Nukleon-Nukleon Streuung - User web pages on web

Kernphysik I
Kernkräfte und Kernmodelle:
• Nukleon-Nukleon Streuung
- Spinabhängigkeit der Kernkräfte
- Spin-Bahn-Wechselwirkung
• Austauschmodell der Kern-Kern-Kräfte
Zusammenfassung
Eigenschaften des Deuterons:
• Tiefe des Nukleonenpotenzials
V0 ~ 50 MeV für Kernradius R0 =1,4 fm.
• Kernkräfte sind spinabhängig.
• Nicht-zentraler, Tensorterm im zwei Nukleonenpotential
Vorläufiges Kernpotential:
Deuteron: - nur eine gebundener Zustand, keine angeregten Zustände.
- Nicht genügend Information um Parameter des Potentials zu bestimmen.
- Kein Zugang zu l≠0 Zustand.
Rechteckpotential ungebundene Teilchen
Stetigkeitsbedingung für r = R 0
u i(R 0) = u a (R 0)
u′i(R 0) = u′a (R 0)
A ⋅ sin k i R 0 = C ⋅ sin (k a R 0 + δ)
k i A ⋅ cos k i R 0 = k a C ⋅ cos (k a R 0 + δ)
Division :
k i ⋅ cot k i R 0 = k a ⋅ cot (k a R 0 + δ)
Auflösen nach Phasenverschiebung :
⎧ ka
⎫
δ = - k a R 0 + arctan ⎨ tan k i R 0 ⎬
⎩ ki
⎭
Energien : k a =
Phasenverschiebung δ
Ist eindeutig bestimmt durch
- Radius R0
- Teilchenenergie E
- Potentialtiefe V0
1
1
2mE k i =
2m( E + V0 )
h
h
Verbindung zu Streutheorie
Einlaufende Welle
rr
r
ik r
Ψin ( r ) = Ae = Aeikz
In Kugelwellen für l = 0
r
A ⎡ eikr e −ikr ⎤
Ψin ( r ) =
−
r ⎥⎦
2ik ⎢⎣ r
Gesamtwellenfunktion nach Streuung
Unterschied ist eine Phasenänderung
β des auslaufenden Teilchens
r
A ⎡ ei ( kr + β ) e −ikr ⎤
Ψ( r ) =
−
2ik ⎢⎣ r
r ⎥⎦
Beziehung zwischen β und δ :
r u( r ) C
Ψ( r ) =
= sin( kr + δ )
r
r
C ei ( kr +δ ) − e −i ( kr −δ )
=
2i
r
C −iδ ⎡ ei ( kr + 2δ ) e −ikr ⎤
= e ⎢
−
2i
r
r ⎥⎦
⎣
d.h. β = 2δ und A = kCe −iδ
Wellenfunktion des gestreuten Teilchens :
r
r
r
Ψstr ( r ) = Ψ ( r ) − Ψin ( r )
eikr
A 2iδ
=
( e − 1)
2ik
r
Ansatz mit einlaufender
und auslaufender Kugelwelle
Verbindung zu Streutheorie
Stromdichte der gesteuten Welle
∂ψ
h
∗ ∂ψ
jst =
−
ψ}
{ψ
∂r
∂r
2mi
∗
Einige Folgerungen:
• dσ/dΩ ist i.A. winkelabhängig.
2
hA
2
δ
=
sin
2
mkr
Zahl der Teilchen hk 2
jin =
A
=
m
Zeit ⋅ Fläche
Differentieller Wirkungsquerschnitt
jstr r 2 dΩ
dσ =
jin
dσ sin 2 δ
=
dΩ
k2
Totaler Wirkungsquerschnitt
dσ
dσ 4π sin 2 δ
dΩ = 4π
σ =∫
=
dΩ
dΩ
k2
• Für den Fall l=0 ist dσ/dΩ const.
• Die Phasenverschiebung für l=0 Streuung ist direkt mit dem WQ verknüpft.
• Mit dem Ergebnis des einfachen Rechteckmodells kann WQ bestimmt werden.
Nächster Schritt: Vergleich Experiment
mit theoretischen Erwartungen.
