Lösung 12
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Physik II Übung 12 - Lösungshinweise Stefan Reutter Moritz Kütt Franz Fujara SoSe 2012 Stand: 13.07.2012 Aufgabe 1 Magischer Tetraeder In der Vorlesung wurde ein Experiment mit einem Widerstandstetraeder gezeigt (Tetraeder mit je einem Widerstand R an jeder Kante). a) Skizziere diese Schaltung. b) An zwei beliebigen Ecken wird eine Spannung U angelegt. Welcher Strom fließt? Berechne die Potentialdifferenzen zwischen allen möglichen Eckpaaren. Lösungshinweise: R R R a) R R R Dieses Schaltbild zeigt die Tetraedersymmetrie, man kann es aber auch rechteckig machen. In der Vorlesung waren statt Widerständen Glühbirnen angebracht, die die Stromstärke anzeigen. b) Nimmt man z.B. die mittlere und die untere Ecke als Pole, kann der Strom drei Wege gehen: über einen davon ist der Widerstand R (die Lampe brennt hell), über die beiden anderen jeweils 1 2R (die Lampen brennen nicht so hell). An der Lampe, die an der gegenüberliegenden Seite hängt fällt keine Spannung ab, daher kann auch kein Strom fließen. U/ R R U/ U/ 2 2 R U 2 U/ 2 R 2R R R 0 Aufgabe 2 Gefahren durch Elektrizität Von Elektrizität gehen einige Gefahren aus, manchmal aber auch nicht. Diskutiert die folgenden Fragen: a) Warum kann der Kontakt mit den Hochspannungsleitungen eines Zuges (15 kV) tödlich sein, obwohl der Kontakt mit einem Van-de-Graaf-Generator (hat etwa 10fache Spannung) nur unangenehm ist. b) Bei beliebigen Stromunfällen: Welche Rolle spielen Berührpunkte einer Person mit Spannungsquelle und Boden? c) Gibt es Richt- oder Grenzwerte für Spannungen/Ströme? d) Wie sollte man sich bei einem Gewitter verhalten, um sich möglichst gut vor Blitzschlägen zu schützen (bitte brauchbare Tips)? Lösungshinweise: a) Der Van-de-Graaf-Generator hat einen sehr hohen eigenen Innenwiderstand, daher können nur geringe Ströme fließen. Bei den Hochspannungsleitungen für Züge können dagegen sehr hohe Ströme fließen. Dies wird ja auch benötigt, um etwa einen Zug anfahren lassen zu können. Man kann auch spezielle Sicherheitsvorkehrungen an Bahnhöfen etc. sehen - fast alle metallischen Dinge in Oberleitungsnähe (Absperrungen, Bahnhofsdachsäulen, selbst Mülleimer) haben in der Regel irgendwo ein Erdkabel, damit es nicht zu gefährlichen Potenzialdifferenzen kommen kann. b) Die Berührpunkte sind relativ wichtig. Sehr gefährlich sind Stromunfälle, bei denen der Stromkreis über beide Arme und damit auch Brustkorb und Herz geschlossen wird, oder sogar nur von einer Hand bis zur Brust. Auch gefährlich sind Kontakte von Händen/Armen über den Rumpf und die Beine zum Boden, da auch hier Strom durch Herz und Organe fließt. Gleiches gilt für den Kopf. Weniger gefährlich sind Stromunfälle, bei denen der Strom nur etwa am 2 Fuß eintritt und am Knie wieder austritt. Prinzipiell aber auch nicht ratsam oder empfehlenswert. c) Prinzipiell sind schon sehr geringe Ströme (ab 10 mA) gefährlich. Das ganze hängt noch mal von der Art der Stromquelle ab. Wechselstrom ist gefährlicher, da die einzelnen Wellenberge und Täler u.a. als Signale für das Herz zur Kontraktion aufgefasst werden können. 50 Hz, wie im deutschen Stromnetz üblich, sind dafür jedoch etwas schnell. Richtwerte sind maximal 50 V für Wechselspannung und maximal 120 V für Gleichspannungen. Das ganze hängt jedoch wie schon oben erwähnt stark von den Umständen ab. Der Körper hat einen Innenwiderstand in der Größenordnung von einigen kΩ, daraus kann man dann auch auf Ströme schließen. d) Ohne zuviel Werbung machen zu wollen, geben wir zu dass wir durch einen Spiegel Online Artikel auf diese Frage gekommen sind. Daher ist es auch gut möglich, die Lösung dort einzusehen: http://www.spiegel.de/wissenschaft/natur/unwetter-tote-und-verletzte-bei-gewitterdurch-blitze-a-841930.html Aufgabe 3 Mehr Energie! Ein Kondensator der Kapaziät C wird auf eine Spannung U aufgeladen. Anschließend wird er über einen Widerstand R entladen. Zeige, dass bei vollständiger Entladung die gesamte im Kondensator gespeicherte Energie über den Widerstand in Wärme umgewandelt wird. Lösungshinweise: Die im Kondensator gespeicherte Energie ist We = 12 C U 2 . Die elektrische Leistung, die am Widerstand abgestrahlt wird, ist P = U I = U2 . R Aus der Vorlesung ist der Zeitverlauf des Entladevorgangs bekannt: t U(t) = U0 e− RC Wobei zur Unterscheidung U0 das U aus der Aufgabenstellung ist. Die abgegebene Wärme ergibt sich durch Integration der Leistung über der Zeit Ww = U02 Z∞ t −2 RC e R dt = 0 −RC U02 2R t −2 RC ∞ = e 0 1 2 C U02 = We Damit ist die gesamte Energie also in Wärme verloren gegangen, was anschaulich natürlich schon klar war. Aufgabe 4 Fahrradfahren mit Farad Wer im dunkeln mit dem Fahrrad fährt, sollte am besten Licht haben. Benutzt man dabei zur Umwandlung von mechanischer in elektrische Energie einen Dynamo (U D = 5 V), geht das Licht aus, wenn man anhält. Clevere Erfinder haben Fahrradrücklichter erfunden, die einen kleinen eingebauten Kondensator haben. So leuchtet das Licht beim Anhalten noch etwas nach. 3 a) Wie groß muss der Kondensator eines solchen Rücklichtes mindestens sein, wenn es noch 15 Sekunden nach Anhalten leuchten soll? Nimm dabei einen konstanten Widerstand der Lampe R = 50 Ω an. Die Lampe leuchtet ausreichend, wenn sie von mindestens I min = 20 mA durchflossen wird. b) Ist diese Kapazität groß oder klein? c) Zu welchem Zeitpunkt enthält der Kondensator nur noch ein Viertel seiner ursprünglichen Ladung? Lösungshinweise: a) Bei der Entladung gilt für die Spannung des Kondensators: t U(t) = U0 · exp− RC An der Lampe muss mindestens die folgende Spannung anliegen: Ul = RI min Das ganze kann man nun gleichsetzen und nach C umstellen: t RI min =U0 · exp− RC RI min t ln =− U0 RC t C= R ln RIU min F C ≈0.2 Fahrrad b) Das ist vergleichsweise viel für einen Kondensator, jedoch geht es hier nur um geringe Spannungen (geht quadratisch in Energie ein). Für Fahrradrücklichter sind sogar höhere Werte üblich. Oft werden auch LEDs verwendet, für die man jedoch nicht einfach das Ohm’sche Gesetz annehmen kann - vielmehr haben sie UI-Kennlinien und benötigen eigentlich immer eine gewissen Mindestspannung, um überhaupt zu leuchten. c) 4 Q(t) =C · U(t) t =C · U0 · exp− RC t =Q 0 · exp− RC 1 Q 0 =Q 0 · exp− 4 t 1/4 = ln 4 · RC t 1/4 = ln 4 · R · t 1/4 RC t R ln RIU min t 1/4 =12.9 s c d a e 4Ω 1Ω h - 12Ω 34V + 6Ω 8Ω b 2Ω Aufgabe 5 Verwirrt im Netz g f a) Berechne die Stromstärken durch jeden Widerstand der abgebildeten Schaltung. b) Verwende die Resultate aus a), um die Potentialdifferenzen aller Punkte im Vergleich zum Punkt a zu bestimmen. Lösungshinweise: a) Hier muss man liberal die Kirchhoffschen Regeln anwenden. Die Ströme definieren wir mit Hilfe der Knotenregel so I2 I1 b R1 I3 34V + - c d R3 R2 h I3+I4 R5 R4 I4 g a I1 I2 e R6 I2-I4 f I2-I4 Aus der Maschenregel ergeben sich folgende Gleichungen 5 I1 g f 34V + - h I3+I4 I2-I4 8Ω e I4 g a I2-I4 4Ω b c 6Ω I2 I3 34V + - f h I3+I4 a d 8Ω I2 d 2Ω 8Ω e 1Ω a 4Ω 12Ω h c 6Ω 4Ω e 1Ω 34V + - b 2Ω d 1Ω c 12Ω 6Ω 2Ω b I1 I2 I1 12Ω I2 I1 g f I1 I1 U = U1 + U2 + U6 = I1 R1 + I2 R2 + (I2 − I4 )R6 (I) U = U1 + U2 + U4 + U5 = I1 R1 + I2 R2 + I4 R4 + (I3 + I4 )R5 U = U1 + U3 + U5 = I1 R1 + I3 R3 + (I3 + I4 )R5 (II) (III) Aus der Knotenregel ergibt sich außerdem 0 = I1 − I2 − I3 (IV) Das ist ein lineares Gleichungssystem mit vier Gleichungen und vier Unbekannten, das man auf eine beliebige Art lösen kann (z.B. Gauss-Verfahren). Man erhält (Zahlenwerte aus Tipler übernommen) I1 = 3.49 A I2 = 1.29 A I3 = 2.20 A I4 = −1.48 A b) Für die Spannungen muss man nur noch das Ohmsche Gesetz verwenden. Ua = 0 U b = 34 V Uc = 13.1 V Ud = 13.1 V Ue = 2.77 V Uf = 0 Ug = 0 Uh = 8.67 V 6 Aufgabe 6 Diskussion: Wie misst man Spannung und Strom? Wie misst man eigentlich Spannung? Wie misst man Strom? Zeichne Messgeräte in eine beispielhafte Schaltung. Welche Eigenschaften müssen diese Messgeräte haben (z.B. Innenwiderstand?). Lösungshinweise: Spannung an Bauteilen oder Teilen eines Stromkreises wird durch ein parallel geschaltetes Messgerät gemessen. Dies ist nötig, um die Spannung im zu messenden Teil nicht zu verändern, da bei Parallelschaltungen beide Äste die selbe Potentialdifferenz aufweisen und somit das Messgerät nicht die eigentlich zu messende Spannung verändert. Der Innenwiderstand des Messgerätes sollte möglichst hoch sein, um die Veränderung des Stromflusses im zu messenden Teil der Schaltung möglichst klein zu halten. Strom in Stromkreisen wird durch ein in Reihe geschaltetes Messgerät gemessen. Dies ist nötig, da nur so durch Messgerät und zu messenden Teil der Schaltung der gleiche Strom fließt. Das Messgerät sollte einen möglichst geringen Innenwiderstand haben, um die Spannungsveränderung am zu messenden Teil der Schaltung möglichst klein zu halten. Aufgabe 7 Schaltung eines Amperemeters G In einem Amperemeter wird oft ein Galvanometer eingesetzt. Galvanometer sind zunächst zur Messung von sehr kleinen Strömen geeignet. Sie sind so konstruiert, dass der Zeigerausschlag proportional zum Stromfluss ist. Die Abbildung zeigt ein Galvanometer mit einer Schaltung, die verschiedene Strombereiche messbar macht. 10Ω 90Ω Das Galvanometer hat einen Innenwiderstand R G = 10 Ω und ist mit einem Widerstand R = 90 Ω verbunden, an dem an mehreren Stellen abgriffe möglich sind (siehe Abbildung). Durch diese Abgriffe werden die Strommessbreiche möglich, dabei wird dann entweder über die Kontakte ab, ac, ad oder ae gemessen. a b c d e a) Wie muss man den 90 Ω Widerstand aufteilen, damit zwischen den Meßbereichen jeweils ein Faktor 10 liegt? b) Welcher Galvanometerstrom ergibt Vollausschlag, wenn die Messbereiche 1 A, 0, 1 A, 10 mA und 1 mA betragen sollen? Lösungshinweise: a) Es ist günstig, das folgende Ersatzschaltbild zu betrachten 7 G IG IR 10Ω 90Ω R2 R3 R1 R4 I0 a b 1A c 100mA d e 10mA 1mA Bei Maximalausschlag des Zeigers ist der Galvanometerstrom I G jeweils der gleiche. Der Strom I0 soll sich je um eine Zehnerpotenz ändern. Da die Spannungen an beiden Armen gleich sind, muss immer gelten RIR = R0 I G Wobei R der Widerstand im linken Teil des Poti ist und R0 der Widerstand des Galvanometers und des rechten Teil des Poti. Wir betrachten zunächst den Fall, dass der zweite Anschluss an Punkt e ist, also R = R1 + R2 + R3 + R4 = 90Ω. RIR,e = R G I G 1 IR,e = I G 9 Wegen der Knotenregel muss gelten I e = IR,e + I G 9 Ie IG = 10 1 IR,e = Ie 10 Im zweiten Schritt soll nun der Anschluss an Punkt d sein, dann ist R d = R1 + R2 + R3 und es muss wieder gelten I G = 0.9I e = 0.09I d , damit ist IR,d = I d − I G = 10I e − 9 10 Ie = 91 10 Ie 8 Außerdem ist R − R4 IR,d = R G + R4 I G R4 I G + IR,d = RIR,d − R G I G R4 I d = R IR,d − IR,e IR,d − IR,e R4 = R 10I e 9 R = 81 Ω = 10 Die Argumentation kann man nun analog für die Widerstände 2 und 3 weiterführen. Das kann man leicht einsehen, wenn man R G + R4 als neuen Galvanometerwiderstand betrachtet und R1 + R2 + R3 als neues Poti mit Gesamtwiderstand 9 Ω. Es ergibt sich, dass man die Widerstände jeweils durch 10 teilen muss. Für R1 bleibt dann der Rest R3 = 8.1 Ω R2 = 0.81 Ω R1 = 0.09 Ω b) I G = 0.9I e = 0.9mA 9
