Kinetik

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TECHNISCHE
MECHANIK
TEIL III: KINEMATIK UND KINETIK
Prof. Dr.-Ing. Andreas Ettemeyer
Prof. Dr.-Ing. Oskar Wallrapp
Dr. Bernd Schäfer
Fachhochschule München
Fachbereich 06 - Feinwerk- und Mikrotechnik
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
III.2
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
Das vorliegende Manuskript wurde als Hilfsmittel für die Vorlesung Technische Mechanik erstellt.
Eine – auch auszugsweise – Wiedergabe oder Veröffentlichung bedarf der Genehmigung der
Verfasser.
All copyrights are preserved.
München, September 2005
Prof. Dr.-Ing. Andreas Ettemeyer,
Prof. Dr.-Ing. Oskmar Wallrapp,
Dr. Bernd Schäfer
Inhaltsübersicht Technische Mechanik
Teil I
Statik starrer Körper – Stereostatik
Teil II
Statik elastischer Körper – Elastostatik
Teil III
Kinematik und Kinetik starrer Körper
Version 2.01 vom 09.03.2006
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
III.3
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
Inhalt
1.
Einleitung ..................................................................................................................................... 6
2.
Kinematik des Punktes ............................................................................................................... 7
2.1
2.2
2.3
Kinematik des Punktes in kartesischen Koordinaten.......................................................... 7
2.1.1
Ort des Punktes ..................................................................................................... 7
2.1.2
Geschwindigkeit des Punktes................................................................................ 7
2.1.3
Beschleunigung des Punktes ................................................................................ 8
Kinematik des Punktes in natürlichen Koordinaten ............................................................ 9
2.2.1
Ort des Punktes ..................................................................................................... 9
2.2.2
Geschwindigkeit des Punktes.............................................................................. 10
2.2.3
Beschleunigung des Punktes .............................................................................. 12
2.2.4
Begleitendes Dreibein.......................................................................................... 14
Kinematik des Punktes in (ebenen) Polarkoordinaten...................................................... 15
2.3.1
Ort des Punktes ................................................................................................... 15
2.3.2
Geschwindigkeit des Punktes.............................................................................. 15
2.3.3
Beschleunigung des Punktes .............................................................................. 16
2.4 Vergleichende Darstellung der Punktbewegungen............................................................... 18
3.
Kinetik des Massepunktes ....................................................................................................... 19
3.1
Newton´sche Gesetze....................................................................................................... 19
3.1.1
1. Newton´sches Gesetz:..................................................................................... 19
3.1.2
2. Newton´sches Gesetz:..................................................................................... 19
3.1.3
Newton´sches Gesetz:......................................................................................... 19
3.1.4 Prinzip von d’Alembert: ............................................................................................ 20
3.2
3.2.1
Skalare Grundgleichungen .................................................................................. 21
3.2.2
Geradlinige Bewegung mit zeitabhängiger Kraft ................................................. 21
3.2.3
Geradlinige Bewegung mit konstanter Kraft ........................................................ 23
3.2.4
Geradlinige Bewegung mit ortsabhängiger Kraft................................................. 23
3.2.5
Geradlinige Bewegung mit geschwindigkeitsabhängiger Kraft ........................... 25
3.2.6
Krummlinige Bewegung bei konstanter Kraft ...................................................... 27
3.2.7
Krummlinige Bewegung bei veränderlicher Kraft ................................................ 31
3.3
Arbeit und Leistung ........................................................................................................... 33
3.4
Kinetische Energie ............................................................................................................ 35
3.5
Potential ............................................................................................................................ 36
3.6
Energiesatz ....................................................................................................................... 38
3.7
4.
Anwendung der dynamischen Grundgleichung ................................................................ 21
3.6.1
Arbeitssatz der Mechanik .................................................................................... 38
3.6.2
Energieerhaltungssatz für konservative Systeme ............................................... 40
3.6.3
Arbeitssatz unter Berücksichtigung konservativer Kräfte .................................... 41
Impulssatz ......................................................................................................................... 43
Kinetik des Punkthaufens ........................................................................................................ 44
Version 2.01 vom 09.03.2006
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
III.4
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
4.1
Massenmittelpunkt (Schwerpunkt).................................................................................... 44
4.2
Momentensatz................................................................................................................... 46
4.3
Energiesatz des Punkthaufens ......................................................................................... 46
4.4.
Der zentrale Stoß .............................................................................................................. 47
4.4.1 Vollkommen elastischer Stoß .................................................................................. 47
4.4.2 Plastischer Stoß ....................................................................................................... 48
5.
Der starre Körper....................................................................................................................... 50
5.1
Schwerpunkt des starren Körpers..................................................................................... 50
5.2
Massenträgheitsmomente................................................................................................. 51
5.2.1 Massenträgheitsmomente........................................................................................ 51
5.3
5.4
6.
5.2.2
Beispiele für die Berechnung............................................................................... 53
5.2.3
Beispiele für Massenträgheitsmomente .............................................................. 55
5.2.4
Der Satz von Steiner............................................................................................ 56
5.2.5
Trägheitsradius und reduzierte Masse ................................................................ 57
Kinematik des starren Körpers.......................................................................................... 58
5.3.1
Grundgleichung für die Geschwindigkeit............................................................. 58
5.3.2
Ebene Bewegung des starren Körpers................................................................ 58
5.3.3
Momentan- oder Geschwindigkeitspol für ebene Bewegung.............................. 59
5.3.4
Beispiele .............................................................................................................. 61
Kinetik des starren Körpers............................................................................................... 62
5.4.1
Translation ........................................................................................................... 62
5.4.2
Rotation................................................................................................................ 63
5.4.3
Kinetische Energie des starren Körpers: ............................................................. 65
5.4.4
Beispiele zu Kinetik des starren Körpers:............................................................ 66
5.4.4
D’Alembert-Kraft (Resultierende Trägheitskraft) ................................................. 70
Mechanische Schwingungen ................................................................................................... 71
6.1
Allgemeines....................................................................................................................... 71
6.2
Freie ungedämpfte Schwingungen ................................................................................... 71
6.3
6.4
6.2.1
Aufstellen der Differentialgleichung ..................................................................... 71
6.2.2
Allgemeine Lösung der Differentialgleichung: ..................................................... 72
6.2.3
Ableitung der Differentialgleichung aus dem Energiesatz:.................................. 74
6.2.4
Näherungsformel für Eigenfrequenz.................................................................... 74
6.2.5
Zusammengesetzte Federsysteme ..................................................................... 75
6.2.6
Biegeschwingungen............................................................................................. 76
6.2.7
Drehschwingungen .............................................................................................. 77
Gedämpfte Schwingungen (Eigenschwingungen)............................................................ 79
6.3.1
Geschwindigkeitsproportionale Dämpfung.......................................................... 79
6.3.2
Aperiodischer Grenzfall ....................................................................................... 81
6.3.3
Periodische Bewegung ........................................................................................ 82
Erzwungene gedämpfte Schwingungen ........................................................................... 86
Version 2.01 vom 09.03.2006
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
III.5
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
6.4.1
Erregung am Federende (Fall A)......................................................................... 86
6.4.2
Erregung am Dämpfungsgehäuse (Fall B) .......................................................... 91
6.4.3
Erregung durch Massenkräfte (Fall C) ................................................................ 94
6.4.4
Umlaufende Unwucht (Fall D) ............................................................................. 96
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III.6
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
Kinematik und Kinetik
1. Einleitung
Kinematik ist die Lehre von den Bewegungen ohne Betrachtung der Kräfte
Kinetik ist die Lehre von den Zusammenhängen zwischen Bewegungen und Kräften.
Bisher waren die am Körper angreifenden Kräfte und Momente im Gleichgewicht. Daher waren die
betrachteten Körper in Ruhe oder mindestens in gleichförmiger Bewegung. Nun sind die Kräfte und
Momente nicht im Gleichgewicht und es treten ungleichförmige Bewegungen (Beschleunigungen) auf.
Mechanik
Kinematik
(Lehre von den
Bewegungen)
Dynamik
(Lehre von den
Kräften)
Statik
(Lehre vom
Gleichgewicht an
ruhenden Körpern)
Version 2.01 vom 09.03.2006
Kinetik
(Lehre vom
Zusammenwirken
von Kräften und
Bewegungen)
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
III.7
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
2. Kinematik des Punktes
2.1 Kinematik des Punktes in kartesischen Koordinaten
Als Massenpunkt bezeichnen wir einen Körper mit endlicher Masse aber unendlich kleiner Ausdehnung.
D.h. die Ausdehnung des Körpers ist klein im Verhältnis zur Bahnabmessung.
2.1.1
Ort des Punktes
Bahn
Die Lage des Punktes kann durch ein Bezugssystem und den
Ortsvektor beschrieben werden. In kartesischen Koordinaten
ergibt sich
G
G
G
G
r (t ) = x(t ) ex + y (t ) ey + z (t ) ez
G G G
mit ex , e y , ez = Einheitsvektoren in den
G
r (t1 )
Richtungen des Koordinatensystems.
z
G
r (t2 )
G
r (t )
y
x O
2.1.2
Geschwindigkeit des Punktes
In einem Zeitintervall ∆t bewegt sich der Punkt auf seiner
P1
Bahn vom Ort P1 nach P2. Dadurch ändert sich der Ortsvektor
G
∆r
G
um ∆r . Wählen wir das Zeitintervall sehr kurz (-> 0), so
G
r
ergibt sich die Geschwindigkeit:
G
G
∆r (t ) dr G
G
v = lim
=
=r
∆t → 0 ∆t
dt
In Koordinatenschreibweise:
G
G dr
G
G
G
v=
= x (t ) ex + y (t ) ey + z (t ) ez
dt
P2
G
G
r + ∆r
z
x O
y
G
Die Geschwindigkeit v zeigt in Richtung der Kurventangente in P1.
Merke: der Punkt über der Variablen bezeichnet die Ableitung nach der Zeit !
Für
G
v = konst. ->
G
v = konst. ->
gleichförmige, geradlinige Bewegung
allgemeine gleichförmige Bewegung
G
Berechnung von v :
dx 2 dy 2 dz 2
1
ds
G
2
2
2
v = vx + v y + vz = x ² + y ² + z ² =
+ 2 + 2 =
dx 2 + dy 2 + dz 2 =
2
dt
dt
dt
dt
dt
ds
G
Die Dimension von v ist [m/s], s(t) ist die Bogenlänge (siehe Kap. 2.2).
Version 2.01 vom 09.03.2006
III.8
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
2.1.3
Beschleunigung des Punktes
G
Die Beschleunigung a eines Punktes ist ein Maß für die zeitliche
Bahn
Änderung seiner Geschwindigkeit.
Wenn sich die Geschwindigkeit im Zeitintervall ∆t ändert, ergibt
G
sich der Beschleunigungsvektor a :
G
v (t )
G
r (t )
G
r (t + ∆t )
G
G
∆v dv G G
lim
=
=v =a
∆t →0 dt
dt
G
v (t + ∆t )
G
a fällt im Allgemeinen nicht mit der Tangentenrichtung der
G
Bewegung zusammen, sondern mit der Richtung von ∆v .
G
a = konst. :
G
a=0 →
G
a = konst.
G
v = konst. :
G
v (t + ∆t )
G
v (t )
∆v
gleichmäßig beschleunigte, geradlinige Bewegung
gleichmäßige, geradlinige Bewegung
G
allgemeine gleichförmige Bewegung a ≠ 0
G
Die Dimension von a ist [m/s²]
G
G
G
G
G
a (t ) = v (t ) = ex ax (t ) + ey ay (t ) + ez az (t )
G
G
G
= ex vx (t ) + ey v y (t ) + ez vz (t )
G
G
G
x(t ) + ey y (t ) + ez z (t )
= ex Oder als Spaltenvektor:
x
 ax 
 vx 
 G   G   G  
a =  a y  = v =  v y  = r =  y
a 
 v 
 
