a) Bestimmen der Wahrscheinlichkeiten für die gegebenen
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Nordrhein-Westfalen | Abitur (Grundkurs TR/GTR) Prüfungswissen | Original-Prüfungen ◮ Abitur 2014 | Aufgabe 5 Lösungsblatt (ausführlich) a) ◮ Bestimmen der Wahrscheinlichkeiten für die gegebenen Ereignisse Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass die Zuschauerzahlen in der FußballBundesliga in der Saison 2011/12 einen Rekord erreichten. In dieser Saison waren pro Spiel durchschnittlich mehr als 40.000 Zuschauer, wobei das Publikum mittlerweile zu 25 % weiblich ist. Weiterhin kannst du der Aufgabenstellung entnehmen, dass dieser Prozentsatz im Folgenden als Wahrscheinlichkeit verwendet werden soll. Das heißt: Mit einer Wahrscheinlichkeit von 25 % ist der Zuschauer eines Bundesliga-Spiels weiblich. Die Aufgabe gibt dir weiterhin 3 Ereignisse vor, zu welchen du die Wahrscheinlichkeiten berechnen sollst. Diese Ereignisse lauten: Unter 200 bei einem Bundesliga-Spiel ausgewählten Zuschauern, befinden sich (1) genau 48 weibliche Zuschauer. (2) mindestens 35 und höchstens 60 weibliche Zuschauer. (3) eine Anzahl von weiblichen Zuschauern, die um mindestens 10 von ihrem Erwar- tungswert abweicht. Da hier in allen drei Fällen die Anzahl der weiblichen Zuschauer unter den 200 befragten Zuschauern behandelt wird, betrachten wir hier die Zufallsvariable X, welche die Anzahl der weiblichen Zuschauer unter den 200 befragten repräsentiert. Da die Zufallsvariable X mit „Zuschauer ist weiblich“ „Zuschauer ist nicht weiblich“ nur zwei Ausprägungen besitzt und die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Zuschauer weiblich ist, mit 25 % als konstant angegeben ist (Ziehen mit Zurücklegen) kann X hier als binomialverteilt angenommen werden. X ist also mit p = 0, 25 und n = 200 binomialverteilt. Berechnen der Wahrscheinlichkeit für Ereignis (1) Mit der Zufallsvariable X kannst du nun die Wahrscheinlichkeit für das erste Ereignis berechnen. Dieses lautete: Unter 200 bei einem Bundesliga-Spiel bei einem Bundesliga-Spiel ausgewählten Zuschauer befinden sich genau 48 weibliche Zuschauer. Das heißt, hier musst du die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass X einen Wert von 48 annimmt. In Formeln ausgedrückt also: P(X = 48) Beim Lösen dieser Aufgabe gibt es hier 2 Wege, die Berechnung mit deinem GTR und die Lösung mit der Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung. Berechnen der Wahrscheinlichkeit für Ereignis (2) Ereignis (2) war gegeben mit: Unter den 200 befragten Zuschauern befinden sich mindestens 35 und höchstens 60 weibliche Zuschauer. Auch hier betrachtest du wieder die Zufallsvariable X. Willst du hier die Wahrscheinlichkeit © Karlsruhe 2014 | SchulLV | Robert Waddell, Anna-Lena Ellerbrake Seite 1/6 Vervielfältigung nur innerhalb einer Lehrer-/Klassen- oder Schullizenz und mit Hinweis auf MatheLV erlaubt. www.MatheLV.net Nordrhein-Westfalen | Abitur (Grundkurs TR/GTR) Prüfungswissen | Original-Prüfungen ◮ Abitur 2014 | Aufgabe 5 Lösungsblatt (ausführlich) für das gegebene Ereignis berechnen, so muss für X gelten: 35 ≤ X ≤ 60 Du musst also die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass X nur Werte zwischen 35 und 60 annimmt. Um die Wahrscheinlichkeit dafür zu berechnen, dass X einen Wert zwischen 35 und 60 annimmt, musst du von der Wahrscheinlichkeit, dass X einen Wert von kleiner gleich 60 annimmt, die Wahrscheinlichkeit dafür subtrahieren, dass X eine Wahrscheinlichkeit kleiner gleich 34 annimmt. Hast du die Wahrscheinlichkeit wie folgt umgeformt, so kannst du zur Berechnung deinen GTR bzw. die Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung verwenden. P(35 ≤ X ≤ 60) = P(X ≥ 35) + P(X ≤ 60) = P(X ≤ 60) − P(X < 35) = P(X ≤ 60) − P(X ≤ 34) Berechnen der Wahrscheinlichkeit für Ereignis (3) Ereignis (3) war gegeben mit: Unter den 200 befragten Zuschauern befindet sich eine Anzahl von weiblichen Zuschauern, die um mindestens 10 von ihrem Erwartungswert abweicht. Da hier mit X eine binomialverteilte Zufallsvariable vorliegt, berechnet sich deren Erwartungswert über die folgende Formel: E=n·p Hast du den Erwartungswert E von X berechnet, so musst du die Wahrscheinlichkeit für die Abweichung um 10 von diesem berechnen. Eine Abweichung um 10 vom Erwartungswert schließt dabei eine Abweichung nach oben und nach unten ein. Die hier gesuchte Wahrscheinlichkeit P3 ergibt sich also über folgenden Ansatz: P3 = P(X ≤ (E − 10)) + P(X ≥ (E + 10)) Willst du die hier vorliegende Wahrscheinlichkeit wie oben berechnen, so musst du diese auch hier zunächst mit dem Gegenereignis umformen. © Karlsruhe 2014 | SchulLV | Robert Waddell, Anna-Lena Ellerbrake Seite 2/6 Vervielfältigung nur innerhalb einer Lehrer-/Klassen- oder Schullizenz und mit Hinweis auf MatheLV erlaubt. www.MatheLV.net Nordrhein-Westfalen | Abitur (Grundkurs TR/GTR) Prüfungswissen | Original-Prüfungen ◮ Abitur 2014 | Aufgabe 5 Lösungsblatt (ausführlich) b) ◮ Ereignis E im Sachzusammenhang beschreiben Hier sollst du nun ein Ereignis E im Sachzusammenhang beschreiben, dessen Wahrscheinlichkeit durch den folgenden Term berechnet werden kann: P(E) = 1 − 300 X 1000 k=0 k ! · 0, 25k · 0, 751000−k Den Wert des Terms musst du dabei aber nicht berechnen. Du kannst dir dabei zunächst überlegen, was der Term im mathematischen Sinn bedeutet und dies anschließend auf den Sachzusammenhang übertragen. Hierfür kannst du den Term in zwei Teile aufteilen und dir zunächst für diese beiden einzelnen Teile klarmachen, was sie bedeuten. P(E) = 1− 300 X 1000 k=0 k ! · 0, 25k · 0, 751000−k 1. Schritt: Mathematische Bedeutung Der grüne Teil 1− zeigt dir an, dass es hier um die Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Gegenereignisses geht. Und zwar berechnet P(E) die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses D, dessen Wahrscheinlichkeit durch den zweiten (roten) Teil des Terms berechnet wird. Der rote Teil des Terms hat eine bestimmte Form. Diese Form sollte dir bekannt vorkommen. Sie hat Ähnlichkeiten mit der Formel für die kumulierte Binomialverteilung, die du im vorherigen Aufgabenteil bereits in Form der Tabelle verwendet hast. Du weißt, dass für eine binomialverteilte Zufallsvariable X mit den Parametern n und p gilt: P( ≤ X ≤ b) = b X n k= k · pk · (1 − p)n−k c) (1) ◮ Ermitteln des zum Erwartungswert symmetrischen Intervalls Der Aufgabenstellung kannst du jetzt entnehmen, dass bei einem Bundesliga-Spiel 20.000 Zuschauer ins Stadion strömen. An die weiblichen Zuschauer soll dabei ein Flyer verteilt werden, welcher auf ein spezielles Getränkeangebot hinweist. Deine Aufgabe ist es dabei zunächst, auf Grundlage der 20.000 Zuschauer, das zum Erwartungswert symmetrische Intervall kleinster Länge zu bestimmen, in dem die Anzahl der weiblichen Zuschauer mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 0,9 bzw. 90 % liegt. Willst du diese Aufgabe hier lösen, so betrachtest du die Zufallsvariable Y, die die Anzahl der Frauen im Stadion beschreibt. Da sich insgesamt 20.000 Zuschauer im Stadion befinden, gilt für Y: n = 20.000. Weiterhin gilt für die Zufallsvariable Y, dass die Wahrscheinlichkeit, für das Befragen einer Frau bei 0,25 bzw. 25 % liegt (siehe Aufgabe zuvor). Nun sollst du ein 90 %-Konfidenzintervall um den Erwartungswert von Y bilden. Zum