8 Zentralkraft

8
Zentralkraft-Probleme
8.1
Slide 147
Einleitung
Der dreidimensionale harmonische Oszillator in kartesischen Koordinaten
• Die potentielle Energie des symmetrischen (kx = ky = kz = k) HamiltonOperators des dreidimensionalen harmonischen Oszillators läßt sich
aufgrund seiner speziellen Form auch als abstandsabhängige potentielle
Energie schreiben:
∂2
∂2
~2 ∂ 2
+
+
Ĥ(x, y, z) = −
2m ∂x2 ∂y 2 ∂z 2
1
+
k x2 + y 2 + z 2
2 |
{z
}
r2
Kann man den kinetischen Energie-Anteil vielleicht ebenfalls als Funktion von r und zwei weiteren Winkelkoordinaten formulieren?
Slide 148
Der dreidimensionale harmonische Oszillator in Kugelkoordinaten
• Kann man den kinetischen Energie-Anteil vielleicht ebenfalls als Funktion
von r und zwei weiteren Winkelkoordinaten formulieren?
Etwa in der Form?
Ĥ(r, ϑ, φ) = −
~2
1
∆(r, ϑ, φ) + kr2
2m
2
• Klassisch ist diese Zerlegung der kinetischen Energie in einen Radialanteil und einen Drehimpulsanteil möglich.
• Man zerlegt dabei die kinetische Energie im kartesischen Koordinatensystem in zwei Komponenten, nämlich die der Radialbewegung weg von
einem (wählbaren) Ursprungspunkt und die einer Drehbewegung um eine Achse durch den Ursprungspunkt
Slide 149
88
Beispiel: Planetenbewegung
• Die Bewegung der Planeten um die Sonne (oder des Mondes um die Erde) ist eine Drehbewegung auf einer elliptischen Bahn, wobei die Sonne
(bzw. die Erde) in einem Brennpunkt stehen. (Kepler’sche Gesetze)14
• Die Bewegung findet (wenn man von äußeren störenden Einflüssen absieht), in einer Ebene statt.
(Ebene der Ekliptik ≈ 23.5◦ für die Erde)
• Durch diverse (zeitlich veränderliche) Störungen (z.B. durch die Konstellation anderer Planeten) variiert die elliptische Bahn der Erde um
die Sonne langfristig (Radialbewegung).
8.1.1
Slide 150
Kugelkoordinaten
Kugelkoordinaten
z
z
r
θ
x
φ
ρ
y
y
x
• Azimutwinkel “Theta”
θ oder ϑ
(→ Breitengrad)
• Winkel “Phi”
φ oder ϕ
(→ Längengrad)
14
http://de.wikipedia.org/wiki/Johannes Kepler
89
• z = r cos ϑ
• ρ = r sin ϑ
• x = r sin ϑ cos ϕ
• y = r sin ϑ sin ϕ
• Die Ersetzung {x, y, z} → {r, ϑ, ϕ} nennt man eine Koordinatentransformation.
Slide 151
Laplace-Operator in Kugelkoordinaten Koordinatentransformation
• Annahme: Koordinatentransformation
x = x(r, ϑ, ϕ)
y = y(r, ϑ, ϕ)
z = z(r, ϑ, ϕ)
• Weiterhin gebe es eine Rücktransformation
r = r(x, y, z)
ϑ = ϑ(x, y, z)
ϕ = ϕ(x, y, z)
• Dann gilt für eine Funktion f (r, ϑ, φ)
∂f
∂r
∂f
∂ϑ
∂f
∂ϕ
∂f
=
+
+
∂x
∂r
∂x
∂ϑ
∂x
∂ϕ
∂x
Slide 152
90
∂
∂x
Differentialoperatoren
und
∂2
∂x2
In Operatorschreibweise
∂
∂x
f
=
∂r
∂x
∂
∂r
+
∂ϑ
∂x
∂
∂ϑ
+
∂ϕ
∂x
∂ϕ
∂x
∂
∂ϕ
f
Also
∂
∂x
=
∂r
∂x
∂
∂r
+
∂ϑ
∂x
∂
∂ϑ
+
∂
∂ϕ
und
Slide 153
∂2
∂x2
∂r
∂
∂ϑ
∂
∂ϕ
∂
=
+
+
∂x
∂r
∂x
∂ϑ
∂x
∂ϕ
∂r
∂
∂ϑ
∂
∂ϕ
∂
+
+
∂x
∂r
∂x
∂ϑ
∂x
∂ϕ
Laplace-Operator in Kugelkoordinaten
• . . . analog für y und z
• =⇒ . . . =⇒ . . .
