie anhalten kann.
Die vertikale Komponente δz wird in Abbildung 17 (e) dargestellt. Eine Region starker Luftmassenhebung im Lee des Berges mit Werten δz > 440 m wird ersichtlich, welche
ebenfalls große Ähnlichkeit mit ∆z in Abbildung 17 (f) besitzt.
Abschließend lässt sich sagen, dass bei geeigneter Initialisierung der Spurenstoffe eine
große Übereinstimmung zwischen der ∆-Diagnostik und den δ-Spurenstoffen erreicht werden kann. Beide Diagnostiken können analytisch gleichgesetzt werden und unterscheiden
sich lediglich in der numerischen Implementation. Somit liegen hier zwei Diagnostiken
vor - eine Spurenstoff, der mit entsprechender Koordinate initialisiert und passiv advehiert wird und ein weiterer, der mit Null initialisiert wird und auf den die entsprechende
Windkomponente einwirkt -, welche nahezu identisch dasselbe Phänomen beschreiben.
Dies zeugt von der Güte der Numerik des verwendeten Modells.
5.4.1
Visualisierung einer quasi-periodischen Struktur im Lee
Während in der Literatur bei der Simulation Kármán’scher Wirbelstraßen hauptsächlich
Strömungen um runde Hindernisse betrachtet werden, wie zum Beispiel um einen Zylinder in Mohseni (2000), liegt bei uns eine Strömung um eine Pyramide mit rechteckiger
Grundfläche vor. Im Rahmen ihrer Bachelorarbeit untersucht Steiger (2013) ebenfalls eine
Strömung um eine Pyramide und macht von der klassischen Kármán’schen Wirbelstraße
abweichende Beobachtungen. Dabei wird eine Animation der absoluten Windgeschwindigkeit in 300 m Höhe verwendet. Nach Mohseni (2000) bilden sich abwechselnd ablösende
Wirbel in der Regel zwei parallele Reihen. Die Animation von Steiger (2013) zeigt keine
parallelen Reihen von Wirbeln im Lee der Pyramide. Die Wirbel lösen sich vielmehr an den
vorderen Kanten der Pyramide ab und verlaufen bogenförmig ins Lee, wo sie in einer gewissen Distanz zum Berg wieder zusammenlaufen. Es besteht damit Grund zu Annahme,
40
5 Ergebnisse
Masterarbeit
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
Abbildung 18: Visualisierung einer Kármán’schen Wirbelstraße mithilfe des Spurenstoffes
δ y in einem Horizontalschnitt in einer Höhe von z = 100 m. Dargestellt sind
die Zeitpunkte (a) t = 14.0, (b) 15.0, (c) 16.0, (d) 17.0, (e) 17.8, (f) 18.8, (g) 19.5
und (h) 20.0 min.
41
5 Ergebnisse
Masterarbeit
dass die Kármán’sche Wirbelstraße, welche bei der Umströmung einer Pyramide entsteht,
von der Wirbelstraße hinter einem runden, zylinderförmigen Objekt, abweicht. Auch im
Rahmen dieser Arbeit werden quasi-periodische Fluktuationen auf langsamen Zeitskalen
gefunden, wie bereits mehrmals erwähnt wurde (siehe beispielsweise Abschnitt 5.1).
Mithilfe des Spurenstoffs δ y wird der Versuch unternommen, diese quasi-periodische
Fluktuation und womöglich eine Wirbelstraßen-ähnliche Struktur darzustellen, welche
sich im Lee des Berges bei der Umströmung bildet. Dazu wird ein Horizontalschnitt des
instantanen Spurenstoffs δ y mit einem Zeitintervall von ∆t = 10 s über 20 min ausgegeben
und graphisch dargestellt. Abbildung 18 zeigt ausgewählte Zeitschritte zwischen Minute
14 und 20. Die entsprechenden Pfeile kennzeichnen alternierende, vorzeichenverschiedene
Segmente von δ y im Lee der Pyramide.
Der Spurenstoff δ y lässt keine Wirbelstraßen-ähnliche Struktur erkennen. Es zeigt sich
vielmehr eine Region von sich ablösenden Segmenten von δ y im zentralen Lee der Pyramide, welche laterale Luftmassenbewegungen mit unterschiedlichem Vorzeichen beschreiben. Es lässt sich folglich zwar eine quasi-periodische Fluktuation im Lee der Pyramide
erkennen, eine Kármán’sche Wirbelstraße im klassischen Sinn wird jedoch nicht dargestellt.
Da Steiger (2013) wenigstens ansatzweise eine Ähnlichkeit zur Kármán’schen Wirbelstraße
aufzeigen konnte, liegt der Grund für das Scheitern unseres Versuchs in der Darstellung mit
dem betrachteten Spurenstoff δ y , welcher die laterale Verschiebung von Luftmassen zeigt.
Mohseni (2000) hingegen benutzt die Geschwindigkeit der heranströmenden Luftmassen
zur Darstellung der Wirbelstraße.
5.5
Pseudotrajektorien
Eine weiterer Versuch zur Berechnung des Ursprungs von Luftpaketen kann mithilfe der
δ-Spurenstoffe in Form von Pseudotrajektorien unternommen werden. Wie bereits in Abschnitt 4.5 erwähnt, entsprechen die Endpunkte der Pseudotrajektorie den Gitterpunkten
in der Wolke und werden durch grüne Punkte in Abbildung 19 markiert. In dieser Abbildung sind vier ausgewählte Pseudotrajektorien (blau) dargestellt. Zu Beachten ist, dass
der Verlauf einer Pseudotrajektorie hierbei nicht dem Laufweg eines einzelnen Luftpakets entspricht. Man muss die Pseudotrajektorien vielmehr so interpretieren, dass ein
Punkt entlang einer Pseudotrajektorie dem Ursprung eines bestimmten Luftpaketes zu einem bestimmten Zeitpunkt entspricht, welches nach entsprechender Zeit den betrachteten
Gitterpunkt in der Wolke passiert. Bei, wie in unserem Fall, vorherrschender Turbulenz
entspricht der jeweilige Nachbarpunkt auf der selben Pseudotrajektorie dem Ursprung
eines anderen Luftpaketes zu einem anderen Zeitpunkt.
Die Bannerwolke der entsprechenden Wolkendefinition bei der iLES weist einige
Wolkengitterpunkte im Luv der Pyramide auf. Abbildung 19 (a) zeigt deshalb beispielhaft
eine Pseudotrajektorie, welche im Luv des Berges endet. Während man in Abbildung 19 (a)
einen glatten Verlauf der Pseudotrajektorie sieht, welche von einer niedrigeren Höhe am
Einströmrand entspringt um im Luv ihren Endpunkt zu erreichen, erkennt man in den
weiteren drei Abbildungen 19 (b), (c) und (d) einen chaotischen Verlauf der Pseudotrajek-
42
5 Ergebnisse
Masterarbeit
torien. Hier endet die jeweilige Pseudotrajektorie in der Wolke im Lee des Berges. Dabei
dringen diese drei Pseudotrajektorien luvseitig in die Orographie ein. Dieses Verhalten
wird bei einer großen Anzahl an berechneten Pseudotrajektorien, die im Lee der Pyramide
enden, beobachtet. Als Grund für den weniger glatten Verlauf und die Penetration des
Berges lässt sich die im Lee des Berges vorherrschende Turbulenz anführen. Selbst bei der
Ausgabe der Pseudotrajektorien mit einem Zeitschritt von ∆t = 0.25 s, welcher dem Modellzeitschritt entspricht, ist der Einfluss der Turbulenz deutlich präsent. Schnell drehende
Windvektoren und der daraus resultierende Einfluss auf die instantanen δ-Spurenstoffe
können nicht fein genug aufgelöst werden, um einen vernünftigen Verlauf von Luftpake(a)
(b)
(c)
(d)
Abbildung 19: Ausgewählte Pseudotrajektorien (blaue Linie) mit Endpunkten (grüner
Punkt) in der Wolke (nicht abgebildet), dargestellt mit Blick auf das Luv
des Berges. Pseudotrajektorie in (a) startet im Luv des Berges, Pseudotrajektorien in (b) bis (d) starten im Lee.
43
5 Ergebnisse
Masterarbeit
ten abzuschätzen. Da im Luv des Berges eine wenig turbulente Strömung vorliegt, erhält
man bei hier endenden Pseudotrajektorien einen glatten Verlauf, wie in Abbildung 19 (a)
gezeigt.
Demnach ist die Berechnung der Pseudotrajektorien mithilfe der δ-Spurenstoffe in der
vorgestellten Weise für unsere Zwecke, nämlich der Abschätzung der Herkunft von Luftpaketen durch die Bannerwolke, ungenügend. Die komplexe Strömungsgeometrie im Lee
des Berges und die damit verbundene Turbulenz sorgen für einen chaotischen Verlauf der
Pseudotrajektorien. Die Berechnung von Pseudotrajektorien empfiehlt sich deshalb nur
beim Betrachten einer nahezu laminaren Strömung mit vernachlässigbarer Turbulenz.
5.6
Stromlinien
In den folgenden Unterabschnitten werden nun Stromlinien des symmetrisierten, mittleren
Windfeldes untersucht und mit den Ergebnissen der ∆-Diagnostik verglichen. Außerdem
wird der Versuch zur Darstellung des Bogenwirbels im Lee des Berges unternommen.
5.6.1
Stromlinien durch die Bannerwolke
Zu Beginn werden Stromlinien mit den Endpunkten innerhalb der symmetrischen Bannerwolke betrachtet. Plottet man die Startpunkte der einzelnen Stromlinien am Einströmrand,
so erhält man, im Gegensatz zu den Startpunkten der Luftpakete nach Abbildung 14, zwei
verschiedene Klassen von Stromlinien (siehe Abbildung 20). Während die Startpunkte
zwischen 200 m und 600 m Höhe hier ähnlich symmetrisch um die y-Achse angeordnet
sind wie die in Abbildung 14 auftretenden Startpunkte, taucht nun eine zweite Klasse von
Stromlinien unterhalb von 200 m Höhe auf, welche sich über mehr als 700 m in horizontaler Richtung erstreckt. Diese niedrig startenden Luftpakete müssen folglich auf ihrem
Weg entlang der Stromlinien in die Wolke sehr stark gehoben werden. Wie wir später
feststellen werden, handelt es sich hierbei um Luftpakete, welche den Berg eher um- statt
überströmen und somit eine große laterale Auslenkung erfahren. Anschließend werden
diese durch den Lee-Rotor auf der Rückseite des Berges in die Wolke gehoben. Höher startende Luftpakete nehmen einen direkteren Weg in die Wolke, teilweise überströmen diese
den Berg komplett. Die Abwesenheit dieser niedrigen Startpunkte bei der ∆-Diagnostik in
Abbildung 14 lässt sich auf Mischungseffekte des Modells, welche auf die Spurenstoffe χ y
und χz einwirken, zurückführen. Dementsprechend bildet sich eine zusammenhängende,
um die y-Achse symmetrische Struktur aus.
