Fabry-Perot

2. Wellenoptik
2.1. Interferenz
 
 
Überlagerung (Superposition) von Lichtwellen i mit
E r , t    Ei r , t 
gleicher Frequenz ,
i
gleicher Wellenlänge ,
gleicher Polarisation und
gleicher Ausbreitungsrichtung
aber
unterschiedlicher Phasenlage  im Punkt P zur Zeit t,
Ausbreitung in Medien mit unterschiedlichen Brechungsindex ni:
1
  
 


E1 r , t   E0 sin  t  k r  1 
2

  
 


E 2 r , t   E0 sin  t  k r  2 
2 

Phasendifferenz  
1  2

2
2
umschreiben von  auf Differenz l der optischen
Weglängen gibt:
 
2
n1r1  n2 r2   2 l


mit
l  n1r1  n2 r2
als Gangunterschied   kr
2
r

Beachte:
Lichtgeschwindigkeit ci im Medium i
ci 
ci 
1
 0  r ,i  0  r ,i
c0
ni

c0
 r ,i  r ,i
c0

mit
 r ,i
r  1
Wellenlänge i im Medium i:
maximale Verstärkung (konstruktive Interferenz):
   2 z 
z = 0, 1, 2, …
i 

ni
mit c i   i , c 0   
Phasendifferenz
Gangunterschied
l   z
maximale Auslöschung (destruktive Interferenz):
   2 z  1
l  

2 z  1
2
z = 0, 1, 2, …
Phasendifferenz
Gangunterschied
2
2.2. Kohärenz
Bedingung für räumlich und zeitlich konstantes Interferenzmuster:
interferierende Wellen müssen kohärent sein
Kohärenz: Wellen sind kohärent, wenn Zeitabhängigkeit der Amplitude bis auf
Phasenverschiebung  gleich ist
Problem:
Ein Atom emittiert nicht kontinuierlich (zeitlich) eine elektromagnetische Welle,
sondern nur für einen bestimmten Zeitraum, d. h. Dauer des Emissionsvorganges
Resultat ist ein zeitlich und örtlich begrenzter Wellenzug
Kohärenzlänge: maximale Weglängenunterschied Lc, den zwei Wellenzügen, die derselben
Quelle entstammen, haben dürfen, damit bei ihrer Überlagerung noch ein
Interferenzmuster entsteht, ist bestimmt durch mittlere Länge des von einem
einzelnen Atom ausgesandten Wellenzuges (emittierten Lichtes)
c
Lc  v  c   c
c – Kohärenzzeit
n
Kohärenzzeit: maximaler Laufzeitunterschied c zwischen zwei Wellenzügen,
mittlere Dauer des Emissionsvorganges
C 
Beachte:
1

 - spektralen Frequenzbreite
Wellenzüge die zur Interferenz gebracht werden sollen,
müssen in der Regel von gleicher Lichtquelle stammen
3
Weitere Bedingung für Interferenz:
Optische Kohärenz der interferierenden Wellen
Wellenzug:
elektrische
Feldstärke
elektrische
Feldstärke
Zeit
Kohärenzzeit C
Ort
Kohärenzlänge
LC
Einstellen der Kohärenzlänge: 2 Verfahren
a) durch Dauer t des Wellenzuges eines optischen Impulses: LC = c0 t
Beispiel: Femtosekundenlaser: t = 10 fs → LC = 3 µm
b) durch breites Spektralband  der Lichtquelle: LC  0,5 (2peak/ )
Beispiel: rote Super-LED: peak = 640 nm;  = 100 nm → LC = 2 µm4
2.3 Interferenz durch Reflexion
2.3.1 Michelson Interferometer
Gangunterschied (n = 1):
l  2d 2  2d1
mit max. Verstärkung bei:
l   z
Auslöschung bei Änderung
von l bzw. d2 um:
l  

2 z  1
2
d 2  2 z  1 / 4
Anwendung: - Michelson-Experiment (Unabhängigkeit der Lichtgeschwindigkeit vom
Bewegungszustand des Beobachters)
- sehr präzise Längenmessungen (Werkzeugmaschinenbau
Exp.: Michelson-Interferometer
5
2.3.2 Newtonsche Ringe
Anwendung: Bestimmung von Linsenradien und Gütekontrolle
Exp.: Newtonsche-Ringe
6
2.3.3 Vielfachinterferenz an planparallelen Platten
a) Prinzip:
sin 
sin 
n1 = 1 (Luft)
 n2
7
8
l  2dn2 1 
sin 2 
n 22


