Kapitel I Maxwell Gleichungen in Vakuum.

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Prof. Fakher Assaad, Würzburg, 2008
Kapitel I
Maxwell Gleichungen in Vakuum.
Die Maxwell Gleichungen in Vakuum.
r
ρ (x, t ) = lim ∆V →0
Ladungsdichte:
∆Q
∆V
r
[ ρ (x, t )] = As / m3
r r r
Ladung
I (t ) =
die durch S fliesst = ∫ d{
s n j ( x, t )
Zeiteinheit
r
S
ds
Stromdichte:
S
r
r
n , n =1
Ladungserhaltung, Kontinuitätsgleichung.
d
Q(t ) =
dt
Gilt
r ∂ r
d
x
ρ (x, t ) = −
∫V
∂t
3
∀V ⇒
r r r
r r r
3r
∫ ds n j(x, t ) = − ∫ d x ∇ j(x, t )
∂V
r r r
∂ r
ρ ( x, t ) + ∇ j ( x, t ) = 0
∂t
V
Ströme und Ladungen erzeugen Magnetische und Elektrische Felder
Maxwell Gleichungen.
r
r r r
ρ ( x, t )
∇ E ( x, t ) =
Coulomb´sche Gesetzt
ε0
r r
r r
r r r
∂E(x, t )
∇× B( x, t ) = µ0 j( x, t ) + µ0ε 0
∂t
Ampère und Maxwell Verschiebungsstrom.
r r r
∇ B ( x, t ) = 0
r r
r r r
∂B( x, t )
∇× E( x, t ) = −
∂t
Faraday´sche Induktionsgesetzt.
Die Gleichungen der Elektrostatik.
r
F1,2
Coulomb Kraft
q1
r r
x 2 − x1
q2
r
x1
r
x2
r
F1,2 =
1
4πε 0
r r
q1q2 (x1 − x 2 )
r r 3
x1 − x 2
r
F2,1
Elektrisches Feld
der Punktladung
q2 am Ort x1
r
r r
r r
F12
1 q2 (x1 − x 2 )
E(x1 ) =
=
q1
4πε 0 xr 1 − xr 2 3
r
E  = N / As
Punktladung Ladungsdichte folgt aus Superpositionsprinzip (i.e. Linearität der MG)
r
∀ ρ ( x),
r
∑
ρ ( x) =
r r
qiδ (3) (x − xi )
i
r r
→ E( x ) =
1
4πε 0
∑
i
r r
qi (x − xi )
1
=
r r 3
4πε 0
x − xi
r r
r
r
(
x
− y)
3
ρ
y
(
y
)
d
r r3
∫3
x−y
Da,
r (xr − yr )
∇x r r 3
x−y
r r
E( x ) =
1
4πε 0
r r
= 4 π δ (3) (x − y )
ist:
r r
r
r
(
x
− y)
3
d
y
(
y
)
ρ
r r3
∫3
x−y
⇔
r
r r r
ρ ( x)
∇ E( x ) =
ε0
Skalar Potential, Poisson Gleichung.
r r
r
E( x ) = − ∇ x
r
Φ (x)
r
ρ
(
y
)
r
3
d
y
r r =
∫
4πε 0 3
x−y
14442444
3
r
≡ Φ (x)
1
r
r
− ∇ x Φ (x)
Nm
r
Φ
(
x
)
=
= Volts
[
]
As
ist skalar Potential.
Bedeutung vom Skalar Potential:
Arbeit die man leisten muss um Ladung q von A nach B zu bewegen:
B
WAB
B
B
r r r
r r r
r r r
= − ∫ d l F ( l ) = − q ∫ d l E( l ) = q ∫ d l ∇Φ ( l ) = q [ Φ ( B ) − Φ ( A) ]
A
A
A
Poisson Gleichung:
r
ρ (x)
ε0
r r r
r
= ∇ E(x) = − ∆Φ (x)
Zusammenfassend:
⇒
ε0
Ladungs-Dichte.
r
ρ (x)
r
1
ρ
(
y
)
r
r
3
Φ ( x) =
d
y
r r
4πε 0 ∫3
x−y
r
ρ (x)
r
∆Φ (x) = −
r
ρ ( x)
r
∆Φ (x) = −
r
r r r
ρ ( x)
∇ E( x ) =
ε0
r r
E( x ) =
ε0
r
Φ ( x)
Skalar Potential.
r r
r r
E( x ) = − ∇ Φ ( x )
1
4πε 0
r r
r
r
(
x
− y)
3
d
y
ρ
(
y
)
r r3
∫3
x−y
r r
E( x )
Elektrisches Feld.
Multipol Entwicklung.
Beispiel.
V
r
Φ ( x) =
1
4πε 0
r
r
Frage:
r r
r
E(x) für x
ρ (y ) = 0 falls y ∉ V .
r
r
Q = ∫ d y ρ (y )
3
R
Dipol
r
P =
r
y <R
r r
1 Q
1 Px
1 1
+
+
r
4πε 0 x
4πε 0 xr 3
4πε 0 2
r
ρ
(
y
)
r
3
d
y
r r =
∫3
x−y
Monopol
3
r
Falls y ∈ V dann ist
Quadrupol.
r r
3r
d
y
ρ
(
y
)y
∫
3
xi x j
Qi , j r 5 + K
∑
x
i, j
Qi , j =
r
3r
d
y
ρ
(
y
)
∫
3
3y i y j − δ i , j yr 2 


r
r
r
r

r r
1
x (x P) P 
E P ( x) ≅
3 r 5 − r 3 
4πε 0 
x
x 
Die Gleichungen der Magnetostatik.
I1
r
l1
r
µ
F1,2 = 0
4π
I2
r r 

r
r
l1 − l 2 

d
l
I
×
d
l
I
×
 ∫
r r 3
1 1
2 2
∫
l1 − l 2 
Leiter 1
 Leiter 2
Wert von µ0 wird durch Def. des Ampère festgelegt.
r
dl1
r
dl 2
r
l2
r r
B( x)
“One Ampère is that constant current which, if
maintained in two straight parallel conductors of
infinite length, of negligible cross section, and
placed at one meter apart in vacuum, would
produce between those two conductors a force
equal to 2 x10-7 Newton per meter of length.”
B-Feld des Leiter 2:
r r 

