Dynamik : Newton (1642-1727)

(1)
Dynamik : Newton (1642-1727)
Bislang : Nur Kinematik - reiner Bewegungsablauf, keine Ursachen :
Rein geometrische Begriffe → zeitlich Änderung geometrischer Größen
Mathematischer Ansatz → Differentiation + Integration vektorieller Zusammenhänge
Keine Rede von : Masse, Kraft, Energie, Impuls … !!
⇓
Erfassen der Ursachen = Kräfte die auf Massen wirken :
Darstellung + Quantifizierung der Ursachen der Bewegungsänderung
Vorhersage des Bewegungsablaufs bei Kenntnis der Kräfte !!
⇓
Übergang von Kinematik zur Kinetik = Dynamik : Newtons Axiome
Grundlage aller Bewegungsänderung / Beschleunigung :
Kraft = Wechselwirkungen zwischen Massen
Alle Kräfte verschwinden im Grenzfall r → ∞
Freies Teilchen = wechselwirkungsfrei
Bewegungsänderungen bedeuten stets Beschleunigungen
Änderung Betrag und / oder Richtung der Geschwindigkeit
Nature and nature's law
lay hid in night :
God said, let Newton be !
And all was light !
Alexander Pope 1735
Newtons Dynamik ist die erste Große Vereinheitlichende Theorie der Physik
© H.Neuendorf
(2)
Dynamik : Newton
1687
Lösung eines Problems setzt Kenntnis des Kraftgesetzes voraus
Newton , Vorwort zur Principia :
Wir müssen die Kräfte aus den Bewegungserscheinungen
aufspüren - und anschließend aus diesen Kräften die übrigen
Naturerscheinungen herleiten.
Newtons Gesetze = Axiome
Aus anderen Gesetzen nicht ableitbar ⇒
Haben Status von Axiomen
Manifestation ihrer Gültigkeit :
Bei vorgegebener Wechselwirkung erhält
man durch mathematische Ableitung eine
empirisch zutreffende Beschreibung der
resultierenden Bewegung
Zwei Vorgehensweisen :
1. Kräfte ⇒ Bahnkurve / Bewegung
2. Bahnkurve ⇒ verursachende Kräfte /
Wechselwirkungen
Weitere revolutionäre Konzeption :
© H.Neuendorf
Der leere Raum als Träger von Fernwirkungskräften
(3)
Newton'sche Axiome (1687)
1. Axiom
Trägheitsprinzip
Jeder Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder gleichförmig geradlinigen Bewegung,
solange keine Kraft auf ihn einwirkt !
Kräftefreier Körper
2. Axiom
Ruhe + gleichförmige Bewegung sind
gleichwertig. Nur Beschleunigungen
müssen erklärt werden !
Aktionsprinzip
Zwischen der die Wechselwirkung beschreibenden Kraft F und der konstanten! Masse m
sowie der Beschleunigung a besteht die Beziehung :
Wirkung Umgebung auf Körper
→
→
F = m⋅ a = m⋅
3. Axiom
2
→
d r (t )
dt 2
kg ⋅ m 

