Wärmeleitung, Konvektion Version vom 10. August 2016

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Wärmeleitung, Konvektion
Version vom 10. August 2016
Inhaltsverzeichnis
0 Allgemeine Grundlagen
0.1 Was ist Wärme? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.2 Hauptsätze der Wärmelehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.3 Wärmeübertragung und Wärmetransport . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Wärmeleitung
1.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Wärmeleitung und Wärmediffusion . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Stationäre Wärmeleitung und Wärmeübergang . . . . . . .
1.1.4 Zweiplattenmessverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.5 Temperaturmessung mit einem NiCr-Ni Thermoelement .
1.1.6 Wärmeleitung in festen, flüssigen und gasförmigen Stoffen
1.2 Aufgabenstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Versuchsaufbau und Durchführung . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Aufbau der Wärmemesskammer . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Experimentelle Durchführung . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4 Fehlerrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Literaturangaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Konvektion
2.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Allgemeines zur Konvektion
2.1.2 Natürliche Konvektion . . .
2.1.3 Rayleigh-Zahl . . . . . . . .
2.2 Aufgabenstellung . . . . . . . . . .
2.3 Versuchsaufbau und Durchführung
2.4 Berechnung der Rayleigh-Zahl . . .
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Inhaltsverzeichnis
Lehr/Lernziele
• Kennenlernen von Wärmetransportmechanismen.
• Begriffe zur Wärmeleitung und Wärmeübergang kennenlernen und ihre charakteristischen Größen verstehen und berechnen lernen.
• Konvektion als komplexen Wärmetransportmechanismus begreifen und ein Modell
zu seiner Charakterisierung anwenden lernen.
• Experimentelle Zugänge zum Wärmetransport kennenlernen
Meteorologischer Bezug
Wärmeleitung in der Meteorologie
Wärmeleitung ist in der Meteorologie ein wichtiges Phänomen, wenn es darum geht, zu
verstehen, wie der Boden Wärme aufnimmt und wieder abgibt. Dies wirkt sich letztendlich
darauf aus, wie stark und wie gleichmäßig die Luft direkt über dem Boden erwärmt wird.
Die oberste Schicht des Bodens wird durch die Sonneneinstrahlung erwärmt. Im Detail
bedeutet das, dass die kurzwellige Sonnenstrahlung in langwellige Wärmestrahlung umgewandelt wird. Ein Teil dieser Strahlung wird sofort von der obersten Bodenschicht wieder
abgestrahlt. Ein weiterer Teil wird im Boden nach unten abgeleitet. Wie groß dieser zweite
Teil ist, hängt von der Wärmeleitfähigkeit des Bodens ab. Allgemein kann man sagen, dass
mineralische Böden (Lehm, Stein, Sand) besser leiten als organische Böden (Moor, Torf).
(Dies kann man übrigens auch leicht daran erkennen, dass sich zum Beispiel ein Holzfußboden wärmer anfühlt, als ein Steinfußboden.) Außerdem leiten auch feuchte Böden besser,
als trockene und kompakte Böden besser, als lockere. Bei einem gut leitenden Boden passiert nun folgendes: Am Tag wird die oberste Schicht durch die Sonnenstrahlung erwärmt.
Da der Boden gut leitet, wird ein großer Teil dieser Wärme schnell in tiefere Schichten
abgeleitet. Dadurch erwärmt sich die Luftschicht über dem Boden nicht so stark. In der
Nacht wird die Wärme aus den tieferen Bodenschichten wieder nach oben geleitet, wo in
der Grenzschicht zwischen Luft und Boden auch wieder die Luft erwärmt wird. Bei einem schlecht leitenden Boden fällt dieser Ausgleich zwischen Tag und Nacht weg. Am Tag
bleibt die ganze Wärme in der obersten Schicht und erhitzt somit die Luft stark. In den
tieferen Bodenschichten kann außerdem nur schlecht Wärme gespeichert werden, weswegen
die Luft in der Nacht stärker abkühlt. Die Folge dieses Phänomens ist, dass der Tagesgang (=Temperaturschwankung über 24 Stunden) über schlecht leitenden Böden mehr
schwankt, als über gut leitenden. Im Boden selbst verhält es sich genau umgekehrt. In 50
cm Tiefe bleiben die Temperaturen bei einem schlecht leitenden Boden relativ konstant.
Bei einem gut leitenden Boden schwanken sie. Dies hat natürlich auch Auswirkungen auf
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Inhaltsverzeichnis
die Tiefe, in die im Winter der Frost eindringen kann.
Ein Detail am Rande: In entwässerten Mooren kann es am Tag sehr heiß werden. Der
Grund dafür ist, dass der Boden sehr schlecht leitet. Er besteht ja fast ausschließlich aus
organischem Material. Ist er zudem noch trocken, kann kaum Wärme in tiefere Schichten
abgeführt werden. Sie staut sich in der obersten Schicht und erhitzt die angrenzende Luft.
In der Nacht kühlt die Luft über entwässerten Mooren entsprechend stark ab. So werden leicht Temperaturen unter dem Taupunkt erreicht. Die Folge sind starke, für Moore
typische Nebelbildungen.1
Konvektion in der Meteorologie
Konvektion spielt in der Meteorologie eine wichtige Rolle. Großräumig führt sie dazu, dass
die warme Luft aus Äquatornähe in die Polargebiete transportiert wird, wodurch die Passatwinde entstehen. Auch lokale Windströmungen werden durch Konvektion verursacht.
Außerdem bewirkt Konvektion die Bildung von Wolken: feuchte Luftpakete werden in höhere Lagen gehoben. Aufgrund des vertikalen Temperaturgefälles in der Atmosphäre kann
es dort unter Umständen kalt genug sein, dass der enthaltene Wasserdampf kondensiert
(vgl. Abb. 1).
Abbildung 1: Atmosphärischer Hydrozyklus als Beispiel freier Konvektion
1
Vgl. Häckel, Hans: Meteorologie. 5. Auflage: S. 225 ff
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Inhaltsverzeichnis
Dies ist auch ein Grund, warum Konvektion in der Atmosphäre nicht eins zu eins auf die
oft zitierte Konvektion im Kochtopf übertragen werden kann. In der Atmosphäre hat man
es mit feuchter Luft bzw. auch mit kondensiertem Wasser zu tun.
In meteorologischen Betrachtungen der Konvektion muss daher auch immer das Auskondensieren bzw. Verdampfen berücksichtigt werden, wenn von sich hebenden oder senkenden
Luftpaketen die Rede ist. In einem Experiment mit Flüssigkeit, wie im Praktikum durchgeführt, muss dieser Faktor natürlich nicht berücksichtigt werden. Das ganze vorhandene
Wasser bleibt flüssig, egal auf welcher Höhe es sich befindet.
