Tutorium Statistik I - Katholische Universität Eichstätt
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Tutorium Statistik I Aufgabensammlung SS 2011 Tutorium Statistik I Aufgabensammlung Tutorium Statistik I ................................................................................ 1 Aufgabensammlung ................................................................................ 1 1 Deskriptive Statistik .......................................................................... 2 2 Wahrscheinlichkeitstheorie ................................................................. 5 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 Einstieg in die Wahrscheinlichkeitstheorie.................................................................5 Bedingte Wahrscheinlichkeiten ..............................................................................6 Diskrete univariate Verteilungen ............................................................................8 Stetige univariate Verteilungen ............................................................................ 10 Multivariate Verteilungen ................................................................................... 12 Grenzwertsätze ............................................................................................... 14 Anhang............................................................................................... 15 1 Theoretische Grundlagen ................................................................... 15 2 Deskriptive Statistik ......................................................................... 15 3 Wahrscheinlichkeitstheorie ................................................................ 15 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 Einstieg in die Wahrscheinlichkeitstheorie............................................................... 15 Bedingte Wahrscheinlichkeiten ............................................................................ 16 Diskrete univariate Verteilungen .......................................................................... 17 Stetige univariate Verteilungen ......................................................................... 20 Multivariate Verteilungen ................................................................................ 20 Grenzwertsätze ............................................................................................ 22 Back-up .............................................................................................. 23 18.05.2011 Dominik Faber, Rebekka Hatzung, Sylvia Lipp, Stefanie Hölz, Stefanie Wiedemann, Matthias Nisster, Marion Bruns, Martina Brunner, Maria Moosmann, Johanna Palitza, Katja Kokotchikova, Maike Delow, Jan Schönfeld 1 Tutorium Statistik I Aufgabensammlung SS 2011 1 Deskriptive Statistik Aufgabe 1 Nennen Sie jeweils 3 Beispiele für Bestands- und Bewegungsmassen. a) Nennen Sie jeweils 2 nominalskalierte, ordinalskalierte, quantitativ diskrete und quantitativ stetige Merkmale und geben Sie eine vollständige Aufzählung aller Merkmalsausprägungen an. Geben Sie bei den quantitativen Merkmalen an, ob es sich um intervall- oder verhältnisskalierte Merkmale handelt. b) Welche Anforderungen sind an die Ausprägungen zu stellen? Aufgabe 2 Stellen Sie die folgende Verteilung der Körpergewichte dreißig zufällig ausgewählter Studenten graphisch dar. Gewicht in kg [40, 50) [50, 60) [60, 70) [70, 80) [80, 100] Anzahl der Studenten 2 6 11 7 4 Aufgabe 3 Der ICE, der jeden Samstag von München nach Hannover fährt, hat bei der Ankunft in Hannover meistens Verspätung. In einer Stichprobe von 25 aufeinanderfolgenden Wochenenden wurden folgende Verspätungszeiten (in Minuten) festgestellt: 8, 4, 6, 4, 8, 7, 5, 4, 8, 5, 4, 5, 8, 7, 4, 4, 5, 4, 8, 8, 7, 5, 6, 5, 4 a) Bestimmen Sie die absoluten Häufigkeiten der auftretenden Verspätungszeiten. Berechnen Sie dann die relativen Häufigkeiten und stellen Sie diese als Stabdiagramm dar. b) Berechnen Sie die empirische Verteilungsfunktion und stellen Sie diese graphisch dar. c) Berechnen Sie Mittelwert und Median der Daten und geben Sie den Modus an. d) Berechnen Sie Varianz, Standardabweichung und Variationskoeffizient der Daten. Aufgabe 4 An der Scannerkasse eines Supermarktes wurden für 50 aufeinanderfolgende Kunden folgende Bedienungszeiten (in Sekunden) registriert: 15, 18, 18, 19, 19, 20, 22, 22, 22, 22, 23, 24, 27, 28, 29, 31, 32, 33, 36, 37, 37, 38, 38,39, 39, 39, 40, 40, 40, 41, 41, 42, 42, 43, 44, 48, 49, 49, 50, 51, 51, 52, 53, 54, 57, 58, 61, 62, 64, 68 a) Bestimmen Sie den Modalwert, den Median und das 1. und 3. Quartil. b) Fassen Sie nun die Merkmalsausprägungen zu Klassen unter Verwendung der Klassengrenzen 0, 20, 30, 40, 50, 70 zusammen. Wir unterstellen eine Gleichverteilung innerhalb der Klassen. i. Berechnen Sie die absoluten und relativen Häufigkeiten der Klassen. Stellen Sie die relativen Häufigkeiten graphisch dar. ii. Geben Sie die empirische Verteilungsfunktion des klassifizierten Merkmals an und zeichnen Sie diese. iii. Wie groß ist der Anteil der Kunden, die mehr als 60 Sekunden warten müssen? Lösen Sie die Aufgabe zunächst graphisch, dann rechnerisch. iv. Berechnen Sie Spannweite, Varianz und Standardabweichung der Verteilung. 18.05.2011 Dominik Faber, Rebekka Hatzung, Sylvia Lipp, Stefanie Hölz, Stefanie Wiedemann, Matthias Nisster, Marion Bruns, Martina Brunner, Maria Moosmann, Johanna Palitza, Katja Kokotchikova, Maike Delow, Jan Schönfeld 2 Tutorium Statistik I Aufgabensammlung SS 2011 Aufgabe 5 Gegeben sei die folgende Stichprobe vom Umfang n=50. Berechnen Sie die absoluten und relativen Häufigkeiten sowie die empirische Verteilungsfunktion. Stellen Sie die relativen Häufigkeiten und die Verteilungsfunktion graphisch dar. Befragung von 50 ehemaligen BWL-Studenten nach ihrer Semesterzahl: Semesteranzahl 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Studenten 1 3 6 9 13 11 4 2 1 Aufgabe 6 Bei einer Stichprobe von 65 ehemaligen WFI-Studenten wird das Einkommen ermittelt. Die Einkommen verteilen sich wie folgt auf sieben Klassen: Lohn (in K EUR) Anzahl der ehem. Studenten 50 bis unter 60 8 60 bis unter 65 10 65 bis unter 70 16 70 bis unter 80 14 80 bis unter 90 10 90 bis unter 100 5 mehr als 100 2 a) Bestimmen Sie die relativen Häufigkeiten sowie die Verteilungsfunktion. b) Bestimmen Sie die klassenspezifischen Höhen des Histogramms. Sie brauchen das Histogramm nicht zu zeichnen. Unterstellen Sie für die letzte Klasse eine Klassenbreite von 20.000 und einen Klassenmittelpunkt von 115.000. c) Bestimmen Sie das arithmetische Mittel, den Modus und den Median. d) Bestimmen Sie Varianz, Standardabweichung und den Variationskoeffizienten. 