2 2
∂2
∂
∂
+
+
2
2
∂x
∂y
∂z 2
2
∂
2 ∂
+
2
∂r
r ∂r
1 1
∂
∂
sin ϑ
2
r sin ϑ ∂ϑ
∂ϑ
2 1 1
∂
2
r2 sin ϑ ∂φ2
2
∂
2 ∂
Λ2
+
+
∂r2
r ∂r
r2
∆ =
=
+
+
=:
mit dem Legendreschen Operator Λ = Λ(ϑ, ϕ)
Slide 154
91
Hamilton-Operator in Kugelkoordinaten
~2
Ĥ = V (r) −
2m
∂2
∂r2
2
+
r
∂
∂r
−
~2 Λ2
2mr2
• mr2 ist das Trägheitsmoment der Masse m im Abstand r vom Ursprung.
• L̂2 = −~2 Λ2 ist der Drehimpulsoperator.
• Der winkelabhängige Term im Operator der kinetischen Energie hat
also wie in der klassischen Mechanik die Struktur
1 Drehimpuls2
.
2 Trägheitsmoment
8.1.2
Slide 155
Teilchen auf der Kugeloberfäche
Das Teilchen auf der Kugeloberfläche
~2
Ĥ = V (r) −
2m
∂2
∂r2
2
+
r
∂
∂r
~ 2 Λ2
−
2mr2
• Was passiert, wenn wir den “Aktionsradius” des Teilchens auf die Kugeloberfläche (Radius R) begrenzen?
(homo sapiens sapiens vor der Erfindung der Schaufel und des Flugzeugs)
∂
= 0!
1.
∂r
2. V (R) = 0, sonst V (r) → ∞
=⇒ Die Wellenfunktion in R-Richtung ist “uninteressant”!
Slide 156
92
Schrödingergleichung des Teilchens auf der Kugel
~2
Ĥψ(ϑ, ϕ; R) = −
2mR2
1
∂
∂
sin ϑ
sin ϑ ∂ϑ
∂ϑ
2 1
∂
+
ψ(ϑ, ϕ; R)
2
sin ϑ ∂ϕ2
R ist ein Parameter.
• Die Lösung dieser Differentialgleichung führt auf die sogenannten Kugelflächenfunktionen Ylm (s.u.).
8.1.3
Slide 157
Das Teilchen auf dem Ring
Das Teilchen auf dem Ring (auf dem “Kugeläquator”)
• Was passiert, wenn wir weiterhin den “Aktionsradius” des Teilchens
auf den Äquator beschränken?
1. ϑ wird konstant sein: ϑ = 90◦ ⇒ sin ϑ = 1
∂
2.
= 0!
∂ϑ
3. Formal wird aus der Variable ϑ wieder ein Parameter.
• Die Schrödingergleichung des Teilchens auf dem “Ring” lautet
2 ∂
~2
ψ(ϕ; R, ϑ)
Ĥψ(ϕ; R, ϑ) = −
2mR2 ∂ϕ2
allgemein, auf einem Breitengrad:
2 ~2
∂
= −
ψ(ϕ; R, ϑ)
2
2msin ϑR2 ∂ϕ2
Slide 158
93
Lösung der Schrödingergleichung
−
~2 ∂ 2 ψ(ϕ)
= Eψ(ϕ)
2mR2 ∂ϕ2
∂ 2 ψ(ϕ)
2mR2 E
=
−
ψ(ϕ)
∂ϕ2
~2
• Diese Lösung ist formal die Gleiche wie für das Teilchen im eindimensionalen Kasten.
