Schwingungen

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3. Schwingungen (Oscillation, vibration)
Kinematik + Dynamik : beliebige Bewegungen (Translation, Rotation, krummlinig)
mechanische Schwingungen: periodische Bewegung
A
periodisch = sich wiederholend
Bsp: Pendel, Feder
t
Freier Fall ist keine Schwingung da nicht periodisch.
Schwingungen treten überall, nicht nur in der Technik, auf:
- Autofederung
- Schwingungen von Maschinen z.B. Unwucht
- EM - Schwingungen  Funkwellen
- Schwingungen bei Regelvorgängen
- Gezeiten
- Schwingungen von Gebäuden, Bauwerken, ...
-...
- Wirtschaft (Zinsen, Aktien, so genannter „Schweinezyklus“, ... s.u.)
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Historischer Verlauf des DAX ab 1960
In den „Boomjahren“(60-ziger und 70-ziger) praktisch konstant, danach steigende Kurse mit
„Schwankungen“
Fragen:
- Warum haben die (Zinssatz-) „Schwingungen“ ca. 2000 aufgehört?
- Warum ist der Zinssatz seit ca. 1992 praktisch nur noch fallend?
Auffallend: Keine Schwingung beim DAX  Schwingung beim Zinssatz
und umgekehrt
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3.1 Einführendes Beispiel: Mathematisches Pendel
Vorkenntnisse :
- Kräftezerlegung
- Bewegung von Massepunkten
- Newtonsches Gesetz
- trigonometrische Funktionen
Ziel : Grundlagen von harmonisch schwingenden Systemen
Physikalische Beschreibung der beobachteten Schwingungen idealisiert durch Modellkörper:
Mathematisches Pendel
Pendel mit punktförmiger Masse und masseloser Stange im Gravitationsfeld
Fadenpendel (Gewicht an dünnen Faden) als reales Beispiel für Mathematisches Pendel :
Beobachtung:
- periodische Bewegung um Ruhelage
- Auslenkwinkel ändert sich
- Ursache der Schwingung ist die Schwerkraft, da
keine anderen Kräfte von außen wirken
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Mathematisches Pendel
mit relevanten Kräften und Definitionen

l
JAVA Applet: Fadenpendel
m
s
FRK
Ft


FG = m g
Eigenschaften des Pendels
- oben beweglich aufgehängt - senkrecht nach unten Ruhelage
- beliebige Auslenkung aber konstante Pendellänge l
- punktförmige Masse m
- Winkel  aus Ruhelage
- Massepunkt bewegt Kreisbahn mit Radius l
- Weg aus Ruhelage : s = Bogenlänge
- auf Massepunkt wirkt als einzige Kraft die Gewichtskraft F G = m g
Vorgehen zur Bewegungsgleichung
- Zerlegen der Gewichtskraft in 2 Teile
- ein Teil in Fadenrichtung, wird von der Stange aufgenommen
- 2. Teil ist tangential zur Bahn wirkt als rückstellende bzw. beschleunigende Kraft F RK
in Richtung Ruhelage und ist für die Schwingung verantwortlich
- Winkel der Kraftzerlegung in Dreiecken entsprechen dem Auslenkungswinkel 
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Kraftansatz d'Alembertsches Prinzip :  F = 0
1) Kraftansatz: Fb - Ft = 0
2) Kräfte bestimmen
beschleunigende = rückstellende Kraft aus Gewichtskraft und Auslenkwinkel
Rückstellende Kraft
Fb = FRK = m g sin 
(SW - 1)
Ft  m s
Trägheitskraft
(Beschleunigung = 2. Zeitableitung des Weges)
Weg s entspricht Bogenlänge = Pendellänge * Auslenkwinkel
s=-l 
s   l 
Minuszeichen: entgegengesetzten Zählrichtungen von Kraft und Winkel
l konstant, zeitliche Änderung nur Winkel
Trägheitskraft
in Abhängigkeit vom Auslenkwinkel
Ft   m l 
(SW - 2)
3) Einsetzen
m fällt heraus
Bewegungsgleichung
l   g sin   0
(SW - 3)
gesucht : (t) ? , das ist eine Differentialgleichung (Mathe II) für den Auslenkwinkel
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Lösung von (SW - 3) wegen gleichzeitigen Auftretens von  und sin kompliziert
für kleine Schwingungsamplituden entspricht der Sinus  ungefähr  (im Bogenmaß)
bis 10° : Gerade und Sinusfunktion praktisch gleich
kleine Auslenkung
sin   
[] = rad
 rückstellende Kraft ist proportional zum Auslenkwinkel
FRK  
Ersetzen in Differentialgleichung (SW – 3) von sin durch  , ergibt
Harmonische Schwingungsgleichung
 