Lösen dieser, musst du hier die σ-Regeln anwenden. Gehe dabei so vor: © Karlsruhe 2014 | SchulLV | Robert Waddell, Anna-Lena Ellerbrake Seite 3/6 Vervielfältigung nur innerhalb einer Lehrer-/Klassen- oder Schullizenz und mit Hinweis auf MatheLV erlaubt. www.MatheLV.net Nordrhein-Westfalen | Abitur (Grundkurs TR/GTR) Prüfungswissen | Original-Prüfungen ◮ Abitur 2014 | Aufgabe 5 Lösungsblatt (ausführlich) Berechne zunächst die Standardabweichung von Y und stelle mit dieser sicher, ob das Laplace-Kriterium σ > 3 erfüllt ist. Du findest die Regel P(μ − 1, 64 · σ < Y < μ + 1, 64 · σ) ≈ 0, 90 p Setze μ = n · p und σ = n · p · (1 − p) Forme so weit wie möglich um und ermittle so das gesuchte Intervall. c) (2) ◮ Voraussetzung, mit der die Wahrscheinlichkeit berechnet werden kann Der Aufgabenstellung kannst du nun entnehmen, dass sich vor einem Kassenhäuschen eine Schlange von 50 Zuschauern gebildet hat. Deine Aufgabe ist es nun, die Voraussetzung zu nennen, unter der die Wahrscheinlichkeit P, dass sich in der Schlange 12 weibliche Zuschauer befinden, so berechnet werden kann: P= 50 12 · 0, 2512 · 0, 7538 Betrachtest du den gegebenen Term genauer, so kannst du erkennen, dass es sich hier um den Ansatz zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit einer binomialverteilten Zufallsvariablen handelt. Mit diesem Term können Wahrscheinlichkeiten der Form P(X = k) für ein bestimmtes k berechnet werden. Das heißt, die hier gesuchten Voraussetzungen ergeben sich aus den Voraussetzungen für eine binomialverteilte Zufallsvariable. ◮ Entscheiden, ob Berechnung hier zulässig ist Nun sollst du zusätzlich entscheiden, ob die Berechnung der Wahrscheinlichkeit in der vorliegenden Situation zulässig ist. Stelle dir dazu die Frage, ob die Anzahl der Frauen unter den 50 Personen vor dem Kassenhäuschen als binomialverteilt angenommen werden kann. Dazu musst du dir die Frage stellen, ob es sich hier wirklich um ein Ziehen mit Zurücklegen handelt. d)(1) ◮ Gegebene Daten im Baumdiagramm darstellen Nun ist es deine Aufgabe, die Daten, die du der Aufgabenstellung entnehmen kannst, in das Baumdiagramm einzutragen und die fehlenden relativen Häufigkeiten zu ergänzen. Dazu kannst du zunächst die Bezeichnungen in die eckigen Kästchen und anschließend die relativen Häufigkeiten in die runden Kästchen eintragen, die du der Aufgabenstellung entnehmen kannst. Anschließend kannst du die fehlenden relativen Häufigkeiten mit Hilfe der Pfadregeln berechnen. Die vier runden Kästchen, die sich jeweils am Ende eines „Astes“ befinden, sind für die Anteile der jeweiligen Gruppe an der Gesamtmitgliederzahl vorgesehen, also beispielsweise, wie groß der Anteil der Frauen im gesamten DFB ist. Die runden Kästchen in der Mitte sind dagegen bedingte relative Häufigkeiten. Hier soll das Feld mit H1 beispielsweise den Anteil der Mädchen unter allen weiblichen Mitgliedern angeben. © Karlsruhe 2014 | SchulLV | Robert Waddell, Anna-Lena Ellerbrake Seite 4/6 Vervielfältigung nur innerhalb einer Lehrer-/Klassen- oder Schullizenz und mit Hinweis auf MatheLV erlaubt. www.MatheLV.net Nordrhein-Westfalen | Abitur (Grundkurs TR/GTR) Prüfungswissen | Original-Prüfungen ◮ Abitur 2014 | Aufgabe 5 Lösungsblatt (ausführlich) d) (2) ◮ Relative Häufigkeiten beschreiben Nun sollst du die beiden relativen Häufigkeiten, die im Baumdiagramm mit H1 und H2 gekennzeichnet sind, mit Worten beschreiben. Überlege dir dazu zunächst, welchen Unterschied es zwischen diesen beiden relativen Häufigkeiten gibt. d) (3) ◮ Ermitteln der Wahrscheinlichkeiten Nun werden zwei Mitglieder des DFB zufällig ausgewählt und du sollst die Wahrscheinlichkeit dafür ermitteln, dass