Bei einer von unten erwärmten Flüssigkeit bilden sich regelmäßig angeordnete Konvektionszellen (sogenannte Benard-Zellen). In der Atmosphäre kann es unter gewissen Umständen auch zur Ausbildung von solchen Benard-Zellen kommen. Falls die Konvektion
erzeugenden erwärmten Gebiete nur klein sind, wird sich die Organisation der Auf- und
Abströmungen danach richten. Über dem erwärmten Gebiet steigt die Luft auf, an einer
anderen Stelle, die gerade nicht erwärmt wird, kann die Luft wieder ungehindert nach unten strömen. Es gibt somit keinen Grund regelmäßige Strukturen zu bilden.
Benardzellen entstehen in der Atmosphäre dann, wenn Luftmassen über größere Flächen
hinweg gleichmäßig erwärmt werden, und sich somit kein Platz für Abwinde ergibt. Wenn
zusätzlich über dem erwärmten Gebiet eine Inversionslage vorherrscht, sich also eine wärmere Luftschicht über einer kälteren befindet, gibt es eine Grenze, an der die aufsteigende
Luft nicht vorbei kann. Die erwärmten Luftmassen können nicht weiter aufsteigen als bis zu
dieser bestimmten Grenze. Das heißt, irgendwo muss die kühlere Luft der oberen Schicht
wieder nach unten transportiert werden. Da es keinen von vornherein ausgezeichneten Weg
gibt (es steigt ja von überall her Luft auf) organisiert sich das Konvektionsgebiet selbst
und es bilden sich sogenannte Benard-Zellen aus. Sie können die Form von Sechsecken,
aber auch von langgezogenen Walzen haben. Die Beschreibung und das Zustandekommen
ihrer Form fällt in den Bereich der nichtlinearen Dynamik (vgl. Chaostheorie).
Sichtbar werden solche Konvektionszellen zum Beispiel dann, wenn eine ausgedehnte Stratusschicht von unten erwärmt wird und gleichzeitig auf der oberen Seite Wärme ins Weltall
abstrahlt. Die Auf-und Abströme beginnen, sich selbst zu organisieren. In den nach unten
sinkenden Luftpaketen (das wären die Linien der Sechsecke) kommen die Wolkentröpfchen
in eine wärmere Schicht und verdunsten. Die Wolkendecke reißt auf und bildet sechseckige
Flecken, in manchen Fällen auch eine walzenähnliche Struktur.
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0 Allgemeine Grundlagen
Abbildung 2: Altocumuli mit teilweise sechseckiger Struktur. Quelle: www.topwetter.de/lexikon/k/konvektionszellen.htm
0 Allgemeine Grundlagen
0.1 Was ist Wärme?
Wärme ist eine spezielle Form von Energie. Sie strömt von einem Körper auf einen anderen,
sobald eine Temperaturdifferenz zwischen beiden besteht. In der Wärmelehre werden zwei
Betrachtungsweisen unterschieden, die Thermodynamik und die statistische Mechanik. Die
Thermodynamik untersucht Beziehungen zwischen makroskopischen Zustandsgrößen, wie
z.B. Volumen, Druck, Temperatur oder Gesamtenergie zur Charakterisierung des Gesamtsystems. Die statistische Physik macht Annahmen über den Aufbau der Materie und untersucht mikroskopische Größen (Mikroobservable wie z.B. Freiheitsgrade oder Spin) eines
Systems.
Die physikalische Grundlage zur Thermodynamik sind die Hauptsätze der Wärmelehre.
0.2 Hauptsätze der Wärmelehre
1. Wärme ist als thermische Energie in der ungeordneten Bewegung von Atomen und
Molekülen gespeichert. Führt man einem abgeschlossenen System Wärme und Arbeit
von außen zu, so ist deren Summe gleich der Zunahme der inneren Energie. Der erste
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0 Allgemeine Grundlagen
Hauptsatz ist ein Energieerhaltungssatz (Es gibt kein Perpetuum mobile erster Art).
Diese Aussage ist nicht beweisbar, sondern eine reine Erfahrungstatsache.
2. Wärme geht von selbst immer nur von einem Körper höherer Temperatur auf einen
Körper niederer Temperatur über. Dies bedeutet, dass die Entropiezunahme in einem
abgeschlossenen System immer größer oder gleich Null ist. Eine weitere Formulierung: Es gibt keine periodisch wirkende Maschine, die ohne äußere Energiezufuhr ein
Wärmereservoir abkühlt und die dabei gewonnene Wärmeenergie vollständig in mechanische Energie umwandelt. So eine Maschine wäre ein Perpetuum mobile zweiter
Art.
3. Es ist prinzipiell unmöglich den absoluten Nullpunkt zu erreichen. In der statistischen
Deutung ist der thermodynamische Gleichgewichtszustand am absoluten Nullpunkt
ein Zustand maximaler Ordnung mit nur einer Realisierungsmöglichkeit. Die Entropie
strebt gegen Null, wenn die Temperatur sich dem Nullpunkt annähert. Der dritte
Hauptsatz wird auch als Nernst’sches Theorem bezeichnet.
0.3 Wärmeübertragung und Wärmetransport
Zum Begriff der Wärmeübertragung gehören alle Erscheinungen und Effekte, die mit einem
räumlichen Transport von Wärme in Zusammenhang stehen. Der Wärmeübergang erfolgt
immer vom Zustand höherer Temperatur zu einem niederer Temperatur (siehe 2. Hauptsatz
der Wärmelehre).
Grundsätzlich existieren drei Möglichkeiten zur Wärmeübertragung (siehe Abbildung 3):
Wärmeleitung, Konvektion und Strahlung. Der direkte Energietransport erfolgt über die
Wärmeleitung. Bei der Konvektion wird Energie über den Transport von Masse übertragen.
Abbildung 3: Möglichkeiten zur Wärmeübertragung
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1 Wärmeleitung
Abbildung 4: Stab zwischen zwei Wärmereservoiren
1 Wärmeleitung
1.1 Grundlagen
1.1.1 Begriffe
Temperatur, Wärmemenge, Hauptsätze der Wärmelehre, Wärmekapazität, Wärmestrom,
Wärmeleitung, Wärmeübergang, Wärmewiderstand, stationärer und nichtstationärer Zustand, Wärmeleitzahl, Wärmeübergangszahl, Wärmedurchgangskoeffizient
1.1.2 Wärmeleitung und Wärmediffusion
Der Transport von Wärme bzw. Energie in einem Medium durch Wärmeleitung hängt von
der räumlichen (x) und zeitlichen (t) Verteilung der Temperatur (bzw. dem Temperaturfeld
T(x,t)) im Medium ab. Wärme strömt immer entlang eines Temperaturgefälles von Orten
höherer Temperatur zu jenen niedrigerer Temperatur (zweiter Wärmehauptsatz). Ist nach
Einstellung eines Gleichgewichtes die räumliche Temperaturverteilung zeitunabhängig, so
ist die Wärmeströmung stationär. Auf dem Weg zum stationären Gleichgewicht durchläuft
das System zeitabhängige, also nichtstationäre Bedingungen (Temperaturen). Nichtstationär sind auch Zustände, die durch sehr schnell variierende Temperaturen charakterisiert
sind.
Ist der Wärmestrom stationär geht er durch ein Volumselement durch, ist er nichtstationär, erwärmt er das Volumen.
