Relativistische Mechanik

Spezielle Relativitätstheorie
A. Einstein, “Zur Elektrodynamik bewegter Körper”
Annalen der Physik (1905)
Die Theorie wurde als Spezielle Relativitätstheorie bei M. Planck genannt (1906)
vorher: Lorentz (Arbeiten 1892 - 1904)
Poincaré (
1895 - 1905)
danach: H. Minkowski (1909)
Galileitransformation
vt
x’ = x − vt
~t
~r′ = ~r − V
Weiter benutzen wir nur kartesisches Koordinatensystem und betrachten Bewegung nur längs x-Achse (das vereinfacht die Präsentation).
K , K ′ : Inertialkoordinatensysteme (IKS)
Axiom : t = t′
Galileisches Relativitätsprinzip (1632)
Moderne Formulierung:
1. Mechanische Prozesse (Phänomene) werden bei geradlinig gleichförmiger Bewegung nicht beeinflusst;
2. Äquivalente Experimente in zwei IKS liefern äquivalente Ergebnisse;
⇒ Gesetze der Mechanik sollen gleiche Form haben (= kovariant sein)
1
Beispiel: Bewegung eines Teilchens
~t,
~r = ~r′ + V
~r˙ = ~r˙′ + V
˙ , t)
Kraft: F~ = F~ (~r1 − ~r2 , ~r˙1 − ~r˙2 , t) = F~ (~r12 , ~r12
~ ′ (~r′ − ~r′ , ~r˙′ − ~r˙′ , t) = F
~ ′ (~r′ , ~r′˙ , t)
F~ ′ = F
1
aber:
2
1
12
2
12
~r1 − ~r2 = ~r1′ − ~r2′
~r˙1 − ~r˙2 = ~r˙′ − ~r˙′
1
2
⇒ F~ = F~ ′
Masse ist invariant (Newtonsches Axiom)
t = t’ : Axiom
2.Newtonsches Gesetz
in K
m~¨r = F~
in K’
m~r¨′ = F~ ′
Die Trajektorien können unterschiedlich aussehen weil die Anfangsbedingungen
unterschiedlich sind.
Warum spricht Galileisches Relativitätsprinzip nur über mechanische Prozesse?
Weil es damals nichts anderes gab!
Ende 19.Jahrhundert : Thermodynamik, Elektrodynamik
Gilt Galileisches Relativitätsprinzip noch ?
Maxwellsche Gleichungen sind nicht unter Galileitransformation kovariant !
Unter anderen Transformationen ?
Experiment:
Lichtgeschwindigkeit im Wasser
(Fizeau, 1851)
Ruhendes Wasser : v =
c
n
( n: Brechzahl für Wasser)
Sich bewegtendes Wasser : nach Galilei vb =
Experimentell : vb =
c
n
± V (1 −
1
n2 )
2
c
n
±V
Hier funktioniert Galileitransformation nicht!
Wir sehen später, dass sich die Widersprüche durch Benutzung der
Lorentztransformation auflösen lassen.
Interferenz:
3
Postulate der Speziellen Relativitätstheorie
1. Einsteins Relativitätsprinzip:
Ergänzung des Galileischen Relativitätsprinzips für alle physikalische Phänomene.
Alle IKS sind äquivalent
oder
kein Experiment zeigt dass das System sich geradlinig gleichförmig bewegt
( es gibt kein “priviligiertes” System )
⇒ z.B. Maxwellgleichungen sollen kovariant sein
⇒ Galileitransformation soll durch andere Transformation ersetzt werden
2. Lichtgeschwindigkeit im Vakuum:
- ist gleich in allen IKS
- hängt nicht von der Richtung und Ort ab
Lichtgeschwindigkeit ist die maximale mögliche Geschwindigkeit der
Informationsübertragung.
Interaktion: Übergabe eines Signals.
Klassische Physik: momentane Übergabe.