g
 0
l
(SW - 4)
Lösung beschreibt zeitliche Bewegung des mathematischen Pendels bei kleinen Auslenkungen
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Als Lösung gesucht :
periodische Funktion, deren 2. Ableitung proportional zu der Funktion ist : f ~ f
Idee: Sinus bzw. Cosinus - Funktion
Experimente

Pendel, aus dem Sand auf eine Folie herausrieselt. Bewegt man die Folie, zeigt sich der
zeitliche Verlauf und der Abstand von der Ruhelage proportional zum Auslenkwinkel 
Sinusfunktion

Messung des Auslenkwinkel mit Winkelsensor (Beschleunigungsmesser) zeigt ebenfalls einen
sinusförmigen Verlauf
Betrachtet man den Beginn des Experiments (Loslassen mit einem gewissen Anfangswinkel) kann
die periodische Funktion nicht ein Sinus (ohne Phase) sein, da sin(0) = 0 !
also Cosinus, da cos(0) = 1
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Lösungsansatz
(t) = o cos(ot)
für zeitabhängige Winkeländerung  (t)
mit
(SW - 5)
- o : Anfangsauslenkung
- o : ungedämpfte Kreisfrequenz (ideal, keine Reibung etc.)
1 2


;f  0
f
0
2
Schwingungsdauer T 
Beweis durch Einsetzen in Harmonische Schwingungsgleichung:
zuerst ableiten
Geschwindigkeit
   o  o sin(o t )
ändert periodisch
(SW - 6)
Beschleunigung
a     o2  o cos(o t )   o2 

(SW - 6')

Mechanische Schwingungen sind ungleichmäßig beschleunigte Bewegungen!
Einsetzen in (SW - 4)  o2  
g
g
  0  02 
l
l
Eigenfrequenz o
o 
der Mathematischen Pendels
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g
l
(SW - 7)
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Physikalisch interessanter als Kreisfrequenz bei Pendeln ist die Schwingungsdauer, da messbar