Ändert sich die Temperatur nur in einer Raumrichtung so spricht man von eindimensionaler Wärmeleitung. Eindimensionale Wärmeleitung ist realisiert in einem Stab (siehe Abbildung 4), der an einer Seite geheizt (Temperatur T1 ) und an der anderen Seite gekühlt
(Temperatur T2 ) wird. Die Mantelfläche ist wärmeisoliert, so dass keine Wärmeverluste
auftreten. Die Länge des Stabes L ist groß gegen die Ausdehnungen der Querschnittsflä-
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1 Wärmeleitung
che A. Der Wärmetransport wird durch das phänomenologische Gesetz der Wärmeleitung
definiert:
Q = −λ · A ·
(T1 − T2 )
·t
L
(1)
Die entlang der Länge L transportierte Wärmemenge Q ist proportional zur Querschnittsfläche A, zur Temperaturdifferenz T1 − T2 und zur Zeit t bzw. umgekehrt proportional zur
Länge L des Stabes. Der Proportionalitätsfaktor ist die Wärmeleitfähigkeit λ. Das Minuszeichen beschreibt den Wärmefluss von höherer zu tieferer Temperatur. In der Literatur
wird die Wärmeleitfähigkeit λ auch Wärmeleitzahl oder Wärmeleitkoeffizient genannt.
Die Wärmeleitfähigkeit λ ist i.A. temperaturabhängig. Zur genauen Bestimmung ist es
daher notwendig zu kleinen Messgrößen (mit ∆ bezeichnet) überzugehen. Aus Gleichung 1
wird duch einfaches Umformen
∆T
∆Q
= −λ · A ·
∆t
∆x
(2)
Die pro Zeiteinheit ∆t transportierte Wärmemenge ∆Q ist proportional zum Temperaturgradienten ∆T
. In Differentialschreibweise mit der Einführung des Wärmestromes ∂Q
=Φ
∆x
∂t
folgt das Fourier’sche Gesetz der Wärmeleitung:
Φ(x, t) =
∂Q(x, t)
∂T (x, t)
= −λ · A ·
∂t
∂x
(3)
Der auf den Querschnitt bezogene Wärmestrom ist die Wärmestromdichte q.
q(x, t) =
1 ∂Q(x, t)
∂T (x, t)
·
= −λ ·
A
∂t
∂x
Formelzeichen
Einheit
Q
J
T
K
λ
J · m−1 · s−1 · K −1 = W · m−1 · K −1
x
m
t
s
A
m2
L
m
−1
Φ
J ·s =W
q
J · m−2 · s−1 = W · m−2
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(4)
Bezeichnung
Wärmemenge
Temperatur
Wärmeleitfähigkeit
Ortskoordinate
Zeit
Fläche
Länge
Wärmestrom
Wärmestromdichte
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1 Wärmeleitung
Abbildung 5: Schema zur Ableitung der Wärmediffusiongleichung
Die Wärmeleitfähigkeit λ gibt die Wärmemenge ∆Q an, die pro Zeitintervall ∆t durch eine
Querschnittsfläche A entlang einer Distanz ∆x mit Temperaturdifferenz ∆T transportiert
wird.
Die Temperaturänderung in einem Massenelement dm = ρ · A · dx (der Dichte ρ) ergibt
sich aus der Differenz der Wärmeströme, die am Ort x zufließen und bei x+dx abfließen
(siehe Abbildung 5).
Wärmestrom am Ort x:
Φ(x, t) =
∂T (x, t)
∆Q(x, t)
= −λ · A ·
∆t
∂x
(5)
Wärmestrom am Ort x+dx:
T (x+dx,t)
z
}|
{
∂T (x, t)
∂[T (x, t) +
dx]
∆Q(x + dx, t)
∂x
Φ(x + dx, t) =
= −λ · A ·
∆t
∂x
(6)
Die Wärmemenge, die aus der Differenz der Wärmeströme (Φ(x, t) − Φ(x + dx, t), also pro
Zeiteinheit zufließender minus abfließender Wärme) verfügbar ist , wird vom Massenelemt
dm aufgenommen. Über die spezifische Wärmekapazität c2 ändert sich die Temperatur des
Massenelements, daher folgt:
2
Die spezifische Wärmekapazität oder kurz spezifische Wärme c gibt bezogen auf die Masse m an, wieviel
thermische Energie ∆Q ein Stoff pro Temperaturänderung ∆T speichern kann:
c=
∆Q
m · ∆T
-8-
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1 Wärmeleitung
Formelzeichen
Einheit
Q
J
T
K
λ
J · m−1 · s−1 · K −1 = W · m−1 · K −1
A
m2
m
kg
ρ
kg · m−3
c
J · kg −1 · K −1
χ
m2 · s−1
Bezeichnung
Wärmemenge
Temperatur
Wärmeleitfähigkeit
Fläche
Masse
Dichte
spezifische Wärmekapazität
Temperaturleitfähigkeit
c · dm · ∆T (x, t) = c · ρ · A · dx · ∆T (x, t) = ∆Q(x, t) − ∆Q(x + dx, t)
(7)
Durch Einsetzen der Gleichungungen 5 und 6 in Gleichung 7 folgt:
c · ρ · A · dx · ∆T (x, t) = λ · A ·
∂ 2 T (x, t)
· dx · ∆t
∂x2
(8)
Weiteres Umformen resultiert in der eindimensionalen Wärmeleitungsgleichung (Wärmediffusionsgleichung):
λ ∂ 2 T (x, t)
∂ 2 T (x, t)
∂T (x, t)
=
·
=
χ
·
∂t
ρ·c
∂x2
∂x2
χ=
λ
ρ·c
(9)
ist die Temperaturleitzahl oder Temperaturleitfähigkeit.
Ergänzender Einschub:
Allgemein dreidimensional ist die Ortskoordinate x durch den Vektor ~x(x,y,z) zu ersetzen
und die zweite Ableitung nach der x Koordinate wird durch den Laplace-Operator ∆ =
∂2
∂2
∂2
+ ∂y
2 + ∂z 2 ersetzt (Achtung ∆ nicht verwechseln mit Differenzen), so dass die Laplace∂x2
Gleichung folgt:
∂T (~x, t)
∂2
∂2
∂2
= χ · ∆T (~x, t) = χ · ( 2 + 2 + 2 )T (~x, t)
∂t
∂x
∂y
∂z
(10)
Für den Wärmestrom in einem dreidimensionalen Medium gilt:
∂Q(~x, t)
~ (~x, t)
= −λ · A · ∇T
∂t
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(11)
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1 Wärmeleitung
~ = ( ∂ , ∂ , ∂ ). ∇T
~ (~x, t) ist der Temperaturgradient.
mit dem Nabla-Operator ∇
∂x ∂y ∂z
1.1.3 Stationäre Wärmeleitung und Wärmeübergang
Befindet sich ein System im stationären Zustand, ändert sich die Temperatur nicht mit
= 0) und folglich ist auch der Wärmestrom (Φ = ∆Q
) konstant.
der Zeit ( dT
dt
∆t
In einer Platte der Dicke d mit den Oberflächentemperaturen (Wandtemperaturen) TW 1 , TW 2
(siehe Abbildung 6) hängt der Temperaturverlauf in der eindimensionalen Betrachtung
nur von der Ortskoordinate x im Bereich (0 ≤ x ≤ d) ab. Jetzt ist die Temperatur stationär, also nicht mehr von der Zeit abhängig, daher vereinfacht sich die Gleichung 9
zu
d2 T (x)
= 0.
dx2
(12)
Als Lösung dieser Gleichung folgt für 0 ≤ x ≤ d ein linearer Temperaturverlauf
x
T (x) = TW 1 + (TW 2 − TW 1 ) · .
d
Abbildung 6: Ebene Platte mit Wärmeleitfähigkeit λ.
