Lösung Arbeitsblatt Vektoren

Fachhochschule Nordwestschweiz (FHNW)
Hochschule für Technik
Institut für Mathematik und Naturwissenschaften
Lösung Arbeitsblatt Vektoren
Modul: Mathematik
Datum: 2016
Dozent: Brückenkurs Mathematik 2016
1. Aufgabe
Gegeben sei der Ortsvektor


4
→
−
r =  −2 
5
Spiegeln Sie diesen Ortsvektor der Reihe nach an der xy-Ebene, der xz-Ebene, der
yz-Ebene, der x-Achse, der y-Achse, der z-Achse und dem Ursprung.
Lösung:






4
4
−4
−
 −2  , −
 2 ,−
 2 
r→
r→
r→
xy =
xz =
yz =
−5
−5
−5






−4
4
−4
→
−
−
−
rx =  −2  , →
ry =  −2  , →
rz =  2 
5
−5
−5


4
→
−

−2 
ro =
5
2. Aufgabe
Gegeben seien die Vektoren
 
 




 
5
7
−2
−3
0
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−









1 
2 , b =
4 , c =
5
−2 , e =
a =
, d =
3
2
8
1
0
Berechnen Sie:
(a)
→
−
→
−
a + b
Lösung:
    

5
7
12
→
−
→
−
a + b = 2 + 4 = 6 
3
2
5
(b)
−
→
−c − 2→
−
d − 4→
e
Lösung:

  

  

−2
−3
0
4
→
→
−c − 2−
−
d − 4→
e =  5  − 2  −2  − 4  1  =  13 
8
1
0
6
Mathematik
Lösung Arbeitsblatt Vektoren
(c)
2016
→
− − →
→
−
→
−
a + b −→
a + −c − b
Lösung:
      
  
5
7
5
−2
7
→
− →
→
−
→
−
−
→
−












2 +
4
2
5
4  =
a+ b − a + c − b =
−
+
−
3
2
3
8
2


−2
−c
 5 =→
8
Lösen Sie die Gleichungen:
(a)
→
− →
− − →
→
−
→
−
−
−
−
x +→
a − b + d +→
x = −
a − b + (→
e −→
x)
Lösung:
→
− →
− −
→
−
→
−
−
−
−
−
x +→
a − b + d +→
x
= →
a − b + (→
e −→
x)
→
−
−
−
3→
x = →
e − d
→
−
1 →
→
−
−
e − d
x =
3   

0
−3
1   
1
−2 
=
−
3
0
1


1
=  1 
− 31
(b)
11
2→
−
−
a +→
x
33
=
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− →
5→
−
b − x 17
17
Mathematik
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2016
Lösung:
11
− →
2→
5→
−
−
→
−
b − x 17
a + x
=
33
17
→
−
2→
−
−
−
a + 11→
x = 5 b − 17→
x
3
→
−
2−
−
28→
x = 5b − →
a
3
−
1 →
−
→
−
15 b − 2→
a
x =
84   
 
7
5
1   

15 4
− 2 2 
=
84
2
3
 95 
= 
84
2
3
2
7

3. Aufgabe
Gegeben seien die Vektoren


 




1
1
3
−5
→
−
−
−c =  0  , →
→
−
d =  12 
a =  2 , b =  1 ,→
−2
1
−4
0
(a) Berechnen Sie:
− →
−
− − →
− →
− − →
−c −
a − b + 4→
a + b , →
c | , d , →
|→
a | , b , |→
Lösung:
−
|→
a|
→
− b
−c |
|→
→
− d
→
− →
a + b
−
→
−
→
−
→
−
a
−
b
+
4
c
v
 

u
u 1
1
√
√
u
→
−
−
=
a ◦→
a = t 2  ◦  2  = 1 + 4 + 4 = 3
−2
−2
√
√
=
1+1+1= 3
√
=
9 + 0 + 16 = 5
√
=
25 + 144 + 0 = 13
q
√
=
(1 + 1)2 + (2 + 1)2 + (−2 + 1)2 = 14

  

 

1
1
3
12
√
=  2  −  1  + 4  0  =  1  = 506
−2
1
−4 −19 (b) Bestimme zu den vier Vektoren jeweils einen parallelen Einheitsvektor.
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Mathematik
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2016
Lösung:
  1 
1
3
1
1 →
−
a =  2  =  23 
→
−
3
|a|
− 23
−2
 