N
=

s 2 
Einführung von Kraft und
Masse in die Physik !
Reaktionsprinzip - Actio = Reactio - paarweises Auftreten
Zwei wechselwirkende Teilchen üben entgegengesetzt gleich große Kräfte aufeinander aus:
→
→
→
F 21 = − F 12
Für zwei isolierte Massen gilt :
→
→
⇒ F 11 = 0
⇒ Massenbestimmung mit normierter Masse
m1a1 =| F 21 |=| − F 12 |= m 2 a 2
⇒
Kräfte können abhängen von Ort, Geschwindigkeit und Zeit
© H.Neuendorf
→
m1 a 2
=
m 2 a1
Masse ist Maß für Trägheit der
Materie = Widerstand gegen
Bewegungsänderung. Massenbestimmung über Kräfte
(4)
Newton'sche Axiome
1 Block
v
"Herleitung" 2.Newtonsches Axiom
Beschleunigung = a = const
1 Gewicht
= 1 Kraft
t
v
1 Block
2 Gewichte =
Doppelte Kraft
Beschleunigung = 2·a
t
v
Beschleunigung = 1/2·a
2 Blöcke =
Doppelte
Masse
→
→
a∝F
→
→
a || F
© H.Neuendorf
1 Gewicht
= 1 Kraft
→
1
| a |∝
mT
t
→
→
→
→
F
⇒ a=
⇔ F = m⋅a
mT
Beschleunigung immer parallel zur
Kraft ⇒ Kraft ist ein Vektor
Masse beeinflusst nicht
Beschleunigungsrichtung
⇒ Masse ist ein Skalar
Zwei Körper haben gleiche Masse wenn die gleiche
Kraft die gleiche Beschleunigung bewirkt
3. Axiom :
Actio = Reactio
(5)
Beispiel
Gilt gleichermaßen für :
Fernwirkungskräfte → keine materielle Verbindung zwischen Körpern
Nahwirkungskräfte → materielle Verbindung zwischen Körpern
Magnetismus, Gravitation
Feder
Statische + dynamische Verhältnisse → Kräftegleichgewicht + Bewegung
Newtons Versuch : Entgegengesetzt gleiche Anziehungskräfte zwischen Eisenstück und Magnet
Nach Zusammentreffen in Ruhe
⇒ Würde eine der beiden Kräfte dominieren, so würde sich System nach Zusammenstoß weiterbewegen
⇒ Actio = Reactio !
Kraft Erde auf Person
=
Kraft Person auf Erde
Aber sehr unterschiedliche Beschleunigungen a = F / m
wegen sehr unterschiedlicher Massen !
© H.Neuendorf
(6)
Schwere und träge Masse - Kraft und Masse
Bestimmung der Masse :
Völlig verschiedene
1. Über Beschleunigung, die Kraft dem Körper erteilt = Träge Masse mT
Phänomene +
Massenbegriffe !
2. Mittels Waage über Gravitation = Schwere Masse mS
Gravitation - zwischen zwei Massen
♦ Hängt nur von Massen + Abstand ab
♦ Wirkt entlang Massen-Verbindungslinie
♦ Zum Massenzentrum gerichtet
♦ Grav.Konstante γ = 6.667·10-11 m3 / (kg·s2)
→
→
F 12 = − e r ⋅ γ ⋅
→
m1 ⋅ m 2
r2
m2
F12
→
F 12 = − F 21
er
Erdoberfläche :
r
m1
Erdanziehungskraft auf Masse = Gewicht
Mittlere Schwerebeschleunigung g = 9.81 m/s2
G =γ ⋅
m S ⋅ M Erde
rE2
Genaueste Messungen :
mT = mS
Alle Körper fallen gleich schnell (Galilei)
Mit Masse wächst Gravitationsanziehung - aber auch Trägheit
dh Widerstand gegen Beschleunigung ⇒ Kompensation !
© H.Neuendorf
γ⋅
γ⋅
m S ⋅ M Erde
rE2
M Erde
rE2
= mT ⋅ a ⇒
= a ≡ g ≈ 9.81
m
s2
(7)
Gravitation
Cavendish
Gravitationswaage
Experiment mit Massen von wenigen Kilogramm
Annäherung von m' an m bewirkt Anziehung
⇒
Auslenkung von m
⇒
Verdrillen des geeichten Torsionsfadens
Genaue Messung kleiner Auslenkungen mittels Spiegel
→
→
F G = − e r ⋅γ ⋅
m1 ⋅ m 2
r2
Bestätigung Gravitationsgesetz +
Bestimmung Grav.konstante :
Durch Messungen mit verschiedenen
Massen m , m' und Abständen r
The way of Newton :
Drehmoment-Gleichgewicht wenn
Mass tells gravity how to exert a force FG ,
Gravitationsmoment = Torsionsmoment
Force tells mass how to accelerate F = m⋅a
The way of Einstein :
Mass + Energy tells space-time how to curve,
Curved space-time tells mass how to move.
© H.Neuendorf
J.Wheeler
Übergang von Fernwirkungstheorie
zu Nahwirkungstheorie
(8)
Drittes Kepler-Gesetz aus Gravitationsgesetz
Planeten laufen auf fast kreisförmigen Ellipsen mit Radius r
Gravitationskraft liefert Zentripetalkraft
M = Masse Zentralgestirn Sonne
FG = γ ⋅
⇒
r3
T2
M ⋅m
r
=
2
Die Quadrate der Umlaufzeiten T
verschiedener Planeten verhalten sich
wie die Kuben der großen Achse a
ihrer Ellipsenbahnen (1619)
m = Planetenmasse
= F p = m ⋅ω 2 ⋅ r = m
4π 2
T
2
⋅r
ω=
2π
T
γ ⋅M
= const
2
4π
Konstante unabhängig von
Planetenmasse m
Nur von Zentralgestirnmasse M abhängig ⇒
Für alle Planeten eines
Sonnensystems identisch!
Aus Konstante ist Masse
Zentralgestirns ermittelbar !
Ermittlung der Sonnenmasse
© H.Neuendorf
Galileis + Keplers Gesetze folgen direkt