Weiters resultiert ein konstanter Wärmestrom
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(13)
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1 Wärmeleitung
Φ=
dQ
dT
(TW 1 − TW 2 )
= −λ · A ·
=λ·A·
dt
dx
d
(14)
mit der Wärmestromdichte (auf die Querschnittsfläche A bezogener Wärmestrom):
q=
1 dQ
(TW 1 − TW 2 )
·
=λ·
A dt
d
(15)
dQ
TW 1 − TW 2
=
dt
Rλ
(16)
1 d
·
λ A
(17)
In der Formulierung
Φ=
lässt sich der Wärmewiderstand
Rλ =
herleiten.
1
λ
wird als spezifischer Wärmewiderstand bezeichnet.
Man beachte die Analogie zwischen Wärme- und Ladungstransport. In der Elektrizitätslehre gilt das Ohmsche Gesetz I = UR (vgl. Analogie in Gleichung 16), wobei I die elektrische
Stromstärke, R den elektrischen Widerstand und U eine Potentialdifferenz symbolisiert.
Für den elektrischen Widerstand R eines Drahtes der Länge d mit Querschnittsfläche A
und elektrischer Leitfähigkeit σ gilt der Zusammenhang R = σ1 · Ad (vgl. Analogie in Gleichung 17). Die folgende Tabelle stellt die entsprechenden elektrischen und thermischen
Größen einander gegenüber.
Thermodynamik
Wärmewiderstand Rλ
Temperaturdifferenz ∆T
Wärmestrom Φ
Wärmeleitfähigkei λ
Elektrizität
elektrischer Widerstand R
elektrische Spannung (potentialdifferenz) U
elektrischer Strom I
elektrische Leitfähigkeit σ
Tabelle 1
Es ist physikalisch sinnvoll und einsichtig, dass der Wärmewiderstand Rλ mit zunehmender
Plattendicke d zunimmt und mit größer werdender Plattenquerschnittsfläche A abnimmt.
Der Übergang von den Wänden der Platte zum angrenzenden Luftvolumen stellt einen
Widerstand für den Wärmefluss dar. Es entstehen Konvektionsströme in den Grenzschichten jeweils zwischen der Plattenwand und der angrenzenden erwärmten Luft wegen der
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1 Wärmeleitung
Temperaturunterschiede T1 − TW 1 und TW 2 − T2 . Die Beschaffenheit der Oberfläche, wie
z.B Rauhigkeit, Reflexionsvermögen, usw ist dabei von Bedeutung. Aufgrund der Energieerhaltung im stationären Gleichgewicht ist der Wärmestrom Φ = dQ
in der Platte
dt
gleich der jeweils über die Oberfläche zu- und abströmenden Wärmemenge pro Zeiteinheit. Entsprechend dem Ansatz nach Newton bzw. Fourier ist der Wärmestrom durch eine
Oberfläche in ein angrenzendes Medium proportional zur Größe der Oberfläche, zur Temperaturdifferenz und aus Dimensionsgründen zum Wärmeübergangskoeffizienten α (auch
Wärmeübergangszahl). In Abbildung 6 gilt daher für den Wärmeübergang an der Wand
W1
Φ=
dQ
= α1 · A · (T1 − TW 1 )
dt
(18)
Φ=
dQ
= α2 · A · (TW 2 − T2 )
dt
(19)
und an der Wand W2
Gleichungen 14, 18 und 19 werden zusammengefasst zu:
Φ=
(TW 1 − TW 2 )
dQ
= α1 · A · (T1 − TW 1 ) = λ · A ·
= α2 · A · (TW 2 − T2 )
dt
d
(20)
wobei α1 und α2 die Wärmeübergangskoeffizienten sind.
Die Gesamttemperaturdifferenz T1 − T2 wird durch eine Summe von drei Temperaturdifferenzen dargestellt, so dass gilt:
T1 − T2 = T1 − TW 1 + TW 1 − TW 2 + TW 2 − T2
| {z } | {z } | {z }
Φ
α1 ·A
Φ·d
λ·A
(21)
Φ
α2 ·A
Diese Temperaturdifferenzen sind jeweils dem Wärmestrom Φ proportional (siehe Gleichung 20). Die daraus folgenden Terme (unter den geschweiften Klammern) in die Gleichung 21 eingesetzt definiert die Péclet-Gleichung:
Φ=
dQ
=
dt
1
α1 ·A
T1 − T2
d
+ λ·A
+
1
α2 ·A
=
T1 − T2
T1 − T2
=
Rα1 + Rλ + Rα2
Rk
(22)
In Analogie zur Elektrotechnik wird der Wärmedurchgang durch eine Reihenschaltung
thermischer Widerstände modelliert. Die Summe der Einzelwiderstände ist der Gesamtwiderstand oder Wärmedurchgangswiderstand.
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1 Wärmeleitung
Rk = Rα1 + Rλ + Rα2 =
Rα1 =
1
α1 ·A
und Rα2 =
1
α2 ·A
1
d
1
+
+
α1 · A λ · A α2 · A
(23)
sind die Wärmeübergangswiderstände.
Bei Berechnungen zur Wärmedämmung wird der k-Wert (Wärmedurchgangskoeffizient)
verwendet, mit der Definition
Φ=
dQ
= k · A · (T1 − T2 )
dt
(24)
Der Vergleich mit den obigen Gleichungen ergibt für den Wärmedurchgangswiderstand
Rk =
1
k·A
(25)
und weiters folgt
1
d
1
1
=
+ +
k
α1 λ α2
(26)
Der Wärmedurchgangswiderstand einer Probe, die aus mehreren Schichten (unterschiedliche Materialien) besteht setzt sich zusammen aus den Wärmewiderständen in den einzelnen Schichten und den Wärmeübergangswiderständen zu den beidseitig angrenzenden
Luftschichten (oder Fluiden).
