Dynamik

Newtonsche Gesetze
Im Jahre 1687 erschien Isaac Newtons Werk Philosophiae Naturalis Principia Mathematica
(Mathematische Prinzipien der Naturphilosophie), in dem Newton drei Grundsätze (Gesetze) der
Bewegung formuliert, die als die newtonschen Axiome,Grundgesetze der Bewegung, newtonsche
Prinzipien oder auch newtonsche Gesetze bekannt sind. Sie werden in Newtons Werk mit Lex
prima, Lex secunda und Lex tertia, insgesamt mit Axiomata, sive leges motus (‚Axiome, oder
Gesetze der Bewegung‘), bezeichnet.
Diese Gesetze bilden das Fundament der klassischen Mechanik. Obwohl sie im Rahmen moderner
physikalischer Theorien wie der Quantenmechanik und der Relativitätstheorie nicht
uneingeschränkt gelten, sind mit ihrer Hilfe innerhalb eines weit gefassten Gültigkeitsbereiches
zuverlässige Vorhersagen möglich.
Erstes newtonsches Gesetz
Das erste newtonsche Gesetz wird auch lex prima, Trägheitsprinzip, Trägheitsgesetz oder
Inertialgesetz genannt. Es wurde als erstes von Galileo Galilei im Jahre 1638 formuliert. Das
Trägheitsprinzip macht Aussagen über die Bewegung von physikalischen Körpern in
Inertialsystemen bei Abwesenheit von äusseren Kräften:
„Ein Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen Translation, sofern er nicht
durch einwirkende Kräfte zur Änderung seines Zustands gezwungen wird.“
Lateinischer Originaltext:
„Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, nisi
quatenus illud a viribus impressis cogitur statum suum mutare.“
Die Geschwindigkeit ⃗v ist also unter der genannten Voraussetzung in Betrag und Richtung
konstant. Eine Änderung des Bewegungszustandes kann nur durch Ausübung einer Kraft von
aussen erreicht werden, beispielsweise durch die Gravitationskraft.
In der klassischen Mechanik entspricht das erste newtonsche Gesetz den
Gleichgewichtsbedingungen.
Zur Verallgemeinerung des Trägheitsprinzips insbesondere in der speziellen Relativitätstheorie,
siehe auch Bedeutung der Trägheit für wichtige Prinzipien der Mechanik.
Zweites newtonsches Gesetz
Das zweite newtonsche Gesetz wird auch lex secunda oder Aktionsprinzip genannt.
Es ist die Grundlage für viele Bewegungsgleichungen der Mechanik:
„Die Änderung der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und
geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt.“
Lateinischer Originaltext:
„Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressae, et fieri secundum lineam rectam qua
vis illa imprimitur.“
Formal wird dieser Zusammenhang zwischen Kraft und Bewegungsänderung ausgedrückt als
F
⃗v α ⃗
Der Punkt über einem Buchstaben ist die von Newton in anderem Zusammenhang eingeführte
Notation für die zeitliche Änderung einer physikalischen Grösse. Das Zeichen α dazwischen
bedeutet proportional, also in festem Verhältnis stehend.
Im Originalwerk von Newton wurde, in modernen Begriffen ausgedrückt, bereits die allgemein
d ⃗p
F=
gültige Formulierung ⃗
(mit dem Impuls ⃗p ) beschrieben. Die Schriften Newtons
Δt
arbeiten dabei mit geometrischen Darstellungen der Grenzwerte von Strecken- und
Flächenverhältnissen.
In der Form ⃗
F =m⋅a
⃗ wurde das Gesetz zuerst 1750 von Leonhard Euler formuliert.
a die Beschleunigung, also ein Mass für die Veränderung der Geschwindigkeit.
Dabei ist ⃗
Leitfaden.Physik.2014.Dynamik.v1
1
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Diese Gleichung heisst – egal ob in Newtons oder in Eulers Formulierung – häufig Grundgleichung
der Mechanik.
Drittes newtonsches Gesetz
Das dritte newtonsche Gesetz wird auch lex tertia, Wechselwirkungsprinzip,
Gegenwirkungsprinzip, oder Reaktionsprinzip genannt. Es beinhaltet die folgende Aussage:
„Kräfte treten immer paarweise auf. Übt ein Körper A auf einen anderen Körper B eine Kraft aus
(actio), so wirkt eine gleich grosse, aber entgegen gerichtete Kraft von Körper B auf Körper A
(reactio).“
Lateinischer Originaltext:
„Actioni contrariam semper et aequalem esse reactionem: sive corporum duorum actiones in se
mutuo semper esse aequales et in partes contrarias dirigi.“
⃗
F A → B =−⃗
F B→ A
Das Wechselwirkungsprinzip wird auch als Prinzip von actio und reactio oder kurz „actio gleich
reactio“ (lat. actio est reactio) bezeichnet. Das dritte newtonsche Gesetz setzt eine unmittelbare
Fernwirkung voraus. Daher hat es in der speziellen Relativitätstheorie keine
Allgemeingültigkeit.Das Wechselwirkungsprinzip lässt sich auch so formulieren, dass in einem
abgeschlossenen System die Summe der Kräfte gleich Null ist. Zusammen mit dem zweiten Axiom
folgt der Impulserhaltungssatz.
Superpositionsprinzip der Kräfte
In Newtons Werk wird das Prinzip der ungestörten Überlagerung oder Superpositionsprinzip der
Mechanik als Zusatz zu den Bewegungsgesetzen beschrieben.
F1 ,⃗
F 2 , .... , ⃗
F n , so addieren
„Wirken auf einen Punkt (oder einen starren Körper) mehrere Kräfte ⃗
F res =⃗
F 1+⃗
F 2+...+⃗
Fn
sich diese vektoriell zu einer resultierenden Kraft ⃗
F auf.“ ⃗
Später wurde dieses Superpositionsprinzip auch als Lex quarta, als viertes newtonsches Gesetz
bezeichnet.
10. Bewegungsgleichung
F =m⋅a
Leitfaden.Physik.2014.Dynamik.v1
m
[ F ]=[m]⋅[a]=kg⋅ 2 = N =Newton
s
2
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Sir Isaac Newton [ˌaɪzək ˈnjuːtən] (* 25. Dezember 1642jul./ 4. Januar
1643greg. in Woolsthorpe-by-Colsterworth in Lincolnshire; † 20. März
1726jul./ 31. März 1727greg. in Kensington) war ein englischer Naturforscher
und Verwaltungsbeamter. In der Sprache seiner Zeit, die zwischen natürlicher
Theologie, Naturwissenschaften und Philosophie noch nicht scharf trennte,
wurde Newton als Philosoph bezeichnet.
Aufgabe 1
Welche Bremskraft ist erforderlich, um ein Fahrzeug von 600 kg Masse, dessen Geschwindigkeit 25
m/s beträgt, innerhalb von 60 s zum Halten zu bringen?
Lösung:
F = 250 N
Aufgabe 2
Ein Auto fährt mit einer Geschwindigkeit von 60 km/h gegen ein Hindernis und wird plötzlich zum
Stehen gebracht. Der Sicherheitsgurt dehnt sich und bringt den Oberkörper des Fahrers auf einem
Weg von 30 cm zur Ruhe.
a) Welche durchschnittliche Beschleunigung erfährt der Oberkörper des Fahrers (m = 50 kg).
b) Mit welcher Kraft wirkt der Gurt auf den Oberkörper des Fahrers?
c) Warum darf sich der Gurt nach der Dehnung nicht wie eine Feder zusammenziehen?
Lösung:
a) 462 m/s2, b) 23,15 kN
c) mit 60 km/h Aufprall im Stuhl, Genickbruch
Aufgabe 3
Ein Fahrzeug mit der Gesamtmasse von 850 kg beschleunigt gleichmässig auf waagerechter Strecke
aus dem Stand und erreicht nach t = 5.3 s eine Geschwindigkeit von 60 km/ h.
a)Berechnen Sie die Antriebskraft des Motors.
b)Welche Kraft erfährt eine Person im Fahrzeug mit einer Körpermasse von 75 kg?
Lösung:
3,144 m/s2
Fmotor = 2672 N
Fmann = 235 N
Aufgabe 4
Ein Zug der Gesamtmasse m = 600 t erreicht beim Anfahren von der Haltestelle aus auf der Strecke
von 2,45 km die Fahrgeschwindigkeit 120 km/h.
Wie gross ist die als konstant angenommene Kraft, mit der die Lokomotive den Zug zieht?
v2
33.332
v2
Lösung:
in F =m · a .
F =m ·
=600 · 103 kg
=1 , 361 ·10 5 N mit a=
2· s
4900
2· s
Aufgabe 5
Ein PKW mit der Masse m = 600 kg wird auf einer Strecke von 50 m durch die konstante Kraft F =
900 N abgebremst. Wie gross war die Anfangsgeschwindigkeit?
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3
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Lösung:
Aus F = m·a und v =2·a·s
wird v = 1,225·101 m/s = 44,1 km/h.