Zwei Körper:
~ (|~r1 − ~r2 |)
F~1→2 = F~ (r12 ) = F
Wenn die Geschwindigkeit der Informationsübertragung begrenzt ist, dann sollen
wir schreiben:
~ (|~r1 (t − τ ) − ~r2 |)
F~1→2 = F
Retardierung
( vergleiche mit versp. Potentialen )
Maxwellsche Elektrodynamik:
Interaktion durch die Felder. Änderung wird mit der Wellengeschwindigkeit übertragen.
Maximale Geschwindigkeit ist gleich in allen IKS. Wäre es anders, so könnte
man dann die IKS unterscheiden.
⇒ Widerspruch zum Postulat 1 !
4
Postulat 2 wird durch Experimente von Michelson bestätigt (1881):
( Idee: bei Maxwell in 1878 vorgeschlagen )
Interferenz von Strahlen 1,2 in Richtung 3.
Zeit der Lichtausbreitung P → S2 und zurück:
t2 =
L2
c−V
+
L2
c+V
V : Geschwindigkeit der Bewegung der Erde längs ihrer Trajektorie um die Sonne.
Verständnis vom 19. Jh : - es existiert ein absolütes System (Äther) wo
Lichtgeschwindigkeit c ist.
Zeit t̃1 : P → S1
5
S,’
vt
(V t̃1 )2 + L21 = (ct̃1 )2
Notation: β =
=⇒
t̃1 = √
L1
,
c2 − V 2
t1 = 2t̃1
V
c
Dann:
t1 =
Zeit t2 : P → S2
t2 =
1
2L1
p
c
1 − β2
2L2 1
L2
2L2 1
L2
=
+
=
2
c−V
c+V
c 1 − V2
c 1 − β2
c
∆t = t2 − t1
Das Experimentalsystem wird nun um 90o rotiert, dh :
L1 ↔ L2
2L1 1
c 1 − β2
1
2L2
p
t′2 =
c
1 − β2
∆t′ =
6
∆t
L1 + L2 2
∆t′ − ∆t ≈ −
β
c
t′1 =
Wenn es so wäre, sollte man eine Verschiebung des Interferenzbildes beobachten,
was nicht der Fall ist.
Spätere Experimente (Kennedy, Torndike, 1932): höhere Genauigkeit, monatelange Beobachtung (⇒ unterschiedliche Inertialkoordinatensysteme)
6
Einsteinsche Postulate: Schlussfolgerungen
1. Relativität der Gleichzeitigkeit
Gedankenexperiment: Beobachter 1 auf dem Zug, Beobachter 2 auf dem Bahnhof
Relativistischer Zug
Mittelpkt
Beobachter auf dem Bahnhof
Lichtsignale
Lichtsignale werden so geschickt, dass sie Beobachter 1 genau dann erreichen,
wenn er gegenüber Beobachter 2 ist.
Schlussfolgerung Beobachter 1: Signale wurden gleichzeitig geschickt.
Schlussfolgerung Beobachter 2: Signale waren eine gewisse Zeit unterwegs. Früher
aber war die Lokomotive näher als der letzte Wagen ⇒ Signal aus dem letzten Wagen wurde früher geschickt.
2. Koordinaten y, z ändern sich nicht:
y = y′, z = z′
3. Zeitdilatation
z’
K’
v
z’
0 ’ Lichtquelle
x’
z
K
x
7
2z ′
Im K’ : ∆t′ = c0
Sei K = K’ bei t = t’ = 0.
Im K :
2
z0 2 + ( V 2∆t )2 = c2 ( ∆t
2 )
2z0
1
q
∆t =
c
1−
β=
V
;
c
V2
c2
=q
1−
Γ= p
∆t > ∆t′
Im K’:
∆t′
V2
c2
= Γ∆t′
1
1 − β2
t′ = t0 + ∆t′ 6= t0 + ∆t = t
beide Ereignisse passieren in einem Punkt
Zeitintervall ∆t′ = ∆τ heisst Eigenzeitintervall
4. Längenkontraktion
y’
Spiegel
z’
Wir schicken Licht und warten bis es zurückkommt
l′ =
c∆t′
2
= l0
( Eigenlänge )
Sei K = K’ bei t = t’ = 0.
