Kinetik
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TECHNISCHE MECHANIK TEIL III: KINEMATIK UND KINETIK Prof. Dr.-Ing. Andreas Ettemeyer Prof. Dr.-Ing. Oskar Wallrapp Dr. Bernd Schäfer Fachhochschule München Fachbereich 06 - Feinwerk- und Mikrotechnik Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik III.2 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 Das vorliegende Manuskript wurde als Hilfsmittel für die Vorlesung Technische Mechanik erstellt. Eine – auch auszugsweise – Wiedergabe oder Veröffentlichung bedarf der Genehmigung der Verfasser. All copyrights are preserved. München, September 2005 Prof. Dr.-Ing. Andreas Ettemeyer, Prof. Dr.-Ing. Oskmar Wallrapp, Dr. Bernd Schäfer Inhaltsübersicht Technische Mechanik Teil I Statik starrer Körper – Stereostatik Teil II Statik elastischer Körper – Elastostatik Teil III Kinematik und Kinetik starrer Körper Version 2.01 vom 09.03.2006 Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik III.3 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 Inhalt 1. Einleitung ..................................................................................................................................... 6 2. Kinematik des Punktes ............................................................................................................... 7 2.1 2.2 2.3 Kinematik des Punktes in kartesischen Koordinaten.......................................................... 7 2.1.1 Ort des Punktes ..................................................................................................... 7 2.1.2 Geschwindigkeit des Punktes................................................................................ 7 2.1.3 Beschleunigung des Punktes ................................................................................ 8 Kinematik des Punktes in natürlichen Koordinaten ............................................................ 9 2.2.1 Ort des Punktes ..................................................................................................... 9 2.2.2 Geschwindigkeit des Punktes.............................................................................. 10 2.2.3 Beschleunigung des Punktes .............................................................................. 12 2.2.4 Begleitendes Dreibein.......................................................................................... 14 Kinematik des Punktes in (ebenen) Polarkoordinaten...................................................... 15 2.3.1 Ort des Punktes ................................................................................................... 15 2.3.2 Geschwindigkeit des Punktes.............................................................................. 15 2.3.3 Beschleunigung des Punktes .............................................................................. 16 2.4 Vergleichende Darstellung der Punktbewegungen............................................................... 18 3. Kinetik des Massepunktes ....................................................................................................... 19 3.1 Newton´sche Gesetze....................................................................................................... 19 3.1.1 1. Newton´sches Gesetz:..................................................................................... 19 3.1.2 2. Newton´sches Gesetz:..................................................................................... 19 3.1.3 Newton´sches Gesetz:......................................................................................... 19 3.1.4 Prinzip von d’Alembert: ............................................................................................ 20 3.2 3.2.1 Skalare Grundgleichungen .................................................................................. 21 3.2.2 Geradlinige Bewegung mit zeitabhängiger Kraft ................................................. 21 3.2.3 Geradlinige Bewegung mit konstanter Kraft ........................................................ 23 3.2.4 Geradlinige Bewegung mit ortsabhängiger Kraft................................................. 23 3.2.5 Geradlinige Bewegung mit geschwindigkeitsabhängiger Kraft ........................... 25 3.2.6 Krummlinige Bewegung bei konstanter Kraft ...................................................... 27 3.2.7 Krummlinige Bewegung bei veränderlicher Kraft ................................................ 31 3.3 Arbeit und Leistung ........................................................................................................... 33 3.4 Kinetische Energie ............................................................................................................ 35 3.5 Potential ............................................................................................................................ 36 3.6 Energiesatz ....................................................................................................................... 38 3.7 4. Anwendung der dynamischen Grundgleichung ................................................................ 21 3.6.1 Arbeitssatz der Mechanik .................................................................................... 38 3.6.2 Energieerhaltungssatz für konservative Systeme ............................................... 40 3.6.3 Arbeitssatz unter Berücksichtigung konservativer Kräfte .................................... 41 Impulssatz ......................................................................................................................... 43 Kinetik des Punkthaufens ........................................................................................................ 44 Version 2.01 vom 09.03.2006 Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik III.4 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 4.1 Massenmittelpunkt (Schwerpunkt).................................................................................... 44 4.2 Momentensatz................................................................................................................... 46 4.3 Energiesatz des Punkthaufens ......................................................................................... 46 4.4. Der zentrale Stoß .............................................................................................................. 47 4.4.1 Vollkommen elastischer Stoß .................................................................................. 47 4.4.2 Plastischer Stoß ....................................................................................................... 48 5. Der starre Körper....................................................................................................................... 50 5.1 Schwerpunkt des starren Körpers..................................................................................... 50 5.2 Massenträgheitsmomente................................................................................................. 51 5.2.1 Massenträgheitsmomente........................................................................................ 51 5.3 5.4 6. 5.2.2 Beispiele für die Berechnung............................................................................... 53 5.2.3 Beispiele für Massenträgheitsmomente .............................................................. 55 5.2.4 Der Satz von Steiner............................................................................................ 56 5.2.5 Trägheitsradius und reduzierte Masse ................................................................ 57 Kinematik des starren Körpers.......................................................................................... 58 5.3.1 Grundgleichung für die Geschwindigkeit............................................................. 58 5.3.2 Ebene Bewegung des starren Körpers................................................................ 58 5.3.3 Momentan- oder Geschwindigkeitspol für ebene Bewegung.............................. 59 5.3.4 Beispiele .............................................................................................................. 61 Kinetik des starren Körpers............................................................................................... 62 5.4.1 Translation ........................................................................................................... 62 5.4.2 Rotation................................................................................................................ 63 5.4.3 Kinetische Energie des starren Körpers: ............................................................. 65 5.4.4 Beispiele zu Kinetik des starren Körpers:............................................................ 66 5.4.4 D’Alembert-Kraft (Resultierende Trägheitskraft) ................................................. 70 Mechanische Schwingungen ................................................................................................... 71 6.1 Allgemeines....................................................................................................................... 71 6.2 Freie ungedämpfte Schwingungen ................................................................................... 71 6.3 6.4 6.2.1 Aufstellen der Differentialgleichung ..................................................................... 71 6.2.2 Allgemeine Lösung der Differentialgleichung: ..................................................... 72 6.2.3 Ableitung der Differentialgleichung aus dem Energiesatz:.................................. 74 6.2.4 Näherungsformel für Eigenfrequenz.................................................................... 74 6.2.5 Zusammengesetzte Federsysteme ..................................................................... 75 6.2.6 Biegeschwingungen............................................................................................. 76 6.2.7 Drehschwingungen .............................................................................................. 77 Gedämpfte Schwingungen (Eigenschwingungen)............................................................ 79 6.3.1 Geschwindigkeitsproportionale Dämpfung.......................................................... 79 6.3.2 Aperiodischer Grenzfall ....................................................................................... 81 6.3.3 Periodische Bewegung ........................................................................................ 82 Erzwungene gedämpfte Schwingungen ........................................................................... 86 Version 2.01 vom 09.03.2006 Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik III.5 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 6.4.1 Erregung am Federende (Fall A)......................................................................... 86 6.4.2 Erregung am Dämpfungsgehäuse (Fall B) .......................................................... 91 6.4.3 Erregung durch Massenkräfte (Fall C) ................................................................ 94 6.4.4 Umlaufende Unwucht (Fall D) ............................................................................. 96 Version 2.01 vom 09.03.2006 III.6 Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 Kinematik und Kinetik 1. Einleitung Kinematik ist die Lehre von den Bewegungen ohne Betrachtung der Kräfte Kinetik ist die Lehre von den Zusammenhängen zwischen Bewegungen und Kräften. Bisher waren die am Körper angreifenden Kräfte und Momente im Gleichgewicht. Daher waren die betrachteten Körper in Ruhe oder mindestens in gleichförmiger Bewegung. Nun sind die Kräfte und Momente nicht im Gleichgewicht und es treten ungleichförmige Bewegungen (Beschleunigungen) auf. Mechanik Kinematik (Lehre von den Bewegungen) Dynamik (Lehre von den Kräften) Statik (Lehre vom Gleichgewicht an ruhenden Körpern) Version 2.01 vom 09.03.2006 Kinetik (Lehre vom Zusammenwirken von Kräften und Bewegungen) Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik III.7 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 2. Kinematik des Punktes 2.1 Kinematik des Punktes in kartesischen Koordinaten Als Massenpunkt bezeichnen wir einen Körper mit endlicher Masse aber unendlich kleiner Ausdehnung. D.h. die Ausdehnung des Körpers ist klein im Verhältnis zur Bahnabmessung. 