Aufgabe 6
Ein Motorrad(m = 200 kg mit Fahrer) entwickelt die Beschleunigung 3.0 m/s2. Welche Masse darf
eine Beifahrerin höchstens haben, wenn die Beschleunigung nicht unter 2.5 m/s2 sinken darf?
Welche Strecke legt das Rad in den ersten vier Sekunden ihretwegen weniger zurück?
Lösung:
m = 40 kg
Δs = 4 m
Aufgabe 7
Ein Eisenbahnzug von 500 t Masse soll auf horizontaler Schiene in 1 min von der Geschwindigkeit
4 m/s auf eine solche von 20 m/s gebracht werden. Welche Kraft muss der Zughacken der
Lokomotive auf den Zug übertragen?
Lösung:
F = 1.33·105 N
Aufgabe 8
Auf eine ruhende Masse von 3 kg wirkt eine Kraft von 6 N und bewegt sie 5 m weit. Wie lange hat
die Kraft gewirkt?
Lösung:
t = 2.24 s
Aufgabe 9
Auf eine anfänglich ruhenden Masse von 10 g wirkt 4 s lang eine Kraft von 2·10-2 N. Welchen Weg
hat der Körper nach 4 s zurückgelegt?
Lösung:
s = 16 m
Aufgabe 10
Ein Auto mit der Masse m = 900 kg soll auf einer Strecke von 150 m von der Geschwindigkeit v1 =
10 m/s auf die Geschwindigkeit v2 = 40 m/s beschleunigt werden.
a) In welcher Zeit geht der Beschleunigungsvorgang vor sich?
b) Wie gross ist die Beschleunigung?
c) Welche Kraft ist erforderlich?
Lösung:
t = 6 s,
a = 5 m/s2,
F = 4500 N
Aufgabe 11
Ein Radfahrer fährt mit einer Geschwindigkeit von 20 km/h. Die Masse von Fahrer und Rad beträgt
zusammen 80 kg. Er rollt ohne weiteren Antrieb aus und kommt nach 5 m zum Stehen. Wie gross
ist die Reibungskraft, wenn man annimmt, dass er gleichmässig abgebremst wird?
Lösung:
a =3.086 m/s2
F = 246.91 N
Aufgabe 12
Ein PKW mit einer Masse von 1,2 t fährt mit 50 km/h frontal auf eine Wand. Seine Frontpartie wird
um 70 cm verkürzt. Welches ist die mittlere Beschleunigung und welche mittlere Kraft wirkt?
Lösung:
a = 137.79 m/s2
F = 165344 N
Aufgabe 13
Ein Auto mit der Masse m = 720 kg wird durch eine konstante Bremskraft von F = 4,37 × 103 N
auf einem Weg s = 68 m auf die Hälfte seiner Geschwindigkeit abgebremst.
a) Aus welcher Geschwindigkeit wurde das Auto abgebremst?
b) Wie lange dauert der Bremsvorgang?
Lösung:
a = 6.069 m/s2
stot = 90.67 m a)
v = 33.175m/s
b)
ttot = 5.47 s
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10.1 Gewichtskraft
Gewichtskraft
F G =m⋅g
Aufgabe 1
Eine Masse wird an eine Schraubenfeder mit der Federrichtgrösse 2,5 N/cm befestigt. Die Feder
dehnt sich um die Strecke 5 cm. Welches Gewicht hat die Masse?
Lösung: Die Masse hat ein Gewicht von 12.5 N, dies entspricht einer gerundeten Masse von 1.25
kg.
Aufgabe 2
Eine Frau trage einen Karton der Masse 10 kg an einer Schnur, die eine Zugkraft von 150 N aushält.
Die Frau betrete damit einen Aufzug. In dem Moment, in dem dieser nach oben anfährt, reisst die
Schnur. Wie gross muss die Beschleunigung des Aufzugs mindestens sein?
Lösung:
a = 5 m/s2
10.2 Reibungskraft
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Reibungskraft:
F R =μ F G⋅cos (α)
Aquaplaning (auch Wasserglätte) bezeichnet das
Aufschwimmen des Reifens auf dem Wasserfilm einer nassen
Fahrbahn. In diesem Fall schiebt sich ein Wasserkeil unter die
Reifenaufstandsfläche und führt damit zum Verlust der
Haftung. Im Moment des Aquaplanings können keine
Führungs- und Bremskräfte auf die Fahrbahn übertragen
werden. Das Fahrzeug kann daraufhin ins Schleudern geraten.
Aufgabe 1
Wird ein Gummiklotz der Masse m = 25 kg mit einer Kraft von 200 Newton über einen Betonboden
gezogen, so erfährt dieser eine Beschleunigung von 1.5 m/s2. Berechnen Sie den
Reibungskoeffizienten μ.
Lösung:
FB = 37,5 N FR = 162.5 N μ = 0,65
Aufgabe 2
Ein Auto der Masse m = 900 kg wird durch Blockieren aller Räder gebremst. Die Gleitreibungszahl
zwischen Auto und Strasse beträgt μ = 0.4
a) Wie gross ist die bremsende Reibungskraft?
b) Wie gross ist der Bremsweg bei einer Geschwindigkeit von 90 km/h?
Lösung:
a) FR = 3600 N
b) s = 78.125 m
Aufgabe 3
Kinder nehmen einen Anlauf und schleifen auf Glatteis. Bei einer Anfangsgeschwindigkeit v = 2
m/s rutschen sie 4 m weit.
a) Wie gross ist die Verzögerung?
b) Wie gross ist die Reibungszahl?
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c) Kann man bei solcher Reibungszahl innerhalb 2 s vom Stand aus die normale
Gehgeschwindigkeit von 1.35 m/s erreichen?
Lösung:
a = -0.5 m/s2 f = 0.05
nein
Aufgabe 4
Auf horizontaler Unterlage liegt ein Körper der Masse m = 1 kg. Parallel zur Unterlage wirkt eine
Kraft von 4 N auf ihn ein. Der Reibungskoeffizient ist 0.35. Wie lange dauert es, bis er eine Strecke
von 9 m zurückgelegt hat?
Lösung:
t=6s
Aufgabe 5
Welche Kraft brauchst du, (a) um einen mit zwei Kindern (Gewichtskraft je 350 N) besetzten
Schlitten (Gewichtskraft 100 N) auf Eis in Bewegung zu setzen und (b) weiterhin gleichförmig zu
schieben? Die Haftreibungszahl ist 0.027, die Gleitreibungszahl ist 0.014.
Lösung:
FH = 21,6 N FG = 11.2 N
Aufgabe 6
Ein Schlepper zieht vier hintereinander gekoppelte Lastkähne (gleiche Masse, gleicher Widerstand
bei der Fahrt durch das Wasser) mit der Kraft F = 2000 N.
a) Wie gross ist jeweils die Kraft, die das Seil zwischen dem ersten und zweiten, dem zweiten und
dritten und dem dritten und vierten Kahn belastet?
b) Macht es einen Unterschied, ob der Schlepper den Zug beschleunigt oder ihn mit konstanter
Geschwindigkeit zieht?
Lösung:
a) Ist der Widerstand eines einzelnen Lastkahns bei der Fahrt durch das Wasser Fw, so zieht der
Schlepper mit der Kraft F=4 Fw alle Kähne. Die Zugkraft des Seils zwischen erstem und zweitem
Kahn ist 3 Fw = 1500 N, zwischen zweitem und drittem 2 Fw = 1000 N und zwischen drittem und
viertem Fw = 500 N.
b) Bei Beschleunigung muss entsprechend der Masse der Kähne (und ihrer Beschleunigung) die
Zugkraft grösser sein; sie verteilt sich aber
Aufgabe 7
Ein Pferd zieht einen Wagen von Fg = 5,0 · 103 N Gewicht. Es
braucht dazu die Kraft FZ = 300 N. Mit welcher Kraft muss das Pferd
ziehen, wenn man auf den Wagen zusätzlich eine Last mit dem
Gewicht Fg* = 3,0 · 103 N auflegt?
Lösung: F = 480 N
Aufgabe 8
Die Haftzahl von Eisen auf Eisen ist 0.15, die Rollwiderstandszahl
0,002. Welchen Bruchteil an der gesamten Gewichtskraft des Zuges
muss die Lokomotive (Antrieb auf allen Achsen) mindestens haben?
Lösung:1.3%
Aufgabe 9
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Ein Mann hat ein Seil um seine Füsse gebunden und über drei Rollen kann
er daran von oben ziehen. Der Mann wiegt 80 kg, die Haftzahl ist 0,6. Mit
welcher Kraft muss er mindestens ziehen, damit ihm die Füsse
weggezogen werden.