r r
r
x − l2 
µ 
B( x) = 0  ∫ d l 2 I 2 × r r 3 
4π  Leiter 2
x − l 2 

Bio Savart Gesetz.
r r
N
 B( x)  =
= Tesla


Am
⇒
r
F1,2 =
∫
Leiter 1
r
r r
d l1 I1 × B( l 2 )
Stromdichte einem Leiter.
r r
j ( x) =
∫
r
d l1 I1
r r
δ (3) (x − l 1 )
Leiter 1
Aus Superpositionsprinzip und Tatsache dass:
r r
∀ j(x),
r r
j ( x) =
∑ ∫
i
gilt:
Äquivalen
r r
µ
B( x) = 0
4π
r
r
(3) r
d l i I i δ (x − l i )
Leiter i
r r
x −y
r r r
∫3 d y j(y ) × xr − yr 3
3
(
Annahme
r r
r r r
∇ × B ( x) = µ 0 j ( x)
∂ r
ρ (x, t ) = 0 )
∂t
Differentialform der Ampère´sche Gesetz.
Zusammenfassend:
Strom-Dichte.
r r
r r
µ
r j(y )
A ( x) = 0 ∫ d 3 y r r
x−y
4π 3
r r
A ( x)
Vektor Potential.
r r
j(x)
r r
µ
B( x) = 0
4π
r r
r
x
−y
r
r
3
d
y
j
(
y
)
×
r r3
∫3
x−y
r r
r r r
∇ × B ( x) = µ 0 j ( x)
r r
r r r
B(x) = ∇× A ( x)
r r
B( x)
Magnetisches Feld.
Multipol Entwicklung.
Beispiel.
r r
r
j (y ) = 0 falls y ∉ V .
r r
r
Frage:
B( x) für x
V
r r
j(y )
3r
d
y
r r =
∫3
x−y
r r
µ
A ( x) = 0
4π
µ0 1
r
4π x
r
Falls y ∈ V dann ist
r
y <R
R
µ0 1
r r r
d
y
j
(
y
)
+
∫3
4π xr 3
14243
3
r r r r r
∫ d y j ( y )( y x ) + K
3
3
=0
r r
r r r r r
d
y
j
(
y
)(
y
x
)
=
m
×x
Es gilt: ∫
3
wobei
3
r 1
m=
2
r r r r
∫ d y y × j(y )
3
3
Magnetische
Diplomoment
Beweis folgt aus:
r
r
a) ∫ d y j j (y )y i = −
3
3
Insgesamt:
r r
A ( x) ≅
r
r
d
y
j
(
y
)y j
i
∫
3
r
r
b) ji (y )y j − j j (y )y i =
∑ε
i , j ,k
k
3
r
r r r
r r
r r r
µ0 1 r r
µ0  x (x m) m 
m × x ⇒ B ( x) = ∇ × A ( x) ≅
3 r 5 − r 3 
r
3
4π x
4π 
x
x 
Vergleiche mit Elektrische Dipolfeld.
(
r r r
j(y ) × y
)
k
Die Gleichungen der Elektrodynamik. (1831)
Faraday´sche Induktionsgesetz.
r r
d l ,ds
r
B
S
r
ds
r
dl
: rechte Hand Regel.
Induzierte Spannung
r r
∫dl E
∂S
d
= −α
dt
Es folgt dann dass:
Fluss von B durch S.
r r
∫S d s B
1
424
3
=Φ
α 1
r r r
∂ r r
∇ × E ( x, t ) + B ( x, t ) = 0
∂t
Lenz´sche Regel.
Richtung der induzierter Strom (und dadurch induziertes B-Feld) dämpft die
Variation von B durch S.
Maxwell Verschiebungsstrom (1873)
Nehmen wir die Gleichungen der Statik und ersetzen wir: x x,t
r
r r r
ρ ( x, t )
∇ E ( x, t ) =
Coulomb´sche Gesetzt
ε0
r r
r r
r r r
∂E(x, t )
∇× B( x, t ) = µ0 j( x, t ) + µ0ε 0
∂t
Ampère und Maxwell Verschiebungsstrom.
r r r
∇ B ( x, t ) = 0
r r
r r r
∂B( x, t )
∇× E( x, t ) = −
∂t
Problem: Aus Ampère folgt:
Faraday´sche Induktionsgesetzt.
r r r
∇ j(x, t ) = 0 und steht im Widerspruch mit Ladungserhaltung!
Lösung: Maxwell Verschiebungsstrom.
Konsequenz: Licht!
Erhaltungssätze in der Elektrodynamik.
a) Energie Erhaltung.
Energiedichte der Elektrostatik:
ε0 r 2 r
r
ω(x) = E (x)
2
Energiedichte der Magnetostatik:
r
ω(x) =
1 r2 r
B (x)
2µ0
Aus Maxwell Gleichungen gilt:
d
3r
d
x
∫
dt V
 1 r2 r
ε0 r 2 r 
r
(
,
t
)
(
,
t
)
d
B
x
E
x
s
+
=
−


∫
2
 2µ0

∂V
14444
4244444
3
r
ω(x, t )
1 r r
E× B −
µ0
r r r
∫d x E j
3
V
Bedeutung:
r
1 r r
S=
E× B
µ0
r
∫d s
3
∂V
Poynting Vektor,
1 r r
E× B
µ0
r
J
S = 2 = Energie Stromdichte.
  ms
= Energie/Zeiteinheit die durch Fläche S fließt.
r r r
∫d x E j
3
V
= Die im Gebiet V pro Zeiteinheit auf die Ladungsträger übertragene
Energie.
Feldenergie im Volumen V kann man nur ändern durch, Energietransport durch
die Oberfläche und durch Energie übertrag auf Ladungen in V.
Energie Erhaltungssatz in Differentialform:
r r r
∂
r
ω (x, t) + ∇ S (x, t) +
∂t
r r
r r
E (x, t ) j(x, t) = 0
b) Impuls Erhaltung.
r
r
(3) r
Sei ρ (y, t ) = ∑i qi δ ( y − xi (t ) )
r r r
∂
r
ρ ( x, t ) + ∇ j ( x, t ) = 0
so dass aus
∂t
r r
d r
r
r r
r
j(y, t ) = ∑i qi vi (t ) δ (3) ( y − xi (t ) ) mit vi (t ) = xi (t )
dt
Gesamt Kraft auf Ladungen im Gebiet V
r d r
F ≡ Pmechanical ≡
dt
r r
r r
r r
r
r
∫ d y  ρ (y, t ) E(y, t ) + j(y, t ) × B(y, t )  = ... =
3
V
d r
= − PField +
dt
Ti , j = ε 0 Ei E j +
Anwendung
der MaxwellGleichungen.
1
µ0
3r
d
∫ y
V
∑
j
∂
r
Ti , j ( y , t )
∂y j
r2
r2
B i B j − δ i , j ε 0 E / 2 + B / 2 µ 0 
r
r r
r r
3r
P field (t ) = ∫ d y ε 0 E( y , t ) × B ( y , t )
144
42444
3
V
Impuls Dichte des EM Feldes.
Maxwell Spannungs-Tensor
Insgesamt:
r
r
d
 P m e c h a n ic a l + P F ie ld 
dt
−
∫
=
∫
r
d s Tn
∂V
r
d s T n : Impuls die pro Zeiteinheit durch ∂ V fließt.
∂V
Feldimpuls im Volumen V kann nur ändern durch Impulstransport durch
die Oberfläche und durch Impulsübertrag auf Ladungen in V.
Die Homogene Wellengleichung.
Sei,
r r
r
r
j( x, t ) = 0, ρ (x, t ) = 0 , dann gilt:
r r r
r r r
∇ E(x, t ) = 0, ∇ B(x, t ) = 0
r r
r r r
∂E(x, t )
∇× B(x, t ) = µ0ε 0
∂t
r r
r r r
∂B(x, t )
∇× E(x, t ) = −
∂t
Elektromagnetischen Wellen !
Lösung.
r r
E (x, t ) =
1
(2π ) 2
r
r r r
i (q
∫ d q A (q ) e
3
r
r
x − ω (q )t )
r r r
r
1
i(q
3 r q × A (q )
d q
e
r
(2π ) 2 ∫
ω (q )
r r r
r
r
1
q A (q ), ω (q ) = c q , c =
r r
B (x, t ) =
Superposition von
monochromatischen Ebenen Wellen.
r
r
x − ω (q )t )
ε 0µ0
Bem:
c entspricht die Lichtgeschwindigkeit. Falls wir annehmen dass, die MG im
jedem Inertial-System gelten müssen, dann muss die Lichtgeschwindigkeit ein
Naturkonstant sein!
Widerspruch mit Galilei! Einstein Spezielle Relativitätstheorie.
Monochromatische Ebene-Welle (Laser) Nur eine Fourier Komponente.
r r
E (x, t )
r r
r
r r
r r
i q x − ω (q )t )