2.1.1 Ort des Punktes Bahn Die Lage des Punktes kann durch ein Bezugssystem und den Ortsvektor beschrieben werden. In kartesischen Koordinaten ergibt sich G G G G r (t ) = x(t ) ex + y (t ) ey + z (t ) ez G G G mit ex , e y , ez = Einheitsvektoren in den G r (t1 ) Richtungen des Koordinatensystems. z G r (t2 ) G r (t ) y x O 2.1.2 Geschwindigkeit des Punktes In einem Zeitintervall ∆t bewegt sich der Punkt auf seiner P1 Bahn vom Ort P1 nach P2. Dadurch ändert sich der Ortsvektor G ∆r G um ∆r . Wählen wir das Zeitintervall sehr kurz (-> 0), so G r ergibt sich die Geschwindigkeit: G G ∆r (t ) dr G G v = lim = =r ∆t → 0 ∆t dt In Koordinatenschreibweise: G G dr G G G v= = x (t ) ex + y (t ) ey + z (t ) ez dt P2 G G r + ∆r z x O y G Die Geschwindigkeit v zeigt in Richtung der Kurventangente in P1. Merke: der Punkt über der Variablen bezeichnet die Ableitung nach der Zeit ! Für G v = konst. -> G v = konst. -> gleichförmige, geradlinige Bewegung allgemeine gleichförmige Bewegung G Berechnung von v : dx 2 dy 2 dz 2 1 ds G 2 2 2 v = vx + v y + vz = x ² + y ² + z ² = + 2 + 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 = 2 dt dt dt dt dt ds G Die Dimension von v ist [m/s], s(t) ist die Bogenlänge (siehe Kap. 2.2). Version 2.01 vom 09.03.2006 III.8 Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 2.1.3 Beschleunigung des Punktes G Die Beschleunigung a eines Punktes ist ein Maß für die zeitliche Bahn Änderung seiner Geschwindigkeit. Wenn sich die Geschwindigkeit im Zeitintervall ∆t ändert, ergibt G sich der Beschleunigungsvektor a : G v (t ) G r (t ) G r (t + ∆t ) G G ∆v dv G G lim = =v =a ∆t →0 dt dt G v (t + ∆t ) G a fällt im Allgemeinen nicht mit der Tangentenrichtung der G Bewegung zusammen, sondern mit der Richtung von ∆v . G a = konst. : G a=0 → G a = konst. G v = konst. : G v (t + ∆t ) G v (t ) ∆v gleichmäßig beschleunigte, geradlinige Bewegung gleichmäßige, geradlinige Bewegung G allgemeine gleichförmige Bewegung a ≠ 0 G Die Dimension von a ist [m/s²] G G G G G a (t ) = v (t ) = ex ax (t ) + ey ay (t ) + ez az (t ) G G G = ex vx (t ) + ey v y (t ) + ez vz (t ) G G G x(t ) + ey y (t ) + ez z (t ) = ex Oder als Spaltenvektor: x ax vx G G G a = a y = v = v y = r = y a v z z z Für den Betrag erhält man: G a = ax2 + a y2 + az2 = vx2 + v y2 + vz2 = xx2 + y y2 + z z2 Allgemein gilt: Aus den Beschleunigungs- bzw. Geschwindigkeitskomponenten können die Bahnkurven x = x(t ); y = y (t ); z = z (t ); bestimmt werden. Man benötigt dazu zusätzlich noch die Anfangsbedingungen. Umgekehrt erhält man aus den Bahnkurven die Beschleunigungskomponenten. Version 2.01 vom 09.03.2006 Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik III.9 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 2.2 Kinematik des Punktes in natürlichen Koordinaten 2.2.1 Ort des Punktes Eine andere Möglichkeit der Darstellung der Bewegung des Punktes bezieht sich auf die Bahnkurve des Punktes. G Wenn r (t ) sich über der Zeit ändert, bewegt sich der Punkt auf einer Bahn. Die Bahnlänge oder Bogenlänge s beschreibt die zurückgelegte Strecke des Punktes auf der Bahn. Damit kann die Bahnkurve auch durch eine G Funktion r ( s ) beschrieben werden. Die Bewegung des Punktes auf seiner Bahn kann man in einem Weg-Zeit-Diagramm (s-t-Diagramm) darstellen: Version 2.01 vom 09.03.2006 III.10 Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik 2.2.2 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 Geschwindigkeit des Punktes Die Geschwindigkeit des Punktes wird G G G dr dr ds v= = dt ds dt G dr Was ist ? ds s P G v (t ) G et G ∆r P2 G r G dr ( s ) dx G dy G dz G G G G = ex + ey + ez = x′ex + y′ey + z′ez ds ds ds ds G r (t + ∆t ) wobei x' = dx ; ds y'= dy ; ds z'= dz ; ds Aus der Definition der Bogenlänge: ds = ( dx ) + ( dy ) + ( dz ) 2 2 2 und 2 2 2 dx dy dz 1 = + + = x´2 + y´2 + z´2 ds ds ds folgt: G G dr ist ein Einheitsvektor, der am Punkt P die Tangentenrichtung zur Bahnkurve beschreibt. et = ds Und somit G G ds G v = et = v(t ) et (t ) dt Mit v(t ) = ds = s dt (Bahngeschwindigkeit) Die Bahngeschwindigkeit weist immer in tangentialer Richtung an die Bahnkurve. Ihr Betrag ist gleich dem in kartesischen Koordinaten berechneten (siehe oben): 2 2 2 ds G dx dy dz v (t ) = v(t ) = = + + = x ² + y ² + z ² dt dt dt dt Version 2.01 vom 09.03.2006 Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik III.11 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 Nebenbemerkung: Mit G G dr G G G v= = x (t )ex + y (t )ey + z (t )ez dt folgt der Zusammenhang zwischen dem Tangentenvektor und der Geschwindigkeit im kartesischen Koordinatensystem: G G G x + ye y + ze z vG G xe et = = G v x ² + y ² + z ² Analog der Weg- Zeit Darstellung, kann auch die Geschwindigkeit über der Zeit dargestellt werden. Da die Geschwindigkeit die Ableitung des Weges ist, weist sie an den Extrema der Wegkurve Nullstellen auf. Das Geschwindigkeits-Weg Diagramm ergibt die sog. Phasenkurve. Sie wird im Uhrzeigersinn durchlaufen und schneidet die s-Achse senkrecht (v=0 Æ s = Extremwert). Version 2.01 vom 09.03.2006 III.12 Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik 2.2.3 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 Beschleunigung des Punktes z s P G et G en G ∆r P2 M G r G r (t + ∆ t ) y x Die Beschleunigung berechnet sich zu: G det d G d G G G a (t ) = ( v ) = ( s ⋅ et ) = s ⋅ et + s ⋅ dt dt dt Berechnung der Ableitung des Tangenteneinheitsvektors: Für ein kurzes Bogenstück der Bahn kann die G et ( s ) Bahn durch eine Bewegung auf einem Kreis um einen lokalen Mittelpunkt M angesehen werden. Dies ist der sog. Krümmungskreis oder ρ ( s) Schmiegekreis. Seine Entstehung kann man sich ∆α ρ ( s + ∆s) dadurch vorstellen, dass drei Punkte auf der Bahn definiert werden, die man auf der Bahn zueinander hinschiebt. Durch diese 3 Punkte ist die sog. Schmiegeebene definiert und in ihr der Schmiegekreis mit Radius ρ = Krümmungskreis. Version 2.01 vom 09.03.2006 ∆s M G et ( s + ∆s ) III.13 Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 Wir bilden G G G ∆et = et ( s + ∆s ) − et ( s ) und erkennen für kleine Winkel: G G ∆et steht senkrecht auf et ( s) und weist in Richtung Mittelpunkt des Schmiegekreises. Der Krümmungsradius bleibt annähernd konstant. ∆α G et ( s ) ρ ( s) ≈ ρ ( s + ∆s ) = ρ Damit gilt näherungsweise: G et ( s + ∆s ) G G G G ∆et = ∆α ⋅ et ⋅ en = ∆α ⋅ en N =1 = Länge G Dabei ist en der Normalenvektor in Richtung des Krümmungskreismittelpunkts) ∆α = ∆s ρ G ∆s G ∆et = ⋅e ρ n G ∆et 1 G = ⋅ en ∆s ρ Für ∆s → ds G G det en = ds ρ Somit wird die Beschleunigung im natürlichen Koordinatensystem: G G det det ds G G G G G = = a (t ) = s ⋅ et + s ⋅ s ⋅ et + s ⋅ s ⋅ et + s2 en dt ds N dt N G en G a (t ) = G s ⋅ et N Tangential − beschleunigung G e + s 2 ⋅ n ρ N Normal − beschleunigung G G v2 G a (t ) = v ⋅ et + ⋅ en ρ G G G a (t ) = at + an Version 2.01 vom 09.03.2006 ρ s G ∆et Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik III.14 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 Die Beschleunigung lässt sich im natürlichen Koordinatensystem in eine Beschleunigung tangential zur Bewegungsrichtung und eine radial auf den momentanen Krümmungsmittelpunkt gerichtete Beschleunigung zerlegen. at (t ) = an (t ) = dv = s (t ) dt v2 ρ Tangentialbeschleunigung Normalbeschleunigung Die Darstellung im Beschleunigungs-Zeit-Diagramm weist entsprechend Nulldurchgänge bei den Extrema der Geschwindigkeit auf. at 2.2.4 Begleitendes Dreibein G eb Für Geschwindigkeit und Beschleunigung wurden für jeden Punkt der Bahn eindeutige Einheitsvektoren in G G Tangentialrichtung et und in Normalenrichtung en definiert. s P eG n Man erhält: G G G eb = et × en Binomialvektor G G G et , en , eb bilden ein „begleitendes Dreibein“, auch natürliche Koordinaten. Dieses ist für jeden Bahnpunkt anders. Die Binomiale steht senkrecht auf Geschwindigkeit und Beschleunigung. Version 2.01 vom 09.03.2006 G et z x G r y III.15 Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 2.3 Kinematik des Punktes in (ebenen) Polarkoordinaten In vielen praktischen Fällen bietet es sich auch an, die Bewegung des Punktes in Polarkoordinaten zu beschreiben. 2.3.1 Ort des Punktes Definition der Ortskoordinaten in Polarkoordinaten: G G r (t ) = r (t ) ⋅ er G G ϕ = ϕ (t ); er = er (ϕ ); G G er = Einheitsvektor in Richtung r (t ) (wachsende Zeit) G G G eϕ = Einheitsvektor senkrecht zu r (t ) bzw. er im positiven Richtungssinn des Winkels 2.3.2 G eϕ G er G r ϕ 0 ϕ Geschwindigkeit des Punktes G G r (t ) = r (t ) er folgt: G G G r (t ) = r(t ) er + r (t ) er G Bestimmung von er : G ∆eϕ Aus G eϕ ϕ Aus der Geometriebetrachtung ergibt sich G G G ∆er sin(∆ϕ eϕ ) = ∆ϕ eϕ = G er ∆ϕ Und somit: G G G G ∆er = er ∆ϕ eϕ = ∆ϕ eϕ N 1 Nach Grenzübergang: G G der = dϕ eϕ Æ G der dϕ G = eϕ dt dt Æ G G er = ϕ eϕ Analog ergibt sich für eϕ (Achtung: negatives Vorzeichen): G G ∆eϕ −∆ϕ ⋅ er = G eϕ Æ G G deϕ = − dϕ er Version 2.01 vom 09.03.2006 G G G G ∆eϕ = − eϕ ⋅ ∆ϕ ⋅ er = −∆ϕ ⋅ er N 1 Nach Grenzübergang: Æ G deϕ dt =− dϕ G er dt G ∆er Æ G G eϕ = −ϕ er 0 G er III.16 Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 Somit ergibt sich für die Geschwindigkeit in Polarkoordinaten: G G G v (t ) = r(t ) ⋅ er + r (t ) ⋅ ϕ (t ) ⋅ eϕ oder G G G v (t ) = vr ⋅ er + vu ⋅ eϕ mit und vr = r vu = r ⋅ ϕ Radialkomponente der Geschwindigkeit Umfangskomponente der Geschwindigkeit Beispiel: Bewegung auf Kreisbahn: G r = konst. = r G G v (t ) = r ⋅ ϕ ⋅ eϕ → r(t ) = 0 ϕ = ω G G v (t ) = r ⋅ ω ⋅ eϕ bzw. vu = r ⋅ ω und vr = 0 Mit Winkelgeschwindigkeit 2.3.3 Mit Beschleunigung des Punktes G dv G G a (t ) = = v (t ) dt G G G v (t ) = r(t ) ⋅ er + r (t ) ⋅ ϕ ⋅ eϕ Oder vereinfacht geschrieben G G G v = r ⋅ er + r ⋅ ϕ ⋅ eϕ G G G G er = eϕ ⋅ ϕ eϕ = −er ⋅ ϕ (siehe oben) Daraus folgt: G G G G G G a = a (t ) = r ⋅ er + r ⋅ er + (r ⋅ ϕ + r ⋅ ϕ)eϕ + r ⋅ ϕ ⋅ eϕ NG NG ϕ ⋅eϕ G G G G G G G a = a (t ) = rer + rϕ eϕ + rϕ eϕ + rϕeϕ − rϕ ²er −ϕ er Coriolisbeschleunigung ( bei Re lativbewegung ) P G G ( r − rϕ ²) er + ( 2rϕ + rϕ) eϕ G G a = a (t ) = Radialkomponente ar Umfangskomponente au G G G a = ar + au Im Allgemeinen gilt: Radialkomponente ≠ Normalkomponente (natürliche Koordinaten) Umfangskomponente ≠ Tangentialkomponente (natürliche Koordinaten) Version 2.01 vom 09.03.2006 III.17 Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 Beispiel: Bewegung auf Kreisbahn um Mittelpunkt (Krümmungskreis) r = konst. r = r =0 G G v (t ) = r ⋅ ϕ ⋅ eϕ Winkelgeschwindigkeit: G G G ² er + rϕ eϕ a (t ) = − r ϕ N N In skalaren Größen: In skalaren Größen: ar au an = s ρ = v 2 ρ = rω 2 2 ω ϕ = ω = α Winkelbeschleunigung: In natürlichen Koordinaten mit 2 v = r ⋅ ϕ = r ⋅ ω α r=ρ = rω 2 = rϕ 2 ρ at = s = v = rϕ = rω = rα at = au ar = − an Die Normalbeschleunigung (Zentripetalbeschleunigung) an ist zum Kreismittelpunkt hin gerichtet, bzw. bei Kurven zum Krümmungsmittelpunkt. Daher gilt analog zur Bewegung auf der Kreisbahn auch für Bewegungen auf Bahnkurven mit r = (Krümmungsmittelpunkt): an = ρω ² an = v = ρω ω= v ρ v² ρ Die Tangentialbeschleunigung wirkt in Richtung der Bahntangente: at = dv d ² s = dt dt ² Version 2.01 vom 09.03.2006 ρ III.18 Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 2.4 Vergleichende Darstellung der Punktbewegungen Geschwindigkeitskomponenten y ρ vr G r vy vu ϕ Krümmungsmittelpunkt vx G vt v x Beschleunigungskomponenten y G r an aG ay ar au ax at ρ Krümmungsmittelpunkt ϕ Kartesisches Koordinatensystem: Natürliches Koordinatensystem: Hierbei: Ebenes Polarkoordinatensystem: Version 2.01 vom 09.03.2006 G v = ( vx , v y , vz ) ; G v = ( vt , 0, 0 ) ; x G a = ( ax , a y , az ) ; G a = ( at , an , 0 ) ; at < 0 Abbremsen at > 0 Anfahren an = 0 für geradlinige Bewegung ab = 0 immer G G v = ( vr , vu ) ; a = ( ar , au ) ; at = 0 Kreisbahn Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik III.19 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 3. Kinetik des Massepunktes Die Kinetik verknüpft die Bewegung von Körpern mit den dabei wirkenden Kräften. Dazu ist die Berücksichtigung der Masse erforderlich. Wir führen den Begriff des Massepunktes ein. Er weist eine endliche Masse mit unendlich kleiner Ausdehnung auf. Diese Annahme ist immer dann gegeben, wenn die Ausdehnung des Körpers sehr klein ist im Verhältnis zu seiner Bahn (Bsp. Erde auf ihrer Umlaufbahn). 3.1 Newton´sche Gesetze 3.1.1 1. Newton´sches Gesetz: Actio = Reactio (bereits bekannt aus der Stereostatik). Kinetische Probleme können mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen der Statik gelöst werden. 