1 Komplexe Zahlen

Grenzwertverlag
1
Komplexe Zahlen
1
1.1
Einführung
1.1
Grenzwertverlag
2
Einführung
Problem:
Es gibt algebraische Gleichungen, die in der Menge IR der
reellen Zahlen keine Lösung besitzen.
Beispiel 1.1:
x2 + 1 = 0
⇒
√
x = ± −1
keine reelle Lösung!
⇒
Wir führen ein neues Symbol ein und legen fest:
√
−1 = j
Damit können wird der obigen Gleichung die Lösungen
x = ±j zuordnen.
1.1
Einführung
Grenzwertverlag
3
Wenn wir voraussetzen, dass diese neue Zahlen denselben Rechengesetzen
genügen, wie die reellen Zahlen, erhalten wir damit auch Lösungen für
andere bisher nicht lösbare quadratische Gleichungen, wie das folgende
Beispiel zeigt:
Beispiel 1.2:
Obiges Beispiel zeigt, dass Linearkombinationen von alten reellen Zahlen und Vielfachen der neuen Zahl
j sinnvoll sind.
1.1
Einführung
Grenzwertverlag
4
Bezeichnungen:
a) Der Ausdruck
√
−1 heiÿt imaginäre Einheit und wird mit j bezeichnet.
b) Ausdrücke der Form j y mit y ∈ IR heiÿen imaginäre Zahlen.
c) Ausdrücke der Form z = x + j y mit x, y ∈ IR werden als komplexe
Zahlen bezeichnet.
d) Ist z = x + j y eine komplexe Zahl, so heiÿen
x = Re (z)
Realteil von z
y = Im (z)
Imaginärteil von z .
e) Die Menge
C=
{z = x + j y| x, y ∈ IR} wird als Menge der komple-
xen Zahlen bezeichnet.
1.1
Einführung
Grenzwertverlag
5
Bemerkungen:
1) Der Imaginärteil y einer komplexen Zahl z = x + j y ist selbst eine
reelle Zahl.
Vorsicht!!
Der Imaginärteil ist der Faktor bei j!
2) In der Mathematik wird die imaginäre Einheit
√
−1 üblicherweise mit i
bezeichnet. Wir verwenden hier jedoch das Symbol j, das insbesondere
in der Elektrotechnik üblich ist, um Verwechslungen mit dem Symbol
i für die Stromstärke zu vermeiden.
1.2
Darstellungen komplexer Zahlen
1.2
Grenzwertverlag
6
Darstellungen komplexer Zahlen
Eine komplexe Zahl wird durch zwei reelle Zahlen charakterisiert. Analog
zu zweidimensionalen Vektoren benötigen daher zur geometrischen Veranschaulichung von komplexen Zahlen eine Ebene.
1.2.1
Kartesische Darstellung
Im
6
z = x + jy
y
Jeder komplexen Zahl
z = x + jy
x
entspricht genau ein Punkt
P = (x, y) in der komplexen Zah-
x
Re
lenebene und umgekehrt.
1.2
Darstellungen komplexer Zahlen
Grenzwertverlag
7
Bezeichnungen:
1) Die komplexe Zahlenebene wird auch als Gauÿsche Zahlenebene
bezeichnet.
2) In der Gauÿschen Zahlenebene werden die Achsen des kartesischen Koordinatensystems als reelle Achse bzw. imaginäre Achse bezeichnet.
1.2
Darstellungen komplexer Zahlen
Beispiel 1.3:
Grenzwertverlag
8
Die folgenden komplexen Zahlen sind in der Gauÿschen
Zahlenebene darzustellen:
z1 = 2 + 3j,
z2 = −3 − j
Im
6
z1 = 2 + 3j
x
3j
j
−3
-
1
x
z2 = −3 − j
−j
2
Re
1.2
Darstellungen komplexer Zahlen
Grenzwertverlag
9
Bemerkungen:
1) Wir beschriften die imaginäre Achse hier in der Form j, 2j, 3j . . . wie dies
in der Elektrotechnik üblich ist (und nicht
1, 2, 3, . . .). Das bedeutet,
dass auf dieser Achse nicht der Imaginärteil
Zahl
jy dargestellt wird.
y , sondern die imaginäre
1.2
Darstellungen komplexer Zahlen
Grenzwertverlag
2) Für manche Anwendungen ist es hilf-
Im
reich, eine komplexe Zahl nicht als
6
Punkt
P
=
(x, y)
in
der
Gauÿ-
x
jy
3
schen Zahlenebene zu veranschauli-
z
chen, sondern stattdessen den zuge-
hörigen Ortsvektor zubetrachten:

z = x + jy
⇔
-
Re
x
x
z=  .
y
In diesem Fall spricht man von
z als einem komplexen Zeiger.
10
1.2
Darstellungen komplexer Zahlen
1.2.2
Grenzwertverlag
11
Polardarstellung
Im
Neben der oben eingeführten kar-
tesischen Darstellung z = x + j y
kann eine komplexe Zahl auch entsprechend der neben stehenden Skizze
durch ihren Abstand
r vom Koordina-
tenursprung und den Winkel
6
z = x + jy
jy
x
..
...
..
........
...
...
...
...
r
ϕ
-
Re
x
ϕ eindeu-
tig festgelegt werden.
Diese Darstellung wird als Polardarstellung bezeichnet, da sie einer Beschreibung des entsprechenden Punktes
koordinaten entspricht.
P = (x, y) durch ebene Polar-
1.2
Darstellungen komplexer Zahlen
Zusammenhang zwischen den Koordinaten
Grenzwertverlag
12
(x, y) und (r, ϕ):
Bemerkung:
Der Zusammenhang zwischen dem Quotienten
y und dem Winkel ϕ ∈
x
[0, 2π) ist nicht eindeutig, da die Tangensfunktion π -periodisch ist. Die
damit verbundene Problematik werden wir im folgenden Abschnitt genauer betrachten.
1.2
Darstellungen komplexer Zahlen
Grenzwertverlag
13
Damit erhalten wir die trigonometrische Darstellung
z = x + j y = r cos ϕ + j r sin ϕ
Im Folgenden wird der Ausdruck
⇒
z = r (cos ϕ + j sin ϕ)
cos ϕ + j sin ϕ sehr häug auftreten.
Deshalb führen wir dafür die Abkürzung
e jϕ = cos ϕ + j sin ϕ
ein.
Somit ergibt sich schlieÿlich eine sehr kompakte Darstellung, die sogenannte Exponential-Darstellung einer komplexen Zahl:
z = r (cos ϕ + j r sin ϕ) = rejϕ
1.2
Darstellungen komplexer Zahlen
Grenzwertverlag
14
Bezeichnungen:
r = |z|
Betrag von z
ϕ = arg z
Argument oder Phase von z
(Abstand von
z zum Koordinatenursprung)
1.2
Darstellungen komplexer Zahlen
Grenzwertverlag
15
Wir fassen die verschiedenen Arten, komplexe Zahlen darzustellen, nochmals zusammen:
Darstellung komplexer Zahlen:
Eine komplexe Zahl
z lässt sich auf verschiedene Arten darstellen:
1) z = x + jy
(kartesische Darstellung)
2) z = r(cos ϕ + j sin ϕ)
(trigonometrische Darstellung)
3) z = rejϕ
(Exponential-Darstellung)
Die Darstellungen 2) und 3) werden unter dem Begri Polardar-
stellung zusammengefasst.
1.2
Darstellungen komplexer Zahlen
1.2.3
Grenzwertverlag
16
Umrechnung zwischen den Darstellungen
Die Umrechnung von der Exponential-Darstellung in die kartesische Darstellung erfolgt mit Hilfe der trigonometrischen Darstellung:
Beispiel 1.4:
1.2
Darstellungen komplexer Zahlen
Grenzwertverlag
17
Bei der Umrechnung von der kartesischen Darstellung in die Polardarstellung gehen wir aus von den bereits eingeführten Beziehungen
r=
q
x2 + y 2
und
tan ϕ =
Dabei ist jedoch zu beachten, dass der Winkel
ist, da z.B. die Winkel
y
x
ϕ nicht eindeutig bestimmt
ϕ und ϕ + 2π zum gleichen Punkt in der Gauÿschen
Zahlenebene führen und somit zu der gleichen komplexen Zahl.
Daher vereinbaren wir, den Winkel
dass
ϕ jeweils so zu wählen,
0 ≤ ϕ < 2π gilt (Hauptwert des Winkels ϕ).
Entsprechend dieser Vereinbarung bestimmen wir nun
y
tan ϕ = x
bzw.
ϕ aus
y
ϕ = arctan x
(1.1)
1.2
Darstellungen komplexer Zahlen
Beispiel 1.5:
z1 = 1 + 2j
Grenzwertverlag
Bestimme
und
arg z für die komplexen Zahlen
z2 = −1 − 2j
Im
z1 = 1 + 2j
6
y
.......
....................... .................................
...........
......
.......
.
.
.
.
... ......
....
....
...........................
....
.
... ..
.
... ...
...
... ...
..
... ...
...
.
... ...
.
.
.
... ...
.
.
.
... ..
...
.
...
...
...
...
...
...
...
....
....
....
.....
...... .
y
j
ϕ2
z2 = −1 − 2j
ϕ1
-
1
Re
18
1.2
Darstellungen komplexer Zahlen
Grenzwertverlag
19
Dieses Beispiel macht deutlich, dass die Gleichung
y
tan ϕ = x
in
mit
x : Realteil,
y : Imaginärteil
[0, 2π) zwei verschiedene Lösungen hat, die sich um den Winkel π
unterscheiden. Welche dieser Lösungen jeweils die Richtige ist, kann man
durch ein Handskizze leicht feststellen.
1.2
Darstellungen komplexer Zahlen
Grenzwertverlag
20
Bemerkung:
Wird zur Berechnung von
ϕ ein Rechner benutzt, so liefert dieser in der
Regel zunächst einen Winkel
Der gesuchte Winkel
Korrekturwinkels
y mit − π ≤ ψ ≤ π .
ψ = arctan x
2
2
ϕ = arg z ergibt sich dann durch Addition eines
∆ dessen Wert abhängig ist vom Quadranten, in dem
die komplexe Zahl
z liegt
y + ∆.
ϕ = arg z = arctan x
Die Werte für
∆ ergeben sich für jeden einzelnen Quadranten durch Ver-
gleich der Winkelwerte
seits:
(1.2)
y andererϕ = arg(z) einerseits und ψ = arctan x
1.2
Darstellungen komplexer Zahlen
Beispiel 1.6:
z = −1 +
Im
6
z
√
{
T
T
T
T
T
T
T
T .....................................................................
.....
....
T
....
...
...
T
...
...
T
...
...
..
T
3j
1
r
ϕ
−1
-
1
Re
Grenzwertverlag
√
3j
21
1.2
Darstellungen komplexer Zahlen
Grenzwertverlag
22
Zur Erinnerung stellen wir an dieser Stelle nochmals das Schaubild der
arctan-Funktion vor und geben einige wichtige Werte dieser Funktion an:
π
2
y
π
4
f (x) = arctan x
1
x
1.2
Darstellungen komplexer Zahlen
x
0
arctan x
0
0o
Ferner gilt:
√1
3
π
6
30o
Grenzwertverlag
1
√
3
∞
π
4
π
3
π
2
45o
60o
90o
arctan(−x) = − arctan x
23
1.2
Darstellungen komplexer Zahlen
Grenzwertverlag
24
Bemerkungen:
1) Bei der Bestimmung von ϕ ist es stets sinnvoll, sich zunächst die Lage der Zahl
z in der Gauÿschen Zahlenebene klar zu machen und ϕ
überschlägig zu bestimmen. Die exakte Bestimmung von
ϕ nach (1.2)
erfolgt dann in einem zweiten Schritt.
2) Für Zahlen die auf der reellen oder imaginären Achse liegen, ist Gleichung (1.2) zur Bestimmung von
ergibt sich
ϕ = arg(z) nicht anwendbar. Hier
arg(z) unmittelbar aus der Lage von z in der Gauÿschen
Zahlenebene.
3) In manchen technischen Anwendungen wird für den Hauptwert des
Winkels
ϕ der Bereich −π < ϕ ≤ π festgelegt. In diesem Fall ergeben
sich entsprechend andere Werte für den Korrekturwinkel
∆.
1.2
Darstellungen komplexer Zahlen
Beispiel 1.7:
1)
Grenzwertverlag
Umrechnung zwischen den Darstellungen:
z1 = 1 + 2j
Im
6
zx1 = 1 + 2j
2j
.
................
.........
...
...
...
...
r
ϕ1
1
-
Re
25
1.2
2)
Darstellungen komplexer Zahlen
Grenzwertverlag
z2 = 2 − 2j
Im
6
j
................................................
.......
............
......
.....
....
....
.
.
.
....
...
.
...
..
.
...
.
.
...
.
.
.
...
.
..
...
.
...
..
.
...
...
...
...
...
...
...
....
.....
.....
......
.....
...........
...................................................
ϕ2
-
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@x
1
r2
z2 = 2 − 2j
Re
26
1.2
3)
Darstellungen komplexer Zahlen
Grenzwertverlag
4π
z3 = 3e 3 j
Im
6
...........................................
......
.............
.....
........
....
.....
....
....
.
.
.
...
...
...
.
..
...
.
.
.
...
.
.
.
...
.
...
..
.
.
.....
...
...
...
...
....
....
....
.....
....
ϕ3
x
r3
z3 =
4π j
3e 3
-
Re
27
1.2
4)
Darstellungen komplexer Zahlen
Grenzwertverlag
z4 = −2 = −2 + 0 · j
Im
6
1
x
r4
z4 = −2
................................................
.......
............
......
.....
....
....
.
.
.
....
...
.
...
..
.
...
.
.
...
.
.
.
...
.
..
...
.
...
..
.
.
ϕ4
-
1
Re
28
1.2
Darstellungen komplexer Zahlen
1.2.4
Grenzwertverlag
29
Konjugiert komplexe Zahl
Bei der Lösung einer quadratischen Gleichung mittels komplexer Zahlen
ergab sich stets ein Ausdruck der Gestalt
x1,2 = a ± jb.
x2 + 4x + 20 = 0
√
x1,2 = −4 ± 216 − 80 = −2 ± 4j
Beispiel 1.8:
⇒
Im weiteren Verlauf werden wir sehen, dass solche Pärchen komplexer
Zahlen häug auftreten.
1.2
Darstellungen komplexer Zahlen
Grenzwertverlag
30
Im
Zu einer gegebenen komplexen
Zahl
y
z = x + j y ist die konjugiert
ϕ
−ϕ
z ∗ = x − jy
x
-
Re
r
In der Gauÿschen Zahlenebene er-
z an der reellen Achse spiegelt.
..
.........
.....
...
...
...
..
..
..
Q
.
..
.
.
Q
..
.
Q
...
Q ........
.
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Qx
r
komplexe Zahl deniert durch
hält man z ∗ indem man die Zahl
zx= x + j y
6
−y
z∗ = x − j y
1.2
Darstellungen komplexer Zahlen
Grenzwertverlag
In der Polardarstellung ergibt sich entsprechend:
Beispiel 1.9:
z = −2 − 3j
⇒
z ∗ = −2 + 3j
z = 1 + 2j
⇒
z ∗ = 1 − 2j
⇒
− 3π
∗
z = 2e 4 j
z=
3π j
2e 4
31
1.3
Grundrechenarten für komplexe Zahlen
1.3
1.3.1
Grenzwertverlag
32
Grundrechenarten für komplexe Zahlen
Gleichheit zweier komplexer Zahlen
Zwei Zahlen sind sicher dann als gleich anzusehen, wenn die entsprechenden Punkte bzw. Zeiger in der Gauÿschen Zahlenebene zusammen fallen.
Daraus folgt unmittelbar:
1.3
Grundrechenarten für komplexe Zahlen
Grenzwertverlag
33
Bemerkung:
Eine Gleichung mit komplexen Zahlen besitzt denselben Informationsgehalt wie zwei Gleichungen mit reellen Zahlen.Dies ist besonders für
Gleichungen in der Komponentenform deutlich.Es ergeben sich stets zwei
Gleichungen für Real- und Imaginärteil.
1.3
Grundrechenarten für komplexe Zahlen
1.3.2
Grenzwertverlag
34
Addition und Subtraktion von komplexen Zahlen
Addition und Subtraktion ergeben sich aus den entsprechenden Rechenoperationen für reelle Zahlen, indem man die üblichen Rechengesetze
anwendet und das Symbol
Beispiel 1.10:
⇒
j wie eine reelle Zahl behandelt.
z1 = 3 + j,
z2 = 1 + 2j
z1 + z2 = (3 + j) + (1 + 2j) = 4 + 3j,
z1 − z2 = (3 + j) − (1 + 2j) = 2 − j
1.3
Grundrechenarten für komplexe Zahlen
Grenzwertverlag
35
Bemerkung:
Die Addition von komplexen Zahlen entspricht in der Gauÿschen Zahlenebene der Addition der entsprechenden komplexen Zeiger im Sinne der
Vektoraddition für ebene Vektoren. Entsprechendes gilt für die Dierenz
von komplexen Zahlen. Insbesondere gelten die gleichen Parallelogrammregeln.
Im
1
Im
1
>
6
1
-
z2
z1 + z2
z1
1
Re
6
1
z2
1
H
HH
H
HH
H
HH j
H
z1
1
z1 − z2
−z2
-
Re
1.3
Grundrechenarten für komplexe Zahlen
1.3.3
Grenzwertverlag
36
Multiplikation von komplexen Zahlen
Bei der Multiplikation von komplexen Zahlen gehen wir ebenso vor wie im
vorhergehenden Abschnitt. Wir gehen von der Gültigkeit der Klammerregel aus und beachten zusätzlich, dass j2
= −1.
Beispiel 1.11:
1)
z1 = 3 + j,
2)
z1 = 4 − 2j,
z2 = 1 + 2j
z2 = −2 + j
z1 ·z2 = (4−2j)·(−2+j) = −8+4j+4j−2j2 = −8+8j+2 = −6+8j
1.3
Grundrechenarten für komplexe Zahlen
Grenzwertverlag
37
Spezialfall:
Es sei
z = x + jy eine beliebige komplexe Zahl und z ∗ die zu z konjugiert
komplexe Zahl. Dann gilt:
1.3
Grundrechenarten für komplexe Zahlen
1.3.4
Grenzwertverlag
38
Division von komplexen Zahlen
Zunächst überlegen wir, wie eine komplexe Zahl durch eine reelle Zahl zu
teilen ist.
Beispiel 1.12:
1.3
Grundrechenarten für komplexe Zahlen
Grenzwertverlag
39
Die Division von zwei beliebigen komplexen Zahlen kann durch einen kleinen Trick auf diesen Spezialfall zurückgeführt werden. Dies soll an dem
folgenden Beispiel erläutert werden:
Beispiel 1.13:
2 + j =?
3−j
Auf diese Weise lässt sich jeder Quotient von zwei komplexen Zahlen in
kartesischer Darstellung berechnen.
Beispiel 1.14:
1−j
1 − 2j
1 − j = (1 − j)(1 + 2j) = 1 − j + 2j − 2j2 = 1 + j + 2 = 3 + j =
5
5
1 − 2j
(1 − 2j)(1 + 2j)
12 + 22
3 + 1j
5
5
1.3
Grundrechenarten für komplexe Zahlen
1.3.5
Grenzwertverlag
40
Multiplikation und Division in Polardarstellung
Wir betrachten zwei komplexe Zahlen in trigonometrischer Darstellung:
z1 = r1(cos ϕ1 + j sin ϕ1),
z2 = r2(cos ϕ2 + j sin ϕ2)
Nach Abschnitt 1.3.3 ergibt sich für das Produkt:
1.3
Grundrechenarten für komplexe Zahlen
Grenzwertverlag
41
Mit Hilfe der Additionstheoreme für Sinus und Cosinus lassen sich Realund Imaginärteil der obigen Beziehung einfacher darstellen.
cos(ϕ1 + ϕ2) = cos ϕ1 · cos ϕ2 − sin ϕ1 · sin ϕ2
sin(ϕ1 + ϕ2) = cos ϕ1 · sin ϕ2 + sin ϕ1 · cos ϕ2.
Somit folgt:
1.3
Grundrechenarten für komplexe Zahlen
Regel:
Grenzwertverlag
42
Die Radien werden multipliziert und die Winkel addiert.
Benutzen wir die oben eingeführte Abkürzung
können wir dies kürzer schreiben:
e jϕ = cos ϕ + j sin ϕ, so
1.3
Grundrechenarten für komplexe Zahlen
Grenzwertverlag
Für die Division ergibt sich analog:
Regel:
Mit
Die Radien werden dividiert und die Winkel subtrahiert.
e jϕ = cos ϕ + j sin ϕ ergibt sich entsprechend:
43
1.3
Grundrechenarten für komplexe Zahlen
Grenzwertverlag
44
Bemerkung:
Die hier gewonnenen Regeln für die Multiplikation und Division von komplexen Zahlen in Polardarstellung zeigen, dass sich der zunächst als reine
Abkürzung eingeführte Ausdruck
ejϕ tatsächlich wie eine Exponentialfunk-
tion verhält.
Der Nachweis, dass es sich dabei um die komplexe Erweiterung der reellen
Funktion
ex handelt, geht über den Rahmen dieser Darstellung hinaus.
1.3
Grundrechenarten für komplexe Zahlen
Grenzwertverlag
Wir fassen die Ergebnisse dieses Abschnitts nochmals zusammen:
Zusammenfassung:
Multiplikation und Division komplexer Zahlen in Polardarstellung
z1 = r1 e jϕ1 ,
Es sei
z2 = r2 e jϕ2
Dann gilt für das Produkt
z1 · z2:
z1 · z2 = r1r2 e j(ϕ1+ϕ2)
(Produkt der Beträge, Summe der Argumente)
Für den Quotienten
z1
z2 gilt die Regel:
z1
r1 j(ϕ1−ϕ2)
=
z2
r2 e
(Quotient der Beträge, Dierenz der Argumente)
Für
die
trigonometrische
Darstellung
Multiplikations- und Divisionsregeln.
gelten
entsprechende
45
1.3
Grundrechenarten für komplexe Zahlen
Spezialfall:
Grenzwertverlag
Betrachte das Produkt einer komplexen Zahl
konjugiert komplexen Zahl
z ∗:
46
z mit ihrer
1.3
Grundrechenarten für komplexe Zahlen
Grenzwertverlag
47
Bemerkungen:
1) Die Ergebnisse von Abschnitt 1.3 lassen sich in der Aussage zusammenfassen, dass für die komplexen Zahlen die gleichen Gesetze der
Algebra gelten wie in der Menge IR. Das bedeutet, dass man mit komplexen Zahlen so rechnen kann, wie man es von den reellen Zahlen
gewohnt ist, wenn man zusätzlich die Regel j2
= −1 beachtet.
2) Beim Übergang von den reellen Zahlen zu den komplexen Zahlen geht
jedoch die sogenannte Anordnungeigenschaft verloren,d.h. genau wie
bei den Vektoren verlieren hier die Relationen < oder > ihren Sinn!
1.4
Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen
1.4
1.4.1
Grenzwertverlag
48
Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen
Potenzen
Die Potenzen
z n für komplexe Zahlen sind wie im Reellen als n-fache
Multiplikationen deniert:
Regel:
Bilde die
n-te Potenz von r = |z| und multipliziere ϕ = arg z mit
n.
In der trigonometrischen Darstellung erhalten wir entsprechend:
z = r(cos ϕ + j sin ϕ)
⇒
z n = rn[cos(nϕ) + j sin(nϕ) ]
1.4
Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen
Grenzwertverlag
Beispiel 1.15:
z = 1+j =
√
2e
j π4
Im
6
z3
z2
6
@
I
@
@
@
1
@
4
z
@
@
z
@
@
@
-
1
Rechnung in kartesischer Darstellung zur Kontrolle:
Re
49
1.4
Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen
1.4.2
Grenzwertverlag
50
Komplexe Wurzeln
Der komplexe Wurzelbegri ergibt sich wieder wie im Reellen durch Umkehren des Potenzierens. Wir suchen wieder eine Zahl, die entsprechend
oft mit sich selber multipliziert die Ausgangszahl ergibt. Die rechentechnischen Unterschiede sollen an folgendem Beispiel deutlich werden.
Beispiel 1.16:
z =
√
3
−8
1.4
Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen
Grenzwertverlag
51
Wir erkennen bereits hier die Mehrdeutigkeit des Wurzelbegris. Im Reellen ergab sich dies nur bei Quadratwurzeln aus positiven Zahlen.
Zur Denition der komplexen
eine gegebene komplexe Zahl
zn − a = 0
n-ten Wurzel z =
√
n
a betrachten wir für
a die Gleichung
⇔
zn = a
⇔
z=
√
n
a
Wir gehen von der Exponential-Darstellung der komplexen Zahlen
a aus:
z und
1.4
Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen
Grenzwertverlag
52
Wir fassen diese Ergebnisse in dem folgenden Satz zusammen:
Satz:
z n = a = Aejα (A > 0)
Die Gleichung
besitzt genau
n
verschiedene komplexe Lösungen (Wurzeln)
zk = rejϕk = r(cos ϕk + j sin ϕk )
mit
r=
√
n
ϕk = α +n2πk
A,
k = 0, 1, . . . , n − 1.
Diese liegen in der Gauÿschen Zahlenebene auf einem Ursprungskreis vom Radius
ÿigen
n-Ecks.
r=
√
n
A und bilden die Eckpunkte eines regelmä-
1.4
Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen
Grenzwertverlag
Beispiel 1.17:
1) z =
√
4
Im
6z
1
x
1
.............................................................................
.................
.............
.............
...........
..........
.........
.........
.........
.
.
.
.
.
.
.
.
.....
...
.
.
.
.....
.
...
.
.....
.
.
..
....
.
.
.
....
..
.
.
.
....
..
.
.
....
.
...
....
.
.
....
...
.
...
..
.
...
..
.
...
..
...
.
..
...
.
.
...
.
.
.
...
.
.
.
...
.
.
.
...
.
.
...
..
.
...
.
.
.
...
.
.
.
...
.
.
.
...
.....
..
...
..
...
.
..
.
...
.
..
...
.
..
...
...
...
...
...
..
...
.
.
...
...
...
...
...
...
...
..
...
.
...
...
....
...
....
....
....
....
.
.
....
.
.
....
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............
..........
................
............
.................................. ................................................
....
r=1
z2 x
z0
x -
x
z3
Re
53
1.4
Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen
2) z =
√
3
Grenzwertverlag
Im
j
6
.............................................................................
.................
.............
.............
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.........
............
..........
................
............
.................................. ................................................
....
z1
r=1
xz0
x
x
z2
-
Re
54
1.4
Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen
3) z =
√
Grenzwertverlag
Im
1+j
6
...........................................................
.........................
................
................
.............
.............
...........
..........
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........
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..................
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.............................................................................
r=
x
z1
x
√
4
2
z0
-
Re
55
1.4
Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen
Grenzwertverlag
56
Bemerkung:
Im Reellen erhielten wir beim Wurzelziehen mit einem ungeraden Exponenten nur eine Lösung, bei geradem Wurzelexponenten ergaben sich
(soweit überhaupt im Rellen lösbar) stets zwei Lösungen. Wie ist diese
Beobachtung mit den obigen Resultaten verträglich?
Wie wir erkannt haben, liegen sämtliche komplexen Wurzeln einer Zahl
auf den Ecken eines regelmäÿigen Vielecks mit Mittelpunkt im Ursprung.
Bei ungerader Eckenzahl kann nur eine Ecke auf der reellen Achse liegen.
Liegt bei gerader Eckenzahl eine Ecke auf der reellen Achse, so stets auch
eine zweite.
1.4
Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen
1.4.3
Grenzwertverlag
57
Lösen algebraischer Gleichungen
In Abschnitt 1.1 hatten wir die komplexen Zahlen eingeführt, indem wir für
eine im Reellen unlösbare quadratischen Gleichung eine (formale) Lösung
deniert hatten. Wir wollen diesen Sachverhalt nun auf Polynomgleichungen beliebiger Ordnung verallgemeinern.
Es ist bekannt, dass die Gleichung
pn(x) = anxn + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0 = 0
im Reellen höchstens n Lösungen besitzt.
1.4
Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen
Grenzwertverlag
58
Im vorhergehenden Abschnitt hatten wir festgestellt, dass die komplexe
Polynomgleichung
zn − a
stets genau n Lösungen hat.
Der folgende Satz zeigt, dass im Komplexen eine entsprechende Aussage
für jede Polynomgleichung vom Grad
n gilt:
1.4
Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen
Grenzwertverlag
Satz: (Fundamentalsatz der Algebra)
Die Gleichung
pn(z) = anz n + an−1z n−1 + . . . + a1z + a0 = 0
besitzt in der Menge der komplexen Zahlen stets genau
gen
n
Lösun-
z1 , z 2 , . . . z n .
Das Polynom
pn(z) lässt sich daher komplett in (komplexe) Line-
arfaktoren zerlegen:
pn(z) = an (z − z1) · (z − z2) · . . . · (z − zn).
59
1.4
Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen
Grenzwertverlag
60
Bemerkung:
Dies ist ein reiner Existenzsatz. Explizite Lösungsformeln existieren nur
für einfache Gleichungen. Neben der bekannten Mitternachtsformel für
quadratische Gleichungen existieren nur noch für Gleichungen der Ordnung drei und vier explizite Lösungsformeln.
Wir wollen nun zeigen, dass die von reellen Fall bekannten Methoden
auch zur Bestimmung von Lösungen
gewandt werden können:
komplexer
Polynomgleichungen an-
1.4
Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen
Grenzwertverlag
61
1) Lösen einer quadratischen Gleichung mit der Mitternachtsformel:
Die Lösung der quadratische Gleichung
a, b, c ∈ C
az 2 + bz + c = 0,
mit
ist analog zum reellen Fall gegeben durch
q
−b ± b2 − 4ac
z1/2 =
2a
Betrachten wir speziell den für die praktische Anwendung interessanten
Fall, dass die Koezienten
a, b und c reelle Zahlen sind, so hängt die
Art der Lösungen vom Vorzeichen der (reellen)
Diskriminante
b2 − 4ac ab.
1.4
Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen
Grenzwertverlag
62
2) Wurzelsatz von Vieta
Wir normieren die quadratische Gleichung nun so, dass der Koezient
beim Quadratglied eins wird.
z 2 + pz + q = 0
⇒
p±
z1,2 = − 2
r p 2
2
−q
Ein Vergleich der Koezienten entsprechender
z -Potenzen liefert den
Wurzelsatz von Vieta
Sind z1 ,
z2 Lösungen einer quadratischen Gleichung z 2 +pz+q = 0,
so gilt:
p = − (z1 + z2),
q = z1 · z2
1.4
Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen
Beispiel 1.18:
z 2 − 8z + 25 = 0
Grenzwertverlag
63
1.4
Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen
Grenzwertverlag
3) Abspalten von Linearfaktoren
Ist
z0 Lösung von pn(z) = 0, so gilt:
pn(z) = (z − z0) · qn−1(z),
wobei
q vom Grad (n − 1) ist.
64
1.4
Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen
Grenzwertverlag
65
4) Paarweises Auftreten von komplexen Nullstellen
Die folgende Aussage ist die Verallgeminerung von 1 c) auf Polynome
von Grad
n:
Sind alle Koezienten
a0, a1, . . . , an von pn(z) reell, so treten komplexe
Nullstellen stets als Paare konjugiert komplexer Zahlen auf.
Begründung:
⇒
z0∗ ist ebenfalls Nullstelle.
⇒
Es können die beiden Linearfaktoren
spalten werden (Polynomdivision).
(z − z0) und (z − z0∗ ) abge-
1.4
Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen
Behauptung:
Grenzwertverlag
Diese beiden Linearfaktoren ergeben ausmultipliziert
stets ein quadratisches Polynom mit reellen Koezienten.
Begründung:
66
1.4
Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen
Grenzwertverlag
67
Aus 3) und 4) ergibt sich die folgende wichtige Aussage über die Zerlegung von Polynomen:
Jedes Polynom mit reellen Koezienten ist zerlegbar in Linearfaktoren und quadratische Polynome mit reellen Koezienten.
Insbesondere kann jedes reelle Polynom in Faktor-Polynome zerlegt
werden, die höchstens vom Grad 2 sind.
1.4
Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen
Grenzwertverlag
Beispiel 1.19:
1) Bestimme sämtliche Lösungen von
z 3 − z 2 + 4z − 4 = 0
2) Bestimme sämtliche Lösungen von
z 4 − 4z 3 + 6z 2 − 4z + 5 = 0
68
1.5
Anwendungen der komplexen Rechnung
1.5
1.5.1
Grenzwertverlag
69
Anwendungen der komplexen Rechnung
Harmonische Schwingungen
Betrachte die reelle Funktion
x = x(t) = A cos(ωt + ϕ)
Die Funktion
(1.3)
x(t) beschreibt Schwingungsvorgänge wie z. B. mechanische
Schwingungen oder elektrische Schwingkreise
1.5
Anwendungen der komplexen Rechnung
Grenzwertverlag
70
x(t) = A cos (ωt + ϕ)
A
ϕ
−ω
t
T = 2π
ω
1.5
Anwendungen der komplexen Rechnung
Die neben der Zeitvariablen
Grenzwertverlag
71
t auftretenden Parameter A, ω und ϕ haben
folgende Bedeutungen:
A:
Amplitude (Maximalauslenkung) der Schwingung
ω:
Kreisfrequenz (ω
> 0)
ω = 2πf = 2π
T
ϕ:
Nullphasenwinkel
⇒
Winkel zur Zeit
Gilt
t=0
(A
(x(0)
> 0)
= A cos ϕ)
ϕ > 0, so bedeutet dies, dass die durch (1.3) beschriebene harmoni-
sche Schwingung der Funktion
Kurve ist um
winkel
cos (ωt) um ϕ voraus eilt. Die zugehörige
ϕ nach links verschoben. Entsprechend führt ein Phasenω
ϕ < 0 zu einer nach rechts verschobenen Kurve.
1.5
Anwendungen der komplexen Rechnung
Grenzwertverlag
72
Eine harmonische Schwingung lässt sich auch als Summe von reinen
Cosinus- und Sinusfunktionen darstellen.
x(t) = a cos(ωt) + b sin(ωt)
Mit Hilfe der Additionstheoreme erhalten wir den Zusammenhang mit der
Form (1.3):
Bei der Bestimmung des Phasenwinkels ist wieder eine Quadrantenbetrachtung notwendig . Der richtige Phasenwinkel ergibt sich dabei aus