 z
 z
z
Für den Betrag erhält man:
G
a = ax2 + a y2 + az2 = vx2 + v y2 + vz2 = xx2 + y y2 + z z2
Allgemein gilt:
Aus den Beschleunigungs- bzw. Geschwindigkeitskomponenten können die Bahnkurven
x = x(t );
y = y (t );
z = z (t );
bestimmt werden. Man benötigt dazu zusätzlich noch die Anfangsbedingungen. Umgekehrt erhält man
aus den Bahnkurven die Beschleunigungskomponenten.
Version 2.01 vom 09.03.2006
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
III.9
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
2.2 Kinematik des Punktes in natürlichen Koordinaten
2.2.1
Ort des Punktes
Eine andere Möglichkeit der Darstellung der Bewegung des
Punktes bezieht sich auf die Bahnkurve des Punktes.
G
Wenn r (t ) sich über der Zeit ändert, bewegt sich der Punkt
auf einer Bahn. Die Bahnlänge oder Bogenlänge s
beschreibt die zurückgelegte Strecke des Punktes auf der
Bahn. Damit kann die Bahnkurve auch durch eine
G
Funktion r ( s ) beschrieben werden.
Die Bewegung des Punktes auf seiner Bahn kann man
in einem Weg-Zeit-Diagramm (s-t-Diagramm)
darstellen:
Version 2.01 vom 09.03.2006
III.10
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
2.2.2
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
Geschwindigkeit des Punktes
Die Geschwindigkeit des Punktes wird
G
G
G dr dr ds
v=
=
dt ds dt
G
dr
Was ist
?
ds
s
P
G
v (t )
G
et
G
∆r
P2
G
r
G
dr ( s ) dx G dy G dz G
G
G
G
= ex + ey + ez = x′ex + y′ey + z′ez
ds
ds
ds
ds
G
r (t + ∆t )
wobei
x' =
dx
;
ds
y'=
dy
;
ds
z'=
dz
;
ds
Aus der Definition der Bogenlänge:
ds =
( dx ) + ( dy ) + ( dz )
2
2
2
und
2
2
2
 dx   dy   dz 
1 =   +   +   = x´2 + y´2 + z´2
 ds   ds   ds 
folgt:
G
G dr
ist ein Einheitsvektor, der am Punkt P die Tangentenrichtung zur Bahnkurve beschreibt.
et =
ds
Und somit
G G ds
G
v = et
= v(t ) et (t )
dt
Mit
v(t ) =
ds
= s
dt
(Bahngeschwindigkeit)
Die Bahngeschwindigkeit weist immer in tangentialer Richtung an die Bahnkurve.
Ihr Betrag ist gleich dem in kartesischen Koordinaten berechneten (siehe oben):
2
2
2
ds
G
 dx   dy   dz 
v (t ) = v(t ) =
=   +   +   = x ² + y ² + z ²
dt
 dt   dt   dt 
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Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
III.11
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
Nebenbemerkung:
Mit
G
G dr
G
G
G
v=
= x (t )ex + y (t )ey + z (t )ez
dt
folgt der Zusammenhang zwischen dem Tangentenvektor und der Geschwindigkeit im kartesischen
Koordinatensystem:
G
G
G
x + ye
y + ze
z vG
G xe
et =
= G
v
x ² + y ² + z ²
Analog der Weg- Zeit Darstellung, kann auch die
Geschwindigkeit über der Zeit dargestellt werden.
Da die Geschwindigkeit die Ableitung des Weges
ist, weist sie an den Extrema der Wegkurve
Nullstellen auf.
Das Geschwindigkeits-Weg Diagramm ergibt die
sog. Phasenkurve. Sie wird im Uhrzeigersinn
durchlaufen und schneidet die s-Achse senkrecht
(v=0 Æ s = Extremwert).
Version 2.01 vom 09.03.2006
III.12
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
2.2.3
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
Beschleunigung des Punktes
z
s
P
G
et
G
en
G
∆r
P2
M
G
r
G
r (t + ∆ t )
y
x
Die Beschleunigung berechnet sich zu:
G
det
d G
d
G
G
G
a (t ) = ( v ) = ( s ⋅ et ) = s ⋅ et + s ⋅
dt
dt
dt
Berechnung der Ableitung des Tangenteneinheitsvektors:
Für ein kurzes Bogenstück der Bahn kann die
G
et ( s )
Bahn durch eine Bewegung auf einem Kreis um
einen lokalen Mittelpunkt M angesehen werden.
Dies ist der sog. Krümmungskreis oder
ρ ( s)
Schmiegekreis. Seine Entstehung kann man sich
∆α ρ ( s + ∆s)
dadurch vorstellen, dass drei Punkte auf der Bahn
definiert werden, die man auf der Bahn
zueinander hinschiebt. Durch diese 3 Punkte ist
die sog. Schmiegeebene definiert und in ihr der
Schmiegekreis mit Radius ρ = Krümmungskreis.
Version 2.01 vom 09.03.2006
∆s
M
G
et ( s + ∆s )
III.13
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
Wir bilden
G G
G
∆et = et ( s + ∆s ) − et ( s )
und erkennen für kleine Winkel:
G
G
∆et steht senkrecht auf et ( s)
und weist in Richtung Mittelpunkt des Schmiegekreises.
Der Krümmungsradius bleibt annähernd konstant.
∆α
G
et ( s )
ρ ( s) ≈ ρ ( s + ∆s ) = ρ
Damit gilt näherungsweise:
G
et ( s + ∆s )
G
G G
G
∆et = ∆α ⋅ et ⋅ en = ∆α ⋅ en
N
=1
= Länge
G
Dabei ist en der Normalenvektor in Richtung des Krümmungskreismittelpunkts)
∆α =
∆s
ρ
G ∆s G
∆et =
⋅e
ρ n
G
∆et 1 G
= ⋅ en
∆s ρ
Für
∆s → ds
G G
det en
=
ds ρ
Somit wird die Beschleunigung im natürlichen Koordinatensystem:
G
G
det
det ds
G
G
G
G
G
= = a (t ) = s ⋅ et + s ⋅
s ⋅ et + s ⋅
s ⋅ et + s2 en
dt
ds N
dt
N
G
en
G
a (t ) =
G
s ⋅ et
N
Tangential −
beschleunigung
G
e
+ s 2 ⋅ n
ρ
N
Normal −
beschleunigung
G
G v2 G
a (t ) = v ⋅ et + ⋅ en
ρ
G
G G
a (t ) = at + an
Version 2.01 vom 09.03.2006
ρ
s
G
∆et
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
III.14
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
Die Beschleunigung lässt sich im natürlichen Koordinatensystem in eine Beschleunigung tangential zur
Bewegungsrichtung und eine radial auf den momentanen Krümmungsmittelpunkt gerichtete
Beschleunigung zerlegen.
at (t ) =
an (t ) =
dv
= s (t )
dt
v2
ρ
Tangentialbeschleunigung
Normalbeschleunigung
Die Darstellung im Beschleunigungs-Zeit-Diagramm weist
entsprechend Nulldurchgänge bei den Extrema der
Geschwindigkeit auf.
at
2.2.4
Begleitendes Dreibein
G
eb
Für Geschwindigkeit und Beschleunigung wurden für jeden
Punkt der Bahn eindeutige Einheitsvektoren in
G
G
Tangentialrichtung et und in Normalenrichtung en definiert.
s
P eG
n
Man erhält:
G G G
eb = et × en
Binomialvektor
G G G
et , en , eb bilden ein „begleitendes Dreibein“, auch
natürliche Koordinaten. Dieses ist für jeden Bahnpunkt
anders. Die Binomiale steht senkrecht auf Geschwindigkeit
und Beschleunigung.
Version 2.01 vom 09.03.2006
G
et
z
x
G
r
y
III.15
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
2.3 Kinematik des Punktes in (ebenen) Polarkoordinaten
In vielen praktischen Fällen bietet es sich auch an, die Bewegung des Punktes in Polarkoordinaten zu
beschreiben.
2.3.1
Ort des Punktes
Definition der Ortskoordinaten in Polarkoordinaten:
G
G
r (t ) = r (t ) ⋅ er
G G
ϕ = ϕ (t );
er = er (ϕ );
G
G
er = Einheitsvektor in Richtung r (t ) (wachsende
Zeit)
G
G
G
eϕ = Einheitsvektor senkrecht zu r (t ) bzw. er im
positiven Richtungssinn des Winkels
2.3.2
G
eϕ
G
er
G
r
ϕ
0
ϕ
Geschwindigkeit des Punktes
G
G
r (t ) = r (t ) er folgt:
G
G
G
r (t ) = r(t ) er + r (t ) er
G
Bestimmung von er :
G
∆eϕ
Aus
G
eϕ
ϕ
Aus der Geometriebetrachtung ergibt sich
G
G
G ∆er
sin(∆ϕ eϕ ) = ∆ϕ eϕ = G
er
∆ϕ
Und somit:
G
G
G
G
∆er = er ∆ϕ eϕ = ∆ϕ eϕ
N
1
Nach Grenzübergang:
G
G
der = dϕ eϕ
Æ
G
der dϕ G
=
eϕ
dt
dt
Æ
G
G
er = ϕ eϕ
Analog ergibt sich für eϕ (Achtung: negatives Vorzeichen):
G
G ∆eϕ
−∆ϕ ⋅ er = G
eϕ
Æ
G
G
deϕ = − dϕ er
Version 2.01 vom 09.03.2006
G
G
G
G
∆eϕ = − eϕ ⋅ ∆ϕ ⋅ er = −∆ϕ ⋅ er
N
1
Nach Grenzübergang:
Æ
G
deϕ
dt
=−
dϕ G
er
dt
G
∆er
Æ
G
G
eϕ = −ϕ er
0
G
er
III.16
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
Somit ergibt sich für die Geschwindigkeit in Polarkoordinaten:
G
G
G
v (t ) = r(t ) ⋅ er + r (t ) ⋅ ϕ (t ) ⋅ eϕ
oder
G
G
G
v (t ) = vr ⋅ er + vu ⋅ eϕ
mit
und
vr = r
vu = r ⋅ ϕ
Radialkomponente der Geschwindigkeit
Umfangskomponente der Geschwindigkeit
Beispiel: Bewegung auf Kreisbahn:
G
r = konst. = r
G
G
v (t ) = r ⋅ ϕ ⋅ eϕ
→
r(t ) = 0
ϕ = ω
G
G
v (t ) = r ⋅ ω ⋅ eϕ bzw. vu = r ⋅ ω und vr = 0
Mit Winkelgeschwindigkeit
2.3.3
Mit
Beschleunigung des Punktes
G
dv G
G
a (t ) =
= v (t )
dt
G
G
G
v (t ) = r(t ) ⋅ er + r (t ) ⋅ ϕ ⋅ eϕ
Oder vereinfacht geschrieben
G
G
G
v = r ⋅ er + r ⋅ ϕ ⋅ eϕ
G G
G
G
er = eϕ ⋅ ϕ
eϕ = −er ⋅ ϕ (siehe oben)
Daraus folgt:
G G
G
G
G
G
a = a (t ) = r ⋅ er + r ⋅ er + (r ⋅ ϕ + r ⋅ ϕ)eϕ + r ⋅ ϕ ⋅ eϕ
NG
NG
ϕ ⋅eϕ
G G
G
G
G
G
G
a = a (t ) = rer + rϕ eϕ + rϕ eϕ + rϕeϕ − rϕ ²er
−ϕ er
Coriolisbeschleunigung
( bei Re lativbewegung )
P
G
G
(
r − rϕ ²) er + (
2rϕ
+ rϕ) eϕ
G G
a = a (t ) =
Radialkomponente ar
Umfangskomponente au
G G G
a = ar + au
Im Allgemeinen gilt:
Radialkomponente
≠
Normalkomponente (natürliche Koordinaten)
Umfangskomponente
≠
Tangentialkomponente (natürliche Koordinaten)
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III.17
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
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Beispiel: Bewegung auf Kreisbahn um Mittelpunkt (Krümmungskreis)
r = konst.
r = r =0
G
G
v (t ) = r ⋅ ϕ ⋅ eϕ
Winkelgeschwindigkeit:
G
G
G
² er + rϕ eϕ
a (t ) = −
r
ϕ
N
N
In skalaren Größen:
In skalaren Größen:
ar
au
an =
s
ρ
=
v
2
ρ
=
rω
2
2
ω
ϕ = ω = α
Winkelbeschleunigung:
In natürlichen Koordinaten mit
2
v = r ⋅ ϕ = r ⋅ ω
α
r=ρ
= rω 2 = rϕ 2
ρ
at = s = v = rϕ = rω = rα
at = au
ar = − an
Die Normalbeschleunigung (Zentripetalbeschleunigung) an ist zum Kreismittelpunkt hin gerichtet,
bzw. bei Kurven zum Krümmungsmittelpunkt.
Daher gilt analog zur Bewegung auf der Kreisbahn auch für Bewegungen auf Bahnkurven mit r =
(Krümmungsmittelpunkt):
an = ρω ²
an =
v = ρω
ω=
v
ρ
v²
ρ
Die Tangentialbeschleunigung wirkt in Richtung der Bahntangente:
at =
dv d ² s
=
dt dt ²
Version 2.01 vom 09.03.2006
ρ
III.18
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
2.4 Vergleichende Darstellung der Punktbewegungen
Geschwindigkeitskomponenten
y
ρ
vr
G
r
vy
vu
ϕ
Krümmungsmittelpunkt
vx
G
vt v
x
Beschleunigungskomponenten
y
G
r
an aG
ay
ar
au
ax
at
ρ
Krümmungsmittelpunkt
ϕ
Kartesisches Koordinatensystem:
Natürliches Koordinatensystem:
Hierbei:
Ebenes Polarkoordinatensystem:
Version 2.01 vom 09.03.2006
G
v = ( vx , v y , vz ) ;
G
v = ( vt , 0, 0 ) ;
x
G
a = ( ax , a y , az ) ;
G
a = ( at , an , 0 ) ;
at < 0 Abbremsen
at > 0 Anfahren
an = 0
für geradlinige Bewegung
ab = 0
immer
G
G
v = ( vr , vu ) ;
a = ( ar , au ) ;
at = 0 Kreisbahn
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
III.19
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
3. Kinetik des Massepunktes
Die Kinetik verknüpft die Bewegung von Körpern mit den dabei wirkenden Kräften. Dazu ist die
Berücksichtigung der Masse erforderlich. Wir führen den Begriff des Massepunktes ein. Er weist eine
endliche Masse mit unendlich kleiner Ausdehnung auf. Diese Annahme ist immer dann gegeben, wenn
die Ausdehnung des Körpers sehr klein ist im Verhältnis zu seiner Bahn (Bsp. Erde auf ihrer
Umlaufbahn).
3.1 Newton´sche Gesetze
3.1.1
1. Newton´sches Gesetz:
Actio = Reactio
(bereits bekannt aus der Stereostatik).
Kinetische Probleme können mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen der Statik gelöst werden.
3.1.2
2. Newton´sches Gesetz:
(aus der Stereostatik)
Wirkt auf einen Körper keine Kraft, so bleibt sein Impuls konstant.
G
G
p = m⋅v
G
Mit m = (träge) Masse und v = Geschwindigkeit bez. Inertialsystem
G
G
G
Wenn ∑ Fi = 0 →
p = mv = konst.
Impuls:
Oder:
Wirken auf einen Massepunkt keine Kräfte, so bleibt er im Zustand der Ruhe
oder der gleichförmig (= mit konstanter Geschwindigkeit) geradlinigen
Bewegung.
3.1.3
Newton´sches Gesetz:
Die auf den Massepunkt wirkende Kraft ist gleich der zeitlichen Änderung des Impulses.
G
G dpG d ( mv )
∑ Fi = dt = dt
G
G G
G dv
Mit m = konst. und ∑ Fi = F ergibt sich mit a =
(zeitl. Ableitung im Inertialsystem):
dt
Version 2.01 vom 09.03.2006
III.20
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
G
G
F = m⋅a
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
dynamische Grundgleichung
g . Es gilt:
G
G
G = m ⋅ g Gewichtskraft, verursacht durch Massenanziehung -> schwere Masse).
Sonderfall: Die durch das Gewicht erzeugte Beschleunigung ist
Da
g für alle Körper gleich ist, sind träge Masse und schwere Masse gleich.
3.1.4 Prinzip von d’Alembert:
G
F
G
m a
G
ma
G
G
G
F mit a beschleunigten Massepunkt m steht die äußere Kraft F mit der
G
Trägheitskraft (d’Alembert-Kraft) ma im Gleichgewicht. Die Trägheitskraft weist immer entgegen der
An einem durch eine Kraft
Beschleunigungsrichtung.
Es gilt:
G
G
F = m⋅a
Version 2.01 vom 09.03.2006
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
III.21
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
3.2 Anwendung der dynamischen Grundgleichung
3.2.1
Skalare Grundgleichungen
G
G
Aus der dynamischen Grundgleichung F = m ⋅ a erhält man drei skalare Gleichungen:
∑ Fix = Fx = max = mx;
∑F
∑F
iy
= Fy = ma y = my;
iz
= Fz = maz = mz;
Aus diesen Bewegungsdifferentialgleichungen und den Anfangsbedingungen erhält man Gleichungen
für endliche Bewegungsabläufe.
G G
r = r (t );
x = x(t )
y = y (t )
z = z (t )
G
Die Kraft F kann abhängig sein von Ort, Zeit, Geschwindigkeit. Somit ist keine allgemeine Lösung
möglich.
Im folgenden betrachten wir einige Sonderfällen für geradlinige Bewegung:
a = ax ;
G
r = r = x = s;
v = vx ;
3.2.2
Geradlinige Bewegung mit zeitabhängiger Kraft
Gesucht ist x(t )
F = F (t );
F (t ) dv
a(t ) =
F (t ) = ma(t )
Æ
=
=a
m
dt
v
t
t
dv
v =
=a
Æ
dv
=
a
⋅
dt
Æ
v
−
v
=
0
∫ t∫
∫ a ⋅ dt
dt
v0
t
0
0
t
v = ∫ a ⋅ dt + v0
t0
t
Mit
∫ a ⋅ dt = v (t )
wird v = v (t ) + v0 =
t0
Aus wird
dx
=v
dt
x
t
t
x0
t0
t0
Æ
dx = v dt und somit
∫ dx = ∫ vdt = ∫ ( v (t ) + v0 ) dt
t
x = ∫ v (t )dt + v0 (t − t0 ) + x0
t0
Hierbei wählt man t0 meist 0.
Version 2.01 vom 09.03.2006
dx
dt
Æ
III.22
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
Beispiel: Sinusförmige Kraft
x(t ), v(t ), a(t )
F (t ) = F0 sin ωt
F (t ) = ma(t ) = F0 sin ωt
dv F0
= sin ωt = aˆ sin ωt
a=
dt m
t
F
F
v = ∫ 0 sin ωt dt = − 0 cos ωt + C1
m
mω
F
vˆ = 0
Mit
mω
folgt v = −vˆ cos ωt + C1
Für t = 0
→
v = vˆ →
C1 = 0
F
dx
v=
= − 0 cos ωt = −vˆ cos ωt
dt
mω
Gesucht sind:
dx = v dt = −
mit
aˆ =
F0
ist Amplitude der Beschleunigung
m
mit
vˆ =
F0
ist Amplitude der Geschwindigkeit
mω
mit
xˆ =
F0
ist Wegamplitude
mω 2
F0
cos ωt dt
mω
Integration
t
F0
F
cos ωt dt = − 0 2 sin ωt + C2
mω
mω
Für t = 0
→
x=0 →
C2 = 0
F 1
x = − 0 2 sin ωt = − xˆ sin ωt
mω
x = ∫−
a = aˆ sin ωt
1
0,8
x = − xˆ sin ωt
0,6
a
F/m
v
aˆ
x
vˆ
0,4
0,2
0
0
0,5
xˆ -0,4
1
π
2
-0,6
v = −vˆ cos ωt
-0,2
π1
-0,8
-1
ω
t
wt [Pi]
Version 2.01 vom 09.03.2006
31,5
π
2
22π
III.23
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
3.2.3
Geradlinige Bewegung mit konstanter Kraft
Gesucht: x (t ) , x(v )
G
G
F = konst.
→
a = konst. = ax (Koordinatensystem so gelegt, Kraft in x-Richtung weist)
v − v0
v − v0
v = a t + v0 ;
a=
t=
;
;
t
a
at ²
x=
+ v0t + x0
2
Für x0 = 0 :
(v − v0 )t ²
1
1
1 2 2
(v − v0 )
x=
+ v0 t = (v − v0 )t + v0 t = (v + v0 )t =
2t
2
2
2a
3.2.4
Geradlinige Bewegung mit ortsabhängiger Kraft
(z.B: Gravitationskraft)
- Gesucht ist Geschwindigkeit bei x
- Zeitpunkt, bei dem der Punkt bei x ist
F = F ( x)
F ( x)
→
a = a( x)
F ( x)
a ( x) =
m
dv( x)
a ( x) =
⋅dx
dt
dx
a( x)dx = dv( x)
dt
x
v
∫ a( x)dx = ∫ v( x)dv( x) =
x0
v0
x
v ²( x) v0 ²
−
2
2
∫ a( x)dx =
x0
v ²( x)
2
v
v0
x
v = v( x) = 2 ∫ a( x)dx + v0 ²
x0
v( x) =
x
t=
dx
dt
→
dt =
dx
v( x)
dx
∫ v( x) + t
0
x0
Wenn möglich, kann auch die Umkehrfunktion gebildet werden:
x = x(t )
v = v( x(t )) = v(t )
a = a ( x(t )) = a(t )
F = F ( x(t )) = F (t )
Version 2.01 vom 09.03.2006
x, v , a
ma
III.24
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
Beispiel :
Gesucht
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
lineare Federkraft
x(t )
k
m
Mit Federkonstante gilt:
x, x, x
F = kx
Mit
oder
k
x
m
x=−
mx = −kx Æ
F
k
(siehe Kap. 6, Eigenfreqenz ω0 )
= ω02
m
a( x) = x = −ω02 x
x + ω02 x = 0
kx
Dies die Differentialgleichung für freie ungedämpfte Schwingungen.
x = −ω02 x :
Integration von a ( x) = x
Linke Seite:
v ² v0 ²
−
(siehe vorige Seite)
2
2
∫ a( x)dx =
x0
x
Rechte Seite
∫ −ω0 xdx = −
ω02
2
x0
Und damit:
(x
− x02
2
v 2 − v02
ω02 2 2
=−
x − x0
2
2
(
(
)
)
v = v02 − ω02 x 2 − x02 =
dt =
dx
(
v02 − ω02 x 2 − x02
v02
Mit
xˆ 2 =
wird
t − t0 =
)
dx
dt
x
dx
=
ω0
v02
ω
2
0
Æ
t − t0 =
x
∫ω
x0
0
dx
xˆ − x
2
2
=
1
ω0
arcsin
x
xˆ
x
x0
x 
1 
x
arcsin − arcsin 0 