T
t
T = 2
Schwingungen artverwandt mit Rotation:
- Eine Periode entspricht 2 , hier  * T Periodendauer  Schwingungsdauer T
- Versuch: Fadenpendel schwingen und kreisen lassen - kein Unterschied
aus SW - 7 folgt damit
Schwingungsdauer
des Mathematischen Pendels bei
kleinen Auslenkungen
TMP  2 
l
g
(SW - 8)
Schwingungsdauer
- proportional zur Wurzel aus Pendellänge
- unabhängig von Masse und Amplitude
Achtung: kleine Amplitude war Ansatz zum Finden der Lösung !!
Versuch : Messung Pendellänge 1m / Wurzel aus 1/10 = 0,3 mal 6 = 2s
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Zusammenfassung (Klausur-relevant)
Mathematisches Pendel mit Anfangsauslenkung (aus Kraftansatz):
  02   0
02 
2
g
; T
l
0
Lösung:    0 cos o t 
Merkmale idealer harmonischer Schwingungen
- Gleichung x  o2 x  0
- Schwingungsdauer und Frequenz unabhängig von Amplitude
- Rückstellende (= beschleunigende ) Kraft proportional Amplitude (Mechanik) FRk ~ x
- o beschreibt die ‚Eigenschaften’ des schwingungsfähigen Systems
- o ist die ungedämpfte Eigenfrequenz des Systems
Andere schwingende Systeme (Federpendel, elektrische Schwingkreise, etc.) werden ebenfalls
mit dieser Gleichung beschrieben (ggf. mit anderen Variablen). Mittels Koeffizientenvergleich
erhält man sofort Frequenz und Schwingungsdauer
reale Systeme: Reibung, äußere, nichtlineare, ... Kräfte berücksichtigen (s.u.)
Energieansatz, komplexer Lösungsansatz, Reibung etc. s.u.
Hinweis:
Lösungsmethoden kein Prüfungsstoff, nur Ergebnisse;
mathematisches Lösungsverfahren Mathe DGL 2. Sem.
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3.2 Übersicht
allgemein:
Schwingungen entsprechen periodische Zustandsänderungen (Energieverschiebungen)
Bsp. Pendel: Epot  Ekin  Epot
(trotzdem Kraftansatz verwenden !)
Gemeinsamkeit: rückstellende Komponente
Schwingungsart
Harmonisch
Anharmonisch
Mathematische Beschreibung
1 Sinus bzw. Cosinus
beliebig
Bsp:
Pendel,
Rechteck, Ebbe, Flut
LC - Schwingkreis
Pulsschlag, EKG
Schwingungsart
ungedämpft
gedämpft
Annahmen
ideal
mit Verlusten, z.B. Reibung
Bsp
Math. Pendel
Luftwiderstand, Federpendel
Schwingungsart
frei
erzwungen
Merkmal
- System bleibt sich selbst überlassen
- äußere Energiezufuhr
- abklingende Amplitude
- Resonanz
Oszillator
Resonator
Bez.:
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3.3 Ungedämpfte Harmonische Schwingungen
3.3.1 Physikalisches Pendel
wie 4.1: Kraftansatz, da Rotation mit Drehmomentansatz  M = 0  MRK - MT = 0
Mathematisches Pendel
Physikalisches Pendel
Def.: Starrer Körper mit Drehpunkt und Schwerpunkt
D

D
r

r
SWP
SWP
FRK

FG
Mathematisches Pendel mit Drehmomentansatz
1) d’Alembert: M = 0 (da Bewegung auch als Rotation angesehen werden kann, s. o.)
2) Drehmomente bestimmen
- Drehmoment MT  J 
- Satz von Steiner: Ja = Js + mr²
(MD - 16)
- Distanz Aufhängepunkt – Schwerpunkt: r
- MRK  r F   r m g sin 
Die Formeln gelten ebenso für Starren Körper, da Masse im Schwerpunkt ‘wirkt’
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3) Einsetzen
analog zu (SW 1-4) :
Ja   r m g   0
  
r mg
 0
Ja

vgl.   2o   0
2o
Eigenfrequenz des Physikalischen Pendels
2o 
bei kleinen Auslenkungen
r mg
r mg

Ja
Jswp  m r ²
(SW - 9)
Kontrolle für Mathematisches Pendel und Vergleich mit (SW – 7):
Massepunkt: Js = 0  o 
g

r
Technische Bedeutung: Experimentelle Bestimmung von Trägheitsmomenten
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Zum Weiterlesen und als Beispiel (mechanische) Schwingungen
„besser“ mit dem Kraftansatz zu rechnen.
3.3.2 Beschreibung des Mathematischen Pendels mit Energieansatz
Ekin + Epot = const ; aus Anfangsbedingung v oder h
 1/2 mv² + mgh = const.
mit - h  l 1 cos  

l
-  klein: cos  1 – 1/2 ²  h  l ² / 2
v=0
nur E pot
- s = l  und v = l 
h
Vorteile:
v = v max
- Vorzeichen von v „uninteressant“, da
v2
nur E kin
E kin + E pot
- Ansatz einfacher