Lösung:[F > 300 N]
  FG
F   FG  F   F 
 300 N
1 
Aufgabe 10
Ein Hundeschlitten hat eine Masse von ms = 20 kg. Die Haftzahl des
Kufenmaterials auf Schnee beträgt μH = 0,1, die Reibungszahl μR = 0,04
a) Mit welcher Kraft müssen die Hunde mindestens ziehen, damit sich der
Schlitten in Bewegung setzt? Welche Kraft ist zum Ziehen des leeren
Schlittens nötig?
b) Die Hunde können für längere Zeit nur eine Zugkraft des Betrags 40 N
aufbringen. Welche Masse darf die Ladung des Schlittens höchstens haben?
c) Warum tritt beim Anfahren des beladenen Schlittens ein kräftiger Ruck
auf? Was unternimmt der Schlittenlenker dagegen?
Lösung: a) 20 N und 8 N b) 1000 N -200 N = 800 N
Haftreibung ist grösser als Gleitreibung
10.3 Schiefe Ebene
Gewichtskraft
F G=m⋅g
Normalkraft
F N = F G⋅cos( α)
Hangabtriebskraft
F H =F G⋅sin (α)
Reibungskraft
F R =μ F G⋅cos (α)
tg α=µ → α=arctg (µ)
Winkelfunktionen
sin α=
tg α=
Gegenkathete
Hypotenuse
sin α
cos α
φ=2
̂
π
φ
360°
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cos α=
2
Ankathete
Hypotenuse
tg α=
Gegenkathete
Ankathete
2
sin α+cos α=1
φ:
̂ Bogenmass , rad
φ :Gradmass(360 ° )
8
28
Pythagoras
c 2=a 2+b 2
a 2= p⋅c
b 2=q⋅c
h 2= p⋅q
Aufgabe 1
An einer Passstrasse in den Bergen steht ein Hinweisschild: Steigung 14 %. Wie gross ist der
Steigungswinkel α in Grad?
tg α=0.14 → α=7.97 °
Lösung:
Aufgabe 2
Eine Strasse hat eine Steigung von 12 %. Welche Bremskraft muss auf einen LKW mit m = 6,5 t bei
gleichförmiger Fahrt wirken?
Lösung:
α = 6.843˚
F = 7744 N für g = 10 m/s2
Aufgabe 3
Auf einer Bergstrecke, deren Steigungswinkel 1.5° beträgt, löst sich von einem stehenden
Eisenbahnzug der letzte Wagen. Welche Geschwindigkeit würde er nach 5 km Fahrt bei
Vernachlässigung der Reibung erreichen?
Lösung:
v = 50.7 m/s
Aufgabe 4
Auf einer schiefen Ebene von 10° Neigung liegt ein Körper von 300 N Gewicht. Der
Gleitreibungskoeffizient beträgt 0.5. Welche zur schiefen Ebene parallele, durch den Schwerpunkt
gehende Kraft ist erforderlich, um den Körper gleichförmig abwärts zu bewegen?
Lösung:
F = 147.72 N - 52.09 N = 95.62 N ≈ 95.6 N
Aufgabe 5
Eine schiefe Ebene bildet einen Winkel von 30˚ mit der Horizontalen. Die Reibung wird
vernachlässigt. Welche konstante Kraft, parallel zur Ebene braucht man, um eine 30 kg schwere
Kiste
a) mit einer Beschleunigung von 1.2 m/s2 die Ebene hinauf zuschieben,
b) mit einer Beschleunigung von 1.2 m/s2 die Ebene hinunter zuschieben?
Lösung:
a) 186 N
b) 114 N
für
g = 10 m/s2
Aufgabe 6
Mit welcher Beschleunigung kann ein Auto von 1000 kg bergauf starten, wenn es bei einer Neigung
von 12 ˚ und einem Reibungskoeffizienten von 0.01 mit einer Kraft von 4 kN angetrieben wird?
Lösung:
F= 4000 N - 2079 N- 98 N = 1823 N
a = 1.823 m/s2
Aufgabe 7
Der Neigungswinkel einer schiefen Ebene wird langsam erhöht. Ein Metallklotz auf der Ebene
rutscht bei α = 10˚ mit der Beschleunigung a = 1.1 m/s2 los. Berechnen Sie die Haft- und
Gleitreibungszahl.
Lösung:
fHaft = 0.17163
fGleit = 0.06463
Aufgabe 8
Die Schweiz schreibt vor, dass auf ihren unbefestigten Gebirgsstrassen der Bremsweg bei der
Talfahrt unter 6 m liegen muss. Mit welcher Geschwindigkeit darf man höchstens zu Tal fahren,
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wenn das Gefälle 18˚ beträgt und die Gleitreibungszahl auf 0.4 gesunken ist(Rollsplitt)?
Lösung:
ab = 3.80 m/s2
ah = 3.09 m/s2
ar = 0.71 m/s22
v = 2.92 m/s = 10.5 km/h
Aufgabe 9
Ein 8,23 kg schwerer Block ruht auf einer schiefen Ebene der Steigung von 25° (gegenüber der
Horizontalen). Der Koeffizient der Haftreibung beträgt 0,25; der Koeffizient der Gleitreibung
beträgt 0,15.
a) Welches ist die minimale Kraft parallel zur schiefen Ebene, die den Block vom Abrutschen
abhält?
b) Welche Kraft muss mindestens wirken, um den Block aufwärts in Bewegung zu setzen?
c) Welche Kraft wird benötigt, um den Block aufwärts in Bewegung zu halten?
Lösung:
FHaft = 18,647 N
FGleit = 11,188 N
FHang = 34.781 N
a)
16,134 N
b)
53,428 N
c)
45,969 N
Aufgabe 10
Auf einer schiefen Ebene von 30° Neigung beträgt der Reibungskoeffizient gegenüber einem rauen
Körper 0.8. Vom oberen Ende wird mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 5 m/s ein Körper nach
unten abgestossen. Welchen Weg legt derselbe bis zum Stillstand auf der schiefen Ebene zurück?
Lösung:
s = 6.62 m
Aufgabe 11 attention
Von einer geneigten Ebene mit dem Neigungswinkel α = 26° gleitet ein Körper A mit einer Masse
von 2 kg aus einer Höhe von 5 m hinunter. Der Körper befindet sich am Anfang in Ruhe, die
Reibungszahl ist 0.15.
a) Berechnen Sie die potentielle Energie des Körpers A am Anfang!
b) Wie gross sind die kinetische Energie und die Geschwindigkeit am Ende der geneigten Ebene?
c) Wie lange braucht der Körper A bis zum Anfang der Horizontalen?
Lösung:
F H =m⋅g⋅sin α=2⋅10⋅sin 26 ° =8.76742 N
c)
F R=μ m⋅g cos α=2⋅10⋅cos 26 °=2.6963 N
a=
F H −F R 8.767−2.696
=
=3.0355
m
2
h
h
5
=sin 26° → s=
=
=11.405 m
s
sin 26 ° 0.43837
√
1
2h
s= a t 2 → t=
=2.74124 s
2
a
Aufgabe 12
Der Körper B mit einer Masse von 5 kg gleitet aus dem Stillstand eine geneigte Ebene mit dem
Neigungswinkel = 45 hinunter. Die Reibungszahl beträgt auch 0,15. Er startet zusammen mit dem
Körper A und kommt zur gleichen Zeit auf der horizontalen Ebene an.
d) Wie gross ist seine Geschwindigkeit am Ende der geneigten Ebene?
e) Berechnen Sie die Anfangshöhe vom Körper B!
Die beiden Körper bewegen sich auf einer horizontalen Ebene der Länge 5 m aufeinander zu. Auf
Leitfaden.Physik.2014.Dynamik.v1
10
28
der waagerechten Ebene ist die Reibung zu vernachlässigen.
f) Wann und wo treffen sie sich?
g) Berechnen Sie die Geschwindigkeiten nach dem Stoss, wenn dieser vollkommen elastisch
erfolgt!
Aufgabe 13
Ein Aufzug fährt gemäss gezeigtem v-tDiagramm nach oben.
a) Welcher Gesamtweg wird vom Start bis zum
Stopp zurückgelegt?
b) Ein Passagier mit der Masse 70 kg steht
während der Fahrt auf einer Waage. Welche
Werte zeigt diese Waage in Newton: beim
Anfahren, bei der gleichförmigen Fahrt und
beim Abbremsen?