1.1.4 Zweiplattenmessverfahren
Zur Untersuchung der Wärmeleitfähigkeit eines wärmeisolierenden Materials wird häufig
eine relative Messmethode verwendet, bei der zwei aus verschiedenen Materialien bestehende Platten übereinander gelegt werden, wobei die Wärmeleitfähigkeit eines Materials
bekannt ist. Für eine aus zwei aneinander gereihten Platten (Wärmeleitzahlen λa und λb )
aufgebaute Probe (siehe Abbildung 7) mit unterschiedlichen Querschnittsflächen Aa und
Ab und unterschiedlichen Plattendicken da und db gilt daher
Φ=
(TW 1 − TW 2 )
(TW 2 − TW 3 )
dQ
= αa ·Aa ·(T1 −TW 1 ) = λa ·Aa ·
= λb ·Ab ·
= αb ·Ab ·(TW 3 −T2 )
dt
da
db
(27)
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1 Wärmeleitung
Abbildung 7: Schema zum Wärmedurchgang durch zwei ebene Platten
Ist eine der beiden Wärmeleitzahlen bekannt (z.B λb ) kann die zweite (λa ) berechnet
werden. Für dieses Zweiplatten-Messverfahren lautet die zugehörige Bestimmungsgleichung
für die unbekannte Wärmeleitzahl
λa = λb ·
Ab da (TW 2 − TW 3 )
·
·
Aa db (TW 1 − TW 2 )
(28)
Bei gleich großen Querschnittsflächen (Aa = Ab ) und gleichen Dicken (da = db ) gilt
λa = λb ·
(TW 2 − TW 3 )
(TW 1 − TW 2 )
(29)
Aus dem Wärmestrom Φ lassen sich auch die Wärmeübergangszahlen berechnen
αa =
αb =
Φ
Aa · (T1 − TW 1 )
Φ
Ab · (TW 3 − T2 )
Für den Wärmedurchgangskoeffizienten gilt
- 14 -
(30)
(31)
MP6
1 Wärmeleitung
1
da
db
1
1
=
+
+
+
k
αa λa λb αb
Formelzeichen
Q
T
Φ
q
d
A
λ
α
k
Rλ
Rα
Rk
Einheit
J
K
−1
J ·s =W
J · m−2 · s−1 = W · m−2
m
m2
−1
−1
−1
J · m · s · K = W · m−1 · K −1
J · m−2 · s−1 · K −1 = W · m−2 · K −1
J · m−2 · s−1 · K −1 = W · m−2 · K −1
J −1 · s · K = W −1 · K
J −1 · s · K = W −1 · K
J −1 · s · K = W −1 · K
(32)
Bezeichnung
Wärmemenge
Temperatur
Wärmestrom
Wärmestromdichte
Plattendicke
Plattenquerschnittsfläche
Wärmeleitfähigkeit
Wärmeübergangskoeffizient
Wärmedurchgangskoeffizient
Wärmewiderstand
Wärmeübergangswiderstand
Wärmedurchgangswiderstand
Tabelle 2
1.1.5 Temperaturmessung mit einem NiCr-Ni Thermoelement
Ein Themoelement (siehe schematisch in Abbildung 8) besteht aus zwei Drähten verschiedener Metalle oder metallischer Legierungen (z.B. NiCr und Ni). Die beiden Enden (A und
B) sind verlötet. Aufgrund der unterschiedlichen Energien (Fermi-Energie) der Elektronen
in den Metallen entsteht an den Lötstellen eine Kontaktspannung die temperaturabhängig
ist. Befinden sich die beiden Löstellen auf gleicher Temperatur kompensieren einander die
Kontaktspannungen. Sind die Temperaturen der Lötstellen verschieden, so zeigt das Voltmeter eine Potentialdifferenz, die sogenannte Thermospannung an. Dieser Effekt wird nach
dem Entdecker als Seebeck-Effekt bezeichnet. Die Größenordnung dieser Potentialdifferenz
liegt im mV-Bereich.
Abbildung 8: Schema zum Aufbau eines Thermoelementes
- 15 -
MP6
1 Wärmeleitung
Abbildung 9: NiCr-Ni Thermoelement
Zur genauen Messung der Temperatur an einer Lötstelle (z.B. A) muss die Temperatur an
der anderen Lötstelle (B) konstant gehalten werden. Die Kontaktstellen mit dem Messgerät
bzw. Geräte interne Drahtverbindungen verursachen zusätzliche Spannungsdifferenzen, die
ebenfalls zu berücksichtigen sind. In der Praxis schaut daher ein Thermoelement Messkreis
aus, wie in Abbildung 9 dargestellt. Neben der Kontaktstelle A sind die Anschlusskontakte
(B1 und B2) an das Messgerät (im Experiment wird ein Fluke 179 verwendet) eingezeichnet. Die Anschlusskontakte befinden sich auf Raumtemperatur und erzeugen ebenfalls
eine Thermospannung. Die Temperatur der beiden Kontakte (B1 und B2) wird vom Messgerät selbst über einen temperaturabhängigen Metallwiderstand (PT-100) gemessen und
in ein Kontaktpotential umgewandelt. Ein integrierter Schaltkreis mit einen DifferenzenOperationsverstärker rechnet die kompensierte Kontaktspannung in die Messtemperatur
an der Lötstelle A um.
Eine Temperaturmessung mit einem PT-100 Metallwiderstand ist eine sehr genaue Temperaturbestimmung. Hochpräzise gefertigte und geeichte Platindrähte werden z.B. in Keramik eingebettet und ermöglichen so stabile Messungen in einem Bereich von -200◦ C bis
850◦ C. Ihr Widerstand beträgt bei 0◦ C exakt 100 Ω der Widerstand ist über einen großen
Bereich linear von der Temperatur abhängig und kann mit geeigneten Messgeräten bis zu
einigen ±mK genau bestimmt werden.
1.1.6 Wärmeleitung in festen, flüssigen und gasförmigen Stoffen
Hier soll der Vollständigkeit halber ein Überblick über die Mechanismen der Wärmeleitung
in festen, flüssigen und gasförmigen Stoffen gegeben werden.
Metalle: Der Energietransport in Metallen erfolgt einerseits durch aneinander gekoppelte Gitterschwingungen (sogenannter Phononen) der Atome, andererseits durch Stöße der
quasifreien Metall-Elektronen. Elektronenstöße sind wegen der kleinen Masse der Elektronen wesentlich effizienter. Die hohe Wärmeleitfähigkeit in Metallen ist daher neben dem
Beitrag der Gitterschwingungen (Phononen) auf einen weit größeren Anteil der freien Metallelektronen zurückzuführen. Die hohe Beweglichkeit der Metallelektronen bedingt eine
große elektrische Leitfähigkeit. Das Verhältnis thermischer zu elektrischer Leitfähigkeit ist
nach dem Wiedemann-Franz-Gesetz konstant.
- 16 -
MP6
1 Wärmeleitung
Isolatoren: Die Wärmeleitfähigkeit beruht auf Phononen (Gitterschwingungen der Atomrümpfe im Kristall).
Flüssigkeiten: Durch die schwache Kopplung zu den Nachbarmolekülen folgt eine geringe
Wärmeleitung.
Gase: Die Wärmeleitfähigkeit ist proportional zur Zahl der Teilchen die pro Sekunde einen
Querschnitt senkrecht zur Richtung des Temperaturgradienten durchströmen und zur freien Weglänge der Gasteilchen. Aus der kinetischen Gastheorie folgt eine zur Wurzel aus
der Temperatur proportionale Wärmeleitfähigkeit. Erst bei sehr niedrigen Drücken wird
die Wärmeleitfähigkeit druckabhängig; dieser Effekt wird auch zur Druckmessung in Vakuummessröhren verwendet.