Schwingungsgleichung
des Mathematischen Pendels bei kleinen
s ² 
Auslenkungen aus Energiesatz
g
s²  const
l
(SW - 10)
Einsetzen der Lösung aus Kraftansatz: s = so cos(wot)
o² so² sin²(ot) + g/l so² cos²(ot) = const
mit o² = g/l
g/l so²[sin²(ot) + cos²(ot)] = g/l so² = const., da sin² + cos² = 1 
g
Vgl. Kraftansatz: x  x  0 mit (SW-10)
l
aus (SW – 10) 
Energieansatz
g
s ²  s²  const
l
d
dt
g
 2 s s  2 s s  0
l
g
 s  s  0
l
- auch möglich, aber komplizierter in Lösung etc.
- nicht üblich
- inkompatibel mit LC-Schwingkreis
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3.3.3 Korrekte Lösung der Harmonischen Schwingungsgleichung (hier nur zur Information, Details Mathe 2)
Problem bei Anfangsbedingungen (t = 0)
- Auslenkung (Lageenergie) oder Geschwindigkeit (kinetische Energie)
- Auslenkung (Lageenergie) + Geschwindigkeit (kinetische Energie)
Allgemeine Harmonische
x  o2 x  0
Schwingungsgleichung
Lösungsansatz :
(SW - 11)
x(t) = c1 cos(ot+) + c2 sin(ot+)
c1, c2 Konstanten aus den Anfangsbedingungen
„Allgemeine“ Lösung der Allgemeinen Harmonische Schwingungsgleichung
Pendel
x(t )  xo coso t    
Mit
vo
sino t   
o
(SW - 12)
- xo : Anfangsamplitude
- vo : Anfangsgeschwindigkeit
- o : Eigenfrequenz
-  : Phase
- Geschwindigkeit v ~ x
- Beschleunigung a ~ v ~ x   o2 x (ungleichmäßig beschleunigte Bewegung)
In (SW - 12) setzt man die Anfangsbedingungen ein :
- nur Anfangsauslenkung : vo = 0 (sin0 = 0)
- nur Anfangsgeschwindigkeit : xo = 0 (cos0 = 1)
- gemischt : vo und xo  0
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Allgemeine Lösung der Harmonischen Schwingungsgleichung (wichtig)
-
Gilt „immer“ für ungedämpfte harmonisch schwingende Systeme!
-
Ist allgemeiner Fall der „mechanischen“ Lösung SW-12
x(t )  A coso t     B sin o t   
Mit
(SW – 12‘)
- A, B : Anfangsamplituden
- o : Eigenfrequenz
-  : Phase
Zum Weiterlesen : Komplexe Lösung der Schwingungsgleichung.
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3.3.4 Beispiele Harmonischer Schwingungen (Übung + Klausur)
- Federpendel
Feder anfänglich gedehnt
Kraftansatz:  F = 0
1) Fb - Ft = 0  FRK - Ft = 0
FFF = FRK
Ft
2) Hooke: FRK = - D x = FF da in -x - Richtung
Ft  m x
3) x 
D
x0
m

x
Ruhelage 0
 o2
Feder anfänglich gestaucht
2) Hooke: FRK = + D x = FF da negatives x
Ft   m x , da in -x - Richtung
Ft
FFF = FRK
Rest identisch
Probe: - m   : a  0 
x
Ruhelage 0
-D0:a0
JAVA Applet: Federpendel
gilt auch für senkrechte Pendel
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- Torsionspendel
hier gilt nicht v =  r ,da  nicht konstant
Hier: o = 
D
Herleitung siehe Übungsaufgabe
mit : MRK = - D  und MT = J  folgt :
 