Wirkungsquersschnitt für s-Wellen bei np-Streuung
Streuung am Rechteckpotential :
k a ⋅ cot (k a R + δ) = k i ⋅ cot k i R
setze -α = k i ⋅ cot k i R , Trigonometrie
⎛α⎞
cos k a R + ⎜⎜ ⎟⎟ sin k a R
ka ⎠
2
⎝
sin δ =
1 + α2 k a2
Differentieller Wirkungsquerschnitt
j str r 2d Ω
dσ =
j in
dσ sin2 δ
=
dΩ
k2
Totaler Wirkungsquerschnitt
4π sin2 δ
dσ
dΩ =
σ =∫
dΩ
k2
⎞
⎛α⎞
4π ⎛
⎜ cos k a R + ⎜ ⎟ sin k a R ⎟
σ= 2
2 ⎜
⎜k ⎟
⎟
ka + α ⎝
⎝ a⎠
⎠
Kann berechnet werden und mit Experiment verglichen werden.
Wirkungsquersschnitt für s-Wellen np-Streuung
betrachte kleine Neutronenenergien
Entwicklung von cos, sin mit
E ≤ 10KeV und V0 = 35MeV
R ≈ 2fm ⇒ α ≈ 0.2fm −1
k i = 2m(V0 + E)/h2 ≅ 0.92fm−1
k a2 << α 2 und k a R << 1
k a = 2mE/h2 ≤ 0.016fm−1
Abschätzung :
4π
(cos ka R + (α ka )sin ka R )
σ= 2
2
ka + α
σ=
4π
(1 + αR ) = 4.6 b
2
α
Experiment: np-Streuung Wirkungsquerschnitt
Bei niedrigen Energien ist
WQ konstant, aber er ist
deutlich größer: 20.4 b
Spinabhängigkeit der np-Streuung
Für die Erklärung der Diskrepanz muß die relative Spinorientierung der beiden
Nukleonen berücksichtigt werden.
Der WQ wurde mit den Werten des Deuterons abgeschätzt, das mit seinem
Gesamtspin von S=1 nur einen gebundenen Triplettzustand bildet.
σs=?
σt=4.6 b
Singulett:
Triplett (Deuteron):
Bei der Streuung können jedoch beide Spinorientierungen auftreten. Die relativen
Anteile zum GesamtWQ ergeben sich zu:
σ = 3/4σt + 1/4 σs
Diese bedeutet: aus dem berechneten WQ für σt=4.6 b und dem gemessenen
WQ für σ=20.4 b ergibt sich ein WQ für die Streuung im Singulettzustand zu
σs=67.8 b.
Eine enorme Differenz, die die Spinabhängigkeit der Kernkräfte demonstriert!
Impulsabhängigkeit der Kernkräfte
Nukleon-Nukleon-Potenzial hängt auch vom Impuls der Nukleonen ab.
Impulshängige Kraft muß durch einen Term für die Spin-Bahn-Kopplung
im Potenzial ausgedrückt werden.
Einfachste impulsabhängige Potenzialkomponente, die sowohl invariant
unter der Paritätstransformation als auch unter Zeitumkehr ist:
Spin-Bahn-Kopplung:
(rxp)·S = L·S
v v v v
(
Spin-Bahn-Wechselwirkung: V ( r , p ) = VLS ( r ) s1 ⋅ L )(s2 ⋅ L )
h4
v v v
Impulsabhä ngigkeit über Drehimpuls : l = r × p
Vergleiche: Elektronen in der Atomhülle spüren eine Spin-Bahn-Kopplung von der
Wechselwirkung der Elektronenspins und dem internen Magnetfeld des Atoms.
Nukleonen erfahren eine Spin-Bahn-Kopplung von der Wechselwirkung der
Nukleonenspins und den starken Kernkräften.
Vergleich mit der Spin-Bahn-Kopplung der Hüllenelektronen:
- 20 mal stärker bei Nukleonen
- entgegengesetztes Vorzeichen bei Nukleonen
Impulsabhängigkeit, Spin-Bahn-Kopplung
Annahme
3 Möglichkeiten
(i) Spin des Projektils
Spin des Targets
Spins zeigen alle aus Zeichenebene
heraus!
Nukleon 1
r r r
l = r × p in die Zeichenebene hinein (rot), negatives Vorzeichen
r r
⇒ Wirkung des Potentials V ≈ - Vso (r)( l • s) repulsiv,
r
r
da l und s entgegengesetzt, positives Vorzeichen der Wechselwirkung
Impulsabhängigkeit, Spin-Bahn-Kopplung
Annahme
3 Möglichkeiten
(i) Spin des Projektils
Spin des Targets
Spins zeigen alle aus Zeichenebene
heraus!