Die folgende Tabelle vergleicht die Wärmeleitfähigkeit λ[W · m−1 · K −1 ] von Feststoffen,
Flüssigkeiten und Gasen:
Feststoffe
λ[W · m−1 · K −1 ] Flüssigkeiten und Gase
Silber
458
Wasser
Kupfer
393
Quecksilber
Aluminium
221
Ammoniak
Eisen
67
org.Flüssigkeiten
Blei
35
Graphit
12 - 175
Wasserstoff
◦
Eis (0 C)
2,2
Luft
Normalbeton
2,1
Wasserdampf (100◦ C)
Ziegelmauerwerk
0,4 - 1,2
Kohlendioxid
Glas
0,75
Helium
Holz
0,13
Xenon
Isolierstoffe
0,03 - 0,1
λ[W · m−1 · K −1 ]
0,59
83,4
0,52
0,1 - 0,3
0,17
0,025
0,023
0,017
0,015
0,005
Tabelle 3
1.2 Aufgabenstellung
1. Berechnen Sie mit dem Zweiplatten-Messverfahren den Wärmestrom Φ und die Wärmestromdichte q.
2. Bestimmen Sie die Wärmeleitfähigkeit λ einer Probe und die Wärmeübergangskoeffizienten α1 , α2 .
3. Berechnen Sie den Wärmewiderstand Rλ und Wärmeübergangswiderstände Rα1 ,
Rα2 .
4. Berechnen Sie den Wärmedurchgangskoeffizienten k und den Wärmedurchgangswi-
- 17 -
MP6
1 Wärmeleitung
Abbildung 10: Versuchsaufbau zur Wärmeleitfähigkeit
derstand Rk .
1.3 Versuchsaufbau und Durchführung
1.3.1 Aufbau der Wärmemesskammer
Die Abbildung 10 zeigt den experimentellen Aufbau. Das Gehäuse der Wärmemesskammer besteht aus einem thermisch isolierten Material mit quadratischer Öffnung nach oben.
Dadurch werden die Wärmeverluste über die Seitenwände vernachlässigbar. Im unteren Bereich der Messkammer unterhalb der Proben befindet sich eine elektrische Heizung (Plattenheizer), mit der ein konstanter Wärmestrom eingeregelt werden kann. Kanäle in der
Gehäusewand ermöglichen die Montage von Messfühlern (Thermoelemente) zur Temperaturmessung oberhalb und unterhalb der Zweiplattenprobe bzw an deren Ausswänden und
an der Zwischenwand. Zusätzlich benötigen Sie eine Spannungsquelle (Power-Supply) und
Voltmeter zur Messung der Thermospannungen.
Die Abbildung 11 illustriert den Aufbau einer Zweiplatten-Probe. Eine Eichplatte und die
unbekannte Probe sind jeweils getrennt durch dünne Metallplatten (Bleche) aneinandergereiht. Die Metallplatten sind an der Außenseite schwarz lackiert und ermöglichen damit
einen besseren Wärmeübergang (siehe Beispiel Wärmestrahlung MP7). Die Platten sind
mit zwei dünnen Nuten ausgestattet (an jeder Oberfläche eine Nut), wobei sich am Ende
jeweils eine kreisförmige Aussparung zum Einlegen eines Kontaktplättchens befindet. Das
Thermoelement, das in die Nut eingelegt wird, hat somit optimalen Wärmekontakt mit
der Platte.
- 18 -
MP6
1 Wärmeleitung
Abbildung 11: Aufbau einer Probe
1.3.2 Experimentelle Durchführung
1. Bauen Sie eine Probe aus der Eichplatte und einer vom Betreuer zu erfragenden Probe (Platte) auf. Messen Sie zunächst jeweils die Dicken und die Querschnittsflächen
der beiden Platten.
2. Sie können die Probe direkt in der Wärmemesskammer zusammenbauen. Beginnen
Sie mit dem Einsetzen des untersten Thermoelements zur Messung der „Ofentemperatur“. Dazu verwenden Sie einen Gummistöpsel (ohne Abb.), den Sie zusammen
mit dem Thermoelement in den Wandkanal richtig einsetzen. Legen Sie dann die erste einseitig schwarz gefärbte dünne Metallplatte (schwarze Fläche nach unten) ein.
Der weitere Aufbau erfolgt nach der Darstellung in Abbildung 11. Auf die oberste
Metallplatte (schwarze Fläche nach oben) legen Sie dann die Steinplatte (ohne Abb).
3. Schließen Sie die Heizung an und wählen Sie 6 V Versorgungsspannung. Notieren Sie
in Zeitintervallen von 30 Minuten die Temperaturen. Auf Ihrem Arbeitsplatz befinden
sich nur zwei Fluke 179 Multimeter, aber fünf Thermoelemente. Sie können daher
die Thermoelement nacheinander an- und ausstecken und daher mur ein Multimeter
benutzen. Vorsicht, sie sollen möglichst nicht in der Wärmekammer verrutschen und
auch nicht geknickt werden. Warten Sie bis sich ein stationärer Wärmestrom einstellt,
d.h. die Temperaturen bleiben konstant.
Achtung: Setzen sie die Kontaktplättchen so ein, dass die Thermoelemente geeignet kontaktieren! Achten Sie darauf, dass Sie die Thermoelemente nicht knicken! Herausnehmen
der Platten nur mit dem Montagehaken, dabei besonders auf die Thermoelemente achten!
- 19 -
MP6
1 Wärmeleitung
1.3.3 Auswertung
1. Dokumentieren Sie den Temperaturanstieg während des Aufheizens im nichtstationären Bereich.
2. Messen Sie die stationären Temperaturen. Danach berechnen Sie aus den beiden
W
Wandtemperaturen der Eichplatte (Polystrol: Wärmeleitfähigkeit λ = 0,16 m·K
) den
Wärmestrom. Verwenden Sie dazu den geeigneten Ausdruck in der Gleichung 27.
Berechnen sie auch die Wärmestromdichte.
3. Berechnen Sie die Wärmeleitfähigkeit der unbekannten Proben und die beiden Wärmeübergangskoeffizienten (siehe Gleichungen 27, 28, 30 und 31).
4. Berechnen Sie die Wärmewiderstände und die Wärmeübergangswiderstände (siehe
Gleichungen 17 und 23).
5. Berechnen Sie den Wärmedurchgangskoeffizienten k der Zweiplattenprobe (siehe
Gleichung 32).
6. Leiten Sie die Formel für den Wärmedurchgangswiderstand ab (analog zu Gleichung 23) und berechnen Sie diesen.
1.3.4 Fehlerrechnung
Zur Bestimmung der Abmessungen der Platten und deren Fehler sind mit einer Schublehre an mehreren Stellen der Platten Messungen durchzuführen. Für die Wärmeleitfähigkeit
W
± 0.5%. Die Fehler zu den benötigten
der Polystrol-Eichplatte verwenden sie λ = 0,16 m·K
Temperaturdifferenzen schätzen sind angpasst ab. Zur Bestimmung der Fehlerwerte der
restlichen Größen verwenden Sie die Gaußsche Fehlerrechnung. Überlegen Sie sinnvoll welche Messfehler sind besonders deutlich im Fehler des Endergebnisses auswirken und welche
wenig beitragen.