1
1
√  1 
3
1


3
1
0 
5
−4


−5
1 
12 
13
0

→
−
ea =
→
−
eb =
→
−
ec =
→
−
ed =
4. Aufgabe
(a) Bestimmen Sie die Parametergleichung der Geraden g durch die Punkte A (9, 0)
und B (6, 1).
Lösung:
→
−
r = −
r→
+ t (−
r→ − −
r→)
A B A 9
6
9
=
+t
−
0
1
0
9
−3
=
+t
0
1
x
9 − 3t
→
−
g: r =
=
y
t
(b) Welche der Punkte P1 (−3, −4), P2 (12, −1) und P3 (24, −5) liegen auf der Geraden g?
Lösung:
Punkte einsetzen:
• P1 :
• P2 :
• P3 :
−3
−4
12
−1
24
−5
=
=
=
9 − 3t
t
9 − 3t
t
9 − 3t
t
t1 = 4
t2 = −4
t1 = −1
t2 = −1
t1 = −5
t2 = −5
⇒
⇒
⇒
Die Punkte P2 und P3 liegen auf der Geraden g.
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(c) Bestimmen Sie die Koordinatengleichung der Geraden g.
Lösung:
x = 9 − 3t
y = t
x = 9 − 3y
x + 3y − 9 = 0
(d) Bestimmen Sie die Achsenabschnitte1 der Geraden g.
Lösung:
x + 3y = 9
x y
+
= 1
9 3
Die Achsenschnittpunkte sind somit Sx (9, 0) und Sy (0, 3).
(e) Bestimmen Sie die Gleichungen der Geraden g1 und g2 und deren Schnittpunkt
B (Bemerkung: Der Strahl vom Leuchtturm wird an der Wasseroberfläche
gespiegelt - es gilt: Einfallswinkel=Ausfallswinkel).
y
g2
B
T(0,h)
β
g1
α
x
Lösung:
• Gerade g1 : Wir kennen einen Punkt T (0, h) (→ b = h) und die Steigung
m = tan (α):
g1 : y = mx + b = x tan (α) + h
• Gerade g2 : Die Gerade g2 hat die Steigung m = tan (β) und geht durch
den an der x-Achse gespiegelten Punkt T 0 (0, −h). Also:
g2 : y = mx + b = x tan (β) − h
1
In der Form
x
xA
+
y
yA
= 1 sind xA und yA die Achsenabschnitte der Geraden.
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• Schnittpunkt (Ballonposition):
tan (α) −1
x
−h
=
tan (β) −1
y
h
D = Dx = Dy = tan (α) −1 = tan (β) − tan (α)
tan (β) −1 −h −1 = 2h
h
−1 tan (α) −h = h (tan (α) + tan (β))
tan (β) h 2h
Dx
=
D
tan (β) − tan (α)
Dy
h (tan (α) + tan (β))
=
=
D
tan (β) − tan (α)
xB =
yB
B
h (tan (α) + tan (β))
2h
,
tan (β) − tan (α) tan (β) − tan (α)
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5. Aufgabe
(a) Bestimmen Sie die Parametergleichung der Ebene ε durch die Punkte A (1, 2, 3),
B (3, 2, 1) und C (4, 4, 4).
Lösung:
→
−
−
→ −
→
r = −
r→
+ t (−
r→ − −
r→
A ) + s (rC − rA )
A  B 
  
   
1
3
1
4
1
=  2  + t  2  −  2  + s  4  −  2 
3
1
3
4
3
 


 
1
2
3
=  2  + t 0  + s 2 
3
−2
1
  

x
1 + 2t + 3s
−
ε:→
r =  y  =  2 + 2s 
z
3 − 2t + s
(b) Welche der Punkte P1 (−3, −4, −5) und P2 (9, 6, 4) liegen auf der Ebene ε?
Lösung:
Punkte einsetzen:
• P1 :

 
1 + 2t + 3s
−3
 −4  =  2 + 2s 
3 − 2t + s
−5






 5 
5 2
3 −4
1 0 −2
t
−2
t
t
 0
2 
=
=  −6  ⇒  0 1 
= 3 ⇒
3
s
s
s
0
−2 1
−8
0 0

• P2 :

 

9
1 + 2t + 3s
 6  =  2 + 2s 
4
3 − 2t + s


 