E ( x , t ) = Re  A ( q ) e (

r r
r
r r
q × E ( x, t )
B (x, t ) =
r
ω (q )
r r r
r
r
1
q A ( q ), ω ( q ) = c q , c =
r
q
r r
B ( x, t )
ε 0µ0
r
r r r
P ( t ) = E ( x = 0, t )
Def. Polarisation:
r
r
r
A = A ' + i A '' →
r
r
A ' ⊥ A ''
,
r
P (t ) =
r
r
A ' = A '' →
r
A'
r
A '' →
r
r
A ' co s( ω t ) + A '' sin ( ω t ),
r r
m it A ' , A '' ∈
3
Zirkular polarisiert.
Linear polarisiert.
Allgemein: Jede Monochromatische Ebene-Welle lässt sich als Superposition zwei
linear (oder zirkular) polarisiert Ebene-Wellen darstellen.
Potentiale und Eichungen.
Ansatz um Homogene MG zu lösen:
r r
r r
r
B ( x, t ) = ∇ × A ( x , t )
r r r
∇ B ( x, t ) = 0
r r
r r r
∂B(x, t )
∇× E( x, t ) = −
∂t
r r
r r r
∂A( x, t )
∇× E( x, t ) +
∂t

r r
r r
r r
∂A (x, t )
E( x, t ) = − ∇Φ ( x, t ) −
∂t

 =0

⇒
Die Potentiale sind nicht eindeutig!
Die Eichtransformation
r
r
r
∂ r
Φ ( x, t ) → Φ ( x , t ) −
χ ( x, t )
∂t
r r
r r
r r
A ( x, t ) → A ( x, t ) + ∇ χ ( x, t )
r r r
Wähle
χ (x, t )
so dass, ∇ A ( x , t ) + µ 0 ε 0
Wähle
r r r
r
χ ( x , t ) so dass, ∇ A ( x , t ) = 0
∂
r
Φ ( x, t ) = 0
∂t
lässt die Felder invariant.
Lorentz Eichung
Coulomb Eichung
Inhomogene Maxwell Gleichungen lauten dann:
r
r r r
ρ (x, t )
∇ E(x, t ) =
r
∂ r r r
ρ ( x, t )
r
∆Φ ( x, t ) + ∇ A (x, t ) = −
∂t
ε0
r r
rrr r
∂2 r r
∂
r
∆A( x, t ) − µ0ε 0 2 A (x, t ) − ∇  ∇A (x, t ) + µ0ε 0 Φ ( x, t )
∂t
∂t

ε0
r r
r r
r r r
∂E(x, t )
∇× B(x, t ) = µ0 j(x, t ) + µ0ε 0
∂t
Lorentz Eichung.
Def: 4-Vektoren
r r

=
−
µ
0 j ( x, t )

r
r
∂2
r
ρ ( x, t )
∆Φ ( x , t ) − µ 0ε 0 2 Φ ( x , t ) = −
ε0
∂t
r r
r r
∂2 r r
∆ A ( x , t ) − µ 0ε 0 2 A ( x , t ) = − µ 0 j ( x , t )
∂t
r
 Φ ( x, t ) r r 
µ r
A ( x, t ) → 
, A ( x, t ) 
 c

r
r
r
r
jµ ( x , t ) → c ρ ( x , t ), j ( x , t )
(
Def d‘Alembert Operator
)
µ = 0,1, 2, 3
Inhomogene MG im
Lorentz Eichung lauten:
r
µ r
A (x, t ) = µ0 j (x, t )
µ
1 ∂2
= −∆+ 2 2
c ∂t
Lösung der Inhomogene MG. (Lorentz Eichung)
Sei
r
jµ (x, t )
gegeben, gesucht ist
r
A (x, t )
µ
Green´sche Funktion. Es gilt:
Zeit t
mit:

1 ∂2  r r
r
(3) r
r+
−
∆
G
(
x
−
x
',
t
−
t
')
=
δ
(
x
−
x
')δ ( t − t ')
x

2
2 
c
∂
t


r r
1 δ (t − t ' ± x − x ' / c )
r r
G± ( x − x ', t − t ') =
r r
4π
x−x'
Zwei Lösungen !
r r
t −t' − x−x' /c = 0
Zukunft r
r r
A µ (x, t ) = G− (x − x ', t − t ')
Felder müssen in der Zukunft, nach
einschalten von ströme, liegen!
Kausalität !
r
(x ', t ')
Gegenwart. r
r
(3) r
µ0 j (x, t ) = δ (x − x ')δ ( t − t ')
µ
r
Ort x
r r
t −t' + x − x' /c = 0
Vergangenheit r
r r
A µ (x, t ) = G− (x − x ', t − t ') = 0
Physikalische Lösung:
r r
r r
1 δ (t − t ' − x − x ' / c )
Gret ( x − x ', t − t ') =
r r
4π
x − x'
Damit ist:
r
A µ ( x, t ) = µ 0
∫
r
r r
r
d 3 x ' ∫ dt ' Gret ( x − x ', t − t ') jµ ( x ', t ') =
3
µ
= 0
4π
r r
µ r
r j ( x ', t − x − x ' / c )
r r
∫3 d x '
x − x'
3
Felder:
r r
r
x − x'
r r
Sei: e = r r , r = x − x ' , t ret = t − r / c
x − x'
r
r r r
µ
B ( x, t ) = ∇ × A (x, t ) = 0
4π
r r
r
j
(
x
',
t
)
×
e
r
3
re t
d
x
'
∫
r2
„Bio-Savart“
r r
∂ j ( x ', t ret ) r
×e
µ0
3r
∂
t
d x'
+
4π c ∫
r
Strahlungs-Feld ~ 1/r
r
r
r
∂ r r
E ( x, t ) = − ∇ Φ ( x, t ) − A ( x, t )
∂t
r
r
1
r
e
3r
„Gauss“
E ( x, t ) =
d x ' ρ ( x ', t ret ) 2 +
∫
4πε 0
r
r r
r
r
1
1
3 r ∂ ρ ( x ', t re t ) e
3 r ∂ j ( x ', t ret ) 1 Strahlungs-Feld ~ 1/r
'
d
x
−
d
x'
4πε 0 c ∫
4π ε 0 c 2 ∫
∂t
r
∂t
r
Umformungen
r
r
1
r
e
1
3r
E ( x, t ) =
d
x
'
ρ
(
x
',
t
)
+
re
t
4π ε 0 ∫
r2
4πε 0 c
r r
 ∂ j ( x ', t ret ) r  r
× e × e

∂
t
1

3r 
+
d
x'
2 ∫
4π ε 0 c
r
r r
r r r r

 e − j ( x ', t ret )
2
j
(
x
',
t
)
e
ret


3r
d
x
'
∫
r2
Asymptotische verhalten:
r r
∂ j(y, t )
r
≠ 0 falls y ∈ V .
∂t
V
Frage:
r r
r r
r
B( x, t ) , E(x, t ) , für x
r r
r
 3 r ∂ j(y , t − x / c) 
∫ d y
 ×
∂
t
 V

r r
1 µ0
B ( x, t ) ≅
c 4π
r r
1
1
E ( x, t ) ≅ 2
c 4πε 0



r
Falls y ∈ V dann ist
r r
x/ x
r
x 
r 2 ×
x 
r
x
r
x
Energie-Strom (Poynting Vektor)
r r
r r
r r
µ0
E (x, t ) × B (x, t )
S (x, t ) =
≅
4π c
µ0
lim R → ∞
∫
r
x =R
r
ds
r
x
r3
x
r r
2
r
 3 r ∂ j(y , t − x / c) 
∫ d y