aus fundamentaler Newtonschen Physik !
(9)
Impuls und exaktes 2.Axiom
→
Definition Impuls :
→
p := m ⋅ v
[ kg·m / s ]
Speziell → zeitlich konstante Masse
→
→
→
d
d
dm
dv
p = (m ⋅ v ) =
⋅v+ m⋅
dt
dt
dt
dt
⇒
Standardfall
→
:
Allgemeingültige Gleichung für Kraft erst durch
Berücksichtigung möglicher Massenänderungen
⇒ Richtige Fassung des 2.Axioms :
→
→
→ →
d
dv
= m⋅ a = F
p = m⋅
dt
dt
Vertrauter Ausdruck
F = m·a gilt nur für
konstante Masse !
Gegenbeispiele :
d → →
p=F
dt
⇒
→
→
d
dm →
= (m ⋅ v ) =
⋅v+ m⋅a
dt
dt
F = 0 N ⇔ p = const
→
p( t ) = m ( t ) ⋅ v ( t )
© H.Neuendorf
Planetenmasse nimmt durch
einfallende Materie zu
Der Impuls eines freien Teilchens ist konstant !
Allgemeine Definition des Impulses :
→
Rakete stößt Verbrennungsgase aus
→
→
d p = F ⋅ dt
Die Kraft muss über einen Zeitraum dt > 0s
einwirken, um eine Bewegungsänderung
hervorrufen zu können
Exaktes 2.Axiom
Beispiel für :
→
(10)
→
F ≠ m⋅a
Wenn :
→
v
m (t ) ≠ const
dm ( t )
kg
≠0
dt
s
Wagen laufe reibungsfrei in x-Richtung
Nur exaktes 2.Axiom
führt zu richtigen
Überlegungen !
1d-Problem
Keine äußere Krafteinwirkung in x-Richtung ⇒
x
Falsch :
Fx = m ⋅ a x = 0 N
Richtig :
Fx = 0 N =
Fx = 0N
⇒ ax = 0
m
s
2
⇒ v x = const
Fx = 0 N
Beobachtung :
Wagen wird
langsamer !
dp x
dv
dm (t )
dm (t )
= m (t ) ⋅ x + v x ⋅
= m (t ) ⋅ a x + v x ⋅
dt
dt
dt
dt
Keine Kraft in x-Richtung ⇒
a x (t ) = −
v x (t ) dm ( t )
⋅
⇒ a x (t ) < 0 ⇒ v x (t ) ↓
m ( t ) dt
Keine äußere Krafteinwirkung in x-Richtung.
Dennoch verändert sich die Geschwindigkeit !
© H.Neuendorf
Newtonsche Bewegungsgleichung - 2. Axiom
(28)
→
F res = m ⋅ a = m ⋅
Allgemeines Vorgehen
1. Aufstellen Bewegungsgleichung für System :
Zusammenfassung aller wirkenden Kräfte in 2.Axiom
= Bewegungsgleichung
→
2
→
d r (t )
dt 2
Wahl geeigneter Koordinaten !
2
→
d r (t )
dt 2
1 →
= ⋅ F res
m
2. Formulierung Randbedingungen : r0, v0 für t0 = 0 s
3. Integration der Bewegungsgleichung = Lösen Differentialgleichung :
Berechung Ortsvektor r(t) als Funktion der Zeit = Bahnkurve
Superpositionsprinzip der Kräfte
→
→
F res = ∑ F i
"4.Axiom"
Kraft wirkt auf Massenpunkt unabhängig von anderen Kräften
i
Kräfte werden vektoriell addiert
x
Problem :
Aufstellen der Bewegungsgleichung meist einfach – aber …
Lösen der Bewegungsgleichung = Differentialgleichung
nur in einfachen Fällen analytisch möglich !
Ausweg :
Numerische Integration !
© H.Neuendorf
ϕ
r
Lösung Bewegungsgleichung in einfachen Fällen
⇒ Direkte Integration
(29)
1. Kraft F ist null ⇒
Konstante Geschwindigkeit in Größe und Richtung = Geradlinig gleichförmige Bewegung
→
→
→
F
d v (t )
= a =0=
⇒
m
dt
→
→
d r (t ) →
v (t ) =
= v 0 = const ⇒
dt
→
→
→
r (t ) = r 0 + v 0 ⋅ t
2. Kraft F ist konstant in Größe und Richtung ⇒
Konstante Beschleunigung = Geradlinig gleichförmig beschleunigte Bewegung
→
→
→
F
d v (t )
=a=
⇒
m
dt
→
v (t ) =
→
→
→
d r (t )
= v 0 + a⋅ t ⇒
dt
→
→
→
→
r (t ) = r 0 + v 0 ⋅ t +
3. Kraft F ist konstant + steht senkrecht zur Bahn = konstante Normalkraft
a 2
t
2
⇒
Stets senkrecht zur Geschwindigkeit v ⇒ Ändert nicht Betrag von v, nur Richtung ⇒
Kreisbewegung :
Zentripetalkraft Richtung Mittelpunkt
→
→
F →
v2 →
2
= a p = − ⋅ e r = −ω ⋅ r ⋅ e r
m
r
v2
F = m ⋅ = m ⋅ω 2 ⋅ r
r
© H.Neuendorf
Zentripetalkraft
Stets antiparallel zu r(t)
Harmonischer ungedämpfter Oszillator
Bsp Federkraft
Masse gleitet reibungsfrei, schwingt an Feder hin- und her
Eindimensionales Problem : Koordinate x(t) genügt
(30)
Rückstellkraft F
Lösung Bewegungsgleichung in nichttrivialen Fällen
0
k2
Auslenkung x
Annahme: Hooksches Gesetz !
x0
k1 > k2
Federkonstante k
x
→
| F ( x ) |= k ⋅ x
m
→
F ( x ) = −k ⋅ x
→
→
F ( x)
F ( x)
Modellsystem :
Chemische Bindung,
Festkörper,
ElektronengasSchwingung …
Masse bei x > 0m
⇒ Feder gedehnt
⇒ Federkraft in -x Richtung
Masse bei x < 0m
⇒ Feder gestaucht ⇒ Federkraft in +x Richtung
⇒ Kraft F( x(t) ) hat stets zur Auslenkung x(t) entgegengesetztes Richtungsvorzeichen
⇒ F = - k·x
⇒ Rückstellkraft : Hemmt die weitere Auslenkung, wirkt ihr stets entgegen
© H.Neuendorf
Lösung Bewegungsgleichung : Harmonischer Oszillator