Nukleon 2
r r r
l = r × p aus der Zeichenebene heraus (rot),
positives Vorzeichen
r r
⇒ Wirkung des Potentials V ≈ - Vso (r)( l • s)
r
r
attraktiv, da l und s gleich gerichtet,
Nukleon 2
negatives Vorzeichen der Wechselwirkung
Alle einlaufenden Nukleonen mit Spin ↑ die auf Spin
Nukleonen im Target treffen, werden wegen der
Spin-Bahn-Wechselwirkung in die gleiche Richtung abgelenkt.
Spin-Bahn-Kopplung
Nukleon 1 (nach unten)
+ve
r r r
l = r × p ist
in die
Zeichenebe
ne hinein
(rot),
~ -ve
repulsives
Potential
Spins zeigen alle in Zeichenebene
hinein!
negatives Vorzeichen
-ve
(nach oben)
⇒ Wirkung
Potentials
V ist attraktiv
ist des
~ +ve
attraktives
Potential
Nukleon 2
r r r
l = r × p aus der Zeichenebene heraus (rot),
positives Vorzeichen
⇒ Wirkung des Potentials V ist repulsiv
Alle Teilchen mit Spin ↓ die auf Spin ↓ (Target) treffen werden
wegen Spin-Bahn-Kopplung in gleiche Richtung abgelenkt.
Total S=0
Spin-Bahn-Kopplung verursacht keine Ablenkung.
Die Spin-Bahn-Kopplung lenkt die Spin -↑- Komponente des einlaufenden
Strahles nach links und die Spin -↓- Komponente des Strahles nach rechts.
Impulsabhängigkeit, Spin-Bahn-Kopplung
Experimentelle Evidenz für einen nuklearen Spin-Bahn Term:
Polarisation von gestreuten Nukleonen
Polarisation: magnetische Unterzustände sind nicht gleichförmig besetzt.
N (↑) − N (↓)
Polarisation : P =
N (↑) + N (↓)
P = ±1 bedeutet 100% polarisiert
P = 0 unpolarisiert
Polarisation pp-Streuung
Proton-Proton Streuung
Polarisation wird erst bei höheren
Energien gemessen.
Drehimpulsübertrag l >0 ist nötig,
keine s-Wellen Streuung!
Polarisation wächst mit Strahlenergie.
Zusammenfassung
Eigenschaften der Kernkräfte
¾ stark (Existenz gebundener Kerne, Nukleon Streuung
¾ kurze Reichweite (Kerngröße → Reichweite ~ 2 fm)
¾ attraktiv (Existenz der Kerne)
¾ repulsiver core (Nukleon-Nukleon-Streuung: r < 0.5 fm)
¾ Sättigung (B/A~constant)
¾ Ladungsunabhängig (Spiegelkerne,pp vs nn vs np Streuung)
¾ Spinabhängig (Deuteron J=1, np und nH2 Streuung)
¾ Spin-Bahn Wechselwirkung
(Polarisation bei Nukleon-Streuung bei hohen Energien)
¾ nicht-zentraler Tensorterm (Deuteron Q)
Kernkräfte
Zusammenfassung:
Nukleon-Nukleon Potential
Wechselwirkungen - Grundlagen
Wechselwirkung zwischen Bausteinen der Materie = Fermionen
durch Austausch von Feldquanten = Bosonen
"Virtuelle" Teilchen übertragen in der Zeit Δt die Energie ΔE
und den Impuls Δp über den Abstand Δx:
Heisenberg Unschärferelation: ΔE Δt = ħ und Δp Δx = ħ
"Reale" Teilchen:
Invariante des Energie-Impuls-Vierervektors: E2 - (pc)2 = (m0c2)2
Erinnerung: Eigenschaften von Fermionen und Bosonen
Wechselwirkungen - Grundlagen
Teilchen-Antiteilchen-Symmetrie für Fermionen
Energiewerte relativistischer Feldgleichungen (Dirac):
Feynman: Antiteilchen sind Teilchen, die sich in der Zeit rückwärts bewegen,
bzw. Teilchen mit umgekehrter Ladung, die sich in der Zeit vorwärts bewegen.
Elektromagnetische Wechselwirkung
Die WW zwischen geladenen Teilchen und dem elektromagnetischen
Feld wird klassisch mit den Maxwellgleichungen beschrieben.
Quantenelektrodynamik ist die Quantentheorie der Wechselwirkung
von geladenen Fermionen (Diractheorie) mit dem quantisierten elektromagnetischen Feld (Feynman, Schwinger, Tomonaga).
Wechselwirkungen - Grundlagen
Feynmann-Diagramme