Diesmal ist jedoch die unabhängige Variable keine kartesische Koordinate, sondern eine periodische Winkelvariable.
Die formale Lösung lautet
ψ(ϕ) = a sin(ml ϕ) + b cos(ml ϕ)
= Aeiml ϕ
a, b sind reell, A i.A. komplex, i ist die imaginäre Einheit, ml ist ebenfalls reell.
Slide 159
Quantisierungsbedingung für ml
• Um die Schrödingergleichung zu erfüllen, muss natürlich gelten
ml 2 =
2mR2 E
~2
oder
E
=
ml 2
~2
2mR2
• Da die Variable ϕ periodisch ist, muss man fordern
eiml (ϕ+2π)
ψ(ϕ + 2π) = ψ(ϕ) ,
oder
iml ϕ
i2ml π
=e
·e
= eiml ϕ
um physikalisch eindeutige Lösungen zu erhalten.
• Also ei2ml π = 1 =⇒ ml ist eine ganze Zahl.
• Daraus ergibt sich als Quantisierungsbedingung für ml
ml = 0, ±1, ±2, . . .
Slide 160
94
Teilchen auf dem Ring Zusammenfassung
Wellenfunktionen
ψml = Aeiml ϕ
Energieeigenwerte
~2
Emi =
ml 2
2mR2
Quantenzahlen
mi = 0, ±1, ±2, ±3 . . .
Bemerkung
Obwohl die Differentialgleichung identisch mit der des Teilchens im
Kasten ist, sind die Randbedingungen unterschiedlich!
Dies führt dann auch zu unterschiedlichen erlaubten Quantenzahlen
(ml = 0).
8.2
Slide 161
Der Drehimpuls
Drehimpuls (klassisch)
~ ist ein Vektor.
• Der Drehimpuls L
Er ist das Vektorprodukt aus Orts- und Impulsvektor.
~ = ~r × p~
L


y · pz − z · py
~ =  z · px − x · pz 
L
x · py − y · px
• Sind die Kräfte auf ein Teilchen radialsymmetrisch, so ist der Drehimpuls eine Konstante der Bewegung (Erhaltungsgröße).
• Der Drehimpuls ist mit der Winkelgeschwindigkeit ω
~ und dem Trägheitstensor I über
~ = I~ω
L
verknüpft.
Slide 162
95
Übergang zur Quantenmechanik
~
px → pˆx =
i
• x → x̂ = x ·
∂
∂x
∂
∂ 
− z · ~i ∂y
y · ~i ∂z
~ =  z· ~ ∂ −x· ~ ∂ 
L
i ∂x
i ∂z
∂
∂
− y · ~i ∂x
x · ~i ∂y
 ∂
∂ 
y ∂z − z ∂y
~ ∂
∂ 
z ∂x − x ∂z
=
i
∂
∂
x ∂y − y ∂x

Operator des Quadrats des Drehimpulses:
L̂2 = L̂2x + L̂2y + L̂2z
Slide 163
Eigenschaften des Drehimpulsoperators: Kommutatoren der Komponenten
h
i
L̂x , L̂y = L̂x L̂y − L̂y L̂x
2 ∂
∂
∂
∂
~
−z
−x
y
z
=
i
∂z
∂y
∂x
∂z
2 ~
∂
∂
∂
∂
−
z
−x
y
−z
i
∂x
∂z
∂z
∂y
2
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
= ~i
y ∂z
z ∂x
− y ∂z
x ∂z
− z ∂y
z ∂x
+ z ∂y
x ∂z
∂ ∂
~ 2
∂
∂
∂
∂
∂
∂
− i
z ∂x y ∂z − z ∂x z ∂y − x ∂z y ∂z + x ∂z z ∂y