Messen wir die Länge im K :
Spiegelposition bei Reflektion
Spiegelposition bei t = 0
8
(1)
∆t
Änlich ∆t(2) =
δl
l
∆t(1) V
l
= +
= +
c
c
c
c
=⇒
∆t(1) =
l
c+V
∆t = ∆t(1) + ∆t(2) =
l
c−V
l
l
2l 1
2l
+
=
= Γ2
2
c−V
c+V
c 1−β
c
(Das Licht holt den Spiegel mit c − V ein, dann breitet es sich entgegengesetzt mit
c+V)
2l
∆t = Γ∆t′
⇒
∆t′ = Γ
c
c ′
∆t = lΓ
2
l0 = lΓ
l
=
q
l0 1 − β 2
Lorentztransformation
Sei K = K’ bei t = t’ = 0.
p
aus K betrachtet :
x = x′ 1 − β 2 =
′
zum Zeitpunkt t :
x = xΓ + V t
x′
Γ
x−Vt
⇒ x′ = Γ(x − V t) = q
2
1 − Vc2
Das Ereignis in K hat die Koordinaten ( x, y, z, t).
Finden wir die Zeitkoordinate im K’: t′ = t′ (x, t)
Rücktransformation (V → −V ) :
x′ + V t′
x= q
⇒ t′ =
=
1−
V2
c2
= Γ(x′ + V t′ )
1 x
1 x
( − x′ ) = ( − Γ(x − V t))
V Γ
V Γ
x
Γ
β
− x + Γt = Γ(t − x)
VΓ V
c
9
1 q
1 − 1−β
2
1
Γ
1 − Γ2
Γ
1 − β 2 = −β
−
=
=
VΓ V
VΓ
βc
c
Γ= √
1
;
1−β 2
β=
V
c
x′ = Γ(x − V t)
x = Γ(x′ + V t′ )
y′ = y
z′ = z
t′ = Γ(t −
y = y′
z = z′
V
c2 x)
t = Γ(t′ +
V ′
c2 x )
Komplexe Form
4 Koordinaten:
x1 = x, x2 = y, x3 = z, x4 = ict
V
ict) = Γ(x1 + iβx4 )
ic
= Γ(x4 − iβx1 )
x′1 = Γ(x −
x′4
x1 = Γ(x′1 − iβx′4 )
und
x4 = Γ(x′4 + iβx′1 )
Nichtrelativistische Geschwindigkeiten
a.)
β = Vc << 1 ⇒
⇒ x′ = x − V t
b.)
Vx
c2
a.) + b.)
<< t
⇒
⇒
Γ = (1 − β 2 )−1/2 ≈ 1
t′ = t
(d.h. x nicht sehr gross)
Klassisches Gesetz: Galileische Transformation
Relativistische Geschwindigkeitstransformation
im K:
υx =
dx
dt
im K’:
υx =
Zwei Ereignisse bei t und t + dt:
10
dx′
dt′
dx′ = Γ(dx − V dt)
V
dt′ = Γ(dt − 2 dx)
c
dx
′
dx − V dt
dx
dt − V
=
=
dt′
dt − cV2 dx
1 − cV2 dx
dt
vx′ =
dy ′ = dy,
υy′
p
vx − V
1 − Vcυ2x
dz ′ = dz ⇒
υy 1 − β 2
,
=
1 − Vcυ2x
υz′
p
υz 1 − β 2
=
1 − Vcυ2x
Bemerkungen:
1.