Kraft wirkt proportional zu und gegen Auslenkung x(t)
Randbedingungen t = 0s :
F ( x ( t )) = m ⋅ a = m ⋅
⇒
⇒
⇒
d2x
dt 2
d2x
dt 2
+
d 2 x (t )
dt
2
d 2 x (t )
m
s2
v(t = 0s) = v0
⇒
⇒
© H.Neuendorf
x0
(31)
m
F = - k·x
k : Federkonstante
Homogene Lineare Differentialgleichung zweiter
Ordnung mit konstanten Koeffizienten in x(t)
ω=
k
m
= −ω 2 ⋅ x ( t )
x (t ) = c1 ⋅ cos(ω ⋅ t ) + c 2 ⋅ sin(ω ⋅ t )
•
k
= − k ⋅ x (t )
k
m
⋅x =0 2
m
s
+ω 2 ⋅ x = 0
dt 2
x(t = 0s) = x0
x
Physik : Periodischer Vorgang !
Mathe : Gesucht ist Funktion, deren
zweite Ableitung gleich Negativen der
Funktion selbst ist mit Vorfaktor ω2
Lösungsansatz einer harmonischen
Bewegung → Cosinus und Sinus
Testen durch Einsetzen in DGL
Zeigt dass Ansatz korrekt ist !
x ( t ) = −c1ω ⋅ sin(ω ⋅ t ) + c 2ω ⋅ cos(ω ⋅ t )
••
x (t ) = −c1ω 2 ⋅ cos(ω ⋅ t ) − c 2ω 2 ⋅ sin(ω ⋅ t ) = −ω 2 ⋅ x (t )
Wie lauten Konstanten c1 und c2 ?
Einbau Randbedingungen ! …
Lösung Bewegungsgleichung : Harmonischer Oszillator
x
Bestimmung Faktoren (Amplituden) c1 und c2 aus zwei
vorgegebenen Randbedingungen für t = 0s :
k
1)
x (t = 0) = c1 = x 0
2) v ( t = 0) = x (t = 0) = c 2 ⋅ ω = v 0
x ( t ) = x 0 ⋅ cos(ω ⋅ t ) +
v0
ω
⇒ c2 =
v0
ω
⇒ x(t) = x0 cos (ωt)
⋅ sin(ω ⋅ t )
Sinus + Cosinus haben Periodizität 2π : cos(α) = cos( α+2π )
x (t ) = c1 ⋅ cos(ω ⋅ t ) + c 2 ⋅ sin(ω ⋅ t )
1d-Oszillator hat 2
Freiheitsgrade. Pro
Freiheitsgrad ist eine
Anfangsbedingung nötig.
DGL ist von zweiter
Ordnung. Somit zwei zu
bestimmende Konstanten
in Lösung enthalten.
⇒ cos(ω ⋅ t ) = cos(ω ⋅ (t + T )) = cos(ω ⋅ t + ω ⋅ T )
sin(ω ⋅ t ) = sin (ω ⋅ (t + T )) = sin(ω ⋅ t + ω ⋅ T )
⇒ ω ⋅ T = 2π
© H.Neuendorf
m
Speziell: Masse bei t = 0s mit
Auslenkung x0 mit v0 = 0 m/s
Periode T : Nach ∆t = T kompletter Zyklus = 1 Schwingung durchlaufen
x (t ) = x (t + T )
(32)
F = - k·x
•
⇒
x0
⇒ T=
2π
ω
= 2π ⋅
m
k
Periode T unabhängig
von Amplitude !
T=
1
⇒
f
ω = 2π ⋅ f
(33)
Wirkung der Gewichtskraft :
Bewegungsgleichung : Seil an Tischkante
Kleine Änderung - große Wirkung …
L
m
Gesamtlänge L
0m
Masse m
Kraft tritt mit positivem
Vorzeichen auf ⇒
Reibungsfrei !
Randbedingungen t0 = 0s :
x0
x
→
F ( x (t ))
x( 0s ) = x0
⇒
⇒
2
d x (t )
dt
2
2
d x (t )
d t2
=+
g
⋅ x (t )
L
= +λ ⋅ x (t )
2
x (t ) = c1 ⋅ e + λ ⋅t + c 2 ⋅ e − λ ⋅t
© H.Neuendorf
v( 0s ) = v0
F ( x ( t )) = + m ⋅ g ⋅
x (t )
d 2 x (t )
= m ⋅a = m ⋅
F ( x ( t )) = + m ⋅ g ⋅
L
d t2
λ=
g
L
Keine rücktreibende sondern
verstärkende Kraft ⇒
x (t )
L
Keine Schwingung sondern
selbstverstärkender Prozess :
Seil rutscht immer schneller
über die Tischkante
DGL unterscheidet sich nur im
Vorzeichen der Kraft von DGL des
harmonischen Oszillators
Dennoch ganz anderer Vorgang +
Ganz andere Lösungsfunktion x(t) !
Gesucht: Funktion, deren zweite Ableitung
bis auf Faktor mit Funktion übereinstimmt
Vergrößerung Auslenkung führt zu ständiger
Zunahme von Beschleunigung + Geschwindigkeit
solange noch Teil des Seils auf Tisch
Übung :
1. Testen der
Lösungsfunktion durch
Einsetzen!
2. Bestimmen der
Konstanten!
3. Warum reicht eine eFunktion als Lösung
nicht aus?
(34)
Bewegungsgleichung : Starres ideales Pendel
Starres Pendel r = const - mit Auslenkung ϕ0 losgelassen
ϕ
Rücktreibende Gravitationskraft F = m⋅g bewirkt Schwingung
r
m
Eindimensional : Auslenkwinkel ϕ(t) reicht zur Beschreibung
Zerlegung Kraft mg in zwei Komponenten
s = r·ϕ
a) parallel zu Stab : = mg cos(ϕ)
nicht beschleunigend
b) parallel zu Bahn : = - mg sin(ϕ)
beschleunigende Rückstellkraft
ds = r ⋅ dϕ
ds
dϕ
dv
d 2ϕ
⇒ v = =r⋅
⇒ a=
=r⋅ 2
dt
dt
dt
dt
⇒ F = m ⋅a = m ⋅r ⋅
⇒
d 2ϕ
dt
d 2ϕ
dt 2
2
d 2ϕ
dt
2
g
+ ⋅ sin ϕ = 0 s − 2
r
+ ω 2 ⋅ ϕ = 0s −2
= − m ⋅ g ⋅ sin ϕ
≈
ω=
d 2ϕ
dt 2
g
r
g
+ ⋅ ϕ = 0 s −2
r
Weg entlang Kreisbogen
Winkel im Bogenmaß
Leichte Lösbarkeit nur
durch Linearisierung der
Bewegungsgleichung
ϕ << 1 ⇒ sin(ϕ) ≈ ϕ
Anfangsbedingung t = 0s :
ϕ(t=0s) = ϕ0
Identische mathematische Struktur wie harmonischer Oszillator !
© H.Neuendorf
mg
v(t=0s) = v0 = 0m/s
(35)
Bewegungsgleichung : Starres ideales Pendel
Übernahme Lösungsansatz vom harmonischen Oszillator :
ϕ
r
ϕ (t ) = c1 ⋅ cos(ω ⋅ t ) + c 2 ⋅ sin(ω ⋅ t )
m
Faktoren c1 und c2 aus Randbedingungen für t = 0s :