 
2
3 8
1 0 0
t
t
 0
2 
= 4 ⇒ 0 1 
=  0  ⇒ keine Lösung!
s
s
−2 1
1
0 0
1
Der Punkt P1 liegt auf der Ebene ε.
(c) Bestimmen Sie die Koordinatengleichung der Ebene ε.
Lösung:
x = 1 + 2t + 3s
y−2
y = 2 + 2s
⇒s=
2
z = 3 − 2t + s
⇒
2x − 3y + 4
x = 1 + 2t + 3 y−2
2
⇒t=
y−2
z = 3 − 2t + 2
4
2x − 3y + 4 y − 2
+
4
2
x − 2y + z = 0
⇒z =3−2
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(d) Bestimmen Sie die Achsenabschnitte2 der Ebene ε.
Lösung:
Da die Achsenabschnittsform nicht erzeugt werden kann, gilt xA = yA = zA =
0. D.h. die Ebene beinhaltet den Ursprung!
6. Aufgabe
Bestimmen Sie den Schnittwinkel und die Gleichung der Schnittgeraden der durch
die Punkte P1 (1, 2, 3), P2 (2, 3, 1), P3 (−3, 0, 2) und Q1 (3, 2, 1), Q2 (−1, −2, −3),
Q3 (0, 1, 2) definierten beiden Ebenen.
Lösung:
Normalenvektoren bestimmen:
−−→ −−→
→
−
n p = P1 P2 × P1 P3
−→ −→
= (−
r→ − −
r→
P1 ) × (rP3 − rP1 )
P2 


1
−4
=  1  ×  −2 
−2
−1


−5
=  9 
2
−
−
−
→
−−−→
−
n→
Q = Q1 Q2 × Q1 Q3

 

−4
−3
=  −4  ×  −1 
−4
1


−8

16 
=
−8
Ebenengleichungen:
−
−
p:→
np ◦ (→
r −−
r→
p1 ) = 0
−5x + 9y + 2z = 19
−
q:−
n→ ◦ (→
r −−
r→) = 0
Q
Q1
−x + 2y − z = 0
Schnittgerade:
−5x + 9y + 2z = 19
−x + 2y − z = 0
⇒ x − 13z = −38
y − 7z = −19
L = {(x, y, z) : (13z − 38, 7z − 19, z)}
bzw.
2
In der Form




−38
13
→
−
r =  −19  + t  7 
0
1
x
xA
+
y
yA
+
z
zA
= 1 sind xA , yA und zA die Achsenabschnitte der Ebene.
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Schnittwinkel (Winkel zwischen den Normalenvektoren):
→
−
np ◦ −
n→
Q
α = a cos →
|−
np | |−
n→
Q|
21
−1
√ √
= a cos
110 6
= 0. 61387
7. Aufgabe
Gegeben sei die Gerade g

g:

−3 + 4t
→
−
r =  3 − 7t 
5 − 7t
und der Punkt P (2, 1, −3). Bestimmen Sie:
(a) den kürzesten Abstand des Punktes P von der Geraden g und den Punkt F
auf der Geraden g der von P die kürzeste Entfernung besizt.
Lösung:
g
F
P
0
−→
Der Verbindungsvektor P F steht senkrecht zum Richtungsvektor der Geraden:
−→ →
PF ◦ −
a
−
→
−
→
→
−
(rF − rP ) ◦ a
→
−
−
→
−
( r0 + t→
a −−
r→
P) ◦ a
−
−
t→
a ◦→
a
=
=
=
=
0
0
0
→
−
→
−
(−
r→
P − r0 ) ◦ a
1 −
→ →
−
→
−
t = →
2 (rP − r0 ) ◦ a
−
|a|

 

5
4
1 
−2  ◦  −7 
=
114
−8
−7
15
=
19



  3 
−3
4
19
−
 3  + 15  −7  =  − 48 
r→
F =
19
19
10
5
−7
− 19
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Und noch die Distanz:
 3  

2
−→ 19
 48  
= 4. 6848

1
d = P F = − 19
−
10
−
−3
19
(b) die Punkte A und B auf der Geraden g, so dass das Dreieck ABP gleichseitig
wird.
Lösung:
Mit der Lösung der letzten Teilaufgabe finden wir für die Seitenlänge des
Dreiecks:
2
2
2
s = √ h = √ d = √ 4. 6848 = 5. 4095
3
3
3
Die beiden Punkte A und B sind nun gleich weit von F entfernt:

 3 
 

4
1. 1712
19
−
−
−
→ s→
 − 48  + 5. 4095 √ 1  −7  =  −4. 2996 
r→
A = rF + ea =
19
2
2
114
− 10
−7
−2. 2996
19

−
−
−
→ s→

r→
B = rF − ea =
2
3
19
− 48
19
− 10
19


 
−. 8554
4
 − 5. 4095 √ 1  −7  =  −. 75305 
2
114
1. 2469
−7

8. Aufgabe
Im Dreieck A (3, −2, 1), B (2, 7, 5), C (−1, 3, 12) sind die Längen der Seiten und
Seitenhalbierenden und die Innenwinkel zu bestimmen.
Lösung:
Seitenlängen:
  