∂t
 V

r r
S (x, t ) ≠ 0
R
r r
E (x, t )
r
x
r2
x
r r
r
 3 r ∂ j(y , t − x / c) 
∫ d y
 ×
∂
t
 V

r
y <R
Strahlung !
r r
B ( x, t )
Kapitel II
Maxwell Gleichungen im Materie
Kapitel II. Maxwell Gleichungen im Materie / Makroskopische Maxwell Gleichungen
r
jµ ( x , t ) =
Modell für Materie:
( k ), µ r
j
∑ ( x, t )
k
r
j( k ), µ ( x, t ) : erhaltene 4 Stromdichte der kte Molekül, freie Ladung etc.
r
j( k ), µ ( x, t )
Problem:
∂ (k ) r
ρ (x, t )
∂t
r r
r
+ ∇ j (k ) (x, t ) = 0
Fluktuiert auf Längen-Skalen von Angström
MG sind nur auf Makroskopische Längen-Skalen gültig .
Beugung und Reflektion von sichtbare Licht kann man mit MG beschreiben.
°
°
[ λ ≈ 7500 A (Rot) bis λ ≈ 7500 A (Violet)]
Im Röntgen bereich
°
[ λ ≈ 50 A ]
braucht man QM.
°
Auf makroskopische [λ ≈ 1000 A] Längen-Skalen beobachtet man
gemittelt Felder die man mit MG realistisch beschreiben kann.
Mittlere Felder:
r
r
r
r
r
f (x, t ) = Ei ( x, t ), B i ( x, t ), ji ( x, t ) , ρ ( x, t )
r
f ( x, t ) =
r
r r
3r
d
y
f
(
y
,
t
)
g
(
x
− y) ,
∫
3
°
1000 A
r
3r
d
y
g
(
y
) = 1,
∫
3
r
g ( y ) : Glatt auf makroskopische
Längen Skalen.
r
f ( x, t ) : Fluktuiert auf mikroskopische Länge-Skalen.
r
f ( x, t ) : Fluktuiert auf makroskopische Länge-Skalen.
Die mittlere Felder erfüllen MG.
r r r
∇ E (x, t)
r
=
ρ (x, t )
ε0
r r
r r
r r r
∂ E (x, t )
∇ × B ( x , t ) = µ 0 j ( x , t ) + µ 0ε 0
∂t
r r r
∇ B (x, t)
=0
r r
r r r
∂ B (x, t )
∇ × E (x, t ) = −
∂t
Makroskopische
Maxwell Gleichungen
r
ρ (x, t) ,
Berechnung von:
r r
j(x, t )
kte Molekül.
r
j( k ), µ ( y , t ) ≠ 0
r
y 0 ( k ) (t )
r
ρ (x, t ) ≡
r
r
r
⇒ y = y 0 ( k ) (t ) + ∆y ,
r
°
∆y ≈ A
r r r
r
r
∑ ρ (x, t ) ≅ ρ Frei (x, t ) − ∇ ⋅ P(x, t )
(k )
k
r r
j(x, t ) ≡
r
ρ F rei ( y , t ) = ∑ Q ( k ) δ
k
r
r
jF rei ( y , t ) =
r r
P (y , t) =
r r
M (y , t) =
∑Q
(k )
k
∑
k
∑
r
p (k )
(3)
r(k ) r
r r
r r r
∂ r r
∑k j (x, t ) ≅ jFrei (x, t ) + ∂t P(x, t ) + ∇ × M(x, t )
r r
( y − y 0 ( k ) [ t ])
Ladung und Strom-Dichte
(k )
einer Punktladung der Ladung, Q
r (k )
und Geschwindigkeit, d y 0 [ t ]
r
d y 0 ( k ) [t ] (3) r r ( k )
δ ( y − y 0 [ t ])
dt
r r
Polarisation.
( t ) δ ( 3 ) ( y − y 0 ( k ) [ t ])
r
m ( k ) (t ) δ
(3)
r r
( y − y 0 ( k ) [ t ])
Magnetisierung.
k
r
r
Q ( k ) = ∫ d 3z ρ ( k ) (z, t )
r
r r r
r
p ( k ) (t ) = ∫ d 3 z ( z − y 0 ( k ) [t ]) ρ ( k ) ( z , t )
r r
r
1
r r r
m ( k ) (t ) = ∫ d 3 z ( z − y 0 ( k ) [t ]) × j ( k ) ( z , t )
2
Ladung
Dipolmoment
Magnetische Dipolmoment.
dt
r r r
∇ E (x, t)
r
r
r r r
ρ (x, t ) ≅ ρ Frei ( x, t ) − ∇ ⋅ P (x, t )
r r
r r
r r r
∂ r r
j( x, t ) ≅ jFrei (x, t ) +
P ( x, t ) + ∇ × M ( x, t )
∂t
r r r
∇ D (x, t)
=
in
r
ρ F rei ( x , t )
r r r
∇ B (x, t)
0
r r
∂ E (x, t)
∂t
einsetzen
= 0
r r
D (x, t)
=
r r
r r
ε 0 E (x, t) + P (x, t)
D: Dielektrische Verschiebung.
1
µ0
r r
r r
B (x, t) − M (x, t)
H: Magnetic field. (Magnetfeld)
B: Magnetic induction. (Magnetische
Erregung)
[ Jackson.]
r r
r r r
∂ B (x, t)
∇ × E (x, t) = −
∂t
r r
D ( x , t ),
r r
r
r r
∇ × B ( x , t ) = µ 0 j ( x , t ) + µ 0ε
r r
H (x, t) =
=0
Die Fundamentale Größen sind
=
r r
r
r r
∂ B (x, t)
∇ × E (x,t) = −
∂t
r r
r
r
r r
∂ D (x, t )
r
∇ × H ( x , t ) = jF r e i ( x , t ) +
∂t
r r r
∇ B (x, t)
r
ρ (x, t)
ε0
r r
E ( x , t ),
r r
B (x, t)
r r
H ( x , t ) sind aus „Bequemlichkeit“ definiert
Material Konstante. (linear, isotrop)
r r
P (x, t)
r r
= ε 0χ e E (x, t)
r r
M (x,t) =
r
χe , χm
[χ e ]= [χ m ] = 1
r
χ m H (x, t)
r r
r r
r r
D ( x , t ) = ε 0 (1 + χ e ) E ( x , t ) = ε E ( x , t )
r r
B (x, t ) =
r r
Elektrische, Magnetische Suszeptibilität
(1 + χ e ) : Relative dielektrische Konstante.
(1 + χ m ) : Relative permeabilitäts Konstante.
r r
µ 0 (1 + χ m ) H ( x , t ) = µ H ( x , t )
ε 0 (1 + χ e ) :
µ 0 (1 + χ m ) :
Dielektrische Konstante des Mediums.
Permeabilitäts Konstante des Mediums.
Anschlussbedingung. (Normale Komponente)
Material I
Grenzfläche
Material II
r
r
D I − D II
r
r
B I − B II
(
(
)
r
n
) =0
r
n = σ
F rei =
Freie fläche
Ladungsdichte [C/m2]
Aus
r
∇
r
∇
r r
r
D ( x , t ) = ρ F rei ( x , t )
r r
B (x, t ) = 0
folgt:
Normal Komponente von D ist unstetig am Grenzfläche
Normal Komponente von B ist stetig am Grenzfläche
Anschlussbedingung. (Tangentiale Komponente )
Material I
Grenzfläche
Material II
(
r
r
n × (E
r
r
n× H
I
r
−H
I
r
− E II
II
)=
)=
rF
jF r e i ,
r r
r
r
r r
r
∂ D (x, t)
∇ × H ( x , t ) = jF r e i ( x , t ) +
∂t
Aus
r r
r r r
∂ B (x, t)
∇ × E (x, t) = −
∂t
Freie fläche
Stromsdichte [A/m]
rF
jFrei
0
Bem. Wir haben implizit angenommen dass,
r
I Frei
r r
∂ D (x, t)
∂t
,
r r
∂ B (x, t)
∂t
folgt:
rn
rt
rn r
rt r
= I Frei
+ I Frei
, mit I Frei
t = I Frei
n =0
rt
= I Frei
/ ∆l
< ∞
r
für x ∈ Grenzfläche.
Beisp. Reflektion und Brechung am Grenzfläche zwischen zwei Dielektrika.
Annahme I (Isotrop, Linear):
Annahme II:
r r
r r
D (x, t) = ε E (x, t ) ,
r r
r r
B (x, t ) = µ H (x, t )
r
jfrei = 0, ρ frei = 0
r r r
∇ E (x, t )
MG
r r r
= 0, ∇ B (x, t )
r r
r r r
∂ E (x, t)
∇ × B (x, t) = µε
∂t
r r
r r r
∂ B (x, t )
∇ × E (x, t ) = −
∂t
Lösung Superposition von Ebene Wellen:
=0
r r
r
r r
r r
i (q x − ω ( q ) t )