J

D
0
J

Ruhelage
 02
- LC – Schwingkreis
siehe E- Technik
UC
I  1 I  0
LC

C
 02
L
I
UC ebenfalls periodisch!
JAVA Applet: Elektromagnetischer Schwingkreis
- Flüssigkeit in U-Rohr
siehe Übungsaufgabe
d' Alembert:
FRK = - mbeschl g = Fb ( '-', da nach unten)
FT =
FRK
mges =  A l , l : Gesamtlänge
m ges
mbesch = 2  A z (2, da über- & unterhalb z = 0)
Vgl. Mathematisches Pendel o2 
z
0
mges z
Flüssigkeit: mFL =  A h
g
 z  2 z  0
l
m beschl
Ft
g
l
 o2
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3.3.5 Zusammenfassung Mechanik harmonische Schwingungen
(nur Beträge)
Translation
Rotation
Ansatz
F=0
M=0
Variable
Weg x
Winkel 
Rücktreibende Komponente
FRK = cT x
MRK = cR 
Trägheitskomponente
FT = m x
MT = J 
Eigenfrequenz
 o2 
Bem.:
cT
m
o2 
cR
J
- Rücktreibende Komponente  Auslenkung
- Frequenz unabhängig von Amplitude
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3.4 Gedämpfte Harmonische Schwingungen
Einfluß von Reibung oder anderen Verlusten: Verringerung der Amplitude mit der Zeit
Reibungsphänomene siehe Dynamik
Hier als Einführung (Lösungen DGL siehe Mathe 2),
relevant für Klausur sind die drei Fälle (Skizze, s.u.)
Reibungsarten FR
FR proportional
Gleitreibung
Normalkraft
Amplitude
lineare Abnahme, nicht geschlossen lösbar
Viskos
v  x  
typ. exponentielle Abnahme (*)
Newton
v2
Abnahme, DGL schwer lösbar
(*): viskose Reibung entspricht einem Ohmschen Widerstand in ET!
Bsp: Viskose Reibung
z.B. Luftdämpfung eines Pendels bzw. R in LC-Schwingkreis, d.h. FR ~ x ˆ v
d'Alembertscher Ansatz
F = 0
Ft + FR + FRK = 0
(SW - 13)
Reibungskraft, siehe Tabelle
Mechanisches System :
x 
b
x  02 x  0
m

2
mit
- b : Reibungskonstante
- m : Masse
Vereinfachung der Lösung mit Abklingkoeffizient :