Lösung:
s = 24 m
F = 805 N, 700 N und 647.5 N
Aufgabe 14
Ein Wagen (m1 = 2500 g) kann sich auf einer
waagrechten Bahn reibungsfrei bewegen. Am
Wagen ist eine Schnur befestigt. Diese führt
über eine leicht drehbare Rolle und hat an
m 1 = 2500 g
ihrem Ende ein Gewichtsstück (m2 = 500 g)
hängen (siehe Abbildung).
a) Wie lautet die Bewegungsgleichung?
b) Mit welcher Beschleunigung setzt sich die Anordnung in Bewegung?
c) Welche Geschwindigkeit erreicht der Wagen nach 6 s?
d) Welchen Weg legt er in dieser Zeit zurück?
Lösung: a) (m1 + m2)·a = m2·g b)
a = 1.6 m/s2 c)
v = 10 m/s
m2 = 500 g
d)
s = 30 m
Aufgabe 15
Ein Klotz kann sich längs einer waagrechten,
rauen Unterlage bewegen. Am Klotz ist eine
Schnur befestigt. Diese führt über eine leicht
drehbare Rolle und hat an ihrem Ende ein
m 1 = 2500 g
Gewichtsstück hängen. Die Masse des Klotzes
betrage m1 = 2 kg, die Masse des
m2 = 500 g
Gewichtsstückes m2 = 1.5 kg und die
Gleitreibungszahl f = 0.4
a) Wie lautet die Bewegungsgleichung?
b) Mit welcher Beschleunigung setzt sich die Anordnung in Bewegung?
c) Welche Geschwindigkeit würde der Klotz nach 5 s erreichen, und welchen Weg hätte er in dieser
Zeit zurückgelegt?
Lösung:
a) (m1 + m2) ·a = m2·g - f·m1·g
b) a = 2 m/s2 c) v = 10 m/s d) s = 25 m
Atwood besuchte das Trinity College der
Universität Cambridge, wo er promoviert
wurde und als Fellow Lehraufgaben
übernahm. 1776 wurde er Mitglied der
Leitfaden.Physik.2014.Dynamik.v1
Die Atwoodsche Fallmaschine wurde 1784
von George Atwood erfunden. Sie wurde
als Nachweis für die Gesetze der
gleichmässig beschleunigten Bewegung
11
Eine schwingende Atwoodsche Maschine
(abgekürzt auch SAM) ist so aufgebaut,
dass eine der beiden Massen in der
gemeinsamen Ebene der Massen
28
Royal Society. 1784 veröffentlichte er das
Lehrbuch A Treatise on the Rectilinear
Motion, in der er die nach ihm benannte
Atwoodsche Fallmaschine beschreibt, eine
Vorrichtung zum Nachweis der Gesetze
des freien Falls der Körper. Atwood
veröffentlichte 1804 eine Analyse eines
Kursus über die Grundsätze der Physik.
konzipiert. Mit ihr kann man mit
einfachen Mittel statt der
Fallbeschleunigung eine beliebig
verringerte Beschleunigung erhalten.
schwingen kann. Bei gewissen
Verhältnissen der beteiligten Massen
ergibt sich ein chaotisches Verhalten. Die
schwingende Atwoodsche Maschine
besitzt zwei Freiheitsgrade der Bewegung,
r und θ.
Aufgabe 16
Die Kabine eines Lifts ist 2100 kg schwer, das
Gegengewicht besitzt die Masse 600 kg. Welche
Endgeschwindigkeit würde nach 10 m Fallhöhe
erreicht werden, wenn sich die Seilscheibe frei
drehen könnte?
Lösung:
a =5.55 m/s2, v= 10.54 m/s
2 1 0 0
k g
6 0 0
k g
Aufgabe 17
Auf einem Eisenbahnwagon der Masse M sind 2
Gewichte (m1 und m2) über ein Seil verbunden,
welches über eine Umlenkrolle geführt wird (s
Skizze).
Wie gross muss die Kraft F sein, damit die beiden
miteinander verbundenen Gewichte ihre Lage
bezüglich des Wagons nicht ändern?
Vernachlässigen Sie die Reibung und das Gewicht
der Rolle und des Seils.
m2
Lösung: m1⋅a=m2⋅g ⇒a= ⋅g
m1
10.4. Kraft und Gegenkraft
Aufgabe 1
Was zeigt ein Kraftmesser an, an dem man links und rechts mit je einer Kraft von 2N zieht?
Begründen Sie die Antwort!
Leitfaden.Physik.2014.Dynamik.v1
12
28
10.5 Träge Masse
Aufgabe 1
Wie verhält sich die offene Türe eines PKW beim Anfahren, bzw. Bremsen (Drehpunkt vorne)?
Aufgabe 2
Weshalb hat ein Amboss eine sehr grosse Masse? (Begründung)
Aufgabe 3
Welche Bewegung zeigt die Luftblase L in einer Wasserwaage, wenn man diese beschleunigt nach
rechts verschiebt?
10.6 Zentripetalkraft
Die Zentripetalkraft (auch Radialkraft) ist die Komponente der äusseren Kraft zum Mittelpunkt des
Krümmungskreises, die auf einen Körper wirken muss, damit sich dieser im Inertialsystem auf einer
gekrümmten Bahn bewegt.
Ohne diese Kraft würde sich der Körper nach dem Trägheitsgesetz gleichförmig in Richtung des
momentanen Geschwindigkeitsvektors (dem Tangentialvektor der Bahn) bewegen, wie dies z. B.
Bei Funken beobachtet wird, die sich von einer Schleifscheibe ablösen. Die Bewegung auf einer
vorgegebenen Bahn, z. B. Bei Achterbahnen, erfordert eine Zentripetalbeschleunigung (auch
Leitfaden.Physik.2014.Dynamik.v1
13
28
Radialbeschleunigung), aus der die Zentripetalkraft durch Multiplikation mit der Masse berechnet
werden kann.
Die Zentripetalkraft steht senkrecht auf dem Geschwindigkeitsvektor im Inertialsystem. Sie
unterscheidet sich somit von der Zentrifugalkraft, die nur berücksichtigt werden muss, wenn man
die Bewegung in einem beschleunigten Bezugssystem beschreibt.
F z=
m⋅v 2
=m⋅ω 2⋅r
r
11. Astronomie
Ein Planet ist ein Himmelskörper, (a) der sich auf einer Umlaufbahn um die Sonne bewegt, (b)
dessen Masse gross genug ist, dass sich das Objekt im hydrostatischen Gleichgewicht befindet –
und somit eine näherungsweise kugelähnliche Gestalt besitzt – und (c) der das dominierende Objekt
seiner Umlaufbahn ist, das heisst, diese über die Zeit durch sein Gravitationsfeld von weiteren
Objekten „geräumt“ hat. Diese Definition geht auf einen Beschluss der Internationalen
Astronomischen Union (IAU) vom August 2006 zurück. Dies führte unter anderem dazu, dass Pluto
seinen vormaligen Status als Planet verlor, was aber umstritten ist.
Fixstern (von lateinisch stellae fixae „fest stehende Sterne“) ist eine aus der Antike stammende
Bezeichnung für die sich zueinander scheinbar unverrückbar (fixen) am Nachthimmel stehenden
Sterne, die zusammen mit der Himmelssphäre den Sternenhimmel bilden. Durch ihre gegenseitigen
Positionen, die freiäugig als unveränderlich erscheinen, bilden sie die uns bekannten Sternbilder
und Konstellationen.
Die beobachtbare scheinbare Bewegung dieser „Fixsterne“ im Verlaufe einer Nacht (oder eines
Jahres) von Osten nach Westen über das von der Erde aus sichtbare Firmament entsteht durch die
Erdrotation bzw. durch den Umlauf der Erde um die Sonne.
Ein Komet oder Schweifstern ist ein kleiner Himmelskörper von einigen Kilometern Durchmesser,
der zumindest in den sonnennahen Teilen seiner Bahn eine durch Ausgasen erzeugte Koma und
meist auch einen leuchtenden Schweif entwickelt. Der Name kommt von altgriech. Κομήτης
komētēs ‚Schopfstern‘, abgeleitet von κόμη kómē für ‚Haupthaar‘, ‚Mähne‘.
Kometen sind wie Asteroiden Überreste der Entstehung des Sonnensystems. Sie bildeten sich in den
äusseren, kalten Bereichen des Sonnensystems (überwiegend jenseits der Neptunbahn), wo die
reichlichen Wasserstoff-Verbindungen zu Eis kondensierten.
In Sonnennähe ist der meist nur wenige Kilometer (maximal 20 km) grosse Kometenkern von einer
diffusen, nebeligen Hülle umgeben, die Koma genannt wird und eine Ausdehnung von 2 bis 3
Millionen km erreichen kann. Kern und Koma zusammen nennt man auch den Kopf des Kometen.
Das auffälligste Kennzeichen der von der Erde aus sichtbaren Kometen ist jedoch der Schweif, der
bei grossen und sonnennahen Objekten eine Länge von mehreren 100 Millionen Kilometern
erreichen kann. Meistens sind es aber nur einige 10 Millionen Kilometer.