2.
die Formeln (bzw. υx , υy , υz ) sind nicht symmetrisch, weil
relative Geschwindigkeit V k x-Achse
vx
c
<< 1, β =
V
c
<< 1 ⇒ klassisches Gesetz
(Galileitransformation)
Rücktransformation
υx =
Sei υx′ = c
⇒
υx′ + V
1+
υx =
V υx′
c2
c+V
1+ Vc
; υy =
√
υy′ 1 − β
1+
V υx′
c2
; υz =
√
υz′ 1 − β
1+
V υx′
c2
;
=c
( Maximale Geschwindigkeit ist unabhängig von der Geschwindigkeit der Quelle )
Beispiel:
Fizeau - Versuch, v ′ = c/n
V
c
)
( nc + V )(1 − cn
υ′ + V
n +V
υ=
=
=
V
V 2
1 + cV2 υ ′
1 + cn
)
1 − ( cn
→klein
υ =
1
V2
c
+ V (1 − 2 ) −
n
n
cn
11
=
≈
c
[1+
n
c
[1+
n
V
n(1 −
c
V
n(1 −
c
1
V2
)− 2 ]
n2
c
1
) ] F izeauf ormel
n2
Geschwindigkeit > c: Wiederspruch ?
K
K°
υ<c
Distanz ändert sich mit Geschwindigkeit 2υ .
Wenn υ > 2c , dann ist die relative Geschwindigkeit > c.
Es wird aber keine Information übertragen !
Geschwindigkeit der Übertragung:
Nehmen wir an, es gibt da zwei Postboten. Wenn sie am gleichen Ort sind, wird
ein Paket übergeben.
K ◦ : mitbewegtes System für Teilchen 1.
Berechnen wir die Geschwindigkeit von Teilchen 2 im K ◦ :
υ2′
=
−υ − V
1−
(−υ)V
c2
=
−2υ
1+
υ2
c2
V =υ
−2 υc
c
=
υ2
1+ 2
| {zc }
<1
Beispiel:
rotierende Lichtquelle
Strahlengeschwindigkeit auf der Kugeloberfläche: υ = ΩR
12
( kann > c sein )
Rotierender Pulsar : Licht auf die Erde
Geschwindigkeit ∼ 1022 m/s
Das Intervall
2 IKS:
K , K’
Bei t = t’ = 0 senden wir eine Lichtwelle.
Gleichung für die Wellenausbreitung:
im K
im K’
x2 + y 2 + z 2 = c2 t2
x′2 + y ′2 + z ′2 = c2 t′2
−c2 t2 + (x2 + y 2 + z 2 ) = 0 = −c2 t2 + l2 = 0
Oder:
−c2 t′2 + (x′2 + y ′2 + z ′2 ) = 0
Zwei Ereignisse:
1. Licht wird gesendet
2. Licht kommt auf der Kugeloberfläche an
s2 = (x − x0 )2 + (y − y0 )2 − (z − z0 )2 − c2 (t − t0 )2
Intervall:
Für unseren Gedankenexperiment s2 = s′2 = 0
Für andere Ereignisse s 6= 0, s′ 6= 0, aber invariant: s = s′ (Beweis später)
1. Es seien in K zwei Ereignisse mit ∆t und ∆l.
Kann man K’ so wählen, dass die Ereignisse am gleichen Ort stattfinden?
d.h. ∆l′ = 0
(∆l)2 − c2 (∆t′ )2 = −c2 (∆t)2 < 0
Also ist das möglich wenn s2 < 0, =⇒
Beispiel :
∆l
∆t
<c
Ein Teilchen bewegt sich im K längs x mit υ. Finden wir ein K’,
wo ∆x′ = 0 .
∆x′ = Γ(∆x − V ∆t) = Γ(υ − V )∆t
⇒ V = υ , K’ ist mitbewegtes System
13
V
V υ
∆x) = Γ(1 −
)∆t
2
c
c c
∆t′ und ∆t haben gleiche Vorzeichen:
⇒ II ist immer später als I
∆t′ = Γ(∆t −
Physikalische Bedeutung:
s2 < 0 ⇒ c∆t > ∆l c > |v| = |∆l/∆t|
Information kann übertragen werden.