ω0 
xˆ
xˆ 
Mit t0 = 0 folgt daraus in Umkehrung:
x(t ) = xˆ sin (ω0t + ϕ )
mit Phasenverschiebung
ϕ:
sin ϕ =
Man sieht, dass xˆ =
v02
ω
Version 2.01 vom 09.03.2006
2
0
∫
x0
+ x02 − x 2
+ x02
ω02
t = t0 +
)
xˆ0
xˆ
+ x02 die Amplitude der Schwingung ist.
dx
ω0
v02
ω
2
0
+ x02 − x 2
ma = mx
III.25
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
3.2.5
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
Geradlinige Bewegung mit geschwindigkeitsabhängiger Kraft
(z.B. Bewegung in Flüssigkeit)
dv
dt
dv
F (v) = Widerstandskraft
F (v ) = m
dt
m
m
dv
dt =
dv =
dv =
F (v )
m a (v )
a (v )
F = F (v) = ma
t
a = a (v ) =
v
dv
∫t dt = v∫ a(v)
0
0
t = t (v )
t
x = ∫ v(t )dt + x0
t0
Version 2.01 vom 09.03.2006
v
Æ
dv
+ t0
a (v )
v0
t=∫
Umkehrfunktion
v = v(t ) =
dx
dt
III.26
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
Beispiel:
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
Freier Fall mit Luftwiderstand
F (v ) = k ⋅ v ²
k = Widerstandsbeiwert
ma
F (v )
N = mg
N − N
d´AlembertKraft
Gewichtskraft
ma = mg − kv ²
t
ma
Luftwiderstandskraft
m
Æ
dv
= mg − kv ²
dt
x
v
m ⋅ dv
mg − kv ²
v0
∫ dt = ∫
t0
h
v
v
m
dv
m
=
t − t0 = − ∫
k v0 v ² − mg k
k
Für
F (v) = kv ²
1
arctanh
mg
k
v
mg
k
mg
v, a
v0
t0 = 0 und v0 = 0 kann man nach v auflösen:
t
Æ
gk
= arctanh
m
v
mg
k
2
y = tanh(x)
1
 gk 
g ⋅m
⋅ tanh 
t 
k
 m 
v=
y
0
-5
-3
-1
1
3
x
5
-1
-2
Für
t → ∞ wird v∞ =
dv
gm
bzw.
=0
dt
k
10
Æ
8
v = konst. = v∞
Damit folgt von oben:
7
6
ma = 0 = mg − kv
2
∞
5
Æ
4
3
mg
v∞ =
k
x
1
0
 gk 
g ⋅m
x = ∫ vdt + x0 = ∫
⋅ tanh 
⋅ t  dt + x0
k
m
t0
t0 

t
-5
t0 = 0
-3
-1
y = ln|cosh(x)| 9
x0 = 0
5
7
6
5
4
3
v∞
Version 2.01 vom 09.03.2006
3
y
8
gm m
gk
x=
ln cosh
t
k
g
k
m
N
m
gk
x = ln cosh
t
k
m
1
10
v∞
Für
2
y = cosh(x)
t
Und somit
y
9
2
x
1
0
-10
-5
0
5
10
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
3.2.6
III.27
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
Krummlinige Bewegung bei konstanter Kraft
Auf einen Massepunkt m wirke die konstante Kraft
G
G
Aus F = ma
folgt
G
G F
dt
Damit dv =
m
G
G 1 G dv
a= F=
m
dt
G
G
G
F . Gesucht sind v (t ) und r (t ) .
G
v
G
r
Durch Integration erhält man
t
1 G
1 G
G
v = ∫ F dt = F t + C1
m
m
0
G
G
Mit v (0) = v0 folgt
1 G G
G
v (t ) = Ft + v0
m
G G
Und weiter mit dr = v dt
t
1 G2 G
G
1 G G 
r = ∫  Ft + v0 dt =
Ft + v0t + C2
2m
m

G
G
Mit
r (0) = r0 folgt
1 G2
G
G G
r (t ) = r0 + v0t +
Ft
2m
Version 2.01 vom 09.03.2006
G
F
F
1
F t²
2m
III.28
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
Beispiel: schiefer Wurf
Die Punktmasse m wird zur Zeit t=0 aus
x=0, z=z0 unter dem Winkel α mit der
Anfangsgeschwindigkeit v0 geworfen.
Gesucht sind Bahn, maximale Höhe,
Wurfweite, Wurfdauer und
Auftreffgeschwindigkeit.
Ermittlung der Bahnkurve:
1 G2
G G G
r = r0 + v0t +
Ft
2m
G
G
G
Durch Einsetzen von F = 0 ⋅ ex − mg ⋅ ez und den Randbedingungen ergibt sich
1  0  2
G  x   0   v cos α 
r =  = + 0
t +

t
 z   z0   v0 sin α  2m  −mg 
Oder Entwickeln aus der Beschleunigung:
G
G
ma = mg
G a   0 
a = x= 
 az   − g 
Integration liefert:
G  v   0   v cos α 
v =  0x  +   t =  0

 v0 z   − g   v0 sin α − gt 
Weitere Integration liefert:
 v0 cos α ⋅ t + 0 
G  x 
 =  0  +  v0 cos α  t + 1  0  t 2
2
r = =
  

gt


+ z0   z0   v0 sin α  2m  − mg 
 z   v0 sin α ⋅ t −
2


bzw.
x = v0t cos α
z = z0 + v0t sin α −
g 2
t
2
Wir bestimmen die Bahnkurve x(z) durch Ersetzen von t
Aus x-Richtung:
x = v0t cos α
Æ
t=
x
v0 cos α
Eingesetzt in z-Richtung:
x
g
x2
z = z0 + v0
sin α −
2 v02 cos 2 α
v0 cos α
Bahnkurve:
z = z0 + x tan α −
Version 2.01 vom 09.03.2006
g
x2
2 v02 cos 2 α
(Parabel)
III.29
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
Bestimmen der maximalen Höhe zmax :
bei t= th muss z = 0
z = v0 sin α −
th =
einsetzen in
g
2th = v0 sin α − gth = 0
2
v0
sin α
g
z = z0 + v0t sin α −
g 2
t
2
zmax = z (t = th ) = z0 + v0 sin α
zmax
v0
g v02
sin α −
sin 2 α
2
g
2 g
v02
= z0 +
sin 2 α
2g
Bestimmen der Wurfweite xw :
Wir erreicht zur Zeit t w (Wurfzeit) wird erreicht, wenn z (t w ) = 0 . Damit:
z (tw ) = 0 = z0 + v0tw sin α −
Wurfzeit:
g 2
tw
2
v0 sin α
v02 sin 2 α
z
v sin α
tw =
±
+2 0 = 0
2
g
g
g
g
2v0 sin α
= 2th
g
tw eingesetzt in x = v0t cos α ergibt die Wurfweite:
Für z0 = 0 wird

2 gz0
1 + 1 + 2 2
v0 sin α




tw =
v02 sin α cos α
v04 sin 2 α ⋅ cos 2 α
v02 cos 2 α z0
xw = v0tw cos α =
+
+2
g
g2
g
Für z0 = 0 wird
xw =
v02 sin 2α
v 4 sin 2α
z v 2 cos 2 α v02 sin 2α
+ 0 2 +2 0 0
=
2g
4g
g
2g
xw =
v02 sin 2α 
2 gz0 
1 + 1 + 2 2 
2 g 
v0 sin α 
xw =
v02 sin 2α
g
G
 vxw 
:
 vzw 
Und die Auftreffgeschwindigkeit vw = 
x = v0 cos α
Æ
x (tw ) = vxw = v0 cos α
Version 2.01 vom 09.03.2006

2 gz0
1 + 1 + 2 2
v0 sin α




III.30
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
z = v0 sin α − gt = 0
Æ
 v sin α
v 2 sin 2 α
z
vzw = z (tw ) = v0 sin α − g  0
+ 0 2
+2 0
 g
g
g

vzw = v0 sin α 1 + 2




gz0
v sin 2 α
2
0
vzw = v02 sin 2 α + 2 g z0
Achtung: das Vorzeichen von vw ist negativ (fällt nach unten, entgegen der z-Richtung)
2
2
vw = vxw
+ vzw
= v02 cos 2 α + v02 sin 2 α + 2 gz0
vw = v02 + 2 gz0
Für z0 = 0 wird vw = v0
Version 2.01 vom 09.03.2006
III.31
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
3.2.7
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
Krummlinige Bewegung bei veränderlicher Kraft
eϕ
Beispiel: Ein Satellit der Masse m fliegt um die Erde mit der
Masse M.
m
Erdradius R = 6370 km; Erdmasse M = 5,97 *1024 kg
r
Gravitationskonstante g = 6,673*10-11 Nm²/kg²
ϕ
M
Die auf die Punktmasse ausgeübte Gravitationskraft ist
abhängig vom Abstand r zwischen Erdmittelpunkt und Satellit.
R
G
mM
FG = γ
r²
Für die Behandlung bieten sich Polarkoordinaten oder
natürliche Koordinaten an:
G G
ma = FG
G
 M
G FG  −γ
a=
=
r²
m 
0

-->




Aus Kap. 2.3.3 (Beschleunigung des Punktes in Polarkoordinaten):
 M
r − rϕ 2   −γ
G  ar   a = =
r²
=
 au   rϕ + 2rϕ   0





Wichtiger Sonderfall: Bewegung auf Kreisbahn, d.h.:
r = konst.
r = r =0
Damit werden obige Gleichungen:
au = rϕ + 2rϕ = rϕ = 0 Æ
Æ
ϕ = konst. = ω
(Winkelgeschwindigkeit)
ar = r − rϕ 2 = −γ
M
r²
ω= γ
Æ
ϕ = 0
T = 2π
M 2π
=
r3
T
Æ
− rω 2 = −γ
M
r2
mit T = Umlaufzeit
r3
γM
Zweites Kepler´sches Gesetz
r3 γ M
=
= konst.
T 2 4π 2
γ M lässt sich besser durch g (= 9,81 m/s²) und R ausdrücken. Direkt auf der Erdoberfläche gilt:
FG = γ
mM
= mg
R²
Version 2.01 vom 09.03.2006
Æ
γ M = gR ² = 3,98 ⋅1014 m3 / s ²
ma r
mau
er
FG
III.32
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
Für einen hypothetischen Satellit, der in der Höhe h = 0
(r = R + h) über der Erdoberfläche entlang
fliegt, gilt:
R3
R
= 2π
= 84, 4 min
γM
g
2π
v0 = ω0 R =
= gR = 7,9 km / s
T
T0 = 2π
In der Höhe h gilt dann:
( R + h)
T = 2π
2
3
gR
v = ωr =
γM
=
r
3
3
R
h
h