Als Asteroiden (von griechisch ἀστήρ, astēr „Stern“ und der Endung -eides „ähnlich“),
Kleinplaneten oder Planetoiden werden kleine Objekte bezeichnet, die sich auf keplerschen
Umlaufbahnen um die Sonne bewegen, grösser als Meteoroiden, aber kleiner als Zwergplaneten
sind und im Gegensatz zu Kometen in Sonnennähe nicht ausgasen.
Bislang sind mehr als 620.000 Asteroiden im Sonnensystem bekannt (Stand: 9. Juli 2013), wobei
die tatsächliche Anzahl wohl in die Millionen gehen dürfte. Nur die wenigsten davon haben
allerdings mehr als einige 100 Kilometer Durchmesser, so dass sie auf Grund ihrer eigenen
Schwerkraft eine runde Form annehmen und dann zu den Zwergplaneten zählen.
Leitfaden.Physik.2014.Dynamik.v1
14
28
Grosse Asteroiden im Asteroidengürtel sind die Objekte (2) Pallas, (3) Juno, (4) Vesta, (5) Astraea,
(6) Hebe, (7) Iris, (10) Hygiea und (15) Eunomia.
Ein Meteorit [meteoˈrit] ist ein Festkörper kosmischen Ursprungs, der die Erdatmosphäre
durchquert und den Erdboden erreicht hat. Er besteht gewöhnlich überwiegend aus Silikatmineralen
oder einer Eisen-Nickel-Legierung. Da es sich fast immer um vielkörnige Mineralaggregate
handelt, werden Meteoriten unabhängig von ihrer chemischen Zusammensetzung zu den Gesteinen
gezählt.
Die Liste der Sternbilder enthält alle 88 von der Internationalen Astronomischen Union (IAU)
verbindlich festgelegten Sternbilder. Nachdem im Laufe der Zeit die Zahl der teilweise willkürlich
und ohne System angelegten Sternbilder mehr als 100 erreicht hatte, legte die IAU in ihrer ersten
Sitzung 1922 eine Liste von 88 Sternbildern verbindlich fest. Bei der zweiten Sitzung der IAU 1925
wurde Eugène Delporte damit beauftragt, deren exakte Grenzen festzulegen, die auf der dritten
Generalversammlung 1928 genehmigt wurden.
Bei genauen Grenzziehungen ist heute allerdings die seit damals aufgelaufene Präzession
(Verschiebung des Koordinatensystems) zu beachten.
Die Milchstrasse ist die Galaxie, in der sich unser Sonnensystem mit der Erde befindet.
Entsprechend ihrer Form als flache Scheibe, die aus Milliarden von Sternen besteht, ist die
Milchstrasse von der Erde aus als bandförmige Aufhellung am Nachthimmel sichtbar, die sich über
360° erstreckt. Ihrer Struktur nach zählt die Milchstrasse zu den Balkenspiralgalaxien.
Als eine Galaxie (altgriechisch γαλαξίας galaxías ‚Milchstrasse‘) oder manchmal auch Welteninsel
wird in der Astronomie allgemein eine gravitativ gebundene grosse Ansammlung von Materie wie
Sternen und Planetensystemen, Gasnebeln, Staubwolken und sonstigen Objekten bezeichnet.
Als die Galaxis im Singular wird in der Astronomie ausschliesslich unsere eigene Galaxie, die
Milchstrasse bezeichnet. Im Englischen wird jedes System als „galaxy” bezeichnet. In einer
dunklen und klaren Nacht sehen die dicht gedrängten Sterne der galaktischen Scheibe wie eine Spur
von verschütteter Milch aus.
Als Opposition bezeichnet man in der Astronomie den Aspekt, bei dem sich zwei Himmelskörper
von der Erde aus betrachtet im Winkelabstand (Elongation) von 180 Grad zueinander befinden. Im
Regelfall interessiert dabei nur die Opposition eines Himmelskörpers gegenüber der Sonne (als
zweitem Himmelskörper), weil ersterer dann die ganze Nacht über am Himmel zu sehen ist und um
Mitternacht am höchsten über dem Horizont steht.
Steht etwa der Mond in Opposition zur Sonne, so haben wir Vollmond. Himmelskörper, die wie die
unteren Planeten Merkur und Venus innerhalb der Erdbahn die Sonne umlaufen, können dagegen
nie in Opposition zur Sonne kommen und sind daher stets nur am Abend- oder Morgenhimmel,
nicht aber während der ganzen Nacht zu sehen.
Leitfaden.Physik.2014.Dynamik.v1
15
28
Die Konjunktion ist der Aspekt, in dem ein Himmelskörper mit einem anderen Himmelskörper den
gleichen Wert in Rektaszension (Konjunktion in Rektaszension) oder in ekliptikaler Länge
(Konjunktion in Länge) hat.
Berührung ist der Aspekt, bei dem die Objekte gleiche azimutale Position haben, das scheinbare
Zusammentreffen zweier Himmelskörper.
Kontakt bezeichnet denselben Sachverhalt, insbesondere aber auch ausgewählte Momente bei
Berührungen von Objekten.
11.1. Gravitationskraft
F Gravitation=G
mM
r2
2
m
G=6.6710 N 2
kg
(Gravitationskonstante)
−11
24
Masse der Erde:
m Erde=5.979⋅10 kg
Masse des Mondes:
m Mond =7.357⋅10 kg
Radius der Erde:
R Erde=6.3713⋅10 6 m
Masse der Sonne:
30
mSonne =1.991⋅10 kg
22
Mittelpunktabstand Erde – Sonne: r Erde− Sonne =1.4957⋅1011 m
Mittelpunktabstand Erde – Mond: r Erde− Mond =3.84403⋅108 m
Leitfaden.Physik.2014.Dynamik.v1
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Aufgabe 1
Zwei Körper haben die gleiche Masse von 2 kg. Sie ziehen sich gegenseitig mit einer
Gravitationskraft von 5.34·10-10 N an. Wie gross ist der Abstand ihrer Massenmittelpunkte?
Lösung:
Aus dem Gravitationsgesetz folgt r = 0,71 m.
Aufgabe 2
a) Berechnen Sie die Gravitationskraft, mit der sich zwei
Supertanker von je 300 000 t Masse im
Schwerpunktabstand von 100 m gegenseitig anziehen.
Wie viel Prozent beträgt diese Gravitationskraft von der
Gewichtskraft eines Tankers?
b) Berechnen Sie die Gravitationskraft zwischen zwei
Protonen, die sich gerade berühren (mp = 1,67·10-27 kg; rp
= 1,2·10-15 m).
Lösung:
a) F = 600 N
b) F = 3,2·10-35 N
(r = 2 r P)
Aufgabe 3
Wie gross ist die Gravitationskraft zwischen
a) zwei Schiffen von je 100 000 t, die sich mit dem Schwerpunktabstand d = 200 m begegnen;
b) zwei Autos von je 900 kg, die im (Schwerpunkt-) Abstand von 5 m aneinander vorbeifahren;
c) zwei Wasserstoffatomen mH = 1,6734 10-27 kg. im Abstand von d = 10-8 cm?
Lösung:
a) F = 16.675 N;
b) F =0.000216108 N = 0.216 mN;
-44
c) F = 1.86777846252E N = 1.87 10-44 N
Aufgabe 4
Deimos (von griech. Δείμος „Schrecken“, gesprochen [ˈdɛɪmɔs], auch eingedeutscht [ˈdaɪmɔs]),
auch Mars II genannt, ist neben Phobos einer der beiden natürlichen Satelliten des Planeten Mars.
Benannt wurde er nach Deimos, dem Sohn und Begleiter des griechischen Kriegsgottes Ares
(lateinisch Mars).
Phobos (auch Mars I), von griech. Φόβος für „Furcht“, ist vor Deimos der grössere der beiden
natürlichen Satelliten des Planeten Mars. Benannt ist er nach Phobos, dem Sohn und Begleiter des
griechischen Kriegsgottes Ares (lat. Mars).
Er wurde im Jahr 1877 zusammen mit Phobos vom US-amerikanischen Astronomen Asaph Hall am
US Naval Observatory in Washington, D.C. entdeckt.
Leitfaden.Physik.2014.Dynamik.v1
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a)Der Marsmond Deimos umkreist den Mars
(Daten siehe Formelsammlung) auf einer
Kreisbahn vom Radius 23,5·103 km. Wie gross
ist die Bahngeschwindigkeit von Deimos?
[1,35·103 m/s]
b)Wie lange braucht Deimos für einen Umlauf?