1) ϕ (t = 0 s ) = c1 = ϕ 0
•
2) v ( t = 0 s ) ⇒ ϕ ( t = 0 s ) = c 2 ⋅ ω
s = r·ϕ
mg
•
speziell : ϕ (t = 0 s ) = 0 s −1 ⇒ c 2 = 0
⇒ ϕ (t ) = ϕ 0 ⋅ cos(ω ⋅ t )
ϕ (t ) = ϕ (t + T )
Periodischer Vorgang - Periode T durch 2π-Periodizität festgelegt :
⇒ cos( ω·(t+T) ) = cos( ω·t + ω·T ) = cos( ω·t )
Galilei : Die Schwingungsdauer T des
Pendels ist unabhängig von seiner Masse
und unabhängig von seiner Amplitude !
Nur Näherung !!
⇒ ω·T = 2·π
ω=
g
r
r 1
T = 2π ⋅
=
g f
ϕ(t)
t
Für größere Amplituden wächst T mit der Amplitude - und
Bewegung ist nicht mehr harmonisch
→ Simulation im Rechner …
© H.Neuendorf
Ortsraumdarstellung
Phasenraumdarstellung : Analyse Periodizität + Stabilität von Systemen
Auftragung Geschwindigkeit dx / dt gegen Ort x(t)
Eigenschaften :
Analog für Oszillator, Pendel und andere osz. Systeme
x ( t ) = − x 0 ⋅ ω ⋅ sin(ω ⋅ t )
1. Ungedämpfter periodischer
Vorgang hat im Phasenraum eine
geschlossene Bahn
•
Muss aber kein Kreis sein !
x (t ) = x 0 ⋅ cos(ω ⋅ t )
•
ϕ (t ) = ϕ 0 ⋅ cos(ω ⋅ t ) ϕ (t ) = −ϕ 0 ⋅ ω ⋅ sin(ω ⋅ t )
•
•
x (t ) ϕ (t )
,
ω
ω
Für das nicht-linearisierte
reale Pendel erhält man
keinen exakten Kreis !
2
Abweichung wächst mit
Amplitude !
1
1
x (t ), ϕ (t )
2. Zeichen für Energieerhaltung →
Zyklische Umwandlung E pot ↔ E kin
3. Bei Dämpfung ⇒ Spirale zum
Ursprung = Attraktor
System kommt zum Stillstand
4. Kennzeichen nichtperiodischer
chaotischer Vorgänge ist nichtgeschlossene, nicht-periodische
Bahn
2
1 = Umkehrpunkte → Max. Auslenkung , Geschwindigkeit = 0 m/s
2 = Nulldurchgang → Max. Geschwindigkeit , Auslenkung = 0 m
© H.Neuendorf
(36)
(37)
Lösung Bewegungsgleichung : Gekoppelte Oszillatoren
Eindimensionales Problem - 2 Koordinaten (x1, x2)
2 identische Massen m
Kopplung mit 3 identischen Federn → Konstante k
Auslenkungen aus Gleichgewichtslagen ⇒ Kräfte :
x1, x2 und Relativauslenkung (x2 - x1)
Vorzeichen : Unterschiedliche Richtung Federkraft relativ zu Auslenkrichtung
F1 = − k ⋅ x1
F2 = ± k ⋅ ( x 2 − x1 )
F3 = −k ⋅ x 2
Modell zur Behandlung von thermischen
Schwingungsanregungen im kristallinen
periodischen Festkörpergitter
Resultierende Kräfte auf Massen ⇒ Bewegungsgleichungen für x1(t) und x2(t) :
m⋅
m⋅
d 2 x1
dt 2
d 2 x2
dt
2
= − k ⋅ x1 + k ⋅ ( x 2 − x1 ) = k ⋅ ( x 2 − 2 x1 )
Dehnung mittlere Feder wenn x2 > x1
= −k ⋅ x 2 + k ⋅ ( x1 − x 2 ) = k ⋅ ( x1 − 2 x 2 )
Somit wirkt mittlere Feder mit
unterschiedlichem Vorzeichen auf die
beiden Massen ein.
Gekoppelte DGL zweiter Ordnung
© H.Neuendorf
Zieht Masse 1 nach rechts und Masse 2
nach links.
Harmonischer Schwingungsansatz …
(38)
Lösung Bewegungsgleichung: Gekoppelte Oszillatoren
Harmonischer Schwingungsansatz :
C1 ⋅ cos(ω ⋅ t ) + C 2 ⋅ sin(ω ⋅ t )
Spezielle einfache Randbedingung t = 0s : Massen nur ausgelenkt, nicht bewegt
⇒ Nur Cosinus-Term anzusetzen :
x1 ( t ) = A ⋅ cos(ω ⋅ t )
Ansatz identischer Frequenzen für beide Massen
durch Symmetrie des Problems gerechtfertigt
x 2 (t ) = B ⋅ cos(ω ⋅ t )
Einsetzen in DGLs :
− A ⋅ m ⋅ ω 2 cos(ω ⋅ t ) = k ⋅ ( B − 2 A) ⋅ cos(ω ⋅ t )
⇒ − A ⋅ m ⋅ ω 2 = k ⋅ ( B − 2 A)
− B ⋅ m ⋅ ω 2 cos(ω ⋅ t ) = k ⋅ ( A − 2 B ) ⋅ cos(ω ⋅ t )
⇒ − B ⋅ m ⋅ ω 2 = k ⋅ ( A − 2B)
Gleichungssystem für Frequenzen und Amplituden :
−ω 2 =
k ( B − 2 A) k ( A − 2 B )
⇒ B 2 − 2 AB = A 2 − 2 BA ⇒ B 2 = A 2
⋅
= ⋅
m
A
m
B
a) A = + B ⇒ ω 2 =
k
m
3k
a) A = −B ⇒ ω =
m
2
© H.Neuendorf
Massen schwingen langsam
in gleicher Richtung
Massen schwingen schnell
gegeneinander
2 Grund-Moden 2 Eigenfrequenzen
Allgemeine komplizierte
Bewegung durch
Linearkombination der
einfachen Grenzfälle
Lösung Bewegungsgleichung :
(39)
Reibung
Körper unterliege bremsender Reibungskraft proportional Geschwindigkeit
Anfangsbedingungen t 0 = 0s :
→
→
→
dx
F = −c v = −c ⋅
dt
v(t0) = v0
x(t0) = x0 = 0 m
1d Problem!
v0
d2x
dx
⇒ F = m ⋅ 2 = −c ⋅
dt
dt
0m
x(t)
Vereinfachung indem zuerst nur Geschwindigkeit betrachtet wird :
m⋅
d2x
dt 2
dx
= −c ⋅
dt
dv
⇔ m ⋅ = −c ⋅ v ⇒
dt
dv
c
= − ⋅ dt
v
m
Laminare,
nicht-turbulente
Verhältnisse !
Lösung DGL durch Trennung der Variablen + beidseitige Integration
dv
c
= − ⋅ dt
v
m
→
dv
c
c
=
−
dt
⇒
ln
v
(
t
)
=
−
t + const
∫ v m∫
m
 c