1.4 Literaturangaben
• Wärmeübertragung (Physikalische Grundlagen), Heinz Herwig und Andreas Moschallski, Vieweg und Teubner, 2009.
• Wärmeübertragung (Grundlagen, analytische und numerische Methoden), Wolfgang
Polifke und Jan Kopitz.
- 20 -
MP6
2 Konvektion
2 Konvektion
2.1 Grundlagen
2.1.1 Allgemeines zur Konvektion
Neben Wärmeleitung und Wärmestrahlung ist Konvektion (lat. convehere = mittragen,
mitnehmen) ein konkurrierender Mechanismus zur Übertragung von thermischer Energie. Konvektion wird durch Strömung hervorgerufen und ist stets mit dem Transport von
energiegeladenen (thermisch) Teilchen verknüpft. Im Vakuum und in Festkörpern gibt es
folglich keine Konvektion. Flüssigkeiten und Gase zeichnen sich meist durch schlechte Wärmeleitung aus, zeigen aber einen guten Wärmetransport durch Konvektion infolge leicht
beweglicher Teilchen. Die Ursache für die transportierende Strömung können Kräfte sein,
die von Druck-, Dichte-, Temperatur- oder Konzentrationsunterschieden herrühren.
Ein wichtiges Beispiel für die treibende Kraft der Konvektion ist die Schwerkraft. Wird ein
Teilvolumen einer flüssigen oder gasförmigen Phase erwärmt, erfährt es einen Auftrieb, da
mit steigender Temperatur die Dichte sinkt. Die von einem Heizkörper erwärmte Luft steigt
nach oben, wodurch ein Unterdruck entsteht, der sofort durch das Zuströmen kälterer Luft
von unten kompensiert wird. Es entsteht ein Kreislauf, der die Wärme im Zimmer verteilt.
Konvektion ist auch wichtig für den Energie- und Wassertransport in der Atmosphäre.
Luft ist durchsichtig und wird daher kaum von der Sonnenstrahlung erwärmt. Die unteren Luftschichten erwärmen sich durch Kontakt (Wärmeleitung) mit dem Boden, steigen
in Folge auf und kühlen sich wegen der adiabatischen Ausdehnung ab. Das in der Luft
enthaltene Wasser kondensiert daraufhin, was zur Wolkenbildung führt.
Es wird unterschieden zwischen:
• freier oder natürlicher Konvektion. Der Teilchentransport wird durch Dichteunterschiede z.B in Folge von Temperaturgradienten bewirkt.
• erzwungener Konvektion. Äußere Einwirkungen von z.B einer Pumpe oder einem
Gebläse führen zum Teilchentransport.
Man unterscheidet auch zwischen:
• Konvektion ohne Stoffaustausch: Sie findet statt an den festen Grenzschichten einer Wand mit beidseitigem konvektiven Wärmeübergang zu einem Fluid (Gas oder
Flüssigkeit).
• Konvektion mit Stoffaustausch: Dabei ist das andere Volumen selbst auch ein Fluid.
Die Grenzflächen gehen daher fließend ineinander über. Es findet zusätzlich zum
- 21 -
MP6
2 Konvektion
Wärmeaustausch noch ein Stoffaustausch statt.
Beispiele für Konvektion:
• Golfstrom
• Erdatmosphäre, Ozeane
• Wasserschichten in Seen
• Erdkern
• Energietransport in Sternen
• Warmwasserheizung
• Kamin
• u.v.m.
2.1.2 Natürliche Konvektion
Im Falle des folgenden Experiments handelt es sich um die Natürliche Konvektion (Abb.
12, vgl. [1]).
Unter natürlicher Konvektion oder Schwerkraftzirkulation versteht man den physikalischen
Effekt, nach dem in einem geschlossenen Kreislauf ein Fluid aufgrund des Dichteunterschiedes zwischen einer warmen und einer kalten Säule zirkuliert. Der Dichteunterschied
wird durch Beheizen/Erwärmen auf der einen Seite und Abkühlen auf der anderen Seite
des Kreislaufes aufrechterhalten. Der daraus resultierende Differenzdruck wird treibender
Druck oder auch wirksamer Druck genannt.
Der Differenzdruck ∆p ist vom Dichteunterschied ∆ρ und der wirksamen Höhe h abhängig
nach der Formel:
∆p = p2 − p1
(33)
und damit
∆p = h · g · (ρ2 − ρ1 )
(34)
In der technischen Gebäudeausrüstung ist die Konvektion Prinzip jeder Schwerkraftheizung, die allerdings fast vollständig durch die Pumpenheizung ersetzt wurde. Dieses Prinzip wird auch im so genannten „Badestrang“ angewendet, der ohne Pumpe parallel zur
Warmwasserleitung verläuft und ganzjährig ein warmes Badezimmer bereitstellt.
- 22 -
MP6
2 Konvektion
Abbildung 12: Natürliche Konvektion [1].
Formelzeichen
Einheit
h
m
ρ1 , ρ2
kg · m−3
p1 , p2
P a = N · m−2 = kg · m−1 · s−2
Bezeichnung
wirksame Höhe
geringere bzw. höhere Dichte
geringerer bzw. höherer Druck
2.1.3 Rayleigh-Zahl
Zur Bestimmung der Art der Wärmeübertragung (Wärmeleitung vs. Konvektion) in einem Fluid wird unter anderem die Rayleigh-Zahl (Ra, benannt nach Lord Rayleigh) verwendet. Sie ist eine dimensionslose Größe, und dient der Orientierung ob und in welcher
Form Konvektion einsetzen kann. Die Rayleigh-Zahl ist der Quotient aus Konvektionsfördernden Größen, welche die Auftriebskräfte beeinflussen, und Konvektionsbehindernden
Größen, welche die Energieverluste durch innere Reibung der Flüssigkeitsschichten (Viskosität) und durch Wärmeabfluss (Temperaturleitfähigkeit) bestimmen. Auftriebskräfte
destabilisieren das Fluid und fördern Mechanismen der Konvektion zum Wärmetransport.
Die Temperaturleitfähigkeit und Viskosität stabilisieren und bevorzugen daher die Wärmeleitung. Mit zunehmender Rayleigh-Zahl findet ein Übergang von Wärmeleitung über
laminare Konvektion bis zur turbulenten Konvektion statt.