⇒ Ereignis II kann die Folge von Ereignis I sein.
2. Es seien in K zwei Erignisse mit ∆t 6= 0 und ∆x 6= 0.
Wir suchen K’, wo die Ereignisse gleichzeitig stattfinden, ∆t′ = 0.
V
∆x)
c2
V
∆t′ = 0 ⇒ ∆t = 2 ∆x
c
c∆t
·c
V =
∆x
∆t′ = Γ(∆t −
V soll < c sein.
s2 = (∆l)2 − c2 (∆t)2 = (∆l′ )2 ≥ 0
Nehmen wir an, alles passiert auf x.
s2 = (∆x)2 − c2 (∆t)2 > 0 ⇒
∆t′ = Γ(∆t −
c∆t
<1
∆x
V
∆x)
c2
Es gibt V < c so dass ∆t′ = 0. V < V ′ < c ⇒ ∆t′ < 0
Reihenfolge von Ereignis I und II kann geändert werden
⇒ können nicht Ursache - Wirkung sein
14
Vierer-Kinematik
Ereignis :
x1 , x2 , x3 , x4 = ict
( gleiche Einheiten )
Minkowski-Raum:
R(4) = {x, y, z, ict} = {~r, ict}
dx21 + dx22 + dx23 + dx24 = dl2
im Euklidischem Raum
Distanz im Minkowski-Raum
dl2 = ds2 = dx2 + dy 2 + dz 2 − c2 dt2
( soll invariant sein! )
Pseudoeukl. Raum
Transformation: Lorentz
Ein Teilchen ist im Ruhezustand im K’.
⇒ dx′ = 0, dy ′ = 0, dz ′ = 0.
dt′ = dτ
( Eigenzeit )
c2 dt2 − dx2 − dy 2 − dz 2 = c2 dτ 2
c2 dt2 (1 −
⇒ dτ =
s
1−
v2
dt
ds
dt
=
=
⇒ dτ : Invariant, τ =
c2
γ
c
Vierer-Geschwindigkeit
~v =
d~r
dt
v2
dx2 + dy 2 + dz 2
2 2
)
=
c
dt
(1
−
)
c2 dt2
c2
1
γ=q
1−
Z
s
1−
v2
c2
~ (4)
~ (4) = dR = (u1 , u2 , u3 , u4 )
V
dτ
α = 1, 2, 3
uα =
u4 =
dxα dt
dxα
dxα
=
·
=γ
= γυα
dτ
dt dτ
dt
dx4
d(ict)
=γ
= icγ
dτ
dt
15
v2
dt
c2
~ (4) = {γ~v , icγ}
V
Wenn υ << c ⇒ γ ∼ 1, uα = υx,y,z
u4 ist immer 6= 0 ( υ = 0 ⇒ γ = 1, u4 = ic ), weil die Zeit immer ”weitergeht”
~ (4) = 0 sein
⇒ Es kann nie V
Nochmal:
Warum dividieren wir bei der Konstruktion der Vierergeschwindigkeit durch dτ und nicht durch dt ?