3.1.2 2. Newton´sches Gesetz: (aus der Stereostatik) Wirkt auf einen Körper keine Kraft, so bleibt sein Impuls konstant. G G p = m⋅v G Mit m = (träge) Masse und v = Geschwindigkeit bez. Inertialsystem G G G Wenn ∑ Fi = 0 → p = mv = konst. Impuls: Oder: Wirken auf einen Massepunkt keine Kräfte, so bleibt er im Zustand der Ruhe oder der gleichförmig (= mit konstanter Geschwindigkeit) geradlinigen Bewegung. 3.1.3 Newton´sches Gesetz: Die auf den Massepunkt wirkende Kraft ist gleich der zeitlichen Änderung des Impulses. G G dpG d ( mv ) ∑ Fi = dt = dt G G G G dv Mit m = konst. und ∑ Fi = F ergibt sich mit a = (zeitl. Ableitung im Inertialsystem): dt Version 2.01 vom 09.03.2006 III.20 Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik G G F = m⋅a Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 dynamische Grundgleichung g . Es gilt: G G G = m ⋅ g Gewichtskraft, verursacht durch Massenanziehung -> schwere Masse). Sonderfall: Die durch das Gewicht erzeugte Beschleunigung ist Da g für alle Körper gleich ist, sind träge Masse und schwere Masse gleich. 3.1.4 Prinzip von d’Alembert: G F G m a G ma G G G F mit a beschleunigten Massepunkt m steht die äußere Kraft F mit der G Trägheitskraft (d’Alembert-Kraft) ma im Gleichgewicht. Die Trägheitskraft weist immer entgegen der An einem durch eine Kraft Beschleunigungsrichtung. Es gilt: G G F = m⋅a Version 2.01 vom 09.03.2006 Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik III.21 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 3.2 Anwendung der dynamischen Grundgleichung 3.2.1 Skalare Grundgleichungen G G Aus der dynamischen Grundgleichung F = m ⋅ a erhält man drei skalare Gleichungen: ∑ Fix = Fx = max = mx; ∑F ∑F iy = Fy = ma y = my; iz = Fz = maz = mz; Aus diesen Bewegungsdifferentialgleichungen und den Anfangsbedingungen erhält man Gleichungen für endliche Bewegungsabläufe. G G r = r (t ); x = x(t ) y = y (t ) z = z (t ) G Die Kraft F kann abhängig sein von Ort, Zeit, Geschwindigkeit. Somit ist keine allgemeine Lösung möglich. Im folgenden betrachten wir einige Sonderfällen für geradlinige Bewegung: a = ax ; G r = r = x = s; v = vx ; 3.2.2 Geradlinige Bewegung mit zeitabhängiger Kraft Gesucht ist x(t ) F = F (t ); F (t ) dv a(t ) = F (t ) = ma(t ) Æ = =a m dt v t t dv v = =a Æ dv = a ⋅ dt Æ v − v = 0 ∫ t∫ ∫ a ⋅ dt dt v0 t 0 0 t v = ∫ a ⋅ dt + v0 t0 t Mit ∫ a ⋅ dt = v (t ) wird v = v (t ) + v0 = t0 Aus wird dx =v dt x t t x0 t0 t0 Æ dx = v dt und somit ∫ dx = ∫ vdt = ∫ ( v (t ) + v0 ) dt t x = ∫ v (t )dt + v0 (t − t0 ) + x0 t0 Hierbei wählt man t0 meist 0. Version 2.01 vom 09.03.2006 dx dt Æ III.22 Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 Beispiel: Sinusförmige Kraft x(t ), v(t ), a(t ) F (t ) = F0 sin ωt F (t ) = ma(t ) = F0 sin ωt dv F0 = sin ωt = aˆ sin ωt a= dt m t F F v = ∫ 0 sin ωt dt = − 0 cos ωt + C1 m mω F vˆ = 0 Mit mω folgt v = −vˆ cos ωt + C1 Für t = 0 → v = vˆ → C1 = 0 F dx v= = − 0 cos ωt = −vˆ cos ωt dt mω Gesucht sind: dx = v dt = − mit aˆ = F0 ist Amplitude der Beschleunigung m mit vˆ = F0 ist Amplitude der Geschwindigkeit mω mit xˆ = F0 ist Wegamplitude mω 2 F0 cos ωt dt mω Integration t F0 F cos ωt dt = − 0 2 sin ωt + C2 mω mω Für t = 0 → x=0 → C2 = 0 F 1 x = − 0 2 sin ωt = − xˆ sin ωt mω x = ∫− a = aˆ sin ωt 1 0,8 x = − xˆ sin ωt 0,6 a F/m v aˆ x vˆ 0,4 0,2 0 0 0,5 xˆ -0,4 1 π 2 -0,6 v = −vˆ cos ωt -0,2 π1 -0,8 -1 ω t wt [Pi] Version 2.01 vom 09.03.2006 31,5 π 2 22π III.23 Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 3.2.3 Geradlinige Bewegung mit konstanter Kraft Gesucht: x (t ) , x(v ) G G F = konst. → a = konst. = ax (Koordinatensystem so gelegt, Kraft in x-Richtung weist) v − v0 v − v0 v = a t + v0 ; a= t= ; ; t a at ² x= + v0t + x0 2 Für x0 = 0 : (v − v0 )t ² 1 1 1 2 2 (v − v0 ) x= + v0 t = (v − v0 )t + v0 t = (v + v0 )t = 2t 2 2 2a 3.2.4 Geradlinige Bewegung mit ortsabhängiger Kraft (z.B: Gravitationskraft) - Gesucht ist Geschwindigkeit bei x - Zeitpunkt, bei dem der Punkt bei x ist F = F ( x) F ( x) → a = a( x) F ( x) a ( x) = m dv( x) a ( x) = ⋅dx dt dx a( x)dx = dv( x) dt x v ∫ a( x)dx = ∫ v( x)dv( x) = x0 v0 x v ²( x) v0 ² − 2 2 ∫ a( x)dx = x0 v ²( x) 2 v v0 x v = v( x) = 2 ∫ a( x)dx + v0 ² x0 v( x) = x t= dx dt → dt = dx v( x) dx ∫ v( x) + t 0 x0 Wenn möglich, kann auch die Umkehrfunktion gebildet werden: x = x(t ) v = v( x(t )) = v(t ) a = a ( x(t )) = a(t ) F = F ( x(t )) = F (t ) Version 2.01 vom 09.03.2006 x, v , a ma III.24 Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik Beispiel : Gesucht Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 lineare Federkraft x(t ) k m Mit Federkonstante gilt: x, x, x F = kx Mit oder k x m x=− mx = −kx Æ F k (siehe Kap. 6, Eigenfreqenz ω0 ) = ω02 m a( x) = x = −ω02 x x + ω02 x = 0 kx Dies die Differentialgleichung für freie ungedämpfte Schwingungen. x = −ω02 x : Integration von a ( x) = x Linke Seite: v ² v0 ² − (siehe vorige Seite) 2 2 ∫ a( x)dx = x0 x Rechte Seite ∫ −ω0 xdx = − ω02 2 x0 Und damit: (x − x02 2 v 2 − v02 ω02 2 2 =− x − x0 2 2 ( ( ) ) v = v02 − ω02 x 2 − x02 = dt = dx ( v02 − ω02 x 2 − x02 v02 Mit xˆ 2 = wird t − t0 = ) dx dt x dx = ω0 v02 ω 2 0 Æ t − t0 = x ∫ω x0 0 dx xˆ − x 2 2 = 1 ω0 arcsin x xˆ x x0 x 1 x arcsin − arcsin 0 ω0 xˆ xˆ Mit t0 = 0 folgt daraus in Umkehrung: x(t ) = xˆ sin (ω0t + ϕ ) mit Phasenverschiebung ϕ: sin ϕ = Man sieht, dass xˆ = v02 ω Version 2.01 vom 09.03.2006 2 0 ∫ x0 + x02 − x 2 + x02 ω02 t = t0 + ) xˆ0 xˆ + x02 die Amplitude der Schwingung ist. dx ω0 v02 ω 2 0 + x02 − x 2 ma = mx III.25 Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik 3.2.5 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 Geradlinige Bewegung mit geschwindigkeitsabhängiger Kraft (z.B. Bewegung in Flüssigkeit) dv dt dv F (v) = Widerstandskraft F (v ) = m dt m m dv dt = dv = dv = F (v ) m a (v ) a (v ) F = F (v) = ma t a = a (v ) = v dv ∫t dt = v∫ a(v) 0 0 t = t (v ) t x = ∫ v(t )dt + x0 t0 Version 2.01 vom 09.03.2006 v Æ dv + t0 a (v ) v0 t=∫ Umkehrfunktion v = v(t ) = dx dt III.26 Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik Beispiel: Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 Freier Fall mit Luftwiderstand F (v ) = k ⋅ v ² k = Widerstandsbeiwert ma F (v ) N = mg N − N d´AlembertKraft Gewichtskraft ma = mg − kv ² t ma Luftwiderstandskraft m Æ dv = mg − kv ² dt x v m ⋅ dv mg − kv ² v0 ∫ dt = ∫ t0 h v v m dv m = t − t0 = − ∫ k v0 v ² − mg k k Für F (v) = kv ² 1 arctanh mg k v mg k mg v, a v0 t0 = 0 und v0 = 0 kann man nach v auflösen: t Æ gk = arctanh m v mg k 2 y = tanh(x) 1 gk g ⋅m ⋅ tanh t k m v= y 0 -5 -3 -1 1 3 x 5 -1 -2 Für t → ∞ wird v∞ = dv gm bzw. =0 dt k 10 Æ 8 v = konst. = v∞ Damit folgt von oben: 7 6 ma = 0 = mg − kv 2 ∞ 5 Æ 4 3 mg v∞ = k x 1 0 gk g ⋅m x = ∫ vdt + x0 = ∫ ⋅ tanh ⋅ t dt + x0 k m t0 t0 t -5 t0 = 0 -3 -1 y = ln|cosh(x)| 9 x0 = 0 5 7 6 5 4 3 v∞ Version 2.01 vom 09.03.2006 3 y 8 gm m gk x= ln cosh t k g k m N m gk x = ln cosh t k m 1 10 v∞ Für 2 y = cosh(x) t Und somit y 9 2 x 1 0 -10 -5 0 5 10 Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik 3.2.6 III.27 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 Krummlinige Bewegung bei konstanter Kraft Auf einen Massepunkt m wirke die konstante Kraft G G Aus F = ma folgt G G F dt Damit dv = m G G 1 G dv a= F= m dt G G G F . Gesucht sind v (t ) und r (t ) . G v G r Durch Integration erhält man t 1 G 1 G G v = ∫ F dt = F t + C1 m m 0 G G Mit v (0) = v0 folgt 1 G G G v (t ) = Ft + v0 m G G Und weiter mit dr = v dt t 1 G2 G G 1 G G r = ∫ Ft + v0 dt = Ft + v0t + C2 2m m G G Mit r (0) = r0 folgt 1 G2 G G G r (t ) = r0 + v0t + Ft 2m Version 2.01 vom 09.03.2006 G F F 1 F t² 2m III.28 Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 Beispiel: schiefer Wurf Die Punktmasse m wird zur Zeit t=0 aus x=0, z=z0 unter dem Winkel α mit der Anfangsgeschwindigkeit v0 geworfen. Gesucht sind Bahn, maximale Höhe, Wurfweite, Wurfdauer und Auftreffgeschwindigkeit. Ermittlung der Bahnkurve: 1 G2 G G G r = r0 + v0t + Ft 2m G G G Durch Einsetzen von F = 0 ⋅ ex − mg ⋅ ez und den Randbedingungen ergibt sich 1 0 2 G x 0 v cos α r = = + 0 t + t z z0 v0 sin α 2m −mg Oder Entwickeln aus der Beschleunigung: G G ma = mg G a 0 a = x= az − g Integration liefert: G v 0 v cos α v = 0x + t = 0 v0 z − g v0 sin α − gt Weitere Integration liefert: v0 cos α ⋅ t + 0 G x = 0 + v0 cos α t + 1 0 t 2 2 r = = gt + z0 z0 v0 sin α 2m − mg z v0 sin α ⋅ t − 2 bzw. x = v0t cos α z = z0 + v0t sin α − g 2 t 2 Wir bestimmen die Bahnkurve x(z) durch Ersetzen von t Aus x-Richtung: x = v0t cos α Æ t= x v0 cos α Eingesetzt in z-Richtung: x g x2 z = z0 + v0 sin α − 2 v02 cos 2 α v0 cos α Bahnkurve: z = z0 + x tan α − Version 2.01 vom 09.03.2006 g x2 2 v02 cos 2 α (Parabel) III.29 Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 Bestimmen der maximalen Höhe zmax : bei t= th muss z = 0 z = v0 sin α − th = einsetzen in g 2th = v0 sin α − gth = 0 2 v0 sin α g z = z0 + v0t sin α − g 2 t 2 zmax = z (t = th ) = z0 + v0 sin α zmax v0 g v02 sin α − sin 2 α 2 g 2 g v02 = z0 + sin 2 α 2g Bestimmen der Wurfweite xw : Wir erreicht zur Zeit t w (Wurfzeit) wird erreicht, wenn z (t w ) = 0 . Damit: z (tw ) = 0 = z0 + v0tw sin α − Wurfzeit: g 2 tw 2 v0 sin α v02 sin 2 α z v sin α tw = ± +2 0 = 0 2 g g g g 2v0 sin α = 2th g tw eingesetzt in x = v0t cos α ergibt die Wurfweite: Für z0 = 0 wird 2 gz0 1 + 1 + 2 2 v0 sin α tw = v02 sin α cos α v04 sin 2 α ⋅ cos 2 α v02 cos 2 α z0 xw = v0tw cos α = + +2 g g2 g Für z0 = 0 wird xw = v02 sin 2α v 4 sin 2α z v 2 cos 2 α v02 sin 2α + 0 2 +2 0 0 = 2g 4g g 2g xw = v02 sin 2α 2 gz0 1 + 1 + 2 2 2 g v0 sin α xw = v02 sin 2α g G vxw : vzw Und die Auftreffgeschwindigkeit vw = x = v0 cos α Æ x (tw ) = vxw = v0 cos α Version 2.01 vom 09.03.2006 2 gz0 1 + 1 + 2 2 v0 sin α III.30 Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 z = v0 sin α − gt = 0 Æ v sin α v 2 sin 2 α z vzw = z (tw ) = v0 sin α − g 0 + 0 2 +2 0 g g g vzw = v0 sin α 1 + 2 gz0 v sin 2 α 2 0 vzw = v02 sin 2 α + 2 g z0 Achtung: das Vorzeichen von vw ist negativ (fällt nach unten, entgegen der z-Richtung) 2 2 vw = vxw + vzw = v02 cos 2 α + v02 sin 2 α + 2 gz0 vw = v02 + 2 gz0 Für z0 = 0 wird vw = v0 Version 2.01 vom 09.03.2006 III.31 Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik 3.2.7 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 Krummlinige Bewegung bei veränderlicher Kraft eϕ Beispiel: Ein Satellit der Masse m fliegt um die Erde mit der Masse M. m Erdradius R = 6370 km; Erdmasse M = 5,97 *1024 kg r Gravitationskonstante g = 6,673*10-11 Nm²/kg² ϕ M Die auf die Punktmasse ausgeübte Gravitationskraft ist abhängig vom Abstand r zwischen Erdmittelpunkt und Satellit. R G mM FG = γ r² Für die Behandlung bieten sich Polarkoordinaten oder natürliche Koordinaten an: G G ma = FG G M G FG −γ a= = r² m 0 --> Aus Kap. 2.3.3 (Beschleunigung des Punktes in Polarkoordinaten): M r − rϕ 2 −γ G ar a = = r² = au rϕ + 2rϕ 0 Wichtiger Sonderfall: Bewegung auf Kreisbahn, d.h.: r = konst. r = r =0 Damit werden obige Gleichungen: au = rϕ + 2rϕ = rϕ = 0 Æ Æ ϕ = konst. = ω (Winkelgeschwindigkeit) ar = r − rϕ 2 = −γ M r² ω= γ Æ ϕ = 0 T = 2π M 2π = r3 T Æ − rω 2 = −γ M r2 mit T = Umlaufzeit r3 γM Zweites Kepler´sches Gesetz r3 γ M = = konst. T 2 4π 2 γ M lässt sich besser durch g (= 9,81 m/s²) und R ausdrücken. Direkt auf der Erdoberfläche gilt: FG = γ mM = mg R² Version 2.01 vom 09.03.2006 Æ γ M = gR ² = 3,98 ⋅1014 m3 / s ² ma r mau er FG III.32 Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 Für einen hypothetischen Satellit, der in der Höhe h = 0 (r = R + h) über der Erdoberfläche entlang fliegt, gilt: R3 R = 2π = 84, 4 min γM g 2π v0 = ω0 R = = gR = 7,9 km / s T T0 = 2π In der Höhe h gilt dann: ( R + h) T = 2π 2 3 gR v = ωr = γM = r 3 3 R h h 3 h 1 + = T0 1 + ≈ T0 1 + g R R 2 R = 2π gR 2 = R+h Diese Näherungen gelten nur für 1 h v0 1 − h 2 R 1+ R v0 h << 1 R (niedrige Umlaufbahn) 2 T h = 1 + T0 R 1,8 1,6 3 Näherung 1,4 1,2 1 0,8 v = v0 0,6 0,4 0,2 1 Näherung h 1+ R 0 0 0,1 0,2 0,3 h/R Version 2.01 vom 09.03.2006 0,4 0,5 0,6 Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik III.33 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 3.3 Arbeit und Leistung F Für die Verschiebung des Massepunktes von 1 nach 2 1 wird Arbeit aufgewendet. Sie berechnet sich aus dem Skalarprodukt der angebrachten Kraft und dem G dr Verschiebungsweg s. Für kleine Verschiebungen erhält G man mit dr = ds : ϕ F s 2 G r G G dW = Fs ⋅ ds = F ⋅ cos ϕ ⋅ dr G G dW = F ⋅ cos ϕ ⋅ dr = F ⋅ dr (Skalarprodukt) G G r + dr Entsprechend kann man die gesamte zwischen zwei Bahnpunkten 1 und 2 verrichtet Arbeit durch Integration bestimmen: G G 2 W = ∫ F ⋅ dr = ∫ ( Fx dx + Fy dy + Fz dz ) 2 1 1 Die