 c 
 c 
⇒ v (t ) = exp − t + const  = exp − t  ⋅ e const = A ⋅ exp − t 
 m

 m 
 m 
 c 
 c 
⇒ v (t ) = A ⋅ exp − t  = v 0 ⋅ exp − t 
 m 
 m 
© H.Neuendorf
Geschwindigkeit fällt exponentiell
Umso rascher je größer c und je
kleiner m (Trägheit !)
Reibung
(40)
Integration der Geschwindigkeit liefert Ortsfunktion x(t) :
 c 
v (t ) = v 0 ⋅ exp − t  ⇒
 m 
 c 
x (t ) = ∫ v (t )dt = ∫ v 0 ⋅ exp − t  dt
 m 
m
 c 
⇒ x ( t ) = −v 0 ⋅ exp − t  + const
c
 m 
m
x (0 s ) = 0m ⇒ const = + v 0
c
Körper wird total abgebremst ⇒
Zurückgelegte Wegstrecke endlich !
m 
 c 
⇒ x ( t ) = v 0 ⋅ 1 − exp − t  
c 
 m 
v(t)
x(t)
lim x ( t ) = v 0
t →∞
m
= x max
c
Zeitkonstante :
τ=
m
c
v0/2
Halbwertszeit :
v0/e
t1 / 2 =
t1/2 τ
t
m
⋅ ln(2)
c
= ln(2) ⋅ τ
Exponentieller Prozess mit typischen Zeitdauern
© H.Neuendorf
t
Lösung Bewegungsgleichung:
(41)
Freier Fall mit Reibung
Körper unterliege bremsender Reibungskraft c·v(t) proportional Geschwindigkeit
Zugleich wirkt beschleunigende Gewichtskraft m·g
RB t 0 = 0s :
v(t0) = v0 = 0 m/s
Summe aller Kräfte geht ein :
Fges = m ⋅ a = m ⋅
d 2 x (t )
dt
2
= + m ⋅ g − c ⋅ v (t )
dv (t )
c
= g − ⋅ v (t ) ⇒ v (t ) = ?
dt
m
m
Laminare,
Verhältnisse !
FG = m ⋅ g
Reibungskraft hemmt stets die
Bewegung !
DGL
1.Ordnung
für v(t)
Zeigt stets in entgegengesetzte
Richtung wie beschleunigende
Gewichtskraft ⇒
Negatives Vorzeichen !
Gewichtskraft zeitlich konstant
Übung :
1. Lösen Sie die DGL für v(t) durch Trennung der Variablen !
2. Bestimmen Sie die Integrationskonstante aus der RB für v !
3. Welche Grenzgeschwindigkeit ergibt sich lim v (t ) = ?
t →∞
4. Hätte man diesen Wert auch "direkt" erhalten können ?
© H.Neuendorf
0
x
dv ( t )
⇒ m⋅
= m ⋅ g − c ⋅ v (t )
dt
⇒
FR = −c ⋅ v (t )
x(t0) = x0 = 0 m
Zeitliche Entwicklung Geschwindigkeit v(t) interessiert
1d
Reibungskraft wächst mit
Geschwindigkeit - hat somit
Anfangswert 0N
Integration der Bewegungsgleichung
Vorgehen in allen Fällen
→
→
F = m⋅a = m⋅
1. Dimension des Problems : 1dim ⇒
2
→
(43)
d r (t )
dt 2
Bsp : Harmonischer Oszillator
d 2 x (t )
m ⋅ a (t ) = m ⋅
dt 2
2. Identifizieren aller wirkenden Kräfte - inclusive Richtung relativ zu Bewegung !
→
→
F = −k ⋅ x (t )
3. Formulieren Randbedingungen für t = 0s :
t = 0 s : x (t = 0 s) =
x0
Ohne Randbedingungen
keine vollständige Lösung !
v (t = 0 s) = v0
4. Ansetzen der Bewegungsgleichung = Differentialgleichung
d 2 x (t )
= −k ⋅ x (t ) ⇔
m⋅
2
dt
d 2 x (t )
2
=
−
x (t )
ω
2
dt
5. Lösen der DGL : Sinnvoller Ansatz oder direktes mathematisches Verfahren
x (t ) = c1 ⋅ cos(ω ⋅ t ) + c 2 ⋅ sin(ω ⋅ t )
Homogene DGL :
Sinus, Cosinus, e-Fkt. und
deren Kombinationen …
© H.Neuendorf
(44)
Integration der Bewegungsgleichung
2
6. Prüfen des Ansatzes durch Einsetzen in die DGL :
d x (t )
2
=
−
x (t )
ω
2
dt
x (t ) = c1 ⋅ cos(ω ⋅ t ) + c 2 ⋅ sin(ω ⋅ t )
⇒
⇒
•
x ( t ) = −c1ω ⋅ sin(ω ⋅ t ) + c 2ω ⋅ cos(ω ⋅ t )
••
x (t ) = −c1ω 2 ⋅ cos(ω ⋅ t ) − c 2ω 2 ⋅ sin(ω ⋅ t ) =
= −ω 2 ⋅ (c1 ⋅ cos(ω ⋅ t ) + c 2 ⋅ sin(ω ⋅ t ) ) =
− ω 2 ⋅ x (t )
7. Bestimmen der Koeffizienten bzw. Integrationskonstanten durch Verwenden der
Randbedingungen → Einsetzen von t = 0s
x (t = 0) = x 0 = c1
⇒
© H.Neuendorf
x ( t ) = x 0 ⋅ cos(ω ⋅ t ) +
•
v ( t = 0) = x (t = 0) = v 0 = c 2 ⋅ ω
v0
ω
⋅ sin(ω ⋅ t )
⇒ c2 =
v0
ω
(45)
Behandelte Beispiele
Harm. Oszillator
Lineares Pendel
Seil
Reibung
(Schwingung)
(Schwingung)
(Selbstverstärkung)
(Dämpfung)
d 2 x (t )
2
=
−
x (t )
ω
2
dt
d 2ϕ ( t )
2
=
−
⋅ ϕ (t )
ω
2
dt
k
m
g
r
ω=
T=
2π
ω=
d2x
c dx
=
−
⋅
2
m dt
dt
d 2 x (t )
2
=
+
x (t )
λ
2
dt
λ=
g
l
ω
x (t ) = x 0 ⋅ cos(ω ⋅ t )
ϕ (t ) = ϕ 0 ⋅ cos(ω ⋅ t )
Grundlegender physikalischer
Ansatz stets derselbe :
→
→
→
d 2 r (t )
F = m⋅a = m⋅
dt 2
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x (t ) =
x 0 λ ⋅t
⋅ (e + e − λ ⋅t )
2
Newtons Physik ist eine
Vereinheitlichende Theorie :
Durch axiomatische Gleichungen ist
Gesamtheit aller Naturvorgänge
qualitativ + quantitativ behandelbar !
x (t ) = v 0
m 
 c 
⋅ 1 − exp − t  
c 
 m 
(46)
Numerische Integration der Bewegungsgleichung
Prinzip : Iterative Summation kleiner Zuwächse zu Geschwindigkeit und Ort
Berechnung Geschwindigkeitzuwachs aus momentaner Beschleunigung
Berechnung Ortszuwachs aus momentaner Geschwindigkeit
Fges ( x , t )
dv (t )
k
k
= − x (t ) ⇒ dv (t ) = − x (t ) ⋅ dt
dt
m
m
⇒
Übergang zu diskreten Zeitschritten ∆t = Schrittweite
k
∆v (t n ) = − x (t n ) ⋅ ∆t ⇒ v (t n +1 ) = v (t n ) + ∆v (t n )
m
∆x ( t n ) = v ( t n ) ⋅ ∆t
⇒
Rückkopplung !!
d 2 x (t )
k
a=
x (t )
=
−
2
m
dt
x (t n +1 ) = x ( t n ) + ∆x (t n )
Bedeutung von :
n
Werte von x und v nach n Zeitschritten zur Zeit t = n ·∆t
n+1
Werte von x und v nach n+1 Zeitschritten zur Zeit t = (n+1) ·∆t
⇒ n = 0 entspricht t = 0 s : Durch Randbedingungen → x0 v0
∆v n = −
© H.Neuendorf
k
⋅ x n ⋅ ∆t
m
⇒ v n +1 = v n + ∆v n
x n +1 = x n + v n ⋅ ∆t
⇓
a ( x, t )
⇓
v ( x, t )
⇓
x (t )
Iterationsvorschrift :
(Schleife)
(47)
Numerische Integration der Bewegungsgleichung
Iteration:
∆v n = −
k
⋅ x n ⋅ ∆t
m
⇒ v n +1 = v n + ∆v n
// Entsprechendes Programmfragment :
double dt = 0.0001 ; double t = 0.0 ;
double xn = 0.5 ;
Einfachstes Verfahren :
// Schrittweite
double vn = 0.0 ; // Anfangsbedingungen
double dx, dv ;
double k = 10.0 ;
double m = 1.0 ;
while( true ) {
// phys. Größen
// Iteration
dv = - k / m * xn * dt ;
// Zuwachs Geschwindigkeit
dx = vn * dt ;
// Zuwachs Ort
// plot( t, xn ) ;
}
© H.Neuendorf
Zuverlässigkeit stark von
Schrittweite dt abhängig !!
Kontrolle durch Läufe des
Programms mit verschiedenen Schrittweiten
dt erforderlich !!
Bessere + kompliziertere
Verfahren : Runge-Kutta
t = t + dt ;
vn = vn + dv ;
x n +1 = x n + v n ⋅ ∆t
xn = xn + dx ;
// Neue Geschw. und Ort
Hier : DGL 2.Ordnung
Bei erster Ordnung noch
einfacher
Auftragen Orte gegen Zeit, grafische Ausgabe
Übung :
Epidemie-Beispiel …
FR = − c ⋅ v 2 ( t )
Numerische Integration: Freier Fall mit Reibung
Bremsende Reibungskraft
Beschleunigende Gewichtskraft
RB t 0 = 0s :
v(t0) = v0
m·g
Turbulente
Verhältnisse !
x
x(t0) = x0 = 0 m
Bewegungsgleichung :
m
0
- c·v2(t)
void main() {
FG = m ⋅ g
// Programm :
double g = 9.81 ;
Fges = m ⋅ a = m ⋅ g − c ⋅ v 2 (t )
⇒ a (t ) =
double c = 0.01 ;
double t = 0.0 ;
dv (t )
c
= g − ⋅ v 2 (t )
dt
m
double xn = 0.0 ;
double vn = 0.0 ;
double dx = 0.0 ;
double dv = 0.0 ;
while( true ) {
// Euler-Iteration
dv = ( g - c / m *vn*vn ) * dt ;
dv (t ) ∆v (t )
c
≡
= g − ⋅ v 2 (t )
dt
m
∆t
dx = vn * dt ;
vn = vn + dv ;
xn = xn + dx ;
t = t + dt ;
c