 3 h
 1 +  = T0  1 +  ≈ T0  1 +

g  R
 R
 2 R
= 2π
gR 2
=
R+h
Diese Näherungen gelten nur für
 1 h
v0  1 −

h
 2 R
1+
R
v0
h
<< 1
R
(niedrige Umlaufbahn)
2
T
 h
= 1 + 
T0
 R
1,8
1,6
3
Näherung
1,4
1,2
1
0,8
v
=
v0
0,6
0,4
0,2
1
Näherung
h
1+
R
0
0
0,1
0,2
0,3
h/R
Version 2.01 vom 09.03.2006
0,4
0,5
0,6
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
III.33
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
3.3 Arbeit und Leistung
F
Für die Verschiebung des Massepunktes von 1 nach 2
1
wird Arbeit aufgewendet. Sie berechnet sich aus dem
Skalarprodukt der angebrachten Kraft und dem
G
dr
Verschiebungsweg s. Für kleine Verschiebungen erhält
G
man mit dr = ds :
ϕ F
s
2
G
r
G
G
dW = Fs ⋅ ds = F ⋅ cos ϕ ⋅ dr
G G
dW = F ⋅ cos ϕ ⋅ dr = F ⋅ dr (Skalarprodukt)
G G
r + dr
Entsprechend kann man die gesamte zwischen zwei Bahnpunkten 1 und 2 verrichtet Arbeit durch
Integration bestimmen:
G G 2
W = ∫ F ⋅ dr = ∫ ( Fx dx + Fy dy + Fz dz )
2
1
1
Die Definition der Leistung ist Arbeit/Zeit.
P=
dW
dt
G drG G G
P=F
=Fv
dt
Bewegung auf einer Kreisbahn:
G
Für die Bewegung auf einer Kreisbahn kann man dr ausdrücken durch:
G G
G
dr = dϕ × r
Mit der Regel für das Spatprodukt ergibt sich:
G G G G G
G
G G G
dW = F ⋅ dϕ × r = r ⋅ F × dϕ = dϕ ⋅ rN
×F
G G
dW = dϕ ⋅ M
ϕ2
G G
W = ∫ M ⋅ dϕ
ϕ1
G
G dϕ
P=M⋅
dt
G G
P = M ⋅ω
Version 2.01 vom 09.03.2006
G
M
F
2
G
G
r + dr
G
dr 1
G
r
dϕ
ϕ
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
III.34
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
Beispiel:
Verschiebung eines Massepunktes m auf einer
reibungsfreien schiefen Ebene im Schwerefeld der Erde von
s1 nach s2: geführte Bewegung, FN ist eine Zwangskraft,
senkrecht zur Bahn.
s2
h
α
ϕ
F
g
FN
s1
G G
W12 = ∫ F ⋅ dr ;
2
G
dr = ds;
1
2
W12 = ∫ F ⋅ ds ⋅ cos ϕ
1
ϕ = 90° − α ;
cos(90° − α ) = sin α
2
W12 = ∫ F ⋅ sin α ⋅ ds = F sin α ( s2 − s1 ) = F ⋅ h
1
Mit
( s2 − s1 ) sin α = h
folgt
W12 = F ⋅ h
Dies ist die aufgewendete Arbeit von 1 nach 2
Version 2.01 vom 09.03.2006
s
α
III.35
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
3.4 Kinetische Energie
G
G
F = m⋅a
G
G
dv
G
F = m⋅
⋅dr
dt
G
G
G G
dv G
G dr
G G
F ⋅ dr = m ⋅ ⋅ dr = m ⋅ dv
= m ⋅ v ⋅ dv
dt
dt
N
G
v
v2
G G
G G mv22 mv12
F
⋅
dr
=
W
=
m
⋅
v
12
∫1
∫ ⋅ dv = 2 − 2
v1
2
W12 =
T=
m 2 2
v2 − v1 = T2 − T1
2
(
)
Arbeitsänderung von 1 nach 2
1
G 2
m (v )
2
Dies ist die kinetische Energie einer Punktmasse, die sich in Bewegung befindet.
Die zugeführte Arbeit entspricht der Änderung der kinetischen Energie während der Verschiebung.
G
G G
Beachte: ( v ) = v ⋅ v ⋅ cos 0 = v ²
2
Version 2.01 vom 09.03.2006
III.36
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
3.5 Potential
Eine Kraft, die in jedem Raumpunkt wirkt,
bezeichnet man als Kraftfeld, z.B. das
1
Schwerefeld der Erde.
Wird ein Massepunkt durch ein solches Kraftfeld
bewegt, so kann die verrichtete Arbeit berechnet
werden nach:
2
G G
W12 = ∫ F ⋅ dr
2
1
Als Beispiel berechnen wir die verrichtete Arbeit für
die Bewegung eines Massepunktes im Schwerefeld
der Erde vom Punkt 1 nach 2.
G
r2
h2
G
r1
h1
W12 = ∫ ( Fx dx + Fy dy + Fz dz ) = − ∫ Gdz = −G ( h2 − h1 )
Man erkennt, dass die verrichtete Arbeit unabhängig vom Weg ist, den der Massepunkt genommen hat.
Solch ein Kraftfeld nennt man „konservativ“, weil es die aufgewendete Arbeit, Energie bewahrt.
Wenn auf eine Masse durch ein Kraftfeld die Kraft
G
G
F ausgeübt wird und die für die Verschiebung
erforderliche Kraft FV ist dann wird das Potential (= Verschiebearbeit) definiert:
G G
G G
dV = FV ⋅ dr = − F ⋅ dr
z
y
(negativ, da sie gegen das Kraftfeld verrichtet wird)
x
Zerlegung in die Koordinatenrichtungen:
G
r
G G
dV = − F ⋅ dr = − Fx dx − Fy dy − Fz dz
Der Begriff
dV =
G
FV
G
dr
m
∂V
∂V
∂V
dx +
dy +
dz
∂x
∂y
∂z
G
F
wird als vollständiges Differential beschrieben. Der direkte Vergleich
führt zu:
Fx = −
∂V
;
∂x
Fy = −
∂V
;
∂y
Fx = −
∂V
;
∂z
Somit kann man die Kraftkomponenten, die aufgrund des Kräftefelds auf den Massenpunkt wirken, auch
mit dem vollständigen Differential des Potentials beschreiben:
G
 ∂ ∂ ∂ 
F = −  , ,  V = −gradV
 ∂x ∂y ∂z 
Version 2.01 vom 09.03.2006
III.37
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
Für das Potential gilt:
G G
V1 = − ∫ F ⋅ dr
1
(für willkürlich festgelegten Nullpunkt)
0
G
∫
G
bzw. V = − F ⋅ dr + C (allgemeine Form mit additiver Konstante = Integrationskonstante)
Wenn ein Massepunkt „gegen“ das Kraftfeld verschoben worden ist, gibt die umgekehrte
Betrachtungsweise die Arbeit, die bei der Verschiebung durch die Potentialdifferenz verrichtet wird:
G G
dW = F ⋅ dr = Fx dx + Fy dy + Fz dz
dW = −
∂V
∂V
∂V
dx −
dy −
dz
∂x
∂y
∂z
vollständiges Differential des negativen Potentials
dW = − dV
Beispiel: Potential einer Federkraft
G
r
G
G
r0
G
r0
r
G G
G G
V = ∫ FV ⋅ dr = − ∫ F ⋅ dr
z
z
z0
z0
= − ∫ Fz ⋅ dz = − ∫ − F ⋅ dz
z
Mit Federkonstante k gilt für die ideale Feder:
FV = -F zur Verschiebung
F = k⋅z
erforderliche Kraft
z
z
z0
z0
z
V = − ∫ −k ⋅ z ⋅ dz = ∫ k ⋅ z ⋅ dz
V =k⋅
Für
z0 = 0
Fz = −
z²
2
z
z0
=
1
k z ² − z02
2
(
wird
∂V
= −k ⋅ z = − F
∂z
Version 2.01 vom 09.03.2006
m
)
V =k⋅
F
z²
2
(Federpotential)
Federkraft (wirkt auf
den Massenpunkt
III.38
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
3.6 Energiesatz
3.6.1
Arbeitssatz der Mechanik
Für die kinetische Energie gilt (siehe Kap. 3.4):
W12 =
Umgeformt:
m 2 2
v2 − v1 = T2 − T1
2
(
)
T2 = T1 + W12
(erste Form des Energiesatzes, allgemeine Form, auch
Arbeitssatz)
Bedeutung:
Die „neue“ kinetische Energie T2 eines Massepunktes ist gleich der “alten“ kinetischen
Energie T1 im Zustand 1 plus der Arbeit (Energie), die von 1 nach 2 von außen
zugeführt wird (durch äußere Kräfte und Momente).
Version 2.01 vom 09.03.2006
III.39
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
Beispiel:
Ein Körper mit der Masse m und dem Gewicht G
rutscht eine raue geneigte Ebene hinab (Reibungskoeffizient µ, Neigungswinkel α).
Gesucht ist die Geschwindigkeit v2, nachdem der
Körper um die Strecke l gerutscht ist.
Kinetische Energie:
m 2
v1
2
m
T2 = v22
2
T1 =
Zugeführte Arbeit durch Wirkung aller äußeren Kräfte.
G G
W12 = ∫ F ⋅ dr
2
1
W12 = G sin α l − R l
W12 = m ⋅ g ⋅ sin α ⋅ l − µ ⋅ m ⋅ g ⋅ cos α ⋅ l = m ⋅ g ⋅ l ⋅ (sin α − µ cos α )
T2 = T1 + W12
m 2 m 2
v2 = v1 + m ⋅ g ⋅ l ⋅ (sin α − µ cos α )
2
2
v2 = ± v12 + 2 gl (sin α − µ cos α )
Da für l = 0;
→
v2 = v1 ist das Vorzeichen positiv, daher:
v2 = v12 + 2 gl (sin α − µ cos α )
Deutung:
Wenn (sin α − µ cos α ) > 0;
bzw.
(sin α − µ cos α ) = 0; bzw.
(sin α − µ cos α ) < 0; bzw.
Stillstand,
Wie weit rutscht er in diesem Fall?
v12 + 2 gl (sin α − µ cos α ) = 0
Æ
l=
v12
2 g ( µ cos α − sin α )
Version 2.01 vom 09.03.2006
tan α > µ
tan α = µ
tan α < µ
→
→
→
v2 > v1
v2 = v1
→
v = konst.
v2 < v1 , der Körper kommt zum
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
3.6.2
III.40
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
Energieerhaltungssatz für konservative Systeme
Konservative Kräfte sind z.B. Schwerkraft, Federkraft, etc., also Kräfte, die Energie speichern können.
Für konservative Kräfte gilt:
dW = − dV
2
W12 = − ∫ dV = V1 − V2
1
Eingesetzt in Energiesatz:
W12 = T2 − T1 = V1 − V2
V1 + T1 = V2 + T2
V + T = konst. = E
(zweite Form des Energiesatzes, gilt nur für konservative Systeme,
Energieerhaltungssatz)
E = gesamte mechanische Energie (Arbeit des Systems)
dV + dT = 0
Energieerhaltungssatz: Bei einem konservativen System bleibt die mechanische Energie konstant.
Beispiel:
3
Ein Pendel, das überschlagen kann, hat im Punkt 1 die
Anfangsgeschwindigkeit v0. Wie groß muß v0 sein, damit das
Pendel im Punkt 3 gerade zum Stehen kommt?
2
Aus Energieerhaltungssatz:
V1 + T1 = V3 + T3
1 2
mv0 + 0 = 0 + mgl (1 − cos π )
2
2
Æ
v0 = 4 gl
Version 2.01 vom 09.03.2006
l (1 − cos ϕ )
1
III.41
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
3.6.3
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
Arbeitssatz unter Berücksichtigung konservativer Kräfte
Wenn an einem System konservative Kräfte und Momente (Potential V) und nicht konservative Kräfte
wirken gilt
T2 − T1 = W12 = W12kons. + W12nicht kons. = V1 − V2 + W12nicht kons.
Die nicht konservativen Kräfte (z.B. dissipative Kräfte wie Reibung) „zerstreuen“ die mechanische
Energie und wandeln sie z.B. in Wärme um. Sie besitzen daher kein Potential.
T2 + V2 = T1 + V1 + W12nicht kons.
(dritte Form des Energiesatzes):
Beispiel:
Das Pendel aus 3.6.2 hat im Punkt 1 die Anfangsgeschwindigkeit
v0. Wie groß muss ein im Winkelbereich
0 ≤ ϕ ≤ 2π wirkendes
Moment M sein, damit die Punktmasse bei der Ankunft im
obersten Punkt wiederum die Anfangsgeschwindigkeit v0 hat?
Im Punkt 2 beträgt die Energie
m
v ² + mgl (1 − cos ϕ )
2
Im Punkt 1 beträgt die Energie mit V1 = 0
m
E1 = T1 + V1 = v02
2
E2 = T2 + V2 =
Aus dem Arbeitssatz folgt:
T2 +
V2
= T1 + V1 + W12n.k .
N N
m
m
v ² + mgl (1 − cos ϕ ) = v02 + 0 + M ϕ
2
2
Für den Punkt 3 ergibt sich durch Einsetzen von v0 und
m 2
m
v0 + mgl (1 − cos π ) = v02 + M π
2
2
2mgl
M=
π
Version 2.01 vom 09.03.2006
ϕ =π
:
III.42
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
Aber Achtung:
Setzt man M in den Energiesatz für Punkt 2 ein, so ergibt sich
m
m
2mgl
v ² + mgl (1 − cos ϕ ) = v02 +
ϕ
2
2
π
4 gl
v ² + 2 gl (1 − cos ϕ ) = v02 +
ϕ
π
ϕ
v ² = v02 + 4 gl − 2 gl (1 − cos ϕ )
π
2

v ² = v02 + 2 gl  ϕ − 1 + cos ϕ 
π

dv
gl
2

= 2 gl  − sin ϕ  = 4 − 2 gl sin ϕ = 0
Extremum für
dϕ
π
π

2
sin ϕ =
Æ
π
ϕ * = arcsin
2
π
≈ 140,5° (und ϕ * ≈ 39,5° )
 2 140,5 π

− 1 + cos140,5 = v02 − 0, 421⋅ gl
 π 180

Bei 140,5° wird vmin = v0 + 2 gl 
2
2
D.h., wenn v0 < 0, 421 ⋅ gl ist die Gleichung nicht lösbar. Die Anfangsgeschwindigkeit reicht nicht aus,
2
um das Pendel bis zum Winkel ϕ * zu bringen. D.h. die Betrachtung nur der Punkte 1 und 3 liefert ein
falsches Ergebnis!
1,4
v02 > 0, 421⋅ gl
1,2
1
v02 = 0, 421⋅ gl
0,8
v²
gl 0,6
v02 = 0
0,4
0,2
0
0
30
60
90
ϕ[°]
Version 2.01 vom 09.03.2006
120
150
140,5
180
III.43
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
3.7 Impulssatz
Aus den Newton´schen Gesetzen ist der Impuls bekannt:
G
G
p = m⋅v
Wirken keine äußeren Kräfte, so ist der Impuls konstant.
G
G
p = m ⋅ v = konst.
z.B.
G
p = 0
Beim Einwirken von äußeren Kräften gilt:
G G
G
F = p = m ⋅ v
F
Fm
(2. Newton´sches Gesetz)
Integration liefert:
G
v2
t2
G
dv
G
m
⋅
vdt
=
m
dt
=
Fdt
∫t
∫ dt ∫t
v1
1
1
t2
∆t
G
G
G Gˆ
Fdt
=
mv
−
mv
2
1 = F
∫
t2
t1
Kraftstoß (auch Kraftantrieb, Impuls): Maß für die Wirkung einer Kraft
Anwendung bei kurzzeitigen Stoßvorgängen (bei denen der genaue Kraftverlauf unbekannt ist)
Gˆ
Es gilt: F =
G
G
∫ Fdt = F
m
G
⋅ ∆t mit ∆t Stoßzeit und Fm mittlere Stoßkraft.
Einheit: [Ns]
Beispiel:
geradlinige, beschleunigte Bewegung:
G
F = konst. = F
m(v2 − v1 ) = F (t2 − t1 )
Bei kraftfreier Bewegung ( F = 0 ) wird:
m (v2 − v1 ) = 0
Version 2.01 vom 09.03.2006
Æ
v = konst.
t
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
III.44
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
4. Kinetik des Punkthaufens
Unter Punkthaufen versteht man eine endliche konstante Anzahl von Massenpunkten.
Es können äußere Kräfte (Auflagerkräfte, Gravitation) und innere Kräfte (elastische Kräfte,
elektromagnetische Kräfte) wirken.
4.1 Massenmittelpunkt (Schwerpunkt)
Berechnung durch:
n
G
G
∑m ⋅r = m⋅r
i =1
n
i
i
G
F1
m
G
G
∑ m ⋅ r = m ⋅ r
i =1
n
i
i
m
G
F12
m1
G
G
G
∑ mi ⋅ vi = m ⋅ vm = p
G
r1
i =1
G G
Mit rm = vm Massenmittelpunktsgeschwindigkeit
G
Die Bewegungsgröße p des Punkthaufens ist gleich der
äußere Kraft
G
F13
0
Massenmittelpunktsgeschwindigkeit bewegt.
G
F21 m
2
Mm
G
rm
G
r2
Bewegungsgröße der im Massenmittelpunkt vereinigten
Gesamtmasse, die sich mit der
innere Kräfte
G
r3
G
F31
G
F2
G
F23
G
F32
G
F3
m3
Für jede Masse mi des Punkthaufens gilt das Newton´sche Gesetz:
mi ai = Fi + ∑ Fij
j
Durch Aufsummieren:
G
G 
ij 
i
i  j
N

G
G

∑m a = ∑ F + ∑∑ F
i
i
i
G
mam
i
FR
G
G
G
m am = FR = p
hebt sich auf
Der Massenmittelpunkt bewegt sich so, als ob die gesamten Punktmassen in ihm vereinigt wären und die
Resultierende aller äußeren Kräfte an ihm angreift (gilt für das dynamische Grundgesetz und den
Impuls).
Daher beinflussen innere Kräfte die Bewegung des Massenmittelpunktes nicht (sie heben sich
gegenseitig auf). Innere Kräfte bestimmen zusammen mit den äußeren Kräften die Bewegung der
einzelnen Massenpunkte.
Treten keine äußeren Kräfte auf, ist der Impuls konstant (nach Betrag und Richtung).
Version 2.01 vom 09.03.2006
III.45
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
Beispiel:
m*
m2 =2m* Sie sind durch ein Seil der Länge l
verbunden.
Gesucht: Weg s2 des Kahns 2, wenn das Seil auf die
Es treten keine äußeren Kräfte auf
n
G
∑F
G
∑m r = mr
i =1
i i
m
m1 0 + m2 l = m xm
2m* l = 3m* xm
2
xm = l
3
1
l1 = l
3
→
Verkürzen von l auf l/2:
l'→
l
2
2
1
xm
l1
l
Hälfte verkürzt wird.
Æ
Version 2.01 vom 09.03.2006
l1' =
11
1
l= l
32
6
Ai
2m*
Mm
Zwei Kähne befinden sich in Ruhe, Massen m1 = m*,
= 0; Æ Massenmittelpunkt Mm bleibt in Ruhe.
III.46
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
4.2 Momentensatz
Ähnlich wie in der Statik das Moment wird in der Dynamik das
Impulsmoment bezüglich Punkt 0 (oder Moment der Bewegung oder
G
G G
M0 = r × F
Dynamik:
G G G G
G
L0 = r × p = r × mv
m
y
z
G
dv G
G
G G G G
r ×m
= r × ma = r × F `= M 0
dt
Im Vergleich:
G
v
G
r
Drehimpuls oder Drall) definiert.
Statik:
G
F
x
0
Drehimpuls ÅÆ Moment
Impuls ÅÆ Kraft
G
G
G
G
dL0 d ( r × mv ) G
dv G G
G G
=
= r×mv
+ r × m dt = r × p
dt
dt
0
=
G G
da v ×v = 0
G
M0
G
G
G
dL0
G dp
= M0 = r ×
dt
dt
Momentensatz: Die zeitliche Ableitung des gesamten Dralls (Drehimpulses) in Bezug auf einen festen
Bezugspunkt 0 ist gleich dem resultierenden Moment der äußeren Kräfte bezüglich dieses Punktes.
NB ohne Beweis: dies gilt in gleicher Form auch für den Massenmittelpunkt Mm als Bezugspunkt:
G
G
G
dLm
G dpm
= M m = rm ×
dt
dt
4.3 Energiesatz des Punkthaufens
Die Gesamtarbeit W12 der von inneren und äußeren Kräften verrichteten Arbeit ist gleich der Änderung
der kinetischen Energie des gesamten Systems. Im Allgemeinen ist die Arbeit der inneren Kräfte nicht
Null.
Version 2.01 vom 09.03.2006
III.47
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
4.4. Der zentrale Stoß
Ein Stoß wird als zentraler Stoß bezeichnet, wenn die
Massenmittelpunkte auf der Stoßnormalen liegen. Die
F1
Massenmittelpunkte bleiben vor und nach dem Stoß
F2
auf derselben Geraden. Die Wirkungslinien der
Stoßkräfte liegen auf der Verbindungslinie der beiden
Massenmittelpunkte. Es wirken keine äußeren Kräfte.
G
G
F1 = − F2
Vor dem Stoß
Nach dem Stoß
mA
mB
mA
mB
vA1
vB1
vA2
vB2
4.4.1 Vollkommen elastischer Stoß
Beim vollkommen elastischen Stoß geht keine Bewegungsenergie verloren. Damit folgt:
mAv A1 + mB vB1 = mAv A2 + mB vB 2
Impulssatz:
Energiesatz:
Daraus folgt:
mA 2 mB 2 mA 2 mB 2
v A1 +
vB1 =
vA2 +
vB 2
2
2
2
2
mA (v A1 − v A 2 ) = mB (vB 2 − vB1 )
/1/
mA (v A21 − v A2 2 ) = mB (vB2 2 − vB21 )
/2/;/1/
mA (v A21 − v A2 2 ) = mB (vB2 2 − vB21 )
v A1 + v A2 = vB 2 + vB1
v A1 − vB1
Re lativgeschwindigkeit
vor dem Stoß
/2/
= − ( v A 2 − vB 2 )
Re lativgeschwindigkeit
nach dem Stoß
(Spiegelung der Relativgeschwindigkeit)
Version 2.01 vom 09.03.2006
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
III.48
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
4.4.2 Plastischer Stoß
Wenn während des Stoßvorgangs kinetische Energie verloren geht (z.B. in Wärme umgewandelt wird),
so spricht man vom teilplastischen oder – im Extremfall – vollplastischen Stoß. Bei Verlust an
kinetischer Energie während des Stoßvorgangs bleibt der Betrag der Relativgeschwindigkeit nicht
konstant. Dies kann durch die werkstoffabhängige Stoßzahl k berücksichtigt werden:
k (v A1 − vB1 ) = −(v A2 − vB 2 )
0 ≤ k ≤1
Für k = 0: vollkommen unelastischer Stoß (plastischer Stoß)
Für k = 1: vollkommen elastischer Stoß
Und Energie:
mA (v A1 − v A 2 ) = mB (vB 2 − vB1 )
k (v A1 − vB1 ) = −(v A 2 − vB 2 )
Folgt:
vA2 =
mAv A1 + mB vB1 − k mB (v A1 − vB1 )
m (1 + k )
(v A1 − vB1 )
= v A1 − B
mA + mB
mA + mB
vB 2 =
mAv A1 + mB vB1 + k mA (v A1 − vB1 )
m (1 + k )
(v A1 − vB1 )
= vB1 + A
mA + mB
mA + mB
Aus Impuls:
Deutung:
Beim plastischen Stoß (k=0) wird
v A 2 = vB 2 =
mAv A1 + mB vB1
mA + mB
Bei Verlust an kinetischer Energie beim Stoß ( k < 1), Umwandlung in Wärme:
TVerl = T1 − T2 =
TVerl =
mA 2 mB 2 mA 2 mB 2
v A1 +
vB1 −
vA2 −
vB 2
2
2
2
2
mA mB
(v A1 − vB1 )²(1 − k )²
2(mA + mB )
Für k = 1: kein Verlust an kinetischer Energie
Für k = 0: größter Verlust an kinetischer Energie
Version 2.01 vom 09.03.2006
III.49
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
Experimentelle Bestimmung der Stoßzahl k im Fallversuch:
Energieerhaltung beim Fall
mA
T1 + V1 = T2 + V2
N
N
=0
=0
mA 2
v A1
2
v A1 = 2 gh1
mA gh1 =
vB1 = 0
Analog gilt für das Hochspringen:
v A 2 = − 2 gh2
vB 2 = 0
(Minuszeichen, weil Körper wieder hochspringt)
k (v A1 − vB1 ) = −(v A2 − vB 2 )
k=
Æ
− 2 gh2
− (v A 2 − vB 2 )
v
= − A2 = −
(v A1 − vB1 )
v A1
2 gh1
k=
h2
h1
Version 2.01 vom 09.03.2006
mA
h1
vA1
h2
vA2
III.50
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
5. Der starre Körper
5.1 Schwerpunkt des starren Körpers
xS
Der starre Körper besteht aus unendlich vielen Massepunkten, die
starr miteinander verbunden sind, d.h. die ihre Lage relativ
x
yS
zueinander nicht verändern.
Neben dem Inertialsystem u,v,w benötigen wir noch ein
S
körperfestes Koordinatensystem x,y,z, das wir
zweckmäßigerweise in den Schwerpunkt S (= Massenmittelpunkt)
y
zS
z
des starren Körpers legen. Die Lage des Schwerpunkts wird
ähnlich wie der Flächenschwerpunkt berechnet mit:
(m)
G
rS m =
G
∫ r dm
Oder in Einzelkoordinaten
xS =
(m)
1
m
∫
xdm ;
Für homogene Körper ist
1
xS =
V
(V )
yS =
1
m
( m)
∫
ydm ; zS =
ρ = konst.
1
yS =
V
∫ xdV ;
1
m
(m)
∫ zdm ;
m = ρV
→
(V )
∫
1
zS =
V
ydV ;
(V )
∫ zdV ;
Wenn ein Gesamtkörper aus mehreren Teilkörpern mit bekannten Schwerpunkten zusammengesetzt ist,
kann der Ausdruck ersetzt werden durch:
n
xS =
∑ xSi ⋅ mi
i =1
n
∑m
i =1
n
yS =
;
i
∑ ySi ⋅ mi
i =1
n
∑m
i =1
n
;
i
zS =
∑z
i =1
Si
⋅ mi
n
∑m
i =1
;
i
mit xSi , ySi , z Si Schwerpunktkoordinaten des Teilkörpers mi .
Für homogene Körper mit
ρ = konst.
gilt: Jede Symmetrieebene des Körpers enthält den Schwerpunkt.
Der Schnittpunkt von drei Symmetrieebenen ergibt den Schwerpunkt.
Version 2.01 vom 09.03.2006
III.51
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
5.2 Massenträgheitsmomente
a
5.2.1 Massenträgheitsmomente
G
ω
Bei einer Drehung um die Achse a-a entsteht ein Drehimpuls für die Masse
m
dm:
G G G G G
dLa = r × dp = r × v dm
G G
G G
Da v ⊥ r wird r × v = r v und somit kann man auch schreiben:
G
r
dLa = r v dm = r ²ω dm
Für den gesamten starren Körper erhält man durch Integration:
G
v
dm
m
La = ω ∫ r ² dm = ω I a
a
mit
m
I a = ∫ r ² dm
Massenträgheitsmoment bezüglich der Achse a-a
Für ein kartesisches Koordinatensystem berechnen sich die
x2 + y 2
Massenträgheitsmomente für jede Koordinatenachse (x, y,
m
aus
G
I S = ∫ r 2 dm
mit
x2 + y 2
I Sxx = ∫ ( y ² + z ²)dm ;
m
I Syy = ∫ ( z ² + x ²)dm ;
m
I Szz = ∫ ( x ² + y ²)dm ;
Die Zentrifugalmomente oder Deviationsmomente sind definiert zu:
m
I yz = ∫ yzdm;
I xy
I yy
I zy
Version 2.01 vom 09.03.2006
I xz 