18.05.2011 Dominik Faber, Rebekka Hatzung, Sylvia Lipp, Stefanie Hölz, Stefanie Wiedemann, Matthias Nisster, Marion Bruns, Martina Brunner, Maria Moosmann, Johanna Palitza, Katja Kokotchikova, Maike Delow, Jan Schönfeld 3 Tutorium Statistik I Aufgabensammlung SS 2011 Aufgabe 7 Als Assistent werden Sie mit der statistischen Auswertung der Klausurergebnisse betraut. Sie ermitteln folgende Häufigkeitstabelle: Anzahl der Studenten Punkte 15 0-30 10 30-50 20 50-60 40 60-70 10 70-80 5 80-100 Bei der Festlegung der Klassengrenzen wurden rechtsoffene Klassen [a,b) vereinbart. Gehen Sie davon aus, dass das Merkmal „Punkte“ stetig ist und dass die Punkte innerhalb einer Klasse gleichverteilt sind. a) Berechnen Sie die relativen Häufigkeiten für die Punkteklassen und stellen Sie diese in einem Histogramm dar. b) Berechnen Sie die kumulierten relativen Häufigkeiten und zeichnen Sie die Summenhäufigkeitsfunktion. c) Wie lauten Median und Modalklasse? d) Wie groß ist der Anteil der Studenten, die 75 Punkte und mehr erreicht haben? Lösen Sie die Aufgabe zunächst graphisch, dann rechnerisch. 18.05.2011 Dominik Faber, Rebekka Hatzung, Sylvia Lipp, Stefanie Hölz, Stefanie Wiedemann, Matthias Nisster, Marion Bruns, Martina Brunner, Maria Moosmann, Johanna Palitza, Katja Kokotchikova, Maike Delow, Jan Schönfeld 4 Tutorium Statistik I Aufgabensammlung SS 2011 2 Wahrscheinlichkeitstheorie 1.1 Einstieg in die Wahrscheinlichkeitstheorie Aufgabe 8 Eine Zufallsgröße X hat die folgende Verteilung: x 0 1 2 3 4 5 P(X = x) 0,11 0,32 0,35 0,12 a b Wie groß sind die Werte a und b, wenn die Zufallsgröße X den Erwartungswert 1,8 hat? Berechnen Sie die Varianz und die Standardabweichung von X. Aufgabe 9 Es wird ein Würfel geworfen. Stellen Sie die Ereignisse E1 („Augenzahl ist durch 3 teilbar“) und E 2 („Augenzahl ist gerade“) in Mengenschreibweise dar. Welche zugeordnete Bezeichnung entspricht dem Ausdruck E1 ∩ E 2 und den Ausdruck E1 ∪ E 2 . Aufgabe 10 Drei Busunternehmen A, B und C fahren fast die gleichen „Linien“ und wollen sich deshalb zu einer Nahverkehrsgesellschaft zusammenschließen. Man kennt die Benutzeranteile der Bevölkerung an den einzelnen Buslinien: P ( A) = 0,40 P( B) = 0,30 P (C ) = 0,15 P ( A ∩ B ) = 0,08 P ( A ∩ C ) = 0,02 P ( B ∩ C ) = 0,05 P( A ∩ B ∩ C ) = 0,01 Es wird eine Befragung unter den Bürgern durchgeführt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig befrage Person a) b) c) d) keinen Bus der Firma B, einen Bus der Firmen B oder C, einen Bus eines der drei Unternehmen keinen Bus der drei Unternehmen benutzt? Aufgabe 11 200 willkürlich ausgewählte Personen werden nach Schlaflosigkeit (S), Haarausfall (H) und Übergewicht (Ü) befragt. Es leiden 60 Personen an S, 90 an H, 120 an Ü, 30 an S und H, 40 an H und Ü sowie 20 an S und Ü. 10 haben keines der drei Beschwerden. a) b) c) d) 18.05.2011 Stellen Sie den obigen Sachverhalt mit Mengen dar. Wie viele Personen leiden an allen drei Krankheiten? Wie viele Personen leiden nur an Haarausfall? Geben Sie die relative Häufigkeit derjenigen Personen an, die an Schlaflosigkeit leiden. Dominik Faber, Rebekka Hatzung, Sylvia Lipp, Stefanie Hölz, Stefanie Wiedemann, Matthias Nisster, Marion Bruns, Martina Brunner, Maria Moosmann, Johanna Palitza, Katja Kokotchikova, Maike Delow, Jan Schönfeld 5 Tutorium Statistik I Aufgabensammlung SS 2011 Aufgabe 12 Das Gepäck an einem Flughafen wird mit einem Strichcode auf Papieraufklebern gekennzeichnet, mit dessen Hilfe der Zielflughafen ermittelt wird. Diese Ermittlung schlägt in 11,5% aller Fälle fehl, da mindestens einer der voneinander unabhängigen Fehler A („Papier zerknittert“) oder B („Papier verschmutzt“) auftritt. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für den Fehler A, wenn bekannt ist, dass Fehler B eine Wahrscheinlichkeit von 8,5% hat. b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt nur einer der Fehler A oder B auf? 1.2 Bedingte Wahrscheinlichkeiten Aufgabe 13 Eine Statistik über das letzte Jahr zeigt: Die in einem bestimmten Autotyp eingebauten Alarmanlagen lösten im Falle eines Einbruchs mit der Wahrscheinlichkeit von 95% Alarm aus. Bei 3% der Wagen, in die nicht eingebrochen wurde, stellte man einen Fehlalarm fest. Die Wahrscheinlichkeit für einen Einbruch in den betrachteten Wagentyp lag bei 1,5%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass tatsächlich ein Einbruch vorlag, falls Alarm ausgelöst wurde? Aufgabe 14 Zwei Firmen A und B liefern ein Bauteil zu Katalysatoren. 20% der Bauteile der Firma A sind fehlerhaft, von denen der Firma B sind sogar 30% fehlerhaft. 2/3 der fehlerhaften Teile sind von der Firma A. Wie viel Prozent der Bauteile werden demnach von der Firma A geliefert? Aufgabe 15 42% der Besucher einer Messe sind Fachbesucher; 20% der weiblichen und 55% der männlichen Messebesucher sind Fachbesucher. a) Wie hoch ist der Anteil der männlichen Besucher bei dieser Messe? b) Ein zufällig ausgewählter Messebesucher ist ein Fachbesucher. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist er männlich? Aufgabe 16 In einem Supermarkt wird argentinisches Importbier verkauft. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Flasche beschädigt und somit unverkäuflich ist, beträgt 5 %. Beschädigte Flaschen weisen ausschließlich folgende Schäden auf: E: „Falsch etikettiert“ oder G: „Flaschenhals gebrochen“. Der Schaden E trifft bei 4 % aller Flaschen, der Schaden G bei 40 % der beschädigten Flaschen auf. a) Ermitteln Sie, ob die Schäden E und G unabhängig voneinander auftreten. b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine Flasche, die falsch etikettiert wurde, gebrochen? 18.05.2011 Dominik Faber, Rebekka Hatzung, Sylvia Lipp, Stefanie Hölz, Stefanie Wiedemann, Matthias Nisster, Marion Bruns, Martina Brunner, Maria Moosmann, Johanna Palitza, Katja Kokotchikova, Maike Delow, Jan Schönfeld 6 Tutorium Statistik I Aufgabensammlung SS 2011 Aufgabe 17 Im Folgenden ist die Verteilung der Sitze im Bundestag wiedergegeben: Anteil der Abgeordneten an der Gesamtzahl der Sitze: • SPD 44,5% • CDU/CSU 36,62% • Grüne 7% • FDP 6,5% • PDS 5,38%. Nun sind in der SPD 13,09% der Abgeordneten katholisch, in der CDU/CSU sind es 59,18%, die Grünen beherbergen 14,89% katholische Abgeordnete, in der FDP sind es 23,26% und in der PDS nur 2,78%. a) Stellen Sie sich vor, Sie besuchen das Reichstagsgebäude und treffen zufällig einen Abgeordneten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieser katholisch ist? b) Sie kommen zwar mit dem Abgeordneten ins Gespräch und erfahren, dass dieser katholisch ist, vergessen aber nach dessen Parteizugehörigkeit zu fragen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Abgeordnete der PDS zugehört? c) Von den Abgeordneten des Bundestags haben 13% ihre Konfessions- bzw. Religionszugehörigkeit nicht angegeben. In der PDS Fraktion haben sogar 47,2% keine Angaben zu ihrer Konfession bzw. Religion gemacht. Sind die Ereignisse „ohne Angabe“ und „Abgeordneter der PDS“ voneinander unabhängig? Begründen Sie ihre Antwort. Aufgabe 18 Ein von einem Tierarzt durchzuführender, einfacher Schnelltest erkennt 95% von BSE-Rindern als solche. Irrtümlicherweise stuft dieser Schnelltest von den gesunden Rindern 15% als BSE-Rinder ein. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei einem Durchseuchungsgrad von 4% ein durch den Schnelltest für gesund erklärtes Rind auch wirklich gesund ist. Aufgabe 19 Von allen in einem Musikladen verkauften CDs entfallen 25% auf klassische Musik und 30% auf Volksmusik. Der Rest wird der Popmusik zugeordnet. 60% der Käufer einer Klassik-CD und 25% der Käufer einer Popmusik-CD sind älter als 30 Jahre. Insgesamt werden 48% der verkauften CDs von Kunden erworben, die älter als 30 Jahre sind. a) Ein Kunde betritt den Musikladen und kauft eine Volksmusik-CD. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist er höchstens 30 Jahre alt? b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit kauft ein Kunde, der älter als 30 Jahre ist, eine Klassik- oder Popmusik-CD? Aufgabe 20 Eine Analyse erfolgreicher Hochschulabsolventen in Deutschland ergab folgendes Bild: 60% der Kandidaten, die eine Abschlussprüfung bestehen sind Männer. 7% der weiblichen Absolventen erwerben anschließend einen Doktortitel. Der Anteil der männlichen Absolventen, die im Anschluss an ihr Studium promovieren, beträgt 12%. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass nach einem erfolgreich abgeschlossenen Studium ein Doktortitel erworben wird? b) Es wurde ein Doktortitel verliehen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er an eine Frau verliehen wurde? c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Absolvent männlich ist und nicht promoviert? 18.05.2011 Dominik Faber, Rebekka Hatzung, Sylvia Lipp, Stefanie Hölz, Stefanie Wiedemann, Matthias Nisster, Marion Bruns, Martina Brunner, Maria Moosmann, Johanna Palitza, Katja Kokotchikova, Maike Delow, Jan Schönfeld 7 Tutorium Statistik I Aufgabensammlung SS 2011 Aufgabe 21 Bei Sport-TV treten Bildstörungen mit 4% Wahrscheinlichkeit auf. Ist das Bild gestört, dann kommt es mit 60% Wahrscheinlichkeit auch noch zu Tonstörungen. Ist das Bild einwandfrei, dann ich auch der Ton mit 90% Wahrscheinlichkeit in Ordnung. a) Untersuchen Sie die Ereignisse „Bildstörung tritt auf“ und „Tonstörung tritt auf“ auf stochastische Unabhängigkeit. b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für ein einwandfreies Bild, falls der Ton gestört ist? 1.3 Diskrete univariate Verteilungen Aufgabe 22 Bei einer Wahl bewerben sich drei Parteien A, B und C. Der Anteil der A-Wähler sei p. Aus der sehr großen Zahl von Stimmzetteln werden nacheinander zufällig zehn ausgewählt, die nur nach der jeweils angekreuzten Partei unterschieden werden. a) Bestimmen Sie in Abhängigkeit von p die Wahrscheinlichkeit P(p) dafür, dass genau zwei der Zettel A-Stimmzettel sind, aber keiner der beiden letzten. b) Für welchen Wert von p wird die Wahrscheinlichkeit P(p) aus Teilaufgabe a maximal? c) Wie groß muss p mindestens sein, damit unter den zehn Stimmzetteln mit wenigstens 90% Wahrscheinlichkeit mindestens ein A-Stimmzettel ist? Aufgabe 23 Dipl. Ökonom Vorderhuber hat sich nach einem verbummelten Studienbeginn (Vordiplomsnote 3,7) im Hauptstudium deutlich gesteigert. Aufgrund seines energischen Endspurts erzielte er eine gute Diplomnote, was in ihm den Wunsch weckte, an einer nordamerikanischen Graduate School of Business den Grad eines PhD zu erwerben. Da er weiß, dass die Chance einer positiven Antwort auf ein Bewerbungsschreiben nur 20 Prozent beträgt, beschließt er gleichzeitig mehrere Universitäten anzuschreiben. Er bemerkt jedoch schnell, dass jede Bewerbung mit einigem Aufwand (Begleitschreiben, Unterlagen, Empfehlungsschreiben, usw.) verbunden ist und dass er die Angelegenheit rationalisieren sollte. a) Wie viele Bewerbungsschreiben muss er absenden, damit die Chance auf mindestens eine positive Antwort 95 % oder mehr beträgt? b) Wie viele Bewerbungsschreiben muss er absenden, damit er mit Sicherheit eine positive Antwort bekommt? Aufgabe 24 Dirk Novi trifft mit einer Wahrscheinlichkeit p Würfe von der 3-Punkte-Linie. Wie groß muss p mindestens sein, damit Dirk Novi bei 6 Versuchen mit einer Wahrscheinlichkeit von wenigstens 95% mindestens einmal trifft? Aufgabe 25 85% der Teilnehmer fertigen die Hausaufgabe ganz oder teilweise an. Wie viele Hefte müsste ein Lehrer mindestens kontrollieren, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 80% mindestens eines ohne Hausaufgabe vorzufinden? 18.05.2011 Dominik Faber, Rebekka Hatzung, Sylvia Lipp, Stefanie Hölz, Stefanie Wiedemann, Matthias Nisster, Marion Bruns, Martina Brunner, Maria Moosmann, Johanna Palitza, Katja Kokotchikova, Maike Delow, Jan Schönfeld 8 Tutorium Statistik I Aufgabensammlung SS 2011 Aufgabe 26 Im Hotelrestaurant bestellen die Gäste mit einer Wahrscheinlichkeit von 30% das Tagesmenü. a) Wie viele Gäste müssen das Hotelrestaurant mindestens besuchen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99% wenigstens einer der Gäste das Tagesmenü bestellt? Aus langjähriger Erfahrung weiß man, dass 10% der Gäste, die das Tagesmenü bestellen, und 70% der übrigen Gäste das Essen mit einem Kaffee abschließen. b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Gast Kaffee trinkt. Aufgabe 27 Sie ziehen um und haben bereits alle Bücher in insgesamt 20 Kartons verpackt. Leider fällt Ihnen erst jetzt ein, dass Sie das Standardwerk der BWL, das Sie dringend benötigen, ebenfalls eingepackt haben. Sie können sich nur noch erinnern, dass das gesuchte Buch ganz oben im Karton liegt, nicht aber in welchem. Bevor Sie mit der Suche beginnen, berechnen Sie folgende Wahrscheinlichkeiten: a) Sie wählen zufällig 8 der 20 Kartons aus. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich das gesuchte Buch in einem der Kartons befindet? b) Nehmen Sie an, Sie hätten ein zweites Exemplar des Buches in einer weiteren Kiste verpackt (aber nicht in derselben wie das erste Buch). Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Sie keines der Exemplare finden, wenn Sie 10 Kisten zufällig auswählen und öffnen. Aufgabe 28 An einem Sommerabend wird in einem 10-Minuten-Intervall durchschnittlich eine Sternschnuppe beobachtet. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einem solchen 10-Minuten-Intervall mehr als zwei Sternschnuppen beobachtet werden? Aufgabe 29 Sie telefonieren immer mit der günstigsten Telefongesellschaft. Als nachteilig erweist sich jedoch, dass Sie in dem von Ihnen bevorzugten Zeitraum von 9-12 Uhr im Durchschnitt dreimal vergeblich wählen müssen, bevor Sie eine Verbindung gekommen. Gehen Sie davon aus, dass die Anzahl der vergeblichen Wählversuche poissonverteilt ist. a) Wie ist der Parameter λ zu wählen? b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Sie bei Ihrem nächsten Telefongespräch mehr als fünfmal vergeblich wählen, bevor eine Verbindung zustande kommt. Aufgabe 30 Die Zahl der Studenten, die in der Vergangenheit täglich am Lehrstuhl vorbeikamen, um das aktuelle Aufgabenblatt zu kopieren, sei eine poissonverteilte Zufallsvariable mit dem Parameter λ. Dieses λ hängt von der Auflage (A) der in Druck gegebenen Aufgabenblätter ab und wird durch folgende Funktion beschrieben: λ = 12,5 – 0,015·A a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Auflage von 500 Blätter an einem Tag zwischen 4 und 7 Studenten kommen? b) Berechnen sie Erwartungswert und Varianz für λ = 5. 18.05.2011 Dominik Faber, Rebekka Hatzung, Sylvia Lipp, Stefanie Hölz, Stefanie Wiedemann, Matthias Nisster, Marion Bruns, Martina Brunner, Maria Moosmann, Johanna Palitza, Katja Kokotchikova, Maike Delow, Jan Schönfeld 9 Tutorium Statistik I Aufgabensammlung SS 2011 1.4 Stetige univariate Verteilungen Aufgabe 31 a) Welchen Kriterien muss eine Funktion genügen, sofern es sich um eine Dichtefunktion handelt? b) Überprüfen Sie, ob die folgende Funktion 𝑓 (𝑥) eine Dichtfunktion ist. 20.000 𝑓ü𝑟 1 ≤ 𝑥 ≤ 2 𝑓(𝑥) = � 9 − 37.125𝑥 0 𝑠𝑜𝑛𝑠𝑡 c) Bestimmen Sie k so, dass g(x) tatsächlich eine Dichtefunktion ist. 𝑘 ∙ (10𝑥 + 5) 𝑓ü𝑟 0 ≤ 𝑥 ≤ 5 𝑔(𝑥) = � 0 𝑠𝑜𝑛𝑠𝑡 d) Berechnen Sie für f(x) und g(x) den Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung. e) Erstellen Sie Wertetabellen für die Dichte- und Verteilungsfunktionen und stellen Sie diese graphisch dar. Aufgabe 32 Das Einstiegsgehalt g von WFI-Absolventen bei der AUDIO AG orientiert sich an deren Statistiknote x. Prüfen Sie, ob die für das Einstiegsgehalt g angegebene Funktion die Kriterien einer Dichtefunktion erfüllt: 30.000 − 2.000 x g ( x) = 0 für 1 ≤ x ≤ 3 sonst Erstellen Sie zudem eine Wertetabelle und zeichnen Sie die Funktion. Aufgabe 33 Eine stetige Zufallsvariable besitzt die Dichtefunktion: k ⋅ (6 x + 3) f ( x) = 0 a) b) c) d) e) f) g) für 0≤ x≤4 sonst Bestimmen Sie den Faktor k so, dass f(x) tatsächlich eine Dichtefunktion ist. Berechnen Sie die Verteilungsfunktion. Zeichnen Sie die Dichtefunktion. Zeichnen Sie die Verteilungsfunktion. Berechnen Sie den Erwartungswert. Berechnen Sie die Varianz und Standardabweichung. Berechnen Sie den Median, das untere und obere Quartil. Aufgabe 34 Sei F der Flächeninhalt und P der Perimeter eines Rechtecks mit zufälligen Seitenlängen X und Y, wobei X und Y stochastisch unabhängig und je im Intervall [0; 1) gleichverteilt seien. a) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von F. b) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von P. 18.05.2011 Dominik Faber, Rebekka Hatzung, Sylvia Lipp, Stefanie Hölz, Stefanie Wiedemann, Matthias Nisster, Marion Bruns, Martina Brunner, Maria Moosmann, Johanna Palitza, Katja Kokotchikova, Maike Delow, Jan Schönfeld 10 Tutorium Statistik I Aufgabensammlung SS 2011 Aufgabe 35 11% aller Buchungen werden üblicherweise nicht wahrgenommen. Deshalb nimmt der Manager des Hotels 170 Buchungen für die 160 Zimmer an. Mit welcher Wahrscheinlichkeit bekommt er Ärger durch Überbuchung? Rechnen Sie mit der Normalverteilung als Näherung. Aufgabe 36 Die Studiendauer in Ingolstadt wird als exponentialverteilt mit dem Erwartungswert E(X)=10 Semester angesehen. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit studiert ein Student mindestens 12 Semester? b) Bestimmen Sie den Median und interpretieren Sie ihn knapp. Aufgabe 37 Die pro 100 km verbrauchte Kraftstoffmenge eines Kleinwagens in Litern wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert 8 und der Varianz 1,44. Sie wissen weiterhin, dass die in zwei aufeinanderfolgenden 100 km-Etappen verbrauchten Kraftstoffmengen voneinander unabhängig sind. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Kleinwagen bei einer Fahrt von 100 km Länge mehr als 6 Liter Kraftstoff verbraucht. b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, das der Kleinwagen bei einer Fahrt von 200 km Länge zwischen 15 und 20 Litern Kraftstoff verbraucht. c) Berechnen Sie die Kraftstoffmenge, die der Kleinwagen bei einer Fahrt von 400 km Länge mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% höchstens verbraucht. Aufgabe 38 Im Rahmen einer Stichprobe wird die Lebensdauer von 10 Glühlampen (in Std.) gemessen. Unterstellen Sie, dass die Lebenszeit der Lampen exponentialverteilt ist. Sie erhalten folgende Stichprobe: 100, 105, 108, 110, 110, 111, 115, 120, 121, 123. a) Schätzen Sie den Parameter λ der Exponentialverteilung und die Varianz aus den Daten. b) Berechnen Sie mit Hilfe der unter a) geschätzten Verteilung die Wahrscheinlichkeit, dass eine Glühlampe mehr als 105, aber weniger als 115 Std. brennt. Aufgabe 39 Mitarbeiter Herr N. erscheint jeden Morgen zu spät an seinem Arbeitsplatz. Die Verspätungen (in Minuten) entsprechen einer exponentialverteilten Zufallsvariable mit einem Erwartungswert von 12 Minuten. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Herr N. eine Viertelstunde nach Arbeitsbeginn immer noch nicht seinen Arbeitsplatz erreicht hat? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Herr N. eine Verspätung von 5 bis 14 Minuten realisiert? c) Es wird erwogen, von Herrn N. einen Betrag von 1€ bei Verspätungen bis zu 15 Minuten bzw. 5€ bei Verspätungen über 15 Minuten einzufordern. Welche Zahlungen muss Herr N. durchschnittlich pro Tag leisten, wenn er sein Verhalten nicht ändert? 