Definition der Leistung ist Arbeit/Zeit. P= dW dt G drG G G P=F =Fv dt Bewegung auf einer Kreisbahn: G Für die Bewegung auf einer Kreisbahn kann man dr ausdrücken durch: G G G dr = dϕ × r Mit der Regel für das Spatprodukt ergibt sich: G G G G G G G G G dW = F ⋅ dϕ × r = r ⋅ F × dϕ = dϕ ⋅ rN ×F G G dW = dϕ ⋅ M ϕ2 G G W = ∫ M ⋅ dϕ ϕ1 G G dϕ P=M⋅ dt G G P = M ⋅ω Version 2.01 vom 09.03.2006 G M F 2 G G r + dr G dr 1 G r dϕ ϕ Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik III.34 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 Beispiel: Verschiebung eines Massepunktes m auf einer reibungsfreien schiefen Ebene im Schwerefeld der Erde von s1 nach s2: geführte Bewegung, FN ist eine Zwangskraft, senkrecht zur Bahn. s2 h α ϕ F g FN s1 G G W12 = ∫ F ⋅ dr ; 2 G dr = ds; 1 2 W12 = ∫ F ⋅ ds ⋅ cos ϕ 1 ϕ = 90° − α ; cos(90° − α ) = sin α 2 W12 = ∫ F ⋅ sin α ⋅ ds = F sin α ( s2 − s1 ) = F ⋅ h 1 Mit ( s2 − s1 ) sin α = h folgt W12 = F ⋅ h Dies ist die aufgewendete Arbeit von 1 nach 2 Version 2.01 vom 09.03.2006 s α III.35 Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 3.4 Kinetische Energie G G F = m⋅a G G dv G F = m⋅ ⋅dr dt G G G G dv G G dr G G F ⋅ dr = m ⋅ ⋅ dr = m ⋅ dv = m ⋅ v ⋅ dv dt dt N G v v2 G G G G mv22 mv12 F ⋅ dr = W = m ⋅ v 12 ∫1 ∫ ⋅ dv = 2 − 2 v1 2 W12 = T= m 2 2 v2 − v1 = T2 − T1 2 ( ) Arbeitsänderung von 1 nach 2 1 G 2 m (v ) 2 Dies ist die kinetische Energie einer Punktmasse, die sich in Bewegung befindet. Die zugeführte Arbeit entspricht der Änderung der kinetischen Energie während der Verschiebung. G G G Beachte: ( v ) = v ⋅ v ⋅ cos 0 = v ² 2 Version 2.01 vom 09.03.2006 III.36 Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 3.5 Potential Eine Kraft, die in jedem Raumpunkt wirkt, bezeichnet man als Kraftfeld, z.B. das 1 Schwerefeld der Erde. Wird ein Massepunkt durch ein solches Kraftfeld bewegt, so kann die verrichtete Arbeit berechnet werden nach: 2 G G W12 = ∫ F ⋅ dr 2 1 Als Beispiel berechnen wir die verrichtete Arbeit für die Bewegung eines Massepunktes im Schwerefeld der Erde vom Punkt 1 nach 2. G r2 h2 G r1 h1 W12 = ∫ ( Fx dx + Fy dy + Fz dz ) = − ∫ Gdz = −G ( h2 − h1 ) Man erkennt, dass die verrichtete Arbeit unabhängig vom Weg ist, den der Massepunkt genommen hat. Solch ein Kraftfeld nennt man „konservativ“, weil es die aufgewendete Arbeit, Energie bewahrt. Wenn auf eine Masse durch ein Kraftfeld die Kraft G G F ausgeübt wird und die für die Verschiebung erforderliche Kraft FV ist dann wird das Potential (= Verschiebearbeit) definiert: G G G G dV = FV ⋅ dr = − F ⋅ dr z y (negativ, da sie gegen das Kraftfeld verrichtet wird) x Zerlegung in die Koordinatenrichtungen: G r G G dV = − F ⋅ dr = − Fx dx − Fy dy − Fz dz Der Begriff dV = G FV G dr m ∂V ∂V ∂V dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z G F wird als vollständiges Differential beschrieben. Der direkte Vergleich führt zu: Fx = − ∂V ; ∂x Fy = − ∂V ; ∂y Fx = − ∂V ; ∂z Somit kann man die Kraftkomponenten, die aufgrund des Kräftefelds auf den Massenpunkt wirken, auch mit dem vollständigen Differential des Potentials beschreiben: G ∂ ∂ ∂ F = − , , V = −gradV ∂x ∂y ∂z Version 2.01 vom 09.03.2006 III.37 Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 Für das Potential gilt: G G V1 = − ∫ F ⋅ dr 1 (für willkürlich festgelegten Nullpunkt) 0 G ∫ G bzw. V = − F ⋅ dr + C (allgemeine Form mit additiver Konstante = Integrationskonstante) Wenn ein Massepunkt „gegen“ das Kraftfeld verschoben worden ist, gibt die umgekehrte Betrachtungsweise die Arbeit, die bei der Verschiebung durch die Potentialdifferenz verrichtet wird: G G dW = F ⋅ dr = Fx dx + Fy dy + Fz dz dW = − ∂V ∂V ∂V dx − dy − dz ∂x ∂y ∂z vollständiges Differential des negativen Potentials dW = − dV Beispiel: Potential einer Federkraft G r G G r0 G r0 r G G G G V = ∫ FV ⋅ dr = − ∫ F ⋅ dr z z z0 z0 = − ∫ Fz ⋅ dz = − ∫ − F ⋅ dz z Mit Federkonstante k gilt für die ideale Feder: FV = -F zur Verschiebung F = k⋅z erforderliche Kraft z z z0 z0 z V = − ∫ −k ⋅ z ⋅ dz = ∫ k ⋅ z ⋅ dz V =k⋅ Für z0 = 0 Fz = − z² 2 z z0 = 1 k z ² − z02 2 ( wird ∂V = −k ⋅ z = − F ∂z Version 2.01 vom 09.03.2006 m ) V =k⋅ F z² 2 (Federpotential) Federkraft (wirkt auf den Massenpunkt III.38 Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 3.6 Energiesatz 3.6.1 Arbeitssatz der Mechanik Für die kinetische Energie gilt (siehe Kap. 3.4): W12 = Umgeformt: m 2 2 v2 − v1 = T2 − T1 2 ( ) T2 = T1 + W12 (erste Form des Energiesatzes, allgemeine Form, auch Arbeitssatz) Bedeutung: Die „neue“ kinetische Energie T2 eines Massepunktes ist gleich der “alten“ kinetischen Energie T1 im Zustand 1 plus der Arbeit (Energie), die von 1 nach 2 von außen zugeführt wird (durch äußere Kräfte und Momente). Version 2.01 vom 09.03.2006 III.39 Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 Beispiel: Ein Körper mit der Masse m und dem Gewicht G rutscht eine raue geneigte Ebene hinab (Reibungskoeffizient µ, Neigungswinkel α). Gesucht ist die Geschwindigkeit v2, nachdem der Körper um die Strecke l gerutscht ist. Kinetische Energie: m 2 v1 2 m T2 = v22 2 T1 = Zugeführte Arbeit durch Wirkung aller äußeren Kräfte. G G W12 = ∫ F ⋅ dr 2 1 W12 = G sin α l − R l W12 = m ⋅ g ⋅ sin α ⋅ l − µ ⋅ m ⋅ g ⋅ cos α ⋅ l = m ⋅ g ⋅ l ⋅ (sin α − µ cos α ) T2 = T1 + W12 m 2 m 2 v2 = v1 + m ⋅ g ⋅ l ⋅ (sin α − µ cos α ) 2 2 v2 = ± v12 + 2 gl (sin α − µ cos α ) Da für l = 0; → v2 = v1 ist das Vorzeichen positiv, daher: v2 = v12 + 2 gl (sin α − µ cos α ) Deutung: Wenn (sin α − µ cos α ) > 0; bzw. (sin α − µ cos α ) = 0; bzw. (sin α − µ cos α ) < 0; bzw. Stillstand, Wie weit rutscht er in diesem Fall? v12 + 2 gl (sin α − µ cos α ) = 0 Æ l= v12 2 g ( µ cos α − sin α ) Version 2.01 vom 09.03.2006 tan α > µ tan α = µ tan α < µ → → → v2 > v1 v2 = v1 → v = konst. v2 < v1 , der Körper kommt zum Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik 3.6.2 III.40 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 Energieerhaltungssatz für konservative Systeme Konservative Kräfte sind z.B. Schwerkraft, Federkraft, etc., also Kräfte, die Energie speichern können. Für konservative Kräfte gilt: dW = − dV 2 W12 = − ∫ dV = V1 − V2 1 Eingesetzt in Energiesatz: W12 = T2 − T1 = V1 − V2 V1 + T1 = V2 + T2 V + T = konst. = E (zweite Form des Energiesatzes, gilt nur für konservative Systeme, Energieerhaltungssatz) E = gesamte mechanische Energie (Arbeit des Systems) dV + dT = 0 Energieerhaltungssatz: Bei einem konservativen System bleibt die mechanische Energie konstant. Beispiel: 3 Ein Pendel, das überschlagen kann, hat im Punkt 1 die Anfangsgeschwindigkeit v0. Wie groß muß v0 sein, damit das Pendel im Punkt 3 gerade zum Stehen kommt? 2 Aus Energieerhaltungssatz: V1 + T1 = V3 + T3 1 2 mv0 + 0 = 0 + mgl (1 − cos π ) 2 2 Æ v0 = 4 gl Version 2.01 vom 09.03.2006 l (1 − cos ϕ ) 1 III.41 Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik 3.6.3 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 Arbeitssatz unter Berücksichtigung konservativer Kräfte Wenn an einem System konservative Kräfte und Momente (Potential V) und nicht konservative Kräfte wirken gilt T2 − T1 = W12 = W12kons. + W12nicht kons. = V1 − V2 + W12nicht kons. Die nicht konservativen Kräfte (z.B. dissipative Kräfte wie Reibung) „zerstreuen“ die mechanische Energie und wandeln sie z.B. in Wärme um. Sie besitzen daher kein Potential. T2 + V2 = T1 + V1 + W12nicht kons. (dritte Form des Energiesatzes): Beispiel: Das Pendel aus 3.6.2 hat im Punkt 1 die Anfangsgeschwindigkeit v0. Wie groß muss ein im Winkelbereich 0 ≤ ϕ ≤ 2π wirkendes Moment M sein, damit die Punktmasse bei der Ankunft im obersten Punkt wiederum die Anfangsgeschwindigkeit v0 hat? Im Punkt 2 beträgt die Energie m v ² + mgl (1 − cos ϕ ) 2 Im Punkt 1 beträgt die Energie mit V1 = 0 m E1 = T1 + V1 = v02 2 E2 = T2 + V2 = Aus dem Arbeitssatz folgt: T2 + V2 = T1 + V1 + W12n.k . N N m m v ² + mgl (1 − cos ϕ ) = v02 + 0 + M ϕ 2 2 Für den Punkt 3 ergibt sich durch Einsetzen von v0 und m 2 m v0 + mgl (1 − cos π ) = v02 + M π 2 2 2mgl M= π Version 2.01 vom 09.03.2006 ϕ =π : III.42 Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 Aber Achtung: Setzt man M in den Energiesatz für Punkt 2 ein, so ergibt sich m m 2mgl v ² + mgl (1 − cos ϕ ) = v02 + ϕ 2 2 π 4 gl v ² + 2 gl (1 − cos ϕ ) = v02 + ϕ π ϕ v ² = v02 + 4 gl − 2 gl (1 − cos ϕ ) π 2 v ² = v02 + 2 gl ϕ − 1 + cos ϕ π dv gl 2 = 2 gl − sin ϕ = 4 − 2 gl sin ϕ = 0 Extremum für dϕ π π 2 sin ϕ = Æ π ϕ * = arcsin 2 π ≈ 140,5° (und ϕ * ≈ 39,5° ) 2 140,5 π − 1 + cos140,5 = v02 − 0, 421⋅ gl π 180 Bei 140,5° wird vmin = v0 + 2 gl 2 2 D.h., wenn v0 < 0, 421 ⋅ gl ist die Gleichung nicht lösbar. Die Anfangsgeschwindigkeit reicht nicht aus, 2 um das Pendel bis zum Winkel ϕ * zu bringen. D.h. die Betrachtung nur der Punkte 1 und 3 liefert ein falsches Ergebnis! 1,4 v02 > 0, 421⋅ gl 1,2 1 v02 = 0, 421⋅ gl 0,8 v² gl 0,6 v02 = 0 0,4 0,2 0 0 30 60 90 ϕ[°] Version 2.01 vom 09.03.2006 120 150 140,5 180 III.43 Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 3.7 Impulssatz Aus den Newton´schen Gesetzen ist der Impuls bekannt: G G p = m⋅v Wirken keine äußeren Kräfte, so ist der Impuls konstant. G G p = m ⋅ v = konst. z.B. G p = 0 Beim Einwirken von äußeren Kräften gilt: G G G F = p = m ⋅ v F Fm (2. Newton´sches Gesetz) Integration liefert: G v2 t2 G dv G m ⋅ vdt = m dt = Fdt ∫t ∫ dt ∫t v1 1 1 t2 ∆t G G G Gˆ Fdt = mv − mv 2 1 = F ∫ t2 t1 Kraftstoß (auch Kraftantrieb, Impuls): Maß für die Wirkung einer Kraft Anwendung bei kurzzeitigen Stoßvorgängen (bei denen der genaue Kraftverlauf unbekannt ist) Gˆ Es gilt: F = G G ∫ Fdt = F m G ⋅ ∆t mit ∆t Stoßzeit und Fm mittlere Stoßkraft. Einheit: [Ns] Beispiel: geradlinige, beschleunigte Bewegung: G F = konst. = F m(v2 − v1 ) = F (t2 − t1 ) Bei kraftfreier Bewegung ( F = 0 ) wird: m (v2 − v1 ) = 0 Version 2.01 vom 09.03.2006 Æ v = konst. t Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik III.44 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 4. Kinetik des Punkthaufens Unter Punkthaufen versteht man eine endliche konstante Anzahl von Massenpunkten. Es können äußere Kräfte (Auflagerkräfte, Gravitation) und innere Kräfte (elastische Kräfte, elektromagnetische Kräfte) wirken. 4.1 Massenmittelpunkt (Schwerpunkt) Berechnung durch: n G G ∑m ⋅r = m⋅r i =1 n i i G F1 m G G ∑ m ⋅ r = m ⋅ r i =1 n i i m G F12 m1 G G G ∑ mi ⋅ vi = m ⋅ vm = p G r1 i =1 G G Mit rm = vm Massenmittelpunktsgeschwindigkeit G Die Bewegungsgröße p des Punkthaufens ist gleich der äußere Kraft G F13 0 Massenmittelpunktsgeschwindigkeit bewegt. G F21 m 2 Mm G rm G r2 Bewegungsgröße der im Massenmittelpunkt vereinigten Gesamtmasse, die sich mit der innere Kräfte G r3 G F31 G F2 G F23 G F32 G F3 m3 Für jede Masse mi des Punkthaufens gilt das Newton´sche Gesetz: mi ai = Fi + ∑ Fij j Durch Aufsummieren: G G ij i i j N G G ∑m a = ∑ F + ∑∑ F i i i G mam i FR G G G m am = FR = p hebt sich auf Der Massenmittelpunkt bewegt sich so, als ob die gesamten Punktmassen in ihm vereinigt wären und die Resultierende aller äußeren Kräfte an ihm angreift (gilt für das dynamische Grundgesetz und den Impuls). Daher beinflussen innere Kräfte die Bewegung des Massenmittelpunktes nicht (sie heben sich gegenseitig auf). Innere Kräfte bestimmen zusammen mit den äußeren Kräften die Bewegung der einzelnen Massenpunkte. Treten keine äußeren Kräfte auf, ist der Impuls konstant (nach Betrag und Richtung). Version 2.01 vom 09.03.2006 III.45 Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 Beispiel: m* m2 =2m* Sie sind durch ein Seil der Länge l verbunden. Gesucht: Weg s2 des Kahns 2, wenn das Seil auf die Es treten keine äußeren Kräfte auf n G ∑F G ∑m r = mr i =1 i i m m1 0 + m2 l = m xm 2m* l = 3m* xm 2 xm = l 3 1 l1 = l 3 → Verkürzen von l auf l/2: l'→ l 2 2 1 xm l1 l Hälfte verkürzt wird. Æ Version 2.01 vom 09.03.2006 l1' = 11 1 l= l 32 6 Ai 2m* Mm Zwei Kähne befinden sich in Ruhe, Massen m1 = m*, = 0; Æ Massenmittelpunkt Mm bleibt in Ruhe. III.46 Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 4.2 Momentensatz Ähnlich wie in der Statik das Moment wird in der Dynamik das Impulsmoment bezüglich Punkt 0 (oder Moment der Bewegung oder G G G M0 = r × F Dynamik: G G G G G L0 = r × p = r × mv m y z G dv G G G G G G r ×m = r × ma = r × F `= M 0 dt Im Vergleich: G v G r Drehimpuls oder Drall) definiert. Statik: G F x 0 Drehimpuls ÅÆ Moment Impuls ÅÆ Kraft G G G G dL0 d ( r × mv ) G dv G G G G = = r×mv + r × m dt = r × p dt dt 0 = G G da v ×v = 0 G M0 G G G dL0 G dp = M0 = r × dt dt Momentensatz: Die zeitliche Ableitung des gesamten Dralls (Drehimpulses) in Bezug