den Gleichungen für die Koezienten
a und b.
1.5
Anwendungen der komplexen Rechnung
Beispiel 1.20:
in der Form
Stellen Sie die Schwingung
A cos(ωt + ϕ) dar
Grenzwertverlag
x(t) = cos t −
√
73
3 sin t
1.5
Anwendungen der komplexen Rechnung
1.5.2
Grenzwertverlag
74
Zeigerdarstellung harmonischer Schwingungen
Viele Rechenoperationen mit harmonischen Schwingungen sind im Reellen unter Zuhilfenahme der Additionstheoreme für Sinus und Cosinus
recht mühsam. Die Grundidee der komplexen Darstellung einer harmonischen Schwingung besteht darin, an Stelle der Amplitude
Phasenwinkels
A und des
ϕ eine komplexe Ersatzgröÿe einzuführen. Wir denie-
ren deshalb eine komplexwertige Funktion, deren Realteil die vorgegebene
Schwingung darstellt.
1.5
Anwendungen der komplexen Rechnung
Grenzwertverlag
75
1) Darstellung der Cosinus-Schwingung A cos(ωt)
Ausgehend von der komplexwertigen Funktion
wir mit der Eulerschen Formel
z(t) = A e jωt erhalten
1.5
Anwendungen der komplexen Rechnung
Grenzwertverlag
76
Zur geometrischen Veranschaulichung der zeitlichen Veränderung von
z(t) in der komplexen Zahlenebene beachten wir, dass der Betrag
|z(t)| = A unverändert bleibt, während der Winkel arg z(t) = ωt pro
Zeiteinheit um
Radius
ω wächst. Daher bewegt sich z(t) auf einem Kreis mit
A um den Ursprung, wobei ω die Winkelgeschwindigkeit dieser
Kreisbewegung angibt.
1.5
Anwendungen der komplexen Rechnung
Die Funktion
Grenzwertverlag
77
x(t) = A cos(ωt)
6
entspricht wegen
x(t) = Re {z(t)}
gerade der Projektion von
z(t) auf
die reelle Achse.
Entsprechend
jektion
Achse
auf
die
.................................................
.............................
................
................
.............
............
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.......................................................................................
A e jωt = z(t)
>
A sin(ωt)
ergibt
die
die
Pro-
imaginäre
Funktionswerte
der
Sinusfunktion:
Im {z(t)} = y(t) = A sin(ωt).
ωt
-
A cos(ωt)
A = z(0)
-
1.5
Anwendungen der komplexen Rechnung
Die Funktion
Grenzwertverlag
z(t) = Ae jωt beschreibt einen komplexen Zei-
ger, der sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω um den Ursprung dreht. Die Projektionen dieser Bewegung auf die reelle
bzw. imaginäre Achse ergeben die entsprechenden Cosinus- und
Sinusfunktionen:
Re {z(t)} = A cos ωt,
Im {z(t)} = A sin ωt
78
1.5
Anwendungen der komplexen Rechnung
Grenzwertverlag
79
2) Darstellung der phasenverschobenen Cosinus-Schwingung
A cos(ωt + ϕ)
Wir betrachten die komplexwertige Funktion
erhalten wie oben
z(t) = A e j(ωt+ϕ) und
1.5
Anwendungen der komplexen Rechnung
Grenzwertverlag
Zur geometrischen Deutung der durch
80
z(t) beschriebenen Bewegung
in der komplexen Ebene gehen wir aus von der Zahl
a = A e jϕ. Beim
Übergang zu
w = a · e jα = Ae jϕ · e jα = A e j(ϕ+α)
bleibt der Betrag
A erhalten, während sich der Winkel um α vergröÿert.
In der Zahlenebene erhalten wir
w also durch Drehung von a um den
Koordinatenursprung um den Winkel
α.
1.5
Anwendungen der komplexen Rechnung
Grenzwertverlag
81
Entsprechend können wir
z(t) = A e j(ωt+ϕ) = A
e jϕ} ·e jωt = a · e jωt
| {z
a
als Bewegung der komplexen Zahl
a = A ejϕ mit der Winkelgeschwin- z(t)
digkeit
ω auf einem Kreis um den
Ursprung mit Radius
Die Zahl
A deuten.
a wird dabei als komplexe
Amplitude oder komplexer Zeiger der harmonischen Schwingung
bezeichnet.
6
.................................................
.............................
................
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.............
............
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....
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.............
.............
.................
.......................................................................................
a = z(0)
HH
Y
HH
H
HH
ωt
H
HH
A
ϕ
-
1.5
Anwendungen der komplexen Rechnung
Bei fester Kreisfrequenz
Grenzwertverlag
82
ω ist die Information über Amplitude und
Nullphase der Schwingung in der komplexen Zahl
a = z(0) = A e jϕ
enthalten.
Da nach Voraussetzung
als Projektion von
x(t) = Re {z(t)} gilt, ergibt sich x(t) wieder
z(t) auf die reelle Achse. Somit erhalten wir die
folgenden Aussagen:
1.5
Anwendungen der komplexen Rechnung
Grenzwertverlag
Komplexe Zeiger-Darstellung von Schwingungsvorgängen
Die reelle harmonische Funktion
plexe Erweiterung
x(t) = A cos(ωt + ϕ) und die kom-
z(t) = A e(ωt+ϕ) besitzen denselben Informati-
onsgehalt. Bei vorgegebener Kreisfrequenz
sche Schwingung durch die Amplitude
ω wird eine harmoni-
A und den Phasenwinkel ϕ
bestimmt.
Die Funktion
x(t) = A cos(ωt + ϕ) kann als Realteil des in der
komplexen Zahlenebene mit der Winkelgeschwindigkeit
den komplexen Zeigers
ω rotieren-
a = z(0) = A · e jϕ betrachtet werden.
Der Übergang zum Realteil entspricht geometrisch derProjektion
auf die reelle Achse.
83
1.5
Anwendungen der komplexen Rechnung
Grenzwertverlag
84
Bemerkungen:
1) In gleicher Weise kann die Sinus-Schwingung
y(t) = A sin(ωt + ϕ)
als Imaginärteil von
z(t) = A·e j(ωt+ϕ) dargestellt werden. Geometrisch
entspricht dies der Projektion auf die imaginäre Achse.
2) Die Vorteile der komplexen Darstellung bestehen vor allem darin, dass
die Rechengesetze für Exponentialfunktion meist einfacher sind, als die
für trigonometrischen Funktionen.
1.5
Anwendungen der komplexen Rechnung
Beispiel 1.21:
1) x(t) = 3 cos(2t − π )
4
2) y(t) = 4 sin(ωt + π )
3
3) x(t) = 3 cos(ωt + 0.8)
Grenzwertverlag
85
1.5
Anwendungen der komplexen Rechnung
1.5.3
Grenzwertverlag
86
Überlagerung von gleichfrequenten Schwingungen
Wir betrachten nun zwei harmonischen Schwingungen gleicher Frequenz
x1(t) = A1 cos(ωt + ϕ1),
ω
x2(t) = A2 cos(ωt + ϕ2)
und wollen untersuchen, welche Art von Bewegung sich als Überlagerung
dieser beiden Vorgänge ergibt.
1.5
Anwendungen der komplexen Rechnung
Grenzwertverlag
87
Aus der Physik wissen wir, dass sich diese Schwingungen ungestört additiv
überlagern (Superpositionsprinzip):
x(t) = x1(t) + x2(t).
Der Nachweis, dass sich für
der Frequenz
x(t) ebenfalls eine harmonische Schwingung
ω ergibt, ist mit reeller Rechnung (Additionstheoreme, Ko-
ezientenvergleich) relativ mühsam. Zudem ist eine Verallgemeinerung
auf den Fall der Überlagerung von mehr als 2 Schwingungen nur schwer
möglich.
1.5
Anwendungen der komplexen Rechnung
Das folgende Beispiel zeigt, wie
Grenzwertverlag
88
x(t) mit Hilfe komplexer Rechnung ein-
facher bestimmt werden kann. Dabei benutzen wir die im vorhergehenden Abschnitt eingeführte Darstellung harmonischer Schwingungen durch
komplexe Zeiger.
Beispiel 1.22:
Bestimmen Sie Amplitude und Phase der Schwingung,
die sich als Überlagerung von
x1(t) = 2 cos(ωt + π
4)
ergibt.
und
√
x2(t) = 2 2 cos(ωt + π).
1.5
Anwendungen der komplexen Rechnung
Grenzwertverlag
89
Allgemeiner Fall:
Wir betrachten nun den allgemeinen Fall der Überlagerung von zwei reellen harmonischen Schwingungen gleicher Frequenz, aber unterschiedlicher
Amplitude und Phase. Wie im obigen Beispiel gehen wir dabei in 3 Schritten vor:
1.5
Anwendungen der komplexen Rechnung
Grenzwertverlag
90
Bemerkung:
Bei der Berechnung von Amplitude
Schwingung
A und Phase ϕ der resultierenden
x(t) ist der Zeitfaktor e jωt ohne Bedeutung. A und ϕ ergeben
sich vielmehr direkt als Betrag und Argument der komplexen Amplitude
a = a1 + a2.
Die Überlagerung der Schwingungen lässt sich somit einfach durch die
Summe a = a1 + a2 der zugehörigen komplexen Zeiger a1 und a2
beschreiben.
1.5
Anwendungen der komplexen Rechnung
Grenzwertverlag
91
Hieraus ergibt sich neben der oben dargestellten rechnerischen Lösung
zusätzlich die (einfachere) Möglichkeit, dieses Problem geometrisch zu
lösen. Wir demonstrieren dies an den Schwingungen des vorhergehenden
Beispiels.
x1(t) = 2 cos(ωt + π
4 ),
Beispiel 1.23:
√
x2(t) = 2 2 cos(ωt + π)
Im
6
j π4
a1 = 2e ,
a2
I
@
@
@
@
a
j
....................................................
............
........
........
.....
.....
.....
.....
....
....
...
...
...
...
...
...
...
.
ϕ
@
@
a1
@
@
a2
-
1
a2 = 2 2ejπ
a = a1 + a2 = Ae jϕ
@
√
Re
ϕ = 3π
4
⇒
A = 2,
⇒
x(t) = 2 cos(ωt + 3π
4)
1.5
Anwendungen der komplexen Rechnung
Fazit:
Grenzwertverlag
Die Addition von zwei harmo-
92
Im
6
nischen Schwingungen entspricht der
Addition der zugehörigen komplexen
a2
a
Zeiger. Dabei kommt dasselbe Kon-
struktionsprinzip wie bei der Addition zweier ebener Vektoren zur Anwen-
j
....
....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
ϕ
a
:
1
-
Re
1
dung.
Entsprechend kann natürlich auch bei der rechnerischen Lösung der
Zeitfaktor
ma ergibt:
e jωt unberücksichtigt bleiben, so dass sich das folgende Sche-
1.5
Anwendungen der komplexen Rechnung
Grenzwertverlag
93
Beispiel 1.24:
Bestimmen Sie zeichnerisch und rechnerisch Amplitude und Phase der
Überlagerung von
x1(t) = 2 cos(ωt − π
4)
und
x2(t) = 4 cos(ωt + π
3)
1.5
Anwendungen der komplexen Rechnung
Grenzwertverlag
a) Zeichnung:
Im
6
3
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
...
"
...
"" .......
...
...
""
...
...
"
@
@
@
@
@
@
R
@
a = a1 + a2
a2
A
j
ϕ
a1 1
a2
-
Re
A≈4
ϕ ≈ 30o
94
1.5
Anwendungen der komplexen Rechnung
b) Rechnung:
Grenzwertverlag
95
1.5
Anwendungen der komplexen Rechnung
Grenzwertverlag
96
Bemerkung:
Die Überlegungen dieses Abschnitts gelten entsprechend für die Überlagerung von zwei gleichfrequenten Sinus-Funktionen
y1(t) = A1 sin(ωt + ϕ1)
und
y2(t) = A2 sin(ωt + ϕ2).
In diesem Fall gehen wir bei der Wahl der komplexen Ersatzgröÿen von
der Beziehung
y1(t) = Im {z1(t)} und y2(t) = Im {z2(t)} aus und erhalten
daher bei der Rückkehr zur reellen Darstellung (Schritt 3)
y(t) = Im {z(t)} = A sin(ωt + ϕ).
Auf die geometrische Addition der komplexen Zeiger
a1 und a2 hat diese
Änderung des Blickwinkels keine Auswirkung.
Wir demonstrieren dies an dem folgenden Anwendungsbeispiel.
1.5
Anwendungen der komplexen Rechnung
Beispiel 1.25:
Grenzwertverlag
97
Anwendungbeispiel: 3-Phasen-Wechselspannung
Die 3-Phasen Wechselspannung besteht aus drei um den Phasenwinkel 2π
3
gegeneinander verschobenen harmonischen Schwingungen. Wählen wir die
Sinus-Darstellung, so erhalten wir:
U1 = U0 sin(ωt),
2π
U2 = U0 sin(ωt +
),
3
4π
U3 = U0 sin(ωt +
),
3
a) Zeigen Sie, dass U1 + U2 + U3 = 0 gilt.
b) Welche Spannung (Amplitude und Phase) liegt zwischen den Phasen
U2 und U1 an? (Lösung zeichnerisch und rechnerisch!)
1.5
Anwendungen der komplexen Rechnung
Grenzwertverlag
Lösung:
a)
Im
a2
a3
a2
120o
240o
a3
a1
U0 Re
98
1.5
Anwendungen der komplexen Rechnung
Grenzwertverlag
Im
a2 − a1
a2
b)
120o
240o
a3
a1
U0 Re
99
1.5
Anwendungen der komplexen Rechnung
1.5.4
Grenzwertverlag
100
Wechselstromkreise
Vorbemerkung:
Entsprechend der in der Elektrotechnik üblichen Konventionen führen wir
folgende Regeln für die Bezeichnung der in diesem Abschnitt auftretenden
Wechselstromgröÿen ein:
• Zeitunabhängige reelle
Gröÿen werden mit Groÿbuchstaben be-
zeichnet.
• Zeitabhängige reelle
Gröÿen werden mit Kleinbuchstaben bezeich-
net.
• Komplexe
Gröÿen werden durch Unterstreichung gekennzeichnet.
1.5
Anwendungen der komplexen Rechnung
Grenzwertverlag
101
Ausgangspunkt unserer Überlegungen ist das Ohmsche Gesetz für Gleichströme.
U = R·I
bzw.
R = U
I
(1.4)
d. h. Spannung und Stromstärke sind zueinander proportional.
Diese Beziehung gilt auch für Wechselstrom: Eine sinusförmige Wechselspannung erzeugt in einem Stromkreis, der nur ohmsche Verbraucher
enthält, einen sinusförmigen Wechselstrom gleicher Phase. Somit ist auch
hier der Quotient zwischen Spannung und Stromstärke von der Zeit unabhängig.
u(t)
U cos ωt
= I 0 cos ωt = R = konstant
i(t)
0
1.5
Anwendungen der komplexen Rechnung
Grenzwertverlag
102
In Wechselstromkreisen gibt es allerdings darüber hinaus noch weitere
Widerstandstypen: Kondensatoren und Spulen.
Am Beispiel des Kondensators wollen wir uns klarmachen, dass hier Spannung und Stromstärke gegeneinander phasenverschoben sind.