dt nicht invariant
dτ invariant (in allen Systemen gleiches Ergebnis)
~ (4) )2 = γ 2
(V
Beispiel
P
2
α υα
− c2 γ 2 = γ 2 (υ 2 − c2 ) = −c2
Geschwindigkeittransformation aus Vierer-Notation
Komplexe Notation:
u′1 = Γ(u1 + iβu4 )
u′2 = u2 u′3 = u3
u1 = Γ(u′1 − iβu′4 )
u2 = u′2 u3 = u′3
u′4 = Γ(u4 − iβu1 )
u′4 = Γ(u4 + iβu′1 )
Nochmal: alle 4-Vektoren werden nach Lorentz transformiert
~ (4) = {γ~v , icγ}
V
~ ′(4) = {γ ′~v ′ , icγ ′ }
V
Setzen wir die Komponenten in die Transformationsformel ein:
γ ′ υx′ = Γ(γυx + iβ · icγ) = Γ(γυx − γV )
γ ′ υy′ = γυy
γ ′ υz′ = γυz
icγ ′ = Γ(icγ − iβγυx )
Letzte Gleichung ⇒
icγ ′ = icγΓ(1 − βc υx )
γ ′ = γΓ(1 −
V υx
c2 )
⇒
γ
γ′
Setzen wir das in die ersten 3 Gleichungen ein:
υx′ =
υy′ =
γ
γ ′ Γ(υx
γ
γ ′ υy
=
−V)=
√
υy 1−β 2
1− V υ2x
c
16
υx −V
1− V υ2x
c
=
1
Γ(1− V υ2x )
c
( invariant )
Relativistische Dynamik
Impuls
~ (4) = mV
~ (4)
P
↑ Ruhemasse (invariant)
dP~ (4)
~ (4)
=F
dτ
dPα
dPα
d
d
=γ
= γ (muα ) = γ (mγυα )
dτ
dt
dt
dt
α = 1, 2, 3
Fα = γFα
Annahme
Dann
d
dt (mγυα )
= Fα
Zweites Newtonsches Gesetz in relativistischer Form:
d
(mγ~υ ) = F~
dt
Vierte Gleichung:
d
dτ (mu4 )
= F4
d
dτ (micγ)
= F4
Berechnung von F4 :
~ (4) )2 = γ 2 υ 2 − γ 2 c2 = −c2
(V
Leiten wir nach dτ ab:
d
d
(γ~υ ) − γc dτ
(γc) = 0
γ~υ dτ
dτ →
dt
γ
im ersten Glied, multiplizieren beider Seiten mit m
γ 2 ~υ
d
d
(mγ~υ ) −γc (mγc) = 0
dτ
|dt {z }
~
F
~ − γc d (imcγ) = 0
γ 2 ~υ F
i |dτ {z }
F4
~ + icγF4 = 0
γ 2 ~υ F
17
Vierte Komponente der Kraft F4 = i γc (F~ ~υ )
d
iγ
oder
(imcγ) = (F~ · ~υ )
Ersetzen: dτ → dt/γ
dτ
c
γ
γ
d
(imcγ) = i (F~ ~υ )
dt
c
d
(mc2 γ) = F~ ~υ
dt
↑ Energie
↑ Leistung
E = mc2 γ
~ = −∇U :
Konservative Kraft F
d(mc2 γ) = F~ ~υ dt = F~ d~r = −∇U d~r = −dU
d(mc2 γ + U ) = 0
=⇒
mc2 γ + U = const = E
Energie
Einsteinsche (innere) Energie: U = 0 (freies Teilchen), v = 0, =⇒ γ = 1
E0 = mc2 , E = E0 + T .
Kehren wir zum Vierer-Impuls zurück:
~ (4) = mV
~ (4) = {mγ~v , imcγ}
P
Erste drei Komponenten: p~ = mγ~v relativistischer Impuls
i
Vierte Komponente: imcγ = (E − U )
c
E−U )
(4)
~
P = {~
p, i c }
Energie-Impuls-Vektor
γ
(4)
~ = {γ F~ , i (F~ ~υ )}
F
Minkowski-Kraft
c
Hamilton-Funktion
~ (4) )2 = γ 2
(V
P
2
α υα
− c2 γ 2 = γ 2 (υ 2 − c2 ) = −c2
~ (4) )2 = −m2 c2
(P~ (4) )2 = (mV
18
(E − U )2
= −m2 c2
p −
2
c
2
c2 (p2 + m2 c2 ) = (E − U )2
p
E = c p2 + m2 c2 + U (x, y, z) = H(q, p)
Mit dieser Notation schreiben wir (P~ (4) )2 um:
(H − U )2
p −
= −m2 c2
2
c
2
und berechnen Differential:
px dpx + py dpy + pz dpz =
(H − U )
d(H − U )
c2
c2
(px dpx + py dpy + pz dpz ) = d(H − U )
H −U
=
∂(H−U )
∂px dpx
=
∂H
∂px dpx
+
+
∂(H−U )
∂py dpy
∂H
∂py dpy
+
+
∂(H−U )
∂pz dpz
∂H
∂pz dpz
Vergleich von Koefficienten liefert:
∂H
∂px
=
c2
px
H −U
px = mγvx ,
∂H
∂px
=
H − U = E − U = mc2 γ
c2
mγvx = vx
mc2 γ
Kanonische Gl.