2
Interferenzbild: Im reflektierten Licht entsteht System von hellen und dunklen Ringen.
Anwendung:
Antireflexionsschicht
Exp.: Interferenz an dünnen Glimmerplättchen
9
b) Fabry-Perot-Interferometer:
Vielstrahlinterferenz an zwei planparallelen, teilweise verspiegelten Grenzflächen
 Überlagerung von sehr vielen Teilwellen
senkrechter Einfall,
 =  = 0:
Interferenzordnung m, kann sehr hoch sein (104 – 106)
 Auflösung sehr kleiner Wellenlängendifferenzen ( = 10-4 nm)
Exp.: Fabry-Perot-Interferometer
Etalon ist durchlässig
für Wellenlängen mit
m 
2dn
m
10
2.4. Interferenz durch Beugung
2.4.1. Beugung am Einzelspalt
Grundlage: Huygensches Prinzip:
Jeder Punkt einer Wellenfläche wirkt wie ein Streuzentrum, von dem eine Kugelwelle ausgeht.
Wellenfläche ist Tangente an Kugelwellen zur Zeit t
Wellenfläche zur Zeit: t0 + t
t0
Beugung am Spalt:
r0 + c t
r0
Wellenfläche als Tangente
an Kugelwellen, die zu
gleicher Zeit entstanden sind
Wellenfläche als Tangente
an Kugelwellen, die zu
verschiedenen Zeiten
entstanden sind
11
- Zerlegung in Teilbündel entsprechend Huygensches Prinzip, z. B. zwei Teilbündel, die von
unteren und mittleren bzw. mittleren und oberen Strahl begrenzt werden
Wellenfläche
Intensitätsminimum – Auslöschung
- Annahme: Gangunterschied zwischen oberen und unteren Randstrahl  = :
es existiert zu jedem Strahl in den beiden Teilbündeln ein anderer Strahl, der einen
Gangunterschied von /2 besitzt.
Damit Intensitätsminimum - Auslöschung bei:   d  sin    z
z = 1, 2, 3,...
12
- Zerlegung in Teilbündel entsprechend Huygensches Prinzip, z. B. zwei Teilbündel, die von
unteren und mittleren bzw. mittleren und oberen Strahl begrenzt werden
Wellenfläche
Intensitätsmaximum – Verstärkung
- Annahme: Gangunterschied zwischen oberen und unteren Randstrahl  = 3/2 :
Zerlegung in drei Teilbündel, es existiert zu jedem Strahl in den zwei benachbarten Teilbündeln
ein anderer Strahl, der einen Gangunterschied von /2 besitzt und damit zur Auslöschung der
beiden Teilbündel führt,
das dritte Teilbündel führt aber zum Intensitätsmaximum


Damit Intensitätsmaximum - Verstärkung bei:   d  sin    z 
1

2
z = 1, 2, 3,...
13
Verallgemeinerung:
Zerteile Spalt in sehr große Anzahl N von Strahlen im Abstand g, mit N  g  d
Einzelintensität eines Strahles ist jeweils das
1
- fache der Gesamtintensität ist.
N
Summation führt für N   auf:
 sin  
I    I 0 
 
Spaltfunktion:



2
mit
 
d
 sin 

,
Exp.: Beugung am Einzelspalt und an Lochblende
14
Verallgemeinerung:
Zerteile Spalt in sehr große Anzahl N von Strahlen im Abstand g, mit N  g  d
Einzelintensität eines Strahles ist jeweils das
1
- fache der Gesamtintensität ist.
N
Summation führt für N   auf:
 sin  
I    I 0 
 
Spaltfunktion:



2
mit
,
 
d
 sin 

Beachte bei Lochblende mit Radius R:
1. Beugungsminimum bei
sin  
1,22 
2R

Auflösungsvermögen x

min
einer Linse:
sin 
Erhöhung des Auflösungsvermögen durch
Immersionsflüssigkeit (n > 1):
Exp.: Beugung am Einzelspalt und an Lochblende
x min 
0
n sin 
15
2.4.2. Beugung am Mehrfachspalt - Gitter
Beugungsgitter
- große Anzahl (N) paralleler Spalten gleichen Abstands (d - Gitterkonstante) und gleicher
Breite (b)
- einfallende Welle wird an Spalten gebeugt
Wellenflächen als Tangente
an Kugelwellen die zu
gleicher Zeit entstanden sind
Wellenfläche als Tangente
an Kugelwellen, die zu
verschiedenen Zeiten
entstanden sind
16
Intensitätsmaximum
- gebeugte Strahlen haben Gangunterschied
  d  sin    z  
z = 1, 2, 3,...
17
Verallgemeinerung:
b << d, N sehr groß, Summation über gebeugte Strahlen unter Beachtung der Beugung
an einzelnen Spalten
Gitterfunktion
 2   b 

sin
sin

 


2

  sin N  
 


I    I 0 


2
2


sin



b





sin 2  


   

Beugung an einzelnen Spalten,
verschwindet für b << d,
bzw..  b << 
Berechnung
N = 10
mit
 
d
 sin 

Beugung am Gitter
N = 1000
 sin 2 N  
I G    I 0  

2
 sin    
Exp.: Beugung am Gitter
18
2.4.3. Röntgen - Beugung
Beugung von Röntgenstrahlen an dreidimensionale (3D) Kristallgittern
= 0.02 nm – 0.2 nm (Röntgenstrahlen)
Kristallgitter:
- periodische Anordnung von Atomen (Moleküle)
- Beugung der Röntgenstrahlen an Atomen
Atome bilden verschiedene Netzebenen (gestrichelt) an den Röntgenstrahl selektiv reflektiert wird
Intensitätsmaximum:
Röntgenstrahlen
Netzebenen
Bragg – Gleichung:
2d sin   z
Experiment: - Modell Röntgen-Beugung mit Mikrowellen
z = 1, 2, 3,...
19
Intensitätsmaximum:
d - Netzebenenabstand
Bragg – Gleichung:
2d sin   z
mit
z = 1, 2, 3,...
(begrenzt durch Bedingung sin   1 )
Exp.: Modell Röntgen-Beugung mit Mikrowellen
20
Exp.: Röntgenbeugung an LiF
21