∂
∂z
=
Slide 164
∂
x = x ∂z
∂ ∂
~ 2
∂
∂
∂
∂
∂
∂
y
z
+
z
x
−
z
y
−
x
z
i
∂z ∂x
∂y ∂z
∂x ∂z
∂z ∂y
96
Eigenschaften des Drehimpulsoperators Kommutatoren der Komponenten
h
i
L̂x , L̂y =
~ 2
i
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
y ∂z
z ∂x
+ z ∂y
x ∂z
− z ∂x
y ∂z
− x ∂z
z ∂y
∂
∂
Benutze ∂z
z = 1 + z ∂z
2 ∂
∂ ∂
∂ ∂
~
y
+ yz
+ zx
=
i
∂x
∂z ∂x
∂y ∂z
2 ~
∂ ∂
∂
∂ ∂
−
zy
+ x +xz
i
∂x ∂z
∂y
∂z ∂y
~ ~
∂
∂
=
·
−x
y
i i
∂x
∂y
= i~L̂z
Slide 165
Kommutatoren der Drehimpulsoperatoren
• Kommutatoren
i
h
L̂x , L̂y = i~L̂z
h
i
2
L̂x , L̂ = 0
h
i
h
L̂z , L̂x = i~L̂y
i
L̂y , L̂z = i~L̂x
h
L̂y , L̂
2
i
=0
h
L̂z , L̂
2
i
=0
(Beweise in den Übungen)
Konsequenzen
– Ein beliebiger Zustand des Systems kann immer nur ein
Eigenzustand für eine der 3 Drehimpulskomponenten sein.
– Die Zustände des Systems sind gleichzeitig Eigenzustände
des Absolutbetragsquadrates des Drehimpulses, L̂2 .
– Also haben L̂2 und (beispielsweise) L̂z gemeinsame Eigenfunktionen.
Slide 166
97
Der Operator des Quadrates des Drehimpulses
• Mit den Definitionen der kartesischen Komponenten des Drehimpulses
L̂x , L̂y , L̂z kann man den Operator L̂2 des Quadrates des Drehimpulses
ausdrücken als
L̂2 = L̂2x + L̂2y + L̂2z
• Eine etwas langwierige Rechnung zeigt, dass man L̂2 auch durch
2 1
∂
∂
1
∂
2
2
L̂ = −~
sin ϑ
+
2
sin ϑ ∂ϑ
∂ϑ
sin ϑ ∂φ2
ausdrücken kann (s.o., ohne Beweis).
Slide 167
Die Drehimpulsoperatoren in Kugelkoordinaten
Unter Verwendung der Koordinatentransformationsgleichungen für Kugelkoordinaten lassen sich auch die Komponenten des Drehimpulsoperators
in Kugelkoordinaten angeben:
∂
∂
~
− sin ϕ
− cot ϑ sin ϕ
L̂x =
i
∂ϑ
∂ϕ
~
∂
∂
L̂y =
cos ϕ
− cot ϑ sin ϕ
i
∂ϑ
∂ϕ
~ ∂
L̂z =
i ∂ϕ
Anmerkung: L̂z und das Teilchen auf dem Ring besitzen die gleichen
Eigenvektoren!
Slide 168
Eigenwertgleichung des Drehimpulses
• Die Schrödingergleichung des Teilchens auf der Kugel
~2
1
∂
∂
Ĥψ(ϑ, ϕ; R) = −
sin
ϑ
2mR2
sin ϑ ∂ϑ
∂ϑ
2 1
∂
+
ψ(ϑ, ϕ; R)
2
sin ϑ ∂ϕ2
=
Erot ψ(ϑ, ϕ; R)
98
läßt sich auch schreiben als
Ĥψ(ϑ, ϕ) =
~2
L̂2
ψ(ϑ,
ϕ)
=
−
Λ̂2 ψ(ϑ, ϕ) = Erot ψ(ϑ, ϕ)
2mR2
2mR2
da R nur parametrisch auftaucht (d.h. R ist ein konstanter Parameter,
keine Variable).