Um einen Einblick in den jeweiligen Laufweg der Luftpakete auf den Stromlinien in
die Wolke zu erhalten, werden Größenverteilungen verschiedener Charakteristiken der
Stromlinien erstellt. In Abbildung 21 (a) ist die Auslenkung der Luftpakete in x-Richtung
gegen die Dauer der Luftpakete entlang der jeweiligen Stromlinie bis zum Erreichen der
Wolke dargestellt. Man erkennt hier erneut zwei bestimmte Klassen an Stromlinien. Luftpakete entlang schneller Stromlinien werden weniger stark in x-Richtung ausgelenkt als
diejenigen Luftpakete, welche länger bis zum Erreichen der Wolke benötigen. Dies liegt
daran, dass Luftpakete auf den schnellen Stromlinien einen direkteren Weg in die Wolke
44
5 Ergebnisse
Masterarbeit
Abbildung 20: Startpunkte von Stromlinien am Einströmrand, deren Endpunkte sich in der
Wolke befinden. Blaue Punkte indizieren Befeuchtung, rote Punkte Trocknen der Stromlinien im Vergleich zu ihrem Startwert. Projektion der symmetrisierten Wolke (türkis) und der Pyramide (grau) in Strömungsrichtung.
nehmen, wo sie schließlich enden, wohingegen Luftpakete mit zeitlich längerem Weg den
Berg um- statt überströmen und vom Lee-Rotor gehoben werden. Diese können somit eine
längere Distanz in x-Richtung zurücklegen, bevor sie ebenfalls in der Wolke enden.
Des Weiteren lässt sich die Startposition in y-Richtung am Einströmrand gegen die Dauer der Luftpakete bis zum Erreichen der Wolke auftragen, siehe Abbildung 21 (b). Auch
hier bietet sich ein ähnliches Bild. Luftpakete schneller Stromlinien mit direktem Weg zur
Wolke sind um die y-Achse konzentriert, ähnlich der Startpunkte aus Abbildung 14. Luftpakete mit einem längeren Weg verteilen sich über einen Bereich von fast 700 m in der
Horizontalen (Abbildung 20).
Wie bereits erwähnt erfahren Luftpakete, welche den Berg umströmen, eine größere
laterale Auslenkung. Trägt man nun die maximale laterale Auslenkung der Luftpakete
gegen deren Starthöhe auf, stellt man auch hier die beiden bereits beschriebenen zwei
Klassen von Stromlinien fest, siehe Abbildung 21 (c). Zusammenfassend lässt sich also
sagen, dass niedrig startende Luftpakete den Berg eher umströmen, wodurch sich ihr Weg
verlängert. Im Lee des Berges werden diese dann durch den Bogenwirbel in die Wolke
gehoben. Starten die Luftpakete um die y-Achse in einer Höhe zwischen 200 m und 600 m,
so überströmen diese den Berg und gelangen auf einem direkteren Weg in die Wolke,
wodurch sich ihre Laufzeit verkürzt.
Aufgrund vorherrschender Turbulenz im Lee des Berges, welche mit Mischungseffekten zusammenhängt, stellt sich die Frage nach der Erhaltung von spezifischer Feuchte und
45
5 Ergebnisse
Masterarbeit
(a)
(b)
15000
duration / s
duration / s
15000
10000
5000
0
600 0
count
0
500
1000
1500
maximum streamwise position / m
10000
5000
0
0
600 0
count
count
count
0
100
200
100
200
300
|yinflow| / m
400
0
100
200
(c)
800
zinflow / m
600
400
200
200
0
0
0
count
count
200 400
600 800 1000
maximum lateral displacement / m
0
100
200
Abbildung 21: Streudiagramme ausgewählter Stromlinien durch die Wolke: (a) Maximale
Position der Stromlinie in x-Richtung in m als Funktion der Dauer bis zum
Erreichen der Wolke in s, (b) Startposition der Stromlinien in y-Richtung
in m als Funktion der Dauer bis zum Erreichen der Wolke in s und (c)
maximale Verschiebung der Stromlinien in y-Richtung in m als Funktion
der Starthöhe in m.
potentieller Temperatur entlang der berechneten Stromlinien. Hierzu können die zeitlich
gemittelten Werte der potentiellen Temperatur θ und der spezifischen Feuchte q entlang
der Stromlinien ausgegeben werden. Die Differenz zwischen dem Start- und Endwert
der potentiellen Temperatur θ aufgetragen gegen die Starthöhe der Stromlinie ist in Abbildung 22 (a) abgebildet. Lediglich kleinste Fluktuationen werden dabei ersichtlich, die
jedoch vernachlässigbar sind. Aufgrund des unterhalb von 1000 m konstant angenommenen θ-Profils ist dies weniger überraschend. Hier kommt es zur Mischung von gleichen
θ-Werten. Somit kann die materielle Erhaltung der potentiellen Temperatur entlang der
Stromlinien angenommen werden.
Analog dazu kann die spezifische Feuchte q entlang der Stromlinien ausgegeben werden. Ein Blick auf die Farbverteilung der Punkte in Abbildung 20 verrät uns, welche Luftpakete gegenüber ihrem Startwert an spezifischer Feuchte gewinnen und welche davon
46
5 Ergebnisse
Masterarbeit
(b)
800
800
700
700
600
600
500
500
zinflow / m
zstart / m
(a)
400
400
300
300
200
200
100
100
Dauer < 1000 s
Dauer > 1000 s
0
−1
−0.5
0
0.5
1
θend -θstart / K
0
−1.5
−1
−0.5
0
dq / g kg−1
0.5
Abbildung 22: Differenz zwischen dem Start- und Endwert der potentiellen Temperatur θ
in K in (a) und der spezifischen Feuchte q in g kg−1 aufgetragen gegen die
Starthöhe der Stromlinie in m. Blaue Punkte in (a) repräsentieren Luftpakete auf Stromlinien, welche die Wolke unter 1000 s erreichen, rote Punkte
zeigen Luftpakete, die mehr als 1000 s zum Erreichen der Wolke benötigen. Farbliche Kennzeichnung in (b) indiziert die Höhe der Stromlinien am
Punkt x = 0 m: z < 600 m (blau), 600 < z < 850 m (türkis, in diesem Plot
allerdings nicht vorhanden), 850 < z < 975 m (rot) und 975 m< z (braun).
Feuchte verlieren. Luftpakete, die unter 400 m Höhe starten, erfahren einen Verlust an spezifischer Feuchte gegenüber ihres Anfangswertes, wohingegen höher startende Luftpakete
eher befeuchtet werden. Des Weiteren ist es möglich, die Differenz aus Start- und Endwert
der spezifischen Feuchte einzelner Luftpakete gegen deren Starthöhe aufzutragen, wie
in Abbildung 22 (b) dargestellt, um die Größenordnung der Feuchteänderung zu ermitteln. Betrachten wir erneut das Profil der spezifischen Feuchte in Abbildung 7, stellen wir
fest, dass Luftpakete niedriger Starthöhe entsprechend mehr spezifischen Feuchtegehalt
besitzen, als Luftpakete aus größeren Höhen am Einströmrand. Des Weiteren haben wir
bereits festgestellt, dass niedrig startende Luftpakete stärker gehoben werden müssen, um
die Wolke zu erreichen. Sie befinden sich dann entsprechend in Regionen mit niedrigerer
spezifischer Feuchte. Der Mischungseffekt in diesen Regionen sorgt aus diesem Grund für
einen Verlust an spezifischer Feuchte der Luftpakete gegenüber ihrem Startwert. Luftpakete entlang von Stromlinien die wiederum höher starten, werden weniger stark gehoben
und erfahren somit im Bereich der Wolke, wo sie mit feuchteren Luftpaketen zusammentreffen, aufgrund von Mischungsprozessen eine Befeuchtung. In anderen Worten kann
man sagen, dass niedrig startende Luftpakete grundsätzlich eher Austrocknung erfahren,
wohingegen höher startende Luftpakete einen Gewinn an Feuchte gegenüber ihrem Startwert am Einströmrand verzeichnen. Die spezifische Feuchte entlang der Stromlinien ist
somit nicht erhalten.
Die farbliche Kennzeichnung der Punkte in Abbildung 22 (b) indiziert die Höhe der
47
1
5 Ergebnisse
Masterarbeit
Stromlinien bei x = 0 m auf der Höhe des Berges. Auch hier werden die zwei Klassen von
Stromlinien deutlich. Niedrig startende Luftpakete befinden sich bei x = 0 m unterhalb
von 600 m Höhe (blaue Punkte). In einer Höhe von 600 m bis 850 m befinden sich keine
Stromlinien, erst oberhalb von 850 m sind erneut Stromlinien zu verzeichnen (rote und
braune Punkte). Einige der Luftpakete (braune Punkte) überströmen den Berg komplett
mit einer Höhe von über 950 m bei x = 0 m.
Es wurde deutlich gezeigt, dass sich bei der Berechnung von Stromlinien zwei Klassen
herausbilden. Ruft man sich die Eigenschaften des zeitlich gemittelten Feldes der vertikalen Windkomponente wsym aus Abbildung 12 (b) in Erinnerung, so existiert bei x = − 500 m
im Luv an der Oberfläche der Pyramide in einer Höhe von z ≈ 150 m ein Stagnationspunkt.
Die Trennung beider Klassen von Stromlinien kann folglich interessanterweise als eine Bifurkation angesehen werden, wobei der Bifurkationspunkt mit dem Stagnationspunkt im
Luv der Pyramide zusammenfällt.
5.6.2
Stromlinie durch den Wolkenmittelpunkt
Eine weitere interessante Untersuchung bietet die Variation verschiedener Parameter entlang einer Stromlinie. Betrachtet man sich eine Stromlinie durch den räumlich gewichteten
Mittelpunkt der Wolke bei gerundeten x = 415 m, y = 0 m und z = 944 m (Ausgangspunkt
für die Berechnung der Stromlinie ist y = −12.5 m, um eine Endlosschleife im Lee-Rotor
aufgrund des symmetrisierten Windfeldes und der Wolke zu vermeiden), so erhält man
(a)
(b)
Abbildung 23: Zweidimensionale Darstellung der Stromlinie nahe des räumlich gewichteten Wolkenmittelpunkts x = 415 m, y = 0 m und z = 944 m. Horizontale
Projektion der Stromlinie, des Berges und der Wolke ∆z = 570 m in (a) wobei
die Farbskala die Höhe der Stromlinie in m angibt. Laterale Projektion in (b)
mit der farblichen Kennzeichnung der Position der Stromlinie in y-Richtung
in m.