auf einen festen Bezugspunkt 0 ist gleich dem resultierenden Moment der äußeren Kräfte bezüglich dieses Punktes. NB ohne Beweis: dies gilt in gleicher Form auch für den Massenmittelpunkt Mm als Bezugspunkt: G G G dLm G dpm = M m = rm × dt dt 4.3 Energiesatz des Punkthaufens Die Gesamtarbeit W12 der von inneren und äußeren Kräften verrichteten Arbeit ist gleich der Änderung der kinetischen Energie des gesamten Systems. Im Allgemeinen ist die Arbeit der inneren Kräfte nicht Null. Version 2.01 vom 09.03.2006 III.47 Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 4.4. Der zentrale Stoß Ein Stoß wird als zentraler Stoß bezeichnet, wenn die Massenmittelpunkte auf der Stoßnormalen liegen. Die F1 Massenmittelpunkte bleiben vor und nach dem Stoß F2 auf derselben Geraden. Die Wirkungslinien der Stoßkräfte liegen auf der Verbindungslinie der beiden Massenmittelpunkte. Es wirken keine äußeren Kräfte. G G F1 = − F2 Vor dem Stoß Nach dem Stoß mA mB mA mB vA1 vB1 vA2 vB2 4.4.1 Vollkommen elastischer Stoß Beim vollkommen elastischen Stoß geht keine Bewegungsenergie verloren. Damit folgt: mAv A1 + mB vB1 = mAv A2 + mB vB 2 Impulssatz: Energiesatz: Daraus folgt: mA 2 mB 2 mA 2 mB 2 v A1 + vB1 = vA2 + vB 2 2 2 2 2 mA (v A1 − v A 2 ) = mB (vB 2 − vB1 ) /1/ mA (v A21 − v A2 2 ) = mB (vB2 2 − vB21 ) /2/;/1/ mA (v A21 − v A2 2 ) = mB (vB2 2 − vB21 ) v A1 + v A2 = vB 2 + vB1 v A1 − vB1 Re lativgeschwindigkeit vor dem Stoß /2/ = − ( v A 2 − vB 2 ) Re lativgeschwindigkeit nach dem Stoß (Spiegelung der Relativgeschwindigkeit) Version 2.01 vom 09.03.2006 Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik III.48 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 4.4.2 Plastischer Stoß Wenn während des Stoßvorgangs kinetische Energie verloren geht (z.B. in Wärme umgewandelt wird), so spricht man vom teilplastischen oder – im Extremfall – vollplastischen Stoß. Bei Verlust an kinetischer Energie während des Stoßvorgangs bleibt der Betrag der Relativgeschwindigkeit nicht konstant. Dies kann durch die werkstoffabhängige Stoßzahl k berücksichtigt werden: k (v A1 − vB1 ) = −(v A2 − vB 2 ) 0 ≤ k ≤1 Für k = 0: vollkommen unelastischer Stoß (plastischer Stoß) Für k = 1: vollkommen elastischer Stoß Und Energie: mA (v A1 − v A 2 ) = mB (vB 2 − vB1 ) k (v A1 − vB1 ) = −(v A 2 − vB 2 ) Folgt: vA2 = mAv A1 + mB vB1 − k mB (v A1 − vB1 ) m (1 + k ) (v A1 − vB1 ) = v A1 − B mA + mB mA + mB vB 2 = mAv A1 + mB vB1 + k mA (v A1 − vB1 ) m (1 + k ) (v A1 − vB1 ) = vB1 + A mA + mB mA + mB Aus Impuls: Deutung: Beim plastischen Stoß (k=0) wird v A 2 = vB 2 = mAv A1 + mB vB1 mA + mB Bei Verlust an kinetischer Energie beim Stoß ( k < 1), Umwandlung in Wärme: TVerl = T1 − T2 = TVerl = mA 2 mB 2 mA 2 mB 2 v A1 + vB1 − vA2 − vB 2 2 2 2 2 mA mB (v A1 − vB1 )²(1 − k )² 2(mA + mB ) Für k = 1: kein Verlust an kinetischer Energie Für k = 0: größter Verlust an kinetischer Energie Version 2.01 vom 09.03.2006 III.49 Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 Experimentelle Bestimmung der Stoßzahl k im Fallversuch: Energieerhaltung beim Fall mA T1 + V1 = T2 + V2 N N =0 =0 mA 2 v A1 2 v A1 = 2 gh1 mA gh1 = vB1 = 0 Analog gilt für das Hochspringen: v A 2 = − 2 gh2 vB 2 = 0 (Minuszeichen, weil Körper wieder hochspringt) k (v A1 − vB1 ) = −(v A2 − vB 2 ) k= Æ − 2 gh2 − (v A 2 − vB 2 ) v = − A2 = − (v A1 − vB1 ) v A1 2 gh1 k= h2 h1 Version 2.01 vom 09.03.2006 mA h1 vA1 h2 vA2 III.50 Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 5. Der starre Körper 5.1 Schwerpunkt des starren Körpers xS Der starre Körper besteht aus unendlich vielen Massepunkten, die starr miteinander verbunden sind, d.h. die ihre Lage relativ x yS zueinander nicht verändern. Neben dem Inertialsystem u,v,w benötigen wir noch ein S körperfestes Koordinatensystem x,y,z, das wir zweckmäßigerweise in den Schwerpunkt S (= Massenmittelpunkt) y zS z des starren Körpers legen. Die Lage des Schwerpunkts wird ähnlich wie der Flächenschwerpunkt berechnet mit: (m) G rS m = G ∫ r dm Oder in Einzelkoordinaten xS = (m) 1 m ∫ xdm ; Für homogene Körper ist 1 xS = V (V ) yS = 1 m ( m) ∫ ydm ; zS = ρ = konst. 1 yS = V ∫ xdV ; 1 m (m) ∫ zdm ; m = ρV → (V ) ∫ 1 zS = V ydV ; (V ) ∫ zdV ; Wenn ein Gesamtkörper aus mehreren Teilkörpern mit bekannten Schwerpunkten zusammengesetzt ist, kann der Ausdruck ersetzt werden durch: n xS = ∑ xSi ⋅ mi i =1 n ∑m i =1 n yS = ; i ∑ ySi ⋅ mi i =1 n ∑m i =1 n ; i zS = ∑z i =1 Si ⋅ mi n ∑m i =1 ; i mit xSi , ySi , z Si Schwerpunktkoordinaten des Teilkörpers mi . Für homogene Körper mit ρ = konst. gilt: Jede Symmetrieebene des Körpers enthält den Schwerpunkt. Der Schnittpunkt von drei Symmetrieebenen ergibt den Schwerpunkt. Version 2.01 vom 09.03.2006 III.51 Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 5.2 Massenträgheitsmomente a 5.2.1 Massenträgheitsmomente G ω Bei einer Drehung um die Achse a-a entsteht ein Drehimpuls für die Masse m dm: G G G G G dLa = r × dp = r × v dm G G G G Da v ⊥ r wird r × v = r v und somit kann man auch schreiben: G r dLa = r v dm = r ²ω dm Für den gesamten starren Körper erhält man durch Integration: G v dm m La = ω ∫ r ² dm = ω I a a mit m I a = ∫ r ² dm Massenträgheitsmoment bezüglich der Achse a-a Für ein kartesisches Koordinatensystem berechnen sich die x2 + y 2 Massenträgheitsmomente für jede Koordinatenachse (x, y, m aus G I S = ∫ r 2 dm mit x2 + y 2 I Sxx = ∫ ( y ² + z ²)dm ; m I Syy = ∫ ( z ² + x ²)dm ; m I Szz = ∫ ( x ² + y ²)dm ; Die Zentrifugalmomente oder Deviationsmomente sind definiert zu: m I yz = ∫ yzdm; I xy I yy I zy Version 2.01 vom 09.03.2006 I xz I yz I zz m I xz = ∫ xzdm; Die Massenträgheitsmoment lässt sich als Tensor schreiben: I xx I S = I yx I zx G r y m m x y x G r = y z zu I xy = ∫ xydm; x S z) bezüglich des Schwerpunkts S z y2 + z2 z III.52 Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 In den Hauptträgheitsachsen (Hauptachsen) verschwinden die Zentrifugalmomente. Die auf diese Achsen bezogenen Momente sind die Hauptträgheitsmomente. Die Symmetrieachsen sind Hauptachsen. Die Hauptachsen stehen senkrecht aufeinander. Damit wird der Trägheitstensor: I xx IS = 0 0 0 0 I zz 0 I yy 0 Für symmetrische Körper gilt: Eine durch den Schwerpunkt verlaufende zur Symmetrieachse senkrechte Achse ist Hauptachse. (Achtung: nicht jede Hauptachse steht senkrecht auf einer Symmetrieebene). Dies ist wichtig für Kreiselbewegungen, Unwuchterscheinungen, etc. x S Version 2.01 vom 09.03.2006 Ha up tac hs e y z Symmetrieachse = Hauptachse z Symmetrieachse = Hauptachse Symmetrieachse = Hauptachse Sy = H mme au trie pta ac ch hse se y Hauptachse x III.53 Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik 5.2.2 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 Beispiele für die Berechnung 1. Quader Gesucht ist das Massenträgheitsmoment I Szz für nebenstehenden a Quader dA b Lösung: m I Szz = ∫ ( x ² + y ²)dm S c dV = dx dy c dm = ρ dV = ρ dx dy c I Szz = y b a + + 2 2 ∫ ∫ (x 2 + y 2 ) ρ c dxdy b a − − 2 2 + I Szz b 2 + a 2 + b 2 x a3 2 = ρ c ∫ + x y dy = ρ c ∫ + a y 2 dy = b 3 b 12 −a − − 3 2 2 b + 2 2 a3 ba 3 ab3 y3 = ρ cy + a = ρ c + = 3 −b 12 12 12 2 a b = ρ cN ba + 12 12 V 2 I Szz = m a 2 + b2 12 Version 2.01 vom 09.03.2006 2 z x III.54 Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 2. Kreiszylinder Gesucht ist das Massenträgheitsmoment I Sxx für nebenstehenden l ri Quader Lösung: ra x I Sxx = ∫ r 2 dm S ri dm = ρ l 2 π r dr ra dr ra I Sxx = ∫ r dm = ρ l 2 π ∫ r dr = 2 3 ri ri = ρ l 2π = 4 ra r 4 = ρ l 2π ri ra4 − ri 4 = 4 1 ρ l ra2 − ri 2 π ra2 + ri 2 2 V ( ) ( m I Sxx = ra m 2 2 ra + ri 2 ( Version 2.01 vom 09.03.2006 ) ) y z III.55 Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik 5.2.3 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 Beispiele für Massenträgheitsmomente Quader: I Sxx I Syy I Szz a b² + c ² =m ; 12 a² + c² =m ; 12 a ² + b² =m ; 12 b x S c y z Vollzylinder: I Sxx r mr ² = ; 2 S I Syy = I Szz = m r << l → x 3r ² + l ² ; 12 I Syy = I Szz = ml ² ; 12 y z Hohlzylinder I Sxx I Syy m(ri 2 + ra2 ) = ≈ mrm2 ; (rm gemittelter Radius ) 2 l² ri 2 + ra2 + 3; = I Szz = m 4 l 2 mr ²; 5 Hohlkugel: I Sxx = I Syy = I Szz = 2 ra5 − ri5 ; m 5 ra3 − ri3 Version 2.01 vom 09.03.2006 ra x S Vollkugel: I Sxx = I Syy = I Szz = ri y z III.56 Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik 5.2.4 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 Der Satz von Steiner Trägheitsmoment um parallele Achsen xS A m I A = ∫ r ²dm; rS r ² = x 2 + z 2 = ( xS + x ') 2 + ( zS + z ') 2 r ² = xS2 + zS2 + x '2 + z '2 + 2 xS x '+ 2 zS z ' 2 r² = rS2 m IA = r 2 S zS r rS2 + r2 m + 2 xS x '+ 2 zS z ' m x S r z m ∫ dm + ∫ r ²dm + ∫ 2 x x ' dm + ∫ 2 z dm z ' dm ; S S =0 =0 IS x' r z' Und damit: I A = I S + rS2 m mit IA IS rS Trägheitsmoment um die Achse a-a a Trägheitsmoment um die Achse durch den Massenmittelpunkt Abstand der Achse a-a von der Achse durch den rS Massenmittelpunkt Somit kann man mit Hilfe des Satzes von Steiner das S a Massenträgheitsmoment auch für jede Achse bestimmen, die nicht durch den Schwerpunkt des Körpers geht. Man erkennt: Die Massenträgheitsmomente sind für Achsen durch den Schwerpunkt S minimal. Dies gilt analog auch für die Deviationsmomente. Version 2.01 vom 09.03.2006 III.57 Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik 5.2.5 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 Trägheitsradius und reduzierte Masse Der Trägheitsradius ia ist der senkrechte Abstand von der Bezugsachse a-a, in dem die in einem Punkt bzw. Ring konzentrierte gesamte Masse des Körpers das gleiche Trägheitsmoment besitzt wie der Körper selbst bezüglich a-a. I a = m ia2 → ia = Ia m a a a ia Die reduzierte Masse mredR besitzt im Abstand R R m m, I a mredR von der Bezugsachse a-a bezüglich dieser Achse das gleiche Massenträgheitsmoment wie der Körper a a a selbst. I a = mredR R 2 → mredR = Ia ia2 m = R2 R2 Anwendung: Herstellen der Zusammenhänge zwischen Drehbewegung und geradlinigen Bewegungen. Version 2.01 vom 09.03.2006 Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik III.58 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 5.3 Kinematik des starren Körpers 5.3.1 Grundgleichung für die Geschwindigkeit G rA Für einen starren Körper gilt, dass sich der Abstand zwischen zwei Punkten A und B des Körpers nicht ändert: G rAB = konst. G G G rB = rA + rAB G G G drB drA drAB G vB = = + dt dt dt G G G vB = v A + v AB G rB G ω A G rAB B G Die Bedingung rAB = konst. bedeutet eine Bewegung auf einer G G G = ω × rAB G Kreisbahn und damit v AB ⊥ rAB G Und daher: v AB G G G G vB = v A + ω × rAB Grundformel der Kinematik Der Geschwindigkeitszustand des starren Körpers kann zusammengesetzt werden durch einen G translatorischen Anteil, der durch die Geschwindigkeit eines Punktes ( v A ) festgelegt ist und durch einen rotatorischen Anteil, der durch die Winkelgeschwindigkeit G ω um eine Achse durch diesen Punkt bestimmt wird. Er wird also durch 6 skalare Größen definiert, die den 6 Freiheitsgraden des starren Körpers entsprechen. Die Winkelgeschwindigkeit ist unabhängig vom Bezugspunkt für alle Punkte des starren Körpers gleich (ohne Beweis). 