18.05.2011 Dominik Faber, Rebekka Hatzung, Sylvia Lipp, Stefanie Hölz, Stefanie Wiedemann, Matthias Nisster, Marion Bruns, Martina Brunner, Maria Moosmann, Johanna Palitza, Katja Kokotchikova, Maike Delow, Jan Schönfeld 11 Tutorium Statistik I Aufgabensammlung SS 2011 1.5 Multivariate Verteilungen Aufgabe 40 Ein Radiosender hat je Stunde sein Programm folgendermaßen aufgeteilt: - Werbung: 10 Min - Musik: 35 Min - Nachrichten und Unterhaltung: 15 Min a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie, wenn sie den Radio 5 mal zufällig anschalten 1) Immer Musik hören 2) 2 mal Werbung, 2 mal Musik und 1 mal Nachrichten 3) Einmal Werbung, einmal Musik und 3 Mal Nachrichten hören b) Erstellen Sie die dazugehörige Kovarianzmatrix. Aufgabe 41 Die Wahrscheinlichkeit aus einem großen Kartenspiel zufällig eine Karte mit einer Zahl zu ziehen, betrage π 1 = 0,7 . Die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen einer Karte mit Bild betrage π 2 = 0,3 . a) Es sollen nun n = 2 Karten (mit Zurücklegen) gezogen werden. Berechnen Sie für alle möglichen Ereignisse dieser bivariaten Multinomialverteilung die Wahrscheinlichkeiten. b) Bestimmen Sie die Kovarianzmatrix dieser Verteilung. Ist diese Matrix invertierbar? c) Welche univariate Verteilung wäre alternativ zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten verwendbar? Geben Sie die Parameter dieser univariaten Verteilung explizit an. Aufgabe 42 Ihnen liegt die folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten bivariaten Zufallsvariable vor. 1.5.1.1 Y/X 0 1 2 0 2/10 1/10 1/10 1 0 0 1/10 2 1/10 2/10 0 3 1/10 0 1/10 a) Berechnen Sie die Randverteilungen von X und Y. b) Wie ist der Wert der bivariaten Verteilungsfunktion an der Stelle (1,1)? c) Sind die Zufallsvariablen X und Y stochastisch unabhängig? Begründen Sie ihre Antwort. 18.05.2011 Dominik Faber, Rebekka Hatzung, Sylvia Lipp, Stefanie Hölz, Stefanie Wiedemann, Matthias Nisster, Marion Bruns, Martina Brunner, Maria Moosmann, Johanna Palitza, Katja Kokotchikova, Maike Delow, Jan Schönfeld 12 Tutorium Statistik I Aufgabensammlung SS 2011 Aufgabe 43 Der TÜV einer Kreisstadt überprüfte in einer Woche 400 PKW. Die Kontrolle ergab folgende zweidimensionale Häufigkeitsverteilung der Variablen X (Zahl der Beanstandungen) und Y (Alter der PKW in Jahren): Y 2 4 6 0 100 80 50 1 10 40 40 X 2 10 30 20 3 0 10 10 Berechnen und interpretieren Sie: a) b) c) d) e) die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion die Randverteilungen von X und Y die bedingte Verteilung F ( xi | 4) Erwartungswerte und Varianzen von X und Y die Kovarianz der Zufallsvariablen, sowie den Korrelationskoeffizienten. Aufgabe 44 Zwei Zufallsvariable X und Y besitzen folgende Wahrscheinlichkeitsfunktion: X 4 5 -4 1/8 3/16 Y 0 ¼ 1/16 2 1/8 ¼ Zeigen Sie, dass X und Y voneinander stochastisch abhängig aber nicht korreliert sind. 18.05.2011 Dominik Faber, Rebekka Hatzung, Sylvia Lipp, Stefanie Hölz, Stefanie Wiedemann, Matthias Nisster, Marion Bruns, Martina Brunner, Maria Moosmann, Johanna Palitza, Katja Kokotchikova, Maike Delow, Jan Schönfeld 13 Tutorium Statistik I Aufgabensammlung SS 2011 1.6 Grenzwertsätze Aufgabe 45 Eine univariate Zufallsvariable Z sei normalverteilt mit dem Erwartungswert 2 und der Varianz 9. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Z einen Wert im Intervall (1,4] annimmt? b) Welcher Wert Z wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 30% übertroffen? c) Gehen Sie im Rahmen dieser Teilaufgabe von einer Zufallsvariable W aus, die eine beliebige Verteilung mit dem Erwartungswert 2 und der Varianz 9 hat. Bestimmen Sie ein Intervall um den Erwartungswert von W so, dass die Wahrscheinlichkeit, dass W außerhalb dieses Intervalls liegt, nicht größer als 25% ist. Aufgabe 46 Ein Kellner weiß aus langjähriger Erfahrung, dass die Gäste unabhängig voneinander im Mittel 5 EUR Trinkgeld pro Abrechnung geben, wobei die Zufallsgröße T:= „Trinkgeld pro Abrechnung“ eine Standardabweichung von 1,50 EUR hat. An einem Abend werden 120 Abrechnungen gezählt. Schätzen Sie mit der Ungleichung von Tschebyschow die Wahrscheinlichkeit ab, mit der das Trinkgeld an diesem Abend zwischen 570 EUR und 630 EUR liegt. Aufgabe 47 In den Niederlanden wird bei Barzahlung an der Kasse auf ein Vielfaches von 5 Cent auf- oder abgerundet. Antje stellt sich zum Mittagessen immer einen gemischten Käseteller in der Kantine zusammen. 100 g Käse kosten dort 2 €. Antje schätzt das Gewicht ihres Käsetellers jedoch nie ab. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Antje innerhalb eines Jahres (mit 220 Arbeitstagen) durch das Runden mehr als 50 Cent zu viel für ihren Käse bezahlt? Aufgabe 48 Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Rind BSE verseucht ist, betrage 4%. Mit welcher Wahrscheinlichkeit befinden sich unter 1000 Rindern mehr als 30 und weniger als 50 BSE-Rinder? Die Varianz beträgt 38,4. Schätzen Sie diese Wahrscheinlichkeit mit der Ungleichung von Tschebyschow ab. Aufgabe 49 Aus langjähriger Erfahrung weiß man bei einer Fluggesellschaft, dass Gepäckstücke ein durchschnittliches Gewicht von 18 kg bei einer Standardabweichung von 5 kg besitzen. Schätzen Sie mit Hilfe der Tschebyschow-Ungleichung die Wahrscheinlichkeit dafür ab, dass bei 300 aufgegebenen Gepäckstücken das Gesamtgewicht zwischen 4800 kg und 6000 kg liegt. Aufgabe 50 Bei einer Produktion von Golfbällen schwankt der Balldurchmesser um den Erwartungswert 43 mm. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Durchmesser eines beliebig herausgegriffenen Balls weniger als 2 mm vom Erwartungswert abweicht, soll mindestens 90 % betragen. Schätzen Sie mit Hilfe der Ungleichung von Tschebyschow ab, wie groß die Standardabweichung hierfür höchstens sein darf. 18.05.2011 Dominik Faber, Rebekka Hatzung, Sylvia Lipp, Stefanie Hölz, Stefanie Wiedemann, Matthias Nisster, Marion Bruns, Martina Brunner, Maria Moosmann, Johanna Palitza, Katja Kokotchikova, Maike Delow, Jan Schönfeld 14 Tutorium Statistik I Aufgabensammlung SS 2011 Anhang 1 Theoretische Grundlagen Aufgabe 51 Nennen Sie jeweils 3 Beispiele für reale bzw. hypothetische Grundgesamtheiten. Grenzen Sie diese jeweils nach sachlichen, zeitlichen und räumlichen Kriterien ab. 2 Deskriptive Statistik Aufgabe 52 An einem Bankschalter werden die Kundenankünfte (Anzahl der pro 10-Minuten-Intervall ankommenden Kunden) beobachtet. Für 40 derartige Zeitintervalle erhält man folgende Ergebnisse: 0 1 2 1 0 2 0 4 1 3 1 2 3 0 1 3 4 2 6 2 1 0 1 0 2 1 0 3 2 3 2 0 1 1 3 1 1 2 1 2 Ermitteln Sie die absolute und relative Häufigkeiten der Kundenankünfte und stellen Sie die Häufigkeiten als Stab- und Kreisdiagramm dar. Aufgabe 53 An der Lebensmittelkasse eines Kaufhauses werden die Rechnungsbeträge von 100 Kunden erfasst; es ergibt sich folgende Häufigkeitsverteilung: Rechnungsbetrag in € bis 10 über 10 bis 20 über 20 bis 40 über 40 bis 80 Anzahl der Rechnungen 16 48 27 9 Stellen Sie Häufigkeiten und Verteilungsfunktion grafisch dar. 3 Wahrscheinlichkeitstheorie 1.7 Einstieg in die Wahrscheinlichkeitstheorie Aufgabe 54 Beschreiben Sie mögliche Ergebnisse der folgenden Zufallsexperimente: a) Es werden zwei Münzen geworfen. Die zweite Münze zeigt Zahl. b) Es werden zwei Würfel geworfen. Die Summe der geworfenen Augenzahl beider Würfel beträgt höchstens 3. 