I yz 
I zz 
m
I xz = ∫ xzdm;
Die Massenträgheitsmoment lässt sich als Tensor schreiben:
 I xx

I S =  I yx
 I zx

G
r
y
m
m
x
y
 x
G  
r =  y
z
 
zu
I xy = ∫ xydm;
x
S
z) bezüglich des Schwerpunkts S
z
y2 + z2
z
III.52
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
In den Hauptträgheitsachsen (Hauptachsen) verschwinden die Zentrifugalmomente. Die auf diese
Achsen bezogenen Momente sind die Hauptträgheitsmomente. Die Symmetrieachsen sind Hauptachsen.
Die Hauptachsen stehen senkrecht aufeinander.
Damit wird der Trägheitstensor:
 I xx

IS =  0
 0

0

0
I zz 
0
I yy
0
Für symmetrische Körper gilt: Eine durch den Schwerpunkt verlaufende zur Symmetrieachse senkrechte
Achse ist Hauptachse. (Achtung: nicht jede Hauptachse steht senkrecht auf einer Symmetrieebene).
Dies ist wichtig für Kreiselbewegungen, Unwuchterscheinungen, etc.
x
S
Version 2.01 vom 09.03.2006
Ha
up
tac
hs
e
y
z
Symmetrieachse
= Hauptachse
z
Symmetrieachse
= Hauptachse
Symmetrieachse
= Hauptachse
Sy
= H mme
au trie
pta ac
ch hse
se
y
Hauptachse
x
III.53
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
5.2.2
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
Beispiele für die Berechnung
1. Quader
Gesucht ist das Massenträgheitsmoment I Szz für nebenstehenden
a
Quader
dA
b
Lösung:
m
I Szz = ∫ ( x ² + y ²)dm
S
c
dV = dx dy c
dm = ρ dV = ρ dx dy c
I Szz =
y
b a
+ +
2 2
∫ ∫ (x
2
+ y 2 ) ρ c dxdy
b a
− −
2 2
+
I Szz
b
2
+
a
2
+
b
2
x
 a3