48
5 Ergebnisse
Masterarbeit
Abbildung 24: Dreidimensionale Darstellung der Stromlinie nahe des räumlich gewichteten Wolkenmittelpunkts x = 415 m, y = 0 m und z = 944 m. Einfärbung
indiziert die zeitliche Entwicklung entlang der Stromlinie in Sekunden.
∆z = 570 m-Isofläche zeigt die symmetrisierte Wolke in türkis.
den in Abbildung 23 und 24 dargestellten Verlauf. Dabei wird ab dem Mittelpunkt der Wolke sowohl eine Rückwärtsstromlinie zum Einströmrand, als auch eine Vorwärtsstromlinie
zum Ausströmrand berechnet. Demnach starten Luftpakete auf dieser Stromlinie am Einströmrand und umströmen den Berg auf der Seite y < 0 m. Legt man den Ausgangspunkt
für die Berechnungen der Stromlinie bei y = 12.5 m fest, verläuft diese auf der Seite y > 0 m
um den Berg. Anschließend werden die Luftpakete im Lee des Berges spiralförmig entlang
des linken Astes des Bogenwirbels gehoben. Bevor die Stromlinie Richtung Ausströmrand
verläuft, wird die Wolke mehrmals durchlaufen, wobei die Stromlinie durch den Lee-Rotor
kreisförmige Bewegungen um dessen horizontale Achse macht. Bei der Wolke in Abbildung 23 und 24 handelt es sich um die symmetrisierte ∆z = 570 m-Isofläche, welche unsere
Bannerwolke zur Berechnung der Stromlinien definiert. Dabei indiziert die Farbskala in
Abbildung 23 (a) die Höhe der Stromlinie, die Farbskala in Abbildung 23 (b) die laterale
Position der Stromlinie und die Farbskala in Abbildung 24 die zeitliche Entwicklung entlang der Stromlinie in Sekunden.
Entlang dieser Stromlinie können mit dem bereits vorgestellten Interpolationsverfahren verschiedene meteorologische Parameter ausgegeben werden. Abbildung 25 zeigt die
zeitliche Entwicklung (a) der relativen Feuchte RH in %, (b) der potentiellen Temperatur θ
in K, (c) der spezifischen Feuchte q in g kg−1 , (d) des Drucks p in hPa, (e) der Höhe z in m
und (f) der entsprechenden Position in x-Richtung in m entlang der Stromlinie. Der Verlauf der relativen Feuchte RH in (a) entspricht im Wesentlichen dem Verlauf der Höhe der
49
5 Ergebnisse
287.5
(a)
100
Θ/K
RH / %
120
Masterarbeit
80
(b)
287
60
−10000−8000−6000−4000−2000
Zeit / s
0
286.5
−10000−8000−6000−4000−2000
Zeit / s
2000
0
p / hPa
(c)
7
6
5
−10000−8000−6000−4000−2000
Zeit / s
z/m
1000
0
(e)
950
0
2000
(f)
4000
500
0
−10000−8000−6000−4000−2000
Zeit / s
(d)
1000
900
−10000−8000−6000−4000−2000
Zeit / s
2000
x/m
q / (g/kg)
8
2000
2000
0
−2000
0
2000
−10000−8000−6000−4000−2000
Zeit / s
0
2000
Abbildung 25: Zeitlicher Verlauf verschiedener Parameter entlang einer Stromlinie: (a) relative Feuchte RH in % (blaue Linie markiert 100 %-Marke), (b) potentielle
Temperatur θ in K, (c) spezifische Feuchte q in g kg−1 , (d) Druck p in hPa,
(e) Höhe z in m und (f) Position in x-Richtung in m.
Stromlinie in (e). Jeder Anstieg der Höhe der Stromlinie ist mit einem Anstieg der relativen
Feuchte entlang der Stromlinie verbunden. Bei der Zeit 0 s wird der Mittelpunkt der Wolke
erreicht. Hier befinden wir uns demnach in einer Höhe von 978 m, die relative Feuchte
übersteigt die 100 %-Marke, dass heißt unser Luftpaket ist hier übersättigt. Bereits vor Erreichen des Mittelpunktes als auch danach ist dieses Luftpakete mehrmals übersättigt. Der
Druck p in (d) verhält sich augenscheinlich antiproportional zur Höhe, da dieser mit der
Höhe abnimmt. Wie bereits bei der Betrachtung aller Stromlinien durch die Bannerwolke
zeigt der zeitliche Verlauf die materielle Erhaltung der potentiellen Temperatur entlang
der Stromlinie in (b). Zwei minimale Fluktuationen bei ungefähr 1000 s und 2000 s zeigen
den Einfluss der stabilen Schichtung oberhalb des Gipfels. Zu diesen Zeitpunkten befindet
sich die Stromlinie in einer Höhe von z ≥ 1000 m, wodurch es minimal zur Einmischung
von potentieller Temperatur aus den darüberliegenden Schichten kommt. Interessant ist
auch die Betrachtung der Position der Stromlinie in x-Richtung in (f). Innerhalb von knapp
1000 s befindet sich die Stromlinie im Lee des Berges, wo sie anschließend Rotationen
um den Bogenwirbel ausführt, was sich in den Oszillationen der Variablen entlang der
Stromlinie ausdrückt. Diesen Bereich verlässt sie erst wieder nach mehr als 12 000 s und
macht sich auf den Weg in Richtung Ausströmrand. Hier wird deutlich, dass Stromlinien
weniger lange brauchen, um den Berg zu Umströmen. Der Bogenwirbel im Lee des Berges,
welcher die Hebungen der Stromlinien vollzieht, sorgt für die langen Aufenthaltszeiten
50
5 Ergebnisse
Masterarbeit
der Stromlinien im direkten Lee des Berges. Weiterhin betrachten wir uns die spezifische
Feuchte entlang der Stromlinie in (c). Hier zeigt sich eine Abnahme in der spezifischen
Feuchte entlang der Stromlinie vor allem während der ersten 3000 s und der letzten 1000 s.
Zu Beginn wird die Stromlinie stark angehoben, wodurch sie, aufgrund des mit der Höhe
abnehmenden Feuchteprofils, in eine Region geringerer spezifischer Feuchte gelangt. Mischungseffekte sorgen dann für eine Abnahme der spezifischen Feuchte auf der Stromlinie
gegenüber ihrem Startwert. Wie bereits von Voigt (2012) festgestellt, korrelieren Änderungen in der relativen Feuchte stark mit der Höhe der Stromlinie, wodurch klar wird,
dass Mischung im Vergleich zur Hebung eine untergeordnete Rolle bei der Bildung von
Bannerwolken spielt.
Ein weiterer interessanter Aspekt wurde bereits von Voigt (2012) herausgearbeitet. Die
durch die ∆-Diagnostik bestimmte Hebung, das heißt ∆z = 660 m am Wolkenmittelpunkt
und die Hebung von Luftpaketen entlang der Stromlinie von netto knapp 850 m - sie starten am Einströmrand unter z = 100 m und befinden sich zum Zeitpunkt Null in einer Höhe
von z = 944 m [Abbildung 25 (e)] - weisen eine Diskrepanz auf. Dabei muss man sich klar
machen, dass die Höhe z entlang der Stromlinie lediglich vom mittleren Windfeld abhängt,
mit welchem diese berechnet wird. ∆z hingegen wird mithilfe des mittleren Spurenstoffs χz
bestimmt. Bei diesem Spurenstoff sorgt jedoch das Einwirken von Modelldiffusion für ein
lokales Mischen in turbulenten Regionen. Somit kann davon ausgegangen werden, dass
die Diskrepanz von knapp 200 m zwischen der Hebung von ∆z und der Hebung von Luftpaketen entlang der Stromlinie auf Mischungseffekte, die auf den Spurenstoff einwirken,
zurückgeht.
5.6.3
Darstellung des Bogenwirbels
Wie bereits erwähnt, kann der Bogenwirbel, welcher sich im Lee des Berges aufbaut, mithil
~ > =
fe der Stagnation der absoluten Windgeschwindigkeit des mittleren Windfeldes < u
p
~ > = 0.8 m s−1 u2 + v2 + w2 dargestellt werden. In Abbildung 26 (a) und (b) ist die < u
Isofläche abgebildet. Hierbei wird ein symmetrisiertes Windfeld verwendet, da der Bogenwirbel aufgrund der in Abschnitt 5.1 bereits diskutierten quasi-periodischen Fluktuation
im Lee des Berges leicht asymmetrisch wirkt. Man erkennt den Bogenwirbel im Lee des
Berges zusammen mit einem dritten Ast auf der Symmetrieachse y = 0 m, an dessen Fuß
sich der Wiederanlegepunkt der Strömung befindet (siehe Abschnitt 5.1). An der Oberfläche der Orographie stagniert das Windfeld ebenfalls. Hier zeigt sich der Übergang zu
einem verschwindenden Windfeld innerhalb der Orographie aufgrund der verwendeten
geländeschneidenden Koordinaten. Ansatzweise zeigt sich ein kleiner Wirbel zu beiden
Seiten des Berges.
Wie bereits erwähnt, lässt sich die Bogenlänge von Stromlinien sB berechnen, wodurch
sich langsame Stromlinien, von schnellen Stromlinien trennen lassen. Berechnet man nun
die Bogenlänge von Stromlinien, welche von jedem Modellgitterpunkt aus initialisiert
werden und sucht einen geeigneten Schwellenwert zur Darstellung der entsprechenden
Isofläche, wird ebenfalls ein Bogenwirbel zusammen mit dem dritten Ast in der Symme-
51
5 Ergebnisse
Masterarbeit
(a)
(b)
(c)
(d)
Abbildung 26: Visualisierung des Bogenwirbels mit einem dritten Ast in zwei verschiedenen Blickwinkeln auf das Lee des Berges (links und rechts). Die Darstellung
~ > = 0.8 m s−1 -Isofläche
erfolgt mittels Stagnation des Windfeldes und < u
in (a) und (b) und der 300 m-Isofläche der im gesamten Modellgebiet bestimmten Bogenlängen von Rückwärts- und Vorwärtsstromlinien in (c) und
(d).
trieebene y = 0 m ersichtlich. In Abbildung 26 (c) und (d) ist die Isofläche der Bogenlängen
von sB = 300 m dargestellt. Auch hier wird ein symmetrisiertes Windfeld zur Berechnung
der Stromlinien verwendet. Der Bogenwirbel ist nun deutlicher sichtbar und wirkt glatter.