Bei einem Stromkreis mit Spannungsquelle und Kondensator muss die
Kondensatorspannung der angelegten Spannung entgegengesetzt gleich
sein. Wird eine veränderliche Spannung angelegt, so muss den Kondensatorplatten fortwährend Ladung zu und abgeführt werden, d.h. es ieÿt
ein Strom.
1.5
Anwendungen der komplexen Rechnung
Grenzwertverlag
u(t) = U0 cos ωt
P1
P4
P2
Die Spannung
103
P3
t
uC zwischen den Kondensatorplatten ist dabei stets pro-
portional zur Ladung
qC.
uC ∼ qC
bzw.
qC = C · uC
1.5
Anwendungen der komplexen Rechnung
Grenzwertverlag
104
Eine Veränderung der Spannung bewirkt eine Veränderung der Ladung auf
den Kondensator-Platten und damit einen Ladungstransport. Die Veränderungsrate (Steigung) der Spannung ist am Punkt
in der Umgebung von
P2 am gröÿten,
P1, P3 gleich Null. Dies hat zur Folge, dass die
Stromstärke an Nullstellen der Spannungsfunktion Extrema besitzt, während die Extrema der Spannung Nulldurchgänge bei der Stromstärke zur
Konsequenz haben.
Wenn wir die plausible Annahme machen, dass auch die Stromstärke eine
harmonische Schwingung darstellt, so müssen die beiden Funktionen
und
u(t)
i(t) eine Phasendierenz von π2 haben. Dieser Sachverhalt soll noch
mathematisch etwas präzisiert werden:
1.5
Anwendungen der komplexen Rechnung
Da die Stromstärke
Grenzwertverlag
105
i(t) der Veränderung der Ladung q(t) pro Zeiteinheit
entspricht, gilt
q = C du
i(t) = d
dt
dt
Wird eine harmonische Schwingung der Form
gelegt, so ergibt sich für die Stromstärke
U0 cos ωt als Spannung an-
i(t) die Beziehung:
π
i(t) = C · ddt [U0 cos ωt] = −ω C U0 sin ωt = U0 ω C cos ωt +
2
d. h. die Stromstärke eilt der Spannung um π voraus.
2
Eine ähnliche Betrachtung des induktiven Widerstands einer Spule zeigt,
dass dabei die Stromstärke der Spannung um
π nacheilt.
2
Betrachten wir allgemeine Widerstände in Wechselstromkreisen, mit ohm-
1.5
Anwendungen der komplexen Rechnung
Grenzwertverlag
106
schen, induktiven und kapazitiven Anteilen, so ergibt sich im Allgemeinen
eine Phasendierenz zwischen Spannung und Stromstärke. Damit wird
jedoch der reelle Quotient von Spannung und Stromstärke abhängig von
der Zeit!
u(t)
U0 cos ωt
U
cos ωt
=
= I0 ·
I0 cos (ωt + α)
+ α)}
i(t)
0 |cos (ωt
{z
zeitabhängig!
Betrachten wir jedoch wie im vorhergehenden Abschnitt komplexe Ersatzgröÿen für Spannung und Strom
so ist das Verhältnis von Spannung und Stromstärke zeitunabhängig
mit
U
|Z| = Z0 = I 0 : Verhältnis der Scheitelwerte von Spannung und Strom
0
arg Z = ϕ:
Phasendierenz zwischen Spannung und Strom
1.5
Anwendungen der komplexen Rechnung
Grenzwertverlag
107
Damit lässt sich das Ohmsche Gesetz (1.4) auf Wechselstromkreise
übertragen:
Ohmsches Gesetz für Wechselstromkreise In Wechselstromkreisen gilt das Ohmsche Gesetz in der Form
u = Z · i,
mit
u(t) = U0e jωt
(1.5)
komplexe Spannung
i(t) = I0e j(ωt−ϕ) komplexe Stromstärke
Z = Z0e jϕ
komplexer Widerstand (Impedanz)
Bemerkung:
Die
Eektivwerte
von Spannung und Strom sind gegeben durch
Ue =
1.5
Anwendungen der komplexen Rechnung
I
U0
√
bzw. Ie = √0 .
2
2
U
U
|R| = I 0 = I e
0
e
Grenzwertverlag
108
Daher gilt auch
Verhältnis der Eektivwerte von Spannung und Strom.
1.5
Anwendungen der komplexen Rechnung
Grenzwertverlag
109
Die Impedanz kann natürlich auch in kartesischer Form dargestellt werden:
Z = R + jX
Im
Bezeichnungen:
6
Z = R + jX
x
...
.........
...
...
...
...
...
..
-
Z0
X
ϕ
R
Re
Z0 = |Z|:
Scheinwiderstand (Impedanz)
R = Re Z :
Wirkwiderstand (Resistanz)
X = Im Z :
Blindwiderstand (Reaktanz)
1.5
Anwendungen der komplexen Rechnung
Grenzwertverlag
110
Bemerkung:
Alle in einem Wechselstromkreis erbrachte Leistung tritt am Wirkwider-
stand auf, der mit dem Ohmschen (Gleichstrom-Widerstand des Verbrauchers übereinstimmt und daher ebenfalls mit
Blindstromproblematik siehe Beispiel 1.5.4 .
R bezeichnet wird. Bzgl. der
1.5
Anwendungen der komplexen Rechnung
Grenzwertverlag
111
Wir wollen im Folgenden die Eigenschaften der drei in Wechselstromkreisen auftretenden Typen von Widerständen nochmals in einer Übersicht
darstellen. Wir gehen dabei wieder von der komplexen Darstellung von
Spannung und Strom aus:
u(t) = U0e jωt
bzw.
i(t) = I0e (jωt−ϕ)
1) Ohmscher Widerstand R
Am Ohmschen Widerstand ist stets die Stromstärke proportional zur
Spannung.
i(t) ∼ u(t)
1.5
Anwendungen der komplexen Rechnung
Grenzwertverlag
⇒
Widerstand rein reell
⇒
keine Phasendierenz zwischen Spannung und Strom.
112
2) Kapazitiver Widerstand (Kondensator der Kapazität C ):
⇒
Z C = −j ω1C
Widerstand rein imaginär mit negativem Imagi-
närteil
XC = − ω1C
⇒
Blindwiderstand
⇒
ϕ = arg Z C = − π
2
(Strom eilt der Spannung um
π voraus)
2
1.5
Anwendungen der komplexen Rechnung
Grenzwertverlag
113
3) Induktiver Widerstand (Spule der Induktivität L):
Widerstand rein imaginär mit positivem Imaginärteil
⇒
Z L = jωL
⇒
Blindwiderstand
⇒
ϕ = arg Z L = π
2
XL = ωL
(Strom läuft der Spannung um
π nach)
2
1.5
Anwendungen der komplexen Rechnung
Grenzwertverlag
114
Mit dem Ohmschen Gesetz für Wechselstromkreise (1.5) und der komplexen Denition der Wechselstromwiderstände gemäÿ 1) - 3) können
die elektrischen Gröÿen in Wechselstromkreisen nach den aus der Gleichstromlehre bekannten Kirchoschen Gesetzen (Maschenregel, Knotenregel) berechnet werden.
1.5
Anwendungen der komplexen Rechnung
Grenzwertverlag
Damit gilt insbesondere:
a) Bei Reihenschaltung addieren sich
die Widerstände.
Z1
Z2
Z = Z1 + Z2
b) Bei Parallelschaltung gilt:
1 = 1 + 1
Z
Z1 Z2
⇔
Z ·Z
Z = Z 1+ Z2
1
2
Z1
Z2
115
1.5
Anwendungen der komplexen Rechnung
Grenzwertverlag
116
Bemerkung:
Führt man wie in der Gleichstromlehre den Begri des komplexen Leitwerts
1 = 1 e−jϕ
Y = Z
|Z|
ein, so nehmen die obigen Regeln die folgende leicht merkbare Form an:
a) Reihenschaltung:
Z = Z1 + Z2
b) Parallelschaltung:
Y = Y1+Y2
(Summe der Widerstände)
(Summe der Leitwerte)
1.5
Anwendungen der komplexen Rechnung
Beispiel 1.26:
Grenzwertverlag
117
Reihenschaltung von Spule, Kondensator und Ohm-
schem Widerstand
C
R
L
i(t)
u(t)
Beispiel 1.27:
Schaltung
Zu bestimmen ist der komplexe Gesamtwiderstand der
1.5
Anwendungen der komplexen Rechnung
Grenzwertverlag
118
C
R
i(t)
L
u(t)
Beispiel 1.28:
Blindstromkompensation oder warum ist bei einem
Elektromotor (induktiver und Ohmscher Widerstand) ein Kondensator
parallel geschaltet?
1.5
Anwendungen der komplexen Rechnung
i(t)
Grenzwertverlag
R
119
L
u(t)
Bei Gleichstrom ergibt sich die Leistung eines Verbrauchers aus dem Produkt von Spannung und Stromstärke. Bei Wechselströmen ist die zeitliche
Veränderung und gegebenenfalls die Phasendierenz zwischen Spannung
und Strom zu berücksichtigen, d. h. die Leistung des Verbrauchers ergibt
sich nicht einfach aus dem Produkt der Amplituden von Spannung und
Strom. Hier ist vielmehr der (zeitliche) Mittelwert aus dem Produkt der
Momentanwerte von Spannung und Strom zu betrachten.
1.5
Anwendungen der komplexen Rechnung
Die Phasenverschiebung um
Wirkleistung um den Faktor
Grenzwertverlag
ϕ reduziert also die am Verbraucher erbrachte
cos ϕ
Bei vorgegebener Spannung und Leistung ieÿt bei kleinem
h. groÿem Winkel
120
cos ϕ (d.
ϕ) ein groÿer Strom, wobei nur ein kleiner Teil für die
Wirkleistung relevant ist. Groÿe Ströme führen jedoch bei den Zuleitungen
etc. zu Verlusten, und deshalb versucht man durch einen zweiten Blindwiderstand einen Kondensator den Imaginärteil des Gesamtwiderstands
(Blindwiderstand) möglichst klein zu machen.
1.5
Anwendungen der komplexen Rechnung
Grenzwertverlag
121
C
i(t)
R
L
u(t)
Die Kapazität des parallel geschalteten Kondensators ist nun zu so wählen, das der Imaginärteil des Gesamtwiderstandes minimal wird. Für den
Gesamtwiderstand der obigen Schaltung gilt:
1.5
Anwendungen der komplexen Rechnung
Grenzwertverlag
Zahlenbeispiel für einen 2000 Watt-Motor1:
U0 = 230V ,
1
R = 10Ω,
L = 40mH ,
ω = 100 π
Bei Leuchtstoröhren ndet eine analoge Blindstromkompensation statt.
122
1.5
Anwendungen der komplexen Rechnung
Grenzwertverlag
123
1.5
Anwendungen der komplexen Rechnung
Grenzwertverlag
124
1.5
Anwendungen der komplexen Rechnung
Grenzwertverlag
125
1.5
Anwendungen der komplexen Rechnung
Zusammenfassung:
Grenzwertverlag
In Wechselstromkreisen mit Ohmschen Wi-
derständen, Kapazitäten und Induktivitäten (RCL-Netzwerken) gilt
bei komplexer Darstellung von Spannung und Strom
u(t) = U0 e j(ωt+ϕu),
i(t) = I0 e j(ωt+ϕi)
das Ohmsche Gesetz in der Form
u = Z · i,
Die komplexe Zahl
Z = Z0 e jϕ = R + j X
Z entspricht dem Wechselstromwiderstand und
wird auch als Impedanz bezeichnet.
126
1.5
Anwendungen der komplexen Rechnung
Grenzwertverlag
Die Widerstände der einzelnen Schaltelemente sind gegeben durch
Ohmscher Widerstand
Kapazität
C:
Induktivität
L:
R:
ZR = R
Z C = jω1C
Z L = jω L
127
1.6
Komplexe Ortskurven
1.6
1.6.1
Grenzwertverlag
128
Komplexe Ortskurven
Physikalische Beispiele
In der Wechselstrom- und Regelungstechnik treten häug Gröÿen auf,
die noch von einem reellen Parameter z. B. der Frequenz abhängen. Solche Abhängigkeiten lassen sich als sogenannte Ortskurven in der
komplexen Zahlenebene darstellen. Im Folgenden wollen wir bei Wechselstromkreisen den Zusammenhang zwischen Frequenz und Widerstand
bzw. Leitwert untersuchen.
Wechselstromkreis mit ohmschem und induktivem Widerstand (Reihenschalt
1.6
Komplexe Ortskurven
i(t)
Grenzwertverlag
R
129
L
u(t)
Bei festen Werten für den Ohmschen Widerstand
RΩ und die Induktivität
L ergibt sich für den komplexen Widerstand die folgende Abhängigkeit:
Z(ω) = R + jωL
1.6
Komplexe Ortskurven
Jedem
Wert
Grenzwertverlag
der
130
Im
Kreisfrequenz
6
ω entspricht ein komplexer Wi-
>
ω4 derstandszeiger, der sich in der
*
ω3 komplexen Zahlenebene darstellen
lässt. Variert man
so durchläuft
ω von 0 bis ∞,
Z(ω) die Punkte auf
der Halbgeraden
j
:
-
ω2
ω1
1
ω = 0R
-
Re
x = R.
Wechselstromkreis mit ohmschem und kapazitivem Widerstand (Parallelschalt
1.6
Komplexe Ortskurven
i(t)
u(t)
Grenzwertverlag
131
R
C
Bei festen Werten für den ohmschen Widerstand
R und die Kapazität C
ergibt sich für den komplexen Widerstand die folgende Abhängigkeit:
1 + jωC = 1 + jωRC
1
= R
R
Z(ω)
⇒
Z(ω) = 1 + R
jωRC
Durchläuft die Kreisfrequenz sämtliche Werte von
0 bis ∞, so bewegt sich
der komplexe Widerstandszeiger auf einer Kurve. Durch eine geeignete
Umformung wollen wir die Natur dieser Ortskurve deutlich machen.
1.6
Komplexe Ortskurven
Grenzwertverlag
132
Z(ω) = 1 + R
jωRC
1 +
1
1 · 1 + jωRC
= R 2
−
2 1 + jωRC
1 + jωRC
1 · 1 − jωRC
= R 1
+
2
2 1 + jωRC
2
2
2
1 · 1 − ω R C − j2ωRC
= R 1
+
2
2
1 + ω 2 R2 C 2
(?)
(??)
Der Quotient einer komplexen Zahl durch die zugehörige konjugiert komplexe Zahl hat stets den Betrag 1. Aus der Darstellung
daher leicht, dass für alle
(?) erkennt man
ω gilt:
1 − jωRC 1 + jωRC = 1
Damit können wir die Ortskurve geometrisch beschreiben: Ausgehend von
dem Punkt
R auf der reellen Achse wird eine komplexe Zahl der Länge
2
1.6
Komplexe Ortskurven
Grenzwertverlag
133
R abgetragen. Aus (??) erkennt man, dass nur negative Imaginärteile
2
auftreten können. Damit bewegt sich der komplexe Widerstanszeiger auf
dem unteren Halbkreis mit Radius
ergibt sich der Punkt
R und Mittelpunkt ( R |0). Für ω = 0
2
2
(R|0). Für ω → ∞ strebt Z(ω) gegen den Nullpunkt.
1.6
Komplexe Ortskurven
Im
Grenzwertverlag
134
6
jR
2
R
2
R
x
-u
X
HXX
@
A HHXXX
XXX
A@ H
XXX
A @ HHH
XXX
XXX
A @
HH
XXX
A @
H
XXX
H
A
@
HH
XXX
zu
X
A
@
HH
A
@
H
HH
A
@
H
A
@
HH
A
@
H
H
Uu
A
ju
H
@
@
@
Ru
@
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............
....................
.............
...........................................................................................
-
Re
Bei Parallelschaltung eines ohmschen und induktiven Widerstands erhält
1.6
Komplexe Ortskurven
Grenzwertverlag
135
man den oberen Halbkreis als Ortskurve des Widerstandszeigers.
Eine analoge Ortkurve ergibt sich, wenn man beim Eingangsbeispiel (Reihenschaltung von ohmschem und induktivem Widerstand) zum Leitwert
übergeht.
Y (ω) =
1
= R +1jωL
Z(ω)
1·
1
= R
1 + j ωL
R