5.3.2 Ebene Bewegung des starren Körpers In vielen praktischen Fällen reicht die Betrachtung der ebenen Bewegung des starren Körpers aus. Dabei bewegen sich alle Körperpunkte in parallelen Ebenen, deren Abstand konstant bleibt. Der Geschwindigkeitszustand ist bestimmt durch die Geschwindigkeit eines Punktes und durch die Winkelgeschwindigkeit um eine senkrecht zur Bewegungsebene stehende Achse. Bei der ebenen Bewegung hat der Körper 3 Freiheitsgrade 2 Translationen (alle Punkte haben zu jedem Zeitpunkt die gleiche Geschwindigkeit) 1 Rotation (alle Punkte beschreiben konzentrische Kreisbahnen Version 2.01 vom 09.03.2006 III.59 Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik 5.3.3 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 Momentan- oder Geschwindigkeitspol für ebene Bewegung Für Punkt P gilt: Mit G G G G vP = v A + ω × rAP G G ω = ω ⋅ ey (Bewegung in der Ebene) folgt G G G G vP = v A + ω ⋅ ey × rAP G G G G vP = v A + ω ⋅ ey × rAP ex ey ez G rP G rA Es gibt immer einen Punkt mit der Momentangeschwindigkeit 0, den sog. Momentan- oder Geschwindigkeitspol G. Für G G rG gilt daher: G vG = 0 G Und somit Mit Æ G G G v A = −ω ⋅ e y × rAG G G G rAG = rG − rA G G G G v A = −ω ⋅ ey × (rG − rA ) ex G v A = −ω 0 x AG z ey ez ex e y 1 0 0 0 1 x AG 0 z AG G G G v A = −ω ( ex z AG − ez x AG ) Andererseits gilt für die Geschwindigkeit des Punktes A ebenso: G G G v A = ez x A − ex z A Durch Komponentenvergleich erhält man: x A = −ω z AG und z A = ω x AG bzw. x AG = z A z AG = − ω x A ω ; Eingesetzt in G G G rAG = rG − rA Folgt xG = x A + x AG Æ xG = x A + zG = z A − z AG Æ zG = z A − Wenn ω≠0 Æ Version 2.01 vom 09.03.2006 Momentanpol G für jeden Zeitpunkt z A ω x A ω x P G rAP G rAG A B Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik Wenn ω=0 Æ III.60 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 Pol im Unendlichen, d.h. reine Translation Für G als Bezugspunkt gilt: G G G vP = ω ⋅ ey × rGP d.h. der Körper dreht sich momentan um den Punkt G. Es findet momentan keine Translation statt. Während der Bewegung ändert der Pol G sowohl seine Lage relativ zum bewegten Körper als auch relativ zur Bezugsebene. Der geometrische Ort für alle Punkte G heißt: • bezogen auf den bewegten Körper heißt Gangpolbahn. • bezogen auf die feststehende Bezugsebene Rastpolbahn. Die körperfeste Gangpolbahn rollt bei der Bewegung auf der raumfesten Rastpolbahn ab. Geometrische Deutung bzw. Bestimmung von G: G G G • Aus vP = ω ⋅ e y × rGP folgt unmittelbar: • Sind von 2 Punkten eines starren Körpers die Geschwindigkeitsrichtungen bekannt, so findet man G im . A Schnittpunkt der Lote auf die beiden Geschwindigkeitsvektoren. G vA B . G vB G • ω und v A bekannt, so erhält man rGA v rGA = A v A = ω ⋅ rGA Æ ω vA tan α =ω rGA Sind mit A rGA α G Version 2.01 vom 09.03.2006 . v A = ω ⋅ rGA Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik 5.3.4 III.61 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 Beispiele G angpolbahn Reines Rollen Der momentane Drehpol G ist immer der Berührpunkt. Die Rastpolbahn ist damit die vA A . Eine Walze rollt einer ebenen Fläche ab. B . vB . Ebene, auf der die Walze abrollt. Die vS Rastpolbahn Gangpolbahn ist der Walzenumfang. G Leiter (siehe Aufgabensammlung Nr. 3.1.1) Das Ende A eines Stabes AB der Länge l bewegt sich reibungsfrei auf dem horizontalen Boden, das G xG Ende B gleitet an einer senkrechten Wand. Bestimmung der Gangpolbahn und die Rastpolbahn: Der Momentanpol muss auf der Senkrechten zur l yG aktuellen Bewegungsrichtung des Punktes A (= zRichtung) und des Punktes B (= x-Richtung) stehen. Daher kann man direkt aus der Zeichnung ablesen: xG = l ⋅ sin ϕ und yG = l ⋅ cos ϕ Die Gangpolbahn ist der Thaleskreis bezüglich des bewegten Teils. Die Rastpolbahn ist der Kreis um den Koordinatenursprung mit Radius l. Version 2.01 vom 09.03.2006 III.62 Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 5.4 Kinetik des starren Körpers Wir betrachten ebene Bewegungen des ebenen starren Körpers. Ein ebener starrer Körper ist eine Scheibe mit konstanter Dichte. Die Symmetrieebene liegt in der Bewegungsebene (x-z-Ebene). Ein Körper, dessen Massenmittelpunkt in der Bewegungsebene liegt und von dem eine Hauptträgheitsachse stets senkrecht auf der Bewegungsebene steht, verhält sich wie ein ebener starrer Körper konstanter Dichte. Daher gelten die folgenden Betrachtungen auch für Kugel, Zylinder, etc. 5.4.1 Translation Analog zum Punkthaufen gilt auch für den starren Körper der Impulssatz: Es gehen lediglich die Bezeichnungen für Massenmittelpunkt in Schwerpunkt über: G G rm → rS ; G G vm → vS ; G G G G F = p = mvS = maS G G am → aS ; G aS S Impulssatz G F Der Massenmittelpunkt des starren Körpers der Masse m bewegt sich so, als ob die Resultierende Kraft aller äußeren Kräfte am Massenmittelpunkt angreift und die gesamte Masse in ihm vereinigt ist. G F = 0; → G mvS = konst. Es gelten die Gesetze des Massenpunktes. S D’Alembert-Kraft: G G F − maS = 0 Version 2.01 vom 09.03.2006 G maS G F G aS Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik 5.4.2 III.63 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 Rotation Analogiebetrachtung zur Kinetik des Massenpunktes: Translation Rotation v x M ma a F Iα αωϕ I Kraft: D’Alambert G G F = ma (ist der Bewegung entgegengerichtet) G Weg: x G G dx Geschwindigkeit: v = dt G G dv Beschleunigung: a = dt G G Arbeit: dW = F ⋅ dr dW G G Leistung: P= = F ⋅v dt 1 G Kinetische Energie: T = mv ² 2 G G Impuls: p = mv G G F = p Impulssatz Kraft: Moment: D’Alambert G G M = Iα (ist der Bewegung entgegengerichtet) Drehwinkel: G ϕ G dϕ Winkelgeschwindigkeit: ω = dt G G dω Winkelbeschleunigung: α = dt G G dW = M ⋅ dϕ Arbeit: G G dW Leistung: P= = M ⋅ω dt 1 G T = Iω ² Kinetische Energie: 2 G G Drehimpuls: L = Iω G G M AS = LAS Drallsatz Moment: G mit A = feste Drehachse S = Schwerpunkt Wenn die y-Achse die feste Drehachse ist, oder durch den Schwerpunkt des starren Körpers geht, gilt der Drehimpulssatz für ebene Bewegung: Für Massenmittelpunkt im Koordinatenursprung, Trägheitsmoment I (= Iyy), das am Körper angreifende resultierende äußere Moment ist M = M y gilt (weil wir ebene Bewegungen betrachten, können wir auch G G G G die Vektorpfeile für L, ω , M y weglassen, da sie immer in die e y -Richtung weisen): G G Ly = ω I y und G G G Ly = ω I y = M y Greift an einem ebenen starren Körper mit dem Trägheitsmoment I y das resultierende äußere Moment G G G M y an, so bewirkt dies eine Winkelbeschleunigung ω = α um die durch den Massenmittelpunkt verlaufende senkrecht auf der Bewegungsebene stehende Hauptträgheitsachse y. Version 2.01 vom 09.03.2006 III.64 Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik G M = 0:→ G n G L = ∑ Li Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 Drehimpulserhaltungssatz (analog Impulserhaltungssatz) i =1 Für unterschiedliche Zeiten t1 und t2 gilt I ω1 = I ω2 ; a) für I = konst. : b) für I ≠ konst. : I1ω1 = I 2ω2 ; → ω1 = ω2 ; (tritt z.B. auf beim Bewegen von Massen auf Kreisscheiben in radialer Richtung, oder Eiskunstläufer mit Pirouette) Achtung: Fällt die Hauptträgheitsachse nicht mit y zusammen, ergeben sich zeitabhängige Massenträgheitsmomente und die obigen Gleichungen gelten nicht. Anwendung: Drehstoß (Kupplungsvorgänge) Für eine Achse a-a durch eine beliebigen Bezugspunkt gilt: G G G La = ω I a − a = M a Ohne Indizes und Vektorpfeile (nur Bewegung in der Ebene) M =α I = dω I dt M dt = I dω Integration t2 ω2 t1 1 ∫ Mdt = ω∫ Idω 1 Wenn I = konst. und M = konst. : t2 ω2 t1 ω1 M ∫ dt = I ∫ d ω 1 M ( t2 − t1 ) = I (ω2 − ω1 ) M ∆t = I ∆ω Version 2.01 vom 09.03.2006 = Drehstoß III.65 Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik 5.4.3 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 Kinetische Energie des starren Körpers: G v Für einen Massepunkt dm gilt für die kinetische Energie: 1 G 2 dm ( v ) 2 T= dm G rSP Die gesamte kinetische Energie des starren Körpers erhält man durch Integration: T= S 1 G 2 ( v ) dm 2 V∫ z Die Geschwindigkeit des Massepunkts bestimmt sich zu: P x G ω G G G G G G G v = vS + ω × rSP = rS + ω × rSP Damit wird G (v ) G G G 2 = rS + ω × rSP = G G 2 G G G G = r 2 + (ω × rSP ) + 2 rS ⋅ ω × rSP ( 2 ) ( ) Nebenrechnung: G G (ω × rSP ) ex = 0 xSP 2 ey ω ySP 2 ez 0 = (exω zSP − ezω xSP ) 2 = zSP 2 2 = ω 2 (ex2 zSP + ez2 xSP − 2 ex ez zSP xSP ) = N N N =1 =1 =0 = ω (x + z ) 2 2 SP 2 SP G2 r G 2 G G G ( v ) = xS2 + zS2 + ω 2 xSP2 + zSP2 + 2 rS ⋅ ω × rSP ( ) ( ) Dies eingesetzt in die Gleichung für die kinetische Energie ergibt T= 1 1 1 G G G 2 2 xS2 + y S2 dm + ∫ ω 2 xSP + ySP dm + ∫ 2 rS ⋅ ω × rSP dm ∫ 2V 2V 2V ( ) 1 2 mvS 2 Æ Tges = Ttrans + Trot = ( ) 1 ISω2 2 ( ) 0 1 2 1 mvS + I S ω 2 2 2 D.h.: die kinetische Energie des starren Körpers setzt sich aus einem translatorischen und einem rotatorischen Anteil zusammen. Version 2.01 vom 09.03.2006 G vS III.66 Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik 5.4.4 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 Beispiele zu Kinetik des starren Körpers: Beispiele: Gegeben: l Stab mit Streckenlast q, in A drehbar gelagert, bei B an α einem Faden aufgehängt. Gesucht: S A unmittelbar nach Durchschneiden des Fadens FG = mg = ql m= Æ B FG Auflagerkraft in A, Beschleunigung aS, a0 am Punkt B FA aS ql g a) Lösung aus Impulssatz und Drehimpulssatz: Resultierende äußere Kraft aus Freischnittbild: FG − FA − maS = 0 (Impulssatz) FA = FG − maS = m( g − aS ) a 2a a α= S = S = 0 l l l 2 l Aus M A = I Aα = FG (Drehimpulssatz für A) 2 M folgt α= A IA ml ² ml ² ml ² mit IA = + = 12 4 3 N N maS Æ IS und Æ Verschiebung aus Steiner ´ schem Satz l ql ² mgl = = 2 2 2 mgl 3 3g α= = 2 ml ² 2l M A = FG aS = α Beschleunigungen: l 3g l 3 = = g 2 2l 2 4 3 g 2 3 1 1 FA = m( g − g ) = mg = FG 4 4 4 a0 = α l = Auflagerkraft in A: Alternativ: mit Drehimpulssatz für den Schwerpunkt S: M S = I Sα = FA Mit wird q l 2 (Drehimpulssatz für S) M A 3g = (siehe oben) 2l IA l ml ² 3g und FA = 2 12 2l α= Version 2.01 vom 09.03.2006 FA = 1 mg 4 FA FG aS a0 Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik III.67 b) Lösung nur mit Drehimpulssatz: M S = I Sα = FA = 1 l ml 2α = FA 12 2 1 mlα 6 ml 2 l α = FG 3 2 3 3g α = FG = 2ml 2 l 1 FA = m g 4 M A = I Aα = Æ (für Schwerpunkt S) Version 2.01 vom 09.03.2006 (für A) Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 III.68 Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 Beispiel 2 Mittelpunkt angreifend. Die Scheibe rollt schlupffrei auf der ebenen aS , v S F Unterlage. Zur Zeit t=0 ist die Geschwindigkeit v=0. Gesucht: Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes vS S R a) zur Zeit T m α Gegeben: homogene Scheibe, Radius R, Masse m, Kraft F im b) nach der Strecke L Lösung zu a) m α Lösungsweg 1 (Betrachtung im Schwerpunkt) Zunächst freischneiden: F Iα S aS R Kräftegleichgewicht: F − FR − maS = 0 (Impulssatz) Aus I S α = FR R (Drehimpulssatz für S) 1 und I S = mR ² 2 1 folgt FR = m R α 2 maS FR In Kräftegleichgewicht einsetzen: 1 F − mRα − maS = 0 2 Rollbedingug: Æ aS = α R a 1 F − mR S − maS = 0 2 R 2F aS = 3m 2 FT vS = a S T = 3 m m Lösungsweg 2 (mit Momentanpol) α Zunächst freischneiden: aS = α R F Iα S aS R 1 3 I G = I S + mR 2 = mR 2 + mR 2 = mR 2 2 2 M G = I Gα (Drehimpulssatz für G) G MG 2 F FR = = 3 IG mR ² 3 mR 2 2 FT vS = a S T = 3 m α= Version 2.01 vom 09.03.2006 Æ aS = α R = 2F 3m maS III.69 Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 Lösungsweg 3 (mit reduzierter Masse und Impuls) Die reduzierte Masse um den Drehpunkt G ist mredS = IG = IG R² 1 3 mR ² + mR ² = mR ² 2 2 mred IS 3 mR ² 3 = m 2 R² 2 F = mredS ⋅ aS F 2F aS = = mredS 3m 2 FT vS = a S T = 3m mredS = Æ Æ (Impulssatz) b) Geschwindigkeit am Ort L Lösungsweg 1 Für aS = konst. : vs = as t + v0 = as t xs = ∫ as tdt = as Mit aS = 2F 3m für v0 = 0 zum Zeitpunkt t = 0 t ² as vS2 = 2 2 aS2 aus (a) Lösungweg 2 (mit Arbeitssatz): T2 + V2 = T1 + V1 + W12nicht kons. N N N =0 0 maS F 0 L 1 2 1 mvS + I S ω ² = ∫ Fdx = FL 2 2 0 N N Ttrans . Trot . W12n . k . T2 v2 1 2 11 mvS + mR ² S = FL 2 22 R² 3 2 mvS = FL 4 FL vS = 2 3m Version 2.01 vom 09.03.2006 Æ Æ vS = 2 a s s s = 2 a s L Æ vS = 2 2F FL L =2 3m 3m t= vs as aS III.70 Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik 5.4.4 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 D’Alembert-Kraft (Resultierende Trägheitskraft) Das System aus einer Einzel-Trägheitskraft und einem Einzel-Trägheitsmoment kann auf eine diesem System gleichwertige Einzel-Trägheitskraft reduziert werden. e α I Sα S aS IS , m maS maS ma S = maS S e = − m aS S Darstellung des Moments durch ein Kräftepaar mit dem Betrag maS : emaS = α I S Für die beiden Einzelkräfte ergibt sich mit e als Abstand der beiden Kräfte: e= α IS aS m , oder mit dem Trägheitsradius um den Schwerpunkt iS ⋅ m = I S 2 e = iS2 α aS Die resultierende Trägheitskraft muss mit den Antriebs- und Führungskräften zu jedem Zeitpunkt im Gleichgewicht sein. Version 2.01 vom 09.03.2006 Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik III.71 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 6. Mechanische Schwingungen 6.1 Allgemeines Schwingungen sind regelmäßig auftretende zeitliche Schwankungen von Zustandsgrößen. z.B. Zustandsgröße Ort Die Zustandsgröße ändert sich periodisch, also x = x(t ) x = x(t + T ) Mit T= Periode, Schwingungsdauer. D.h. in jeweils gleichem zeitlichen Abstand T erhält die Zustandsgröße wieder den gleichen Wert. Eigenschwingungen: Bewegung eines schwingungsfähigen Systems, das sich selbst überlassen ist. Es findet ein ständiger Austausch zwischen potentieller und kinetischer Energie statt. U + T = konst. Æ ungedämpfte Schwingung Wird Energie in Wärme umgesetzt, so ergeben sich gedämpfte Schwingungen. Man teilt Schwingungen nach der Anzahl der Freiheitsgrade ein (maximal 6 beim starren Körper). Im Folgenden betrachten wir nur Schwingungen mit einem Freiheitsgrad. 