Auch die beiden Wirbel an den Seiten des Berges zwischen x = 0 m und x = 500 m heben
sich mithilfe der Bogenlänge deutlicher ab.
Ein weiterer interessanter Punkt ist die Tatsache, dass der Bogenwirbel lediglich im
mittleren Windfeld sichtbar wird. Das instantane Windfeld hingegen zeigt viele einzelne,
52
5 Ergebnisse
Masterarbeit
kleine Regionen der Windstagnation im Lee der Berges ohne ersichtlichen Zusammenhang
(hier nicht gezeigt).
5.7
Trajektorien
Neben Stromlinien des zeitlich gemittelten Windfelds zur Verfolgung von Luftpaketen
werden Trajektorien des instantanen Windfeldes zur Modelllaufzeit berechnet. Da kleine
Asymmetrien hierbei auf den Einfluss von Turbulenz zurückzuführen sind und die Ergebnisse der Berechnungen möglichst realitätsnah sein sollen, werden weder das Windfeld,
noch die Wolke künstlich symmetrisiert.
5.7.1
Trajektorien durch die Bannerwolke
Analog zu den Stromlinien betrachten wir lediglich Trajektorien, welche die Wolke passieren. Trägt man die Startpunkte der entsprechenden Trajektorien am Einströmrand auf
(Abbildung 27), so erhält man, ähnlich wie bei den Stromlinien, eine konzentrierte Region
um die Symmetrieachse y = 0 m zwischen 50 m und 750 m Höhe. Auch am Boden ist ein
Bereich zu erkennen, welcher sich über 800 m in der Horizontalen erstreckt in dem die
Startpunkte der Trajektorien zu finden sind. Allerdings fällt, im Vergleich zu den Stromlinien, eine starke Streuung, vor allem unter 500 m Höhe im Bereich y = ± 200 m, auf.
Entsprechend sind die grundlegenden Eigenschaften der Startpunkte von Stromlinien bei
den Trajektorien des instantanen Windfeldes wiederzufinden. Da die Streuung einzelner
Trajektorien jedoch wesentlich größer ausfällt, kommt es hier nicht zu einer Ausprägung
verschiedener Klassen von Trajektorien.
In Abbildung 28 (a) sind die lateralen Startpunkte als Funktion der Zeit, welche Luftpakete entlang von Trajektorien zum Erreichen der Wolke benötigen, aufgetragen. Auch hier
zeigt sich ein ähnliches Bild. Schnelle Trajektorien starten konzentriert um die Symmetrieachse y = 0 m am Einströmrand, wohingegen langsamere Trajektorien sehr verstreut über
einen Bereich von y = ± 400 m starten. Hier werden ebenfalls keine Klassen von Trajektorien ersichtlich, es liegt vielmehr ein stetiger Übergang zwischen schnellen und langsamen
Trajektorien vor. Auffällig ist hier jedoch, dass Luftpakete entlang von Trajektorien wesentlich weniger Zeit zum Erreichen der Bannerwolke benötigen, als Luftpakete, welche sich
entlang von Stromlinien bewegen. Die maximale laterale Auslenkung von Luftpaketen
aufgetragen gegen die Starthöhe der Trajektorien am Einströmrand in Abbildung 28 (b)
bestätigt ebenfalls, dass im Fall von Trajektorien die Klassen, welche mithilfe von Stromlinien sichtbar werden, eher zusammenhängend in Erscheinung treten. Die grundlegenden
Eigenschaften bleiben jedoch erhalten. Auch hier existieren schnelle Luftpakete, welche
auf direktem Weg ohne starke Auslenkung in lateraler Richtung die Wolke erreichen, als
auch langsamere Luftpakete, die lateral stark ausgelenkt werden. Jedoch kann man diese
Luftpakete entlang der Trajektorien aufgrund von starker Streuung nicht streng in zwei
Klassen trennen. Die Betrachtung der maximalen Position in x-Richtung ist hier wenig
sinnvoll, da Trajektorien am Einströmrand starten und meist das Modellgebiet am Ausströmrand wieder verlassen, wohingegen Stromlinien rückwärts ab der Wolke gerechnet
53
5 Ergebnisse
Masterarbeit
Abbildung 27: Startpunkte von Trajektorien am Einströmrand, welche durch die Wolke
verlaufen. Blaue Punkte indizieren Befeuchtung, rote Punkte Trocknen von
Luftpaketen auf Trajektorien in der Wolke im Vergleich zu ihrem Startwert. Projektion der nicht-symmetrisierten Wolke (türkis) und der Pyramide (grau) in Strömungsrichtung.
werden.
Ein weiterer Punkt sind die Mischungseffekte von potentieller Temperatur und spezifischer Feuchte, die bereits entlang Stromlinien untersucht wurden. Bei Online-Trajektorien
ist es jedoch möglich, die instantanen Felder entlang der Trajektorien auszugeben. Die
Differenz aus Startwert und dem Wert von θ auf den Trajektorien in der Wolke, aufgetragen gegen die Starthöhe in Abbildung 29 (a) zeigt auch hier kaum Fluktuationen. Wie
bereits erwähnt ist die Erhaltung der potentiellen Temperatur θ aufgrund der neutralen
Schichtung unterhalb des Berggipfels wenig überraschend.
Anders jedoch bei der Betrachtung der spezifischen Feuchte. Die Farbverteilung der
Punkte in Abbildung 27 indiziert das Befeuchten von höher startenden Luftpaketen gegenüber ihres Startwertes an spezifischer Feuchte (blaue Punkte), ähnlich wie entlang der
Stromlinien. Allerdings erfahren hier einige Luftpakete auf Trajektorien aus allen Höhen
einen Verlust an spezifischer Feuchte gegenüber ihrem Startwert (rote Punkte). Des Weiteren lässt sich die Differenz aus Startwert und Wert der spezifischen Feuchte q der Luftpakete
in der Wolke gegen deren Starthöhe am Einströmrand auftragen [Abbildung 29 (b)]. Dabei
können nun auch Größenordnungen der Mischungsprozesse verglichen werden. Bei den
Trajektorien zeigt sich ebenfalls, dass niedrig startende Luftpakete gegenüber ihres Startwertes vorzugsweise getrocknet werden. Allerdings ist dieses Trocknen von Luftpaketen
auf Trajektorien, welche den Berg unterhalb von 600 m bei x = 0 m passieren im Durch54
5 Ergebnisse
Masterarbeit
(a)
(b)
5000
800
600
zinflow / m
duration / s
4000
3000
2000
200
1000
0
0
count
count
100
200
300
|yinflow| / m
400 50
0
0
0
count
200 400
600 800 1000
maximum lateral displacement / m
0
0
50
100
150
count
200 100 0
400
60
Abbildung 28: Streudiagramme ausgewählter Trajektorien durch die Wolke: (a) Startposition der Trajektorien in y-Richtung in m als Funktion der Dauer der Luftpakete entlang dieser Trajektorien bis zum Erreichen der Wolke in s und
(b) maximale Verschiebung der Luftpakete in y-Richtung in m als Funktion
ihrer Starthöhe in m.
(b)
800
800
700
700
600
600
500
500
zinflow / m
zinflow / m
(a)
400
300
0
−1
300
200
200
100
400
100
Dauer < 600 s
Dauer > 600 s
−0.5
0
0.5
1
θend -θstart / K
0
−1.5
−1
−0.5
0
−1
dq / g kg
0.5
Abbildung 29: Differenz zwischen Startwert und Wert auf den Trajektorien in der Wolke
der potentiellen Temperatur θ in K in (a) und der spezifischen Feuchte q in
g kg−1 aufgetragen gegen die Starthöhe der Trajektorien in m. Blaue Punkte
in (a) repräsentieren Trajektorien, welche die Wolke unter 600 s erreichen,
rote Punkte stehen zeigen Trajektorien, die mehr als 600 s zum Erreichen
der Wolke benötigen. Farbliche Kennzeichnung in (b) indiziert die Höhe der
Trajektorien am Punkt x = 0 m: z < 600 m (blau), 600 < z < 850 m (türkis),
850 < z < 975 m (rot) und 975 m< z (braun).
55
1
5 Ergebnisse
Masterarbeit
schnitt kleiner, als entlang der Stromlinien mit ähnlichem Laufweg [siehe Farbverteilung
der Punkte in Abbildung 29 (b)]. Außerdem passieren nun Luftpakete den Berg auch
zwischen 600 m und 850 m Höhe bei x = 0 m. Diese stellen quasi den Übergangsbereich
zwischen den, bei den Stromlinien gefundenen zwei Klassen dar. Die Befeuchtung von
Luftpaketen auf Trajektorien, welche oberhalb von 200 m am Einströmrand starten, fällt
stärker aus als bei den Stromlinien aus der selben Region. Des Weiteren wird die starke
Streuung der Trajektorien im Vergleich zu den Stromlinien ersichtlich.
5.7.2
Trajektorie durch den Wolkenmittelpunkt
Nachdem festgestellt wurde, welche Trajektorien die Wolke passieren, können wir außerdem feststellen, welche dieser Trajektorien dem räumlich gewichteten Wolkenmittelpunkt
der nicht-symmetrisierten Wolke von x = 415 m, y = −1 m und z = 944 m am nächsten kommen. In Abbildung 30 sind zwei Trajektorien abgebildet. Die Trajektorie in Abbildung 30
oben besitzt einen Abstand zum Wolkenmittelpunkt von 14.2 m, die Trajektorie in Abbildung 30 unten einen von 12.4 m. Die obere Trajektorie in (a) und (b) startet leicht zur linken
Hand der Symmetrieebene y = 0 m und passiert den Berg auf der Seite y > 0 m. Im Lee
des Berges vollzieht sie zwei kreisförmige Bewegungen um eine horizontale Achse, wobei
bei der Ersten davon die Wolke penetriert wird. Bei der zweiten Kreisbewegung wird die
Trajektorie nach außen hin zu y > 0 m abgelenkt und macht sich anschließend Richtung
Ausströmrand auf den Weg in ihre ungefähre Ausgangslage. Die untere Trajektorie startet
etwas höher am Einströmrand, jedoch ebenfalls links der Symmetrieebene y = 0 m und
passiert den Berg entsprechend auch auf der Seite y > 0 m. Im Lee des Berges vollzieht sie
jedoch nur eine Kreisbewegung, wobei auch hier die Wolke durchlaufen wird. Richtung
Ausströmrand behält diese eine Höhe von über 800 m bei.
Vergleicht man den Verlauf dieser Trajektorien mit dem Verlauf der Stromlinie nahe
des Wolkenmittelpunkts fällt auf, dass der Verlauf der Trajektorien weniger glatt erscheint.