[31,5 h]
c) Der Marsmond Phobos bewegt sich in 6000
km Entfernung von der Marsoberfläche. Welche
Umlaufszeit besitzt er? [0,30 d]
Aufgabe 5
Berechnen Sie die Gravitationskraft zwischen den Partnern eines Liebespaars von 47 kg und 60 kg
Masse, deren Schwerpunkte 50 cm entfernt sind!
Lösung:
F =0.000000752376 N = 7.523 10 -7 N
Aufgabe 6
a) Berechnen Sie die Kraft, mit der sich Erde und Mond anziehen!
b) Welche Auswirkung hat folglich die Anziehung des Mondes auf die Bahn der Erde?
Lösung:
Fg = 2,00 * 1020N
Aufgabe 7
Gegeben sind zwei Kugeln aus Blei mit Radius r = 1 cm. Der Abstand zwischen den beiden Kugeln
ist R = 1 m.
(a) Berechnen Sie die Gravitationskraft zwischen den beiden Kugeln. Mit welcher Kraft werden die
Kugeln angezogen, wenn wir alle Leitungselektronen der ersten Kugel wegnehmen und zu der
zweiten Kugel addieren? Nehmen Sie an, dass jedes Bleiatom ein Leitungselektron hat. (Pb = 11.34
g/cm3 und die atomare Masse APb = 207.2)
(b) Bei welchem Wert der spezifischen Ladung Q/m wird die Gravitationskraft und die
Coulombkraft, in der Anordnung aus a), gleich? Q = gesamte Ladung jeder Kugel. Kommentieren
Sie das Ergebnis.
Dichte Blei 11.3 kg /m3
4 3
3
Lösung: V = π r =4.18879 cm
3
F =G⋅
m=V⋅ρ=47.333 g =0.04733 kg
m⋅M
=0.000 000000 00014941659763 N =0.149⋅10−11 N
2
r
Aufgabe 8
Die internationale Raumstation ISS kreist in 380 km Höhe über der Erdoberfläche.
a) Berechnen Sie die Gravitationskraft der Erde auf einen Astronauten der Masse 75,0 kg, der sich
in der ISS aufhält. Erklären Sie in Worten, warum die Astronauten der ISS sich schwerelos fühlen.
b) Ermitteln Sie mit Hilfe eines Kraftansatzes die Umlaufdauer der ISS in Minuten.
c) Die ISS besitzt eine Masse von 183 t. Bestimmen Sie die Gesamtenergie der kreisenden ISS
bezogen auf die Erdoberfläche.
d) Berechnen Sie den Bahnradius für einen geostationären Satelliten.
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Aufgabe 9
Schon immer wollten Sie wissen, wie schwer Ihr Banknachbar ist. Sie (m = 65 kg) sitzen im
Abstand von 60 cm neben ihm und würden (wenn Sie könnten!), eine Gravitationskraft von 1.2 μN
spüren. Wie schwer ist Ihr Banknachbar?
Aufgabe 10
Um wie viel nimmt Ihre Gewichtskraft ab, wenn Sie in einem Flugzeug vom Boden auf 10 km
Höhe steigen?
Aufgabe 11
Bei einer Reise von der Erde zum Mond nimmt die Gewichtskraft zuerst ab, verschwindet, und
nimmt dann wieder zu.
a) Warum?
b) Wo liegt dieser Punkt der „Schwerelosigkeit“?
Aufgabe 12
In welchem Abstand zueinander muss man die beiden Massen m1 = 5,2 kg und m2 = 2,4 kg
positionieren, damit die Gravitationskraft zwischen Ihnen einen Betrag von 2,3 10−12 N?
Aufgabe 13
Mit welcher Kraft ziehen sich die kleine .m1 = 20 g. und die grosse .m2 = 1,46 kg. Bleikugel der
Gravitationsdrehwaage im Abstand r =4,5 cm an?
Lösung:
F = 9,622 10 -10 N.
Aufgabe 14
Wie gross sind Geschwindigkeit, Radius und Höhe eines Satelliten über der Erdoberfläche, der über
demselben Punkt der Erde stehen bleibt (geostationäre Bahn)?
Lösung:
m⋅M
2
Aus m⋅ω ⋅r =G⋅ 2
mit der Masse M der Erde und der Umlaufzeit T = 1 d erhält man den
r
Bahnradius des Satelliten zu r = 4,224 · 107 m und damit die Höhe h = 3,586 · 107m = 35860 km
G⋅M
2
über dem Äquator, seine Geschwindigkeit liefert der Ansatz v = 2
zu v = 3.072 · 103 m/s =
r
3.072 km/s.
Aufgabe 15
Nach der erfolgreichen Reparatur des beschädigten Hitzeschildes der Discovery, möchte der
ausführende Astronaut nun zur Luftschleuse der Internationalen Raumstation (M = 500 t)
zurückkehren. Er befindet sich in einer konstanten Entfernung von s = 10 m zu seinem Ziel. Seine
Masse beträgt inklusive Raumanzug, Werkzeugkoffer und Ersatzteilen m = 200 kg.
Wie lange dauert es, den Astronauten zurückzuholen, wenn eine Winde mit konstanter Kraft F = 50
N das Verbindungsseil zwischen ihm und der Station einholt?
11.2. Keplersche Gesetze
a)
T2 T2
=
a3 a3
Aufgabe 1
Berechnen Sie Umlaufdauer T und Geschwindigkeit v eines Satelliten; der die Erde in 500 km Höhe
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umkreist. Benutzen Sie dabei die Tatsache, dass der rM = 384000 km entfernte Mond in TM = 27.3
Tagen um die Erde läuft. Hinweis: Der Erdradius beträgt rE = 6370 km.
Lösung:
T = 0.0652 d =1.565 h
Aufgabe 2
Der Syncom-Nachrichtensatellit soll antriebslos immer über demselben Punkt der Erdoberfläche
stehen. Wie gross muss sein Abstand von der Erdoberfläche sein? Könnte er z.B. ständig über
München stehen? Wie viele solcher Satelliten braucht man um jeden Punkt am Äquator zu
erreichen? (Ultrakurzwellen breiten sich geradlinig aus.) Welches ist der nördlichste Punkt, der
gerade noch erreicht wird? amond = 384400 km und Tmond = 27.32 d, Rerde = 6370 km
Lösung:
r = 42 164 km 
h = 35 800
T=?
 = 162.6 ˚

3 Satelliten
Breitengrade:  = 81.3 ˚
Syncom (Synchronous Communications Satellite) ist die
Bezeichnung für eine Reihe von Nachrichtensatelliten der
NASA. Mit ihnen wurden ab 1963 Telefon- und
Fernsehübertragungen von Satelliten in geosynchronen bzw.
Geostationären Umlaufbahnen erprobt. Die ersten drei Satelliten
waren praktisch baugleich und wurden von der Hughes Space
and Communications Company (heute Boeing) entwickelt und
gebaut. In den 1980er Jahren wurde die Serie als Syncom IV mit
einigen grösseren, ebenfalls von Hughes gebauten Satelliten
fortgesetzt. Sie waren Teil des militärischen Leasat-Programms
der Vereinigten Staaten.
Aufgabe 3
Der Halleyscher Komet ist einer der bekanntesten Kometen. Sein letzter Vorbeiflug bei der Sonne
fand im Jahre 1986 statt. Der kleinste Abstand zur Sonne beträgt jeweils 0.587 AE. Die Umlaufzeit
beträgt 76.0 Jahre. Die grosse Halbachse der Erde um die Sonne beträgt 1 AE und die Umlaufdauer
ist ein Jahr.
a) Wie gross ist die grosse Halbachse der Umlaufbahn des Halleyschen Kometen?
b) Wie gross ist seine grösste Entfernung zur Sonne?
Lösung:
a = 17.9422 AE
s = 35.29 AE
Er wurde nach dem Mathematiker und Astronomen
Edmond Halley (1656–1742) benannt, der wegen seiner
Verdienste um die Bahnbestimmung von Kometen
1720 königlicher Astronom und Leiter der Sternwarte
in Greenwich wurde. Während das Auftauchen von
Kometen bis zu dieser Zeit noch als unvorhersagbar
galt, entdeckte Halley im Jahr 1705, dass der 1682
beobachtete Himmelskörper mit früheren
Kometensichtungen in den Jahren 1531 (beschrieben
von Petrus Apianus) und 1607 (beschrieben von
Johannes Kepler und Ottmar Stab d. J.) identisch sein
müsse, und sagte seine Wiederkehr für 1758 voraus.
Nachdem andere Forscher seine Berechnungen überprüften, erhielt der Schweifstern den Namen
„Halley“. Nach dem Tod Halleys kehrte der Halleysche Komet tatsächlich zurück: Sein damaliges
Wiedererscheinen wurde zuerst am 25. Dezember 1758 vom sächsischen Amateurastronomen
Johann George Palitzsch beobachtet.