Kinetische Energie
T = E − U − E0 = mc2 γ − mc2 = mc2 (γ − 1)
υ 2 −1/2
1 υ2 3 υ4
)
≈
1
+
+
+ ...
c2
2 c2
8 c4
υ2
1 υ2
=
m
= mc2 (γ − 1) ≈ mc2 ·
2 c2
2
γ = (1 −
T
19
Abhängigkeit zwischen ~v˙ und F~
Nebenrechnung
d
2
dt (mc γ)
= F~ · ~υ
γ̇ =
1 ~
(F ~υ )
mc2
d
dt (mγυ)
Rel. Newtonsches Gesetz:
mγ ~υ˙ + mγ̇~υ =
m~υ˙ =
In klassischer Mechanik
Hier nicht unbedingt!
⇒
∗∗
= F~
~υ ~
~
(F · ~υ ) + mγ ~υ˙ = F
c2
1 ~
~υ
[F − 2 (F~ · ~υ )]
γ
c
~
~υ˙ ↑↑ F
- wenn F~ ⊥~υ ⇒ γ = konst.
( folgt aus ** )
m~υ˙ =
~
F
γ
wie Newtonsche Gleichung, nur m → mγ
- wenn F~ ↑↑ ~υ
m~υ˙ = γ1 (1 −
υ2 ~
)F
c2
=
1 ~
F
γ3
mγ 3 : zeitabhängig
Generell: Abhängigkeit zwischen ~υ˙ und F~ wird durch einen Tensor beschrieben.
Eindimensionale Bewegung, Konstante Kraft
Klassische Mechanik
Rel. Mechanik
d
(mv) = F
dt
d
(mγv) = F
dt
Anfangsbedingung: v = 0, t = 0
mv = F t
vkl =
mγv = F t
Ft
m
γvrel =
20
Ft
m
vrel
=⇒
vkl = γvrel = q
2 /c2
1 − vrel
=⇒
2
vrel
1
1
+ 2
2
c
vkl
!
=1
=⇒
2
2
vrel
vrel
2 = 1 − c2
vkl
2
vrel
2
vkl
2
vkl
1+ 2
c
!
=1
vkl
<c
vrel = q
2 /c2
1 + vkl
Photonen als relativistische Teilchen
Bis jetzt haben wir vermutet, dass alle Teilchen m 6= 0 haben, sonst hat P~ (4) =
~ (4) keinen Sinn.
mV
Weiter:
E = mc2 γ; p~ = mγ~υ
υ → c ⇒ γ → ∞ ⇒ um ein Teilchen auf c zu beschleunigen, braucht man
unendliche Energie.
Einstein (1905): Wechselwirkung des elektromagnetischen Feldes und Elektronen kann man als Wechselwirkung von “Lichtteilchen” und Elektronen darstellen.
Welche Eigenschaften haben die Photonen?
Lichtdruck ohne Reflektion (die Welle wird absorbiert):
Pd =
W
c
[W]: Energie pro Zeit pro Fläche
Es sei eine ebene Welle, alle Photonen laufen in eine Richtung mit E und p.