E ( x , t ) = Re  A ( q ) e

r r
r
r r
q × E (x, t )
B (x, t ) =
r
ω (q )
r r r
r
r
1
q A ( q ), ω ( q ) = c q , c =
εµ
z
ε 1= ε 2,
r
r
r r
i (q i

E i ( x , t ) = Re A i e

r r
r
r r
q i × E i (x, t )
B i (x, t ) =
µ1 = µ2


ω
x
r r
qi A i ,
ε 3 , µ3
r
ω i = ci q i , c i =
Obere Halb-Ebene
r r
r r
r r
r r
r r
r r
E ( x , t ) = E 1 ( x , t ) + E 2 ( x , t ), B ( x , t ) = B 1 ( x , t ) + B 2 ( x , t )
Untere Halb-Ebene
r r
r r
E (x, t ) = E 3 (x, t )
Anschluss Bedingungen
r
x − ωt )
1
ε i µi
r r
r r
B (x, t ) = B 3 (x, t )
(
)
r
r
r
 ε 1 E 1 ( xr , t ) + E 2 ( xr , t ) − ε 3 E 3 ( xr , t )  nr = 0 = σ Frei


r r
r r
r r
r
 E 1 ( x , t ) + E 2 ( x , t ) − E 3 ( x , t )  × n = 0
r r
r r
r r
r
 B 1 ( x , t ) + B 2 ( x , t ) − B 3 ( x , t )  n = 0
rF
r r
 1 r r
1 r r  r
B
(
x
,
t
)
+
B
(
x
,
t
)
−
B
(
x
,
t
)
×
n
=
0
=
jFrei


1
2
µ3 3
 µ1

r
∀ x ∈ Grenzfläche:
(
)
Gleichungen sind von der Form:
r
i q
Re  C1 e ( 1

r
x − ω1t )
r r
i q 2 x − ω2t )
+ C2 e (
r r
i q 3 x − ω 3t )
+ C3 e (
 = 0 ∀ t , xr ∈ Grenzfläche:

Aus:
Folgt
r
i q
Re  C1 e ( 1

r
x − ω1t )
r r
i q 2 x − ω2t )
+ C2 e (
r r
r r r r
q1 x = q 2 x = q 3 x
r
∀ x∈
r r
i q 3 x − ω 3t )
+ C3 e (
 = 0 ∀ t , xr ∈ Grenzfläche:

Grenzfläche:
ω1 = ω 2 = ω 3
Konsequenz
r
r
r
q1 , q 2 , q 3
liegen in einer Ebene senkrecht zur Grenzfläche Einfallsebene.
α1 = α 2
sin(α 1 ) n3
= , ni =
sin(α 3 ) n1
εµ
ε 0µ0
Brechungs-Index.
Intensität:
(
r r
r r r r
q1 x = q 2 x = q 3 x
Aus
r
∀ x∈
)
r
r
r
 ε 1 A 1 + A 2 − ε 3 A 3  nr = 0


r
r
r
r
 A1 + A 2 − A 3  × n = 0


r
r
r r
r
r
r
 q 1 × A 1 + q 2× A 2 − q 3 × A 3  n = 0


r
r
r  r
 1 r
r
1 r
q
×
A
+
q
×
A
−
q
×
A

1
1
2
2
3
3 × n =0
µ
µ
3
 1

(
)
Mit:
r
r
r
A i = β i a i + β ⊥ i a i⊥ ,
r
ai
β i , β ⊥i ∈
r
r
a i = a i⊥ = 1,
r
r r
r
q i = a i⊥ q i = a i
r r
a i , a i⊥∈ 3
r
r
a i⊥ = a i⊥ n = 0
Polarisation /Intensität der gebrochene und reflektierte
rStrahl ist eindeutig durch Einfallende Strahl,
A 1 , α 1 , bestimmt.
Grenzfläche und
ω1 = ω 2 = ω 3
folgt.
Kapitel III
Randwert Problem in Magnetound Elektrostatik
Kapitel III
Randwert Problem in Magneto- und Elektrostatik.
Gleichungen der Elektrostatik.
r r r
1
r
∇ E(x) =
ρ (x)
ε0
r r
r
r
E ( x ) = −∇Φ ( x )
r
1
r
∆Φ ( x ) = −
ρ (x)
ε0
Fragestellung.
r
r
ρ ( x ) für x ∈ V sei gegeben.
r
r
Φ ( x ) für x ∈ ∂ V sei bekannt.
Folgerung:
Frage:
r
Φ ( x ) für
r
Φ ( x ) ist dadurch eindeutig bestimmt.
Beispiel: Faraday´sche Käfig.
r
x ∈V
Poisson Gleichung.
Spezielle Methoden zur Lösung der Randwertproblem.
a) Green´sche Funktion.
1 (3) r r
r r
r r
Sei G ( x , y ) mit ∆ yr G ( x , y ) = −
δ (x − y )
ε0
r r
∀ x, y ∈ V
Beisp:
r r
Sei G ( x , y ) =
1
4πε 0
1
r r
x−y
r r
+ F ( x, y )
r r
mit ∆ yr F ( x , y ) = 0
r r
∀ x, y ∈ V
Dann gilt:
r
Φ (x) =
r
r r
r
d
y
G
(
x
,
y
)
ρ
(
y
) + ε0
∫
3
V
r
Dirichlet: Φ ( y ) sei auf Rand bekannt.
r r
r
Wähle G ( x , y ) = 0 für y ∈ ∂ V
∫
∂V
r
r r r
r
r r
r r
r
d s  G ( x , y ) ∇ y Φ ( y ) − Φ ( y ) ∇ yr G ( x , y ) 
r
Φ (x) =
r
r r
r
Von Neumann: n ∇ Φ ( y ) sei auf Rand bekannt. Φ ( x ) =
r r
r r
r
n
∇ yr G ( x , y ) = 0 für y ∈ ∂ V
Wähle
r r
r
3r
d
y
G
(
x
,
y
)
ρ
(
y
) − ε0
∫
V
r r
r
3r
∫ d y G (x, y ) ρ (y ) + ε 0
V
∫
r
r r
r r
d s Φ ( y ) ∇ yr G ( x , y )
∫
r
r r r
r
d s G ( x , y ) ∇ yr Φ ( y )
∂V
∂V
Beispiel: Dirichlet Green Funktion der Halb-Raum:
x3
r
ys
r
r
V = {x | x2 > 0} , ∂V = {x | x2 = 0}
r
r
y = ( y1 , y2 , y3 ) ∈ V
y s = ( y1 , − y2 , y3 ) ∉ V
r
y
x2
r r
GD (x , y ) =
 1
1 
 r r − r r 
x − ys 
4πε 0  x − y
1
x1
Anwendung.
r
r
r
r r
Φ(y) = 0 für y ∈ ∂V, ρ (y) = q δ (3) (x - y)
x3
r
Φ (x) =
s
te
k
rfe ll
e
P eta
M
r
R = (0, R, 0)
x2
q
x1
 q
q
 r r − r r
4πε 0  x − R
x −Rs