6.2 Freie ungedämpfte Schwingungen Wir nehmen eine masselose Feder mit der Federkonstante k an. Im Zustand links ist sie kraftfrei. Durch Anhängen der Masse m verlängert sich die Feder um z0 (statische Auslenkung). Die Ruhelage der Feder mit angehängter Masse m ist z=0. Wir suchen die Bewegung z(t) der Masse. 6.2.1 Aufstellen der Differentialgleichung Kräftegleichgewicht in Ruhe (z=0): mg = kz0 z0 z z=0 z Kräftegleichgewicht in Bewegung: mg = k ( z + z0 ) + mz in Ruhe in Bewegung Eingesetzt: kz0 = k ( z + z0 ) + mz mz + kz = 0 (lineare Differentialgleichung 2. Ordnung) k bzw. z+ z=0 m k = ω02 folgt Mit Abkürzung m Æ z +ω ⋅ z = 0 2 0 mz k ( z + z0 ) mg m z mg z Differentialgleichung für freie ungedämpfte Schwingung (vgl. Kap. 3.2.4) Version 2.01 vom 09.03.2006 kz0 III.72 Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik 6.2.2 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 Allgemeine Lösung der Differentialgleichung: Die allgemeine Lösung obiger Differentialgleichung lautet: z = A sin ω0t + B cos ω0t harmonische Schwingung Dabei sind A, B Integrationskonstanten, die aus den Anfangsbedingungen bestimmt werden können. ω0 = Definition: Mit k m Kreisfrequenz A = C cos ϕ und B = C sin ϕ ergibt sich: z = C cos ϕ sin ω0t + C sin ϕ cos ω0t Und weiter: z = C sin (ω0t + ϕ ) harmonische Schwingung A² + B ² = C ² ( cos ²ϕ + sin ²ϕ ) = C ² C = A² + B ² B tan ϕ = Æ A Amplitude der Schwingung B A ϕ = arctan Phasenwinkel Betrachten der Randbedingungen: gilt: z = z0 Für t = 0 und z = v0 Aus der Gleichung für die harmonische Schwingung: z = A sin ω0t + B cos ω0t z = Aω0 cos ω0t − Bω0 sin ω0t z (0) = v0 = Aω0 Æ Æ A= v0 ω0 z (0) = z0 = B Æ B = z0 v z = 0 sin ω0t + z0 cos ω0t ω0 z = C sin(ω0t + ϕ ) Version 2.01 vom 09.03.2006 v02 mit C= Und tan ϕ = ω 2 0 + z02 z0ω0 v0 III.73 Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 Kenngrößen der Schwingung: T ω0 = 2π Schwingungsdauer: 2π T= ω0 = 2π m k Frequenz: f0 = 1 ω0 1 = = T 2π 2π Kreisfrequenz: ω0 = 2π k = = 2π f 0 T m Schwingungszahl/min n = 60 f 0 = 30 k m k m π Auslenkung, Geschwindigkeit, Beschleunigung bei einer linearen Schwingung: z + ω 2 z = 0; 0 z (t ) = C sin(ω0t + ϕ ) C hier : ϕ = 0 4 2 0 0 ,0 0 1 ,5 7 3 ,1 4 4 ,7 1 6 ,2 8 7 ,8 5 9 ,4 2 1 0 ,9 9 1 2 ,5 6 -2 −C -4 vˆ v(t ) = z(t ) = vˆ cos(ω0t ), 4 vˆ = ω0C 2 0 0 ,0 0 1 ,5 7 3 ,1 4 4 ,7 1 6 ,2 8 7 ,8 5 9 ,4 2 1 0 ,9 9 1 2 ,5 6 -2 −vˆ -4 aˆ 4 a (t ) = v(t ) = z (t ) = −ω02 z (t ) = − aˆ sin(ω0t ), aˆ = ω02C = ω0 vˆ 2 0 0 ,0 0 1 ,5 7 3 ,1 4 4 ,7 1 6 ,2 8 7 ,8 5 9 ,4 2 1 0 ,9 9 1 2 ,5 6 -2 − aˆ -4 T (t ) Eges = T (t ) + V (t ) = const. V (t ) Eges = const. 4 2 0 0 ,0 0 1 ,5 7 3 ,1 4 4 ,7 1 6 ,2 8 -2 -4 Achtung : doppelte Frequenz 2ω0 Version 2.01 vom 09.03.2006 7 ,8 5 9 ,4 2 1 0 ,9 9 1 2 ,5 6 III.74 Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik 6.2.3 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 Ableitung der Differentialgleichung aus dem Energiesatz: dU dT U + T = konst. Æ + =0 dt dt z z U = − ∫ Fz dz = − ∫ [mg − k ( z + z0 )]dz + C U = − mgz + k Für z=0 → z² + kz0 z + C 2 U =0 k(z+z0) → Gleichgewichtsbedingung im Ruhezustand: mg = kz0 U = − mgz + k U =k m C=0 z mg z² + mgz 2 z² 2 m z ² 2 dU dT z z + = 2k z + 2m z=0 dt dt 2 2 kz + mz = 0 k k z+ z=0 = ω02 m m T= 6.2.4 Näherungsformel für Eigenfrequenz Gegeben: m, z0 (statische Auslenkung) m g = k z0 k g = m z0 mit ω0 = k = m f0 = ω0 1 = 2π 2π g z0 g z0 Æ Die Eigenfrequenz ist unabhängig von der Federsteifigkeit und der Masse! Mit g= 9,81 m/sec² folgt f0 ≈ 0,5 Hz z0 [ z0 in m] Beispiel: z0 = 40 mm Version 2.01 vom 09.03.2006 f0 ≈ 0,5 1 = 2,5 Hz 0, 04 s z0 z=0 Æ U=0 Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik 6.2.5 III.75 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 Zusammengesetzte Federsysteme a) Parallelschaltung F = F1 + F2 = (k1 + k2 ) z F = k ges z Allgemein: k = k1 + k2 + ... + kn ( z1 = z2 = ... = zn ) k1 k2 Das Federsystem wird durch zusätzliche parallel geschaltete Federn „härter“. z F b) Reihenschaltung (Hintereinanderschaltung, Serienschaltung) F1 = F2 = F F z1 = k1 F z2 = k2 F z= k ges z = z1 + z1 = F ( k ges = k1 1 1 F + )= k1 k2 k ges k1k2 k1 + k2 k2 Allgemein: 1 1 1 1 = + + ... + k k1 k2 kn F = F1 = F2 = ... = Fn Das Federsystem wird durch zusätzliche in Reihe geschaltete Federn „weicher“. Version 2.01 vom 09.03.2006 z F III.76 Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik 6.2.6 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 Biegeschwingungen In die Differentialgleichung wird die Federkonstante des Biegesystems eingesetzt. Die weitere Berechnung ist analog Kap. 6.2.3. Beispiel: Gegeben: Scheibe auf Welle, beidseitig fest eingespannt Gesucht: Schwingungsdauer der Biegeschwingung r d m = 1 kg g = 10 m/s² d = 10 mm l = 100 mm r = 50 mm mg E = 210.000 N/mm² l l G = 80.000 N/mm² aus der Elastostatik folgt: l* Durchbiegung: *3 F l EI 192 l * = 2l F l3 f = EI 24 F 24 EI k= = 3 3 F l l EI 24 f = Hier mit Federsteifigkeit k= 24 Eπ d 3 Eπ d = 3 64l 8 l3 T = 2π 4 πd4 64 4 m 8 m l3 = 2π k 3Eπ d4 T == 4 ⋅10−3 s f 0 ≈ 250 Hz Version 2.01 vom 09.03.2006 f I yy = Mit Flächenmoment 2. Ordnung wird F Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik 6.2.7 III.77 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 Drehschwingungen Analogie zur Translationsschwingung: Translationsschwingung Torsionsschwingung ϕ k k M m I z F Masse m Trägheitsmoment Federweg z Auslenkung I ϕ Federkonstante k= Drehfederkonstante k = Eigenfrequenz ω= Eigenfrequenz ω= Version 2.01 vom 09.03.2006 F z k m M ϕ k I III.78 Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 Beispiel zu Torsionsschwingung: Gegeben: Scheibe auf Welle, beidseitig fest eingespannt Gesucht: Schwingungsdauer der Torsionsschwingung r d m = 1 kg g = 10 m/s² d = 10 mm l = 100 mm r = 50 mm mg E = 210.000 N/mm² Verdrehwinkel linke Seite ϕli = Polares Flächenmoment Ip = Æ Gesamtsteifigkeit l l G = 80.000 N/mm² Ml G Ip π d4 π r4 2 G I M Gπ d4 p =k = = 32 l ϕli l k ges 32 = Gπ d4 = 2k = 16 l Bestimmung der Schwingdauer: T= mit Massenträgheitsmoment 2π ω = 2π I k ges m I = r² 2 T = 2π r d m ϕ m r ² 16 l 2 Gπ d 4 k k T = 5, 66 ⋅10−3 s f 0 ≈ 177 Hz l l Achtung: Flächenmomente 2. Ordnung (verantwortlich für Biege- und Torsions-Steifigkeit) und Massenträgheitsmomente (verantworlich für d’Alembert-Trägheitsmoment) nicht verwechseln! Bemerkung: zusätzlich sind sog. Flatterschwingungen möglich. Version 2.01 vom 09.03.2006 III.79 Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 6.3 Gedämpfte Schwingungen (Eigenschwingungen) Bei jeder Schwingung wird durch Reibung Bewegungsenergie in Wärme umgewandelt. Daher ergeben sich gedämpfte Schwingungen. Es gelten folgende Gesetzmäßigkeiten: a) Trockene Reibung FR = µFN mit FR = Reibungskraft FN = Normalkraft µ = Reibungskoeffizient Die Reibungskraft ist immer der Bewegung entgegengesetzt gerichtet. b) Flüssigkeitsreibung G G FR = b ⋅ v mit b = Dämpfungskoeffizient Die Flüssigkeitsreibung ist geschwindigkeitsabhängig. Die Reibungskraft ist immer der Bewegung entgegengesetzt gerichtet. Technisch ist hauptsächlich Fall b) von Bedeutung und wird daher hier weiter behandelt: Als Dämpfungselement wird z.B. ein ölgefüllter Zylinder mit Kolben eingesetzt (Stoßdämpfer). FR 6.3.1 x Geschwindigkeitsproportionale Dämpfung Das Schaubild zeigt ein Feder- Dämpfersystem mit einer Masse m. In Ruhelage ist die Feder durch das Gewicht der Masse um den Betrag z0 ausgelenkt. Es gelten: Federkraft: Dämpfungskraft Fk = k ( z + z0 ) FD = bz Trägheitskraft: mz (entgegen der b k z0 Kräftegleichgewicht: Fk + mz + FD = mg k ( z + z0 ) + mz + bz = mg Fk mz mg z z in Ruhe ist: k z0 = m g Eingesetzt: mz + bz + kz = 0 k (Eigenfrequenz der ungedämpften Schwingung) = ω02 m Mit Version 2.01 vom 09.03.2006 z mg Beschleunigungsrichtung) FD III.80 Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik b z + ω02 z = 0 m z+ Folgt: Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 (Differentialgleichung der gedämpften Eigenschwingung) b b = ω0 = m mω0 Durch Umformen: b k m m b = 2D km b D= 2 mk ω0 = b ω0 km b = 2 Dω0 m Æ D = Dämpfungsgrad / Dämpfungsmaß / Dämpfungsfaktor (dimensionslos) Damit wird die Differentialgleichung der gedämpften Schwingung zu: z + 2 Dω0 z + ω02 z = 0 λt Lösungsverfahren am einfachsten mit dem e - Ansatz: Wir setzen an: Æ z (t ) = Ceλt z (t ) = λCeλt z (t ) = λ 2Ceλt mit C und λ als unbekannten (freien) Konstanten. Einsetzen in die Differentialgleichung liefert: 2C λ 2 eλt + 2 Dω0 λ eλt + ω02 eλt = 0 ( ) Ceλt λ 2 + 2 Dω0 λ + ω02 = 0 Da eλt ≠ 0 können wir dadurch teilen und es ergibt sich C ( λ 2 + 2 Dω0 λ + ω02 ) = 0 Die triviale Lösung C = 0 beschreibt die Ruhelage des Systems und interessiert hier nicht. Daher können wir die anderen Lösungen betrachten λ 2 + 2 Dω0λ + ω02 = 0 Ergibt als Lösungen die beiden Eigenwerte: λ12 = −2 Dω0 ± 4 D 2ω02 − 4ω02 2 λ12 = − Dω0 ± ω0 D 2 − 1 Die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung erhält man durch Einsetzen der Eigenwerte: z (t ) = C1eλ1t + C2 eλ2t Einsetzen von λ12 ergibt z (t ) = C1e ( − Dω +ω 0 Version 2.01 vom 09.03.2006 0 ) D 2 −1 t + C2 e ( − Dω −ω 0 0 ) D 2 −1 t III.81 Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 An dieser Stelle müssen wir folgende Fallunterscheidungen treffen: a) D 2 > 1 : Es findet nur ein Abklingvorgang statt, die Dämpfung ist so groß, dass keine Schwingung auftritt. D = 1 : Grenzfall: Es findet nur ein Abklingvorgang statt, noch keine Schwingung 2 c) D < 1 : Es ergibt sich eine abklingende Schwingung b) 2 Wir betrachten nur die Fälle b) und c) 6.3.2 Aperiodischer Grenzfall D2 = 1 , Es gilt somit ist D2 −1 = 0 Die Lösung des Eigenwertproblems λ12 = − Dω0 ± ω0 D 2 − 1 ergibt λ12 = − Dω0 = ω0 Die beiden Eigenwerte fallen zusammen, das System entartet. Daher formulieren wir die neue Lösung t e −ω0t und somit: Dies führt zur Lösung für die Differentialgleichung´ z (t ) = C1e −ω0t + t C2 e−ω0t z (t ) = e −ω0t ( C1 + C2t ) Einsetzen der Randbedingungen Bei t = 0: → z = 0, z = v0 C1 = 0 z = −ω0 e −ω0t C2t + e −ω0t C2 C2 = v0 Æ z z (t ) = v0te −ω0t tanψ = v0 t Version 2.01 vom 09.03.2006 III.82 Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik 6.3.3 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 Periodische Bewegung Dies ist der technisch wichtigste Fall: D < 1 2 Æ D2 −1 < 0 In diesem Fall setzt man: λ12 = − Dω0 ± i ω0 1 − D 2 mit D= b <1 2 mk mit (Æ D2 < 1 b < 2 mk ) Man definiert: i := −1 δ := Dω0 imaginäre Einheit Abklingkoeffizient ω := ω0 1 − D 2 Kreisfrequenz der gedämpften Schwingung Damit werden die Eigenwerte zu λ12 = −δ ± iω Es ergibt sich somit die allgemeine Lösung: z (t ) = C1e( −δ + iω )t ( + C2 e( −δ + iω )t = e −δ t C1eiωt + C2 e − iωt ) Wir können umformen mit eiωt = cos ωt + i sin ωt e − iωt = cos ωt − i sin ωt Und einsetzen: ( z = e −δ t C1eiωt + C2 e − iωt ) = e −δ t [C1 cos ωt + C1i sin ωt + C2 cos ωt − C2i sin ωt ] = e −δ t ( C1 + C2 ) cos ωt + i ( C1 − C2 ) sin ωt A B −δ t = e [ A cos ωt + B sin ωt ] z = e −δ t [ A cos ωt + B sin ωt ] (*) mit A = C1 + C2 und B = i ( C1 − C2 ) A und B werden aus den Anfangsbedingungen bestimmt: Für t = 0 : → z = z0 , z = v0 Einsetzen z0 = e0 [ A cos 0 + B sin 0] = A A = z0 z = −δ e −δ t [ A cos ωt + B sin ωt ] + e−δ t [ −ω A sin ωt + ω B cos ωt ] = = e −δ t (ω B − δ A ) cos ωt − (ω A + δ B ) sin ωt Version 2.01 vom 09.03.2006 Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik III.83 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 v0 = e0 (ω B − δ A ) cos 0 − (ω A + δ B ) sin 0 v0 = ω B − δ A B= v0 + δ z0 ω Und somit wird (*) zu: v + δ z0 z = e −δ t z0 cos ωt + 0 sin ωt ω Oder in anderer Schreibweise ˆ −δ t cos (ωt + ϕ0 ) z (t ) = ze Mit v + δ z0 zˆ = z + 0 ω v + δ z0 Und tan ϕ0 = − 0 ω z0 2 2 0 z ẑ ˆ −δ t cos (ω t + ϕ 0 ) z (t ) = ze z0 ˆ −δ t ze ˆ −δ t − ze − ẑ Version 2.01 vom 09.03.2006 III.84 Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 Bestimmung der Maxima und Minima: ˆ −δ t cos (ωt + ϕ0 ) − ze ˆ −δ tω sin (ωt + ϕ0 ) = 0 z = −δ ze −δ cos (ωt + ϕ0 ) − ω sin (ωt + ϕ0 ) = 0 tan (ωt + ϕ0 ) = −δ für ω t Æ T ωt = Tg Æ Zeitlicher Abstand aufeinander folgender gleichsinniger Amplituden T= 2π ω = 2π ω0 1 − D 2 T ist die Schwingungsdauer der gedämpften Schwingung. Mit der Kreisfrequenz ω bestimmt man die Frequenz der gedämpften Schwingung zu: f = ω ω0 = 1 − D 2 = f0 1 − D2 2π 2π Hinweis: Frequenz und Kreisfrequenz der gedämpften Schwingung sind kleiner als bei der ungedämpften Schwingung. Der Unterschied ist klein bei D² << 1. Verhältnis aufeinander folgender Amplituden nach derselben Seite: A A1 e −δ t = n = −δ ( t +T ) = eδ T = e Dω0T A2 An +1 e An =e An +1 oder Λ = ln D 2π 1− D 2 = konst. An