18.05.2011 Dominik Faber, Rebekka Hatzung, Sylvia Lipp, Stefanie Hölz, Stefanie Wiedemann, Matthias Nisster, Marion Bruns, Martina Brunner, Maria Moosmann, Johanna Palitza, Katja Kokotchikova, Maike Delow, Jan Schönfeld 15 Tutorium Statistik I Aufgabensammlung SS 2011 Aufgabe 55 Zeichnen Sie ein geeignetes Venn-Diagramm und schraffieren Sie das Gebiet: ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ B ) b) A ∪ ( B ∩ C ) a) c) ( A ∪ B) ∩ C 1.8 Bedingte Wahrscheinlichkeiten Aufgabe 56 Für das Endspiel eines Fußballturniers steht ein Stadion mit 20.000 Plätzen zur Verfügung. Die Eintrittskarten sind nicht an bestimmte Plätze gebunden. 8.000 Eintrittskarten werden vorab an Sponsoren verteilt. Diese Karten werden mit einer Wahrscheinlichkeit von 83% tatsächlich genutzt, unabhängig davon regulär verkaufte Eintrittskarten dagegen mit 95%. Um eine größere Anzahl von leeren Plätzen zu vermeiden, werden neben den Sponsorenkarten 14.000 reguläre Karten verkauft. Mit welcher Wahrscheinlichkeit besitzt ein zufällig ausgewählter Besucher des Endspiels eine Sponsorenkarte? Aufgabe 57 Mit einer elektronischen Anlage wird am Ausgang eines Kaufhauses überprüft, ob ein Kunde unbezahlte Kleidungsstücke bei sich führt. Bei Kaufhausdieben spricht die Anlage mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% an, allerdings auch bei ehrlichen Kunden mit einer Wahrscheinlichkeit von 1%. 40% der Verdachtsfälle erweisen sich als gerechtfertigt. Wie groß ist demnach der Anteil der Diebe unter allen Kunden? Aufgabe 58 Bei einem Einstellungstermin für den Polizeidienst waren 40 % der Bewerber Frauen, von denen 90 % die Aufnahmeprüfung bestanden. Drei Viertel derjenigen, die scheiterten, waren männlich. a) Welcher Anteil der männlichen Teilnehmer hat die Aufnahmeprüfung bestanden? [Ergebnis: 80 %] b) Wie viele unter einer großen Zahl von zufällig ausgewählten Prüfungsarbeiten müssen mindestens korrigiert werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 90 % wenigstens eine darunter ist, welche als nicht bestanden bewertet wird? Rechnen Sie wie bei „Ziehen mit Zurücklegen“. Wie verändert sich das Ergebnis aus Teilaufgabe 1 b, wenn nicht drei Viertel der Teilnehmer, die scheitern, männlich sind, sondern ein deutlich höherer Anteil, und die sonstigen Ausgangsbedingungen unverändert bleiben? Begründen Sie ihre Antwort. Aufgabe 59 Ein Kunde eines serviceorientierten Kaufhauses benutzt mit einer Wahrscheinlichkeit von 75% die hauseigene Tiefgarage. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 40% bleibt ein Kunde länger als 30 Minuten im Kaufhaus (Langzeitbesucher). Die Ereignisse T (Tiefgaragenbenutzer) und L (Langzeitbesucher) seien statistisch unabhängig. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein beliebiger Kunde weder Tiefgaragenbenutzer noch Langzeitbesucher? b) An der Kasse stehen drei Kunden. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist mindestens einer davon ein Tiefgaragenbenutzer und nicht gleichzeitig Langzeitbesucher? c) In der Tiefgarage sind noch 16 Plätze frei. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese freien Plätze für die nächsten zwanzig Kunden des Kaufhauses reichen, vorausgesetzt es werden in diesem Zeitraum keine Plätze frei? 18.05.2011 Dominik Faber, Rebekka Hatzung, Sylvia Lipp, Stefanie Hölz, Stefanie Wiedemann, Matthias Nisster, Marion Bruns, Martina Brunner, Maria Moosmann, Johanna Palitza, Katja Kokotchikova, Maike Delow, Jan Schönfeld 16 Tutorium Statistik I Aufgabensammlung SS 2011 Aufgabe 60 18% aller zugelassenen PKW stammen aus dem Ausland. Von diesen Autos liefert das Herstellerwerk W 19,2%. Wie groß ist die relative Häufigkeit der PKW des Herstellers W unter unseren Autos? Aufgabe 61 Auf die Frage, wie er seine Aussichten beurteilt, die Statistik-Klausur zu bestehen, antwortet ein Student: „Wenn keine Aufgaben zur Wahrscheinlichkeitsrechnung vorkommen, werde ich die Klausur mit Sicherheit bestehen. Leider zeigt die Erfahrung, dass Aufgaben zur Wahrscheinlichkeitsrechnung mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,95 gestellt werden. In diesem Fall hängt es von den Aufgaben zur deskriptiven Statistik ab: Werden drei oder mehr Aufgaben zur deskriptiven Statistik gestellt – womit ich in diesem Fall mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,5 rechne – bestehe ich die Klausur mit 90%-iger Sicherheit, andernfalls nur mit 70%-iger Sicherheit.“ Berechnen Sie die (für den Studenten subjektive) Wahrscheinlichkeit, dass er die Klausur besteht a) bevor er diese gesehen hat b) nachdem er sein Klausurexemplar erhalten hat und festgestellt hat, dass tatsächlich Aufgaben zur Wahrscheinlichkeitstheorie enthalten sind. c) Zeichen Sie den Ereignisbaum. 1.9 Diskrete univariate Verteilungen Aufgabe 62 Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Studienanfänger das Studium erfolgreich abschließt, sei 0,7. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von vier Studenten a) b) c) d) keiner genau einer wenigstens einer alle das Examen bestehen? Aufgabe 63 Ein Fitness-Studio in Ingolstadt hat 300 weibliche und 200 männliche Mitglieder der WFI (Ergebnis einer Studie im Donaukurier, die ergab, dass 70 % der Studenten an der WFI zu ungesund leben). 1. 30 % der weiblichen Mitglieder sind älter als 23 Jahre. Ein Viertel der über 23-jährigen Mitglieder sind Männer. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein männliches Mitglied älter als 23 Jahre? 2. In jeder Woche verlost der Inhaber des Fitness-Studios eine Wochenendreise unter den Mitgliedern. a. Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnen bei den nächsten 50 Verlosungen mehr Frauen als Männer? b. Wie oft muss die Verlosung mindestens durchgeführt werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99,9 % wenigstens ein männliches Mitglied eine Wochenendreise gewinnt? 18.05.2011 Dominik Faber, Rebekka Hatzung, Sylvia Lipp, Stefanie Hölz, Stefanie Wiedemann, Matthias Nisster, Marion Bruns, Martina Brunner, Maria Moosmann, Johanna Palitza, Katja Kokotchikova, Maike Delow, Jan Schönfeld 17 Tutorium Statistik I Aufgabensammlung SS 2011 Aufgabe 64 Um jedem Kollegiaten die Chance auf ein gutes Zeugnis einzuräumen, wird vereinbart, dass am VHGymnasium die Noten für den Jahresfortgang gewürfelt werden. Dazu wird ein Laplace – Würfel verwendet. Wir gehen davon aus, dass 100 Kollegiaten das VHG besuchen, 50 davon in K13. Jeder Schüler soll in 10 Fächern benotet werden. a) Bestimmen Sie bei einem beliebigen Kollegiaten die Wahrscheinlichkeit für folgende Zeugnisnoten: keine Eins mindestens drei Einser mindestens drei, aber höchstens fünf Einser b) Nun wird bei allen Kollegiaten nur die Mathematiknote betrachtet. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl der Einser zwischen 15 und 25 liegt? c) Von allen Mathematiknoten werden nun die ersten n zufällig betrachtet. Ab welchem n lohnt es sich, darauf zu wetten, damit mindestens ein Einser dabei ist? Aufgabe 65 Der Anteil der Hausgäste unter den Restaurantbesuchern sei p. Für welchen Wert von p ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter vier zufällig ausgewählten Restaurantbesuchern ein oder zwei Hausgäste sind, maximal? (Rechnen Sie wie beim „Ziehen mit Zurücklegen“) Aufgabe 66 Bei einer genaueren Untersuchung des Netzwerks stellt sich heraus, dass Abstürze unabhängig voneinander auftreten und zu 60% auf reine Bedienungsfehler zurückzuführen sind. a) Es werden die nächsten Abstürze beobachtet. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist • frühestens der vierte • spätestens der vierte Absturz auf einen reinen Bedienungsfehler zurückzuführen? b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei den nächsten 150 Abstürzen mehr als 100 durch reine Bedienungsfehler verursacht werden. Verwenden Sie die Normalverteilung als Nährung. Aufgabe 67 Die Anzahl der pro Minute ankommenden Anrufe sei poissonverteilt mit λ=2,5. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Minute a) kein Anruf b) höchstens zwei Anrufe erfolgen Aufgabe 68 Es wurde festgestellt, dass 2 Prozent der Bevölkerung Linkshänder sind. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Gruppe von 50 Leuten höchstens drei Linkshänder sind? Aufgabe 69 Aus der Produktion werde eine Stichprobe im Umfang von 100 Stück entnommen. Der Ausschussanteil beträgt 0,01. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass sich in der Stichprobe höchstens ein schlechtes Stück befindet. 18.05.2011 Dominik Faber, Rebekka Hatzung, Sylvia Lipp, Stefanie Hölz, Stefanie Wiedemann, Matthias Nisster, Marion Bruns, Martina Brunner, Maria Moosmann, Johanna Palitza, Katja Kokotchikova, Maike Delow, Jan Schönfeld 18 Tutorium Statistik I Aufgabensammlung SS 2011 Aufgabe 70 Sie sind ein absoluter Kinofan. Sie gehen jeden Abend ins Kino. Da sie ungern alleine gehen, sind Sie für Ihre Freunde eine richtige Plage geworden. Denn es muss ja immer einer mitgehen. Aber Sie haben viele Freunde, die Sie fragen können. Aus langjähriger Beobachtung wissen Sie, dass ein zufällig ausgewählter Bekannter auf Ihre Frage „Kommst du mit ins Kino?“ mit einer Wahrscheinlichkeit von 20% mit „Ja“ antworten wird. Sie sprechen acht Freunden Ihre Frage auf den Anrufbeantworter. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei der Angerufenen abends mit ins Kino gehen? Gehen Sie davon aus, dass jeder der Angerufenen seinen Anrufbeantwortet auch abhört und Ihnen seine Antwort telefonisch mitteilt. b) Wie viele Bekannte müssen Sie mindestens anrufen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% abends nicht alleine ins Kino gehen zu müssen? Aufgabe 71 Auch betrügerische Elemente nutzen die Einführung des Euros. Kurz nach der Einführung schätzt man, dass sich unter 1000 Münzen immerhin 50 falsche Münzen befinden. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält ein Kunde, der in einem Supermarkt 6 Münzen erhält, a) genau 4 gefälschte Euros b) mindestens einen echten Euro? Aufgabe 72 Zwischen 1921 und 1996 starben 144 Menschen beim Versuch, den Mount Everest zu besteigen. Bei der bisher größten Katastrophe am Berg starben 1996 zwölf Personen während verschiedener Touren. Der Journalist und Teilnehmer einer solchen Tour Jon Krakauer behauptete später, dass diese Zahl eigentlich noch im Schnitt läge. a) Wie wahrscheinlich ist das Ereignis? Wählen Sie eine zur Modellierung derartiger Ereignisse geeignete Verteilung aus. b) Wie wahrscheinlich ist es, dass in einem Jahr keine Menschen bei einer Besteigung umkommen? c) Wie wahrscheinlich ist es, dass in einem Jahr mehr als eine Person bei einer Besteigung umkommt? d) Lässt sich die von Ihnen zur Berechnung benutzte Verteilung im vorliegenden Fall durch eine andere Verteilung approximieren? Begründen Sie ihre Antwort. Aufgabe 73 Sie wollen vom 16. bis einschließlich 29. Juli (=14 Tage) in den Urlaub fahren. Statistisch gesehen beträgt in dieser Zeit die Wahrscheinlichkeit eines Sonnentages an Ihrem Urlaubsort 70%. Ein Sonnentag ist dabei ein Tag, an dem es nicht regnet. Ein Tag, der kein Sonnentag ist, ist somit automatisch ein Regentag. Beim Kofferpacken fällt Ihnen ein Regenmantel in die Hände. Sollten Sie ihn besser einpacken? Um diese Frage zu beantworten, stellen Sie folgende Überlegungen an: a) Berechnen Sie die erwartete Anzahl von Sonnentagen und deren Varianz b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit während Ihrer Urlaubstage weniger als 9 Sonnentage zu haben c) Mit wie vielen Regentagen müssen Sie mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95% höchstens rechnen? (Normalverteilung als Näherung verwenden) 18.05.2011 Dominik Faber, Rebekka Hatzung, Sylvia Lipp, Stefanie Hölz, Stefanie Wiedemann, Matthias Nisster, Marion Bruns, Martina Brunner, Maria Moosmann, Johanna Palitza, Katja Kokotchikova, Maike Delow, Jan Schönfeld 19 Tutorium Statistik I Aufgabensammlung SS 2011 1.10 Stetige univariate Verteilungen Aufgabe 74 Bei einer Vorlesung von 8:15 Uhr bis 9:45 Uhr wurden bei 15 Studenten die folgenden Verspätungen (in Minuten) gemessen: 5,0 8,0 14,1 5,0 8,7 15,0 5,2 12,0 15,0 6,7 13,0 15,1 7,2 13,0 15,9 a) Fassen Sie die Daten in den folgenden Klassen zusammen: [5,8),[8,12),[12,16). Bestimmen Sie Mittelwert, Modus und Median dieser klassifizierten Stichprobe. Welche Annahme würden Sie beim Zeichnen der Verteilungsfunktion für die klassifizierten Daten unterstellen? (Hinweis: Sie müssen die Verteilungsfunktion selbst nicht zeichnen!) b) Nehmen Sie an, die Zufallsvariable, die die Verspätung beschreibt, sei exponentialverteilt. Schätzen Sie den zugehörigen Verteilungsparameter aus den klassifizierten Daten und begründen Sie Ihr Vorgehen. c) Um wie viele Minuten müsste man die Vorlesung nach hinten verlegen, sodass bei Vorlesungsbeginn mindestens 90% der Studenten anwesend sind? Verwenden Sie zur Bestimmung dieses Zeitraumes die in b) geschätzte Verteilungsfunktion. Aufgabe 75 In der Kapitalmarkttheorie wird häufig davon ausgegangen, dass Renditen von Aktien normalverteilt sind. Zeigen Sie, dass 68,28% der Renditen zwischen µ ± σ liegen. 