 

2
−1
3
→
−
−
→  7 − 3 = 4 
a = −
r→
B − rC =
5
12
−7
√
√
→
−
a = | a | = 9 + 16 + 49 = 74

 
 

−1
3
−4
→
−
−
→  3  −  −2  =  5 
b = −
r→
C − rA =
12
1
11
→
√
√
−
b = b = 16 + 25 + 121 = 162

   

3
3
0
→
−c = −
−
→  −2  −  7  =  −9 
r→
A − rB =
1
5
−4
√
√
−c | = 0 + 81 + 16 = 97
c = |→
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2016
Seitenhalbierende:

→
−
sa =
sa =
→
−
sb =
sb =
→
−
sc =
sc =
 
3
1→
−
−c = 1  4  + 
a +→
2
2
−7
1√
1√
9 + 196 + 225 =
430
2
2

 
−4
− →
1
1→
b +−
a =  5 +
2
2
11
1√
1√
4 + 169 + 9 =
182
2
 2  
0
−
1→
1
−c + →
b =  −9  + 
2
2
−4
1√
1√
64 + 1 + 324 =
389
2
2
  3 
0
2
−9  =  −7 
− 15
−4
2

 
3
1

4  =  13
2
3
−2
−7

 
−4
−4
5  =  12 
9
11
Winkel:

→
− →
−
b ◦ c 
89
= a cos √ √ = 0. 78133
α = a cos − →
− →
162 97
b |−c |
→
−
−c a ◦→
8
β = a cos − →
= a cos √ √ = 1. 4762
−
→
−
| a || c |
74 97


→
−
→
−
a ◦ b 
69
→
= a cos √ √
γ = a cos −
= 0. 88899
−
−
74 162
|→
a | b 
9. Aufgabe
Gegeben sind die Vektoren


 
5
7
→
−
→
−



8 , b =
1 
a =
2
3
→
−
→
−
−
(a) Bestimmen Sie k so, dass →
a + k b normal auf b steht.
Lösung:
→
− →
−
→
−
a +k b ◦ b = 0
 
   
5
7
7
 8  + k  1  ◦  1  = 0
2
3
3

  
5 + 7k
7
 8+k ◦ 1  = 0
2 + 3k
3
59k + 49 = 0
k = −
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49
59
Mathematik
Lösung Arbeitsblatt Vektoren
2016
(b) Bestimmen Sie einen Vektor der Länge 9, der normal zu den beiden gegebenen
Vektoren steht.
Lösung:
Einen Normalenvektor:
    

5
7
22
→
−
→
−
−
n =→
a × b =  8  ×  1  =  −1 
2
3
−51
Länge anpassen:


22
9 
9 →
−
→
−
−1 
n = ±√
n0 = ± →
−
|n|
3086
−51
10. Aufgabe
Weisen Sie nach, das die beiden Parametergleichungen:


5+t
→
−
r =  8 + 3t 
−1 − 2t


4 − 2s
→
−
r =  5 − 6s 
1 + 4s
dieselbe Gerade darstellen.
Lösung:
Parallele Richtungsvektoren:




1
−2
 3  = k  −6  ⇒ k = − 1
2
−2
4
Der Punkt (5, 8, −1) liegt auch auf der unteren Geraden:

 

5
4 − 2s
 5 − 6s  =  8  ⇒ s = − 1
2
−1
1 + 4s
11. Aufgabe
(*) Bestimmen Sie den (kürzesten) Abstand und die Fusspunkte der beiden Geraden


−1 − 3t
−
g1 : →
r =  −2 + 8t 
3 + 5t


1 + 5s
−
g2 : →
r =  −2 + 3s 
−4 + 14s
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Mathematik
Lösung Arbeitsblatt Vektoren
2016
Lösung:
Der Verbindungsvektor steht normal auf beiden Geraden:

 
 

1 + 5s
−1 − 3t
2 + 5s + 3t
−−→ 

−2 + 3s  −  −2 + 8t  = 
3s − 8t
F1 F2 =
−4 + 14s
3 + 5t
−7 + 14s − 5t


−3
−−→ 
8 
F1 F2 ◦
5
79s
 − 98t

5
−−→ 
3 
F1 F2 ◦
14
230s − 79t
⇒s=
= 0
= 41
= 0
= 88
826
1795
,t = −
5433
5433
Fusspunkte:


−1
−
 −2  −
r→
F1 =
3


1
−
 −2  +
r→
F2 =
−4

 
985
−3
− 1811
826 

8  =  − 17474
5433
5433
12169
5
5433

  14408

5
5433
1795 

3  =  − 1827
1811
5433
3398
14
5433

Distanz:

−−→
F1 F2 = 
14408
5433
1827
− 1811
3398
5433
 
985
− 1811
 −  − 17474  = 
5433


12169
5433
17363
5433
11993
5433
− 8771
5433


d = 4. 2062
12. Aufgabe
Es seien die beiden Geraden
g1 : 3x − y + 2 = 0
g2 : 2x + y − 8 = 0
gegeben. Bestimmen Sie:
(a) Schnittpunkt und Schnittwinkel der beiden Geraden.
Lösung:
Schnittpunkt:
6
28
3 −1
x
−2
=
⇒ x = ,y =
2 1
y
8
5
5
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Mathematik
Lösung Arbeitsblatt Vektoren
2016
Schnittwinkel (zwischen den Normalenvektoren der beiden Geraden):
3
2
→
−
→
−
n1 =
, n2 =
−1
1
→
−
−
5
n1 ◦ →
n2
= a cos √ √ = 0. 7854
α = a cos →
−
→
−
|n1 | |n2 |
10 5
(b) (*) die Gleichung der Winkelhalbierenden.3
Lösung:
Hesse’sche Normalformen:
3x − y + 2
√
=0
10
2x + y − 8
√
HN F (g2 ) :
=0
5
HN F (g1 ) :
Winkelhalbierende (Summe bzw. Differenz der Hesse’schen Normalformen):
3x − y + 2 2x + y − 8
√
√
+
=0
10
5
3x − y + 2 2x + y − 8
√
√
:
−
=0
10
5
ω1 :
ω2
13. Aufgabe
(*) Im Punkt Q (1, 0, −5) sei eine punktförmige Lichtquelle angebracht. Bestimmen
Sie die Richtung, die ein Lichtstrahl haben muss, um über einen Spiegel
5x − 2y + z + 3 = 0
s:
den Punkt P (3, 1, 5) anzustrahlen.4
Lösung:
Q
P

s

S
P'
3
Die Summe zweier gleich langer Vektoren ergibt einen Vektor der die Richtung der Winkelhalbierenden zwischen den gegebenen Vektoren angibt (Achtung: Es gibt zwei Lösungen!).
4
Spiegeln Sie den Punkt P an der Ebene.
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Mathematik
Lösung Arbeitsblatt Vektoren
2016
Wir spiegeln zuerst den Punkt P am Spiegel:
d →
−
−
→
−
r→
n
P 0 = rP − 2 →
−
|n|

 

5∗3−2∗1+5+3
5
3
√
25+4+1
 −2 
=  1  − 2√
25
+
4
+
1
1
5

 

5
3
21
=  1  − 2  −2 
30
1
5


−4
=  19 
5
18
5
Die Richtung des Lichtstrahls:

 

 
−4
1
−5
−−→0
 −  0  =  19 
QP =  19
5
5
18
43
−5
5
5
14. Aufgabe
(a) Gegeben sind die Geraden


−3 + t
−
g:→
r =  1 + 2t 
5 − 2t


−2 + 3s
−
h:→
r =  −3 + s 
4+s
Bestimmen Sie die Gleichung der Ebene e, die h enthält und zu g parallel ist.
Lösung:
• Punkt der Ebene:


−3
−
 1 
r→
P =
5
• Normalenvektor:

   

1
3
4
→
−
n =  2  ×  1  =  −7 
−2
1
−5
• Ebene:
→
−
−
n ◦ (→
r −−
r→
P) = 0
 

4
x+3
 −7  ◦  y − 1  = 0
−5
z−5
4x − 7y − 5z + 44 = 0

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Mathematik
Lösung Arbeitsblatt Vektoren
2016
(b) Ein Dreieck D liegt in der Ebene E : 3x + 6y + 6z − 50 = 0. Die Projektion
des Dreiecks in die xy-Ebene habe den Flächeninhalt Axy = 20. Bestimmen
Sie den Flächeninhalt des Dreiecks.
Lösung:
• Winkel zwischen Ebene und Projektion:
  
0
3
  0 ◦ 6


1
6
α = arccos 
  0   3

  0   6
1 6
6
= arccos
= 0. 84107
9




 


 
• Jede Seite (oder jede Distanz) wird durch die Projektion um den gleichen
Faktor gekürzt. Dieser Faktor ist gleich:
cos (α) =
2
3
• Daher wird die Fläche bei der Projektion um diesen Faktor im Quadrat
verkleinert. Es gilt daher:
2
2
A
Axy =
3
9
A =
Axy = 45
4
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