1



Induziert Oberfläche Ladung:
r
σ (x) = −
q
2π
R
r r
x −R
3
∫
∂V
r
ds σ ( x ) = − q
Separation der Variabeln in der Laplace Gleichung.
Fragestellung:
r
∆Φ ( x ) = 0
für
r
r
x ∈V , Φ ( x ) sei auf ∂ V bekannt.
Für Probleme die man mit Kartesische Koordinaten gut beschreiben kann:
Ansatz:
r
∆Φ ( x ) = 0
r
Φ (x) = X ( x) Y ( y ) Z ( z )
⇔
X ''( x )
Y ''( y )
Z ''( z )
+
+
=0
X ( x)
Y ( y)
Z (z)
X ''( x )
= −α 2 ,
X ( x)
Y ''( y )
= − β 2,
Y ( y)
Z ''( z )
= α2 +β2
Z (z)
Lösung
r
Φ ( x ) = ∫ dα
iα x + i β y 
∫ dβ e
 κ + (α , β ) e
Die Funktionen κ ± (α , β )
α 2 +β 2 z
+ κ − (α , β ) e −
sind durch der Randwert eindeutig bestimmt.
α 2 +β 2 z


Gleichungen der Magnetostatik.
r r r
∇ ⋅ B ( x ) = 0,
r
r r r
r
∇ × H ( x ) = j frei ( x )
Fall Unterscheidung:
a) Lineare Isotrope Medium:
r r
r
r
∆ A ( x ) = − µ j frei ( x )
r r
r r
b) B ( x ) = µ H ( x ),
r r r
∇ × H (x) = 0
r r
r r
B (x) = µ H (x)
r r
r r r
B ( x ) = ∇ × A ( x ),
r r r
∇ A (x) = 0
(Coulomb Eichung.)
„Poisson“ Gleichung für jede Komponente vom Vektorpotential.
r
r
jFrei ( x ) = 0, µ : Konstante
r r
r
r
→ H (x) = − ∇ Φ M (x)
r
Φ M ( x) :
Magnetische Skalarpotential
r r r
r r r
∇ ⋅ B (x) = 0 ⇒ ∇ ⋅ H (x) = 0
r
∆Φ M (x) = 0
Laplace Gleichung für magnetische Skalarpotential.
c)
r r
M ( x ) ≠ 0,
r r r
∇ × H (x) = 0
r
r
jFrei ( x ) = 0,
r r
r
r
→ H (x) = − ∇ Φ M (x)
r r r
r r r
r r
∇ ⋅ B ( x ) = 0 ⇒ ∇ ⋅  H ( x ) + M ( x )  = 0
r r r
r
r
∆Φ M (x) = − ρ M (x) ≡ ∇ M (x)
„Poisson“ Gleichung für magnetische Skalarpotential.
r
ρ M ( x) :
Beisp. Homogen Magnetisierte Kugel.
Magnetische Ladungsdichte.
Kapitel IV
Spezielle Relativitätstheorie.
Kapitel IV: Spezielle Relativitätstheorie.
Def: Inertialsystem.
Im Inertialsystem gilt
d2 r
r
&&
x
(
)
=
x
(t ) = 0
t
dt 2
für den freien Massenpunkt.
r
x (t )
Raum
Zeit´
Zeit
d.h. Die Weltlinie des freien Massenpunktes ist eine Gerade.
r
x´(t )
Raum´
Relativitätsprinzip verlangt dass die Physik ( Bewegungsgleichungen ) eines isolierten Systems ( ohne
äußere Kräfte ) in jedem Inertialsystem gleich bleiben.
Beispiel.
Die Galilei Transformation:
t' = t+a
r
r
r r
x´ = R x + v t + b
R ∈ SO (3)
bildet Intertialsystem auf Inertialsystem ab und lässt die Newtonsche Gleichungen Form
Invariant.
Galilei Transformation.
r
&&
x´= 0
r
&&
x =0
N-Teilchen System.
r
∂
r
&&
mi x i = Fi = − r
∂ xi
r
r
x1 , L x N
(
r r
V
x
∑ i −xj
j ≠i
)
r
r
&&
mi x´i = Fi ´ = −
∂
r
∂ x´i
(
r
r
V
x
´
−
x
´j
∑
i
j ≠i
Form invarianz der Bewegungsgleichungen.
Man kann kein Experiment konzipieren das ein Inertialsystem von einem anderem unterscheiden kann.
)
Maxwell Gleichungen und Galilei Invarianz.
Annahme:
ε 0 , µ0
Folgerung:
c= 1
sind Naturkonstanten. d.h. unabhängig von der Wahl des Inertialsystems.
ε 0 µ0
ist eine Naturkonstante.
Widerspruch mit Galilei da unter eine Galilei Transformation:
Lösungsweg.
c → c+v
Es gibt andere Transformationen, die Lorentz Transformationen, die die
Maxwell Gleichungen form invariant lassen. Die Gleichungen der Mechanik
muss man entsprechend ändern.
Einsteins Spezielle Relativitäts-Theorie.
Postulaten
Programm:
a)
b)
Relativitäts-Prinzip gilt.
Licht Geschwindigkeit im Vakuum ist eine Naturkonstante.
a) Die Transformationen die die Licht Geschwindigkeit invariant lassen und Inertialsystem
auf Inertialsystem abbilden.
b) Transformation der Felder so dass M.G. form invariant bleiben.
c) Gleichungen der Mechanik ändern so dass sie Form invariant bleiben unter Lorentz
Transformationen.
Lorentz Transformationen.
Lorentz Transformation.
r
&&
x´= 0
Zeit´
Zeit
r
&&
x =0
r
x (t )
r
x´(t )
Raum´
Raum
r r
c 2 (t x ´− t y ´) 2 − x´− y´ = 0
Zeit ty
Zeit ty´
r r
c 2 (t x − t y ) 2 − x − y = 0
r
( y ´, t y ´)
r
(y , t y )
r
x
Ort
r
x´
Ort
Lorentz Transformationen, Ansatz.
Def:
xµ :
Λµ
ν
µ te
Komponente des 4-Vektors
: µ ,ν te
Lorentz Transformationen:
r
( ct , x )
Komponente der 4x4 Matrix
µ = 0, 1, 2, 3
Λ
x ' µ = Λµ ν x ν + bµ
Über jeden oben und unten stehender gleicher Index wird von 0 bis 3 Summiert.
Transformation ist linear:
Gerade Gerade (Inertialsystem Intertialsystem)
Lichtkegel Lichtkegel (c ist eine Naturkonstante)
Def:
g µν : µ ,ν
Komponente der 4x4 Matrix:
g µν =
Λρ
µ
1 0 0 0 


0
−
1
0
0


 0 0 −1 0 


 0 0 0 −1 
g ρ σ Λσ
ν
Eigenschaften.
Aus g µν =
Λρ
µ
g ρ σ Λσ
oder
ν
Die Homogene Lorentz Transformationen
Gruppe bezüglich Matrix Multiplikation.
Aus
g 00 =
Λρ
0
g ρ σ Λσ
0
folgt:
g = ΛT g Λ
x 'µ = Λ µ ν xν
(Λ )
0
0
2
folgt:
det( Λ ) = ± 1
bilden eine nicht abelsche
≥ 1
Klassifikation:
(Λ )
0
0
≥ 1 , det( Λ ) = 1
Z . B.
1