ωL
1+j R
1
1
1
1


= R 2 +
−
·
2 1 + j ωL
1 + j ωL
R
R


ωL
1
−
j
1 1 + 1 ·
R 
= R
2
2 1 + j ωL
R
1.6
Komplexe Ortskurven
Grenzwertverlag
136
1 und MitDer Leitwertzeiger bewegt sich auf einem Kreis mit Radius 2R
1 |0).
telpunkt ( 2R
1.6
Komplexe Ortskurven
Im
Grenzwertverlag
137
6
1
2R
1
R
x
-u
X
HXX
@
A HHXXX
XXX
A@ H
XXX
A @ HHH
XXX
XXX
A @
HH
XXX
A @
H
XXX
H
A
@
HH
XXX
zu
X
A
@
HH
A
@
H
HH
A
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H
A
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HH
A
@
H
H
Uu
A
ju
H
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Ru
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.............
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....................
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-
Re
Beispiel 1.29: Schwingkreis mit ohmschem, kapazitivem und induktivem
1.6
Komplexe Ortskurven
Grenzwertverlag
138
Widerstand (Reihenschaltung).
i(t)
C
R
L
u(t)
1 = R + j ωL − 1
Z(ω) = R + jωL + jωC
ωC
i0 = s
R2 + ωL −
U0ejωt
U0 jα
=
=
e
j(ωt−α)
I
0
I0 e
ωL −
U0
1 2
ωC
;
tan α =
R
1
ωC
1.6
Komplexe Ortskurven
Grenzwertverlag
Resonanzfrequenz :
0 = ω0L − ω 1C
0
Durchläuft die Kreisfrequebz
r
⇒
ω0 =
139
1
LC
ω den Bereich 0 < ω < ∞, so bewegt sich der
Widerstandszeiger auf der zur Imaginärachse parallelen Geraden
x = R. Zu
jedem Punkt auf dieser Geraden gibt es genau eine passende Frequenz
ω≥
0. Die zugehörigen Leitwerte liegen auf einem Kreis durch den Nullpunkt
und Mittelpunkt
1 |0) auf der positiven reellen Achse.
M ( 2R
Ω
Von technischem Interesse sind die Ausdrücke
1
ωL
−


ωC

 .
α = arctan 

R

I0
1
s
=
2 ,
U0
1
2
R + ωL −
ωC

1.6
Komplexe Ortskurven
Grenzwertverlag
140
Diesen Zusammenhang nennt man Amplituden- bzw. Phasenfrequenzgang.
MATLAB schwingkreis
Für kompliziertere Wechselstromkreise fallen die zugehörigen Ortskurven
für den Widerstandszeiger entprechend komplizierter aus.
1.6
Komplexe Ortskurven
Grenzwertverlag
141
C2
L2
R2
i(t)
C1
L1
R1
u(t)
Mit den nachfolgenden Konstanten ergibt sich eine interessante Ortskurve.
R1
R2
C1
C2
L1
L2
20 Ω 50 Ω 200 µF 100 µF 400 mH 500 mH
1.6
Komplexe Ortskurven
1.6.2
Grenzwertverlag
Parameterdarstellungen von Kurven im Komplexen
142
Wir betrachten nun komplexwertige Funktionen, die von einer reellen Variablen meist
t genannt abhängen.
z = z(t) ,
mit
z ∈ C und
t ∈ IR
wobei
ta ≤ t ≤ tb
1.6
Komplexe Ortskurven
Stellt man
Grenzwertverlag
z(t) in der Kom-
ponentenform dar, so erhält
Im
man:
z(t) = x(t) + jy(t)
wobei
x(t) und y(t) zwei re-
z(t1)
z(t2)
z(t)
z(t3)
Re
elle Funktionen einer reellen
Variablen sind.
Gerade
143
1.6
Komplexe Ortskurven
Grenzwertverlag
144
Im
z(t) = z0 + t · ejϕ
ejϕϕ
g
j
Durchläuft der Parameter
z0
sämtliche reelle Zahlen, so
bewegt sich der Zeiger
1
Kreis
t
z(t)
Re
auf der gesamten Geraden.
1.6
Komplexe Ortskurven
Grenzwertverlag
145
Im
z(t) = z0 + r · ejt
rejt
t
r
Durchläuft der Parameter
z0
den Bereich
t
0 ≤ t < 2 · π , so
bewegt sich der Zeiger
z(t)
Re
auf dem Kreis.
Ellipse um Ursprung
z(t) = r1 · ejt + r2 · e−jt = |(r1 +
r ) cos t + (r
− r ) sin t ,
{z 2 }
| 1 {z 2 }
a
b
r1 6= r2
1.6
Komplexe Ortskurven
Grenzwertverlag
Durchläuft der Parameter
den Bereich
Im
z(t)
b
a
146
t
0 ≤ t < 2 · π , so
bewegt sich der Zeiger
z(t)
auf der skizzierten Ellipse.
ϕ
Re
Dabei ist zu beachten, dass
der Parameter
t nicht mit
dem eingezeichneten Winkel
ϕ übereinstimmt.
Hyperbel um Ursprung
t + e−t
t − e−t
a
+
bj
a
−
bj
e
t
−t
e
z(t) =
= a·
+b ·
2 ·e + 2 ·e
2
2 }
| {z }
| {z
= cosh t
= sinh t
1.6
Komplexe Ortskurven
Grenzwertverlag
Durchläuft der Parameter
den Bereich
t
−∞ < t < ∞, so
bewegt sich der Zeiger
Im
147
z(t)
auf der skizzierten Hyperbel.
b
ϕ
a
z(t)
Wieder stimmt der Winkel
ϕ
Re
nicht mit dem Parameter
t
überein. Weiter ist zu beachten, dass dabei nur der rechte Ast dargestellt wird
0).
Logarithmische Spirale
(a >
1.6
Komplexe Ortskurven
Grenzwertverlag
148
z(t) = r · e(a+jb)t
Durchläuft der Parameter
den Bereich
Im
t
−∞ ≤ t < ∞,
so bewegt sich der Zeiger
z(t)
z(t) auf der skizzierten Spi-
t
Re
rale. Für
t → −∞ kommt die
Spirale dem Koordinatenursprung beliebig nahe. Wählt
man
b = 1, so stimmt der
Parameter
t mit dem skiz-
zierten Winkel überein.
1.7
Komplexe Funktionen einer komplexen Variablen
1.7
Grenzwertverlag
149
Komplexe Funktionen einer komplexen Variablen
Bei der Diskussion von komplexem Widerstand und Leitwert stieÿen wir
auf gewisse innere Zusammenhänge zwischen den Ortskurven von Widerstand und Leitwert. Lagen z. B. die Widerstandszeiger alle auf einer
Geraden, so durchliefen die komplexen Zeiger des Leitwerts stets einen
Kreis. Diese Beobachtung soll nun in einen allgemeineren Zusammenhang
gestellt werden.
Wir betrachten nun komplexwertige Funktionen bei denen auch die unabhängige Variable komplex ist.
w = f (z);
z ∈ Df ⊂ C,
w ∈ Wf ⊂ C
Wählen wir die Komponentendarstellung, so gilt mit
z = x + jy und w =
1.7
Komplexe Funktionen einer komplexen Variablen
Grenzwertverlag
150
u + jv der Zusammenhang:
w = f (z) = u(x, y) + jv(x, y)
Solche funktionale Zusammenhänge lassen sich nicht in einer Ebene oder
in dreidimensionalen Anschauungsraum darstellen. Da sowohl Denitionsals auch Bildbereich die Dimension zwei hat, wäre zur Veranschaulichung
ein vierdimensionaler Raum notwendig. Um wenigstens eine gewisse Visualisierung zu erzielen legen wir zwei komplexe Zahlenebenen gekennzeichnet als
Funktion
z - und w-Ebene nebeneinander. Zu Veranschaulichung der
w = f (z) markiert man zugeordnete Punkte in den beiden kom-
plexen Ebenen:
1.8
Lineare Abbildungen
y
z1
Grenzwertverlag
z -Ebene
w = f (z)
z
w1
u
w3
z3
1.8.1
w-Ebene
2
x
1.8
v
151
w2
Lineare Abbildungen
Ganze lineare Funktionen w = az + b
Bei der Funktion
w = f (z) = az + b
bewirkt die Multiplikation mit
winkel
a, b ∈ C, konstant
a = r · ejϕ eine Drehstreckung mit Dreh-
ϕ und Streckungsfaktor r; die Addition von b bedeutet eine Trans-
lation (Verschiebung).
1.8
Lineare Abbildungen
Grenzwertverlag
Beispiel 1.30: w = f (z) = (2 + j)z + (2 − j)
◦)
≈
0,
46
(≈
26,
6
a = 2 + j = r · ejϕ ⇒ Drehung um ϕa = arctan 1
2
√
Streckung mit Faktor ra = 5
b = 12 − j
Spezielle Punkte:
⇒ Translation um (2 − j)
z1 = 0 → z3 = 1 + j →
w1 = 2 − j
w3 = 3 + 2j
z 2 = 1 → z 4 = j → w4 =
w2 = 4
1+j
Die Abbildung besitzt einen Fixpunkt.
z0 = (2 + j)z0 + (2 − j)
⇒
+ 3j
z0 = −1 2
152
1.8
Lineare Abbildungen
w0
w = f (z) w4
z3
z4
153
w3
v
z0y
z1
Grenzwertverlag
w2
z2
x
u
w1
1.8.2
Abbildung durch die Funktion w = 1
z
Diese Abbildung stellt den Zusammenhang zwischen komplexem Widerstand und Leitwert aus dem vorangegangenen Abschnitt dar.
Die Eigenschaften der Funktion
Darstellung von
f (z) = 1
z erkennt man am besten bei
z und w in Exponentialform;
z = rz · ejϕz
⇒
w = rw · ejϕw =
Die Abbildung erfolgt in 2 Schritten:
1 −jϕz
e
rz
1.8
Lineare Abbildungen
1. Schritt:
2. Schritt:
Grenzwertverlag
rw = r1
z
. . . Spiegelung am Einheitskreis
ϕw = −ϕz . . . Spiegelung an der reellen Achse
Im
B2
z
z0
Re
w
Einheitskreis
B1
154
1.8
Lineare Abbildungen
Grenzwertverlag
155
Schritt 1: Spiegelung am Einheitskreis
1 jϕ
0
·e =
z→z =
rz
Vom Punkt
w∗
z aus werden die beiden Tangentialpunkte B1, B2 auf dem
Einheitskreis mit Hilfe des Thaleskreises über der Strecke
Der gespiegelte Punkt
bindungsgeraden
Oz konstruiert.
z 0 ergibt sich als ergibt sich als Schnitt der Ver-
B1 B2 mit der Ursprungsgeraden Oz . Die Punkte O, Bi z
ergeben ein rechtwinkliges Dreieck. Der Kathedensatz liefert die Rechtfertigung für die Spiegelung .
Obigem Bild entnimmt man leicht die folgenden Eigenschaften der Spiegelung am Einheitskreis:
1.8
Lineare Abbildungen
Grenzwertverlag
156
z 0 auf einem gemeinsamen Ursprungsstrahl
•z
und
•z
auÿerhalb Einheitskreis
→ z 0 innerhalb Einheitskreis
z innerhalb Einheitskreis → z 0 auÿerhalb Einheitskreis
• (z 0)0 = z
• alle
Punkte des Einheitskreises sind Fixpunkte der Abbildung
• z = 0 → z 0 = ∞;
z = ∞ → z0 = 0
2
2. Teilabbildung: Übergang zum konjugiert komplexen Wert
(z 0)∗ = w
durch Spiegelung an der reellen Achse.
2
Bei Abbildungen der komplexen Ebene bewährt sich die Einführung des Punktes
∞ als Bild des Ursprungs unter der Abbildung w = 1z .
1.8
Lineare Abbildungen
Grenzwertverlag
157
Die Gesamtabbildung läÿt sich durch die skizzierte Gebietszuordnung veranschaulichen:
y
v
6
7
w=1
z
5
2
1
3
4
3
x
8
2
4
7
8
6
5
u
1