• Letztendlich muss man also die Eigenwertgleichung für das Absolutquadrat des Drehimpulses, bzw. des Operators Λ2 , lösen:
Slide 169
Eigenwertgleichung für Drehimpuls und Legendre-Operator I
L̂2 ψ = (Erot · 2mR2 ) ψ
bzw.
h
2
1
∂
Λ̂ ψ(ϑ, ϕ) =
sin ϑ
sin ϑ ∂ϑ
= −
∂
∂ϑ
+
1
sin2 ϑ
∂2
∂ϕ2
i
ψ(ϑ, ϕ)
Erot · 2mR2
ψ(ϑ, ϕ) = kψ(ϑ, ϕ)
~2
Diese Gleichung (mit einem noch zu bestimmenden Eigenwert k) lässt
sich durch Faktorisierung gemäß ψ = Θ(ϑ) · Φ(ϕ) faktorisieren und
lösen.
Slide 170
Eigenwertgleichung für Λ Lösungsweg
• Faktorisierung ψ = Θ · Φ
• Lösung der Gleichung für Φ (“Teilchen auf dem Ring”) liefert eine
Quantenzahl ml (s.o.).
• Variablensubstitution z = cos ϑ, Θ(ϑ) → P (z) (Legendre-Funktionen)
• Faktorisierung von P (z) (analog zum harmonischen Oszillator)
P (z) = (1 − z 2 )|ml |/2 G(z)
99
• Potenzreihenansatz für G(z)
• Lösung G(z) führt wieder auf eine Rekursionsformel, die aus Normierungsgründen abbrechen muss (→ Quantenzahl l)
k = l · (l + 1)
Slide 171
mit
l = 0, 1, 2, . . .
und
|ml | ≤ l
Lösungen
• Λ̂2 ψ = −l · (l + 1)ψ
• L̂2 ψ = ~2 l · (l + 1)ψ
• L̂z ψ = ~ml ψ
• Anmerkung: ml = −l, −l + 1, . . . , l − 1, l ⇒ hLz 2 i ist immer kleiner
als hL2 i (außer für l = 0).
Dies bedeutet, dass der Drehimpulsvektor immer eine Komponente in
der xy-Ebene hat (→ “Präzession” von Spins in der NMR-Spektroskopie).
8.3
Slide 172
Produktansatz der Schrödingergleichung in Kugelkoordinaten
Separation der Schrödingergleichung in Kugelkoordinaten
• Die Schrödingergleichung eines Teilchens in einem Zentralfeldpotential
lautet also
2 ~2
∂
2 ∂
Ĥψ(r, ϑ, ϕ) = −
+
2m
∂r2
r ∂r
2 2
~Λ
−
+ V (r) ψ(r, ϑ, ϕ)
2mr2
= Eψ(r, ϑ, ϕ)
100
• mit
1
Λ̂ =
sin ϑ
2
Slide 173
∂
∂ϑ
sin ϑ
∂
∂ϑ
1
+
sin2 ϑ
∂2
∂φ2
• Macht man den Ansatz ψ(r, ϑ, ϕ) = R(r) · Θ(ϑ) · Φ(ϕ) und multipliziert
mit
2mr2
,
~2 RΘΦ
• so erhält man
2 r2
∂
2 ∂
2mV (r)
−
+
+
R
R
∂r2
r ∂r
~2
2mr2 E
1 2
Λ̂ (ϑ, ϕ)ΘΦ =
−
ΘΦ
~2
• oder
2 r2
∂
2 ∂
2m(V (r) − E)
−
+
+
R
R
∂r2
r ∂r
~2
1 2
=
Λ̂ (ϑ, ϕ)ΘΦ
ΘΦ
Slide 174
2 r2
∂
2 ∂
2m(V (r) − E)
−
+
+
R
R
∂r2
r ∂r
~2
1 2
=
Λ̂ (ϑ, ϕ)ΘΦ
ΘΦ
Dies ist wieder ein Ausdruck, dessen linke Seite nur von r und dessen
rechte Seite nur von ϑ und ϕ abhängt.