1


Λ=


1


1

(Λ )
0
0
≥ 1 , det( Λ ) = − 1
Z . B.
1



−
1

Λ =


−1


−1 

Raum Spiegelung
(Λ )
0
0
≤ − 1 , det( Λ ) = − 1
Zeit Spiegelung
Z . B.
 −1



1


Λ=


1


1

(Λ )
0
0
≤ − 1 , det( Λ ) = 1
Z . B.
 −1



−1


Λ=


−1


−1 

Raum und Zeit Spiegelung
Beispiele Lorentz Transformationen.
Drehung
1

Λ =



 γ

− βγ
Λ =
 0

 0
Boost.
R
− βγ
γ
0
0






R ∈ SO (3)
0 0

0 0
, β = v / c , γ = 1/ 1 − β 2
1 0

0 1
∆x ' 0 = γ ∆x 0 − βγ ∆x 1
∆ x '2 = ∆ x 2
∆x '1 = − βγ ∆x 0 + γ ∆x 1
∆x '3 = ∆x 3
Aus
r
∆x '
= 0
∆t '
Aus
∆x ' 0 = 0
(Massenpunkt ruht in
in
)
folgt nicht
folgt
r
r
∆x
= v e1
∆t
∆x 0 = 0
Konzept von Gleichzeitigkeit ist nicht mehr gültig!
x ' µ = Λ µν x ν
in
Minkowski Raum.
( x, y ) g = x µ g µν yν
„Skalar Produkt“
Bemerkungen:
„Skalar Produkt“ ist nicht positiv definit !
Lorentz Transformationen lassen „Skalar Produkt“ Invariant.
( Λx, Λy ) g = ( x, y ) g
Def:
Sei
Λ ρ µ g ρ σ Λ σ ν = g µν
da
xµ
heißt Kontravariante 4-Vektor (Index oben)
x µ ≡ g µν xν
heißt
g µν
Folgerungen:
Kovariante
4-Vektor (Index unten)
1 falls µ = ν
mit g µ ρ g ρν = δ µν = 
0 Sonnst
g µν = g µν
( x, y ) g = x µ y µ = x µ y µ
µ
x = g
µν
xν
Transformation Eigenschaften
Kontravariante
Kovariante
x 'µ = Λµυ xν
x 'µ = gµ ρ x ' ρ
Λµ ν
64
4744
8
ρ
= gµ ρ Λ σ g σ ν xν = Λµ ν xν
≡
= gµ ρ Λρσ x σ
Bemerkungen:
Es gilt :
∂µ ≡
Λ µ ρΛ µ ν = δ
∂
∂x µ
ρ
ν
Ist eine kovarainte 4-Vektor da
∂
= Λ µ ν ∂ν
'µ
∂x
∂ 'µ ≡
Lorentz Invarianz der Maxwell Gleichungen.
Annahme: MG sind form invariant unter Lorentz Transformationen
Frage:
Wie muss man die Felder Transformieren?
A) Ladungserhaltung.
r
Mit: jµ ( x , t ) :
durch
( c ρ ( xr , t ), j (xr , t ) ) ,
r
und ∂ µ :
∂
∂
∂ 
 ∂
 0, 1, 2, 3
 ∂x ∂x ∂x ∂x 
r r r
∂ r
r
ρ (x, t ) + ∇ j(x, t ) ≡ ∂ µ jµ (x, t ) = 0
∂t
gegeben.
ist die Ladungserhaltung
r
∂ µ j ( x, t ) = 0
µ
r
jµ (x, t )
Muss in jedem Inertialsytem gelten. r
∂ µ jµ (x, t ) = ∂ 'µ j 'µ (x ') = 0
muss wie eine Kontravariante 4-Vektor transformieren.
j 'µ (x ')
= Λ µ ν jν ( x)
B) Inhomogene MG.
∂
µ
µν
,
∂
=
g
∂ν ,
∂x µ
r
Φ
x
(
, t) r r 

A µ (x) : 
, A ( x, t ) 
 c

∂µ ≡
Inhomogene MG:
∂ν F µν ( x ) = µ 0 jµ ( x )
Form Invarianz der Inhomogenen MG verlangt:
F ' µν ( x ') = Λ µ
ρ
Λν
F ρ σ ( x)
σ
(1)
Homogene MG.
Sei:
Fµν = ∂ ν A µ − ∂ µ A ν = g ν ρ g µσ ( ∂ ρ A σ − ∂ σ A ρ ) = g ν ρ g µσ F
Fµν
 0

E /c
=:  1
 E2 / c

 E3 / c
− E1 / c
− E2 / c
0
− B3
B3
0
B2
− B1
− E3 / c 

− B2 
B1 

0 
Transformation Erigenschaften. Aus (1) folgt:
F ' µν ( x ') = Λ µ ρ Λ ν
σ
F
ρ σ
( x)
σρ
r r r
∇ B ( x, t ) = 0
r r
r r r
∂B( x, t )
∇× E(x, t ) = −
∂t
⇔
∂ σ Fµν + ∂ µ Fνσ + ∂ν Fσ µ = 0
Form Invarianz unter Lorentz Transformationen ist Vorhanden, da aus
∂ σ Fµν + ∂ µ Fνσ + ∂ν Fσ µ = 0
folgt:
∂ 'σ F 'µν + ∂ 'µ F 'νσ + ∂ 'ν F 'σ µ = 0
Lorentz Eichung und Wellengleichung.
∂ν F µν = ∂ν ( ∂υ A µ − ∂ µ A υ ) = ∂ν ∂υ A µ − ∂ µ ∂ν A υ = µ 0 j µ
Lorentz Eichung
D‘Alembert Operator
Im Lorentz Eichung:
∂ν A
υ
=
∂ν ∂
υ
=
1
c2
1
c2
r r r
∂
r
Φ ( x, t) + ∇ A (x, t) = 0
∂t
∂2
− ∆ =
∂t 2
∂ν ∂υ A µ ( x ) = µ 0 j µ ( x )
F ' µν ( x ') = Λ µ
Aus
ρ
Λν
σ
F ρ σ ( x)
A' µ ( x ') = Λ µ
ρ
folgt:
Aρ ( x)
Lorentz Transformation.
∂ν A
υ
=
∂ 'ν A ' υ =
0
∂ν ∂υ A µ ( x ) = µ 0 j µ ( x )
∂ 'ν ∂ 'υ A ' µ ( x ') = µ 0 j 'µ ( x ')
Retadierte Green´sche Funktion.
µ0
r
A (x, t) =
4π
µ
∫
3
r r
µ r
r j (y , t − x − y / c)
d y
r r
x−y
3
0
Retadierte Green´sche Funktion.
µ0
r
A ' ( x ', t ') =
4π
µ
∫
3
r r
µ r
r j ( y , t '− x '− y / c )
d y
r r
x '− y
3
Beisp.
Frage: E,B ?
r
v = ( v , 0, 0 )
r
Y (t )
q
(B) The easy way:
(A) The hard way: ( )
jµ (x) : = q δ
(3)
(
)
r r
r
x − Y (t ) ( c , v )
Green‘sche Funktion (Siehe Kap V)
Aµ (x) : =
ρ (x) =
q
1
r
( 1, v / c )
4 πε 0 c ρ ( x )
( x 1 − vt ) 2 + γ
−2
([ x 2 ] 2 + [ x 3 ] 2 )
x 'µ = Λ µ
υ
xυ ,
 γ