⇒ ∆v =  g − ⋅ v 2 ( t )  ⋅ ∆t
m


// plot( xn, t ) ;
}
}
© H.Neuendorf
double dt = 0.1 ;
// Startwerte = Anfangsbedingungen:
Euler-Verfahren :
a (t ) =
double m = 1.0 ;
plot( vn, t ) ;
(48)
(49)
Numerische Integration: Wagen auf Buckelpiste
Kräfte :
Federkräfte Stoßdämpfer und Reifen : - k·x
- c·v
Reibungskraft Stoßdämpfer :
Buckelpiste :
alle zwei Meter ein Maximum und Minimum
vz
m1
Parameter :
Masse Karosserie m1
x1 (t)
v1 (t)
Masse Reifen m2
Federkonstante Stoßdämpfer k1
k1
Dämpfungskonstante Stoßdämpfer c
c
Federkonstante Reifen k2
m2
k2
© H.Neuendorf
h(t) = h0 * sin( 2π·vz ·t / 4 )
x2 (t)
v2 (t)
RB x0 = 0 m
h0
v0 = 0 m/s
Numerische Integration: Wagen auf Buckelpiste
(50)
Gekoppelte Bewegungsgleichungen für x1(t) und x2(t) :
d 2 x1 (t )
dv1 (t )
m1
=
m
⋅
= −c ⋅ (v1 − v 2 ) − k1 ⋅ ( x1 − x 2 )
1
2
dt
dt
d 2 x 2 (t )
dv 2 (t )
m2
=
m
⋅
= −c ⋅ (v 2 − v1 ) − k1 ⋅ ( x 2 − x1 ) − k 2 ⋅ ( x 2 − h)
2
2
dt
dt
vz
Übung :
m1
x1 (t)
Code zur Simulation der Auf- und
Abbewegung der Karosserie x1(t) ?
v1 (t)
Wie fährt man also am besten über eine
Buckelpiste?
k1
c
Was hat das Ganze mit Resonanz zu tun?
m2
k2
© H.Neuendorf
x2 (t)
v2 (t)
h0
Numerische Integration: Wagen auf Buckelpiste
Ergebnis der Simulation für jeweils 30 s Fahrtzeit mit verschiedenen
Geschwindigkeiten vz zwischen 5 km/h und 50 km/h
© H.Neuendorf
(51)
Deterministisches Chaos: Chaotischer nichtlinearer Oszillator
Demonstration in
Vorlesung
(52)
System-Verhalten durch Bewegungsgl. + Randbedingungen vollständig determiniert :
Fges = m ⋅ a = −k ⋅ x 3 (t ) − c ⋅ v (t ) + F0 ⋅ cos(Ω ⋅ t )
t 0 : x0 , v 0
Macht
numerische
Simulationen
schwierig
Bewegungsablauf x(t) aufgrund komplexer Bewegungsform jedoch völlig
unperodisch und unvorhersehbar !
Extreme Empfindlichkeit von Anfangsbedingungen : Schon kleinste Änderungen der
Anfangswerte liefern nach kurzer Zeit starke Abweichungen von ursprünglichem Verlauf !
Schaches Kausalitätsprinzip : Gleiche Ursachen haben genau gleiche Wirkungen
Schach, da nur aus identischen Ursachen garantiert identische Wirkungen folgen
Starkes Kausalitätsprinzip :
Ähnliche Ursachen haben ähnliche Wirkungen
Stark, da schon aus bloß ähnlichen Ursachen garantiert ähnliche Wirkungen folgen - Reguläre Systeme
Unsere Umwelt folgt großteils dem starken Kausalitätsprinzip - andernfalls könnten wir nicht
überleben und uns orientieren oder sinnvoll planen.
Chaotische Systeme folgen jedoch nicht dem starken Kausalitätsprinzip !
Weitere Beispiele :
Notwendige aber nicht hinreichende
Bedingung für Chaos:
Nichtlinearität + Rückkopplung
Wetter
Federpendel
Ursache
Wirkung
Reguläres Verhalten
© H.Neuendorf
Ursache
Wirkung
Chaotisches Verhalten
Glücksspiele …
(53)
Numerische Integration : Fehler des Verfahrens → Bsp x(t)
Änderungsrate von x(t) durch v(t) gegeben ⇒ Neuer Zustandswert x(t) gesucht
dx (t )
= v (t ) ⇒
dt
⇒
v(t)
t2
x (t 2 ) = x (t1 ) + ∫ v ( t )dt
t1
Näherung einfaches Euler-Verfahren
umso besser je kleiner ∆t
x ( t 2 ) = x neu = x alt + Änderung ≈ x (t1 ) + v (t1 ) ⋅ (t 2 − t1 )
Integral = Fläche durch
Rechteck angenähert
Fehler
Fehler schaukeln sich
in den zahlreichen
Iterationen auf, da mit
immer ungenaueren
Zwischenwerten
weitergerechnet wird
Gesamtfehler
Diskretisierungsfehler
Euler-Verfahren
t1
∆t
t2
Es gibt optimale Schrittweite ∆t
t
Rundungsfehler
Fließkomma-Berechnungen
∆topt
Schrittweite ∆t
Schritweise ∆t groß ⇒ Wenig Iterationen ⇒ Kleinere Rundungsfehler - aber Integration ungenau
Schritweise ∆t klein ⇒ Viele Iterationen ⇒ Integration genauer - aber größere Rundungsfehler
© H.Neuendorf
Numerische Integration : Fehler des Euler-Verfahrens
Exakte Lösung
EulerApproximation
Lösung mit Schrittweite dt = 0.5 s
Beispiel :
dx (t )
= α ⋅ x (t ) ⇒
dt
Problem des Euler-Verfahrens ist
die nur langsame Konvergenz mit
kleiner werdender Schrittweite dt
© H.Neuendorf
Lösung mit Schrittweite dt = 0.1 s
x ( t ) = x 0 ⋅ e α ⋅t
Abhilfe bringen deutlich schneller
konvergierende Mehrschrittverfahren
wie Runge-Kutta-4
(54)
Exkurs : Num. Integration Runge - Kutta 4
(RK4)
Wesentliche Verbesserung Rechengenauigkeit ∝ O( ∆t5 )
Prinzip :
(55)
Genaue Herleitung mathematisch
aufwändig
Umsetzung weniger intuitiv als bei
Euler-Verfahren
Berechnung von 4 Änderungsgrößen = Anstiegen pro Zeitintervall ∆t unter Verwendung
vorausgegangener Änderungen + gewichtete Mittelung über alle 4 Änderungsgrößen
Vereinfachte Darstellung für nur eine Variable und Zeit :
dy
= f ( y,..., t )
dt
k1 = f ( yn ( t ), t )
∆t
∆t
k2 = f  yn ( t ) + ⋅ k1 , t + 
2
2