• Dies ist nur möglich, wenn beide Seiten gleich einer Konstanten sind,
die wir k nennen.
• Zunächst betrachtet man die rechte Seite.
Slide 175
101
Faktorisierung der Drehimpulsgleichung
Λ̂2 ΘΦ = kΘΦ
Slide 176
∂2
sin ϑ
ΘΦ = kΘΦ
∂φ2
sin ϑ2
Multiplikation mit
ergibt
ΘΦ
2 1
∂
∂
1
∂
sin ϑ
sin ϑ
Θ+
Φ = k sin2 ϑ
2
Θ
∂ϑ
∂ϑ
Φ ∂φ
∂
∂
1
sin ϑ
sin ϑ
Θ − k sin2 ϑ
oder
Θ
∂ϑ
∂ϑ
2 1
∂
+
Φ = 0
Φ ∂φ2
1
sin ϑ
∂
∂ϑ
1
sin ϑ
Θ
∂
∂ϑ
∂
∂ϑ
1
+
sin2 ϑ
sin ϑ
∂
∂ϑ
Θ − k sin2 ϑ
2 ∂
1
Φ = 0
+
Φ ∂φ2
• Wieder ist die Summe eines Ausdrucks, der nur von ϑ abhängt, und
eines Ausdrucks, der nur von ϕ abhängt, eine Konstante, die wir −m2l
nennen.
⇒ Beide Ausdrücke müssen jeweils konstant sein.
Slide 177
Die Φ-Gleichung
2 1
∂
= −m2l
Φ ∂ϕ2
2 ∂
Φ = −m2l Φ
∂ϕ2
102
• Diese Gleichung hat Lösungen
1
Φml = √ eiml φ
2π
mit
ml = 0, ±1, ±2, . . .
Slide 178
Die Θ-Gleichung
1
sin ϑ
Θ
∂
∂ϑ
sin ϑ
∂
∂ϑ
Θ − k sin2 ϑ
2 1
∂
+
Φ = 0
Φ ∂φ2
|
{z
}
=−ml 2
[Multiplikation mit Θ, Division durch sin2 ϑ]
1
∂
∂
m2l
Θ = kΘ
sin ϑ
Θ−
sin ϑ ∂ϑ
∂ϑ
sin2 ϑ
1
sin ϑ
Slide 179
∂
∂ϑ
sin ϑ
∂
∂ϑ
∂
∂ϑ
Θ =
m2l
k+
sin2 ϑ
m2l
k+
sin2 ϑ
Θ
Lösungen der Θ-Gleichung
1
sin ϑ
∂
∂ϑ
sin ϑ
Θ =
Θ
Die Lösungen der DGL lauten
1/2
2l + 1 (l − |ml |)!
|m |
Θl ml (ϑ) =
Pl l (cos ϑ)
2
(l + |ml |)!
mit Eigenwerten
k = l(l + 1) l = 0, 1, 2, . . . und |ml | ≤ l
103
|ml |
• Pl
Slide 180
heißen assoziierte Legendresche Polynome.