b
2m
x  2  x   02 x  0
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Lösung dieser DGL (exakte Lösung siehe Mathe 2, hier nur zur Info) hat 3 Fälle:
Name der 3 Fälle
Bedingung
Schwingung
Schwingfall
o > 
ja
Kriechfall
o < 
nein
„Kommt selten vor“
Aperiodischer
o = 
nein
Anzustrebender Fall wenn bei schwing-
Grenzfall
Bemerkung
Häufigster auftretender Fall
ungsfähigem System keine Schwingung
auftreten soll, z.B. Fahrzeugdämpfung
Beispiel: analoges Drehspulinstrument
Diese Skizze ist relevant:
Bemerkung: Die Schwingungsgleichungen haben quasi unabhängig vom physikalisch-technischen
System immer dieselbe mathematische Form (siehe DGLs Mathe 2)
Versuche :
- LC-Schwingkreis
- Pohlsches Drehpendel
Welches Schwingungsverhalten sollte ein Stoßdämpder in einem Auto aufweisen?
Zum Weiterlesen: anharmonische Schwingungen, Frequenzverdopplung
z.B. Klirrfaktor im Audiobereich
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3.5 Erzwungene Schwingungen
Prinzip: Äußere Kraft bzw. Energie wirkt auf schwingungsfähiges System
Relevant: „Physikalische Effekte“ wie z.B. Skizzen, nicht Formeln.
Versuch: Drehpendel
aus „ergänztem“ Kraftansatz ( F = 0) mit externer Kraft
Schwingungsgleichung
für erzwungene Schwingungen
x + 2  x + o2 x = Fext
(SW - 17)
Fext : - Äußere Kraft , Fälle siehe s.u.
Fext
Kurzzeitig, einmalig
Zeitverhalten
Bsp. Pendel
„Anschub“- Anfangsbedingung
F
ext
Danach gedämpfte
(‚Schlag’)
Schwingungen
t
Permanent
F
ext
z.B. Stimmgabel, Börsencrash
Dauernde Auslenkung
Schwingungsdauer T = 
z.B. Festklemmen
t
Wichtigster Fall
Periodisch
F
ext
Anregung mit Eigenfrequenz
bzw. „beliebig“
das ist Resonanz
t
Praxis: Mit einem ‚Schlag’ und Messung von Schwingfrequenz und Amplitude erhält man alles
Systeminformationen wie o und 
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3.5.1 Viskos gedämpfte Schwingungen mit äußerer Anregung
Versuch : Drehpendel, LC-Schwingkreis
JAVA Applet: Erzwungene Schwingungen (Resonanz)
Details siehe Mathe 2 – DGL
Wichtige Kenngröße: Äußere Anregefrequenz und Eigenfrequenz des schwingungsfähigen
Systems. Stimmen beide in etwa überein, steigt die Amplitude der Schwingung stark an.
„Schwingungen mit Anregung - das haben Sie als Kind auf der Schaukel intuitiv geschafft!“
Falls die Dämpfung  0 steigt die Amplitude   , dies nennt man 'Resonanzkatastrophe'
Klausurrelevant: Skizze, Beschreibung Resonanz
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Resonanzen
- vermeiden, da Materialzerstörung (s.u.)
- erwünscht z.B. Funkempfänger (LC-Schwingkreis)
Messtechnik : Bestimmung der Resonanzfrequenz
Beispiel Schiffsantrieb:
Video Tacoma - Bridge
Praktische Anwendung des LC – Schwingkreises
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Übungsblatt Schwingungen
1. Weisen Sie nach, dass beim Mathematischen Pendel die Lösung des Kraftansatzes
(vereinfacht s = so sin(wot) ) auch die Lösung des Energieansatzes (s'² + o² s² = const) ist.
2. Stellen Sie die Harmonische Schwingungsgleichung für ein Torsionspendel (siehe Vorlesung)
auf und geben Sie die Eigenfrequenz an. Welche messtechnische Bedeutung hat ein
Torsionspendel?
3. Stellen Sie die Harmonische Schwingungsgleichung für eine Flüssigkeit in einem U-Rohr
(siehe Vorlesung) auf. Wie groß ist die Eigenfrequenz?
4. Wie groß ist die Schwingungsdauer einer langen Stange (Dicke vernachlässigen), die an einem
Ende aufgehängt ist (harmonisch, ohne Reibung)? Vergleichen Sie dies mit einem
Mathematischen Pendel.
Lsg: 2/3 eines gleichlangen M. P.
5. Ein Seil der Länge l und der Masse m liegt so auf einem Tisch, dass der längere Teil
hinunterhängt. Nach dem Loslassen soll das Seil reibungsfrei über die Tischkante gleiten.
Stellen Sie die Bewegungsgleichung und vergleichen Sie diese "einmalige" Bewegung mit
einer Harmonischen Schwingung.
6. Ein waagrecht liegender Harmonischer Federoszillator der Masse 1kg (Masse incl. Feder,
Ansatz: waagrechtes Federpendel) und D = 100N/m befindet sich in seiner Ruhelage. Er wird
von einer Kugel (10g) durchschlagen, die mit 500m/s auftrifft und mit 250m/s austritt.
Berechnen Sie die Schwingungsamplitude nach dem Durchschlag des Geschosses
(reibungsfrei).
25 cm
7. Ein unten mit Blei gefülltes Reagenzglas (Gesamtgewicht m) schwimmt senkrecht im Wasser.
Zeigen Sie, dass das Reagenzglas harmonische Schwingungen (ohne Reibung) durchführt,
wenn es etwas ins Wasser gedrückt und dann losgelassen wird.
8. Ein Federpendel besitzt zum Zeitpunkt t=0 eine Auslenkung von 5cm, die Geschwindigkeit
10cm/s und die Beschleunigung -20cm/s². Wie groß ist die Amplitude und die Kreisfrequenz
der Schwingung?
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7,07 cm
2 1/s
25