Dies ist auf die Turbulenz des instantanen Windfeldes, mit welchem die Trajektorien zur
Laufzeit des Modells berechnet werden, zurückzuführen. Außerdem durchläuft die Stromlinie die Wolke wesentlich öfter. Wie bereits in Abschnitt 5.6.3 erwähnt, kommt es beim
instantanen Windfeld nicht zur Ausprägung eines Bogenwirbels im klassischen Sinn. Dieser ist lediglich mithilfe der mittleren Windfelder, mit welchen die Stromlinien bestimmt
werden, sichtbar. Entsprechend erklärt dieser Umstand die Unterschiede in der Anzahl der
Rotationen durch die Wolke von Trajektorien und Stromlinien im Lee der Pyramide. Die
Tatsache, dass der Berg von der Stromlinie bei y < 0 m und bei den Trajektorien bei y > 0 m
passiert wird, ist lediglich auf die jeweils leicht asymmetrische laterale Startposition zurückzuführen. Wie bereits erwähnt, würde die Stromlinie den Berg bei y > 0 m passieren,
falls der Ausgangspunkt der Berechnungen in der Wolke auf beispielsweise y = 12.5 m
festgelegt wird.
Abbildung 31 zeigt, ähnlich, wie bei der Stromlinie nahe des Wolkenmittelpunktes,
ausgewählte Variablen entlang der Trajektorien, wobei es sich bei der oberen Abbildung
um Variablen entlang der Trajektorie mit einem Abstand von 14.2 m handelt, während
56
5 Ergebnisse
Masterarbeit
die untere Abbildung Variablen entlang der Trajektorie mit einem Abstand von 12.4 m
zum Wolkenmittelpunkt zeigt. Bei diesen Variablen handelt es sich jedoch nun um die
instantanen Felder und nicht, wie bei der Stromlinie, um die mittleren Felder. Analog zeigt
Abbildung 31 die zeitliche Entwicklung (a) der relativen Feuchte RH in %, (b) der potentiellen Temperatur θ in K, (c) der spezifischen Feuchte q in g kg−1 , (d) des Drucks p in hPa und
(e) der Höhe z in m entlang der jeweiligen Trajektorie, wobei erneut bei Zeitpunkt Null der
(a)
(b)
(c)
(d)
Abbildung 30: Zweidimensionale Darstellung zweier Trajektorien nahe des räumlich gewichteten Wolkenmittelpunkts x = 415 m, y = −1 m und z =944 m. Abstand
der Trajektorie zum Wolkenmittelpunkt in (a) und (b) beträgt 14.2 m und
in (c) und (d) 12.4 m. Horizontale Projektion der Trajektorien, des Berges
und der Wolke ∆z = 570 m in (a) und (c) wobei die Farbskala die Höhe der
jeweiligen Trajektorie in m angibt. Laterale Projektion in (b) und (d) mit der
farblichen Kennzeichnung der Position der Trajektorien in y-Richtung in m.
57
q / (g/kg)
50
287.5
(a)
−750
8
(c)
7
6
5
−750
Θ/K
100
Masterarbeit
(b)
287
286.5
0
750
Zeit / s
p / hPa
RH / %
5 Ergebnisse
−750
0
750
Zeit / s
(d)
1000
950
900
0
750
Zeit / s
−750
0
750
Zeit / s
z/m
1000 (e)
500
q / (g/kg)
50
0
750
Zeit / s
(a)
−750
8
(c)
7
6
5
−750
287.5
Θ/K
100
−750
(b)
287
286.5
0
Zeit / s
p / hPa
RH / %
0
−750
0
Zeit / s
(d)
1000
950
900
0
Zeit / s
−750
0
Zeit / s
z/m
1000 (e)
500
0
−750
0
Zeit / s
Abbildung 31: Zeitlicher Verlauf verschiedener Parameter entlang zweier Trajektorien.
Oben: Trajektorie mit Abstand 14.2 m, unten: Trajektorie mit Abstand 12.4 m
zum Wolkenmittelpunkt. Dargestellt ist jeweils in (a) relative Feuchte RH
in % (blaue Linie markiert 100 %-Marke), (b) potentielle Temperatur θ in K,
(c) spezifische Feuchte q in g kg−1 , (d) Druck p in hPa und (e) Höhe z in m.
58
5 Ergebnisse
Masterarbeit
nächste Punkt zum Wolkenmittelpunkt erreicht wird. Entlang beider Trajektorien erkennt
man erneut die Korrelation zwischen Höhe der Trajektorie und relativer Feuchte. Auch hier
zeigt sich, dass die Hebung maßgeblich am Entstehungsmechanismus der Bannerwolken
beteiligt ist. Die obere Trajektorie weißt zudem auch nur geringe Mischungseffekte sowohl
in Wärme in Form der potentiellen Temperatur in (b) als auch in spezifischer Feuchte in (c)
auf. Beide Größen sind nahezu erhalten entlang der Trajektorie. Ein interessanter Aspekt
macht sich bei der unteren Trajektorie bemerkbar. Bei ungefähr 200 s erkennt man einen
starken Abfall in q und eine starke Schwankung in θ. Die Trajektorie führt hierbei nach oben
hin aus der Wolke heraus und übersteigt dabei eine Höhe von 1000 m. Sichtbar wurde dieser Effekt bereits ansatzweise bei der Betrachtung der Variablen entlang der Stromlinie in
Abbildung 25. Aufgrund der stabilen Schichtung oberhalb von 1000 m steigt die potentielle
Temperatur mit der Höhe an. Dadurch kommt es entlang der Trajektorie zur Einmischung
von Werten von θ, welche vom konstanten Profil unterhalb von 1000 m abweichen. Dies
macht sich ebenfalls bei der spezifischen Feuchte bemerkbar, da diese nach Gleichung 15
und 16 über die Temperatur mit der potentiellen Temperatur θ zusammenhängt.
5.8
Ergebnisse der modifizierten Wolkendefinition
Nach Abschnitt 5.2 und Abschnitt 5.3 lässt sich eine erste Abschätzung der Herkunft
der Luftpakete, welche die Bannerwolke induzieren, mithilfe der Spurenstoffe χ y und χz
durchführen. Die Fehler der daraus resultierenden Koordinaten können über ∆χ y und
∆χz dargestellt werden. Des Weiteren wurde bereits die modifizierte Wolkendefinition
∆z + ∆χz = 640 m eingeführt, bei welcher die Bannerwolke etwas fahnenähnlicher dargestellt wird. Bei der Projektion der Wolke in Strömungsrichtung in Abbildung 32 sieht man,
dass diese minimal höher liegt und etwas breiter ist, als die ∆z-Wolke in beispielsweise
Abbildung 14. Auch hier wird die Wolke erneut bei der Betrachtung der ∆-Diagnostik und
bei der Berechnung von Stromlinien künstlich symmetrisiert.
Untersucht man nun die Herkunft der Luftpakete mithilfe der ∆-Diagnostik analog
zu Abbildung 14 kommt man ebenfalls auf eine um die Symmetrieachse y = 0 m konzentrierte, zusammenhängende Region am Einströmrand, wie in Abbildung 32 (a) dargestellt.
Der wesentliche Unterschied besteht in der größeren vertikalen Erstreckung bis zu einer
Höhe von 600 m, statt der 500 m mit der ∆z-Wolke. In dieser Höhe wird die Verteilung am
Einströmrand auch minimal breiter. Die mittleren quadratischen Abweichungen zeigen betragsmäßig jedoch keine Unterschiede. Demnach erweitert sich die Region der Herkunft
der Luftpakete am Einströmrand geringfügig nach oben, bleibt im Wesentlichen jedoch
gleich.
Des Weiteren können die Stromlinien, welche ab jedem Gitterpunkt, der die Wolkendefinition erfüllt, rückwärts gerechnet werden, erneut mit der modifizierten Wolkendefinition
untersucht werden. Wie bereits erwähnt handelt es sich dabei um 3647 Stromlinien. Davon
erreichen 2797 Stromlinien unter 5 Stunden den Einströmrand, lediglich 850 Stromlinien
werden aufgrund der Penetration des Berges gelöscht. Die Startpunkte der Stromlinien am
Einströmrand sind in Abbildung 32 (b) aufgetragen. Hier zeigt sich erneut eine Vergrö-
59
5 Ergebnisse
Masterarbeit
ßerung der Startpositionen der Stromlinien um 100 m nach oben hin. Auch die Breite der
Verteilung nimmt um knapp 100 m in einer Höhe von 550 m zu. Niedrigere Startposition
(a)
(b)
(c)
Abbildung 32: (a) Werte der Spurenstoffe χ y und χz an den Gitterpunkten innerhalb der
modifizierten Wolke repräsentieren den Ursprung der Luftpakete am Einströmrand (graue Punkte). Deren Abweichungen ∆χ y und ∆χz sind hierbei
als Fehlerbalken aufgetragen (rot). (b) Startpunkte von Stromlinien am Einströmrand, deren Endpunkte sich in der modifizierten Wolke befinden. (c)
Startpunkte von Trajektorien am Einströmrand, welche durch die Wolke
verlaufen. Blaue Punkte in (b) und (c) indizieren Befeuchtung, rote Punkte
Trocknen von Luftpaketen auf Stromlinien bzw. Trajektorien im Vergleich
zu ihrem Startwert. Projektion der symmetrisierten Wolke (türkis) in (a)
und (b), der nicht-symmetrisierten Wolke in (c) und der Pyramide (grau) in
Strömungsrichtung.
60
5 Ergebnisse
Masterarbeit
bleiben im Wesentlichen unverändert.
Trajektorien können bei der Nachbearbeitung der Daten ebenfalls nach der Wolkendefinition ∆z + ∆χz = 640 m ausgewählt werden. Hierbei wird die Wolke jedoch nicht künstlich
symmetrisiert. Es ergeben sich 1094 Trajektorien, welche die Wolke durchlaufen. Auch hier
kann nun die Startposition dieser ausgewählten Trajektorien am Einströmrand dargestellt
werden. In Abbildung 32 (c) lässt sich dementsprechend erneut erkennen, dass niedrige
Trajektorien nicht von der Änderung der Wolkendefinition betroffen sind. In der Höhe
kommen neue Trajektorien hinzu, welche etwas breiter um die Symmetrieebene y = 0 m
verteilt sind und ebenfalls aus einer Höhe stammen, die hier etwa 50 m höher liegt.