1.11 Multivariate Verteilungen Aufgabe 76 In einer Urne befinden sich drei schwarze Kugeln mit den Nummern 1, 2, 3, vier weiße Kugeln mit den Nummern 1, 2, 3, 4 und zwei rote Kugeln mit den Nummern 1 und 2. Eine Kugel wird gezogen und deren Farbe und Nummer festgestellt. X hat den Wert 0, falls die gezogene Kugel weiß ist. Andernfalls hat X den Wert 1. Die Zufallsgröße Y gibt die Nummer der gezogenen Kugel an. a) Bestimmen Sie die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung von X und Y. b) Überprüfen Sie X und Y auf stochastische Unabhängigkeit. c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat die gezogene Kugel die Nummer 2, wenn sie schwarz oder rot ist? Aufgabe 77 Von einem Produktionsprozess ist bekannt, dass der Ausschussanteil 5%, der Anteil zweiter Wahl 15% und der Anteil erster Wahl 80% beträgt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter 10 geprüften Stücken n1 = 7 erster Wahl, n2 = 2 zweiter Wahl, n3 = 1 Ausschuss sind? 18.05.2011 Dominik Faber, Rebekka Hatzung, Sylvia Lipp, Stefanie Hölz, Stefanie Wiedemann, Matthias Nisster, Marion Bruns, Martina Brunner, Maria Moosmann, Johanna Palitza, Katja Kokotchikova, Maike Delow, Jan Schönfeld 20 Tutorium Statistik I Aufgabensammlung SS 2011 Aufgabe 78 Die Wahrscheinlichkeitsfunktion eines Zufallsvektors X = ( X 1 X 2 X 3 ) ist gegeben durch F ( x1 , x 2 , x3 ) = 10! 0,2 x1 0,7 x2 0,1x3 x1! x 2 ! x3 ! mit xi ≤ 10, xi ∈ Ν a) Um welche Verteilung handelt es sich? Geben Sie die Parameter dieser Verteilung in der Notation der Formelsammlung explizit an. b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Zufallsvektor X den folgenden Wert annimmt: ( x1 , x2 , x3 ) = (1,9,0) . c) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Ausprägung von X 1 ≤ 1 und X 2 ≥ 9 ist. d) Bestimmen Sie die Kovarianzmatrix des Zufallsvektors X . Aufgabe 79 Sei die Verteilungsfunktion eines diskreten Zufallsvektors Fx1x2 5 6 X1 a) b) c) d) 1 0,2 0,4 X X = 1 gegeben durch: X2 X2 2 0,3 0,6 3 0,3 1 Bestimmen Sie die multivariate Wahrscheinlichkeitsfunktion. Bestimmen Sie die Randdichten Sind die beiden Zufallsvariablen X 1 und X 2 unabhängig? Begründen Sie Ihre Antwort. Bestimmen Sie den Vektor der Erwartungswerte. Aufgabe 80 Multivariate Statistik In einem Kaufhaus mit Restaurantbetrieb frequentieren 40% der Kunden das Restaurant. a) Bestimmen Sie näherungsweise die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von 1200 Kunden mehr als 500 Kunden das Restaurant aufsuchen. b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt die Zahl der Restaurantgäste bei 1500 Kunden zwischen 560 und 640(ebenfalls näherungsweise)? c) Wie hoch muss der Anteil von Restaurantbesuchern an Kaufhauskunden sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% bei 1500 Kunden mehr als 700 Kunden im Restaurant essen? (ebenfalls näherungsweise). 18.05.2011 Dominik Faber, Rebekka Hatzung, Sylvia Lipp, Stefanie Hölz, Stefanie Wiedemann, Matthias Nisster, Marion Bruns, Martina Brunner, Maria Moosmann, Johanna Palitza, Katja Kokotchikova, Maike Delow, Jan Schönfeld 21 Tutorium Statistik I Aufgabensammlung SS 2011 1.12 Grenzwertsätze Aufgabe 81 Aus einer Urne mit zwei roten und acht weißen Kugeln werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Bei einem Einsatz von 2,5 Euro pro Spiel werden für jede gezogene rote Kugel 6 Euro ausgezahlt. Die Zufallsgröße X beschreibe den Gewinn pro Spiel. a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X. b) Berechnen Sie E(X) und Var(X). c) Schätzen Sie P( |X-E(X)| < 7 ) mit der Ungleichung von Tschebyschew ab und vergleichen Sie das Ergebnis mit dem exakten Wert. d) Wie hoch müsste der Einsatz sein, damit es ein faires Spiel wäre? Aufgabe 82 Für die Zufallsvariable X gelte Var(X) = 4. Wie groß muss k gewählt werden, damit die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Y die Werte annimmt, die sich um mehr als k vom Erwartungswert unterscheiden, höchstens a) 1% b) 0,5% beträgt? Aufgabe 83 Gegenstand der folgenden Aufgaben ist ein Computersystem. Ein Unternehmensberater setzt für die Zufallsgröße X: „Anzahl der täglichen Systemabstürze“ folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung als Planungsgrundlage an: x P(X = x) 0 0,67 1 0,25 2 0,05 3 0,03 a) Berechnen Sie Erwartungswert und Standardabweichung von X. b) 365 Tage lang wird die Anzahl X der Systemabstürze pro Tag beobachtet. Bestimmen Sie mit der Ungleichung von Tschebyschew ein möglichst kleines Intervall um den Erwartungswert von X, in dem das arithmetische Mittel der Anzahl der Abstürze pro Tag mit einer Mindestwahrscheinlichkeit von 90% liegen muss. c) Zeigen Sie, dass für jedes ε > 0 die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das arithmetische Mittel um weniger als ε vom Erwartungswert von X abweicht, gegen 1 geht, wenn die Zahl n der Beobachtungstage beliebig groß wird. Aufgabe 84 Die Zeit (in Minuten), die ein WFI-Student täglich beim Telefonieren mit seinem Handy verbringt, weise einen Erwartungswert E(X)=60 und eine Varianz V(X)=49 auf. a) Geben Sie eine untere Schranke für die Wahrscheinlichkeit an, dass ein Student zwischen 50 und 70 Minuten täglich mit seinem Handy telefoniert. b) Angenommen, Ihnen ist zusätzlich bekannt, dass die Telefondauer normalverteilt sei. Berechnen Sie mit Hilfe dieser Information die exakte Wahrscheinlichkeit, dass ein WFIStudent täglich zwischen 50 und 70 Minuten mit seinem Handy telefoniert. 18.05.2011 Dominik Faber, Rebekka Hatzung, Sylvia Lipp, Stefanie Hölz, Stefanie Wiedemann, Matthias Nisster, Marion Bruns, Martina Brunner, Maria Moosmann, Johanna Palitza, Katja Kokotchikova, Maike Delow, Jan Schönfeld 22 Tutorium Statistik I Aufgabensammlung SS 2011 Back-up Aufgabe 85 In einem Kaufhaus mit Restaurantbetrieb frequentieren 40% der Kunden das Restaurant. a) Bestimmen Sie näherungsweise die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von 1200 Kunden mehr als 500 Kunden das Restaurant aufsuchen. b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt die Zahl der Restaurantgäste bei 1500 Kunden zwischen 560 und 640 (ebenfalls näherungsweise)? c) Wie hoch muss der Anteil von Restaurantbesuchern an Kaufhauskunden sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% bei 1500 Kunden mehr als 700 Kunden im Restaurant essen? (ebenfalls näherungsweise) Aufgabe 86 Die Teilnehmer Peter und Paul kommen erfahrungsgemäß (unabhängig voneinander) mit einer Wahrscheinlichkeit von 20% und 30% zu spät. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass an einem bestimmten Tag mindestens einer zu spät kommt. Aufgabe 87 Aus einer Gruppe von Ehepaaren, bei denen beide Partner berufstätig sind, wird ein Paar zufällig ausgewählt. Wie groß sind Erwartungswert und Varianz der Summe der Einkommen beider Partner, wenn bekannt ist, dass das Einkommen des Mannes (X) einen Erwartungswert E ( X ) = 2600€ bei einer Varianz V ( X ) = 250€ 2 und das Einkommen der Frau (Y) einen Erwartungswert von E (Y ) = 1850€ bei einer Varianz von V (Y ) = 300€ gen. 18.05.2011 2 besitzen? Weiterhin soll die Kovarianz COV ( X , Y ) = 136€ Dominik Faber, Rebekka Hatzung, Sylvia Lipp, Stefanie Hölz, Stefanie Wiedemann, Matthias Nisster, Marion Bruns, Martina Brunner, Maria Moosmann, Johanna Palitza, Katja Kokotchikova, Maike Delow, Jan Schönfeld 2 betra- 23