 auÿerhalb des Einheitskreises ←→ innerhalb des Einheitskreises 


 oberhalb der reellen Achse

←→ unterhalb der reellen Achse 
Die Fixpunkte der Gesamtabbildung sind
z1,2 = ±1.
1.8
Lineare Abbildungen
Die Abbildung
in
w -Ebene}.
durch
Grenzwertverlag
w = 1
z
ist kreistreu, d.h. {Kreise in
158
z -Ebene} → {Kreise
Dabei werden Geraden als Kreise mit Radius
∞ oder Kreise
∞ interpretiert.
Beweisskizze:
z = x + jy,
w = u + jv
1 =
1
u
v
z=w
=
−
j
u + jv
u2 + v 2
u2 + v 2




⇒ x = 2 u 2,

u +v


Einsetzen in die allgemeine Kreisgleichung der
y=− 2 v 2
u +v
z -Ebene
a(x2 + y 2) + bx + cy + d = 0
ergibt nach kurzer Rechnung die allgemeine Kreisgleichung der
d(u2 + v 2) + bu − cv + a = 0
Sonderfälle:
w-Ebene:
1.8
Lineare Abbildungen
Grenzwertverlag
a = 0, d = 0 bx + cy = 0
d.h. Ursprungsgerade
159
−→ bu − cv = 0
−→ Ursprungsgerade
a = 0, d 6= 0: Gerade nicht durch 0 −→ Kreis durch 0
a 6= 0, d = 0: Kreis durch 0
−→ Gerade nicht durch 0
a 6= 0, d 6= 0: Kreis nicht durch 0
−→ Kreis nicht durch 0
Die Abbildung
w = 1
z ist winkeltreu (konform), d.h. Schnittwinkel zwi-
schen Kurven bleiben bei der Abbildung unverändert.3
3
Die Winkeltreue ndet sich bei vielen komplexen Abbildungen. So ist z. B. jede im
komplexen Sinne dierenzierbare Funktion winkeltreu.
1.8
Lineare Abbildungen
1.8.3
Grenzwertverlag
160
Abbildung durch gebrochen lineare Funktionen
Die gebrochen lineare Funktion
az + b
w=
cz + d
a, b, c, d ∈ C, konstant
läÿt sich durch Polynomdivision umformen in
w=
a
bc − ad
1
+
·
c
c
cz + d
Man kann die zugehörige Abbildung in zwei ganze lineare Abbildungen
und die Abbildung 1
z zulegen:
w(1) = cz + d
1
w(2) =
w(1)
bc − ad
a
w = w(3) =
· w(2) +
c
c
1.8
Lineare Abbildungen
Grenzwertverlag
161
Beim Hintereinanderausführen der drei Teilabbildungen bleiben die Eigenschaften Kreistreue und Winkeltreue erhalten.
Die gebrochen lineare Abbildung
Beispiel 1.31:
+j
w = f (z) = 1z +
jz
y
v
w = f (z)
x
u
+ b ist kreis- und winkeltreu.
w = az
cz + d
z 1 j -1 -j 0
w 1 ∞ -1 0 j
1.9
Spezielle Abbildungen
Grenzwertverlag
Einheitskreis
−→ reelle Achse
Inneres des Einheitskreises
−→ obere Halbebene
1.9
162
Spezielle Abbildungen
In diesem Abschnitt wollen wir einige elementare Funktionen, deren Denition und Eigenschaften uns aus dem Reellen bekannt sind, in einen
allgemeineren komplexen Zusammenhang stellen. Viele bekannte Eigenschaften reeller Funktionen lassen sich nur im Zusammenhang mit ihrer
komplexen Erweiterung sinnvoll deuten.
1.9.1 Potenzfunktionen w = z n
Beispiel 1.32: w = f (z) = z 2
1.9
Spezielle Abbildungen
Grenzwertverlag
163
In Polarkoordinatendarstellung erhalten wir den Zusammenhang:
2
jϕ
w = re
= r2 · ej2ϕ
Der Radius - Abstand zum Nullpunkt - wird quadriert, der Winkel wird
verdoppelt. Durchläuft nun
z alle Punkte des in der oberen Halbebene
gelegenen Halbkreises
z = rejϕ , 0 < ϕ < π , so durchläuft w einen Voll-
kreis mit dem Radius
ρ = r2. Beide Kurven entsprechen sich umkehrbar
eindeutig. Allerdings kommt dabei in der
w-Ebene der Schnittpunkt des
Kreises mit der positiven reellen Achse nicht vor. Lässt man nun
le Werte
0 < r < ∞ durchlaufen, so durchläuft auch ρ = r2 alle diese
Werte. Damit wird die obere komplexe Zahlenebene
durch
r al-
{z = x + jy, y > 0}
w = z 2 auf die ganze w-Ebene abgebildet. Der fehlende Rand der
Halbebene entspricht dabei der positiven reellen Achse in der
w-Ebene.
1.9
Spezielle Abbildungen
Grenzwertverlag
Ebenso erkennt man, dass die untere komplexe Zahlenebene
jy, y < 0} ebenfalls auf die gesamte w-Ebene abgebildet wird.
z -Ebene
v
w1-Ebene
y
w = z2
r
ϕ
2ϕ
2
r
x
u
z -Ebene
v
w2-Ebene
y
w = z2
ϕ
r
x
2ϕ
2
r
u
164
{z = x +
1.9
Spezielle Abbildungen
Die gesamte
165
z -Ebene wird also in leicht übersehbarer Weise auf die dop-
pelt bedeckte
aber jedes
Grenzwertverlag
w-Ebene abgebildet, d. h. jedem z entspricht genau ein w,
w wird für genau zwei (entgengesetzt gleiche) z angenommen
mit Ausnahme des Wertes
z = 0! Um diese doppelte Belegung der w-
Ebene anschaulicher zu übersehen, denkt man sich die beiden erhaltenen
w-Ebenen längs der positiven reellen Achse aufgeschnittenen Exemplare der
w-Ebene übereinandergelegt. Heftet man die beiden Nullpunkte
zusammen und fügt die beiden Blätter über Kreuz aneinander, so erhält man ein Gebilde, das man als die Riemannsche Fläche der Funktion
w = z 2 bezeichnet. Dabei wird der obere Rand jedes Blattes mit dem
unteren Rand des anderen Blattes verbunden. Damit haben wir einen in
beiden Richtungen eindeutigen Zusammenhang zwischen den Punkten der
1.9
Spezielle Abbildungen
Grenzwertverlag
166
z -Ebene und der oben beschriebenen Riemannschen Fläche erhalten.
Benutzen wir kartesische Koordinaten, so ergeben sich zusätzliche Einblicke in diese Abbildung.
w = u + jv = (x + jy)2 = x2 − y 2 + 2xyj
bzw.
u = x2 − y 2
v = 2xy
Wir wollen nun die Bilder der Geradenschar
u = x 2 − c2 ,
⇒
v = 2xc
2
v
u =
− c2
2
4c
⇒
y = c , c > 0 bestimmen.
v
x = 2c
1.9
Spezielle Abbildungen
Grenzwertverlag
167
D. h. die Bilder sind Parabeln, die sich in Richtung der positiven reellen
Achse önen. Alle Parabeln besitzen den Koordinatenursprung als Brennpunkt.
z -Ebene
v
w1-Ebene
y
w = z2
x
u
Für die Geradenschar
u = c2 − y 2 ,
x = c erhalten wir ebenfalls Parabeln.
v = 2xyc
⇒
v
y = 2c
1.9
⇒
Spezielle Abbildungen
u = c2 −
z -Ebene
y
Grenzwertverlag
168
v2
4c2
v
w1-Ebene
w = z2
x
u
Dabei ergeben die beiden Halbgeraden
x = c , x = −c y > 0 jeweils eine
Hälfte des Parabelbogens.
Bei dieser Abbildung bleiben die Schnittwinkel der Kurven erhalten, d.
h. die Bilder der orthogonalen Geraden ergeben wieder Kurven, deren
1.9
Spezielle Abbildungen
Grenzwertverlag
169
Tangenten sich im rechten Winkel schneiden. Ausgenommen ist der Nullpunkt: hier wird der Winkel verdoppelt.
Abbildungen der Bauart
w = z n , n ∈ IN sind bei Benutzung von Polarko-
ordinaten genauso leicht zu studieren wie im Falle
n = 2. An Stelle der
Halbebene hat man einen Winkelraum mit der Önung 2π
n , der dann auf
eine
w-Ebene abgebildet wird. Damit ergibt sich als Bild der z -Ebene eine
n-fach überdeckte w-Ebene.
Es gilt: Zu vorgebenem
w 6= 0 gibt es genau n verschiedene Werte z , so
dass
zn = w
gilt.
1.9
Spezielle Abbildungen
Sämtliche
Grenzwertverlag
z -Werte liegen auf einem Kreis um den Nullpunkt und bilden
dort die Ecken eines regelmäÿigen
eine
170
n-Ecks. Jeden dieser Werte nennt man
n-te Wurzel von w.
h
i
1
1
1.9.2 Abbildung w = 2 z + z
Um einen ersten Überblick über die Abbildung
1
z
+
w=1
z
2
h
i
zu bekommen, bestimmen wir zu vorgebenem
1
z
+
w = 1
z
2
2wz = z 2 + 1
h
i
0 = z 2 − 2wz + 1
p
w2 − 1