− βγ
Λ µ υ := 
 0

 0
A ' µ ( x ') : =
− βγ
γ
0
0
0
0
1
0
0

0
, β = v / c , γ =1 / 1 − β 2

0

1
 1 r
 r , 0 
4 π ε 0 c  x '

q
Aρ ( x) = Λ µ ρ A 'µ ( x ') :=
q
1
r
( 1, v / c)
4πε 0 c ρ ( x)
Aus potentiale:
r
v = ( v , 0, 0 )
r r
q γ
E (x, t ) =
4π ε 0
−2
( x 1 − vt , x 2 , x 3 )
,
ρ 3 (x)
r r
1 r r r
B (x, t ) = 2 v × E (x, t )
c
Bem:
a) Aufspaltung des EM Feld in B und E Felder hängt von dem Wahl des Inertialssystem!
b) Man hätte das Resultat aus
F ' µν ( x ') = Λ µ
ρ
Λν
σ
F ρ σ ( x)
gewinnen können.
c) Invariante:
det F
F
µν
' µν
( x ') = det F
µν
(
1 r r
( x) = 2 E B
c
)
2
r2 r2 2
( x ) Fµυ ( x ) = F ' ( x ') F 'µυ ( x ') = 2(B − E / c )
µν
Kapitel V
Kapitel V
Das Feld einer Punktladung (Lienard-Wiechert Potential)
Relativistische Mechanik, Lorentz Kraft, Lagrange und Hamiltonsche Formulierung.
Wellenleiter ( G. Reents)
Lienard-Wiechert Potential.
r
Punkt-Ladung mit Ladung q, Weltlinie Y (t ) , Geschwindigkeit
4-strom:
r
d Y (t )
r
v(t ) =
dt
r
r
r r r
r
(3) r
j (x, t ) := (c ρ (x, t ), j(x, t )) = q δ (x − Y(t )) (c, v(t ))
µ
qµ0
r
A µ ( x , t ) :=
4π
∫
r r
δ
(
t
−
t
'
−
|
x
− x ' | / c)
r
d 3x ' dt '
δ
r r
| x − x '|
4-strom (blau), Retardierte Green‘sche Funktion (rot)
(3)
r
r
r
( x '− Y ( t '))( c , v ( t ') )
r r
qµ0
r
δ ( t − t ' − | x − Y ( t ') | / c )
r
r
A µ ( x , t ) :=
d
t
'
(
c
,
( t ') )
v
r
4π ∫
| x − Y ( t ') |
r
r
Feld am Ort-Zeit ( x , t ) ist erzeugt wenn Teilchen am ort Zeit ( Y ( t ret ), t ret )
wobei tret durch die Gleichung
Bem:
r r
t − tret − | x − Y(tret ) | / c = 0
r
tret = tret (x, t )
Die t´ Integration.
r r
f (t ') = t − t ' − | x − Y(t ') | / c
Def:
r
r
r
R (t ') = x − Y(t '),
f (t ')
definiert ist.
r
R(t ') = R (t ') ,
r
r
d
f (t ') = − 1 + n(t ') ⋅ β(t ') < 0
dt '
r
r
n(t ') = R (t ') / R(t '),
ist stetig und monoton fallend.
f (t ' = −∞) = ∞
Es gibt nur eine Nullstelle, bei
t ' = tret
r
q
µ
c
(
,
v
( t '))
r
0
r
A µ ( x , t ) :=
r
4 π ( 1 − n ( t ') ⋅ β ( t ') ) R ( t ')
t ' = t ret
r
r
β(t ') = v (t ') / c
Beisp:
Aµ (x) : =
r
Y (t ) = (v t , 0, 0)
ρ (x) =
q
1
r
( 1, v / c )
4 πε 0 c ρ ( x )
( x 1 − vt ) 2 + γ
−2
([ x 2 ] 2 + [ x 3 ] 2 )
Die Felder:
tret
r
= tret (x, t )
∂
r
1
r
tret (x, t ) =
r
∂t
1 − n(tret ) β(tret )
ni (tret )
∂
r
1
r
tret (x, t ) = −
r
∂xi
c 1 − n(tret ) β(tret )
r r
E( x, t ) =
q
4πε 0
r r
1− β 2
r r 3 2 n −β
1−n β R
(
)
(
)
t =t
ret
144444444244444444
3
r
E
v
r r
r r
1r r
B ( x, t ) = n( x, tret ) × E( x, t )
c
+
q
4πε 0
r  r r r& 
1
r r 3 n× (n −β)×β 
1−n β Rc
(
)
t =t
ret
1444444444424444444444
3
r
Ea
Bem.
r r
r
E = Ev + E a
r r
r
B = Bv + Ba ,
Strahlung:
r
Ev
1/ R 2
Trägt nicht zur Strahlung bei.
r
Ea
1/ R
Trägt zur Strahlung bei.
r
1r r
B v = n × Ev ,
c
r
1r r
B a = n × Ea
c
r r
r r
1 r r
S a ( x, t ) =
E a ( x , t ) × B a ( x, t ) =
µ0
r r
1 r r
E a ( x, t ) 2 n ( x, tret )
µ0c
r r
r
S a (x, t ) d s = dϕ dϑ sin(ϑ )
14
4244
3
dΩ
r r
r r
R 2 (tret ) S a ( x, t ) n ( x, tret )
14444244443
d 2 E / dtd Ω
Abgestrahlte Energie pro Zeiteinheit und Fläche Einheit der Einheitskugel:
d 2E
d dE
d P
≡
=
=
d td Ω
d Ω dt
dΩ
(
r  r r r& 
×  (n − β )× β 
n
q2


r
6
r
1 6π 2 ε 0 c
1− n β
(
)
)
2
t =t
ret
Spezialfall.
d P
=
dΩ
Linear Beschleunigung.
q2
1 6π ε 0 c
2
β& 2
r&
β
r
β
s in 2 (ϑ )
(1 − β
c o s (ϑ ) )
r r
β n = β c o s (ϑ )
6
t =t
ret
Nicht relativistische Grenzfall:
r r
β , n Ebene.
q2
d P
≈
Länge:
dΩ
1 6π 2ε 0 c
β& 2 s in 2 (ϑ )
(z-achse)
Relativistische Grenzfall:
d P
≈
dΩ
q2
1 6π ε 0 c
2
β&
2
( γϑ )
5
6
(1 − β ) (1 + ( γϑ )2 )
2
2
γ
−2
(z-achse)
Maximale Strahlung bei
ϑm =
1
γ
5
=1− β
2
Relativistische Mechanik, Lorentz Kraft, Lagrange und Hamiltonsche Formulierung.
Relativistische Mechanik.
Eigenzeit:
ds 2 = dx µ g µυ dxυ = ( cdt ) −
2
dτ = ds / c = dt / γ
∑ i=1 ( dxi ) > 0
2
3
da v<c
Eigenzeit ist Lorentz Skalar !
β = v / c , γ =1 / 1 − β 2
4-Geswchindigkeit.
uµ =
d µ
x
dτ
r
u µ = : γ (c, v )
Aus
x 'µ = Λ µ υ x υ
u µ uµ = c 2
4-Impuls.
p µ = mu µ
m= masse ist Lorentz Skalar !
folgt
u 'µ = Λ µ υ u υ
Lorentz Kraft.
Ziel. Lorentz invariante Form die
reproduziert.
r r r
d r
p = q (E + v × B )
dt
d µ
p = − q F µυ uυ
dτ
r r r
d
r
(γ mv ) = q (E + v × B )
dt
µ = 1, 2,3
d
(γ{
mc 2 ) =
dt
µ =0
Relativistische Energie
Bem.
im nicht relativistischer Grenzfall
r r
q{
E⋅ v
Leistung der Lorentz Kraft.
r
γ mc 2 = mc 2 + mv 2 / 2 + L
µ
p =: (
γ mc 2
c
r
γ mv :
E
r
r
, γ mv ) = ( , γ mv )
c
Relativistische Impuls.
Synchrotron Strahlung. Kreis Beschleunigung, v ~ c
ϑm ∝
1
γ
gilt auch für allgemeine Bewegung. Winkel Verteilung ist aber dann von Azimut
und Geschwindigkeit Abhängig.
r
Y(t ) = r (cos(ω0t ),sin(ω0t ), 0)
r
rω
β(t ) = 0 (− sin(ω0t ), cos(ω0t ), 0)
c
Beobachter spürt Puls der Dauer:
∆t = ∆tret
dt
dtret
∆tret = ϑm / ω0 ≈
1
γω0
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