A5170-Trigonometrie - Sinusatz und Cosinussatz

Mathematik
Trigonometrie
Dreiecksflächenformel, Sinussatz, Cosinussatz
Herleitung der Flächenformel für allgemeine Dreiecke:
Gegeben ist von einem beliebigen Dreieck a, b und α .
h
Es gilt: sin α = c ; h c = b ⋅ sin α
b
Für die Dreiecksfläche ergibt sich nun:
c ⋅ h c c ⋅ b ⋅ sin α b ⋅ c
A=
=
=
⋅ sin α
2
2
2
Analog gilt mit zyklischer Vertauschung
Die Flächenformel für allgemeine Dreiecke
b⋅c
c⋅a
a ⋅b
A=
sin α =
sin β =
sin γ
2
2
2
(Dieser Satz gilt auch für recht- und stumpfwinklige Dreiecke)
Verallgemeinerung:
Die Dreiecksfläche liess sich bisher aus einer Seite mal deren Höhe geteilt durch zwei
berechnen. Oder anders gesagt galt für die Fläche "Seite mal Seite durch zwei" nur für
rechtwinklige Dreiecke. Nun lässt sich die Fläche für allgemeine Dreiecke berechnen aus
dem Produkt zweier beliebiger Seiten mal dem 'Korrekturfaktor' Sinus des
Zwischenwinkels.
Aus dieser Flächenformel folgt:
Herleitung des Sinus-Satzes:
b⋅c
a ⋅c
sin α =
sin β
2
2
b ⋅ sin α = a ⋅ sin β
c
2
/ : ( sin α ⋅ sin β )
/
a sin α
=
b sin β
Analog gilt mit zyklischer Vertauschung *)
Der Sinussatz
a sin α b sin β c sin γ
=
; =
; =
b sin β c sin γ a sin α
In Worten:
Im Dreieck verhalten sich die Seiten wie die Sinuswerte ihrer Gegenwinkel
(Dieser Satz gilt auch für recht- und stumpfwinklige Dreiecke)
*) Erklärung der zyklischen Vertauschung siehe nächste Seite
A5170-Trigonometrie
Dreiecksflächenformel, Sinussatz, Cosinussatz
B. Willimann
19.02.2007
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Trigonometrie
Dreiecksflächenformel, Sinussatz, Cosinussatz
Zyklische Vertauschung:
Eine Formel, die Winkel und Seiten beliebiger ebener Dreiecke in Beziehung setzt,
bleibt richtig, wenn man zyklisch vertauscht, d.h. wenn man jede Dreiecksgrösse durch
die nächste (alphabetisch, nach c fange wieder bei a an) ersetzt Dieses Vorgehen heisst
deshalb zyklische Vertauschung, weil das Vertauschen anhand folgender Diagramme
abläuft:
Herleitung des Cosinus-Satzes:
(Beachten Sie die Skizze auf der vorhergehenden Seite)
Nach dem Satz von Pythagoras gilt:
h = b − c und h = a − c
2
c
2
2
1
2
c
2
2
2
Durch Gleichsetzen ergibt sich:
b −c = a −c
2
2
b = a +c −c
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
/ +c
2
1
/ setze c1 = c − c2
b = a + (c − c2 ) − c
2
2
2
2
2
/ TU
b = a + c − 2 ⋅ c ⋅ c2 + c − c
2
2
2
2
2
2
2
/ TU
c2
; c2 = a ⋅ sin β
a
damit erhalten wir:
b 2 = a 2 + c 2 − 2 ⋅ c ⋅ c2
es gilt: sin β =
b 2 = a 2 + c 2 − 2 ⋅ c ⋅ a ⋅ sin β
/ alfabetisch sortieren
b = a + c − 2 ⋅ a ⋅ c ⋅ sin β
2
2
2
Analog gilt mit zyklischer Vertauschung
Der Cosinussatz
2
c = a 2 + b 2 − 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ sin α
a 2 = b 2 + c 2 − 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ sin γ
b 2 = a 2 + c 2 − 2 ⋅ a ⋅ c ⋅ sin β
(Dieser Satz gilt auch für recht- und stumpfwinklige Dreiecke)
Verallgemeinerung:
Der Cosinus-Satz ist die Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras!
Bisher galt c2 = a 2 + b 2 für rechtwinklige Dreiecke. Nun können wir diesen Satz auch auf
beliebige Dreiecke anwenden mit dem "Korrektur-Subtrahenden" −2ab sin α . Für α = 900
gilt sin α = 0 und damit −2ab sin α = 0 was dem guten alten Pythagoras entspricht.
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Trigonometrie
Dreiecksflächenformel, Sinussatz, Cosinussatz
Anwendungen des Sinussatzes:
•
Wenn von einem Dreieck eine Seite und zwei Winkel (und damit alle drei Winkel)
gegeben sind
•
Wenn von einem Dreieck zwei Seiten und der Gegenwinkel einer dieser Seiten
gegeben ist
Anwendungen des Cosinussatzes:
•
Sind von einem Dreieck alle drei Seitenlängen bekannt, so notieren Sie zuerst den
Kosinussatz für diejenige Seite, welche dem gesuchten Winkel gegenüber liegt. Lösen
Sie diese Gleichung nach dem Cosinus des gesuchten Winkels auf. Aus diesem
Kosinuswert erhalten Sie den gesuchten Winkel mit dem Arcus-Cosinus
•
Sind von einem Dreieck zwei Seiten und deren Zwischenwinkel bekannt, so liefert der
Kosinussatz direkt die dritte Seite (bzw. das Quadrat dieser Seite
•
Sind von einem Dreieck zwei Seiten und ein anliegender Winkel (≠ Zwischenwinkel)
bekannt, so notieren Sie zuerst den Cosinussatz für diejenige Seite, welche dem
bekannten Winkel gegenüber liegt. Diese Gleichung ist eine quadratische Gleichung
für die dritte Dreiecksseite
Beispiele:
Stellen Sie sich selber Aufgaben:
Nehmen Sie von den dreiecksbestimmenden Stücken (a, b, c, α , β , γ ) je 3 Stück und
berechnen Sie die fehlenden Seiten und Winkel.
Diskutieren Sie die Fälle, in denen die Auswahl nicht zu einer eindeutigen Lösung sondern
zu zwei oder sogar unendlich vielen Lösungen führt.
Machen Sie sich zuerst zu jeder Aufgabe ein paar Gedanken: Was muss/kann ich zuerst
berechnen, brauche ich nur den Sinus- oder Cosinussatz oder brauche ich beide?
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