| · 2z 









⇒
w die Urbilder.
z1,2 =
2w ±
q
4w2 − 4
= w±
2
1.9
Spezielle Abbildungen
Grenzwertverlag
171
Nach dem Wurzelsatz von Vieta ergibt das Produkt der beiden Lösungen
z1 , z2 das Absolutglied 1.
z1 · z2 = 1
D. h. die beiden Lösungen gehen durch die gebrochen lineare Abbildung
z1 = z1
2
ineinander über. Somit liegt für jedes
w ein Urbild innerhalb und auÿerhalb
des Einheitskreises.
Stellt man die Variable
z mittels Polarkoordinaten dar, so erhalten wir:
1.9
Spezielle Abbildungen
Grenzwertverlag
172
1
w = u + jv = 1
z
+
z
2
jϕ + 1
= 1
re
2
rejϕ i
h
jϕ + 1 e−jϕ
= 1
re
r
2
h
i
1 (cos ϕ − j sin ϕ)
= 1
r
cos
ϕ
+
j
sin
ϕ
+
(
)
r
2
j
1
1
1
= 2 r + r cos ϕ + 2 r − r sin ϕ
h
i
bzw. u = 1 r + 1
r cos ϕ ,
2
1 sin ϕ
v = 1
r
−
r
2
Ausgehend von dieser Darstellung wollen wir die Bilder von Kreisen um
den Ursprung und von Ursprungsstrahlen bestimmen.
Kreise
z = rejϕ , r fest , 0 ≤ ϕ < 2π
1) r > 1
1.9
Spezielle Abbildungen
Grenzwertverlag
1 cos ϕ ,
u = 1
r
+
|2 {z r }
=a
173
1 sin ϕ
v = 1
r
−
|2 {z r }
=b
Dies ist die Parameterdarstellung einer Ellipse mit den Halbachsen
a>
1 und b > 0. Aus
2 + 2 + 1 − 1 r2 − 2 + 1 = 1
d2 = a2 − b2 = 1
r
4
4
r2
r2
ergeben sich die Brennpunkte
Durchläuft nun
⇒
d=1
(±1|0) dieser Ellipsenschar.
r alle Werte r > 1, so bläht sich die Ellipse über die
h
i
1
1
ganze w -Ebene auf. Die Halbachse a = 2 r + r wächst monoton von
h
i
1
1
a = 1 bis a = ∞, während b = 2 r − r von b = 0 auf b = ∞ anwächst.
2) 0 < r < 1
1 r − 1 sin ϕ ändert
In der Darstellung u = 1 r + 1
cos
ϕ
,
v
=
r
r
2
2
sich nur das Vorzeichen von r − 1
r . Mittels
1.9
Spezielle Abbildungen
Grenzwertverlag
1 cos −ϕ ,
u = 1
r
+
|2 {z r }
=a
174
1 − r sin −ϕ
v = 1
|2 r{z
}
=b
erkennen wir, dass sich ebenfalls eine Ellipse allerdings mit umgekehrtem Durchlaufsinn ergibt. Durchläuft
r den Bereich 0 < r < 1,
so überstreichen die Ellipsen wieder eine komplette
w-Ebene.
3) r = 1
Der Einheitskreis wird auf die doppelt durchlaufene Strecke auf der
reellen Achse zwischen
−1 und 1 abgebildet.
1 ejϕ + 1
w = 2
ejϕ
Damit ergeben sich als Bild der
diese beiden Ebenen längs
jϕ + e−jϕ = cos ϕ
= 1
e
2
h
i
z -Ebene zwei w-Ebenen. Schlitzt man
[−1, 1] auf und verheftet sie dort kreuzweise
1.9
Spezielle Abbildungen
Grenzwertverlag
175
miteinander, so ergibt sich wieder die zugehörige zweiblättrige Riemannsche Fläche.
v
y
h
i
1
1
w=2 z+z
x
u
1.9
Spezielle Abbildungen
Grenzwertverlag
176
v
y
h
i
1
1
w=2 z+z
x
Ursprungsstrahlen
u
z = rejϕ , 0 < r < ∞ , ϕ fest
Zunächst stellen wir die Halbgeraden mittels
r = et in einer anderen Form
dar:
z = et · ejϕ , −∞ < t < ∞ , ϕ fest
1.9
Spezielle Abbildungen
Grenzwertverlag
177
1
w = u + jv = 1
z
+
z
2
1
t · ejϕ +
= 1
e
2
et · ejϕ i
h
t · ejϕ + e−t e−jϕ
= 1
e
2
h
i
t · (cos ϕ + j sin ϕ) + e−t · (cosϕ − j sin ϕ)
= 1
e
2
t + e−t
t − e−t
e
e
= cos ϕ ·
+ j sin ϕ ·
2
2
h
|
{z
}
= cosh t
bzw.
u = cos
ϕ cosh t ,
| {z }
=a
|
{z
i
}
= sinh t
v = sin
ϕ sinh t
| {z }
=b
Dies ist die Parameterdarstelluing eines Hyperbelastes mit den Halbachsen
a = cos ϕ , b = sin ϕ und dem Brennpunkt 1. Dabei wird der auÿerhalb des
Einheitskreises liegende Teil des Strahls auf die obere Hälfte des Hyperbelastes abgebildet. Der innerhalb des Einheitskreises gelegene Teil ergibt
1.9
Spezielle Abbildungen
Grenzwertverlag
den unteren Ast.
v
y
h
i
1
1
w=2 z+z
x
u
Grenzfälle
• ϕ=0
⇒
u = cosh t , v = 0
doppelt durchlaufenes Geradenstück
• ϕ=π
2
⇒
[1 , ∞) auf der reellen Achse
u = 0 , v = sinh t
imaginäre Achse, durchlaufen von
−j∞ nach j∞
178
1.9
Spezielle Abbildungen
• ϕ=π
⇒
Grenzwertverlag
u = − cosh t , v = 0
doppelt durchlaufenes Geradenstück
• ϕ = 3π
2
⇒
179
(−∞ , 1] auf der reellen Achse
u = 0 , v = − sinh t
imaginäre Achse, durchlaufen von
j∞ nach −j∞
Auch diese Abbildung ist winkeltreu, d. h. die oben beschriebenen Ellipsenund Hyperbelscharen durchdringen sich senkrecht.
1.9.3
Transzendente Funktionen für komplexe Argumente
Wir wollen hier kurz auf die Frage eingehen, wie die aus der Schulmathematik bekannten Funktionen
sin x, , cos x , ex etc. für komplexe Argu-
mente erklärt werden. Benutzt werden hier die Reihendarstellungen dieser
elementaren Funktionen.
1.9
Spezielle Abbildungen
cos x =
sin x =
∞
X
ex =
2k
k
x
(−1)
(2k)!
k=0
∞
X
(−1)k
k=0
Grenzwertverlag
180
2
4
6
8
10
x
x
x
x
x
= 1 − 2! + 4! − 6! + 8! − 10! ± . . .
x2k+1 = x − x3 + x5 − x7 + x9 − x11 ± . . .
3!
5!
7!
9!
11!
(2k + 1)!
∞
X
k=0
xk
k!
2
3
4
5
6
x
x
x
x
x
= 1 + x + 2! + 3! + 4! + 5! + 6! + . . .
(vgl. Band 2 dieser Darstellung)
Die dabei benötigten Rechenoperationen
+, −, ·, : sowie die Grenzwertbil-
dung
lim
n→∞
=
n
X
ak xk
k=0
lassen sich problemlos auf komplexe Argumente übertragen. Wir erhalten
so die Denition dieser Funktionen mittels Reihenentwicklung.
1.9
Spezielle Abbildungen
cos z =
sin z =
∞
X
ez =
2k
k
z
(−1)
(2k)!
k=0
∞
X
(−1)k
k=0
Grenzwertverlag
181
2
4
6
8
10
z
z
z
z
z
= 1 − 2! + 4! − 6! + 8! − 10! ± . . .
z 2k+1 = z − z 3 + z 5 − z 7 + z 9 − z 11 ± . . .
3!
5!
7!
9! 11!
(2k + 1)!
∞
X
k=0
zk
k!
2
3
4
5
6
z
z
z
z
z
= 1 + z + 2! + 3! + 4! + 5! + 6! + . . .
Wir können nun auch den zunächst nur als Abkürzung benutzten Zusammenhang zwischen Sinus-, Kosinusfunktion und der komplexen
Funktion rechtfertigen (Eulerformel).
e-
1.9
Spezielle Abbildungen
Grenzwertverlag
182
(jx)2
(jx)3
(jx)4
(jx)5
(jx)6
(jx)7
(jx)8
jx
e = 1 + jx +
+
+
+
+
+
+
+ ...
2!
3!
4!
5!
6!
5!
8!
2
3
4
5
6
7
8
x
x
x
x
x
x
x
= 1 + jx − 2! − j 3! + 4! + j 5! − 6! − j 5! + 8! − . . .
2
4
6
8
3
5
7
8
x − x + x − ... + j x − x + x − x + x − ...
= 1−x
+
2!
4!
6!
8!
3!
5!
5!
8!
= cos x + j sin x
1.9.4
Exponentialfunktion und Logarithmus
Wir benutzen die auch im Komplexen gültige Funktionalgleichung4 für
die
e-Funktion
ez1+z2 = ez1 · ez2
4
Wir gehen von der Reihendarstellung der komplexen
z
e
=
∞
X
k=0
zk
k!
e-Funktion aus
1.9
Spezielle Abbildungen
Grenzwertverlag
183
Bei der Berechnung des Produkts sind nun die beiden Reihen auszumultiplizieren.
∞
P
z1k1
k !
k1 =0 1
ez1 · ez2 =
!
∞
P
z2k2
·
k !
k2 =0 2
z12
z13
+
!
= 1 + z1 + 1 · 2
2
3
z2
z2
+
.
.
.
·
1
+
z
+
+
2
1·2·3
1·2
1 · 2 · 3 + ...
2
3
1
1
2
2
2
3
= 1 + [z1 + z2 ] + 1 · 2 z1 + 2z1 z2 + z2 + 1 · 2 · 3 z1 + 3z1 z2 + 3z1 z2 + z2 + . . .
(z1 + z2 )2
(z1 + z2 )3
= 1 + (z1 + z2 ) +
+ 1 · 2 · 3 + ...
1·2
Beim Ausmultiplizieren fassen wir diejenigen Glieder zusammen, deren Exponenten bzgl.
z1 und z2 dieselbe Summe ergeben. Für das Glied mit k1 + k2 = k erhalten wir
z1k−1
z1k−l
z2k−1
z1k
z2l
z2k
z
z
2
1
+
·
+ ... +
·
+ ... +
·
+
=
k! h (k − 1)! 1!
1! (k − 1)!
(k − l)! l!
ik!
k
= 1 z1k + 1k z1k−1 z2 + . . . + kl z1k−l z2l + . . . + (k−1)
z11 z2k−1 + z2k
k!
(z1 + z2 )k
=
k!
Die letzte Beziehung ergibt sich aus dem binomischen Lehrsatz. Damit gilt die Funktionalgleichung:
z1
z2
e ·e =
∞
X
z1k1
k1 !
k1 =0
!
·
∞
X
z2k2
k2 !
k2 =0
!
∞
X
(z1 + z2 )k
=
= ez1 +z2
k!
k=0
1.9
Spezielle Abbildungen
Grenzwertverlag
184
Unter Benutzung der Eulerschen Beziehung erhalten wir für die komplexe
e-Funktion die Darstellung:
w = ez = ex+jy = ex · ejy = ex · [cos x + j sin y ]
Um einen Überblick über das Abbildungsverhalten zu erhalten betrachten
wir wieder die Geradenschar
y = c , −∞ < x < ∞.
w = ez = ex+jy = ex · [cos c + j sin c]
Durchläuft nun
x den Bereich −∞ < x < ∞, so erhalten wir in der w-
Ebene den Ursprungsstrahl mit dem Winkel
ϕ = c. Dabei ergibt sich für
c1 und c2 = c1 + 2π derselbe Ursprungsstrahl. Variieren wir c im Bereich
0 ≤ c < 2π , so ergeben sich in der w-Ebene sämtliche Ursprungsstrahlen.
Es ergibt sich bereits eine komplette
w-Ebene, allerdings ohne Nullpunkt.
1.9
Spezielle Abbildungen
Grenzwertverlag
Als Bild des Geradenstücks
x = c , 0 ≤ y < 2π erhalten wir in der w-Ebene
einen Kreis mit dem Radius
z − Ebene
y
185
ρ = ec .
v
w1 − Ebene
2π
w = ez
x
u
Obige Skizze zeigt die Bilder zweier Parallellen zur reellen Achse und eines
zur imaginären Achse parallellen Geradensrücks.
Alle Streifen
{z = x + jy , 2kπ ≤ y < 2(k + 1)π < 0
ergeben bei der
1.9
Spezielle Abbildungen
Grenzwertverlag
186
Abbildung
w = ez
als Bild wieder ein komplette
streifen nimmt die
w-Ebene. In jedem dieser Fundamental-
e -Funktion jeden von Null verschiedenen Wert genau
einmal an. Der Wert 0 wird nirgends angenommen. Wir erhalten damit
unendlich viele
w-Ebenen. Verheftet man diese w-Ebenen wieder längs der
reellen Achse, so ergibt sich die zugehörige Riemannsche Fläche mit unendlich vielen Blättern. Die Logarithmusfunktion ist nun wieder als Umkehrung erklärt. Sie ist im Komplexen mehrdeutig. Ist nun
w 6= 0 und
|w| = ρ , arc w = ψ , so erklären wir die komplexe Logarithmusfunktion
1.9
Spezielle Abbildungen
Grenzwertverlag
z = log w durch
z = log w = ln ρ + j(ψ + 2kπ) ,
Hierbei ist
k ∈ IN
ln ρ die reelle Logarithmusfunktion zur Basis e. Damit gilt:
ez = eln ρ+j(ψ+2kπ) = eln ρ · ej(ψ+2kπ) = |w| · [cos ψ + j sin ψ ] = w
187