es sich bei den beiden Personen um einen „Junior“ und ein „Mädchen“ handelt. Willst du diese Wahrscheinlichkeit hier berechnen, so musst du die relativen Häufigkeiten für diese Personengruppen als Wahrscheinlichkeiten auffassen: Wahrscheinlichkeit für einen „Junior“: P(„Junior“) = 0, 2806 Wahrscheinlichkeit für ein „Mädchen“: P(„Mädchen“) = 0, 0503 Anschließend berechnest du die hier gesuchte Wahrscheinlichkeit über die Pfadregeln. e)(1) ◮ Wahl der Nullhypothese begründen Der Verkaufsleiter führt einen Hypothesentest durch um zu überprüfen, ob der Anteil der weiblichen Stadionbesucher tatsächlich gestiegen ist. Ist dies der Fall, so stellt er mehr Vorräte für die speziellen Angebote für die weiblichen Besucher bereit. Du sollst nun die Wahl seiner Nullhypothese H0 : p ≤ 0, 25 begründen. Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass er möglichst nicht zu viele Vorräte für die speziellen Angebote einkaufen möchte. Ausgehend von dieser Information kannst du nun überlegen, warum es deshalb sinnvoll ist, die Nullhypothese so zu wählen. ◮ Entscheidungsregel ermitteln Nun sollst du eine Entscheidungsregel ermitteln. Du sollst also auf Grundlage einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 0, 05 ein Intervall bestimmen, sodass der Verkaufsleiter seine Nullhypothese bestätigt sieht, wenn die Anzahl der weiblichen Zuschauer innerhalb dieses Intervalls liegt. Andernfalls wird die Nullhypothese abgelehnt. Die Wahl der Null- und Gegenhypothese ist dir bereits gegeben. Daraus kannst du schließen, dass hier ein rechtsseitiger Hypothesentest durchgeführt wird. Der Annahmebereich hat damit folgende Form: A = [ 0, 1, ..., k] Der Ablehungsbereich hat dementsprechend die Form: A = [ k + 1, ..., n] = [ k + 1, ..., 1.000] © Karlsruhe 2014 | SchulLV | Robert Waddell, Anna-Lena Ellerbrake Seite 5/6 Vervielfältigung nur innerhalb einer Lehrer-/Klassen- oder Schullizenz und mit Hinweis auf MatheLV erlaubt. www.MatheLV.net Nordrhein-Westfalen | Abitur (Grundkurs TR/GTR) Prüfungswissen | Original-Prüfungen ◮ Abitur 2014 | Aufgabe 5 Lösungsblatt (ausführlich) Um eine Entscheidungsregel formulieren zu können, benötigst du also die rechte Grenze des Annahmebereichs, den Wert k. Um diesen zu berechnen, können dir die σ-Regeln helfen. Gehe also so vor: Führe eine Zufallsvariable Z für die Anzahl der weiblichen Zuschauer ein. Bestimme den Annahme- und Ablehnungsbereich, indem du die σ-Regeln anwendest. Berechne dazu zunächst σ um zu überprüfen, ob das Laplace-Kriterium erfüllt ist. Wähle dann die hier passende σ-Regel aus und berechne anschließend μ. Danach kannst du die Grenzen des Annahme- und Ablehnungsbereichs berechnen. Formuliere eine Entscheidungsregel e) (2) ◮ Beschreiben des Fehlers 2. Art und Berechnen der Wahrscheinlichkeit Hier sollst du nun zum obigen Hypothesentest den Fehler 2. Art beschreiben und die Wahrscheinlichkeit für diesen berechnen, für den Fall, dass der Anteil der weiblichen Zuschauer tatsächlich 30 % beträgt. Der Fehler 2. Art beschreibt immer ein Ablehnen der Gegenhypothese, obwohl diese wahr ist. Betrachtest du dazu die Zufallsvariable Zneu die mit p = 0, 3 und n = 1.000 die Anzahl der weiblichen Stadionbesucher nach gestiegenem Anteil beschreibt, dann nimmt diese einen Wert aus dem Annahmebereich für die Nullhypothese an, wenn der Fehler 2. Art eintritt. Willst du die Wahrscheinlichkeit hier berechnen, so musst du also folgenden Term betrachten: P(Zneu ≤ 273) © Karlsruhe 2014 | SchulLV | Robert Waddell, Anna-Lena Ellerbrake Seite 6/6 Vervielfältigung nur innerhalb einer Lehrer-/Klassen- oder Schullizenz und mit Hinweis auf MatheLV erlaubt. www.MatheLV.net