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Noch bei seiner Wiederkehr im Jahre 1910 versetzte der Komet viele Menschen in Angst: Kurz
bevor die Erde den Schweif des Kometen am 19. Mai durchquerte, hatten Astronomen darin das
giftige Gas Dicyan entdeckt:
„Während die wissenschaftlichen Beobachtungen, soweit heute bekannt wurde, meist nur negative
Ergebnisse lieferten, hat das Volk besonders in den grossen Städten den Durchgang in seiner Weise
gefeiert, wobei Trinken und Skandal die Hauptsache waren […]“
Aufgabe 4
Für den Zwergplaneten Eris, der einen grösseren Durchmesser als Pluto hat, wurde eine Umlaufzeit
von 557 Jahren ermittelt. Wie gross ist die grosse Halbachse seiner Bahn?
3
3
aErde
aEris
13
a3



 a  67.7 AE
Lösung:
2
2
TErde
TEris
12 557 2
1 AE: Mittelpunktabstand Erde Sonne.
(136199) Eris ist der massereichste bekannte Zwergplanet des Sonnensystems. Eris zählt zu den
Plutoiden, einer Unterklasse von Zwergplaneten, die jenseits der Neptunbahn die Sonne umrunden.
Der Zwergplanet ist nach Eris benannt, der griechischen Göttin der Zwietracht und des Streits. Nach
seiner Entdeckung am 29. Juli 2005 bezeichneten die NASA und viele Medien dieses Objekt des
Kuipergürtels mit einem ähnlichen Durchmesser wie Pluto zunächst als „zehnten Planeten“. Die
Internationale Astronomische Union (IAU) verabschiedete allerdings am 24. August 2006 eine neue
Planetendefinition, nach der Eris, genauso wie auch Pluto, als Zwergplanet klassifiziert werden
musste. Das Objekt erhielt demgemäss im September 2006 als Kleinplanet die Nummer 136199.
Eris bewegt sich auf einer stark exzentrischen und gegenüber der Ekliptik geneigten Bahn um die
Sonne, von der sie momentan ca. 98 AE (15 Milliarden Kilometer) entfernt ist. Man rechnet sie
wegen ihrer grossen Exzentrizität zu den sogenannten „gestreuten“ Kuipergürtel-Objekten. Eine
andere Bezeichnung lautet Scattered disk object (SDO).
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Aufgabe 2
Für den Zwergplaneten Ceres, entdeckt 1801, wurde eine Umlaufzeit von 4.6 Jahren ermittelt.
Wie gross ist die grosse Halbachse seiner Bahn?
Lösung:
a = 2.766 AE
Aufgabe 3
Haumeas mittlere Entfernung von der Sonne beträgt rund 43.342 AE.
a) Welche Umlaufzeit besitzt der Haumeas?
b) Welche mittlere Bahngeschwindigkeit hat Haumeas?
Lösung:
T = 285.3 Jahre
v= 4537 m/s
Aufgabe 5
Die Umlaufzeit der Venus um die Sonne beträgt 0.62 Jahre. Die grosse Halbachse der Erde ist 149.6
Mio. km (= 1 AE).
Wie gross ist die grosse Halbachse der Bahn des Planeten Venus?
a3
13
2
=
→ a= √ 0.62 2=0.7271=0.7271 AE=108.77 Mio km
Lösung:
2
2
0.62 1
Aufgabe 6
Eine Raumsonde fliegt nach dem Start von
der Erde ohne Antrieb zum Mars. Sie bewegt
sich so auf einer Keplerbahn, dass sich im
Aphel der Mars und im Perihel die Erde
befinden (s. Abb.).
Ermitteln Sie mithilfe der Abbildung, wie
gross die grosse Halbachse der Bahn der
Raumsonde ist!
Berechnen Sie mit dem 3. Keplerschen Gesetz
die Flugdauer der Raumsonde zum Mars!
Aufgabe 7
Zwei Planeten bewegen sich um den gleichen Stern. Ihre Umlaufzeiten verhalten sich wie 2:1. Um
welchen Faktor unterscheiden sich ihre grossen Halbachsen?
a 31 a32
a 32
1
=
=
→ a1 = 3 a 2=0.62996055⋅a 2
2
2
2
4
Lösung:
T 1 T 2 ( 2⋅T 1 )
a 2 =1.58740⋅a 1
√
Aufgabe 8
Der Komet Halley erscheint im Abstand von 76 Jahren. Er bewegt sich auf einer stark exzentrischen
Bahn um die Sonne. Wie weit entfernt er sich maximal von der Sonne?
a3
3
=1 → a=√ 76 2=17.942201 AE
2
76
Lösung:
also
d ≈35.88440 AE
Aufgabe 9
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Der Jupitermond Io kreist auf einer Bahn mit grosser Halbachse 442'000 km in 1.8 Tagen einmal
um den Planeten. Der Mond Ganymed braucht für eine Umkreisung 7.2 Tage. Wie gross ist die
grosse Halbachse der Umlaufbahn von Ganymed?
4423 a3
=
→ a=1113 770 km=1.113 Mio km
Lösung:
1.82 7.22
Aufgabe 10
Der Sage nach wurde Hephaistos von Zeus aus dessen Haus im Himmel gestossen und fiel auf die
Erde. Sein Fall dauerte einen halben Tag (12 Stunden).
a) Skizzieren Sie die Bahn des fallenden Hephaistos unter der Annahme, diese gehorche den
Keplerschen Gesetzen (Ellipse mit dem Erdmittelpunkt als einem Brennpunkt).
b) Schätzen Sie die Höhe des Himmels mit dem 3. Keplerschen Gesetz ab. Hinweis: Wählen Sie als
Vergleichskörper den Mond.
Aufgabe 11
Das Perihel ist der sonnennächste, das Aphel (sprich „Ap-hel“ oder „Afel“) der sonnenfernste Punkt
einer Planetenbahn. Die Erde hat ihren Perihel-Durchgang um den 3. Januar (2.–4. Jan., je nach Zeit
nach dem letzten Schaltjahr) bei 147,099 Mio. km, und ihren Aphel-Durchgang um den 5. Juli (3.–
6. Juli) bei 152,096 Mio. km.
Aufgabe 13
Nachrichtensatelliten wie z.B. der Satellit Astra befinden sich auf einer geostationären Bahn, also
ständig über einem bestimmten Punkt des Äquators.
In welcher Höhe über der Erdoberfläche bewegt sich ein solcher Satellit? (Erdmasse m = 5.975 ·
1024 kg, Erdradius r = 6378 km, Umlaufzeit T = 23 h 56 min 4,098 s)
Aufgabe 14
Der Planetoid Eros besitzt eine Umlaufzeit von 643 Tagen.
Berechnen Sie seine mittlere Entfernung von der Sonne in Astronomischen Einheiten (AE)!
643
T=
=1.7592 a
Lösung:
365.25
a3
3
=1 → a=√ 1.75922=1.45729976 AE
2
1.7592
Aufgabe 15
Plutos mittlere Entfernung von der Sonne beträgt rund 39,7 AE.
a)Welche Umlaufzeit besitzt der Pluto?
b)Welche mittlere Bahngeschwindigkeit hat Pluto?
Aufgabe 16
Für den Zwergplaneten Ceres, entdeckt 1801, wurde eine Umlaufzeit von 4.6 Jahren ermittelt.
Wie gross ist die grosse Halbachse seiner Bahn?
Lösung:
a = 2.76591 Jahre
Aufgabe 17
Berechnen Sie aus den Angaben für die grossen Planeten (Anhang) die Konstanten nach dem 3.
Keplerschen Gesetz und bestimmen Sie ihren Mittelwert.
Lösung:
Merkur Venus
Erde
Mars
Jupiter
Saturn
Uranus
Neptun
Pluto
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Aufgabe 18
Bestimmen Sie die Umlaufzeit des Uranus aus der mittleren Entfernung Erde±Sonne r1 = 1,496 1011
m und der mittleren Entfernung Uranus - Sonne r2 = 2,87 1012 m.
Lösung:
TU = 2,65·109 s = 3,07·104 d = 84 a.
Aufgabe 19
Der Saturnmond Mimas umkreist seinen Planeten in der Umlaufzeit T . 0,94221 d mit der grossen
Halbachse a = 1,856 105 km. Wie gross ist die Masse des Saturns?
Lösung:
m= . 5,71·1025 kg
Aufgabe 20
Die Masse des Jupiters ist aus seiner Umlaufzeit T = 4332,60 d und der grossen Halbachse seiner
Bahn a =5,2028 AE mithilfe der Daten von Sonne und Erde zu berechnen (Zwei-Körper-Problem).