Kugelflächenfunktionen
• Das Produkt aus Θl ml (ϑ) und Φml (ϕ) heißt Kugelflächenfunktion Ylm
(wobei das Subskript l in ml der Übersichtlichkeit halber weggelassen
wird).
englisch:“spherical harmonics”
Slide 181
Kugelflächenfunktionen
l
ml
Ylm (ϑ, ϕ)
0 0
q
1
4π
1 0
q
3
4π
(→ s-Funktion)
cos ϑ
(→ pz -Funktion)
q
3
1 ±1 ∓ 8π
sin ϑe±iϕ
(→ p-Funktionen)
q
5
2 0
(cos2 ϑ − 1)
16π
q
15
2 ±1 ∓ 8π
cos ϑ sin ϑe±iϕ (d-Funktionen)
q
15
2 ±2
sin2 ϑe±2iϕ
32π
Slide 182
p-Orbitale
• Die Funktion Y10 (ϑ, ϕ) läßt sich mit der Definition der Kugelkoordinaten auch schreiben als
r
3 z
Y10 =
4π r
• Dies ist für die Funktionen Y1±1 nicht möglich.
104
• Wir können aber Linearkombinationen bilden, z. B.
1
ψpx = √ (Y1−1 − Y11 )
2
r
3
1
= √
sin ϑe−iϕ + sin ϑe+iϕ
2 8π
r
r
r
1
3
3
3 x
= √
sin ϑ · 2 cos ϕ =
sin ϑ cos ϕ =
4π
4π r
2 8π
Slide 183
py -Orbital
• Analog bilden wir
i
ψpy = √ (Y1−1 + Y11 )
2
r
i
3
= √
sin ϑe−iϕ − sin ϑe+iϕ
2 8π
r
r
r
3
3
3 y
1
sin ϑ · 2 sin ϕ =
sin ϑ sin ϕ =
= √
4π
4π r
2 8π
• pz ist eine Eigenfunktion zu L̂2 und L̂z .
• px und py sind nur Eigenfunktion zu L̂2 , aber nicht zu L̂z .
Slide 184
Radialgleichung
Die Schrödingergleichung lautete:
2 ∂
2 ∂
2m(V (r) − E)
r2
+
R
−
+
R
∂r2
r ∂r
~2
1 2
=
Λ̂ (ϑ, ϕ)ΘΦ
|ΘΦ {z
}
= −l(l + 1)
105
R(r)
ergibt die Radialgleichung
r2
2 2 ∂
2m(V (r) − E)
∂
+
+
R(r)
−
∂r2
r ∂r
~2
l(l + 1)
=−
R(r)
r2
Multiplikation mit
Slide 185
Radialgleichung II
2 ∂
2
∂
2m(V (r) − E)
l(l + 1)
−
+
+
R(r) = −
R(r)
∂r2
r ∂r
~2
r2
=⇒ [Umstellen]
2 2
l(l + 1)
2mE
∂
∂
2mV (r)
−
+
R(r) +
+
R(r) =
R(r)
∂r2
r ∂r
~2
r2
~2
• Wir machen uns zunutze, dass gilt
(rR)00 = (R + rR0 )0 = (R0 + R0 + rR00 ) = 2R0 + rR00
∂R
1 2 0 0
0
(r R )
R :=
(Beweis in Übungen)
=
r
∂r
1
so dass der Term mit der geschweiften Klammer durch · (rR)00 ersetzt
r
werden kann.
Slide 186
Radialgleichung III
Man definiert dann u := r · R(r) und erhält aus
2 ∂
2 ∂
+
R(r) +
−
∂r2
r ∂r
2mV (r) l(l + 1)
+
R(r) =
~2
r2
zunächst
2
1 ∂
2mV (r) l(l + 1)
−
u(r) +
+
R(r) =
r ∂r2
~2
r2
und schließlich nach Multiplikation mit r
106
2mE
R(r)
~2
2mE
R(r)
~2
−
∂2
∂r2
2mV (r) l(l + 1)
2mE
u(r) +
u(r) =
+
u(r)
2
2
~
r
~2
• Bemerkung: Die Drehimpulsquantenzahl l taucht hier als Parameter der
Differentialgleichung auf. Die Energie hängt im Allgemeinen auch von l ab
(vgl. jedoch die Energiewerte des H-Atoms (s.u.)).
107