4 Zusammenfassen von Ergebnissen – Summenregel

4 Zusammenfassen von Ergebnissen – Summenregel
Aufgaben
1
Marcella ist mit dem Würfeln an der
Reihe. „Meine Chancen, dich beim nächsten Zug zu überholen, sind gar nicht so
schlecht“, sagt sie. „Pech für dich!“, kontert
Max.
Ein Glücksrad ist in 20 gleiche von 1 bis 20 nummerierte Sektoren unterteilt. Das Drehen
des Glücksrades und Ablesen der angezeigten Zahl hat somit die 20 möglichen Ergebnisse „1“, „2“, „3“, . . ., „20“. Man interessiert sich nun z. B. dafür, ob die angezeigte Zahl durch
vier teilbar ist. Es gibt fünf Ergebnisse, die diese Eigenschaft haben: „4“, „8“, „12“, „16“, „20“.
Diese Ergebnisse fasst man zu dem Ereignis „Die angezeigte Zahl ist durch vier teilbar.“
zusammen.
Zum oben betrachteten Ereignis gehören 5 der 20 gleich wahrscheinlichen Ergebnisse (es
handelt sich hier um ein Laplace-Experiment). Daher ist die Wahrscheinlichkeit für das Er5
1
1
1
1
1
1
_
_
_
_
_
_
eignis _
20 = 20 + 20 + 20 + 20 + 20 = 4 . Die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis erhält man also,
indem man die Einzelwahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse, die zu diesem Ereignis gehören, addiert. Dies gilt auch dann, wenn es sich nicht um ein Laplace-Experiment handelt.
Will man wissen, mit welcher Wahrscheinlichkeit beim Würfeln mit einem LEGOAchter eine gerade Zahl gewürfelt wird,
so kann man die nebenstehende Tabelle
benutzen. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit
beträgt
0,5 % + 32 % + 10 % = 42,5 %.
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 42,5 %
würfelt man also mit dem LEGO-Achter
eine gerade Zahl.
6
1
2
3
4
5
6
Wahrschein10 % 0,5 % 47 % 32 % 0,5 % 10 %
lichkeit
144
IV Prognosen
Fig. 2
In der Bonbondose von Familie Schütz sind noch fünf Karamell-, drei Vitamin-, vier
Himbeer-, sieben Zitronen- und elf Pfefferminzbonbons.
a) Jonas Schütz‘ Lieblingssorten sind Karamell und Zitrone. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält er ein Bonbon dieser Sorten, wenn er ohne hinzuschauen ein Bonbon aus der
Dose nimmt?
b) Seine Schwester Ilka möchte Himbeere oder Pfefferminz. Mit welcher Wahrscheinlichkeit zieht sie ein Bonbon dieser Sorten, wenn Jonas ihr den Vortritt lässt?
3
Beim Spiel „Mensch, ärgere dich nicht“
ist der Spieler mit den gelben Figuren am
Zug. Gib die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse an.
a) Der Spieler wirft eine andere Figur hinaus.
b) Der Spieler erreicht sein Haus.
c) Es geschieht keines von beiden?
Welches Problem entsteht, wenn die rechte
gelbe Figur ein Feld
weiter vorne steht?
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, an einem Samstag oder Sonntag geboren zu
werden? Welche Annahme machst du bei der Berechnung?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, an einem Wochentag geboren zu werden, in dem
der Buchstabe „s“ vorkommt?
c) Heutzutage werden am Wochenende nicht mehr so viele Kinder geboren wie früher,
weil der Geburtstermin durch Medikamente beeinflusst werden kann. Wie verändern sich
dadurch die Ergebnisse in a) und b) ?
5
Summenregel: Man berechnet die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, indem man
die Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Ergebnisse addiert.
Beispiel
In einer Tüte Schokolinsen sind 25 % hellblaue, 19 % dunkelblaue, 34 % gelbe und
22 % rote Schokolinsen. Anna zieht ohne
hinzuschauen eine Linse. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit für das Ereignis
a) „blaue Linse“,
b) „blaue oder rote Linse“,
c) „keine rote Linse“?
Fig. 1
2
4
2
Augenzahl
a) Bestimme für die Glücksräder die
Wahrscheinlichkeiten für die Ergebnisse
„blau“, „gelb“ und „grün“.
b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit für
das Ereignis „gelb oder blau“.
Lösung:
a) Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis
„blaue Linse“ beträgt: 25 % + 19 % = 44 %.
b) Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis
„blaue oder rote Linse“ beträgt:
25 % + 19 % + 22 % = 66 %.
c) Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis
„keine rote Linse“ beträgt:
25 % + 19 % + 34 % = 78 %.
Zeichne ein Glücksrad mit den Farben
blau, gelb und grün, bei dem der Zeiger
mit der Wahrscheinlichkeit 50 % auf „gelb“
oder „blau“ und mit
a) der Wahrscheinlichkeit 70 % auf „gelb“
oder „grün“ stehen bleibt,
b) der Wahrscheinlichkeit 90 % auf „blau“
oder „grün“ stehen bleibt.
6
Ein Würfel wird geworfen. Bestimme
die Wahrscheinlichkeit für die folgenden
Ereignisse. Rechne geschickt.
a) Der Würfel zeigt die 5.
b) Der Würfel zeigt keine 5.
c) Die Augenzahl ist durch 3 teilbar.
d) Die Augenzahl ist nicht durch 3 teilbar.
Info
Das Ereignis, beim Würfeln eine
zu
werfen, enthält ein einziges von sechs
möglichen Ergebnissen: P ( ) = _61 . Das
Ereignis, keine 6 zu werfen, enthält die
fünf restlichen Ergebnisse. Es ist das
Gegenereignis von : P (keine ) = 1
5
– _61 = _6 . Die Wahrscheinlichkeiten eines
Ereignisses und seines Gegenereignisses ergänzen sich zu 1. Kennt man also
eine der beiden Wahrscheinlichkeiten,
so lässt sich die andere leicht berechnen: P (Gegenereignis) = 1 – P (Ereignis).
Diese Regel heißt Komplementärregel.
IV Prognosen
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