An +1 Logarithmisches Dekrement (Lambda): Das logarithmische Dekrement kann man durch Messen der aufeinanderfolgenden Extremausschläge messen. Daraus lässt sich der Dämpfungsgrad bestimmen nach: An Dω0 2π 2π D = δ T = Dω0T = = 2 An +1 ω0 1 − D 1 − D2 1 Umgeformt nach D: D2 = 2 2π 1+ Λ Λ = ln Wenn man die Maximalausschläge an, an+1, etc. und die Schwingungsdauer T= 2π ω = 2π ω0 1 − D 2 Version 2.01 vom 09.03.2006 Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik III.85 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 bestimmt, kann man den Dämpfungsgrad über das logarithmische Dekrement berechnen: Abstand zwischen zusammengehörigen Punkten E (Maximalausschläge) und B (Berührpunkte an die Umhüllende): ∆t = 1 ω arctan δ ω Die analogen Aussagen können auch für Drehschwingungen gewonnen werden, indem man in Analogie einsetzt: m → Für z → für die Dämpfung das Reibmoment: M R = −bϕ Für Version 2.01 vom 09.03.2006 I ϕ III.86 Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 6.4 Erzwungene gedämpfte Schwingungen Bei den bisher behandelten freien Schwingungen erfolgt nach der Anregung keine weitere Energiezufuhr mehr von außen. Bei Vorliegen von Dämpfung (in der Praxis immer) klingt die Schwingung ab, da mechanische Energie durch Reibung in Wärme umgewandelt wird. Im Gegensatz dazu wird bei erzwungenen Schwingungen ständig Energie von außen zugeführt. Man erhält damit einen stationären Bewegungszustand, der sich bei gedämpften Systemen nach dem Abklingen des Einschwingvorgangs einstellt. Im Folgenden werden wir den stationären Zustand untersuchen. Erzwungene Schwingungen entstehen, wenn an einem schwingungsfähigen System äußere periodische Kräfte angreifen. Sie können entweder angreifen Am Federende Am Dämpfergehäuse An der schwingenden Masse 6.4.1 Erregung am Federende (Fall A) Gesucht ist die zA Bewegungsgleichung, wenn k die Bewegung am Federende (Anregung) ist: z A = z A0 sin Ωt FD = bz z0 m z Die statische Auslenkung Ruhelage b durch die Gewichtskraft mg beträgt z0. Aufstellen Gleichgewichtsbedingung: G − mz − FD − FK = 0 − mz − bz − k ( z + z0 − z A ) + mg = 0 Wird mit kz0 = mg mz + bz + kz + mg − mg = kz A = kz A0 sin Ωt mz + bz + kz = kz A = kz A0 sin Ωt Version 2.01 vom 09.03.2006 FK = k ( z + z 0 − z A ) k z m b mz G = mg Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik III.87 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 b k k k z + z = z A = z A0 sin Ωt m m m m b k und = 2 Dω0 (siehe Kap. 2.7.2) sowie mit ω0 = m m D ⋅ z A0 = F0 (Anregungskraft, periodisch wirkend) z+ Mit F k z A = 0 sin Ωt m m wird z + 2 Dω0 z + ω02 z = Für D ² << 1 ergibt sich die allgemeine Lösung: z = Ce − Dω0t sin 1 − D ²ω0 t + ϕ0 + A sin ( Ωt − ϕ ) ω − Dω0t z = Ce sin (ω t + ϕ0 ) + A sin ( Ω t − ϕ ) C , ϕ0 sind Integrationskonstanten, Bestimmung aus den Randbedingungen. Interpretation: 1. z = Ce − Dω0t sin (ω t + ϕ0 ) + A sin ( Ω t − ϕ ) homogene Lösung. Dies ist der Eigenschwingungsanteil mit abklingender Amplitude 2. z = A sin ( Ωt − ϕ ) partikuläre Lösung (stationärer Anteil) Der Eigenschwingungsanteil klingt ab gegen → 0 für t → ∞ Daher wird hier nur der statiönäre Anteil untersucht. z = A sin ( Ωt − ϕ ) A und ϕ sind keine Integrationskonstanten, sie werden durch Einsetzen von A sin ( Ωt − ϕ ) in die Differentialgleichung gefunden. Bestimmung von A Es ergibt sich mit dem Frequenzverhältnis η= A= Ω ω0 F0 k = Erregerfrequenz ungedämpfte Eigenfrequenz 1 (1 −η ) 2 2 + 4 D 2η 2 Dies ist die Amplitude im stationären, eingeschwungenen Zustand. Umformen führt zu: Version 2.01 vom 09.03.2006 III.88 Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik A= VA = Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 z A0 (1 −η ) 2 2 A = z A0 + 4 D 2η 2 1 (1 −η ) 2 2 Verstärkungs- oder Vergrößerungsfaktor + 4D η 2 2 mit zA0 als Anregungsamplitude am Federende (Fall A). Bestimmung von ϕ: tan ϕ = 2 Dη 1 −η 2 Die Dämpfung bewirkt somit ein Nacheilen der stationären Schwingung gegenüber der Erregung um den Winkel ϕ. Schwingungsdauer: Tstationär = Tstationär = 2π Ω Schwingungsdauer der stationären Schwingung 2π ω0 1 − D 2 = 2π ω Schwingungsdauer des abklingenden Anteils z A t TG Version 2.01 vom 09.03.2006 T III.89 Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 Abhängigkeiten des Verstärkungsfaktors VA (für Fall A, Anregung am Federende): VA = 1 (1 −η ) 2 2 + 4 D 2η 2 Bestimmung des Maximums: (( dVA 1 1 −η 2 =− dη 2 dVA =0 → dη ( ) ) 2 + 4D η 2 2 ) − 3 2 ( ) 2 1 − η 2 ( −2η ) + 8 D 2η η = ηmax 2 1 − η 2 ( −2η ) + 8 D 2η = 0 ( ) −4 1 − η 2 + 8 D 2 = 0 η = 1 − 2 D 2 = ηmax Damit wird 1 VA max = ( ) 2 ( 1 − 1 − 2 D 2 + 4 D 2 1 − 2 D 2 ) Und weiter VA max = VA max oder 1 4 D + 4D − 8D 4 = 2 VA max 4 D2 = 1 2D 1 − D2 VA max = 1 (1 −η ) 2 2 max 2 + 4 D 2η max 2 1 − η max 2 = 1 2 4 2 + η max + 4 D 2ηmax 1 − 2ηmax 1 = 2 4 + η max + 1 − 2ηmax = VA max = = ( ) 2 2 ηmax 4 1 − ηmax 2 1 1 − 2η 2 max +η 4 max 2 4 + 2η max − 2ηmax 1 4 1 − ηmax Interpretation: Der maximale Vergrößerungsfaktor für Dämpfungsgrade D > 0 liegt unterhalb des Frequenzverhältnisses η =1 Abhängigkeiten des Phasenwinkels φ: tan ϕ = 2D 1 −η 2 „Unterkritisch“: „Überkritisch“: η < 1; tan ϕ ≥ 0; η > 1; tan ϕ < 0; Version 2.01 vom 09.03.2006 0≤ϕ < π 2 π 2 <ϕ ≤π = III.90 Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik π1 D=0 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 D=0,1 D=0,25 D=0,5 D=0,75 3π/4 0,75 Phasenwinkel ϕ D=1 π/2 0,5 π/4 0,25 0 0 0,5 1 1,5 2 Frequenzverhältnis η Version 2.01 vom 09.03.2006 2,5 3 III.91 Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik 6.4.2 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 Erregung am Dämpfungsgehäuse (Fall B) Maßgebend für die Dämpfungskraft ist die Relativgeschwindigkeit zwischen k Kolben und Gehäuse. FK = kz k FD = b ( z − z B ) Somit wird die resultierende gesamte m Dämpfungskraft aus der Differenz z , z m zwischen der Geschwindigkeit der zB Masse und des Dämpfungselementes b bestimmt: mz G = mg b zB FD = b( z − zB ) = bz − bzB Die Anregungskraft ist: F0 sin Ωt = bzB Dabei ist F0 = b zB 0 = b vB 0 Æ zB = Æ vB 0 = F0 b F0 sin Ωt = vB 0 sin Ωt b Integration führt zu vB cos Ωt + C Ω vB = z B 0 ist Mit z B (0) = z B 0 und Ω Æ z B = − z B 0 cos Ωt zB = − C =0 Differenzieren zB = z B 0 Ω sin Ωt F0 sin Ωt = bzB = bz B 0 Ω sin Ωt F0 = bz B 0 Ω Mit b = 2 D km = 2 Dmω0 und ω0 = k wird m F0 = 2 Dmω0 z B 0 Ω F0 Ω m = 2 D ω0 z B 0 Ω = 2 Dz B 0 = 2 Dz B 0η k k ω0 Für Fall A wurde die Lösung bestimmt. Für den stationären Zustand ergab sich: z = A sin ( Ωt − ϕ ) Die Konstante A bestimmte sich zu: F A A = z A0VA = 0 VA mit und z A0 k F 1 A= 0 2 k N 1 − η 2 + 4 D 2η 2 z VA = A0 ( Version 2.01 vom 09.03.2006 ) III.92 Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik Im Fall B wird für A = zB 0 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 F0 = 2η z B 0 eingesetzt und es ergibt sich k 2 Dη (1 −η ) 2 2 + 4 D 2η 2 Und somit für den Verstärkungsfaktor: VB = A = zB 0 2 Dη (1 −η ) 2 2 + 4 D 2η 2 Gegenüber Fall A ist der Faktor im Zähler hinzugekommen, während die Phase unverändert bleibt. NB Anschaulich kann man auch herleiten: die Wirkung von der Anregungskraft auf die Feder bewirkt im Fall A eine periodische Kraft der Amplitude F0 = z A0 k . An ihre Stelle tritt jetzt eine periodische Kraft am Dämpfer mit der Amplitude F0 = bz B 0 Ω Gleichsetzen ergibt z A0 k = bz B 0 Ω = 2 D bmΩ und nach Umformen z A0 = bz B 0 Ω = 2 Dη Für den Phasenwinkel zwischen erregter Schwingung z = A sin ( Ωt − ϕ ) und der Geschwindigkeit der Erregerschwingung zB = z B 0 Ω sin Ωt bzw. Anregungskraft F = F0 sin Ωt gilt die analoge Vorgehensweise: tan ϕ = 2 Dη 1 −η 2 Für ηmax ergibt sich η B max = 1 → Version 2.01 vom 09.03.2006 VB max = 1 III.93 Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 1,2 Verstärkungsfaktor V B 1 D=1 0,8 D=0,5 0,6 D=0,25 0,4 D=0,1 0,2 D=0,02 D=0 0 0 0,5 1 1,5 2 Frequenzverhältnis η Version 2.01 vom 09.03.2006 2,5 3 III.94 Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik 6.4.3 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 Erregung durch Massenkräfte (Fall C) z.B. bewegtes Gehäuse Wir untersuchen die Bewegung relativ zum Gehäuse zC (z.B. die Bewegung in einem Kfz relativ zum Kfz.) z bestimmt sich: z = zC + zrel Die Koordinate k k z rel k b zrel Das Gehäuse wird durch die Kraft F0 sin ωt zu z , z m Bewegungen angeregt: zC = zC 0 sin Ωt am Gehäuse. z rel m Gleichgewichtsbedingung: b mz + bzrel + kzrel = 0 mzC + mzrel + bzrel + kzrel = 0 mzrel + bzrel + kzrel = −mzC b Bei sinusförmiger Anregung wird zC = zC 0 sin Ωt zC = − zC 0 Ω 2 sin Ωt Und mzrel + bzrel + kzrel = m zC 0 Ω 2 sin Ωt Anregungskraft F mzrel + bzrel + kzrel = F0 sin Ωt F b k zrel + zrel + zrel = 0 sin Ωt m m m Durch Vergleich mit gedämpfter freier Schwingung relativ zum Gehäuse und Fall A mz + bz + kz = kz A = kz A0 sin Ωt N F0 setzen wir nun den Index rel mzrel + bzrel + kzrel = F0 sin Ωt F zrel + 2 Dω0 zrel + ω02 zrel = 0 sin Ωt m Wie oben gesehen, können wir einsetzen: F0 = zC 0 Ω 2 m F m Ω2 zC 0 Ω 2 = zC 0 2 = zC 0η 2 Bzw. 0 = ω0 k k Somit können wir für den stationären Fall z = A sin ( Ωt − ϕ ) Wieder einsetzen; A= F0 k N zA0 1 (1 −η ) 2 Version 2.01 vom 09.03.2006 2 + 4D η 2 2 = zC 0 η2 (1 −η ) 2 2 und somit + 4D η 2 2 Gehäuse mz III.95 Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik VC = η2 A = zC 0 tan ϕ = Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 (1 −η ) 2 2 + 4 D 2η 2 2 Dη 1 −η 2 Für ηmax ergibt sich 1 ηmax = Vmax = 1 − 2D2 1 2D 1 − D2 3 D=0 2,5 Verstärkungsfaktor VC D=0,25 2 1,5 D=0,5 1 D=0,707 D=1 0,5 0 0 0,5 1 1,5 2 Frequenzverhältnis η Version 2.01 vom 09.03.2006 2,5 3 III.96 Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik 6.4.4 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 Umlaufende Unwucht (Fall D) k Ωt mu 2 Zusätzlich zur Masse Ωt m z D , zD b mu 2 z m läuft eine Unwuchtmasse mu mit der Frequenz Ω um. Um vergleichbare Verhältnisse wie bei den vorhergehenden Fällen zu haben definieren wir: m = m + mu Æ ω0 = k m + mu Gleichgewichtsbedingung für die umlaufenden Masse mu : mit Fz = mu zD zD = z D 0 sin Ωt zD = z D 0 Ω cos Ωt − Fz mu z D 0Ω 2 mu zD = − zD 0 Ω sin Ωt 2 wird: m F0 sin Ω t m u zD Fz = − mu zD 0 Ω sin Ωt Fz zD 2 Ωt Gleichgewicht für m: Anregungskraft: F0 sin Ωt = − Fz = mu zD 0Ω 2 sin Ωt Und weiter F0 m mu m + mu zD0Ω2 sin Ωt = u zD 0 Ω 2 = k k m + mu k F0 mu Ω 2 mu = z = η 2 zD 0 2 D0 k m + mu ω0 m + mu Bestimmung des Schwerpunkts: zS = z D 0 mu m + mu m zS ist der Abstand des Gesamtschwerpunkts vom Schwerpunkt der Masse Æ m und zugleich Drehpunkt der umlaufenden Masse mu. F0 = zSη 2 k Version 2.01 vom 09.03.2006 m S mu zS zD0 III.97 Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik Damit liegen die gleichen Verhältnisse vor wie im Fall C ( VD = A = zS Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 F0 = zC 0η 2 ), wenn wir zC0 durch zS ersetzen: k η2 (1 −η ) 2 2 + 4 D 2η 2 Zur Bestimmung der Kraft auf das Fundament infolge der umlaufenden Unwucht bestimmen wir zunächst die Unwuchtkraft FU : zD0 k Ωt Ωt mu mu S m zS S m z z b b k Die Bedingungen von oben werden so angepasst, dass sich das gesamte System am Fundament abstützt. Ansonsten bleiben die Verhältnisse unverändert. D.h. dieGesamtmasse ist nach wie vor: m = m + mu Und die Anregungskraft (Unwuchtkraft) ist wieder: FU = mu z D 0 Ω 2 sin Ωt Aus zS = z D 0 Folgt: mu m + mu z D 0 mu = zS ( m + mu ) = zS m Eingesetzt: FU = zS m ⋅ Ω 2 sin Ωt = FU 0 sin Ωt (Unwuchtkraft) z FU 0 Die Verschiebung z ist b z = A sin ( Ωt − ϕ0 ) = VD zS sin ( Ωt − ϕ0 ) Und z = VD zS Ω cos ( Ωt − ϕ0 ) k Version 2.01 vom 09.03.2006 III.98 Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06 Damit wird die Kraft auf das Fundament FFU = kz + bz FFU = kVD zS sin ( Ωt − ϕ0 ) + bVD zS Ω cos ( Ωt − ϕ0 ) (Mit A sin α + B cos α = C sin (α + β ) ; C = A² + B ² ; tan β = B umformen zu): A FFU = VD zS k 2 + b 2 Ω 2 sin ( Ωt − ϕ0 +ψ ) tanψ = Mit bVD zS Ω bΩ = kVD zS k b = 2 D km = 2 D k ( m + mu ) b = 2 Dω0 ( m + mu ) tanψ = Mit 2 Dω0 ( m + mu ) Ω k k wird m + mu ω0 = tanψ = 2 DΩ ω0 tanψ = 2Dη FFU 0 FU 0 Mit VD zS k 2 + b 2 Ω 2 = zS ( m + mu ) Ω 2 b = 2 Dω0 ( m + mu ) FFU 0 FU 0 = VD ω04 + 4 D 2ω02Ω 2 Ω2 = VD = VD η2 = VD Mit FU 0 1 + 4D2 Ω2 Ω2 ω02 1 + 4 D 2η 2 ω04 1 + 4 D 2η 2 Ω2 η2 VD = FFU 0 ω02 (1 −η ) 2 = 2 + 4 D 2η 2 1 + 4 D 2η 2 (1 −η ) 2 Version 2.01 vom 09.03.2006 2 + 4 D 2η 2 = Amplitude der Fundamentkraft Amplitude derUnwuchtkraft Technische Mechanik - Kinematik und Kinetik Version 2.01 vom 09.03.2006 III.99 Ettemeyer, Schäfer, Wallrapp, FHM FK06