Die Rayleigh-Zahl ist daher definiert:
- 23 -
MP6
2 Konvektion
Ra =
∆ρ · g · L3
χ·η
(35)
Mit dem Dichteunterschied ∆ρ = ρ · α · ∆T , der dynamischen Viskosität η und der Temperaturleitfähigkeit χ = ρ·cλ p (siehe Abschnitt: Wärmeleitung) wird die Rayleigh-Zahl zu:
Ra =
ρ · g · α · ∆T · L3
χ·η
Formelzeichen
Einheit
Ra
dimensionslos
∆ρ
kg · m−3
g
m · s−2
L
m
η
P a · s = kg · m−1 · s−1
ρ
kg · m−3
α
K −1
∆T
K
2
χ
m · s−1
λ
W · K −1 · m−1
cp
J · kg −1 · K −1
(36)
Bezeichnung
Rayleigh-Zahl
Dichtedifferenz
Schwerebeschleunigung g = 9,81 m · s−2
charakteristische Länge
dynamische Viskosität
Dichte
Wärmeausdehnungskoeffizient
Temperaturdifferenz im Medium
Temperaturleitfähigkeit
Wärmeleitfähigkeit
spezifische Wärmekapazität
L ist eine charakteristische Länge in Strömungsrichtung.
Rayleigh ließ außer Acht, dass sich zum Beispiel die Reibung in Abhängigkeit von der
Auftriebsgeschwindigkeit und von der Temperatur der Umgebung ändert. Eine derart umfassende Beschreibung wäre äußerst komplex.
2.2 Aufgabenstellung
1. Berechnen Sie die Rayleigh-Zahl von Wasser.
2. Diskutieren und beschreiben Sie Ihre Beobachtungen zur Wärmeübertragung unter
Einbeziehung der berechneten Rayleigh-Zahl.
- 24 -
MP6
2 Konvektion
2.3 Versuchsaufbau und Durchführung
Abbildung 13: Experimenteller Aufbau.
1. Füllen Sie ausreichend kaltes Wasser in den Aufbau ein (das heißt, dass auch die
obere horizontale Röhre vollständig mit Wasser gefüllt sein muss);
2. Falls sich größere Luftblasen gebildet haben, versuchen Sie sie durch vorsichtiges
Kippen und Klopfen aufsteigen zu lassen;
- 25 -
MP6
2 Konvektion
3. Schließen Sie die Absperr-Klemme (dadurch beschränken Sie die Wärmeübertragung
auf den Effekt der Wärmeleitung und schließen die Konvektion aus);
4. Heizen Sie an der Stelle, an welcher der Gasbrenner in Abbildung 13 steht, solange,
bis am Temperatur-Messpunkt 2 ca. 50 ◦ C angezeigt werden;
5. Melden Sie sich beim Betreuer für die Ausgabe von KMnO4 (Kaliumpermanganat),
mit welchem Sie Strömungen (durch Färbung des Wassers sichtbar machen können.
(Winzige Mengen, z.B. durch Adhäsion am Kunststofflöffel „kleben“ gebliebene Kristalle reichen dazu völlig aus);
6. Gleich nach dem Einbringen des KMnO4 messen Sie die Temperaturen. Diese benötigen Sie für die Berechnung der Rayleigh-Zahl;
7. Nun öffnen Sie die Absperrklemme und ermöglichen somit die Konvektion.
8. Machen Sie ein Foto vom strömenden Wasser (falls Sie keine eigene (Handy-)Kamera
besitzen, steht Ihnen die Praktikumskamera zur Verfügung) und beurteilen Sie selbst
die Art der Strömung;
9. Nach dem Temperaturausgleich stellt sich wenige Minuten später wieder ein (kleinerer) Temperaturgradient ein. Durch erneutes Einbringen von KMnO4 können Sie die
Konvektionsströmung sichtbar machen und beurteilen.
2.4 Berechnung der Rayleigh-Zahl
Bestimmen Sie zunächst den Wert der in Strömungsrichtung liegenden charakteristischen
Länge L in der Versuchsanordnung als die Distanz zwischen den beiden Temperaturmesspunkten. Dokumentieren Sie die experimentell bestimmten Temperaturdifferenzen sowohl
mit mit geschlossener als auch mit offener Absperrklemme.
Berechnen Sie anschließend den Wert für die Temperaturleitfähigkeit χ = ρ·cλ p . Die RayleighZahl können Sie mit der Gleichung 36 berechnen. Die notwendigen physikalischen Größen
für Wasser finden Sie in der Tabelle 4.
Diskutieren Sie Ihren berechneten Wert der Rayleigh-Zahl Ra mit den beobachteten Strömungsverhältnissen.
In der Literatur weitgehend akzeptiert sind die folgenden Relationen:
Ra < 104
104 < Ra < 107
107 < Ra < 1011
keine Strömung
laminare Strömung
turbulente Strömung
- 26 -
MP6
Literatur
Physikalische Eigenschaften von Wasser bei Atmosphärendruck p = 1013 mbar
Temp.
T
◦
[ C]
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
60
70
80
90
100
Dichte
ρ
[kg·m−3 ]
999,839
999,964
999,700
999,100
998,204
997,045
995,671
994,055
992,238
990,233
988,052
983,20
977,77
971,80
965,31
958,36
Therm. Ausd.
α
−6
[10 ·K−1 ]
-68,00
15,96
87,99
150,89
206,76
257,17
303
346
385
423
458
523
584
641
696
750
Spez. Wärme
cp
−1 −1
[J·kg K ]
4217,4
4203,5
4191,9
4186,1
4181,6
4178,7
4178,2
4177,4
4178,3
4179,4
4180,4
4184,1
4189,3
4196,1
4204,8
4215,7
Dyn. Visk.
η
−3
[10 ·Pa·s]
1,787
1,519
1,307
1,139
1,002
0,890
0,797
0,719
0,653
0,596
0,546
0,467
0,404
0,355
0,315
0,282
Wärmeleitf.
λ
−1
[W·K ·m−1 ]
0,5619
0,5723
0,5820
0,5912
0,5997
0,6078
0,6153
0,6223
0,6288
0,6349
0,6405
0,6506
0,6591
0,6664
0,6726
0,6778
Tabelle 4: Eigenschaften von Wasser.
Literatur
[1] de.wikipedia.org (24.09.2010): Artikel „Natürliche Konvektion“;
Vorbereitungsfragen
1. Was sagt der erste Hauptsatz der Wärmelehre aus?
2. Was sagt der zweite Hauptsatz der Wärmelehre aus?
3. Was sagt der dritte Hauptsatz der Wärmelehre aus?
4. Welche Wärmetransportmechanismen kennen Sie?
5. Erklären Sie kurz den Unterschied zwischen Wärmestrahlung und Wärmeleitung.
- 27 -
MP6
Literatur
6. Erklären Sie kurz den Unterschied zwischen Wärmestrahlung und Konvektion.
7. Erklären Sie kurz den Unterschied zwischen Konvektion und Wärmeleitung.
8. Was ist ein Wärmestrom und was eine Wärmestromdichte?
9. Was ist ein stationärer Wärmestrom?
10. Wie funktioniert das Zweiplatten-Messverfahren für den Wärmeleitungskoeffizienten
prinzipiell?
11. Wie funktioniert die Temperaturmessung mit einem NiCr-Ni - Thermoelement prinzipiell?
12. Was sagt die Rayleigh-Zahl aus?
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