∆t
∆t
k3 = f  yn ( t ) + ⋅ k2 , t + 
2
2

k4 = f ( yn ( t ) + ∆t ⋅ k3 , t + ∆t )
→
© H.Neuendorf
dy
= f ( y) = a ⋅ y ⋅ (1 − y)
dt
Epidemie-Bsp :
k1 = a ⋅ yn ⋅ (1 − yn )
∆t
∆t


k2 = a ⋅  yn ( t ) + ⋅ k1  ⋅ 1 −  yn ( t ) + ⋅ k1  
2
2

  

∆t
∆t


k3 = a ⋅  yn ( t ) + ⋅ k2  ⋅ 1 −  yn ( t ) + ⋅ k2  
2
2

  

k4 = a ⋅ ( yn ( t ) + ∆t ⋅ k3 ) ⋅ (1 − ( yn ( t ) + ∆t ⋅ k3 ))
→
1
yn+1 ( t + ∆t ) = yn ( t ) + ⋅ ∆t ⋅ (k1 + 2 ⋅ k2 + 2 ⋅ k3 + k4 )
6
1
yn+1 ( t + ∆t ) = yn ( t ) + ⋅ ∆t ⋅ (k1 + 2 ⋅ k2 + 2 ⋅ k3 + k4 )
6
Der k1-Term ist der
Anstiegsterm des
Euler-Verfahrens !
Numerische Integration mit Runge- Kutta - 4
Weiteres Beispiel : DGL zweiter Ordnung ohne t-Term
⇒ zwei Funktionen für zwei Variablen ....
⇒
dx
= v = f1
dt
k1 x = vn
k1v = −ω 2 ⋅ xn
∆t
⋅ k1v
2
∆t
k2 v = −ω 2 ⋅  xn + ⋅ k1 x 
2


k3 x = vn +
∆t
⋅ k2 v
2
∆t
k3v = −ω 2 ⋅  xn + ⋅ k2 x 
2


k4 x = vn + ∆t ⋅ k3v
k4 v = −ω 2 ⋅ ( xn + ∆t ⋅ k3 x )
Der k1-Term ist der
Anstiegsterm des
Euler-Verfahrens !
Wechselseitige
Verwendung der Anstiege
in den StützstellenBerechnungen
1
xn+1 ( t + ∆t ) = xn ( t ) + ⋅ ∆t ⋅ (k1 x + 2 ⋅ k2 x + 2 ⋅ k3 x + k4 x )
6
1
→ vn+1 ( t + ∆t ) = vn ( t ) + ⋅ ∆t ⋅ (k1v + 2 ⋅ k2 v + 2 ⋅ k3v + k4 v )
6
© H.Neuendorf
d x(t )
2
=
−
x(t )
ω
2
dt
dv
= −ω 2 ⋅ x = f2
dt
k2 x = vn +
→
(56)
2
Numerische Integration mit Runge- Kutta - 4
Weiteres Beispiel : DGL zweiter Ordnung ohne t-Term
⇒ zwei Funktionen für zwei Variablen ....
(57)
d 2 x(t )
2
=
−
⋅ x( t ) − c ⋅ v( t )
ω
2
dt
Gedämpfter eindimensionaler Oszillator
dx
⇒
= v = f1
dt
k1 x = vn
dv
= −ω 2 ⋅ x − c ⋅ v = f2
dt
k1v = −ω 2 ⋅ xn − c ⋅ vn
Wechselseitige
Verwendung der Anstiege
in den StützstellenBerechnungen
k2 x = vn +
∆t
⋅ k1v
2
∆t
∆t
k2 v = −ω 2 ⋅  xn + ⋅ k1 x  − c ⋅  vn + ⋅ k1v 
2
2




k2 x = vn +
∆t
⋅ k2 v
2
∆t
∆t
k3v = −ω 2 ⋅  xn + ⋅ k2 x  − c ⋅  vn + ⋅ k2 v 
2
2




k2 x = vn + ∆t ⋅ k3v
→
k4 v = −ω 2 ⋅ ( xn + ∆t ⋅ k3 x ) − c ⋅ (vn + ∆t ⋅ k3v )
1
xn+1 ( t + ∆t ) = xn ( t ) + ⋅ ∆t ⋅ (k1 x + 2 ⋅ k2 x + 2 ⋅ k3 x + k4 x )
6
1
→ vn+1 ( t + ∆t ) = vn ( t ) + ⋅ ∆t ⋅ (k1v + 2 ⋅ k2 v + 2 ⋅ k3v + k4 v )
6
© H.Neuendorf