Es sei, dass N Photonen auf die Einheitsflche pro Zeitintervall fallen: W = N E
Impuls N p (pro Zeit pro Fläche):
F~
d~
p
= Pd =
= Np
ds
dsdt
p
~ = d~
F
,
dt
Pd =
=⇒
W
c
p=
=⇒
E
c
21
Np =
NE
c
Das folgt auch direct aus:
p~ = mγ~v =
mγc2
E
~
v
=
~v
c2
c2
für v = c
Vierer Impuls (U = 0)
E
P~ (4) = {~
p, i }
c
=⇒
(P~ (4) )2 = 0
Für normale Teilchen:
(P~ (4) )2 = (m~v (4) )2 = −m2 c2
Energie eines Photons:
wobei ~e ist Einheitsvektor
⇒m=0
für Photonen
E = h̄ω, Impuls eines Photons:
p~ =
h̄ω
e
c ~
= Ec ~e,
ω
2π
~k = k~e
=
=k
c
λ
ω
P~ (4) = {h̄~k, i h̄} = {h̄~k, ih̄k}
c
~k (4) = {~k, ik}
p~(4) = h̄~k (4)
Dopplereffekt aus der Vierer-Formulierung
y’
Im K’: Ebene Welle, Wellenvektor ~k ′(4)
′
k1′ = k ′ cos θ′ = ωc cos θ′
k2′ = k ′ sin θ′ =
ω′
c
sin θ′
k3′ = 0
′
k4′ = i ωc = ik ′
Im K:
k1 = Γ(k1′ − iβk4′ )
k2 = k2′ , k3 = k3′ = 0
k4 = Γ(k4′ + iβk1′ )
22
x’
Der Strahl bleibt in xy-Ebene
Letzte Gleichung:
′
′
i ωc = Γ(i ωc + iβ ωc cos θ′ )
ω = ω ′ Γ(1 + β cos θ′ ) ⇒
Frequenz wird geändert
Erste Gleichung:
ω
c
′
′
cos θ = Γ( ωc cos θ′ − iβi ωc )
cos θ =
ω′
′
ω Γ(cosθ
+ β) =
⇒
cos θ′ +β
1+β cos θ′
Richtung wird geändert
Lassen wir die Quelle im K’ ruhen, dann Messungen im K’ geben ω0 = ω ′
Im K: finden wir ω(θ)
cos θ − β
cos θ =
1 − β cos θ
· β, +1
′
β cos θ − β 2 1 − β cos θ
1 − β2
1 + β cos θ =
+
=
1 − β cos θ
1 − β cos θ
1 − β cos θ
′
ω = ω ′ Γ(1 + β cos θ′ ) = ω0
K
p
1 − β2
1 − β cos θ
K’
Licht
θ = +π, cos θ = −1
ω = ω0
p
1 − β2
= ω0
1+β
s
= ω0
K’
1−β
< ω0
1+β
q
(1−β)2
1−β 2
K
Licht
θ = 0, cos θ = 1
23
≈ ω0 (1 − β)
ω = ω0
p
1 − β2
= ω0
1−β
s
= ω0
K
1+β
> ω0
1−β
q
(1+β)2
1−β 2
≈ ω0 (1 + β)
K’
θ = π/2, cos θ = 0
β2
)
2
Effekt zweiter Ordnung ( gibt es nicht in der klassischen Theorie ).
q
ω = ω0 1 − β 2 ≈ ω0 (1 −
Abberation (Abweichung)
Schon gehabt: 1ste Gl d. Lorentz-Transformation liefert
cos θ =
cos θ′ + β
ω′
Γ(cosθ′ + β) =
ω
1 + β cos θ′
Zweite Gl liefert:
k2 = k2′
k sin θ = k ′ sin θ′
ω
ω′
sin θ =
sin θ′
c
c
p
ω′
1
1
1 − β2
′
′
sin θ =
sin θ =
sin θ =
sin θ′
′
′
ω
Γ 1 + β cos θ
1 + β cos θ
Dann
tan θ =
p
1 − β2
sin θ′
β + cos θ′
24