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Übungszettel 6
Theoretische Mechanik - SoSe 2013
Übungszettel 6 - Ableitungen und Doppelpendel
(Abgabetermin: 29.05.2013)
Aufgabe 1 - Partielle und Totale Ableitungen (16 Punkte)
Sei α 6= 0 sowie x0 6= 0. Betrachte ein Teilchen der Masse m in einer Dimension, das sich auf einer Bahnkurve der
folgenden Form bewegt,
α
x (t) = t2 + x0 .
(1)
2
(a) Bestimme das Potential V0 (x), das diese Bewegung verursacht.
(b) Betrachte nun das Potential Vγ (x, t) = e−γt V0 (x) mit γ ∈ R. Finde die Bahnkurve des Teilchens in diesem
Potential unter den selben Randbedingungen x (t = 0) und ẋ (t = 0) wie in Gleichung (1). Bestimme außerdem
die Gesamtenergie des Teilchens in Abhängigkeit des Parameters γ. Schlussfolgere aus der Formel für die
Energie, für welche Werte des Parameters γ in diesem System Energieerhaltung gilt. Leite dazu folgende
Relation her,
dE
= −mγαx (t) e−γt .
(2)
dt
∂V
dV
(c) Bestimme ∂tγ und dtγ in Abhängigkeit des Parameters γ. Vergleiche dein Ergebnis mit Gleichung (2).
Hinweis: Es ist nicht nötig, die Bahnkurve bzw. die Geschwindigkeit in die allgemeinen Ableitungen einzusetzen.
dV
(d) Wie müsste sich das Teilchen bewegen, damit dtγ = 0 gilt? Existiert solch eine Bewegung im Potential für
alle Werte von γ? Wie kann man diese Bewegung interpretieren in Bezug auf das Verschwinden der totalen
Ableitung des Potentials?
Beachte, dass diese Bewegung nicht die Form von Gleichung (1) hat!
Aufgabe 2 - Genäherte Bewegungsgleichung für das Doppelpendel (16 Punkte)
y
θ1
l1
x
z
m1
F~ = −mgêy
θ2
l2
m2
Abbildung 1: Ebenes Doppelpendel
Betrachte das Doppelpendel aus Abbildung 1. Die Verbindungsstäbe seien starr und masselos, die Massen können
in der x, y-Ebene frei um ihre Aufhängepunkte rotieren. Wir betrachten die Bewegung der Massen m1 und m2 .
Der Aufhängepunkt des Doppelpendels sei der Koordinatenursprung. In der Vorlesung haben wir gesehen, dass die
kartesischen Koordinaten x1 , y1 bzw. x2 , y2 der beiden Pendelmassen in Abhängigkeit ihrer Polarkoordinaten durch
folgenden Ausdruck gegeben sind,
y1
= −l1 cos (θ1 ) ,
x1
= l1 sin (θ1 ) ,
y2
= y1 − l2 cos (θ2 ) = −l1 cos (θ1 ) − l2 cos (θ2 ) ,
x2
= x2 + l2 sin (θ2 ) = l1 sin (θ1 ) + l2 sin (θ2 ) .
1
Übungszettel 6
Theoretische Mechanik - SoSe 2013
(a) Der Einfachheit halber betrachten wir im Rest dieser Aufgabe nun den Spezialfall l1 = l2 = l sowie m1 =
m2 = m. Zeige, dass sich die Lagrange-Funktion des Doppelpendels folgendermaßen schreiben lässt,
L = ml2 θ̇12 +
m 2 2
l θ̇2 + ml2 θ̇1 θ̇2 cos (θ2 − θ1 ) + 2mgl cos (θ1 ) + mgl cos (θ2 ) .
2
Hinweis: Benutze das Additionstheorem cos (x1 − x2 ) = sin (x1 ) sin (x2 ) + cos (x1 ) cos (x2 ).
(b) Bei kleinen Schwingungen (θ1 , θ2 1) müssen nur lineare Terme in den Bewegungsgleichungen mitgenommen
werden. Warum ist dies äquivalent dazu, in der Lagrange-Funktion L nur Terme bis zur zweiten Ordnung in
θ bzw. θ̇ mitzunehmen? Bestimme die genäherte Lagrange-Funktion bis zur zweiten Ordnung in θ und θ̇.
(c) Zeige, dass die Bewegungsgleichung für die Freiheitsgrade dieses Problems für die genäherte Lagrange-Funktion
aus Teilaufgabe (b) durch folgende Ausdrücke gegeben sind,
2ml2 θ̈1 + ml2 θ̈2 + 2mglθ1
2
2
ml θ̈2 + ml θ̈1 + mglθ2
=
0,
(3)
=
0.
(4)
Aufgabe 3 - Analytische Lösung des Doppelpendels und Normalmoden (28 Punkte)
(a) Verwende zur Lösung der genäherten Bewegungsgleichungen des Doppelpendels in den Gleichungen (3) und
(4) den komplexen Ansatz θk = Ak eiωt für k = 1, 2. Dies führt auf ein lineares Gleichungssystem für den
Vektor (A1 , A2 ). Bestimme die Quadrate der Eigenfrequenzen, also diejenigen Werte für ω 2 , für die das
Gleichungssystem nichttriviale Lösungen hat. Bestimmen dann die Normalmoden, also die dazu gehörigen
nichttrivialen Lösungen. Gib schließlich die allgemeine reelle Lösung der Bewegungsgleichungen aus Aufgabe
2 (c) an.
Hinweis: Setze zur Vereinfachung ω02 = gl , um folgende Matrixgleichung für den Vektor (A1 , A2 ) zu erhalten
2 ω02 − ω 2
−ω 2 A1
0
=
.
A2
0
−ω 2
ω02 − ω 2
Dieses Gleichungssystem hat Lösungen, falls die Determinante der Matrix gleich null ist. Benutze dies, um
+
−
2
2
sowie die dazu gehörigen Eigenvektoren A+
beziehungsweise A−
und ω−
die Eigenfrequenzen ω+
1 , A2
1 , A2
√
√
1± 2
des Systems zu berechnen. Die Relation 1± √1 = ± 2 könnte zur Vereinfachung nützlich sein.
2
(b) Zeige, dass die so genannten Normalkoordinaten η± ,
η+
η−
1
= θ1 − √ θ2 ,
2
1
= θ1 + √ θ2 ,
2
die Bewegungsgleichungen aus Aufgabe 2 (c) entkoppeln. Das heißt, dass man folgende Differentialgleichungen
erhält, welche nur noch jeweils von einer der beiden Normalkoordinaten abhängen,
2
√ mglη+
2− 2
2
√ mglη−
ml2 η̈− +
2+ 2
ml2 η̈+ +
=
0,
=
0.
Hinweis: Bestimme zunächst θ1/2 in Abhängigkeit von η+ und η− . Es gilt
2√
2± 2
=2∓
√
2.
(c) Löse nun die Bewegungsgleichung in Normalkoordianten, um die allgemeinen Lösungen für die beiden Normalmoden η+ (t) und η− (t) zu erhalten. Bestimme die spezielle Lösung einmal für den Satz an Randbedingungen η+ (t = 0) = 1, η− (t = 0) = 0, η̇± (t = 0) = 0 sowie für den Satz von Randbedingungen η+ (t = 0) =
0, η− (t = 0) = 1, η̇± (t = 0) = 0. Skizziere θ1 (t) und θ2 (t) für diesen beiden Fälle und diskutiere die Bewegungen.
2