Weiterhin können erneut Streudiagramme verschiedener Eigenschaften der Stromlinien und Trajektorien durch die modifizierte Bannerwolke analog zu Abbildung 21 und 28
erstellt werden. In Abbildung 33 (a) ist die Auslenkung der Luftpakete entlang von Stromlinie in x-Richtung gegen die Dauer der Luftpakete bis zum Erreichen der Wolke dargestellt,
(b) zeigt die Startposition der Luftpakete in y-Richtung als Funktion ihrer Dauer bis zur
Wolke und in (c) ist die maximale laterale Verschiebung von Luftpaketen auf Stromlinien
gegen deren Starthöhe am Einströmrand aufgetragen. Bei der Betrachtung der Auslenkung der Luftpakete in x-Richtung fällt ins Auge, dass Luftpakete, welche auf direktem
Weg in die Wolke laufen und entsprechend wenig Zeit zum Erreichen der Wolke benötigen,
nun Werte bis nahezu 1000 m in x-Richtung einnehmen, statt der vorher erreichten 750 m.
Dieser Unterschied ergibt sich aus der etwas länger in x-Richtung ausgedehnten Wolke,
also dem Umstand, welcher sie fahnenähnlicher erscheinen lässt. Wie bereits festgestellt,
starten Stromlinien in einer etwas breiteren Region in der Höhe am Einströmrand. Dieser
Umstand macht sich in Abbildung 33 (b) bemerkbar. Hier tauchen leicht erhöhte Startwerte in y-Richtung auf. Auch die etwas größere vertikale Ausdehnung der Startpositionen
sieht man in Abbildung 33 (c). Die Startpositionen erreichen nun Werte bis zu 700 m am
Einströmrand. Bis auf die hier erwähnten Unterschiede sind die einzelnen Verteilungen
jedoch ansonsten unbeeinflusst von der modifizierten Wolkendefinition.
Dies erkennt man auch bei der Betrachtung der Streudiagramme der Trajektorien
durch die modifizierte Wolke in Abbildung 33 (d) und (e). Hier wird erneut die laterale
Startposition der Trajektorien am Einströmrand gegen die Dauer, welche die Luftpakete auf Trajektorien zum Erreichen der Wolke benötigen in (d) und die maximale laterale
Auslenkung gegen Starthöhe der Luftpakete entlang der Trajektorien am Einströmrand in
(e) aufgetragen. Es treten zusätzliche Trajektorien auf, die leicht erhöht am Einströmrand
beziehungsweise etwas weiter um die Symmetrieebene y = 0 m verteilt starten. Hierbei
handelt es sich um schnelle Trajektorien, welche die Wolke auf eher direktem Weg erreichen und in höheren Regionen am Einströmrand auftauchen. Die wesentlichen Aussagen
der Ergebnisse werden jedoch nicht maßgeblich durch die modifizierte Wolkendefinition
beeinflusst. Stromlinien können weiterhin in zwei Klassen aufgeteilt werden. Die grundlegenden Eigenschaften dieser Klassen finden sich ebenfalls bei den Trajektorien wieder,
allerdings findet hier erneut ein Übergang statt, der beiden Klassen verwischt.
Auch bei der Betrachtung der Änderungen der spezifischen Feuchte entlang der Stromlinien treten keine wesentlichen Veränderungen auf. Bei den Startpositionen am Einström61
5 Ergebnisse
Masterarbeit
(a)
(b)
duration / s
15000
10000
5000
0
1000 0
count
5000
0
0
500
1000
1500 1000 0
maximum streamwise position / m count
100
|y
200
300
|/m
400
inflow
0
50
100
150
count
10000
0
100
200
300
count
duration / s
15000
(c)
800
zinflow / m
600
400
200
200
0
0
0
count
200 400
600 800 1000
maximum lateral displacement / m
count
0
100
200
(d)
(e)
5000
800
/m
600
inflow
3000
2000
200
1000
0
0
0
count
count
100
200
300
|yinflow| / m
400
40
0
0
0
count
200 400
600 800 1000
maximum lateral displacement / m
0
0
50
100
150
count
600
400
z
duration / s
4000
80
Abbildung 33: Streudiagramme ausgewählter Stromlinien und Trajektorien: (a) Maximale
Position von Luftpaketen auf Stromlinien in x-Richtung in m als Funktion
der Dauer bis zum Erreichen der Wolke in s, Startposition der Stromlinien
(b) und Trajektorien (d) in y-Richtung in m als Funktion der Dauer bis zur
Wolke und maximale Verschiebung der Luftpakete auf Stromlinien (c) und
auf Trajektorien (e) in y-Richtung als Funktion der Starthöhe in m.
62
5 Ergebnisse
Masterarbeit
rand nach Abbildung 32 (b) werden die nun in der Höhe zusätzlich auftretenden Luftpakete
in der Wolke befeuchtet, im Vergleich zu ihrem Startwert am Einströmrand (siehe blaue
Punkte). Auch in Abbildung 34 (a), bei der Betrachtung der Differenz zwischen dem Startund Endwert der spezifischen Feuchte aufgetragen gegen die Starthöhe der Luftpakete,
wird dies deutlich. Man erhält zusätzlich etwas höher startende Luftpakete entlang der
Stromlinien, welche den Berg bei x = 0 m über einer Höhe von 850 m umströmen (rote
Punkte) bzw. komplett überströmen (braune Punkte) und entsprechend einen Gewinn an
spezifischer Feuchte in der Wolke im Vergleich zu ihrem ursprünglichen Feuchtegehalt
erfahren.
Bei den Trajektorien werden verhältnismäßig hoch startenden Luftpakete nach Abbildung 32 (c) in der Wolke sowohl getrocknet als auch befeuchtet. Abbildung 34 (b) bestätigt
diesen Umstand, auch wenn die Änderungen der spezifischen Feuchte hier im Mittel weiterhin verschwindend gering sind. Auffällig sind erneut die zusätzlich auftretenden, hoch
startenden Trajektorien, welche den Berg komplett überströmen. Im Großen und Ganzen
besitzt die modifizierte Wolkendefinition auch bei den Mischungseffekten keinen besonderen Einfluss.
(b)
800
800
700
700
600
600
500
500
zinflow / m
zinflow / m
(a)
400
300
400
300
200
200
100
100
0
−1.5
−1
−0.5
0
dq / g/kg
0.5
1
0
−1.5
−1
−0.5
0
dq / g/kg
0.5
Abbildung 34: (a) Differenz zwischen dem Start- und Endwert der spezifischen Feuchte q
in g kg−1 aufgetragen gegen die Starthöhe der Stromlinie in m. (b) Differenz
zwischen Startwert und Wert auf den Trajektorien in der Wolke der spezifischen Feuchte q in g kg−1 aufgetragen gegen die Starthöhe der Trajektorien
in m. Farbliche Kennzeichnung indiziert die Höhe der Stromlinien bzw.
Trajektorien am Punkt x = 0 m: z < 600 m (blau), 600 < z < 850 m (türkis),
850 < z < 975 m (rot) und 975 m< z (braun).
63
1
6 Zusammenfassung und Ausblick
6
Masterarbeit
Zusammenfassung und Ausblick
Im Rahmen dieser Arbeit wurden Untersuchungen zum Ursprung und zum Strömungsverlauf von Luftpaketen aus orographischen Bannerwolken unternommen und versucht,
deren dynamische und thermodynamische Eigenschaften zu charakterisieren. Hierfür
wird eine dreidimensionale Strömung trockener Luft um eine idealisierte Orographie in
Form einer Pyramide mithilfe des im LES-Modus betriebenen EULAG-Modells simuliert.
Auf der Basis dieser Ergebnisse werden drei Diagnosewerkzeuge zur Feststellung des Ursprungs der Luftpakete vorgestellt. Diese umfassen sowohl die Euler’sche Abschätzung
der Lagrange’schen Verschiebung ∆y und ∆z als auch Stromlinien, d.h. Rückwärtstrajektorien, berechnet mit dem zeitlich gemittelten Windfeld. Beide Diagnostiken stellen
Näherungen zur Analyse des Ursprungs von Luftpaketen dar, da Luftpakete in der Realität nicht einer zeitlich gemittelten Strömung folgen. Des Weiteren werden realitätsnahe
Online-Trajektorien mit dem instantanen Windfeld zur Laufzeit des Modells berechnet.
Durch Wirbelablösung an den scharfen Kanten der Pyramide stellt sich eine quasiperiodische Fluktuation im Lee des Berges ein, welche sich deutlich von schnellen kleinskaligen Turbulenzen abhebt. Diese kann durch die Vergrößerung der Integrationszeit des
Modells eliminiert werden. Um diese Rechenzeit jedoch einzusparen, wird das Windfeld
und die Bannerwolke bei Untersuchungen mit der ∆-Diagnostik oder mit Stromlinien
künstlich symmetrisiert. Der Einfluss auf unsere Ergebnisse durch die Symmetrisierung
ist allerdings sehr gering. Bei der Berechnung von Online-Trajektorien stellen die Asymmetrien dieser quasi-periodischen Fluktuationen den Einfluss von Turbulenz dar, weswegen
diese in unsere Ergebnisse eingehen.
Generell kann die von uns simulierte Bannerwolke über die relative Feuchte definiert
werden. ∆z zeigt einen Bereich starker leeseitiger Hebung, dessen Konturen im Wesentlichen mit den Konturen der relativen Feuchte zusammenfallen, wie bereits von Voigt und
Wirth (2013) festgestellt wurde. Weiterhin stellt die Hebung den wichtigsten Mechanismus
zur Bannerwolkenbildung dar, weswegen wir unsere Bannerwolke mit einer bestimmten
∆z = 570 m-Kontur definieren können.
Die Kombination aus ∆y und ∆z bietet die Möglichkeit, eine erste Abschätzung des
Ursprungs von Luftpaketen aus der Bannerwolke zu unternehmen. Man erhält eine zusammenhängende, um die Symmetrieebene in y-Richtung konzentrierte Region. Angesiedelt ist diese auf halber Höhe der Pyramide, was konsistent mit der starken Hebung
ist, welche unsere Wolke definiert. Als Grund für die Konzentration dieser Startpunkte
kann Modelldiffusion angeführt werden, die auf den Spurenstoff und somit auch auf die
Lagrange’schen Verschiebung einwirkt. Die zusätzliche Berücksichtigung der mittleren
quadratischen Abweichung des Spurenstoffs führt hierbei zu keiner wesentlichen Veränderung dieser Ursprungsregion.