2
= ρ c ∫  + x y  dy = ρ c ∫  + a y 2  dy =
b 3
b  12
−a

−
−
3
2
2
b
+
2
2
 a3
 ba 3 ab3 
y3 
= ρ cy + a  = ρ c
+
=
3 −b
 12
 12 12 
2
a b 
= ρ cN
ba + 
 12 12 
V
2
I Szz = m
a 2 + b2
12
Version 2.01 vom 09.03.2006
2
z
x
III.54
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
2. Kreiszylinder
Gesucht ist das Massenträgheitsmoment I Sxx für nebenstehenden
l
ri
Quader
Lösung:
ra
x
I Sxx = ∫ r 2 dm
S
ri
dm = ρ l 2 π r dr
ra
dr
ra
I Sxx = ∫ r dm = ρ l 2 π ∫ r dr =
2
3
ri
ri
= ρ l 2π
=
4 ra
r
4
= ρ l 2π
ri
ra4 − ri 4
=
4
1
ρ l ra2 − ri 2 π ra2 + ri 2
2 V
(
) (
m
I Sxx =
ra
m 2 2
ra + ri
2
(
Version 2.01 vom 09.03.2006
)
)
y
z
III.55
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
5.2.3
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
Beispiele für Massenträgheitsmomente
Quader:
I Sxx
I Syy
I Szz
a
b² + c ²
=m
;
12
a² + c²
=m
;
12
a ² + b²
=m
;
12
b
x
S
c
y
z
Vollzylinder:
I Sxx
r
mr ²
=
;
2
S
I Syy = I Szz = m
r << l →
x
3r ² + l ²
;
12
I Syy = I Szz =
ml ²
;
12
y
z
Hohlzylinder
I Sxx
I Syy
m(ri 2 + ra2 )
=
≈ mrm2 ; (rm gemittelter Radius )
2
l²
ri 2 + ra2 +
3;
= I Szz = m
4
l
2
mr ²;
5
Hohlkugel:
I Sxx = I Syy = I Szz =
2 ra5 − ri5
;
m
5 ra3 − ri3
Version 2.01 vom 09.03.2006
ra
x
S
Vollkugel:
I Sxx = I Syy = I Szz =
ri
y
z
III.56
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
5.2.4
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
Der Satz von Steiner
Trägheitsmoment um parallele Achsen
xS
A
m
I A = ∫ r ²dm;
rS
r ² = x 2 + z 2 = ( xS + x ') 2 + ( zS + z ') 2
r ² = xS2 + zS2 + x '2 + z
'2 + 2 xS x '+ 2 zS z '
2
r² =
rS2
m
IA = r
2
S
zS
r
rS2
+
r2
m
+ 2 xS x '+ 2 zS z '
m
x
S
r
z
m
∫ dm + ∫ r ²dm + ∫ 2 x x ' dm + ∫ 2 z
dm
z ' dm ;
S
S
=0
=0
IS
x'
r
z'
Und damit:
I A = I S + rS2 m
mit
IA
IS
rS
Trägheitsmoment um die Achse a-a
a
Trägheitsmoment um die Achse durch den
Massenmittelpunkt
Abstand der Achse a-a von der Achse durch den
rS
Massenmittelpunkt
Somit kann man mit Hilfe des Satzes von Steiner das
S
a
Massenträgheitsmoment auch für jede Achse bestimmen, die nicht durch
den Schwerpunkt des Körpers geht.
Man erkennt:
Die Massenträgheitsmomente sind für Achsen durch den Schwerpunkt S minimal. Dies gilt analog auch
für die Deviationsmomente.
Version 2.01 vom 09.03.2006
III.57
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
5.2.5
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
Trägheitsradius und reduzierte Masse
Der Trägheitsradius ia ist der senkrechte Abstand von der Bezugsachse a-a, in dem die in einem Punkt
bzw. Ring konzentrierte gesamte Masse des Körpers das gleiche Trägheitsmoment besitzt wie der
Körper selbst bezüglich a-a.
I a = m ia2
→
ia =
Ia
m
a
a
a
ia
Die reduzierte Masse mredR besitzt im Abstand R
R
m
m, I a
mredR
von der Bezugsachse a-a bezüglich dieser Achse
das gleiche Massenträgheitsmoment wie der Körper
a
a
a
selbst.
I a = mredR R 2
→
mredR =
Ia
ia2
m
=
R2
R2
Anwendung: Herstellen der Zusammenhänge zwischen Drehbewegung und geradlinigen Bewegungen.
Version 2.01 vom 09.03.2006
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
III.58
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
5.3 Kinematik des starren Körpers
5.3.1
Grundgleichung für die Geschwindigkeit
G
rA
Für einen starren Körper gilt, dass sich der Abstand zwischen
zwei Punkten A und B des Körpers nicht ändert:
G
rAB = konst.
G G G
rB = rA + rAB
G
G
G
drB drA drAB
G
vB =
=
+
dt
dt
dt
G
G G
vB = v A + v AB
G
rB
G
ω
A
G
rAB
B
G
Die Bedingung rAB = konst. bedeutet eine Bewegung auf einer
G
G G
= ω × rAB
G
Kreisbahn und damit v AB ⊥ rAB
G
Und daher: v AB
G G
G
G
vB = v A + ω × rAB
Grundformel der Kinematik
Der Geschwindigkeitszustand des starren Körpers kann zusammengesetzt werden durch einen
G
translatorischen Anteil, der durch die Geschwindigkeit eines Punktes ( v A ) festgelegt ist und durch
einen rotatorischen Anteil, der durch die Winkelgeschwindigkeit
G
ω
um eine Achse durch diesen Punkt
bestimmt wird. Er wird also durch 6 skalare Größen definiert, die den 6 Freiheitsgraden des starren
Körpers entsprechen. Die Winkelgeschwindigkeit ist unabhängig vom Bezugspunkt für alle Punkte des
starren Körpers gleich (ohne Beweis).
5.3.2
Ebene Bewegung des starren Körpers
In vielen praktischen Fällen reicht die Betrachtung der ebenen Bewegung des starren Körpers aus. Dabei
bewegen sich alle Körperpunkte in parallelen Ebenen, deren Abstand konstant bleibt.
Der Geschwindigkeitszustand ist bestimmt durch die Geschwindigkeit eines Punktes und durch die
Winkelgeschwindigkeit um eine senkrecht zur Bewegungsebene stehende Achse.
Bei der ebenen Bewegung hat der Körper 3 Freiheitsgrade
2 Translationen
(alle Punkte haben zu jedem Zeitpunkt die gleiche Geschwindigkeit)
1 Rotation
(alle Punkte beschreiben konzentrische Kreisbahnen
Version 2.01 vom 09.03.2006
III.59
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
5.3.3
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
Momentan- oder Geschwindigkeitspol für ebene Bewegung
Für Punkt P gilt:
Mit
G G
G
G
vP = v A + ω × rAP
G
G
ω = ω ⋅ ey (Bewegung in der Ebene) folgt
G
G
G G
vP = v A + ω ⋅ ey × rAP
G
G
G G
vP = v A + ω ⋅ ey × rAP
ex
ey
ez
G
rP
G
rA
Es gibt immer einen Punkt mit der Momentangeschwindigkeit
0, den sog. Momentan- oder Geschwindigkeitspol G. Für G
G
rG
gilt daher:
G
vG = 0
G
Und somit
Mit
Æ
G
G G
v A = −ω ⋅ e y × rAG
G
G G
rAG = rG − rA
G
G
G G
v A = −ω ⋅ ey × (rG − rA )
ex
G
v A = −ω 0
x AG
z
ey
ez
ex e y
1
0
0
0 1
x AG 0
z AG
G
G
G
v A = −ω ( ex z AG − ez x AG )
Andererseits gilt für die Geschwindigkeit des Punktes A ebenso:
G
G
G
v A = ez x A − ex z A
Durch Komponentenvergleich erhält man:
x A = −ω z AG
und z A = ω x AG
bzw.
x AG =
z A
z AG = −
ω
x A
ω
;
Eingesetzt in
G
G G
rAG = rG − rA
Folgt
xG = x A + x AG
Æ
xG = x A +
zG = z A − z AG
Æ
zG = z A −
Wenn
ω≠0
Æ
Version 2.01 vom 09.03.2006
Momentanpol G für jeden Zeitpunkt
z A
ω
x A
ω
x
P
G
rAP
G
rAG
A
B
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
Wenn
ω=0
Æ
III.60
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
Pol im Unendlichen, d.h. reine Translation
Für G als Bezugspunkt gilt:
G
G G
vP = ω ⋅ ey × rGP
d.h. der Körper dreht sich momentan um den Punkt G. Es findet momentan keine Translation statt.
Während der Bewegung ändert der Pol G sowohl seine Lage relativ zum bewegten Körper als auch
relativ zur Bezugsebene.
Der geometrische Ort für alle Punkte G heißt:
•
bezogen auf den bewegten Körper heißt Gangpolbahn.
•
bezogen auf die feststehende Bezugsebene Rastpolbahn.
Die körperfeste Gangpolbahn rollt bei der Bewegung auf der raumfesten Rastpolbahn ab.
Geometrische Deutung bzw. Bestimmung von G:
G
G G
• Aus vP = ω ⋅ e y × rGP folgt unmittelbar:
•
Sind von 2 Punkten eines starren Körpers die
Geschwindigkeitsrichtungen bekannt, so findet man G im
.
A
Schnittpunkt der Lote auf die beiden Geschwindigkeitsvektoren.
G
vA
B
.
G
vB
G
•
ω und v A bekannt, so erhält man rGA
v
rGA = A
v A = ω ⋅ rGA
Æ
ω
vA
tan α =ω
rGA
Sind
mit
A
rGA
α
G
Version 2.01 vom 09.03.2006
.
v A = ω ⋅ rGA
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
5.3.4
III.61
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
Beispiele
G angpolbahn
Reines Rollen
Der momentane Drehpol G ist immer der
Berührpunkt. Die Rastpolbahn ist damit die
vA
A
.
Eine Walze rollt einer ebenen Fläche ab.
B
.
vB
.
Ebene, auf der die Walze abrollt. Die
vS
Rastpolbahn
Gangpolbahn ist der Walzenumfang.
G
Leiter
(siehe Aufgabensammlung Nr. 3.1.1)
Das Ende A eines Stabes AB der Länge l bewegt
sich reibungsfrei auf dem horizontalen Boden, das
G
xG
Ende B gleitet an einer senkrechten Wand.
Bestimmung der Gangpolbahn und die Rastpolbahn:
Der Momentanpol muss auf der Senkrechten zur
l
yG
aktuellen Bewegungsrichtung des Punktes A (= zRichtung) und des Punktes B (= x-Richtung) stehen.
Daher kann man direkt aus der Zeichnung ablesen:
xG = l ⋅ sin ϕ
und
yG = l ⋅ cos ϕ
Die Gangpolbahn ist der Thaleskreis bezüglich des bewegten Teils. Die Rastpolbahn ist der Kreis um
den Koordinatenursprung mit Radius l.
Version 2.01 vom 09.03.2006
III.62
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
5.4 Kinetik des starren Körpers
Wir betrachten ebene Bewegungen des ebenen starren Körpers. Ein ebener starrer Körper ist eine
Scheibe mit konstanter Dichte. Die Symmetrieebene liegt in der Bewegungsebene (x-z-Ebene).
Ein Körper, dessen Massenmittelpunkt in der Bewegungsebene liegt und von dem eine
Hauptträgheitsachse stets senkrecht auf der Bewegungsebene steht, verhält sich wie ein ebener starrer
Körper konstanter Dichte. Daher gelten die folgenden Betrachtungen auch für Kugel, Zylinder, etc.
5.4.1
Translation
Analog zum Punkthaufen gilt auch für den starren Körper der Impulssatz:
Es gehen lediglich die Bezeichnungen für Massenmittelpunkt in Schwerpunkt über:
G
G
rm → rS ;
G
G
vm → vS ;
G G
G
G
F = p = mvS = maS
G
G
am → aS ;
G
aS
S
Impulssatz
G
F
Der Massenmittelpunkt des starren Körpers der Masse m
bewegt sich so, als ob die Resultierende Kraft aller äußeren
Kräfte am Massenmittelpunkt angreift und die gesamte Masse
in ihm vereinigt ist.
G
F = 0; →
G
mvS = konst.
Es gelten die Gesetze des Massenpunktes.
S
D’Alembert-Kraft:
G
G
F − maS = 0
Version 2.01 vom 09.03.2006
G
maS
G
F
G
aS
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
5.4.2
III.63
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
Rotation
Analogiebetrachtung zur Kinetik des Massenpunktes:
Translation
Rotation
v
x
M
ma
a
F
Iα
αωϕ
I
Kraft:
D’Alambert
G
G
F = ma
(ist der Bewegung entgegengerichtet)
G
Weg:
x
G
G dx
Geschwindigkeit: v =
dt
G
G dv
Beschleunigung: a =
dt
G G
Arbeit:
dW = F ⋅ dr
dW G G
Leistung:
P=
= F ⋅v
dt
1 G
Kinetische Energie: T = mv ²
2
G
G
Impuls:
p = mv
G G
F = p Impulssatz
Kraft:
Moment:
D’Alambert
G
G
M = Iα
(ist der Bewegung entgegengerichtet)
Drehwinkel:
G
ϕ
G
dϕ
Winkelgeschwindigkeit: ω =
dt
G
G dω
Winkelbeschleunigung: α =
dt
G G
dW = M ⋅ dϕ
Arbeit:
G G
dW
Leistung:
P=
= M ⋅ω
dt
1 G
T = Iω ²
Kinetische Energie:
2
G
G
Drehimpuls:
L = Iω
G
G
M AS = LAS Drallsatz
Moment:
G
mit A = feste Drehachse
S = Schwerpunkt
Wenn die y-Achse die feste Drehachse ist, oder durch den Schwerpunkt des starren Körpers geht, gilt
der Drehimpulssatz für ebene Bewegung:
Für Massenmittelpunkt im Koordinatenursprung, Trägheitsmoment I (= Iyy), das am Körper angreifende
resultierende äußere Moment ist M = M y gilt (weil wir ebene Bewegungen betrachten, können wir auch
G G G
G
die Vektorpfeile für L, ω , M y weglassen, da sie immer in die e y -Richtung weisen):
G
G
Ly = ω I y
und
G
G
G
Ly = ω I y = M y
Greift an einem ebenen starren Körper mit dem Trägheitsmoment I y das resultierende äußere Moment
G
G G
M y an, so bewirkt dies eine Winkelbeschleunigung ω = α um die durch den Massenmittelpunkt
verlaufende senkrecht auf der Bewegungsebene stehende Hauptträgheitsachse y.
Version 2.01 vom 09.03.2006
III.64
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
G
M = 0:→
G n G
L = ∑ Li
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
Drehimpulserhaltungssatz (analog Impulserhaltungssatz)
i =1
Für unterschiedliche Zeiten t1 und t2 gilt
I ω1 = I ω2 ;
a) für I = konst. :
b) für I ≠ konst. :
I1ω1 = I 2ω2 ;
→
ω1 = ω2 ;
(tritt z.B. auf beim Bewegen von Massen auf Kreisscheiben
in radialer Richtung, oder Eiskunstläufer mit Pirouette)
Achtung:
Fällt die Hauptträgheitsachse nicht mit y zusammen, ergeben sich zeitabhängige
Massenträgheitsmomente und die obigen Gleichungen gelten nicht.
Anwendung: Drehstoß (Kupplungsvorgänge)
Für eine Achse a-a durch eine beliebigen Bezugspunkt gilt:
G
G
G
La = ω I a − a = M a
Ohne Indizes und Vektorpfeile (nur Bewegung in der Ebene)
M =α I =
dω
I
dt
M dt = I dω
Integration
t2
ω2
t1
1
∫ Mdt = ω∫ Idω
1
Wenn I = konst. und M = konst. :
t2
ω2
t1
ω1
M ∫ dt = I ∫ d ω
1
M ( t2 − t1 ) = I (ω2 − ω1 )
M ∆t = I ∆ω
Version 2.01 vom 09.03.2006
= Drehstoß
III.65
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
5.4.3
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
Kinetische Energie des starren Körpers:
G
v
Für einen Massepunkt dm gilt für die kinetische Energie:
1
G 2
dm ( v )
2
T=
dm
G
rSP
Die gesamte kinetische Energie des starren Körpers erhält man durch
Integration:
T=
S
1 G 2
( v ) dm
2 V∫
z
Die Geschwindigkeit des Massepunkts bestimmt sich zu:
P
x
G
ω
G G
G G
G G G
v = vS + ω × rSP = rS + ω × rSP
Damit wird
G
(v )
G G G 2
= rS + ω × rSP =
G G 2
G
G G G
= r 2 + (ω × rSP ) + 2 rS ⋅ ω × rSP
(
2
)
(
)
Nebenrechnung:
G G
(ω × rSP )
ex
= 0
xSP
2
ey
ω
ySP
2
ez
0 = (exω zSP − ezω xSP ) 2 =
zSP
2
2
= ω 2 (ex2 zSP
+ ez2 xSP
− 2 ex ez zSP xSP ) =
N
N
N
=1
=1
=0
= ω (x + z )
2
2
SP
2
SP
G2
r
G 2
G G G
( v ) = xS2 + zS2 + ω 2 xSP2 + zSP2 + 2 rS ⋅ ω × rSP
(
) (
)
Dies eingesetzt in die Gleichung für die kinetische Energie ergibt
T=
1
1
1
G G G
2
2
xS2 + y S2 dm + ∫ ω 2 xSP
+ ySP
dm + ∫ 2 rS ⋅ ω × rSP dm
∫
2V
2V
2V
(
)
1 2
mvS
2
Æ
Tges = Ttrans + Trot =
(
)
1
ISω2
2
(
)
0
1 2 1
mvS + I S ω 2
2
2
D.h.: die kinetische Energie des starren Körpers setzt sich aus einem translatorischen und einem
rotatorischen Anteil zusammen.
Version 2.01 vom 09.03.2006
G
vS
III.66
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
5.4.4
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
Beispiele zu Kinetik des starren Körpers:
Beispiele:
Gegeben:
l
Stab mit Streckenlast q, in A drehbar gelagert, bei B an
α
einem Faden aufgehängt.
Gesucht:
S
A
unmittelbar nach Durchschneiden des Fadens
FG = mg = ql
m=
Æ
B
FG
Auflagerkraft in A, Beschleunigung aS, a0 am Punkt B
FA
aS
ql
g
a) Lösung aus Impulssatz und Drehimpulssatz:
Resultierende äußere Kraft aus Freischnittbild:
FG − FA − maS = 0
(Impulssatz)
FA = FG − maS = m( g − aS )
a
2a
a
α= S = S = 0
l
l
l
2
l
Aus
M A = I Aα = FG
(Drehimpulssatz für A)
2
M
folgt
α= A
IA
ml ²
ml ²
ml ²
mit
IA =
+
=
12
4
3
N
N
maS
Æ
IS
und
Æ
Verschiebung aus
Steiner ´ schem Satz
l ql ² mgl
=
=
2
2
2
mgl 3
3g
α=
=
2 ml ² 2l
M A = FG
aS = α
Beschleunigungen:
l 3g l 3
=
= g
2 2l 2 4
3
g
2
3
1
1
FA = m( g − g ) = mg = FG
4
4
4
a0 = α l =
Auflagerkraft in A:
Alternativ: mit Drehimpulssatz für den Schwerpunkt S:
M S = I Sα = FA
Mit
wird
q
l
2
(Drehimpulssatz für S)
M A 3g
=
(siehe oben)
2l
IA
l ml ² 3g
und
FA =
2 12 2l
α=
Version 2.01 vom 09.03.2006
FA =
1
mg
4
FA
FG
aS
a0
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
III.67
b) Lösung nur mit Drehimpulssatz:
M S = I Sα =
FA =
1
l
ml 2α = FA
12
2
1
mlα
6
ml 2
l
α = FG
3
2
3
3g
α = FG
=
2ml 2 l
1
FA = m g
4
M A = I Aα =
Æ
(für Schwerpunkt S)
Version 2.01 vom 09.03.2006
(für A)
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
III.68
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
Beispiel 2
Mittelpunkt angreifend. Die Scheibe rollt schlupffrei auf der ebenen
aS , v S
F
Unterlage. Zur Zeit t=0 ist die Geschwindigkeit v=0.
Gesucht: Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes vS
S
R
a) zur Zeit T
m
α
Gegeben: homogene Scheibe, Radius R, Masse m, Kraft F im
b) nach der Strecke L
Lösung zu a)
m
α
Lösungsweg 1 (Betrachtung im Schwerpunkt)
Zunächst freischneiden:
F Iα
S aS
R
Kräftegleichgewicht:
F − FR − maS = 0 (Impulssatz)
Aus I S α = FR R
(Drehimpulssatz für S)
1
und I S = mR ²
2
1
folgt FR = m R α
2
maS
FR
In Kräftegleichgewicht einsetzen:
1
F − mRα − maS = 0
2
Rollbedingug:
Æ
aS = α R
a
1
F − mR S − maS = 0
2
R
2F
aS =
3m
2 FT
vS = a S T =
3 m
m
Lösungsweg 2 (mit Momentanpol)
α
Zunächst freischneiden:
aS = α R
F Iα
S aS
R
1
3
I G = I S + mR 2 = mR 2 + mR 2 = mR 2
2
2
M G = I Gα
(Drehimpulssatz für G)
G
MG
2 F
FR
=
=
3
IG
mR ² 3 mR
2
2 FT
vS = a S T =
3 m
α=
Version 2.01 vom 09.03.2006
Æ
aS = α R =
2F
3m
maS
III.69
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
Lösungsweg 3 (mit reduzierter Masse und Impuls)
Die reduzierte Masse um den Drehpunkt G ist
mredS =
IG =
IG
R²
1
3
mR ² + mR ² = mR ²
2 2
mred
IS
3 mR ² 3
= m
2 R²
2
F = mredS ⋅ aS
F
2F
aS =
=
mredS 3m
2 FT
vS = a S T =
3m
mredS =
Æ
Æ
(Impulssatz)
b) Geschwindigkeit am Ort L
Lösungsweg 1
Für aS = konst. :
vs = as t + v0 = as t
xs = ∫ as tdt = as
Mit
aS =
2F
3m
für v0 = 0 zum Zeitpunkt t = 0
t ² as vS2
=
2 2 aS2
aus (a)
Lösungweg 2 (mit Arbeitssatz):
T2 + V2 = T1 + V1 + W12nicht kons.
N N N
=0
0
maS
F
0
L
1 2 1
mvS + I S ω ² = ∫ Fdx = FL
2
2 0
N
N
Ttrans .
Trot .
W12n . k .
T2
v2
1 2 11
mvS +
mR ² S = FL
2
22
R²
3 2
mvS = FL
4
FL
vS = 2
3m
Version 2.01 vom 09.03.2006
Æ
Æ
vS = 2 a s s s = 2 a s L
Æ
vS = 2
2F
FL
L =2
3m
3m
t=
vs
as
aS
III.70
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
5.4.4
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
D’Alembert-Kraft (Resultierende Trägheitskraft)
Das System aus einer Einzel-Trägheitskraft und einem Einzel-Trägheitsmoment kann auf eine diesem
System gleichwertige Einzel-Trägheitskraft reduziert werden.
e
α
I Sα
S
aS
IS , m
maS
maS
ma S
=
maS
S
e
=
− m aS
S
Darstellung des Moments durch ein Kräftepaar mit dem Betrag maS :
emaS = α I S
Für die beiden Einzelkräfte ergibt sich mit e als Abstand der beiden Kräfte:
e=
α IS
aS m
,
oder mit dem Trägheitsradius um den Schwerpunkt iS ⋅ m = I S
2
e = iS2
α
aS
Die resultierende Trägheitskraft muss mit den Antriebs- und Führungskräften zu jedem Zeitpunkt im
Gleichgewicht sein.
Version 2.01 vom 09.03.2006
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
III.71
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
6. Mechanische Schwingungen
6.1 Allgemeines
Schwingungen sind regelmäßig auftretende zeitliche Schwankungen von Zustandsgrößen.
z.B. Zustandsgröße Ort
Die Zustandsgröße ändert sich periodisch, also
x = x(t )
x = x(t + T )
Mit T= Periode, Schwingungsdauer. D.h. in jeweils gleichem zeitlichen Abstand T erhält die
Zustandsgröße wieder den gleichen Wert.
Eigenschwingungen:
Bewegung eines schwingungsfähigen Systems, das sich selbst überlassen ist.
Es findet ein ständiger Austausch zwischen potentieller und kinetischer Energie statt.
U + T = konst. Æ
ungedämpfte Schwingung
Wird Energie in Wärme umgesetzt, so ergeben sich gedämpfte Schwingungen.
Man teilt Schwingungen nach der Anzahl der Freiheitsgrade ein (maximal 6 beim starren Körper). Im
Folgenden betrachten wir nur Schwingungen mit einem Freiheitsgrad.
6.2 Freie ungedämpfte Schwingungen
Wir nehmen eine masselose Feder mit der Federkonstante k an. Im Zustand
links ist sie kraftfrei. Durch Anhängen der Masse m verlängert sich die Feder
um z0 (statische Auslenkung). Die Ruhelage der Feder mit angehängter
Masse m ist z=0. Wir suchen die Bewegung z(t) der Masse.
6.2.1
Aufstellen der Differentialgleichung
Kräftegleichgewicht in Ruhe (z=0):
mg = kz0
z0
z
z=0
z
Kräftegleichgewicht in Bewegung:
mg = k ( z + z0 ) + mz
in Ruhe
in Bewegung
Eingesetzt:
kz0 = k ( z + z0 ) + mz
mz + kz = 0
(lineare Differentialgleichung 2. Ordnung)
k
bzw. z+ z=0
m
k
= ω02 folgt
Mit Abkürzung
m
Æ
z +ω ⋅ z = 0
2
0
mz
k ( z + z0 )
mg
m
z
mg
z
Differentialgleichung für freie ungedämpfte
Schwingung (vgl. Kap. 3.2.4)
Version 2.01 vom 09.03.2006
kz0
III.72
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
6.2.2
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
Allgemeine Lösung der Differentialgleichung:
Die allgemeine Lösung obiger Differentialgleichung lautet:
z = A sin ω0t + B cos ω0t
harmonische Schwingung
Dabei sind A, B Integrationskonstanten, die aus den Anfangsbedingungen bestimmt werden können.
ω0 =
Definition:
Mit
k
m
Kreisfrequenz
A = C cos ϕ und B = C sin ϕ
ergibt sich:
z = C cos ϕ sin ω0t + C sin ϕ cos ω0t
Und weiter:
z = C sin (ω0t + ϕ )
harmonische Schwingung
A² + B ² = C ² ( cos ²ϕ + sin ²ϕ ) = C ²
C = A² + B ²
B
tan ϕ =
Æ
A
Amplitude der Schwingung
B
A
ϕ = arctan
Phasenwinkel
Betrachten der Randbedingungen:
gilt:
z = z0
Für t = 0
und
z = v0
Aus der Gleichung für die harmonische Schwingung:
z = A sin ω0t + B cos ω0t
z = Aω0 cos ω0t − Bω0 sin ω0t
z (0) = v0 = Aω0 Æ
Æ
A=
v0
ω0
z (0) = z0 = B
Æ
B = z0
v
z = 0 sin ω0t + z0 cos ω0t
ω0
z = C sin(ω0t + ϕ )
Version 2.01 vom 09.03.2006
v02
mit
C=
Und
tan ϕ =
ω
2
0
+ z02
z0ω0
v0
III.73
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
Kenngrößen der Schwingung:
T ω0 = 2π
Schwingungsdauer:
2π
T=
ω0
= 2π
m
k
Frequenz:
f0 =
1 ω0
1
=
=
T 2π 2π
Kreisfrequenz:
ω0 =
2π
k
=
= 2π f 0
T
m
Schwingungszahl/min
n = 60 f 0 =
30
k
m
k
m
π
Auslenkung, Geschwindigkeit, Beschleunigung bei einer
linearen Schwingung: z + ω 2 z = 0;
0
z (t ) = C sin(ω0t + ϕ )
C
hier : ϕ = 0
4
2
0
0 ,0 0
1 ,5 7
3 ,1 4
4 ,7 1
6 ,2 8
7 ,8 5
9 ,4 2
1 0 ,9 9
1 2 ,5 6
-2
−C
-4
vˆ
v(t ) = z(t ) = vˆ cos(ω0t ),
4
vˆ = ω0C
2
0
0 ,0 0
1 ,5 7
3 ,1 4
4 ,7 1
6 ,2 8
7 ,8 5
9 ,4 2
1 0 ,9 9
1 2 ,5 6
-2
−vˆ
-4
aˆ
4
a (t ) = v(t ) = z (t ) = −ω02 z (t ) = − aˆ sin(ω0t ),
aˆ = ω02C = ω0 vˆ
2
0
0 ,0 0
1 ,5 7
3 ,1 4
4 ,7 1
6 ,2 8
7 ,8 5
9 ,4 2
1 0 ,9 9
1 2 ,5 6
-2
− aˆ
-4
T (t )
Eges = T (t ) + V (t ) = const.
V (t )
Eges = const.
4
2
0
0 ,0 0
1 ,5 7
3 ,1 4
4 ,7 1
6 ,2 8
-2
-4
Achtung : doppelte Frequenz 2ω0
Version 2.01 vom 09.03.2006
7 ,8 5
9 ,4 2
1 0 ,9 9
1 2 ,5 6
III.74
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
6.2.3
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
Ableitung der Differentialgleichung aus dem Energiesatz:
dU dT
U + T = konst. Æ
+
=0
dt
dt
z
z
U = − ∫ Fz dz = − ∫ [mg − k ( z + z0 )]dz + C
U = − mgz + k
Für
z=0
→
z²
+ kz0 z + C
2
U =0
k(z+z0)
→
Gleichgewichtsbedingung im Ruhezustand:
mg = kz0
U = − mgz + k
U =k
m
C=0
z
mg
z²
+ mgz
2
z²
2
m
z ²
2
dU dT
z
z
+
= 2k z + 2m z=0
dt
dt
2
2
kz + mz = 0
k
k
z+ z=0
= ω02
m
m
T=
6.2.4
Näherungsformel für Eigenfrequenz
Gegeben: m, z0 (statische Auslenkung)
m g = k z0
k
g
=
m z0
mit
ω0 =
k
=
m
f0 =
ω0
1
=
2π 2π
g
z0
g
z0
Æ
Die Eigenfrequenz ist unabhängig von der Federsteifigkeit und der Masse!
Mit
g= 9,81 m/sec² folgt
f0 ≈
0,5
Hz
z0
[ z0 in m]
Beispiel:
z0 = 40 mm
Version 2.01 vom 09.03.2006
f0 ≈
0,5 1
= 2,5 Hz
0, 04 s
z0
z=0 Æ U=0
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
6.2.5
III.75
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
Zusammengesetzte Federsysteme
a) Parallelschaltung
F = F1 + F2 = (k1 + k2 ) z
F = k ges z
Allgemein:
k = k1 + k2 + ... + kn
( z1 = z2 = ... = zn )
k1
k2
Das Federsystem wird durch zusätzliche parallel geschaltete Federn
„härter“.
z
F
b) Reihenschaltung (Hintereinanderschaltung, Serienschaltung)
F1 = F2 = F
F
z1 =
k1
F
z2 =
k2
F
z=
k ges
z = z1 + z1 = F (
k ges =
k1
1 1
F
+ )=
k1 k2
k ges
k1k2
k1 + k2
k2
Allgemein:
1 1 1
1
= + + ... +
k k1 k2
kn
F = F1 = F2 = ... = Fn
Das Federsystem wird durch zusätzliche in Reihe geschaltete Federn
„weicher“.
Version 2.01 vom 09.03.2006
z
F
III.76
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
6.2.6
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
Biegeschwingungen
In die Differentialgleichung wird die Federkonstante des Biegesystems eingesetzt. Die weitere
Berechnung ist analog Kap. 6.2.3.
Beispiel:
Gegeben:
Scheibe auf Welle, beidseitig fest eingespannt
Gesucht:
Schwingungsdauer der Biegeschwingung
r
d
m = 1 kg
g = 10 m/s²
d = 10 mm
l = 100 mm
r = 50 mm
mg
E = 210.000 N/mm²
l
l
G = 80.000 N/mm²
aus der Elastostatik folgt:
l*
Durchbiegung:
*3
F l
EI 192
l * = 2l
F l3
f =
EI 24
F
24 EI
k=
= 3
3
F l
l
EI 24
f =
Hier mit
Federsteifigkeit
k=
24 Eπ d
3 Eπ d
=
3
64l
8 l3
T = 2π
4
πd4
64
4
m
8 m l3
= 2π
k
3Eπ d4
T == 4 ⋅10−3 s
f 0 ≈ 250 Hz
Version 2.01 vom 09.03.2006
f
I yy =
Mit Flächenmoment 2. Ordnung
wird
F
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
6.2.7
III.77
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
Drehschwingungen
Analogie zur Translationsschwingung:
Translationsschwingung
Torsionsschwingung
ϕ
k
k
M
m
I
z
F
Masse
m
Trägheitsmoment
Federweg
z
Auslenkung
I
ϕ
Federkonstante
k=
Drehfederkonstante
k =
Eigenfrequenz
ω=
Eigenfrequenz
ω=
Version 2.01 vom 09.03.2006
F
z
k
m
M
ϕ
k
I
III.78
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
Beispiel zu Torsionsschwingung:
Gegeben:
Scheibe auf Welle, beidseitig fest eingespannt
Gesucht:
Schwingungsdauer der Torsionsschwingung
r
d
m = 1 kg
g = 10 m/s²
d = 10 mm
l = 100 mm
r = 50 mm
mg
E = 210.000 N/mm²
Verdrehwinkel linke Seite
ϕli =
Polares Flächenmoment
Ip =
Æ
Gesamtsteifigkeit
l
l
G = 80.000 N/mm²
Ml
G Ip
π d4
π r4
2
G
I
M
Gπ d4
p
=k =
=
32 l
ϕli
l
k ges
32
=
Gπ d4
= 2k =
16 l
Bestimmung der Schwingdauer:
T=
mit Massenträgheitsmoment
2π
ω
= 2π
I
k ges
m
I = r²
2
T = 2π
r
d
m
ϕ
m r ² 16 l
2 Gπ d 4
k
k
T = 5, 66 ⋅10−3 s
f 0 ≈ 177 Hz
l
l
Achtung:
Flächenmomente 2. Ordnung (verantwortlich für Biege- und Torsions-Steifigkeit) und
Massenträgheitsmomente (verantworlich für d’Alembert-Trägheitsmoment) nicht verwechseln!
Bemerkung: zusätzlich sind sog. Flatterschwingungen möglich.
Version 2.01 vom 09.03.2006
III.79
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
6.3 Gedämpfte Schwingungen (Eigenschwingungen)
Bei jeder Schwingung wird durch Reibung Bewegungsenergie in Wärme umgewandelt. Daher ergeben
sich gedämpfte Schwingungen.
Es gelten folgende Gesetzmäßigkeiten:
a) Trockene Reibung
FR = µFN
mit
FR = Reibungskraft
FN = Normalkraft
µ = Reibungskoeffizient
Die Reibungskraft ist immer der Bewegung entgegengesetzt gerichtet.
b) Flüssigkeitsreibung
G
G
FR = b ⋅ v
mit
b = Dämpfungskoeffizient
Die Flüssigkeitsreibung ist geschwindigkeitsabhängig. Die Reibungskraft ist immer der Bewegung
entgegengesetzt gerichtet.
Technisch ist hauptsächlich Fall b) von Bedeutung und wird daher hier weiter behandelt:
Als Dämpfungselement wird z.B. ein ölgefüllter Zylinder mit Kolben eingesetzt (Stoßdämpfer).
FR
6.3.1
x
Geschwindigkeitsproportionale Dämpfung
Das Schaubild zeigt ein Feder- Dämpfersystem mit einer Masse m. In
Ruhelage ist die Feder durch das Gewicht der Masse um den Betrag z0
ausgelenkt.
Es gelten:
Federkraft:
Dämpfungskraft
Fk = k ( z + z0 )
FD = bz
Trägheitskraft:
mz (entgegen der
b
k
z0
Kräftegleichgewicht:
Fk + mz + FD = mg
k ( z + z0 ) + mz + bz = mg
Fk
mz
mg
z z
in Ruhe ist:
k z0 = m g
Eingesetzt:
mz + bz + kz = 0
k
(Eigenfrequenz der ungedämpften Schwingung)
= ω02
m
Mit
Version 2.01 vom 09.03.2006
z
mg
Beschleunigungsrichtung)
FD
III.80
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
b
z + ω02 z = 0
m
z+
Folgt:
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
(Differentialgleichung der gedämpften Eigenschwingung)
b
b
=
ω0 =
m mω0
Durch Umformen:
b
k
m
m
b
= 2D
km
b
D=
2 mk
ω0 =
b
ω0
km
b
= 2 Dω0
m
Æ
D = Dämpfungsgrad / Dämpfungsmaß / Dämpfungsfaktor (dimensionslos)
Damit wird die Differentialgleichung der gedämpften Schwingung zu:
z + 2 Dω0 z + ω02 z = 0
λt
Lösungsverfahren am einfachsten mit dem e - Ansatz:
Wir setzen an:
Æ
z (t ) = Ceλt
z (t ) = λCeλt
z (t ) = λ 2Ceλt
mit C und λ als unbekannten (freien) Konstanten.
Einsetzen in die Differentialgleichung liefert:
2C λ 2 eλt + 2 Dω0 λ eλt + ω02 eλt = 0
(
)
Ceλt λ 2 + 2 Dω0 λ + ω02 = 0
Da
eλt ≠ 0 können wir dadurch teilen und es ergibt sich
C ( λ 2 + 2 Dω0 λ + ω02 ) = 0
Die triviale Lösung C = 0 beschreibt die Ruhelage des Systems und interessiert hier nicht.
Daher können wir die anderen Lösungen betrachten
λ 2 + 2 Dω0λ + ω02 = 0
Ergibt als Lösungen die beiden Eigenwerte:
λ12 =
−2 Dω0 ± 4 D 2ω02 − 4ω02
2
λ12 = − Dω0 ± ω0 D 2 − 1
Die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung erhält man durch Einsetzen der Eigenwerte:
z (t ) = C1eλ1t + C2 eλ2t
Einsetzen von
λ12 ergibt
z (t ) = C1e
( − Dω +ω
0
Version 2.01 vom 09.03.2006
0
)
D 2 −1 t
+ C2 e
( − Dω −ω
0
0
)
D 2 −1 t
III.81
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
An dieser Stelle müssen wir folgende Fallunterscheidungen treffen:
a)
D 2 > 1 : Es findet nur ein Abklingvorgang statt, die Dämpfung ist so groß, dass keine Schwingung
auftritt.
D = 1 : Grenzfall: Es findet nur ein Abklingvorgang statt, noch keine Schwingung
2
c) D < 1 : Es ergibt sich eine abklingende Schwingung
b)
2
Wir betrachten nur die Fälle b) und c)
6.3.2
Aperiodischer Grenzfall
D2 = 1 ,
Es gilt
somit ist
D2 −1 = 0
Die Lösung des Eigenwertproblems
λ12 = − Dω0 ± ω0 D 2 − 1 ergibt
λ12 = − Dω0 = ω0
Die beiden Eigenwerte fallen zusammen, das System entartet. Daher formulieren wir die neue Lösung
t e −ω0t und somit:
Dies führt zur Lösung für die Differentialgleichung´
z (t ) = C1e −ω0t + t C2 e−ω0t
z (t ) = e −ω0t ( C1 + C2t )
Einsetzen der Randbedingungen
Bei
t = 0:
→
z = 0,
z = v0
C1 = 0
z = −ω0 e −ω0t C2t + e −ω0t C2
C2 = v0
Æ
z
z (t ) = v0te −ω0t
tanψ = v0
t
Version 2.01 vom 09.03.2006
III.82
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
6.3.3
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
Periodische Bewegung
Dies ist der technisch wichtigste Fall: D < 1
2
Æ
D2 −1 < 0
In diesem Fall setzt man:
λ12 = − Dω0 ± i ω0 1 − D 2
mit
D=
b
<1
2 mk
mit
(Æ
D2 < 1
b < 2 mk )
Man definiert:
i := −1
δ := Dω0
imaginäre Einheit
Abklingkoeffizient
ω := ω0 1 − D 2
Kreisfrequenz der gedämpften Schwingung
Damit werden die Eigenwerte zu
λ12 = −δ ± iω
Es ergibt sich somit die allgemeine Lösung:
z (t ) = C1e(
−δ + iω )t
(
+ C2 e(
−δ + iω )t
= e −δ t C1eiωt + C2 e − iωt
)
Wir können umformen mit
eiωt = cos ωt + i sin ωt
e − iωt = cos ωt − i sin ωt
Und einsetzen:
(
z = e −δ t C1eiωt + C2 e − iωt
)
= e −δ t [C1 cos ωt + C1i sin ωt + C2 cos ωt − C2i sin ωt ]