Lösung:
MJ =1,9·1027 kg
M=
a 3⋅ω2
+30
=2005855971856513995064443820087.5=2.006⋅10
G
Jupiter : M =
a3⋅ω 2
=2007679566782534799070367331466.4=2.007679566e+30
G
Δ M =1.824e27=1.824⋅1027
b)
Numerische Exzentrizität
Aufgabe 1
Ein Komet hat eine Umlaufzeit von T = 2 Jahren um unsere Sonne. Wie gross ist die grosse
Halbachse, Aphel und die numerische Exzentrizität seiner Bahn, wenn sein Perihel P = 1.2 AE
beträgt?
3 2
a A
T
√
Lösung:
= → a=a⋅ 2
T T
T
Aufgabe2
Der Asteroid Ida umrundet die Sonne in 4,84 Jahren auf einer Bahn mit numerischer Exzentrizität
0,045. Die Raumsonde Galileo flog 1993 auf ihrem Weg zu Jupiter an Ida vorbei und sandte
detailreiche Bilder von Ida und deren Umgebung zur Erde.
Berechnen Sie die grosse Halbachse der Idabahn. Bestimmen Sie, um wie viel Prozent Ida im Aphel
weiter von der Sonne entfernt ist als im Perihel.
Aufgabe3
Im Jahre 2003 wurde jenseits des Kuipergürtels der Asteroid Sedna entdeckt. Sein kürzester
Abstand von der Sonne beträgt 76,3 AE, seine Umlaufzeit 12,6 ·103 Jahre.
a) Berechnen Sie die grosse Halbachse a und den Aphelabstand rA.
[zur Kontrolle: a = 541 AE; rA = 1,01·103 AE]
c)
Flächensatz
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Aufgabe 1
Seit mehr als 2000 Jahren beobachtet man den regelmässig wiederkehrenden Halleyschen Kometen.
Im Jahr 1986 durchlief er den Perihel seiner Bahn und hatte dabei einen Abstand von 90 Millionen
Kilometern. Erst im Jahr 2062 wird er wieder diesen sonnennächsten Punkt seiner Umlaufbahn
erreichen.
a) Bestimmen Sie die grosse Halbachse seiner Umlaufbahn in Vielfachen der AE.
b) Bestimmen Sie den grössten Abstand des Kometen von der Sonne im Aphel.
c) Für Experten: Schätzen Sie ab, um wie viel Prozent sich die Geschwindigkeit des Kometen bei
seinem Weg vom Aphel zum Perihel vergrössert.
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Im Monat November bietet das markante Herbstviereck aus der Pegasus-Andromeda-Konstellation
vor allem in der ersten Nachthälfte eine gute Orientierungshilfe. Es steht noch hoch über dem
Horizont, hat aber bereits den Meridian passiert und wendet sich langsam gegen Westen. Die hellen
Sterne sind auch in weniger dunklen Gegenden gut auszumachen. Von Osten her ziehen die
klassischen Wintersternbilder herauf: der Fuhrmann mit seinem Hauptstern Kapella, Orion mit den
beiden hellsten Sternen Beteigeuze und Rigel sowie die Tierkreiszeichen Stier mit dem Aldebaran
und die Zwillinge mit Kastor und Pollux. Tief im Westen dagegen treten allmählich die
Sommersternbilder Adler, Leier und Schwan von der Himmelsbühne ab.
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Leuchtendes Band
Unter guten Sichtbedingungen zieht die Milchstrasse unsere Aufmerksamkeit auf sich. Als blass
leuchtendes Band erstreckt sie sich in der ersten Nachthälfte dieses Monats von Ost nach West
nahezu durch den Zenit über das Himmelsgewölbe. Wir blicken hier in die Scheibenebene unserer
Heimatgalaxie und sehen das Licht der dort konzentrierten Sterne als schwachen Schimmer.
Das Milchstrassensystem zählt zur Klasse der Spiralgalaxien. Diese Sternsysteme sind abgeplattet
und besitzen in der Mitte eine Verdickung, von Fachleuten auch «Bulge» genannt, in dessen
Zentrum häufig ein extrem massereiches Schwarzes Loch ruht. In der Scheibenebene finden sich
zwei oder auch mehr Spiralarme, in denen sich ein Grossteil der Sterne und der interstellaren
Materie aus Gas- und Molekülwolken konzentriert. In Regionen mit besonders hoher Materiedichte
entstehen dort auch heute noch fortlaufend Sterne. Des Weiteren ist das Spiralsystem in einen
kugelförmigen Halo aus nicht sichtbarerer dunkler Materie eingebettet, der sich weit über den
leuchtenden Bereich einer Spiralgalaxie hinaus erstreckt. Durch ihn bewegen sich auch die
Kugelsternhaufen, die ältere Sterne enthalten und das Zentrum einer Spiralgalaxie in weitläufigen
elliptischen Bahnen umkreisen.
Gerade noch sichtbar
Die uns nächste grössere Spiralgalaxie können wir in einer klaren Nacht und dunkler Umgebung
sogar mit blossem Auge sehen: Um sie aufzufinden, lassen wir den Blick vom zweithellsten Stern
(beta Andromedae) im Sternbild Andromeda ein Stück in Richtung Nordwesten schweifen. Dort
treffen wir auf ein blasses Nebelfleckchen mit hellem Kern: die Andromedagalaxie, auch bezeichnet
als M 31 (Messier 31). Sie ist bei einer Entfernung von 2,5 Millionen Lichtjahren die nächste grosse
Galaxie in unserer Nachbarschaft und das am weitesten entfernte Objekt, das wir ohne optische
Hilfsmittel erkennen können.
In einem guten Fernglas zeigt sich M 31 als langgezogene Ellipse mit einer hell leuchtenden
Zentralregion; wir blicken hier in schrägem Winkel auf die Scheibe der Spiralgalaxie. Die
Spiralarme lassen sich jedoch nur erahnen. Im Teleskop erscheint die Andromedagalaxie deutlich
heller, gelegentlich lassen sich auch mehrere Helligkeitsabstufungen um den Kern herum
ausmachen. Detailliertere Strukturen werden jedoch kaum hervortreten.
Dafür können wir nun die sehr viel kleineren Sternsysteme M 32 und M 110 jeweils an den
gegenüberliegenden Längsseiten von M 31 erkennen. Bei guter Sicht sind sie sogar bereits in einem
grösseren Fernglas zu sehen. Dabei handelt es sich um eine elliptische (M 32) und eine
kugelförmige (M 110) Zwerggalaxie. Beide liegen auch räumlich so nah bei der deutlich
massereicheren Andromedagalaxie, dass sie durch die Schwerkraft an ihre Muttergalaxie gebunden
sind; sie werden daher auch als Begleit- oder Satellitengalaxien von M 31 bezeichnet.
Übrigens besitzt auch unser Milchstrassensystem Satellitengalaxien: Die beiden bekanntesten sind
die Grosse und die Kleine Magellansche Wolke. Diese irregulären Zwerggalaxien sind allerdings
nur von der Südhalbkugel aus zu sehen.
Zudem befinden sich in der kosmischen Nachbarschaft sowohl der Milchstrasse als auch der
Andromedagalaxie eine ganze Menge weiterer masseärmerer Galaxien von unterschiedlicher Form.
Da sie jedoch recht leuchtschwach sind, wurden einige von ihnen erst relativ spät entdeckt.
Inzwischen aber gelten sie als wichtige Bausteine bei der Bildung der kosmischen Struktur. Die
Ansammlung all dieser Sternsysteme um M 31 und unsere Galaxis wird als Lokale Gruppe
bezeichnet. Der Lauf des Mondes: Am 6. November steht der Vollmond im Tierkreiszeichen
Widder, am 14. des Monats finden wir den abnehmenden Halbmond im Krebs. Zu Neumond
befindet sich der Erdtrabant am 22. November im Sternbild Waage, und am 29. November ist der
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wieder zunehmende Halbmond im Wassermann zu sehen. Sichtbarkeit der Planeten: Merkur lässt
sich in der ersten Monatshälfte noch mit etwas Glück in der Morgendämmerung über dem
Osthorizont erblicken. Mars dagegen steht am frühen Abend tief im Westen und ist dort den ganzen
November über gut zu sehen, freie Horizontsicht vorausgesetzt. Jupiter dominiert weiterhin die
zweite Nachthälfte, geht mit fortlaufendem Monat jedoch immer früher auf und zeigt sich bald auch
vor Mitternacht. Uranus ist weiterhin im Sternbild Fische aufzufinden, Neptun im Wassermann ist
am besten noch in der ersten Nachthälfte zu orten. Meteore: Der bekannteste Meteorstrom im
November sind die Leoniden. Sie scheinen aus Richtung des Löwen zu kommen, daher der Name.
Vor allem in den Nächten um den 17. und den 20. November kann es sich lohnen, nach ihnen
Ausschau zu halten.
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