Mit der Berechnung von Stromlinien wird ein weiteres Diagnosewerkzeuge des Ursprungs von Luftpaketen aus der Bannerwolke geschaffen. Hierbei finden sich zwei bestimmte Klassen von Stromlinien, die deutlich voneinander abweichen. Eine Klasse besitzt
ihren Ursprung, ähnlich wie mit der ∆-Diagnostik diagnostiziert, auf halber Höhe der
64
6 Zusammenfassung und Ausblick
Masterarbeit
Pyramide. Die Laufwege der Luftpakete auf diesen Stromlinien führen dabei auf direktem
Weg über die Orographie hinweg in die Wolke. Bei der zweiten Klasse von Stromlinien
handelt es sich um sehr niedrig startende Luftpakete, deren Startpunkte sich stärker in der
Horizontalen am Einströmrand erstrecken. Diese Stromlinien verlaufen nahezu horizontal
bis in das Lee des Berges, wo der dort vorherrschende Bogenwirbel die Luftpakete in die
Wolke befördert. Die hierbei ausgeführten Kreisbewegungen lassen einige Luftpakete die
Wolke mehrmals penetrieren bis diese sich auf den Weg Richtung Ausströmrand machen.
In jedem Fall sorgt der kreisförmige Aufstieg im Bogenwirbel für eine deutlich längere
Laufzeit der Luftpakete entlang niedrig startender Stromlinien.
Anhand von Trajektorien des instantanen Windfelds, die zur Laufzeit des Modells berechnet werden, können die grundlegenden Eigenschaften, welche mithilfe von Stromlinien offengelegt wurden, identifiziert werden. Allerdings ist eine Unterscheidung von zwei
bestimmten Klassen von Trajektorien nicht möglich. Man erkennt vielmehr einen nahezu kontinuierlichen Übergang zwischen den durch die Stromlinien aufgezeigten Klassen.
Dabei zeigt sich der Einfluss der im instantanen Windfeld vorherrschenden Turbulenz auf
die Trajektorien.
Mit der Einführung eines, mit der Höhe abnehmenden Spurenstoffs, welcher die spezifische Feuchte repräsentiert, wird die Beschreibung von turbulenten Mischungsprozessen entlang von Stromlinien und Trajektorien möglich. Niedrig startende Luftpakete auf
Stromlinien werden dabei im Vergleich zu ihrem Feuchtegehalt am Einströmrand in der
Wolke getrocknet. Höher startende Luftpakete, welche die Wolke auf einem eher direkten
Weg erreichen, erfahren einen Gewinn an Feuchte. Da niedrig startende Luftpakete einen
höheren Feuchtegehalt aufgrund des mit der Höhe abnehmenden Feuchteprofils besitzen,
werden diese durch den Bogenwirbel entlang von Stromlinien in Regionen niedrigerer spezifischer Feuchte gehoben. Dort sorgt turbulente Einmischung für den Verlust an Feuchte
gegenüber ihres Startwertes. Einige Luftpakete, welche die Wolke auf eher direktem Weg
erreichen, erfahren weniger Hebung und werden in der feuchten Umgebung der Wolke
befeuchtet. Somit können diese Luftpakete von dem Verlust an spezifischer Feuchte der
niedrig startenden Luftpakete profitieren.
Mischungsprozesse entlang von Trajektorien sind ähnlich stark ausgeprägt. Auch hier
zeigt sich der Verlust an Feuchte gegenüber ihres Startwerts von niedrig startenden Luftpaketen. Luftpakete auf Trajektorien aus größeren Höhen verzeichnen im Durchschnitt
einen Gewinn an Feuchte. Die Turbulenz des instantanen Windfeldes sorgt jedoch auch
hier für eine stärker gestreute Verteilung.
Da es sich bei unserer Bannerwolke um eine Wolkenregion im zeitlichen Mittel handelt,
ist die Erfüllung des Wolkenkriteriums an den Wolkengitterpunkten zu allen Zeitschritten
nicht gewährleistet. Die Fluktuationen des Spurenstoffs, über welchen die Wolke definiert
wird, können mithilfe der mittleren quadratischen Abweichung berücksichtigt werden.
Die resultierende Bannerwolke, in vergleichbarer Größe zur oben gewählten ∆z-Kontur,
erscheint fahnenähnlicher. Die ∆-Diagnostik als auch die Berechnung von Stromlinien und
Trajektorien werden mit dieser modifizierten Wolkendefinition wiederholt. Alle Analysen
weisen verhältnismäßig mehr Luftpakete aus größeren Höhen am Einströmrand auf, wel65
6 Zusammenfassung und Ausblick
Masterarbeit
che die Wolke, im Fall von Stromlinien und Trajektorien folglich auf eher direktem Weg
erreichen. Ansonsten verändern sich unsere Ergebnisse jedoch kaum. Auch die Untersuchung von turbulenter Einmischung von spezifischer Feuchte und potentieller Temperatur
entlang von Stromlinien und Trajektorien bleibt nahezu indifferent.
Die Einführung einer alternativen Methode zur Abschätzung der Lagrange’sche Verschiebung δx , δ y und δz und der Vergleich mit der analytisch gleichzusetzenden ∆-Diagnostik
zeigt große Übereinstimmungen, was für die Güte der Numerik des verwendeten Modells
spricht. Der Versuch, mithilfe sogenannter Pseudotrajektorien ebenfalls den Ursprung von
Luftpaketen aus der Bannerwolke zu bestimmen, schlägt fehl. Aufgrund der starken, im
Lee des Berges vorherrschenden Turbulenz, weisen die Pseudotrajektorien selbst im Luv
einen chaotischen Verlauf auf. Empfehlenswert ist die Diagnostik mittels Pseudotrajektorien somit nur im Fall einer laminaren Strömung. Des Weiteren wird festgestellt, dass
δ y zur Visualisierung einer möglichen, im Lee des Berges vorherrschenden Kármán’schen
Wirbelstraße weniger geeignet ist. Allerdings wird eine langsame, quasi-periodische Fluktuation festgestellt, welche die Existenz einer Kármán’schen Wirbelstraße nahelegt.
Die Visualisierung des Bogenwirbels im Lee des Berges kann mithilfe der Stagnation
des mittleren Windfeldes geschehen. Die Berechnung der Bogenlänge von Stromlinien im
gesamten Modellgebiet zeigt weiterhin eine Glättung der entsprechenden Isofläche, mit
welcher der Bogenwirbel dargestellt wird. Das instantane Windfeld weißt jedoch keinen
Bogenwirbel auf. Hier zeigen sich viele kleine, scheinbar nicht zusammenhängende Segmente der Stagnation des Windfeldes.
Es bleiben jedoch weiterhin eine Menge unbeantworteter Fragen. Zum Beispiel ist die
Zugspitze eher ein lang gezogener Grad statt einer spitzen Pyramide, weswegen nach
Voigt (2012) die Voraussetzungen für Bannerwolkenbildung ungünstig sind. Bei Messungen von Wirth et al. (2012) am Zugspitzgrad können jedoch häufig Bannerwolkenereignisse
beobachtet werden. Zur Aufklärung dieses Umstandes sind numerische Simulationen mit
realistischer Orographie nötig.
Des Weiteren wird in dieser Arbeit ein höhenkonstantes Einströmprofil angenommen.
In Realität zeigt sich jedoch häufig bei der Anströmung von spitzen Bergen, wie zum
Beispiel dem Matterhorn, eine vertikale Windscherung. Hier ist offen, wie sich Strömungseigenschaften von mittlerem und instantanem Windfeld bei Anströmung mit vertikaler
Windscherung ändern. Wie wirkt sich ein solches Anströmprofil auf den Bogenwirbel im
Lee der Orographie aus? Diese und weitere offene Fragen gilt es in folgenden Untersuchungen zu beantworten.
66
7 Anhang
7
7.1
Masterarbeit
Anhang
Ein- und Ausgabe von Datentypen
Die Ausgabe von Modellvariablen erfolgt in Form sogenannter NETCDF-Dateien, Zeitreihen an bestimmten Gitterpunkten des Modells werden mithilfe von txt-Dateien ausgegeben. Zur Laufzeit berechnete Trajektorien sowie bestimmte Modellvariablen entlang dieser
Trajektorien werden in binäre Dateien geschrieben. Die Nachbearbeitung der ausgegebenen Daten erfolgt mit MATLAB, für welches vordefinierte Funktionen zum Einlesen der
NETCDF-Dateien zur Verfügung stehen. Online-Trajektorien werden vor dem Einlesen in
MATLAB mithilfe eines FORTRAN-Skriptes sortiert, bevor die resultierenden Trajektorien
ebenfalls in MATLAB eingelesen werden können.
7.2
Implementation eines Trajektorienmoduls
Im Folgenden wird das Trajektorienmodul, welches zur Berechnung von OnlineStart
Trajektorien in EULAG implementiert wurde,
vorgestellt. Der Code des Moduls basiert auf
Partikeleinem parallelisierten Trajektorienmodul von
Initialisierung
Miroslaw Andrejzcuk von der Universität in
Oxford, England. Dieses muss für SimulatioAusgabe
nen in Bodennähe angepasst werden. Trajektorien, welche die Orographie penetrieren, wert ≤ tEnde
Nein
den hierbei gelöscht. Des Weiteren kann die
?
Ausgabe verschiedener instantaner Variablen
Ja
entlang von Trajektorien erfolgen.
Abbildung 35 zeigt den ProgrammablaufInterpolation
plan des parallelisierten Trajektorienmoduls.
Strömungsfeld
Die Initialisierung der Trajektorien im Modellgebiet geschieht am Einströmrand nach der
Advektion
Einschwingphase des Modells. Dabei kann die
Partikel
Anzahl der initialisierten Trajektorien pro GitÜberprüfung
terpunkt sowie die Größe der Startregion der
Grenzfläche
Trajektorien variiert werden. Diese werden anschließend zufällig um den Gitterpunkt innerStopp
halb der entsprechenden Gitterweite verteilt.
Anschließend werden die umliegenden acht
Abbildung 35: Programmablaufplan des
Gitterpunkte gesucht, um festzustellen, ob Traimplementierten Trajektorienmoduls
jektorien außerhalb des Modellgebiets initialisiert wurden. Diese werden dann gelöscht. Auf
den verbleibenden Trajektorien können nun auszugebende Variablen bestimmt und die
Trajektorien samt der entsprechenden Variablen in eine binäre Datei geschrieben werden.
67
7 Anhang
Masterarbeit
An dieser Stelle beginnt die Integration der einzelnen Zeitschritte. Dabei erfolgt die Berechnung der Trajektorien mit dem instantanen Windfeld in jedem Zeitschritte auf dieselbe
Art und Weise bis das Ende der Simulation erreicht ist. Zu Beginn werden Variablen für
die einzelnen Windfelder definiert und deren Werte an Grenzflächen und, im Fall eines
„immersed boundary“-Ansatzes, innerhalb der Orographie überprüft. Dann sucht man
erneut die die Trajektorien umgebenden acht Gitterpunkte, mit welchen die Windfelder
auf den momentanen Aufenthaltsort der Trajektorie nach Abschnitt 4.7 entsprechend interpoliert werden. Es folgt der Euler-Vorwärtsschritt, mit welchem die neue Position der
Trajektorie im folgenden Zeitschritt berechnet wird. Erneut wird überprüft, ob Trajektorien das Modellgebiet verlassen haben. Ist dies der Fall, werden diese Trajektorien nicht
mehr weiter verfolgt. Bei den restlichen Trajektorien werden nun auch die auszugebenden
Felder auf die momentane Position interpoliert. Anschließend erfolgt das Rausschreiben
in die binäre Datei. Dieser Vorgang wird bis zum Ende der Simulation wiederholt.