= e −δ t ( C1 + C2 ) cos ωt + i ( C1 − C2 ) sin ωt 
 
A
B


−δ t
= e [ A cos ωt + B sin ωt ]
z = e −δ t [ A cos ωt + B sin ωt ] (*)
mit
A = C1 + C2
und B = i ( C1 − C2 )
A und B werden aus den Anfangsbedingungen bestimmt:
Für t = 0 :
→
z = z0 ,
z = v0
Einsetzen
z0 = e0 [ A cos 0 + B sin 0] = A
A = z0
z = −δ e −δ t [ A cos ωt + B sin ωt ] + e−δ t [ −ω A sin ωt + ω B cos ωt ] =
= e −δ t (ω B − δ A ) cos ωt − (ω A + δ B ) sin ωt 
Version 2.01 vom 09.03.2006
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
III.83
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
v0 = e0 (ω B − δ A ) cos 0 − (ω A + δ B ) sin 0 
v0 = ω B − δ A
B=
v0 + δ z0
ω
Und somit wird (*) zu:
v + δ z0


z = e −δ t  z0 cos ωt + 0
sin ωt 
ω


Oder in anderer Schreibweise
ˆ −δ t cos (ωt + ϕ0 )
z (t ) = ze
Mit
 v + δ z0 
zˆ = z +  0

 ω 
v + δ z0
Und tan ϕ0 = − 0
ω z0
2
2
0
z
ẑ
ˆ −δ t cos (ω t + ϕ 0 )
z (t ) = ze
z0
ˆ −δ t
ze
ˆ −δ t
− ze
− ẑ
Version 2.01 vom 09.03.2006
III.84
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
Bestimmung der Maxima und Minima:
ˆ −δ t cos (ωt + ϕ0 ) − ze
ˆ −δ tω sin (ωt + ϕ0 ) = 0
z = −δ ze
−δ cos (ωt + ϕ0 ) − ω sin (ωt + ϕ0 ) = 0
tan (ωt + ϕ0 ) =
−δ
für
ω
t Æ T ωt = Tg
Æ
Zeitlicher Abstand aufeinander folgender gleichsinniger Amplituden
T=
2π
ω
=
2π
ω0 1 − D 2
T ist die Schwingungsdauer der gedämpften Schwingung.
Mit der Kreisfrequenz ω bestimmt man die Frequenz der gedämpften Schwingung zu:
f =
ω ω0
=
1 − D 2 = f0 1 − D2
2π 2π
Hinweis: Frequenz und Kreisfrequenz der gedämpften Schwingung sind kleiner als bei der
ungedämpften Schwingung. Der Unterschied ist klein bei D² << 1.
Verhältnis aufeinander folgender Amplituden nach derselben Seite:
A
A1
e −δ t
= n = −δ ( t +T ) = eδ T = e Dω0T
A2 An +1 e
An
=e
An +1
oder
Λ = ln
D 2π
1− D 2
= konst.
An
An +1
Logarithmisches Dekrement (Lambda):
Das logarithmische Dekrement kann man durch Messen der aufeinanderfolgenden Extremausschläge
messen. Daraus lässt sich der Dämpfungsgrad bestimmen nach:
An
Dω0 2π
2π D
= δ T = Dω0T =
=
2
An +1
ω0 1 − D
1 − D2
1
Umgeformt nach D:
D2 =
2
 2π 
1+ 

 Λ 
Λ = ln
Wenn man die Maximalausschläge an, an+1, etc. und die Schwingungsdauer
T=
2π
ω
=
2π
ω0 1 − D 2
Version 2.01 vom 09.03.2006
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
III.85
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
bestimmt, kann man den Dämpfungsgrad über das logarithmische Dekrement berechnen:
Abstand zwischen zusammengehörigen Punkten E (Maximalausschläge) und B (Berührpunkte an die
Umhüllende):
∆t =
1
ω
arctan
δ
ω
Die analogen Aussagen können auch für Drehschwingungen gewonnen werden, indem man in Analogie
einsetzt:
m
→
Für
z
→
für die Dämpfung das Reibmoment: M R = −bϕ
Für
Version 2.01 vom 09.03.2006
I
ϕ
III.86
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
6.4 Erzwungene gedämpfte Schwingungen
Bei den bisher behandelten freien Schwingungen erfolgt nach der Anregung keine weitere Energiezufuhr
mehr von außen. Bei Vorliegen von Dämpfung (in der Praxis immer) klingt die Schwingung ab, da
mechanische Energie durch Reibung in Wärme umgewandelt wird.
Im Gegensatz dazu wird bei erzwungenen Schwingungen ständig Energie von außen zugeführt. Man
erhält damit einen stationären Bewegungszustand, der sich bei gedämpften Systemen nach dem
Abklingen des Einschwingvorgangs einstellt.
Im Folgenden werden wir den stationären Zustand untersuchen.
Erzwungene Schwingungen entstehen, wenn an einem schwingungsfähigen System äußere periodische
Kräfte angreifen. Sie können entweder angreifen
ƒ
Am Federende
ƒ
Am Dämpfergehäuse
ƒ
An der schwingenden Masse
6.4.1
Erregung am Federende (Fall A)
Gesucht ist die
zA
Bewegungsgleichung, wenn
k
die Bewegung am Federende
(Anregung) ist:
z A = z A0 sin Ωt
FD = bz
z0
m
z
Die statische Auslenkung
Ruhelage
b
durch die Gewichtskraft mg
beträgt z0.
Aufstellen Gleichgewichtsbedingung:
G − mz − FD − FK = 0
− mz − bz − k ( z + z0 − z A ) + mg = 0
Wird mit
kz0 = mg
mz + bz + kz + mg − mg = kz A = kz A0 sin Ωt
mz + bz + kz = kz A = kz A0 sin Ωt
Version 2.01 vom 09.03.2006
FK = k ( z + z 0 − z A )
k
z
m
b
mz
G = mg
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
III.87
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
b
k
k
k
z + z = z A = z A0 sin Ωt
m
m
m
m
b
k
und
= 2 Dω0 (siehe Kap. 2.7.2) sowie mit
ω0 =
m
m
D ⋅ z A0 = F0
(Anregungskraft, periodisch wirkend)
z+
Mit
F
k
z A = 0 sin Ωt
m
m
wird
z + 2 Dω0 z + ω02 z =
Für
D ² << 1 ergibt sich die allgemeine Lösung:


z = Ce − Dω0t sin  1 − D ²ω0 t + ϕ0  + A sin ( Ωt − ϕ )
 
ω


− Dω0t
z = Ce
sin (ω t + ϕ0 ) + A sin ( Ω t − ϕ )
C , ϕ0 sind Integrationskonstanten, Bestimmung aus den Randbedingungen.
Interpretation:
1.
z = Ce − Dω0t sin (ω t + ϕ0 ) + A sin ( Ω t − ϕ )
homogene Lösung. Dies ist der
Eigenschwingungsanteil mit abklingender Amplitude
2.
z = A sin ( Ωt − ϕ )
partikuläre Lösung (stationärer Anteil)
Der Eigenschwingungsanteil klingt ab gegen → 0 für t → ∞
Daher wird hier nur der statiönäre Anteil untersucht.
z = A sin ( Ωt − ϕ )
A und ϕ sind keine Integrationskonstanten, sie werden durch Einsetzen von A sin ( Ωt − ϕ ) in die
Differentialgleichung gefunden.
Bestimmung von A
Es ergibt sich mit dem Frequenzverhältnis
η=
A=
Ω
ω0
F0
k
=
Erregerfrequenz
ungedämpfte Eigenfrequenz
1
(1 −η )
2
2
+ 4 D 2η 2
Dies ist die Amplitude im stationären, eingeschwungenen Zustand.
Umformen führt zu:
Version 2.01 vom 09.03.2006
III.88
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
A=
VA =
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
z A0
(1 −η )
2 2
A
=
z A0
+ 4 D 2η 2
1
(1 −η )
2
2
Verstärkungs- oder Vergrößerungsfaktor
+ 4D η
2
2
mit zA0 als Anregungsamplitude am Federende (Fall A).
Bestimmung von ϕ:
tan ϕ =
2 Dη
1 −η 2
Die Dämpfung bewirkt somit ein Nacheilen der stationären Schwingung gegenüber der Erregung um den
Winkel ϕ.
Schwingungsdauer:
Tstationär =
Tstationär =
2π
Ω
Schwingungsdauer der stationären Schwingung
2π
ω0 1 − D
2
=
2π
ω
Schwingungsdauer des abklingenden Anteils
z
A
t
TG
Version 2.01 vom 09.03.2006
T
III.89
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
Abhängigkeiten des Verstärkungsfaktors VA (für Fall A, Anregung am Federende):
VA =
1
(1 −η )
2 2
+ 4 D 2η 2
Bestimmung des Maximums:
((
dVA
1
1 −η 2
=−
dη
2
dVA
=0
→
dη
(
)
)
2
+ 4D η
2
2
)
−
3
2
(
)
 2 1 − η 2 ( −2η ) + 8 D 2η 


η = ηmax
2 1 − η 2 ( −2η ) + 8 D 2η = 0
(
)
−4 1 − η 2 + 8 D 2 = 0
η = 1 − 2 D 2 = ηmax
Damit wird
1
VA max =
(
)
2
(
1 − 1 − 2 D 2  + 4 D 2 1 − 2 D 2


)
Und weiter
VA max =
VA max
oder
1
4 D + 4D − 8D
4
=
2
VA max
4
D2 =
1
2D 1 − D2
VA max
=
1
(1 −η )
2
2
max
2
+ 4 D 2η max
2
1 − η max
2
=
1
2
4
2
+ η max
+ 4 D 2ηmax
1 − 2ηmax
1
=
2
4
+ η max
+
1 − 2ηmax
=
VA max
=
=
(
)
2
2
ηmax
4 1 − ηmax
2
1
1 − 2η
2
max
+η
4
max
2
4
+ 2η max
− 2ηmax
1
4
1 − ηmax
Interpretation: Der maximale Vergrößerungsfaktor für Dämpfungsgrade D > 0 liegt unterhalb des
Frequenzverhältnisses
η =1
Abhängigkeiten des Phasenwinkels φ:
tan ϕ =
2D
1 −η 2
„Unterkritisch“:
„Überkritisch“:
η < 1; tan ϕ ≥ 0;
η > 1; tan ϕ < 0;
Version 2.01 vom 09.03.2006
0≤ϕ <
π
2
π
2
<ϕ ≤π
=
III.90
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
π1
D=0
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
D=0,1
D=0,25
D=0,5
D=0,75
3π/4
0,75
Phasenwinkel
ϕ
D=1
π/2
0,5
π/4
0,25
0
0
0,5
1
1,5
2
Frequenzverhältnis η
Version 2.01 vom 09.03.2006
2,5
3
III.91
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
6.4.2
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
Erregung am Dämpfungsgehäuse (Fall B)
Maßgebend für die Dämpfungskraft ist
die Relativgeschwindigkeit zwischen
k
Kolben und Gehäuse.
FK = kz
k
FD = b ( z − z B )
Somit wird die resultierende gesamte
m
Dämpfungskraft aus der Differenz
z , z
m
zwischen der Geschwindigkeit der
zB
Masse und des Dämpfungselementes
b
bestimmt:
mz
G = mg
b
zB
FD = b( z − zB ) = bz − bzB
Die Anregungskraft ist:
F0 sin Ωt = bzB
Dabei ist F0 = b zB 0 = b vB 0
Æ
zB =
Æ
vB 0 =
F0
b
F0
sin Ωt = vB 0 sin Ωt
b
Integration führt zu
vB
cos Ωt + C
Ω
vB
= z B 0 ist
Mit z B (0) = z B 0
und
Ω
Æ
z B = − z B 0 cos Ωt
zB = −
C =0
Differenzieren
zB = z B 0 Ω sin Ωt
F0 sin Ωt = bzB = bz B 0 Ω sin Ωt
F0 = bz B 0 Ω
Mit
b = 2 D km = 2 Dmω0 und
ω0 =
k
wird
m
F0 = 2 Dmω0 z B 0 Ω
F0
Ω
m
= 2 D ω0 z B 0 Ω = 2 Dz B 0
= 2 Dz B 0η
k
k
ω0
Für Fall A wurde die Lösung bestimmt. Für den stationären Zustand ergab sich: z = A sin ( Ωt − ϕ )
Die Konstante A bestimmte sich zu:
F
A
A = z A0VA = 0 VA mit
und
z A0
k
F
1
A= 0
2
k
N
1 − η 2 + 4 D 2η 2
z
VA =
A0
(
Version 2.01 vom 09.03.2006
)
III.92
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
Im Fall B wird für
A = zB 0
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
F0
= 2η z B 0 eingesetzt und es ergibt sich
k
2 Dη
(1 −η )
2 2
+ 4 D 2η 2
Und somit für den Verstärkungsfaktor:
VB =
A
=
zB 0
2 Dη
(1 −η )
2
2
+ 4 D 2η 2
Gegenüber Fall A ist der Faktor im Zähler hinzugekommen, während die Phase unverändert bleibt.
NB
Anschaulich kann man auch herleiten:
die Wirkung von der Anregungskraft auf die Feder bewirkt im Fall A eine periodische Kraft der
Amplitude F0 = z A0 k . An ihre Stelle tritt jetzt eine periodische Kraft am Dämpfer mit der Amplitude
F0 = bz B 0 Ω
Gleichsetzen ergibt
z A0 k = bz B 0 Ω = 2 D bmΩ
und nach Umformen
z A0 = bz B 0 Ω = 2 Dη
Für den Phasenwinkel zwischen erregter Schwingung z = A sin ( Ωt − ϕ ) und der Geschwindigkeit der
Erregerschwingung zB = z B 0 Ω sin Ωt bzw. Anregungskraft F = F0 sin Ωt gilt die analoge
Vorgehensweise:
tan ϕ =
2 Dη
1 −η 2
Für ηmax ergibt sich
η B max = 1
→
Version 2.01 vom 09.03.2006
VB max = 1
III.93
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
1,2
Verstärkungsfaktor V
B
1
D=1
0,8
D=0,5
0,6
D=0,25
0,4
D=0,1
0,2
D=0,02
D=0
0
0
0,5
1
1,5
2
Frequenzverhältnis η
Version 2.01 vom 09.03.2006
2,5
3
III.94
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
6.4.3
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
Erregung durch Massenkräfte (Fall C)
z.B. bewegtes Gehäuse
Wir untersuchen die Bewegung relativ zum Gehäuse
zC
(z.B. die Bewegung in einem Kfz relativ zum Kfz.)
z bestimmt sich:
z = zC + zrel
Die Koordinate
k
k z rel
k
b zrel
Das Gehäuse wird durch die Kraft F0 sin ωt zu
z , z
m
Bewegungen angeregt:
zC = zC 0 sin Ωt am Gehäuse.
z rel
m
Gleichgewichtsbedingung:
b
mz + bzrel + kzrel = 0
mzC + mzrel + bzrel + kzrel = 0
mzrel + bzrel + kzrel = −mzC
b
Bei sinusförmiger Anregung wird
zC = zC 0 sin Ωt
zC = − zC 0 Ω 2 sin Ωt
Und
mzrel + bzrel + kzrel = m zC 0 Ω 2 sin Ωt
Anregungskraft F
mzrel + bzrel + kzrel = F0 sin Ωt
F
b
k
zrel + zrel + zrel = 0 sin Ωt
m
m
m
Durch Vergleich mit gedämpfter freier Schwingung relativ zum Gehäuse und Fall A
mz + bz + kz = kz A = kz A0 sin Ωt
N
F0
setzen wir nun den Index rel
mzrel + bzrel + kzrel = F0 sin Ωt
F
zrel + 2 Dω0 zrel + ω02 zrel = 0 sin Ωt
m
Wie oben gesehen, können wir einsetzen:
F0
= zC 0 Ω 2
m
F m
Ω2
zC 0 Ω 2 = zC 0 2 = zC 0η 2
Bzw. 0 =
ω0
k
k
Somit können wir für den stationären Fall
z = A sin ( Ωt − ϕ )
Wieder einsetzen;
A=
F0
k
N
zA0
1
(1 −η )
2
Version 2.01 vom 09.03.2006
2
+ 4D η
2
2
= zC 0
η2
(1 −η )
2
2
und somit
+ 4D η
2
2
Gehäuse
mz
III.95
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
VC =
η2
A
=
zC 0
tan ϕ =
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
(1 −η )
2
2
+ 4 D 2η 2
2 Dη
1 −η 2
Für ηmax ergibt sich
1
ηmax =
Vmax =
1 − 2D2
1
2D 1 − D2
3
D=0
2,5
Verstärkungsfaktor
VC
D=0,25
2
1,5
D=0,5
1
D=0,707
D=1
0,5
0
0
0,5
1
1,5
2
Frequenzverhältnis η
Version 2.01 vom 09.03.2006
2,5
3
III.96
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
6.4.4
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
Umlaufende Unwucht (Fall D)
k
Ωt
mu
2
Zusätzlich zur Masse
Ωt
m
z D , zD
b
mu
2
z
m läuft eine Unwuchtmasse mu mit der Frequenz Ω um. Um vergleichbare
Verhältnisse wie bei den vorhergehenden Fällen zu haben definieren wir:
m = m + mu
Æ
ω0 =
k
m + mu
Gleichgewichtsbedingung für die umlaufenden Masse mu :
mit
Fz = mu zD
zD = z D 0 sin Ωt
zD = z D 0 Ω cos Ωt
− Fz
mu z D 0Ω 2
mu
zD = − zD 0 Ω sin Ωt
2
wird:
m
F0 sin Ω t
m u zD
Fz = − mu zD 0 Ω sin Ωt
Fz
zD
2
Ωt
Gleichgewicht für m:
Anregungskraft:
F0 sin Ωt = − Fz = mu zD 0Ω 2 sin Ωt
Und weiter
F0
m
mu m + mu
zD0Ω2
sin Ωt = u zD 0 Ω 2 =
k
k
m + mu
k
F0
mu Ω 2
mu
=
z =
η 2 zD 0
2 D0
k m + mu ω0
m + mu
Bestimmung des Schwerpunkts:
zS = z D 0
mu
m + mu
m
zS ist der Abstand des Gesamtschwerpunkts vom Schwerpunkt der
Masse
Æ
m und zugleich Drehpunkt der umlaufenden Masse mu.
F0
= zSη 2
k
Version 2.01 vom 09.03.2006
m
S
mu
zS
zD0
III.97
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
Damit liegen die gleichen Verhältnisse vor wie im Fall C (
VD =
A
=
zS
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
F0
= zC 0η 2 ), wenn wir zC0 durch zS ersetzen:
k
η2
(1 −η )
2
2
+ 4 D 2η 2
Zur Bestimmung der Kraft auf das Fundament infolge der umlaufenden Unwucht bestimmen wir
zunächst die Unwuchtkraft FU :
zD0
k
Ωt
Ωt
mu
mu
S m
zS
S
m
z
z
b
b
k
Die Bedingungen von oben werden so angepasst, dass sich das gesamte System am Fundament
abstützt. Ansonsten bleiben die Verhältnisse unverändert.
D.h. dieGesamtmasse ist nach wie vor:
m = m + mu
Und die Anregungskraft (Unwuchtkraft) ist wieder:
FU = mu z D 0 Ω 2 sin Ωt
Aus
zS = z D 0
Folgt:
mu
m + mu
z D 0 mu = zS ( m + mu ) = zS m
Eingesetzt:
FU = zS m ⋅ Ω 2 sin Ωt = FU 0 sin Ωt
(Unwuchtkraft)
z
FU 0
Die Verschiebung z ist
b
z = A sin ( Ωt − ϕ0 ) = VD zS sin ( Ωt − ϕ0 )
Und
z = VD zS Ω cos ( Ωt − ϕ0 )
k
Version 2.01 vom 09.03.2006
III.98
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
Damit wird die Kraft auf das Fundament
FFU = kz + bz
FFU = kVD zS sin ( Ωt − ϕ0 ) + bVD zS Ω cos ( Ωt − ϕ0 )
(Mit A sin α + B cos α = C sin (α + β ) ;
C = A² + B ² ;
tan β =
B
umformen zu):
A
FFU = VD zS k 2 + b 2 Ω 2 sin ( Ωt − ϕ0 +ψ )
tanψ =
Mit
bVD zS Ω bΩ
=
kVD zS
k
b = 2 D km = 2 D k ( m + mu )
b = 2 Dω0 ( m + mu )
tanψ =
Mit
2 Dω0 ( m + mu ) Ω
k
k
wird
m + mu
ω0 =
tanψ =
2 DΩ
ω0
tanψ = 2Dη
FFU 0
FU 0
Mit
VD zS k 2 + b 2 Ω 2
=
zS ( m + mu ) Ω 2
b = 2 Dω0 ( m + mu )
FFU 0
FU 0
=
VD
ω04 + 4 D 2ω02Ω 2
Ω2
= VD
=
VD
η2
= VD
Mit
FU 0
1 + 4D2
Ω2
Ω2
ω02
1 + 4 D 2η 2
ω04
1 + 4 D 2η 2
Ω2
η2
VD =
FFU 0
ω02
(1 −η )
2
=
2
+ 4 D 2η 2
1 + 4 D 2η 2
(1 −η )
2
Version 2.01 vom 09.03.2006
2
+ 4 D 2η 2
=
Amplitude der Fundamentkraft
Amplitude derUnwuchtkraft
Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik
Version 2.01 vom 09.03.2006
III.99
Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
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