Es besteht die Möglichkeit, Trajektorien, welche den Berg penetrieren, mithilfe einer
sogenannten „jumpflag“ zurück auf dessen Oberfläche zu setzen, sodass diese weiterhin
integriert werden können. Somit müssen keine Trajektorien im Bereich des Berges gelöscht
werden. Diese Funktion wurde nach der Idee des Trajektorienmodells LAGRANTO8 implementiert. Leider kam es jedoch in dieser Arbeit nicht zum Testen dieser Funktion.
8
http://lagrange.empa.ch/lagranto.html
68
7 Anhang
Masterarbeit
Symbolverzeichnis
Symbol
α
β
CD
χ y , χz
cp
∆χ y , ∆χz
∆t
∆x, ∆y, ∆z
j
δ3
δx , δ y , δz
ds
dt
dx, dy, dz
e
es
~
F
fx , f y
G
j
G̃k
~g
gpq
gpq
gpq
gjj
H
κ
L
l, m, n
Mq
Nt
ν
p
p0
φ̂
φ
φ0
Bezeichnung
Steigungswinkel der Orographie
Parameter der zeitlichen Mittelung
Dämpfungsparameter
Spurenstoff mit entsprechend initialisierter räumlicher
Komponente
isobare Wärmekapazität
mittlere quadratische Abweichung vom Mittel des
entsprechenden Spurenstoffs
Modellzeitschritt
Euler’sche Abschätzung der Lagrange’schen Verschiebung
Kronecker-Delta
alternative Absch ätzung der Lagrange’schen Verschiebung
infinitesimal kleiner Bahnparameter
infinitesimal kleines Zeitintervall
Gitterweite
Dampfdruck
Sättigungsdampfdruck
Trägheitskräfte und Dissipation des Impulses
Dämpfungsterm der Impulsgleichung
Jakobimatrix
renormalisierte Elemente der Jakobimatrix
Erdbeschleunigungsvektor
metrischer Tensor des physikalischen Koordinatensystems
metrischer Tensor des transformierten Koordinatensystems
konjugierter metrischer Tensor des physikalischen
Koordinatensystems
diagonale Elemente des konjugierten metrischen Tensors
maximale Höhe der Orographie
Adiabatenkoeffizienten
charakteristische Länge eines Hindernisses
Anzahl der Gitterpunkte
Quelle der spezifischen Feuchte
Gesamtanzahl der Integrationszeitschritte
kinematische Viskosität
Druck
Druck auf Bodenniveau
Größe φ in idealen Atmosphäre mit konstanter Stabilität
Mittel einer Größe φ
Störgröße
69
Einheit
◦
1
1
m
J
kg−1
K−1
m
s
m
1
m
s
s
m
hPa
hPa
m s−2
s−2
1
−1
ms
m s−2
1
1
1
1
m
1
m
1
g kg−1 s−1
1
2
−1
m s
Pa
hPa
-
7 Anhang
φn
π
q
Rd
Re
RH
RH0
ρ
ρ0
ρs
~rs
~rt
~rt,0
S
sB
Sp
St
τx , τ y
θ
θ0
θ0
θe
θs
t
ts
U
u
~
u
~>
<u
~e
u
k
u∗
k
us
usym
v
w
wsym
~
x
Masterarbeit
Index n indiziert den n-ten Zeitschritt einer Größe φ
Dichte-normalisierter Druck
spezifische Feuchte
spezifische Gaskonstante für trockene Luft
Reynoldszahl
relative Feuchte
höhenkonstanten relativen Feuchte am Einströmrand
Dichte
Dichte von Luft auf Bodenniveau
zeitlich konstante Dichte der Luft im hydrostatischen
Grundzustand
Stromlinienbahn
Trajektorienbahn
Startpunkt der Trajektorie
konstante Stabilität
Bogenlänge
physikalischer Raum
transformierter, computergestützter Raum
Dämpfung des Impulsflusses
potentielle Temperatur
potentielle Temperaturanomalie (Abweichung vom
Referenzprofil)
potentielle Temperatur auf Bodenniveau
Umgebungszustand der potentiellen Temperatur
zeitlich konstante potentielle Temperatur im
hydrostatischen Grundzustand
zeitliche Komponente im transformierten Raum
Startzeitpunkt der Mittelung
Strömungsgeschwindigkeit
Windgeschwindigkeitskomponente in x-Richtung
Windgeschwindigkeitsvektor
mittleres Windfeld
Umgebungszustand der Windgeschwindigkeit
kontravariante Geschwindigkeit
solenoidale Geschwindigkeit
symmetrisierte mittlere Windgeschwindigkeitskomponente
in x-Richtung
Windgeschwindigkeitskomponente in y-Richtung
Windgeschwindigkeitskomponente in z-Richtung
symmetrisierte mittlere Windgeschwindigkeitskomponente
in z-Richtung
Raumvektor
70
1
m2 s−2
g kg−1
J kg−1 K−1
1
%
%
−3
kg m
kg m−3
kg m−3
m
m
m
−1
m
m
m
m
−2
Nm
K
K
K
K
K
s
s
m s−1
m s−1
m s−1
m s−1
m s−1
m s−1
m s−1
m s−1
m s−1
m s−1
m s−1
m
7 Anhang
xk
xs , ys , zs
xt , yt , zt
xpri , ypri , zpri
xtri , ytri , ztri
Masterarbeit
räumliche Komponente im transformierten Raum
momentanen Position eines Luftpakets auf der Stromlinie
momentanen Position der Trajektorie
Prisma-Interpolationskoeffizienten
trilineare Interpolationskoeffizienten
71
m
1
1
1
1
ABBILDUNGSVERZEICHNIS
Masterarbeit
Abbildungsverzeichnis
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
Bannerwolken am Matterhorn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ölfilm-Visualisierung von Strömungseigenschaften um eine Pyramide . . .
Skizze einiger Haupteigenschaften einer Strömung um eine Pyramide . . .
Luftaufnahme einer Kármán’schen Wirbelstraße . . . . . . . . . . . . . . . .
Übersicht Modellgeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vergleich von Zeitreihen und ihrem zeitlichen Mittel an einem Gitterpunkt
Höhenprofil der spezifischen Feuchte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Skizze zur Berechnung vereinfachter Pseudotrajektorien . . . . . . . . . . .
Vergleich von Stromlinien mit unterschiedlichen Zeitschritten . . . . . . . .
Skizze zur trilinearen Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Skizze zur bilinearen Interpolation bei Trajektorien . . . . . . . . . . . . . .
Mittlere Windkomponenten im Vertikalschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zeitliches Mittel der Euler’schen Abschätzung der Lagrange’schen Verschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ursprung von Luftpaketen aus χ-Spurenstoffen . . . . . . . . . . . . . . . .
Relative Feuchte im Vertikalschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Unterschiede in den Wolkendefinitionen durch die Abweichung der Spurenstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vergleich beider Methoden zur Bestimmung der Lagrange’schen Verschiebung
Visualisierung einer Kármán’schen Wirbelstraße . . . . . . . . . . . . . . . .
Ausgewählte Pseudotrajektorien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Startpunkte von Stromlinien am Einströmrand . . . . . . . . . . . . . . . . .
Streudiagramme ausgewählter Stromlinien durch die Wolke . . . . . . . . .
Erhaltung von Wärme und Feuchte entlang Stromlinien . . . . . . . . . . . .
2D-Stromlinie nahe des Wolkenmittelpunkts . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3D-Stromlinie nahe des Wolkenmittelpunkts . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zeitlicher Verlauf verschiedener Parameter entlang einer Stromlinie . . . . .
Visualisierung des Bogenwirbels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Startpunkte von Trajektorien am Einströmrand . . . . . . . . . . . . . . . . .
Streudiagramme ausgewählter Trajektorien durch die Wolke . . . . . . . . .
Erhaltung von Wärme und Feuchte entlang Trajektorie . . . . . . . . . . . .
2D-Trajektorien nahe des Wolkenmittelpunkts . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zeitlicher Verlauf verschiedener Parameter entlang zweier Trajektorien . . .
Ursprung von Luftpaketen aus der modifizierten Wolke . . . . . . . . . . . .
Streudiagramme von Stromlinien und Trajektorien durch die modifizierte
Wolke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Erhaltung der Feuchte entlang von Stromlinien und Trajektorien durch die
modifizierte Wolke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Programmablaufplan des implementierten Trajektorienmoduls . . . . . . .
72
2
5
6
7
13
17
20
24
25
26
29
32
33
35
36
37
39
41
43
45
46
47
48
49
50
52
54
55
55
57
58
60
62
63
67
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Masterarbeit
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Danksagung
An dieser Stelle möchte ich mich bei allen Menschen herzlich bedanken, die mich bei der
Anfertigung dieser Masterarbeit unterstützt haben.
Zuerst gebührt mein Dank Herrn Prof. Dr. Volkmar Wirth, der durch lebhafte Diskussionen und das Aufzeigen interessanter Fragestellungen tatkräftig am thematischen Tiefgang
und der Vielfalt dieser Arbeit mitgewirkt hat. Für Seine hervorragende Betreuung und die
Begutachtung meiner Masterarbeit bin ich sehr dankbar.
Dr. Michael Riemer danke ich für die Übernahme der Begutachtung dieser Arbeit und
die zeitnahe Korrektur. Die aufschlussreichen Diskussionen mit meiner Büronachbarin
Isabelle Prestel trugen maßgeblich zu meinem Verständnis bei und sind deshalb nicht zu
unterschätzen. Auch Miroslaw Andrejczuk sei die große Hilfsbereitschaft bei der Beantwortung meiner Mails gedankt. Alexander Hahn danke ich für die wertvollen Hinweise
bei der Korrektur meiner Arbeit.
All denen, die in sonstiger Weise zu dieser Arbeit beigetragen haben, jedoch hier namentlich nicht genannt wurden, gilt ebenfalls mein herzlicher Dank.
Und schließlich gebührt besonderer Dank meinen Eltern, die zu jeder Zeit an mich geglaubt und mir, nicht nur während dieser Masterarbeit, sehr viel Liebe und Kraft gegeben
haben. Ohne euch wäre diese Arbeit nicht möglich gewesen!